Informe Proyecto Final Dinamica Estructural

Análisis Estructural II PROYECTO FINAL Presentado por: Daniela Burbano López

PROYECTO FINAL DE DINÁMICA ESTRUCTURAL

Daniela Bu rb ano López-109494 López-1094943527 3527

REVISADO REVISADO POR: LEONARDO CANO SALDAÑA

INGENIERO CIVIL TITULAR DE LA ASIGNATURA DE ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

PROG RA MA DE INGE NIERÍA CIVIL

ARMENIA Fecha 02/12/2015 Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil FACULTAD DE DE INGENIERIA

-1-


TABLA DE CONTENIDO

1.

OBJETIVOS ..............................................................................................................................

3

1.1.

Objetivo general..............................................................................................................

1.2.

Objetivos específicos .................................................................................................... 3

3

2.

DESARROLLO DEL PROYECTO ........................................................................................

3.

CONCLUSIONES ...................................................................................................................

14

4.

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................

14

4

Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil FACULTAD DE INGENIERIA

-2-


1. OBJETIVOS 1.1.

Objetivo general

Elaborar un análisis dinámico a la estructura propuesta en el proyecto final por el Docente e Ingeniero Leonardo Cano Saldaña en la asignatura de Análisis Estructural II.

1.2.

Objetivos específicos



Encontrar los modos y periodos de vibración de la edificación.



Elaborar la historia de desplazamientos horizontales Ux, Uy y Uz del nodo 1 de la cubierta cuando el edificio es sometido al sismo Paicoma 2



Determinar el desplazamiento máximo a nivel de cubierta usando análisis modal espectral y la combinación cuadrática completa (CQC)


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2. DESARROLLO DEL PROYECTO Con el fin de realizar cada uno de los puntos del proyecto final de Dinámica Estructural propuesto por el Docente e Ing. Leonardo Cano Saldaña, en primer lugar, se enumeraron cada uno de los nodos, se direccionaron y enumeraron los elementos, y se designaron los ejes coordenados. A continuación, se presenta el esquema del pórtico en donde se evidencian estos parámetros.


-4-


Posteriormente, se dio inicio a la elaboración de la matriz de rigidez de la estructura. Para llevar a cabo este paso, se calculó la matriz de rigidez de cada uno de los elementos del pórtico en 3D, empleando la siguiente expresión:

[K]=

Ecuación 1 Matriz de Rigidez para elementos espaciales Fuente: Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo (Paz 1992)

Dónde:

E: Módulo de Young (Pa) I: Momento de inercia (m 4) G: Módulo de cortante (Pa) J: Módulo de Torsión (Pa)


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Para ubicar cada elemento desde sus coordenadas locales hasta las globales de toda la estructura, se aplicó la siguiente matriz de transformación:

[R]=

Dónde:

α1x: El Angulo del elemento desde el eje XL al eje XG α1y: El Angulo del elemento desde el eje XL al eje YG α1z: El Angulo del elemento desde el eje XL al eje ZG β1x: El Angulo del elemento desde el eje YL al eje XG β1y: El Angulo del elemento desde el eje YL al eje YG β1z: El Angulo del elemento desde el eje YL al eje ZG

1x: El Angulo del elemento desde el eje ZL al eje XG 1x: El Angulo del elemento desde el eje ZL al eje YG 1x: El Angulo del elemento desde el eje ZL al eje YG Con base a lo anterior, fue posible determinar la matriz de rigidez para cada uno de los elementos del pórtico en 3D en coordenadas globales. Luego, realizando diversas operaciones matriciales se obtuvo la matriz de rigidez global de toda la estructura ( Dimensión: 84X84). Posteriormente se eliminaron los grados de libertad de cada uno de los nodos que se encontraban empotrados ( Dimensión: 54X54). Después, se estructuro la matriz situando primero los desplazamientos de cada nodo y luego los giros tanto en las filas como en las columnas de la matriz. Finalmente, mediante la condensación estática de giros, se obtuvo la matriz de rigidez de toda la estructura (Dimensión 27x27).


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En segundo lugar, se determinó la matriz de masa. Para su deducción se realizaron los siguientes cálculos previos, los cuales se encuentran especificados en el formato digital de Excel anexo. Cabe resaltar que para calcular el área aferente de cada uno de los elementos, se empleó el software AutoCAD.

CONCRETO REFORZADO  (Kg/m^3) 2400

PISO 1 1 2

MASA (Kg) 42018 42018 31460

PISO 1 1 2

PLACAS AREA (m^2) 62.46 25.08 12.54

(Kg/m^2) 672.7185399 1675.358852 2508.77193

ELEMENTO

BASE

1

0.3

ALTURA LONGITUD (m) PESO ELEMENTO (Kg) AREA AFERENTE (m^2) PESO PLACA (Kg) PESO TOTAL (Kg) PESO A EMPLEAR (Kg/m) 0.35

6

1512

4.18

10486.66667

11998.66667

1999.777778

2

0.3

0.35

4.18

1053.36

4.18

10486.66667

11540.02667

2760.77193

3

0.3

0.35

7.312482479

1842.745585

4.18

10486.66667

12329.41225

1686.07751

4

0.3

0.35

6

1512

9

6054.466859

7566.466859

1261.07781

5

0.3

0.35

10.41

2623.32

22.23

14954.53314

17577.85314

1688.554576

6

0.3

0.35

10.41

2623.32

22.23

14954.53314

17577.85314

1688.554576

7

0.3

0.35

6

1512

17.1719

19745.33186

21257.33186

3542.888643

8

0.3

0.35

4.18

1053.36

4.3681

7318.135

8371.495

2002.75

9

0.3

0.35

4.18

1053.36

4.3681

7318.135

8371.495

2002.75

10

0.3

0.35

6

1512

8.1719

13690.865

15202.865

2533.810833

11

0.25

0.25

3

450

0

0

450

150

12

0.25

0.25

3

450

0

0

450

150

13

0.35

0.35

7.32

2152.08

0

0

2152.08

294

14

0.35

0.35

7.32

2152.08

0

0

2152.08

294

15

0.35

0.35

7.32

2152.08

0

0

2152.08

294

16

0.35

0.35

7.32

2152.08

0

0

2152.08

294

17

0.35

0.35

7.32

2152.08

0

0

2152.08

294


-7-


Para calcular la matriz de masa de cada uno de los elementos en 3D, se empleó la siguiente expresión:

[m]=

Ecuación 2 Matriz de Masa para elementos espaciales Fuente: Dinámica Estructural. Teoría y Cálculo (Paz 1992)

Dónde:

m: Peso a emplear (Kg/m) Io: Momento polar de inercia (m 4)

Para obtener la matriz de masa de toda la estructura, se aplicó el mismo método de cálculo para obtener la matriz de rigidez. De este modo, se obtuvo una matriz de masa condensada cuya dimensión también es de 27x27.


-8-


Elaborados estos cálculos, se procedió a solucionar el primer y segundo punto propuesto en el proyecto. Para encontrar los lambdas ( ), se ejecutó el siguiente comando en MATLAB: [fi, lambda]=eig (k,m) donde fi corresponde a la matriz modal.

Posteriormente, se ejecutó el comando diag (lambda) el cual hace posible que los 27 lambdas se presenten como una matriz de dimensiones 1x1. El programa proporciono estos datos ordenados de menor a mayor y normalizados respecto a la masa. Sabiendo que  = √  y que

=

2∗  

, se encontraron los periodos y los modos de

vibración de la estructura. La matriz modal se presenta adjunta al formado digital en Excel. (rad/sec)

T (sec)

21.81143237 4.67027112

1.34535772

25.72423508 5.07190645

1.23882121

39.70715214 6.30136113

0.99711557

75.2869495

8.67680526

91.17016629 9.54830699 206.1652311

14.358455

222.2219446 14.9071105

0.7241358 0.65804182 0.4375948 0.42148915

372.928931

19.3113679

0.325362

555.5144001

23.569353

0.26658285

661.5503195 25.7206205

0.24428591

29211.25057 170.912991

0.03676248

32011.86883

178.91861

0.03511756

37125.892

192.680803

0.0326093

40613.89874 201.528903

0.03117759

47463.7431

217.861752

0.02884024

65114.15129 255.174747

0.02462307

75142.35958 274.121067

0.02292121

76280.89684 276.189965

0.02274951

94587.67777 307.551098

0.02042973

113369.2107 336.703446

0.01866089

165873.1228 407.275242

0.01542737

171618.6692 414.268837

0.01516693

176455.2984 420.065826

0.01495762

202882.3237 450.424604

0.01394947

276285.1583 525.628346

0.01195367

280183.368

529.3235

0.01187022

351192.6564

592.6151

0.01060247


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Para desarrollar el punto tres , se programó el espectro de diseño en Excel de acuerdo a las especificaciones de suelo y ciudad dadas por el docente en el proyecto. Posteriormente, se elaboró una matriz , la cual se emplea para activar o desactivar los grados de libertad correspondientes a la dirección del sismo. Siendo 1 cuando es colineal y 0 cuando no lo es, respecto a los ejes. Después, se realizó una matriz α, la cual se calcula mediante la expresión:

 =   ∗  ∗  . Luego, se

seleccionó el sismo propuesto por el docente (Pacoima2), el cual contaba con 2091 datos de aceleración en mm/s 2, estos datos se organizaron para conformar una matriz de 3x2091 ( 3 direcciones del sismo x 2091 datos de aceleración). Con base a la siguiente expresión  =

− ∗ , se encontraron las fuerzas modales y

para cada una de ellas se aplicó el método matricial de Nigam y Jennings con el cual se obtiene la respuesta dinámica para sistemas de varios grados de libertad sometidos a cargas aleatorias. En total, se realizaron 27 integrales de convolución para cada una de las fuerzas modales. Finalmente, los desplazamientos reales se obtuvieron mediante la expresión:

 =  ∗ , donde n corresponde a los

desplazamientos modales para cada nodo. La historia de desplazamientos para el nodo 1 en la cubierta es la siguiente:

Desplazamiento en X 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

500

1000

1500

2000

2500

-0.2 -0.4 -0.6

Gráfico 1 Desplazamiento en X para el nodo 1


- 10 -


Desplazamiento en Y 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0

500

1000

1500

2000

2500

2000

2500

-0.002 -0.004 -0.006 -0.008

Gráfico 2 Desplazamiento en Y para el nodo 1

Desplazamiento en Z 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

500

1000

1500

-0.1 -0.2 -0.3 -0.4

Gráfico 3 Desplazamiento en Z para el nodo 1


- 11 -


Para culminar la parte A del proyecto, se solucionó el cuarto punto. En primer lugar, se elaboró un análisis modal espectral, el cual hace más fácil el proceso matemático para encontrar los desplazamientos máximos que sufre una estructura cuando es excitada en su base. Su desarrollo y análisis se presenta adjunto en el formato digital de Excel. Después, se procede a emplear el

METODO DE LA COMBINACION

CUADRÁTICA COMPLETA (CQC), el cual se realiza cuando no se pueden desacoplar las ecuaciones de movimiento. Para llevarlo a cabo, se activan todos los grados de libertad desde la matriz  pues el sismo afecta a la estructura en las tres direcciones (XYZ). Posteriormente se calculan los valores α y los desplazamientos modales máximos (n) tal y como se hizo en el análisis modal espectral. Después, se calculan las matrices Pij y Bij, las cuales corresponden a las siguientes expresiones:

Ecuación 3 Matriz Pij Fuente: Dinamica estructural aplicada al diseño sísmico (Garcia,1998)

Ecuación 4 Matriz Bij Fuente: Dinamica estructural aplicada al diseño sísmico (Garcia,1998)


- 12 -


Posteriormente, se procede a ubicar los desplazamientos modales máximos en la diagonal de una matriz cuya dimensión es de 27x27. Luego, esta matriz se mul tiplica por la matriz modal ( ), obteniendo así los desplazamientos reales máximos de la estructura. Después, se seleccionan los desplazamientos en la cubierta ( Del nodo

1 al nodo 3), obteniendo una matriz de dimensión 9x9, esta matriz se traspone. Se procede a calcular la matriz [R 2] la cual obedece a la expresión

[R2 ] = [Uc] ∗ [Pij] ∗

[Uc]T donde [Uc] son los desplazamientos en la cubierta. Finalmente, los desplazamientos reales en cada uno de los nodos de la cubierta del segundo piso responden a la expresión:

 = √  y son los siguientes: R (m) 0.039865993 0.00014624 0.028552807 0.039885958 0.024229712 0.038100418 0.033633351 0.000134093 0.038087766

Nota: Cada uno de los procesos matemáticos que se llevaron a cabo para solucionar la parte A del proyecto, se detallan en el formato digital en Excel anexo al informe.


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3. CONCLUSIONES 

Puede concluirse que aunque el uso del software comercial es más práctico y más preciso, el aporte académico que proporcionó la realización del proyecto empleando herramientas tales como Excel y Matlab, es apremiante. Dado que, fue posible aclarar y explorar nuevos conceptos con base a la consulta de diversas fuentes bibliográficas.



Dado que el conocimiento y el manejo del software comercial ETABS2015 es relativamente poco, es complicado modelar correcta y adecuadamente la edificación propuesta, en este orden de ideas, es factible que entre los periodos de la estructura hallados mediante el proceso de cálculo y los obtenidos luego de modelar la edificación, hayan diferencias muy grandes.

4. BIBLIOGRAFÍA  García,

L.

E.

(1998).

Dinámica

estructural

aplicada

al

diseño

sísmico. Universidad de los Andes, Colombia .



Paz, M. (1992). Dinámica estructural . Reverté.


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Informe Proyecto Final Dinamica Estructural

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