Matemática Financeira com HP12C e Excel

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Direitos autorais Copyright© by Anderson Dias Gonçalves Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/1988. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito do autor, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros.

Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves Educador Financeiro DSOP, sócio-diretor da empresa Treinart Educacional, com graduação em Matemática, pós-graduação em Matemática e Estatística, Mestre em Matemática e Estatística, MBA em Gestão Financeira Empresarial. Ministra palestras e cursos sobre Educação Financeira. Atua como professor de Matemática há mais de 15 anos, leciona a disciplina de Matemática Financeira e Gestão Estratégica de Custos no curso de pós-graduação em Gestão Financeira e Controladoria, leciona em cursos de graduação as disciplinas de Matemática Financeira, Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais e Ordinárias, Estatística e disciplinas afins. Consultor em Avaliação Institucional e Clima Organizacional para empresas e instituições de ensino. Coordenador do curso de pós-graduação da Faculdade Senac – Minas em Gestão Financeira e Controladoria. Editor do blog sobre Educação Financeira – Clínica do Dinheiro (www.clinicadodinheiro.com.br) Contato: [email protected] facebook.com/andersonmatematico Site: Site: www.treinarteducacional.com.br Copyright© Anderson Anderson Dias Gonçalves 2013.

Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

Matemática Financeira

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Sumário CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira ................................................. ........................................................................ ....................... 6 Introdução ........................................................................................................... ........................................................................................................................................................ ............................................. 6 1.1 O valor do dinheiro no tempo ................................................................................................................. ................................................................................................................. 6 1.2 Fluxo de Caixa - Conceitos e Convenções Básicas .............................. ........................................................................... ............................................. 7 1.3 Regime de capitalização simples .......................................................................................................... .......................................................................................................... 8 1.3.1 Derivações da fórmula de juros simples ......................................................................................... 10 1.3.2 Desconto “Por Dentro”, ou Racional ................................................................................................ ................................................................................................ 11 1.3.3 Desconto “Por Fora” ou Comercial .................................................................................................. 12

Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 13 CAPÍTULO 2 - Juros Compostos ..................................................................................................... ............................................................................................................... .......... 16 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 16 2.1 Juros compostos ............................................................................................................... .................................................................................................................................... ..................... 16 2.1.1 Dedução da Expressão Genérica. ......................................................................................... ................................................................................................... .......... 16 2.1.2 Definições de variáveis: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 17 2.2 Utilização da calculadora HP 12C para cálculos financeiros ................................................ .......................................................... .......... 18 2.2.1 Zerando os registros financeiros da HP 12C ................................................................................. 18 2.2.2 Fluxo de caixa - conceitos e convenções básicas ......................................................................... ......................................................................... 18 2.2.3 Principais elementos de um fluxo de caixa ..................................................................................... .................................................................................... 19 2.2.4 Cálculos para períodos fracionários ................................................................................................ 24 2.3 Valor Presente (Atual) e Valor Futuro (Nominal) .............................................................................. 25 Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 27 2.4 Descontos compostos ...................................................................................................... ........................................................................................................................... ..................... 28 2.4.1 Desconto Racional ......................................................................................................... ............................................................................................................................. ..................... 28 2.4.2 Desconto Comercial ...................................................................................................... ........................................................................................................................... ..................... 29 2.5 Equivalências de capitais ................................................................................................. ..................................................................................................................... ..................... 30 Exercícios complementares complementares ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 31 CAPÍTULO 3 – Taxas de juros .............................................................................................. ................................................................................................................... ..................... 33 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 33 3.1 Taxa efetiva ........................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ..................... 33 3.2 Taxas Proporcionais Proporcionais – Juros Simples ................................................................. ................................................................................................. ................................ 33 3.3 Taxas Equivalentes Equivalentes – Juros Compostos .................................................................................. ............................................................................................ .......... 34 3.4 Taxa Nominal ................................................................................................................................ ......................................................................................................................................... .......... 38 3.5 Taxa Média de Juros ........................................................................................................ ............................................................................................................................. ..................... 40 3.6 Taxa real de juros ............................................................... .................................................................................................................................. ................................................................... 41 3.7 Outras taxas do mercado financeiro ......................................................................................... ................................................................................................... .......... 42 Exercícios Propostos ................................................................... .................................................................................................................................... ................................................................. 42 Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves


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CAPÍTULO 4 – Séries de Pagamentos ..................................................................... ..................................................................................................... ................................ 44 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 44 4.1 Renda ....................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ................................ 44 4.2 Classificação de rendas ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 44 4.3 Pagamentos ou recebimentos iguais .................................................................................................. .................................................................................................. 45 4.2 - Cálculos com séries uniformes na HP 12C ........................................................................... ..................................................................................... .......... 46 4.3 - Cálculos com séries uniformes no Excel ......................................................................................... 47 Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 51 4.4 Rendas perpétuas .................................................................................................................................. ................................................................................................................................. 52 Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 53 CAPÍTULO 5 - Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno ...................................................... 55 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 55 5.1 – Séries com prestações diferentes .................................................................................................... .................................................................................................... 55 5.2 – Representação de fluxo de caixa não homogêneo ............................................................. ....................................................................... .......... 55 5.3 – Valor Presente Líquido .............................................................. ...................................................................................................................... ........................................................ 55 5.4 – Valor Presente Líquido – EXCEL ..................................................................................................... ..................................................................................................... 56 5.5 Taxa Interna de Retorno – TIR ............................................................................................................ 62 Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 65 CAPÍTULO 6 - Sistemas de Amortização ................................................................. ................................................................................................. ................................ 67 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 67 6.1 – Sistemas e metodologias de cálculos de juros e amortizações .................................................. 67 6.2 – Sistema Francês – Tabela Price ...................................................................................................... 68 6.3 – Sistema SAC ......................................................... ............................................................................................................................. .............................................................................. .......... 70 6.4 – Sistema Americano ......................................................... ............................................................................................................................ ................................................................... 71 Exercícios propostos .................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 72 Exercícios complementares complementares ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 74 CAPÍTULO 7 – Conhecendo a HP 12 C ................................................................................................... 76 Introdução ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 76 7.1 Testando a calculadora ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... 76 7.2 Separadores de dígitos .................................................................................................... ......................................................................................................................... ..................... 76 7.3 O teclado ........................................................ ............................................................................................................................ ......................................................................................... ..................... 76 7.4 Controlando o número de casas decimais ......................................................................................... ......................................................................................... 76 7.5 Números negativos ................................................................................................................................ ................................................................................................................................ 77 7.6 Clear (apagar) .................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ..................... 77 7.7 As teclas “RPN” e “ALG” ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 77

7.8 A pilha operacional ............................................................. ................................................................................................................................ ................................................................... 77 7.8.1 Analisando a PILHA em cálculos aritméticos ................................................................................. ................................................................................. 78 Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves


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7.9 Cálculos aritméticos ............................................................................................................................... 78 7.10 Memória - registro de armazenamento ........................................................................................... 79 7.10.1 Armazenamento e recuperação de números ............................................................................... 79 7.10.2 Zerando os registros de armazenamento ..................................................................................... 79 7.10.3 Aritmética com registros de armazenamento ............................................................................... 80 7.11 Funções de porcentagem ................................................................................................................... 80 7.12 Funções calendário ............................................................................................................................. 82 7.12.1 Formato data ..................................................................................................................................... 82 7.12.2 Datas futuras ou passadas ............................................................................................................. 83 7.12.3 Número de dias entre datas ............................................................................................................ 83 Exercícios propostos .................................................................................................................................... 84 Respostas ...................................................................................................................................................... 84 Bibliografia ..................................................................................................................................................... 85



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CAPÍTULO 1 – Fundamentos da Matemática Financeira Introdução Este capítulo introduz conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. São apresentados os conceitos de fluxo de caixa, convenções e simbologias adotadas nas suas representações. O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do estudo de Matemática Financeira. Esses conceitos, aparentemente simples, têm vários detalhes importantes que facilitam o entendimento do dinheiro ao longo do tempo.

1.1 O valor do dinheiro no tempo Um velho ditado popular, “é melhor um pássaro na mão do que dois voando”. Ou

seja, antes o pouco certo agora do que o muito duvidoso depois. Essa colocação nos dá o principal conceito estudos em finanças: o v a l o r d o d i n h e i r o n o t e m p o . Transações financeiras envolvem duas variáveis-chaves: d i n h e i r o e t em p o . Como o presente é certo e o futuro duvidoso, deve sempre existir alguma compensação para incertezas futuras. As compensações refletem o custo implícito ou explícito da transação financeira. Associado a uma operação de investimento, em que existe um sacrifício financeiro presente em prol da obtenção de benefícios futuros compensadores, o valor do dinheiro no tempo resulta de alguns componentes básicos: 

Risco: sempre existe a possibilidade de os planos não ocorrerem conforme planejado. De outro modo, sempre haverá risco de não receber os valores programados em decorrência de fa tos imprevistos. Quando se fala em “análise de crédito”, na verdade estamos concedendo crédito, mas na verdade o que está

sendo analisado é o risco que envolver a operação de crédito. 



Utilidade: o investimento implica em deixar e consumir algo hoje pra consumir no futuro, o que somente será atraente se existir alguma compensação. Essa compensação é medida através das taxas de juros (simples ou compostos) que é utilizada pelo mercado financeiro. Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente, permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que possam aparecer. Quando uma empresa ou uma pessoa possui reservas financeiras no presente, podem buscar soluções que apresentam menores riscos e mais rentabilidade. Essa é a combinação perfeita, um investimento com menor risco possível (otimizado) e melhor rentabilidade.

O dinheiro no tempo relaciona-se com a ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se oportunidade de aplicá-lo, quer em função de sua desvalorização em relação à inflação, quer em função dos riscos corridos e das possibilidades de perda.



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Na análise de operações financeiras, alguns princípios básicos sempre devem ser levados em consideração: 1. Valores somente podem ser comparados se estiverem na mesma data 2. Operações algébricas apenas podem ser feitas com valores na mesma data.

1.2 Fluxo de Caixa - Conceitos e Convenções Básicas Ao avanço das tecnologias disponíveis para a realização dos cálculos financeiros tem tornado gradualmente mais simples as operações algébricas e as operações do dinheiro no tempo. Calculadoras e planilhas eletrônicas tem sido utilizadas para descomplicar as operações algébricas. Embora facilitem os cálculos, não possuem a principal característica de tomada de decisão de transferir ou não os recursos financeiros ao longo do tempo. Para facilitar a representação das operações financeiras e a identificação das variáveis relevantes, costuma-se empregar o diagrama de fluxo de caixa , ou simplesmente f l u x o d e c a ix a .

Definição: Denomina-se fluxo de caixa a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um período. Esse conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo pode ter fluxos em empresas, investimentos, projetos e planejamento pessoal. O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para a análise. As entradas ou recebimentos são representadas por setas verticais apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos, por setas verticais apontadas para baixo. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou diagramas, como mostra a figura abaixo.



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Exemplo 1 Em empréstimo contraído no valor de $1.000,00, que será quitado mediante o pagamento de $1.200,00, daqui a seis meses, pode ser visto na seguinte figura.

Exemplo 2 Uma aplicação no valor de $300,00 que será resgatada em três parcelas iguais mensais, no valor de $120,00, pode ser vista a seguir:

1.3 Regime de capitalização simples Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo quais os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização normalmente utilizados na matemática financeira SIMPLES e COMPOSTOS, ou linear e e x p o n e n c i a l, respectivamente. No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, rende juros. Nesse regime não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros n ão são c ap it ali zad o s e, em consequência disso, não rede juros. No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render juros. Os juros simples apresentam uma grande vantagem operacional sobre os juros compostos. Isso porque, para calculá-los, precisamos fazer apenas duas multiplicações, enquanto que os juros compostos são calculados com potenciação. Apesar de existirem fórmulas para o cálculo de juros simples, muitos preferem utilizar o conceito de porcentagem e o da lógica. Por exemplo, uma aplicação de R$ 2.000,00, que rende 3% a.m. (juros simples), após 4 meses renderá 4x3%=12%. Calculando 12% de R$2.000,00, teremos R$ 240,00. Inversamente, se tivermos o principal, os juros e a taxa, em nossas contas aparecerão também uma divisão se quisermos descobrir a prazo necessário para aplicação. Os cálculos poderiam ficar um pouco mais complicados se estivéssemos trabalhando com unidades diferentes para prazos e taxas. Por esse motivo, muitos preferem trabalhar com fórmulas matemáticas. Além disso, as planilhas eletrônicas exigem um bom relacionamento com as fórmulas. Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves


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Nesse contexto buscaremos encorajar você a criar suas próprias fórmulas, específicas para cada situação, mas isso não o obrigará a resolver a maior parte dos exercícios através delas.

Exemplo 3 Considere o caso de um investidor que aplicou $1.000,00 no Banco Delta, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros simples. Determinar o valor do saldo credor desse investidor no Banco Delta no final de cada um dos quatros anos da operação. Crescimento de $1.000,00 a juros simples de 8% a.a. Saldo no início do Pagamento do Ano Juros no ano ano ano 1 1.000,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 2 1.080,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 3 1.160,00 8%x1.000,00=80,00 0,00 4 1.240,00 8%x1.000,00=80,00 1.320,00

Saldo final do ano após o pagamento 1.080,00 1.160,00 1.240,00 0,00

Saldo($)1400

1320

1240

1160 Juros simples(Linear) 1080

1000 0

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Assim genericamente, os juros capitalizados por simples podem ser representados por:

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n períodos

4 Anos

no regime de capitalização

J = PV.n.i Onde: J =juros simples PV =Valor presente n = número de períodos de capitalização i =taxa de juros O montante ou valor futuro no regime de capitalização simples pode ser representado por: FV  PV  J

FV  PV  PV .n.i (colocando PV em evidência no segundo membro)

FV  PV (1 n.i)

Onde: Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves


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FV = Montante ou valor futuro PV =Valor presente J =Juros n =número de períodos de capitalização

i =taxa de juros

1.3.1 Derivações da fórmula de juros simples Da fórmula original de capitalização simples do valor futuro poderiam ser derivadas as seguintes fórmulas que permitem encontrar o valor presente e a taxa de juros. PV 

FV

1  n.i 

(cálculo do valor presente)

 FV   1  PV   (cálculo da taxa de juros) i n

 FV   1  PV   (cálculo do número de períodos capitalizados) n i

Exemplo 4 Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $750,00 após 5 meses, a uma taxa de 1% a.m. Pede-se obter o valor do capital inicial da operação. Aplicando a fórmula para cálculo do valor presente temos: PV 

FV

1  n.i 



750  714,29 1 5.0, 01   

Exemplo 5 O valor de $2000,00 foi aplicado por cinco anos, permitindo a obtenção de $4000,00. Sabendo que e regime de capitalização era o simples, calcule a taxa de juros mensal aplicada durante a operação.

Aplicando a fórmula para cálculo da taxa de juros temos:  FV   4000   1   1  PV   2000    0, 0167  1, 67% i  n

60



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Exemplo 6 A quantia de $1340,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $680,00 feita à taxa de 1,2% a.m. no regime de capitalização simples. Calcule o tempo dessa operação. Aplicando a fórmula para cálculo do número de períodos temos:  FV   1340  1   1  PV   680    81 n  i

0,012

1.3.2 Desconto “Por Dentro”, ou Racional No regime de capitalização simples, a taxa de juros sempre incide sobre o valor aplicado inicialmente. Nesse regime, as operações de d e s c o n t o p o r d e n t r o , ou racional , representam a aplicação direta da fórmula de capitalização de juros simples. A taxa de juros i , também denominada taxa de rentabilidade , ou, ainda taxa de desconto “por dentro” , pode ser obtida a partir de: FV  PV (1 n.i)

Isolando algebricamente a taxa de juros i , temos:  FV  1 1   PV  n

i 

O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro (FV), ou montante, e o valor presente (PV), ou principal, desta forma, temos: Dd  FV  PV

ou Dd  PV .n.i



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