MAKALAH PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN NONHOMOGEN METODE KOEFISIEN TAK TENTU ORDE ke-n
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Persamaan Diferensial
Disusun Oleh :
Amy Rahmatunisa (1122050005)
Anti Wijayanti (1122050007)
Dini Nurdiana (1122050013)
Indah Eka Permatasari (1122050026)
Kirana Safitri (1122050032)
Semester /Kelas: VI/ A
Prodi Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI
BANDUNG
Persamaan Nonhomogen Metoda Koefisien Tak tentu ke-n
Secara umum, persamaan diferensial linier nonhomogen orde ke-n dapat dituliskan sebagai berikut :
.yn+Pn-1xyn-1+…+p1xy1+p0xy=rx, (3.42)
Dengan y(n)=dmydxn dan r(x) 0. Jika r(x) = 0, maka
yn+Pn-1xyn-1+…+p1xy1+p0xy=0 (3.43)
Disebut homogen
Definisi 6 :
Seperti pada persamaan nonhomogen orde ke-dua, solusi umum dari persamaan nonhomogen (3.42) pada beberapa interval terbuka pada I adalah solusi yang berbentuk :
yx= yhx+ykx, (3.44)
Dengan yhx= c1 y1x+…+cnyn(x) adalah solusi umum dari persamaan homogenya (3.43) pada I, dan yk(x) adalah solusi khusus dari (3.42) pada I, yang tidak memuat konstanta sebarang. Sedangkan solusi khusus dari (3.42) pada I adalah solusi yang diperoleh dari (3.44) dengan memasukan nilai-nilai tertentu pada konstanta sebarang c1, …, cn di yh(x)
Metode koefisien tak tentu memberikan solusi khusus yk dari persamaan dengan koefisien konstanta.
yn+an-1yn-1+…+a1xy1+a0y=r(x) (3.45)
Penyelesaian persamaan (3.45) tersebut sama seperti untuk n=2. Perbedaannya hanya ada pada aturan Modifikasi. Bila pada n = 2 persamaan karakteristik dari persamaan homogennya hanya mempunyai akar sederhana atau akar dobel, sedangkan persamaan karakteristik dari persamaan homogen
yn+an-1yn-1+…+a1xy1+a0y=0 (3.46)
Mempuyai akar berlipat ganda dari orde yang lebih besar, yaitu m (< n).
Metode Koefisien Tak tentu
Aturan Dasar (sama dengan aturan untuk n = 2 pada sub bab sebelumnnya )
Aturan Modifikasi
Jika dipilih untuk yk adalah solusi dari persamaan homogenya (3.46), maka kalikanyk (x) dengan xk, dengan k adalah bilangan bulat positif terkecil, sehingga tak ada lagixkyk(x)
Yang merupakan solusi dari (3.46)
Aturan Penjumlahan
Jadi untuk masalah nilai awal, ada tiga tahap yang harus dikerjakan
Tahap I : menentukan solusi umum dari persamaan homogenya (3.46)
Tahap II : memeriksa apakah aturan Modifikasi perlu diterapkan, dan kemudian menentukan solusi khususykdari (3.45)
Tahap III : menentukan solusi khusus dari (3.46) yang memenuhi syarat awal yang diberikan.
r(x)
Pilihan untuk yk
keγx
Ceγx
kxn(n=0,1,…)
Cnxn+Cn-1xn-1+…+C1x+C0
kcosωx
Kcosωx+Msinωx
ksinωx
keαxcosωx
eαx(Kcosωx+Msinωx)
keαxsinωx
Metode Koefisien Tak tentu Orde ke-n
Contoh aturan dasar :
Selesaikan yiv-y = 30e-2x
Jawab :
Tahap I
Persamaan karakteristiknya λ4-1 = 0
Diuraikan menjadi (λ4-1)(λ2+1) = 0
Akar-akarnyaλ2=1 dan λ2=-1
λ = ± 1 dan λ = ± i
didapat λ1=1, λ2 = -1, λ3= i , λ4= i
jadi solusi homogennya adalah
yh= c1ex+c2e-x+c3eix+c3e-ix
Tahap II
Karena semua akar berbeda dan pilihan untuk ykbukan solusi dari persamaan homogenya, maka tidak perlu aturan modifikasi
Pilihanyk=ce-2x
y'k=-2ce-2x
y''k=4ce-2x
y'''k=-8ce-2x
yIVk=16ce-2x
Kemudiansubsitusikanykdanturunan-turunannyakedalampersamaandiferensial yang ada, sehinggadidapat :
yiv-y= 30e-2x
16ce-2x-ce-2x= 30e-2x
15ce-2xk= 30e-2x
15c=30
c= 2
Kemudian substitusikan C = 2 kedalamyk, sehinggayk = 2e-2k
Sehingga solusi umumnya :
yx= yh+yk
= c1ex+c2e-x+c3eix+c4e-ix+2e-2x
Contoh Aturan Modifikasi
Tentukan solusi umum dari :y'''-3y''+3y'-y= 6ex
Jawab :
TahapI : mencari solusi umum persamaan homogennya :
Persamaan karakteristiknya :λ3-λ2+3λ-1= 0
Mencari akar-akarnya :λ1=1, λ2=1, λ3=1
Solusi homogennya:
yh=c1ex+c2xex+c3x2ex
TahapII : mencari solusi khusus persamaan nonhomogen : yk
Kita coba pilihyk= cex tetapi karena cexterdapat pada yh,maka pilihyk= cex karena cexx terdapat pada yh pula dan cx2ex ada pada yh, pilih cx3ex
yk= cx3ex
y'k= cxex
y''k= cx3+6x2+6xex
y'''k= cx3+9x2+18x+6ex
Kemudian subsitusikan yk dan turunan-turunannya kepersamaan diferensial awal
y'''-3y''+3y'-y= 6ex
cx3+9x2+18x+6ex-3(cx3+6x2+6xex+3cx3+3x2ex-cx3ex= 6ex
cx3ex+c9x2ex+c18xex+c6ex-3cx3-18cx2ex-18cxex+3cx3ex+9cx2ex-cx3ex=6ex
c6ex-18cx2ex=6ex
c6ex=6ex
C = 1
Subssitusikan c = 1 ke ykmakayk=1x3ex=x3ex
Tahap III : solusi umum
Sehingga :
yx= yk+yh
= =x3ex+c1ex+c2xex+c3x2ex
Contoh :
Selesaikan solusi umum :
y,,,-y,,+y,=2y=2x2- 6x+4
Jawab :
Tahap I : Mencari yh
Persamaan karakteristik :λ3- 2λ2-λ + 2=0
(λ2- 1)(λ-2)
Akar – akarnya :λ1=1 , λ2=-1 , λ3=2
yh= cex+c2e-x+c3e2x
Tahap II :
Mencari yk dengan rx=2x2-6x+4
Pilih yk=Kx2+Mx+N
y,k=3Kx+M
y,,k=2K
y,,,k=0
Subsitutikan ke persamaan diferensial awal :
y,,,-2y,,-y,+2y=2x2-6x+4
0-22x+M+2Kx2+Mx+N=2x2- 6x+4
-4K-2Kx- 2Kx2+ 2Mx+2N= 2x2- 6x+4
2Kx2- 2Kx+2Mx-4K-M+2N= 2x2- 6x+4
2Kx2= 2x2
K=1
-2Kx+2Mx=-6x
-21x+2Mx=-6x
-2x+2Mx=-6x
x(-2+2Mx)=-6x
-2+2M= -6
2M=-6+2
2M=-4
M=-2
-4K-M+2N=4
-41—2=4
-4+2+2N=4
-2+2N=4
2N=4+2
2N=6
N=3
Didapat K=1, M=-2 , N=3
yk=Kx2+Mx+N
= x2+ -2x+3
= x2- 2x+3
Tahap II : Solusi Umum
yx= yh+yk
= c1ex+ c2e-x+ c3e2x+ x2- 2x+3
Metode Variasi Parameter
Untuk dapat menyelesaikan persamaan linier nonhomogen dengan rx yang beragam seperti itu diperlukan suatu metode yang tepat. Metode ini dikenal sebagai metode variasi parameter,yang pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Louis lagrange (1736 – 1813). Metode ini dapat di gunakan untuk menyelesaikan persamaan linier nonhomogen dengan koefisien konstanta maupun koefisien peubah, jadi sifatnya lebih umum dan kompleks. Perhatikan persamaan (3.42) dan (3.43). solusi khusus yk untuk persamaan (3.42) pada selang I , dengan koefisien pada persamaan (3.42) dan r(x)-nya kontinu, dirumuskan sebagai berikut:
ykx=y1xW1xW xrxdx+y2xW2xWxrxdx+…+
+ynxWnxWxrxdx.
Fungsiy1, y2, …, yn membentuk basis solusi persamaaan (3.43). W adalah determinan wronski atau wronskian saja, dengan
Wy1,y2,…,yn=y1y2 …yny'1y'2 …y'n y1(n-1) y2(n-1)…yn(n-1)
Dan Wj (j= 1,2,3….n) diperoleh dari W dengan mengganti kolom ke j dari W dengan kolom [000…1]T.
Perhatikan persamaan linear nonhomogen orde ke-dua:
yn+pxy'+qxy=rx,
Dengan p, q dan r kontinu pada selang I. misalkan y1 dan y2 membentuk basis solusi dari persamaan homogeny:
yn+pxy'+qxy=0
Determinan Wronskinya adalah:
Wy1,y2=y1y2y'1y'2=y1y'2-y2y'1
Sedangkan W1=0y21y'2=-y2 dan W2=y10y'11=y1
Maka solusi yk untuk persamaan linier nonhomogen orde ke-dua dapat dirumuskan:
ykx=-y1y2.rWdx+y2y1.rWdx
Contoh:
Selesaikan persamaan diferensial y''+y'=secx
Jawab:
Persamaan homogennya adalah y''+y'=0
Persamaan karakteristiknya λ²+1=0
Didapat akar-akarnya: λ1=i, λ2=-i
Basis solusi persamaan homogennya: ingat untuk kasus akar kompleks
y1=e-a2xcosωx dan y2=e-a2xsinωx
Sehingga y1=cosx dan y2=sinx
Solusi homogennya: yh=c1cosx+c2sinx
Determinan Wronskinya:
Wy1,y2=cosxsinx-sincosx=cos2x+sin2x=1
Solusi khususnya:
ykx =-cosxsinx.secx1dx+sinxcosx.secx1dx
= cosx ln "cos x" + x sin x
Sehingga solusinya adalah:
yx =yhx+yk(x)
= c1cosx+c2sinx + cosx ln "cos x" + x sin x
Contoh untuk Euler-Cauchy:
Tentukan solusi umum persamaan Euler-Cauchy:
x3y'''-3x2y''+6xy'-6y=x4lnx
Jawab:
Persamaan homogennya:
x3y'''-3x2y''+6xy'-6y=0
Persamaan tambahannya: ingat m3+a-3m2+b-a+2m+c=0
m3+6m2+11m+6=0
Akar-akar persamaan tambahannya m1=1,m2=2,m3=3.
Basis solusinya: y1=x,y2=x2,y3=x3.
Solusi umum persamaan homogennya:
yhx=c1x+c2x2+c3x3
Ubah persamaan Euler-Cauchy menjadi bentuk standar :
y'''-3y''x+6xy'x2-6yx3=xlnx
Wy1,y2,y3=xx2x312x3x2026x=2x3, W1=x4, W2=-2x3,W3=x2
Didapat solusi khusus dengan rumus sebelumnya:
ykx=x46(lnx-116).
Jadi solusi umumnya:
yx=c1x+c2x2+c3x3+x46(lnx-116).
Soal-soal Latihan:
Tentukan solusi umum dari y'''+2y''-y'-2y=12e2x
Tentukan solusi umum dari y'''-y''-4y'+4y=6e2x
Tentukan solusi umum dari y''''+3y''+3y'+y=16ex+x+3
Gunakan metoda variasi parameter untuk menentukan solusi umum y''+y=1
Kunci Jawaban
Tentukan solusi umum dari y'''+2y''-y'-2y=12e2x
Jawab :
Solusi homogen
λ3+2λ2-λ-2=0
λ+2λ2-1=0
Akar-akarnya : λ=-2λ=±1
λ1=-2λ2=1λ3=-1
yh=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x
=C1e-2x+C2ex+C3e-x
Solusi khusus
rx=12e2x
yk=Ce2x
y'k=2Ce2x
y''k=4Ce2x
y'''k=8Ce2x
Subtitusikan ke persamaan awal
. y'''+2y''-y'-2y=12e2x
8Ce2x+24Ce2x-2Ce2x-2Ce2x=12e2x
8Ce2x+8Ce2x-2Ce2x-2Ce2x=12e2x
16Ce2x-4Ce2x=12e2x
12Ce2x=12e2x
C=1
yk=Ce2x=(1)e2x=e2x
Solusi umum
yx=yh+yk
=C1e-2x+C2ex+C3e-x+e2x
Tentukan solusi umum dari y'''-y''-4y'+4y=6e2x
Jawab :
λ3-λ2-4λ+4=0
λ2-4λ-1=0
λ2=4λ=±2λ=1
λ1=1λ2=2λ3=-2
yh=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x
=C1ex+C2e2x+C3e-2x
Solusi khusus
rx=6e2x
yk= Ce2x
y'k=2Ce2x
y''k=4Ce2x
y'''k=8Ce2x
Subtitusikan ke persamaan awal
y'''-y''-4y'+4y=6e2x
8Ce2x-4Ce2x-42Ce2x+4Ce2x=6e2x
8Ce2x-4Ce2x-8Ce2x+4Ce2x=6e2x
Karena 0=6e2x
Maka ambil yk=Cxe2x
y'k=Ce2x+2Cxe2x
y''k=4Ce2x+4Cxe2x
y'''k=12Ce2x+8Cxe2x
y'''-y''-4y'+4y=6e2x
12Ce2x+8Cxe2x-4Ce2x+4Cxe2x-4Ce2x+2Cxe2x+4Cxe2x=6e2x
12Ce2x+8Cxe2x-4Ce2x-4Cxe2x-4Ce2x-8Cxe2x+4Ce2x=6e2x
12Ce2x-4Ce2x-4Ce2x+8Cxe2x-4Cxe2x-8Cxe2x+4Cxe2x=6e2x
12Ce2x-8Ce2x=6e2x
4Ce2x=6e2x
C=64=32
Substitusikan C=32 ke yk
yk=Ce2x=32xe2x
Solusi umum
yx=yh+yk=32xe2x+C1ex+C2e2x+C3e-2x
y'''+3y''+3y'+y=16ex+x+3
Jawab :
Solusi homogen ;
λ3+3λ2+3λ+1=0
(λ+1)(λ+1)(λ+1) = 0
Akarkembar λ = -1
λ1= -1, λ2=-1, λ3=-1
Maka solusi homogennya adalah c1e-x= c2e-x+ c3e-x
rx=16ex+x+3
yk= cex+Mx+N
y'k= cex+M
y''k=Cex
y'''k=Cex
Substitusikan kepersamaan diferensial awal :
cex+3(cex)+3(cex+M)+cex+Mx+N=16cex+x+3
cex+3cex+3cex+3M+cex+Mx+N=16cex+x+3
8cex+3M+Mx+N=16cex+x+3
8cex=16cex
c=168
c=2
Mx=x
M=1
N=0
Jadi solusi Khususnya:
yk=cex+Mx+N
=2ex+x+0
=2ex+x
y''+y=1
Persamaan homogennya menjadi λ2+1=0
Akar-akarnya adalah λ1=i, λ2=-i
Solusi homogennya : yh=C1cosx+C2sinx
Basisnya adalah: y1=cosx, y2=sinx
W1=-sinx, W2=cosx
Wy1,y2=cosxsinx-sinxcosx=cos2x+sin2x=1
Solusi khususnya:
ykx=cosx-sinx dx+sincosx dx
= cosx.cosx+sinx.sinx
= cos2x+sin2x=1
jadi solusi umumnya adalah:
yx=c1cosx+c2sinx+1
