LA PARABOLA
Tnte. Angos Maria Jose, Tnte. Gutierrez Karina, Gabriel Abarca Departamento de ciencias exactas. Universidad de las fuerzas armadas – ESPE
Sangolqui – Ecuador majolin9!"otmail.com #ar$%gb&&!$a"oo.com alien'&'al(a!"otmail.com
Abstract.- Geometry is a very important subject for engineer students, students, because it wi !ep us understand understand mat!ematica mat!ematica probems better, aso "eeping in mind t!at geometrica fi gures wi give t!e rea soution to e#uations w!en t!ey are drawn correcty.
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)*T+-///)0*
1as 1as secci seccione oness c2n c2nica icas, s, son cur3as cur3as que se obtien obtienen en al inter4retar un 4lano, con un cono circular recto de dos mantos. 1as c2nicas en general son5 1a 4ar6bola5 se obtiene al cortar el cono con un 4lano, cu$a inclinaci2n, es igual que la de la su4er(icie lateral del cono
7ig &. Eli4se :i4;rbola5 que se obtiene al cortar el cono con un 4lano , cu$a inclinaci2n es ma$or, al 6ngulo que (orma la su4er(icie lateral del cono con la base. Es de notar que en ese caso, el 4lano corta a los dos mantos del cono.
7ig.8 arabola 1a eli4se5 que se obtiene al cortar el cono con un 4lano, cu$a incli inclinac naci2n i2n es menor menor,, al 6ng 6ngulo ulo que (orma (orma la su4er( su4er(ic icie ie lateral del cono con la base.
7ig.< :i4;rbola /ircun(erencia5 que es un caso 4articular de la eli4se , que se obtiene al cortar al cono con un 4lano "orizontal.
7ig. ' Traslaci2n de ejes 7ig.= /ircun(erencia En conclusi2n 4odemos deducir que las secciones c2nicas son5 >El conjunto de todos los 4untos del 4lano, tales que 5 la distancia no dirigida de los 4untos, res4ecto de un 4lano (ijo, es la distancia no dirigida de los 4untos res4ecto a una recta (ija, como una constante 4ositi3a >e? denominada e@centricidad. El 4unto (ijo se llama (oco de la c2nica $ la recta (ija directriz.?
or el 4unto IC=< trazamos un nue3o sistema coordenado I, I 4aralelo al sistema original , . calculamos la distancia del 4unto A a los nue3os ejes coordenados, mediante la 4ro$ecci2n de 4unto A sobre estos 5 IAIL AI I L D – = L = IHI L HI – I L F – < L = A C = = Nue son las coordenadas de A res4ecto a los nue3os ejes. 1o que en realidad "icimos (ue restas la coordenadas del nue3o origen I de las coordenadas del 4unto A. CDF–C=<LCD–=CF–<LC== /on este ejem4lo 4odemos citar 5 >si se trasladan dos ejes coordenados en (orma 4aralela, a un nue3o origen I C" # $ si las coordenadas de cualquier 4unto , antes $ des4u;s de la traslaci2n son C@ $ $ C @I $I res4ecti3amente, las ecuaciones se trans(orman del sistema original al nue3o sistema son 5 @ L @I O " $ L $I O #
7ig. /onjunto de c2nicas T+AS1A/)* -E EJES /+-E*A-S5 Es un arti(icio 4ara sim4li(icar las ecuaciones de las cur3as dadas, 4ara asi estudiarlas mas (6cilmente, $ analBticamente se e@4resa como una ecuaci2n de trans(ormaci2n entre las 4rinci4ales con5 la traslaci2n $ la rotaci2n de ejes. /on el siguiente ejem4lo 3amos a entender de una mejor manera 5 :allar las coordenadas del 4unto AC D F , res4ecto a un nue3o sistema de ejes, 4aralelos a los originales, cu$o nue3o origen es H C= <.
Es el lugar geom;trico , de un 4unto que se mue3e en el 4lano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta (ija llamada directriz , es siem4re igual a su distancia no dirigida res4ecto de un 4unto (ijo llamado (oco . )).
-ESA++11 -E /*TE*)-
1A A+AH1A Es el lugar geom;trico , de un 4unto que se mue3e en el 4lano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta (ija llamada directriz , es siem4re igual a su distancia no dirigida res4ecto de un 4unto (ijo llamado (oco
1a 4ar6bola tienes 3arias (ormas de ecuaci2n, las que de4enden de su 4osici2n res4ecto de los ejes coordenados o de su 4resentaci2n. Em4ezamos con las (ormas c2nicas las mismas que cu$o eje coincide con uno de los ejes coordenados $ tienen su 3;rtice en el origen. A+AH1A -E PQ+T)/E E* C EJE /)*/)-E /* E1 EJE 7ig. F. -e(inici2n -e acuerdo a la de(inici2n, siem4re se cum4lir6 que d 8Ld& 4ara cualquier 4unto de la 4ar6bola E1EME*TS5 •
•
•
•
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•
•
EJE5 la resta que 4asa 4or el (oco $ es 4er4endicular a la directriz PE+T)/E5 4unto de corte de la cur3a con el eje $ es 4unto medio entre el (oco $ el 4unto de corte del eje con la directriz /E+-A5 la recta que uno dos 4untos cualesquiera de la 4ar6bola como AAI /E+-A 7/A15 la cuerda que 4asa 4or el (oco, como //I +A-) 7/A15 denominado tambi;n radio 3ector, es la lBnea que une el (oco con un 4unto cualquiera de la cur3a, como5 -7,P7
7ig 9 EJE 1lamaremos >4? a la distancia que "a$ del origen de coordenadas al (oco, 4or lo tanto las coordenadas de este son ( C =, $ la ecuaci2n de la directriz ser6 @ L4. Sea C@$ un 4unto cualquiera 4ertenece al lugar geom;trico, trazamos A 4er4endicular a la directriz, $ trazamos tambi;n ( de acuerdo a la de(inici2n enunciada de la 4ar6bola se cum4le que 5 A(irmaci2n
Justi(icaci2n
1A- +E/T5 la cuerda (ocal 4er4endicular al eje HHI.
)gualamos las distancias
-)AMET+5 la recta que une los 4untos medios de un sistema de cuerda 4aralelas de la 4ar6bola, es siem4re 4aralelo al eje .
cada distancia equi3ale cada distancia equi3ale
igualamos
Ele3amos al /uadrado 7ig D. E1EME*TS E/A/)*ES -E 1A A+AH1A
opero
$ era ecuaci%n can%nica de a par&boa
odemos enunciar las siguientes conclusiones5 •
•
Si 4 es 4ositi3a >@? ser6 tambi;n 4ositi3a $ la cur3a se abrir6 "acia la derec"a Si 4 es negati3a >@? ser6 tambi;n negati3a $ la cur3a se abrir6 "acia la izquierda.
A+AH1AS -E PE+T)/E E* C " # EJE+S A+A1E1S A 1S EJES /+-E*A-S. /omo en todas las 4ar6bolas, se sigue cum4liendo que5 4ara (acilitar la obtenci2n de su ecuaci2n, realizaremos el siguiente an6lisis5 Si 4or el 3;rtice C " # trazamos un nue3o sistema de eje @I $I 4aralelos a los ejes originales tendremos $a una 4ar6bola de 3;rtice en el origen que coincide con el eje @I siendo su ecuaci2n de la (orma 5 ( $)
7ig.8. S)T)PA A+AH1AS -E PE+T)/E E* C E1 EJE /)*/)-E /* EJE 1as coordenadas del (oco ser6n 4ara este caso (C , 4 $ la ecuaci2n de la directriz C 4aralela al eje @ @ L 4 a4licando la de(inici2n de lugar geom;trico $ siguiendo un 4roceso id;ntico al anterior, obtenemos la ecuaci2n de la 4ar6bola5
7ig. 8& PE+T)/E C " # ara obtener la ecuaci2n res4ecto de los ejes orBgenes, usamos las ecuaci2n de traslaci2n de ejes5
'da ecuaci%n can%nica de a par&boa
odemos enunciar las siguientes conclusiones5 • • • • • • •
1a cur3a 4asa 4or el origen de coordenadas. 1a cur3a es sim;trica al eje de las $ Si 4 es 4ositi3o la cur3a se abre "acia arriba Si 4 es negati3a la cur3a se abre "acia abajo 1a cur3a resultante es de longitud in(inita 1a cur3a carece de asBntotas 1a magnitud del lado recto, es igual 3alor absoluto de =4.
@ L @I O " $ L $IO #
de donde
@IL @ – " $IL $ – #
reem4lazo en C8
C $ – # & L =4 C @ "
Ec. rdinaria
+ealizando un 4rocedimiento similar, obtendremos la ecuaci2n de las 4ar6bolas de 3;rtice D:# $ eje 4aralelo al eje $5 C @ – " & L =4 C $ #
Ec. rdinaria
En estas (ormas ordinarias, se sigue cum4liendo que 5 • •
• •
es la magnitud de la distancia del 3;rtice al (oco 1as 4ar6bolas 4ara abrirse en determinado sentido, de4ender6 del signo de o 1as 4ar6bolas son sim;tricas res4ecto a su eje Su lado recto, sigue siendo igual al 3alor absoluto de =4
E/A/)*ES GE*E+A1ES -E 1AS A+AH1AS E* S)/)*ES +-)*A+)AS 7ig. 88. S)T)P
C $ – # & L =4 C @ " eje "orizontal
C @ – " & L =4 C $ #
eje 3ertical
Si desarrollamos res4ecti3amente5
estas
ecuaciones
obtendremos
+e4itiendo el 4rocedimiento anterior, llegamos a la conclusi2n de que la ecuaci2n5 @& O -@ O E$ O 7 L re4resenta una 4ar6bola de eje 3ertical, si 5
@& – &"@ – =4$ O " & O =4# L
si E L
$& =4@ – &#$ O # & O =4" L bser3amos que cada una contiene solamente un t;rmino de segundo grado, sea este @& o $& .:aciendo re(erencia a la ecuaci2n general de segundo grado5
-es4u;s de nuestro an6lisis 4odemos concluir 5 >na ecuaci2n de segundo grado, que carece de termino en >@$? $ que carece del termino en @ & o en $ & re4resenta5
A@& O H@$ O /$& O -@ O O E$ O 7 L
•
Esto signi(ica que si5 H L $ A L o / L la ecuaci2n general de segunda grado toma la (orma de una de las ecuaciones ordinarios. ara saber si todas las ecuaciones que tomen estas (ormas re4resentan 4ar6bolas, realizamos el siguiente an6lisis.
8er caso 5 si 5AL H L . -i3idiendo toda la ecuaci2n 4or el coe(iciente de $ &. $& O -@ OE$ O 7 L si a"ora 4asamos esta ecuaci2n com4letando cuadrados , tendremos5 L -@ – 7 O
o dos rectas 3erticales, o ningRn lugar geom;trico
ala (orma ordinaria
C8
•
Ejercicios5 :allar las ecuaciones de la 4ar6bola $ de la directriz, $ el 3alor del lado recto, si la cur3a tiene eje coincidente con el eje $. 3;rtice en el origen, $ 4asa 4or el 4unto C&,8 /omo el eje coincide con el eje $ el 3;rtice est6 en el origen C , la ecuaci2n de la cur3a es de la (orma @ & L =4$. 1as coordenadas del 4unto satis(acen la ecuaci2n. A(irmaci2n
Justi(icaci2n
C8& L =4C&
reem4lazo l 4unto en la ecuaci2n
@& L = @ or tanto si -
la ecuaci2n obtenida re4resenta una
na 4ar6bola en 4osici2n ordinaria , si contiene las dos 3ariables. -os rectos "orizontales o 3erticales, o bien, no re4resenta ningRn lugar geom;trico, si contiene una sola 3ariable.
o4ero
ecuaci2n de la 4ar6bola
1a ecuaci2n de la directriz es de la (orma5 @ L 4 4or tanto @L
4ar6bola de eje "orizontal. Si - L la ecuaci2n 8 se reduce a5
Esta ecuaci2n re4resentara dos rectas "orizontales di(erentes, dos rectas "orizontales coincidentes o ningRn lugar geom;trico, segRn el segundo t;rmino de la ecuaci2n sea 4ositi3o, cero o negati3o C la 3ariable @ no a4arece en la ecuaci2n. &do caso5 si H L / L
lado recto
7ig. 8< ejercicio na recta 4asa 4or el (oco de una 4ar6bola, de 3;rtice en el origen $ el eje coincide como el eje @, cortando la directriz en el 4unto C & F. :allar las coordenadas del 4unto de corte de la 4ar6bola $ la recta A(irmaci2n L&
Justi(icaci2n coord., del (oco (C&, Ecua. -e la 4ar6bola
mL
la 4endiente de la recta
7ig.8 ejercicio
Ecua. -e la recta $O F@ – 8= L @L
o4ero
Si la e@centricidad es uno, la cur3a es una 4ar6bola, 4orque la distancia del 4unto al (oco es igual a la distancia del 4unto a la directriz
des4ejo @
+eem4lazo 3alores
F
O =$ – 88& L
o4ero
8CF,= F,FF
l.q.q.d.
&C ,& &,F
l.q.q.d.
7ig.8' Ejercicio
7ig.8= ejercicio )) :allar la ecuaci2n de la c2nica a 4artir de los siguientes datos5 7C, ,eL8 $ directriz de la recta5 @O&$O&L Gra(icamos un sistema re(erencias, con los datos 4r o4uestos5
)gualamos las distancias $ ele3amos al cuadrado a los dos t;rminos5
7ig. 8F ejercicio
:allar el 6rea del tri6ngulo equil6tero inscrito en la 4ar6bola $ & L D@, si uno de los 3;rtices coincide con el origen de coordenadas5 A(irmaci2n
Justi(icaci2n
AH L <
AH rect6ngulo $ A/ equil6tero
A L 8
ng. )nclinaci2n
endiente A L ,FF
tangente de 8
8$ L ,FF@
ecuaci2n recta A
&
&$ L D@
ecuaci2n 4ar6bola
C,FF@& L D@
reem4lazo 8 en &
,<<<@& O D@ L
o4eraci2n
@ C ,<<<@ O D L
(actor comRn
@ L $ @ L DU,<<<
resultados
@ L &=
4osible soluci2n
$ L ,FF C&=
3alor @ reem4lazo en 8
$ L 8<,D'
o4eraci2n
A
A/ L Cbase V alturaU&
(2rmula
A
A/ LC 8<,D'V&C&=U&
reem4lazo 3alores
A
A/ L <<&, u&
S1/)*
El cable de un 4uente colgante so4orta una calzada de < m. mediante cables 3erticales, si el cable 4rinci4al, cuelga ado4tando una (orman 4arab2lica $ los cables 3erticales m6s largos $ m6s cortos miden 9 m. $ & m. res4ecti3amente. /u6l es la longitud de los cables 3erticales, que est6n a m. del centro del 4uenteW A(irmaci2n
Justi(icaci2n
C @ – " & L =4 C$ – # 3ertical que se abre "acia arriba
(2rmula 4ar6bola de eje
C @ – & L =4 C9 – & del 3;rtice
reem4lazo coordenadas
8& L =4 CF
reem4lazo del 4unto C8 9
&&.UF L =4
o4eraci2n
=4 L <&8,=&D
soluci2n
@& L <&8,=&D C$ – &
ecuaci2n de la 4ar6bola
&. L <&8,=&D C$ – &
reem4lazo 3alor @ L m.
&. L <&8,=&D$ – '=&D,F8
o4eraci2n
D.9&D,F L <&8,=&D$
t;rminos semejantes
$ L &F,FFF m.
S1/)*
"tt45UU[[[.monogra(ias.comUtrabajosD&Uconicas$ a4licacionesUconicas$a4licaciones.s"tml
))).
/*/1S)*ES. odemos determinar que la 4ar6bola Es el lugar geom;trico , de un 4unto que se mue3e en el 4lano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta (ija llamada directriz , es siem4re igual a su distancia no dirigida res4ecto de un 4unto (ijo llamado (oco.
)P.
+E/*/)M)E*TS.
Agradecimientos es4eciales al )ng. +ic"ard Herniz 4ro(esor de la asignatura, quien en3i2 la in3estigaci2n $ a tra3;s de ella obtu3imos am4lios conocimientos de este tema con la base de la geometrBa 4lana. P.
H)H1)G+A7)A
GEMET+)A A*A1)T)/A, )ng. :ugo )Xiguez, segunda edici2n "tt45UUcursosgratis.aula(acil.comUmatematicas conicasUcursoU1ecc8D."tm "tt45UUmat"&.orgUmat"UalgebraUesconics."tm "tt45UUboo#s.google.com.ecUboo#sW idL4)M@SY*<(s#/Z4gLA8&Zl4gLA8&ZdqLrotacionOde OejesOcoordenadosOdemostracionZsource "tt45UU[[[.taringa.netU4ostsUa4untes$ monogra(iasU8=''=''U/onicasGeometria."tml
