Physique 2

Université Joseph Fourier DEUG SMa

Cours d’Electrostatique-Electrocinétique  Jonathan Ferreira

Année universitaire 2001-2002

Plan du cours

I-

II-

III-

IV-

Le champ électrostatique 1. Notions générales a. Phénomènes électrostatiques b. Structure de la matière c. Les divers états de la matière d. Matériaux isolants et conducteurs 2. Force et champ électrostatiques a. La force de Coulomb b. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle c. Champ créé par un ensemble de charges d. Propriétés de symétrie du champ électrostatique Lois fondamentales de l’électrostatique 1. Flux du champ électrostatique a. Notion d’angle solide b. Le Théorème de Gauss c. Exemples d’application d. Lignes de champ 2. Circulation du champ électrostatique a. Notion de potentiel électrostatique b. Potentiel créé par une charge ponctuelle c. Potentiel créé par un ensemble de charges 3. Le dipôle électrostatique a. Potentiel créé par deux charges électriques b. Champ électrostatique créé à grande distance c. Complément : développements multipolaires Conducteurs en équilibre 1. Conducteurs isolés a. Notion d’équilibre électrostatique b. Quelques propriétés des conducteurs en équilibre c. Capacité d’un conducteur isolé d. Superposition d’états d’équilibre 2. Systèmes de conducteurs en équilibre a. Théorème des éléments correspondants b. Phénomène d’influence électrostatique c. Coefficients d’influence électrostatique 3. Le condensateur a. Condensation de l’électricité b. Capacités de quelques condensateurs simples c. Association de condensateurs Energie et actions électrostatiques 1. Energie potentielle électrostatique a. Energie électrostatique d’une charge ponctuelle b. Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles c. Energie électrostatique de conducteurs en équilibre d. Quelques exemples 2. Actions électrostatiques sur un conducteur en équilibre a. Notions de mécanique du solide b. Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé c. Calcul des actions électrostatiques à partir de l’énergie d. Exemple du condensateur e. Exemple du dipôle

V-

Electrocinétique 1. Courant et résistance électriques a. Le courant électrique b. La densité de courant électrique é lectrique c. Loi d’Ohm microscopique d. Loi d’Ohm macroscopique 2. Eléments d’un circuit électrique a. Notion de circuit électrique b. Puissance électrique disponible c. Nécessité d’une force électromotrice 3. Lois régissant les circuits électriques a. Loi d’Ohm généralisée b. Lois de conservation (lois de Kirchhoff) c. Résolution pratique des équations en électrocinétique d. Le théorème de Thèvenin

Formulaire d'électrostatique d'électrostatique Champ électrostatique  Propriétés fondamentales 

Créé par une particule: 1

 E( M ) =

q 2

Flux (Th. de Gauss) :

u

4πε 0 r Créé par n charges ponctuelles: n 1 qi  E( M ) = ui 2 πε  r 4 i =1 0 i Créé par une distribution continue:

Φ = ∫∫  E ⋅ dS = S 

 ∫  dE( M)

avec

dE( M) =  

ε 0

Circulation :

∑

E( M) =

Qint

 B

( E = −grad V )  

 ∫ E ⋅ dl

V ( A) − V ( B) =

1

dq

4πε 0 r 2

Distributions de charges : linéique : dq = λ  dl 2

surfacique : dq = σ  d S 3

volumique : dq = ρ  d V 

Potentiel électrostatique  Créé par une charge ponctuelle 1 q + V 0 V ( M ) = 4πε 0 r Créé par n charges ponctuelles n 1 qi + V 0 V ( M ) = r 4 πε  i =1 0 i Créé par une distribution continue 1 dq + V 0 V ( M ) = 4πε 0 r

∑

 ∫ 

 A

u

Energie potentielle potentielle électrostatique  électrostatique  D'une charge ponctuelle : We = qV  D'un conducteur isolé : 1 1 W e = QV = CV 2  2 2 D'un système de n conducteurs : n 1 We = Qi V i i =1 2

∑

Force électrostatique  Sur une particule chargée (Coulomb) F = q E  Sur un conducteur en équilibre d2F =

F= S 

∫∫

S

2 σ  ∫∫Eext  d S =

Pd 2 S n S 

∫∫  

Expression via l'énergie (condensateur)

Conducteurs en équilibre  Champ à proximité (Th de Coulomb) : σ   E = n ε 0 Capacité d'un conducteur isolé : Q C  = σ  d 2 S où Q = V  Surface

 ∫∫ 

Coefficients d’influence (n conducteurs) : n

Qi =

∑C V ij

j

avec Cij = C ji  

 

 j =1

Capacité d’un condensateur Q C  = où U = V1 − V 2 U 

 U 2  F = − grad W  = grad C   2  e

Dipôle électrostatique  électrostatique  Moment dipolaire électrique : p= q d   Potentiel à grande distance :  p ⋅ uρ  V ( M ) = 4πε 0 ρ 2 Energie électrostatique W e = − p ⋅ E ext   Force et moment électrostatiques

(

F = grad p ⋅ E ext

)

et

Γ = p ∧ E ex t

 

Electrocinétique  Densité de courant j=

Bilan de puissance d'une portion de circuit

∑n q α

R 

A

vα 

α

B

e

α 

I

Courant  I  =

dQ dt 

=

 ∫∫   j⋅ d

2

U = V A − VB = RI − e

S 

P = UI , puissance disponible entre A et B

Section

Loi d 'Ohm locale condu duct ctiv ivité ité,, η = 1/γ rési résist   stiv ivit ité) é)  j = γ E  (γ con

PJ = RI2 , puis puissa sanc ncee diss dissip ipée ée par par eff effet et Jou Joule le P = eI, puissa puissance nce fournie fournie (génér (générate ateur ur si si e > 0) ou conso consommée mmée (récepteur (récepteur si e < 0)

Résistance d'un conducteur  B

 R =

V A − V B  I 

=

 ∫  E⋅ dl  A

 ∫∫ γ   E⋅ d

2

S 

S 

Force électromotrice (fém) entre A et B  B

e=

 ∫  A

F  q

 B

⋅ dl =

∫  E

 A

m

⋅ dl dl  

Lois de conservation • Loi des nœuds  Ientrants =

∑

•

∑ I 

sortants

Loi des mailles n

∑( R I

k k

k =1

− ek  ) = 0

1

Chapitre I- Le champ électrostatique

I.1- Notions générales 

I.1.1- Phénomènes électrostatiques électrostatiques : notion de charge électrique Quiconque a déjà vécu l’expérience désagréable d’une « décharge électrique » lors d’un contact avec un corps étranger connaît un effet électrostatique. Une autre manifestation de l’électricité statique consiste en l’attraction de petits corps légers (bouts de papier par ex.) avec des corps frottés (règles, pour continuer sur le même ex.). Ce type de phénomène est même rapporté rapport é par Thalès de Mil et, aux alentour s de 600 av. J.-C. : il avait observé ob servé l’attraction de brindilles de paille par de l’ambre jaune frotté… Le mot électricité, qu désigne l’ensemble de ces manifestations, provient de « elektron », qui signifie ambre en grec. L’étude des phénomènes électriques s’est continuée jusqu’au XIXème siècle, où s’est élaborée la théorie unifiée des phénomènes électriques et magnétiques, appelée électromagnétisme. C’est à cette époque que le mot « statique » est apparu pour désigner les phénomènes faisant l’objet de ce cours. Nous verrons plus loin, lors du cours sur le champ magnétique, pourquoi il en est ainsi. On se contentera pour l’instant de prendre l’habitude de parler de phénomènes électrostatiques. électrostatiques. Pour les mettre en évidence et pour apporter une interprétation cohérente, regardons deux expériences simples. Expérience 1 : Prenons une boule (faite de sureau ou de polystyrène, par ex.) et suspendons-la par un fil. Ensuite on approche une tige, de verre ou d’ambre, après l’avoir frottée préalablement : les deux tiges attirent la boule. Par contre, si l’on approche simultanément les deux tiges côte à côte, rien ne se passe.

Verre ou Ambre

Verre ++++++++++ --------Ambre

Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteuse d’électricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires (car capables d’annuler les effets de l’autre). On a ainsi qualifié arbitrairement de  positive l’électricité contenue dans le verre (frotté avec de la soie), et de négative celle portée par l’ambre (idem, ou encore du plastique frotté avec de la fourrure).

2 Expérience 2 : Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en contact avec une tige frottée (elles sont « électrisées »), et suspendons-les côte à côte. Si elles ont été mises en contact toutes deux avec une tige de même matériau, elles se repoussent .

++ - -

Par contre, si elles ont été mises en contact avec des tiges de matériau différent (ex. A avec du verre frotté et B avec de l’ambre frotté), alors elles s’attirent . Si, du fait de leur attraction, elles viennent à se toucher, on observe qu’elles perdent alors toute électrisation : elles prennent une position d’équilibre vis-à-vis du leur poids. Cette expérience est assez riche. On peut tout d’abord en conclure que deux corps portant une électricité de même nature (soit positive, soit négative) se repoussent, tandis qu’ils s’attirent s’ils portent des électricités contraires. Mais cette expérience nous montre également que cette électricité est capable, non seulement d’agir à distance (répulsion ou attraction), mais également de se déplacer d’un corps à un autre. Mais alors qu’est-ce qui se déplace ? Si l’on suspend les boules à une balance, même très précise, nous sommes incapables de détecter la moindre variation de poids entre le début de l’expérience et le moment où elles sont électrisées. Pourtant, le fait qu’il soit nécessaire qu’il y ait un contact entre deux matériaux pour que l’électricité puisse passer de l’un à l’autre, semble indiquer que cette électricité est portée par de la matière. On explique l’ensemble des effets d’électricité statique par l’existence, au sein de la matière, de particules portant une charge électrique q, positive ou négative, et libres de se déplacer. C’est Robert A. Millikan qui a vérifié pour la première première fois en 1909, grâce à une expérience mettant en jeu des gouttes d’huile, le fait que que toute charge électrique électrique Q est quantifiée, c’est à dire qu’elle existe seulement sous forme de multiples d’une charge élémentaire e, indivisible (Q=Ne). La particule portant cette charge élémentaire est appelée l’ électron. Dans le système d’unités international, l’unité de la charge électrique est le Coulomb (symbole C). Des phénomènes d’électricité statique mettent en jeu des nanocoulombs (nC) voire des microcoulombs (µC), tandis que l’on peut rencontrer des charges de l’ordre du Coulomb en électrocinétique.

3 L’ensemble des expériences de la physique (et en particulier celles décrites plus haut) ne peuvent s’expliquer que si la charge charge électrique élémentaire est un invariant : on ne peut ni la détruire ni l’engendrer, et ceci est valable quel que soit le référentiel. C’est ce que l’on décrit par la notion d’invariance relativiste de la charge électrique.

I.1.2- Structure de la matière La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée d’atomes. Ceux-ci sont eux-mêmes constitués d’un noyau (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel « gravite » une sorte de nuage composé d’électrons et portant l’essentiel de la masse. Ces électrons se repoussent les uns les autres mais restent confinés autour du noyau car celui-ci possède une charge électrique positive qui les attire. On attribue cette charge positive à des particules appelées protons. Cependant, le noyau atomique ne pourrait rester stable s’il n’était composé que de protons : ceux-ci ont en effet tendance à se repousser mutuellement. Il existe donc une autre sorte de particules, les neutrons (découverts en 1932 par Chadwick) portant une charge électrique nulle. Les particules constituant le noyau atomique sont appelées les nucléons.  A Dans le tableau de Mendeleev tout élément chimique X est représenté par la notation  Z   X . Le nombre A est appelé le nombre de masse : c’est le nombre total de nucléons (protons et neutrons). Le nombre Z est appelé le nombre atomique et est le nombre total de protons constituant le noyau. La charge électrique nucléaire totale est donc Q=+Ze, le cortège électronique possédant alors une charge totale Q=-Ze, assurant ainsi la neutralité électrique d’un atome. Exemple : le Carbone 126 C  possède 12 nucléons, dont 6 protons (donc 6 électrons) et 6 63 neutrons, le Cuivre 29 Cu 63 nucléons dont 29 protons (donc 29 électrons) et 34 neutrons. 64 L’atome de cuivre existe aussi sous la forme 29 Cu , c’est à dire avec 35 neutrons au lieu de 34 : c’est ce qu’on appelle un isotope.

Valeurs des charges électriques et des masses des constituants atomiques dans le Système International : Electron : qe = -e -e = -1 -1.602 10 -19 C me = 9. 9.109 10 -31 kg Proton : Neutron :

q p = +e +e = 1.602 10 -19 C

m p = 1.672 10 -27 kg

qn = 0 C

mn = 1.674 10 -27 kg

Comme on peut le remarquer, même une charge de l’ordre du Coulomb (ce qui est énorme), correspondant à environ 1018 électrons, ne produit qu’un accroissement de poids de l’ordre de −12 10 kg : c’est effectivement imperceptible. Si les électrons sont bien des particules quasi-ponctuelles, les neutrons et les protons en revanche ont une taille non nulle (inférieure à 10−15 m ). Il s’avère qu’ils sont eux-mêmes constitués de quarks , qui sont aujourd’hui, avec les électrons, les vraies briques élémentaires de la matière. Les protons ainsi que les neutrons forment ainsi une classe de particules appelée les baryons. A l’heure actuelle, l’univers (ou plutôt l’ensemble reconnu de ses manifestations) est descriptible à l’aide de quatre forces fondamentales :

4 1) 2) 3) 4)

La force nucléaire faible, responsable de la cohésion des baryons (quarks-quarks); La force nucléaire forte, responsable de la cohésion du noyau (protons-neutrons) ; La force électromagnétique, responsable de la cohésion de l’atome (électrons-nucléons) ; La force gravitationnelle, responsable de la structure à grande échelle de l’univers (cohésion des corps astrophysiques, cohésion des systèmes planétaires, des galaxies, des amas galactiques, moteur de la cosmologie).

I.1.3- Les divers états de la matière La cohésion de la matière est due à l’interaction entre ses constituants, interaction mettant en  jeu une énergie de liaison. Or, chaque constituant (atome ou molécule) possède lui-même de l’énergie cinétique liée à sa température (énergie d’agitation thermique). La rigidité d’un état particulier de la matière dépend donc de l’importance relative de ces deux énergies (cinétique et liaison). Si l’on prend un gaz constitué d’atomes (ou de molécules) neutres, alors l’interaction entre deux constituants est assez faible : elle ne se produit que lorsqu’ils sont assez proches pour qu’il y ait répulsion entre les électrons périphériques. Ainsi, chaque atome est relativement libre de se déplacer dans l’espace, au gré des « collisions » avec d’autres atomes. Si l’on refroidit ce gaz, certaines liaisons électrostatiques qui étaient négligeables auparavant peuvent devenir opérantes et l’on obtient alors un liquide. Si l’on chauffe ce gaz, de l’énergie est fournie à ses constituants, les molécules se brisent et, si l’on continue à chauffer, on peut même libérer un ou plusieurs électrons périphériques des atomes, produisant ainsi un gaz d’ions ou plasma. Dans un solide au contraire, les liaisons entre chaque atome sont beaucoup plus fortes et les atomes ne bougent quasiment pas, formant un cristal. La force de cette cohésion dépend beaucoup d’un solide à l’autre. Ainsi, elle est très puissante si les atomes mettent en commun leur cortège électronique (liaison covalente comme pour le diamant et liaison métallique, comme pour le Cuivre) et beaucoup plus faible si les cortèges électroniques de chaque atome restent intouchés (liaison ionique, comme comme pour le sel). sel). Enfin, la matière molle (caoutchouc, plastiques, textiles, mousses) possède une hiérarchie du point de vue de sa cohésion : elle est constituée d’éléments « solides » (macromolécules liées par des liaisons covalentes) interagissant entre eux par des liaisons ioniques (électrostatiques).

I.1.4- Matériaux isolants et matériaux conducteurs Un matériau est ainsi constitué d’un grand nombre de charges électriques, mais celles-ci sont toutes compensées (même nombre d’électrons et de protons). Aux températures usuelles, la matière est électriquement neutre. En conséquence, lorsque des effets d’électricité statique se produisent, cela signifie qu’il y a eu un déplacement de charges, d’un matériau vers un autre : c’est ce que l’on appelle l’électrisation d’un corps. Ce sont ces charges, en excès ou en manque, en tout cas non compensées, qui sont responsables des effets électriques sur ce corps (ex : baguette frottée).

5

Un matériau est dit conducteur parfait si, lorsqu’il devient électrisé, les porteurs de charge non compensés peuvent se déplacer librement dans tout le volume occupé par le matériau. Ce sera un isolant (ou diélectrique) parfait si les porteurs de charge non compensés ne peuvent se déplacer librement et restent localisés à l’endroit où ils ont été déposés. Un matériau quelconque se situe évidemment quelque part entre ces deux états extrêmes. Cette propriété de conduction de l’électricité sera abordée plus loin, dans le Chapitre sur l’électrocinétique. Refaisons une expérience d’électricité statique : prenons une baguette métallique par la main et frottons-la avec un chiffon. Cela ne marchera pas, la baguette ne sera pas électrisée. Pourquoi ? Etant nous-mêmes d’assez bons conducteurs, les charges électriques arrachées au chiffon et transférées à la baguette sont ensuite transférées sur nous et l’on ne verra plus d’effet électrique particulier au niveau de la baguette. Pour que cette expérience marche, il est nécessaire d’isoler électriquement la baguette (en la tenant avec un matériau diélectrique).

I.2- Force et champ électrostatiques  I.2.1- La force de Coulomb Charles Auguste de Coulomb (1736-1806) a effectué une série de mesures (à l’aide d’une balance de torsion) qui lui ont permis de déterminer avec un certain degré de précision les propriétés de la force électrostatique exercée par une charge ponctuelle q1 sur une autre charge ponctuelle q2 : 1) La force est radiale, c’est à dire dirigée selon la droite qui joint les deux charges ; 2) Elle est proportionnelle au produit des charges : attractive si elles sont de signe opposé, répulsive sinon ; 3) Enfin, elle varie comme l’inverse du carré de la distance entre les deux charges. L’expression mathématique moderne de la force de Coulomb et traduisant les propriétés cidessus est la suivante 1 q1q2 F 1 / 2 = u 2 4 πε 0 r où la constante multiplicative vaut K  =

1 4πε 0

≈ 9 10 9 SI (N m 2 C −2 ) . La constante ε 0 joue un

rôle particulier et est appelée la permittivité électrique du vide (unités : Farad/m). q2

u q1

r=M1M2

6  Remarques : 1 ) Cette expression n’est valable que pour des charges immobiles (approximation de l’électrostatique) et dans le vide. Cette loi est la base même de toute l’électrostatique. 2) Cette force obéit au principe d’Action et de Réaction de la mécanique classique. 3) A part la valeur numérique de la constante K, cette loi a exactement les mêmes propriétés vectorielles que la force de la gravitation (loi de Newton). Il ne sera donc pas étonnant de trouver des similitudes entre ces deux lois. Ordres de grandeur  • Quel est le rapport entre la force d’attraction gravitationnelle et la répulsion coulombienne entre deux électrons ? 1 F e e2 = ≈ 4 10 42 2 F g 4πε 0 G me

•

La force électrostatique apparaît donc dominante vis-à-vis de l’attraction gravitationnelle. Cela implique donc que tous les corps célestes célestes sont exactement électriquement électriquement neutres. Quelle est la force de répulsion coulombienne entre deux charges de 1 C situées à 1 km ? Fe 1 1 1 = ≈ 103 kg 2 3 g 4πε 0 (10 ) 10 C’est une force équivalente au poids exercé par une tonne !

I.2.2- Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle Soit une charge q1 située en un point O de l’espace, l’ espace, exerçant une force électrostatique sur une autre charge q2 située en un point M. L’expression de cette force est donnée par la loi de Coulomb ci-dessus. Mais comme pour l’attraction gravitationnelle, on peut la mettre sous une forme plus intéressante, F1 / 2 = q2 E1 ( M )   où 1 q1  E 1 = u 2 4πε 0 r L’intérêt de cette séparation vient du fait que l’on distingue clairement ce qui dépend uniquement de la particule qui subit la force (ici, c’est sa charge q2 , pour la gravité c’est sa masse), de ce qui ne dépend que d’une source extérieure, ici le vecteur  E1 ( M ) . M

O

u

r=OM

q

 Définition : Une particule de charge q située en O crée en tout point M de l’espace distinct  de O un champ vectoriel 1 q  E( M ) = u 2 4πε 0 r appelé champ électrostatique. L’unité est le Volt/mètre (symbole V/m).

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Cette façon de procéder découle de (ou implique) une nouvelle vision de l’espace : les particules chargées se déplacent maintenant dans un espace où existe (se trouve défini) un champ vectoriel. Elles subissent alors une force en fonction de la valeur du champ au lieu où elle se trouve.

I.2.3- Champ créé par un ensemble de charges On considère maintenant n particules de charges électriques qi , situées en des points Pi : quel est le champ électrostatique créé par cet ensemble de charges en un point M ? P2 (q2) P1 (q1)

P3 (q3) E3(M) M E4(M)

P4 (q 4)

E1(M)

E2(M)

La réponse n’est absolument pas évidente car l’on pourrait penser que la présence du champ créé par des particules voisines modifie celui créé par une particule. En fait, il n’en est rien et l’expérience montre que la force totale subie par une charge q située en M est simplement la superposition des forces élémentaires, n n n 1 qi q qi F= F i = ui = q ui = q E ( M )  2 2 4 π ε 4 π ε   r r i= 1 i =1 i =1 0 i 0 i

∑

∑

∑

où ri = Pi M , Pi M = Pi M ui et il en résulte donc n

 E( M ) =

1

∑ 4πε  i =1

0

qi ri 2

ui

est donc le champ électrostatique créé par un ensemble discret de charges. Cette propriété de superposition des effets électrostatiques est un fait d’expérience et énoncé comme le principe de superposition (comme tout principe, il n’est pas démontré). En pratique, cette expression est rarement utilisable puisque nous sommes la plupart du temps amenés à considérer des matériaux comportant un nombre gigantesque de particules. C’est simplement dû au fait que l’on ne considère que des échelles spatiales tres grandes devant les distances inter-particulaires, perdant ainsi toute possibilité de distinguer une particule de l’autre. Il est dans ce cas plus habile d’utiliser des distributions continues de charges. Soit P un point quelconque d’un conducteur et dq(P) la charge élémentaire contenue en ce point. Le champ électrostatique total créé en un point M par cette distribution de charges est E( M) =

 ∫  dE( M) distribution

avec

dE( M) = 

1

dq

4πε 0 r

2

u

8 Mathématiquement, tout se passe donc comme une charge ponctuelle dq était située en un point P de la distribution, créant au point M un champ électrostatique dE ( M ) , avec r = PM  et PM = PM u . Il s’agit évidemment d’une approximation, permettant de remplacer une somme presque infinie par une intégrale.

On définit ρ  =

dq

3 comme étant la densité volumique de charges (unités : Cm− ). Le champ

d υ  électrostatique créé par une telle distribution est donc 1 ρ   E ( M ) = u d υ  2 r πε  4 Volume 0

∫∫∫ 

Lorsque l’une des dimensions de la distribution de charges est beaucoup plus petite que les deux autres (ex : un plan ou une sphère creuse), on peut généralement faire une intégration sur dq cette dimension. On définit alors la densité surfacique de charges σ  = (unités : Cm−2 ), dS  produisant un champ total 1 σ   E ( M ) = u dS  2 4 πε  r Surface 0

∫∫ 

Enfin, si deux des dimensions de la distribution sont négligeables devant la troisième (ex : un dq fil), on peut définir une densité linéique de charges λ  = (unités : Cm−1), associé au dl champ 1 λ   E ( M ) = u dl 2 4 πε  r Longueur 0

∫ 

L’utilisation de l’une ou l’autre de ces trois expressions dépend de la géométrie de la distribution de charges considérée. L’expression générale à retenir est celle qui est encadrée.

I.2.4- Propriétés de symétrie du champ électrostatique Principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. » Du fait que le champ soit un effet créé par une distribution de charges, il contient des informations sur les causes qui lui ont donné origine. Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie d’une distribution de charges, on pourra connaître celles du champ électrostatique

9 associé. Ces propriétés sont fondamentales car elles permettent de simplifier considérablement considérablement le calcul du champ électrostatique. Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à un système physique (ex : ensemble de particules, distribution de charges) susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations. Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point. Transformations géométriques d’un vecteur  Lors d’une transformation géométrique d’un vecteur quelconque, celui-ci est transformé en son symétrique.

E

E

E

+ +++ + + + + ++ + E’

E’

--- - - - -- -- ---

E’

Transformation Transformation d’un vecteur par symétrie par rapport à un plan

Exemple d’un plan d’antisymétrie

Soit  A′( M ′) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan S à partir de  A( M ) . D’après la figure ci-dessus, on voit que 1. A′( M′) = A( M)  si  A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S ; 2.

A′( M′) = − A( M)   si  A( M ) est perpendiculaire à S.

Ces deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrie utiles.  Règles de symétrie • Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe axe Oz, les effets ne dépendent pas de z. • Symétrie axiale : si S est invariant i nvariant dans toute rotation θ  autour d’un axe Oz, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ( ρ,θ , z ) ne dépendent pas de θ . • Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques cylindriques ( ρ,θ , z ) ne dépendent que de la distance à l’axe l’ axe ρ . • Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alors ses effets exprimés en coordonnées sphériques (r,θ , ϕ ) ne dépendent que de la distance au centre r . • Plan de symétrie ∏: si S admet un plan de symétrie ∏, alors en tout point de ce plan, le champ électrostatique est contenu dans ce plan. • Plan d’antisymétrie ∏’ : si, par symétrie par rapport à un plan ∏’, S est transformé en –S, alors en tout point de ce plan, le champ électrostatique lui est perpendiculaire.

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 Remarque importante Nous verrons en magnétostatique qu’il convient de faire la distinction entre vrais vecteurs (ou vecteurs axiaux) et pseudo-vecteurs (ou vecteurs polaires), ces derniers étant définis à partir du produit vectoriel de deux vecteurs vrais. Ainsi, le champ électrostatique est un vrai vecteur tandis que le champ magnétique est un pseudo-vecteur. Tout ce qui a été dit ci-dessus n’est valable que pour les vrais vecteurs.

Quelques Compléments : 1) Pourquoi un vrai vecteur A( x1 , x2 , x3 ) est indépendant de la variable  x1 si le système S n’en dépend pas ? Soit un point M( x1 , x2 , x3 ) dont les coordonnées sont exprimées dans un système quelconque. Soit un point M′( x1 + dx1, x2 , x3 ) lui étant infiniment proche. On a alors

 ∂ A  A1 ( M′) = A1 ( x1 + dx1, x2 , x3 ) ≈ A1 ( x1 , x2 , x3 ) + 1 dx1 ∂  x1   ∂ A  A( M ′) =  A2 ( M′) = A2 ( x1 + dx1, x2 , x3 ) ≈ A2 ( x1 , x2 , x3 ) + 2 dx1 ∂  x1   ∂ A  A3 ( M′) = A3 ( x1 + dx1, x2 , x3 ) ≈  A A3 ( x1 , x2 , x3 ) + 3 dx1  ∂  x1

c’est à dire, de façon plus compacte A( M′) = A( M)  +

∂ A dx1 . Si le système physique S reste ∂  x1

invariant lors d’un changement de M en M’, alors (Principe de Curie) A′( M′) = A( M) . On a ∂  A = 0 en tout point M, ce qui signifie que A( x2 , x3 ) ne dépend pas de  x1 . On peut donc ∂  x1 suivre le même raisonnement pour chacune des autres coordonnées. coordonnées. 2) Pourquoi un vrai vecteur vecteur appartient nécessairement nécessairement à un plan ∏ de symétrie ? Quel que soit M de S, soit M’ son symétrique par rapport à ∏. Ce plan étant un plan de symétrie, cela signifie que f(M)=f(M’) pour toute fonction de M. Ceci est en particulier vrai pour chaque composante Ai ( M) = Ai ( M′)  du vecteur  A( M ) . On a donc A′( M′) = A( M)  ce qui implique que  A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que ∏.

3) Pourquoi un vrai vecteur est nécessairement perpendiculaire à un plan ∏’ d’antisymétrie ? Ce plan étant un plan d’antisymétrie, on a f(M’)=-f(M) pour toute fonction de M. Ceci étant vrai pour chaque composante du vecteur  A( M ) , on a donc Ai ( M′) = − Ai ( M)  , ce qui implique que  A( M ) est perpendiculaire à ∏’.

11

Chapitre II- Lois fondamentales de l’électrostatique II.1- Flux du champ électrostatique  II.1.1- Notion d’angle solide La notion d’angle solide est l’extension naturelle dans l’espace de l’angle défini dans un plan. Par exemple, le cône de lumière construit par l’ensemble des rayons lumineux issus d’une lampe torche est entièrement décrit par la donnée de deux grandeurs : la direction (une droite) et l’angle maximal d’ouverture des rayons autour de cette droite. On appelle cette droite la génératrice du cône et l’angle en question, l’angle au sommet. dΩ

r

O

dS

α

O

: l’angle solide élémentaire d Ω, délimité par un cône coupant un élément de surface élémentaire dS située à une distance r de son sommet O vaut dS  d Ω = 2 r

Définition

Cet angle solide est toujours positif et indépendant de la distance r. Son unité est le « stéradian » (symbole sr). En coordonnées sphériques, la surface élémentaire à r constant vaut dS = r 2 sin θ dθ dϕ   . L’angle solide élémentaire s’écrit alors dΩ = sin θ dθ d ϕ . Ainsi, l’angle solide délimité par un cône de révolution, d’angle au sommet α vaut 2π

α 

Ω = ∫ dΩ =  ∫ dϕ ∫ sin θ d θ = 2π (1 − cos α )   0

0

Le demi-espace, engendré avec α=π/2 (radians), correspond donc à un angle solide de 2 π stéradians, tandis que l’espace entier correspond à un angle solide de 4 π (α=π).

O

θ

dS’

n

dS

D’une façon générale, le cône (ou le faisceau lumineux de l’exemple ci-dessus) peut intercepter une surface quelconque, dont la normale n fait un angle θ avec la génératrice de vecteur directeur u . L’angle solide élémentaire est alors défini par dS ⋅ u dS n ⋅ u dS cos θ  dS ′ d Ω = = = = 2 r2 r2 r2 r où dS’ est la surface effective (qui, par exemple, serait « vue » par un observateur situé en O).

12

II.1.2- Théorème de Gauss On considère maintenant une charge ponctuelle q située en un point O de l’espace. Le flux du champ électrostatique  E , créé par cette charge, à travers une surface élémentaire quelconque orientée est par définition dΦ = E ⋅ dS = E ⋅ n dS   Par convention, on oriente le vecteur unitaire n , normal à la surface dS, vers l’extérieur, c’est à dire dans la direction qui s’éloigne de la charge q. Ainsi, pour q>0, le champ  E  est dirigé dans le même sens que n et l’on obtient un flux positif. A partir de l’expression du champ créé par une charge ponctuelle, on obtient alors q u⋅n q = d Φ = dS  d Ω 2 4πε 0 r 4πε 0   c’est à dire un flux dépendant directement de l’angle solide sous lequel est vue la surface et non de sa distance r (notez bien que d Ω>0, q pouvant être positif ou négatif). Ce résultat est une simple conséquence de la décroissance du champ électrostatique en 1 / r 2 : on aurait le même genre de résultat avec le l e champ gravitationnel. n2

n3

n1 q

dS1

2

dS3

dS2

dS1

dΩ

n1

dΩ 1

Que se passe-t-il lorsqu’on s’intéresse au flux total à travers une surface (quelconque) fermée ? Prenons le cas illustré dans la figure ci-dessous. On a une charge q située à l’intérieur de la surface S (enfermant ainsi un volume V), surface orientée (en chaque point de S, le vecteur n est dirigé vers l’extérieur). Pour le rayon 1, on a simplement d Φ1 =

q 4πε 0

d Ω

mais le rayon 2 traverse plusieurs fois la surface, avec des directions différentes. On aura alors une contribution au flux

13

d Φ 2 =

= =

q  u ⋅ n1



4πε 0  r1

q 4πε 0

q 4πε 0

2

dS 1 +

(dΩ −

u ⋅ n2 r2 2

dΩ

dS 2 +

u ⋅ n3 r32

 

dS 3 

+ d Ω)

d Ω

Ce résultat est général puisque, la charge se trouvant à l’intérieur de S, un rayon dans une direction donnée va toujours traverser S un nombre impair de fois. En intégrant alors sur toutes les directions (c’est à dire sur les 4 π stéradians), on obtient un flux total

Φ = ∫∫  E ⋅ dS = S 

q

ε 0

En vertu du principe de superposition, ce résultat se généralise aisément à un ensemble quelconque de charges. Théorème de Gauss : le flux du champ électrique à travers une surface fermée orientée quelconque est égal, dans le vide, à 1 / ε 0 fois la charge électrique contenue à l’intérieur de cette surface Q Φ = E⋅ dS = int ε 0 S 

 ∫∫ 

Remarques : 1. Du point de vue physique, le théorème de Gauss fournit le lien entre le flux du champ électrostatique et les sources du champ, à savoir les charges électriques. 2. La démonstration précédente utilise la loi de Coulomb qui, elle, est un fait expérimental et n’est pas démontrée. Inversement, on peut retrouver la loi de Coulomb à partir du théorème de Gauss : c’est ce qui est fai t dans l’électromagnétisme, l’électr omagnétisme, dans lequel leq uel le théorème de Gauss constitue en fait une loi fondamentale, non démontrable (l’une des quatre équations de Maxwell).

II.1.3- Exemples d’applications Le théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour calculer le champ  E  lorsque celuici possède des propriétés de symétrie particulières. Celles-ci doivent en effet permettre de calculer facilement le flux Φ. Comme le théorème de Gauss est valable pour une surface quelconque, il nous suffit de trouver une surface S adaptée, c’est à dire respectant les propriétés de symétrie du champ, appelée « surface de Gauss ». Champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé 

On considère un plan infini ∏ portant une charge électrique σ uniforme par unité de surface. Pour utiliser Gauss, il nous faut d’abord connaître les propriétés de symétrie du champ  E . Tous les plans perpendiculaires au plan infini ∏ sont des plans de symétrie de celui-ci :  E  appartient aux plans de symétrie, il est donc perpendiculaire à ∏. Si ce plan est engendré par

14 les vecteurs

( i, j ) alors

E = E z ( x, y, z) k .  Par ailleurs, l’invariance par translation selon x et y

nous fournit E = E z ( z) k .  Le plan ∏ est lui-même plan de symétrie, donc E(z) est impaire. z n S1

n

n

∏

S2

n

Etant donné ces propriétés de symétrie, la surface de Gauss la plus adaptée est un cylindre de sections perpendiculaires au plan et situées à des hauteurs symétriques.

Φ= S

∫E∫⋅ dS= ∫E∫⋅ dS+ ∫E∫⋅ dS+ ∫E∫⋅  dS   S1

S2

S L

 

= E( z) S − E( − z) S + 0 = 2 ES   σ S  ε0 ε 0 S  ε 0 Il s’ensuit que le champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé vaut σ   E  = 2ε 0  Remarques : 1. Le champ ne varie pas avec la distance, ce qui est naturel car le plan est supposé infini . 2. On peut encore appliquer ce résultat pour une surface quelconque chargée uniformément. Il suffit alors d’interpréter E comme le champ au voisinage immédiat de la surface : suffisamment près, celle-ci peut être assimilée à un plan infini.

=

Qint

=

1

 ∫∫ 

σ dS  =

Champ créé par une boule uniformément chargée

On considère une boule (sphère pleine) de centre O et rayon R, chargée avec une distribution volumique de charges ρ. Cette distribution possédant une symétrie sphérique, le champ électrostatique qui en résulte aura la même symétrie, donc E = E( r) ur . La surface de Gauss adaptée est simplement une sphère de rayon r et le théorème de Gauss nous fournit

∫∫

Φ= S

=

∫∫  

E( r) dS = E( r) 4 π  r2

E ⋅ dS = Qint

ε0

S 

=

1

ε 0

 ∫∫∫ ρ d V  V 

Lorsque r
15 4

π r 3 ρ 

ρ   E  = 3 2 = r 4π r ε 0 3ε 0 Lorsque r>R, la sphère de Gauss enferme un volume V supérieur à celui de la boule. Mais la distribution de charges n’est non nulle que jusqu’en r=R, ce qui fournit donc un champ 4 π  R3 ρ  ρ   R3 Q 3 = =  E  = 2 2 2 4π r ε 0 3ε 0 r 4π ε 0 r où Q est la charge totale portée par la boule. On vient ainsi de démontrer, sur un cas simple, qu’une distribution de charges à symétrie sphérique produit à l’extérieur le même champ qu’une charge ponctuelle égale, située en O.

II.1.4- Lignes de champ Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faire une représentation spatiale d’un champ de vecteurs.  Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C définie dans l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.

E

E

C 

E

Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ électrostatique C. Le fait que le champ  E  soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit : E∧ dl= 0

En coordonnées cartésiennes, dl = dx i + dy j + dz k  et les lignes de champ sont calculées en résolvant dx dy dz

=

=

 E  x  E  y  E  z

En coordonnées cylindriques dl = dρ uρ + ρdθ  uθ  + dz u z et l’équation des lignes de champ devient d ρ  E ρ 

=

ρd θ  dz =  E θ   E  z

En coordonnées sphériques, dl = dr dr ur + rdθ uθ  + r sin θdϕ  uϕ  et on a dr rd θ r sin θd ϕ   E r

=

 E θ 

=

 E ϕ 

16 Soit un contour fermé C tel que le champ électrostatique y soit tangent, c’est à dire tel que E⊥ dl où dl est un vecteur élémentaire de C. En chaque point point de C passe donc une ligne de champ particulière. L’ensemble de toutes les lignes de champ dessine alors une surface dans l’espace, une sorte de tube. Par construction, le flux du champ électrostatique est nul à travers la surface latérale du tube, de telle sorte que le flux est conservé : ce qui rentre à la base du tube ressort de l’autre coté. On appelle un tel « rassemblement » de lignes de champ un tube de flux.

II.2- Circulation du champ électrostatique  II.2.2- Notion de potentiel électrostatique On va démontrer ci-dessous qu’il existe un scalaire V, appelé potentiel électrostatique, définit dans tout l’espace et qui permet de reconstruire le champ électrostatique  E . Outre une commodité de calcul (il est plus facile d’additionner deux scalaires que deux vecteurs), l’existence d’un tel scalaire traduit des propriétés importantes du champ électrostatique. Mais tout d’abord, est-il possible d’obtenir un champ de vecteurs à partir d’un champ scalaire ? Prenons un scalaire V(M) défini en tout point M de l’espace (on dit un champ scalaire). Une variation dV de ce champ lorsqu’on passe d’un point M à un point M’ infiniment proche est alors fourni par la différentielle totale 3 ∂ V  dV ( M ) = dxi = grad V ⋅ dO dOM   ∂   x i =1 i

∑

où le vecteur gradV , est le gradient du champ scalaire V et constitue un champ de vecteurs défini partout. Ses composantes dans un système de coordonnées donné sont obtenues très simplement. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, on a dOM = dx i + dy j + dz k  et ∂ V  ∂ V  ∂ V  dV  = dx + dy + dz ∂  x ∂  y ∂  z d’où l’expression suivante suivante pour le gradient en coordonnées cartésiennes cartésiennes  ∂ V 

 ∂  x    ∂ V  grad grad V  =   ∂  y     ∂ V   ∂  z  En faisant de même en coordonnées cylindriques et sphériques on trouve respectivement  ∂ V    ∂ V  

 ∂ρ     1 ∂  V   gradV  =   ρ  ∂θ    ∂  V       ∂  z 

et

 ∂ r    1 ∂ V    gradV  =  r ∂θ     1 ∂ V     r sin θ  ∂ϕ 

17 Un déplacement dOM = MM ′  le long d’une courbe (ou surface) définie par V=Constante correspond à dV=0, ce qui signifie que gradV  est un vecteur qui est perpendiculaire en tout point à cette courbe (ou surface). Par ailleurs, plus les composantes du gradient sont élevées et plus il y a une variation rapide de V. Or, c’est bien ce qui semble se produire, par exemple, au voisinage d’une charge électrique q: les lignes de champ électrostatique sont des droites qui convergent (q<0) ou divergent (q>0) toutes vers la charge. Il est donc tentant d’associer le champ  E  (vecteur) au gradient d’une fonction scalaire V. En fait, depuis Newton (1687) et sa loi de gravitation universelle, de nombreux physiciens et mathématiciens s’étaient penché sur les propriétés de cette force radiale en 1 / r 2 . En particulier Lagrange avait ainsi introduit en 1777 une fonction scalaire appelée potentiel, plus « fondamentale » puisque la force en dérive. dérive. C’est Poisson qui qui a introduit le potentiel électrostatique en 1813, par analogie avec la loi de Newton. Définition

: le potentiel électrostatique V est relié au champ électrostatique  E  par E= −

grad V  

 Remarques : 1. Le signe moins est une convention liée à celle adoptée pour l’énergie électrostatique (cf  chapitre IV). 2 . La conséquence de cette définition du potentiel est dV ( M ) = − E ⋅ dOM   pour un déplacement infinitésimal quelconque. 3.  Les lignes de champ électrostatique sont perpendiculaires aux courbes équipotentielles .

 Définition : la circulation du champ électrostatique le long d’une courbe allant de A vers B est   B

 B

 ∫ E⋅ dl = − ∫ dV = V( A) − V( B)  A

E

V1

V2 < V1

 A

 Remarques : 1 . Cette circulation est conservative : elle ne dépend pas du chemin suivi. 2. La circulation du champ électrostatique sur une courbe fermée (on retourne en A) est nulle. On verra plus loin que ceci est d’une grande importance en électrocinétique. 3 . D’après la relation ci-dessus, le long d’une ligne de champ, c’est à dire pour E ⋅ dl > 0 on a V(A)>V(B).   Les lignes de champ électrostatiques vont dans le sens des potentiels décroissants.

18

II.2.2- Potentiel créé par une charge ponctuelle Nous venons de voir l’interprétation géométrique du gradient d’une fonction scalaire et le lien avec la notion de circulation. Mais nous n’avons pas encore prouvé que le champ électrostatique pouvait effectivement se déduire d’un potentiel V ! z

M

E(M) M’

r

θ

MM’=dOM

O y

ϕ x

Considérons donc une charge ponctuelle q située en un point O. En un point M de l’espace, cette charge crée un champ électrostatique  E . Le potentiel électrostatique est alors donné par q u ⋅ dr q dr =− dV ( M ) = − E ⋅ dOM  = − 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r  c’est à dire, après intégration suivant r, 1 q V ( M ) = + V 0 4πε 0 r  Remarques : 1. La constante d’intégration est en général choisie nulle (le potentiel s’annule à l’infini) 2. L’unité du potentiel est le Volt . En unités du système international (SI) le Volt vaut [V ] = [ E L] = M L2 T −3 I − 1 3. Si l’on veut se former une représentation du potentiel, on peut remarquer qu’il mesure le degré d’électrification d’un conducteur (voir Chapitre III). Il y a en fait une analogie formelle entre d’un coté, potentiel V et température T d’un corps, et de l’autre, entre charge Q et chaleur déposée dans ce corps.

II.2.3- Potentiel créé par un ensemble de charges Considérons maintenant un ensemble de n charges ponctuelles qi distribuées dans tout n

l’espace. En vertu du principe de superposition, le champ électrostatique total  E =

∑ E  est la i

i =1

somme vectorielle des champs  E i créés par chaque charge qi . On peut donc définir un n

potentiel électrostatique total V ( M ) =

∑ V ( M )   tel que i

E= −

grad Vsoit   encore vérifié. En

i =1

utilisant l’expression du potentiel créé par une charge unique, on obtient n

V ( M ) =

1

∑ 4πε  i =1

0

qi ri

où ri est la distance entre la charge qi et le point M.

+ V 0

19 Lorsqu’on s’intéresse à des échelles spatiales qui sont très grandes par rapport aux distances entre les charges qi , on peut faire un passage à la limite continue et remplacer la somme discrète par une intégrale

∑ q (P ) i

i

∫ dq( P) où P est un point courant autour duquel se

→

i

trouve une charge « élémentaire » dq. Le potentiel électrostatique créé par une distribution de charges continue est alors 1 dq V ( M ) = + V 0 4πε 0 r

 ∫ 

où r=PM est la distance entre le point M et un point P quelconque de la distribution de charges.  Remarques : 1. Pour des distributions de charges linéique λ, surfacique σ et volumique ρ, on obtient respectivement 1 λ dl + V 0 V ( M ) = r 4 πε 0

 ∫ 

V ( M ) =

σ  dS   ∫∫  r 4 πε  1

+ V 0

0

V ( M ) =

ρ d V   ∫∫∫  r 4 πε  1

+ V 0

0

2 . Noter que l’on ne peut pas évaluer évaluer le potentiel (ni le champ d’ailleurs) sur une particule en utilisant l’expression discrète (c’est à dire pour ri = 0 ). Par contre, on peut le faire avec une distribution continue : c’est dû au fait que dq/r converge lorsque r tend vers zéro.

II.3- Le dipôle électrostatique  II.3.1- Potentiel électrostatique créé par deux charges électriques Il existe dans la nature des systèmes globalement électriquement neutres mais dont le centre de gravité des charges négatives n’est pas confondu avec celui des charges positives. Un tel système peut souvent être décrit (on dit modélisé) modélisé) en première approximation par deux charges électriques ponctuelles, +q et –q situées à une distance d=2a l’une de l’autre. On appelle un tel système de charges un dipôle électrostatique.  Définition : on appelle moment dipolaire électrique la grandeur p = qd i = 2 aq i z

(-q)

p

(+q)

-a

a p

p=0

H+

Cl-

C+

O-

O-

x

C+

O-

H+ p

OH+

Les molécules telles que HCL,CO,H20,CO2 constituent des exemples de dipôles électrostatiques.

20

Connaître l’effet (la force) électrostatique que ces deux charges créent autour d’elles nécessite de calculer le champ électrostatique. Habituellement, nous aurions appliqué le principe de superposition et calculé ainsi la somme vectorielle des deux champs. L’avantage du potentiel est de permettre d’arriver au même résultat sans se fatiguer. M y

ρ−

ρ+ ρ θ -a

x

a p

D’après la section précédente, le potentiel créé en un point M repéré par ses coordonnées polaires ( ρ,θ ) est simplement V ( M ) = V+ q ( M ) + V− q ( M )  

 1 1  q ρ− − ρ +  − = 4πε 0  ρ+ ρ−  4πε 0   ρ + ρ − q

=

où l’on a choisi arbitrairement V=0 à l’infini. Or, ρ ± = ρ  m a i . Lorsqu’on ne s’intéresse qu’à l’action électrostatique à grande distance, c’est à dire à des distances ρ>>a, on peut faire un développement développement limité de V. Au premier ordre en a / ρ on obtient

(

ρ± = ρ± ⋅ ρ±

1/ 2

)

 a ≈ ρ1  m 2 2 ρ ⋅ ρ  

 i 

1/ 2

≈ ρ m a cosθ 

c’est à dire ρ− − ρ + ≈ 2 a cos θ  et ρ − ρ+ ≈ ρ 2 . Le potentiel créé à grande distance par un dipôle électrostatique vaut donc V ( M ) =

2 aq cosθ  4πε 0 ρ

2

=

p ⋅ uρ  2

4πε 0 ρ  

II.3.2- Champ créé à grande distance Pour calculer le champ électrostatique, il nous suffit maintenant d’utiliser coordonnées cylindriques. On obtient ainsi

E= −

grad Ven  

21

∂ V 2 p cosθ    =  E ρ  = −  ∂ρ  4πε 0 ρ 3    1 sin V p ∂  θ    E  =  E θ  = − = 3  ρ  ∂θ  4πε 0 ρ     ∂ V    =0  E  z = −    ∂  z Par construction, le dipôle possède une symétrie de révolution autour de l’axe qui le porte (ici l’axe Ox) : le potentiel ainsi que le champ électrostatiques possèdent donc également cette symétrie. Cela va nous aider à visualiser les lignes de champ ainsi que les équipotentielles. Par exemple, le plan médiateur défini par θ = π/2 (x=0) est une surface équipotentielle V=0. Les équipotentielles sont des surfaces (dans l’espace ; dans le plan ce sont des courbes) définies par V = Constante = V 0 , c’est à dire p cosθ 

ρ  =

4πε 0V 0

L’équation des lignes de champ est obtenue en résolvant d ρ  E ρ 

=

ρd θ  E θ 

⇒

dρ   2 cosθ d θ 

ρ 

=

sin θ 

ρ = K sin 2 θ  où K est une constante d’intégration dont la valeur (arbitraire) définie la ligne de champ.

II.3.3- Complément : développements multipolaires Lorsqu’on a affaire à une distribution de charges électriques et qu’on ne s’intéresse qu’au champ créé à une distance grande devant les dimensions de cette distribution, on peut également utiliser une méthode de calcul approché du potentiel. Le degré de validité de ce calcul dépend directement de l’ordre du développement limité utilisé : plus on va à un ordre élevé et meilleure sera notre approximation. Par exemple, l’expression du dipôle ci-dessus n’est valable que pour ρ>>a, mais lorsque ρ tend vers a, il faut prendre en compte les ordres supérieurs, les termes dits multipolaires. Prenons le cas d’une distribution de charges ponctuelles qi situées en ri = OPi . Le potentiel créé en un point M repéré par le vecteur position r = OM  (coordonnées sphériques) est n

V (r ) =

1

∑ 4πε  i =1

0

qi r − ri

En supposant r >> ri , on peut montrer facilement que ce potentiel admet le développement suivant n 1  qi qi ri cosθ i qi ri 2  2 3 c o s 1 . . . + θ  − + V (r ) ≈ ( )  +  i 2 3  4πε 0 i =1  r 2r r

∑

22 où θ i est l’angle entre r et ri . Faire un développement multipolaire d’une distribution quelconque de charges consiste à arrêter le développement limité à un ordre donné, dépendant du degré de précision souhaité. Dans le développement ci-dessus, le premier terme (ordre zéro ou monopolaire) correspond à assimiler la distribution à une charge totale placée en O. Cela peut être suffisant vu de très loin, si cette charge totale est non nulle. Dans le cas contraire (ou si l’on souhaite plus de précision) on obtient le deuxième terme qui peut se mettre sous la forme  p ⋅ ur 4πε 0 r

où le vecteur

p=

∑

i

2

qi ri est le moment dipolaire associé à la distribution de charges,

généralisation à plusieurs charges du moment dipolaire précédent. Lorsqu’on souhaite encore plus de précision (ou si  p = 0 ) il faut prendre en compte les termes d’ordre supérieur. Le terme suivant est la contribution quadrupolaire, décrivant la façon dont les charges positives et négatives se distribuent autour de leurs barycentres respectifs.

23

Chapitre III- Conducteurs en équilibre

III.1- Conducteurs isolés  III.1.1- Notion d’équilibre électrostatique Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés uniquement aux charges électriques et à leurs effets. Que se passe-t-il pour un corps conducteur dans lequel les charges sont libres de se déplacer? Prenons une baguette en plastique et frottons-la. On sait qu’elle devient électrisée parce qu’elle devient alors capable d’attirer de petits bouts de papier. Si on la met en contact avec une autre baguette, alors cette deuxième devient également électrisée, c’est à dire atteint un certain degré d’électrisation. Au moment du contact des deux baguettes, des charges électriques passent de l’une à l’autre, modifiant ainsi le nombre de charges contenues dans chacune des baguettes, jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint. Comment définir un tel équilibre ?  Définition : l’équilibre électrostatique d’un conducteur est atteint lorsque aucune charge électrique ne se déplace plus à l’intérieur du conducteur. Du point de vue de chaque charge élémentaire, cela signifie que le champ électrostatique total auquel elle est soumise est nul. Comme le champ dérive d’un potentiel, cela implique qu’un conducteur à l’équilibre électrostatique est équipotentiel.

 Remarques : 1 . Si le conducteur est chargé, le champ électrostatique total est (principe de superposition) la somme du champ extérieur et du champ créé par la distribution de charges contenues dans le conducteur. Cela signifie que les charges s’arrangent (se déplacent) de telle sorte que le champ qu’elles créent compense exactement, en tout point du conducteur, le champ extérieur. 2. Nous voyons apparaître ici une analogie possible avec la thermodynamique : Equilibre électrostatique  Equilibre thermodynamique Potentiel électrostatique  Température Charges électriques  Chaleur En effet, à l’équilibre thermodynamique, deux corps de températures initialement différentes mis en contact, acquièrent la même température finale en échangeant de la chaleur (du plus chaud vers le plus froid). Dans ce cours, tous les conducteurs seront considérés à l’équilibre électrostatique.

24

III.1.2- Quelques propriétés des conducteurs en équilibre (a) Lignes de champ Nous avons vu que, à l’intérieur d’un conducteur (chargé ou non) le champ électrostatique total est nul. Mais ce n’est pas forcément le cas à l’extérieur, en particulier si le conducteur est chargé. Puisqu’un conducteur à l’équilibre est équipotentiel, cela entraîne alors que, sa surface étant au même potentiel, le champ électrostatique est normal à la surface d’un conducteur. Par ailleurs, aucune ligne de champ ne peut « revenir » vers le conducteur. En effet, la circulation du champ le long de cette ligne impose  B

 ∫ E ⋅ dl

V ( A) − V ( B) =

 A

Si les points A et B appartiennent au même conducteur, alors la circulation doit être nulle, ce qui est impossible le long d’une ligne de champ (où, par définition  E  est parallèle à dl ). Impossible + + +

+

+

+ + + +

++

+

+

+ +

E=0 V=Cst

+ + +

+ +

+

+

+

+

+

+

+

(b) Distribution des charges Si un conducteur est chargé, où se trouvent les charges non compensées? Supposons qu’elles soient distribuées avec une distribution volumique ρ. Prenons un volume quelconque V situé à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique. En vertu du théorème de Gauss, on a ρ  E⋅ dS= d =  0 V  ε  S V  0

∫∫

∫∫∫  

puisque le champ  E  est nul partout. Cela signifie que ρ  = 0 (autant de charges + que de charges -) et donc, qu’à l’équilibre, aucune charge non compensée ne peut se trouver dans le volume occupé par le conducteur. Toutes les charges non compensées se trouvent donc nécessairement localisées à la surface du conducteur. Ce résultat peut se comprendre par l’effet de répulsion que celles-ci exercent les unes sur les autres. A l’équilibre, les charges tendent donc à se trouver aussi éloignées les unes des autres qu’il est possible de le faire.

(c) Théorème de Coulomb En un point M infiniment voisin de la surface S d’un conducteur, le champ électrostatique  E  est normal à S. Considérons une petite surface S ext  parallèle à la surface S du conducteur. On peut ensuite construire une surface fermée ∑ en y adjoignant une surface rentrant à l’intérieur du conducteur S int ainsi qu’une surface latérale S  L . En appliquant le théorème de Gauss sur cette surface fermée, on obtient

25

Φ= Σ

=

∫E∫ ⋅ dS = ∫E∫ ⋅ dS+ ∫E∫ ⋅ dS+ ∫E∫⋅ dS = ∫E∫⋅ d  S =

Qint

ε0

S

=

1

ε 0

 ∫∫ 

L

σ dS  =

S  M 

S

S int

ext ex

S

  ext

E Sext  

 

σ S  M  ε 0

où S  M  est la surface dessinée par le tube de flux passant par S ext , donc S M= S  ext(on peut   choisir ces surfaces aussi petites que l’on l’ on veut). Théorème : le champ électrostatique à proximité immédiate d’un conducteur de densité  surfacique σ  vaut  σ   E = n ε 0 où n est un vecteur unitaire normal au conducteur et dirigé vers l’extérieur.

Lorsque le champ au voisinage d’un conducteur dépasse une certaine limite, une étincelle est observée : le milieu entourant le conducteur devient alors conducteur. Ce champ maximal, de l’ordre de 3 Méga Méga V/m dans l’air, est est appelé champ disruptif . Il correspond à l’ionisation des particules du milieu (molécules dans le cas de l’air).

(d) Pression électrostatique Soient deux points M et M’ infiniment proches de la surface d’un conducteur de densité surfacique σ , M situé à l’extérieur tandis que M’ est situé à l’intérieur. Considérons maintenant une surface élémentaire dS située entre ces deux points. Soit  E 1 le champ créé en M par les charges situées sur dS et  E 2 le champ créé en M par toutes les autres charges situées à la surface du conducteur. Soient  E 1′ et  E 2′ les champs respectifs en M’. E1

Extérieur

dS

E2 M M’

Intérieur E’1

E’2

On a alors les trois propriétés suivantes 1. E2 ( M) = E2 ( M′)  car M et M’sont infiniment proches. 2.  E 2′ = − E 1′ car le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur est nul. 3.

considérée comme un plan E1 ( M) = − E1 ( M′)  car  E 1 est symétrique par rapport à dS, considérée puisque M et M’ peuvent être infiniment rapprochés.

Grâce à ces trois propriétés, on en déduit que  E2 = E 1 , c’est à dire que la contribution de l’ensemble du conducteur est égale à celle de la charge située à proximité immédiate. Comme

26

le champ total vaut E = E1 + E2 =

σ 

n (théorème de Coulomb), on en déduit que le champ ε 0 créé par l’ensemble du conducteur (à l’exclusion des charges situées en dS) au voisinage du σ  point M est  E2 = n. 2ε 0 Autrement dit, la force électrostatique dF  subie par cette charge dq = σ dS  de la part de l’ensemble des autres charges du conducteur vaut σ  σ 2 dF = dq E2 = σ dS n= n dS   2ε 0 2ε 0 Quel que soit le signe de σ , la force est normale et toujours dirigée vers l’extérieur du conducteur. Cette propriété est caractéristique d’une pression, force par unité de surface. Ainsi, la pression électrostatique subie en tout point d’un conducteur vaut σ 2 P= 2ε 0

Cette pression est en général trop faible pour arracher les charges de la surface du conducteur. Mais elle peut déformer ou déplacer celui-ci, les charges communiquant au solide la force électrostatique qu’elles subissent.

(e) Pouvoir des pointes Cette expression décrit le fait expérimental que, à proximité d’une pointe, le champ électrostatique est toujours très intense. En vertu du théorème de Coulomb, cela signifie que la densité surfacique de charges est, au voisinage d’une pointe, très élevée.

σ1

σ2 R1

R2

On peut aborder ce phénomène avec deux sphères chargées de rayons différents, reliées par un fil conducteur et placées loin l’une de l’autre. On peut donc considérer que chaque sphère est isolée mais qu’elle partage le même potentiel V. Cela implique alors σ 1dS  σ 2 dS  1 1 V1 = V 2 ⇔ = 4π ε 0 S   R1 4π ε 0 S   R2

 ∫∫ 

 ∫∫ 

1

⇔

σ 1 R1 ε 0

=

2

σ 2 R2 ε 0

σ 1  R2 = σ 2  R1 Donc, plus l’une des sphères aura un rayon petit et plus sa densité de charges sera élevée. Tout se passe comme si les charges « préféraient » les zones à forte courbure. A priori, cela semble en contradiction avec l’idée naïve que les charges non compensées ont tendance à se repousser mutuellement. Le résultat ci-dessus nous montre l’effet d’une pointe (accumulation

⇔

27 de charges), mais ne nous offre aucune explication de ce phénomène. Qu’est ce qui, physiquement, a permis une « accumulation » de charges sur une pointe ? Prenons une sphère chargée placée seule dans l’espace. Se repoussant mutuellement, les charges vont produire une distribution surfacique uniforme. Maintenant, si l’on fait un creux (zone concave), les charges situées au fond du creux « voient » non seulement le champ électrostatique créé par les charges immédiatement voisines, mais également celui créé par les charges situées sur les bords du creux. Ainsi, au fond du creux, le champ total est plus fort et repousse les charges vers l’extérieur, vidant ainsi le creux de charges. Faisons maintenant une pointe (zone convexe). Là, le phénomène contraire se produit. Quand une charge se retrouve, sous l’effet répulsif des autres charges, repoussée vers la pointe, le champ qu’elle-même crée devient moins important (puisqu’elle est éloignée des autres charges) vis-à-vis des charges restées sur la partie uniforme de la sphère. Cela permet ainsi à une autre charge de prendre sa place : cette nouvelle charge se déplace donc et se retrouve elle-même repoussée sur la pointe. Le conducteur atteint l’équilibre électrostatique lorsque le champ répulsif créé par toutes les charges accumulées au niveau de la pointe compense celui créé par le charges restées sur le « corps » du conducteur.

III.1.3- Capacité d’un conducteur isolé Nous avons vu qu’il qu’il était possible de faire une analogie entre la température d’un corps et le potentiel électrostatique. Or, pour une quantité de chaleur donnée, la température d’un corps dépend en fait de sa capacité calorifique. Il en va de même pour le potentiel électrostatique : il dépend de la capacité du corps à « absorber » les charges électriques qu’il reçoit. On peut donc suivre cette analogie et définir une nouvelle notion, la capacité électrostatique : Capacité électrostatique  Capacité calorifique Soit un conducteur à l’équilibre électrostatique isolé dans l’espace, chargé avec une distribution surfacique σ et porté au potentiel V. Celui-ci s’écrit 1 σ ( P) dS  V ( M ) = 4π ε 0 surface PM 

 ∫∫ 

en tout point M du conducteur, le point P étant un point quelconque de sa surface. Par ailleurs, la charge électrique totale portée par ce conducteur s’écrit Q=

 ∫∫ σ  dS

Surface

Si on multiplie la densité surfacique par un coefficient constant a, on obtient une nouvelle charge totale Q’=aQ et un nouveau potentiel V’=aV. On a ainsi un nouvel état d’équilibre électrostatique, parfaitement défini. On voit donc que, quoi qu’on fasse, tout état d’équilibre d’un conducteur isolé (caractérisé par Q et V) est tel que le rapport Q/V reste constant (cela résulte de la linéarité de Q et V en fonction de σ).  Définition : La capacité électrostatique d’un conducteur à l’équilibre est définie par Q C  = V  où Q est la charge électrique totale du conducteur porté au potentiel V. L’unité de la capacité  est le Farad (symbole F).

28  Remarques : 1. La capacité C d’un conducteur est une grandeur toujours positive. Elle ne dépend que des caractéristiques géométriques et du matériau dont est fait f ait le conducteur. 2. Les unités couramment utilisées en électrocinétique sont le nF ou pF. 3. Exemple : capacité d’une sphère de rayon R, chargée avec une densité surfacique σ. V = V (O) = C  =

Q V 

σ ( P) dS 

1 4π ε 0

surface

∫∫

OP

=

4π ε 0

∫∫  ∫∫ =  

σ  dS 

1 surface

 R

σ  dS 

4π ε 0 R

= 4π ε 0 R

III.1.4- Superposition des états d’équilibre Nous avons vu qu’un conducteur isolé, à l’équilibre électrostatique, est caractérisé par sa charge Q et son potentiel V, qui sont reliés entre eux par la capacité C du conducteur. Inversement , étant donné un conducteur de capacité C, la donnée de sa distribution surfacique σ détermine complètement son état d’équilibre, puisque Q =

 ∫∫ σ  dS et V=Q/C.

Surface

Soit maintenant un autre état d’équilibre du même conducteur défini par une densité surfacique σ ’. Le conducteur porte alors une charge Q’ et a un potentiel V’. Du fait de la linéarité de Q et V avec σ , toute combinaison linéaire de σ et σ ’ est encore un état d’équilibre : Q′′ = aQ + bQ′  σ ′′ = aσ + bσ ′ ⇔  Q′′ = aV + bV ′  V ′′ =  C  On a donc ici un résultat qui nous sera utile plus tard : toute superposition d’états d’équilibre (d’un conducteur ou d’un ensemble de conducteurs) est également un état d’équilibre.

III.2- Systèmes de conducteurs en équilibre  III.2.1- Théorème des éléments correspondants Soit deux conducteurs (A1) et (A2), placés l’un à coté de l’autre et portant des densités surfaciques σ 1 et σ 2 à l’équilibre. S’ils ne sont pas au même potentiel, des lignes de champ électrostatique relient (A1) à (A2). Soit un petit contour fermé C 1 situé sur la surface de (A1) tel que l’ensemble des lignes de champ issues de (A1) ( A1) et s’appuyant sur C 1 rejoignent (A2) (et y dessinent un contour fermé C 2 ).

29 L’ensemble de ces lignes de champ constitue ce qu’on appelle un tube de flux : le flux du champ électrostatique à travers la surface latérale S  L dessinée par ce tube est nul par construction ( E ⋅ dS = 0 ). Soit une surface fermée produite S = S L + S1 + S2   où S 1 est une surface qui s’appuie sur C 1 et plonge à l’intérieur de (A1) et S 2 une surface similaire pour (A2). En vertu du théorème de Gauss, on a

Φ= S

=

∫E∫⋅ dS= ∫E∫⋅ dS+ ∫E∫⋅ dS+ ∫E∫⋅  dS=  0

Qint

S L

=

Q1

+

S1

S2

 

Q2

ε0 ε 0 ε 0 où Q1 est la charge totale contenue sur la surface de (A1) embrassée par C 1 tandis que Q2 est la charge contenue sur la surface correspondante de (A2). Du coup Q1 = −Q2 nécessairement. Théorème : les charges électriques portées par deux éléments correspondants sont opposées.

III.2.2- Phénomène d’influence électrostatique Jusqu’à présent nous n’avons abordé que les conducteurs chargés, isolés dans l’espace. Que se passe-t-il lorsque, par exemple, on place un conducteur neutre dans un champ électrostatique uniforme ? Etant neutre, sa charge Q =

 ∫∫ σ  dS doit rester nulle. Mais étant un conducteur,

Surface

les charges sont libres de se déplacer : on va donc assister à un déplacement de charges positives dans la direction de  E  et de charges négatives dans la direction opposée. On obtient alors une polarisation du conducteur (création de pôles + et -), se traduisant par une distribution surfacique σ non-uniforme (mais telle que Q=0). E

E Q=0

+ ---E= 0 ++

Considérons maintenant le cas plus compliqué d’un conducteur (A1) de charge Q1 avec une densité surfacique σ 1 , placé à proximité d’un conducteur neutre (A2). En vertu de ce qui a été dit précédemment, on voit apparaître une densité surfacique σ 2 non-uniforme sur (A2) due au champ électrostatique de (A1). Mais, en retour, la présence de charges σ 2 situées à proximité de (A1) modifie la distribution de charges σ 1 ! A l’équilibre électrostatique, les deux distributions de charges σ 1 et σ 2 dépendent l’une de l’autre. On appelle cette action réciproque, l’influence électrostatique . Dans cet exemple, l’influence est dite partielle, car l’ensemble des lignes de champ électrostatique issues de (A1) n’aboutissent pas sur (A2). Soit q2 la charge portée par la région de (A2) reliée à (A1). En vertu du théorème des éléments correspondants, on a q2 < Q1 . A2

A1 E

On peut créer des conditions d’ influence électrostatique totale en plaçant (A1) à l’intérieur de (A2). Puisque l’ensemble des lignes de champ issues de (A1) aboutit sur (A2), on voit apparaître la charge Q2 int = − Q1 sur la face correspondante interne de (A2), et ceci

30 quelle que soit la position de (A1). Cette propriété (démontrée à partir du théorème des éléments correspondants) est connue sous le nom de théorème de Faraday. La charge électrique totale sur (A2) est simplement Q2 = Q2 int + Q2 ext = − Q1 + Q2 ext .    Notion d’écran ou de blindage électrostatique : la cage de Faraday Un conducteur à l’équilibre a un champ nul : de ce fait, s’il possède une cavité, celle-ci se trouve automatiquement isolée (du point de vue électrostatique) du monde extérieur. On définit par écran électrostatique parfait tout conducteur creux maintenu à un potentiel constant. Lorsqu’on relie (A2) au sol, on a Q2 ext  = 0 (les charges s’écoulent vers la Terre ou proviennent de celle-ci). Dans ce cas, le champ électrostatique mesuré à l’extérieur de (A2) est nul, malgré la présence de (A1) chargé à l’intérieur de (A2). Ainsi, l’espace extérieur à (A2) est protégé de toute influence électrostatique provenant de la cavité. L’inverse est également vrai.

Q>0 Eext≠ 0

Eext= 0 A2

Eint≠ 0

A2

A1

A1 Q≠0

Masse (sol)

Eint= 0

Générateur 

Q=0

Masse (sol)

Prenons maintenant le cas où (A1) porte une charge nulle et où (A2) est placé à proximité d’autres conducteurs chargés. A l’équilibre, on aura Q2 int = 0 mais un champ électrostatique non nul mesuré à l’extérieur de (A2), dépendant de la distribution surfacique externe de (A2). Ainsi, malgré la charge portée par la surface extérieure de (A2), la cavité interne possède un champ électrostatique nul. Nous voyons donc que le champ électrostatique régnant à l’intérieur de (A2) est parfaitement indépendant de celui à l’extérieur. Noter que ceci reste vrai même si (A2) n’est pas maintenu à potentiel constant. Une combinaison linéaire de ces deux situations permettant de décrire tous les cas possibles, nous venons de démontrer que tout conducteur creux maintenu à potentiel constant constitue bien un écran électrostatique dans les deux sens. Un tel dispositif est appelé cage de Faraday . Alors que la distribution des charges Q2 int dépend de la position de (A1), celle des charges Q2 ext  portées par la surface externe de (A2) dépend, elle, uniquement de ce qui se passe à l’extérieur.

Applications : 1. Protection contre la foudre : un paratonnerre est en général complété par un réseau de câbles entourant l’édifice à protéger, reliés à la Terre. 2. Tout conducteur transportant un courant faible est entouré d’une gaine métallique (appelée blindage) reliée au sol. Cette gaine est parfois simplement le châssis de l’appareil.

31

III.2.3- Coefficients d’influence électrostatique Nous avons vu que lorsque plusieurs conducteurs sont mis en présence les uns des autres, ils exercent une influence électrostatique réciproque. A l’équilibre (mécanique et électrostatique), les densités surfaciques de chaque conducteur dépendent des charges qu’ils portent, de leur capacité et de leurs positions relatives. Si l ’on cherche à calculer, par exemple, le potentiel pris par l’un des conducteurs, alors il nous faut résoudre le problème complet : calculer les potentiels de tous les conducteurs. Soit un ensemble de n conducteurs (Ai) de charge électrique totale Qi et potentiel V i , en équilibre électrostatique. Prenons (A1) et appliquons la notion vue précédemment de superposition des états d’équilibre. On peut toujours décomposer la distribution surfacique sur n

(A1) de la forme σ 1 =

∑ σ 

1 j 

où σ 11 est la densité surfacique de charges apparaissant sur (A1)

 j =1

si tous les autres conducteurs étaient portés au potentiel nul (mais présents) et σ 1 j  celle apparaissant lorsque tous (y compris A1) sont portés au potentiel nul, sauf (Aj). On peut alors écrire que la charge totale sur (A1) est n

Q1 =

∫∫

σ 1dS = S 1

∑

∫∫  

σ 1 j dS = q11 + q12 + ... + q1n

 j =1 S 1

Pour connaître Q1 il faut donc connaître les n états d’équilibre électrostatique. Considérons le premier, celui où tous les autres conducteurs en présence sont mis au potentiel nul. Dans ce cas, on a q11 = C11V 1 q21 = C21V 1

= M qn1 = Cn1V 1 M

En effet, la charge apparaissant sur (A1) ne peut être due qu’à V 1, C 11 étant la capacité du conducteur (A1) en présence des autres conducteurs. Mais par influence, une distribution σ  j 1 apparaît sur tous les autres conducteurs (Aj). Celle-ci dépend du nombre de lignes de champ qui joignent (A1) à chaque conducteur (Aj). En vertu du théorème des éléments correspondants, la charge qui « apparaît » est de signe opposé à celle sur (A1), elle-même proportionnelle à q11 donc à V 1 : les coefficients d’influence C  j 1 sont donc négatifs.

A2

A1

q2 qn An E

32 Considérons maintenant le deuxième état d’équilibre, où tous les conducteurs sauf (A2) sont mis au potentiel nul. On a alors dans ce cas q12 = C12 V 2 q22 = C22 V 2

= M qn 2 = Cn 2 V 2 M

Bien évidemment, en reproduisant cette opération, on obtient que l’état d’équilibre le plus général est décrit par n

Qi = qi1 + qi 2 + ... + qin =

n

∑q = ∑C V ij

 

ij

 j =1

i

 

 j =1

ou, sous forme matricielle,

 Q1  C11  M= M     Qn  Cn1

L O K

C 1n  V 1 

 M    C nn  V n  M

  Les coefficients C ij  sont appelés coefficients d’influence. d’influence .  Les coefficients C ii sont parfois appelés coefficients de capacité ou capacités des conducteurs en présence des autres . Il ne faut pas les confondre avec les capacités propres C i des conducteurs isolés, seuls dans l’espace. D’une façon générale, on a la propriétés suivantes : 1. Les C ii sont toujours positifs. 2. Les C ij  sont toujours négatifs et Cij = C ji (matrice symétrique). 3.

Cii ≥ −

∑ C  , l’égalité n’étant possible que dans le cas d’une influence totale. ji

 j ≠ i

La dernière inégalité est une conséquence du théorème des éléments correspondants. En effet, prenons le conducteur (A1) porté au potentiel V 1 alors que les autres sont mis au potentiel nul. Tous les tubes de flux partant de (A1) n’aboutissent n’aboutissent pas nécessairement nécessairement à un autre conducteur (ils ne le feraient que pour une influence totale). Donc, cela signifie que la charge totale située sur (A1) est (en valeur absolue) supérieure à l’ensemble des charges situées sur les autres conducteurs, c’est à dire Q1 = C11V1 ≥ q21 + K + qn1 = Cj 1 V1 .  

∑  j ≠1

Exemple Soient deux conducteurs sphériques, (A1) et (A2), de rayons rayons  R1 et  R2 portant une charge Q1 et Q2 , situés à une distance d l’un de l’autre. A quels potentiels se trouvent ces deux conducteurs ?

O1

d=O1O2>>R 1,R 2 O2

R 1

R 2

En vertu du principe de superposition, le potentiel de (A1), pris en son centre O est 1 1 σ 1dS 1 σ 2 dS 2 + V1 (O) = 4πε 0 S PO 4πε 0 S  P2 O 1

∫∫

1

∫∫  

2

où le premier terme est dû aux charges Q1 et le second à celles situées sur (A2). Lorsque la distance d est beaucoup plus grande que les rayons, on peut assimiler P2O ≈ O′O = d  pour tout point P2 de la surface de (A2) et l’on obtient

33

V1 (O) =

Q1 4πε 0 R1

+

Q2 4πε 0 d   

=

Q1

+

Q2

C 1 C d  où l’on reconnaît en C 1 la capacité d’une sphère isolée et en C d  un coefficient qui dépend à la fois de la géométrie des deux conducteurs et de leur distance. En faisant de même pour (A2), on obtient Q2 Q1 Q Q V2 (O′) = + = 2+ 1 4 πε0 R2 4 πε0 d    C 2 C d  où C 2 est la capacité de (A2) isolée. On obtient donc un problème linéaire qui peut se mettre sous la forme matricielle suivante 1  1  Q   V 1   C1 C   1 d    =  1 1       C C   Q2   V 2 



d 

2



c’est à dire Vi = Dij Qj  où la matrice  Dij  est connue à partir de l’inverse l’i nverse des diverses capacités. Si l’on veut se ramener au problème précédent (calcul des charges connaissant les potentiels), c’est à dire à la résolution de Qi = Cij V j ,  où C ij  est la matrice des coefficients d’influence, il faut inverser la matrice  Dij . On obtiendra en effet Qi = D−1ij V  j , ce qui donne Cij  = D−1ij . Dans le cas présent, on obtient C1C 2 C 11 = 1−

C 1 C1C 2

C 22 =

C d 2

1−

C 2 C1C 2

C12 = C 21 = − 1−

C d 2

C d  C1C 2 C d 2

On voit clairement sur cet exemple (1) que les capacités en présence des autres conducteurs C ii ne sont pas identifiables aux capacités propres C i des conducteurs isolés dans l’espace et (2) les coefficients d’influence C ij  sont bien négatifs.

III.3- Le condensateur  III.3.1- Condensation de l’électricité  Définition : On appelle condensateur tout système de deux conducteurs en influence électrostatique. Il y a deux sortes de condensateurs condensateurs : • à armatures rapprochées rapprochées • à influence totale V1 V1 V2 V2

Armatures rapprochées

Influence totale

En général, les deux armatures sont séparées par un matériau isolant (un diélectrique), ce qui a pour effet d’accroître la capacité du condensateur. Dans ce qui suit on suppose qu’il n’y a que

34 du vide. Soient donc deux conducteurs (A1) et (A2) portant une charge totale Q1 et Q2 et de potentiels V 1 et V 2 . D’après la section précédente, on a Q1 = C11V1 + C12 V2  

 Q2 = C21V1 + C22 V2  

Les coefficients C ij  étant indépendants des valeurs de Q et de V, il suffit, pour les trouver, de considérer des cas particuliers simples (formellement on a ici 2 équations à 4 inconnues). Regardons ce qui se passe dans le cas d’un condensateur à influence totale, c’est à dire un condensateur pour lequel on a Q2 = Q2 ext + Q2 int = Q2 ext −  Q1 Si on relie (A2) à la masse ( V2 = 0, Q2 ext  = 0 car on néglige toute influence extérieure), alors on obtient Q1 = −Q2

 C11 = −C 21

La première relation n’est vraie que si (A2) est à la masse, mais la seconde est générale. Par ailleurs, on sait que C12 = C 21 (on peut aussi le redémontrer en reliant les deux conducteurs par un fil ( V1 = V 2 ) et choisir Q1 = 0 ). Par convention, la capacité C du condensateur, sa charge Q et sa tension entre armatures sont alors définies de la façon suivante, C = C 11 U = V1 − V 2 Q = Q1 ce qui fournit la relation des condensateurs Q = CU 

Remarques 1 . Pourquoi appelle-t-on ces dispositifs des condensateurs ? Parce qu’ils permettent de mettre en évidence le phénomèn e de « condensation de l’él ectricité », à savoir l’accumulation de charges électriques dans une petite zone de l’espace. Ainsi, en construisant des condensateurs de capacité C élevée, on obtient des charges électriques Q élevées avec des tensions U faibles. 2. La charge située sur l’armature (A2) est Q2 = Q2 ext  − Q (pour un condensateur à influence totale) et, en toute rigueur, ne vaut –Q que lorsque (A2) est mise à la masse. En général, elle reste cependant négligeable devant Q dans les cas considérés dans ce cours et on n’en tiendra donc pas compte. Pour un condensateur à armatures rapprochées, on obtient le même résultat, moyennant une séparation faible (devant leur taille) des conducteurs. Dans ce type de condensateur, les charges Q1 et Q2 correspondent à celles qui se trouvent réparties sur l’ensemble de la surface de chaque conducteur. Mais si la distance est faible, l’influence électrostatique va condenser les charges sur les surfaces en regard, de telle sorte que l’on peut faire l’hypothèse suivante ext S S   Q1 = Q1 + Q1 ≈ Q1 Q2 = Q2

ext

+ Q2 S = Q2 ext − Q1S ≈ Q2ext −  Q1

ce qui nous ramène à une expression identique à celle d’un condensateur à influence totale.

35

III.3.2- Capacités de quelques condensateurs simples Dans ce qui suit, nous allons voir plusieurs exemples de calculs de capacités. Pour obtenir la capacité C d’un condensateur, il faut calculer la relation entre sa charge Q et sa tension U, c’est à dire 2 Q U = V1 − V2 = E ⋅ dl = C  1

 ∫ 

Autrement dit, il faut être capable de calculer la circulation du champ électrostatique entre les deux armatures ainsi que la charge Q. (a) Condensateur sphérique Soit un condensateur constitué de deux armatures sphériques de même centre O, de rayons respectifs  R1 et  R2 , séparées par un vide (  R2 > R1 ). D’après le théorème de Gauss, le champ électrostatique en un point M situé à un rayon r entre les deux armatures vaut Q  E(r ) = u 2 r 4πε 0 r en coordonnées sphériques, ce qui donne une tension  R2

U = V1 − V2 =

 ∫ 

E ⋅ dr =

 R1

Q  1



4πε 0   R1

−

1



R2 

et fournit donc une capacité totale Q  R R C  = = 4πε 0 1 2 U   R2 − R1 (b) Condensateur cylindrique Soit un condensateur constitué de deux armatures cylindriques coaxiales de longueur infinie, de rayons  R1 et  R2 , séparées par un vide (  R2 > R1 ). Soit λ la charge par unité de longueur du cylindre intérieur. D’après le théorème de Gauss, le champ électrostatique entre les deux armatures s’écrit λ   E( ρ ) = uρ  2πε 0 ρ  en coordonnées cylindriques, ce qui donne une tension  R λ  R U = V1 − V2 = E ⋅ dρ   = ln 2 2πε 0  R1  R 2

 ∫  1

et une capacité par unité de longueur λ 2πε 0 = C  = U  ln R2  R1 (c) Condensateur plan Soient deux armatures (A1) et (A2) planes parallèles infinies, orthogonales à un même axe Ox de vecteur unitaire i et situées à une distance d = x2 − x1 l’une de l’autre. L’armature (A1) porte une densité surfacique de charges σ  et (A2), en vertu du théorème des éléments correspondants, porte une densité - σ . Entre les deux armatures, le champ électrostatique est la superposition des champs créés par ces deux plans infinis, c’est à dire

36 x

E = E1 + E2 =

σ 

i+

2ε 0

−σ 

σ  − i) = ( 2ε  ε  0

La différence de potentiel entre les deux armatures est alors

V2 V1

 x 2 -σ

U = V1 − V2 =

x2 d=x2-x1

+σ

 ∫ 

E ⋅ dx =

 x1

z

x1

i

0

σ  ε 0

d  

d’où une capacité par unité de surface σ ε 0 y = C  = U d  La valeur numérique de la permittivité ε 0 a été mesurée grâce à un condensateur plan.

III.3.3- Associations de condensateurs (a) Condensateurs en parallèle Soient n condensateurs de capacités C i mis en parallèle avec la même tension U = V1 − V 2 . La charge électrique de chacun d’entre eux est donnée par Qi = CiU . La charge électrique totale est simplement n

 n  Q = ∑ Qi =  ∑ Ci  U    i =1  i =1 n

ce qui correspond à une capacité équivalente C =

∑ C  i

qui est la somme des capacités

i =1

individuelles. (b) Condensateurs en série Soient n condensateurs de capacités C i mis en série les uns derrière les autres. On porte aux potentiels V 0 et V n les deux extrémités de la chaîne et on apporte la charge Q sur le premier condensateur. En supposant que tous les condensateurs condensateurs sont initialement neutres, il s’établit la charge ±Q (par influence) sur les armatures des condensateurs adjacents. La tension totale aux bornes de la chaîne de condensateurs s’écrit alors simplement U = V0 − Vn = ( V0 − V1 ) + (V1 − V2 ) + L + ( Vn −1 − Vn )  

 n 1 = + +L+ = ∑ Q C 1 C 2 Cn  i =1 C i  Q

Q

Q

et correspond à celle d’une capacité unique C de capacité équivalente n 1 1 C

=∑ i =1

C i

V1

+Q1

+Q2

-Q1

-Q2

+Qn -Qn

+Q3 -Q3

V0

V1 +Q -Q

Vn +Q -Q

V2

Condensateurs en parallèle

Condensateurs en série

+Q -Q

37

Chapitre IV- Energie et actions électrostatiques

IV.1- Energie potentielle électrostatique  IV.1.1- Energie électrostatique d’une charge ponctuelle Comment mesure-t-on l’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps de masse m ? On le déplace d’une position initiale jusqu’à une position finale (on exerce donc une force) puis on le lâche sans vitesse initiale. S’il acquiert une vitesse, c’est qu’il développe de l’énergie cinétique. Or, en vertu du principe de conservation de l’énergie, cette énergie ne peut provenir que d’un autre réservoir énergétique, appelé énergie potentielle. Comment s’est constituée cette énergie potentielle gravitationnelle ? Grâce au déplacement du corps par l’opérateur. Ainsi, le travail effectué par celui-ci est une mesure directe de l’énergie potentielle. On va suivre le même raisonnement pour l’énergie l’ énergie électrostatique.  Définition : l’énergie potentielle électrostatique d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique est égale au travail qu’il faut fournir pour amener de façon quasistatique cette particule de l’infini à sa position actuelle. Prenons une particule de charge q placée dans un champ  E . Pour la déplacer de l’infini vers un point M, un opérateur doit fournir une force qui s’oppose à la force de Coulomb. Si ce déplacement est fait suffisamment lentement, la particule n’acquiert aucune énergie cinétique. Cela n’est possible que si, à tout instant, Fext  = − F = − qE q E .  Le travail fourni par l’opérateur sera donc  M 

W(M) =

 M

M 

∫dW = ∫F

ext 

∞

∞

⋅ dr = − ∫q E ⋅ dr = q[V ( M ) − V ( ∞ )] ∞

Puisqu’on peut toujours définir le potentiel nul à l’ infini, on obtient l’expression suivante pour l’énergie électrostatique d’une charge ponctuelle située en M We = qV  On voit donc que le potentiel électrostatique est une mesure (à un facteur q près) de l’énergie électrostatique : c’est dû au fait que V est lié à la circulation du champ. Autre remarque importante : l’énergie est indépendante du chemin suivi.

IV.1.2- Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles Dans la section précédente, nous avons considéré une charge q placée dans un champ  E  extérieur et nous avons ainsi négligé le champ créé par la charge elle-même. Mais lorsqu’on a affaire à un ensemble de N charges ponctuelles qi , chacune d’entre elles va créer sur les autres un champ électrostatique et ainsi mettre en jeu une énergie d’interaction électrostatique. Quel sera alors l’énergie potentielle électrostatique de cet ensemble de charges ? Soit la charge ponctuelle q1 placée en P1. On amène alors une charge q2 de l’infini jusqu’en à celui qu’il P2 , c’est à dire que l’on fournit un travail W2 = q2V1 ( P2 ) = q1V2 ( P1) = W1 identique  

38 aurait fallu fournir pour amener q1 de l’infini en P1 en présence de q2 déjà située en P2 . Cela signifie que ce système constitué de 2 charges possède une énergie électrostatique 1 q1q 2 W e = = W1 = W2 = (W1 + W2 )   4π ε 0 r12 2 où r12 = P1P2 .  Remarque : Dans cette approche, nous avons considéré q2 immobile alors que l’on rapprochait q1. En pratique évidemment, c’est la distance entre les deux charges qui diminue du fait de l’action de l’opérateur extérieur à la fois sur q1 et q2 (avec Fext /1 = −F ext / 2 puisque F1 / 2 = − F 2 /1 ). On aurait aussi bien pu calculer le travail total fourni par l’opérateur en évaluant le déplacement de q1 et de q2 de l’infini à la distance intermédiaire (« M/2 »). Une autre façon de comprendre cela, c’est de réaliser que nous avons évalué le travail fourni par l’opérateur dans le référentiel lié à q2 (immobile). Celui-ci est identique au travail évalué dans un référentiel fixe (où q1 et q2 se déplacent) car le déplacement des charges s’effectue de manière quasi-statique (aucune énergie n’a été communiquée au centre de masse).

Si maintenant on amène une 3 ème charge q3 de l’infini jusqu’en P3 ( q1 et q2 fixes), il faut fournir un travail supplémentaire W3 = q3V1+ 2 ( P3 ) = q3 (V1 ( P3 ) + V2 (P  3 ))

=

 q1q3 q3q2  +   4π ε 0  r13 r23  1

correspondant à une énergie électrostatique de ce système de 3 charges W e =

 q1q 2 q1q3 q3q2  + +   4π ε 0  r12 r13 r23  1

Ainsi, on voit qu’à chaque couple qi q j  est associée une énergie potentielle d’interaction. Pour un système de N charges on aura alors 1  N  We = qi V j  = 4π ε 0 i =1 couples

∑

∑∑

qi q j  rij 

 j > i

=

 N 

1

1

∑ 4π ε ∑ 

2

i =1

0  j ≠ i

qi q j  rij 

=

1 2

 N 

∑ q V  i i

i =1

où le facteur 1/2 apparaît parce que chaque couple est compté deux fois. L’énergie électrostatique d’un ensemble de N charges ponctuelles est donc We =

1 2

 N 

∑ q V (P ) i i

i

i =1

où V i ( Pi ) =

q j 

1 4π ε 0

∑r  j ≠ i

ij 

est le potentiel créé en Pi par toutes les autres charges. Pour une distribution continue de charges, la généralisation de la formule précédente est évidente. Soit dq la charge située autour d’un point P quelconque de la distribution. L’énergie électrostatique de cette distribution s’écrit 1 We = dqV (P  ) 2 distribution

 ∫ 

où V (P) =

1 4 π ε 0

 ∫  distribution

dq( P ′) PP ′

39 est le potentiel créé par toute la distribution. En effet ici, il n’est pas nécessaire d’exclure explicitement la charge située en P puisque dq(P) peut tendre vers zéro avec l’élément infinitésimal (contribution nulle à l’intégrale, absence de divergence).

IV.1.3- Energie électrostatique d’un conducteur en équilibre Soit un conducteur isolé, de charge Q distribuée sur sa surface S. L’énergie potentielle électrostatique de ce conducteur est alors V  QV  1 We = dqV ( P) = dq =

 ∫

2

∫ 

2

S

2

S 

puisqu’il est équipotentiel, c’est à dire We =

1 2

QV =

1 2

2

CV   =

1Q

2

2 C 

Ceci est l’énergie nécessaire pour amener un conducteur de capacité C au potentiel V. Puisque cette énergie est toujours positive cela signifie que, quel que soit V (et ( et donc sa charge Q), cela coûte toujours de l’énergie.

Soit un ensemble de N conducteurs chargés placés dans un volume V. A l’équilibre, ils ont une charge Qi et un potentiel V i . En dehors du volume occupé par chaque conducteur, il n’y a pas de charge donc dq=0. L’énergie électrostatique de cette distribution de charges est alors simplement 1 1  N  1  N  We = dqV ( P ) = dqi Vi = Vi dqi 2 V  2 i =1 S  2 i =1 S 

∑ ∫ 

 ∫

∑ ∫ 

i

i

c’est à dire We =

1 2

 N 

∑ Q V  i

i

i =1

IV.1.4- Quelques exemples Exemple 1 : Le condensateur Soit un condensateur constitué de deux armatures. L’énergie électrostatique de ce système de deux conducteurs est We =

c’est à dire

1 2

(Q V + Q V ) = 1 1

2

2

1 2

Q(V1 − V2 ) =

1 2

QU  

40

We =

1 2

QU =

1 2

2

CU   =

1Q

2

2 C 

Ainsi donc, un condensateur peut emmagasiner de l’énergie électrostatique. Mais où est-elle stockée ? Sous quelle forme ? Prenons le cas d’un condensateur plan de densité surfacique σ uniforme et dont les armatures, séparées d’une distance d, ont une surface S commune. L’énergie de ce condensateur s’écrit 2

1 (σ S ) 1  σ   ε E = = ε 0   (Sd ) = 0 W e = 2 C  2 ε 0 S  2  ε 0  2 d  1Q

2

2

2

V

=

2

ε 0 E 

∫∫∫  V 

2

d V 

où V  est le volume compris entre les deux armatures, où réside le champ E. On voit donc sur cet exemple que l’énergie du condensateur condensateur est stockée dans le champ lui-même.

Exemple 2 : Le dipôle Soit un dipôle électrostatique placé dans un champ électrostatique  E ext  On s’intéresse à l’énergie potentielle d’interaction électrostatique entre ce dipôle et le champ et non pas à celle qui existe entre la charge +q et –q du dipôle lui-même. On considère donc le dipôle comme un système de deux charges, -q placée en un point A et +q en B, n’interagissant pas entre elles. L’énergie électrostatique de ce système de charges est simplement  B

 ∫ 

We = − qVext ( A) + qVext ( B) = − q Eext ⋅  dr ≈ − q Eext  ⋅ AB  A

ce qui donne We = − p ⋅ E ext

 

où p = q AB est le moment dipolaire électrique.  Remarque : L’énergie électrostatique entre la charge +q et –q du dipôle lui-même est −q 2 =   p⋅ E ( B) . Si le champ extérieur est bien supérieur au champ créé par la W e = 4 π ε 0 AB charge –q en B, alors cela signifie que le dipôle est profondément modifié (voire brisé) par le champ : l’énergie d’interaction est supérieure à l’énergie interne de liaison. Cependant, la distance AB étant en général très petite, cela ne se produit pas et le dipôle se comporte comme un système lié, sans modification de son énergie interne (ceci n’est pas tout à fait exact : un champ extérieur peut faire osciller les deux charges autour de leur position d’équilibre, induisant ainsi une variation de leur énergie de liaison).

Exemple 3 : Un conducteur chargé placé dans un champ extérieur Soit un conducteur portant une charge Q et mis au potentiel V en l’absence de champ QV  extérieur. Il possède donc une énergie électrostatique interne W e,int = , correspondant à 2 l’énergie qu’il a fallu fournir pour déposer les Q charges au potentiel V sur le conducteur. Si maintenant il existe un champ extérieur  E ext  , alors le conducteur prend un nouveau QV ′ potentiel V’ et son énergie peut s’écrire W e = . Comment calculer V’ ? 2

41 La méthode directe consiste à prendre en compte la polarisation du conducteur sous l’effet du σ dS ). champ extérieur et calculer ainsi la nouvelle distribution surfacique σ   (avec Q =

∫∫  S 

Une autre méthode consiste à considérer la conservation de l’énergie : en plaçant le conducteur dans un champ extérieur, on lui fournit une énergie potentielle d’interaction électrostatique qui s’ajoute à son énergie électrostatique « interne ». Supposons (pour simplifier) que le champ extérieur  E ext  est constant à l’échelle du conducteur. Alors ce dernier se comporte comme une charge ponctuelle placée dans un champ et possède donc une énergie potentielle d’interaction électrostatique W e,ext = QV ext .  L’énergie électrostatique totale sera alors QV  c© est es t à dir di re V ′ = V + 2V ext   W e = QV ext + 2

IV.2- Actions électrostatiques électrostatiques sur un conducteur en équilibre  IV.2.1- Notions de mécanique du solide a) Calcul direct des actions (force et moment d’une force) Un conducteur étant un solide, il faut faire appel à la mécanique du solide. Tout d’abord, on choisit un point de référence O, des axes et un système de coordonnées respectant le plus possible la symétrie du solide. La force et le moment de cette force par rapport au point O sont alors F=

 ∫ dF 

solide

ΓO =

 ∫  dΓ

O

=

solide

 ∫ OP ∧ dF

 

solide

où dF  est la force s’exerçant sur un élément infinitésimal centré autour d’un point P quelconque du solide et où l’intégrale porte sur tous les points du solide. Le formalisme de la mécanique du solide considère ensuite que la force totale ou résultante F  s’applique au barycentre G du solide. b) Liens entre travail d’une action (force ou moment) et l’action elle-même Lors d’une translation pure du solide, considéré comme indéformable, tout point P du solide subit une translation d’une quantité fixe : dr = r ′ − r = ε . La force totale responsable de ce déplacement doit fournir un travail

∫

dW =

dF ⋅ dr = solide

∫

dF ⋅ solide

ε

  =  d∫ F  ⋅  ε = F ⋅  ε   solide 

3

= ∑ Fi dx i i= 1

où F  est la résultante de la force s’exerçant sur le solide et les  x i les coordonnées du centre de masse du solide. Dans le cas de rotations pures, on ne s’intéresse qu’au moment des forces responsables de ces rotations. Celles-ci sont décrites par trois angles infinitésimaux d α i autour de trois axes ∆ i , passant par le centre d’inertie G du solide et engendrés par les vecteurs unitaires ui . L’expression générale du moment d’une force (ou couple) par rapport à G est alors

42 3

Γ = ∑ Γi ui i =1

Lors de rotations du solide, le vecteur repérant la position d’un de ses points P quelconque varie suivant la règle 3

( ) ∑d

d OP =

α i ui

∧ OP OP

i= 1

Le travail fourni par le moment de la l a force est

 3  dW =  ∫ dF ⋅ dOP =  ∫  dF ⋅  ∑ dα i ui ∧ OP OP  i =1  solide solide 3   = ∑ dα i ui ⋅ ∫ OP ∧ dF = ∑ dα i ui ⋅ Γ  solide  i =1 i =1 3

3

= ∑ d α i Γi i =1

Dans le cas général d’une translation accompagnée de rotations, chaque effet produit une contribution au travail fourni lors de l’ interaction.

c) Calcul des actions à partir de l’énergie potentielle (méthode ( méthode des travaux virtuels) Si l’on a cherché le lien entre travail de l’action et les composantes de celle-ci, c’est qu’il est possible de calculer ces dernières en appliquant le principe de conservation de l’énergie. En effet une force produit un mouvement de translation de l’ensemble du solide tandis que le moment de la force produit un mouvement de rotation. Ces deux actions correspondent à un travail, donc à une modification de l’énergie d’interaction. L’énergie mécanique  E m d’un solide s’écrit Em = Ec + Ep  où  E c est son énergie cinétique et  E  p son énergie potentielle d’interaction. Si le solide est isolé, son énergie mécanique reste

constante, c’est à dire dE m = 0 , et l’on obtient ainsi le théorème de l’énergie cinétique dEc = dW = − dEp  Si l’on a par ailleurs l’expression de l’énergie potentielle  E  p alors on peut directement exprimer la force ou son moment (exprimés dans dW) en fonction de  E  p . Si, lors de l’évolution du solide, celui-ci n’est pas isolé et reçoit ou perd de l’énergie, on a dE m ≠ 0 , c’est à dire dEc = dW = dEm − dEp  On voit donc que dans ce cas, le lien entre la force (ou son moment) et l’énergie potentielle n’est plus direct. Si l’on veut faire un tel lien, il faudra alors retrancher au travail la partie due à cet apport (ou perte) d’énergie mécanique. Il faudra alors considérer chaque cas particulier. Nous allons illustrer cette approche ci-dessous.

43

IV.2.2- Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé Revenons maintenant au cas d’un conducteur chargé placé dans un champ électrostatique  E ext  . Celui-ci produit une force de Coulomb sur chaque charge électrique distribuée sur la surface S du conducteur. D’après ce que nous avons vu précédemment, la force totale s’écrit 2

F=

∫∫

d F= S 

∫∫

σ  Eext  d S

2

2

S=

∫∫  

Pd S n S 

où P est ici la pression électrostatique tandis que le moment de la force électrostatique s’écrit

ΓO =

∫

2

OP ∧ d F = solide

∫∫

2

OP ∧ d q E = S

 

2

∫∫  2ε 

OP ∧ S

σ 

2

nd S  

0

Mais ces expressions ne sont utilisables que si l’on peut calculer la densité surfacique Lorsque ce n’est pas le cas, il faut utiliser la méthode ci-dessous.

σ

.

IV.2.3- Calcul des actions électrostatiques à partir de l’énergie Soit un système de deux conducteurs chargés (A1) et (A2). Pour connaître la force F  exercée par (A1) sur (A2), on suppose qu’un opérateur extérieur exerce une force F ext  s’opposant à F . Cette démarche est tout à fait intuitive. Connaissant F ext  , on en déduira F = − F ext  . Cette méthode s’appelle méthode des travaux virtuels. Un conducteur en équilibre électrostatique étant caractérisé par un potentiel V et une charge Q, il y a deux cas extrêmes qu’il faut considérer séparément. a) Système isolé : charges constantes A1 A2

x

F1/2

Fext

Système isolé: charges constantes On se place à l’équilibre mécanique, donc Fext  = − F . Imaginons maintenant un déplacement élémentaire autour de cette position. L’opérateur fournit alors un travail dW = Fext  ⋅ dr = − F ⋅ dr , opposé à celui fournit par la force électrostatique. En vertu du principe de conservation de l’énergie, ce travail est reçu par (A2), sous forme d’énergie électrostatique 3

dWe = dW = − F ⋅ dr = −

∑ F dx i

i

i =1

Or, l’énergie électrostatique est une fonction de la position de (A2), donc

 ∂ W e  ∑   x  dxi . Autrement dit, dans le cas d’un déplacement d’un conducteur isolé on i =1  ∂  i  Q 3

dW e =

doit avoir à tout moment

44 3  ∂ W e  dW e = ∑  d r = − F ⋅ dr = − ∑ Fi dxi  dxi = dW = Fext ⋅ dr  x ∂    i =1 i =1 i Q 3

c’est à dire une force électrostatique

 ∂ W e    ∂  xi  Q

F i = −

exercée par (A1) sur (A2). Notez que les variables  xi décrivent la distance entre (A1) et (A2). Cette force peut aussi s’interpréter comme une force interne exercée par un conducteur sur une partie de lui-même. Ainsi, cette expression est également valable dans le cas d’un conducteur qui serait soumis à une déformation : ce serait la force exercée par le conducteur sur une partie de lui-même lors d’une modification de son énergie d’interaction électrostatique W e . Dans le cas de rotations pures, l’énergie dépend des différents angles et l’on va plutôt écrire pour un conducteur isolé (Q constant) 3  ∂ W e  dW e = ∑   dα i = dW = Fext ⋅ dr = − F ⋅ dr = − ∑ Γi dα  i i =1  ∂α i  Q i =1 3

3

c’est à dire un moment des forces électrostatiques Γ =

∑Γ u i

i

dont les composantes vérifient

i =1

 ∂ W   Γi = −  e   ∂α i  Q L’utilisation de ces deux dernières expressions nécessite de calculer l’énergie électrostatique W e et sa dépendance en fonction de la position du (ou des) conducteur(s).   La présence du signe moins indique que les actions électrostatiques (forces et moments) tendent toujours à ramener le conducteur vers une position d’énergie maximale.

b) Système relié à un générateur : potentiels constants A1 A2

F1/2 V1

x Fext

V2

Système non isolé: potentiels constants A proximité de l’équilibre mécanique ( Fext  = − F ), on effectue un petit déplacement autour de cette position. L’opérateur fournit toujours un travail dW = Fext  ⋅ dr = − F ⋅ dr , opposé à celui fournit par la force électrostatique, mais il existe une deuxième source d’énergie, le générateur. Lors du déplacement, celui-ci maintient les potentiels V 1 et V 2 constants. Cela ne peut se faire qu’en modifiant la charge Q1 et Q2 de chaque conducteur. Ainsi, le générateur fournit un travail permettant d’amener des charges dQ1 au potentiel V 1 et dQ2 au potentiel V 2 , c’est à dire une énergie fournie dEGen = dQ1V1 + dQ2 V2  .

45 En vertu du principe de conservation de l’énergie, ces deux sources d’énergies sont converties par (A2) sous forme d’énergie électrostatique dWe = dW + dEG en 1 2 1 2

d (Q1V1 + Q2V2 ) = − F ⋅ dr

+ dQ1V1 + dQ2V2  

(dQ V + dQ V ) − dQ V − dQ V = − F ⋅ dr 1 1

2

2

1 1

2

2

F ⋅ dr = 3

∑

1 2

(dQ V + dQ V ) = dWe   1 1

2

2

 ∂ W e  ∑   dxi  x ∂   i =1 i  V  3

Fi dxi =

i =1

Autrement dit, dans le cas d’un déplacement d’un conducteur relié à un générateur (V maintenu constant), la force électrostatique vaut

 ∂ W e    ∂  xi  V 

F i = + 

Dans le cas de rotations pures, l’énergie dépend des différents angles et l’on obtient un moment des forces électrostatiques égal à

 ∂ W   Γi = + e   ∂α i  V  Les expressions obtenues dans les deux cas considérés sont générales et indépendantes du déplacement élémentaire. En fait celui-ci ne constitue qu’un artifice de calcul, connu sous le nom de méthode des travaux virtuels. Notez qu’une telle méthode s’appuie sur le principe de conservation de l’énergie et donc, nécessite l’identification de l’ensemble des sources d’énergie présentes.

IV.2.4- Exemple du condensateur L’énergie électrostatique du condensateur s’écrit We =

1 2

QU =

1 2

2

CU   =

1Q

2

2 C 

. D’après la

section précédente, lorsque le condensateur est isolé, la force électrostatique entre les deux armatures s’écrit

 ∂ W e  Q2  ∂ C  U 2  ∂ C  F i = −  =  =   2  ∂  xi   ∂  xi  Q 2C 2  ∂  xi  Par contre, lorsque le condensateur est relié à un générateur, on a

 ∂ W e  U 2  ∂ C  F i = +  =    ∂  xi  U  2  ∂  xi  Ainsi, on vient de démontrer que, dans tous les cas, la force électrostatique existant entre les deux armatures d’un condensateur condensateur s’écrit 2 U  F  = ∇C  2

46 On obtient de même que le moment par rapport à l’axe ∆ i de la force électrostatique s’écrit dans tous les cas

Γi =

U 2  ∂ C  





2  ∂α i 

 Remarques : 1) Les actions électrostatiques tendent toujours à augmenter la capacité C d’un condensateur. 2

2 ) La force est équivalente à l’expression F = S

2

∫d∫ F = ∫P∫d  Sn , ce qui signifie que la S 

distribution de charges σ doit s’arranger de telle sorte que ce soit effectivement le cas.

 Exemple : le condensateur plan ε 0 S 

Soit un condensateur plan de capacité C( x ) =

, où S est la surface d’influence mutuelle  x commune aux deux armatures et x = x2 − x1 la distance entre celles-ci. x S

La force exercée par l’armature 1 sur l’armature 2 est V2 V1

F 1 / 2 =

x2

-σ

F 1 / 2 =

x=x2-x1

+σ

z

x1

F 2 / 1 =

U 2 2

∇2 C = − F 2 / 1

U 2 dC  2 dx2

U 2 dC  2 dx1

=− =

U2

U2

ε 0 S 

2 ( x2 − x1 )

2

ε 0 S 

2 ( x2 − x1 )

2

y

Notez que la bonne utilisation de la formule générale (portant sur le gradient de C) nécessite la compréhension de sa démonstration (ce que signifie la variable x).

IV.2.5- Exemple du dipôle Soit un dipôle électrostatique de moment dipolaire  p placé dans un champ extérieur  E ext  . On cherche dans un premier temps à calculer la force électrostatique exercée par ce champ sur le dipôle. Celui-ci restant à charge constante, on va donc utiliser l’expression obtenue pour un système isolé

(

 ∂ W   ∂   p ⋅ E ext  e =  ∂  x i  ∂  x i Q

F i = −

c’est à dire une expression vectorielle

(

F = ∇ p ⋅ E ext 

)

)

47 Sous l’effet de cette force, un dipôle aura tendance à se déplacer vers les régions où le champ électrostatique est le plus fort. Le moment de la force électrostatique est donné par

(

 ∂ W   ∂  p ⋅ E ext  Γi = − e  = ∂α i  ∂α i Q

)

3

avec Γ =

∑ Γ u . On peut cependant clarifier considérablement cette expression. Il suffit en i

i

i =1

effet de remarquer que lors d’une rotation pure, le vecteur moment dipolaire varie comme 3

dp =

3

∂  p d α  ∑ dα  u ∧ p = ∑ ∂α  i

i

i

i= 1

i=1

i

puisqu’il dépend a priori de la position du point considéré, donc des angles

α i .

En supposant

alors que le champ  E ext  est constant à l’échelle du dipôle, on obtient

Γi =

(

∂   p ⋅

E ext 

∂α i

) = 

  ∂α   ⋅ Eext = ui ∧ p ⋅ Eext = p∧ Eext ⋅ ui  i ∂  p

(

)

(

)

c’est à dire l’expression vectorielle suivante

Γ =  p ∧ E ext  Le moment des forces électrostatiques a donc tendance à aligner le dipôle dans l a direction du champ extérieur.

48

49

Chapitre V- Electrocinétique V.1- Courant et résistance électriques  V.1.1- Le courant électrique Nous avons vu qu’il était possible d’électriser un matériau conducteur, par exemple par frottements. Si l’on met ensuite ce conducteur en contact avec un autre, le deuxième devient à son tour électrisé, c’est à dire qu’il a acquis une certaine charge Q. Cela signifie que lors du contact des charges se sont déplacées de l’un vers l’autre. On définit alors le courant par dQ  I  = dt  où les unités sont les Ampères (symbole A). Dans le système international, l’Ampère est l’une des 4 unités fondamentales (avec le mètre, le kilogramme et la seconde), de telle sorte que 1 C =1 As (Ampère seconde). La définition précédente de I ne nous renseigne pas sur son signe, il faut choisir une convention. Par exemple, soit Q>0 la charge du conducteur initialement chargé (A1). On a affaire ici à une décharge de (A1) vers (A2). Si l’on désire compter positivement le courant de (A1) vers (A2), alors il faut mettre un signe moins à l’expression ci-dessus.

V.1.2- La densité de courant électrique La raison physique du courant est un déplacement de charges, c’est à dire l’existence d’une vitesse organisée (par opposition à la vitesse d’agitation thermique) de celles-ci. Considérons donc un fil conducteur de section S, dans lequel se trouvent n porteurs de charge q, animés d’une vitesse v dans le référentiel du laboratoire. Pendant un instant dt, ces charges parcourent une distance vdt . Soit d 2 Sn un élément infinitésimal de surface mesuré sur la section du fil, orienté dans une direction arbitraire. La quantité de charge électrique qui traverse cette surface pendant dt est celle contenue dans le volume élémentaire d V  associé 3

d Q = nqd  d t  = v  d l =

 j dS

3

V 

2 dt ⋅ d S n = nq v dt

On voit alors apparaître un vecteur qui décrit les caractéristiques du milieu conducteur et qu’on appelle l a densité de courant  j = nq v exprimée en Ampères par mètre carré ( A m −2 ). Le courant I circulant dans le fil est relié à la densité par dQ 1 1  I  = d 3Q =   j⋅ d2 Sdt  Sdt  = dt dt  Section dt  Section

∫∫

∫∫  

c’est à dire I=

2

 ∫∫  j ⋅ d

Section

S  

50 On dit que le courant dans un circuit est le flux à travers la section du fil de la densité de courant. Le sens du courant (grandeur algébrique) est alors donné par le sens du vecteur densité de courant. Un conducteur est un cristal (ex, cuivre) dans lequel se déplacent des particules chargées (ex, électrons). Suivant le matériau, les porteurs de charges responsables du courant peuvent être différents. Dans un métal, ce sont des électrons, dits de conduction (la nature et le signe des porteurs de charge peuvent être déterminés grâce à l’effet Hall –voir cours magnétostatique). Dans un gaz constitué constitué de particules ionisées, un plasma, plasma, ou bien dans un électrolyte, électrolyte, il peut y avoir plusieurs espèces chargées en présence. En toute généralité, on doit donc définir la densité locale de courant de la forme j= nα qα  vα 

∑ α 

où l’on fait une sommation sur toutes les espèces (électrons et ions) en présence. Dans le cas particulier d’un cristal composé d’ions immobiles (dans le référentiel du laboratoire) et d’électrons en mouvement, on a j = − ne eve où e est la charge élémentaire et ne la densité locale d’électrons libres. La densité de courant (donc le sens attribué à I) est ainsi dans le sens contraire du déplacement réel des électrons.

V.1.3- Loi d’Ohm microscopique (ou locale) Dans la plupart des conducteurs, on observe une proportionnalité entre la densité de courant et le champ électrostatique local,  j = γ  E  où le coefficient de proportionnalité γ est appelé la conductivité du milieu (unités : voir plus bas). On définit également η = 1 , la résistivité du milieu. La conductivité est une grandeur γ 

locale positive, dépendant uniquement des propriétés du matériau. Ainsi, le Cuivre possède une conductivité γ CU  = 5810 6 S/m, tandis que celle du verre (isolant) vaut γ verre = 10−11 S/m. Une telle loi implique que les lignes de champ électrostatique sont également des lignes de courant, indiquant donc le chemin pris par les charges électriques. Par ailleurs, comme γ est positif, cela implique que le courant s’écoule dans la direction des potentiels décroissants. D’où peut provenir cette loi ? Prenons le cas simple d’une charge électrique q soumise à la force de Coulomb mais aussi à des collisions (modèle de Drude). Ces collisions peuvent se décrire comme une force de frottement proportionnelle à la vitesse (moyenne) v de la charge. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit dv = qE − kv m dt  Cette équation montre qu’en régime permanent (stationnaire, mais non statique), la charge q atteint une vitesse limite v = µ  E  où µ=q/k est appelé la mobilité des charges. Ce régime est atteint en un temps caractéristique τ  = m / k , appelé temps de relaxation.

51 Ainsi, la loi d’Ohm microscopique (ou locale) s’explique bien par ce modèle simple de collisions des porteurs de charge. Mais collisions avec quoi ? On a longtemps cru que c’étaient des collisions avec les ions du réseau cristallin du conducteur, mais il s’avère qu’il s’agit en fait de collisions avec les impuretés contenues dans celui-ci. Prenons le cas du Cuivre, métal conducteur au sein duquel existe une densité numérique d’électrons de conduction de l’ordre de n e = 8 10 28 m−3 . Le temps de relaxation est alors de γ CU me −14 τ  = ≈ 2 10 10 s . C’est le temps typique entre deux collisions. Quelle est la distance 2 e ne maximale parcourue par les électrons pendant ce temps (libre parcours moyen)? Elle dépend de leur vitesse réelle : celle-ci est la somme de la vitesse moyenne v (le courant) et d’une vitesse d’agitation thermique de norme v th = kT / me ≈ 10 5 m/s à température ambiante mais dont la valeur moyenne (vectorielle) est nulle (pour mémoire, un fil de Cuivre d’une section de 1 mm 2 parcouru par un courant de 1 A, possède une densité de courant de 10 6  Am−2 et une vitesse moyenne de v = 0, 007 m / s ). Le libre parcours moyen d’un électron serait alors de −9 l = v th τ  ≈ 2 10 m un ordre de grandeur supérieur à la distance inter-atomique (de l’ordre de l’Angström). Ce ne sont donc pas les collisions avec les ions du réseau qui sont la cause de la loi d’Ohm.

V.1.4- Résistance d’un conducteur : loi d’Ohm macroscopique Considérons maintenant une portion AB d’un conducteur parcouru par un courant I. S’il existe un courant, cela signifie qu’il y a une chute de potentiel entre A et B,  B

 ∫  E ⋅ dl . On définit alors la résistance de cette portion par

U = V A − VB =

 A

 B

 R =

U   I 

=

 ∫  E⋅ dl  A

 ∫∫ γ   E⋅ d

2

S 

S 

où l’unité est l’Ohm (symbole Ω). Dans le cas simple d’un conducteur filiforme de section S où, sur une longueur L, le champ électrostatique est uniforme, on obtient le lien entre la résistance d’un conducteur (propriété macroscopique) et sa résistivité (propriété microscopique) EL  L =η  R = S  γ   E S  qui montre que les unités de la résistivité sont le l e Ωm (Ohm mètre).

Associations de résistances (a) Résistances en série Soient n résistances  Ri mises bout à bout dans un circuit et parcourues par un courant I. La tension aux bornes de la chaîne est simplement U = (V0 − V1 ) + (V1 − V2 ) + L + ( Vn −1 − Vn ) = R1 I + R2 I + L + Rn I   c’est à dire analogue à celle obtenue par une résistance unique dont la valeur est n

 R =

∑R

i

i =1

52

I V1 R 1

R 2

R 3

R 1

R n V2

I

V0

R 2 V1

R n V2

Vn

I

Résistances en série

Résistances en parallèle

(b) Résistances en parallèle Soient n résistances  Ri mises en parallèle sous une tension U = V1 − V 2 et alimentées par un courant I. Le courant se sépare alors en n courants U   I i =  Ri dans chacune des n branches. En vertu de la conservation du courant (voir ci-dessous), on a n n U  U  =  I = I i =  R i =1 i =1  Ri c’est à dire que l’ensemble des n branches est analogue à une résistance équivalente en série n 1 1

∑

 R

∑

=∑ i =1

Ri

V.2- Eléments d’un circuit électrique  V.2.1- Notion de circuit électrique Définitions : Un circuit électrique est constitué d’un ensemble de dispositifs appelés dipôles, reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi une structure fermée. Un nœud  d’un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus. Une branche est un tronçon de circuit situé entre deux nœuds. Enfin, une maille est un ensemble de branches formant une boucle fermée. Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de deux pôles, l’un par où s’effectue l’entrée du courant (borne plus), l’autre la sortie (borne moins). Il est caractérisé par sa réponse à une différence de potentiel U entre ses bornes : c’est à dire la courbe caractéristique I=f(U) . Un dipôle passif a une courbe passant par l’origine. Un dipôle actif  fournit un courant (positif ou négatif) même en l’absence d’une tension. Enfin, on appelle dipôle linéaire tout dipôle dont la courbe caractéristique est une droite. Nous avons vu que dans tout conducteur, la présence d’une résistivité entraîne une chute de tension et, en toute rigueur, il en va de même pour les fils. Mais ceux-ci étant mis en série avec d’autres dipôles, on néglige en général la résistance des fils devant celle des dipôles présents. Donc, les fils situés entre deux dipôles d’un circuit seront supposés équipotentiels.

Remarques importante s 1 . Dans l’exemple cité en V.1.1, le courant I n’existe que lors d’un temps court, correspondant à une phase que l’on appelle régime transitoire. Dans ce qui suit, on s’intéresse à des cas où un courant est établi de façon permanente dans un circuit, c’est à

53 dire dont l’intensité est la même en tout point du circuit . Cela exige évidemment que le circuit soit fermé. 2. Lorsqu’on ferme un circuit (par l’intermédiaire d’un interrupteur par ex), il faut un temps très court pour que les charges électriques « prennent connaissance » de l’ensemble du circuit. Ce temps correspond à celui pris par la lumière pour parcourir l’ensemble du circuit. C’est ce temps qui compte pour nous puisque c’est celui d’établissement du régime stationnaire. Autrement dit, tout ce qui est fait ici en courant continu, reste vrai pour un courant alternatif (du 50 Hz correspond à un temps de 20 ms, bien supérieur à la durée du régime transitoire).

V.2.2- Puissance électrique disponible Soit une portion AB d’un circuit, parcourue par un courant permanent I allant de A vers B. L’existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur à celui en B. Cette différence de potentiel se traduit par l’existence d’un champ électrostatique  E  produisant une force de Coulomb F = q E  capable d’accélérer une charge q. Ainsi, soit Pq = F ⋅ v la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q quelconque. Sachant que dans ce conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P mise en jeu dans le brin AB parcouru parcouru par un courant courant I est

∫∫∫

P=

 B

nPq dV  = brin AB  B

=

 B

dl  A

∫nP ∫∫dS = ∫ dl q

sec tion

 ∫∫  ∫ (nqv ⋅ dS ) E ⋅ dl =

 A sec tion

sec tion

 A  B

∫

E ⋅ dl  A

∫∫  

nq E ⋅ v dS  

(∫j∫⋅ dS)   sec tion

 B

dl = I[ V ( A) − V ( B)] = I ∫  E ⋅ dl  A

c’est à dire P = UI 

où U=V(A)-V(B)>0 puisque le courant s’écoule de A vers B. Cette puissance est donc la puissance électrique disponible disponible entre A et B, du simple fait qu’il y circule un courant I. Suivant la nature du dipôle placé entre A et B (récepteur), l’énergie électrique disponible sera convertie sous une forme ou une autre. Dans le cas simple où entre A et B ne se trouve qu’une résistance R, la puissance disponible P ne sert qu’à faire chauffer la résistance puisque U = RI . Cela se traduit par une dissipation d’énergie sous forme de chaleur, appelée effet Joule, et dont la puissance vaut 2 P J  = RI  Cette énergie électrique peut être également reconvertie en rayonnement (lampe), énergie mécanique (moteur), chimique (bac à électrolyse) ou même énergie cinétique ordonnée (diode à vide). Toute chaleur dégagée par le conducteur correspond à un gain d’énergie d’agitation thermique : cela signifie que de l’énergie cinétique a été communiquée au cristal par les électrons de conduction.

54

V.2.3- Nécessité d’une force électromotrice ou fém Si on applique le raisonnement précédent à un circuit fermé, c’est à dire si l’on regarde la puissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb, on obtient  A

 ∫  E ⋅ dl = I [V ( A) − V ( A)] = 0

P=I

 A

c’est à dire une puissance nulle ! Cela signifie qu’il ne peut y avoir de courant en régime permanent. Lorsque qu’il y a un courant, alors cela implique que la force de Coulomb n’est pas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur. Le courant dans un conducteur peut être compris avec l’analogie de la rivière circulant dans son lit. Pour qu’il y ait un écoulement, il faut que l’eau s’écoule d’une région plus élevée vers une région plus basse (d’un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas). Ainsi, le mouvement de l’eau d’un point élevé vers un point plus bas est bien dû à la simple force de gravitation. Mais si l’on veut constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l’énergie (grâce à une pompe) pour amener l’eau à une plus grande hauteur, et le cycle peut alors effectivement recommencer. C’est exactement ce qui se passe dans un circuit électrique: une force autre que la force électrostatique doit permettre aux porteurs de charge de remonter le potentiel.

Es I A

I

B

Em A

E= Es +Em

B

Le siège de la force responsable du courant dans un circuit est appelé le générateur. Regardons donc attentivement ce qui se passe à l’intérieur d’un générateur, où A correspond à la borne « - », B à la borne « + », le courant circulant donc de B vers A à l’extérieur du générateur. En régime permanent, les charges ne s’accumulent en aucun point du circuit, i l y a libre circulation des charges : cela implique donc que les charges doivent traverser le générateur. Or, V(B)>V(A), ce qui signifie qu’il y a un champ électrostatique  E s dirigé de B vers A à l’intérieur du générateur. Quel que soit le signe des porteurs de charge responsables du courant, si celui-ci va de B vers A à l’extérieur, alors  E s s’oppose au mouvement des charges à l’intérieur. La seule façon d’obtenir un régime stationnaire avec un courant permanent I, c’est donc d’avoir un champ supplémentaire, appelé champ électromoteur  E m , supérieur en norme et dirigé en sens inverse de  E s . Mettons maintenant le générateur en circuit ouvert (I=0). Le fait qu’une différence de potentiel (ddp) se maintienne entre ses bornes implique nécessairement la présence d’une autre force compensant l’attraction coulombienne. Ainsi, la force totale s’exerçant sur une charge q doit s’écrire F = q Es + Em  et, à l’équilibre et en l’absence de courant, on doit donc

(

)

avoir  Es + E m = 0 . Cela signifie donc que la ddp ou tension mesurée aux bornes d’un générateur ouvert vaut  B

V A− V B =

 ∫ E  A

 B

⋅ dl = − ∫ E m ⋅ dl

s

 A

55 où, bien évidemment, V A − V B < 0. On appelle  B

e=

 ∫ E

m

⋅ dl

 A

(de façon un peu maladroite) la force électromotrice ou fém du générateur (e>0 est exprimée en Volts). Dorénavant, on utilisera la notation  E s pour le champ électrostatique et  E m pour le champ électromoteur. Nous verrons en magnétostatique un exemple de champ électromoteur. Puisque, à l’intérieur du générateur, on a  Es = − E m ≠ 0 en l’absence de courant, cela signifie qu’un générateur est un conducteur non-équipotentiel. A l’équilibre, mais en présence d’un courant I (générateur branché dans un circuit fermé), les porteurs de charge responsables de ce courant subissent une force supplémentaire, due aux collisions se produisant à l’intérieur du conducteur. Pour un générateur idéal, ces collisions sont négligeables et l’on obtient V A − VB = −e . En revanche, pour un générateur non idéal, de telles collisions se produisent et se traduisent par l’existence d’une résistance interne r. D’après le modèle de Drude, on a simplement  B  k    E E  v  ⋅ dl = 0 + −  s m q    A

 ∫ 

 B

V A − VB + e =

 B

k 

 ∫ q v ⋅ dl = ∫ η j ⋅ dl = rIrI    A

 A

C’est à dire une tension aux bornes du générateur V A − VB = rI − e . La résistance interne de celui-ci introduit une chute de tension, ce qui fait qu’il délivre une tension inférieure à celle donnée par sa fém. Les générateurs diffèrent selon la source d’énergie utilisée et la méthode de conversion de celle-ci en énergie électrique (autrement dit, selon la nature de  E m ). On peut ainsi produire de l’énergie électrique à partir d’une pile (énergie chimique), d’un générateur électrostatique (énergie mécanique, ex machine de Van de Graaf), d’une dynamo (énergie mécanique), d’une pile solaire (énergie du rayonnement) ou d’un thermocouple (chaleur, c’est à dire énergie cinétique désordonnée). Dans la suite, nous supposerons simplement l’existence d’une fém e dans un circuit, localisée dans un dipôle appelé générateur, sans préciser sa nature. Reprenons le calcul fait précédemment mais appliquons-le cette fois-ci à l’ensemble du circuit. Soit alors V  le volume total occupé par le conducteur formant le circuit et F  la force s’exerçant sur les charges mobiles q et donc responsable de leur mouvement. La puissance totale P qui doit être fournie en régime permanent est alors

∫∫ ∫

P=

nPq dV  = circuit

V 

F ⋅ dl

∫

= circuit

q

∫nP ∫d∫S = 

dl

sec tion

∫(∫j⋅ dS) = sec tion

circuit

I 

∫n F ⋅ v∫∫dS =    ∫ 

dl

q

F ⋅ dl

∫ q 

sec tion

circuit  sec tion

=  Ie

circuit  

où e=

 ∫

F 

circuit  q

⋅ dl =

∫  E circuit 

m

⋅ dl

(nqv∫⋅∫dS ) F  q⋅ dl

56

est la fém totale du circuit. L’intégrale portant sur l’ensemble du circuit, la fém totale est donc la somme des fém présentes le long du circuit. Si celles-ci sont localisées dans des dipôles, l’expression précédente devient e = ek 

∑ k 

où les ek  sont les valeurs algébriques des différentes fém : 1. ek >0 correspond à un générateur (production d’énergie électrique) ; 2. ek <0 correspond à un récepteur (consommation d’énergie électrique). Un moteur convertit de l’énergie électrique en énergie mécanique et correspond donc à un récepteur de fém négative : on dit également qu’il possède une force contre-électromotrice ou fcém.

V.3- Lois régissant les circuits électriques 

V.3.1- Loi d’Ohm généralisée R 

A

B

e I Considérons un brin AB d’un circuit électrique fermé, parcouru par un courant I, de résistance R et ayant une fém e. La loi d’Ohm généralisée s’écrit V A − VB = RI − e

 Remarques 1. Cette expression n’est valable que lorsque le courant s’écoule de A vers B. 2. On peut réinterpréter la résistance R comme étant la résistance totale du brin AB (fil, résistance et résistance interne du générateur) et e comme la fém totale (somme algébrique de toutes les fém). 3. L’effet Joule fait chuter le potentiel tandis que le générateur (e>0) remonte le potentiel. 4. Si e<0, cela signifie que le dipôle associé fait chuter le potentiel. On appelle alors e la force contre-électromotrice (fcém). Elle peut être due soit à un moteur (récepteur pur) , soit à un générateur dont la polarité est opposée à celle du générateur principal, responsable du courant circulant entre A et B.

V.3.2- Lois de conservation dans un circuit (lois de Kirchhoff) Les lois de l’électrocinétique, connues sous le nom de lois de Kirchhoff, sont en fait de simples lois de conservation. 1. Conservation du courant (loi des nœuds) Soit un nœud quelconque du circuit sur lequel arrive un certain nombre de fils. Sur chacun de ces fils, circule un courant. En régime permanent, la conservation de la charge électrique se

57 traduit par la conservation du courant : en aucun point du circuit il ne peut y avoir accumulation (ou perte) de charges. Cela signifie donc que l’ensemble des courants entrants compense exactement les courants sortants,

I1

I2

∑ I

entrants

I5 I4

I3

= ∑ I sortants

Ceci constitue la loi des nœuds ou l’équation aux nœuds.

I1 + I 2 + I4 = I 3 + I  2. Conservation de l’énergie (loi des mailles) Soit une maille d’un circuit constituée de n branches. L’équation aux branches pour la k-ième branche s’écrit Uk = Rk Ik − ek   où  Rk  ,  I k  et ek  sont respectivement la résistance totale, le courant et la fém contenues dans cette branche. La conservation de l’énergie pour cette maille s’exprime par le fait que, partant du nœud 1 et revenant à ce nœud, on retrouve le même potentiel, c’est à dire V1 − V1 = V1 − V2 + L + Vn − V1 = U1 + L + Un =  0 . La loi des mailles (ou équation de maille) s’exprime tout simplement par n

∑( R I

k k

− ek  ) = 0

k =1

V.3.3- Résolution pratique des équations en électrocinétique En général, on cherche à calculer les courants  I k  qui circulent dans chacune des branches d’un circuit, étant donné ses résistances  Rk  et ses générateurs (ou récepteurs, selon le sens de branchement) ek . Du fait des lois de conservation ci-dessus, un circuit comportant n branches n’a pas n courants  I k  indépendants les uns uns des autres. Le nombre réel d’inconnues d’inconnues est en fait M = B− N +  1 où B est le nombre de branches du circuit et N le nombre de nœuds. Pour résoudre ce problème on utilisera la méthode suivante : 1. Choisir M mailles indépendantes, c’est à dire ayant au moins une branche non partagée avec une autre maille. 2 . Sur chacune de ces mailles, définir un sens de parcours arbitraire pour le courant de maille  I m . n

3. Ecrire les M équations de maille

∑( R I

k  m

− ek  ) = 0 , en suivant le sens de parcours choisi

k = 1

pour  I m . Pour être en accord avec la convention de la loi d’Ohm généralisée, le signe de

58 chaque fém ek doit dépendre de la polarité rencontrée en suivant le courant. Ainsi, si l’on rencontre la borne +, on met un signe + ( Rk  Im + ek  = 0 ), tandis que si l’on rencontre la borne -, on met le signe - ( Rk Im − ek  = 0 ). En suivant cette méthode, on obtient M équations à M inconnues (les courants de maille). Si, après calculs, un courant de maille est positif, cela signifie qu’il est effectivement dans le sens choisi initialement. On détermine enfin les courants réels  I k  circulant dans chaque branche ( courants de branches ), en choisissant arbitrairement leur sens, puis en exprimant ceux-ci en fonction des M courants de maille  I m . On pourra vérifier que cette méthode permet de satisfaire automatiquement la conservation du courant (loi des nœuds).

Exemple : Le pont de Wheatstone Le pont de Wheatstone possède M=6-4+1=3 mailles indépendantes. On choisit par exemple les 3 mailles suivantes : • ABDA, de courant de maille i1 allant de A vers B. • BCDB, de courant de maille i2 allant de B vers C. • GADCG, de courant de maille i3 allant de A vers C.

G I1

i3 D I2

En choisissant arbitrairement le sens des 6 courants de branche  I k  comme sur la figure, on obtient les relations suivantes : I1 = i3 I2 = i3 − i1 I3 = i3 − i2

I3 I6

A

i2

i1

I5

I4

I4 = i1

C

B

I5 = i2

I6 = i1 − i2

qui satisfont bien automatiquement la conservation du courant aux 4 nœuds I1 = I2 + I4 I3 = I2 + I6 I4 = I5 + I6 I1 = I3 + I5  

Il ne nous reste plus qu’à écrire les 3 équations de maille (étape 3) pour calculer les 3 courants de maille, puis en déduire les courants réels  I k  circulant dans chaque branche. En utilisant cette méthode, on se ramène à la résolution d’un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues, au lieu d’un système linéaire de 6 équations à 6 inconnues…

V.3.3- Le théorème de Thèvenin  Enoncé : tout réseau linéaire compris entre deux bornes A et B, aussi compliqué soit-il, est  équivalent à un générateur unique de fém e et de résistance interne r telles que 1. e = E  est la tension mesurée entre A et B à l’aide d’un voltmètre ; 2. r = Req , où  Req est la résistance équivalente du réseau, obtenue en posant que toutes les fém et fcém sont nulles. nulles.

59

A

I Réseau linéaire (complexe)

U= VA-V B > 0 B

I

La démonstration est assez simple. Considérons un réseau constitué de n fém algébriques ek . Si ce réseau est linéaire, c’est à dire si sa courbe caractéristique I=f(U) est une droite, alors on a n

I=

∑ae+ k k 

bU  

k =1

où les ak  et b sont des constantes ne dépendant que des résistances du circuit et qui sont donc à déterminer. Si l’on place un voltmètre parfait (résistance interne infinie) aux bornes du réseau, le courant I n

est nul et on mesure une tension V A − VB = E , ce qui fournit

∑a e

k k 

+ bE  = 0 c’est à dire

k = 1

I = b( U − E)  A

A

I

Iext R eq eq

E I

U Iext

B

B

VA - VB = U = R eq eqIext Iext = - I

Maintenant, si l’on pose ek  = 0 , c’est à dire si l’on remplaçait tous les générateurs et tous les récepteurs par uniquement leurs résistances internes, alors  E  = 0 : le réseau se ramène à une simple résistance équivalente. Celle-ci serait alors mesurable en traçant la courbe caractéristique Iext  = f ( U) ,  où le courant  I ext  serait produit grâce à un générateur externe fournissant une tension U. En faisant attention au signe du courant, on obtiendrait U  I= − bU=  −  Req où le signe moins est dû au fait que le courant est ici en sens inverse de celui produit par le réseau lui-même ( I = − I ext  ). En rassemblant ces deux cas particuliers, on obtient que la tension aux bornes du réseau peut toujours s’écrire V A− V B= E − R eIq   Ceci achève la démonstration du théorème de Thèvenin.

Université Joseph Fourier DEUG Sma – SP2-2

Cours de Magnétostatique  Jonathan Ferreira

Année universitaire 2001-2002

Plan du cours I-

II-

III-

IV-

Le champ magnétique 1. Introduction a. Bref aperçu historique b. Nature des effets magnétiques 2. Expressions du champ magnétique a. Champ créé par une charge en mouvement b. Champ créé par un ensemble de charges en mouvement c. Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) d. Propriétés de symétrie du champ magnétique 3. Calcul du champ dans quelques cas simples a. Fil rectiligne infini b. Spire circulaire (sur l’axe) c. Solénoïde infini (sur l’axe) Lois Fondamentales de la magnétostatique 1. Flux du champ magnétique a. Conservation du flux magnétique b. Lignes de champ et tubes de flux 2. Circulation du champ magnétique a. Circulation du champ autour d’un fil infini b. Le théorème d’Ampère c. Relations de continuité du champ magnétique d. Les trois façons de calculer le champ magnétique 3. Le dipôle magnétique a. Champ magnétique créé par une spire b. Le modèle du dipôle en physique Actions et énergie magnétiques 1. Force magnétique sur une particule chargée a. La force de Lorentz b. Trajectoire d’une particule particule chargée en présence d’un d’un champ champ c. Distinction entre champ électrique et champ électrostatique 2. Actions magnétiques sur un circuit fermé a. La force de Laplace b. Définition légale de l’Ampère c. Moment de la force magnétique exercée sur un circuit d. Exemple du dipôle magnétique e. Complément : force de Laplace et principe d’Action et de Réaction 3. Energie potentielle magnétique a. Le théorème de Maxwell b. Energie potentielle d’interaction magnétique c. Expressions générales générales de la force et du couple couple magnétiques d. La règle du flux maximum Induction électromagnétique 1. Les lois de l’induction a. L’approche de Faraday b. La loi de Faraday c. La loi de Lenz 2. Induction mutuelle et auto-induction auto-induction a. Induction mutuelle entre deux circuits fermés b. Auto-induction 3. Régimes variables a. Définition du régime quasi-statique b. Forces électromotrices induites c. Retour sur l’énergie l’énergie magnétique d. Bilan énergétique énergétique d’un circuit circuit électrique

1

Chapitre I- Le champ magnétique

I.1- Introduction  I.1.1 Bref aperçu historique Les aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué. Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y avait déjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des faits étranges : • Les orages perturbent les boussoles • La foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques. Franklin en déduisit « la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènes électriques et magnétiques ». Coulomb (1785) montre la décroissance en 1 r 2 des deux forces. Mais il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, la théorie de l’électromagnétisme. l’ électromagnétisme. Tout commença avec l’expérience de Oersted en 1820. Il plaça un fil conducteur au dessus d’une boussole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussole est effectivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et le champ magnétique. Par ailleurs, il observa : • Si on inverse le sens du courant, la déviation change de sens. • La force qui dévie l’aiguille est non radiale. L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de Biot et Savart. Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut : si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ? Ceci fut effectivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arc électrique était dévié dévié dans l’entrefer d’un gros aimant. L’élaboration de la théorie électromagnétique mit en jeu un grand nombre de physiciens de renom : Oersted, Ampère, Arago, Faraday, Foucault, Henry, Lenz, Maxwell, Weber, Helmholtz, Hertz, Lorentz et bien d’autres. Si elle débuta en 1820 avec Oersted, elle ne fut

2 mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante qu’en 1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein. Dans ce cours de magnétostatique, nous traiterons dans les chapitres I à III de la question suivante : comment produire un champ magnétique à partir de courants permanents ? Nous n’aborderons que partiellement (chapitre IV) le problème inverse : comment produire de l’électricité à partir d’un champ magnétique ?

I.2.1- Nature des effets magnétiques magnétiques Jusqu’à présent nous n’avons abordé que des particules chargées immobiles , ou encore des conducteurs (ensembles de particules) en équilibre. Que se passe-t-il lorsqu’on considère enfin le mouvement des particules ? Soient deux particules q1 et q2 situées à un instant t aux points  M 1 et  M 2 . En l’absence de mouvement, la particule q1 créé au point  M 2 un champ électrostatique  E1 ( M 2 ) et la particule q2 subit une force dont l’expression est donnée par la loi de Coulomb F1 / 2 = q2 E1 ( M2 )  Qui dit force, dit modification de la quantité de mouvement de q2 puisque F 1 / 2 =

d p2

≈

∆ p2 . ∆t 

dt  Autrement dit, la force électrostatique due à q1 crée une modification ∆ p2 pendant un temps ∆t . Une force correspond en fait à un transfert d’information (ici de q1 vers q2 ) pendant un court laps de temps. Or, rien ne peut se propager plus vite que la vitesse c de la lumière. Cette vitesse étant grande mais finie, tout transfert d’information d’un point de l’espace à un autre prend nécessairement un temps fini. Ce temps pris par la propagation de l’information introduit donc un retard, comme nous allons le voir. On peut considérer l’exemple ci-dessus comme se qui se passe effectivement dans le référentiel propre de q1. Dans un référentiel fixe, q1 est animée d’une vitesse v1 . Quelle serait alors l’action de q1 sur une particule q2 animée d’une vitesse v 2 ?

E1(t-dt)

E1(t)

 v 2dt r

 v 2

q2

u12 c dt  v 1dt  v 1

q1 Soit dt le temps qu’il faut à l’information (le champ électrostatique créé par q1 ) pour se propager de q1 vers q2 . Pendant ce temps, q1 parcourt une distance v1dt  et q2 parcourt la distance v2 dt . Autrement dit, lorsque q2 ressent les effets électrostatiques dus à q1 , ceux-ci ne sont plus radiaux : le champ E1 ( t − dt)  « vu » par q2 est dirigé vers l’ancienne position de q1 et dépend de la distance cdt et non pas de la distance r. On voit ici qu’il faut corriger la loi de

3 Coulomb qui nous aurait donné le champ  E1 (t ) , qui est faux (suppose propagation instantanée de l’information ie. une vitesse infinie).  Les effets électriques ne peuvent se résumer au champ électrostatique . Cependant, l’expérience montre que la prise en compte de cette correction ne suffit pas à expliquer la trajectoire de q2 : une force supplémentaire apparaît, d’ailleurs plus importante que cette correction ! La force totale exercée par q1 sur q2 s’écrit en fait F 1 / 2 =

 u12 4 πε 0 r 2  q1q 2

v  ∧  1 ∧ u12   c  c 

v2

+

Dans cette expression (que l’on admettra) on voit donc apparaître un deuxième terme qui dépend des vitesses des deux particules ainsi que la vitesse de propagation de la lumière. Ce deuxième terme s’interprète comme la contribution d’un champ magnétique créé par q1 . Autrement dit, F1 / 2 = q2 E1 + v2 ∧ B1

(

)

2

la force magnétique est une correction en ( v / c) à la force de Coulomb. Nous reviendrons plus tard (chapitre III) sur l’expression et les propriétés de la force magnétique. Cette expression n’est valable que pour des particules se déplaçant à des vitesses beaucoup plus petites que celle de la lumière (approximation de la magnétostatique). Dernière remarque : cette expression dépend de la vitesse de la particule, ce qui implique que le champ magnétique dépend du référentiel (voir discussion chapitre III) !

I.2- Expressions du champ magnétique  I.2.1- Champ magnétique créé par une charge en mouvement D’après ci-dessus, le champ magnétique créé en un point M par une particule de charge q située en un point P et animée d’une vitesse v dans un référentiel galiléen est

P q

v  B( M ) =

M

µ 0 qv ∧ PM   3 4 π PM 

B(M) L’unité du champ magnétique dans le système international est le Tesla (T). Une autre unité appartenant au système CGS, le Gauss (G), est également très souvent utilisée utilisée : -4 1 Gauss = 10 Tesla . Le facteur µ 0 est la perméabilité du vide : il décrit la capacité du vide à « laisser passer » le champ magnétique. Sa valeur dans le système d’unités international MKSA est

µ 0 = 4 π 10 −7

-1

H.m (H pour Henry)

4  Remarques : • Cette valeur est exacte, directement liée à la définition de l’Ampère (voir Chapitre III). Le facteur 4π a été introduit pour simplifier les équations de Maxwell (cf Licence). • Nous avons vus que les phénomènes électriques et magnétiques sont intimement reliés. Les expériences de l’époque montrèrent que la vitesse de propagation était toujours la même, à savoir c, la vitesse de la lumière. Cela signifiait qu’il y avait donc un lien secret entre le magnétisme, l’électricité et la lumière, et plongeait les physiciens dans la plus grande perplexité. On pose donc µ 0ε 0 c 2 = 1 ce qui permet de définir la valeur de la permittivité du vide (caractéristique décrivant sa capacité à affaiblir les forces électrostatiques) 10 −9 ε 0 ≈ F.m -1 (F pour Farad) 36 π la valeur approchée provenant de notre connaissance approchée de la valeur de la vitesse de la lumière.

 Deux propriétés importantes du champ magnétique: • De même que pour le champ électrostatique, le principe de superposition s’applique au champ magnétique. Si on considère deux particules 1 et 2 alors le champ magnétique créé en un point M quelconque de l’espace sera la somme vectorielle des champs créés par chaque particule. • Du fait du produit vectoriel, le champ magnétique est ce qu’on appelle un pseudo-vecteur (voir plus bas). Quelques ordres de grandeur : • Un aimant courant  B ≈ 10 mT • Un électroaimant ordinaire  B ≈ Tesla • Une bobine supraconductrice  B ≈ 20 Tesla • Une bobine résistive  B ≈ de 30 à 1000 Tesla • Champ magnétique interstellaire moyen :  B ≈ µG • Champ magnétique dans une tache solaire  B ≈ kG ≈ 0.1 Tesla • Champ magnétique terrestre :  B⊥ ≈ 0, 4 G , Bhorizontal ≈ 0.3 G

•

Champ magnétique d’une étoile à neutrons  B ≈ 108 Tesla

I.2.2- Champ magnétique créé par un ensemble de charges en mouvement Considérons N particules de charges q i situés en des points Pi et de vitesse v i . En vertu du principe de superposition, le champ magnétique créé en un point M est la somme vectorielle des champs créés par chaque particule et vaut

µ 0  N  qi v i ∧ Pi M    B( M ) = ∑ 3 4π i=1 P M  i

Si le nombre de particules est très grand dans un volume V donné et qu’on s’intéresse à des échelles spatiales bien plus grandes que la distance entre ces particules, il est avantageux

5 d’utiliser une description continue. Il faut donc définir des distributions continues comme nous l’avons fait en électrostatique. Mais des distributions continues de quoi ? Le passage à la limite continue consiste à assimiler tout volume élémentaire d 3V , situé autour d’un point P’ quelconque de la distribution de charges en mouvement, à une charge dq animée d’une vitesse moyenne v . Le champ magnétique résultant s’écrit alors dqv (P ′) ∧ P ′M   µ  B( M ) = 0 3 4π V  P ′M 

 ∫ 

où l’intégrale porte sur le volume V total t otal embrassé par ces charges. En toute généralité, considérons α espèces différentes de particules (ex : électrons, ions), chacune animée d’une vitesse vα  , de charge qα  et d’une densité numérique nα . On peut alors écrire dq v =

∑n q α

α

vα d 3V ,  où la somme porte sur le nombre d’espèces différentes et non sur

α 

le nombre de particules. On reconnaît ainsi l’expression générale du vecteur densité locale de courant j = α  nα qα vα  .

∑

L’expression du champ magnétique créé par une distribution volumique de charges quelconque est donc  B( M ) =

µ0 j ( P ′ ) ∧ P ′M   3 d V  3 4 π ∫∫∫  P′M  V 

Ce résultat est général et valable quelle que soit la forme du conducteur. On peut l’appliquer, par exemple, à l’intérieur d’un métal de volume V quelconque.

I.2.3- Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) Dans le cas particulier d’un circuit filiforme fermé, parcouru par un courant permanent I, la formule précédente va nous fournir la loi de Biot et Savart.

M

d2S  v(P’)

B(M)

I

P P

dl=v dt

C

dOP

Section du fil 2 Dans ce cas, le volume élémentaire s’écrit d 3V = d 2 S dl dl où d S  est un élément de surface transverse situé en P’ et dl un élément de longueur du fil.

6 Or, on considère toujours des cas où le point M est situé à une distance telle du fil qu’on peut considérer celui-ci comme très mince. Plus précisément, le vecteur vitesse (ou densité de courant) a la même orientation sur toute la section du fil ( j  parallèle à dl et à d 2 S ). Ainsi, on écrit

B ( M )=

j ( P′ ) ∧ P′ M   2 µ0 µ d ∫∫  l d S  = 0 ∫  3  ∫ 4 π circuit sec tion 4 π circuit P′M 

  2 j P d S ( ) ′   ∫∫   dl ∧ PM   sec tion   

PM 

3

  2   ∫∫  j( P′) ⋅ d S dl ∧ PM   I dl dl∧ PM   µ µ  = 0  ∫  sec tion = 0  ∫  3 3 4 π circuit  4 π circuit  PM  PM  =

dOP∧ PM PM   µ0 I 3  ∫  PM  4 π circuit 

où l’on a utilisé P’M>>PP’ (donc P ′M ≈ PM ), P étant un point sur le fil (centre de la section). Par ailleurs, nous avons utilisé le fait que la normale à la section ainsi que dl étaient orientés

(

)

dans le sens du courant ( j d 2 S dl = j ⋅ d 2 S dl ).

Formule de Biot et Savart : en un point M quelconque de l’espace, le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant permanent I est  B( M ) =

dP ∧ PM   µ0 I  ∫  PM  3 4 π circuit 

où P est un point quelconque le long du circuit et dP = dOP . La formule de Biot et Savart (1820) a été établie expérimentalement et fournit un lien explicite entre le champ magnétique et le courant. Mais ce n’est que plus tard (1880+) que les physiciens ont réalisé que le courant était dû au déplacement de particules dans un conducteur.

Règles mnémotechniques mnémotechniques : Dans l’utilisation de la formule de Biot et Savart, il faut faire attention au fait que le champ magnétique créé par un circuit fermé est la somme vectorielle de tous les dB , engendrés par un élément de circuit , dont le sens est donné par celui du courant I, dB =

µ 0 I dP ∧ PM   3 4π PM 

Or, chaque dB est défini par un produit vectoriel. Il faut donc faire extrêmement attention à l’orientation des circuits. Voici quelques règles mnémotechniques mnémotechniques : • Règle des trois doigts de la main droite • Règle du bonhomme d’Ampère • Règle du tire-bouchon • Règle des pôles magnétiques

7

I.2.4- Propriétés de symétrie du champ magnétique Ces propriétés sont fondamentales car elles permettent de simplifier considérablement le calcul du champ magnétique. Du fait que le champ soit un effet créé par un courant, il contient des informations sur les causes qui lui ont donné origine. Cette trivialité se traduit par la présence de certaines symétries et invariances si les sources de courant en possèdent également. Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie de la densité de courant, on pourra connaître celles du champ magnétique.

Vecteurs et pseudo-vecteurs pseudo-vecteurs Un vecteur polaire, ou vrai vecteur, est un vecteur dont la direction, le module et le sens sont parfaitement déterminés. Exemples : vitesse d’une particule, champ électrostatique, densité de courant. Un vecteur axial, ou pseudo-vecteur, est un vecteur dont le sens est défini à partir d’une convention d’orientation d’espace et dépend donc de cette convention. Exemples : le vecteur rotation instantanée, le champ magnétique, la normale à une surface. Cette différence provient du produit vectoriel : le sens du produit vectoriel dépend de la convention d’orientation de l’espace. Le produit vectoriel de deux vrais vecteurs (respectivement pseudo-vecteurs) est un pseudo-vecteur (resp. vrai vecteur), tandis que celui d’un vrai vecteur par un pseudo-vecteur est un pseudo-vecteur.

c a

a’  b

 b’

c’

c=a b Transformation par rapport à un plan de symétrie

Orienter l’espace revient à associer à un axe orienté un sens de rotation dans un plan perpendiculaire à cet axe. Le sens conventionnellement choisi est déterminé par la règle du tire-bouchon de Maxwell ou la règle du bonhomme d’Ampère (pour le champ magnétique mais aussi pour le vecteur rotation instantanée).

Transformations géométriques d’un vecteur ou d’un pseudo-vecteur Vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou une translation. Il n’en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dans ces transformations

• •

un vecteur est transformé en son symétrique, un pseudo-vecteur est transformé en l’opposé du symétrique.

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E

E

E

B

B’ E’

E’

B

B’

B

B’

E’

Transformation d’un vecteur par symétrie par rapport à un plan

Transformation d’un pseudo-vecteur par symétrie par rapport à un plan

Soit  A′( M ′) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan S à partir de  A( M ) . D’après la figure ci-dessus, on voit que 1) si  A( M ) est un vrai vecteur

• •

A′( M′) = A( M)  si  A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S ;

• •

A′( M′) = A( M)  si  A( M ) est perpendiculaire à S ;

A′( M′) = − A( M)   si  A( M ) est perpendiculaire à S. 2) au contraire, si  A( M ) est un pseudo-vecteur pseudo-vecteur A′( M′) = − A( M)   si  A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S.

Ces deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrie utiles.

Principe de Curie « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. » Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à un système physique (ex : ensemble de particules, distribution de charges et/ou de courants) susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations. Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Règles de symétrie • Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe axe Oz, les effets ne dépendent pas de z. • Symétrie axiale : si S est invariant i nvariant dans toute rotation θ  autour d’un axe Oz, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ( ρ, θ , z ) ne dépendent pas de θ . • Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques cylindriques ( ρ, θ , z ) ne dépendent que de la distance à l’axe l’ axe ρ . • Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alors ses effets exprimés en coordonnées sphériques (r,θ , ϕ ) ne dépendent que de la distance au centre r . • Plan de symétrie ∏: si S admet un plan de symétrie ∏, alors en tout point de ce plan, • un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan

9

•

•

un effet à caractère pseudo-vectoriel lui est perpendiculaire. Plan d’antisymétrie ∏’ : si, par symétrie par rapport à un plan ∏’, S est transformé en –S, alors en tout point de ce plan, • un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan • un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan.

+ + + + + + ++ ++ + ---- - -- - - - -

-

Exemples de plans d’antisymétrie

Voici quelques règles simples et très utiles, directement issues de la liste ci-dessus : • Si  j  est invariant par rotation autour d’un axe,  B l’est aussi. • Si  j  est poloidal (porté par uρ  et/ou u z ), alors  B est toroïdal (porté par uθ  ).

• •

Si  j  est toroïdal, alors  B est poloidal. Si le système de courants possède un plan de symétrie, alors  j  est contenu dans ce plan et donc  B lui est perpendiculaire.

Pourquoi un vecteur A( x1 , x2 , x3 ) est indépendant de la variable  x1 si le système S n’en dépend pas ? Soit un point M( x1 , x2 , x3) dont les coordonnées sont exprimées dans un système quelconque. Soit un point M’ lui étant infiniment proche. On a alors  ∂ A  A1 ( M ′) = A1( x1 + dx1, x2, x3 ) ≈ A1( x1, x2, x3 ) + 1 dx1 ∂  x1 

 ∂ A  A( M ′) =  A2 ( M′) = A2 ( x1 + dx1, x2, x3 ) ≈ A2 ( x1, x2, x3 ) + 2 dx1 ∂  x1   ∂ A  A3 ( M′) = A3 ( x1 + dx1, x2, x3 ) ≈  A A3 ( x1 , x2 , x3 ) + 3 dx1  ∂  x1

c’est à dire, de façon plus compacte A( M′) = A( M)  +

∂ A ∂  x1

dx1 . Si le système physique S reste

invariant lors d’un changement de M en M’, alors (Principe de Curie) A′( M′) = A( M) . On a ∂  A = 0 en tout point M, ce qui signifie que A( x2 , x3 ) ne dépend pas de  x1 . On peut donc ∂  x1 suivre le même raisonnement pour chacune des autres coordonnées. coordonnées. Pourquoi un vrai vecteur vecteur appartient nécessairement nécessairement à un plan ∏ de symétrie ? Quel que soit M de S, soit M’ son symétrique par rapport à ∏. Ce plan étant un plan de symétrie, cela signifie que f(M)=f(M’) pour toute fonction de M. Ceci est en particulier vrai pour chaque composante Ai ( M) = Ai ( M′)  du vecteur  A( M ) . On a donc A′( M′) = A( M)  ce qui implique que  A( M ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que ∏. Si  A( M ) est un pseudo-vecteur, alors on vient de montrer que  A( M ) est nécessairement nécessairement perpendiculaire à ∏.

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Pourquoi un vrai vecteur est nécessairement nécessairement perpendiculaire à un plan ∏’ d’antisymétrie ? Ce plan étant un plan d’antisymétrie, on a f(M’)=-f(M) pour toute fonction de M. Ceci étant vrai pour chaque composante du vecteur  A( M ) , on a donc Ai ( M′) = − Ai ( M)  , ce qui implique que  A( M ) est perpendiculaire à ∏’ (ou lui appartient si  A( M ) est un pseudo-vecteur). pseudo-vecteur).

I.3- Calcul du champ dans quelques cas simples  I.3.1- Fil rectiligne infini

dOP P α

O

M

a

I

On considère un fil rectiligne, infini, parcouru par un courant I permanent. La densité de courant possède une invariance par translation selon l’axe z ainsi que par rotation autour de cet axe. Elle possède donc une symétrie cylindrique. Les calculs seront donc plus simples dans le système de coordonnées cylindriques . Enfin, la densité de courant étant poloïdale, c’est à dire j( ρ,θ , z) = j( ρ ) u z , le champ magnétique est toroïdal B( ρ, θ , z) = B( ρ ) uθ  Calculons le champ créé en un point M situé à une distance a du α . La loi de Biot et fil par un élément dOP vu sous un angle α . Savart donne µ I dOP ∧ PM   dB = 0 3 4π PM 

où PM = PO + OM .  Comme, par raison de symétrie, seule la composante selon uθ  est non

 ∫

nulle, on ne s’intéresse qu’à celle-ci, c’est à dire B= dBθ  =

(

)

dB⋅ uθ =

∫  dB avec θ 

µ 0 I  d OP ∧ OM ⋅ uθ  µ 0 I dOP. PM cos α µ I dOP cos α  = u z ∧ uρ ⋅ uθ  = 0 3 3 2 4π 4π 4π PM  PM  PM 

(

Or, OP = PM sinα = a tan α  d’où dOP =

a 2

cos α 

)

d α  et on obtient alors

π

 ∫

B=

µ 0 I  2 cos α  µ 0 I  dB d  α  = = θ  a 4 π −∫  2 πa π 2

I.3.2- Spire circulaire (sur l’axe) Considérons maintenant le cas d’une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courant permanent I. On ne s’intéresse ici qu’au champ magnétique sur l’axe z de la spire.

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M

La densité de courant étant toroïdale et invariante par rotation autour de l’axe z, c’est à dire j( ρ,θ , z) = j( ρ , z) uθ  , le champ magnétique sera poloidal B( ρ,θ , z) = Bρ ( ρ, z) uρ  + B z ( ρ, z) u z

dB

α

O R 

I

P

Cependant, sur l’axe z, la composante radiale du champ s’annule et il ne reste qu’une composante selon z.

dOP

En projetant la loi de Biot et Savart sur z on obtient µ 0 I dOP sin α µ 0 I dOPsin 3 α  µ 0 I  3 sin α d θ  dB z = = = 2 2 4π 4 4 π π  R  R PM  B=

 z

 ∫

spire

µ I  3 dzB= 0 sin α 4 π R

2π

µ 0 I 

∫ d θ = 2 R sin

3

α  =

0

µ 0 I 2

R

( R

2

2

+ z2 )

3

2

I.3.3- Solénoïde infini (sur l’axe) Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. On suppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme une  juxtaposition de spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant permanent I. Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent que le champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaque spire, est suivant z uniquement. Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur épaisseur dOP=dz, il y a Ndz spires Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe µ NIdz 3 sin α  dB = 0 2 R R où la position z est reliée à l’angle par tan α  = . Si on prend la différentielle de cette  z expression, on obtient R dz = d α  2 sin α  Attention au signe de dz qui doit être cohérent avec notre convention de signe. Ici, dz>0 pour α  > 0 . Le champ magnétique total s’écrit donc un d α  α 2

B=

 ∫

dB=

µ 0 NI  2

α 1

α 2

∫ 

sin α d α =

α 1

µ 0 NI  2

(cos α1 − cos α 2 )

 

Pour un solénoïde infini, on a α1 → 0 et α 2 → π , d’où un champ sur l’axe B= µ 0 NI   dz

R  I

O

P

M

α

dB

z

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Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique magnétostatique Aucune des lois fondamentales citées ici ne sera démontrée. Elles constituent des faits d’expérience traduits dans un formalisme mathématique, apuré au fil des ans. En Licence, ces lois seront énoncées sous forme d’équations de Maxwell, postulats de l’électromagnétisme.

II.1- Flux du champ magnétique 

II.1.1- Conservation du flux magnétique Considérons une surface fermée S quelconque, s’appuyant sur une courbe C fermée et orientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface dS = dS n dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention).

dS n S1

C S2

dS n S= S1 + S2

Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée vaut

Φ = ∫∫   B⋅ dS = 0 S 

Cette loi est générale et reste valable même en régime variable. La conservation du flux magnétique est une propriété très importante et montre une différence fondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. Nous avons vu, avec le théorème de Gauss, que le flux du champ électrostatique dépend des charges électriques contenues à l’intérieur de la surface Q Es ⋅ dS=   int ε 0 S 

 ∫∫ 

Si la charge totale est positive, le flux est positif et il « sort » de cette surface un champ électrostatique (source). Si la charge est négative, le flux est négatif et le champ « rentre », converge vers la surface (puits). Cette propriété reste d’ailleurs également valable en régime variable. Rien de tel n’a jamais été observé pour le champ magnétique. On ne connaît pas de charge magnétique analogue à la charge électrique (se serait un « monopôle magnétique ») :

13 tout le champ qui rentre dans une surface fermée doit également en ressortir. La source la plus élémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l’aimant dont on ne peut dissocier le pôle nord du pôle sud. On peut aisément montrer que le flux à travers une surface S s’appuyant sur un contour fermé C est indépendant du choix de cette surface. Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur C et telles que S = S1 + S2 soit une surface fermée. En orientant cette surface vers l’extérieur, la conservation du flux magnétique impose Φ S = Φ S1 + Φ S 2 = 0 donc

Φ S = − Φ S  , ce qui rentre d’un coté ressort de l’autre. La différence de signe provient 1

2

de la convention d’orientation de la normale : le flux fl ux est le même dans les deux cas.

II.1.2- Lignes de champ et tubes de flux Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faire une représentation spatiale d’un champ de vecteurs. Ce sont ces lignes de champ qui sont tracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinage d’un aimant.

Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C dans l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent. Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ magnétique C. Le fait que le champ magnétique  B soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit : B∧ dl= 0

En coordonnées cartésiennes, dl = dx i + dy j + dz k  et les lignes de champ sont calculées en résolvant dx dy dz  B x

=

 B y

=

 B z

En coordonnées sphériques, dl = dr dr ur + rdθ uθ  + r sin θdϕ  uϕ  et l’équation des lignes de champ devient dr  Br

=

rd θ  Bθ 

=

r sin θd ϕ   Bϕ 

La conservation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique se referment sur elles-mêmes. Un tube de flux est une sorte de « rassemblement » de lignes de champ. Soit une surface S1 s’appuyant sur une courbe fermée C telle que le champ magnétique y soit tangent (c’est à dire B⊥ dl où dl est un vecteur élémentaire de C). En chaque point de C passe donc une ligne de de champ particulière. En prolongeant ces lignes de champ on construit ainsi un tube de flux.

14

dS S3

B S2

S1 Tout au long de ce tube, le flux f lux magnétique est conservé. En effet, considérons une portion de tube cylindrique entre S1 et S3 , ayant un rétrécissement en une surface S2 . La surface S = S1 + S3 + SL , où SL est la surface latérale du tube, constitue une surface fermée. Donc le flux du champ à travers S est nul. Par ailleurs, le flux à travers la surface latérale est également nul, par définition des lignes li gnes de champ (   B⋅ dS = 0 sur SL ) . Donc, le flux en S1 est le même qu’en S3 . On peut faire le même raisonnement pour S2 . Cependant puisque S1 > S2 pour un flux identique, cela signifie que le champ magnétique est plus concentré en S2 . D’une manière générale, plus les lignes de champ sont rapprochées et plus le champ magnétique est localement élevé. Les exemples les plus célèbres de tubes de flux rencontrés dans la nature sont les taches solaires.

II.2- Circulation du champ magnétique 

II.2.1- Circulation du champ autour d’un fil infini Nous avons vu que le champ  B créé par un fil infini en un point  M ( ρ,θ , z ) s’écrit en coordonnées cylindriques µ I   B = 0 uθ  2 πρ  Considérons maintenant une courbe fermée quelconque C. Un déplacement élémentaire le long de cette courbe s’écrit dl = dρ uρ + ρdθ uθ  + dzu z . La circulation de  B sur la courbe fermée C vaut alors

 ∫

B⋅ dl= µ 0 I  

courbe

∫ 

courbe

d θ  2π

15

Plusieurs cas de figure peuvent se présenter :

•

Si C n’enlace pas le fil,

I

 ∫ d θ  = 0 . C 

•

Si C enlace le fil une fois,

C

C 

•

Si C enlace le fil N fois,

M

θ

 ∫ d θ  = 2π .

 ∫ dθ  = 2 N π C 

dl

La circulation de  B sur une courbe fermée est donc directement reliée au courant qui traverse la surface délimitée par cette courbe. C’est Ampère qui, en recherchant une explication du magnétisme dans une théorie de la dynamique des courants, découvrit cette propriété du champ magnétique. Démontrée ici sur un cas particulier à partir de la loi de Biot et Savart, nous ne démontrerons pas que ce résultat est général, c’est à dire valable pour un conducteur quelconque.

II.2.2- Le théorème d’Ampère Théorème :  La circulation de  B le long d’une courbe courbe C quelconque, quelconque, orientée et fermée, appelée contour d’Ampère, est égale à µ 0 fois la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par C 

 ∫  B⋅ dl= µ

0

Iint 

courbe

Cette relation fondamentale est l’équivalent du théorème de Gauss pour le champ électrostatique : elle relie le champ (  B ou  E s ) à ses sources (le courant I ou la charge Q) dans le vide (à l’intérieur d’un matériau il faut les corriger). Cependant, à la différence du théorème de Gauss, elle n’est valable qu’en régime permanent (courants continus). I1 I2

C

Iint = - I1 + I2 - I2= - I1

16

Remarques : • Le théorème d’Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même cause originelle. • Le choix du sens de la circulation sur le contour d’Ampère choisi est purement arbitraire. Une fois ce choix fait, la règle du bonhomme d’Ampère permet d’attribuer un signe aux courants qui traversent la surface ainsi délimitée. • Comme pour le théorème de Gauss, ce qui compte c’est la somme algébrique des sources : par exemple, si deux courants de même amplitude mais de sens différents traversent la surface, le courant total sera nul (voir figure ci-dessus).

Exemple: le solénoïde infini Considérons un solénoïde infini, comportant N spires par unité de longueur, chacune parcourue par un courant I permanent. Etant donné la géométrie cylindrique du solénoïde, on se place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoïde. La densité de courant est toroïdale et s’écrit j( ρ,θ , z) = j( ρ ) uθ  puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe z et translation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est poloïdal et s’écrit B( ρ,θ , z) = B( ρ ) u z

On choisit trois contours d’Ampère différents (voir figure) : D

C (2)

 A 

R 

B

(1)

I

O z l (3)

Contour (1) :

∫B⋅ dl + ∫B⋅ dl + ∫B⋅ dl + ∫B⋅  dl = 0 AB

 ∫

BC

B⋅ dzu z −

 AB

CD

DA

∫  B⋅ dzu = 0  z

CD

B AlB= B DlC   Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini).

Contour (2) : on obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur. Mais comme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout. Contour (3) :

∫B⋅ dl + ∫ B⋅ dl + ∫ B⋅ dl + ∫ B⋅  dl = − Nlµ AB

BC

CD

−  ∫  Bu z ⋅ dzuz = − Nµl 0 I   CD

B= µ 0 NI  

DA

0

I 

17

II.2.3- Relations de continuité du champ magnétique Puisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe à la traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-on voir une discontinuité dans le champ ? Soit une distribution surfacique de courant  j s séparant l’espace en deux régions 1 et 2. dS2 S2 n12

 j s

S S1 dS1

Région 2 Région 1

Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation du flux magnétique à travers cette surface s’écrit S1

∫B∫⋅ dS + ∫B∫⋅ dS + ∫B∫⋅ d S =  0 S2

S  L

où SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro ( S1 tend vers S2 ), on obtient S1

∫B∫⋅ dS+ ∫B∫⋅  dS  = 0 S 2

 ∫∫ ( B − B ) ⋅ n 2

1

12

dS =  0

S1= S 2

puisque dS1 = − dS2 = − dS n12 dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surface S choisie, on vient donc de démontrer que

( B − B) ⋅ n 2

1

12

=0

Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampère. Considérons le contour d’Ampère suivant : n12

C

D

 j s N

M B Région 2

 A 

 τ

Région 1

Le théorème d’Ampère s’écrit alors

∫B⋅ dl + ∫B⋅ dl + ∫B⋅ dl + ∫ B⋅  dl= µ AB

BC

CD

DA

0

I 

18 Le courant I est celui qui circule sur la nappe, autrement dit, il est défini par la densité de courant surfacique

∫j∫⋅ dS= ( ∫j ⋅ τ ) dl

I=

(

s

 ABCD

)

 MN 

où   MN, n12 , τ  est un trièdre direct. Dans la limite  DA → 0 , le théorème d’Ampère fournit

 ∫  ( B − B) ⋅ 1

2

dl=

 MN 

 ∫ (µ

0

)

j ⋅ τ  dl

S 

 MN 

Puisque MN est quelconque, on doit avoir B1 − B2 ⋅ dl = µ 0 jS  ⋅ τ  dl

(

)

= ( B1 − B2 ) ⋅ dl (τ  ∧ −n12 )

[

]

= ( B1 − B2 ) ∧ n12 ⋅ τ  dl c’est à dire (puisque la direction de

τ 

est arbitraire)

( B − B) ∧ n 1

2

12

= µ 0 jS   

En résumé, à la traversée d’une nappe de courant, • la composante normale du champ magnétique reste continue, • la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.

III.2.4- Les trois façons de calculer le champ magnétique En guise de résumé voici des conseils sur les méthodes à employer pour calculer le champ magnétique. • La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait faire l’addition vectorielle des champs dB créés par un petit élément du circuit (souvent des circuits filiformes). • La conservation du flux : à n’utiliser que si l’on connaît déjà son expression dans une autre région de l’espace (voir un exemple d’utilisation à la l a section précédente). • Le théorème d’Ampère : il faut être capable de calculer la circulation du champ sur un contour choisi. Cela nécessite donc une symétrie relativement simple des courants. Dans tous les cas, il faut prendre en compte les propriétés de symétrie de la densité de courant.

II.3- Le dipôle magnétique 

II.3.1- Champ magnétique créé par une spire Soit une spire plane, de forme quelconque, de centre d’inertie O, parcourue par un courant permanent I. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l’espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire).

19

On pose

z M

r = OM

r ′ = PM  

ρ  = OP = r − r ′

r

u=

θ

r r

r’ n

On va donc utiliser la formule de Biot et Savart, dans la limite r >> ρ , pour tout point P appartenant à la spire µ I dρ  ∧ r ′  B( M ) = 0 4 π spire r ′ 3

u

O I

dOP

P

Evaluons le terme r ′

 ∫ 

r′3

pour des points M situés à grande distance de la spire : r′ r ′3

=

≈ ≈

r − ρ 

(r

2

+ ρ − 2r ⋅ ρ ) 2

3

r−ρ

r ⋅ ρ 

r3 

r2 

1 + 3

u r

2

−

ρ r

3

2

r − ρ 

≈

 r ⋅ ρ  r 1 − 2 2  r  

3

2

3



+ 3

u ⋅ ρ  r3

u

où nous avons fait un développement limité à l’ordre 1. En reportant cette expression dans la formule de Biot et Savart on obtient

µ 0 I  4 πr 2

 B( M ) ≈

  d∫ρ  ∧ u − spire

d ρ ∧ ρ 

spire

∫

r

+

3

∫



(  ) 

dρ ∧ u ρ ⋅ u 

r spire



Evaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

•

 ∫



dρ ∧ u = 

∫ 



[

spire 

spire

]

dρ  ∧ u = ρ( P0 ) − ρ( P0 )   ∧ u = 0

puisque le vecteur u est indépendant du point P sur la spire et qu’on fait une intégration sur toute la spire, en revenant au point de départ P0 .

•

−  ∫

spire

d ρ ∧ ρ  r

=

1

∫ 

ρ ∧ d ρ  =

r spire

2 S 

r

n

où n est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l’axe z) et S sa surface. Ce calcul est général, valable quelle que soit la surface.

20 n

En effet, une surface élémentaire dS , telle que 1 ρ ∧ dρ  = dS n 2

O

dS

est toujours engendrée lors d’un petit déplacement du vecteur ρ .

ρ P

•

dρ= dOP

 ∫ dρ ∧ u ( ρ ⋅ u) = −u ∫ dρ ( ρ ⋅ u) 

spire

spire

Po

 ∫ d ( xy) =[ xy]P = 0 P . On a donc l’égalité  ∫  xdy = - ∫ ydx . Par ailleurs,

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, on a

o

puisqu’on revient au même point départ

0

 ∫ 

on a également la propriété suivante  xdx =

 xo

[]  x 2 2

=

∫  ydy =

 yo

[]  x 2

= 0.

2

 xo  yo On va utiliser ces propriétés générales pour calculer l’intégrale inconnue ci-dessus. Si on décompose les vecteurs ρ  et u dans la base e1 , e2 engendrant le plan de la spire, on

(

obtient

(

)

)

dρ ρ ⋅ u = dρ1 ( ρ1u1 + ρ2u2 )e1 + d ρ2 ( ρ1u1 + ρ2u2  )e2

or,

 ∫ ρ u d ρ 1 1

1

=

spire

u1

[ρ 2

1

2

]

 0) = 0 ( P0 ) − ρ12 ( P

D’où

∫(

)

dρ ρ ⋅ u = u2 spire

∫

ρ2 dρ1 e1 spire

+ u1

∫

 

ρ1 d ρ2 e2  spire

= −u2 Se1 + u1Se2 = Sn ∧ u En rassemblant ces résultats, on obtient un champ magnétique  B( M ) ≈

 3u µ 0 I   2 S  n Sn u − ∧ ∧ ( )  2  4 πr  r r 

On voit donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire « vue » depuis une grande distance, à savoir le moment magnétique dipolaire M = ISn

(

)

( )

En utilisant l’égalité u ∧ M ∧ u = M u ⋅ u

− u (u ⋅ M) , on obtient alors l’expression du

champ magnétique créé par un dipôle

µ0 3u (M ⋅ u) − M 4 πr 3 µ M⋅u = − 0 grad 2 4π r

 B( M ) =

[

]

21 En coordonnées sphériques, u ⋅ M = M cosθ  et les composantes poloidales du champ s’écrivent

 B = µ 0 2M cosθ   r 4 πr 3   Bθ  = µ 0 Msinθ  3  4 πr  Lignes de champ : Comme nous l’avons vu précédemment, les lignes de champ ne sont pas des courbes où la norme du champ magnétique est constante. Ici, l’équation des lignes de champ en coordonnées sphériques fournit : dr rd θ  = µ 0 2 M  µ 0 M  cos θ  sin θ  3 3 4π  r 4π  r r

 ∫

dr

r0

ln

r r r0

θ 

cosθ d θ 

= 2 ∫  θ 0

= 2 ln

sin θ  sin θ  sin θ 0

 sin θ   r = r0    sin θ 0 

2

où le rayon sphérique r0 correspond à un angle θ 0 arbitraire.  Remarques : 1. Ces expressions ne sont pas à retenir : il faut par contre comprendre et savoir reproduire la démonstration. 2. Pour établir l’expression du champ créé par un dipôle, nous avons fait un développement limité en ne conservant que les termes d’ordre un. Les termes d’ordre supérieur (multipolaires) ne jouent un rôle qu’à proximité immédiate de la spire.

II.3.2- Le modèle du dipôle en physique Il est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique créé par une spire de courant (dipôle magnétique M = ISn ) est formellement équivalente à celle du champ électrostatique créé par un système de deux charges opposées (dipôle électrique p = qd )  E( M ) = −

1

grad

p⋅u

r2 4 πε 0 Cependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipôle en une charge magnétique « + » et une autre « - ». Le dipôle est la première source de champ magnétique. C’est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation des effets magnétiques observés dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.

L’origine du cham p magnétique d’un mat ériau quelconque (ex : aimant) doit être microscopique. En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les

22 atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque . Le modèle de Bohr de l’atome d’Hydrogène consiste en un électron de charge q=-e en mouvement circulaire 2π uniforme autour d’un noyau central (un proton) avec une période T  = . ω  Si on regarde sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s’il y avait un courant ω q qω   I  = = T  2 π On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon r ayon moyen la distance moyenne au proton, c’est à dire le rayon de Bohr +e a0 a0 . L’atome d’Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque -e  v = ω a 0 qω  2 q a0 n = mω a0 2 n M =  ISn = 2 2m q L = 2m q où L est le moment cinétique de l’électron et 2 m est appelé le facteur gyromagnétique. Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en rotation autour d’un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : ce qui compte c’est l’existence d’un courant. Il suffit donc d’avoir un décalage, même léger, entre les vitesses des charges « + » et celles des charges « - ».

(

)

( )

Du coup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent : •  Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n’y a pas de champ magnétique intrinsèque. •  Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dans une direction privilégiée en présence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsi aimantés momentanément. •  Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (à un angle près). Au niveau macroscopique, l’explication de l’existence du champ magnétique observé sur les planètes et sur les étoiles est encore aujourd’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effet dynamo essaye de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres. Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués : •  Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu’il y avait eu une inversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ. •  Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine de degrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ 15’ par an), il est de 90° pour celui de Neptune !

23

Chapitre III- Actions et énergie magnétiques

III.1- Force magnétique sur une particule chargée  Ce qui a été dit aux chapitres précédents concerne plus particulièrement les aspects macroscopiques, l’influence mesurable d’un champ magnétique sur un circuit électrique. Or, le courant circulant dans un circuit est dû au déplacement de particules chargées. Nous prendrons donc le parti ici de poser l’expression de la force magnétique s’exerçant sur une particule (sans la démontrer) puis de montrer comment s’exprime cette force sur un circuit. Historiquement bien sûr, c’est la force de Laplace qui a été mise en évidence la première, la force de Lorentz n’est venue que bien plus tard…

III.1.1- La force de Lorentz La force totale, électrique et magnétique (on dit électromagnétique) subie par une particule de charge q et de vitesse v mesurée dans un référentiel galiléen est

(

F =q E +v∧B

)

On appelle cette force la force de Lorentz . On peut la mettre sous la forme Fe = q E  F = Fe + F m où   Fm = q v ∧ B où F e est la composante électrique et F m la composante magnétique. La composante magnétique de la force de Lorentz (parfois appelée force magnétique) possède un ensemble de propriétés remarquables : travail . Si on applique la relation fondamentale de 1.  La force magnétique ne fournit pas de travail . la dynamique pour une particule de masse m et charge q, on obtient dv Fm = q v ∧ B = m dt  donc d   1  d   1 mv ⋅ v = m v ⋅ d v = q v ⋅ v ∧ B = 0 . mv 2 =  dt   2  dt   2 dt  L’énergie cinétique de la particule est donc bien conservée. 2 2.  La force magnétique est une correction en (v / c ) à la force de Coulomb , où c est la vitesse de la lumière (cf chapitre I).  3.  3 . Violation du principe d’action et de réaction. On peut aisément vérifier sur un cas particulier simple que la force magnétique ne satisfait pas au 3 ème principe de Newton. Pour cela, il suffit de prendre une particule 1 se dirigeant vers une particule 2. Le champ magnétique créé par 1 sera alors nul à l’emplacement de la particule 2, µq  B1 = 0 12 v1 ∧ u12 = 0 , 4 πr

(

)

24 et donc la force F 1 / 2 sera nulle. Mais si la deuxième particule ne se dirige pas vers la première, son champ magnétique sera non nul en 1 et il y aura une force F 2 / 1 non nulle…

III.1.2- Trajectoire Trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ magnétique Considérons une particule de masse m et charge q placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale v(t = 0 ) = v0 . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit dv q = v∧B dt  m Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ, cette direction est privilégiée. On va donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deux composantes, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire au champ, v(t ) = v p + v⊥ . L’équation du mouvement s’écrit alors

 d v p =0   dt    d v⊥ = q v ∧ B  dt  m ⊥ La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ. Prenons un repère cartésien dont l’axe z est donné par le champ B= Bk.   z

L’équation portant sur la composante perpendiculaire se décompose alors en deux équations

 y 

B

x

 dv x = ω v  y  dt  qB où ω  =  m  dv y = − ω v x  dt 

R L -e  v 0 = v i 0

Cas particulier d’une particule de charge négative (rotation dans le sens direct)

Ce système se ramène à deux

2

équations de la forme

d vi 2

dt 

= − ω 2 vi (po (pour i = x,y) x,y) et a donc pour solution

 dx = v = v cosω t  ⊥  dt   x   dy = v y = − v⊥ sin ω t   dt  où l’on a choisi une vitesse initiale suivant x, v⊥ = v⊥ i . En intégrant une deuxième fois ce 0

0

0

système on obtient

0

25 v⊥   x = sin ω t   ω    y = v⊥ cosω t   ω  0

0

où les constantes d’intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc mv⊥ 0 qB un cercle de rayon  R L = , le rayon de Larmor , décrit avec la pulsation ω  = , dite qB m pulsation gyro-synchrotron gyro-synchrotron . Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pour des charges négatives. Le rayon de Larmor correspond à la « distance » la plus grande que peut parcourir une particule dans la direction transverse avant d’être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une sorte de distance de piégeage. A moins de recevoir de l’énergie cinétique supplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique. Il est intéressant de noter que plus l’énergie cinétique transverse d’une particule est élevée (grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.  Remarque : Nous avons vu au Chapitre II qu’une charge en mouvement créé un champ magnétique. Donc, une particule mise en rotation par l’effet d’un champ magnétique extérieur va créer son propre champ. Il n’en a pas été tenu compte dans le calcul précédent, celui-ci étant la plupart du temps négligeable.

III.1.3- Distinction entre champ électrique et champ électrostatique Nous allons traiter ici un problème un peu subtil. En mécanique classique, il y a trois principes fondamentaux : le principe d’inertie, la relation fondamentale de la dynamique et le principe d’action et de réaction. Nous avons déjà vu que la force magnétique Fm = q v ∧ B ne satisfaisait pas au 3 èm e principe. Mais il y a pire. Pour pouvoir appliquer la relation fondamentale de la dynamique, il faut se choisir un référentiel galiléen. Ce choix étant arbitraire, les lois de la physique doivent être indépendantes de ce choix (invariance galiléenne). Autrement dit, les véritables forces doivent être indépendantes du référentiel. Il est clair que ce n’est pas le l e cas de la force magnétique F m . En effet, considérons une particule q se déplaçant dans un champ magnétique avec une vitesse constante dans le référentiel du laboratoire. Dans ce référentiel, elle va subir une force magnétique qui va dévier sa tr ajectoire. Mais si on se place dans le référentiel propre de la particule (en translation uniforme par rapport au laboratoire, donc galiléen), sa vitesse est nulle. Il n’y a donc pas de force et elle ne devrait pas être déviée ! Comment résoudre ce paradoxe ? C’est Lorentz qui a donné une solution formelle à ce problème, mais c’est Einstein qui lui a donné un sens grâce à la théorie de la relativité. La véritable force, électromagnétique, est la force de Lorentz

(

F =q E +v∧B

)

Supposons que cette particule soit soumise à un champ électrostatique  E s et un champ magnétique  B , mesurés dans le référentiel R du laboratoire. Dans un référentiel R’ où la particule est au repos, le terme magnétique sera nul. Si on exige alors l’invariance de la force, on doit écrire

26

(

F ′ = q E ′ = F = q Es + v ∧ B

)

Le champ  E ′ « vu » dans le référentiel R’ est donc la somme du champ électrostatique  E s et d’un autre champ, appelé champ électromoteur  Em = v∧ B. Ainsi, on a bien conservé l’invariance de la force lors d’un changement de référentiel, mais au prix d’une complexification du champ électrique qui n’est plus simplement un champ électrostatique ! Deux conséquences importantes : 1. La circulation d’un champ électrique E = Es + Em   est en générale non nulle à cause du terme électromoteur (d’où son nom d’ailleurs) : celui-ci peut donc créer une différence de potentiel qui va engendrer un courant, ce qui n’est pas possible avec un champ purement électrostatique. 2. Le champ électrique « vu » dans R’ dépend du champ magnétique « vu » dans R. On ne peut donc pas appliquer la règle de changement de référentiel classique (transformation galiléenne) mais une autre, plus complexe (transformation de Lorentz). Champs électrique et magnétique dépendent tous deux du référentiel, la compréhension de ce phénomène électromagnétique ne pouvant se faire que dans le contexte de la relativité. Ceci dit, nous utiliserons tout de même l’expression de la force magnétique ou de Lorentz pour calculer, par exemple, des trajectoires de particules dans le formalisme de la mécanique classique. On ne devrait pas obtenir des résultats trop aberrants tant que leurs vitesses restent  très inférieures à celle de la lumière. Une dernière remarque : nous avons implicitement supposé que la charge q de la particule était la même dans les deux référentiels. Cela n’est a priori pas une évidence. Nous pouvons en effet imposer que toute propriété fondamentale de la matière soit effectivement invariante par changement de référentiel. Le concept de masse, par exemple, nécessite une attention particulière. En effet, tout corps massif possède un invariant appelé « masse au repos ». Cependant sa « masse dynamique » (impulsion divisée par sa vitesse) sera d’autant plus élevée que ce corps aura une vitesse s’approchant de celle de la lumière.  Nous admettrons donc que la charge électrique est bien un invariant (dit relativiste) .

III.2- Actions magnétiques sur un circuit fermé  III.2.1- La force de Laplace Nous avons vu que la force subie par une particule chargée en mouvement dans un champ magnétique, la force de Lorentz, s’écrit ; F = q( E + v ∧ B) . Considérons un milieu comportant α espèces différentes de particules chargées, chaque espèce ayant une densité volumique n α, et une vitesse vα  . Ces divers porteurs de charges sont donc responsables d’une densité locale de courant j= nα qα vα  .

∑ α 

Par ailleurs, chaque particule étant soumise à la force de Lorentz, la force s’exerçant sur un nα d 3V  particules s’écrit élément de volume d 3V  comportant

∑ α 

27

d 3F =

∑n q α

α

( E + vα  ∧ B) d 3V  

α 

On voit donc apparaître une force due au champ électrique. Cependant, si le volume élémentaire que l’on considère est suffisamment grand pour que s’y trouve un grand nombre de particules e si le conducteur est électriquement neutre, on doit avoir nα qα  = 0

∑ α 

ce qui annule la force électrique. 3 On obtient alors d F =

∑n q α

α

vα  ∧ B d 3V = (

α 

∑n q α

α

vα  ) ∧ B d 3V ,  c’est à dire

α 

3

d F = j ∧ B d 3V  

Nous avons donc ci-dessus l’expression générale de la force créée par un champ magnétique extérieur sur une densité de courant quelconque circulant dans un conducteur neutre (la résultante est évidemment donnée par l’intégrale sur le volume). 3 2 dl , Dans le cas particulier d’un conducteur filiforme, l’élément de volume s’écrit d V = d S ⋅ dl 2 où dl est un élément de longueur infinitésimal orienté dans la direction de  j  et d S  une surface infinitésimale.

d2S

dl S: section du fil

Dans le cas d’un circuit filiforme (très mince donc où l’on peut considérer que le champ est constant), la force qui s’exerce par unité de longueur s’écrit dF =

∫∫

2

2

( j ∧ B) d Sdl = (

S 

∫∫  

jd S) dl ∧ B S 

dl ∧ B = ( ∫∫  j ⋅ d 2 S) dl S 

= I ddll∧ B La force qui s’exerce sur un conducteur fermé, parcouru par un courant permanent I, appelée force de Laplace , vaut F=I

 ∫ dl ∧ B

circuit 

Cette force s’applique sur un circuit qui est un solide . Dans ce cours, on ne considèrera que des circuits pour lesquels on pourra appliquer le principe fondamental de la mécanique, en

28 assimilant ceux-ci à des points matériels (leur centre d’inertie). Aucun élément de longueur ne sera privilégié : la force dF = I dl ∧ B s’applique au milieu de chaque portion dl.

Remarques : 1. Ayant été établie à partir d’équations valables uniquement en régime permanent, cette expression n’est vraie que pour un courant permanent. Il faut en particulier faire attention à intégrer la force sur le circuit fermé. 2 . Pour des circuits fermés de forme complexe, il devient difficile de calculer la force magnétique à partir de l’expression de la force de Laplace. Dans ce cas, il vaut mieux utiliser une méthode énergétique (travaux virtuels, voir plus bas). 3. A partir de la force f orce de Lorentz, qui est une force microscopique agissant sur des particules individuelles et qui ne travaille pas, nous avons obtenu une force macroscopique agissant sur un solide. Cette force est capable de déplacer le solide et donc d’exercer un travail non nul. Comment comprendre ce résultat ? Il faut interpréter la force de Laplace comme la résultante de l’action des particules sur le réseau cristallin du conducteur. C’est donc une sorte de réaction du support à la force de Lorentz agissant sur ses constituants chargés. Au niveau microscopique cela se traduit par la présence d’un champ électrostatique, le champ de Hall. 4. Bien que la force de Lorentz ne satisfasse pas le principe d’Action et de Réaction, la force de Laplace entre deux deux circuits, elle, le satisfait ! La raison profonde réside réside dans l’hypothèse du courant permanent parcourant les circuits (I le même, partout dans chaque circuit) : en régime permanent, il n’y a plus de problème de délai lié à la vitesse de propagation finie de la lumière.

III.2.2- Définition légale de l’Ampère Considérons le cas de deux fils infinis parcourus par un courant  I 1 et  I 2 , situés à une distance d l’un de l’autre. I1

I2

B1

B1

u12

d

Grâce au théorème d’Ampère, il est alors facile de calculer le champ magnétique créé par chaque fil. La force par unité de longueur subie par le f il 2 à cause du champ  B1 vaut dF1 / 2 = I2 dl ∧ B1 = − I1 dl ∧ B2 = − dF 2 / 1

=−

µ 0 I1 I 2 2π d 

u12

Cette force est attractive si les deux courants sont dans le même sens, répulsive sinon. Puisqu’il y a une force magnétique agissant sur des circuits parcourus par un courant, on peut

29 mesurer l’intensité de celui-ci. C’est par la mesure de cette force qu’a été établie la définition légale de l’Ampère (A) :  L’Ampère est l’intensité de courant passant dans deux fils parallèles, situés à 1 mètre l’un de l’autre, et produisant une attraction réciproque de 2.10 -7  Newtons par unité de longueur  de fil.

II.2.3- Moment Moment de la force magnétique magnétique exercée sur un c circuit ircuit Puisqu’un circuit électrique est un solide, il faut utiliser le formalisme de la mécanique du solide (2ème année de DEUG). On va introduire ici les concepts minimaux requis. Soit un point P quelconque appartenant à un circuit électrique et le point O, le centre d’inertie de ce circuit. Si ce circuit est parcouru par un courant permanent I et plongé dans un champ magnétique  B , alors chaque élément de circuit dl = d OP , situé autour de P, subit une force de Laplace dF = I dl ∧ B . Le moment par rapport à O de la force de Laplace sur l’ensemble du circuit est alors

 ∫ OP ∧ dF  

Γ=

circuit 

Soient trois axes ∆ i , passant par le centre d’inertie O du circuit et engendrés par les vecteurs 3

unitaires ui . Le moment de la force s’écrit alors Γ =

∑ Γ u . L’existence d’un moment non i

i

i =1

nul se traduit par la mise en rotation du circuit autour d’un ou plusieurs axes ∆ i . Autrement dit, par une modification de la « quantité de rotation » du solide, c’est à dire son moment cinétique. Le moment cinétique du solide par rapport à O est J=

 ∫  OP∧

vdm

circuit 

où dm est la masse élémentaire située sur l’élément dOP, et v sa vitesse. Dans tous les cas de figure étudiés dans ce cours, on admettra que le moment cinétique d’un circuit peut se mettre sous la forme 3

J=

∑ IΩ i

i

ui = [ I] Ω  

i =1

où Ω est le vecteur instantané de rotation et I i les 3 moments d’inertie du circuit par rapport aux 3 axes ∆ i ([I] est la matrice d’inertie, ici diagonale). Le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆ i est défini par Ii =

 ∫  dm r

2

i

circuit 

où ri est la distance d’un point P quelconque du circuit à l’axe ∆ i . La dynamique d’un circuit soumis à plusieurs moments de forces extérieures est donnée par le théorème du moment cinétique (pour un solide) d J  dt 

= ∑ Γext 

Dans le cas d’un circuit tournant autour d’un seul axe Oz, avec une vitesse angulaire Ω = Ω u z = θ « uz et un moment d’inertie  I  z constant, on obtient l’équation simplifiée suivante ««= Γz  I  zθ 

∑

30

II.2.4- Exemple du dipôle magnétique

B

Considérons le cas simple d’un dipôle magnétique, c’est à dire d’une spire parcourue par un courant I permanent, plongé dans un champ magnétique extérieur  B constant (soit dans tout l’espace, soit ayant une variation spatiale sur une échelle bien plus grande que la taille de la spire).

+ M O I

Γ

La force de Laplace s’écrit alors F=

 ∫ I dl ∧ B = I ( ∫ dl ) ∧ B = 0

spire

spire

Un champ magnétique constant ne va donc engendrer aucun mouvement de translation de la spire. Le moment de la force de Laplace par rapport au centre d’inertie 0 de la spire s’écrit

Γ=

 ∫ OP ∧ dF = ∫ OP ∧ (I dOP ∧ B) spire

spire

∫

= I

dOP⋅ ( OP OP⋅ B) −

spire

= I

( d∫x i+

I B⋅

∫

spire

 

IB x j

xdy

dOP⋅ ( OP OP⋅ B) −

0

spire

)

dy j ⋅ ( xB x+ yB y) = IB y i

spire

∫

( OP⋅ dOP) = I

∫

ydx +

spire

∫

 

spire

= ( IB x j − IBy i)  ∫  xdy =( IB x j − IBy i) S   spire

=  ISn ∧ B (où (où n= k ,voir calc calcul ul du dipô dipôle le))   c’est à dire

Γ = M∧ B Malgré une résultante des forces nulle, le champ magnétique exerce un moment qui va avoir tendance à faire tourner la spire sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétique dipolaire M s’aligne dans la direction de  B .

Remarques : 1. Cette expression n’est valable que dans le cas d’un dipôle. 2 . On utilise souvent le terme « couple magnétique » pour décrire le moment des forces magnétiques sur un circuit, ceci pour éviter de confondre avec le moment magnétique dipolaire. 3. Les matériaux ferromagnétiques sont ceux pour lesquels on peut assimiler leurs atomes à des dipôles alignés dans le même sens. Mis en présence d’un champ magnétique externe, ils auront tendance à se mettre dans la direction du champ, ce qui va produire un mouvement macroscopique d’ensemble.

31

II.2.5- Complément : force de Laplace et principe d’Action et de Réaction On va démontrer que le principe d’Action et de Réaction est bien vérifié pour la force de Laplace s’exerçant entre deux circuits C 1 et C 2 quelconques, parcourus par des courant permanents  I 1 et  I 2 . La force exercée par C 1 sur C 2 s’écrit

 µ  I dP ∧ u  µ  I I  dP ∧ u F1 / 2 =  ∫ I 2 dP2 ∧ B1 =  ∫ I 2 dP2 ∧  ∫  0 1 1 2 12  = 0 1 2  ∫  ∫ dP2 ∧ 1 2 12 P1P2 C  4 π  P1P2  4π  C  C  C C où P1 (resp. P2 ) est un point quelconque de C 1 (resp. C 2 ) et P1P2 = P1P2 u12 1 2 . La force exercée 2

2

1

2

1

par C 2 sur C 1 vaut

 µ  I dP ∧ u  µ  I I  dP ∧ u 2 21  = − 0 1 2  ∫  ∫ dP1 ∧ 2 2 12 F2 /1 =  ∫ I1 dP1 ∧ B2 =  ∫ I1 dP1 ∧  ∫  0 2 2 4 π  C  C  P1P2 C  4 π  P2P1  C C puisque u21 = −u12 . Par ailleurs, ailleurs, on a dP2 ∧ ( dP1 ∧ u12 ) = dP1 ( dP2 ⋅ u12 ) − u12 ( dP dP2 ⋅ dP1 ) 1

1

2

(

1

)

(

)

(

2

dP1 ∧ dP2 ∧ u12 = dP2 dP1 ⋅ u12 − u12 dP dP1 ⋅ dP2

)

Il nous suffit donc de calculer le premier terme puisque le second est identique dans les deux expressions des forces. Mathématiquement, les expressions

 ∫  ∫ [ ] =  ∫  ∫ [ ] C1 C 2

C 2 C 1

sont effectivement équivalentes si ce qui se trouve dans le crochet (la fonction à intégrer) est symétrique par rapport aux variables de chacune des deux intégrales. Mais dans celle de gauche, le point P1 reste d’abord constant lors de l’intégrale portant sur C 2 , tandis que dans celle de droite, c’est le point P2 qui est maintenu constant lors de l’intégration sur C 1. Ainsi, on peut écrire

(

dP1 dP2 ⋅ u12

 ∫

P1P2

C2

(

P1P2

C1

∫  dPP P⋅ u 2

C 2

dP 2 dP1 ⋅ u12

 ∫

) = dP ⋅ 1

2

2

) = dP

2

12 2

1 2

∫  dPP P⋅ u

⋅

1

C 1

12 2

1 2

Posant r = P1P2 et remarquant que dP2 = d P1P2 + dP1 , on obtient d(r 2 ) dP2 ⋅ u12 dr ⋅ r = = =0 2 3 3 r r 2 P P C C C  1 2 puisque l’on fait un tour complet sur C 2 et l’on revient donc au point de départ. Le résultat est évidemment le même pour l’intégrale portant sur C 1. En résumé, on obtient

∫

∫

2

F 1 / 2 =

µ 0 I1I 2 4 π 

2

 ∫  ∫ dP ∧ dPP P∧ u 1

2

C 2 C 1

12

2

1 2

= −F 2 /1 Ceci achève la démonstration.

∫  

=−

µ 0 I1I 2 4 π 

2

 ∫ ∫ u ⋅ (dP ⋅ dP ) = − µ 4Iπ I   ∫  ∫ u ⋅ (dP ⋅ dP ) 0 1 2

12

C 2 C 1

2

1

12

C 1 C 2

1

2

32

III.3- Energie potentielle d’interaction magnétique 

III.3.1- Le théorème de Maxwell Un circuit électrique parcouru par un courant produit un champ magnétique engendrant une force de Laplace sur un deuxième circuit, si celui-ci est lui-même parcouru par un courant. Chaque circuit agit sur l’autre, ce qui signifie qu’il y a une énergie d’origine magnétique mise en jeu lors de cette interaction. D’une façon générale, un circuit parcouru par un courant permanent placé dans un champ magnétique ambiant possède une énergie potentielle d’interaction magnétique. Pour la calculer, il suffit d’évaluer le travail de la force de Laplace lors d’un déplacement virtuel de ce circuit (méthode des travaux virtuels, comme en électrostatique).

d2S n

dl

Considérons un élément dl d’un circuit filiforme, orienté dans la direction du courant I. Cet élément subit une force de Laplace dF . Pour déplacer le circuit d’une quantité dr , cette force doit fournir un travail

dr d 2W = dF ⋅ dr dr I

= I( dl ∧ B) ⋅ dr = I( dr ∧ dl) ⋅ B = Id2 Sn⋅ B

où d 2 Sn est la surface élémentaire décrite lors du déplacement de l’élément de circuit (les trois vecteurs dr, dl, n forment un trièdre direct). On reconnaît alors l’expression du flux magnétique à travers cette surface balayée, appelé flux coupé. Pour l’ensemble du circuit, le travail dû à un déplacement élémentaire dr est dW = d 2W = Id 2Φc = IdΦ  c

 ∫ 

 ∫ 

circuit 

circuit 

Théorème de Maxwell :  Le déplacement d’un circuit électrique fermé dans un champ magnétique extérieur engendre un travail des forces magnétiques égal au produit du courant traversant le circuit par le flux coupé par celui-ci lors de son déplacement . W = I Φ c

Commentaires sur la notion de Flux coupé Le nom de flux coupé provient de notre représentation du champ magnétique sous forme de lignes de champ. Lors du déplacement du circuit, celui-ci va en effet passer à travers ces lignes, donc les « couper ». La notion de flux coupé est très importante car elle permet parfois considérablement de simplifier les calculs. Par ailleurs, dans le cas d’un champ magnétique constant dans le temps,

33 nous allons démontrer que le flux coupé par le circuit Φ c lors de son déplacement est exactement égal à la variation du flux total ∆Φ . d2Sd

d2Sf  Position finale du circuit

d2Si

Position initiale du circuit

Soit un circuit C orienté, parcouru par un courant I et déplacé dans un champ magnétique extérieur. Ce circuit définit à tout instant une surface S  s’appuyant sur C. Lors du déplacement de sa position initiale vers sa position finale, une surface fermée ∑ = Si + S f + S d  est ainsi décrite, où S d  est la surface balayée lors du déplacement. On choisit d’orienter les normales à chaque surface vers l’extérieur. La conservation du flux magnétique impose alors

Φ ∑ = ΦS + Φ S + Φ S  = 0 i

f

d 

c’est à dire

Φ S = − Φ S − Φ S  d 

i

f 

Si on réoriente les normales par référence au courant, on a Φ S f → Φ S f  , Φ Si → − Φ S i et

Φ S → ± Φ S  . Autant il est possible de définir correctement et en toute généralité le signe des d

d 

flux totaux, celui du flux à travers la surface balayée, autrement dit, le flux coupé, dépend de chaque situation. Cependant, on a donc bien

Φc = ∆Φ qui est vérifié algébriquement. Ne pas oublier que ce raisonnement n’est valable que pour un champ magnétique extérieur statique (pas de variation temporelle du champ au cours du déplacement du circuit).

III.3.2- Energie potentielle d’interaction magnétique Considérons un circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un champ magnétique statique. Le circuit est donc soumis à la force de Laplace Laplace : cela signifie qu’il est susceptible de se déplacer et donc de développer une vitesse. On pourra calculer cette vitesse en appliquant, par exemple, le théorème de l’énergie cinétique ∆ Ec = W = I∆Φ   . Mais d’où provient cette énergie ? Si l’on en croit le principe de conservation de l’énergie, cela signifie que le circuit possède un réservoir d’énergie potentielle W m , lié à la présence du champ magnétique extérieur. L’ énergie mécanique du circuit étant E = Ec + Wm  , on obtient dWm = − dW .  L’énergie potentielle magnétique d’un circuit parcouru par un courant permanent I et placé dans une champ magnétique extérieur est donc Constante nte Wm = − I Φ + Consta

34 La valeur de la constante, comme pour toute énergie potentielle d’interaction, est souvent choisie arbitrairement nulle à l’infini.

III.3.3- Expressions Expressions générales de la force et du couple magnétiques L’existence d’une énergie potentielle se traduit par une action possible (reconversion de cette énergie). Ainsi, la résultante F =

 ∫ dF des forces magnétiques exercées sur le circuit est

circuit 

donnée par 3

dW m =

∂ W m

∑ ∂  x i =1

3

dxi = − dW = − F ⋅ dr = −

∑ F dx i

i

i =1

i

où les dxi mesurent les déplacements (translations) dans les trois directions de l’espace par rapport au centre d’inertie du circuit (là où s’applique la force magnétique). On obtient ainsi l’expression générale de la force de Laplace agissant sur un circuit parcouru par un courant permanent, c’est à dire ∂ W m F i = − ∂  xi ou, sous forme vectorielle F = − grad Wm = I  grad Φ

Remarques : 1. La force totale (s’exerçant donc sur le centre d’inertie du circuit) a tendance à pousser le circuit vers les régions où le flux sera maximal. 2 . Cette expression est valable uniquement pour des courants permanents. Noter qu’elle s’applique néanmoins pour des circuits déformés et donc pour lesquels il y aura aussi une modification du flux sans réel déplacement du circuit. On peut faire le même raisonnement dans le cas d’un mouvement de rotation pure du circuit. Prenons le cas général de rotations d’angles infinitésimaux d α i autour de trois axes ∆ i , passant par le centre d’inertie O du circuit et engendrés par les vecteurs unitaires ui . Soit le vecteur r = OP = r u reliant un point P quelconque d’un circuit et le point O. La vitesse du point P s’écrit en toute généralité (voir cours de mécanique) dr

ui

dt 

O

r

I

dαi

=

dr dt 

u

+ Ω∧r

où le premier terme correspond à une translation pure et le second à une rotation pure, décrite par le vecteur α  «1    3 d α i «2  = instantané de rotation Ωα  ui . dt  α   i= 1  «3 

∑

∆i

dr

3

L’expression générale générale du moment de la force magnétique par rapport à O est Γ =

∑Γ u . i

i =1

i

35 Le travail dû à la force f orce de Laplace lors d’une rotation pure ( r = OP reste constant) s’écrit

 3  dW =  ∫ dF ⋅ dr = ∫ dF ⋅ ∑ d α i ui ∧ r  i =1  circuit circuit     3 = ∑ dα i ui ⋅ ∫ r ∧ dF  = ∑ dα i ui ⋅ Γ  circuit   i =1 i =1 3

=  Id Φ 3

= ∑ I i =1

∂ Φ ∂α i

d α i

d’où

Γi =  I 

∂ Φ ∂α i

Autrement dit, le moment de la force magnétique par rapport à un axe ∆ i passant par le centre d’inertie O du circuit, dépend de la variation de flux lors d’une rotation du circuit autour de cet axe.

 Exemple : Le dipôle En supposant que le champ magnétique extérieur est constant à l’échelle d’un dipôle de moment magnétique dipolaire M = ISn , on obtient un flux Φ = B ⋅ Sn. La force magnétique totale s’écrit alors

(

F = I grad Φ = ∇ IS n ⋅ B

)

c’est à dire

(

F = grad M ⋅ B

)

Le moment de la force magnétique (couple magnétique) s’écrit

 ∂ ISn IS n  ∂ M    =  B ⋅ B⋅ nS) = B⋅  Γi = I = I ( ∂α i ∂α i ∂α i  ∂α i  ∂ Φ

∂ 

Or, le moment magnétique dipolaire varie de la façon suivante lors d’une rotation 3

dM =

3

∑ dα  u ∧ M =  ∑ ∂ ∂α M d α  i

i

i= 1

i

i= 1

i

et on obtient donc

Γi = B ⋅ ( ui ∧ M) = ( M ∧ B) ⋅ ui c’est à dire l’expression vectorielle

Γ = M∧B Remarquer que ce calcul est bien plus facile que le calcul direct effectué à la section II.2.4.

36

III.3.4- La règle du flux maximum Un solide est dans une position d’équilibre stable si les forces et les moments auxquels il est soumis tendent à le ramener vers cette position s’il en est écarté. D’après le théorème de Maxwell on a dW = IdΦ = I (Φ f  − Φ i ) = F ⋅ dr Si la position est stable, cela signifie que l’opérateur doit fournir un travail, autrement dit un déplacement dr dans le sens contraire de la force (qui sera une force f orce de rappel), donc dW  < 0 ou Φ f  < Φ i . Un circuit tend toujours à se placer dans des conditions d’équilibre stable, où le flux du champ est maximum. Cette règle est très utile pour se forger une intuition des actions magnétiques.

37

Chapitre IV- Induction électromagnétique IV.1- Les lois de l’induction 

IV.1.1- L’approche de Faraday Jusqu’à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la création d’un champ magnétique à partir d’un courant permanent. Ceci fut motivé par l’expérience de Oersted. A la même époque, le physicien anglais Faraday était préoccupé par la question inverse : puisque ces deux phénomènes sont liés, comment produire un courant à partir d’un champ magnétique ? Il fit un certain nombre d’expériences qui échouèrent car il essayait de produire un courant permanent. En fait, il s’aperçut bien de certains effets troublants, mais ils étaient toujours transitoires.   Exemple d’expérience : on enroule sur un même cylindre deux fils électriques. L’un est relié à une pile et possède un interrupteur, l’autre est seulement relié à un galvanomètre, permettant ainsi de mesurer tout courant qui serait engendré dans ce second circuit. En effet, Faraday savait que lorsqu’un courant permanent circule dans le premier circuit, un champ magnétique serait engendré et il s’attendait donc à voir apparaître un courant dans le deuxième circuit. En fait rien de tel n’était observé : lorsque l’interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait. Par contre, lors de son ouverture ou de sa fermeture, une déviation fugace de l’aiguille du galvanomètre pouvait être observée (cela n’a pas été perçu immédiatement). Une telle déviation pouvait également s’observer lorsque, un courant circulant dans le premier circuit, on déplaçait le deuxième circuit.   Autre expérience : prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d’une boucle constituée d’un fil conducteur relié à un galvanomètre. Lorsque l’aimant est immobile, il n’y a pas de courant mesurable dans le fil. Par contre, lorsqu’on déplace l’aimant, on voit apparaître un courant dont le signe varie selon qu’on approche ou qu’on éloigne l’aimant. De plus, ce courant est d’autant plus important que le déplacement est rapide.

Ces deux types d’expériences ont amené Faraday à écrire ceci : « Quand le flux du champ magnétique à travers un circuit fermé change, il apparaît un courant électrique . » Dans les deux expériences, si on change la résistance R du circuit, alors le courant I apparaissant est également modifié, de telle sorte que e=RI reste constant. Tous les faits expérimentaux mis en évidence par Faraday peuvent alors se résumer ainsi :   Loi de Faraday : la variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé y engendre une fém induite d Φ e=− (expression 1) dt  L’induction électromagnétique est donc un phénomène qui dépend intrinsèquement du temps et, au sens strict, sort du cadre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques

38 stationnaires). Nous allons toutefois l’étudier, l’induction étant l’équivalent magnétique de l’influence électrostatique.

IV.1.2- La loi de Faraday Posons-nous la question de Faraday. Comment crée-t-on un courant ? Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sont mises en mouvement grâce une différence de potentiel (ddp) qui est maintenue par une force électromotrice ou fém (elle s’exprime donc en Volts). Une pile, en convertissant son énergie chimique pendant un instant dt, fournit donc une puissance P (travail W par unité de temps) modifiant l’énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I. Soit Pq la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q. Sachant que dans un conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P que doit fournir le générateur (par ex une pile) est P= nPq dV = dl nPq dS = dl n F ⋅ v dS  

∫∫∫

V 

∫

circuit

 ∫∫  ∫ (nqv ⋅ dS ) F q⋅ dl =

=

circuit sec tion

=  I   ∫ 

∫∫    ∫ 

sec tion

∫∫  

circuit 

sec tion

F ⋅ dl circuit

∫q

( ∫j∫⋅ dS )   sec tion

F ⋅ dl

=  Ie q circuit  On pose donc que la fém d’un circuit est e=

P  I 

=

 ∫ 

F 

q circuit 

⋅ dl

où F  est la force qui s’exerce sur les charges mobiles q. Or, la force de Coulomb est incapable de produire une fém, puisque la circulation du champ électrostatique (donc le travail) est nulle sur un circuit fermé, e=

 ∫ E ⋅ dl = V ( A) − V ( A) = 0 s

circuit 

Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L’expérience de Faraday montre donc que c’est l’existence d’un champ magnétique qui permet l’apparition d’un courant. Cela signifie que la force de Lorentz doit être responsable de l’apparition d’une fém, c’est à dire e=

 ∫ ( E + v ∧ B) ⋅ dl

(expression 2)

circuit 

Reprenons maintenant l’expérience qui consiste à déplacer un circuit fermé avec une vitesse v dans un champ magnétique  B et un champ électrique  E s statiques. Que se passe-t-il pendant un instant dt ?

39 La force de Lorentz (due à ce mouvement d’ensemble) agissant sur chaque particule q du conducteur s’écrit F = q( Es + v ∧ B) , fournissant ainsi une fém 1

dl

e=

d2S n

 ∫ ( E

s

+ v ∧ B ) ⋅ dl = −

circuit

dr

=−

1

∫ (

vdt ∧ dl dt  circuit  

)⋅B

d S n⋅ B dt   ∫  2

circuit 

2

dr= v dt

où d Sn est la surface orientée élémentaire, décrite lors du déplacement vdt  du circuit. On reconnaît alors l’expression du flux coupé à travers cette surface élémentaire. On a donc 1 d Φ c d Φ 2 e=

−

 ∫ 

d  Φ c dt  circuit 

=−

dt 

=−

dt 

puisque la variation du flux coupé est égale à celle du flux total à travers le circuit (conservation du flux magnétique, cf théorème de Maxwell). Attention au sens de dl : il doit être cohérent avec dΦ c = d Φ . Nous venons de démontrer la loi de Faraday Faraday dans le cas d’un circuit rigide, déplacé dans un champ électromagnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l’expression du flux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c’est l’existence d’un mouvement d’ensemble du tout ou d’une partie du circuit (revoir démonstration pour s’en convaincre). Ainsi, l’expression de la fém induite d Φ c (expression 3) e=− dt  reste valable pour un circuit déformé et/ou déplacé dans un champ magnétique statique. Cette démonstration s’est faite à partir de la force de Lorentz et est donc a priori indépendante du référentiel choisi.

Première difficulté Prenons l’expérience de la roue de Barlow. L’appareil consiste en un disque métallique mobile autour d’un axe fixe, plongeant dans un champ magnétique et touchant par son bord extérieur une cuve de mercure. Un circuit électrique est ainsi établi entre la cuve et l’axe et on ferme ce circuit sur un galvanomètre permettant de mesurer tout courant. Lorsqu’on fait tourner le disque, un courant électrique est bien détecté, en cohérence avec la formule cidessus. Cependant, il n’y a pas de variation du flux total à travers la roue ! Ce résultat d Φ expérimental semble donc contradictoire avec e = − ! dt  Comment comprendre cela ? Même si, globalement, il n’y a pas de variation du flux total, il n’en reste pas moins que les charges du disque conducteur se déplacent dans un champ magnétique. On pourrait donc faire fi de l’égalité dΦ c = d Φ et utiliser l’expression 3 et calculer ainsi une fém non nulle. Cependant, la cause physique fondamentale de son existence réside dans l’expression 2. Il faut donc utiliser les expressions 1 et 3 uniquement comme des moyens parfois habiles de calculer cette fém.

40

Deuxième difficulté Si on se place maintenant dans le référentiel du circuit rigide, on verra un champ magnétique variable (c’est le cas, par ex, lorsqu’on approche un aimant d’un circuit immobile). Dans ce cas, le flux coupé est nul et on devrait donc avoir une fém nulle, ce qui n’est pas le l e cas d’après l’expérience de Faraday. Ce résultat expérimental semble cette fois-ci en contradiction avec d Φ c ! e=− dt  Résolution de ce paradoxe Puisque, dans ce dernier cas, le champ magnétique dépend du temps, il n’y a plus de lien direct entre le flux coupé et le flux total à travers le circuit. Si on revient à l’expression 2, on voit que dans le référentiel du circuit la force « magnétique » est nulle et il ne reste plus que le terme « électrique ». Or, nous avons déjà vu que ce champ électrique n’est pas simplement constitué d’un champ électrostatique. Si on rassemble ce que nous dit d’un coté la théorie et de l’autre l’expérience, on obtient e=

−

d Φ

(expérience de Faraday)

dt 

 ∫  E ⋅ dl (notre théorie)

=

m

circuit 

c’est à dire d Φ dt 

=

d 

∫∫

∂ B

  B⋅ dS =

dt  circuit

∫∂ ∫t  ⋅ dS = −

circuit  

∫  

Em ⋅ dl circuit 

Autrement dit, la seule façon de concilier notre théorie avec l’expérience, c’est d’admettre qu’une variation temporelle du champ magnétique engendre un champ électrique. Nous avons ici un nouvel effet physique, totalement indépendant de tout ce que nous avons vu  jusqu’à présent : l’induction est un phénomène électromagnétique.

Résumé/Bilan Que se passe-t-il si on déplace un circuit (rigide ou non) dans un champ magnétique variable ? Quelle expression faut-il utiliser ? En fait, il faut revenir à la force de Lorentz dans le cas général de champs variables. On aura alors une fém induite e=

 ∫ ( E + v ∧ B) ⋅ dl = ∫ E

m

circuit 

=−

d Φ dt 

⋅ dl −

circuit 

= −  ∫∫ 

circuit 

∂  B ∂ t 

⋅ dS  −

d Φ c dt 

d Φ c dt 

Le premier terme décrit la circulation non nulle d’un champ électromoteur, associé à la variation temporelle du champ magnétique, tandis que le deuxième terme décrit la présence d’un flux coupé dû au déplacement du circuit et/ou à sa déformation.  Remarque importante : Dans le calcul ci-dessus, nous n’avons pris en compte que la vitesse communiquée au circuit et non la vitesse totale des particules. En effet, s’il existe un courant, cela signifie que les particules chargées se déplacent à l’intérieur du circuit. En fait, la force magnétique associée à

41 cette composante de la vitesse est, en régime quasi-statique, exactement compensée par le champ électrostatique de Hall.

IV.1.3- La loi de Lenz Enoncé : l’induction produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donné  naissance. Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenue dans les équations et donc n’apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l’occurrence, la loi de Lenz n’est que l’expression du signe « – » contenu contenu dans la loi de Faraday. Exemple : si on approche un circuit du pôle nord d’un aimant, le flux f lux augmente et donc la fém induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ magnétique induit opposé à celui de l’aimant. Deux conséquences : 1. L’augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie. 2 . Il apparaît une force de Laplace F = I  grad Φ négative, s’opposant à l’approche de l’aimant. Ce signe « – » dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditions normales, il n’y a pas d’emballement possible (ex, courant ne faisant qu’augmenter).

Remarque sur la convention de signe La détermination du sens du courant induit se fait de la façon suivante : 1. On se choisit arbitrairement un sens de circulation le long du circuit. 2. Ce sens définit, grâce à la règle du bonhomme d’Ampère, une normale au circuit. 3. Le signe du flux est alors déterminé en faisant le produit scalaire du champ magnétique par cette normale. 4. En utilisant ensuite la loi de Faraday, on obtient la valeur et le signe de la fém. 5. Enfin, le courant est obtenu à partir de la loi d’Ohm (son signe peut aussi être directement connu en utilisant la loi de Lenz).

IV.2- Induction mutuelle et auto-induction  IV.2.1- Induction mutuelle entre deux circuits fermés Soient deux circuits fermés, orientés, traversés par des courants  I 1 et  I 2 . dS1

dS2

I2 I1

42 Le premier crée un champ magnétique  B1 dont on peut calculer le flux Φ12 à travers le deuxième circuit,

Φ12 = S2

µ  dl ∧ PM   0   B1 ⋅∫∫dS2   = 3   ⋅ dS2 I 1  ∫∫  ∫  4 π S  C  PM     2

1

où P est un point quelconque du circuit C 1 (l’élément de longueur valant dl = dOP ) et M un point quelconque de la surface délimitée par C 2 , à travers laquelle le flux est calculé. De même, on a pour le flux créé par le circuit C 2 sur le circuit C 1

Φ 21 = S1

  µ d l ∧ P M   0  B2 ⋅∫∫dS1  =   ∫∫  3   ⋅ dS1 I 2 ∫ π 4   PM  S  C    1

2

où P est cette fois-ci un point du circuit C 2 et M un point de la surface délimitée par C 1 , à travers laquelle le flux est calculé. Les termes entre crochets dépendent de la distance entre les deux circuits et de facteurs uniquement géométriques liés à la forme de chaque circuit. Comme, dans le cas général, ils sont difficiles voire impossible à calculer, il est commode de poser

Φ12 =  M12 I 1 Φ 21 =  M21 I 2

Le signe des coefficients dépend de l’orientation respective des circuits et suit la même logique que pour le courant induit. D’après les choix pris pour le sens de circulation le long de chaque circuit (voir figure), les flux sont négatifs pour des courants  I 1 et  I 2 positifs. Donc les coefficients sont négatifs.

Théorème : Le coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle (unités : Henry, H) M = M12

= M21  

 Il met en jeu une énergie potentielle d’interaction magnétique entre les deux circuits Wm = − MI1 I2   +

Consta Constante nte

Il nous faut démontrer que les inductances sont bien les mêmes pour chaque circuit. La raison profonde réside dans le fait qu’ils sont en interaction, donc possèdent chacun la même énergie potentielle d’interaction. Si on déplace C 2 , il faut fournir un travail dW2

= I2 dΦ12 = I1I2 dM12 

Mais ce faisant, on engendre une variation du flux à travers C 1 et donc un travail dW1

= I1dΦ 21 = I2 I1dM2 1

Puisqu’ils partagent la même énergie d’interaction (chaque travail correspond au mouvement relatif de C 1 par rapport à C 2 ), on a dW1 = dW2  et donc Constante te dM12 = dM21 ⇒ M12 = M21  + Constan Cette constante d’intégration doit être nulle puisque, si on éloigne les circuits l’un de l’autre à l’infini, l’interaction tend vers zéro et donc les inductances s’annulent.

43

IV.2.2- Auto-induction Si on considère un circuit isolé, parcouru par un courant I, on s’aperçoit qu’on peut produire le même raisonnement que ci-dessus. En effet, le courant I engendre un champ magnétique dans tout l’espace et il existe donc un flux de ce champ à travers le circuit lui-même,

  µ ∧ d l P M   0  Φ =   B⋅∫dS  =   ∫∫  3  ⋅ dS I  ∫ ∫ 4 π   PM  S S  C    qu’on peut simplement écrire

Φ = LI  où L est le coefficient d’auto-induction ou auto-inductance (ou self), exprimé en Henry. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif (alors que le signe de l’inductance mutuelle dépend de l’orientation d’un circuit par rapport à l’autre).

IV.3- Régimes variables  IV.3.1- Définition du régime quasi-statique Avec les lois que nous avons énoncé jusqu’à présent, nous sommes en mesure d’étudier certains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d’un champ (électrique ou magnétique) constant constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués appliqués à des systèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilité s’effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d’ajustement du champ. Voici tout de suite un exemple concret. La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c’est à dire le même dans le tout le circuit. Lorsqu’on ferme un interrupteur, un signal électromagnétique se propage dans tout le circuit et c’est ainsi que peut s’établir un courant permanent : cela prend un temps de l’ordre de l/c, où l est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si l’on a maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T, alors on pourra malgré tout utiliser les relations déduites de la magnétostatique si T >> l/c Ainsi, bien que le courant soit variable, la création d’un champ magnétique obéira à la loi de Biot et Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelé régime quasi-statique.

IV.3.2- Forces électromotrices (fém) induites Considérons tout d’abord le cas d’un circuit isolé rigide (non déformable). Nous avons vu qu’une fém induite apparaissait dès lors que le flux variait. D’après la loi de Faraday et l’expression ci-dessus, cette fém vaudra dI  e =−L dt  (L étant constant pour un circuit rigide). En régime variable, si le courant diminue, on verra donc apparaître une fém positive engendrant un courant induit qui va s’opposer à la

44 décroissance du courant dans le circuit. La self d’un circuit tend donc à atténuer les variations de courant. Dans les schémas électriques la self est symbolisée par une bobine. C’est en effet la façon la plus commode de produire une self : plus le nombre de spires est élevé et plus grande sera l’auto-inductance L (le cylindre sur lequel on fait l’enroulement est d’ailleurs constitué de fer doux, matériau ferromagnétique, pour amplifier le champ, donc L). Ceci se comprend aisément. La fém s’écrit en effet e=

 ∫ ( E + v ∧ B) ⋅ dl = N ∫ ( E + v ∧ B) ⋅ dl circuit

spire

ce qui d’ailleurs justifie la règle

Φcircuit =  N  Φspire Si l’on considère maintenant deux circuits couplés C 1 et C 2 , alors l’expression des flux totaux à travers ces circuits s’écrit Φ1 = Φ11 + Φ 21 = L1 I1 + MI2  

 Φ 2 = Φ 22 + Φ12 = L2 I2 + MI1  

On aura donc en régime variable des fém induites dans chaque circuit

e = − L dI 1 −  M  dI 2 1  1 dt  dt   e2 = − M  dI 1 −  L2 dI 2  dt  dt  Ceci peut avoir des conséquences importantes (parfois désastreuses), comme l’apparition soudaine d’un courant dans un circuit fermé non alimenté. En effet, supposons que  I 2 soit nul à un instant et qu’il y ait à ce moment là une variation de courant  I 1 . L’induction mutuelle va alors engendrer un courant  I 2 induit, qui va à son tour modifier  I 1 .

IV.3.3- Retour sur l’énergie magnétique Dans le Chapitre III, nous avons vu que l’énergie magnétique d’un circuit parcouru par un courant permanent I placé dans un champ magnétique extérieur B s’écrit Wm = −I Φ. Or, un tel circuit produit un flux Φ = LI  à travers lui-même, ce qui semblerait impliquer une énergie magnétique… négative. Etrange. D’autant plus que nous avions interprété cette énergie comme une énergie potentielle d’interaction entre le circuit et le champ extérieur. Peut-on parler d’énergie d’interaction du circuit avec lui-même ? Manifestement, cela n’a pas de sens. Il nous faut raisonner autrement. Tout effet a nécessité un travail (hélas) et est donc porteur d’énergie. Un conducteur portant une charge électrique Q possède une énergie électrostatique W e

=

Q

2

2C  où C est la capacité du conducteur. Cette énergie est stockée dans (portée par) le champ électrostatique. Nous avons calculé cette énergie en évaluant le travail fourni pour constituer ce réservoir de charges. Il nous faut faire un raisonnement similaire ici.

45 S’il existe un courant courant I, c’est qu’un générateur a fourni une puissance puissance P = ei pendant un certain temps. Cela signifie que le circuit (décrit par une self L) a reçu une puissance Pm = −ei = Li

di

2 d   Li 

=





dt  2  puisque celui-ci crée un champ magnétique (on néglige ici toute dissipation). Partant d’un courant nul à t=0, on obtient après un temps t un courant I et une énergie emmagasinée dt 

t 

 ∫ 

Wm = Pm dt = 0

1 2

2

LI  

Cette énergie est stockée dans dans le champ magnétique qui est créé par par un courant d’amplitude I, circulant dans un circuit de self L. Le facteur 1/2 provient de l’action du circuit sur lui-même. Si l’on prend en compte la dissipation (voir plus bas), on obtient que l’énergie nécessaire à la création d’un courant I (ou la génération du champ B associé) doit être supérieure. Si l’on place maintenant ce circuit dans un champ magnétique extérieur  Bext  , l’énergie magnétique totale sera 1 2 Wm = LI − IΦ  ext   2 où l’on a supposé implicitement que l’existence du circuit ne perturbe pas la l a source du champ  Bext  (celui-ci n’est pas affecté par des variations éventuelles du courant circulant dans le circuit). En général, de tels cas correspondent à une énergie d’interaction dominante sur l’énergie emmagasinée. Prenons maintenant le cas de deux circuits en interaction. Chacun est parcouru par un courant permanent et engendre ainsi un champ magnétique. L’énergie magnétique totale emmagasinée est alors t

t 

 ∫

W m = − e1I1dt 0

−

∫ e I dt   1 1

0

 dI  dI   =  ∫  L1I 1 1 +  MI 1 2 dt + dt  dt   0  t

=

1

(LI 2

2 1 1

t 





dI  +  MI  ∫ L I   dI  dt  dt  dt   2

2 2

1

2

0

+ L2 I2 2 ) + MI1 I2  

On voit donc que W m ≠ W1 + W 2 : il y a un troisième terme, correspondant à l’interaction entre les deux circuits.

IV.3.4- Bilan énergétique énergétique d’un d’un circuit électrique D’après la relation établie en électrocinétique, la tension entre deux points A et B d’un circuit vaut V A

− VB = RI − e

où e est la fém située entre A et B, R la résistance totale et le courant I circulant de A vers B. Etant parcouru par un courant, ce circuit (ou cette branche du circuit) va engendrer un champ

46 magnétique, donc produire un flux à travers lui-même qui, si le champ varie, va engendrer une fém (loi de Faraday) Faraday) et on aura alors dI  V A − VB = RI + L dt  Si le circuit est placé dans un champ magnétique extérieur  Bext  , le champ total sera la somme du champ induit et du champ  Bext  et l’équation sera dI  d Φext  V A − VB = RI + L − dt  dt  Ainsi, un circuit composé d’un générateur délivrant une tension U, d’une résistance R, d’une bobine de self L et d’un condensateur de capacité capacité C (circuit RLC) aura pour équation dI  Q + U = RI + L dt  C  dQ où  I  = est le courant circulant dans le circuit et Q la charge sur l’une des armatures du dt  condensateur. La puissance fournie par le générateur se transmet au circuit qui l’utilise alors de la façon suivante : P = UI 

 dI  Q  d   1 2  d   1 Q2  2 = I RI + L +  =  RI  +   LI   +     dt  2 C   dt  C  dt  2 c’est à dire P = P J+

d 

(W m+ W  )e

dt 

Une partie de la puissance disponible est donc convertie en chaleur (dissipation par effet Joule), tandis que le reste sert à produire des variations de l’énergie électro-magnétique totale du circuit. Dans un circuit « libre » (où U=0), on voit que cette énergie totale diminue au cours du temps, entièrement reconvertie en chaleur.

Formulaire de Magnétostatique Magnétostatique

Champ magnétostatique  Créé par une particule en mouvement: µ  q v ∧ PM    B( M ) = 0 3 4π  PM 

Actions et énergie magnétiques  Sur une particule chargée (force de Lorentz) F =q E +v∧B

(

)

Sur un circuit filiforme (force de Laplace) Créé par n charges en mouvement: n µ 0 qi vi ∧ Pi M    B( M ) = 3 Pi M  i = 1 4π 

F=

∑

Créé par une distribution continue: µ  j ( P) ∧ PM   3  B( M ) = ∫∫∫  0 d V  PM 3 4π  Créé par un circuit filiforme µ  I dl ∧ PM    B( M ) = 0 4π  circuit  PM 3

 ∫ 

Propriétés fondamentales  fondamentales  Flux conservatif 

Φ = ∫∫   B⋅ dS = 0 S 

 ∫ I dl ∧ B circuit 

Force (à partir de l'énergie) F = − grad Wm = I  grad Φ Couple (à partir de l'énergie) 3

Γ = ∑ Γi ui

avec

Γi = I 

i =1

∂ Φ ∂α i

Théorème de Maxwell dW = F ⋅ dr = IdΦ   c Energie d'interaction magnétique Wm = − IΦ + Cst   Energie magnétique emmagasinée 1 2 Wm = LI  2

Circulation (Th. d'Ampère):

 ∫  B⋅

dl= µ 0 Iint  

contour

Induction  Loi de Faraday d Φ ∂  B e=− = − ∫∫  ⋅ dS  − dt  t  ∂  S 

Dipôle magnétique  Moment dipolaire magnétique M= IS n Couple magnétique sur un dipôle Γ =  M ∧ B

=

dl    ∫ ( E + v ∧ B) ⋅ dl circuit 

Coefficient d'induction mutuelle Φ Φ  M  = 12 = 21  I1 I 2

Force magnétique sur un dipôle

(

F = grad M ⋅ B

)

Coefficient d'auto-induction  L =

Φ  I 

d Φ c dt