Mates Discretas +

MATE DISCRETA +

PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información. PDF generated at: Sun, 19 Aug 2012 21:35:08 UTC

Contenidos Artículos Núcleo (matemática)

1

Conjunto imagen

2

Dominio de definición

3

Codominio

5

Intervalo (matemática)

6

Función continua

9

Clasificación de discontinuidades

16

Límite de una función

36

Serie convergente

41

Serie divergente

45

Serie geométrica

47

Progresión geométrica

49

Criterio de d'Alembert

51

Serie matemática

53

Serie armónica (matemática)

55

Serie alternada

58

Algoritmo voraz

59

Serie hipergeométrica

61

Función de Bessel

62

Símbolo de Pochhammer

76

Función gamma

77

Factorial

84

Combinatoria

88

Teoría de Ramsey

90

Grupo simétrico

93

Permutación

95

Teorema de Cayley

98

Combinaciones con repetición

99

Ecuación diofántica

102

Máximo común divisor

104

Teorema chino del resto

106

Números primos entre sí

108

Congruencia (teoría de números)

109

Número primo

111

Conjetura de Goldbach

129

Iván Vinográdov

131

Cribado grande

132

Teoría de cribas

134

Criba de Eratóstenes

135

Conjetura de los números primos gemelos

147

Números primos gemelos

148

Constante de Brun

149

Ley de Hardy-Weinberg

150

Cuadro de Punnett

159

Identidad de Bézout

160

Bicondicional

161

Condición necesaria y suficiente

162

Algoritmo de Euclides

164

Teoría de grafos

174

Leyes de Kirchhoff

184

Multigrafo

188

Grafo dirigido

189

Grafo etiquetado

191

Grafo aleatorio

193

Hipergrafo

194

Hiperarista

195

Optimización (matemática)

196

Algoritmo símplex

197

Conjetura de Hirsch

207

Combinatoria poliédrica

208

Geometría discreta

209

Geometría computacional

211

Computación gráfica

212

Grafo conexo

215

Diámetro

216

Hipercubo

218

George Dantzig

221

Número de Fermat

223

Regla y compás

225

Teorema de la raíz racional

234

Lema de Gauss

235

Criterio de Eisenstein

236

Dominio de ideales principales

238

Dominio de factorización única

238

Elemento primo

239

Origami

240

Teorema de Mohr-Mascheroni

250

Teorema de Poncelet–Steiner

251

Tomografía axial computarizada

251

Sólidos platónicos

256

Gran círculo

259

Trigonometría esférica

260

Geometría no euclidiana

264

Variedad de Riemann

268

Geometría hiperbólica

271

Disco de Poincaré

274

Geometría elíptica

277

Paralelismo (matemática)

279

Perpendicularidad

281

Lema de Euclides

284

Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo

286

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

290

Licencias de artículos Licencia

295

Núcleo (matemática)

1

Núcleo (matemática) En matemática, el núcleo de un operador A, denotado como Ker A o Nucl A, es el conjunto de todos los operandos cuya imagen sea el vector nulo. En notación matemática:

Ejemplos Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para x e y números reales, que es lineal ya que se cumple que f(x+z, y+w)=(x+z)−(y+w)=f(x, y)+f(z, w). Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

que es el mismo que la variedad lineal del vector (1,1), que describe la recta ortonormal

en el espacio vectorial

.

El núcleo del vector (1,2,3) al definirse una forma bilineal con una matriz de conexíon identidad (por ejemplo el producto vectorial habitual) son todos aquellos vectores conjugados (también llamados ortogonales en un espacio vectorial no abstracto) cuyo producto sea nulo.

Deben cumplir la ecuación cartesiana:

o resolviendo el sistema (con dos parámetros cualesquiera) ser variedad lineal de los vectores: .

Propiedades Si A es una matriz su núcleo es un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespacio se llama nulidad de A. Se calcula como el número de filas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Kernel [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Kernel of a linear mapping [2] en PlanetMath

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Kernel. html [2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=807

Conjunto imagen

2

Conjunto imagen En matemáticas, la imagen (conocida también como alcance, recorrido, campo de valores o rango) de una función es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como , o bien y formalmente está definida por:

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Conjunto imagen [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.

Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Image. html


3

Dominio de definición En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien . En se denomina dominio a un conjunto conexo, abierto y cuyo interior no sea vacío.

Definición El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:

Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.

Propiedades Dadas dos funciones reales:

Se tienen las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4.

Cálculo del dominio de una función Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudarán a identificar la existencia del dominio de una función. Las más usadas son:

Raíz n-ésima de f(x) No existe restricción si n es impar, pero si n es par, la función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces negativas no están definidas en el cuerpo real. Por ejemplo:

El índice de la raíz es par (2), por tanto conjunto de todos los reales en el intervalo [3,+∞).

; despejando tenemos que x ≥ 3. El dominio entonces será el


4

Logaritmo de f(x) La restricción está al estudiar las propiedades de los logaritmos las cuales dicen que estos no están definidos para números negativos, por tanto toda función contenida dentro de un logaritmo debe ser necesariamente mayor estricto de cero. Por ejemplo:

Por la propiedad anteriormente citada tenemos que para que esta función exista, necesariamente despejando obtendremos dos soluciones

y

;

. La unión de ambas soluciones representa el dominio

de la función, que está definida como el conjunto (-∞, -3) U (3, +∞).

Fracciones Véase también: División por cero.

Otras propiedades de las matemáticas pueden ayudar a obtener el dominio de una función y excluir puntos donde esta no esté definida, por ejemplo, una función que tenga forma de fracción no estará definida cuando el denominador valga cero, ya que esto es una indeterminación que daría una tendencia al infinito. Veamos: la función

no estará definida cuando

, despejando

, es decir la variable x

debe tener un valor diferente para poder existir, ya que en ese punto no está definida, por tanto el dominio de esta función será el conjunto de todos los reales menos ese punto. Su notación será ℝ \ {1/5}, que se lee, el conjunto de todos los reales menos el punto un quinto. El grado de dificultad se incrementa cuando se busca el dominio de una función con variable en el denominador contenida dentro de un radical de índice par o logaritmo, ya que esto se traslada a resolver una desigualdad. No obstante, el método de polos y ceros nos permite resolver esta clase de inecuaciones con facilidad. Ejemplo Para evidenciar este caso veamos este problema. Hallar el dominio de la siguiente función:

Para que esta función exista, necesariamente

Ya que no existe logaritmo de expresiones negativas. La solución de esta desigualdad, es explicada paso por paso en el artículo polos y ceros anteriormente citado, su solución constituirá el dominio de la función que en este caso será (-∞, -1/5) U (2/3, +∞).

Ejemplos Algunos dominios de funciones reales de variable real: El dominio de esta función es

.

El dominio de esta función es El dominio de esta función es

puesto que la función no está definida para x = 0. ya que los logaritmos están definidos sólo para

números positivos. El dominio de esta función es cuerpo de los reales.

porque la raíz de un número negativo no existe en el


5

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Domain [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Domain of definition [2]» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Domain. html [2] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Domain_of_definition& oldid=24822

Codominio En matemáticas, el codominio (conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto que participa en esa función, y se denota Sea

o

o

.

la imagen de una función

, entonces

.

Ejemplo Para una función

definida para , o el equivalente el codominio de

es

, pero

,

Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es el rango de f.

nunca toma un

valor negativo. Por lo tanto, la imagen de

es el conjunto

; por ejemplo, el intervalo [0,∞).


6

Intervalo (matemática) Un intervalo (del latín intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Caracterización El intervalo real Si

es la parte de e

pertenecen a

que verifica la siguiente propiedad: con

, entonces para todo

tal que

, se tiene que

pertenece a

.

Notación Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11. Intervalo abierto (a,b).

Intervalo abierto No incluye los extremos. • o bien • Notación conjuntista o en términos de desigualdades: Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo cerrado Sí incluye los extremos. • • Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto Incluye únicamente uno de los extremos. •

o bien

, notación conjuntista:

•

o bien

, notación conjuntista:

Intervalo semiabierto (a,b].

Nota • Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío. • (a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío. • [a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado. • Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación

, denota

un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra. • Ambas notaciones admiten el símbolo para indicar que no hay cota.


7

Ejemplos gráficos

Función cuadrática restringida a un intervalo fijado.

Transformación lineal de intervalos.

Transformacion lineal de intervalos.

Línea numérica.


8

Clasificación Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita). La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo: Notación

Intervalo

Longitud

Descripción Intervalo cerrado de longitud finita. Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b). Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b). Intervalo abierto. Intervalo semiabierto. Intervalo semiabierto. Intervalo semiabierto. Intervalo semiabierto. Intervalo a la vez abierto y cerrado. Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).

x no existe

Sin longitud.

Conjunto vacío.

Propiedades • • • • •

La intersección de intervalos de es también un intervalo. La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía). Las partes conexas de son exactamente los intervalos. Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta». La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

Aritmética de intervalos Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d. Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que • I + J = [ a + c , b + d ]. • I - J = [ a - d, b - c ]. • Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].


9

Generalización Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de

, que es el producto cartesiano de n intervalos:

, uno en cada eje de coordenadas. En términos topológicos, en el espacio métrico usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

Entorno de centro a y radio ε.

Referencias • Skornyakov, L.A. (2001), «Interval and segment [1]», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 • Weisstein, Eric W. «Interval [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias [1] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=Interval_and_segment& oldid=14087 [2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Interval. html

Función continua En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Función continua

10

Funciones reales de una variable real Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha. El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.) El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto Definición de continuidad en un punto Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función si:

tal que para toda x

en el dominio de la función:

Otra manera más simple: Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto. En el caso de aplicaciones de

en

,y

de una manera más rigurosa se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).

Función continua Así

pues,

11 una

función

f

continua

en

el

punto

x1

implica

lo

siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1): 7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos. Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que . Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J. La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Función continua

12

Continuidad lateral Una

función

es

continua

por

la

izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura. Una función

es continua por la derecha

en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función

es continua en un punto si

es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b) Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b] Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Función continua

13

Algunas funciones continuas importantes Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real. En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales. Funciones definidas por intervalos Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: • La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) ≤ x < E(x) + 1. Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. • Otras funciones definidas por intervalos son: Función escalón unitario Función signo

Funciones seno y coseno.

Función continua

14

Función racional Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas. 1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en 2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en

entonces presenta máximos y mínimos absolutos. y

3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en

y y

, entonces entonces

tal que tal que

Derivada y continuidad Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas. Demostración

:

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultar Calculus de Spivak.

Función continua

15

Clase de continuidad Una función

, se dice:

• de clase

si está definida en todo el dominio

junto con sus derivadas hasta orden

y todas ellas

son continuas. • Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase . • Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo es analítica. • Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase . • Una función generalizada se dice de clase de una función de clase

si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones

.

Funciones continuas en espacios topológicos Sean

e

dos espacios topológicos. Una aplicación

es un abierto de

se dice que es continua si:

, cualquiera que sea el abierto

de

. Esta es la continudad vista

globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio. Con la misma notación, si

, diremos que

es continua en

cuando se obtiene que

entorno de , cualquiera que sea el entorno de . Es "inmediato" entonces comprobar que es continua si y solo si es continua en es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Bibliografía • Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware. • James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

es un

, cualquiera que sea éste,


Clasificación de discontinuidades Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Conceptos previos Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:

Tendencia de una función Consideremos el concepto de tendencia de la función: f(x), en la proximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de limite, más formal. Diremos que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiende a a por la izquierda, si a medida que x toma valores mas próximos a a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c un numero real, entonces decimos que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por la izquierda. Si cuando x se aproxima a a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a a, toma valores casa vez mayores, sin poder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, diremos que la función tiende a infinito cuando x tiende a a por la izquierda, del mismo modo si cuando x se aproxima progresivamente a a, sin llegar a ser a y con valores inferiores a a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un número real mínimo que la función no pueda superar, decimos que la función tiende a menos infinito, cuando la variable tiende a a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a a por la izquierda. Si cuando la variable x toma valores progresivamente mas próximos a a, pero distintos de a e inferiores a a, la función oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo Ls el valor real mas pequeño que la función no puede superar cuando x tiende a a por la izquierda, y Li es el valor mas alto para el que la función permanece por encima cuando x tiende a a por la izquierda, diremos que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiende a a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene limite.

16

Clasificación de discontinuidades Si para valores de x próximos a a, inferiores a a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número real como resultado de f(x), diremos que f(x) no existe a la izquierda de a.

Por el mismo razonamiento podemos determinar la tendencia de la función f(x), cuando x tiende a a, sin llegar a ser a y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidos por la izquierda.

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en el punto a: f(a), podremos determinar la continuidad de la función en el punto a, o los distintos tipos de discontinuidad.

Límite de una función El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene limite en ese punto.

17


Límite superior y límite inferior A pesar de que una función exista pero no tenga limite en un punto, podemos diferenciar un limite superior e inferior. Diremos que una función tiene limite superior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el limite no supera cuando nos aproximamos a a por la izquierda:

Del mismo modo diremos que una función tiene limite inferior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el limite no puede estar cuando nos aproximamos a a por la izquierda:

Diremos que una función tiene limite superior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el limite no supera cuando nos aproximamos a a por la derecha:

Diremos tambien que una función tiene limite inferior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el limite no puede estar cuando nos aproximamos a a por la derecha:

18


Si el limite superior por la derecha y por la izquierda coinciden, se habla sencillamente de limite superior, del mismo modo si el limite inferior por la derecha y por la izquierda se menciona el limite inferior.

Pero esta coincidencia no tiene porque darse en todos los casos.

Función continua Si una función tiene límite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

Tipos de discontinuidades La discontinuidad de una función en un punto puede ser clasificada en:

19


Discontinuidad evitable Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos. Si el limite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.

Si la función tiene por limite cuando tiende a a, pero no existe en ese punto, la función es discontinua en a.

20


Sabiendo que una función es continua en un punto, cuando tiene limite en ese punto, y el valor del limite es el mismo que el valor de la función en ese punto, las dos discontinuidades anteriores se pueden evitar asignando a la función, en el punto de discontinuidad, el valor del limite en ese punto.

Discontinuidad esencial o no evitable Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: Discontinuidad de primera especie: si los limites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge. Discontinuidad de segunda especie: si la funcion, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite. Discontinuidad de primera especie En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

21

Clasificación de discontinuidades De salto finito Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales: A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito:

22


23

Clasificación de discontinuidades De salto infinito Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

Así podemos ver los casos:

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

24


Donde se puede ver:

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

25

Clasificación de discontinuidades Discontinuidad asintótica Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

26


27

Clasificación de discontinuidades Discontinuidad de segunda especie Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Un caso muy particular de discontinuidad de segunda especie es una función definida solo en un punto.

28


Si la función existe, pero no tiene limite:

29


30


Caso de continuidad Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los límites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.

Continuidad lateral Una función a pesar de ser discontinua en un punto, puede tener lo que se denomina continuidad lateral.

Continua por la izquierda Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la izquierda de un punto a, si el limite por la izquierda coincide con el valor de la función en a.

31


32

Continua por la derecha Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la derecha de un punto a, si el limite por la derecha coincide con el valor de la función en a.

Ejemplos • 1. Sea la función

El punto

es una discontinuidad evitable. Esta función puede

hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga . Función del ejemplo 1,

: una

discontinuidad evitable.

• 2. Sea la función

El punto

es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 2, discontinuidad por salto.

: una


33

• 3. Sea la función

El punto

es una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese

bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha). • 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Función del ejemplo 3,

: una

discontinuidad esencial.

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no. Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1. • 5. Discontinuidad evitable. Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que: 1. 2. Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables. ejemplo: La función:

Presenta los siguientes límites por la izquierda y por la derecha:

pero la función para x= 2 no esta definida:

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

lo que es lo mismo:

simplificando:


esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2. • 6. Discontinuidad de primera especie

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

se produce un salto en los extremos. Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos con . • 7. Discontinuidad de segunda especie

34


35

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los límites laterales o ninguno. o Por ejemplo la función

. Ésta

tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

• 8. Discontinuidad asintótica

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

En la gráfica podemos ver la función:

Donde es un valor conocido, que presenta una asíntota vertical para

Enlaces externos • Descartes 2D: Discontinuidades [1] • Discontinuous [2] en PlanetMath • "Discontinuity" [3] by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007. • • • • • •

Weisstein, Eric W. «discontinuidad [4]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Clasificación de discontinuidades [5] Continuidad. Clasificación de discontinuidades [6] Tipos de discontinuidades [7] Funciones Continuas [8] Sucesiones y funciones divergentes [9]


Referencias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

http:/ / recursostic. educacion. es/ descartes/ web/ materiales_didacticos/ Continuidad_clasificacion_discontinuidades/ discontinuidades. htm http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=4447 http:/ / demonstrations. wolfram. com/ Discontinuity/ http:/ / mathworld. wolfram. com/ Discontinuity. html https:/ / www. itescam. edu. mx/ principal/ sylabus/ fpdb/ recursos/ r65416. PDF http:/ / roble. pntic. mec. es/ ~rsoto1/ descartes/ continuidad. htm http:/ / canek. uam. mx/ Calculo1/ Teoria/ Continuidad/ Tipos/ FETipos. pdf http:/ / www. ugr. es/ ~fjperez/ textos/ 04_continuidad_limite_funcional_show. pdf http:/ / www. ugr. es/ ~camilo/ calculo-ii-grado-en-matemat/ apuntes/ tema-2. pdf

Límite de una función El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Historia Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]

36


37

Definición formal Funciones de variable real Si la función

tiene límite

en

podemos decir de

manera informal que la función límite

cerca de

tiende hacia el

si se puede hacer que

tan cerca como queramos de

haciendo que

esté esté

suficientemente cerca de siendo distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo dominio de la función

existe un

tal que para todo número real x en el

.

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ. No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet

donde no existe un número c para el cual exista

definida como:

. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es

necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.


38

Límites laterales De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricos Existe otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos: Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε. En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x: si

, entonces

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente: 1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ). 2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c. 3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ). Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4] Supongamos que

, veamos que no puede ser que

también verifique la definición.

Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.


39

Propiedades de los límites Propiedades generales Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguiente propiedades: Límite de

Expresión

Una constante La función identidad El producto de una función y una constante Una suma Una resta Un producto Un cociente

Una potencia Un logaritmo El número e Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal

.

Indeterminaciones Véase también: Forma indeterminada.

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Operación

como el límite que tiende a infinito y

Indeterminación

Sustracción Multiplicación División Elevación a potencia

Ejemplo. 0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:


Regla de l'Hôpital Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital. • Por ejemplo:

Límites trigonométricos 1. 2. 3. 4. 5. Demostraciones Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

40


41

Referencias [1] [2] [3] [4]

MacTutor History of Bolzano (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Bolzano. html) Jeff Miller's history of math website. (http:/ / members. aol. com/ jeff570/ calculus. html) MacTutor History of Weierstrass. (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Weierstrass. html) Kolmogorov, Andrei (1978). «Espacios métricos y topológicos» (en español). Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 edición). Moscú: Mir.

Enlaces externos • Límites y continuidad de funciones (http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T09.pdf). • Weisstein, Eric W. « Limit (http://mathworld.wolfram.com/Limit.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Serie convergente En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Definición formal Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado). La serie de término general

converge cuando la sucesión

de sumas parciales converge, donde para

todo entero natural n, . En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales . La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

Ejemplos Resultan convergentes las series de las secuencias: • de los recíprocos de los enteros impares, con signos alternados como de Leibniz: ; • de los recíprocos de los números triangulares: ; • de los recíprocos de los sucesivos factoriales (n!): ;

, conocida

Serie convergente

42

• de los recíprocos de los sucesivos cuadrados perfectos (ver Problema de Basilea): ; • de los recíprocos de las potencias de 2: ; • de los recíprocos de las potencias de 2 con signos alternados: ; • de los recíprocos de los números de Fibonacci (ver Constante de los inversos de Fibonacci): ; • de los de recíprocos de los naturales con signos alternados

:

. Resultan divergentes las series de las secuencias: • de los de recíprocos de los naturales

:

(es la conocida como serie armónica); • de los recíprocos de los números primos (

): .

Convergencia absoluta Si

es une serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente

convergente si la serie de término general En este caso, la serie

es convergente.

converge.

Series numéricas En el caso de series numéricas, o a valores en un espacio de Banach, es suficiente con probar la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente, lo cual permite restringir el estudio a las series de términos positivos; para ello existen numerosos métodos, basados en el principio de comparación.

Serie convergente

43

Criterios de convergencia Series de reales positivos • Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Criterio de la razón): sea

una serie de términos

estrictamente positivos; si , entonces el Criterio de D'Alembert establece que si • Criterio de la raíz: si los términos , entonces

, la serie converge.

son estrictamente positivos y si existe una constante

tal que

es convergente.

• Criterio de Raabe: sea una serie

, tal que

(serie de términos positivos). Si existe el límite

, siendo entonces, si

la serie es convergente y si

la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es

recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert). • Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces

converge si y sólo si

es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

converge si y sólo si la integral

converge.

Otros métodos • Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy: . • Criterio de condensación de Cauchy: sea Entonces

una serie monótona de números positivos decrecientes.

converge si y sólo si la serie

• Criterio de Leibniz: una serie de la forma

converge. (con

) se llama serie alternada. Tal serie

converge si se cumplen las siguientes condiciones: a)

para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: Si esto se cumple, la serie

.

es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Serie convergente

44

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de

antes de aplicar este criterio, usando los

criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie

tal que se conozca su condición de convergencia o

no-convergencia.

Criterio de comparación directa (de la mayorante o de Gauss) Si • Si

converge

• Si

diverge

converge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente Sean

y

series de términos no negativos. Si existe , entonces:

• Si

y la serie

• Si

y

• Si

converge entonces diverge entonces entonces las series

converge. diverge.

y

comparten la misma condición (ambas convergen, o

bien ambas son divergentes).

Teorema de Abel Sea

une serie compleja donde

• La sucesión • Entonces

tales que:

es real, decreciente y tiende a 0.

tal que es convergente.

.

Serie convergente

45

Referencias • Weisstein, Eric W. «ConvergentSeries [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Apuntes (Universidad de Zaragoza). [2]

Enlaces externos Wikilibros •

Wikilibros alberga contenido sobre Series.

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ ConvergentSeries. html [2] http:/ / www. unizar. es/ analisis_matematico/ analisis1/ apuntes/ 08-series. pdf

Serie divergente En matemáticas, una serie divergente es una serie infinita que no converge. Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie armónica

La divergencia de la serie armónica fue demostrada en forma elegante por el matemático medieval Nicole Oresme. A veces es posible asignarle un valor a las series divergentes utilizando un método de sumación. Por ejemplo, la sumación de Cesàro le asigna a la serie divergente de Grandi el valor ½ .

Propiedades de los métodos de sumación Si A es una función que le asigna un valor a una sucesión, es conveniente que posea ciertas propiedades si es que se pretende que sea un método de sumación útil. 1. Regularidad. Un método es regular si, toda vez que la sucesión s converge a x, A(s) = x. 2. Linearidad. A es lineal si es funcionalmente lineal sobre sucesiones convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) y A(ks) = k.A(s), para k un escalar (real o complejo) 3. Estabilidad. Si s es una sucesión que comienza en s0 y s′ es la sucesión obtenida al truncar el primer valor, por lo que comienza en s1, entonces A(s) es definida si y solo si A(s′) es definida, y A(s) = A(s′ ). La tercer condición es menos importante, y existen algunos métodos destacados, por ejemplo el método de sumación de Borel, que no la satisfacen. Una propiedad deseable entre dos métodos de sumación A y B es que posean consistencia: A y B son consistentes si para toda sucesión s a la que ambos le asignan un valor, A(s) = B(s). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, se suele decir que aquel que suma más series es más potente. De todas formas es conveniente notar que existen métodos de sumación poderosos que sin embargo no son ni lineales ni regulares, por ejemplo transformaciones de sucesiones no-lineales como las transformaciones de sucesiones tipo Levin y las aproximaciones de Padé.

Serie divergente

Promedio abeliano Sea λn es una sucesión estrictamente creciente que tiende hacia ∞, y λ0 ≥ 0. Y sea an=sn+1-sn una serie infinita, cuya sucesión correspondiente es s. Y suponiendo que

converge para todos los números reales positivos x. Entonces el promedio abeliano Aλ se define como

Una serie de este tipo es llamada serie generalizada de Dirichlet; en el ámbito de la física, este método se lo conoce como regularización del heat-kernel. Los promedios abelianos son regulares, lineales, y estables, pero no siempre resultan ser consistentes entre sí. Sin embargo, existen algunos casos especiales de promedios abelianos que son métodos de sumación muy importantes.

Sumación de Abel Si λn = n, entonces se obtiene el método de Sumación de Abel. Donde

con z = exp(-x). Y por lo tanto el límite de f(x) cuando x tiende a 0 desde los reales positivos es el límite de la serie de potencias para f(z) cuando z tiende a 1 por abajo desde los reales positivos, y la suma de Abel A(s) se define como

La sumación de Abel en parte es interesante porque es consistente con la sumación de Cesàro aunque es más potente que esta; si Ck(s) = a para todo k positivo, entonces A(s) = a. Por lo tanto la suma de Abel es regular, lineal, estable, y consistente con la sumación de Cesàro.

Referencias • Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949. • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991. • Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.

46

Serie geométrica

47

Serie geométrica En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante. Por ejemplo la serie

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.

Razón común Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante. El comportamiento de los términos depende de la razón común r: • Si • Si

o

los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge. los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también

aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge. • Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge. • Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de divergencia (véase por ejemplo la serie de Grandi).

Suma La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

Ilustración de una suma autosimilar.

Formula Para

, la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

donde a es el primer término de la serie y r la razón común. Demostración

Serie geométrica

48

• Ejemplo: Dada la suma de la serie geométrica:

La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:

Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se obtiene: , por lo que

.

Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.

Convergencia La serie geométrica real de término inicial

no nulo y de razón

es convergente si y solamente si

. En tal caso, su suma vale:

Referencias • Weisstein, Eric W. « Geometric Series (http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • geometric series (http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1188) en PlanetMath

Enlaces externos Wikilibros • Wikilibros alberga contenido sobre Series. • Suma de la serie geométrica de razón 1/4. (http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/seriegeom/ seriegeom.html)


49

Progresión geométrica Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta. Así,

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque: 15 = 5 × 3 45 = 15 × 3 135 = 45 × 3 405 = 135 × 3

y así sucesivamente. Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo

el término en cuestión,

el primer término y

la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplos de progresiones geométricas • La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40. • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4. • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo. • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que en la definición.


50

Suma de términos de una progresión geométrica Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica: Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

Si se procede a restar de esta igualdad la primera: Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an _______________________________ Sn r - Sn = - a1 + an r o lo que es lo mismo, Sn ( r - 1 ) = an r - a1 Si se despeja Sn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión. Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece en cero, debemos utilizar la expresión:

pero primero debe dar un ejemplo


51

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad

, la suma de los infinitos términos decrecientes de

la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si

,

tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GeometricSeries. html

Criterio de d'Alembert El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma. Definiendo con a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos al límite para tendiendo a infinito de

se obtiene un número

• Si • Si • Si

, con los siguientes casos:

converge. diverge. , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de

otro modo.

Definición El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Jean le Rond d'Alembert.

Sea: Tal que: • •

(o sea una sucesión de terminos positivos) y tienda a cero cuando tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera: con Así obtenemos

tendiendo a infinito.

y se clasifica de la siguiente manera:

Criterio de d'Alembert • • •

52

la serie converge la serie diverge el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo Sea: Clasificar a) b)

tiende a cero conforme crece

(porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

y como

, la serie

converge.

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Ratio Test [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Ratio Test [2] en PlanetMath

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ RatioTest. html [2] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ RatioTest. html

Serie matemática

53

Serie matemática En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: . El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente. Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Definiciones Sumas Parciales Para cualquier secuencia

de números racionales, reales, complejos, sus funciones, etc., la serie asociada se

define como la suma formal ordenada:

.

La sucesión de sumas parciales la sucesión

desde

hasta

asociada a una sucesión

está definida para cada

como la suma de

: .

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia Por definición, la serie converge a

converge al límite

si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada

. Esta definición suele escribirse como .

Ejemplos • En una serie geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, r = 1/2:

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

Serie matemática

54

La serie armónica es divergente. • Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

• Una serie telescópica es la suma

, donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica es una serie de la forma: , con

=

.

Convergencia de series Véanse también: Serie convergente y Serie divergente.

Una serie ∑an se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie . Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Referencias • K.R. Stromberg, T.J. Bromwich; K. Knopp, A. Zygmund, N.K. Bari (2001), « Series (http://www. encyclopediaofmath.org/index.php?title=Series&oldid=13797)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104. • Weisstein, Eric W. « Series (http://mathworld.wolfram.com/Series.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • A history of the calculus (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus. html) (en inglés).

Serie matemática

Enlaces externos • Apuntes_UPM (http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_6_2_2.pdf)

Serie armónica (matemática) En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades Divergencia de la serie armónica La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales. Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternada La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcial Representación Si definimos el n-ésimo número armónico como:

entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

cuyo valor es log(n).

55

Serie armónica (matemática) Con más precisión, tenemos el límite:

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni. Se puede demostrar que: 1. El único Hn que es entero es H1. 2. La diferencia Hm - Hn donde m>n nunca es entera. Entre las representaciones para Hn, en las que n puede ser un número fraccionario o negativo(no entero) están:

dada[1] por Leonhard Euler. Y también

donde Ψ(n+1) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Conexión con la hipótesis de Riemann Jeffrey Lagarias demostró en 2001 que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación: donde σ(n) es la suma de los divisores positivos de n.[2]

Serie armónica generalizada Las series armónicas generalizadas se definen de la siguiente forma:

Como principal propiedad tenemos que todas estas series son divergentes.

p-series La p-serie es (cualquiera de) las series

para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 y divergente en otro caso. Cuando p = 1, la serie es la serie armónica. Si p > 1, entonces la suma de la serie es ζ(p), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p. Esto se puede utilizar para comprobar la convergencia de series.

56

Serie armónica (matemática)

Temas relacionados • Media armónica • Número armónico

Notas [1] Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum [2] (Véase, en inglés, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volumen 109 (2002), páginas 534--543.)

Referencias • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, pp. 91-105 Reprinted In Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 25 - 41 • Many proofs of divergence of harmonic series : " The Harmonic Series Diverges Again and Again (http:// faculty.prairiestate.edu/skifowit/htdocs/harmapa.pdf)", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31-43. (en inglés) • An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), pages 534--543.

Enlaces externos • Leonhard Euler, De summatione innumerabilium progressionum E020 (en latín) (http://math.dartmouth.edu/ ~euler/docs/originals/E020.pdf) • Harmonic Series at mathworld.wolfram.com (en inglés) (http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries. html) • Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (en inglés) (http://arxiv.org/ abs/math.NT/0008177/) • Prueba corta de la divergencia de la serie armónica (http://www.rinconmatematico.com/series/seriearmonica. pdf) (http://www.rinconmatematico.com/series/seriearmonica.htm)

57

Serie alternada

58

Serie alternada En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo

con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.

Condiciones de convergencia Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica

diverge, mientras que su versión alternada

converge al logaritmo natural de 2. Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión decreciente y tiende a cero, entonces la serie

es monótona

converge. Se puede utilizar la suma parcial

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si el error en esta aproximación resulta ser menor que .

es monótona decreciente y tiende a cero, entonces

Convergencia condicional Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real

converge condicionalmente, entonces para todo número real

existe un reordenamiento

de la serie tal que

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):

Serie alternada

59

Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.

Algoritmo voraz Un algoritmo voraz (también conocido como ávido, devorador o goloso) es aquel que, para resolver un determinado problema, sigue una heurística consistente en elegir la opción óptima en cada paso local con la esperanza de llegar a una solución general óptima. Este esquema algorítmico es el que menos dificultades plantea a la hora de diseñar y comprobar su funcionamiento. Normalmente se aplica a los problemas de optimización.

Esquema Dado un conjunto finito de entradas

, un algoritmo voraz devuelve un conjunto

(seleccionados) tal que

y que además cumple con las restricciones del problema inicial. Cada conjunto

que satisfaga las

restricciones se le suele denominar prometedor, y si este además logra que la función objetivo se minimice o maximice (según corresponda) diremos que es una solución óptima.

Elementos de los que consta la técnica • El conjunto de candidatos, entradas del problema. • Función solución. Comprueba, en cada paso, si el subconjunto actual de candidatos elegidos forma una solución (no importa si es óptima o no lo es). • Función de selección. Informa de cuál es el elemento más prometedor para completar la solución. Éste no puede haber sido escogido con anterioridad. Cada elemento es considerado una sola vez. Luego, puede ser rechazado o aceptado y pertenecerá a . • Función de factibilidad. Informa si a partir de un conjunto se puede llegar a una solución. Lo aplicaremos al conjunto de seleccionados unido con el elemento más prometedor. • Función objetivo. Es aquella que queremos maximizar o minimizar, el núcleo del problema.

Funcionamiento El algoritmo escoge en cada paso al mejor elemento Se elimina ese elemento del conjunto de candidatos (

posible, conocido como el elemento más prometedor. ) y, acto seguido, comprueba si la inclusión

de este elemento en el conjunto de elementos seleccionados ( ) produce una solución factible. En caso de que así sea, se incluye ese elemento en . Si la inclusión no fuera factible, se descarta el elemento. Iteramos el bucle, comprobando si el conjunto de seleccionados es una solución y, si no es así, pasando al siguiente elemento del conjunto de candidatos.

Algoritmo voraz

Ejemplos de algoritmos voraces • • • •

Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Prim Algoritmo de Dijkstra Algoritmo para la ubicación óptima

Temas relacionados • Algoritmo • Algoritmo heurístico

Referencias • Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Algoritmos voraces». Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X.

Enlaces externos Wikilibros •

Wikilibros alberga un libro o manual sobre Algoritmia/Algoritmos voraces.

En inglés: • Definición del NIST [1]

Referencias [1] http:/ / www. nist. gov/ dads/ HTML/ greedyalgo. html

60


61

Serie hipergeométrica En matemáticas, una serie hipergeométrica es una serie de potencias donde el k-ésimo coeficiente de la serie es una función racional de k. Si la serie converge, define una función hipergeométrica cuyo dominio es algún subconjunto de los números complejos. Generalmente, estas funciones hipergeométricas se representan mediante la notación F (a ,a ,... ;b1, b2,...;z). El primer caso estudiado corresponde a la serie hipergeométrica ordinaria o gaussiana p q 1 2 F (a,b;c;z), que fue estudiada sistemáticamente por Carl Friedrich Gauss, aunque anteriormente, Leonhard Euler ya 2 1 había estudiado este tipo de estructura.(1)

Definición De la manera más general, se formulan de la siguiente manera:

donde

es el símbolo de Pochhammer.

Convergencia Hay ciertos valores de aj y bk para los cuales el numerador o el denominador de los coeficientes es 0. • Si algún aj es un entero negativo (0, −1, −2, etc.) entonces la serie solo tiene un número finito de término, y es, de hecho un polinomio de grado -aj. • Si algún bk es un entero negativo (exceptuando el caso previo con -bk < aj) entonces los denominadores se hacen 0 y la serie es indefinida. Excluyendo estos casos, el Criterio de d'Alembert puede ser aplicado y determina el radio de convergencia. • Si p=q+1 entonces el ratio de los coeficientes se aproxima a 1. Esto implica que el radio de convergencia es 1. • Si p≤q entonces el ratio de los coeficientes se aproxima a 0. Esto implica que el radio de convergencia es infinito. • Si p>q+1 entonces el ratio de los coeficientes tiende a infinito. Esto implica que el radio de convergencia es 0 y la serie no define una función analítica. La cuestión de convergencia para p=q+1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Está demostrado que las serie convergen absolutamente en z=1 si .

Aplicaciones Las funciones hipergeométricas forman una vasta familia de funciones que incluye entre otras a las funciones de Bessel, la función Gamma incompleta, la función error, integrales elípticas y polinomios ortogonales. El que esto sea así, se debe a que las funciones hipergeométricas son soluciones de una clase muy general de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: las ecuaciones diferenciales hipergeométricas.

Referencias • Gauss, Carl Friedrich (1813). « Disquisitiones generales circa seriam infinitam (http://books.google.com/books?id=uDMAAAAAQAAJ)» (en Latín). Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (Göttingen) 2. (El manuscrito


62

original de Gauss puede ser encontrado en Carl Friedrich Gauss Werke (http://books.google.com/ books?id=uDMAAAAAQAAJ), p. 125)

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. « Generalized Hypergeometric Function (http://mathworld.wolfram.com/ GeneralizedHypergeometricFunction.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Weisstein, Eric W. « Hypergeometric Function (http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Weisstein, Eric W. « Confluent Hypergeometric Function of the First Kind (http://mathworld.wolfram.com/ ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Weisstein, Eric W. « Confluent Hypergeometric Limit Function (http://mathworld.wolfram.com/ ConfluentHypergeometricLimitFunction.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Función de Bessel En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel: (1) donde es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación. Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Aunque

y

dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para

estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

Aplicaciones La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( ) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero ( ), por ejemplo: • • • • •

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas. Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas. Conducción del calor en objetos cilíndricos. Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo). Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.

Función de Bessel

63

Funciones de Bessel ordinarias Las funciones de Bessel ordinarias de orden , llamadas simplemente funciones de Bessel de orden son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro , que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

Funciones de Bessel de primera especie: Las funciones de Bessel de primera especie y orden son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen ( ) para enteros no negativos y divergen en el límite para negativo no entero. El tipo de solución y la normalización de posible definir la función

están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Es

por su expansión en serie de Taylor en torno a

:[1]

es la función Gamma de Euler, una generalización del factorial para números complejos. Estas funciones cumplen que: • Si

, entonces

y

son linealmente independientes, y por tanto una solución general de la

ecuación de Bessel puede expresarse como una combinación lineal de ellas. • Si , entonces se cumple:[2]

por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie. Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a (como nos lo mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x. Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Integrales de Bessel Para valores enteros de

, se tiene la siguiente representación integral:

Que también se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definicion dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:

Función de Bessel

64

También se tiene, para

Relación con las series hipergeométricas Las funciones de Bessel son un caso especial de función hipergeométrica

Esta fórmula está relacionada con la expansión de las funciones de Bessel en función de la función de Bessel–Clifford. Relación con los polinomios de Laguerre Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre

para cualquier parámetro

[3]

arbitrario como

Funciones de Bessel de segunda especie: Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por

, son soluciones de la ecuación diferencial de

Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0).

Funciones de Bessel de segunda especie, Yα(x), para órdenes α=0,1,2.

A estas funciones . Para

también se les llama a veces funciones de Neumann o de Weber, y a veces se denotan por

; no enteros, se definen a partir de las funciones de primera especie

mediante la siguiente

fórmula:

En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el siguiente límite sólo válido para α enteros:

Función de Bessel

65

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos α no enteros, la definición de definición de arriba). Por otro lado, cuando α es entero,

es redundante (como queda claro por su

es la segunda solucción linealmente independiente

de la ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que: Ambas

y

son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado por el eje real negativo.

Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.

Funciones de Hankel: Hα(1), Hα(2) Otra formulación importante de las dos solucciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel y así definidas:[4]

donde i es la unidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son también conocidas como las funciones de Bessel de tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda especie son usadas para representar las solucciones de ondas entrantes y salientes de una ecuación de ondas en simetrías cilíndricas respectivamente (o viceversa dependiendo de la convección de signo de la frecuencia). Estas funciones son así nombradas en honor de Hermann Hankel. Usando la definición dada arriba, estas funciones se pueden escribir en función de las funciones de Bessel de primer orden así:

Si α es un entero, se tiene que calcular de las expresiones de arriba así:

La siguiente relación es válida para todo valor de α, sea entero o no:[5]

Existe una representación integral de las funciones de Hankel (útil para el cálculo de propagadores de la ecuación de Klein-Gordon):[6]

Función de Bessel

66

Solución general de la ecuación de Bessel La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:

(2)

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones de Bessel modificadas: Iα, Kα Las funciones de Bessel ordinarias son válidas para valores complejos del argumento x, y un caso especialmente importante es aquel con argumento imaginario puro. En este caso, la ecuación de Bessel se transforma en la ecuación de Bessel modificada[7] (3) y sus dos soluciones linealmente independientes son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo: Iα(x) y Kα(x) respectivamente.[8]

Funciones de Bessel modificadas de primera especie: Las funciones de Bessel modificadas de primera especie y orden

vienen dadas por:

Están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias mediante la siguiente igualdad: . • Si

entonces

la ecuación de Bessel. • Si entonces Casos particulares:

y

son linealmente independientes, y por tanto dan una solución general de no está definida en x = 0.

Función de Bessel

67

Funciones de Bessel modificadas de segunda especie: Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie y orden se definen a partir de las funciones modificadas de primera especie para órdenes no enteros mediante las siguiente fórmula:

Para los casos en los que

sea entero (

), tenemos que tomar el límite del orden no entero al entero

así:

Además se puede escribir esta función a partir de la función de Hankel de primera especie así:

Existen varias representaciones integrales de estas funciones. La siguiente de Kα (x) es útil para el cálculo del propagador de Feynman en Teoría Cuántica de Campos:

Las funciones de Bessel modificadas de segunda especie han sido también llamadas: • • • •

Funciones de Basset Funciones de Bessel modificadas de tercera especie Funciones de MacDonald Funciones de Hankel modificadas[9]

Al contrario que las funciones de Bessel ordinarias, Jα and Yα, las cuales son funciones oscilatorias para argumentos reales, las funciones de Bessel modificadas, Iα and Kα, son exponencialmente creciente y decreciente respectivamente. Como la función de Bessel ordinaria Jα, la función Iα va a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0. Análogamente, Kα diverge en x = 0.

Función de Bessel modificada de primera especie, Iα(x), para α=0,1,2,3.

Función de Bessel modificada de segunda especie, Kα(x), para α=0,1,2,3.

Función de Bessel

68

Solución general de la ecuación de Bessel modificada La solución general de la ecuación diferencial de Bessel modificada con parámetro

viene dada por:

(4)

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.

Funciones esféricas de Bessel: Cuando se solucciona la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma:

Donde n es un entero positivo. Las dos solucciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel y , y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias y por:[10]

Funciones esféricas de Bessel de primer orden, jn(x), para n=0,1,2.

se escribe también como

o

.A

esta función a veces se le llama función esférica de Neumann. Las funciones esféricas de Bessel se pueden obtener a partir de las siguientes fórmulas:

La función de Bessel esférica

es la

Función sinc desnormalizada. Para n = 0,1 y 2 tenemos:[11]

Funciones esféricas de Bessel de segundo orden, yn(x), para n=0,1,2.

[12]

Función de Bessel

69

La fórmula general es:

Funciones de Hankel esféricas: h n Las funciones esféricas de Hankel se definen de forma análoga a las no esféricas:

De hecho, esto nos dice que existen expresiones cerradas de las funciones de Bessel de orden semientero en término de funciones trigonométricas y, por tanto, también de las funciones esféricas de Bessel. De esto se deduce que, para n entero no negativo se tiene:

y

es la función compleja conjugada de esta (para

cerradas

de

las

funciones

esféricas

de

Bessel

real). De esta fórmula se pueden deducir las formas ordinarias,

por

ejemplo,

, y así para cualquier argumento n.

Funciones esféricas de Bessel modificadas: También existen análogos esféricos de las funciones de Bessel modificadas: .

se pueden escribir de forma cerrada, usando la fórmula de

dada arriba como:

Función generatriz Se pueden obtener las funciones de Bessel esféricas a partir de las siguientes funciones generatrices:[13]

y

Función de Bessel

70

Relaciones diferenciales La siguiente relación diferencial se cumple para

Funciones de Riccati-Bessel: Las funciones de Riccati-Bessel son una pequeña modificación de las funciones de Bessel esféricas:

Estas funciones satisfacen la siguiente ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial y sus soluciones, las ecuaciones de Riccati-Bessel, se usan para resolver el problema de scattering de ondas electromagnéticas por una esfera, problema conocido como scattering de Mie tras la publicación por vez primera de estos resultados por Mie en 1908. Véase por ejemplo, Du (2004).[14] Según Debye (1909) se usa a veces la notación

en vez de

.

Expansiones asintóticas Las funciones de Bessel tienen las siguientes expansiones asintóticas para α no negativos. Para pequeño argumento , se tiene:[15]

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y

es la función Gamma de Euler. Como aproximación asintótica

al infinito, (cuando tenemos un argumento tal que verifica

), se obtienen las siguientes

[15]

aproximaciones:

Para α=1/2 estas fórmulas son exactas. Las expansiones asintóticas del resto de funciones de Bessel se obtienen a partir de las mostradas arriba y de sus relaciones con las funciones de Bessel de primera especie. Así, las aproximaciones asintóticas al infinito de las funciones de Bessel modificadas (es decir, para argumentos x que verifiquen ) se tiene:

Función de Bessel

71

Mientras que el límite de muy bajo argumento,

, se obtiene:

Propiedades Para enteros de orden α = n,

se puede definir a partir de la serie de Laurent de la siguiente función

generatriz:

aproximación tomada por P. A. Hansen en 1843. Esta expresión puede generalizarse a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros métodos. Otra expresión importante para órdenes enteros es la identidad de Jacobi-Anger:

identidad que es usada para expandir ondas planas en una serie infinita de ondas cilíndricas o para encontrar la serie de Fourier de un tono de una señal de FM. Más generalmente, una función ƒ se puede expandir en una serie de la forma

que se denomina expansión de Neumann de ƒ. Los coeficientes de esta serie en el caso forma explícita

donde

son los polinomios de Neumann.[16]

Existen funciones que admiten la siguiente representación especial

con

debido a la relación de ortogonalidad

Más generalmente, si f tiene un punto de ramificación donde entonces

tienen la siguiente

Función de Bessel

72

o

es la transformada de Laplace de ƒ.[17]

donde

Otra manera de definir las funciones de Bessel son la representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:

donde ν > −1/2 y z es un número complejo.[18] Esta fórmula es especialmente útil cuando se trabaja con transformadas de Fourier. Las funciones

,

,

y

cumplen las siguientes relaciones de recurrencia:

Donde Z denota J, Y, H(1), o H(2). Estas dos identidades se suelen combinar para obtener otras relaciones distintas. Por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de mayores órdenes (o mayores derivadas) a partir de funciones de Bessel de menor orden o de derivadas de menor orden. En particular, se cumple:

Las funciones modificadas de Bessel cumplen relaciones similares:

Las relaciones de recurrencia serán en este caso:

donde

denotará a

oa

. Estas relaciones son útiles para problemas de difusión discreta.

La división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación hermítica o auto-adjunta, por lo que sus solucciones deben cumplir determinadas relaciones de ortogonalidad para unas condiciones de contorno adecuadas. En particular, se cumple:

donde

,

es la delta de Kronecker, y

es el m-ésimo cero de

. Esta relación de

ortogonalidad puede ser usada para extraer coeficientes de las series de Fourier-Bessel, donde una función se expande en una base de funciones de Bessel para α fijo y m variable. (Obtener una relación análoga

Función de Bessel

73

para funciones de Bessel esféricas es trivial.) Se puede obtener de forma inmediata una relación análoga para funciones de Bessel esféricas:

Otra relación de ortogonalidad es la ecuación de cierre:

para

y siendo

la función delta de Dirac. Esta propiedad se usa para construir expansiones de

funciones arbitrarias como series de funciones de Bessel mediante la transformada de Hankel. Para funciones de Bessel esféricas, la relación de cierre es:

para

. Otra propiedad importante de la ecuación de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel, es el

Wronskiano de las soluciones:

donde

y

son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de Bessel y

es una constante

independiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel consideradas). Por ejemplo, se cumple:

Existe un gran número de integrales e identidades que involucran a funciones de Bessel que no están aquí reproducidas, pero que se pueden encontrar en las referencias.

Teorema del Producto Las funciones de Bessel verifican un teorema del producto

donde

y

son números complejos cualesquiera. Una fórmula similar se cumple para

y el resto de

[19] [20]

funciones de Bessel

Hipótesis de Bourget Bessel demostró que, para n no negativos, la ecuación tiene un número infinito de soluciones en x.[21] Cuando las funciones ninguno de los diferentes ceros de cada función

se representan en la misma gráfica,

parece coincidir, excepto el cero situado en

. Este

fenómeno se conoce como Hipótesis de Bourget, en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. La hipótesis dice que, para cualesquiera enteros

and

ceros comunes, a excepción del cero en el origen

. Esta hipótesis fue demostrada por Siegel en 1929.[22]

, las funciones

y

no tienen

Función de Bessel

74

Derivadas de Jα, Yα, Iα, Hα, Kα

Las siguientes fórmulas pueden encontrarse en.[23]

Derivada bajando el índice p a p − 1 Para

Mientras que para

, se tiene

Derivada subiendo el índice p a p + 1 dependency Para

Mientras que para

, se tiene

Otras relaciones importantes Para

Identidades Seleccionadas • • •

• • • • •

, se cumplen las siguientes relaciones:

Función de Bessel

Referencias Notas [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_360. htm). Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm). Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975. Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm). Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_358. htm). Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_360. htm). Abramowitz and Stegun, p. 374, 9.6.1 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_374. htm). Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_375. htm). Referred to as such in: Teichroew, D. The Mixture of Normal Distributions with Different Variances, The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 28, No. 2 (Jun., 1957), pp. 510–512 [10] Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_437. htm). [11] Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11, 10.1.12 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_438. htm); [12] Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_438. htm). [13] Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_439. htm). [14] Hong Du, "Mie-scattering calculation," Applied Optics 43 (9), 1951–1956 (2004) [15] Arfken & Weber. [16] Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_363. htm) ff. [17] E. T. Whittaker, G. N. Watson, A course in modern Analysis p. 536 (http:/ / books. google. com/ books?id=Mlk3FrNoEVoC& lpg=PA522& ots=SOShEJmay6& dq=bessel neumann series& hl=de& pg=PA536#v=onepage& q=bessel neumann series& f=false) [18] I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Equation 8.411.10 [19] Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.74 (http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_363. htm). [20] C. Truesdell, " On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions (http:/ / www. pnas. org/ cgi/ reprint/ 36/ 12/ 752. pdf)", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp.752–757. [21] F. Bessel, Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, Berlin Abhandlungen (1824), article 14. [22] Watson, pp. 484–5 [23] "Advanced Calculus for Engineers", F. B. Hildebrand, 6th printing, pp. 163–164 (1956)

Bibliografía • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 9" (http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/ page_355.htm), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 355, MR 0167642 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0167642), ISBN 978-0486612720, See also chapter 10 (http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_435.htm). • Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0. • Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6. • Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11. • Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4. • G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377. • Olver, F. W. J.; Maximon, L. C. (2010), "Bessel function" (http://dlmf.nist.gov/10), in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 • B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions. • Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.

75

Función de Bessel

Enlaces externos • Lizorkin, P.I. (2001), « Bessel functions (http://www.encyclopediaofmath.org/index. php?title=Bessel_functions&oldid=14104)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 • Karmazina, L.N.; Prudnikov, A.P. (2001), « Cylinder function (http://www.encyclopediaofmath.org/index. php?title=Cylinder_functions&oldid=12530)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 • Rozov, =N.Kh. (2001), « Bessel equation (http://www.encyclopediaofmath.org/index. php?title=Bessel_equation&oldid=14419)», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 • Wolfram function pages on Bessel J (http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/) and Y (http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselY/) functions, and modified Bessel I (http:// functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselI/) and K (http://functions.wolfram.com/ Bessel-TypeFunctions/BesselK/) functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators. • Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind (http://mathworld.wolfram.com/ BesselFunctionoftheFirstKind.html)

Símbolo de Pochhammer Sean z un número complejo y n un número entero, el símbolo de Pochhammer[1] está definido por

Si z y z+n no son enteros negativos, entonces

donde

es la función gamma.

Los símbolos de Pochhammer aparecen en la expansión en series de funciones especiales.

Propiedades Algunas de las propiedades de los símbolos de Pochhammer son las siguientes:

76

Símbolo de Pochhammer

Aplicaciones Como se mencionó más arriba, los símbolos de Pochhammer se usan en la expansión en series de potencia de funciones. He aquí un par de ejemplos: 1. El teorema del binomio de Newton puede expresarse:

2. La función hipergeométrica confluyente se puede expresar como:

Notas y referencias [1] Introducido por Leo August Pochhammer

___ Seaborn, James B. (1991). Hypergeometric Functions and their applications. New York: Springer Verlag. 0-387-97558-6.

Función gamma En matemáticas, la función Gamma (denotada como ) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero. Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta Función Gamma en el eje real. función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n. La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

77

Función gamma

78

Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo.

Definición tradicional Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integral

converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:

Esta ecuación funcional generaliza la relación factorial. Se puede evaluar

del

analíticamente:

Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la función Gamma:

La función gamma en el plano complejo.

para los números naturales n. La función Gamma es una función meromorfa de y residuos

con polos simples en

.[1] Estas propiedades pueden ser usadas para extender

desde su

definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Definiciones alternativas Las siguientes definiciones de la función Gamma mediante productos infinitos, debidas a Euler y Weierstrass respectivamente, son válidas para todo complejo z que no sea un entero negativo:

donde

es la constante de Euler-Mascheroni.

Función gamma

79

Es sencillo mostrar que la definición de Euler satisface la ecuación funcional dada arriba como sigue. Dado

También puede obtenerle la siguiente representación integral:

Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes Obtener

es sencillo:

Ahora obtendremos una expresión para

como una función de

:

Usamos integración por partes para resolver la integral

En el límite inferior se obtiene directamente

.

En el infinito, usando la regla de L'Hôpital: . Por lo que se anula el primer término,

La parte derecha de la ecuación es exactamente . Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

, lo que nos da el siguiente resultado:

, con lo que hemos obtenido una relación de recurrencia:

Función gamma

80

Propiedades De la representación integral se obtiene: . Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler

y la fórmula de duplicación

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma , que puede obtenerse a partir de la definición mediante productos infinitos de Euler es:

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es

La cual puede obtenerse haciendo

en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la

relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con

o haciendo la sustitución

en la definición integral de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores impares de n se tiene: (n impar) donde n!! denota al doble factorial. Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por ejemplo:

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivada n-ésima es:

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en

para todo número natural y el cero. El residuo en cada

polo es:

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, sólo la función Gamma es logaritmo convexa (o log-convexa), esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una función convexa. El desarrollo en Serie de Laurent de

para valores 0 < z < 1 es:

Función gamma

Donde

81

es la función zeta de Riemann.

Función Pi Gauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, que en términos de la función Gamma es:

Así, la relación de esta función Pi con el factorial es bastante más natural que en el caso de la función Gamma:

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

Donde sinc es la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación se escribe así:

A veces se encuentra la siguiente definición

donde

es una función entera, definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es que

la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Relación con otras funciones • En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior e inferior se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.

• La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula

• La derivada logarítmica de la función Gamma es la función digamma son las funciones poligamma

. Las derivadas de mayor orden

.

• El análogo de la función Gamma sobre un cuerpo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial. • La función gamma inversa es la inversa de la función gamma, que es una función entera.

Función gamma

82

• La función Gamma aparece en la definición integral de la función zeta de Riemann

Fórmula válida sólo si

. También aparece en la ecuación funcional de

:

:

Valores de la función Gamma Artículo principal: Valores de la función Gamma

Aproximaciones La función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitrariamente pequeña usando la fórmula de Stirling o la aproximación de Lanczos. Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función Gamma). Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la función gamma Cálculo fraccionario La n-ésima derivada de

como

(donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

entonces

donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de

donde n puede ser cualquier número

, de

e inclusive de una constante

:

Función gamma

Referencias [1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959) • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. En formatos PostScript (http:// numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.ps) y HTML (http://numbers. computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html). • Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers (http:// www.informatik.tu-darmstadt.de/TI/Mitarbeiter/papanik/ps/TI-97-7.dvi). Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997 • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003 • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Enlaces externos •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Función gamma. Commons

Sitios web • Ejemplos de problemas que involucran a la Función Gamma en Exampleproblems.com (http://www. exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Special_Functions) (en inglés). • Cephes (http://www.moshier.net/#Cephes) - Librería de funciones especiales matemáticas de C y C++ (en inglés). • Fast Factorial Functions (http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm) - Varios algoritmos. • Approximation Formulas (http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html) Aproximaciones. • Evaluador de la función Gamma de Wolfram con precisión arbitraria (http://functions.wolfram.com/ webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma). • Volume of n-Spheres and the Gamma Function (http://www.mathpages.com/home/kmath163.htm) en MathPages (en inglés). • Herramienta online para obtener gráficas de funciones que contiene a la función Gamma (http://sporkforge.com/ math/fcn_graph_eval.php).

83

Función gamma

84

Lecturas adicionales • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) (http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/ page_253.htm) • G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.) • Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.) • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)

Factorial 0

1

1

1

2

2

3

6

4

24

5

120

6

720

7

5.040

8

40.320

9

362.880

10

3.628.800

15

1.307.674.368.000

20

2.432.902.008.176.640.000

25

15.511.210.043.330.985.984.000.000

50

30.414.093.201.713.378.043 × 1045

70

1,19785717... × 10100

450

1,73336873... × 101.000

3.249

6,41233768... × 1010.000

25.206

1,205703438... × 10100.000

100.000 2,8242294079... × 10456.573

El factorial Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también como

Factorial

85

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803. La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático

Cero factorial La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos. Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como 0!=1. Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue: • Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad: , válida para todo número mayor o igual que 1. Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque 4!=

,

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que 3!=

.

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1 tendríamos que 0! corresponde a

Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Factorial

86

Aplicaciones Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

donde

representa un coeficiente binomial:

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números. Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n. El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

Productos similares Primorial El primorial (sucesión A002110 [1] en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.

Doble factorial Se define el doble factorial de n como:

Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 [2] en OEIS) para empieza así: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ... La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para

El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233 Algunas identidades de los dobles factoriales: 1. 2.

:

Factorial

3. 4. 5. 6.

Implementación en lenguajes de programación La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativo, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

Enlaces externos • Algoritmos interesantes [3](en inglés) • http://factorielle.free.fr • Calculadora de factoriales [4] - Hasta 200.000!


http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis%3Aa002110 http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis%3Aa006882 http:/ / www. luschny. de/ math/ factorial/ FastFactorialFunctions. htm http:/ / nitrxgen. net/ factorialcalc. php

87

Combinatoria

88

Combinatoria La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.

Áreas de la combinatoria No existe una clasificación tajante de lo que constituye una subárea, sino que todas comparten cierto grado de traslape entre sí, al igual que con otras ramas de la matemática discreta. Diferentes autores proponen varias divisiones de la combinatoria por lo que cualquier listado es meramente indicativo. Por ejemplo, algunos autores consideran la teoría de gráficas como una subárea de la combinatoria, mientras que otros la consideran un área independiente. Entre las subdivisiones más comunes se encuentran las siguientes.

Combinatoria enumerativa La combinatoria enumerativa o enumeración estudia los métodos para contar (enumerar) las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados. Esta fue una de las primeras áreas de la combinatoria en ser desarrollada, y como otras áreas más recientes se estudian sólo en cursos especializados, es común que se haga referencia a esta subárea cuando se menciona combinatoria en entornos escolares. Ejemplo. Considérese el conjunto

. Podemos imaginar que estos elementos corresponden a tarjetas

dentro de un sombrero. • Un primer problema podría consistir en hallar el número de formas diferentes en que podemos sacar las tarjetas una después de otra (es decir, el número de permutaciones del conjunto). Por ejemplo, dos formas distintas podrían ser: EIAOU o OUAIE. • Después, se puede preguntar por el número de formas en que se puede sacar sólo 3 tarjetas del sombrero (es decir, el número de 3-permutaciones del conjunto). En este caso, ejemplos pueden ser IOU, AEI o EAI. • También se puede preguntar sobre cuáles son los posibles grupos de 3 tarjetas que se pueden extraer, sin dar consideración al orden en que salen (en otras palabras, el valor de un coeficiente binomial). Aquí, consideraríamos AOU y UAO como un mismo resultado. • Otro problema consiste en hallar el número de formas en que pueden salir 5 tarjetas, una tras otra, pero en cada momento se regresa la tarjeta escogida al sombrero. En este problema los resultados posibles podrían ser EIOUO, IAOEU o IEAEE. La combinatoria enumerativa estudia las técnicas y métodos que permiten resolver problemas anteriores, así como otros más complejos, cuando el número de elementos del conjunto es arbitrario. De esta forma, en el primer ejemplo la generalización correspondiente es determinar el número de formas en que se pueden ordenar todos los elementos de un conjunto con n elementos, siendo la respuesta el factorial de n.

Combinatoria

89

Combinatoria extremal El enfoque aquí es determinar qué tan grande o pequeña debe ser una colección de objetos para que satisfaga una condición previamente establecida; Ejemplo. Considérese un conjunto S. con n elementos. A continuación se empieza a hacer un listado de subconjuntos de tal manera que cualquier pareja de subconjuntos del listado tenga algún elemento en común. Para clarificar, sea

y un posible listado de subconjuntos podría ser

Conforme aumenta el listado (y dado que hay una cantidad finita de opciones), el proceso se hace cada vez más complicado. Por ejemplo, no podríamos añadir el conjunto {A, D} al listado pues aunque tiene elementos en común con los últimos 3 subconjuntos del listado, no comparte ningún elemento con el primero. La pregunta sobre qué tan grande puede hacerse el listado de forma que cualquier pareja de subconjuntos tenga un elemento en común es un ejemplo de problema de combinatoria extremal (o combinatoria extrema). La respuesta a este problema es que si el conjunto original tiene n elementos, entonces el listado puede tener como máximo subconjuntos.

Referencias • Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2, R.L. Graham, M. Groetschel and L. Lovász (Eds.), MIT Press, 1996. ISBN 0-262-07169-X • Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2 [1], Richard P. Stanley, Cambridge University Press, 1997 and 1999, ISBN 0-521-55309-1N


Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Combinatoria. Commons

• Combinatoria. Actividades [2] • Combinatoria. Técnicas de recuento [3]

Referencias [1] http:/ / www-math. mit. edu/ ~rstan/ ec/ [2] http:/ / www. ematematicas. net/ combinafactorial. php [3] http:/ / www. juntadeandalucia. es/ averroes/ html/ adjuntos/ 2007/ 10/ 02/ 0013/ index. html

Teoría de Ramsey

90

Teoría de Ramsey La teoría de Ramsey, llamada así por Frank P. Ramsey, es un campo de las matemáticas que estudia las condiciones bajo las cuales el orden debe aparecer. Los problemas de la teoría de Ramsey son típicamente de la forma: ¿Cuántos elementos debe contener una estructura para garantizar la existencia de una propiedad particular? El desorden completo es imposible Theodore S. Motzkin[1]

Ejemplos Supongamos que n palomas han sido Según la teoría de Ramsey, del total de estrellas del cielo nocturno, siempre podemos seleccionar un subconjunto de ellas para dibujar diferentes objetos como: alojadas en m nidos. ¿Qué tamaño ha de un triángulo, un cuadrilátero, un paraguas o un pulpo. tener n, con respecto a m, para que se pueda garantizar que al menos, un nido contenga dos palomas?. La respuesta esta dada por el Principio del palomar: si n> m, entonces, por lo menos, un nido tendrá dos palomas. La teoría de Ramsey generaliza este resultado, como se explica a continuación. Un resultado típico de la teoría de Ramsey se inicia con alguna estructura matemática que se corta en trozos. ¿Qué tamaño ha de tener la estructura original con el fin de garantizar que al menos una de las piezas tenga una propiedad interesante dada? Por ejemplo, consideremos un grafo completo de orden n, es decir, hay n vértices y cada vértice está conectado a todos los otros vértices por medio de una arista. Un grafo completo de orden 3 se llama triángulo. Ahora bien, cada arista puede tener uno de los siguientes colores: rojo o azul. ¿Qué tan grande debe ser n con el fin de garantizar que exista un triángulo azul o un triángulo rojo?. Resulta que la respuesta es 6. Véase el artículo sobre el teorema de Ramsey para una prueba rigurosa. Otra manera de expresar este resultado es el siguiente: en cualquier actividad con al menos seis personas, hay tres personas que son mutuamente conocidas o mutuamente desconocidas. Véase el teorema de la amistad. Este es un caso especial del teorema de Ramsey, que dice que para cualquier entero dado c, y dado los enteros n1,...,nc, existe el número: R(n1,...,nc), llamado número de Ramsey, tal que si las aristas de un grafo completo de orden R(n1,...,nc) se colorean con c colores distintos, entonces para algún i entre 1 y c, debe contener un subgrafo completo de orden ni cuyas aristas están todas coloreadas con el color i. El caso especial de arriba tiene c = 2 y n1 = n2 = 3. Para dos colores y valores de r y s a lo sumo 10 se conocen los siguientes valores exactos y cotas:

Teoría de Ramsey

91

r,s 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

1 3

6

9

14

18

23

28

36

40–43

4

1 4

9

18

25

36–41

49–61

56–84

73–115

92–149

5

1 5

14

25

43–49

58–87

80–143

101–216

126–316

144–442

6

1 6

18

36–41

58–87

102–165

113–298

132–495

169–780

179–1171

7

1 7

23

49–61

80–143

113–298

205–540

217–1031 241–1713

289–2826

8

1 8

28

56–84

101–216 132–495

217–1031 282–1870 317–3583

331-6090

9

1 9

36

73–115 126–316 169–780

241–1713 317–3583 565–6588

581–12677

10 1 10 40–43 92–149 144–442 179–1171 289–2826 331-6090 581–12677 798–23556

Hay una simetría trivial con respecto la diagonal. Esta tabla está extraida del survey Small Ramsey Numbers de Stanisław Radziszowski [2] excepto R(4,6)≥36, probado por Geoffrey Exoo en 2012 .[3] Para tres colores, el único valor exacto no trivial conocido es R(3,3,3)=17. De idéntica forma se puede definir el número de Ramsey de grafos que no sean completos, conociéndose para dos colores y grafos con a lo más 5 vértices, todos los valores exactos salvo los dos casos formados por dos grafos completos con 5 vértices y por uno completo de 5 vértices menos una arista y uno completo de 5 vértices.

Resultados Algunos resultados importantes de teoría de Ramsey son: • Teorema de Ramsey Infinito (1928). Si tenemos un conjunto infinito y distribuimos sus elementos en un número finito de cajas, entonces hay una caja que contiene infinitos elementos. • Teorema de Bolzano. Toda sucesión infinita de números reales contiene una subsucesión infinita creciente o decreciente. • Problema del final feliz (Erdős, Szekeres & Klein; 1933). Dados 5 puntos en el plano (de forma que cada 3 de ellos no sean colineales), hay cuatro que forman un cuadrilátero convexo. • Teorema de la amistad (Ramsey; 1928). En cualquier reunión de 6 personas, o bien 3 de ellas se conocen entre sí, o bien, 3 de ellas no se conocen entre sí. • Teorema de Erdős-Szekeres(1936). Si tenemos n2 + 1 números reales, n + 1 de ellos forman una sucesión monótona. • Teorema de van der Waerden (1927). Para todo par de enteros l y c, existe un N tal que, dada una progresión aritmética P de longitud a lo menos N (en un grupo aditivo Z), y si coloreamos la progresión P con c colores, entonces existe una sub-progresión aritmética Po monocromática de longitud l. • Teorema de Hales-Jewett (1963): Para enteros n y c, existe el número H de manera que las celdas de un cubo H-dimensional n×n×n×...×n son coloreados con c colores, debe existir una fila, columna, etc. de longitud n en donde sus celdas estan coloreadas con un solo color. Esto es, si se juega el tres en línea en un tablero-hipercubo de dimensiones suficientemente grandes, entonces no se puede terminar el juego en empate, no importando que tan grande sea n (la longitud de X ó 0 necesaria para ganar la partida), ni el número c de jugadores. El teorema de Hales-Jewett implica el teorema de Van der Waerden.

Teoría de Ramsey

92

• Teorema de Schur. Para todo número c, hay un N tal que si los números 1,2,..., N son coloreados por c colores, existe un par de enteros x, y tal que x, y, x+y tienen el mismo color.

Naturaleza de los resultados Los resultados en la teoría de Ramsey normalmente tienen dos características básicas. En primer lugar, generalmente no son constructivas, los resultados muestran la existencia de alguna estructura, pero no se da una receta o procedimiento para encontrarla (que no sea la Búsqueda de fuerza bruta). En segundo lugar, mientras los resultados de la teoría de Ramsey nos dicen que un objeto lo suficientemente grande deberá contener necesariamente una estructura dada, a menudo la prueba de estos resultados requiere que estos objetos sean enormemente grandes con límites que crecen de manera exponencial.

Problemas abiertos • Problema de Erdős-Szekeres: este problema corresponde a la generalización del problema del final feliz, y es:

• Problema del Limite de Rk = R(k,k;2). Existe

, y de existir ¿Cuál es su valor?

Notas [1] "S. A. Soman" (21 de agosto de 2008). "Computational Methods for Large Sparse Power Systems Analysis". pp. 31. [2] http:/ / www. combinatorics. org/ Surveys/ index. html [3] G. Exoo, R(4,6)>35 (http:/ / ginger. indstate. edu/ ge/ RAMSEY/ r. 4. 6. html)

Referencias • R. Graham, B. Rothschild, J.H. Spencer, Ramsey Theory, John Wiley and Sons, NY (1990) • Landman and A. Robertson, Ramsey Theory on the Integers, Student Mathematical Library Vol. 24, AMS (2004) • F. P. Ramsey, On a Problem of Formal Logic (http://dx.doi.org/10.1112/plms/s2-30.1.264), Proc. London Math. Soc., Vol. s2-30, no 1 (1930), • P. Erdös and G. Szekeres, A combinatorial problem in geometry (http://www.numdam.org/ item?id=CM_1935__2__463_0), Compositio Math., Vol. 2, p. 463-470 (1935) • G. Boolos, J. P. Burgess and R. Jeffrey, Computability and Logic, Cambridge: Cambridge University Press. (1974, revised 2004)

Grupo simétrico

93

Grupo simétrico En matemáticas, el grupo simétrico sobre un conjunto X, denotado por SX es el grupo formado por las funciones biyectivas (permutaciones) de X en sí mismo. Los subgrupos de SX se denominan grupos de permutaciones. El teorema de Cayley afirma que todo grupo G es isomorfo a un grupo de permutaciones (ie: un subgrupo del simétrico). De especial relevancia es el grupo simétrico sobre el conjunto finito X = {1,...,n}, denotado por Sn. El grupo Sn tiene orden n! y no es abeliano para n≥3.

Composición de permutaciones Hay diversas formas de representar una permutación. Podemos Grafo de Cayley de un grupo simétrico de orden 4 (S4) escribir una permutación σ en forma de matriz, situando en primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3..., y en la segunda las imágenes correspondientes σ(1), σ(2), σ(3),.... Dada dos permutaciones, su composición se realiza siguiendo las reglas usuales de composición de funciones: Si

y

su composición es: El cálculo de la composición puede seguirse de un modo visual, recordando que al componer funciones se opera de derecha a izquierda:

Una presentación del grupo Generadores Recordemos que una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Toda permutación se descompone como producto de trasposiciones. De este modo, el conjunto de las trasposiciones forma un sistema generador de . Pero es posible reducir aún más este sistema restringiéndonos a las trasposiciones de la forma

. En efecto, para i
UNIQ-math-5-f3222155486be87f-QINU === Relaciones elementales === Estos generadores permiten definir una [[presentación de grupo|presentación]] del grupo simétrico, junto con las relaciones: * UNIQ-math-6-f3222155486be87f-QINU , * UNIQ-math-7-f3222155486be87f-QINU , *

Grupo simétrico UNIQ-math-8-f3222155486be87f-QINU . === Otros generadores === Es posible igualmente usar como sistema de generadores: * Las trasposiciones de la forma ''(1 i)'', con ''i>1. • El conjunto formado por solo dos generadores:la trasposición σ=(1 2) y el ciclo c=(1 2 ... n).

Clases de conjugación Recordemos que toda permutación puede ser descrita como producto de ciclos disjuntos, y esta descomposición es única salvo el orden de los factores. Las clases de conjugación de Sn se corresponden con la estructura de dicha descomposición en ciclos: dos permutaciones son conjugadas en Sn si y sólo si se obtienen como composición del mismo número de ciclos disjuntos de las mismas longitudes. Por ejemplo, en S5, (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; pero (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no. El grupo S3, formado por las 6 permutaciones de tres elementos tiene tres clases de conjugación, listadas con sus números de elementos: • La identidad (abc → abc) (1) • Las permutaciones que intercambian dos elementos (abc → acb, abc → bac, abc → cba) (3) • Las permutaciones ciclicas de los 3 elementos (abc → bca, abc → cab) (2) El grupo S4, consistente en las 24 permutaciones de 4 elementos tiene 5 clases de conjugación: • • • • •

La identidad (1) Las permutaciones que intercambian dos elementos (6) Las permutaciones que intercambian cíclicamente tres elementos (8) Las permutaciones cíclicas de los cuatro elementos (6) Las permutaciones que intercambian dos elementos entre sí, y también los dos restantes (3)

En general, cada clase de conjugación en Sn se corresponderá con una partición entera de n y podrá ser representada gráficamente por un diagrama de Young. Así, por ejemplo, las cinco particiones de 4 se corresponderían con las cinco clases de conjugación listadas anteriormente: 1. 2. 3. 4. 5.

1+1+1+1 2+1+1 3+1 4 2+2

Representaciones del grupo Si asociamos a cada permutación su matriz permutación obtenemos una representación que en general no es irreducible.[1]

Referencias [1] Sternberg, Shlomo Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 0 521 24870 1

94

Permutación

95

Permutación En matemáticas, llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Definición formal La definición intuitiva de p Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}. Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos. Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por • 1→1 • 2→2 • 3→3 puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3". Por otro lado, la asignación biyectiva dada por • 1→3

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.

• 2→2 • 3→1 puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1". En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

En combinatoria La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.Básicamente, dos asuntos: permutaciones y combinaciones (ambas sin repetición o con ella). Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Permutación

96

Fórmula del número de permutaciones Dado un conjunto finito

de

elementos, el número de todas permutaciones es igual a factorial de n: .

Demostración: Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos

posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos

formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. . Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3. Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

En teoría de grupos Notaciones La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n). Por ejemplo, dado el conjunto ordenado podemos expresar una permutación correspondencias:

sobre

éste

mediante

una

matriz

de

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa

de forma que su composición

genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

Notación de ciclos Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes. Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello: 1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo. 2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo. 3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos. Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, ciclos:

quedaría expresada como composición de dos

Permutación

97 = (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes: = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5) La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación. Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2). Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:

Donde

es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que exiten transposiciones

tales que:

Permutación par y permutación impar Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones. Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos: • (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares. • (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones. • e (la identidad) también es par. En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares.

Permutación

98

Estructura de grupo Dado un número natural permutaciones de

, consideramos el conjunto

elementos, que denotaremos por

. Definimos el grupo de

, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones

biyectivas de a . Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por .

Dato histórico El estudio de las permutaciones de las raíces de ecuaciones algebraicas le permitió a Galois, elaborar los inicios de la teoría de grupos y usar este vocablo, por primera vez, en Matemática. Y empezó por los grupos no abelianos.

Teorema de Cayley El Teorema de Cayley es un resultado de teoría de grupos que permite representar cualquier grupo como un grupo de permutaciones. Todo grupo es isomórfico a un subgrupo de un grupo simétrico. Si el grupo es finito y tiene orden n, entonces es isomórfico a un subgrupo de Cayley

Bibliografía David Steven Dummit (2004). Abstract algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 0471433349 Ficha en OpenLibrary [1].

Referencias [1] http:/ / openlibrary. org/ books/ OL3689578M/ Abstract_algebra


99

Combinaciones con repetición En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse. De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.

Definición De manera similar a como los coeficientes binomiales o combinaciones

, corresponden al número de formas

en que se puede seleccionar un subconjunto de k elementos a partir de un conjunto dado con n elementos, es posible plantear el problema de determinar el número de formas de escoger un multisubconjunto de un conjunto. Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos, el orden en que se mencionan es irrelevante. Por ejemplo, {a, e, e, i, o, o, o, u} es el mismo multiconjunto que {e, i, o, u, a, e, o, o} Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}. Listemos todos los posibles multiconjuntos de 3 elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como si fuesen una palabra: aaa aab aac aad abb abc abd acc acd add bbb bbc bbd bcc bcd bdd ccc ccd cdd ddd

Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto {a, c, a} es el mismo que el multiconjunto {a, a, c}. Estas selecciones donde se permite repetición pero no se toma en cuenta el orden se denominan combinaciones con repetición. [1][2]

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con k elementos de un conjunto con n elementos se denota

y corresponde al número de k-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con n elementos.

Así, del listado inicial podemos deducir que

.

Cálculo del número de combinaciones con repetición Antes de establecer una fórmula para el cálculo directo de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemplo clásico de problema relacionado con multiconjuntos.


100

¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?

Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D). Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2 caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 4 a Daniel. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como •

AABBBCCDDD

Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9 restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la representamos como •

ADDDDDDDDDD

De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AABBBBBDDD corresponde a: •

Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto, ninguno a Carlos y 3 a Daniel.

De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que se puede repartir los caramelos es igual al número de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a un multiconjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total de formas de repartir los caramelos es .

La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretación combinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer la repartición. Para obtener la fórmula procedemos a usar la siguiente estratagema. Queremos dividir 10 objetos (los caramelos) en 4 grupos. Para ello colocamos 10 objetos en línea e insertamos 3 separadores para dividirlos en 4 secciones. Por ejemplo, si representamos los caramelos con asteriscos y los separadores con barras, los ejemplos mencionados serían: • AABBBCCDDD → **/***/**/*** • ADDDDDDDDDD → *///********* • AABBBBBDDD → **/*****//*** Y cualquier serie de 10 asteriscos separados por 3 barras (permitiendo grupos vacíos) corresponde a una forma de repartir y a su vez, a un multiconjunto: • ****/***/**/* → AAAABBBCCD (4 caramelos para Alonso, 3 para Beto, 2 para Carlos y 1 para Daniel) • *****/*****// → AAAAABBBBB (5 caramelos para Alonso y 5 para Beto) De esta forma, el número de formas de repartir corresponde al número de series de 10 asteriscos y 3 barras. Pero esto es precisamente el número de formas de elegir 3 objetos de un conjunto con 13 (de las 13 posiciones se están escogiendo cuales 3 serán barras) y por tanto el resultado es el coeficiente binomial

.

Este argumento se puede aplicar en general: repartir k objetos entre n personas, corresponde a formar multiconjuntos de tamaño k (los karamelos) escogidos de un conjunto con n (los niños), y a su vez esto puede enumerarse con una serie de k asteriscos y n-1 barras, que puede realizarse de

formas. Queda

establecido así el siguiente teorema. El número • •

de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos satisface:

Es igual al número de combinaciones con repetición de k elementos escogidos de un conjunto con n elementos. Es igual al número de formas de repartir k objetos en n grupos. Y además .


101

Otras interpretaciones combinatorias Existen dos otras interpretaciones combinatorias importantes para los coeficientes La primera interpretación está relacionada con el número de soluciones de ciertas ecuaciones diofantinas. Retomando el ejemplo de los 10 caramelos y los 4 niños, observamos que cada repartición corresponde a una solución de la ecuación

si cada variable puede tomar únicamente valores enteros no negativos. La correspondencia está dada por asignar a la variable i-ésima el número de caramelos recibidos por el i-ésimo niño. Como ejemplo: • AABBBCCDDD → • ADDDDDDDDDD → • AABBBBBDDD → La generalización sería que

. . . representa el número de soluciones de la ecuación ,

si las variables únicamente toman valores enteros no negativos La segunda interpretación es que

corresponde al número de sucesiones monótonas de k términos positivos,

acotadas por n, es decir, cuenta el número de formas de llenar la sucesión . Esta interpretación se verifica a partir de la anterior tomando tantos términos iguales a i como tenga valor

.

Ejemplo: • AABBBCCDDD:

corresponde a la sucesión monótona .

• ADDDDDDDDDD:


• AAAABBBBBC:


El número

de multiconjuntos con k elementos escogidos de un conjunto con n elementos puede interpretarse también como:

•

El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación

•

El número de sucesiones monótonas positivas

. .


102

Identidades Las combinaciones con repetición satisfacen varias identidades que recuerdan o se asemejan a las identidades para coeficientes binomiales. Por ejemplo, la identidad de Pascal

tiene su equivalente en la siguiente

identidad: Para cualquier

(exceptuando

) se cumple

Referencias [1] Eric W. Weisstein. « Multichoose (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Multichoose. html)». Wolfram Mathworld. Consultado el 15 de diciembre de 2011. [2] Quinn, Benjamin Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The art of combinatorial proof. The Mathematical Association of America. pp. 70-71. ISBN 0-88385-333-7.

Bibliografía • Arthur Benjamin (2003). Proofs that really count. Mathematical Association of America. ISBN 0883853337 Ficha en OpenLibrary (http:/ / openlibrary. org/ books/ OL3697525M/ Proofs_that_really_count). • Miklos Bona (2006). A Walk Through Combinatorics (2 edición). World Scientific Publishing Company. ISBN 9812568859 Ficha en OpenLibrary (http:/ / openlibrary. org/ books/ OL9197589M/ A_Walk_Through_Combinatorics).

Ecuación diofántica Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros o los números naturales , es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Ejemplo ilustrativo I Un ejemplo de ecuación diofántica es: Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución. Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de soluciones para

e

a los enteros positivos, tenemos 4

:

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1). Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuación diofántica

103

Ecuación diofántica lineal La ecuación diofántica

o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo

común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones. Similarmente la ecuación

tiene solución si y solo si d = mcd(a1, a2,...,an) es un

divisor de C.

Solución general Supongamos la ecuación diofántica

. Solo tiene solución si

. Para buscar el

empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

Donde

y

e

son una solución particular de la ecuación.

Solución particular Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da e . Veamos el ejemplo: Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104 1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =2 2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2. 3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104 4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

Ecuación pitagórica Se llama ecuación pitagórica a la ecuación

con

. Cualquier terna (x, y, z) solución de

la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán: 1. La terna alternando x e y: (y, x, z). 2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz). 3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z) 4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores. Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:


Máximo común divisor En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14. En efecto, y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Cálculo del MCD Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primos El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.

Usando el algoritmo de Euclides Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño. Por ejemplo, si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general

104


105

Usando el mínimo común múltiplo El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo (mcm) de a y b:

MCD de tres o más números El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue:

,

aunque hay métodos más prácticos y sencillos.

Método de Nicómaco Su cálculo se basa en restar el resto, del mayor número entre el menor número, al número menor hasta que nos dé el mismo número: 60 | 48 12 | 36 | 24 | 12 M.C.D (60,48) = 12

Propiedades 1. Si

entonces

2. Si 3.

es un entero, Si

es

un

número

primo,

entonces

o

bien

4.

Si

, entonces 5. Si 6.

es un divisor común de Si

y

, entonces ,

entonces

7.

Si

, entonces:

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente. Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).


106

Aplicaciones El MCD se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción

se calcula primero el

mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada . El MCD también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo .

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Greatest Common Divisor [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • El Máximo común divisor en Enciclopedia libre universal en español [2] • MCD en números decimales [3]

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ GreatestCommonDivisor. html [2] http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/ M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor [3] http:/ / www. cinosargos. com/ joaquimrehuesdomenech/

Teorema chino del resto El teorema chino del resto es un resultado sobre congruencias en teoría de números y sus generalizaciones en álgebra abstracta. El enunciado dice: Sean

tales que

(primos relativos).

Entonces dados cualesquiera

, existe un

tal que:

y

Y además, si existen otros

que satisfagan las dos congruencias anteriores entonces:

Enunciado del teorema La forma original del teorema, contenida en un libro del siglo III por el matemático chino Sun Zi[1][2] y posteriormente publicado en 1247 por Qin Jiushao, es un enunciado sobre congruencias simultáneas (ver aritmética modular). Supongamos que n1, n2, …, nk son enteros coprimos dos a dos. Entonces, para enteros dados a1,a2, …, ak, existe un entero x que resuelve el sistema de congruencias simultáneas

Más aún, todas las soluciones x de este sistema son congruentes módulo el producto

.

Teorema chino del resto

107

Algunas veces, las congruencias simultáneas pueden ser resueltas aun si los ni's no son coprimos a pares. Una solución x existe si y sólo si:

Todas las soluciones x son entonces congruentes módulo el mínimo común múltiplo de los ni. Versiones del teorema chino del resto fueron también conocidas por Brahmagupta, y aparecen en el Liber Abaci de Fibonacci (1202).

Aplicaciones El teorema chino del resto tiene importantes aplicaciones en criptografía, en especial para reducir operaciones con números enormes mediante el paso a congruencias. En el algoritmo RSA, por ejemplo, los cálculos se hacen módulo , donde es un producto de dos primos y . Tamaños habituales para son 1024, 2048 ó 4096 bits, haciendo que los cálculos requieran una gran cantidad de tiempo. Usando el teorema chino del resto los cálculos pueden ser transportados del anillo al anillo . La suma de las longitudes de bit de y es la longitud de bit de

, haciendo

y

considerablemente menor que

. Esto acelera mucho los cálculos. Nótese

que las implementaciones del algoritmo RSA usando el teorema chino del resto son más susceptibles a ataques de "fault injection".

Anécdota Hay una vetusta chirigota, viajera de siglos, cuya paternidad le otorgan a Sun Zi (s. I), que dice así: «Halle dos números enteros positivos mínimos que posean residuos 2, 3, 2 si se dividen entre 3, 5, 7, respectivamente». Procesando se hallan los dos números positivos mínimos 23 y 128. Resuelva para 3, luego para 5; en seguida para 15, y, por último, para 3.5.7. Esto funciona si los módulos sucesivos son primos entre sí.[3]

Notas [1] « Truth and Lies. Mapping the most complex known mathematical object (http:/ / www. economist. com/ science/ displaystory. cfm?story_id=8881479)» (en inglés). Higher Mathematics. The Economist (22/03/2007). Consultado el 26/12/2011. «This theorem is contained in a book written in the late third-century AD by a mathematician called Sun Tzu (not to be confused with the military strategist of the same name). It is used to simplify large calculations by breaking them down into many smaller ones, the results of which can then be recombined to generate the answer to the original question.». [2] Ribnikov, Historia de las matemáticas, p. 42. [3] Burton W. Jones, Teoría de números, p. 71.

Referencias • Koblitz, Neal (1998). A Course in Number Theory and Cryptography (2ª edición). EE. UU.: Springer. pp. 238. ISBN 978-0-387-94293-3.


108

Números primos entre sí En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1. Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Propiedades Básicas • El máximo común divisor de dos números primos entre sí a y b es 1. Por tanto, no existe ningún número primo que divida a ambos. • Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y tales que a·x + b·y = 1. (Identidad de Bézout) • Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides) • Los números enteros a y b son primos entre sí cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir, existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí y bm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z/nZ de los enteros módulo a.

Otras propiedades Los dos números enteros a y b son primos entre sí, si y sólo si, el punto de coordenadas (a, b) en un sistema cartesiano de coordenadas es "visible" desde el origen (0,0) en el sentido en que no hay ningún punto de coordenadas enteras situado entre el origen y (a,b). La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es igual a 6/π². Dos números naturales a y b son primos entre sí, si y sólo si, los números 2a-1 y 2b-1 son primos entre sí.

Los números 4 y 9 son coprimos. Por tanto, la diagonal del retículo 4 x 9 no interseca con ninguno de los otros puntos del retículo.

El número de enteros que son primos entre sí a un entero positivo n, entre 1 y n, es dado mediante la función φ de Euler φ(n). 2 números son primos entre sí si son dos números consecutivos, ya que están separados por una distancia de una unidad


109

Generalización Dos ideales I y J en un anillo conmutativo A son primos entre sí si I + J = A. Esto generaliza la identidad de Bézout. Si I y J son primos entre sí, entonces IJ = I∩J; además, si K es un tercer ideal tal que I contiene a JK, entonces I contiene a K. Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) en el anillo de los números enteros Z son primos entre sí, si y sólo si, a y b son primos entre sí.

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Relatively Prime [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Coprime [2] en PlanetMath

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ RelativelyPrime. html [2] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=225

Congruencia (teoría de números) Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros

y

tienen el

mismo resto al dividirlos por un número natural

, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que

módulo

•

es congruente con

• El resto de

•

•

entre

es congruente con

. Las siguientes expresiones son equivalentes:

módulo

es el resto de

entre

divide exactamente a la diferencia de

se puede escribir como la suma de

y

y un múltiplo de

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por y , es decir

puede ser cualquier entero de las sucesiones

y

.

Contrariamente la congruencia , no tiene solución. La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Congruencia (teoría de números)

110

Propiedades La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna: • La congruencia para un módulo fijo 1. reflexividad: 2. simetría: si 3. transitividad: si • Si

es coprimo con

• Si

es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

entonces también y y y

, entonces

entonces también también es coprimo con

. .

es un entero entonces también se cumple

• • • • Si además

es coprimo con

, entonces podemos encontrar un entero

, tal que

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

donde por definición ponemos

.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo: y podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias y

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. «Congruence [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Congruencias. Lecciones de Algebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas [2]

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Congruence. html [2] http:/ / personales. unican. es/ ruizvc/ algebra/ congruencias1. pdf

Número primo

111

Número primo En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores La distribución de los números primos (línea azul) hasta el 400 distintos: él mismo y el 1. Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1] La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por . El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Historia de los números primos Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt,[2] parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.[3] Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistema sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales. En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición .[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]

en lugar de

Número primo

112

Antigua Grecia La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo el teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne.

Un fragmento de los Elementos de Euclides encontrado en Oxirrinco.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En 1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración) el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China. Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como números de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir, 216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat 232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat. El monje francés Marin Mersenne investigó los números primos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se los conoce como números de Mersenne. En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran Pierre de Fermat. muchos resultados que conciernen los números primos. Demostró la divergencia de la serie , y en 1747 demostró que todos los números perfectos pares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta. A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito, el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Las ideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino que conduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Número primo Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número es relativamente grande. Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer, desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat (1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina test de Lucas. Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es el test de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7][8] A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el test de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres. Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática pura.[9][10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA. Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1 La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el 10.006.721, reimpresa hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12] Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Esta convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13][14] Además, los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el valor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]

113

Número primo

114

Propiedades de los números primos Teorema fundamental de la aritmética El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer varias veces. El 1 se representa entonces como un producto vacío. Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier otra factorización del 23.244 como producto de números primos será idéntica excepto por el orden de los factores. La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1 del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

Esta ilustración muestra que el 11 es un número primo, pero el 12 no lo es.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más números. Así, • El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5. • El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de 10 y 12 es 2. • Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir, si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea múltiplo de él mismo.

Otras propiedades • En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es coprima con la base. • De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1. Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1. • Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b. • Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p. • Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1 o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q. • Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n. Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n. • La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

Número primo

115

• Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden de G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn. • Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G contiene un elemento de orden p. • La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números primos en el sistema decimal, es un número irracional. • El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular, obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son: (Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números primos). (Correspondiente al problema de Basilea). En general

es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

• El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1. • Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo. • Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x), dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticas Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales, desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene . Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es , , . Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, para conocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

Número primo

116 .

Características del conjunto de los números primos Infinitud de los números primos Véase también: Infinitud de los números primos.

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, . Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia , pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome. Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito. Si

se

toma

como

conjunto

el

de los n primeros números primos, entonces , donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primo

de la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos menos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo primorial a un número primo de la forma pn# ± 1. No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509 Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos. Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Número primo

117

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que [18]

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de C y n0 no están especificados.[19] Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así: En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así: Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

Frecuencia de los números primos Véase también: Teorema de los números primos.

10

4

−0,3

2,2

2,500

102

25

3,3

5,1

4,000

103

168

23

10

5,952

104

1.229

143

17

8,137

105

9.592

906

38 10,425

106

78.498

6.116

130 12,740

107

664.579

44.158

339 15,047

108

5.761.455

332.774

754 17,357

109

50.847.534

2.592.592

1.701 19,667

1010 455.052.511

20.758.029

3.104 21,975

...

...

...

...

...

Número primo

118

Una vez demostrado la infinitud de los números primos, cabe preguntarse cómo se distribuyen los primos entre los números naturales, es decir, cuán frecuentes son y dónde se espera encontrar el n-ésimo número primo. Este estudio lo iniciaron Gauss y Legendre de forma independiente a finales del siglo XVIII, para el cual introdujeron la función enumerativa de los números primos π(n), y conjeturaron que su valor fuese aproximadamente .[20] El empeño de demostrar esta conjetura Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); se abarcó todo el siglo XIX. Los primeros puede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con resultados fueron obtenidos entre 1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éste debía ser 1. Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodos elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente, se conoce el teorema como teorema de los números primos. El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral: . En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando

de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años. Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación, más precisa:[21]

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Número primo

119

Diferencia entre dos primos consecutivos Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31). Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los números (n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1 son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión, que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores corresponden a: 6!+2=722=2·361 6!+3=723=3·241 6!+4=724=4·181 6!+5=725=5·145 6!+6=726=6·121 El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320. La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, y alrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión El modelado de la distribución de los números primos es un tema de investigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidad de un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de que existen leyes, como el teorema de los números primos y el postulado de Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard Euler comentó: Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.[24]

La distribución de todos los números primos comprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a derecha y de arriba abajo. Cada pixel representa un número. Los píxeles negros representan números primos; los blancos representan números no primos.

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó: Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que,

a

pesar

de

su

definición

Número primo

120

simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar.[25]

Encontrar números primos

Imagen con 2310 columnas que conserva múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas respectivas. Como cabe esperar, los números primos caerán en columnas concretas si los números están ordenados de izquierda a derecha y el ancho es un múltiplo de un número primo. Sin embargo, los números primos también quedan distribuidos de manera ordenada en construcciones espirales como la espiral de Ulam, ya que tienden a concentrarse en algunas diagonales concretas y no en otras.

Tests de primalidad Véase también: Test de primalidad.

La criba de Eratóstenes es una manera sencilla de hallar todos los números primos menores o iguales que un número dado. Se basa en confeccionar una lista de todos los números naturales desde el 2 hasta ese número y tachar repetidamente los múltiplos de los números primos ya descubiertos. La criba de Atkin, más moderna, tiene una mayor complejidad, pero si se optimiza apropiadamente también es más rápida. También existe una reciente criba de Sundaram que genera únicamente números compuestos, siendo los primos los números faltantes. En la práctica, lo que se desea es determinar La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemático si un número dado es primo sin tener que griego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los confeccionar una lista de números primos. números primos menores o iguales que un número dado. Un método para determinar la primalidad de un número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crece demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo. En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente .

Número primo

121

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n, dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de . Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número de candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos. Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan a los números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el teorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de un factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juego el tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar la primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo de ejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el test de primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es extremadamente lento. Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) de ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests de primalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una fórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es "definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bien pseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede haber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado. Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichael son números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los tests probabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por el anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos. Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de ejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada de Riemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvas elípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de números.

Algoritmos de factorización Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Los algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa de forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y no sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más antiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que es especialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que se basa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas. Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fracciones continuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo, se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un número compuesto.

Número primo

122

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial. No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco se demostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primos Véase también: Fórmula de los números primos.

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto de exigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma más indulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cada uno de los valores tomados sólo aparezca una vez. Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura que p es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera todos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables. En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que ningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variable f(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el término constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valores compuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si el polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos. Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y Wiens en 1976:[28]

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se hacen variar las variables a a z de 0 a infinito. Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teorema de Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde

es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular

la constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así llamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden ser obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Número primo

123

Clases de números primos De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar, sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factoriales Véanse también: Número primo primorial y número primo factorial.

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los números primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma n! ± 1. Los primeros primos factoriales son: n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30] n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]

Números primos de Fermat Véase también: Número de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, son los números de la forma , con n natural. Los únicos números primos de Fermat que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32] Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyo tiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, los propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo ha podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n = 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayores se utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha de junio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunque en la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]

Construcción de un pentágono regular. 5 es un número primo de Fermat.

Números primos de Mersenne Véase también: Número primo de Mersenne.

Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[33] Los mayores números primos conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer, para determinar si un número de Mersenne es primo o no. Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en el sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se anunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime Search» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores que el 45º.[34][35]

Número primo

124

Otras clases de números primos Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a un subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que se pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre 4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2 divide a 2p-1 - 1. Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo: • Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos. • Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de que dicha afirmación sea cierta. • Número primo de Wagstaff: p lo es si

, donde q es otro número primo.[37][38]

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos al revés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es primo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenación de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otro conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne. Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto de una recta horizontal. El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo de Wall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primo de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también la búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]

Conjeturas Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de las matemáticas.

Hipótesis de Riemann Véase también: Hipótesis de Riemann.

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha (2012), sigue sin resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que 1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zeta está íntimamente relacionada con los números primos.

Número primo Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2, s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2. La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso de verificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista «físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruido aleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según el teorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es cierta para intervalos mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Está ampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más simple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena razón.[40]

Otras conjeturas Infinitud de ciertos tipos de números primos Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay infinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos de Fermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides. Distribución de los números primos También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números primos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en 2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dos números primos. Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre los cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura de Legendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que:

Teoría aditiva de números Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunque también existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos. El matemático chino Chen Jingrun demostró, en 1966, que en efecto, todo número par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como la suma de un primo y de un número que es el producto de dos primos. ("semi-primo").[43]

125

Número primo

126

Los cuatro problemas de Landau En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatro de los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ninguno de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[44]

Generalización del concepto de número primo El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de las matemáticas.

Elementos primos en un anillo Se pueden definir los elementos primos y los elementos irreducibles en cualquier dominio de integridad.[45] En cualquier dominio de factorización única, como por ejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto de elementos primos equivale al conjunto de los elementos irreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2, 3, 5, 7, 11, …}. Considérense por ejemplo los enteros gaussianos

,

es decir, los números complejos de la forma a+bi con a, b ∈

. Este es un dominio de integración, y sus

elementos primos son los primos gaussianos. Cabe destacar que el 2 no es un primo gaussiano, porque admite factorización como producto de los primos gaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 sí es primo en los enteros gaussianos. En general, los primos racionales (es decir, los elementos primos del anillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos, pero no lo son aquellos de la forma 4k+1.

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a 500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros gaussianos que son primos.

Ideales primos En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que • si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I • y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I. Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que: • para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno de los dos elementos, a o b, está en I. • I no es el anillo A entero. Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría algebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), … Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se ven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un primo (ya que y generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes (mantienen su primalidad) y los de la forma

pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

Número primo

127

Primos en teoría de la valoración En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo valoraciones sobre sobre

determinadas funciones de

en

, reciben el nombre de

. Cada una de estas valoraciones genera una topología

, y se dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un primo de

clase de equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo

es una

de los números racionales

quedan representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicas sobre

para cada

número primo p.

Nudos primos

Algunos nudos primos.

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños. De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales. En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, que asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[46] Por este motivo, los nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales del siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computación El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literatura Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió de ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de rythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales».[47] En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manera informal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[48] El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven autista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los capítulos. En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis de Riemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[49] La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008. También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la criptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa en la biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[50]

Número primo

128

Referencias [1] (sucesión A000040 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a000040) en OEIS) [2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés) [3] Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf), artículo de Olivier Keller (en francés) [4] « Nacimiento de las matemáticas. (http:/ / almez. pntic. mec. es/ ~agos0000/ Nacimiento. html)». Consultado el 7 de Junio de 2009. [5] Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1. [6] Planetmath.org. « History of prime numbers. (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ HistoryOfPrimeNumbers. html)». Consultado el 7 de junio de 2009. [7] Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9. [8] Bernstein, Daniel. « Prime tests (http:/ / cr. yp. to/ primetests. html)». Consultado el 1 de julio de 2009. [9] Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat. Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3.. [10] Carles Pina i Estany (2005). « Curiosidades sobre números primos. (http:/ / pinux. info/ primos/ curiosidades. html)». Consultado el 5 de junio de 2009. [11] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés) [12] Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés) [13] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se trata simplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos» [14] " Why is the number one not prime? (http:/ / primes. utm. edu/ notes/ faq/ one. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009. [15] " Arguments for and against the primality of 1 (http:/ / www. geocities. com/ primefan/ Prime1ProCon. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009. [16] , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN 978-84-249-1463-9. [17] DiAmOnD (2008). « Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http:/ / gaussianos. com/ demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/ )». Consultado el 5 de junio de 2009. [18] Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés) [19] En general, en la notación de Landau,

indica que

está dominada asintóticamente por

, es decir,

. Para más información, lea notación de Landau. [20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito. [21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http:/ / www. springerlink. com/ content/ 077g4j008x57p021/ )». SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009. [22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2. [23] (sucesión A001223 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a001223) en OEIS) [24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés) [25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171 [26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de mayo de 2009. [27] Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records. [28] Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ xpage/ MatijasevicPoly. html), accedido el 06-06-2009 [29] W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés) [30] (sucesión A002982 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002982) en OEIS) [31] (sucesión A002981 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002981) en OEIS) [32] Keller, Wilfrid (2009). « Fermat factoring status (http:/ / www. prothsearch. net/ fermat. html)». Consultado el 1 de junio de 2009. [33] DiAmOnD (2008). « Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http:/ / gaussianos. com/ todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/ )». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, se deduce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo. [34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http:/ / gaussianos. com/ Â¡Â¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/ )». Consultado el 5 de junio de 2009. [35] GIMPS (2009). « 47th Known Mersenne Prime Found! (http:/ / mersenne. org/ )». Consultado el 13 de junio de 2009. [36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis (http:/ / www. gang. umass. edu/ ~franz/ teaching/ group1. pdf)» pág. 6. Consultado el 7 de junio de 2009. [37] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. « A000979. Wagstaff primes. (http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/ A000979)». Consultado el 23 de abril de 2010. [38] Eric W. Weisstein. « Wagstaff Prime (http:/ / mathworld. wolfram. com/ WagstaffPrime. html)» (en inglés). Consultado el 23 de abril de 2010. [39] Caldwell, Chris. « The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=WallSunSunPrime)» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. . Consultado el 6 de junio de 2009.

Número primo

129

[40] Bombieri, Enrico (2000). « The Riemann hypothesis (http:/ / www. claymath. org/ millennium/ Riemann_Hypothesis/ riemann. pdf)» (en inglés). Clay Mathematics Institute. Consultado el 6 de junio de 2009. [41] Caldwell, Chris. « The Top Twenty: Lucas Number (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=48)» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. . Consultado el 1 de junio de 2009. [42] Por ejemplo, véase Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 1981, problema A3, pp. 7–8. [43] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. [44] Mathworld - Landau's Problems (http:/ / mathworld. wolfram. com/ LandausProblems. html) (en inglés) [45] « Números algebraicos (http:/ / www. iesmurgi. org/ matematicas/ materiales/ numeros/ node18. html)» (2004). Consultado el 7 de junio de 2009. [46] En Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ PrimeKnot. html). (en inglés) [47] Peter Hill (1994). Amadeus Press. ed. The Messiaen companion. ISBN ISBN 0-931340-95-0.. [48] Carl Pomerance, Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~carlp/ PDF/ extraterrestrial. pdf), accedido el 31-05-2009 [49] A Mathematician reviews PopCo (http:/ / math. cofc. edu/ kasman/ MATHFICT/ mfview. php?callnumber=mf476) (en inglés), accedido el 31-05-2009 [50] Music of the Spheres (http:/ / www. musicoftheprimes. com/ films. htm), Selección de Marcus du Sautoy de películas que versan sobre los números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009

Enlaces externos • The Prime Pages (http://www.utm.edu/research/primes) • Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes (http://members.cox.net/mathmistakes/primes.htm) • Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt (http://www.troubleshooters.com/codecorn/ primenumbers/primenumbers.htm) • ¿Es este número primo? (http://www.mste.uiuc.edu/html.f/resource/prime.html)

Conjetura de Goldbach En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia[cita requerida]. Su enunciado es el siguiente: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Christian Goldbach (1742)

Cabe notar que se puede emplear dos veces el mismo número primo. Por ejemplo,


Historia Esta conjetura había sido conocida por Descartes[cita requerida]. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742: Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos. Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 1018. La mayor parte de los matemáticos creen que la El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n conjetura es cierta, y se basan como la suma de dos números primos (4 ≤ n ≤ 1,000,000). mayoritariamente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más «probable» que pueda ser escrito como suma de dos números primos. Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinográdov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos. Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio. Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos[cita requerida]: la conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y la que se suele mencionar como «conjetura de Goldbach» a secas.

Obras influenciadas por esta Conjetura En cine: • La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española La habitación de Fermat (2007). • También aparece en la película Proof, conocida en España como La verdad oculta (2005). • En la segunda película de Futurama, La bestia con un millón de espaldas (2008), el profesor Hubert Fansworth la menciona. En literatura: • El tío Petros y la Conjetura de Goldbach es una novela de Apostolos Doxiadis que gira en torno a la vida de un joven cuyo tío dedicó su vida a intentar resolver esta conjetura.

130


Enlaces externos • Carta original escrita por Christian Golbach para [[Euler [1]] (en alemán)] • Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Goldbach's conjecture [2]» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. • Weisstein, Eric W. «Goldbach's conjecture [3]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Ahuja, Anjana (16 de marzo de 2000). «A million-dollar maths question [4]». The Times. • Revilla, Fernando (2007). ref. 702. «Conjetura de Goldbach y aritmética de Peano. Un enfoque de la Conjetura de Goldbach por medio de procesos dinámicos [5]». Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería Civil y Arquitectura, sección de desarrollos teóricos de la matemática aplicada: pp. 451-454. ISBN 978-84-7493-381-9.

Referencias [1] [2] [3] [4] [5]

http:/ / www. math. dartmouth. edu/ %7Eeuler/ correspondence/ letters/ OO0765. pdf http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=GoldbachConjecture http:/ / mathworld. wolfram. com/ GoldbachConjecture. html http:/ / www. times-archive. co. uk/ news/ pages/ tim/ 2000/ 03/ 16/ timfeafea02004. html http:/ / www. caminos. upm. es/ matematicas/ maic/ congreso1/ texto_programacion. htm

Iván Vinográdov Iván Matvéyevich Vinográdov (Иван Матвеевич Виноградов: 14 de septiembre de 1891 – 20 de marzo de 1983) fue un matemático ruso, uno de los creadores de la teoría analítica de números moderna y una figura dominante de la matemática soviética. Nació en el distrito Velíkiye Luki, en la óblast de Pskov. Se graduó de la Universidad Estatal de San Petersburgo, donde empezó a ejercer en 1920 de profesor. A partir de 1934 fue director del Instituto Steklov de Matemáticas, un cargo que conservó el resto de su vida, exceptuando el quinquenio 1941–1946, en que el instituto fue dirigido por el académico Sergéi Lvóvich Sóbolev.

Contribuciones matemáticas En teoría analítica de números, el método de Vinográdov se refiere a su principal técnica para resolver problemas que empleó en problemas sobre la estimación de sumas exponenciales. En su forma más básica, se emplea para estimar sumas sobre los números primos, o sumas de Weyl. Es una reducción de una suma complicada a numerosas sumas más pequeñas que después se simplifican. La forma canónica para calcular sumas sobre números primos es

Gracias a este método, Vinográdov se empleó en problemas tales como la conjetura débil de Goldbach en 1937 (en la que usó el teorema de Vinográdov), y la región libre de ceros de la función zeta de Riemann. Vinográdov lo empleó de forma inimitable. Comparándolo con técnicas posteriores, el método de Vinográdov se puede considerar un prototipo del método de la gran criba. En algunos casos, sus resultados no fueron sometidos a mejora alguna durante décadas. Vinográdov también se valió de esta técnica en el problema de los divisores de Dirichlet, permitiéndole estimar el número de puntos naturales bajo una curva arbitraria. Este trabajo fue una mejora del de Georgi Voronói.

131

Iván Vinográdov

Aspectos políticos e institucionales Vinográdov fue un oficial del Partido Comunista.

Condecoraciones Por su labor recibió numerosos reconocimientos: fue galardonado con la medalla Lomonósov (el más alto reconocimiento científico soviético) en 1970, dos veces fue proclamado Héroe de la Unión Soviética y cinco veces recibió la Orden de Lenin. Fue admitido en la London Mathematical Society en 1939 y en la Royal Society en 1942.

Bibliografía • Selected Works, Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1985, ISBN 0-387-12788-7 • Vinogradov, I.M. Elements of Number Theory. Mineola, Nueva York: Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-49530-2 • Vinogradov, I.M. Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Mineola, NY: Dover Publications, 2004, ISBN 0-486-43878-3 • Vinogradov I.M. (Ed.) Matematicheskaya entsiklopediya. Moscú: Sov. Entsiklopediya 1977. Traducido al inglés como Encyclopaedia of Mathematics.

Cribado grande En matemáticas, la criba grande, cribado grande o gran criba es un método en teoría analítica de números. Como su nombre lo dice, esta se ha desarrollado en teoría de cribas, cribando una secuencia de enteros por condiciones de congruencia módulo primos en el cual un número relativamente grande de clases residuales para cada módulo son excluidas. Esto es, una gran criba, donde una proporción de clases residuales son tachadas, en principio es distingida por una pequeña criba, en la cual quizas sólo una simple clase residual para un módulo dado es excluida de el conjunto a cribar. Como es típico en la teoría de cribas, todo esto toma lugar en un rango de valores para los parámetros en el cual se hacen fáciles los casos donde el teorema chino del resto nos da estimativos asintóticos.

Historia La reciente historia de el cribado grande se remonta al trabajo hecho por Yu. B. Linnik, en 1941, trabajando sobre el problema de el mínimo no residuo cuadrático. Subsecuentemente Alfréd Rényi trabajó sobre esto, usando métodos probabilísticos. Dos décadas después, luego de un número de contribucioes de otros matemáticos, el cribado grande fue formulado de manera definitiva. Esto ocurrió a comienzos de los 60, en trabajos independientes de Klaus Roth y Enrico Bombieri. La naturaleza de la desigualdad principal, fruto de el cribado grande, se empezó a enteder de una mejor manera: este relaciona una suma exponencial evaluada en puntos del círculo unitario, que están en un sentido 'bien distribuídos' (medidos por una distancia mínima), y el tipo de desigualdad es derivado de el principio del operador normal de una matrix de caracteres sobre el círculo, evaluado en un conjunto finito de puntos, el cual es igual a la norma de el operador adjunto.

132

Cribado grande

133

Desarrollo El cribado grande asegura que, dado un conjunto B finito no vacío de enteros, dado

el conjunto de potencias de

primos. Suponga que para alguna función

Defina

entonces, si se cumple

Tenemos la desigualdad

donde

es la función de von Mangoldt. Esta última se le atribuye a Gallagher

Véase • Teoría de cribas • Teorema de Bombieri–Vinográdov

Referencias • Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts. 66. Cambridge University Press. pp. 135–155. ISBN 0-521-61275-6. • Harold Davenport (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 74 (3rd ed. edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95097-4. • Christopher Hooley (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. pp. 17–20. ISBN 0-521-20915-3. • Emmanuel Kowalski (2008). The Large Sieve and its Applications. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521888516. • Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 46. Cambridge University Press. pp. 62–73. ISBN 0-521-41261-7.

Teoría de cribas

134

Teoría de cribas La teoría de cribas es un conjunto de técnicas generales en teoría de números, diseñadas para contar o estimar el tamaño de un conjunto de números enteros. El ejemplo primordial de un conjunto tamizado es conjunto de números primos menores iguales a x. Correspodientemente, el ejemplo primordial es la criba de Eratóstenes, o más general, la criba de Legendre. El ataque directo sobre los números primos usando estos métodos muestra obstáculos aparentemente insuperables, en el camino de la acumulación de términos de errores. Un resultado exitoso es la aproximación de un conjunto tamizado en específico (por ejemplo, el conjunto de números primos) por otro conjunto simple (por ejemplo, el conjunto de los números casi primos), que suele ser un poco más grande que el conjunto original y más fácil de analizar. Cribas más sofisticadas no trabajan directamente con el conjunto en si, sino que cuentan de acuerdo con funciones de peso cuidadosamente elegidas en el conjunto.

Tipos de cribas Entre las cribas modernas se encuentran la Criba de Brun, la criba de Atle Selberg y el cribado grande. Uno de los objetivos generales de la teoría de cribas era la de tratar de aclarar las conjeturas en teoría de números, tales como la conjetura de los números primos gemelos. Aunque los objetivos originales no se han logrado, ha habido algunos éxitos parciales, especialmente en combinación con otras herramientas en teoría de números. Algunos aspectos destacados son: 1. Teorema de Brun, afirma que la suma de los inversos de los números primos gemelos converge (en contraste a la suma de los inversos de los números primos, que diverge) 2. Teorema de Chen, nos dice que existen infinitos números primos p tales que p+2 es primo o semiprimo (el producto de dos primos). Este teorema está muy relacionado al teorema que dice que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos o un primo y un semiprimo. 3. Lema fundamental de la teoría de cribas, afirma (de una manera aproximada) que si uno está cribando un conjunto de N números, entonces uno puede estimar el números de elementos restantes después de iteraciones para n suficientemente pequeño (fracciones de hasta 1/10 son típicas aquí). Este lema resulta por lo general demasiado débil para cribar primos (algo que por lo general requiere unas iteraciones), pero puede ser suficiente para obtener resultados concernientes a los números casi primos. 4. Teorema de Bomberi-Friedlander-Iwaniec, afirma que hay infinitos números primos de la forma

.

Métodos y técnicas Las técnicas de teoría de cribas pueden ser muy poderosas, pero parece ser limitado por un problema llamado paridad, este problema asegura que dado un conjunto cuyos elementos son todos producto de un número par (o impar) de factores primos, los métodos de teoría de cribas no están en condiciones para dar comportamientos asintóticos no triviales, de dicho conjunto. Comparado con otros métodos en teoría de números, la teoría de cribas es comparativamente elemental, en el sentido de que no es necesario requerir de conceptos sofisticados, bien sea de teoría algebraica de números o teoría analítica de números. Sin embargo las más avanzadas cribas pueden ser muy delicadas e intrigadoras (especialmente cuando combina técnicas de teoría de números) y muchos textos de la teoría de números se han dedicado a este subcampo.

Teoría de cribas

135

Bibliografía • Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram (2006), An introduction to sieve methods and their applications, London Mathematical Society Student Texts, 66, Cambridge University Press, ISBN 0521848164. • H. Halberstam and H. E. Richert. Sieve Methods. London: Academic Press, 1974. ISBN 0-12-318250-6. • Terence Tao. Open question: The parity problem in sieve theory, (http://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/ open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory)

Criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.

Pseudocódigo Algoritmo Criba de Eratóstenes (Complejidad

)

Entrada: Un número natural Salida: El conjunto de números primos anteriores a 1. Escriba todos los números naturales desde 2. Para 1. Si

desde

hasta

(incluyendo

)

hasta

haga lo siguiente:

no ha sido marcado entonces:de dos en dos asi sucesivamente

1. Para

desde

hasta

haga lo siguiente:

1. Ponga una marca en 3. El resultado es: Todos los números sin marca

Acerca de la notación: • •

es la función parte entera de es el cociente de dividir entre

Para su implementación en una computadora, normalmente se maneja un vector de tipo lógico con elementos. De esta manera, la posición contiene el valor Verdadero como representación de que ha sido marcado y Falso en otro caso.


Código En lenguaje Haskell eratostenes :: [Int] -> [Int] -- Criba de eratostenes (de una lista dada [2..n] t deja solo los numeros primos) eratostenes [] = [] eratostenes (x:xs) | not (null xs) && x^2 > last xs = (x:xs) | otherwise = x: eratostenes [y | y <- xs, y `mod` x /= 0] En lenguaje Python

#!/usr/bin/python nums=[] prims=[] num=input(">>> ") for i in range(2, num+1): nums.append(i) while nums != []: n=nums[0] prims.append(n) n=(float(n)) for j in nums: if ((j % n ) == 0.0): nums.remove(j) print prims En Lenguaje de programación Ada procedure Eratosthenes(Result : out Integer) is size : constant := 8190; k, prime : Natural; count : Integer; type Ftype is array (0 .. Size) of Boolean; Flags : Ftype; begin for Iter in 1 .. 10 loop count := 0; for i in 0 .. size loop Flags (i) := True; end loop; for i in 0 .. size loop if Flags (i) then prime := i + i + 3; k := i + prime;

136

Criba de Eratóstenes while k <= size loop Flags (k) := False; k := k + prime; end loop; count := count + 1; end if; end loop; end loop; Result := count; end Eratosthenes; En lenguaje Basic defint a-z size=50 dim flags(50) for i=2 to size flags(i)=-1 next for i=2 to sqr(size) if flags(i) then for k=i*i to size step i flags(k)=0 next end if next for i=0 to size if flags(i) then print i; next print En lenguaje Bash #!/bin/bash UPPER_LIMIT=$1 let SPLIT=UPPER_LIMIT/2 Primes=( '' $(seq $UPPER_LIMIT) ) i=1 until (( ( i += 1 ) > SPLIT )) do if [[ -n $Primes[i] ]]; then t=$i until (( ( t += i ) > UPPER_LIMIT )) do

137

Criba de Eratóstenes Primes[t]= done fi done echo ${Primes[*]} exit 0 En lenguaje C void criba(unsigned char m[], int tam){ int i, h; m[0] = 0; m[1] = 0; for(i = 2; i <= tam; ++i) m[i] = 1; for(i = 2; i*i <= tam; ++i) { if(m[i]) { for(h = 2; i*h <= tam; ++h) m[i*h] = 0; } } } En lenguaje C++ void criba(bool m[], int tam){ m[0] = false; m[1] = false; for(int i = 2; i <= tam; ++i) m[i] = true; for(int i = 2; i*i <= tam; ++i) { if(m[i]) { for(int h = 2; i*h <= tam; ++h) m[i*h] = false; } } } En lenguaje Fortran top = 50 logical*2 flags(top) integer*2 i,j,k,count,iter,prime n = long(362) do 92 iter = 1,10 count=0 i=0

138


139

do 10 i = 1,top flags(i) = .true. do 91 i = 1,top if (.not. flags(i)) go to 91 prime = i + i + 3 count = count + 1 k = i + prime if (k .gt. top) go to 91 do 60 j = k, top, prime flags(j) = .false. continue continue write (9,*) count," primes in ",(long(362)-n)/60.0," seconds " pause end

10

60 91 92

En Lenguaje de programación Java import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class EratostenesMejorado { public static void main(String[] args) { int n = Integer.parseInt(args[0]); int tope = (int) Math.floor(Math.sqrt(n)) + 1; List compuestos = new ArrayList(); int pos = 0; for (int i = 2; i <= tope; i++) { if (!compuestos.contains(Long.valueOf(i))) { for (int j = i; j <= n / i + 1; j++) compuestos.add(Long.valueOf(i * j)); } } int c = 0; for (pos = 2; pos < n; pos++) { if (!compuestos.contains(Long.valueOf(pos))) System.out.println(++c + ": " + pos); } } } En Lenguaje de programación Java (Opcion 2 JAOC USC) import java.util.ArrayList; import java.util.Scanner;


140

import java.util.List; public class CribaDeEratostenes_NumerosPrimos { List num = new ArrayList(); public void llenarVector(int numFinal) { if(numFinal==0) System.out.println("\n\n********** **********"); else if (numFinal>=3) { int n = 3; do { num.add(n); n = n + 2; } while (n <= numFinal);

Gracias

System.out .println("\n****** Listado de numeros impares a partir del 3 ******\n"); for (int i = 0; i < num.size(); i++) System.out.println(i + 1 + " : " + num.get(i)); primos(); } else System.out.println("\n\n********** El numero a digitar debe ser mayor que 2 **********\n\n"); } public void primos() { List numSelect = new ArrayList(); int aux; int i = 0; do { aux = num.get(i); if (aux != 0 && numSelect.contains(aux) == false) { numSelect.add(aux); int z = i; for (z = i + aux; z < num.size(); z = z + aux) { // System.out.println("Z : "+z+" num = "+num.get(z)+" N = "+aux); num.set(z, 0); } // System.out.println("i = "+i);


141 } i++; } while (i < num.size()); System.out

.println("\n" + "****************** ==>> NUM. PRIMOS ******************" + "\n"); int y = 1; for (int t = 0; t < num.size(); t++) {

RESULTADOS

if (num.get(t) != 0) { System.out.println(y + " : " + num.get(t)); y++; } } } public static void main(String[] Args) { Scanner ingreso = new Scanner(System.in); int numLimite; do { System.out.println("Para salir escribe 0"); System.out.println("Numeros primos desde 3 hasta: "); numLimite = Integer.parseInt(ingreso.nextLine()); CribaDeEratostenes_NumerosPrimos p = new CribaDeEratostenes_NumerosPrimos(); p.llenarVector(numLimite); }while(numLimite!=0); } } En Lenguaje de programación Pascal program Eratosthenes; const N=1000; var a:ARRAY[1..N] of boolean; i,j,m:word;


begin for i:=1 TO N do A[i]:=TRUE; m:=trunc(sqrt(N)); for i:=2 to m do if a[i] then for j:=2 to N DIV i do a[i*j]:=FALSE; for i:=1 to N do if a[i] then write(i:4); end. En lenguaje Perl #!/usr/bin/perl $n = 50; for ( $i=1; $i<=$n; $i++ ) { $p[$i] = $i; } $k = int( sqrt($n) ); $i=2; while ( $i <= $k ) { while ( $p[ $i ] == 0 ) { $i ++; } for ( $j=2; $j<=$n; $j++ ) { $a = $i * $j; $p[ $a ] = 0; } $i++; } for ( $i=1; $i<=$n; $i++ ) { if ( $p[$i] != 0 ) { printf ( "%d\n", $p[$i] ); } } En lenguaje PHP function eratosthenes($n) { $all=array(); $prime=1; echo 1," ",2; $i=3; while($i<=$n) { if(!in_array($i,$all)) { echo " ",$i; $prime+=1; $j=$i;

142


143 while($j<=($n/$i)) { array_push($all,$i*$j); $j+=1; }

} $i+=2; } echo "\n"; return; } eratosthenes(50); En lenguaje Ruby top = Integer(ARGV.shift || 100) sieve = [] for i in 2 .. top sieve[i] = i end for i in 2 .. Math.sqrt(top) next unless sieve[i] (i*i).step(top, i) do |j| sieve[j] = nil end end puts sieve.compact.join " " En lenguaje Visual Basic .NET Module Eratosthenes Sub Main() Dim number As Integer number = 20 Dim IsPrime(number) As Boolean For i As Integer = 2 To number If IsPrime(i - 1) = False Then For j As Integer = i To number / i IsPrime((i * j) - 1) = True Next End If Next For x As Integer = 1 To number - 1


144 If IsPrime(x) = False Then Console.WriteLine(x + 1) End If

Next End Sub End Module

Refinamiento Una implementación más eficiente requiere crear un arreglo con solo los impares (pues los pares distintos de 2 ya se sabe que no son primos). En este caso se deben tachar los múltiplos impares de 3,4,5,7 Los múltiplos impares del primo

son

adelante pues siempre se empieza a tachar desde es . Si corresponde tachar los múltiplos del primo (los pares), Así, si

(los múltiplos de 3),

. Debemos tachar desde . Note que si

ésimo ,...,

, se inicia en

en

entonces el primer múltiplo de pues antes de

, ya se han tachado

.

ya no habría algo que tachar, por eso terminamos ahí el programa.

En la implementación se usa un arreglo "esPrimo()" tipo boolean. Aquí, "esPrimo(i)" representa al número impar . Note que si Así, si se sabe que

entonces

está representado por "esPrimo((p-3)/2)".

es primo, sus múltiplos (impares) no son primos, es decir, debemos poner

"esPrimo(((2k+1)p-3)/2)=false, k=i+1,i+2,..." En la implementación iniciamos con el arreglo "esPrimo()" con todas sus entradas true. Iniciando en ponemos "esPrimo(((2k+1)3-3)/2)=false, k=0+1,0+2,..." y así sucesivamente: para cada nuevo

, primero

preguntamos si "esPrimo(i)=true", si es así, "tachamos" sus múltiplos poniendo la respectiva entrada "false". La siguiente función, en VBA, es una función que recibe

y devuelve un arreglo con los primos

detalles en la segunda referencia) Function ERATOSTENES(n) As Long() Dim i, j, k, pos, contaPrimos Dim max As Long Dim esPrimo() As Boolean Dim Primos() As Long max = (n - 3) \ 2 ' División entera ReDim esPrimo(max + 1) ReDim Primos(max + 1) For i = 0 To max esPrimo(i) = True Next i contaPrimos = 0 Primos(0) = 2 'contado el 2 j = 0 While (2 * j + 3) <= n\(2 * j + 3) k = j + 1 If esPrimo(j) Then While (2 * k + 1) <= n\(2 * j + 3) pos = ((2 * k + 1) * (2 * j + 3) - 3) \ 2

(ver más

Criba de Eratóstenes esPrimo(pos) = False k = k + 1 End While End If j = j + 1 End While For i = 0 To max If esPrimo(i) Then contaPrimos = contaPrimos + 1 '3,5,... Primos(contaPrimos) = 2 * i + 3 End If Next i ReDim Preserve Primos(contaPrimos) 'Cortamos el vector ERATOSTENES = Primos() End Function En Lenguaje de Programación Java import javax.swing.JOptionPane; public class Erastostenes { public static void main( String args[] ) { // Contribución de David Jesús ( UNMSM - FISI ) int N = Integer.parseInt( JOptionPane.showInputDialog( "Limite superior :" ) ); int k, pos; int numMaxPrimos = ( N - 3 ) / 2 ; int numPrimos = 0; int[] Primos = new int[ numMaxPrimos + 1 ]; boolean[] esPrimo = new boolean[ numMaxPrimos + 1 ]; for( int i = 0; i < numMaxPrimos; i ++ ) esPrimo[ i ] = true; for( int i = 0; i*i < N; i ++ ) { k = i + 1; if( esPrimo[ i ] ) { for( k = i + 1; ( 2 * k + 1 ) * ( 2 * i + 3 ) <= N; k ++ ) { pos = ( ( 2 * k + 1 ) * ( 2 * i + 3 ) - 3 ) / 2; esPrimo[ pos ] = false;

145


146

} } } // Mostramos y a la vez guardamos los numeros primos en el vector Primos[ 0 ] = 2; System.out.print( "

2" );

for( int i = 0; i <= numMaxPrimos; i ++ ) { if( esPrimo[ i ] ) { numPrimos ++; Primos[ numPrimos ] = 2 * i + 3; System.out.print( " " + Primos[ numPrimos ] ); } } } }

Referencias • Samuel Horsley (1772). «

. or, The Sieve of Eratosthenes. Being an

Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S. [1]». Philosophical Transactions (1683-1775) 62. • Walter Mora F.. «Criba de Eratóstenes [2]». Revista digital Matemática: Educación e Internet 7 (2).

Referencias [1] http:/ / links. jstor. org/ sici?sici=0260-7085(1772)62%3C327%3AOTSOEB%3E2. 0. CO%3B2-5 [2] http:/ / www. cidse. itcr. ac. cr/ revistamate/ HERRAmInternet/ Criba/ Criba. pdf


Conjetura de los números primos gemelos Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y 31. Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos va disminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entre números de tamaños enormes. La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una conjetura, está todavía sin demostrar. Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los números primos. En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.

Resultados parciales En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota el número primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearse una constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que el resultado es válido para toda constante c>0. En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de, a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.

Conjetura de Hardy-Littlewood También existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números primos. Denótese como π2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase la constante de los números primos C2 como el siguiente producto de Euler

para primos mayores o iguales que tres. La conjetura dice que:

en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito. Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n no sea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes sólo en la medida que el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y no un evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura de Hardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

147


Enlaces externos • Caldwell, Chris. «The Top Twenty: Twin Primes [1]» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. • Weisstein, Eric W. «Twin Primes [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant [3]

Referencias [1] http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=1 [2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ TwinPrimes. html [3] http:/ / numbers. computation. free. fr/ Constants/ Primes/ twin. html

Números primos gemelos En matemáticas, y más concretamente en teoría de números, dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si . Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. La cuestión surge de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que se hallen a una distancia de 2. El primero en llamarlos así fue Paul Stäckel.

Propiedades A partir del par (5, 7), el número intermedio es siempre múltiplo de 6, por ende de 2 y de 3. Se sabe que la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge a un número,

A esta constante se le conoce como constante de Brun. Esto contrasta con la suma de los inversos de todos los primos, que diverge. Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si:

Distribución de los números primos gemelos No se sabe si existen infinitos números primos gemelos, aunque se cree ampliamente que sí. Éste es el contenido de la conjetura de los números primos gemelos. Una forma fuerte de la conjetura de los números primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números primos gemelos similar al teorema de los números primos:

donde C2 es la constante de los números primos gemelos, definida mediante el siguiente producto de Euler:

Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613 · 2195000 - 1 y 2003663613 · 2195000 + 1, que tienen 58711 dígitos.[1] Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko et al. Anteriormente, el par 100314512544015 · 2171960 - 1 y 100314512544015 · 2171960 + 1, que tiene 51.780 dígitos[2] y fue descubierto en el 2006 por los matemáticos húngaros: Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza y

148

Números primos gemelos Antal Járai.

Duplas de primos gemelos Hay 35 duplas de números primos gemelos entre los números enteros menores que 1000 y son (A077800): (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Referencias [1] The Prime Pages (http:/ / primes. utm. edu/ bios/ code. php?code=x24) - el mayor par conocido de primos gemelos [2] The Prime Pages (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=1)

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. « Twin Primes (http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Constante de Brun La constante de Brun, B2, es el valor al que converge la suma de los inversos de los números primos gemelos:

En 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie. Esto contrasta con el hecho de que la suma de los inversos de todos los números diverge. Si la serie de Brun fuera divergente, demostraría la infinidad de los primos gemelos (conjetura de los números primos gemelos), pero como es convergente no es posible tal demostración. Calculando los primos gemelos hasta 1014 (y al mismo tiempo descubriendo el error de división del Intel Pentium), Thomas Nicely estimo la constante de Brun en 1,902160578. La mejor estimación hasta la actualidad es la de Pascal Sebah y Patrick Demichel publicada en el año 2002, con todos los primos gemelos hasta 1016: B2 ≈ 1,902160583104 También existe la constante de Brun por primos cuádruples. Un primo cuádruple es una pareja de primos gemelos separados por 4 unidades (la distancia más pequeña posible). Los primeros primos cuádruples son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19) y (101, 103, 107, 109). Esta constante, B4, es la suma de los inversos de todos los primos cuádruples:

con un valor de: B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005

149

Constante de Brun

150

Enlaces externos • Artículo sobre los números primos gemelos y la Constante de Brun [1] (en inglés) • Cálculo de la constante de Brun [3] (en inglés)

Referencias [1] http:/ / www. trnicely. net/ twins/ twins2. html

Ley de Hardy-Weinberg En genética de poblaciones, el principio de Hardy-Weinberg (PHW) (también equilibrio de Hardy-Weinberg, ley de Hardy-Weinberg o caso de Hardy-Weinberg ) establece que la composición genética de una población permanece en equilibrio mientras no actúe la selección natural ni ningún otro factor y no se produzca ninguna mutación. Es decir, la herencia mendeliana, por sí misma, no engendra cambio evolutivo. Recibe su nombre del matemático inglés G. H. Hardy y del médico alemán Wilhelm Weinberg, que establecieron el teorema [1] independientemente en 1908.

El principio de Hardy-Weinberg para dos alelos: el eje horizontal muestra las dos frecuencias alélicas p y q, el eje vertical muestra la frecuencia de los genotipos y los tres posibles genotipos se representan por los distintos glifos.

En el lenguaje de la genética de poblaciones, la ley de Hardy-Weinberg afirma que, bajo ciertas condiciones, tras una generación de apareamiento al azar, las frecuencias de los genotipos de un locus individual se fijarán en un valor de equilibro particular. También especifica que esas frecuencias de equilibrio se pueden representar como una función sencilla de las frecuencias alélicas en ese locus. En el caso más sencillo, con un locus con dos alelos A y a, con frecuencias alélicas de p y q respectivamente, el PHW predice que la frecuencia genotípica para el homocigoto dominante AA es p2, la del heterocigoto Aa es 2pq y la del homocigoto recesivo aa, es q2. El principio de Hardy-Weinberg es una expresión de la noción de una población que está en "equilibrio genético", y es un principio básico de la genética de poblaciones.


151

Suposiciones Las suposiciones originales del equilibrio de Hardy-Weinberg (EHW) eran que el organismo en consideración: • Sea diploide, y el carácter en consideración no esté en un cromosoma que tiene un número distinto de copias en cada sexo, como el cromosoma X en los humanos (es decir, que el carácter sea autosómico) • Se reproduzca sexualmente, bien monoicamente o dioicamente • Tenga generaciones discretas Además, la población en consideración está idealizada, esto es: • Existe apareamiento aleatorio en la población (a este tipo de población se le conoce como "población panmíctica") • Tiene un tamaño infinito (o lo bastante grande para minimizar el efecto de la deriva genética) y no experimenta: • Selección • Mutación • Migración (flujo genético) El primer grupo de suposiciones son un requisito de las matemáticas implicadas. Es relativamente sencillo expandir la definición del EHW para que incluya modificaciones de estas suposiciones, por ejemplo las de los caracteres ligados al sexo. Las otras suposiciones son inherentes al principio de Hardy-Weinberg. Cuando se discuten varios factores, se utiliza una población de Hardy-Weinberg como referencia. No es sorprendente que estas poblaciones sean estáticas.

Derivación Una mejor, aunque equivalente, descripción probabilística del PHW es que los alelos de la siguiente generación para cualquier individuo se eligen aleatoria e independientemente unos de otros. Consideremos dos alelos A y a con frecuencias en la población de p y q respectivamente. Las distintas maneras de formar nuevos genotipos se pueden derivar utilizando un cuadro de Punnett, por el que la fracción en cada celda es igual al producto de las probabilidades de la fila y la columna.

Tabla 1: Cuadrado de Punnett para el equilibrio de Hardy-Weinberg Hembras A (p)

a (q)

Varones A (p) AA (p2) Aa (pq) a (q) Aa (pq) aa (q2)

Las tres posibles frecuencias genotípicas finales de la descendencia son: • • • Estas frecuencias se llaman frecuencias de Hardy-Weinberg (o proporciones de Hardy-Weinberg). Esto se consigue en una generación, y solo hace falta suponer un apareamiento aleatorio en una población de tamaño infinito. A veces una población se crea juntando machos y hembras con distintas frecuencias alélicas. En este caso, la suposición de una sola población queda violada hasta la siguiente generación, de manera que la primera generación no tendrá equilibrio de Hardy-Weinberg. Las generaciones sucesivas sí tendrán equilibrio de Hardy-Weinberg.


152

Ejemplo A continuación se ejemplifica la ley de Hardy-Weinberg a partir de un ejemplo real: la enfermedad metabólica hereditaria fenilcetonuria.[2] Los niños con fenilcetonuria no pueden procesar la fenilalanina, un aminoácido de las proteínas, por lo que la fenilalanina se acumula en la sangre causando daños cerebrales y retraso mental. Esta enfermedad es provocada por un gen recesivo cuando se da una situación de homocigosis aa. Siendo p la frecuencia del alelo sano y q la del alelo "defectuoso", calcularemos la incidencia de los portadores de la combinación aa. Si realizamos un cruzamiento de dos portadores Aa, en donde permanece oculto el gen recesivo, los genotipos obtenidos en la siguiente generación serán los siguientes: A (p)

a (q)

A (p) AA (p²) Aa (pq) a (q) Aa (pq) aa (q²)

Los tres genotipos AA : Aa : aa aparecen en una relación p² : 2pq : q². Si las sumamos, obtenemos la unidad: p² + 2pq + q² = (p + q)² = 1. La frecuencia de los genotipos enfermos de fenilcetonuria es de un 0,0001, un valor correspondiente a q². La frecuencia q del gen a será la raíz cuadrada de 0,0001, es decir, 0,01. La enfermedad tiene una incidencia de 1 cada 10.000 individuos, pero la frecuencia del gen es 100 veces mayor, 1 cada 100. Los genes a se encuentran en el par Aa con una frecuencia 2pq = 2q(1 - q) = 2· 0,01·(1 - 0,01) = 0,0198. Cerca de un 2% de los individuos de la población europea porta, por lo tanto, este gen en el par Aa, lo que da una idea de lo persistente que puede llegar a ser un gen recesivo manteniéndose "clandestino" en heterocigosidad.

Desviaciones del equilibrio de Hardy-Weinberg Las violaciones de las suposiciones de Hardy-Weinberg pueden causar desviaciones de los valores esperados. Cómo afecta esto a la población depende de las suposiciones que son violadas. • Apareamiento aleatorio. El PHW establece que la población tendrá las frecuencias genotípicas especificadas (llamadas proporciones de Hardy-Weinberg) tras una generación de apareamiento aleatorio dentro de la población. Cuando suceden violaciones de este requisito, la población no tendrá proporciones de Hardy-Weinberg. Tres de estas violaciones son: • Endogamia, que provoca un aumento de la homocigosidad en todos los genes. • Emparejamiento selectivo, que causa un aumento en la homocigosidad de los genes implicados en el carácter que se está seleccionando para el apareamiento (y de los genes que están en desequilibrio de ligamiento con ellos). • Población de poco tamaño, que causa un cambio aleatorio en las frecuencias genotípcas, especialmente si la población es muy pequeña. Esto es debido al efecto de muestreo, y se llama deriva genética. Las demás suposiciones afectan a las frecuencias alélicas, pero no afectan por sí mismas al apareamiento aleatorio. Si una población viola alguna de estas, la población seguirá teniendo proporciones de Hardy-Weinberg en cada generación, pero las frecuencias alélicas cambiarán con esa fuerza. • La selección, en general, hace que cambien las frecuencias alélicas, a menudo con mucha rapidez. Aunque la selección direccional conduce finalmente a la pérdida de todos los alelos excepto el favorecido, algunas formas de selección, como la selección estabilizadora, conducen a un equilibrio sin pérdida de alelos. • La mutación tendrá un efecto muy sutil en las frecuencias alélicas. Los ritmos de mutación son del orden de 10-4 a 10-8 y el cambio en las frecuencias alélicas será, como mucho, del mismo orden. Las mutaciones recurrentes


153

mantendrán a los alelos en la población, aunque haya una fuerte selección en contra de ellos. • La migración enlaza genéticamente dos o más poblaciones. En general, las frecuencias alélicas se harán más homogéneas entre las dos poblaciones. Algunos modelos de migración incluyen inherentemente el apareamiento no aleatorio (el efecto Wahlund, por ejemplo). Para esos modelos, las proporciones de Hardy-Weinberg no serán válidas en general. Más adelante se explica cómo afectan estas violaciones a las pruebas estadísticas formales del EHW. Desafortunadamente, las violaciones de las suposiciones del principio de Hardy-Weinberg no significa que la población violará el EHW. Por ejemplo, la selección estabilizadora conduce a una población en equilibrio con proporciones de Hardy-Weinberg. Esta propiedad que enfrenta a la selección con la mutación es la base de muchas estimaciones del ritmo de mutación (equilibrio mutación-selección).

Ligamiento al sexo Cuando el gen A está ligado al sexo, el sexo heterogamético (por ejemplo, los machos en mamíferos y las hembras en las aves) solo tiene una copia del gen (y se llaman hemicigotos), mientras que el sexo homogamético (por ejemplo, las hembras humanas) tiene dos copias. Las frecuencias genotípicas en equilibrio son y para el sexo heterogamético pero

,

y

para el sexo homogamético.

Por ejemplo, en humanos, el daltonismo es un carácter recesivo ligado al cromosoma X. En los hombres europeos, el carácter afecta a 1 de cada 12 ( ), mientras que solo afecta a 1 de cada 200 mujeres ( , que comparado con

está muy cerca de las proporciones de Hardy-Weinberg).

Si una población se junta con otra, con machos y hembras con distintas frecuencias alélicas, la frecuencia alélica de la población masculina seguirá a la de la población femenina, porque todos reciben su cromosoma X de su madre. La población converge hacia el equilibrio muy rápidamente.

Generalizaciones La derivación simple de arriba puede ser generalizada por más de dos alelos y poliplodio.

Generalización para más de dos alelos Considerar una frecuencia de extra alelo,

. El caso de dos alelos es la expansión binomial de

caso de tres alelos es la expresión trinómica de

.

Más generalmente, considerar los alelos A1, ... An dado por la frecuencia de los alelos dado por todos los homozigotos:

y para todos los heterozigotos:

a

;

, y así el


154

Generalización para la poliploidía El principio de Hardy-Weinberg también se puede generalizar para sistemas poliploides, esto es, organismos que tienen más de dos copias de cada cromosoma. Consideremos de nuevo solo dos alelos. El caso diploide es la expansión binomial de:

y por tanto el caso poliploide es la expansión binomial de:

donde c es la ploidía. Por ejemplo, con un tetraploide (c = 4):

Tabla 2: Frecuencias genotípicas esperadas para la tetraploidía Genotipo Frecuencia

Dependiendo de si el organismo es un tetraploide 'verdadero' o un anfidiploide quedará determinado el tiempo necesario para que la población alcance el equilibrio de Hardy-Weinberg.

Generalización completa La fórmula completamente generalizada es la expansión multinomial de

:

Aplicaciones El principio de Hardy-Weinberg se puede aplicar de dos maneras: o bien se considera que una población tiene proporciones de Hardy-Weinberg, en cuyo caso se pueden calcular las frecuencias genotípicas, o si las frecuencias genotípicas de los tres genotipos son conocidas, se pueden comprobar las desviaciones que sean estadísticamente significativas.

Aplicación a casos de dominancia completa Supongamos que los fenotipos de AA y Aa son indistinguibles, es decir, existe una dominancia completa. Suponiendo que el principio de Hardy-Weinberg se aplica a la población, entonces todavía se puede calcular a partir de f(aa):

y

se puede calcular a partir de

. Y también una estimación de f(A) y f(Aa) derivadas de

y

respectivamente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que no se puede comprobar el equilibrio de una población utilizando los tests de significancia siguientes, porque esta se asume a priori.


155

Tests de significancia de la desviación La comprobación de la desviación del PHW se suele llevar a cabo utilizando la prueba χ² de Pearson, utilizando las frecuencias genotípicas observadas que se han obtenido de los datos y las frecuencias genotípicas esperadas obtenidas mediante el PHW. Para los sistemas en los que hay un gran número de alelos, esto puede ofrecer datos con muchos genotipos vacíos posibles y poca cantidad de genotipos, porque a menudo no hay suficientes individuos en la muestra para representar adecuadamente todas las clases genotípicas. Si este es el caso, entonces la suposición asintótica de la distribución chi-cuadrado no se sostendrá y puede ser necesario utilizar una forma de test exacto de Fisher, que requiere de una computadora para su resolución.

Test de desviación χ2 de ejemplo Estos datos son de E.B. Ford (1971) sobre la polilla Callimorpha dominula, de la que se registraron los fenotipos de una muestra de la población. La distinción entre el genotipo y el fenotipo se considera insignificante. La hipótesis nula es que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg, y la hipótesis alternativa es que la población no tiene proporciones de Hardy-Weinberg.

Tabla 3: Cálculo de ejemplo del principio de Hardy-Weinberg Genotipo Manchas blancas (AA) Intermedia (Aa) Pocas manchas (aa) Total Número 1469

138

De la que se pueden calcular las frecuencias alélicas:

y

Por lo que los valores esperados de Hardy-Weinberg son:

La prueba χ² de Pearson establece que:

5

1612


156

Hay 1 grado de libertad (los grados de libertad para el test de las proporciones de Hardy-Weinberg son número de fenotipos - número de alelos). El nivel de significancia para 1 grado de libertad es 3,84, y como este valor de χ2 es menor, se acepta la hipótesis nula que decía que la población tiene proporciones de Hardy-Weinberg.

Test exacto de Fisher El test exacto de Fisher se puede aplicar para comprobar si existen proporciones de Hardy-Weinberg. Como el test está condicionado por las frecuencias alélicas, p y q, el problema se puede entender como la comprobación del número adecuado de heterocigotos. De esta forma, la hipótesis de las proporciones de Hardy-Weinberg queda violada si el número de heterocigotos es muy grande o muy pequeño. Las probabilidades condicionadas para el heterocigoto, dadas las frecuencias alélicas, las proporciona Emigh (1980) de la forma

donde n11, n12 y n22 son los números observados para los tres genotipos, AA, Aa y aa respectivamente, y n1 es el número de alelos A, donde . Un ejemplo Utilizando uno de los ejemplos de Emigh (1980), podemos considerar el caso en el que n = 100 y p = 0,34. En la tabla 4 se muestran los heterocigotos observados posibles y su nivel de significancia exacto.

Tabla 4: Ejemplo del test exacto de Fisher para n=100, p=0,34.[3] Número de heterocigotos Nivel de significancia 0

0,000

2

0,000

4

0,000

6

0,000

8

0,000

10

0,000

12

0,000

14

0,000

16

0,000

18

0,001

20

0,007

22

0,034

34

0,067

24

0,151

32

0,291

26

0,474


157 30

0,730

28

1,000

Utilizando esta tabla, se busca el nivel de significancia del test basándose en el número observado de heterocigotos. Por ejemplo, si se han observado 20 heterocigotos, el nivel de significancia del test es 0,007. El gradiente de niveles de significancia es bastante basto, como es normal en los tests exactos de Fisher con muestras pequeñas. Desafortunadamente, es necesario crear una tabla así para cada experimento, ya que las tablas dependen tanto de n como de p.

Coeficiente de consanguinidad El coeficiente de consanguinidad F es 1 menos la frecuencia observada de los heterocigotos por encima de la esperada a partir del equilibrio de Hardy-Weinberg.

donde el valor esperado a partir del equilibrio de Hardy-Weinberg se obtiene mediante

Por ejemplo, para los datos de Ford anteriores:

Para dos alelos, la prueba chi-cuadrado sobre la calidad del ajuste con las proporciones de Hardy-Weinberg es equivalente al test de consanguinidad, F = 0.

Historia La genética mendeliana fue redescubierta en 1900. Sin embargo, se mantuvo su controversia durante varios años, ya que entonces no se sabía cómo podía producir caracteres continuos. Udny Yule (1902) argumentó contra el mendelismo porque pensaba que los alelos dominantes aumentarían en número en una población. El estadounidense William E. Castle (1903) demostró que, sin selección, las frecuencias genotípicas permanecerían estables. Karl Pearson (1903) halló una posición de equilibrio con los valores p = q = 0,5. Reginald Punnet, incapaz de responder al argumento de Yule, le presentó el problema a G. H. Hardy, un matemático británico con el que jugaba al cricket. Hardy era un matemático puro y mostraba cierto desprecio por las matemáticas aplicadas; su opinión sobre el uso que le daban los biólogos a las matemáticas quedó plasmada en un artículo de 1908 en el que lo describe como "muy simple". Al Editor de Science: soy reacio a entrometerme en una discusión que concierne a temas de los que no tengo un conocimiento experto, y debería haber esperado que el sencillo argumento que deseo aportar fuera familiar para los biólogos. Sin embargo, ciertas observaciones del señor Udny Yule sobre las que el señor R. C. Punnett ha llamado mi atención sugieren que todavía merece la pena hacerlo... Supongamos que Aa es un par de caracteres mendelianos, siendo el A dominante, y que en una generación cualquiera el número de dominantes puros (AA), de heterocigotos (Aa) y de recesivos puros (aa) son p:2q:r. Finalmente, supongamos que los números son bastante grandes, de manera que se pueda considerar que el apareamiento es aleatorio, que los sexos están distribuidos uniformemente en las tres variedades y que todas son igualmente fértiles. Es suficiente un poco de mátematica del nivel de las tablas de multiplicar para demostrar que en la siguiente generación los números serán (p+q)2:2(p+q)(q+r):(q+r)2, o digamos p1:2q1:r1.

Ley de Hardy-Weinberg La cuestión interesante es — ¿en qué circunstancias será esta distribución la misma que en la generación anterior? Es fácil ver que la condición para esto es q2 = pr. Y como q12 = p1r1, para cualquier valor de p, q y r, la distribución permanecerá en cualquier caso sin cambios tras la segunda generación. Por aquel entonces, el principio se conocía como ley de Hardy en el mundo angloparlante, hasta que Curt Stern (1943) señaló que ya había sido formulado independientemente en 1908 por el físico alemán Wilhelm Weinberg (ver Crow 1999). Otros han intentado asociar el nombre de Castle con la ley por su trabajo de 1903, pero raramente se la alude como ley de Hardy-Weinberg-Castle. Con la ley de Hardy-Weinberg se asentaron los cimientos de la genética de poblaciones, según la cual, la alteración genética de una población sólo puede darse por factores como mutaciones, selección natural, influencias casuales, convergencias o divergencias individuales, de modo que el cambio genético implica la perturbación del equilibrio establecido por la ley de Hardy-Weinberg.

Referencias y notas Referencias • Castle, W. E. (1903). The laws of Galton and Mendel and some laws governing race improvement by selection. Proc. Amer. Acad. Arts Sci.. 35: 233–242. Crow, J.F. (1999). Hardy, Weinberg and language impediments. Genetics 152: 821-825. enlace [4] Emigh, T.H. (1980). A comparison of tests for Hardy-Weinberg equilibrium. Biometrics 36: 627 – 642. Ford, E.B. (1971). Ecological Genetics, London. Hardy, G. H. (1908). "Mendelian proportions in a mixed population". Science 28: 49–50. copia de la ESP [5] Pearson, K. (1903). Mathematical contributions to the theory of evolution. XI. On the influence of natural selection on the variability and correlation of organs. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A 200: 1–66. • Stern, C. (1943). "The Hardy–Weinberg law". Science 97: 137–138. Enlace estable del JSTOR [6] • Weinberg, W. (1908). "Über den Nachweis der Vererbung beim Menschen". Jahreshefte des Vereins für vaterländische Naturkunde in Württemberg 64: 368–382. • Yule, G. U. (1902). Mendel's laws and their probable relation to intra-racial heredity. New Phytol. 1: 193–207, 222–238. • • • • •

Notas [1] [2] [3] [4] [5] [6]

L. L. Cavalli-Sforza / W. F. Bodmer, Genética de poblaciones humanas, Ediciones Omega S. A. Barcelona 1981. ISBN: 84-282-0660-O Evolutionibus (http:/ / evolutionibus. eresmas. net/ poblaciones. html) Datos de ejemplo de Emigh (1980). http:/ / www. genetics. org/ cgi/ content/ full/ 152/ 3/ 821 http:/ / www. esp. org/ foundations/ genetics/ classical/ hardy. pdf http:/ / links. jstor. org/ sici?sici=0036-8075%2819430205%293%3A97%3A2510%3C137%3ATHL%3E2. 0. CO%3B2-8

Enlaces externos • Descripción de poblaciones mendelianas: equilibrio de Hardy-Weinberg (http://www.ucm.es/info/genetica/ grupod/Genetica evolutiva/Hardy Weinberg/HardyWeinberg.htm) • Calculadora del equilibrio de Hardy-Weinberg (http://www.changbioscience.com/genetics/hardy.html) • Simulador de genética de poblaciones (http://www.radford.edu/~rsheehy/Gen_flash/popgen)

158

Cuadro de Punnett

159

Cuadro de Punnett El cuadro de Punnett es un diagrama diseñado por Reginald Punnett y es usado por los biólogos para determinar la probabilidad de que un producto tenga un genotipo particular. El cuadro de Punnett permite observar cada combinación posible de un alelo materno con otro alelo paterno por cada gen estudiado.

Cruce monohíbrido clásico En este modelo, ambos organismos poseen el genotipo Bb, por lo que pueden producir gametos que contengan Cuadro de Punnet, cruzamiento AaBb X AaBb. los alelos "B" y "b" (se acostumbra en los estudios de la genética usar mayúsculas para expresar los alelos dominantes y con minúscula a los recesivos). La probabilidad de que el producto tenga el genotipo BB es de 25%, con Bb es de 50% y con bb de 25%. Todos los genotipos son alelos, por lo tanto todos son conocidos como un punnett normal o adyacente. Materno B

b

Paterno B BB Bb b Bb

bb

Cabe señalar que el cuadro de Punnett solo muestra las posibilidades para genotipos, no para fenotipos. La forma en que los alelos B y b interactúan uno con el otro afectando la apariencia del producto depende de cómo interactúen los productos de los genes (véanse las leyes de Mendel). Para los genes clásicos dominantes/recesivos, como los que determinan el color del pelo de una rata, siendo B el pelo negro y b el pelo blanco, el alelo dominante eclipsará al recesivo.

Cruce dihíbrido clásico Cruzamientos más complejos pueden presentarse cuando se contemplan dos o más genes. El cuadro de Punnett solo funciona si los genes son independientes entre ellos. El siguiente ejemplo ilustra un cruce dihíbrido entre dos plantas heterocigóticas de guisante. R representa el alelo dominante de la forma (redondeada) mientras que r muestra el alelo recesivo (rugoso). Y es el alelo dominante del color (amarillo) cuando y es el alelo recesivo (verde). Si cada planta tiene el genotipo Rr Yy y los genes son independientes, estos pueden producir cuatro tipos de gametos con todas las posibles combinaciones: RY, Ry, rY y ry.

Cuadro de Punnett

160

RY

Ry

rY

ry

RY RRYY RRYy RrYY RrYy Ry RRYy RRyy RrYy Rryy rY

RrYY

RrYy

rrYY

rrYy

ry

RrYy

Rryy

rrYy

rryy

Ya que los alelos dominantes eclipsan a los recesivos hay nueve combinaciones que tienen el fenotipo redondeado amarillo, tres que son redondeado verde, tres de combinación rugoso amarillo y una con el fenotipo rugoso verde. La proporción se muestra como 9:3:3:1 y es la más usual para el cruce dihíbrido.

Enlaces externos • Calculadora con cuadro de Punnett [1] (en inglés) • Calculadora en línea cuadro de Punnett [2] (en inglés)

Referencias [1] http:/ / www. changbioscience. com/ genetics/ punnett. html [2] http:/ / www. bugaco. com/ calculators/ punnett_square. php

Identidad de Bézout La identidad de Bézout o Lema de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que

Algoritmo Los números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca:

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

se tiene que: .

Identidad de Bézout

161

Ejemplo Se puede ilustrar, la no unicidad anterior, con un ejemplo: el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, se puede escribir: (-3)·12 + 1·42 = 6 y también 4·12 + (-1)·42 = 6. De manera que, una de las soluciones es x = −3 e y = 1, y la otra solución es x = 4 e y = −1.

Generalizaciones La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de , y d es el máximo común divisor de a y b, entonces existen x e y elementos de

tales que

.

Enlaces externos • (inglés) Online calculator of Bézout's identity [1]. • Sencilla calculadora online de la identidad de Bézout [2].

Referencias [1] http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi?module=tool/ arithmetic/ bezout. en [2] http:/ / pedrocarrasco. org/ projects/ criptografia/ bezout. php

Bicondicional ↔⇔≡ Símbolos lógicos que representan ssi. En matemáticas y lógica, un bicondicional, (ssi, también llamado equivalencia o implicación doble), es una proposición de la forma "P si y solo si Q", en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o ambas falsas. También se dice que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

Símbolos Normalmente se usa el símbolo ⇔ o ↔ para denotar esta coimplicación, quedando así: las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente if).

Definición La tabla de verdad de p ↔ q es la siguiente:[1]

. En español se usan

a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only

Bicondicional

162

ssi p q p↔q V V V V F F F V F F F V

Tenga en cuenta que esta tabla es equivalente a la producida por la puerta lógica XNOR, y opuesta a la producida por la puerta XOR.

Definición semántica El valor de verdad de una bicondicional <<"p" solo si "q">> o «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad; de lo contrario, es falsa. Si p, entonces q, y, si q, entonces p. Escrito con símbolos lógicos: (p⇒q) ∧ (q⇒p).

Referencias [1] p <=> q (http:/ / www. wolframalpha. com/ input/ ?i=p+ <=>+ q). Wolfram|Alpha

Condición necesaria y suficiente En lógica, las palabras necesario y suficiente describen la relación que mantienen dos proposiciones o estado de las cosas, si una es condicionante de la otra. Por ejemplo, alguien puede decir: • El tomar agua regularmente es necesario para que un humano se mantenga con vida. • El saltar es suficiente para despegarse de la tierra. • El tener una credencial de identificación es una condición necesaria y suficiente para ser admitido. Nota: este artículo discute solamente la relación lógica implícita en las palabras necesario y suficiente. El significado causal de estas palabras es ignorado. Esto es potencialmente engañoso, ya que estas palabras a menudo implican causalidad en su uso normal.

Condiciones necesarias Al decir que A es necesaria para B, estamos diciendo que B no puede ser verdadera a menos que A sea verdadera, o que cuando quiera, donde quiera, o como sea, A es verdadera, si B lo es. En pocas palabras: Si el consecuente es falso, el antecedente tiene que ser falso (ver Modus tollendo tollens). Nosotros podemos decir que el tener por lo menos 18 años es necesario para tener una licencia de conducir. En el sentido en el que utilizamos aquí la palabra «necesario», podemos decir también «el humo es necesario para el fuego». Esto es confuso, desde el momento en que el humo viene después del fuego; pero todo lo que nosotros estamos diciendo es que donde quiera que exista B, ahí existe A, es decir, el fuego (A) no puede ocurrir sin que exista humo (B). Estamos tratando de no decir nada acerca de la dirección del tiempo. En el lenguaje ordinario diríamos «El humo es una consecuencia necesaria del fuego».[1] En cada caso, lo importante es notar que una cosa es asumida (el fuego, una licencia), y una segunda cosa es derivada como «necesaria consecuentemente». El tener 18 es una condición necesaria en el segundo caso; el humo es una condición necesaria en el primer caso (sin embargo, nuevamente, originariamente no deberemos llamar esto una «condición»).

Condición necesaria y suficiente Es importante saber que es muy posible que una condición necesaria ocurra por sí sola, por ejemplo, uno puede tener 18 años y no tener la licencia de conducir, y hay formas de generar humo sin fuego. Si A es una condición necesaria para B, entonces la relación lógica entre A y B se expresa: «si B entonces A» o «B solo si A» o «B → A».

Condiciones suficientes Al decir que A es suficiente para B, estamos diciendo precisamente lo contrario: que A no puede ocurrir sin B, o cuando sea que ocurra A, B ocurrirá. Es decir, que el hecho de que exista fuego es suficiente para que haya humo. En pocas palabras si el antecedente es verdadero, el consecuente tiene que ser verdadero (ver Modus ponendo ponens) Las condiciones necesarias y suficientes consecuentemente están relacionadas. A es una condición necesaria para B solo en el caso de que B sea una condición suficiente para A. En el sentido en el cual utilizamos la palabra «suficiente», podríamos también decir «tener una licencia es suficiente para tener dieciocho años». Esto es confuso, desde el momento en que tener una licencia no «causa» que tengas dieciocho años; no obstante, la percepción común es que si tú tienes una licencia, tú debes tener dieciocho años (consideramos la licencia como una prueba de edad debido a que la consideramos «suficiente» para demostar la edad en algo como en el sentido expuesto). Trate de ignorar la relación causal y la dirección del tiempo: Estamos poniendo atención solo en la relación lógica. En todo caso, note que una cosa es asumida (fuego, una licencia), y «esta misma cosa» la identificamos como la condición suficiente para otra cosa (humo, edad) - suficiente en el sentido de «lo justo adecuado para que la otra exista». Debemos considerar que, una condición suficiente, por definición, es aquello que no puede ocurrir sin aquello para lo que es condición, así que, no puedes tener una licencia sin tener dieciocho años. Si A es una condición suficiente para B, entonces la relación lógica entre ellas es expresada como «Si A entonces B» o «A solo si B» o «A → B».

Condición necesaria y suficiente Decir que A es necesaria y suficiente para B es decir dos cosas simultáneamente: 1. A es necesaria para B 2. A es suficiente para B. Por ejemplo, Si Alicia siempre come bistec el lunes, pero nunca en otro día, podemos decir que «El hecho de que sea lunes es una condición necesaria y suficiente para que Alicia coma bistec». Lo recíproco también es verdadero: «El hecho de que Alicia esté comiendo bistec es una condición necesaria y suficiente para que sea lunes». De este modo, en el momento en que A es necesaria y suficiente para B, B es necesaria y suficiente para A. Una vez más, esto es confuso, desde que la acción de Alicia de comer bistec no causa que sea Lunes. Desde que la frase «necesaria y suficiente» puede expresar una relación entre oraciones o entre estado de las cosas, objetos, o eventos, esta no debe ser combinada demasiado rápido con equivalencia lógica. El hecho de que Alicia este comiendo bistec no es equivalentemente lógico para que sea Lunes. Sin embargo, «A es necesario y suficiente para B» expresa la misma cosa que «A si y solo si B».

163

Condición necesaria y suficiente

164

Notas [1] Para el propósito de este ejemplo, ignoraremos la posibilidad de que el fuego no cree humo.

Enlaces externos • Stanford Encyclopedia of Philosophy: Necessary and Sufficient Conditions (http://plato.stanford.edu/entries/ necessary-sufficient/)

Algoritmo de Euclides El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras. Con unas ligeras modificaciones suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.

Algoritmo original de Euclides En la concepción griega de la matemática, los números se entendían como magnitudes geométricas. Un tema recurrente en la geometría griega es el de la conmensurabilidad de dos segmentos: dos segmentos (números) AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ el cual cabe exactamente un número entero de veces en los primeros dos, es decir, PQ «mide» (mensura: medida) a los segmentos AB y CD. No cualquier par de segmentos es conmensurable, como encontraron los pitagóricos cuando establecen que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables, pero en el caso de dos segmentos conmensurables se desea hallar la mayor medida común posible. Euclides describe en la proposición VII.2 de sus Elementos un método que permite hallar la mayor medida común posible de dos números (segmentos) que no sean primos entre sí, aunque de acuerdo a la época tal método se explica en términos geométricos, lo que se ilustra en la siguiente transcripción. Para encontrar la máxima medida común de dos números que no sean primos entre sí.

AB y CD los segmentos conmensurables.


Ejemplo del algoritmo original de Euclides.

Sean AB y CD los dos números que no son primos uno al otro. Se necesita entonces encontrar la máxima medida común de AB y CD. Si CD mide AB entonces es una medida común puesto que CD se mide a sí mismo. Y es manifiesto que también es la mayor medida pues nada mayor a CD puede medir a CD. Pero si CD no mide a AB entonces algún número quedará de AB y CD, el menor siendo continuamente restado del mayor y que medirá al número que le precede. Porque una unidad no quedará pues si no es así, AB y CD serán primos uno del otro [Prop. VII.1], lo cual es lo contrario de lo que se supuso. Por tanto, algún número queda que medirá el número que le precede. Y sea CD midiendo BE dejando EA menor que sí mismo y sea EA midiendo DF dejando FC menor que sí mismo y sea FC medida de AE. Entonces, como FC mide AE y AE mide DF, FC será entonces medida de DF. Y también se mide a sí mismo. Por tanto también medirá todo CD. Y CD mide a BE. Entonces CF mide a BE y también mide a EA. Así mide a todo BA y también mide a CD. Esto es, CF mide tanto a AB y CD por lo que es una medida común de AB y CD. Afirmo que también es la mayor medida común posible porque si no lo fuera, entonces un número mayor que CF mide a los números AB y CD, sea éste G. Dado que G mide a CD y CD mide a BE, G también mide a BE. Además, mide a todo BA por lo que mide también al residuo AE. Y AE mide a DF por lo que G también mide a DF. Mide también a todo DC por lo que mide también al residuo CF, es decir el mayor mide al menor, lo cual es imposible. Por tanto, ningún número mayor a CF puede medir a los números AB y CD. Entonces CF es la mayor medida común de AB y CD, lo cual se quería demostrar.

165


166 Euclides. Elementos VII.2

En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue: 1. Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común. 2. Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final no queda un residuo, EA es la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA. 3. El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común. El hecho de que los segmentos son conmesurables es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano

Algoritmo de Euclides tradicional Al dividir

entre

(números enteros), se obtiene un cociente y

a=bq+r y c divide a

divide también a r.Si existiera otro número mayor que c que divide a b y a r, también

dividiría a a , por lo que c no sería el mcd de

y

y

. Es posible demostrar que el

máximo común divisor de ya

es el mismo que el de

y un residuo

(Sea c el máximo común divisor de

y

,.Como

, lo que contradice la hipótesis). Éste es el fundamento principal

del algoritmo. También es importante tener en cuenta que el máximo común divisor de cualquier número precisamente

. Para fines prácticos, la notación

significa máximo común divisor de

y

y

es

.

Según lo antes mencionado, para calcular el máximo común divisor de 2366 y 273 se puede proseguir de la siguiente manera: Paso

Operación

Significado

1

2366 dividido entre 273 es 8 y sobran 182

2


3

182 dividido entre 91 es 2 y sobra 0

La secuencia de igualdades que

implican .

Dado

que

,

entonces

se

concluye

que

. Este mismo procedimiento se puede aplicar a cualesquiera dos números naturales. En general, si se desea encontrar el máximo común divisor de dos números naturales reglas: 1. Si

entonces

2. En otro caso, utilizan estas mismas reglas Asuma que llamamos y

y

, se siguen las siguientes

y el algoritmo termina donde

es el resto de dividir

entre

. Para calcular

se

. Aplicando estas reglas se obtiene la siguiente secuencia de operaciones:


167

Paso

Operación

Significado

1

dividido entre

es

y sobran

2

dividido entre

es

y sobran

3

dividido entre

es

y sobran

dividido entre

es

dividido entre

y sobran

es

y sobra

Como la sucesión de residuos va disminuyendo, eventualmente un residuo tiene que ser cero y es en ese momento cuando el algoritmo termina. El máximo común divisor es precisamente (el último residuo que no es cero).

Generalización En realidad el algoritmo de Euclides funciona no sólo para los números naturales, sino para cualesquiera elementos donde exista una "división con residuo". A este tipo de divisiones se les llama divisiones euclidianas y a los conjuntos donde se puede definir dicha división se les llama dominios euclídeos. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el de los polinomios con coeficientes racionales son dominios euclídeos porque podemos definir una división con residuo (véase División polinomial). De esta manera, se puede calcular el máximo común divisor de dos números enteros o de dos polinomios. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de los polinomios

y

el algoritmo de Euclides sugiere la siguiente secuencia de operaciones: Paso 1 2 3

Operación dividido entre

Significado es

dividido entre

es

dividido entre

y sobra

y sobra es

y sobra 0

De esta manera se concluye que su máximo común divisor es

.

Descripción formal Se puede expresar este algoritmo de manera más formal usando pseudocódigo. En este caso la expresión " " significa "el residuo de dividir

entre

" (véase Aritmética modular).

Algoritmo 1 de Euclides Entrada: Valores

y

pertenecientes a un dominio euclídeo

Salida: Un máximo común divisor de 1. 2.

y

,

3. Mientras

haga lo siguiente:

1. 2. 4. El resultado es:

Vale la pena notar que este algoritmo no es eficiente ser implementado directamente en una computadora, ya que requeriría memorizar todos los valores de .


168

Algoritmo de Euclides extendido El algoritmo de Euclides extendido permite, además de encontrar un máximo común divisor de dos números enteros y , expresarlo como la mínima combinación lineal de esos números, es decir, encontrar números enteros y tales que

. Esto se generaliza también hacia cualquier dominio euclideano.

Fundamentos Existen varias maneras de explicar el algoritmo de Euclides extendido, una de las más comunes consiste en la siguiente: 1. Usar el algoritmo tradicional de Euclides. En cada paso, en lugar de "

dividido entre

es

y de resto

" se

escribe la ecuación (véase algoritmo de la división). 2. Se despeja el resto de cada ecuación. 3. Se sustituye el resto de la última ecuación en la penúltima, y la penúltima en la antepenúltima y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación, y en todo paso se expresa cada resto como combinación lineal. Sin embargo, en aras de la comprensión y memorización de este algoritmo, es conveniente conocer la siguiente caracterización. Para multiplicar dos matrices de tamaño se usa la siguiente fórmula (véase Producto de matrices): (1)

Supóngase que se utiliza el algoritmo de Euclides tradicional para calcular los valores Por cada valor

calculado se puede formar la matriz

repetida se puede calcular el producto las primeras

Resulta ser que los valores combinación

lineal

y

de

.

que ahí se describen.

. Usando la ecuación (1) de manera

matrices de este tipo:

tienen la propiedad de que y

y

Particularmente,

, es decir, expresan a como

entonces

como una se

tiene

, lo cual es la solución del problema. Esta propiedad no debería ser sorprendente, pues esta multiplicación de matrices equivale al método antes descrito donde se substituye cada ecuación en la anterior. Es importante calcular

en ese mismo orden. La matriz

extremo derecho y la matriz en el izquierdo. Regresando al primer ejemplo, la sucesión de cocientes es

Utilizando el primer renglón de esta matriz se puede leer que

,

y

aparece en el

. Entonces se puede calcular

, es decir, se ha

encontrado la manera de expresar al máximo común divisor de 2366 y 273 como una combinación lineal.


169

Descripción formal Para expresar el algoritmo de Euclides extendido es conveniente notar la manera en que se calculan los valores con la multiplicación de matrices:

De esta manera

y además

y

. Por lo tanto el algoritmo en pseudocódigo

se puede expresar como sigue: Algoritmo 2 de Euclides extendido Entrada: Valores

y

pertenecientes a un dominio euclídeo

Salida: Un máximo común divisor de

y

, y valores

y

tales que

1. 2. 3. Mientras 1. Divida

haga lo siguiente: entre

para obtener el cociente

y el residuo

2. 3. 4. 4. El resultado es:

es un máximo común divisor de

y

y se expresa

Aplicaciones Simplificar fracciones Al momento de hacer cálculos con fracciones, es de gran importancia saber cómo simplificarlas. Por ejemplo, la fracción es equivalente con (véase Número racional). De manera más general, siempre que . Para reducir una fracción cualquiera , sólo se necesita dividir Por ejemplo, si se desea reducir

y

, primero se usa el algoritmo de Euclides para encontrar

. Se hacen las divisiones que

entre su máximo común divisor.

y

. Luego entonces se concluye

.

Fracciones continuas La sucesión de divisiones que se efectúan al seguir algoritmo de Euclides puede ser utilizada para expresar una fracción cualquiera como fracción continua. Esto se debe a que si y , entonces (3) Por ejemplo, para encontrar el máximo común divisor de de divisiones:

y

el algoritmo genera la siguiente secuencia


170

Paso

Operación

Significado

1


2


3


4


Todas estas ecuaciones las podemos hacer parecidas a la ecuación ( 3): 1. 2. 3. 4. Si se substituye la segunda ecuación en la primera, se obtiene

Si se repite este proceso de substitución entonces se obtiene la expresión deseada:

De manera más general, la fracción continua encontrada con este algoritmo siempre es de la forma

Inversos modulares Decimos que dos números enteros son congruentes módulo (aunque también se puede generalizar para cualquier otro dominio euclídeo) si al dividirlos entre obtenemos el mismo residuo (véase Congruencia). Por ejemplo, 7 es congruente con 12 módulo 5 porque al dividir 7 entre 5 y 12 entre 5, en ambos casos obtenemos el mismo residuo (que es 2). Cuando es congruente con módulo se escribe , en el ejemplo anterior se tiene

. Supóngase que se conocen los valores de

,

y

, pero que se desconoce el valor

de la siguiente ecuación: (2) Basta con encontrar un valor

que tenga la característica de que

al multiplicar la ecuación (2) por

Al valor ejemplo, con

se tendría la solución deseada:

se le llama inverso modular de y

módulo

. Desafortunadamente este valor no siempre existe. Por

no existe ningún número entero entero

hecho este valor existe si y sólo si

de

módulo

tal que

. De

(la condición de existencia de soluciones depende de que

, mientras que la unicidad depende de que el de Euclides extendido (ahora con

, pues de esta manera

) se obtiene

. Por ejemplo, se desea resolver la ecuación

). Más aún, si al usar el algoritmo , entonces el valor

es el inverso modular


171

Entonces con el algoritmo de Euclides extendido se calcula que

. Como

entonces 5 tiene un inverso modular. Más aún, como

, entonces ese inverso

es 2. Entonces Es decir que el valor de

es

.

Complejidad del algoritmo El teorema de Lamé afirma que el caso peor para este algoritmo es cuando se le pide calcular el máximo común divisor de dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, si se desea calcular el máximo común divisor de y se obtiene la siguiente secuencia de operaciones:

Gráfica del número de divisiones efectuadas en el algoritmo de Euclides. El rojo indica pocas operaciones, mientras que los colores eventualmente más azules representan mayor número de operaciones.

Paso

Operación

1


2


3


4


5


6


7


8


9


Significado

En este ejemplo se observa que con estos dos números de dos dígitos decimales, se necesita hacer 9 divisiones. En general, el número de divisiones efectuadas por el algoritmo nunca supera 5 veces el número de dígitos que tienen estos números. En términos de complejidad computacional, esto significa que se requieren divisiones para calcular el máximo común divisor de

y

donde

.

El número promedio de divisiones efectuadas por el algoritmo se estuvo investigando desde 1968, pero sólo hasta apenas el año 2002, Brigitte Vallée demostró que si los dos números se pueden representar con bits, entonces el


172

número promedio de divisiones necesarias es

.

Sin embargo, no basta con saber el número de divisiones. Hay que recordar que el algoritmo de Euclides funciona tanto para polinomios como para números enteros, y en general, cualquier dominio Euclídeo. En cada caso, la complejidad del algoritmo depende del número de divisiones efectuadas y del costo de cada división. En el caso de los polinomios, el número de divisiones es donde es el grado de los polinomios.

Implementación en pseudocódigo En general, los algoritmos 1 y 2 no son muy apropiados para implementarse directamente en un lenguaje de programación, especialmente porque consumen mucha memoria. Si no se necesitan los valores intermedios, y sólo se desea calcular el máximo común divisor de dos números enteros, conviene usar estas variantes: Algoritmo de Euclides tradicional implementado de manera recurrente Función

:

Si

entonces: El resultado es

En otro caso: El resultado es

Algoritmo de Euclides tradicional implementado de manera iterativa Función

:

Mientras

haga lo siguiente:

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera recurrente Función

:

Si

entonces: El resultado es

En otro caso:

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera iterativa Función

:

Mientras Divida

haga lo siguiente: entre

para obtener un cociente

y un residuo

El resultado es

Algoritmo de Euclides extendido implementado de manera iterativa con matrices


173

Función

:

Mientras

haga lo siguiente:

Divida

entre

para obtener un cociente

y un residuo

El resultado es

Acerca de la notación empleada: •

significa "asigne a la variable

el valor actual de

". En lenguajes como C, Java, C#, Python y Visual

Basic esto significa simplemente x = y. En otros lenguajes como Pascal se traduce en a := b, en Maxima es a : b, en R, S y Ocaml es x <- y, e inclusive se utiliza la flecha x ← y como el caso de APL. •

significa que primero se evalúan los valores

y luego se asigna

, etc. En lenguajes como Python, Ruby o Maxima esta instrucción tiene una estructura muy similar, como por ejemplo en Python: (x,y,z) = (a,b,c). En otros lenguajes es necesario el uso de variables auxiliares, como por ejemplo en lenguaje C: aux1 = b; aux2 = c; x = a; y = aux1; z = aux2;. • significa "el cociente de dividir entre ". A esta operación se le conoce también como la división truncada porque trunca la parte fraccionaria del número. En muchos lenguajes de programación esto se implementa simplemente como a/b. Otras maneras son a\b (Visual Basic) , a div b (Pascal) o bien a//b (Python 3). • significa "el residuo de dividir entre ". A esta operación se le conoce simplemente como módulo. En muchos lenguajes de programación se implementa como a % b, mientras que en otros es a mod b (Visual Basic o Pascal) o bien a rem b (Ada).

Referencias • von zur Gathen, Joachim; Gerhard, Jürgen (2003). «The Euclidean Algorithm». Modern Computer Algebra (http:/ /math-www.uni-paderborn.de/mca/). Cambridge University Press. ISBN 0-521-82646-2. • Shoup, Victor (2008). «Euclid’s algorithm». A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (http:/ /www.shoup.net/ntb/). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85154-1. • Johnsonbaugh, Richard (2005). «Introducción a la teoría de números». Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3. • Ralph P. Grimaldi (1998). «Propiedades de los números enteros: Inducción matemática». Matemáticas Discreta y Combinatoria. México: Addison Wesley Longman de México. ISBN 968-444-324-2. • Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2009). «Propiedades de los enteros». Matemáticas Discretas. McGraw-Hill. ISBN 978-970-10-7236-3. • Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Análisis de algoritmos». Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X. • Vallée, Brigitte (2002). « Dynamical Analysis of -Euclidean Algorithms (http://users.info.unicaen.fr/ ~brigitte/Publications/bourdon-daireaux-vallee.ps)». Journal of Algorithms 44 (1). ISSN 0196-6774 , pp. 246-285. • Cormen, Thomas; Leiserson, Charles; Rivest, Ronald; Stein, Clifford (2009). «Number-Theoretic Algorithms». Introduction to Algorithms. The MIT Press. ISBN 978-0-262-53305-8. • Barrera Mora, Fernando (2005). «Definiciones y resultados generales». Introducción a la Teoría de Grupos (http:/ /smm.org.mx/publicaciones/pe/textos/2004/v4/pdf/smm-pe-textos-2004-v4.pdf). Publicaciones Electrónicas de la Sociedad Matemática Mexicana. ISBN 968-9161-02-4.

Algoritmo de Euclides • Cárdenas, Humberto; Lluis, Emilio; Raggi, Francisco; Tomás, Francisco (2004). «Divisibilidad». Álgebra Superior. México: Trillas. ISBN 968-24-3783-0. • Pérez Seguí, María Luisa (2006). «Divisibilidad». Teoría de Números. Instituto de Matemáticas, UNAM. ISBN 970-32-1170-0. • Sánchez Velázquez, Jesús (1998). «Algoritmos para números grandes». Introducción al análisis de algoritmos. México: Trillas. ISBN 968-24-4341-5. • Baldor, Aurelio (2008). «Máximo común divisor». Álgebra. México: Grupo Editorial Patria. ISBN 978-970-817-000-0.

Enlaces externos • Divisibilidad. El algoritmo de Euclides. (http://www.dma.fi.upm.es/java/matematicadiscreta/ aritmeticamodular/divisibilidad.html) • Algoritmo de Euclides. (http://huitoto.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/alg_euclides.html) • Implementación del algoritmo de Euclides extendido en la web (http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/ dp/matema/javas/euclidesext.htm) • Euclidean Algorithm de Wolfram MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/EuclideanAlgorithm.html)

Teoría de grafos

Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba el grafo pez, en medio el grafo arco y abajo el grafo dodecaedro. La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas) estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. La teoría de grafos es una rama de la matemáticas discretas y aplicadas, y es una disciplina que unifica diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología.

174

Teoría de grafos

175

Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones.

Historia El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río pregel (54°42′12″N 20°30′56″E) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis[1] (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

Los 7 puentes del río pregel en Königsberg.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería. En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos. En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (formula) pero diferente estructura molecular. Para ello represento cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos. El termino «grafo», proviene de la expresión «graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland[2] y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacia referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula. El primer libro sobre teoria de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.[3]

Aplicaciones Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería. Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd. Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos. La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición,

Teoría de grafos

176

centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes. Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciónes. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.

Mapas conceptuales

Plano de estaciones del metro.

Plano de autopistas.

Circuito eléctrico

Sociograma de una red social

Topología de red de computadores

Organigramas

Isomeros

Arquitectura de redes de telefonía móvil

Draws de eliminación directa (ej: tenis)

Tipos de grafos • Grafo simple. o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo. • Multigrafo. o pseudografo son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido. • Grafo dirigido. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha • Grafo etiquetado. Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices. • Grafo aleatorio. Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

Teoría de grafos

177

• Hipergrafo. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices. • Grafo infinito. Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

Representación de grafos Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), ademas de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Estructura de lista • lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.[4] • lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra. • lista de grados - También llamada secuencia de grados o sucesión gráfica de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.

Estructuras matriciales • Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado) • Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño

, donde

número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento

es el

es 1, de lo

contrario, es 0. Grafo G(V,A)

Conjuntos

V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A = { {1,1}, {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} }

Matriz de adyacencia

Matriz de incidencia

Secuencia de grados

Lista de Adyacencia

(4,3,3,3,2,1)

{ {1,2,5}, {3,5}, {4}, {5,6} }

Teoría de grafos

178

Problemas de teoría de grafos Ciclos y caminos hamiltonianos Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega). Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas). Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.

Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños. El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los NP-completos.

Grafos planos Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano. Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces? Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce. Sea Kn el grafo completo con n vértices, Kn, p es el grafo bipartito de n y p vértices.

Un grafo es plano si se puede dibujar sin cruces de aristas. El problema de las tres casas y los tres pozos tiene solución sobre el toro, pero no en el plano.

El juego anterior equivale a descubrir si el grafo bipartito completo K3,3 es plano, es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo no es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como menor) a K5 o a K3,3. Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con topología.

Teoría de grafos

Coloración de grafos Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable λ, llamada polinomio cromático de G , que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo de λ colores. Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε , entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el grafo se obtene por contracción de aristas. Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0 Sea G=(V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0. Sea G=(V, E), con a, b pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000 Teorema de los cuatro colores

Mapa coloreado con 4-colores.

Grafo dual asociado al mapa con una 4-vértice coloración. Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido: Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa. El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea el mismo método. La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.

179

Teoría de grafos

180

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que ha creado una fuerte polémica dentro de la comunidad matemática, llegando en algunos casos a plantearse la cuestión de que esta demostración y su aceptación es uno de los momentos que han generado una de las más terribles crisis en el mundo matemático.

Caracterización de grafos Grafos simples Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Un grafo que no es simple se denomina multigrafo. Grafos conexos Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b. Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo. Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS). En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente) conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes (fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

Grafos completos Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une. El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente Un

, es decir, grafo completo de

La representación gráfica de los

vértices tiene exactamente

, siendo

el grafo completo de n vértices. aristas.

como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Teoría de grafos

181

Grafos bipartitos Un grafo G es bipartito si puede expresarse como

(es decir, sus vértices son la unión de dos

grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones: • y son disjuntos y no vacíos. • Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2. • No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para V2. Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

Homeomorfismo de grafos Dos grafos

y

son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de

subdivisiones elementales de aristas.

Árboles Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

Ejemplo de árbol.

Grafos ponderados o etiquetados En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un grafo valuado. Formalmente, es un grafo con una función v: A → R+. Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas. Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminos desde a hasta b, sin más condición.

Teoría de grafos

182

Diámetro En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El diámetro, en una figura como en un grafo, es la mayor distancia de entre todos los pares de puntos de la misma. El diámetro de los Kn es 1, y el de los Kn,p es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es conexo. También se puede considerar el diámetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vértices.

En la figura se nota que K4 es plano (desviando la arista ab al exterior del cuadrado), que K5 no lo es, y que K3,2 lo es también (desvíos en gris).

El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del diámetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, y escogemos dos páginas web al azar: ¿En cuántos clics se puede pasar de la primera a la segunda? El resultado es el diámetro de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces. En el mundo real hay una analogía: tomando al azar dos seres humanos del mundo, ¿En cuántos saltos se puede pasar de uno a otro, con la condición de sólo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente? Con esta definición, se estima que el diámetro de la humanidad es de... ¡ocho solamente! Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos. Véase también: Glosario en teoría de grafos.

Algoritmos importantes • • • • • • • • • • • •

Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS) Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS) Algoritmo de búsqueda A* Algoritmo del vecino más cercano Ordenación topológica de un grafo Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Bellman-Ford Algoritmo de Prim Algoritmo de Ford-Fulkerson Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Floyd-Warshall

Teoría de grafos

Investigadores relevantes en Teoría de grafos • • • • • • • • • • • • • • • •

Alon, Noga Berge, Claude Bollobás, Béla Brightwell, Graham Chung, Fan Dirac, Gabriel Andrew Dijkstra, Edsger Erdős, Paul Euler, Leonhard Faudree, Ralph Golumbic, Martin Graham, Ronald Harary, Frank Heawood, Percy John Kőnig, Dénes Kuratowski, Kazimierz

• • • • • • • • • • • •

Lovász, László Nešetřil, Jaroslav Rényi, Alfréd Ringel, Gerhard Robertson, Neil Seymour, Paul Szemerédi, Endre Thomas, Robin Thomassen, Carsten Turán, Pál Tutte, W. T. Whitney, Hassler

Referencias [1] Euler, L. (1736). « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (http:/ / math. dartmouth. edu/ ~euler/ docs/ originals/ E053. pdf)». Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8. 128-140. . [2] http:/ / booklens. com/ l-r-foulds/ graph-theory-applications pag 7 [3] Tutte, W.T. (2001), Graph Theory (http:/ / books. google. com/ books?id=uTGhooU37h4C& pg=PA30), Cambridge University Press, p. 30, ISBN 978-0-521-79489-3, . [4] Ejemplo de una lista de incidencia (http:/ / upload. wikimedia. org/ wikipedia/ commons/ thumb/ 1/ 18/ Incidence_list_2. svg/ 500px-Incidence_list_2. svg. png)

183

Teoría de grafos

Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Teoría de grafos. Commons • Páginas blancas de la Teoría de grafos (http://www.math.gatech.edu/~sanders/graphtheory/) (para más investigadores y publicaciones). • "Teoría de grafos" en la Enciclopedia Libre Universal en Español • Grafos (http://arodrigu.webs.upv.es/grafos): Es un software para la construcción, edición y análisis de grafos. Forma parte de un proyecto (creative commons) de investigación y desarrollo de aplicaciones informáticas de diseño modular orientadas hacia la docencia, investigación y labores profesionales de Ingeniería de Organización Industrial. También tiene un libro y otros documentos para descargar sobre teoría de grafos. • GraphThing (http://graph.seul.org/): Es un software para la construcción, edición y análisis de grafos, es software libre bajo la licencia gnu. • aiSee (http://www.absint.com/aisee/index_es.htm): Es un software para la visualización automática de grafos especificados en formato GDL. No es libre, pero es gratuito para uso no comercial. • AbuGraph (http://sourceforge.net/projects/abugraph): Aplicación Java para el trazado y la visualización de grafos dirigidos. Soporta la creación dinámica de grafos en tiempo real recibiendo comandos desde otras aplicaciones a través de una conexión TCP/IP. • El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal (http:// enciclopedia.us.es/index.php/TeorÃa_de_grafos), publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es).

Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico.

184

Leyes de Kirchhoff

185

Ley de corrientes de Kirchhoff Véase también: Análisis de nodos.

Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que:

La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que sale del mismo. i1 + i4 = i2 + i3

En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero

Esta fórmula es válida también para circuitos complejos:

La ley se basa en el principio de la conservación de la carga donde la carga en couloumbs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en segundos.

Densidad de carga variante La LCK sólo es válida si la densidad de carga se mantiene constante en el punto en el que se aplica. Considere la corriente entrando en una lámina de un capacitor. Si uno se imagina una superficie cerrada alrededor de esa lámina, la corriente entra a través del dispositivo, pero no sale, violando la LCK. Además, la corriente a través de una superficie cerrada alrededor de todo el capacitor cumplirá la LCK entrante por una lámina sea balanceada por la corriente que sale de la otra lámina, que es lo que se hace en análisis de circuitos, aunque cabe resaltar que hay un problema al considerar una sola lámina. Otro ejemplo muy común es la corriente en una antena donde la corriente entra del alimentador del transmisor pero no hay corriente que salga del otro lado. Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento para describir estas situaciones. La corriente que fluye en la lámina de un capacitor es igual al aumento de la acumulación de la carga y además es igual a la tasa de cambio del flujo eléctrico debido a la carga (el flujo eléctrico también se mide en Coulombs, como una carga eléctrica en el SIU). Esta tasa de cambio del flujo , es lo que Maxwell llamó corriente de desplazamiento :

Cuando la corriente de desplazamiento se incluye, la ley de Kirchhoff se cumple de nuevo. Las corrientes de desplazamiento no son corrientes reales debido a que no constan de cargas en movimiento, deberían verse más como

Leyes de Kirchhoff

186

un factor de corrección para hacer que la LCK se cumpla. En el caso de la lámina del capacitor, la corriente entrante de la lámina es cancelada por una corriente de desplazamiento que sale de la lámina y entra por la otra lámina. Esto también puede expresarse en términos del vector campo al tomar la Ley de Ampere de la divergencia con la corrección de Maxwell y combinando la ley de Gauss, obteniendo:

Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la carga (en forma integral, dice que la corriente que fluye a través de una superficie cerrada es igual a la tasa de pérdida de carga del volumen encerrado (Teorema de Divergencia). La ley de Kirchhoff es equivalente a decir que la divergencia de la corriente es cero, para un tiempo invariante p, o siempre verdad si la corriente de desplazamiento está incluida en J.

Ley de tensiones de Kirchhoff Véase también: Análisis de malla.

Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de lazos de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común que se use la sigla LVK para referirse a esta ley.

Ley de tensiones de Kirchhoff, en este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no hace parte de la malla que estamos analizando.

En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico en un lazo es igual a cero.

De igual manera que con la corriente, los voltajes también pueden ser complejos, así:

Esta ley se basa en la conservación de un campo potencial de energía. Dado una diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo cerrado no gana o pierde energía al regresar al potencial inicial. Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el circuito. La validez de esta ley puede explicarse al considerar que una carga no regresa a su punto de partida, debido a la disipación de energía. Una carga simplemente terminará en el terminal negativo, en vez de el positivo. Esto significa que toda la energía dada por la diferencia de potencial ha sido completamente consumida por la resistencia, la cual la transformará en calor.

Leyes de Kirchhoff En resumen, la ley de tensión de Kirchhoff no tiene nada que ver con la ganancia o pérdida de energía de los componentes electrónicos (Resistores, capacitores, etc. ). Es una ley que está relacionada con el campo potencial generado por fuentes de tensión. En este campo potencial, sin importar que componentes electrónicos estén presentes, la ganancia o pérdida de la energía dada por el campo potencial debe ser cero cuando una carga completa un lazo.

Campo eléctrico y potencial eléctrico La ley de tensión de Kirchhoff puede verse como una consecuencia del principio de la conservación de la energía. Considerando ese potencial eléctrico se define como una integral de línea, sobre un campo eléctrico, la ley de tensión de Kirchhoff puede expresarse como:

Que dice que la integral de línea del campo eléctrico alrededor de un lazo cerrado es cero. Para regresar a una forma más especial, esta integral puede "partirse" para conseguir el voltaje de un componente en específico.


Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Ley de Corriente de Kirchhoff.Wikiversidad

•

Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Ley de Voltaje de Kirchhoff.Wikiversidad

Wikilibros •

Wikilibros alberga libro sobre Leyes de Kirchhoff.

• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Kirchhoff's circuit laws de la Wikipedia en inglés, bajo la licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 Unported y la licencia de documentación libre de GNU.

187

Multigrafo

188

Multigrafo Un multigrafo o pseudografo es un grafo que está facultado para tener aristas múltiples; es decir, aristas que relacionan los mismos nodos. De esta forma, dos nodos pueden estar conectados por más de una arista. Formalmente, un multigrafo G es un par ordenado G:=(V, E) donde: • V es un conjunto de vértices o nodos • E es un multiconjunto de pares no ordenados de nodos, llamados aristas o líneas. Ejemplo. Los multigrafos podrían usarse, por ejemplo, para modelar las posibles conexiones de vuelo ofrecidas por una aerolínea. Para este caso tendríamos un grafo dirigido, donde cada nodo es una localidad y donde pares de aristas paralelas conectan estas localidades, según un vuelo es hacia o desde una localidad a la otra.

Un multigrafo con múltiples aristas (en rojo) y tres bucles (en azul). No todos los autores permiten multigrafos con bucles.

Algunos autores permiten que los multigrafos tengan bucles, es decir, que una arista conecte a un nodo consigo mismo.[1] Un multidigrafo es un grafo dirigido que está facultado para tener aristas múltiples, es decir, aristas con los mismos nodos iniciales y finales. Formalmente, un multidigrafo G es un par ordenado G:=(V,A) donde: • V es un conjunto de vértices o nodos • A es un multiconjunto de pares ordenados de nodos, llamados aristas dirigidas, arcos o flechas. Un multidigrafo mixto G:=(V,E,A) puede definirse de la misma manera que un grafo mixto, es decir, con la capacidad de poseer al mismo tiempo aristas dirigidas (A) y no dirigidas (E).

Etiquetado Los multigrafos y multidigrafos pueden etiquetarse de manera análoga a un grafo tradicional. Sin embargo, sólo existe consenso con respecto a la terminología para los multidigrafos. Un multidigrafo etiquetado G es un grafo etiquetado con arcos etiquetados. Formalmente, es una 8-tupla donde: • V es un conjunto de nodos y A un multiconjunto de arcos. • • •

y

son alfabetos finitos para las etiquetas de nodos y arcos. y son dos funciones que indican la fuente y objetivo de los nodos de un arco. y

son dos funciones que asocian cada nodo y arco con una etiqueta.

Multigrafo

189

Notas [1] Por ejemplo, ver, Bollobas, p. 7 y Diestel, p. 25.

Referencias • • • • • • • •

Balakrishnan, V. K.; Graph Theory, McGraw-Hill; 1 edition (February 1, 1997). ISBN 0-07-005489-4. Bollobas, Bela; Modern Graph Theory, Springer; 1st edition (August 12, 2002). ISBN 0-387-98488-7. Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5. Gross, Jonathan L, and Yellen, Jay; Graph Theory and Its Applications, CRC Press (December 30, 1998). ISBN 0-8493-3982-0. Gross, Jonathan L, and Yellen, Jay; (eds); Handbook of Graph Theory. CRC (December 29, 2003). ISBN 1-58488-090-2. Harary, Frank; Graph Theory, Addison Wesley Publishing Company (January 1995). ISBN 0-201-41033-8. Zwillinger, Daniel; CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Chapman & Hall/CRC; 31st edition (November 27, 2002). ISBN 1-58488-291-3. Svante Janson, Donald E. Knuth, Tomasz Luczak, and Boris Pittel; The Birth of the Giant Component, Random Structures Algorithms 4 (1993), no. 3, 231-358.

Grafo dirigido Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual el conjunto de los vértices tiene una dirección definida[1], a diferencia del grafo generalizado, en el cual la dirección puede estar especificada o no. Al igual que en el grafo generalizado, el grafo dirigido está definido por un par de conjuntos , donde: •

, un conjunto no vacío de objetos simples llamados vértices o nodos.

•

es un conjunto de pares ordenados de elementos de

denominados aristas o arcos, donde por definición un arco va

Un grafo dirigido.

del primer nodo (a) al segundo nodo (b) dentro del par. A veces un digrafo es denominado digrafo simple para distinguirlo del caso general del multigrafo dirigido, donde los arcos constituyen un multiconjunto, en lugar de un conjunto. En este caso, puede haber más de un arco que una dos vértices en la misma dirección, distinguiéndose entre sí por su identidad, por su tipo (por ejemplo un tipo de arco representa relaciones de amistad mientras que el otro tipo representa mensajes enviados recientemente entre los nodos), o por un atributo como por ejemplo su importancia o peso. A menudo también se considera que un digrafo simple es aquél en el que no están permitidos los bucles. Un bucle es un arco que une un vértice consigo mismo.

Grafo dirigido

190

Terminología básica Un arco

se considera dirigido desde x hacia y; y se denomina cabeza y x se denomina cola del arco.

y se denomina también un sucesor directo de x; correspondientemente, se denomina a x un predecesor directo de y. Si existe un camino compuesto de uno o más arcos que una x con y, entonces a y se le denomina sucesor de x, al igual que a x se le denomina predecesor de y. Al arco

se le denomina arco invertido de

.

Un grafo dirigido G es llamado simétrico si, para cualquier arco que pertenece a G, el arco invertido correspondiente también pertenece a G. Un grafo dirigido simétrico y sin bucles es equivalente a un grafo no dirigido; basta con reemplazar cada par de arcos dirigidos por un solo arco no dirigido. Una orientación de un grafo simple no dirigido se obtiene al asignar una orientación a cada uno de los arcos existentes. Un grafo dirigido construido de esta manera se denomina un grafo orientado. Una manera de distinguir entre un grafo simple dirigido y un grafo orientado es que si x e y son vértices, un grafo simple dirigido permite tanto como entre sus arcos, mientras que solo una de las dos posibilidades es admitida en un grafo orientado.[2][3] Un digrafo ponderado es un digrafo en el que existen pesos asociados a cada uno de los arcos, de manera análoga al grafo ponderado. Un digrafo ponderado en el contexto de la teoría de grafos es denominado una red. La matriz de adyacencia de un digrafo (con bucles y arcos múltiples permitidos) es una matriz compuesta por valores enteros, donde los índices de columnas y filas se corresponden con las identidades de los vertices . Un elemento de esta matriz,

representa el número de arcos existentes entre los nodos i y j. Un elemento en la diagonal de esta

matriz, representa el número de bucles que existen en el nodo i. La matriz de adyacencia de un digrafo es una representación única del digrafo, exceptuadas posibles permutacions de las filas y columnas. Otra representación común de un digrafo es la matriz de incidencia.

Referencias [1] Bang-Jensen,Gutin,2000. Diestel,2005, Section 1.10. Bondy,Murty,1976, Section 10. [2] Diestel,2005, Section 1.10. [3] Weisstein, Eric W. « Oriented Graph (http:/ / mathworld. wolfram. com/ OrientedGraph. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Grafo etiquetado

191

Grafo etiquetado En matemáticas, en la disciplina de teoría de grafos, un grafo etiquetado es la asignación de etiquetas, tradicionalmente representada mediante enteros, a las aristas or vértices, o ambos, de un grafo.[1] Formalmente, dado un grafo G, un vértice etiquetado es una función que hace corresponde vértices de G a un conjunto de etiquetas. Un grafo con tal función definida es llamado grafo de vértices etiquetados. De la misma manera, una arista etiquetada es una función de asignación de aristas de G tal conjunto de «etiquetas». En este caso, G es llamado como grafo de aristas etiquetadas. Cuando las etiquetas de las aristas pertenecen a un conjunto ordenado (i.e., los números reales), ésta puede ser llamada como grafo ponderado. Cuando es usado sin calificación, el término grafo etiquetado reneralmente se refiere a un grafo con vértices etiquetados con todas las etiquetas distintas. Tal grafo puede ser equivalentemente etiquetado mediante enteros consecutivos {1, ..., n}, donde n es el número de vértices en el grafo.[1] Para muchas aplicaciones, a las aristas y los vérticesle corresponde etiquetas que tienen un significado en el dominio asociado. Por ejemplo, las aristas pueden ser asignadas mediante pesos que representan el «coste» de atravesar entre los vértices implicados.[2] En la definición de arriba se entiende como grafo un grafo simple indirecto finito. Sin embargo, la noción de etiquetado puede ser aplicada a todas las extensiones y generalizaciones de grafos. Por ejemplo, en teoría de autómatas y teoría de lenguaje formal es conveniente considerar multigrafos etiquetados, i.e., un par de vértices puede ser conectado por varias aristas etiquetadas.[3]

Historia La mayoría de los grafos etiquetados tienen sus origenesen los etiquetados presentados por Alex Rosa en un artículo en 1967.[4] Rosa identificó tres tipos de etiquetado, a los cuales llamó α-, β-, y ρ-etiquetado.[5] Los β-etiquetados fueron más tarde renombrados como elegantes por S.W. Golomb y el nombre se ha hecho popular desde entonces.

Casos especiales Etiquetado elegante Un grafo es denominado como elegante cuando sus vértices son etiquetados desde 0 a , el tamaño del grafo, y este etiquetado induce un etiquetado de aristas desde 1 a

. Para cualquier arista

e, los etiquetas de e son la diferencia positiva entre dos vértices incidentes con e. En otras palabras, si e es incidente con los vértices etiquetados k y j, e será etiquetado como . Así pues, un grafo

es elegante si y sólo si existe una inyección que

Un etiquetado elegante. Las etiquetas de los vértices están en negro, las etiquetas de las aristas en rojo.

induce una biyección de E a los enteros positivos hasta . En su trabajo original, Rosa demostró que todos los grafos eulerianos con órden equivalente a 1 o 2 (mod 4) no son elegantes. El si ciertas familias de grafos son elegantes o no es una área de la teoría de grafos que está bajo intenso estudio. Podría decirse que, la conjetura no demostrada más grande de etiquetado de grafos es la conjetura de Ringel-Kotzig, la cual conjetura que todos los árboles son elegantes. Ésto ha sido demostrado para todos los caminos, orugas, y muchas otras familias infinitas de los árboles. El mismo Kotzig ha llamado al esfuerzo de demostrar la conjetura una «enfermedad».

Grafo etiquetado

192

Etiquetado armonioso Un grafo armonioso es un grafo con k aristas que permiten una inyección de los vértices de G al grupo de enteros modulo k que induce una biyección entre las aristas de G y los enteros positivos hasta . Para cualquier arista e, los etiquetados de e son la suma de las etiquetas de dos vértices incidentes con e (mod q).

Coloración de grafos La coloración de grafos es un caso especial de grafos etiquetados, tales que los vértices adjacentes y las aristas coincidentes deben tener diferentes etiquetas.

Referencias [1] Weisstein, Eric W. « Labeled graph (http:/ / mathworld. wolfram. com/ LabeledGraph. html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. [2] "Different Aspects of Coding Theory", by Robert Calderbank (1995) ISBN 0-8218-0379-4, p. 53 (http:/ / books. google. com/ books?id=TcOzdq3nDp4C& pg=PA57& dq="labeled+ graph"& lr=#PPA53,M1)" [3] "Developments in Language Theory", Proc. 9th. Internat.Conf., 2005, ISBN 3-540-26546-5, p. 313 (http:/ / books. google. com/ books?id=QPgojKbuuUEC& pg=PA314& dq="labeled+ graph"#PPA313,M1) [4] Gallian, J.. A Dynamic Survey of Graph Labelings, 1996-2005. The Electronic Journal of Combinatorics.

Una coloración por vértices para un grafo de Petersen, donde cada color representa una etiqueta.

[5] Rosa, A.. On certain valuations of vertices in a graph.

• Rosa, A. "On certain valuations of the vertices of a graph." Theory of Graphs (Internat. Symposium, Rome, July 1966), Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris. (1967) 349-355. • Gallian, Joseph A. "A Dynamic Survey of Graph Labeling." The Electronic Journal of Combinatorics (2005). 20 Dec. 2006 (http://www.combinatorics.org/Surveys/ds6.pdf).

Grafo aleatorio

193

Grafo aleatorio En Matemáticas se denomina grafo aleatorio a un grafo que es generado por algún tipo de proceso aleatorio. La teoría de los grafos aleatorios cae en la intersección entre la teoría de grafos y la teoría de probabilidades y se fundamenta en el estudio de ciertas propiedades de los grafos aleatorios. Uno de los modelos matemáticos más aplicados en la generación de redes aleatorias es modelo Erdös–Rényi.[1][2]

Ramas de estudio Una de las ramas más estudiadas en el área de las redes aleatorias es el de la teoría de la percolación (nivel de percolación) relacionado con el estudio de la fiabilidad Los grafos aleatorios poseen estructuras típicas de los procesos en las redes de comunicación.[3] Un campo de estudio aleatorios. inicial fue el de redes sociales, estudios sobre la topología de redes evolutivas como puede ser internet, etc. Se ha visto que algunas de las redes actuales crecen según modelos predefinidos en su distribuciones de grado, como puede ser la redes libres de escala.

Concepto La idea de los grafos aleatorios está dentro de como enlazar de forma aleatoria un conjunto de N nodos, para realizar esto se pueden seguir diversas estrategias, cada una de ellas proporciona un modelo de redes (grafos) aleatorios. Una de los campos de estudio más activo es el de los grafos aleatorios dinámicos en los que se van añadiendo nodos a medida que pasa el tiempo, estos grafos muestran ciertas propiedades de las redes reales.[4]

Teoremas Algunos teoremas se deducen del modelo, por ejemplo, si G(n; p) es un grafo aleatorio con n vértices donde cada enlace tiene una posibilidad p de existir: Teorema 1 Dado un G(n, p) con un valor p constante e independiente de n, entonces el grafo seguro que posee casi seguro un diámetro igual a 2. Teorema 2 Para un grafo G(n, p) aleatorio se establece que

. Si c > 1 entonces casi todos los grafos no poseen

vertices aislados y si c < 1 casi todos los grafos tienen al menos un vértice aislado.

Grafo aleatorio

194

Biografías • Béla Bollobás, Random Graphs, 2nd Edition, 2001, Cambridge University Press • Christine Nickel, Random Dot Product Graphs: A Model for Social Networks, Ph.D. Thesis, The Johns Hopkins University, 2007.


Erdős, P. and Rényi, A. "On the Evolution of Random Graphs." Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 5, 17-61, 1960. Erdős, P. and Spencer, J. Probabilistic Methods in Combinatorics. New York: Academic Press, 1974. Janson, S.; Łuczak, T.; and Ruciński, A. Random Graphs. New York: Wiley, 2000. "Random Graph Dynamics", Rick Durrett, Cornell University, New York,2006

Hipergrafo En matemática y ciencias de la computación, un hipergrafo es una generalización de un grafo, cuyas aristas aquí se llaman hiperaristas, y pueden relacionar a cualquier cantidad de vértices, en lugar de sólo un máximo de dos como en el caso particular. Formalmente, dado un conjunto finito A llamado conjunto base, un hipergrafo H es una familia de subconjuntos de ; es decir, un subconjunto de

, que es el conjunto potencia de

. Los

elementos de un hipergrafo se llaman hiperaristas, las cuales a su vez son subconjuntos de . La cardinalidad de un hipergrafo es su número de hiperaristas, y se denota |H|. El tamaño o volumen de un hipergrafo, se define como |A|·|H|.

Ejemplo de hipergrafo H={e1,e2,e3,e4}=, definido sobre el conjunto base A = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}. Aquí H es propio, tiene dominio parcial, su cardinalidad es 4 y su tamaño 28.

Historia Este término fue acuñado por el matemático francés Claude Berge en 1970.[1] Desde entonces, se ha desarrollado toda una teoría de hipergrafos, que aunque a veces trata conceptos y problemas similares a los de la teoría de grafos, muchas veces se distancia de ésta última. Los hipergrafos se utilizan actualmente en distintas áreas, tales como la lógica, la optimización, teoría de juegos, inteligencia artificial, minería de datos, indexación de bases de datos, entre muchas otras.

Hipergrafo

195

Propiedades • Un hipergrafo es propio, si no es vacío ni contiene la hiperarista vacía. • Un hipergrafo tiene dominio total si la unión de las hiperaristas es igual al conjunto A; de lo contrario, se dice que tiene dominio parcial.

Estructura de hipergrafos Una estructura de hipergrafos es un par ordenado G:=(H, K) de dos hipergrafos H y K, bajo el mismo conjunto base. El tamaño o volumen de una estructura está dada por |A|·(|H|+|K|).

Ejemplo Sea

,

entonces

,

con

y

es una estructura de hipergrafos, de tamaño 18.

Referencias [1] Berge, Claude. Graphes et hypergraphes (37 edición). Dunod, París: Monographies Universitaires de Mathématiques.

Hiperarista En teoría de hipergrafos, una hiperarista es un elemento de un hipergrafo. Haciendo la analogía con la teoría de grafos, una hiperarista se puede ver además como una arista que puede relacionar a cualquier número de nodos. Formalmente, dado un hipergrafo como un conjunto

, definido sobre un conjunto base

, una hiperarista se define

. Toda hiperarista es un subconjunto del conjunto base sobre el cual se define un

hipergrafo.

Ejemplo Sea el hipergrafo tres conjuntos

definido sobre el conjunto base ,

y

son hiperaristas de H.

, entonces los


196

Optimización (matemática) En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas matemáticos donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde decisión,

es un vector y representa variables de es llamada función objetivo y representa o mide la

calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y

es

El máximo de un paraboloide.

el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema. Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

Tipos de optimizaciones Según el nivel de generalidad que tome el problema:

Optimización clásica Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Optimización con restricciones de desigualdad Para problemas con restricciones de tipo desigualdad también existen métodos que en muchos casos permiten encontrar los valores máximos o mínimos. Si tanto restricciones como función objetivo son lineales, el problema se llama de Programación lineal, y habitualmente se aborda aplicando algoritmos basados en el álgebra lineal elemental, como los algoritmos de pivote y en especial los llamados algoritmos simplex primal y dual. Si estas condiciones no se cumplen, en algunos casos se puede aplicar las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para encontrar los puntos críticos, que incluyen los máximos y mínimos. No obstante, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker a veces no existen o son insuficientes para hallar extremos.


197

Optimización estocástica Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfecta En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.

Referencias [1] http:/ / es. wikipedia. org/ wiki/ L%C3%B3gica_difusa

Algoritmo símplex En optimización matemática, el término algoritmo símplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales. El algoritmo simplex primal fue desarrollado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947, y procede examinando vértices adyacentes del poliedro de soluciones. Un algoritmo simplex es un algoritmo de pivote. Un método llamado de manera similar, pero no relacionado al anterior, es el método Nelder-Mead (1965) o método de descenso (o ascenso) símplex; un método numérico que busca un mínimo (o máximo) local de una función cualquiera examinando en cada paso los vértices de un simplex.

Un sistema de desigualdades lineales define un poliedro como una región factible. El algoritmo simplex comienza en un vértice y se mueve a lo largo de las aristas del poliedro hasta que alcanza el vértice de la solución óptima.

Entrada del problema Considerar un problema de programación lineal, maximizar sujeto a El algoritmo símplex requiere que el problema de programación lineal esté en la forma aumentada de la programación lineal. El problema puede ser escrito como sigue, en forma de matriz: Maximizar

en:

Algoritmo símplex

donde x son las variables desde la forma estándar, xs son las variables de holgura introducidas en el proceso de aumentación, c contiene los coeficientes de optimización, describe el sistema de ecuaciones contraídas, y Z es la variable a ser maximizada. El sistema es típicamente no determinado, desde que el número de variables excede el número de ecuaciones. La diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema. Cualquier solución, óptima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario. El algoritmo símplex usa cero como valor arbitrario, y el número de variables con valor cero es igual a los grados de libertad. Valores diferentes de cero son llamados variables básicas, y valores de cero son llamadas variables no básicas en el algoritmo símplex. Esta forma simplifica encontrar la solución factible básica inicial, dado que todas las variables de la forma estándar pueden ser elegidas para ser no básicas (cero), mientras que todas las nuevas variables introducidas en la forma aumentada, son básicas (diferentes de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente ( para ellas, dado que la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho) En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemático de programación lineal, se plantean desigualdades de <, >, <=, >=, o =; estas desigualdades se convierten en igualdades completando con variables de holgura si se trata de menor o igual que, o menor que; en el caso de que sea mayor o igual que o mayor que, se completa con variables de excedente, estas con signo negativo ya que como su nombre lo indica, es una cantidad que esta de excedente y hay que quitar para convertirla en igualdad; en caso se maneje el =, se manejan las variables artificiales.

Pasos del Método Simplex Este proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto extremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteración se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima. Los pasos del Método Simplex son los siguientes: 1)Utilizando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial igualando a las n-m variables igual a cero (el origen). 2)Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo. Cuando no exista esta situación la solución actual es la óptima, si no ir al siguiente paso. 3)Seleccionar la variable de salida de las variables básicas actuales. 4)Determinar la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida no básica, ir al paso 2 (actualizar).

198

Algoritmo símplex

Conceptos básicos Forma estándar Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso.

Forma canónica En el método Simplex es de bastante utilidad la forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad. Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma canónica si se cumplen las siguientes condiciones: Para el caso de la forma canónica de maximización: - La función objetivo debe ser de maximización. - Las restricciones son del tipo ≤. - Las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Para el caso de la forma canónica de la dieta: - La función objetivo es minimizada. - Las restricciones son de tipo ≥. - Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

199

Algoritmo símplex

Variable de holgura Se usa para convertir en igualdad una desigualdad de tipo "≤". La igualdad se obtiene al adicionar en el lado izquierdo de la desigualdad una variable no negativa, que representa el valor que le hace falta al lado izquierdo para ser igual al lado derecho. Esta se conoce como variable de holgura, y en el caso particular en el que las restricciones de tipo ≤ se refieren al consumo máximo de un recurso, la variable adicionada cuantifica la cantidad sobrante de recurso (cantidad no utilizada) al poner en ejecución la solución óptima. Considerando el problema de programación lineal: Minimiza la siguiente función

Sujeta a

Se añaden las variables de holgura s y t, que se representan en la tabla canónica

donde las columnas 5 y 6 representan las variables básicas s y t y la correspondiente solución básica posible es

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la columna 4. Los valores de x resultantes de la elección de las filas 2 y 3 como filas pivotes son 10/1 = 10 and 15/3 = 5 respectivamente. De estos el mínimo es 4, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes se produce

Ahora columnas 4 y 5 representan las variables básicas z y s y la solución óptima correspondiente es

Para el paso siguiente, no hay entradas positivas en la fila objetivo y de hecho

por lo que el valor mínimo de Z es −20. Variable de exceso Se usa para convertir en igualdad una desigualdad del tipo "≥" Se realiza al restar en el lado izquierdo de la desigualdad, una variable no negativa, que representa el valor en el cual el valor del lado izquierdo excede al derecho. A esta variable la llamaremos variable de exceso y en el caso particular en el que las restricciones de tipo ≥ se refieran al contenido mínimo de un ingrediente en una mezcla, la variable adicionada indica cuánto ingrediente en exceso sobre el mínimo exigido contendrá la mezcla. Ejemplo Min z = 3X1 + 6X2 – X3 s.a X1 + 6X2 – X3 >= 12 2X1 + X2 – 7X3 >= 18 X1 + X2 – X3 >= 7

200

Algoritmo símplex

201

Xi >= 0 i=1-3 Min z = 3X1 + 6X2 – X3 s.a X1 + 6X2 – X3 – X4 = 12 2X1 + X2 –7 X3 – X5 = 18 X1 + X2 – X3 – X6 = 7 Xi >= 0 i=1-6 Variables de exceso: X4, X5 y X6. Solución básica: Si hay n variables y m restricciones, una solución es básica si n-m variables valen cero. Gráficamente, cualquier punto de intersección es una solución básica.

Solución Óptima Siempre está asociada a un punto extremo de la región factible y satisface todas las restricciones si se evalúa en ellas así como es el punto que en el caso de maximización hace que el valor de z sea el máximo (más grande) y el el caso de minimización sea el mínimo (más pequeño). Variables básicas y no básicas Se denominan variables básicas a las variables del vector xB formado por las m variables asociadas con la solución básica y variables no básicas a las n-m restantes variables que se han igualado a cero. Ejemplo Forma estándar del modelo Max z = 3X1 + 2X2 s.a X1 + 2X2 + X3 = 6 2X1 + X2 + X4 = 8 -X1 + X2 + X5 = 1 X2 + X6= 2 X1, X2 >=0 Solución de la primera iteración X1=0, X2=0, X3=6, X4=8, X5=1, X6=2 Variables básicas: X3, X4, X5, X6 Variables no básicas: X1, X2

Ejemplo Gráfico de la Solución óptima

Algoritmo símplex

202

Solución óptima múltiple Existen problemas lineales que no tienen una solución óptima única, sino que al contrario, tienen un número infinito de soluciones.Para detectar una solución múltiple en la tabla óptima, se deberá tener al menos una variable con su Zj-Cj=0 no básica. Ejemplo: Modelo estándar Max z=3x1+2x2 x1+x3=4 2x2+x4=12 3x1+2x2+x5=18 x1,x2,x3,x4,x5>=0

Zj-Cj X1 X4 X2

X1 0 1 0 0

X2 0 0 0 1

X3 0 1 3 -3/2

X4 0 0 1 0

X5 1 0 -1 1/2

SOL 18 4 6 3

Solución x1=4 x2=3 x4=6 x3=x5=0 z=18 X3=0 es variable no básica por lo tanto se tiene una solución múltiple y para obtener alguna otra solución se deberá iterar tomando como variable de entrada en Zj-Cj=0 Variable degenerada Una variable degenerada es una variable básica que vale 0. Gráficamente esto puede ocurrir cuando más de dos rectas se intersecten en el mismo punto. Base Conjunto de variables básicas. En el ejemplo anterior, la base es {X3, X4, X5, X6} Variable no restringida Es aquella que puede tomar toda clase de valores positivos, cero y negativos puede escribirse como la diferencia de dos variables no-negativas. Ejemplo: Sea x1 una variable no restringida, entonces: x1=x2-x3 donde x2>=0, Nótese que si x2>x3, eso implica que x1>0: si x2=x3, entonces x1=0: si x2
Algoritmo símplex

203

Variables básicas Variables no básicas Variable de entrada Variable de salida A X3, X4, X5, X6

X1, X2

X1

X2

B X3, X4, X5, X1

X6, X2

X2

X3

C X2, X4, X5, X1

X6, X3

X6

X4

D X2, X6, X5, X1

X4, X3

X3

X1

E X2, X6, X5, X3

X4, X1

X4

X2

Solución degenerada La degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de la variable que sale. Este empate se rompe arbitrariamente. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. Sin embargo, cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En el método simplex, la presencia de una variable básica igual a cero, no requiere ninguna acción especial; en todo caso, es necesario no descuidar las condiciones de degeneración. En términos geométricos, la degeneración ocurre cuando un vértice está definido por demasiadas restricciones.

Variable artificial Se usa una variable artificial cuando las restricciones son “=” y “≥” y sucede cuando el origen no se encuentra dentro de la región factible, tratando de llevar el modelo a otra “dimensión” en la cual el origen si exista en la región. Ejemplo: max z = 2x1 + x2 s. a. 10x1 + 10x2 <= 9 10x1 + 5x2 >=1 x1,x2>=0 Agregando variables artificiales: max z = 2x1 + x2 s. a. 10x1 + 10x2 + x3 = 9 10x1 + 5x2 - x4 + a1 = 1

Algoritmo símplex

204

x1,x2,x3,x4>=0 a1>=0 Condición de optimalidad. La variable de entrada en un problema de maximización es la variable que tiene el coeficiente mas negativo en el renglón Zj-Cj y para el caso de minimización la variable de entrada corresponde al coeficiente mas positivo del renglón Zj - Cj. La optimalidad se logra cuando en el renglón Zj-Cj ya no hay valores positivos (minimización) o negativos (maximización) según sea el caso.

En

la

tabla

óptima

En el renglón Zj-Cj todos los valores son positivos por lo tanto llegamos a la optimalidad de la tabla. Condición de factibilidad La variable de salida tanto en minimización como en maximización se elige a la variable básica que tiene la razón no negativa mas pequeña.

Algoritmo símplex Ejemplo

205 de

factibilidad

en

maximización.

El criterio de factibilidad se cumple ya que todos los bi (la columna solución) tienen valor no negativo por tanto es una solución factible. Solución factible Es aquel vector columna, XT=(X1,X2,…Xn) que satisface las restricciones: AX≤b X≥0 Ejemplo: Maximizar Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 ≤ 18 X1 , X2 ≥ 0 Solución Factible: X1=4, X2=3 Solución factible básica Aquella solución factible con no más de m componentes positivas. La solución factible se encuentra en un punto extremo es decir en uno de los vértices de la región factible. Ejemplo: Maximizar Z = 3X1 + 5X2 Sujeto a X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1 + 2X2 ≤ 18 X1 , X2 ≥ 0 X1=0, X2=6; X1=0, X2=0; X1=4, X2=0; X1=4, X2=3; X1=2, X2=6 pueden ser soluciones factibles básicas.

Algoritmo símplex

206

Modelo Ampliado Cuando se introduce en cada restricción una variable artificial que no contenga una variable de holgura.

Enlaces externos • Actualización en Wikipedia del Método Simplex [1]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM. • A2 Actualización en Wikipedia del Método Simplex [2]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM. • Ejercicios resueltos utilizando el Método Simplex [3] Módulo de resolución para resolver modelos de Programación Lineal utilizando el Método Simplex

Ejemplo de un Modelo de Maximización en su Forma Ampliada

• Ejemplos clásicos resueltos por el Método Simplex [4]. • Ejemplo del método simplex [5]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM. • Conceptos y Ejemplo del Método Simplex aplicado a un problema de programación lineal. [6] Documento elaborado por estudiantes de la carrera de Matemáticas aplicadas y computación. FES Acatlán UNAM. • Conceptos y ejemplo del Método Simplex [7]Conceptos y ejemplo elaborado por alumnos de la Licenciatura en Matemáticas Aplicadas y Computación. FES Acatlán UNAM.

Referencias [1] [2] [3] [4] [5]

https:/ / docs. google. com/ document/ d/ 1JGyeBwXdpD_jQy3zLqoWzp9qJ3h8HdTUFIKJ5B-L2bk/ edit https:/ / docs. google. com/ document/ d/ 1UqVG6F64XDVT-nL6Rt70o15_AjWVRUtfs2wibsJv4Zo/ edit http:/ / www. programacionlineal. net/ simplex. html http:/ / www. phpsimplex. com/ ejemplo_problemas. htm https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=1rm1EM-mEAfy9b9azYlSWQGAWId0yIXFLJpk1_3VMbfQ

[6] https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=109SQJEroTPH68GmbsxPHpReyBji5Fd3jgl-4D5xrN6Y [7] https:/ / docs. google. com/ document/ pub?id=1T6SpMssibts-RsGjmNQ4HSzxbxPA9N0-H6s7Z7cpgr0

Conjetura de Hirsch

Conjetura de Hirsch En optimización y en combinatoria poliédrica, la conjetura de Hirsch afirma que "si un poliedro está definido por n desigualdades lineales en d variables siempre ha de ser posible viajar de cualquier vértice a cualquier otro vértice recorriendo como mucho n-d aristas".[1] En términos un poco más técnicos, afirma que el grafo arista-vértice de un politopo de n-caras en un espacio euclidiano d-dimensional tiene un diámetro no mayor que n − d. Es decir, que cualquiera de dos vértices del politopo deben estar conectados el uno con el otro por una trayectoria de longitud n − d como máximo. La conjetura fue presentada primero en 1957 en una carta de Warren M. Hirsch a George B. Dantzig[2][3] y es motivada por el análisis del método simplex en programación lineal, a medida que el diámetro de un politopo proporciona un límite más bajo en el número de pasos necesarios por el método simplex. La conjetura de Hirsch fue probada para d < 4 y para varios casos especiales,[4] los límites superiores más conocidos mostraron solamente que los politopos tienen un diámetro sub-exponencial en función de n y d.[5] sin embargo, después de más de cincuenta años, un contraejemplo fue anunciado en mayo de 2010 por Francisco Santos Leal, de la Universidad de Cantabria.[6][7][8] el resultado debe ser presentado en la conferencia 100 Years in Seattle: The Mathematics of Klee and Grünbaum. Varias formulaciones equivalentes del problema habían sido dadas, por ejemplo la conjetura d-paso, que indica que el diámetro de cualquier politopo de 2d-caras en un espacio euclidiano d-dimensional no es mayor que d.[2][9] La conjetura de d-paso era conocida como verdadera para d < 6,[9] pero cuando fue encontrado un contraejemplo el caso general también fue refutado, usando un politopo 43-dimensional de 86 caras con un diámetro de más de 43.[6] El contraejemplo anunciado no tendría ninguna consecuencia directa para el análisis del método simplex, pues no eliminaría la posibilidad de un más grande pero todavía lineal o un número polinómico de pasos.

Notas [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

Francisco Santos Leal en De Verdad, año XXX, número 28, julio de 2010, pág. 7. Ziegler (1994), p. 84. Dantzig (1963), pp. 160 and 168. E.g. see Naddef (1989) for 0-1 polytopes. Kalai y Kleitman (1992). Santos (2010). Kalai (2010). http:/ / gaussianos. com/ francisco-santos-encuentra-un-contraejemplo-que-refuta-la-conjetura-de-hirsch/ Klee y Walkup (1967).

Referencias • Dantzig, George B. (1963), Linear Programming and Extensions, Princeton Univ. Press. • Kalai, Gil (10 de mayo de 2010). « Francisco Santos Disproves the Hirsch Conjecture (http://gilkalai.wordpress. com/2010/05/10/francisco-santos-disproves-the-hirsch-conjecture/)». Consultado el 11 de mayo de 2010. • Kalai, Gil; Kleitman, Daniel J. (1992), «A quasi-polynomial bound for the diameter of graphs of polyhedra», Bulletin of the American Mathematical Society 26 (2): 315–316, doi: 10.1090/S0273-0979-1992-00285-9 (http://dx.doi. org/10.1090/S0273-0979-1992-00285-9), arΧiv:math/9204233, MR 1130448 (http://www.ams.org/ mathscinet-getitem?mr=1130448). • Klee, Victor; Walkup, David W. (1967), «The d-step conjecture for polyhedra of dimension d < 6», Acta Mathematica 133: 53–78, doi: 10.1007/BF02395040 (http://dx.doi.org/10.1007/BF02395040), MR 0206823 (http:// www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0206823). • Naddef, Denis (1989), «The Hirsch conjecture is true for (0,1)-polytopes», Mathematical Programming 45 (1): 109–110, doi: 10.1007/BF01589099 (http://dx.doi.org/10.1007/BF01589099), MR 1017214 (http://www.ams.org/ mathscinet-getitem?mr=1017214).

207

Conjetura de Hirsch • Santos, Francisco (2010), «A counter-example to the Hirsch conjecture», 100 Years in Seattle: the mathematics of Klee and Grünbaum. • Ziegler, Günter M. (1994), «The Hirsch Conjecture», Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer-Verlag, pp. 83–93.

Combinatoria poliédrica La combinatoria poliédrica es una rama de las matemáticas, dentro de la combinatoria y la geometría discreta, que estudia los problemas de contar y de describir las caras de poliedros convexos y de politopos convexos de dimensiones más altas. La investigación en combinatoria poliédrica cae en dos áreas distintas. Los matemáticos en esta área estudian la combinatoria de politopos; por ejemplo, buscan las desigualdades que describen las relaciones entre los números de vértices, las aristas, y las caras de dimensiones más altas en politopos arbitrarios o en ciertas subclases importantes de politopos, y también estudian otras características combinatorias de politopos tales como su conectividad y diámetro (número de pasos necesarios para alcanzar cualquier vértice desde cualquier otro vértice). Además, muchos científicos computistas usan la frase "combinatoria poliédrica" para describir la investigación en descripciones precisas de las caras de ciertos politopos específicos (especialmente politopos 0-1, cuyos vértices son subconjuntos de un hipercubo) presentándose problemas de programación de números enteros.

Enlaces externos • Kalai, Gil (2008), Five Open Problems Regarding Convex Polytopes [1]

Referencias [1] http:/ / gilkalai. wordpress. com/ 2008/ 05/ 07/ five-open-problems-regarding-convex-polytopes/

208

Geometría discreta

209

Geometría discreta La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias de objetos geométricos discretos. La mayoría de las preguntas, en geometría discreta, implican conjuntos finitos o discretos de objetos geométricos básicos, tales como puntos, líneas, planos, círculos, esferas, polígonos, y así sucesivamente. La geometría discreta se enfoca en las propiedades combinatorias de estos objetos, por ejemplo: cómo se intersecan uno al otro, o cómo pueden ser arreglados para cubrir un objeto más grande. La geometría discreta tiene grandes áreas en común con la geometría convexa y la geometría computacional, y está estrechamente vinculada a temas tales como geometría finita, optimización combinatoria, geometría digital, geometría diferencial discreta, teoría geométrica de grafos, geometría tórica, y topología combinatoria.

Una colección de círculos y el correspondiente grafo de disco unitario

Historia Aunque los poliedros y las teselaciones hayan sido estudiados durante muchos años por gente tal como Kepler y Cauchy, la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros asuntos estudiados fueron: la densidad del empaquetamiento de círculos de Thue, las configuraciones proyectivas por Reye y Steinitz, la geometría de números de Minkowski, y el coloreado de mapas por Tait, Heawood, y Hadwiger.

Tópicos en geometría discreta • Poliedros y politopos • Combinatoria poliédrica • Politopo de reticulado convexo • Polinomio de Ehrhart • Teorema de Pick • Conjetura de Hirsch • Empaquetamiento, recubrimiento y teselación • Empaquetamiento de círculos • Empaquetamiento de esferas • Conjetura de Kepler • Cuasicristal • Teselado aperiódico • Rigidez estructural y flexibilidad • Teorema de Cauchy • Poliedro flexible • Estructuras de incidencia • Configuración • Arreglo de líneas • Arreglos de hiperplanos • Building (matemática)???

Geometría discreta • Matroides orientados • Teoría de grafo geométrico • Trazado de grafos • Grafo poliédrico • Polígonos de Thiessen • Triangulación de Delaunay • Complejo simplicial • Combinatoria topológica • Lema de Sperner • Mapa regular • Retículo y grupos discretos • Grupo de reflexión • Grupo de triángulo??? • Geometría digital • Geometría diferencial discreta • Particionado de conjuntos geométricos y transversales

Referencias • Bezdek, András; Kuperberg, W. (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3. • Brass, Peter; BraB, Peter (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8. • Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4. • Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 3-540-71132-5. • Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4.

210

Geometría computacional

211

Geometría computacional La geometría computacional es una rama de las ciencias de la computación dedicada al estudio de algoritmos que pueden ser expresados en términos de la geometría. Algunos de los problemas puramente geométricos surgen del estudio de los algoritmos de geometría computacional, y este tipo de problemas también se considera parte de la geometría computacional. Es una disciplina constructiva, de carácter abstracto, que utiliza técnicas de la geometría clásica, la topología, la teoría de grafos, la teoría de conjuntos y el álgebra lineal. La geometría computacional es independiente de la tecnología de las máquinas de computación. El principal impulso para el desarrollo de la geometría computacional como disciplina se lo dio el avance la computación gráfica y el diseño asistido por ordenador (CAD/CAM), pero muchos problemas en la geometría computacional son clásicos en la naturaleza.

Cilindro renderizado mediante un programa de ordenador.

Otras aplicaciones importantes de la geometría computacional incluyen la robótica (planificación de movimientos y problemas de visualización), los sistemas de información geográfica (SIG) (localización y búsqueda geométrica, planificación de rutas), diseño de circuitos integrados (diseño geométrico y verifición de CI), ingeniería asistida por computadora (CAE) (programación de máquinas comtroladas numéricamente). Las principales ramas de la geometría computacional son: • Geometría combinatoria computacional, también llamada geometría algorítmica, que trata de objetos geométricos como entidades discretas. Un libro sobre el tema por Preparata y Shamos fecha la primera utilización del término "geometría computacional" en este sentido en 1975.[1] • La geometría computacional numérica, también llamada geometría máquina, diseño geométrico asistido por computador (CAGD), o modelado geométrico, que trata principalmente con la representación de objetos del mundo real en la forma adecuada para los cálculos de ordenador en los sistemas CAD / CAM. Esta rama puede ser visto como un desarrollo de la geometría descriptiva y es a menudo considerado como una rama de los gráficos por ordenador o CAD. El término "geometría computacional", en este sentido ha estado en uso desde 1971.

Referencias [1] Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry - An Introduction. Springer-Verlag. 1st edition: ISBN 0-387-96131-3; 2nd printing, corrected and expanded, 1988: ISBN 3-540-96131-3.

Enlaces externos • Geometría computacional (http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/geome_comp/ geometria_computacional.pdf)


212

Computación gráfica Este artículo trata sobre la computación gráfica. Para el diario de la ACM véase SIGGRAPH. La computación gráfica o gráficos por ordenador es el campo de la informática visual, donde se utilizan computadoras tanto para generar imágenes visuales sintéticamente como integrar o cambiar la información visual y espacial probada del mundo real. El primer mayor avance en la gráfica realizada por computadora era el desarrollo de Sketchpad en 1962 por Ivan Sutherland. Este campo puede ser dividido en varias áreas: Interpretado 3D en tiempo real (a menudo usado en juegos de vídeo), animación de computadora, captura de vídeo y creación de vídeo interpretado, edición de efectos especiales (a menudo usado para películas y televisión), edición de imagen, y modelado (a menudo usado para ingeniería y objetivos médicos). El desarrollo en la gráfica realizada por computadora fue primero alimentado por intereses académicos y patrocinio del gobierno. Sin embargo, cuando las aplicaciones verdaderas mundiales de la gráfica realizada por computadora (CG) en televisión y películas demostraron una alternativa viable a efectos especiales más a las tradicionales y las técnicas de animación, los comerciales han financiado cada vez más el avance de este campo.

Una captura de pantalla de Blender.

A menudo se piensa que la primera película para usar gráficos realizados por computadora era 2001: A Space Odyssey (1968), que intentó mostrar como las computadoras serían mucho más gráficas en el futuro. Sin embargo, todos los gráficos de computadora en aquella película eran la animación dibujada a mano Una proyección 2D de una proyección 3D de un Pentácoron (4D) haciendo doble rotación con dos de sus planos ortogonales. (por ejemplo en las pantallas de televisión se simulaba el comportamiento de las computadoras con dibujos), y las secuencias de efectos especiales fue producida completamente con efectos ópticos y modelos convencionales. Quizás el primer uso de la gráfica realizada por computadora expresamente para ilustrar gráfica realizada por computadora estaba en Futureworld (1976), que incluyó una animación de una cara humana y mano - producido por Ed Catmull y Fred Parke en la Universidad de Utah.


Gráficos 2D de computadora El primer avance en la computación gráfica fue la utilización del tubo de rayos catódicos. Hay dos acercamientos a la gráfica 2d: vector y gráficos raster. La gráfica de vector almacena datos geométricos precisos, topología y estilo como posiciones de coordenada de puntos, las uniones entre puntos (para formar líneas o trayectos) y el color, el grosor y posible relleno de las formas. La mayor parte de los sistemas de vectores gráficos también pueden usar primitivas geométricas de forma estándar como círculos y rectángulos etc. En la mayor parte de casos una imagen de vectores tiene que ser convertida a una imagen de trama o raster para ser vista. Los gráficos de tramas o raster (llamados comúnmente Mapa de bits) es una rejilla bidimensional uniforme de pixeles. Cada pixel tiene un valor específico como por ejemplo brillo, transparencia en color o una combinación de tales valores. Una imagen de trama tiene una resolución finita de un número específico de filas y columnas. Las demostraciones de computadora estándares muestran una imagen de trama de resoluciones como 1280 (columnas) x 1024 (filas) pixeles. Hoy uno a menudo combina la trama y lo gráficos vectorizados en formatos de archivo compuestos (pdf, swf, svg).

Gráficos 3D de computadora Con el nacimiento de las estaciones de trabjy789pfajo (como las máquinas LISP, Paintbox computers y estaciones de trabajo Silicon Graphics) llegaron los gráficos 3D, basados en la gráfica de vectores. En vez de que la computadora almacene la información sobre puntos, líneas y curvas en un plano bidimensionales, la computadora almacena la posición de puntos, líneas y típicas caras (para construir un polígono) en un Espacio de tres dimensiones. Los polígonos tridimensionales son la sangre de prácticamente todos los gráficos 3d realizados en computadora. Como consiguiente, la mayoría de los motores de gráficos de 3D están basados en el almacenaje de puntos (por medio de 3 simples coordenadas Dimensionales X,Y,Z), líneas que conectan aquellos grupos de puntos, las caras son definidas por las líneas, y luego una secuencia de caras crean los polígonos tridimensionales. El software actual para generación de gráficos va más lejos de sólo el almacenaje de polígonos en la memoria de computadora. Las gráficas de hoy no son el producto de colecciones masivas de polígonos en formas reconocibles, ellas también resultan de técnicas en el empleo de Shading(Sombreadores), texturing(Texturizado o mapeado) y la rasterización (En referencia a mapas de bits).

Shading - Sombreado El proceso de sombreado o shading (en el contexto de los gráficos realizada por computadora) implica la simulación de computadora (o más exactamente; el cálculo) como las caras de un polígono se comportarán cuando es iluminado por una fuente de la luz virtual. El cálculo exacto varía según no sólo que datos están disponibles sobre la cara sombreada, sino también la técnica de sombreado. Generalmente este afecta propiedades de la especularidad y valores de intensidad, reflexión y transparencia.

Representación basada en Imagen - Image Based Rendering (IBR) La computación gráfica permite la obtención imágenes 2D desde modelos tridimensionales. A fin de hacerse muy exacto y obtener imágenes fotorealistas, la entrada de los modelos 3D debería ser muy exacta en términos de geometría y colores. La simulación de paisajes y escenas fotorealilstas que utilicen esta técnica requiere un gran esfuerzo y talento con programas de CAD. En vez de obtener modelos 3D, Las representaciones basadas en imagen (IBR) usan imágenes tomadas de puntos de vista particulares y trata de obtener nuevas imágenes de otros puntos de vista. Aunque el término Representación basada en Imagen fue acuñado recientemente, aunque en la práctica se usó desde el inicio de la investigación en la Visión obtenida por Computadora.

213

Computación gráfica En 1996, se hicieron muy populares dos técnicas: los campos de luz (lightfield en inglés) y el lumigraph (que no tiene traducción asentada en español). Estas técnicas recibieron la atención especial de la comunidad de investigación. Desde entonces, muchas representaciones para IBR fueron propuestas. Un método popular es la texturas dependientes del punto de vista, una técnica IBR de la Universidad del Sur de California. La Universidad de Oxford usó conceptos de la "Máquina de Aprendizaje" para IBR. • Sombreador: generalmente se le aplica a los materiales en todo sistema de simulación 3d, se les conoce también como shader. • Sombreado Flat (plano): una técnica que sombrea cada polígono de un objeto basándose en su vector normal (dirección hacia la que apunta un polígono) y la posición e intensidad de una fuente de la luz. • Sombreado de Gouraud: Inventado por Henri Gouraud en 1971, una técnica rápida y consciente de los recursos disponibles en una computadora, solía simular superficies suavemente sombreadas interpolando colores de vértice a través de la superficie de un polígono. • Mapeo de texturas (Correlación de textura): una técnica para simular detalle superficial trazando un mapa de imágenes (texturas) en polígonos. • Sombreado de Phong: Inventado por Bui Tuong Phong, una técnica de sombreado lisa que se acerca la superficie curva iluminada por la interpolación de los vértices normales de un polígono a través de la superficie; el modelo iluminado incluye la reflexión de brillo con un nivel controlable del mismo. • Bump mapping (Correlación de relieve): Inventado por Jim Blinn, una técnica de perturbación normal(la dirección hacia donde apunta un polígono) solía simular superficies desiguales o arrugadas y con relieve. • Ray Tracing (Trazador de rayos): un método basado en los principios físicos de la óptica geométrica que puede simular reflexiones múltiples y la transparencia. • Radiosidad: una técnica para la iluminación global que usa la teoría de transferencia de radiación para simular la iluminación (reflejada) indirecta en escenas con superficies difusas. • Blob: una técnica para representar superficies sin especificar una representación divisoria difícil, por lo general puesta en práctica como una superficie procesal como una Van der Waals equipotential (en química).

Texturing - Texturizado Las superficies polígonales (secuencia de caras) pueden contener datos correspondiente de más de un color, pero en el software más avanzado, pueden ser una lona virtual para una imagen, u otra imagen rasterizada. Tal imagen es colocada en una cara, o la serie de caras y es llamada Textura. Las texturas añaden un nuevo grado de personalización en cuanto a como las caras y los polígonos que cuidarán por último la forma en que serán sombreados, según el método de sombreado, y como la imagen es interpretada durante el sombreado.

214

Grafo conexo

215

Grafo conexo En teoría de grafos, un grafo

se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos una

trayectoria (una sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a a b.

Conceptos relacionados Un grafo dirigido tal que para cualesquiera dos vértices a y b existe un camino dirigido de ida y de regreso se dice grafo fuertemente conexo. Un conjunto de corte de vértices U en un grafo G, es un conjunto de vértices de G, tal que G-U no es conexo o trivial. Similarmente, un conjunto de corte de aristas F es un conjunto de aristas tal que G-F no es conexo.

Solución computacional El problema computacional de determinar si un grafo es conexo puede ser resuelto con algunos algoritmos como el MFMC (max-flow, min-cut).

Algoritmo Ejemplo de algoritmo iterativo implementado en C++ para determinar si un grafo es conexo utilizando búsqueda en profundidad, donde _n es la cantidad de vértices y _graph denota la matriz de adyacencia. bool Graph::is_connected() { if (_n <= 1) return true; vector visit(_n); vector::iterator iter; for(iter = visit.begin(); iter != visit.end(); iter++) *iter = false; set forvisit; set::iterator current; forvisit.insert(0); while (!forvisit.empty()) { current = forvisit.begin(); if (!visit[*current]) { for (int i = 0; i < _n; i++) { if (_graph[*current][i] == 1 && !visit[i]) forvisit.insert(i); } }

Grafo conexo

216 visit[*current] = true; forvisit.erase(current);

} bool result; for (iter = visit.begin(); iter != visit.end(); iter++) result = result && *iter; return result; }

Diámetro El diámetro es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una circunferencia, una superficie esférica o una curva cerrada: El diámetro de una esfera es el segmento que pasando por el centro, tiene sus extremos en la superficie de esta.

Diámetro de un círculo Euclides de Alejandría define así el diámetro en su tratado llamado Elementos: «Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera (segmento) que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales»

Relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro: π.

Euclides de Alejandría, Elementos, libro I, definición 17. La relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante que se conoce como π (pronunciado «pi»), y su valor se encuentra próximo a 355/113 (ó 3,14159...) Como en una circunferencia el diámetro mide el doble del radio, la longitud de la circunferencia respecto su radio r es: 2πr.

Diámetro

217

Símbolo de diámetro En ingeniería y otras áreas técnicas, el símbolo o variable para el diámetro es similar en tamaño y diseño a ø. Unicode ofrece el carácter 8960 (hexadecimal 2300) para el símbolo, el cual puede ser codificado en páginas web HTML como ⌀ o ⌀. Sin embargo, una adecuada presentación de dicho carácter es improbable en casi todas las situaciones ya que la mayoría de tipos de letra no lo tienen incluido. (El navegador muestra ⌀ y ⌀ en el tipo de letra actual). Casi siempre ø es aceptable, obtenido en Windows presionando la tecla [Alt] mientras se ingresa 0 2 4 8 en el teclado numérico. Es importante no confundir el símbolo de diámetro (ø) con el símbolo de conjunto vacío, similar pero en mayúsculas (Ø). El diámetro es a veces llamado también phi (pronunciado «fi»), aunque esto parece provenir del hecho que Ø y ø se parecen a Φ y φ, la letra phi del alfabeto griego. Se llega a abreviar como: día. o D.

Diámetro de un conjunto arbitrario En matemáticas es común extender la noción de diámetro a un conjunto arbitrario métrico

dentro de un espacio

, en ese contexto el diámetro se define como el número real tal que:

El nombre «diámetro» se debe a que dentro de un espacio euclídeo la anterior medida coincide con el diámetro del mínimo diámetro de un círculo circunscrito que contiene al conjunto arbitrario. Si el conjunto cuyo diámetro conocemos es un conjunto medible del espacio euclídeo bidimensional entonces se tiene la siguiente relación entre el área SA y el diámetro:

El establecimiento de la desigualdad anterior es un problema clásico de isoperimetría. Otro problema clásico establece una relación entre el diámetro de un conjunto acotado, y el radio del menor circunferencia circunscrita que contiene a dicho conjunto:

La igualdad se da por ejemplo para un triángulo equilátero cuya circunferencia circunscrita tiene un diámetro . El resultado es un caso particular del teorema de Jung que generaliza el resultado anterior para un espacio euclídeo de cualquier número de dimensiones.

Triángulo equilatero mostrando la relación entre el diámetro del triángulo, que coincide con el lado, y el radio de la circunferencia circunscrita

Enlaces externos • •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre DiámetroCommons. Wikcionario tiene definiciones para diámetro.Wikcionario

Hipercubo

218

Hipercubo Teseractos

Diagrama Schlegel Tipo

Politopo regular

Familia

Hipercubo

Celdas

8 (4.4.4)

Caras

24 {4}

Bordes

32

Vértices

16

Figura de vértice

(3.3.3)

Símbolo de Schläfli

{4,3,3} {4,3}x{} {4}x{4} {4}x{}x{} {}x{}x{}x{}

Diagrama Coxeter-Dynkin

Grupo de simetría

B4, [3,3,4]

Doble

16-celdas

Propiedades

convexo

Hipercubo

219

En geometría, un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (llamemos al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices, esto tomando en cuenta el desarrollo del polinomio donde el valor de n equivale al número de dimensiones (en este caso particular 4) y x es el largo, alto, ancho, etc., de la figura polidimensional equilátera. Este término fue acuñado por primera vez en 1888 por el matemático inglés Charles Howard Hinton en una obra llamada A New Era of Thought, una especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.

Proyección de un hipercubo, con una transformación similar a la que se puede aplicar a un cubo de tres dimensiones.

Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común. No podemos ver un hipercubo porque estamos sujetos a tres dimensiones, por lo que solo podemos ver la proyección de lo que seria un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Pero en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.

Coordenadas Un hipercubo de unidad con n dimensiones es la envoltura convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de par de las coordenadas cartesianas . Tiene una longitud de lado de arco de 1 y un volumen n-dimensional de 1.

Computación

Elementos de P( P( P(P({})))) en Diagrama de Hasse.

El hipercubo es una de las topologías de multicomputadoras con conmutador, la cual trata de redes de interconexión de CPU donde cada uno tiene su propia memoria exclusiva. Un hipercubo es un cubo n-dimensional, por ejemplo dos cubos cada uno con 8 vértices y 12 aristas, cada vértice es una CPU y cada arista sería una conexión entre 2 CPU de esta manera se conectan los vértices correspondientes a

Hipercubo cada vértice de los cubos. Para extender el cubo a 5 dimensiones, podríamos añadir a la figura otro conjunto de dos cubos conectados entre sí y conectar las aristas correspondientes en las dos mitades y así sucesivamente. Para un cubo de n-dimensiones, cada CPU tiene n conexiones con otras CPU así, la complejidad del cableado aumenta en proporción logarítmica con el tamaño, puesto que sólo se conectan los vértices vecinos más cercanos muchos mensajes deben realizar varios saltos antes de poder llegar a su destino, la trayectoria más grande también crece en forma logarítmica con el tamaño.

Bases de datos Los hipercubos en aplicaciones de bases de datos se utilizan comúnmente para generar resúmenes, estadísticas, proyecciones y otros tipos de procesos de información. Cuando se tiene fuentes de datos detalladas que constan de millones de registros, usando la metodología OLAP por medio de un hipercubo, los millones de registros, se preprocesan generando acumulados siguiendo los criterios requeridos por el usuario que finalmente utilizará la información ya procesada por este medio. Asimismo, el usuario final tiene la capacidad para especificar diversos criterios que definen cual y de que forma será presentada, acumulada y ordenada la información, obteniéndose los resultados a una velocidad muy superior de la que se obtendría con un sistema de bases de datos relacional o a objetos. (complementar)

Ficción • En la película Cube 2: Hypercube (2002)[1] se realiza una conjetura fantástica de lo que podría ser la construcción de un hipercubo con seres humanos dentro. La película trata del intento de escapar de este hipercubo que funciona como prisión y que cruza diferentes espacios y tiempos. • El relato de Robert A. Heinlein, "...Y construyó una casa torcida", se basa en el intento de un arquitecto visionario de construir una casa en forma de teseracto. • En la serie canadiense El Colegio del Agujero Negro, en el episodio 30, titulado «Tesseract», el colegio se ve transformado en un hipercubo. • En la serie de ciencia ficción Terminator: The Sarah Connor Chronicles se observa en la oficina del personaje Catherine Weaver un modelo de teseracto como objeto de decoración. • En la serie animada Adventure Time, en el episodio "El verdadero tu" Finn crea un Hipercubo que a su vez es un Agujero negro • En la película The Avengers (película de 2012), el cubo cosmico con propiedades interdimensionales, que es el centro de la trama argumental, recibe el nombre de "Tesseracto". • En la película Flatland: The Movie, se habla y muestra un hipercubo que visita la tercera dimension

Referencias [1] Información en IMDb sobre Cube 2: Hypercube. (http:/ / www. imdb. com/ title/ tt0285492/ releaseinfo)

220

George Dantzig

George Dantzig George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un matemático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional a la Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de máster en Matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976. El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de la Sorbona, Anja Ourisson, y la pareja emigró a los Estados Unidos.

La verdad de un mito Un hecho real en la vida de Dantzig dio origen a una famosa leyenda en 1939, cuando era un estudiante en Berkeley. Al comienzo de una clase a la que Dantzig acudía con retraso, el profesor Jerzy Neyman escribió en la pizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos aún no resueltos.Al llegar Dantzig a clase, pensó que los dos problemas eran tarea para casa y los anotó en su cuaderno. De acuerdo con Dantzig, los problemas "le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal", pero unos pocos días después obtuvo soluciones completas para ambos, aún creyendo que estos eran tareas que debía entregar. Seis semanas después, Dantzig recibió la visita de un excitado profesor Neyman, quien había preparado una de las soluciones de Dantzig para ser publicadas en una revista matemática. Años después otro investigador, Abraham Wald, publicó un artículo en el que llegaba a la conclusión del segundo problema, y en el cual incluyó a Dantzig como coautor. Esta historia comenzó a difundirse, y fue usada como una lección motivacional demostrando el poder del pensamiento positivo. A través del tiempo el nombre de Dantzig fue removido y los hechos fueron alterados, pero la historia básica persiste en la forma de mito .

El Nacimiento de la Programación Lineal Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Dantzig interrumpió sus estudios en Berkeley y este se convirtió en la cabeza de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos de Fuerza Aérea de los Estados Unidos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles de ítems y personas. El trabajo proporcionó los problemas del "mundo real" que la programación lineal vendría a resolver. George Dantzig se doctoró en Berkeley en 1946. Inicialalmente iba a aceptar un puesto como profesor en Berkeley, pero fue persuadido por su esposa y colegas del Pentágono para volver ahí como consejero matemático de la USAF. Fue ahí, en 1947 donde por primera vez presentó un problema de programación lineal, y propuso el Método Simplex para resolverlo. En 1952 se convirtió en investigador matemático en la Corporación RAND,en cuyos ordendadores comenzó a implementar la programación lineal. En 1960 fue contratado por su alma máter, donde enseñó ciencias de la computación, convirtiéndose en presidente del Centro de Investigación de Operaciones. En 1966 ocupó un cargo similar en la Universidad de Stanford. Se quedó en Stanford hasta su retiro en los años 90. Además de su trabajo significativo en el desarrollo del método simplex y la programación lineal, Dantzig también hizo avances en los campos de la teoría de la descomposición, análisis de sensibilidad, métodos de pivot complementarios, optimización a gran escala, programación no lineal, y programación bajo incertidumbre. El primer

221

George Dantzig ejemplar del SIAM Jornal on Optimization en 1991 fue dedicado a él.

Otros La Sociedad de Programación Matemática honró a Dantzig creando el Premio Dantzig, otorgado cada tres años desde 1982 a una o dos personas que hayan logrado un impacto significativo en el campo de la programación matemática. Dantzig murió el 13 de mayo de 2005 en su casa en Stanford, California, debido a complicaciones producto de la diabetes y problemas cardiovasculares.

Referencias • G. B. Dantzig 1940. On the non-existence of tests of "Student's" hypothesis having power functions independent of , Annals of Mathematical Statistics, Volume 11, number 2, pp186-192

Enlaces externos • Snopes.com La leyenda urbana de Dantzig [1] • Stanford Celebra el cumpleaños número 80 de Dantzig [2] • Entrevista a George Bernard Dantzig publicada en The College Mathematical Journal, en marzo de 1986 [3] • Obituario de George Dantzig [4]


http:/ / www. snopes. com/ college/ homework/ unsolvable. asp http:/ / www. stanford. edu/ group/ SOL/ dantzig. html http:/ / www. phpsimplex. com/ entrevista_Dantzig. htm http:/ / supernet. som. umass. edu/ photos/ gdobit. html

222

Número de Fermat

223

Número de Fermat Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que estudió estos números, es un número natural de la forma:

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat. Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo. Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números: 1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)? 2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Algunos números de Fermat y su factorización Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes: F0 = 21

+ 1 = 3

F1 = 22

+ 1 = 5

F2 = 24

+ 1 = 17

F3 = 28

+ 1 = 257

F4 = 216

+ 1 = 65.537

F5 = 232

+ 1 = 4.294.967.297 = 641 × 6.700.417

F6 = 264

+ 1 = 18.446.744.073.709.551.617 = 274.177 × 67.280.421.310.721

F7 = 2128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 = 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721 F8 = 2256 + 1 = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 = 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321

Número de Fermat

224

Propiedades de los números de Fermat 1. Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue: • Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2). • Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:

1. Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo. 2. Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo). 3. Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí. 4. Todo número compuesto de Fermat

se puede descomponer en factores primos de la forma k·2n+2

+ 1, con k entero positivo. 5. La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.

Enlaces externos • • • •

Weisstein, Eric W. «Fermat Number [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. Generalized Fermat Prime search [2] http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats http://www.prothsearch.net/fermat.html (Factorización de los números de Fermat)

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ FermatNumber. html [2] http:/ / perso. wanadoo. fr/ yves. gallot/ primes/ gfn. html

Regla y compás

225

Regla y compás La construcción con regla y compás[1] es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.

Construcción de un hexágono regular con regla y compás

Cualquier punto que sea obtenible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás". Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.

Construcción de un pentágono regular

Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.[2] Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.

Regla y compás

La regla y el compás de la geometría clásica La regla y el compás de las construcciones geométricas son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos. • El compás puede trazar circunferencias de cualquier radio dado, pero a diferencia de la mayoría de compases reales, no tiene ninguna marca que permita repetir una abertura predeterminada. Sólo puede abrirse entre puntos que hayan sido previamente construidos, así que en realidad su única función es trazar una circunferencia, o parte de ella, con un centro predeterminado y un radio también determinado por un punto prefijado. Además, se trata de un compás "idealizado", que en cuanto deja de tocar el papel se cierra, perdiendo todo recuerdo del radio de la circunferencia que acaba de trazar. • La regla es "infinitamente larga" (es decir, puede prolongar una recta tanto como se quiera), carece de marcas que permitan medir Compás idealizado. William Blake. con ella, y sólo tiene un borde, cosa insólita en las reglas mundanas (si tuviera, por ejemplo, dos bordes, permitiría trazar rectas paralelas). Puede usarse sólo con un fin modesto: trazar una recta entre dos puntos que ya existan en el papel, o bien prolongar (tanto como se desee, eso sí) una de esas rectas. Por supuesto, la regla y compás ideales deben usarse para hacer construcciones ideales. Los dibujos del mundo real tienen imperfecciones: los puntos son en realidad manchas tridimensionales, los segmentos de recta son en realidad cuasi-paralelepípedos o "franjas" algo irregulares de cierta anchura y altura, etc. Estas manchas proyectan sombras cuando son iluminadas por lámparas especiales de luz rasante, que se utilizan profesionalmente para el estudio de las falsificaciones, pues permiten distinguir si un trazo está por encima de otro observando las sombras. Pero las construcciones con regla y compás de la geometría clásica se hacen en la mente, más que en el papel, y son tan idealmente precisas como el álgebra. Puestas así las cosas, parecería que las construcciones con regla y compás son un simple "juego", más que una disciplina científica seria. Buscar la solución a cualquier construcción particular es un pasatiempo interesante, pero el verdadero interés científico, que estuvo abierto durante más de dos mil años hasta ser resuelto en el siglo XIX, coincidiendo con la demostración de los teoremas fundamentales sobre ecuaciones polinómicas, con la comprensión profunda de los números irracionales y trascendentes y con la aparición del álgebra abstracta, está en los problemas que desbordan los límites de lo factible con regla y compás. Lo interesante es lo que no se puede hacer con regla y compás. Los tres problemas insolubles clásicos de construcción con regla y compás son:

226

Regla y compás

• Cuadratura del círculo: Se trata de dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo dado. Se aporta como dato de partida el círculo a cuadrar (su centro y uno de los puntos de su circunferencia), y se considera resuelto el problema cuando consigue trazarse el segmento de recta que es un lado del cuadrado que iguala el área de dicho círculo. • Duplicación del cubo: Ha de dibujarse el lado de un cubo cuyo volumen duplique al de otro cubo del que se da el lado como dato de partida. • Trisección del ángulo: Debe dividirse un ángulo dado en tres Ilustración de un diccionario de arquitectura ángulos más pequeños, los tres del mismo tamaño, cuya suma sea francesa. igual al ángulo dado. Se aporta como dato el ángulo a trisecar (las dos rectas que lo forman, o puntos que permitan trazarlas) y se consideraría resuelto el problema cuando se traza un ángulo cuya apertura es un tercio de la del ángulo dado. Estos problemas resistieron durante 2000 años los incontables intentos de encontrar construcciones que los resolvieran con regla y compás, de acuerdo con las normas antes indicadas. A mediados del siglo XIX se demostró matemáticamente que es imposible hacerlo. Los tres problemas clásicos no son los únicos cuya solución se ha demostrado imposible. La construcción de determinados (infinitos) polígonos regulares, como por ejemplo el heptágono (polígono regular de 7 lados) o el endecágono (polígono regular de 11 lados) también es imposible con regla y compás.

Las construcciones básicas Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son: 1. Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita). 2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado 3. Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas. 4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) una línea y una circunferencia. 5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersecan (si lo hacen) dos circunferencias. Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.

227

Regla y compás

228

Puntos y longitudes construibles Hay muchas formas distintas de demostrar que algo es imposible. La estrategia que se seguirá en este artículo para presentar un esquema informal de las demostraciones de imposibilidad de los problemas clásicos es la de determinar en primer lugar los límites de la regla y el compás —lo que se puede hacer y lo que no se puede hacer con ellos—, y mostrar seguidamente que para resolver los problemas deberían superarse tales límites. Usando regla y compás se pueden definir coordenadas en el plano. Se parte de dos puntos que han de considerarse "dados", y se traza la recta que pasa por ambos. Se llama al resultado "eje ", y se define la longitud entre los dos puntos dados como unidad de longitud. Por tanto, tener dos puntos como datos de partida es equivalente a tener un eje de coordenadas y una unidad de longitud. Ahora bien: una de las construcciones más sencillas con regla y compás es la de trazar una recta perpendicular a otra dada, así que se hace precisamente eso, con lo que se obtiene un "eje ". Así pues, tener dos puntos como datos es equivalente a tener un sistema de coordenadas cartesianas, con ejes

e

, y con unidad de distancia. Por otro lado, un punto

en el plano euclídeo puede identificarse con el número complejo

. En la

construcción con regla y compás, se empieza con un segmento de recta de longitud unitaria. Si se es capaz de construir un punto dado, un punto cualquiera, en el plano complejo, entonces se podrá decir que ese punto es un número complejo construible. Por ejemplo, si se dan dos puntos como datos, los números complejos , , , , etc. son fácilmente construibles. De hecho, con construcciones conocidas de la geometría euclidiana se pueden construir los números complejos de la forma x + yi siempre que x e y sean números racionales. De modo más general, usando las mismas construcciones, uno puede, dados dos números complejos a y b, construir a + b, a − b, a × b, y a/b. Esto muestra que los números construibles forman un cuerpo, que por tanto es un subcuerpo de los números complejos. Puede demostrarse algo más: dada una longitud construible es posible construir su conjugado y su raíz cuadrada. Como se ha visto, las únicas formas de construir puntos nuevos es como intersección de dos rectas, o de una recta y una circunferencia, o de dos circunferencias. Usando las ecuaciones de las rectas y de las circunferencias, puede demostrarse que los puntos en los que se intersecan yacen en una extensión cuadrática del cuerpo más pequeño, F, que contenga dos puntos en la recta, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, que los puntos con intersección son de la forma , donde , y están en F. Dado que el cuerpo de los puntos construibles es cerrado para las raíces cuadradas, contiene a todos los puntos que puedan obtenerse por una secuencia finita de extensiones cuadráticas con coeficientes racionales del cuerpo de los números complejos. Por lo dicho en el párrafo anterior, se puede demostrar que todo punto construible puede obtenerse por una tal secuencia de extensiones. Como corolario, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un número construible (y por tanto para cualquier longitud construible) es una potencia de 2. En particular cualquier punto o longitud construible es un número algebraico, sin embargo no cualquier número algebraico puede ser construido.

Regla y compás

Ángulos construibles Hay una biyección entre los ángulos construibles y los puntos que son construibles en cualquier circunferencia construible. Los ángulos construibles forman un grupo abeliano bajo la suma-módulo (que se corresponde con la multiplicación de los puntos sobre la circunferencia unitaria, considerados como números complejos). Los ángulos construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, su seno o su coseno) es un número construible. Por ejemplo, el heptadecágono regular (polígono de 17 lados iguales) es construible porque...

como descubrió Gauss.[3] El grupo de los ángulos construibles es cerrado bajo la operación que biseca los ángulos (que se corresponde con la obtención de raíces cuadradas). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse empezando con dos puntos son aquellos cuyo orden es el producto de una potencia de 2 por un elemento de un conjunto de diversos números primos de Fermat. Además, hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Construcciones con regla y compás como operaciones de aritmética compleja Dado un conjunto de puntos en el plano euclídeo, basta seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo 0 y cualquier otro para llamarlo 1, y elegir arbitrariamente una orientación, para poder considerar los puntos como un conjunto de números complejos Dada cualquiera de tales interpretaciones de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construibles utilizando construcciones válidas con regla y compás son precisamente los elementos del mínimo cuerpo que contiene al conjunto de puntos original, y que es cerrado con respecto a las operaciones de conjugación de complejos y raíz cuadrada (para evitar ambigüedades, puede limitarse la raíz cuadrada, imponiendo que el argumento complejo sea menor de ). Los elementos de este cuerpo son precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en la que intervienen los puntos originales y que sólo incluye las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, complejo conjugado y raíz cuadrada. Es fácil demostrar que los elementos así obtenidos son un subconjunto numerable, pero denso, del plano complejo. Cada una de las seis operaciones citadas se corresponde con una construcción simple con regla y compás. Por tanto, de la fórmula que define un número puede extraerse directamente la secuencia de construcciones simples con regla y compás que hay que realizar para construir el punto reflejado por la fórmula. En suma: si se aporta un conjunto de puntos (números complejos) como datos iniciales, y se pide la construcción de otro número complejo, que depende de los datos a través de una fórmula que sólo contiene sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, conjugación de complejos y raíces cuadradas, ese número "objetivo" es siempre construible en un número finito de pasos (de las construcciones básicas que se han descrito arriba), pasos que además se deducen automáticamente de la fórmula, aunque en muchos casos pueden encontrarse construcciones alternativas más eficientes, atajos de menos pasos. Hay una alternativa que evita la elección arbitraria de dos puntos para que hagan de 0 y de 1. Dada una orientación arbitrariamente elegida, un conjunto de puntos determina un conjunto de ratios complejas dadas por la razón entre las diferencias de cualesquiera dos pares de puntos. El conjunto de ratios de ese tipo construible usando regla y compás a partir de tal conjunto inicial de ratios es precisamente el cuerpo más pequeño de los que contienen los ratios originales, y es cerrado para la conjugación compleja y la raíz cuadrada. Por ejemplo, la parte real, imaginaria, y el módulo de un punto o ratio (eligiendo uno de los dos puntos de vista antes descritos, el de asignar arbitrariamente puntos 0 y 1 o el de trabajar con ratios) son construibles, dado que pueden expresarse como:

229

Regla y compás

230

La duplicación del cubo y la trisección del ángulo requieren ratios que son solución de ecuaciones cúbicas, en tanto que la cuadratura del círculo requiere un ratio trascendente. Ninguno de esos casos forma parte de los cuerpos antes descritos, y por tanto no existe construcción con regla y compás para estos problemas. Una excepción, en el caso de la trisección del ángulo, se da con ángulos especiales como cualquier

tal que

sea un número racional que

tenga como denominador el producto de una potencia de dos y de distintos números primos de Fermat.

Construcciones imposibles Cuadratura del círculo El más famoso de los problemas griegos, la cuadratura del círculo plantea la construcción de un cuadrado cuya superficie sea la misma de la un círculo dado; y, por supuesto, resuelto con regla y compás. Se ha demostrado que cuadrar el círculo de esta forma es imposible, dado que implica encontrar un número trascendente, a saber

. Cuadratura del círculo

Usando regla y compás sólo es posible generar números algebraicos. La frase "cuadratura del círculo" o "cuadrar el círculo" se usa frecuentemente con el sentido de "hacer algo imposible". Con gran fortuna, puesto que es tan imposible como obtener algo distinto de cuatro sumando dos más dos, o dibujar en el plano euclídeo un triángulo que tenga los tres ángulos obtusos. Sin embargo, si no se exige resolver el problema con sólo regla y compás, resulta sencillo hacerlo con una amplia variedad de métodos geométricos y algebraicos. El problema fue resuelto de esta forma muchas veces, ya en la antigüedad.

Duplicación del cubo Duplicar el cubo consiste en construir el lado de un cubo que tenga el doble de volumen que otro cubo cuyo lado se da como dato del problema. Por supuesto, debe hacerse con regla y compás. Es imposible, porque la raíz cúbica de 2, pese a ser un número algebraico, no puede obtenerse de los números enteros por suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, que son las únicas operaciones que pueden hacerse con regla y compás. Esto es así porque el polinomio mínimo de la raíz cúbica de 2 sobre los racionales tiene grado 3. Basta con que se permita utilizar una regla con dos marcas y un compás para que sea posible duplicar el cubo.

Regla y compás

231

Trisección del ángulo Partiendo de un ángulo dado, trisecarlo significa construir un ángulo que mida justo un tercio del ángulo dado. Se demuestra que ello requiere obtener la raíz cúbica de un número complejo cualquiera, con valor absoluto 1. Resulta imposible hacerlo sólo con regla y compás. Se puede esbozar una demostración más completa para el caso de que el ángulo sea de 60°. Si fuera trisecable, entonces el polinomio mínimo de cos 20° tendría que ser de un grado potencia de dos (2,4,8,...). Esto es así porque, como se ha visto antes, construir un ángulo equivale a construir un punto en la circunferencia que subtienda ese ángulo, por lo que tangente, seno y coseno del ángulo deberían ser números construibles, y ya se ha visto que sólo los que resultan de polinomios de grado potencia de 2 son construibles. Usando la identidad trigonométrica cos(3α) = 4cos³(α) − 3cos(α), se obtiene, haciendo cos 20° = y, 8y³ − 6y − 1 = 0, de modo que, con el cambio de variable, x = 2y, x³ − 3x − 1 = 0. Si ese polinomio pudiera reducirse a grado 2, tendría una raíz racional, que por el teorema de la raíz racional, debería ser 1 o −1, que evidentemente no son raíces. Por lo tanto, el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3, de modo que cos 20° no es construible y por tanto el ángulo de 60° no puede ser trisecado. La trisección del ángulo, como muchas otras construcciones imposibles con regla y compás, puede llevarse a cabo fácilmente con el sistema más potente, aunque físicamente sea muy sencillo, de papeles doblados denominado origami. Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de doblado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, en tanto que con regla y compás sólo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas). Ver matemáticas de la papiroflexia

Construyendo polígonos regulares Algunos polígonos regulares (un ejemplo es el pentágono) son fácilmente construibles con regla y compás; otros no. Esto nos lleva a la pregunta: ¿es posible construir cualquier polígono regular con regla y compás? El primer avance relevante para resolver este problema se debe a Gauss, que mostró en 1801 que un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás siempre que los factores primos impares de n sean primos de Fermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición debía ser también necesaria, pero no aportó una demostración de este hecho, que fue lograda por Pierre Wantzel en 1837.

Construcciones sólo con regla, o sólo con compás Es posible, de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni, obtener sólo con compás cualquier construcción que pueda hacerse con regla y compás (excepto el hecho de trazar una recta). Es imposible obtener una raíz cuadrada sólo con regla, de modo que muchas construcciones factibles con compás no lo son con regla. Pero el teorema de Poncelet-Steiner demuestra que basta con disponer previamente de un único círculo y su punto central para que todo lo construible con compás lo sea también sólo con regla (y el círculo y su centro previamente trazados).

Regla y compás

232

Construcciones extendidas Reglas marcables Arquímedes y Apolonio de Pérgamo realizaron construcciones con "regla marcable", una regla en la que se puedan dibujar rayas para guardar memoria exacta de distancias. Esto les permitía, por ejemplo, partir de un segmento de recta, dos rectas (o círculos) y un punto, y trazar una nueva recta que pasara por el punto dado y se intersecara con las dos rectas iniciales, de modo que la distancia entre los puntos de intersección igualara la longitud del segmento dado. Esta construcción, llamada neusis (inclinación, tendencia), crea un segmento de recta de tamaño prefijado, que cumple la condición de tocar en sus extremos las dos rectas dadas, y además pasa por el punto dado, al que suele llamarse "polo". Esto extendió la geometría más allá de los Elementos de Euclides. Euclides no tenía ningún axioma, ni podía demostrar ningún teorema, que mostrara siquiera la existencia de la neusis, de modo que no podía usarla en las construcciones. En esta geometría expandida, cualquier distancia cuya razón a una distancia dada sea la solución de una ecuación cúbica o cuártica es construíble. De manera que si se permite usar reglas marcables, y como consecuencia se permite la neusis, la trisección del ángulo[4] y la duplicación del cubo pueden conseguirse. La cuadratura del círculo, en cambio, sigue siendo imposible. Algunos polígonos regulares no construibles con regla y compás clásicos, como el heptágono, lo son con regla marcable.[5] Con neusis y todo, sin embargo, sigue siendo imposible construir muchos (de hecho, infinitos) polígonos regulares, empezando por el de once lados (endecágono).

Origami De modo similar, la teoría matemática del origami, o papiroflexia sin ningún instrumento, sólo hojas de papel, resulta más potente que la regla y compás clásicos. Igual que la regla marcable, el origami permite resolver ecuaciones cúbicas, lo que a su vez abre la resolución de cuárticas, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Se ha demostrado que los puntos construibles por papiroflexia son exactamente los mismos que con regla marcable y compás; en particular, tampoco el origami permite resolver la cuadratura del círculo. Se pueden hacer también figuras de diversos modelos con el origami o papiroflexia tan solo con una hoja de papel.

El cuerpo extendido En términos abstractos, el uso de estas herramientas más potentes, ya sea la neusis de la regla marcable o el origami o papiroflexia, extienden el cuerpo de los números construíbles a un subcuerpo más amplio de los números complejos, que no sólo contiene la raíz cuadrada, sino también la raíz cúbica de cualquier elemento (Como siempre, podemos evitar la ambigüedad sobre de qué raíz cúbica estamos hablando quedándonos sólo con los argumentos complejos menores que

, para que haya una sola). Las fórmulas aritméticas de los puntos construíbles que hemos

descrito más arriba tienen sus análogas en este cuerpo extendido, permitiendo ahora fórmulas que incluyen también raíces cúbicas.

Regla y compás

Investigaciones recientes Simon Plouffe ha escrito un artículo en el que muestra cómo la regla y el compás pueden usarse como una sencilla computadora, dotada de insospechada potencia de cálculo.[6]

Referencias Notas [1] La primera edición de este artículo es casi en su totalidad una traducción del artículo compass and straightedge de la Wikipedia en lengua inglesa. Salvo indicación en contrario, las referencias y vínculos externos son las originales de dicho artículo [2] El matemático Underwood Dudley ha trabajado en la recopilación de falsas demostraciones "con regla y compás", así como de otras excentricidades matemáticas, que ha compilado en varios libros. [3] coseno de pi/17 en MathWorld, Wolfram (http:/ / mathworld. wolfram. com/ TrigonometryAnglesPi17. html) [4] ver * Bogomolny, Alexander. « Archimedes' trisection (http:/ / www. cut-the-knot. org/ pythagoras/ archi. shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http:/ / www. cut-the-knot. org/ index. shtml). [5] John H. Conway ha aportado construcciones de algunos. Conway, John H. and Richard Guy: The Book of Numbers [6] Simon Plouffe. "The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass." Journal of Integer Sequences, Vol. 1 (1998), Article 98.1.3.

Enlaces externos • Online ruler-and-compass construction tool (http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~geometry~rulecomp.en. phtml) • Squaring the circle (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html) • Impossibility of squaring the circle (http://www.geom.umn.edu/docs/forum/square_circle/) • Doubling the cube (http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Doubling_the_cube.html) • Angle trisection (http://www.geom.umn.edu/docs/forum/angtri/) • Trisection of an Angle (http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm) • Regular polygon constructions (http://mathforum.org/dr.math/faq/formulas/faq.regpoly.html) • Simon Plouffe's use of ruler and compass as a computer (http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/compass.html) • Why Gauss could not have proved necessity of constructible regular polygons (http://www.math-cs.cmsu.edu/ ~mjms/1996.2/clements.ps) • Bogomolny, Alexander. « Angle Trisection by Hippocrates (http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ Geometry/Hippocrates.shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http://www. cut-the-knot.org/index.shtml). • Bogomolny, Alexander. « Geometric Construction with the Compass Alone (http://www.cut-the-knot.org/ do_you_know/compass.shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (http://www. cut-the-knot.org/index.shtml). • Archimedes' neusis construction (http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem08.htm) by Antonio Gutiérrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. • Weisstein, Eric W. « Angle Trisection (http://mathworld.wolfram.com/AngleTrisection.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research. • Various constructions using compass and straightedge (http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc. html) With interactive animated step-by-step instructions

233


234

Teorema de la raíz racional En álgebra, el teorema de la raíz racional o la prueba de la raíz racional indica una restricción en las soluciones racionales (o raíces) de la ecuación polinómica con coeficientes enteros:

Si a0 y an son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción x = p/q en sus términos más bajos (es decir, el máximo común divisor de p y q es 1), satisface • p es un factor del término constante a0, y • q es un factor del coeficiente del término an. Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula

.

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauss en la factorización de polinomios. El teorema de la raíz entera es un caso especial del teorema de la raíz racional si el coeficiente principal an = 1.

Demostración Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 para algún a0, ..., an ∈ Z, y suponga P(p/q) = 0 para algún coprimo p, q ∈ Z:

Cambiando el término constante y multiplicando por qn, Todos los términos en estas ecuaciones son enteros, lo que implica p | a0qn y q | anpn. Pero p, qn y q, pn son coprimos. Por lo tanto, por el Lema de Euclides, p | a0 y q | an.[1]

Ejemplo Por ejemplo, cada solución racional de la ecuación

debe estar entre los números indicados simbólicamente por ± Lo que da la lista de posibles respuestas:

Estos candidatos de raíces pueden ser probados usando la regla de Horner (por ejemplo). En este caso particular hay exactamente una raíz racional. Si un candidato a raíz no satisface la ecuación, puede ser usado para acortar la lista de los candidatos restantes. Por ejemplo, x = 1 no satisface la ecuación puesto que el lado izquierdo es igual a 1. Esto significa que substituyendo x = 1 + t produce un polinomio en t con el término constante 1, mientras que el coeficiente de t3 permanece igual que el coeficiente de x3. Aplicando el teorema de la raíz racional produce así las siguientes posibles raíces para t:

Por lo tanto,


235

Los candidatos de raíces que no ocurren en ambas listas son eliminados. La lista de candidatos racionales se ha encogido así a apenas x = 2 y x = 2/3. Si es encontrada una raíz r1, la regla de Horner también proporcionará un polinomio de grado n − 1 cuyas raíces, junto con r1, son exactamente las raíces del polinomio original. Puede también ser el caso que ningunos de los candidatos sea una solución; pero en este caso, la ecuación tiene como solución racional x = 2/3. Si la ecuación carece de un término constante a0, entonces 0 es una de las raíces racionales de la ecuación.

Referencias [1] D. Arnold, G. Arnold (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0340543353.

Enlaces externos • Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers (http://www.cut-the-knot. org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml) by Scott E. Brodie

Lema de Gauss En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si dominio de factorización única (DFU) y

contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es irreducible en

es un

es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el

si y sólo si lo es en

es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo .

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es

.

Así, se tiene como corolario que si

es un DFU entonces también lo es

, sea o no este último anillo un

dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU. También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.


236

Criterio de Eisenstein En matemáticas, el criterio de Eisenstein proporciona una condición suficiente para que un polinomio sea irreducible sobre el conjunto de los números racionales. Si tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

y un número primo

tal que

• •

divide a todo no divide a

para i ≠ n

•

no divide a

entonces

es irreducible.

Ejemplos Considérese Probaremos los siguientes primos

. .

• p=2 2 no divide a 15, entonces probaremos • p=3 3 no divide a 10, entonces probaremos • p=5 5 divide a 15, el coeficiente de x, y a 10, el término constante. Además, 5 no divide a 3, el primer coeficiente; y 25 = 52 no divide a 10. Concluiremos, por lo tanto, que g(x) es irreducible. En algunos casos, la elección del primo puede ser poco clara, pero puede llegar a revelarse por un cambio de variable y = x + a. Por ejemplo, consideremos h(x) = x2 + x + 2. Es aparentemente difícil, ya que ningún primo divide a 1, el coeficiente de x. Pero si cambiamos h(x) en h(x + 3) = x2 + 7x + 14 veremos inmediatamente que el primo 7 divide al coeficiente de x y al término constante, y que 49 no divide a 14. Así, con el cambio introducido, logramos que el polinomio satisficiera el criterio de Eisenstein. Otro caso notable es el del polinomio ciclotómico para un primo p. Esto es: (xp − 1)/(x − 1) = xp − 1 + xp − 2 + ... + x + 1. Aquí, el polinomio satisface el criterio de Eisenstein, en una nueva variable y, después de establecer x = y + 1. El coeficiente constante será entonces p; los otros coeficientes son divisibles por p por las propiedades de los coeficientes binomiales C(p,k) que son p! dividido por algo que no involucra a p.

Prueba elemental Considérese f(x) como un polinomio módulo p; esto es, redúzcanse los coeficientes al cuerpo Z/pZ. Entonces será c.xn para una constante c distinta de cero. Dado que dichos polinomios tienen una factorización única, cualquier factorización de f mod p resultará en monomios. Ahora, si f no fuese irreducible como polinomio entero, podríamos escribirlo como g.h, y f mod p como el producto de g mod p y h mod p. Estos últimos deben ser monomios, como acabamos de afirmar, por lo que tendremos que g mod p es d.xk y h mod p es e.xn-k donde c = d.e. Vemos ahora que las condiciones dadas sobre g mod p y h mod p significan que p2 dividirá a a0, lo que contradice nuestra hipótesis. De hecho a0 será g(0).h(0) y p divide a ambos factores, como hemos dicho más arriba.


Explicación avanzada Aplicando la teoría del polígono de Newton para el campo de los números p-ádicos, para un polinomio de Eisenstein, se supone que tomaremos la menor envoltura convexa de los puntos. (0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0), donde vi es la evaluación p-ádica de ai (es decir, la mayor potencia de p que lo divide). Ahora, los datos que tenemos sobre los vi for 0 < i < n, es decir, que existe por lo menos uno, es lo que necesitamos para concluir que la menor envoltura convexa es exactamente el único segmento de (0,1) a (n,0), con pendiente −1/n. De la teoría general sabemos que p se ramifica completamente en la extensión de los números p-ádicos generados por una raíz de f. Por esa razón, f es irreducible sobre el campo p-ádico, y a fortiori sobre el campo de los números racionales. Esta prueba es mucho más complicada que el argumento directo por reducción módulo p. Sin embargo, permite ver, en términos de teoría algebraica de números, la frecuencia con que puede aplicarse el criterio de Eisenstein después de algún cambio de variable; y así limita marcadamente la posible elección de p. De hecho sólo los primos p que se ramifiquen en la extensión de Q generada por una raíz de f tienen alguna posibilidad de servir. Pueden ser hallados en términos del discriminante de f. Por ejemplo, en el caso de x2 + x + 2 dado más arriba, el discriminante es −7, de modo que 7 es el único primo con posibilidades de satisfacer el criterio. Se torna, mod 7, en: (x − 3)2 — es inevitable la repetición de una raíz, ya que el discriminante es 0 mod 7. Por lo tanto el cambio de variable es algo realmente predecible. Una vez más, para el polinomio ciclotómico se torna en: (x − 1)p − 1 mod p; Por métodos de álgebra lineal puede demostrarse que el discriminante es pp − 2 (excepto variación de signo).

Enlaces externos • La versión inicial de este artículo es una adaptación de en:Eisenstein's criterion de Wikipedia en inglés bajo licencia GFDL y Creative Commons. • Weisstein, Eric W. «Eisenstein's Irreducibility Criterion [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ EisensteinsIrreducibilityCriterion. html

237

Dominio de ideales principales

238

Dominio de ideales principales Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio de integridad en el que todo ideal es principal (está generado por un sólo elemento). Cualquier dominio de ideales principales es también un dominio de factorización única, pero no al revés. En estos dominios existe siempre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, hecho que no ocurre en los dominios de integridad en general. El máximo común divisor de y en un DIP es el elemento

del anillo tal que

.

Ejemplos El anillo Si

de los números enteros es un ejemplo de dominio de ideales principales.

es un cuerpo y

es su anillo de polinomios en dos variables, entonces

es un dominio de

factorización única que no es dominio de ideales principales.

Dominio de factorización única Un dominio de factorización única (DFU) es una estructura algebraica, específicamente, es un dominio de integridad en el cual todo elemento se descompone de forma única (salvo producto por unidades) como producto de elementos irreducibles. En los DFU se verifica que un elemento es primo si y sólo si, es irreducible.

Ejemplos Por ejemplo, el anillo de los números enteros es un caso particular de DFU, pero por lo general, no todo anillo es DFU; es fácil comprobar que en el anillo ciertos elementos admiten más de una factorización. Así,

, y los cuatro factores son irreducibles y no son unidades. Es un

ejemplo de Anillo de factorización, pero no única. De hecho en este mismo anillo los cuatro factores no son ideales primos, pues los ideales que generan en no lo son:

por lo tanto

Un resultado importante sobre este tipo de anillos es que si A es un DFU entonces A[X] también lo es.

Enlaces externos • UFD [1] en PlanetMath • Weisstein, Eric W. «Unique Factorization Domain [2]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias [1] http:/ / planetmath. org/ ?op=getobj& amp;from=objects& amp;id=671 [2] http:/ / mathworld. wolfram. com/ UniqueFactorizationDomain. html

Elemento primo

Elemento primo En álgebra abstracta, un elemento de un anillo es primo si satisface una condición similar a la establecida por el lema de Euclides. Si R es un anillo conmutativo, un elemento p de R es primo si 1. p no es el elemento cero 2. p no es una unidad 3. Cada vez que p divida a un producto ab, entonces necesariamente divide a alguno de los dos factores: p divide a a o p divide a b.

Esto es equivalente a la condición que el ideal principal generado por el elemento p sea un ideal primo distinto de cero.

Relación con elementos irreducibles La definición usual de número primo estable que es aquél que sólo tiene por factores a sí mismo y a la unidad. Esta condición se generaliza en teoría de anillos en el concepto de elemento irreducible: R es un anillo conmutativo, un elemento q de R es irreducible si para cualquier factorización q=ab entonces alguno de los dos factores es una unidad del anillo.

Sin embargo, en un dominio de factorización única ambos conceptos son equivalentes (un elemento primo es irreducible y viceversa). Sin embargo, dicha relación no es válida en general.

Referencias • John B. Fraleigh (2002) (en inglés). A First Course of Abstract Algebra (7a edición). Addison-Wesley. ISBN 9780201763904. • Michael Artin (1991). «Factorization» (en inglés). Algebra. Prentice Hall. ISBN 0130047635. • David S. Dummit; Richard M. Foote (2004) (en inglés). Abstract Algebra (3a edición). Wiley. ISBN 0471433349. • I. Martin Isaacs (2009). Algebra. American Mathematical Society. ISBN 9780821847992 Ficha en OpenLibrary [1].

Referencias [1] http:/ / openlibrary. org/ books/ OL22666331M/ Algebra

239

Origami

240

Origami El origami (折り紙?) es el arte de origen japonés consistente en el plegado de papel para obtener figuras de formas variadas. En español se denomina usualmente papiroflexia, aunque su nombre oriental (origami) también está muy extendido. Otra palabra para referirse a este arte es cocotología. En el origami no se utilizan tijeras ni pegamento o grapas, tan sólo el papel y las manos. Aún así, con sólo algunas hojas de papel pueden obtenerse distintos cuerpos geométricos (incluso poliedros) y figuras parecidas a la realidad (animales, personas, flores, objetos, etc). Las distintas figuras obtenidas a partir de una hoja de papel pueden presentar diferentes áreas (según la porción de papel que queda debajo de otra) y varios volúmenes.

Grulla de papel.

Origen del término El origen de la palabra procede de los vocablos japoneses "oru" (plegar) y "kami" que designa al papel (origami = 折り紙).

Origami en la actualidad El origami es definido como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresión artística e intelectual. También lo exponen como la esencia que se esconde tras los dedos de quienes pliegan papeles para darle nacimiento a innumerables figuras. La particularidad de esta técnica es la transformación del papel en formas de distintos tamaños y simbología partiendo de una base inicial cuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. Los sujetos preferidos para modelar son animales y otros elementos de la naturaleza como flores y árboles entre otros motivos.

Tipos de Origami

Primer libro de origami de 1797

Origami de acción El origami no sólo representa figuras inmóviles, también existen objetos móviles donde las figuras pueden moverse de maneras ingeniosas. El origami de acción incluye modelos que vuelan, que requieren ser inflados para completarlos o que presionando o tirando de cierta región del modelo se consigue que la figura mueva un miembro, aletee, etc. Algunos sostienen que, en realidad, sólo este último es realmente “reconocido” como origami de acción. El origami de acción, habiendo aparecido primero con el pájaro aleteador japonés tradicional, es bastante común. Un ejemplo son los instrumentalistas de Robert Lang; cuando se hallan las cabezas de las figuras en sentido contrario a sus cuerpos, sus manos se moverán, asemejándose a la acción de tocar música.

Origami

241

Origami modular (Kusudama) El origami modular consiste en poner una cantidad de piezas idénticas juntas para formar un modelo completo. Las piezas son normalmente simples pero el conjunto final puede ser complicado. Muchos de los modelos modulares de origami son bolas decorativas como el kusudama, sin embargo la técnica difiere en que el kusudama permite que las piezas sean puestas juntas usando hilo o pegamento. La papiroflexia china incluye un estilo llamado "Origami 4D" donde una gran cantidad de piezas se juntan para hacer modelos elaborados. A veces se utilizan billetes para los módulos. Este estilo fue creado por algunos refugiados chinos mientras fueron detenidos en América y se conoce también como "Golden Venture" en honor al barco en el que viajaron.

Ejemplo de origami modular

Plegado en húmedo El plegado en húmedo es una técnica de origami para producir modelos con curvas finas en vez de pliegues geométricos rectos y superficies planas. Consiste en humedecer el papel para que pueda ser moldeado fácilmente. El modelo final mantiene su forma cuando se seca. Puede ser utilizado por ejemplo para producir modelos de animales de apariencia muy natural.

Pureland origami Se trata de un estilo en el que solamente se puede hacer un pliegue a la vez y no se permiten pliegues más complejos como los invertidos. Todos los pliegues deben tener localizaciones directas. Fue desarrollado por John Smith en los años 70 para ayudar a plegadores novatos o a aquellos con habilidades motoras limitadas. A algunos diseñadores también les gusta el desafío de crear buenos modelos dentro de límites tan estrictos.

Teselados o Teselaciones Esta rama del origami ha crecido recientemente en popularidad, pero tiene una historia extensa. Un teselado es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana sin dejar huecos ni superponer las figuras. Los teselados de origami se hacen normalmente con papel pero se pueden utilizar otros materiales que retengan el pliegue. La historia del vestir incluye teselados hechos en tela que han sido registrados desde la época de los egipcios. Fujimoto, uno de los primeros maestros japoneses del Origami, publicó libros que incluían teselados y en los años 60 hubo una gran exploración de los teselados por Ron Resch. Chris Palmer es un artista que también ha trabajado extensivamente con los teselados y ha encontrado maneras de crear teselados de origami detallados a partir de la seda. Robert Lang y Alex Bateman son dos diseñadores que utilizan programas de computadora para diseñar teselados de origami. El primer libro estadounidense sobre el tema fue publicado por Eric Gjerde y el campo se ha ido ampliando rápidamente. Hay numerosos artistas de teselados, incluyendo Chris Palmer (E.E.U.U.), Eric Gjerde (E.E.U.U.), Polly Verity (Escocia), Joel Cooper (E.E.U.U.), Christine Edison (E.E.U.U.), Ray Schamp (E.E.U.U.), Roberto Gretter (Italia), Goran Konjevod (E.E.U.U.), Christiane Bettens (Suiza), Carlos Natan López (México) cuyos trabajos son geométricos y representativos.

Origami

Aprendiendo origami El bloque básico en el diseño de las figuras son las bases, que tradicionalmente son cuatro: • • • •

La base del cometa: de donde se origina la figura del cisne. La base del pez: de ella surge un pez. La base del pájaro: la grulla es un ejemplo que la ocupa. La base de la rana: que resulta en la rana.

A partir de ellas se originan cientos de figuras y pueden emplearse para crear extremidades extra en los diseños más complejos. La base del pajaro se ocupa generalmente para crear aves porque da origen a 4 solapas que pueden transformarse en una cabeza, una cola y dos alas, aunque ciertas figuras, como el caracol, también parten de esta base.

Diseño de Figuras Empaquetado de círculos: Cuando se desea construir una nueva figura lo primero que se debe hacer es contar el número de solapas que tendrá Base del Cometa la figura, por ejemplo si se quisiera diseñar un perro este tiene una cabeza, una cola y cuatro patas, por lo tanto la figura debe tener 6 solapas. Cada solapa tiene un largo del radio de un círculo. En el inicio del diseño en el papel cuadrado se dibujan estos 6 círculos con la restricción de que sus centros siempre queden dentro del papel y que no se superponga un círculo con otro. Después se conectan los centros de los círculos contiguos con un doblez. Posteriormente se añaden dobleces secundarios. Finalmente se encuentra una secuencia de doblado que origine el patron de dobleces. Se consigue así una base para la figura quedando por añadir tan sólo los detalles. <-Insertar referencia a Origami Design secrets!>

Kirigami y Makigami Otras formas de arte con papel son el kirigami y el makigami, totalmente distintos al origami. El kirigami es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las tijeras. Se diferencia de los "recortables" en que estos últimos necesitan de un trazo o dibujo previo y en el kirigami se recortan las figuras directamente con las tijeras, lo que lo convierte en una técnica muy creativa. Su término deriva de las palabras japonesas kiru, que significa cortar, y gami, papel. El kirigami tiene muchas variantes. El kirigami milenario practicado en oriente desarrolla modelos decorativos y muy artísticos. Hay un kirigami arquitectónico que usando cuchillas desarrolla modelos muy elaborados. También existe una variante educativa del kirigami, desarrollada especialmente en Sudamérica, la cual se usa como técnica y material educativo. Para ello se han creado dinámicas, juegos y aplicaciones didácticas del recorte del papel. El makigami es el arte y técnica de trabajar el papel rasgando, uniendo, doblando y arrugando únicamente con las manos. Podemos entenderla como "kirigami con las manos". Estas técnicas permiten y promueven el trabajo en conjunto, el desarrollo de la creatividad, la integración de áreas y tiene una fuerte influencia en el desarrollo de la inteligencia emocional de los niños al influir en su autoestima positiva. Se tiene que aclarar que, tanto en el origami como en el kirigami y el makigami, sus beneficios y sus metas concuerdan, pero la técnica es la que se debe diferenciar; aunque en el origami también esta permitido el uso de pinzas y tijeras especialmente para darle la forma deseada para generar la figura antes de comenzar a plegar la hoja de papel.

242

Origami

El Origami en Occidente El origami llegó a Occidente cuando había terminado la Ruta de la Seda al Este Cercano. El papel hizo su aparición cuando Marco Polo llevó el origami en el siglo XIII, pero no fue bien recibido por los europeos. En el Occidente prefirieron el pergamino para empapelar. El papel no duró más que el pergamino pero se aceptó finalmente por las ventajas que tenía a favor: porque era más fácil de manipular y el producto era menos caro. La invención de la prensa ayudó después en su aceptación. Sus orígenes también se remontan a la Invasión árabe en el siglo VIII, cuando trasladaban los prisioneros chinos a Samarcanda en el año 751. De los prisioneros aprendieron a hacer y a doblar papel, inicialmente figuras clásicas simples como animales. Desde que la religión musulmana prohibió la representación del ser humano y las formas animales en el arte, por la creencia de la idolatría a imágenes, entonces sus investigaciones en papiroflexia iban dirigidas al estudio de formas geométricas y el estudio matemático de los patrones lineales que quedan al doblar el papel. Como máxima expresión de esta actividad fueron los edificios de arquitectura morisca, en la cual utilizaron esos mismos patrones para su diseño. Existen actualmente una infinidad de teoremas y principios relacionados con el doblado de papel, muchos de los cuales han desarrollado nuevos conceptos de matemática aplicada, como por ejemplo en la topografía. Después de que los árabes fueran expulsados de España durante la Reconquista, los españoles se quedaron con los diseños y desarrollos, incorporando formas que representaban la naturaleza.

Encuentro entre Oriente y Occidente Hace unos 100 años tuvieron lugar cambios decisivos en Japón, ya que los norteamericanos querían extender su comercio hacia Asia y necesitaban concesiones y socios en esta región. Bajo la amenaza de emplear las armas obligaron a los japoneses a abrir sus puertos. Japón reabrió sus puertas al mundo en el año 1854 gracias al comodoro norteamericano Perry, después de siglos de aislamiento. Todos estos acontecimientos sociales y culturales repercutieron de forma significativa en el Origami clásico (el Orikata), naciendo así el Origami Castillo de papel creado por los Shumakov moderno. En el Origami clásico se recortaba, pegaba y pintaba. Para el Origami "las tijeras son tabú", "la pintura se debe evitar" y "la utilización del pegamento es impensable". La forma pura, lograda solamente mediante el plegado, debe responder de sí misma. No existe otro elemento de configuración que el material en su estructura, dibujo o color. Así los maestros japoneses crearon las nuevas normas para el origami moderno. En la Exposición Universal de París en 1878, durante el Período Meiji, se fusionan los conocimientos orientales y occidentales, creando así un solo origami, un solo arte, el cual había evolucionado aisladamente. A finales del siglo XIX, Friedrich Fröebel, incorpora y desarrolla el origami en sus técnicas de enseñanza a nivel escolar, siendo adoptado rápidamente en los jardines infantiles japoneses por la utilidad en el preescolar para enseñar las figuras geométricas, entre otros beneficios que brinda el origami en la educación. Por esta época, un vendedor europeo llevó

243

Origami a Tokio papel de colores, desconocido allá, este tuvo una amplia acogida que hizo que el origami mejorara su calidad en la realización de los modelos.

Miguel de Unamuno, la llegada al mundo hispano En lo que respecta a los países hispanohablantes, tanto en España como América del Sur, quien introdujo realmente y propulsó el origami, fue el escritor español Miguel de Unamuno alrededor de la década de 1930. Ya que hasta entonces, el origami apenas había tenido influencia en la península, pues pese a haber sido introducido por los árabes, en la Europa Medieval lo que se utilizaba era el papiro, un material bastante 'tosco' si lo comparamos con el ligero papel de arroz oriental. Por eso, cobra notoria importancia Miguel de Unamuno pues es el primero que realmente se tomó en serio hacer "pajaritas de papel". Otro de los aspectos por los que se destacó fue por escribir, además de multitud de obras literarias de gran relevancia, una especie de tratado acerca de la 'cocotología'; término creado por el propio Unamuno para designar al origami, que deriva de 'cocotte' que significa algo así como 'gallina' o 'pajarita' en francés. Además, Miguel de Unamuno publicó varios libros de plegado, entre ellos el ensayo "Amor y Pedagogía", donde habla del origami en el apéndice. Así pues, Miguel de Unamuno además de su consecuencias en la península ibérica, tuvo también una enorme influencia en América del Sur. Es más, podríamos decir que es el padre de la papiroflexia hispanoamericana pues, al igual que en España, la papiroflexia tenía hasta entonces muy poca relevancia. Sin embargo, la papiroflexia como tal, tuvo mayor aceptación en América del Sur donde hoy día tiene muchos seguidores y han surgido grandes papirofléxicos como por ejemplo los argentinos Vicente Solórzano Sagredo y Ligia Montoya quienes practicaron la papiroflexia, dándole gran importancia a este arte de plegados y figuras inimaginables, entre otros.

Popularización del arte Durante esta misma década, los educadores impusieron que los estudiantes en sus creaciones mostraran originalidad y creatividad, por lo tanto, el origami fue rechazado por faltar en los requisitos anteriores, pero asegurado el paperfolding por su historia milenaria, recobró su popularidad una vez más gracias al revolucionario del Origami del siglo XX: Akira Yoshizawa -el genio del origami, quien ha realizado más de 50.000 trabajos y hoy en día crea nuevos modelos prodigiosos- fue quien desarrolló las nuevas formas de sobrevivir a los modelos tradicionales restableciendo el origami como forma de arte creativa, poniendo énfasis en la sensibilidad de la forma y exactitud en el plano a trabajar. Los hechos y el renacimiento que sufrió el origami ocurrió en el Período Taisho. Trabajando en las ideas que ayudaron a seguir en pie al origami, a mediados del Período Showa, Yoshizawa, conoce a Sam Randlett y hacia la década de 1950 crearon un código internacional para representar los dobleces que componían las figuras para poder ser realizadas, las cuales son las que actualmente se utilizan como herramienta para el desarrollo de los plegados. A partir de este sistema de líneas, la publicación de libros aumentó considerablemente, inicialmente en el Japón con Isao Honda y luego en Inglaterra con Robert Harbin. Esto hizo que la gente comenzara a agruparse y en 1958 se creó FOCA ("Friends of Origami Center of América", actualmente Origami USA), en 1967 la British Origami Society y así se desarrollaron grupos en todos los países como Francia (1978) y España (1981). Actualmente existen autores de renombre mundial como Kunihiko Kasahara y Tomoko Fuse en Japón, Robert Lang y John Montroll en Estados Unidos, Vicente Palacios en España, Peter Budai en Hungría (quien publicó su primer libro a los 12 años). Aparte de eso hay muchos origamistas, que aunque no han publicado mucho son muy conocidos en el mundo de origami, como Jeremy Shafer, Tom Hull y Mette Pederson en Estados Unidos, Joseph Wu en Canadá; Alfredo Guinta en Italia, Marteen Van Gelder en Holanda y otros muchos que harían una lista interminable. Prontamente, la papiroflexia pasa rápidamente al olvido, pero seguía latente en sus raíces, de este modo se volvió a recordar este precioso arte reanudando la tradición del noshi, colocándolo en un regalo para recordar que el obsequiar este plegado, según la tradición japonesa, da buena suerte a quien lo recibe.

244

Origami

245

Actualmente el origami está en el Período Heisei, el cual es una etapa de un cambio en su concepción. Años anteriores se lo consideraba como una artesanía, ahora como un arte incluido entre las aficiones intelectuales y científicas. Con el origami se hace posible elaborar lo pensado y lo inimaginable, todo lo que constituye el medio que nos rodea y en el cual vivimos: Fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana, herramientas de nuestra cotidianidad, dinosaurios, dragones, estrellas y otros astros que imiten el universo.

Una rana de papel.

La materialización de las ideas y el uso que ofrece

Toda innovación del ser humano es para beneficio de él mismo, pese a que no se tenga en mente, para bien o para mal. El origami no es la excepción, pues si se analiza desde una perspectiva más objetiva, se encuentra en los lugares menos pensados, como la pedagogía. El origami es una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades, no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son: • Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de figuras en papel que se necesite. • Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo real y lo abstracto. • Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos. • Brindar momentos de esparcimiento y distracción. • Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones. Si se incentiva en un niño el trabajo manual desde pequeño, seguramente crecerá desarrollando habilidades artísticas y estará en capacidad de ubicar espacialmente un objeto cualquiera en un papel, acción que muchos niños no pueden hacer, precisamente porque no potenció en los primeros años de su vida el trabajo manual. Lo ideal es que comiencen una actividad manual a edad temprana, ya que está comprobado que el entrenamiento de los dedos de un bebé acelera el proceso de maduración del cerebro, porque el ejercitar el movimiento de los dedos de ambas manos es realmente una base de desarrollo bilateral del cerebro y el adelanto del desarrollo intelectual, aprovechando que el cerebro está en su mayor plasticidad. El trabajo de coordinación de ambas manos, el trabajo activo de la inteligencia y la atención es necesaria en el desarrollo y en el empleo del origami porque necesita la memoria, la imaginación y el pensamiento. Como se envuelven las manos activamente en trabajo, hay un masaje natural en la punta de los dedos por turnos saludablemente, afectando el equilibrio dinámico de los procesos de excitación en la corteza cerebral, frenando en las áreas corticales del cerebro. El espectro de movimientos de las palmas y dedos también se extiende por el impulso motor de las zonas de la corteza de los largos hemisferios que están activados. Las ricas comunicaciones del analizador del impulso con varias estructuras del cerebro, permite la actividad se transfiera de últimas. El trabajo de coordinación con las manos, requiere suficiente actividad del cerebro y un armonioso trabajo con las diferentes estructuras. El origami por su naturaleza es un arte para ambas manos y da una compensación directa en satisfacción de una cierta condición creadora, es por ello que esta técnica servirá de soporte en la formación integral del profesional, adquiriendo así nuevas formas de comunicarse con los demás, e implícitamente crear un ambiente que le permita interactuar con una población determinada.

Origami

Geometría en el Origami El origami, como se ha dicho anteriormente, ayuda y realiza conexiones con otras asignaturas, pero su mayor contacto es con la geometría, ya que si se tiene una metodología con poca manipulación de objetos y procesos matemáticos, no se podría lograr el objetivo de que el niño aprenda correctamente la figura, lo que se quiere decir es que si se le enseña al estudiante sólo a memorizar, los efectos de la enseñanza memorística y repetitiva en los primeros niveles y sus consecuencias serían la adquisición de conceptos limitados o erróneos y el desinterés de los estudiantes a mediano y largo plazo.

Programas para diseño y diagramas Existen dos programas conocidos Doodle y TreeMaker Doodle creado por Jérôme Gout, Xavier Fouchet, Vincent Osele, y otros voluntarios. Usa código ASCII para generar diagramas de origami, el resultado es elegante, pero difícil de usar. http:/ / doodle. sourceforge. net/ permite crear el diagrama de una figura de origami a partir de líneas de un código propio un archivo *.ps ,semejante al formato pdf, que contiene los pasos con texto y figura. Desde el 2001 el proyecto parece estar en desarrollo para conseguir una versión para usuario final, aunque pareciera estar congelado por falta de programadores. Doodle en su version funcional está escrito en C y es open source, en cambio Doodle 2 también open source está escrito en java y pretende tener una interfaz gráfica. TreeMaker por Robert Lang http:/ / www. langorigami. com/ science/ treemaker/ treemaker5. php4 que está orientado solamente al diseño, crea el patrón de pliegues (no realiza diagramas). Crea en la hoja los pliegues necesarios para doblar mostrando solamente una vision de los montes y valles (como cuando se realiza una figura y se desarma completamente). Con ello es posible saber que partes del papel darán origen a la cola, patas, cabeza si es que se diseñara un animal. TreeMaker está programado en C y es open source. Foldinator http:/ / zingman. com/ origami/ foldinator3OSMEpaper. php pretende ser un programa para el diseño de diagramas.

Psicología y pedagogía en el Origami Ahora relacionemos la rama de la pedagogía con su compañera de siempre: La psicología. Se ha comprobado que la papiroflexia ayuda a los problemas psíquicos y psicológicos, ya que el estar concentrado realizando una actividad manual ayuda al desahogo, estimula los procesos mentales que, su finalidad es alejar al paciente de sus obsesiones y temores. En algunas universidades israelíes se realizan estudios vinculados con estudiantes que presentan déficit atencional y que son fuertemente estimulados mediante el mecanismo de doblar papel; en el Hospital Carlos Holmes Trujillo, de Cali, este arte se está utilizando desde hace unos años en el tratamiento de niños con problemas emocionales como dificultades de atención, expresión e hiperactividad. La papiroflexia utilizada como herramienta o como terapia, en una sesión, se comparten sentimientos y conocimientos, ayuda a resolver los problemas, se experimenta una comunicación no verbal, un escenario de metas u objetivos, una oportunidad de un acercamiento no amenazante, un apoyo psicológico (llevar al sentimiento de la aceptación cuando se toma tiempo para demostrar lo positivo), una oportunidad para disfrutar y relajar un futuro pasatiempo, entre otras experiencias que se viven cuando se aplica el origami para la rehabilitación del paciente.

246

Origami

Matemáticas en el Origami Ya desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento. El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

Personajes del mundo de la papiroflexia Personajes en el mundo de la papiroflexia que han demostrado teoremas que llevan su nombre son: Humiaki Huzita, Jun Maekawa, Toshikazu Kawasaki, Robert Lang, Shuzu Fujimoto, Chris Palmer, entre otros. En el campo de la informática, el Dr. Robert Lang, en Física aplicada en Caltech, ha desarrollado el origami computacional, que es una serie de algoritmos para el doblado de las figuras. Actualmente el Dr. Robert Lang trabaja desarrollando proyectos que vinculan al origami con problemas de ingeniería. Su libro[ref origami design secrets] es una excelente referencia para aprender a diseñar figuras nuevas y mejorar las existentes, en el se pueden aprender las tecnicas modernas para crear figuras con todas sus partes. La mayoría de la gente conoce el origami por sus avioncitos de papel o por sus barquitos, con los cuales se hacen competencias de niños. Pero esto de hacer avioncitos salió desde el siglo pasado cuando varios eruditos intentaron hacer una figura con papel que volase, o por lo menos que se mantuviera en el aire, esto se consiguió con gran éxito y hasta la fecha es por ahí donde se ha trasmitido de padres a hijos el origami. Pero más que un entretenimiento debemos mencionar el deseo del hombre por alcanzar el cielo y en su afán buscó todos los medios para poner a volar su imaginación. Gracias a los modelos de aviones de papel, podían hacer estudios detallados del comportamiento del viento con respecto a las alas, o, la influencia del peso en un modelo, y otros muchos factores que ayudaron a mejorar las técnicas de vuelo, la influencia del aire en los alerones y todo un sin fin de operaciones de ingeniería en torno a un avión, un simple avión de papel con el que juegan los niños. En muchos países los origamistas trabajan como comisionistas, desarrollan proyectos para publicidad y páginas web de renombradas empresas, son profesores de distintas asignaturas cuyo propósito es hacer conexiones con la papiroflexia, entre otros trabajos. Sabiendo ahora que es realmente el arte de realizar figuras en papel y el gran campo que abarca, comprendiendo su milenaria pero interesante historia y analizando pero a la vez realizando cada uno nuestra crítica hacia esta hermosa y compleja arte sólo queda hacer la invitación para que tomen una hoja y experimenten esa bonita sensación que, como dijo Katsushika Hokusai: “Un mago es capaz de convertir las hojas de papel en pájaros”.

247

Origami

Galería: Museo de Origami

Variantes • • • • •

Kusudama Origami Pepakura Kirigami Makigami

Bibliografía En castellano • Robinson, Nick (2005). Enciclopedia de Origami: guía completa y profusamente ilustrada de la papiroflexia. Barcelona: Editorial Acento. ISBN 978-84-95376-62-6. • Kasahara,Kunihiko (2004). Papiroflexia, Origami,para Expertos. Editorial Edaf, S.A. ( Madrid). ISBN 84-414-0686-3.

En francés • Hirota, Junko (2005). Initiation à I'origami. Groupe Fleurus (París). ISBN 978-2-215-07743-5.

En inglés • • • • • •

Boutique-Sha Staff (2001). 3D Origami: Step by Step Illustrations. ISBN 4-88996-057-0. Fuse, Tomoko (2000). Home Decorating with Origami. ISBN 4-88996-059-7. Halle (2001). Cartoon Origami. ISBN 4-88996-057-0. Montroll, John (2002). A Plethora of Polyhedra in Origami. ISBN 0-486-42271-2. Shafer, Jeremy (2001). Origami to Astonish and Amuse. ISBN 978-0-312-25404-9. Robert J. Lang (2003). Origami Design Secrets: Mathematical Methods for an Ancient Art. ISBN 1-56881-194-2.

248

Origami

En alemán • Kasahara, Kunihiko (2000). Figürlich und geometrisch. ISBN 3-8043-0664-0.

Referencias • • • • •

Historia y Origen del Origami [1] Artículo "Matemáticas y papiroflexia" [2] Breve historia del antiguo arte de la papiroflexia [3] ¿Qué es Origami? [4] [5]

Enlaces externos • • • • •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Origami. Commons La página web del Grupo Zaragozano de Papiroflexia [6] Página de la Asociación Española de Papiroflexia [7] Página de la asociación Chilena de Origami (en español) [8] Página con animaciones 3D para construir figuras (en inglés) [9]

• Diversos modelos y diagramas de Origami (en español) [10] • Página de la Asociación Argentina de Origami (en español) [11] • Origami Modular en Argentina (español / inglés) [12]

Referencias [1] http:/ / www. papiroflexia. net/ papiroflexia_historia. html [2] http:/ / www. cimat. mx/ Eventos/ TJCsecundaria2008/ 03_Mats-y-Papiroflexia. PDF [3] http:/ / www. matematicas. net/ paraiso/ origami. php?id=orihist [4] http:/ / www. netverk. com. ar/ ~halgall/ origami1. htm [5] http:/ / www. origamimodular. com. ar/ intro_sp. htm [6] http:/ / www. gruzapa. org [7] http:/ / www. pajarita. org [8] http:/ / www. origamichile. cl/ [9] http:/ / www. origami. org. uk/ [10] http:/ / www. sectormatematica. cl/ origami. htm [11] http:/ / www. origamiargentina. com. ar/ [12] http:/ / www. origamimodular. com. ar/

249

Teorema de Mohr-Mascheroni

Teorema de Mohr-Mascheroni En geometría euclídea, el teorema de Mohr-Mascheroni establece que todas las construcciones geométricas que pueden realizarse con regla y compás pueden realizarse únicamente con compás. Hay que notar que aunque no puede trazarse con un compás una línea recta; dados dos puntos de la misma, es posible obtener un conjunto denso de puntos en la recta dada.

Enunciado e historia del teorema En 1797 el matemático italiano Lorenzo Mascheroni publicó la obra en verso dedicada a Napoleón Bonaparte La geometria del compasso donde demostró el siguiente teorema: Todos los problemas de construcción que se resuelven con ayuda del compás y la regla, pueden resolverse con precisión empleando solo un compás [1] Lorenzo Mascheroni (1797)

Aunque Mascheroni demostró el teorema en 1797, en 1928 el matemático danés Guelmslev encontró en una tienda de libros de Copenhague el libro Euclides danés de Georg Mohr, publicado en Amsterdam en 1672, donde se solucionaba el mismo problema que Mascheroni.

Referencias [1] Kostovski, A. N.. Construcciones geométricas mediante un compás (Editorial MIR edición).

Bibliografía • Gardner, Martin. «Capítulo 17. Construcciones de Mascheroni». Circo matemático (Alianza Editorial, El libro de bolsillo 937 edición). ISBN 84-206-1937-X.

250

Teorema de PonceletSteiner

Teorema de Poncelet–Steiner En geometría, el teorema de Poncelet–Steiner establece que todas las construcciones geométricas que pueden realizarse con regla y compás pueden realizarse únicamente con regla conocido un único círculo y su centro. Por tanto, todas las construcciones que pueden realizarse con regla y compás puede realizarse con regla utilizando una única vez el compás. El resultado, ya conjeturado por Jean-Victor Poncelet en 1822, fue demostrado por primera vez por el matemático suizo Jakob Steiner en su obra de 1833 «Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises».[1]

Referencias [1] Die geometrischen Constructionen ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises (1883): Construcciones geométricas mediante linea recta y círculo.

Bibliografía • Kostovski, A. N.. Construcciones geométricas mediante un compás. Editorial MIR.

Tomografía axial computarizada La tomografía axial computarizada (TAC), o tomografía computarizada (TC), también denominada escáner, es una técnica de imagen médica que utiliza radiación X para obtener cortes o secciones de objetos anatómicos con fines diagnósticos. Tomografía viene del griego τομον que significa corte o sección y de γραφίς que significa imagen o gráfico. Por tanto la tomografía es la obtención de imágenes de cortes o secciones de algún objeto. La posibilidad de obtener imágenes de cortes tomográficos reconstruidas en planos no transversales, ha hecho que en la actualidad se prefiera denominar a ésta técnica tomografía computarizada o TC en lugar de TAC. En lugar de obtener una imagen de proyección, como la radiografía convencional, la TC obtiene múltiples imágenes al efectuar la fuente de rayos X y los detectores de radiación movimientos de rotación alrededor del cuerpo. La representación final de la imagen tomográfica se obtiene mediante la captura de las señales por los detectores y su posterior proceso mediante algoritmos de reconstrucción.

Historia En los fundamentos de esta técnica trabajaron de forma independiente el ingeniero electrónico y físico sudafricano nacionalizado norteamericano Allan McLeod Cormack y el ingeniero electrónico inglés Godfrey Newbold Hounsfield, que dirigía la sección médica del Laboratorio Central de Investigación de la compañía EMI. Ambos obtuvieron de forma compartida el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1979. En 1967 Cormack publica sus trabajos sobre la TC siendo el punto de partida de los trabajos de Hounsfield, que diseña su primera unidad. En 1972 comenzaron los ensayos clínicos cuyos resultados soprendieron a la comunidad médica, si bien la primera imagen craneal se obtuvo un año antes. Los primeros cinco aparatos se instalaron en Reino Unido y Estados Unidos; la primera TC de un cuerpo entero se consiguió en 1974. En el discurso de presentación del comité del Premio Nobel se destacó que previo al escáner, “las radiografías de la cabeza mostraban sólo los huesos del cráneo, pero el cerebro permanecía como un área gris, cubierto por la neblina.

251


252

Súbitamente la neblina se ha disipado”. En recuerdo y como homenaje a Hounsfield, las unidades que definen las distintas densidades de los tejidos estudiadas en TC se denominan unidades Hounsfield.

Principio de funcionamiento El aparato de TC emite haz colimado de rayos X que incide sobre el objeto que se estudia. La radiación que no ha sido absorbida por el objeto es recogida por los detectores. Luego el emisor del haz, que tenía una orientación determinada (por ejemplo, estrictamente vertical a 90º) cambia su orientación (por ejemplo, haz oblicuo a 95º). Este espectro también es recogido por los detectores. El ordenador 'suma' las imágenes, promediándolas. Nuevamente, el emisor cambia su orientación (según el ejemplo, unos 100º de inclinación). Los detectores recogen este nuevo espectro, lo 'suman' a los anteriores y 'promedian' los datos. Esto se repite hasta que el tubo de rayos y los detectores han dado una vuelta completa, momento en el que se dispone de una imagen tomográfica definitiva y fiable.

Interior de un Tomografo axial computarizado.

Para comprender qué hace el ordenador con los datos que recibe lo mejor es examinar el diagrama que se aprecia líneas abajo. La figura '1' representa el resultado en imagen de una sola incidencia o proyección (vertical, a 90º). Se trata de una representación esquemática de un miembro, por ejemplo un muslo. El color negro representa una densidad elevada, la del hueso. El color gris representa una densidad media, los tejidos blandos (músculos).

En la figura '4' el ordenador dispone de datos de cuatro incidencias: 45º, 90º, 135º y 180º. Los perfiles de la imagen son octogonales, lo que la aproximan mucho más a los contornos circulares del objeto real.

Una vez que ha sido reconstruido el primer corte, la mesa donde el objeto reposa avanza (o retrocede) una unidad de medida (hasta menos de un milímetro) y el ciclo vuelve a empezar. Así se obtiene un segundo corte (es decir, una segunda imagen tomográfica) que corresponde a un plano situado a una unidad de medida del corte anterior. A partir de todas esas imágenes transversales (axiales) un computador reconstruye una imagen bidimensional que permite ver secciones de la pierna (o el objeto de estudio) desde cualquier ángulo. Los equipos modernos permiten incluso hacer reconstrucciones tridimensionales. Estas reconstrucciones son muy útiles en determinadas circunstancias, pero no se emplean en todos los estudios, como podría parecer. Esto es así debido a que el manejo de imágenes tridimensionales no deja de tener sus inconvenientes. Un ejemplo de imagen tridimensional es la imagen 'real'. Como casi todos los cuerpos son opacos, la interposición de casi cualquier cuerpo entre el observador y el objeto que se desea examinar hace que la visión de éste se vea obstaculizada. La representación de las imágenes tridimensionales sería inútil si no fuera posible lograr que cualquier tipo de densidad que se elija no se vea representada, con lo que determinados tejidos se comportan como transparentes. Aun así, para ver completamente un órgano determinado es necesario mirarlo desde diversos ángulos o hacer girar la imagen. Pero incluso entonces veríamos su superficie, no su interior. Para ver su interior debemos

Tomografía axial computarizada hacerlo a través de una imagen de corte asociada al volumen y aun así parte del interior no siempre sería visible. Por esa razón, en general, es más útil estudiar una a una todas las imágenes consecutivas de una secuencia de cortes que recurrir a reconstrucciones en bloque de volúmenes, aunque a primera vista sean más espectaculares.

Fundamento técnico Las fórmulas matemáticas para reconstruir una imagen tridimensional a partir de múltiples imágenes axiales planas fueron desarrolladas por el físico J. Radon , nacido en Austria en 1887. Tras sus trabajos las fórmulas existían (Transformada de Radon), pero no así el equipo de rayos X capaz de hacer múltiples “cortes” ni la máquina capaz de hacer los cálculos automáticamente. Para aplicarlo a la medicina hubo que esperar al desarrollo de la computación y del equipo adecuado que mezclase la capacidad de obtener múltiples imágenes axiales separadas por pequeñas distancias, almacenar electrónicamente los resultados y tratarlos. Todo esto lo hizo posible el británico G. H. Hounsfield en los años 70.

Usos de la TC La TC, es una exploración o prueba radiológica muy útil para el diaje o estudio de extensión de los cánceres en especial en la zona craneana, como el cáncer de mama, cáncer de pulmón y cáncer de próstata o la detección de cualquier cáncer en la zona nasal los cuales en su etapa inicial pueden estar ocasionando alergia o rinitis crónica. Otro uso es la simulación virtual y planificación de un tratamiento del cáncer con radioterapia es imprescindible el uso de imágenes en tres dimensiones que se obtienen de la TC. Las primeras TC fueron instaladas en España a finales de los años 70 del siglo XX. Los primeros TC servían solamente para estudiar el cráneo, fue con posteriores generaciones de equipos cuando pudo Pantalla típica del software de diagnóstico, estudiarse el cuerpo completo. Al principio era una exploración cara y mostrando una vista 3D y tres vistas MPR. con pocas indicaciones de uso. Actualmente es una exploración de rutina de cualquier hospital, habiéndose abaratado mucho los costes. Ahora con la TC helicoidal, los cortes presentan mayor precisión distinguiéndose mejor las estructuras anatómicas. Las nuevas TC multicorona o multicorte incorporan varios anillos de detectores (entre 2 y 320), lo que aumenta aún más la rapidez, obteniéndose imágenes volumétricas en tiempo real. Esquema de una TC de cuarta generación. El tubo gira dentro del gantry que contiene múltiples detectores en toda su circunferencia. La mesa con el paciente avanza progresivamente mientras se realiza el disparo. Entre las ventajas de la TC se encuentra que es una prueba rápida de realizar, que ofrece nitidez de imágenes que todavía no se han superado con la resonancia magnética nuclear como es la visualización de ganglios, hueso, etc. y entre sus inconvenientes se cita que la mayoría de veces es necesario el uso de contraste intravenoso y que al utilizar rayos X, se reciben dosis de radiación ionizante, que a veces no son despreciables. Por ejemplo en una TC abdominal, se puede recibir la radiación de más de 500 radiografías de tórax, el equivalente de radiación natural de más de cinco años.

253


254

Ejemplos Un gráfico de volumen muestra claramente los huesos de gran densidad.

Huesos reconstruidos en 3D

Después de usar una herramienta de segmentación para ocultar los huesos, los vasos sanguíneos anteriormente ocultos, quedan expuestos.

Beneficios Por medio de la visualización a través de la exploración por TC un radiólogo experto puede diagnosticar numerosas causas de dolor abdominal con una alta precisión, lo cual permite aplicar un tratamiento rápido y con frecuencia elimina la necesidad de procedimientos de diagnóstico adicionales y más invasivos. Cuando el dolor se produce a causa de una infección e inflamación, la velocidad, facilidad y precisión de un examen por TAC puede reducir el riesgo de complicaciones graves causadas por la perforación del apéndice o la rotura del divertículo y la consecuente propagación de la infección. Las imágenes por TC son exactas, no son invasivas y no provocan dolor. Una ventaja importante de la TAC es su capacidad de obtener imágenes de huesos, tejidos blandos y vasos sanguíneos al mismo tiempo. A diferencia de los rayos X convencionales, la exploración por TAC brinda imágenes detalladas de numerosos tipos de tejido así como también de los pulmones, huesos y vasos sanguíneos. Los exámenes por TC son rápidos y sencillos; en casos de emergencia, pueden revelar lesiones y hemorragias internas lo suficientemente rápido como para ayudar a salvar vidas. Se ha demostrado que la TC es una herramienta de diagnóstico por imágenes rentable que abarca una amplia serie de problemas clínicos. La TAC es menos sensible al movimiento de pacientes que la RMN. La TAC se puede realizar si usted tiene implante de dispositivo médico de cualquier tipo, a diferencia de la RMN. El diagnóstico por imágenes por TAC proporciona imágenes en tiempo real, haciendo de éste una buena herramienta para guiar procedimientos mínimamente invasivos, tales como biopsias por aspiración y aspiraciones por aguja de numerosas áreas del cuerpo, particularmente los pulmones, el abdomen, la pelvis y los huesos. Un diagnóstico determinado por medio de una exploración por TC puede eliminar la necesidad de una cirugía exploratoria y una biopsia quirúrgica. Luego del examen por TAC no quedan restos de radiación en su cuerpo. En general, los rayos X utilizados en las exploraciones por TC no tienen efectos secundarios.

Riesgos Siempre existe la leve posibilidad de cáncer como consecuencia de la exposición excesiva a la radiación. Sin embargo, el beneficio de un diagnóstico exacto es ampliamente mayor que el riesgo. La dosis efectiva de radiación de este procedimiento es de aproximadamente 10 mSv, que es casi la misma proporción que una persona, en promedio, recibe de radiación de fondo en tres años. Las mujeres siempre deben informar a su médico y al tecnólogo de rayos X o TC si existe la posibilidad de que estén embarazadas. En general, el diagnóstico por imágenes por TC

Tomografía axial computarizada no se recomienda para las mujeres embarazadas salvo que sea médicamente necesario debido al riesgo potencial para el bebé. Las madres en período de lactancia deben esperar 24 horas después de que hayan recibido la inyección intravenosa del material de contraste antes de poder volver a amamantar. El riesgo de una reacción alérgica grave al material de contraste que contiene yodo muy rara vez ocurre, y los departamentos de radiología están bien equipados para tratar tales reacciones. Debido a que los niños son más sensibles a la radiación, se les debe someter a un estudio por TC únicamente si es fundamental para realizar un diagnóstico y no se les debe realizar estudios por TC en forma repetida a menos que sea absolutamente necesario.


¿En qué consiste una tomografía axial computarizada (TAC)? [1] SERAM Sociedad Española de Radiología Médica [2] SEEIC Sociedad Española de Electromedicina e Ingeniería Clínica [3] International Journal of Tomography & Statistics (IJTS) [4] Tomografía axial computarizada CT Cases.net [5]

Referencias • Radiological Society of North America, Inc. (RSNA) [6] TAC – Abdomen y pelvis.

Referencias [1] [2] [3] [4] [5] [6]

http:/ / eltamiz. com/ 2008/ 01/ 22/ %C2%BFen-que-consiste-una-tomografia-axial-computarizada-tac/ http:/ / www. seram. es/ http:/ / www. seeic. org/ http:/ / www. ceser. res. in/ ijts. html http:/ / www. ctcases. net/ http:/ / www. radiologyinfo. org/ sp/ info. cfm?pg=abdominct

255


Sólidos platónicos Los sólidos platónicos son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos. Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Historia Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Propiedades Regularidad Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros: • • • • •

Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales. En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices. Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud. Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales. Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetría Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos: • Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas. • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior. • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales. Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

256


257

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro. • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro. Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Esquema El Teorema de poliedros de Euler fija que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

Tabla comparativa Sólidos Platónicos

Tetraedro

Hexaedro, Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4

6

8

12

20

Triángulos Equiláteros

Cuadrados


Pentágonos Regulares


Número de aristas

6

12

12

30

30

Número de vértices

4

8

6

20

12

Caras concurrentes en cada vértice

3

3

4

3

5

Vértices contenidos en cada cara

3

4

3

5

3

Grupo de simetría

Tetraédrico (Td)

Hexaédrico (Hh)

Octaédrico (Oh)

Icosaédrico (Lh)

Icosaédrico (Lh)

Poliedro conjugado

Tetraedro (autoconjugado)

Octaedro

Hexaedro, Cubo

Icosaedro

Dodecaedro

Símbolo de Schläfli

{3,3}

{4,3}

{3,4}

{5,3}

{3,5}

Desarrollo

Número de caras Polígonos que forman las caras


258

Símbolo de Wythoff Ángulo diedro

3|23

3|24

4|23

3|25

5|23

70.53° = arccos(1/3)

90°

109.47° = arccos(-1/3)

116.56°

138.189685°

Radio externo

Radio interno

Poliedros regulares en la naturaleza En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIH es un icosaedro regular[cita requerida].

Curiosidades Los dados de rol utilizados en algunos juegos de rol tienen las formas de los sólidos platónicos: dado de veinte (D20), dado de doce (D12), dado de diez (D10, aunque no es un sólido platónico; es un sólido formado por dos pirámides pentagonales unidas por su base), dado de ocho (D8), dado de seis (D6) y dado de cuatro (D4). Cada dado se utiliza para uno o más propósitos particulares dependiendo de cada juego.

Bibliografía • Sutton, David (2005). Sólidos platónicos y arquimedianos. Oniro S. A. ISBN 84-9754-131-6. • QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil. • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p. • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Sólidos platónicosCommons. • Fórmulas importantes [1]. • Información sobre las características e historia de dichos sólidos [2] • Imagen del virus del SIDA [3]

Referencias [1] http:/ / www. luventicus. org/ articulos/ 03Tr001/ [2] http:/ / www. luventicus. org/ articulos/ 03Tr001/ index. html [3] http:/ / home. cc. umanitoba. ca/ ~shivaku/ HIV-AIDS/ virus. jpg

Gran círculo

259

Gran círculo Para otros usos de círculo, véase Círculo (desambiguación) El gran círculo, denominado también círculo mayor o círculo máximo, es el círculo resultante de una sección realizada a una esfera mediante un plano que pase por su centro y la divida en dos hemisferios idénticos; la sección circular obtenida tiene el mismo diámetro que la esfera. La distancia más corta entre dos puntos de la superficie de una esfera siempre es el arco de círculo máximo que los une.

Aplicaciones de círculos máximos Geometría riemanniana

Un gran círculo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

En la geometría riemanniana este concepto sirve para ilustrar como hay espacios donde hay puntos (los antipodales) que admiten más de una geodésica contrastando lo que sucede en espacios euclídeos donde por cualquiera dos puntos arbitrarios sólo pasa una única geodésica.

Triángulos esféricos Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < + + < 540°

Geografía y cartografía En geografía y cartografía, los círculos Aplicación de círculos máximos en triángulo esférico. máximos que pasan por los polos determinan las líneas de longitud (meridianos). En la latitud, en cambio, existe sólo un círculo máximo: el ecuador terrestre. Las demás latitudes están determinadas por círculos menores paralelos al ecuador (paralelos).

Gran círculo

260

Enlaces externos • Weisstein, Eric W. Great Circle From MathWorld. [1] (en inglés) • Um simulador de rotas ortodrómicas [2] (en portugués) • Esfera armilar, un suporte a la Navegación Astronómica [3](en portugués) • esferas Armilares perfeitas - Construa voce mesmo [4]

La trayectoria del gran círculo de una ruta aérea (línea roja) La trayectoria siguiendo una corriente en chorro (línea verde).


http:/ / mathworld. wolfram. com/ GreatCircle. html http:/ / sites. google. com/ site/ inventosdescobertasepatentes/ Home http:/ / br. oocities. com/ simaowilson/ navisfera. html https:/ / sites. google. com/ site/ esferasarmilares/ home

Trigonometría esférica La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.

La esfera Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de ℝ³ definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definición:

Triángulo esférico trirectángulo (sus ángulos suman : 270°).


261

Círculo máximo La intersección de una esfera con un plano que contenga su centro genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica. Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.

Volumen y superficie de la esfera El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un semicírculo que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r, su volumen será:

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo sobre la superficie de una esfera.

La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esférica Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

Triángulo esférico Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < + +

< 540°

Fórmulas fundamentales Triángulo esférico.

: ángulo formado entre los arcos AC y AB : ángulo formado entre los arcos AB y BC : ángulo formado entre los arcos AC y BC


262

Fórmula del coseno

Fórmula del seno

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Fórmula de la cotangente La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos: ángulo

; lado

; ángulo

; lado

.

Cosenos de los elementos medios, es igual a: menos seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, más seno del lado medio por la cotangente del otro lado. Fórmula de Bessel Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Westfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846). cos( a / k ) = cos( b / k )· cos( c / k ) + sen( b / k )· sen( c / k) · cos( A ) cos( b / k ) = cos( c / k )· cos( a / k ) + sen( c / k )· sen( a / k )· cos( B ) cos( c / k ) = cos( a / k )· cos( b / k ) + sen( a / k )· sen( b / k )· cos( C ) El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma: sen c · cos B = cos b · sen a - cos a · sen b · cos C sen c · cos A = cos a · sen b - cos b · sen a · cos C sen b · cos A = cos a · sen c - cos c · sen a · cos B sen b · cos C = cos c · sen a - cos a · sen c · cos B sen a · cos B = cos b · sen c - cos c · sen b · cos A sen a · cos C = cos c · sen b - cos b · sen c · cos A Presentación matricial de las fórmulas del triángulo esférico El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno (llamadas por algunos segunda y primera fórmula de Bessel), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

siendo a, b y c los lados; y A, B y C los ángulos del triángulo esférico.

Trigonometría esférica Triángulo esférico rectángulo Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = + + − 180°. Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.

Pentágono de Neper El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico inglés John Napier, y se construye de la siguiente forma: Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C. Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa a por sus complementarios: B por (90° - B) C por (90° - C) a por (90° - a) Se establecen dos reglas: • el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B) • el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos: seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)

Bibliografía • Apuntes de trigonometría esférica. Escuela Nacional de Náutica Manuel Belgrano (Argentina). • Apuntes de Trigonometría esférica. Universidad de Cádiz. • Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina).


Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Trigonometría esférica. Commons Great Circle Mapper [1] Great Circle Calculator [2] Matemática del Círculo Máximo [1] (en inglés) Las fórmulas de la Trigonometría Esférica [3] (en español)

Referencias [1] http:/ / gc. kls2. com/ [2] http:/ / williams. best. vwh. net/ gccalc. htm [3] http:/ / personales. ya. com/ casanchi/ mat/ formulaesferica. pdf

263


Geometría no euclidiana Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo Los tres tipos de geometrías homogéneas posibles, además de la geometría euclidea de tipo de geometría no euclídea, sino curvatura nula, existen la geometría elíptica de curvatura positiva, y la geometría muchos, aunque si se restringe la hiperbólica de curvatura negativa. Si se consideran geometrías no-euclídeas homogéneas entonces existe una infinidad de posibles geometrías, descritas por las variedades discusión a espacios homogéneos, en riemannianas generales. los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías: • La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. • La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. • La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva. Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.

Historia El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente por Immanuel Kant[cita requerida], formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai y Ferdinand Schweickard. Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides. La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimación de las fuerzas vivas" (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben) (1746), Immanuel Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma: Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces. Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías euclidianas de dimensión mayor que 3. Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al

264

Geometría no euclidiana absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).

Geometrías de curvatura constante Geometría hiperbólica A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometría hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y tratar de obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometría en la que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º). La naturalidad de esta geometría quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Modelo del disco Poincaré para la geometría hiperbólica con una teselación {3,7} de rombos truncados. Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometría euclídea (es decir, si la geometría hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometría euclídea también). Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la euclídea. Sabiendo que en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refería a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.

265


266

Geometría elíptica La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea homogénea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann de curvatura positiva constante es un ejemplo de geometría elíptica. Un modelo clásico de geometría elíptica n-dimensional es la n-esfera. En la geometría elíptica las líneas geodésicas tienen un papel similar a las líneas rectas de la geometría euclídea, con algunas importanes diferencias. Si bien la mínima distancia posible entre dos puntos viene dada por una línea geodésica, que además son líneas de curvatura mínima, el quinto postulado de Euclídes no es válido para la geometría elíptica, ya que dada una "recta" de esta geometría (es decir, una línea geodésica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodésica que no corte a la primera.

Geometría euclídea

La esfera es un modelo de geometría elíptica bidimensional, los meridianos resultan ser líneas geodésicas mientras que los paralelos son líneas de curvatura no mínima.

La geometría euclídea es claramente un caso límite intermedio entre la geometría elíptica y la geometría hiperbólica. De hecho la geometría euclídea es una geometría de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espacio geométrico o variedad de Riemann cuya curvatura es nula es localmente isométrico al espacio euclídeo y por tanto es un espacio euclídeo o idéntico a una porción del mismo.

Aspectos matemáticos Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

donde

es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci

curvatura escalar

y donde

y la

son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

es la dimensión del espacio.

Otro aspecto interesante es que tanto en la geometría hiperbólica, como en la geometría elíptica homogéneas el grupo de isometría del espacio completo es un grupo de Lie de dimensión , que coincide con la dimensión del grupo de isometría de un espacio Euclideo de dimensión n (aunque los tres grupos son diferentes).

Geometrías de curvatura no constante Geometría riemanniana general A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la Geometría. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrías que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclídeas, cuyo estudio se conoce hoy en día como geometrías riemannianas. Estas geometrías resultan en general no-homogéneas: algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura. Para el estudio de estas geometrías Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometría euclídea, la geometría hiperbólica y la geometría elíptica son casos particulares de geometrías riemanninanas, caracterizadas por valores constantes del tensor de curvatura. En una geometría riemanninana general, el tensor de curvatura tendrá valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometría.

Geometría no euclidiana Eso hace que la geometría no sea homogénea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teoría de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medición de distancias y ángulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea. Finalmente un aspecto interesante de la geometría riemanniana es que si la curvatura no es constante entonces el grupo de isometría del espacio tiene dimensión estrictamente menor que siendo la dimensión del espacio. En concreto según la relatividad general un espacio-tiempo con una distribución muy irregular de la materia podría tener un grupo de isometría trivial de dimensión 0.

Geometría del espacio-tiempo y teoría de la relatividad Basándose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su Teoría de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometría del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría, líneas que se denominan geodésicas. Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador, la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento así a la fantástica visión de Gauss: la geometría desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio; al generalizar dicha estructura geométrica, tiene curvatura.

Referencias Bibliografía • N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105. • Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005 • Blumenthal, Leonard M. (1980), A Modern View of Geometry, New York: Dover, ISBN 0-486-63962-2 • H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 . • Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press. • Manning, Henry Parker (1963), Introductory Non-Euclidean Geometry, New York: Dover • Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years (http://projecteuclid.org/euclid.bams/ 1183548588), Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24. • John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .

267

Variedad de Riemann

268

Variedad de Riemann En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

Introducción Una variedad de Riemann es una generalización del concepto métrico, diferencial y topológico del espacio euclídeo a objetos geométricos que localmente tienen la misma estructura que el espacio euclídeo pero globalmente pueden representar forma "curva". De hecho, los ejemplos más sencillos de variedades de Riemann son precisamente superificies curvas de y subconjuntos abiertos de .

Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con un sistema de coordenadas ortogonales definido sobre ella, y varias subvariedades curvas de la misma.

La estructura matemática de la geometría riemanniana permite extender a subconjuntos curvos o hipersuperficies del espacio euclídeo, las nociones métricas de longitud de una curva, área de una superficie, (hiper)volumen o ángulo entre dos curvas. Esto se realiza definiendo en cada punto un objeto matemático llamado tensor métrico que permite especificar un procedimiento para medir distancias, y por tanto definir cualquier otro concepto métrico basado en distancias y sus variaciones. Desde el punto de vista matemático una variedad de Riemann es una tripleta del tipo:

Donde: es una variedad diferenciable en la que se ha especificado el conjunto de cartas locales. es

una

aplicación

bilineal

definida

positiva

desde

el

espacio

tangente

a

la

variedad:

En particular, la métrica g permite definir en cada espacio tangente una norma ||.|| mediante

Variedades riemannianas como subvariedades Una forma sencilla de construir variedades riemanninas es buscar subconjuntos "suaves" del espacio euclídeo. De hecho, cada subvariedad diferenciable de Rn tiene una métrica de Riemann inducida: el producto interior en cada fibra tangente es la restricción del producto interno en Rn. De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerar subvariedades diferenciables de , para algún D. En particular se puede definir una variedad de Riemann como un espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de RD con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la geometría de Riemann. En general una subvariedad de diferenciables del tipo:

, dimensión m, vendrá definida localmente por un conjunto de aplicaciones

Variedad de Riemann

269

Por lo que matricialmente se tendrá en cada punto de coordenadas asociadas ui que el tensor métrico puede expresarse en coordenadas locales en términos de la matriz jacobiana de f:

En este caso las

harían el papel de coordenadas locales sobre la subvariedad.

Variedades riemannianas como secciones diferenciables Una variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una sección diferenciable de formas cuadráticas positivo-definidas en el fibrado tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser convertido en un espacio métrico: Si γ: [a, b] → M es una curva continuamente diferenciable en la variedad de Riemann M, entonces se define su longitud L(γ) como

(nótese que el γ'(t) es un elemento del espacio tangente a M en el punto γ(t); ||.||denota la norma resultante del producto interior dado en ese espacio tangente.) Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa M se convierte en un espacio métrico (e incluso un espacio métrico con longitud) de un modo natural: la distancia d(x, y) entre los puntos x y y en M se define como d (x, y) = inf { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a x y y }.

Conceptos métricos Líneas geodésicas Aunque las variedades de Riemann son generalmente "curvas", no obstante, podemos encontrar que dados dos puntos diferentes y suficientemente cercanos existe una curva de longitud mínima (aunque esta no tiene porqué ser única). Estas líneas de mínima longitud se llaman líneas geodésicas y son una generalización del concepto "línea recta" o "línea de mínima longitud". Éstas son las curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de las trayectorias más cortas. Así dada una curva

contenida en una variedad riemanniana M, definimos la longitud de dicha

curva L(γ) mediante el vector tangente a la misma y las componentes gij del tensor métrico g del siguiente modo:

Donde xi(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Usando los símbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto x0 y tiene el vector tangente v satisface la siguiente ecuación:

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse por métodos variacionales, concretamente podemos de las ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano construido a partir de la forma cuadrática asociada al tensor métrico.

Variedad de Riemann

270

Longitud, ángulo y volumen En una variedad riemanniana la existencia de un tensor métrico permite extender las nociones euclideas de longitud, ángulo entre dos curvas en un punto (o dos vectores del espacio tangente de un punto) o el volumen de una región de dicha variedad. • La longitud de un segmento de una curva dada parametrizada por

, desde

hasta

, se define como:

• El ángulo entre dos vectores U y V (o entre dos curvas cuyos vectores tangentes sean U y V ) se define como:

• El n-volumen de una región R de una variedad de dimensión n viene dado por la integral extendida a dicha región de la n-forma de volumen:

Además de esto se pueden definir medidas de dimensionalidad 1< d < n para regiones de subvariedades contenidas en la variedad original, lo cual permite definir d-áreas ciertos subconjuntos de la variedad.

Producto interior El producto interior en Rn (el producto escalar euclidiano familiar) permite que se defina longitudes de vectores y ángulos entre vectores. Por ejemplo, si a y b son vectores en Rn, entonces a² es la longitud al cuadrado del vector, y a * b determina el coseno del ángulo entre ellos (a * b = ||a|| ||b|| cos θ). El producto interior es un concepto del álgebra lineal que se puede definir para cualquier espacio vectorial. Desde el fibrado tangente de una variedad diferenciable (o de hecho, cualquier fibrado vectorial sobre una variedad) es, considerado punto a punto, un espacio vectorial, puede llevar también un producto interior. Si el producto interior en el espacio tangente de una variedad se define suavemente, entonces los conceptos que eran solamente punto a punto definido en cada espacio tangente se pueden integrar, para rendir nociones análogas en regiones finitas de la variedad. En este contexto, el espacio tangente se puede pensar como traslación infinitesimal en la variedad. Así, el producto interno en el espacio tangente da la longitud de una traslación infinitesimal. La integral de esta longitud da la longitud de una curva en la variedad. Para pasar de un concepto algebraico lineal a uno geométrico diferencial, el requisito de suavidad es importante, en muchos casos.

Curvatura En una variedad riemanniana las geodésicas alrededor de un punto exhbien comportamientos atípicos respecto a geometría euclídea. Por ejemplo en un espacio euclídeo puden darse líneas rectas paralelas cuya distancia se mantiene constante, sin embargo, en una vareidad riemanniana los haces de geodésicas tienen a divergir (curvatura negativa) o a convergir (curvatura positiva), según sea la curvatura seccional de dicha variedad. Todas las curvaturas pueden ser representadas adecuadamente por el tensor de curvatura Riemann que es definible a partir de derivadas de pirmer y segundor orden del tensor métrico. El tensor de curvatura en términos de los símbolos de Christoffel y usando el convenio de sumación de Einstein viene dado por:

Una relación interesante que aclara el significado del tensor de curvatura es que si se consideran coordenadas normales centradas en un punto p en un entorno de dicho punto la métrica de toda variedad riemannina puede escribirse como:

Variedad de Riemann

271

Puede verse que si el tensor de Riemann se anula idénticamente entonces localmente la métrica se aproxima a la métrica euclídea y la geometría localmente es euclídea. En caso del que el tensor no sea nula, sus componentes dan una idea de cuanto se alejan la geometría de la variedad riemanniana de la geometría de un espacio euclídeo de la misma dimensión.

Generalizaciones de las variedades de Riemann • Variedad pseudoriemanniana, en las que se retira el requisito de que el tensor métrico dé lugar a una forma cuadrática definida positiva sobre cada punto en el espacio tangente, y se sustituye por el requisito más débil de que el tensor métrico sea sencillamente no degenerado. Toda variedad riemanniana es también una variedad pseudoriemanniana. • Variedad de Finsler, en la que se elimina el requisito de existencia de un tensor métrico definido positivo, y se sustituye esa condición por el requisito más débil la existencia de una norma sobre el espacio vectorial tangente a cada punto. Toda variedad riemanniana es por tanto una variedad de Finsler.

Referencias Bibliografía • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. • Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Geometría hiperbólica La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante: • La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. • La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. • La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Historia Desde la antigüedad se realizaron esfuerzos por deducir el quinto postulado de Euclides referente a las paralelas de los otros cuatro. Uno de los intentos más amplios y ambiciosos fue el de Giovanni Gerolamo Saccheri en el siglo XVIII quien, contradictoriamente creó lo que podríamos considerar modelo incipiente de geometría hiperbólica. Sin embargo, Saccheri creyó que no era consistente y no llegó a formalizar todos los aspectos de su trabajo. También Johann Heinrich Lambert encontró algunas fórmulas interesantes referentes a lo que hoy llamaríamos triángulos de la geometría hiperbólica, probando que la suma de los ángulos es siempre menor que 180º (o π radianes), la fórmula de Lambert establecía que para uno de estos triángulos se cumplía:

Donde: , es la suma de los ángulos del triángulo (expresada en radianes). , es el área total del triángulo.


272

es una constante de proporcionalidad positiva relacionada con la curvatura constante del espacio hiperbólico en que se halla inmerso el triángulo. Más adelante Carl Friedrich Gauss trabajó en un modelo similar pero no publicó sus resultados. En los años 1820 dos jóvenes matemáticos que trabajaban de modo independiente, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, publicaron sus modelos por los cuales establecían la posibilidad de un tipo de geometría alternativa, totalmente consistente, que es el que conocemos como geometría hiperbólica.

Introducción Paralelas en la geometría hiperbólica El axioma de Bolyai, equivalente al quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas dice que «dada una recta r y un punto P externo a ella, hay una y solo una recta que pasa por P que no interseca a 'r''». Comúnmente, la recta que posee esta cualidad recibe el nombre de "paralela" a través de P. En geometría hiperbólica, este postulado resulta falso porque siempre hay al menos dos rectas distintas que pasan por P y las cuales no intersecan a r. De hecho para la geometría hiperbólica es posible demostrar una interesante propiedad: hay dos clases de rectas que no intersecan a la recta r. Sea B un punto que pertenece a r tal que la recta PB es perpendicular a r. Considere la recta l que pasa por P, tal que l no interseca a r y el ángulo theta entre PB e l (en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde PB) es lo más pequeño posible (es decir, cualquier ángulo más pequeño que theta, forzará a la recta a intersecar a r). Esta (l) , es denominada recta hiperparalela (o simplemente, recta paralela) en la geometría hiperbólica.

Rectas que pasan por P y son hiperparalelas a R

En forma similar, la recta m que forma el mismo ángulo theta entre PB y ella misma, pero ahora en sentido de las manecillas del reloj desde PB, también Un triángulo en un plano con forma de una silla de montar (un será hiperparalela, pero no pueden haber otras. paraboloide hiperbólico), así como dos rectas paralelas divergentes. Todas las otras rectas que pasan por P y que no intersecan a r, forman ángulos más grandes que theta con PB y son llamadas rectas ultraparalelas (o rectas disjuntamente paralelas). Note que, al haber un número infinito de ángulos posibles entre θ y 90º, cada uno de estos determinará dos rectas que pasan por P y que son disjuntamente paralelas a r, tendremos entonces, un número infinito de rectas ultraparalelas. Por consiguiente, tenemos esta forma modificada del Postulado de las Rectas Paralelas: «En geometría hiperbólica, dada una recta r y un punto P exterior a r hay exactamente dos rectas que pasan por P, las cuales son hiperparalelas a r, e infinitas rectas que pasan por P y son ultraparalelas a r». Las diferencias entre rectas hiperparalelas y ultraparaleas, también pueden ser vistas de la siguiente forma: la distancia entre rectas hiperparalelas tiende a cero mientras uno se aleja infinitamente de PB por la recta R. Sin

Geometría hiperbólica embargo, la distancia entre rectas ultraparalelas no tiende a cero si uno se aleja infinitamente de PB por la recta r. El ángulo de paralelismo en la geometría Euclideana es una constante, es decir, cualquier longitud BP, determinará un ángulo de paralelismo igual a 90 grados. En la geometría hiperbólica, el ángulo de paralelismo varía con la que es llamada la función Π(p). Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produce un ángulo único de paralelismo para cada longitud dada BP. Mientras la longitud BP se haga más pequeña, el ángulo de paralelismo se acercará a 90º. Si la longitud BP incrementa sin límites, el ángulo de paralelismo se acercará a cero. Note que, debido a este hecho, mientras las distancias se hagan más pequeñas, el plano hiperbólico se comportará cada vez más como la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, a pequeñas escalas, un observador en el plano hiperbólico tendrá dificultades para darse cuenta de que las distancias no se encuentran en un plano Euclideano. En la geometría euclídea la suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180°. En la geometría hiperbólica esta suma es siempre menor de 180°, siendo la diferencia proporcional al área del triángulo.

Geometría hiperbólica y física Podría muy bien suceder que la geometría hiperbólica fuera realmente verdadera en nuestro mundo a escala cosmológica. Sin embargo, la constante de proporcionalidad entre el déficit de ángulo para un triángulo y su área tendría que ser extraodinariamente pequeña en este caso, y la geometría euclídea sería una excelente aproximación a esta geometría para cualquier escala ordinaria.

Modelos euclídeos de la geometría hiperbólica Existen cuatro modelos o representaciones "euclídeas" de la geometría hiperbólica: la representación de Klein, el modelo del disco de Poincaré, el modelo del semiespacio de Poincaré y el modelo de Lorentz. Curiosamente los tres primeros modelos fueron propuestos y publicados originalmente por Eugenio Beltrami en 1868, sin embargo, alcanzaron notoriedad por el uso que tanto Felix Klein como Henri Poincaré hicieron de ellos, estos dos modelos son modelos de la geometría hiperbólica de dos dimensiones, y son generalizables a más dimensiones. • La representación de Klein, también conocida como el modelo proyectivo del disco o modelo de Modelo del disco Poincaré con una teselación {3,7} de rombos truncados. Beltrami-Klein, usa el interior de un círculo como plano hiperbólico, y las cuerdas como líneas del círculo. Este modelo tiene como ventaja su simplicidad, pero como desventaja que los planos hiperbólicos están distorsionados. • El modelo de Poincaré usa también el interior de un círculo plano, y en él las líneas rectas de la geometría hiperbólica vienen representadas por arcos de circunferencia que cortan el borde del círculo plano en ángulo recto.

273


274

Además este modelo es un modelo de curvatura constante negativa, que admite una representación como variedad riemanniana con un tensor métrico dado por: Donde a es una constante relacionada con la curvatura K = -1/a2

Referencias Bibliografía • A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105. • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. • Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Disco de Poincaré En geometría, el modelo del disco de Poincaré, también llamado representación conforme, es un modelo de la geometría hiperbólica n-dimensional en el que los puntos de la geometría están en un disco n-dimensional , o bola unitaria, y las líneas rectas de la geometría hiperbólica son segmentos de círculos contenidos en el disco ortogonal a la frontera del disco, o bien diámetros del disco. Junto con el modelo de Klein y el modelo del semiespacio de Poincaré, fue propuesto por Eugenio Beltrami quien utilizó estos modelos para mostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana.

Métrica n

Si u y v son dos vectores en un espacio vectorial real n-dimensional R con la norma euclidiana usual, ambos de norma inferior a uno, entonces se puede definir un invariante isométrico por

donde

Disco de Poincaré de gran rombitruncado {3,7} teselado.

denota la norma euclidiana usual. La función de distancia

es Esta función de distancia está definida para cualesquiera dos vectores de norma inferior a uno, y el conjunto de tales vectores forman un espacio métrico que es un modelo de espacio hipérbólico de curvatura constante −1. El modelo tiene la propiedad conforme que el ángulo entre las dos curvas que se intersecan en el espacio hipérbólico es el mismo que el ángulo en el modelo. El tensor métrico asociado al disco de Poincaré está dado por

Bola de Poincaré en un 3-espacio hiperbólico.

Disco de Poincaré

donde las xi son las coordenadas cartesianas del espacio euclídeo ambiente. Las geodésicas del modelo del disco son círculos perpendiculares a la esfera frontera Sn−1.

Relación con el modelo del hiperboloide El modelo del disco de Poincaré, así como el modelo de Klein, se relacionan con el modelo del hiperboloide proyectivamente. Dado un punto [t, x1, ..., xn] sobre la hoja superior de un hiperboloide del modelo del hiperboloide, se define un punto del modelo del hiperboloide, que se puede proyectar sobre la hipersuperficie t = 0 haciendo la intersección con una línea trazada desde [−1, 0, ..., 0]. El resultado es el correspondiente punto del disco de Poincaré. Para las coordenadas cartesianas (t, xi) del hiperboloide e (yi) del plano, las fórmulas de conversión son :

Compárese las fórmulas con la proyección estereográfica entre una esfera y un plano.

Construcciones de geometría analítica en el plano hiperbólico Una construcción básica de la geometría analítica es la de hallar una recta que pase por dos puntos dados. En el modelo del disco de Poincaré, las rectas del plano se definen por porciones de círculos con ecuaciones de la forma

que es la forma general de un círculo ortogonal al círculo unitario, o sino por diámetros. Dados dos puntos u y v en el disco que no estén en un diámetro, se puede resolver para el círculo de esta forma pasando por ambos puntos, y obtener

Si los puntos u y v son puntos de la frontera del disco que no están en los extremos de un diámetro, esto se simplifica a

Ángulos Puede calcularse el ángulo entre el arco circular cuyos extremos (puntos ideales) están dados por vectores unitarios u y v, y el arco cuyos extremos son s y t, dada una fórmula. Dado que los puntos ideales son los mismos en el modelo de Klein y en el modelo del disco de Poincaré, las fórmulas son idénticas para ambos modelos. Si las rectas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = −u y t = −s, entonces meramente se encuentra el ángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es

Si v = −u pero no t = −s, la fórmula se convierte, en términos del producto exterior, en

275

Disco de Poincaré donde

Si ambas cuerdas no son diámetros, la fórmula general obtiene

donde

Utilizando la identidad de Binet–Cauchy y el hecho de que estos vectores son unitarios, las expresiones precedentes pueden rescribirse en términos puramente del producto escalar, como

Realizaciones artísticas La edición Circle Limit IV [1] por M.C. Escher, es una visualización artística del disco de Poincaré.

Referencias • James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005 • Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255 • Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993

Referencias [1] http:/ / www. mcescher. com/ Gallery/ recogn-bmp/ LW436. jpg

276


277

Geometría elíptica La geometría elíptica (llamada a veces riemanniana) es un modelo de geometría no euclideana de curvatura constante que satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides pero no el quinto. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría elíptica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclideana y la geometría hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura constante, siendo la diferencia entre estos tres modelos el valor de la curvatura: • La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. • La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.

La superficie de la esfera constituye un ejemplo de geometría elíptica bidimensional. Sobre una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo esférico no es igual a 180º. La superficie de una esfera no es un espacio euclídeo, aunque localmente ambas geometrías se parecen mucho, para grandes distancias es detectable la curvatura de la esfera. Esto se refleja en que triángulos pequeños sobre la superficie dela esfera suman casi 90º, triángulos de mayor tamaño clarametne suman más de 180º.

• La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Historia Una vez aceptado como igualmente natural el modelo de geometría hiperbólica en que se rechazaba el quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas, los matemáticos buscaron nuevos sistemas geométricos que incumplieran el quinto postulado. Uno de esos modelos lo constituye la superficie de una esfera, considerada bidimensional. En la geometría hiperbólica, dado un punto exterior a una recta siempre es posible obtener más de una "recta paralela" a la primera que pase por dicho punto. En la geometría elíptica, dada una "recta" –de esta geometría– y un punto exterior a la misma, no existe ninguna "recta paralela" que no interseque a la primera. De hecho, en el modelo convencional de geometría elíptica estas "rectas" corresponden localmente a "segmentos" de mínima longitud y de curvatura mínima, siendo arcos de círculo máximo de la esfera que sirve como modelo de la geometría hiperbólica (no son rectas del espacio euclídeo). Debe tenerse en cuenta que de acuerdo con la teoría de modelos los conceptos "punto", "recta" y "paralela" pueden interpretarse como distintos tipos de entidades, según el modelo elegido para representar los axiomas de la geometría.


Modelos de la geometría elíptica Existen diversas "realizaciones euclídeas" de la geometría elíptica, es decir, existen modelos que satisfacen los postulados de la geometría euclídea que pueden ser visualizados como objetos inmersos dentro de un espacio euclídeo de dimensión superior: • Modelo (hiper)esférico, una superficie esférica bidimensional, inmersa en un espacio euclídeo tridimensional es el modelo más simple que satisface los postulados de la geometría elíptica bidimensional. Análogamente el conjunto de vectores unitarios de también denominado n-esfera es un modelo de geometría elíptica n-dimensional. • Modelo proyectivo. • Proyección estereográfica. Este modelo de curvatura constante positiva admite también una representación como variedad riemanniana con un tensor métrico dado por: Donde a es una constante relacionada con la curvatura K = 1/a2, y las coordenadas (x, y) cubren un conjunto abierto de la superficie esférica dado por:

Igualmente, una hiperesfera de dimensión n, que está inmersa en el espacio euclídeo n+1 dimensional es un modelo de geometría n-dimensional.

Referencias Bibliografía • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. • Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

278


279

Paralelismo (matemática) En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director. Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Dos rectas paralelas.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto. De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto. Planos paralelos.

Rectas paralelas Notación (recta a paralela a b)


280

Axioma de unicidad El axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente: En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma: a || a • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera: Si a || b

b || a

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad. • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera: Si a || b

b || c

a || c

Teoremas • En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. • Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano). Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Referencias • Weisstein, Eric W. "Parallel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ Parallel.html

Perpendicularidad

Perpendicularidad Para el término náutico semejante, véase encontramos un pene gigante perpendicular de proa y popa. En matemáticas, la condición de perpendicularidad (del latín per-pendiculum «plomada») se da entre dos entes geométricos que se cortan formando un ángulo recto. La perpendicularidad es una propiedad fundamental estudiada en geometría y trigonometría, por ejemplo en los triángulos rectángulos, que poseen 2 segmentos «perpendiculares». La noción de perpendicularidad se generaliza a la de ortogonalidad.

Relaciones La relación de perpendicularidad se puede dar entre: • Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares La semirrecta AB es perpendicular a la recta CD, porque los dos ángulos que conforma son de 90 grados (en naranja y azul, cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro respectivamente). regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra. • Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen. • Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º. • Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen. Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos. Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares. Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares.

281

Perpendicularidad

282

Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, se procede como sigue:

Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del punto P.

• Paso 1 (rojo): se dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.

• Paso 2 (verde): se dibujan dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos. • Paso 3 (azul): se unen P y Q para obtener la recta perpendicular PQ. Para probar que PQ es perpendicular a AB, se utiliza el criterio de congruencia LLL para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego se usa el criterio LAL para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

Perpendicularidad

283

Postulado de unicidad En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

Con relación a líneas paralelas Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea. En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás: • Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto. • Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes. • La línea c es perpendicular a la línea a.

Las líneas a y b son paralelas, como se ve por los cuadrados, y están cortadas por la línea perpendicular c.

• La línea c es perpendicular a la línea b.

Referencias • Perpendicular [1]; Perpendiculares y paralelas [2], sitio «Disfruta las matemáticas». • Líneas perpendiculares [3] sitio «Diccionario visual de matemáticas». • Simmons, Bruce (2011), «perpendicular [4]» (en inglés), Mathwords.

Enlaces externos • Definición: perpendicular [5] Con animación (en inglés) • Cómo dibujar un bisector perpendicular de una línea con regla y compás [6] Con animación (en inglés) • Cómo dibujar una perpendicular al final de una línea con regla y compás [7] Con animación (en inglés)

Perpendicularidad

284

Referencias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ definiciones/ perpendicular. html http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ geometria/ perpendiculares-paralelas. html http:/ / www. rpdp. net/ mathdictionary/ spanish/ vmd/ system/ grd-k12-index. htm http:/ / www. mathwords. com/ p/ perpendicular. htm http:/ / www. mathopenref. com/ perpendicular. html http:/ / www. mathopenref. com/ constbisectline. html http:/ / www. mathopenref. com/ constperpendray. html

Lema de Euclides El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que:

Portada Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor. Euclides, 300 a. C.

Esto puede escribirse en notación moderna como:

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que: Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números. Euclides, 300 a. C.

En notación moderna

Lema de Euclides El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética.

Demostración • Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que p divide a b. Por definición, p y a son coprimos si y sólo si mcd(a, p) = 1; y la identidad de Bézout nos asegura que existen números enteros x e y tales que:

• Que p divida a ab significa que existe un número entero r tal que pr = ab. Volviendo a la primera ecuación y multiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:

• y, en consecuencia

• Sabiendo que pr = ab, se obtiene

• sacando p como factor común, queda:

• como rx+by es un número entero, se concluye que p divide a b. Q.E.D.

Referencias • Trygve, N. (2001). Introduction to Number Theory. New York: Chelsea. ISBN 0-8218-2833-9 • Tom M., Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9

Enlaces externos • The Elements of Euclid, por Isaac Todhunter - Wikisource • Elementos [1] de Euclides.

Referencias [1] http:/ / www. euclides. org/ menu/ elements_esp/ indiceeuclides. htm

285

Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Núcleo (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57294880 Contribuyentes: Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Raulshc, Repos34, Segedano, 5 ediciones anónimas Conjunto imagen Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58876569 Contribuyentes: Beto29, EmmanuelyDios, Farisori, HUB, Ingenioso Hidalgo, JRGL, Jagarsoft, Jmvgpartner, Juan Mayordomo, Leonpolanco, Matdrodes, Neodop, Nixón, Orgullomoore, Raulshc, Rehernan, SuperBraulio13, Tano4595, Tromersebastian, Txo, 21 ediciones anónimas Dominio de definición Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58664066 Contribuyentes: DARIO SEVERI, DRaco Heroicus, Davius, Elwikipedista, Farisori, Gastonguridi, Gimlinu, Götz, HUB, Ingenioso Hidalgo, Javier Arturo Ollarves Rojas, Jkbw, Matdrodes, Moriel, Nopradu, Raulshc, Rehernan, Renacimiento, Renly, Resped, Spirit-Black-Wikipedista, Tano4595, 60 ediciones anónimas Codominio Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57772182 Contribuyentes: Diegusjaimes, Emiduronte, Farisori, HUB, Helmy oved, Magister Mathematicae, Raulshc, Rehernan, Rαge, SaeedVilla, Savh, Technopat, 22 ediciones anónimas Intervalo (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58623637 Contribuyentes: -jem-, 4lex, Aalcocer, Andreasmperu, Angel GN, Antonorsi, Argentinoo, Belb, BlackBeast, Cansado, Cobalttempest, Crixo8, Davius, Diegusjaimes, Dinomal, Dodo, Durero, Edc.Edc, Edmenb, Egaida, Error de inicio de sesión, Fibonacci, Gafotas, Götz, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Jerowiki, Jimmy45s, Jjafjjaf, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Knopfkind, Leonpolanco, Llsalcedo, Marianov, Markoszarrate, Matdrodes, Mister, Moriel, Netito777, Nicop, Nixón, PabloCastellano, Raulshc, Ricardogpn, Romero Schmidtke, Rsg, Rubpe19, Sabbut, Sandrostone, Sauron, Savh, Tano4595, Technopat, Tirithel, Wilfredor, 163 ediciones anónimas Función continua Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58256195 Contribuyentes: Alberto Leguiza, Alefisico, Alexav8, Andrestellez84, Antur, Banana04131, Claudlovsgerd, Cobalttempest, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Especiales, Farisori, Faustito, Fsd141, Galandil, Gengiskanhg, HUB, Heriotza, HiTe, Hprmedina, Humbefa, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julio grillo, MadriCR, Manolo456, Matdrodes, Mister, Moriel, Nachotraidor, Nanymontanari, Netito777, Pececito, Pino, Porao, Proferichardperez, Pybalo, Rastrojo, Romero Schmidtke, Savh, Sheldonspock, Snakeyes, SuperBraulio13, Tomatejc, Truor, Tuncket, VanKleinen, Wewe, Wikiléptico, Xenoforme, Ángel Luis Alfaro, 128 ediciones anónimas Clasificación de discontinuidades Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58893479 Contribuyentes: Alberto Leguiza, Alefisico, David0811, Davius, Dnu72, Farisori, Götz, Ignacioerrico, Jerowiki, Juan Mayordomo, Maleiva, 31 ediciones anónimas Límite de una función Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57833723 Contribuyentes: -jem-, Andreasmperu, Camiloalcubo2, Charly genio, Cobalttempest, David0811, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Emiduronte, Euandeu, Farisori, Filipo, Folkvanger, Gengiskanhg, Ggenellina, Goica, Gusgus, HiTe, Isha, Javiermarinros, Jerowiki, Jkbw, Juan Mayordomo, Kike1008, Leonpolanco, Manuel 91, Marianov, Matdrodes, Muro de Aguas, Mushii, Nachotraidor, Netito777, Nicoguaro, Nioger, Proferichardperez, Qebm, Raulshc, Roberto Fiadone, Taichi, Tano4595, Technopat, TheSensei, Tirithel, Ucevista, Vivero, Wilfredor, 197 ediciones anónimas Serie convergente Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58686876 Contribuyentes: CentroBabbage, Jerowiki, PabloCastellano, Riviera, 5 ediciones anónimas Serie divergente Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56250363 Contribuyentes: FAR, GermanX, Jbgg, Jerowiki, Mushii, Pan con queso, Pólux, Qwertyytrewqqwerty, Sabbut, Tano4595, Uruk, 12 ediciones anónimas Serie geométrica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54790650 Contribuyentes: Diegusjaimes, Jerowiki, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Leonpolanco, Nethac DIU, 4 ediciones anónimas Progresión geométrica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57448745 Contribuyentes: Airunp, Alexav8, Algarabia, Alhen, Amanuense, Antonorsi, Ascánder, Beto29, Cheveri, Cinabrium, D. Fonseca Cruz, DBM2, David0811, Davidsevilla, Dermot, Dianai, Diegusjaimes, Diosa, Dodo, Dreitmen, Eduardosalg, El Caro, Fernandov2012, Gaeddal, Gusbelluwiki, Götz, Jbgg, Jerowiki, Jkbw, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, Maldoror, Manuelt15, Marcosy, Matdrodes, NanoOs, Netito777, Néstor Amigo Cairo, Raulshc, Raystorm, RoyFocker, Shalbat, Taichi, Tano4595, Tirithel, Victorlj92, Yrithinnd, 213 ediciones anónimas Criterio de d'Alembert Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57002169 Contribuyentes: Anca7, Dusan, Magister Mathematicae, PabloCastellano, Pino, Raulshc, Sabbut, Surscrd, Taichi, Tano4595, 16 ediciones anónimas Serie matemática Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58689562 Contribuyentes: Alefisico, Alexav8, AnthonnyAG, Antur, Aracne, Armonizador, ArwinJ, Belgrano, Beto29, Brioix, C'est moi, CentroBabbage, Charlitos, Cookie, Damian cf, Damifb, Dankz, Diegusjaimes, Dodo, Dusan, Flakinho, Ggenellina, Goht 932, Gusgus, HUB, Hosg, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Jkbw, Jl.hinojosapescador, Juan Marquez, Juanalmenara, Juanignaciozaracho, Julian Mendez, Kevinkuja, Kiroh, LMLM, LarA, Leonardo09, MadriCR, Maldoror, Matdrodes, Moriel, Mortadelo2005, Netito777, Osado, Paintman, Parodrilo, Pino, Portland, Pybalo, Ramrebol, Raulshc, Rdaneel, Sabbut, Sanbec, Sergio Alvaré, Snakeyes, Taichi, Tano4595, Tirabo, Uruk, Vic Fede, Vivero, Waka Waka, Yeza, Yuyo 84, 269 ediciones anónimas Serie armónica (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56560862 Contribuyentes: GermanX, Ingenioso Hidalgo, Jerowiki, Matdrodes, Raulshc, Roman Munich, Sabbut, Tano4595, Yrithinnd, 10 ediciones anónimas Serie alternada Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53690513 Contribuyentes: LeinaD natipaC, Metalzonix, Raulshc, Resped, Segedano, Tano4595, Uruk, 1 ediciones anónimas Algoritmo voraz Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56688846 Contribuyentes: AlfonsoERomero, AntonioLG, Arlekean, Danieldmoreno, Dromero, Edmenb, Esf3ra, Estigma, Gothmog, JMPerez, Jurgens, Karj, Kn, LordT, LuchoX, Manz, Nabil py, Porao, Ricki.rg, Riviera, San650, Sanbec, Tano4595, TheOm3ga, 36 ediciones anónimas Serie hipergeométrica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50265373 Contribuyentes: BetoCG, Davius, Espilas, Jerowiki, Jtico, Mariagar, Nebu F1, PabloCastellano, Raulshc, Ucevista Función de Bessel Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58828181 Contribuyentes: Akhram, Alexirae, Bencmq, Cesar.romero.avello, Davius, Dreamworks88, Dusan, Felipebm, Flobo, Gfrubi, Grillitus, Jkbw, Jtico, Kuroisam, Parodrilo, Raulshc, Ricardogpn, 26 ediciones anónimas Símbolo de Pochhammer Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53245148 Contribuyentes: Davius, Farisori, Jtico, Raulshc, Sabbut, 4 ediciones anónimas Función gamma Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58086809 Contribuyentes: Alefisico, Cdlfd, Davius, El que siembra, Ingenioso Hidalgo, Ishu 2, Jtico, Juan Mayordomo, Kn, Kurt86, Maltusnet, Mister, Parodrilo, Pino, Raidezero, Raulshc, Sabbut, Tano4595, Technopat, 37 ediciones anónimas Factorial Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58630053 Contribuyentes: Acratta, Adso Cacer, Airunp, Alejandroadan, Andres ernesto guzman, Andreszules, Antur, AquiLesBailoYo, Açipni-Lovrij, Barredex, BetoCG, Brayandjok, Carmel2007, Chvsanchez, Cusell, Daniel JG, Ddiazcas, Diegusjaimes, Dusan, Echani, Eduardosalg, Emijrp, Euclides, Exos, Fide07, Fsd141, Gaba p, Ginés90, Globalphilosophy, Greek, Götz, Habbit, HiTe, Hosg, Hprmedina, Ingenioso Hidalgo, JAGT, Jack.chessire, Jerowiki, Jkbw, Jluisgc, Jtico, Kn, Laura rico garcia, Magister Mathematicae, Manuelt15, Matdrodes, Mel 23, Miguelo on the road, Moriel, Mr freeze360, Neochalo, Netito777, Nitrxgen, OrionNebula, Oscar ., Pablo.cl, Pavina, Pino, Proferichardperez, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Rbonvall, Ricciardelli, Romero Schmidtke, Rsg, Sabbut, Sclark2006, Sigmanexus6, SmartGenius, Snakeyes, Srbanana, Student 1000, SuperBraulio13, Superzerocool, TXiKi, Tano4595, Txuspe, UA31, XD YO, 203 ediciones anónimas Combinatoria Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56579083 Contribuyentes: Adrruiz, Alhen, Aruku, Chomolungma, Desatonao, Diegusjaimes, Doreano, Drever, Egaida, Elwikipedista, Emijrp, Euler, Gargo, GermanX, HeLL, Hiperfelix, Hosg, Hu12, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Jmcalderon, JorgeGG, Jotego, Joxemai, Keont, Klondike, Kmhkmh, Lucien leGrey, Lungo, Maestro de matemáticas, Magister Mathematicae, Maleiva, MasterJ, Moriel, Neodop, Paco Cuenca MR, Proferichardperez, Ramon Margarida, Template namespace initialisation script, 78 ediciones anónimas Teoría de Ramsey Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58635895 Contribuyentes: CommonsDelinker, Javierme, Jfreyreg, Raulshc, Rovnet, Ruben.mg, SpanishMath, 11 ediciones anónimas Grupo simétrico Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56920222 Contribuyentes: Airunp, Angelito7, Davius, Diegusjaimes, Elwikipedista, Gato ocioso, GermanX, Jarke, Jirka62, Juan Marquez, KELPER, Lipedia, Magister Mathematicae, Romero Schmidtke, Sabbut, 18 ediciones anónimas

286

Fuentes y contribuyentes del artículo Permutación Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58051060 Contribuyentes: Agualin, Airunp, Alefisico, Angel GN, Antur, Arcibel, Balderai, BlackBeast, CaStarCo, Dark Bane, Davius, Diegusjaimes, ERFon, Eduardo Lima, Elwikipedista, Er Komandante, Erwin Ried, Farisori, Focojoaco, Gaston 74, Gato ocioso, Gengiskanhg, GermanX, HiTe, Icvav, JAGT, Jarisleif, Jerowiki, Jkbw, Jotego, Juan Manuel, Juan Mayordomo, Julie, Julio grillo, Krycho, Kved, Magister Mathematicae, Matdrodes, Mau86, Miss Manzana, PabloCastellano, Patxi Aguado, Paz.ar, Predalien Runner, Pólux, Raulshc, Santiago Hernández, Sigmanexus6, Sil vis 2n, SuperBraulio13, Tano4595, Tirithel, UA31, Ukrayina, Varano, Xmontero, Xsm34, 160 ediciones anónimas Teorema de Cayley Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52619198 Contribuyentes: Magister Mathematicae Combinaciones con repetición Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54750821 Contribuyentes: Euclides, Farisori, Magister Mathematicae, Mar del Sur Ecuación diofántica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58362439 Contribuyentes: Artra, Cdlfd, Davius, Don arcay, Gauss, GermanX, HUB, Jkbw, Joseaperez, Kuragari, Manwë, Pino, Raulshc, Rsg, Sanbec, XalD, Yerco, 22 ediciones anónimas Máximo común divisor Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58812029 Contribuyentes: 2rombos, Aalcocer, Acratta, Amanuense, Amoceann, Andreasmperu, Aquamane, Açipni-Lovrij, Baiji, Balderai, Banfield, BlackBeast, Carmin, Cruel Assassin, Daniel lopez avellaneda, Diegusjaimes, Dnu72, Drake 81, Edslov, Edubucher, Emiduronte, FAR, Farisori, Fernando101, Foundling, GNM, Galio, GermanX, Gimlinu, Gmrunzam, Greek, Halfdrag, Harpagornis, Helmy oved, House, Hugo.arg, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, Jarisleif, Jerowiki, Jfcardenas, Jjafjjaf, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Mayordomo, Juen, LadyInGrey, Laura Fiorucci, Leonpolanco, MadriCR, Mafores, Magister Mathematicae, Manuel Trujillo Berges, Manwë, Marciana trece, Marianov, Matdrodes, MercurioMT, Miss Manzana, Muro de Aguas, Netito777, Nina Flor, Nioger, Nmds, Osado, Pan con queso, Pedro Nonualco, Petruss, Pieter, Platonides, Pólux, Raulshc, Ricardogpn, Rlago, Sabbut, SaeedVilla, Saloca, Srcpiimolist, SuperBraulio13, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tláloc, Tortillovsky, Tostadora, Triku, UA31, Vedranell, Veguiita maria, Vodkano, Vubo, Walppeople, Xgarciaf, Yrithinnd, ZOiDberg, 329 ediciones anónimas Teorema chino del resto Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53136905 Contribuyentes: Alfredobi, Belgrano, DEEJAY, Diegusjaimes, Farisori, Ginés90, JViejo, Magister Mathematicae, Raulshc, Tabeissan, Tano4595, 33 ediciones anónimas Números primos entre sí Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57460420 Contribuyentes: Alexav8, Alexsmpre, Amoceann, Cinabrium, Digigalos, Dorieo, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Kokoo, Raulshc, Sabbut, Sophistical, Tano4595, Valentin estevanez navarro, YoaR, 40 ediciones anónimas Congruencia (teoría de números) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58710097 Contribuyentes: Alexav8, Algiebo, Arnanz, Banfield, Bcoto, Calsbert, Diegusjaimes, Digigalos, Ecv, Eseotres, Farisori, FrancoGG, Jjafjjaf, Jjhhoojjaann, Jkbw, Jorge c2010, Juan Mayordomo, Kemt, Kn, Leonpolanco, Libertad y Saber, Lourdes Cardenal, Marsal20, Mel 23, Mpagano, Petruss, Raulshc, Roberpl, RoyFocker, Wilfredor, 62 ediciones anónimas Número primo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58668074 Contribuyentes: 4lex, ALEJANDRO PRENSA MARTINEZ, Adrruiz, Airunp, Alejandrocaro35, Aleph0, Allforrous, Alpertron, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arturo Reina, Ascatala, Ascánder, Asimal, AstroNomo, B25es, Baiji, Barcex, Barct, Beto29, BlackBeast, Brindys, Bryant1410, Bucho, C'est moi, CaStarCo, Carlos Alberto Carcagno, Carlosblh, Cgb, Charly genio, Cobalttempest, Comae, Comu nacho, Corrector1, Dangelin5, Daniel JG, Dark, Davius, Delphidius, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Dnu72, Dorieo, EL Willy, Eamezaga, Edmenb, Edslov, Eduardosalg, El nawe, Emijrp, Er Komandante, Ezarate, Farisori, Fernando101, Frutoseco, GermanX, Ggenellina, HUB, Heliocrono, Heriotza, Hpasten, Hugone, Humberto, Icvav, Ingenioso Hidalgo, Interscope, Interwiki, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jerowiki, Jjafjjaf, Jo-Con-El, JorgeGG, Joseantoniopeke, Joseaperez, Juan Mayordomo, Julio grillo, Kn, KnightRider, Kronin, L'abbaco spagnolo, Lagarto, Leon-sotelo, Macarse, Mafores, Magister Mathematicae, Maldoror, ManelC, Manwë, Mar del Sur, Marianorbc, Mario peral manzo, Matdrodes, MatiasBellone, Metrónomo, Miguel.izquierdo.garcia, Moriel, Mrbrocoli, Muro de Aguas, Mushii, Ncc1701zzz, NeVic, Netito777, NicolasAlejandro, Nixón, Noluz, Nueva era, P.o.l.o., Pabloallo, Paintman, Paulienator, Pedro.patino, Petronas, Pieter, Pyr0, Pólux, Qwertyytrewqqwerty, RGLago, Raulshc, Ricardogpn, Roberpl, Roberto Fiadone, Rodri cyberdog, Rrecillas, Rupert de hentzau, S80236g, Sabbut, Sanbec, Schummy, Siddhartazen, Sive, Slimtrax, Snakeeater, Sofista, Strato79, SuperBraulio13, Tamorlan, Tano4595, Thebossking13, Tirithel, Tomatejc, Toshi8956, Userwiki, Vitamine, Wilfredor, Yeza, Youandme, Youssefsan, ^ DeViL ^, Ñuño Martínez, 448 ediciones anónimas Conjetura de Goldbach Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58548408 Contribuyentes: Amadís, Assdl, Bibliofilotranstornado, Boja, DJ Nietzsche, Diogeneselcinico42, Emijrp, Erufailon, Farisori, FedericoFel, Ferejim, GermanX, Gizmo II, Halfdrag, Interwiki, Javierito92, Jmvkrecords, Joseaperez, Josemiguelito, Juan Mayordomo, Leonudio, Matdrodes, Mcetina, Moriel, Mrbitman, Neodop, Petronas, Quimicefa, Raulshc, Raúl González Molina, Rimac, Sabbut, Santyno, Sergiosh, SrSpock, SuperBraulio13, Tano4595, Titanico81, Xatufan, Yuiop, Zoid, 66 ediciones anónimas Iván Vinográdov Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57786833 Contribuyentes: Ceancata, Endriago, Gerwoman, Rosarinagazo, Sabbut, 1 ediciones anónimas Cribado grande Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56962165 Contribuyentes: Deltasubk, Juan Mayordomo, Juank111, Raulshc, 1 ediciones anónimas Teoría de cribas Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56853765 Contribuyentes: Dagane, Deltasubk, Dmlambea, Folkvanger, GermanX, Jerowiki, Juan Mayordomo, Raulshc, 4 ediciones anónimas Criba de Eratóstenes Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58894485 Contribuyentes: Acai, Alejandrorazgado, Alexav8, Alvlin, Andreasmperu, Ascánder, Açipni-Lovrij, Baiji, Camilo, Daniel Ajoy, Deltasubk, Desatonao, Diablo Cris, Diegusjaimes, Dodo, Edmenb, Entilete, Faelomx, Falkdav, Galandil, GermanX, Götz, Humberto, Interwiki, Jeiferotero, Jkbw, Juan Mayordomo, Kalith, Kn, LadyInGrey, Leonpolanco, Lucien leGrey, Manwë, Matdrodes, Miguelzilli, Mutari, Netito777, Numbo3, Octubre1987, Pólux, Raulshc, Renacimiento, Richy, Romilda Vane, Rosarino, RoyFocker, Rubpe19, Sabbut, Santhy, Savh, Sergio Andres Segovia, Tomatejc, Wikiléptico, Wmora2, Xabier, 155 ediciones anónimas Conjetura de los números primos gemelos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53377405 Contribuyentes: Antonorsi, Banderas, Davidsevilla, Diegovazgonz, Farisori, GermanX, Hprmedina, Juan Mayordomo, Manuribadeo, Manwë, Moriel, Omega, Rafa3040, Raulshc, Rodr, Sabbut, SpeedyGonzalez, Tano4595, Veremos, 10 ediciones anónimas Números primos gemelos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56787737 Contribuyentes: BarakKhazad, Ciencia Al Poder, Dibujon, Dlyons493, Emiliano Calavera Feliz, Foundling, Jerowiki, Joseaperez, Juan Mayordomo, Moriel, Muro de Aguas, Numbo3, Raulshc, Sabbut, Tamorlan, Tano4595, WikiCholi, Zifra, 19 ediciones anónimas Constante de Brun Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39804021 Contribuyentes: GermanX, Karshan, Poc-oban, 3 ediciones anónimas Ley de Hardy-Weinberg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58566458 Contribuyentes: Abece, Alvaro qc, Antur, CASF, Chewie, CommonsDelinker, Daniel Medina, Diegusjaimes, Gizmo II, Hugue, Humbefa, Juan Mayordomo, Lauranrg, Matdrodes, Mr Mixto, Neimis, Nemo, Retama, Rjgalindo, Xosema, 24 ediciones anónimas Cuadro de Punnett Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58944122 Contribuyentes: Airunp, Angel the father, Antonorsi, Baiji, BuenaGente, Cobalttempest, Cratón, David0811, Diegusjaimes, Eduardo sabe, Humberto, Isha, Javierito92, Jkbw, Leonpolanco, Lu Tup, MadriCR, Manwë, Martunibo, Neodop, Netito777, Ortisa, Rafamaldo, Retama, Rosarino, Ryan Vesey, Sergio Andres Segovia, Starproject, SuperBraulio13, Superzerocool, Zeroth, Érico Júnior Wouters, 145 ediciones anónimas Identidad de Bézout Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58468791 Contribuyentes: Blare, Davius, GermanX, Govi108, JMCC1, Jsanchezes, Juan Mayordomo, Kikekikee, Raulshc, Sabbut, 5 ediciones anónimas Bicondicional Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57655086 Contribuyentes: Agrs700, Amadís, Amoceann, Angel GN, AnthonnyAG, Camilo, Carturo222, DefLog, Diegusjaimes, Domaniom, Ejrrjs, El Moska, Elwikipedista, Ensada, Farisori, Gswarlus, Götz, HUB, Ivn, JMCC1, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Lagarto, Luis Felipe Schenone, Magister Mathematicae, Mahadeva, Maldoror, Matdrodes, Muro de Aguas, Murphy era un optimista, Nicop, Niqueco, Platonides, SMP, Sabbut, Tacirupeca zula, Tirithel, Tusito, Xgarciaf, 46 ediciones anónimas Condición necesaria y suficiente Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55830254 Contribuyentes: Andres Rojas, Antonorsi, Davius, Dodo, Domaniom, Er Komandante, Götz, HUB, JMCC1, Jkbw, LidZeppelen, Muro de Aguas, R2D2!, Raulshc, Rosarinagazo, Sabbut, Tintinando, Tusito, Xatufan, 36 ediciones anónimas Algoritmo de Euclides Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58844336 Contribuyentes: Agussell, Antón Francho, Arkady, Ascánder, Axelbrz, Carmin, Daniel Ajoy, Daniel JG, Dark, DarkSulivan, Dodo, Ecv, Jkbw, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Kn, Laura Fiorucci, LordT, Lourdes Cardenal, Magister Mathematicae, Manuel Trujillo Berges, Marianov, Matdrodes, Neoriddle, Obelix83, PabloCastellano, Pjferra, Pybalo, Pólux, Qwertymith, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Rigenea, Riviera, Romero Schmidtke, RoyFocker, Sabbut, Santiperez, Savh, Sr Jose Ramon Real, SuperBraulio13, Tano4595, Vitorbraziledit, Xgarciaf, 119 ediciones anónimas Teoría de grafos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58690282 Contribuyentes: A.garridob, Aalvarez12, Adama, Aikasse, Alejozsz, Alexav8, AlfonsoERomero, Andrestand, Angenio2, Ascánder, Baiji, Boku wa kage, Dark Bane, Davidrodriguez, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Eduardosalg, El Quinche, Elmermosher, Emijrp, Equi, Esteban fcr, Farisori, Feministo, Ferminmx, Foundling, Galileicanarias, Gato ocioso, Gullo, Habilbakhat, Hawking, Humberto, Ilan.ag1, Ingenioso Hidalgo, Ingridchan, Inmortra, JMCC1, Jkbw, Jorge c2010, Juan Mayordomo, Julian Colina, Khaos258, La Mantis, Leonpolanco, LordT, Ludoviko, Macarse, Marioxcc, Matdrodes, Mcetina, Mencey, Mundokeko, Nando.sm, Neodop, Nihilo, Numbo3, Otermin, Pablo Olmos, Pabloallo, PeiT, Pino, Pólux, Raul.lara, Raulshc, Rdaneel, Ricardo Castelo, Rmolina, Roberpl, Rondador, Rosarino, Rovnet, Rumpelstiltskin, Sapiensjpa, Schwallex, Seba.29.8,

287

Fuentes y contribuyentes del artículo Tano4595, Taxman, Tessier, Tomatejc, Tortillovsky, Vic Fede, Wsu-dm-jb, XinuXano, Zifra, 187 ediciones anónimas Leyes de Kirchhoff Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58814495 Contribuyentes: Alhen, Andreasmperu, Anfe92, Antonorsi, Arcibel, Ars, Barbol, Barteik, Beto29, BetoCG, BlackSalamander, Cachitanova, Camilo, Cesaranieto, Charlykes, Ctrl Z, David.iesm, David0811, Deleatur, Diegusjaimes, Dnu72, Durero, Echani, Emijrp, Erbrumar, Fernando Suárez, FrancoGG, Grachifan, HUB, Homo logos, Humberto, Igna, Ingold, Ipintza, Isha, JaCCeR, Jaguzmanv, Jarisleif, Javierito92, Jkbw, Jomra, Jorge Gómez Tejeda Zañudo, Klystrode, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Leonudio, Linkedark, Loco085, Locos epraix, MadriCR, Mafores, Magister Mathematicae, Mahadeva, Maju241, Mancontr, Manuelt15, Matdrodes, Mister-efe, OboeCrack, Ortisa, Oscar ., PACO, Paintman, Petar, Pino, Platonides, Poco a poco, Ponalgoyya, Predalien Runner, Pólux, Rastrojo, Raulshc, Ricardofs, Rojasyesid, RubiksMaster110, Savh, Sc16 angel, Sebrev, Segedano, Sergio Andres Segovia, Simeón el Loco, Superzerocool, Tano4595, Technopat, Titoxd, Tomatejc, Veon, Violainstrument, 376 ediciones anónimas Multigrafo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54210056 Contribuyentes: Farisori, 3 ediciones anónimas Grafo dirigido Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58891385 Contribuyentes: Farisori, Jerowiki, Juan Mayordomo, LogC Grafo etiquetado Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56144816 Contribuyentes: Farisori, Raulshc Grafo aleatorio Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58814718 Contribuyentes: Dorieo, Tamorlan, Wikisilki, 1 ediciones anónimas Hipergrafo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429123 Contribuyentes: Diego Caro, Farisori, GermanX, Rovnet, RoyFocker, 1 ediciones anónimas Hiperarista Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=15062930 Contribuyentes: Farisori Optimización (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57245605 Contribuyentes: AlfonsoERomero, Antur, Banfield, Chfiguer, Davidsevilla, Davius, Ef sacco, Enen, Farisori, Fibonacci, FrancoGG, Fvmeteo, Gafotas, Gerkijel, Guevonaso, Gusgus, HUB, Heinrich Puschmann, Hflores, Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Jcuesta, Jkbw, Juan Mayordomo, Kavanagh, Krzysiulek, Libertad y Saber, Magister Mathematicae, Marianov, Matdrodes, Millars, Moriel, Mparri, Mushii, Ncespedes, Nigro, Numbo3, Periku, Raulshc, Rhernan, Ricardo Oliveros Ramos, RoyFocker, Segedano, Spangineer, SpeedyGonzalez, Superzerocool, Tano4595, Tessier, Tirithel, Tostadora, TuringTest, Іванко1, 83 ediciones anónimas Algoritmo símplex Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58345273 Contribuyentes: Ana Daleth, Anonymous, Axxgreazz, Diosa, Edgar Silva, Efrain arellanes, Egozcue, Ensada, Exterforce, Gama dlw, GermanX, Gmagno, HanPritcher, Happygilly123, Heinrich Puschmann, Hispa, Humbefa, Ingenioso Hidalgo, Janis.lukas, Kat1308, Luisunam01, MaribelLoGo, Muro de Aguas, NACLE, Nataly Rivas, Paintman, Pedrojs, Petronas, Ralgis, Riviera, Rubenskazul, Sabbut, Secharte, Shakoran, Simeón el Loco, Tano4595, Technopat, Tessier, Will vm, Yleon, Yul.ivette, Yuraszeck, 43 ediciones anónimas Conjetura de Hirsch Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=55091159 Contribuyentes: GermanX, Ricardogpn, 1 ediciones anónimas Combinatoria poliédrica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50617496 Contribuyentes: GermanX Geometría discreta Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52366897 Contribuyentes: GermanX Geometría computacional Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48098148 Contribuyentes: Farisori, Juan Mayordomo, Leugim1972, Nixón, Raulshc, Sabbut, Waeswaes, Wikielwikingo, Xigurat Computación gráfica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58463896 Contribuyentes: Andrei030, Antipatico, BetoCG, Chien, Corrector de redirecciones, Cruento, DeXusta, Diegusjaimes, Dodo, Ejrrjs, El bart089, ElVaka, Ernesto Bueno, Farisori, Gratiman, Greek, Guillermo-, Hiperfelix, Humberto, J. WIlson López M., Jkbw, Juan Pablo Montoya, KnightRider, Laura Fiorucci, MaSt, Mafores, Miraut, Moriel, NaBUru38, Narayan82, Nerika, Obelix83, Pablo323, Pertile, Pinar, Shooke, Soulreaper, Srengel, Tano4595, Technopat, Tituslenin, Tupy4, Unf, Zoid, 50 ediciones anónimas Grafo conexo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57880821 Contribuyentes: Airunp, Dem, Diegoignaciosanzo, Farisori, Ignacioerrico, Kirishima, LP, Ludoviko, Mctpyt, Rupert de hentzau, 10 ediciones anónimas Diámetro Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58927750 Contribuyentes: Adaso, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Black king99, Cally Berry, Danielbmz, Davius, Diegusjaimes, Dossier2, Eduardosalg, Emiduronte, FAL56, Fkuyenray, Folkvanger, GermanX, Isha, Ivanics, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jkbw, Jsv, Lasai, LosLuna, Mafores, Mansoncc, Matdrodes, Mdiagom, Mel 23, Netito777, OMenda, Pólux, Rastrojo, Rosarino, Sabbut, Sebrev, SuperBraulio13, Superzerocool, Tirithel, Tortillovsky, Vitamine, YoaR, 141 ediciones anónimas Hipercubo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58927878 Contribuyentes: Afnosol Bsaatenmtu, Alexan, Aswarp, Banfield, Brindys, Carlosccvm, Chuffo, Cinabrium, DivByZ, Dodo, Duuk-Tsarith, Ecemaml, Echani, Elabra sanchez, Ente X, Farisori, Humberto, Icvav, JMCC1, Jesuja, Jkbw, Khiari, Klausmeyer, KnightRider, Krun00, Leugim1972, Lipedia, Lopezmts, LordT, Magister Mathematicae, Matdrodes, MaxSaver, Moraleh, Nenuco1971, Nikotina2003, Nixón, Paintman, Paleqeleqe1y3, Periergeia, Porao, Raulshc, Reginocova, Retama, Ricardogpn, Rondador, Sabbut, Segedano, Simeón el Loco, Srengel, Superzerocool, Swazmo, Taty2007, Tetrabrain, TheTheMemo, Tilman Piesk, Wilfredor, Xenoforme, 86 ediciones anónimas George Dantzig Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57931404 Contribuyentes: ARHEKI, Beagle, Carlos Alberto Carcagno, Ceancata, Chfiguer, Gaudio, GermanX, Juan Mayordomo, Lobo, Maxreaper, Taty2007, Tostadora, 15 ediciones anónimas Número de Fermat Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50350569 Contribuyentes: Angela, Asimal, Cdlfd, Emijrp, Jarke, Joseaperez, Juan Mayordomo, Mercenario97, Moriel, Peejayem, Raulshc, Sabbut, Sive, Swazmo, Tano4595, Tuertooriginal, Vivero, Yrithinnd, 7 ediciones anónimas Regla y compás Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57087989 Contribuyentes: Aesakmi, AldanaN, Andreasmperu, Banfield, Carlos Alberto Carcagno, Charly genio, Dangelin5, Diegusjaimes, Ggenellina, Igna, Ivanics, JMCC1, Jerowiki, Jtico, Juan Mayordomo, Leonpolanco, Manuribadeo, Matdrodes, Muro de Aguas, Oscacabs, PuppeT, Rafagb, Retama, Rovnet, Savh, Tano4595, Tirithel, UA31, Ucevista, Ugly, Vivero, Yilku1, 59 ediciones anónimas Teorema de la raíz racional Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=53626881 Contribuyentes: GermanX, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, 6 ediciones anónimas Lema de Gauss Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57039567 Contribuyentes: Alephcero, Biasoli, Farisori, Juan Mayordomo, Misigon, Rovnet, Tacirupeca zula, Vitamine, 1 ediciones anónimas Criterio de Eisenstein Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58708971 Contribuyentes: Albankillapi, Ascánder, Cinabrium, Farisori, Ingenioso Hidalgo, Maleiva, Raulshc, Tacirupeca zula, 3 ediciones anónimas Dominio de ideales principales Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51514658 Contribuyentes: Albert11235, Castelo, Jgomez53, Saraedum, Vivero, 2 ediciones anónimas Dominio de factorización única Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58322986 Contribuyentes: Albramallo, El.tobal, Jerowiki, Jgomez53, Proferichardperez, Raulshc, 2 ediciones anónimas Elemento primo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56258413 Contribuyentes: Cesaro2012, Euclides Origami Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58875442 Contribuyentes: .José, 217-126-250-33.uc.nombres.ttd.es, 2deseptiembre, A ver, Abece, Adrianiks, Adrruiz, Alonsoquijano, Andre Engels, Andreasmperu, Anfegua, Angel GN, Antur, Aparejador, Aquitaki, Archivaldo, Beita1810, Belios, Boja, Calandraca, Camilo, Cantus, Carnendil, Carrampla, Carrousel, Cibercrank, CommonsDelinker, Cookie, Daimond, David0811, Davidsevilla, Dianai, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Dr. Conde, Durero, Echando una mano, Edgar, El Pitufo, Elliniká, Emijrp, Fauntos, Federico1984, Fremen, Gallowolf, Gavaro, Germanpacello, Greek, Grizzly Sigma, Haitike, Humberto, Icvav, Ignaciohm, J. A. Gélvez, JMCC1, Jarisleif, Jcb, Jejaramillo, Jjvaca, Jkbw, Juan Mayordomo, Juanitorreslp, Kbrita04, Kezzo, Kinori, KundaliniZero, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Llarensj, Lobillo, Luis Manuel Herrera, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae, Mahadeva, Mansoncc, ManuelGR, Marcosroza, Maricela4, Marinha vs, Matdrodes, Matreo, Maveric149, Mechita korn, Moran-Tao, Moriel, Mortadelo2005, Muro de Aguas, Murphy era un optimista, Natrix, Nixón, OboeCrack, Opinador, OrigamistFan, Pablo323, Palcianeda, Patrick McKleinschuss, Phirosiberia, Pilaf, Pingüi06, Quatus, Qwertyytrewqqwerty, Relleu, RobAn, Roche, Rocío7-1, Rosarino, Rαge, SCAM-BDC, Sabbut, Savh, Sergigres, Sophos, Sr.XD, Superzerocool, Swivelfold, Taichi, TheSeeker, TheSeeker1, Tirithel, Victor darkdemon90, Viento Turquesa, Wilfredor, Xabier, Yas, Yayoloco, conversion script, 371 ediciones anónimas Teorema de Mohr-Mascheroni Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51802702 Contribuyentes: Alfredobi, Davius, Juan Mayordomo Teorema de Poncelet–Steiner Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=57510015 Contribuyentes: Alfredobi, Banfield, Juan Mayordomo, Spirit-Black-Wikipedista, 2 ediciones anónimas

288

Fuentes y contribuyentes del artículo Tomografía axial computarizada Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58107724 Contribuyentes: 3republica, Abajo estaba el pez, AleixRuiz, Alvaro qc, Carabás, Cookie, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Diegusjaimes, Dodo, Dsavall, Eduardosalg, Edwod2001, Elkte, Ezarate, F3RN4ND0X, Ganímedes, GermanX, Grillitus, Gurgut, Hégésippe Cormier, Igna, Isha, Jkbw, Joaquín Martínez Rosado, JorgeGG, JoseRRoman, Joseaperez, Jsanchezes, Juan renombrado, Julperez, Kabri, Kolocho, Leonpolanco, Leonudio, Luckas Blade, MILO, Magaur, Matdrodes, Meltryth, Monicagcvalle, Neodop, Odworld, Pacolacalle, PayoMalayo, Purodha, Roberpl, Rufflos, Salva.SBS, Santiti, Sauron, Savh, Sfs90, SpeedyGonzalez, Suisui, Tano4595, Taraborn, Technopat, Trapingus Parish, Xavier Canals-Riera, 124 ediciones anónimas Sólidos platónicos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429132 Contribuyentes: 3coma14, Airunp, Aperezdecastro, Beto29, BlackBeast, Buenavista125, Chlewey, Cinabrium, Csoliverez, Dhidalgo, Diegusjaimes, Egaida, Emijrp, Farisori, Fernando Estel, FrancoGG, Igna, JMCC1, Jarfil, Jessu, Jkbw, Joseaperez, Juan José Moral, Julie, Julius C, Jurock, Kved, Laura Fiorucci, Lcgarcia, Lourdes Cardenal, Luis Felipe Schenone, Maldoror, Matdrodes, Muro de Aguas, Nethac DIU, Nihilo, Ononazo, Pacomeco, Pieter, Pólux, Raulshc, Rectas, Ricardogpn, Rondador, Sanctiacobvs, Swazmo, Tano4595, Technopat, Togo, Tomatejc, Tute, Txo, UA31, VanKleinen, Vito 15, W. Lainus, Xenoforme, 139 ediciones anónimas Gran círculo Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56743795 Contribuyentes: Agustobulo, Alanfeynman, AntBiel, Claudio Elias, Davius, Didac, Digigalos, GermanX, Gusbelluwiki, J. A. Gélvez, JMCC1, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Naranjon, Ronaldo16, Sentanumarola, Sigmanexus6, Tano4595, Taragui, 10 ediciones anónimas Trigonometría esférica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58516333 Contribuyentes: .José, Alexav8, Allforrous, Açipni-Lovrij, Claudio Elias, David0811, Egaida, El Caro, Espilas, Fergon, Gusbelluwiki, JMCC1, Jkbw, Lydia 85, Muro de Aguas, Oblongo, Quatus, Ramjar, Ricardogpn, Sentanumarola, Tano4595, Trabajoswiki.uv, 38 ediciones anónimas Geometría no euclidiana Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56674222 Contribuyentes: .José, Alonso de Celada, Altair Lemos, Axxgreazz, Azofeifa82, Camima, Cancerbero sgx, Davidsevilla, Davius, Dibujon, FAR, Gcatalan, GermanX, Gustronico, HAG, JMCC1, Kriztoval, Latiniensis, Mmucino, Nanovapor9, Paintman, Pati, Queninosta, SpeedyGonzalez, Tano4595, Tituslenin, Unf, Xareu bs, 50 ediciones anónimas Variedad de Riemann Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58309936 Contribuyentes: Davius, DefLog, Jerowiki, Manufl, Nanovapor9, Pabloab, ReiVaX, Snakefang, Tzihue, Wewe, 6 ediciones anónimas Geometría hiperbólica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54745661 Contribuyentes: .José, Anacleto, Aradan, Argaldo, Bismillah, Carturo222, Davius, FAR, GermanX, JRGL, Jerowiki, Juan Mayordomo, Nanovapor9, Omeñaca, Raulshc, Rimac, Tirabo, 32 ediciones anónimas Disco de Poincaré Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=54466079 Contribuyentes: Jerowiki, Raulshc Geometría elíptica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52125422 Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, GermanX, Ggenellina, JMCC1, Nanovapor9, SaeedVilla, 8 ediciones anónimas Paralelismo (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58429522 Contribuyentes: 4lex, BlackBeast, Cheveri, Dark Bane, Diegusjaimes, Dodo, Er Komandante, Euclides, Fefriixxss, Fibonacci, Gafotas, GermanX, Guanxito, Guimis, JMCC1, Jarisleif, Jerowiki, Jesebi, Jkbw, Jsanchezes, Jtico, Jugones55, Kaka.schuman, Larocka, Leonpolanco, Lionni, Mac m 13, Maldoror, Manuelt15, Manwë, Matdrodes, Merrick, Netito777, Nicop, Pan con queso, Periku, Pirulle, Ppja, Pólux, QuidEstVeritas?, Sawi, SuperBraulio13, Superzerocool, Tacirupeca zula, Tano4595, Tirabo, Tostadora, Wilfredor, 117 ediciones anónimas Perpendicularidad Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58834670 Contribuyentes: Ale flashero, AngelCaído, Balderai, Corek, David0811, Davius, Diegusjaimes, Dorieo, Elisardojm, Ferrer.jorge, Gusgus, HUB, Humberto, JMCC1, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorge c2010, Josemi.r.l.95, Juan Mayordomo, Larocka, Luisgdelarosa, Maldoror, MarcoAurelio, Martin Emmanuel, Martinus10, Matdrodes, Mel 23, Nethac DIU, Netito777, Nicop, Porao, Pólux, Retama, Rosarino, Sigmanexus6, Snakeyes, Technopat, VanKleinen, Vic Fede, Yufradt, 116 ediciones anónimas Lema de Euclides Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56811234 Contribuyentes: Airunp, Alpertron, Ascánder, Correogsk, Damifb, Farisori, Juan Mayordomo, Lopezpablo 87, Mito pm, Pjferra, Raulshc, Taichi, 4 ediciones anónimas

289

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Surjection.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Surjection.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Darapti, Sl Archivo:Injection.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Injection.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Sl, 2 ediciones anónimas Image:Codomain2.SVG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Codomain2.SVG Licencia: Public Domain Contribuyentes: Damien Karras (talk). Original uploader was Damien Karras at en.wikipedia Image:Codomain.SVG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Codomain.SVG Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Cronholm144, Darapti Archivo:Intervalo abierto.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_abierto.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: proximo.xv Autor: proximo.xv Archivo:Intervalo cerrado.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_cerrado.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: proximo.xv Autor: proximo.xv Archivo:Intervalo semiabierto 02.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_semiabierto_02.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: proximo.xv Autor: proximo.xv Archivo:Intervalo semiabierto 01.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Intervalo_semiabierto_01.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: proximo.xv Autor: proximo.xv Archivo:Função quadrática restrita a um intervalo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Função_quadrática_restrita_a_um_intervalo.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Helder Archivo:Transformación lineal de intervalos 02.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Transformación_lineal_de_intervalos_02.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72 Archivo:Translin.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Translin.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: om Archivo:Number-line.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Number-line.gif Licencia: desconocido Contribuyentes: Original uploader was MathsIsFun at en.wikipedia Archivo:1 Zahl mit Epsilon Umgebung.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:1_Zahl_mit_Epsilon_Umgebung.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: 2_Zahlen_mit_Epsilon_Umgebung.svg: Epsilon_Umgebung.svg: Konvergenz.svg: Matthias Vogelgesang (Youthenergy) derivative work: Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) derivative work: Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) derivative work: Robot8A (talk) Archivo:Función Continua 011.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_011.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 014.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_014.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 022.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_022.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 024.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_024.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:FunTriR110.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunTriR110.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72 Archivo:Función Continua 050.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_050.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 033.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_033.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe archivo:Funcion continua 08.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Funcion_continua_08.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe archivo:Continuidad función 28.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Continuidad_función_28.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 473a.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_473a.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 543a.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_543a.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 453a.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_453a.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 464.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_464.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 112.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_112.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 113.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_113.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 111.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_111.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 124.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_124.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 121.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_121.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 122.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_122.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 123.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_123.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 133.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_133.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 143.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_143.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 213.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_213.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 313.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_313.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 222.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_222.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 232.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_232.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 322.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_322.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 332.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_332.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 173.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_173.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 513.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_513.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72

290

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes archivo:FunciónDiscontinua 571.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_571.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 153.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_153.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 413.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_413.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 453.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_453.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 171.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_171.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 archivo:FunciónDiscontinua 511.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunciónDiscontinua_511.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Dnu72 Archivo:Discontinuity removable.eps.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_removable.eps.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Adam majewski, Darapti, Maksim Archivo:Discontinuity jump.eps.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_jump.eps.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Darapti, Maksim, Tano4595 Archivo:Discontinuity essential.eps.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Discontinuity_essential.eps.png Licencia: Public domain Contribuyentes: en:User:Oleg Alexandrov Archivo:Función Continua 005.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_005.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 006.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_006.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 044.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_044.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Función Continua 031.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Función_Continua_031.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Archivo:Límite 01.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Límite_01.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:HiTe Image:Upper semi.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Upper_semi.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Mktyscn Archivo:Wikibooks-logo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo.svg Licencia: logo Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac et al. File:GeometricSquares.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GeometricSquares.svg Licencia: Public domain Contribuyentes: en:User:Jim.belk (original); Pbroks13 (talk) (redraw) File:GeometricCircles.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GeometricCircles.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Jim.belk Image:Geometric progression convergence diagram.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Geometric_progression_convergence_diagram.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Mike1024 Archivo:Jean d'Alembert.jpeg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Jean_d'Alembert.jpeg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Beria, Bohème, Cherry, Ecummenic, FSII, Finavon, G.dallorto, Jastrow, Kilom691, Maksim, Mattes, Themightyquill, Thorvaldsson, 1 ediciones anónimas Archivo:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bessel_Functions_(2nd_Kind,_n=0,1,2).svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Inductiveload Archivo:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BesselI_Functions_(1st_Kind,_n=0,1,2,3).svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Inductiveload Archivo:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BesselK_Functions_(n=0,1,2,3).svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Inductiveload Archivo:Spherical Bessel j Functions (n=0,1,2).svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_Bessel_j_Functions_(n=0,1,2).svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Inductiveload Archivo:Spherical Bessel y Functions (n=0,1,2).svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_Bessel_y_Functions_(n=0,1,2).svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Inductiveload Archivo:Gamma plot.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gamma_plot.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Alessio Damato Archivo:Gamma abs 3D.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gamma_abs_3D.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Geek3 Archivo:Complex gamma.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_gamma.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jan Homann Archivo:Commons-logo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg Licencia: logo Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab. Archivo:Pleiades large.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pleiades_large.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: NASA, ESA, AURA/Caltech, Palomar Observatory Archivo:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Symmetric_group_4;_Cayley_graph_4,9.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: GrapheCayley-S4-Plan.svg: Fool (talk) derivative work: Lipedia (talk) Archivo:composicion de permutaciones.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Composicion_de_permutaciones.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Drini File:Permutación de 1,2,3.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Permutación_de_1,2,3.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Magister Mathematicae Archivo:050712 perm 1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:050712_perm_1.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: en:User:Wzwz Archivo:coprime-lattice.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Coprime-lattice.svg Licencia: Public domain Contribuyentes: Original uploader was Dmharvey at en.wikipedia Archivo:Prime num le 400.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_num_le_400.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Juiced lemon, Petak Archivo:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid's_Elements.jpg Licencia: desconocido Contribuyentes: Archivo:Pierre de Fermat.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pierre_de_Fermat.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Archivo:Prime rectangles.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_rectangles.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Fredrik Johansson Archivo:PrimeNumberTheorem.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumberTheorem.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:FredStober Archivo:PrimeNumbersSmall.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumbersSmall.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader was JabberWok at en.wikipedia Archivo:Primenumbers2310inv.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Primenumbers2310inv.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Flimsy.twiddle at en.wikipedia Archivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: 6Sixx, Brian0918, Jahobr, JohnBlackburne, Ricordisamoa, Travürsa, Waldir, WillNess, 4 ediciones anónimas Archivo:Pentagon construct.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pentagon_construct.gif Licencia: Public domain Contribuyentes: TokyoJunkie at the English Wikipedia Archivo:Gaussian primes.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gaussian_primes.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Hack Archivo:TrefoilKnot-01.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TrefoilKnot-01.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: AnyFile, Maksim, Marnanel, Schneelocke, 2 ediciones anónimas

291

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:PrimeKnot-4-1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-4-1.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: AnonMoos, Guybrush Threepwood, Karlfk, Maksim, 1 ediciones anónimas Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: AnonMoos, AnyFile, Maksim, Svgalbertian, 2 ediciones anónimas Archivo:PrimeKnot-5-2.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-5-2.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Karlfk, Maksim, 1 ediciones anónimas Archivo:Goldbach-1000000.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Goldbach-1000000.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Reddish at en.wikipedia Archivo:Hardy-Weinberg.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hardy-Weinberg.gif Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Barbirossa Archivo:Cuadro punnet.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadro_punnet.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Bestiasonica, Griffinofwales, Pfctdayelise, Rafamaldo, 6 ediciones anónimas Archivo:Segmentos conmensurables.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Segmentos_conmensurables.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Drini Archivo:Algoritmo de Euclides geométrico.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Algoritmo_de_Euclides_geométrico.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Drini Archivo:Euclides VII-2.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euclides_VII-2.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Drini Archivo:Euclidean algorithm running time X Y.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euclidean_algorithm_running_time_X_Y.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Fredrik Archivo:Fish graph.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fish_graph.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Koko90 Archivo:Dart graph.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dart_graph.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Koko90 Archivo:Dodecahedral graph.neato.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecahedral_graph.neato.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Koko90 Archivo:7 bridges.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:7_bridges.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Booyabazooka, Rocket000, Ronaldino, Squizzz, 1 ediciones anónimas Archivo:Diagrama Conceptual ejemplo.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diagrama_Conceptual_ejemplo.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Friviere, Kaizen, Túrelio, 3 ediciones anónimas Archivo:Madrid-metro-map.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Madrid-metro-map.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: User:Montrealais Archivo:West Midlands UK location map.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:West_Midlands_UK_location_map.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Nilfanion, created using Ordnance Survey data Archivo:CircuitoDosMallas.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CircuitoDosMallas.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: José Luis Gálvez Archivo:Social-network.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Social-network.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Wykis Archivo:Mesh topology.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mesh_topology.png Licencia: GNU General Public License Contribuyentes: Yannickv Archivo:Ministry of Defence Guatemala organisation chart.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ministry_of_Defence_Guatemala_organisation_chart.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Benchill Archivo:Monocrotophos isomers.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Monocrotophos_isomers.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Jü Archivo:Gsm network architecture.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gsm_network_architecture.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Greno Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader was Aerion at en.wikipedia Archivo:6n-graph2.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:6n-graph2.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Booyabazooka, Dcoetzee, 1 ediciones anónimas Archivo:Hamiltonian path.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hamiltonian_path.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Christoph Sommer Archivo:Grafo ejemplo 6.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_6.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia Archivo:Grafo ejemplo 5 países.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_5_países.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia Archivo:Grafo ejemplo 5 conecsi.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_5_conecsi.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia Archivo:grafoConexo.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GrafoConexo.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Fran VH Archivo:Grafo ejemplo 3 árbol.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_3_árbol.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia Archivo:Grafo ejemplo 7.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Grafo_ejemplo_7.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia Archivo:KCL.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:KCL.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Glenn, M0tty, Pieter Kuiper, SteveZodiac Archivo:Kirchhoff voltage law.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Kirchhoff_voltage_law.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Kwinkunks Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikiversity-logo-Snorky.svg Licencia: desconocido Contribuyentes: Archivo:Multi-pseudograph.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Multi-pseudograph.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: 0x24a537r9 Imagen:Directed.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Directed.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Grafite, Jcb, Josette, 2 ediciones anónimas Archivo:Graceful labeling.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Graceful_labeling.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader was Arichnad at en.wikipedia Archivo:Petersen graph 3-coloring.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Petersen_graph_3-coloring.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Booyabazooka, Dcoetzee, Lipedia Archivo:Pseudoforest.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pseudoforest.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: David Eppstein Archivo:Hypergraph-wikipedia.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hypergraph-wikipedia.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Hypergraph.svg: Kilom691 derivative work: Pgdx (talk) Archivo:MaximumParaboloid.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:MaximumParaboloid.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Sam Derbyshire at en.wikipedia Archivo:Simplex description.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Simplex_description.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Czupirek, Kocur, Maksim, Martynas Patasius, 1 ediciones anónimas Archivo:Ej2.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ej2.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Luisunam01 Archivo:Ej3.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ej3.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Luisunam01 Archivo:Sol. óptima.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sol._óptima.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Shakoran Archivo:dege.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dege.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Kat1308 Archivo:2tabla.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:2tabla.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Rubenskazul

292

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Optimalidad.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Optimalidad.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Rubenskazul Archivo:3tabla.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:3tabla.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Rubenskazul Archivo:Modelo ampliado.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Modelo_ampliado.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: User:Shakoran Archivo:Unit disk graph.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Unit_disk_graph.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: David Eppstein at en.wikipedia Archivo:Cilindro comp.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cilindro_comp.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: LeonardoG, Rovnet, Siebrand, 1 ediciones anónimas Archivo:Blender 2.45 screenshot.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Blender_2.45_screenshot.jpg Licencia: GNU General Public License Contribuyentes: Ausis, Bayo, Damian Yerrick, Fred J, Matthias M., Msikma, WikipediaMaster, 1 ediciones anónimas Archivo:5-cell.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:5-cell.gif Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader was JasonHise at en.wikipedia Archivo:Diameter.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diameter.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: EugeneZelenko, Krishnavedala, Martin, Rimshot, W!B:, 1 ediciones anónimas Archivo:Diameter and Pi 1.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diameter_and_Pi_1.gif Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: user:１３２人目 Archivo:Regular triangle 1.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Regular_triangle_1.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: D V S, Darapti Archivo:Wiktionary-logo-es.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png Licencia: logo Contribuyentes: es:Usuario:Pybalo Archivo:Hypercubecentral.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hypercubecentral.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Lipedia Archivo:Hexahedron.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hexahedron.png Licencia: desconocido Contribuyentes: Tomruen Archivo:CDW_ring.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_ring.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Tomruen Archivo:CDW_4.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_4.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Tomruen Archivo:CDW_dot.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_dot.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Tomruen Archivo:CDW_3.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_3.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Tomruen Archivo:CDW_2.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:CDW_2.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Tomruen Archivo:8-cell.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:8-cell.gif Licencia: Public Domain Contribuyentes: see above Archivo:Nested_set_V4;_elements_in_Hasse_diagram.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nested_set_V4;_elements_in_Hasse_diagram.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Lipedia Archivo:HexagonConstructionAni.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:HexagonConstructionAni.gif Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Jonathan48 Archivo:Blake ancient of days.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Blake_ancient_of_days.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: William Blake Archivo:Architectes.medievaux.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Architectes.medievaux.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Buzz, Gryffindor, Tvanhulzen, Wst, 1 ediciones anónimas Archivo:Basic-construction-demo.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Basic-construction-demo.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Qef, Vivero, 1 ediciones anónimas Archivo:Cuadratura-circulo-02.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cuadratura-circulo-02.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: User:Haylli Archivo:Origami-crane.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Origami-crane.jpg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Contribuyentes: Andreas Bauer Origami-Kunst File:Hiden Senbazuru Orikata-S17-2.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hiden_Senbazuru_Orikata-S17-2.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Dmcq, Tavin Archivo:Origami ball.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Origami_ball.jpg Licencia: Creative Commons Attribution 2.0 Contribuyentes: Dmcq, FlickrLickr, FlickreviewR, Leoboudv, Para, Roomba, Wst Archivo:BaseCometa.pdf Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BaseCometa.pdf Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Ziker Archivo:Castle shumakov.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Castle_shumakov.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Archivaldo Archivo:Una rana de papel.JPG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Una_rana_de_papel.JPG Licencia: Creative Commons Attribution 3.0 Contribuyentes: Archivaldo Archivo:DSCF03972.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03972.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: DANIEL PICHARDO Archivo:DSCF02902.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF02902.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: DANIEL PICHARDO Archivo:DSCF03162.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03162.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: DANIEL PICHARDO Archivo:DSCF03172.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:DSCF03172.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: DANIEL PICHARDO Archivo:ct-internals.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ct-internals.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Bjecas, Delldot, Hehkuviini, Nevit, 8 ediciones anónimas Archivo:tac1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tac1.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Sauron at es.wikipedia Archivo:tac4.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tac4.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Sauron at es.wikipedia Archivo:Ct-workstation-neck.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ct-workstation-neck.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: en:User:ChumpusRex Archivo:Bonereconstruction.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bonereconstruction.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Zgyorfi at en.wikipedia Archivo:Tetrahedron.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tetrahedron.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Dbenbenn, Kjell André, Matthias M., Quasipalm, SharkD, Warden Archivo:Hexahedron.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hexahedron.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Dbenbenn, Kjell André, Matthias M., Quasipalm, SharkD, Str4nd, WikipediaMaster, 1 ediciones anónimas Archivo:Octahedron.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Octahedron.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Original uploader was Cyp at en.wikipedia Later versions were uploaded by Fropuff at en.wikipedia. Archivo:Dodecahedron.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecahedron.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Dbenbenn, Juiced lemon, Kjell André, Matthias M., Quasipalm, SharkD, 1 ediciones anónimas Archivo:Icosahedron.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Icosahedron.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Bukk, Dbenbenn, Juiced lemon, Kjell André, Matthias M., Nevit, Quasipalm, SharkD File:tetraedro_desarrollo.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Tetraedro_desarrollo.gif Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Rectas File:cubo_desarrollo.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cubo_desarrollo.gif Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Rectas File:octaedro_desarrollo.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Octaedro_desarrollo.gif Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Rectas File:dodecaedro_desarrollo.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Dodecaedro_desarrollo.gif Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Rectas File:icosaedro_desarrollo.gif Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Icosaedro_desarrollo.gif Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:Rectas Archivo:Sphere halve.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sphere_halve.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Kieff, SharkD, Tamorlan, Verne Equinox, 2 ediciones anónimas

293

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes Archivo:Spherical triangle 3d.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spherical_triangle_3d.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: DemonDeLuxe (Dominique Toussaint) Archivo:Greatcircle Jetstream routes.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Greatcircle_Jetstream_routes.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: ChaosNil Archivo:Triangle trirectangle.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Triangle_trirectangle.png Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: Coyau, JMCC1 Archivo:ortodroma.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ortodroma.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Orem Archivo:Noneuclid.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Noneuclid.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: derivative work: Pbroks13 (talk) Noneuclid.png: Original uploader was Joshuabowman at en.wikipedia Archivo:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Davius, Jean-Christophe BENOIST, Kilom691, Marcus erronius Archivo:Sphere wireframe 10deg 6r.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg Licencia: Creative Commons Attribution 3.0 Contribuyentes: Geek3 Archivo:Saddle pt.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Saddle_pt.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:StuRat Archivo:Hyperbolic.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic.jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Aradan Archivo:Hyperbolic triangle.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_triangle.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Bender235, Kieff, 1 ediciones anónimas Image:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperbolic_tiling_omnitruncated_3-7.png Licencia: Public Domain Contribuyentes: Davius, Jean-Christophe BENOIST, Kilom691, Marcus erronius File:Hyperb icosahedral hc.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Hyperb_icosahedral_hc.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Claudio Rocchini Image:Triangles (spherical geometry).jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Triangles_(spherical_geometry).jpg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Lars H. Rohwedder, Sarregouset Archivo:Two parallel lines a b.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Two_parallel_lines_a_b.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Masur Archivo:Planes parallel.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Planes_parallel.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Qef Archivo:Perpendicular-coloured.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular-coloured.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: JMCC1, Nk, RDBury, 2 ediciones anónimas Archivo:Perpendicular-construction.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular-construction.svg Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Darapti, Nk Archivo:perpendicular transversal v3.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Perpendicular_transversal_v3.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: Benzi455 Archivo:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Title_page_of_Sir_Henry_Billingsley's_first_English_version_of_Euclid's_Elements,_1570_(560x900).jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Charles Thomas-Stanford

294

Licencia

Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

295

Mates Discretas +

Recommend Documents