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Ca \u00edtulo 3 Conteo p
(b) Secuencias contienen exactamente 19. tres\u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede usted escoger cruces, suponiendo n \u00a3 3? tres de siete libros de ficci\u00f3n y dos de seis (c) secuencias contienen exactamente k libros de temas formales para llevar consigo caras, suponiendo n \u00a3 kl en sus vacaciones?
20.y Para 18. Si se lanza n dados legales de seis caras se manejar en carretera durante sus vacaciones, anota los n\u00fameros que aparecen en las caras va a escoger usted 6 de las 35 casetes de rock de su colecci\u00f3n,.3 de las 22 superiores, \u00bfcu\u00e1ntas (a) secuencias de registro son posibles? casetes de m\u00fasica cl\u00e1sica y 1 de las 8 (b) secuencias contienen exactamente un casetes de m\u00fasica rom\u00e1ntica. \u00bfDe cu\u00e1 maneras puede hacer usted sus selecciones? seis? (c) secuencias contienen exactamente cuatro doses, suponiendo n > 4?
3.3. Principio de las casillas
En esta secci\u00f3n se introduce otra t\u00e9cnica de demostraci\u00f3n, en la cual se utiliza los m de conteo que han sido estudiados. ' Teorema 1 (El principi\u00f3 de las casillas). Si se asigna n objetos a m casillas, y m
Demostraci\u00f3n: Considere las m casillas marcadas con los n\u00fameros 1 a m y los n objetos con los n\u00fameros 1 a n. Ahora, comenzando con el objeto 1, asigne cada objeto en orden a la casilla de igual n\u00famero. Esto asigna tantos objetos como es posible a casillas individuales, pero como m < n, hay n \ u 2 0 1 4 m objetos a los que todav\u00eda no se ha asignado una casilla. A una casilla por lo menos tendr\u00e1 que asign\u00e1rsele un segundo \u2022 objeto.
Este teorema informal, que suena casi trivial, es f\u00e1cil de usar y tiene un poder inesperado en la demostraci\u00f3 consecuencias interesantes. Ejemplo 1. Si se escoge ocho personas aleatoriamente de alg\u00fan conjunto, por lo menos dos de ellas habr\u00e1n nacido el mismo d\u00eda de la semana. Aqu\u00ed cada persona (objeto) se asigna al d\u00eda de la semana (casilla) en que naci\u00f3 \u00e9l o ella. Como hay ocho personas y solamente siete d\u00edas de la semana, el principio de las casillas dice que por lo menos dos personas deber\u00e1n asignarse al mismo d\u00eda de la semana. >4
Observe usted que el principio de las casillas proporciona una prueba de existencia; debe haber un objeto u objetos con una cierta caracter\u00edstica. En el ejemplo 1, esta caracter\u00edstica es haber nacido el mismo d\u00eda de la semana. El principio de las casillas garantiza que hay por lo menos dos personas con est\u00e1 caracter\u00edstica, pero no da informaci\u00f3n sobre la identificaci\u00f3n de estas personas. S\u00f3lo queda garantizada su existencia. En contraste, una prueba constructiva garantiza la existencia de un objeto u objetos que tengan una cierta caracter\u00edstica, construyendo realmente tal de objeto u objetos. Por ejemplo, se podr\u00eda mostrar que, dados dos n\u00fameros racionales;\u00bb y q, existe un n\u00famero racional entre ellos, si se demuestra que (p + q)/2 est\u00e1 comprendido entre p y g. > Para usar el principio de las casillas, se debe identificar los objetos y las casillas
GRUPO DE EJERCICIOS 3.2
1. Calcule cada una de las siguientes combinaciones. (a) 7C7 (b) 7C4 (c) 16C5 (d) nCn-1 (e)nCn-2 (f) n+ 1Cn-i 2. Demuestre que nC = nCn -r r
3.
\u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede seleccionarse un comit\u00e9 de tres miem dos estudiantes, tom\u00e1ndolos de siete miembros de facultad y ocho estudiantes
4. \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede darse una mano de 6 cartas si se tiene una cartas?
, 5 . En un cierto colegio, la oficina de alojamientos ha decidido nombrar, para cada piso, un consejero " residente masculino y uno femenino. \u00bfCu\u00e1ntos pares diferentes de consejeros puede seleccionarse para un, edific pisos, de 12 candidatos del sexo \u2022 'masculino y 15 del sexo femenino?
6. Un fabricante de microcomputadoras que est\u00e1 preparando una campa\u00f1a de publicidad, est\u00e1 considerando seis revistas, tres pe estaciones de televisi\u00f3n y cuatro estaciones de radio. \u00bfDe cu\u00e1ntas manera seis anuncios si (\u00e1) los seis deben ser hechos en revistas? (b) dos deben aparecer en revistas, dos en peri\u00f3dicos, uno en televisi\u00f3n radio?
7. \u00bfCu\u00e1ntas manos diferentes de 8 cartas con 5 cartas ' rojas y 3 negras repartirse de una baraja de 52 cartas? '. < 8. (a) Encuentre el n\u00famero de subconjuntos de cada tama\u00f1o posible de un conju que contiene \u2022 cuatro elementos (b) Encuentre el n\u00famero de subconjuntos de cada tama\u00f1o posible para un conjunto que contiene n 'elementos. 39. Una urna contiene 15 bolas, 8 de las cuales son rojas y 7 son negras. \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede escogerse 5 bolas de manera que (a) las 5 sean rojas?. (b) las 5 sean negras? \u2022 (c). 2 sean rojas y 3 sean negras? (d) 3 sean rojas y 2 sean negras?
10.
\u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede seleccionarse un comit\u00e9 de 6 personas de un conjunto de 10, si una de las personas debe ser nombrada como presidente del comit\u00e9?
11. Un certificado de obsequio de una librer\u00eda local permite al poseedor escoge de la lista combinada de 10 libros de ficci\u00f3n de los de mayor venta y 10 libros temas formales tambi\u00e9n de los de mayor venta; \u00bfDe cu\u00e1ntas mane hacerse la selecci\u00f3n de 6 libros?
12. El plan de alimentos del colegio permite "a cada estudiante escoger tres piezas de cada d\u00eda. Las frutas disponibles son manzanas, pl\u00e1tanos, duraznos, pera \u00bfPor cu\u00e1ntos d\u00edas puede un estudiante hacer una selecci\u00f3n di 13. Demuestre que n+1Cr = nCr-1 + nCr.
14. (a) \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede un estudiante escoger 8 de 10 preguntas para contestar en un - . ' \ u 2 0 2 2 ' " examen? (b) \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras puede un estudiante escoger 8 de 10 pregunta contestar en un examen si las primeras 3 preguntas deben ser contestadas?
15. Se lanza al aire cinco monedas legales y se registra los resultados. (a) \u00bfCu\u00e1ntas secuencias diferentes de caras y cruces son posibles? (b) \u00bfCu\u00e1ntas de las secuencias de la parte (a) tienen exactamente una c (c) \u00bfCu\u00e1ntas de las secuencias de la parte (a) tienen exactamente tres c registradas?
16. Se lanza tres dados legales de seis caras y se registra los n\u00fameros que apar caras superiores. (a) \u00bfCu\u00e1ntas secuencias registradas diferentes son posibles? (b) \u00bfCu\u00e1ntos de los registros de la parte (a) contienen exactamente un (c) \u00bfCu\u00e1ntos de los registros de la parte (a) contienen exactamente dos
17. Si se lanza n monedas legales y se registra los resultados, \u00bfcu\u00e1ntas (a) de registro son posibles?
GRUPO DE EJERCICIOS 3.1
1. Una clave de admisión de un banco consta de dos letras del alfabeto seguidas por dígitos. ¿Cuántas claves diferentes hay?
.2. En un experimento psicológico, una persona debe acomodar en hilera un cuadrado cubo, un círculo, un triángulo y un pentágono. ¿Cuántos acomodos diferentes son posibles? 3. Se lanza al aire una moneda cuatro veces y se registra el resultado de cada lanzamiento. ¿Cuántas secuencias diferentes de cara y cruz son posibles?
4. Un menú de opciones incluye una sopa, un platillo fuerte, un postre y una bebida. Suponga que un cliente puede hacer su elección entre cuatro sopas, cinco platillos fuertes, tres postres y dos bebidas. ¿Cuántos menús diferentes puede seleccionarse?
5. Un dado legal de seis caras es lanzado cuatro veces, y se anota los números obten en una secuencia . ¿Cuántas secuencias diferentes hay? 6. Calcule cada uno de los siguientes casos. (a) 4P4 (b) 6P5 (c) 7P2 (d) nP n-l (e) nPn-1 (f) n + 1Pn-1 7. ¿Cuántas permutaciones hay de cada uno de los siguientes conjuntos?
(a) {r,s,t,u} . (b) {1, 2, 3, 4, 5} (c) {a, b, l, 2, 3, c} 8. Para cada conjunto A, encuentre el número de permutaciones de A tomando los elementos r a la vez. (a) A = {l, 2, 3, 4, 5, 6,7}, r = 3 (b) A = {x | x es un entero y X2 < 16}, r = 4 9. ¿De cuántas maneras pueden seis hombres y seis mujeres sentarse en línea si (a) cualquier persona puede sentarse en seguida de cualquier otra? (b) los hombres y las mujeres deben ocupar asientos alternados?
10. Encuentre el número de permutaciones diferentes de las letras de la palabra GR
11.
¿Cuántos acomodos diferentes de las letras de la palabra BOUGHT puede formarse si las vocales deben conservarse juntas?
12. (a) Encuentre el número de permutaciones distinguibles de las letras de BOOLEAN. (b) Encuentre el número de permutaciones distinguibles de las letras de PASCAL. 13. (a) Encuentre el número de permutaciones distinguibles de las letras de ASSOCIATTVE. (b) Encuentre el número de permutaciones distinguibles de las letras de REQUIREMENTS. 14. ¿De cuántas maneras pueden sentarse siete personas en un círculo?
15. Se va a usar un librero para exhibir seis nuevos libros. Supóngase que hay ocho de ciencia de computación y cinco libros franceses de dónde escoger. Si se decide exhibir cuatro libros de ciencia de computación y dos libros franceses, y se pide" mantener juntos los libros de cada tema ¿cuántos acomodos diferentes es posible hacer? .
16. Se lanzan tres dados legales de seis caras y se anotan los números que aparecen caras superiores como lanzamientos triples. ¿Cuántos reportes diferentes son posi 17. Demuestre que n • n-1 P n-1 = nPn
18. La mayoría de las versiones de Pascal permite formar nombres de variables de o letras o dígitos, con la condición de que el primer carácter debe ser una letra. ¿Cu nombres de variables de ocho caracteres son posibles?
19. Actualmente, los códigos de área telefónicos son de tres dígitos, pero el dígito intermedio debe ser O o 1. Los códigos cuyos últimos dos dígitos son 1 están siendo us para otros fines, por ejemplo, 911. Con estas condiciones ¿cuántos códigos de área hay disponibles?
20. ¿Cuántos números de Seguridad Social (EU) puede asignarse en cualquier tie dado? Identifique las suposiciones que haya hecho.
