EJEMPLO 4.4: Punto máximo de una curva vertical simétrica simétrica Datos: Para una curva vertical simétrica se tiene la siguiente información: Abscisa del PIV K7+040 Cota del PIV 1600m Pendiente de la tangente de entrada +6.8% Pendiente de la tangente de salida -4.6% Longitud de la curva vertical 120m Calcular: La abscisa y la cota del punto más alto de la curva. =
=
=
=
=
Figura 4.12
m 6.8%
Ejemplo de punto máximo de una curva vertical simétrica
, n 4.6%
, i m n 6.8% 4.6% 11.4% 0.114
Lv 120 m
El punto P , punto máximo de la curva, según la ecuación (4-6), se encuentra ubicado a la distancia x del PCV :
m 6.8% x L 120 71.579m i
v
11.4%
Por lo tanto, su abscisa es:
Abscisa de P Abscisa PCV x Abscisa PCV Abscisa PIV
Lv 2
K7 040
120 2
K 6 980
Abscisa de P K 6 980 71.578 K7 051.579 Igualmente, la cota del punto P es:
i Cota de P Cota PCV mx x 2 2L v
L 120 Cota PCV Cota PIV m v 1600 0.068 1595.920m 2
2
0.114
2
71.579 1598.354m
Cota de P 1595.920 0.068 71.579 2 120
EJEMPLO 4.5: Curva vertical simétrica que pasa por un punto mínimo
Datos: Para una curva vertical simétrica se tiene:
Abscisa del PIV Cota del PIV Pendiente de la tangente de entrada Pendiente de la tangente de salida
=
= = =
K1+490 1490m -2% +8%
Calcular:
a) La longitud de la curva vertical simétrica, de tal manera que entre el punto más bajo de la curva y la tangente haya una diferencia de alturas de un (1) metro. b)
La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva.
Solución:
a)
Longitud de la curva
De acuerdo con la Figura 4.13, se tiene:
m 2%
, n 8%
m
x Lv i x
2%
10%
L v 0.2L v
, i m n 2% 8% 10% 0.100
Figura 4.13
Curva vertical simétrica por un punto mínimo
La diferencia de altura de un (1) metro, entre el punto mínimo P de la curva y la tangente vertical, es la corrección por pendiente y . Por lo cual:
i y 2L
0.10 x 2 1 x 2 2L
v
v
Reemplazando a x 0.2Lv , se tiene:
y
0.05
0.2L 1 2
v
Lv 0.05
0.04L2v 1
, de donde,
Lv Lv 500m
b)
Abscisa y cota del punto mínimo
Abscisa MÍN Abscisa PCV x
, donde,
Lv
K1 490
Abscisa PCV Abscisa PIV
2
500 2
K1 240
x 0.2Lv 0.2500 100m
, entonces,
Abscisa MÍN K1 240 100 K1 340 Cota MÍN Cota P' 1 Cota P' Cota PIV
, donde,
Lv
2
Cota P' 1490
500
x 0.02
100 0.02 1493m
2
, entonces,
Cota MÍN 1493 1 1494m
EJEMPLO 4.6: Curva vertical compuesta
Datos: Con la información dada en la Figura 4.14, se quiere unir el punto A y el punto B mediante una curva vertical compuesta de dos curvas verticales simétricas, la primera en el tramo AD y la segunda en el tramo DB, tal que el punto D sea el PCCV o punto común de curvas verticales.
Figura 4.14
Ejemplo 4.6
Calcular: a)
Las cotas en la rasante en las abscisas K2+020 y K2+150 .
b)
La abscisa y la cota del punto más bajo de la curva compuesta.
Solución:
De acuerdo con la Figura 4.15, se tiene:
Figura 4.15
a)
Curva vertical compuesta
Cotas de rasante
K2+020: Cota de E
Lv1 K 2 080 K1 940 140m Abscisa PIV 1
Abscisa de A
Lv1
K1 940 70 K 2 010
2
Cota de E Cota de E' E' E Sí se define a p como la pendiente de la tangente común PIV 1PIV 2, y a i 1
como la diferencia de pendientes para la primera curva, se tiene:
L Cota de E' Cota de C 0.08 v1 10 p 2 i E' E 1 x 2 1 2Lv1
p
Cota PIV 2 Cota PIV 1 Lv 1 2
Lv 2 2
L Cota PIV Cota de C 0.04 v2 2
2
Lv2 K 2 240 K 2 080 160 m Cota PIV 2 500 0.0480 503.200 m L Cota PIV 1 Cota de C 0.08 v1 2
Cota PIV 1 500 0.08 70 505.600m p
503.200 505.600
0.016
70 80 i 1 0.08 0.016 0.064
, por lo tanto,
Cota de E' 500 0.08 70 10 0.016 505.440m 0.064
2
60 0.823m
E' E
, luego,
2 140 Cota de E 505.440 0.823 506.263m K2+150: Cota de F
Cota de F Cota de F' F' F Sí se define a i 2 como la diferencia de pendientes para la segunda curva, se tiene:
L Cota de F' Cota de C 0.04 v2 10 p 2
Cota de F' 500 0.0480 10 0.016 503.360m i 2 0.016 0.04 0.056 i 2
F' F
2
0.056
x 2
2
70 0.858m
, luego,
2 160
2L
, por lo tanto,
v 2
Cota de F 503.360 0.858 504.218 m
b)
Abscisa y cota del punto mínimo
De acuerdo con los valores de las tres pendientes de la curva compuesta, se deduce que el punto más bajo de ella se encuentra en la primera rama de la segunda curva. Por lo tanto, es necesario calcular la distancia x :
p
x
0.016
160 45.714m
L
, luego,
0.056
v2
i 2
Abscisa MÍN Abscisa de D x K2 080 45.714 K 2 125.714 Cota MÍN Cota de G Cota de G' G' G Cota de G' Cota de E' p x 1 x
, donde,
Cota de G' 505.440 0.016 60 45.714 503.749m i 2
G' G
2
0.056
45.741 0.366 m
x
, luego,
2 160
2L
2
v 2
Cota MÍN 503.749 0.366 504.115m
EJEMPLO 4.7: Curvas verticales simétricas que se cruzan
Datos: La Figura 4.16, muestra los perfiles de las tangentes verticales de un par de vías que se cruzan. El PIV 1 pertenece a un paso inferior que acomoda una curva vertical de longitud 80 metros y el PIV 2 pertenece a un paso superior que acomoda otra curva vertical.
Figura 4.16
Ejemplo 4.7
Calcular: La longitud de la curva vertical simétrica al PIV 2, de tal manera que sobre la vertical del PIV 1 y el PIV 2 exista una diferencia de altura de 6 metros entre las rasantes respectivas.
Solución:
De acuerdo con la Figura 4.17, se tiene:
Figura 4.17
Curvas verticales simétricas que se cruzan
La longitud de la curva vertical al PIV 2 en función de su externa E v2 es:
L
8 E v 2 , donde,
v2
i 2 i 2 0.04 0.00 0.04 E v 2 PIV 1 PIV 2 6 E v1 8 6 E v1 2 E v 1 E v 1 Lv1 i 1
, pero,
8
80 0.08 , Lv1 80m , , entonces, i 1 0.02 0.06 0.08 =
E v1
8
0.800m
E v 2 2 0.800 1.200m
, por lo tanto,
, luego,
8 1.200 Lv 2
240m
0.04
EJEMPLO 4.8: Pendiente en una curva vertical restringida
Datos: Para el esquema dado en la Figura 4.18, se tiene que la diferencia de cotas entre las respectivas rasantes del PCV y un punto de abscisa K2+140 debe ser de 0.85 metros.
Figura 4.18
Ejemplo 4.8
Calcular: La pendiente de la tangente de salida que se acomoda a la anterior situación.
Solución:
De acuerdo con la Figura 4.19, se puede plantear la siguiente igualdad:
Figura 4.19
Pendiente en una curva vertical restringida
a 0.85 b y
, donde,
L a m v 0.0260 1.200m 2
b n20 20n i x 2 y 2L v
Aplicando la definición de i :
i m n 0.02 n 0.02 n y
0.02 n 2 120
40 2
0.02 n , por lo tanto,
0.15
1.200 0.85 20n
0.02 n 0.15
Despejando el valor de n, se tiene:
n 0.071875
, o lo que es lo mismo n -7.188% =
EJEMPLO 4.9: Curva vertical sobre una cota obligada
Datos: Para la situación dada en la Figura 4.20, entre la rasante de la vía y la alcantarilla desde el nivel de la clave debe existir una altura de 2.10 metros.
Figura 4.20
Ejemplo 4.9
Calcular: La longitud de la curva vertical simétrica que cumpla esta condición.
Solución:
De acuerdo con la Figura 4.21, se tiene:
Figura 4.21
Curva vertical sobre una cota obligada
Pendiente de entrada
425.00 427.40
0.03 m
460 380 Pendiente de salida
428.20 425.00
0.04 n
540 460 i m n 0.03 0.04 0.07 En la vertical sobre la alcantarilla se puede plantear la siguiente igualdad:
y a b 2.10m
, esto es,
y 2.10 a b a m20 0.0320 0.60m b Cota PIV Cota Clave 425.00 424.10 0.90m , entonces,
y 2.10 0.60 0.90 0.60m
, pero,
