1
Recuerda: Clasificación de la geometría Geometría elíptica: geometría esférica donde se considera como punto la 2-upla formada por un punto y su punto antipodal. Fue propuesta por Klein a principios del siglo XX. Geometría euclídea: fue propuesta por Euclides en sus Elementos. Geometría esférica: geometría no euclídea en la que se verifica que la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180°. Propuesta por B. Riemann y L. Schläfli en la segunda mitad del siglo XIX. Geometría hiperbólica: geometría no euclídea en la que se verifica que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180°. Propuesta por K.F. Gauss, N. I. Lobachewski y J. Bolyai en la primera mitad del siglo XIX. Geometría intrínseca: se entiende por geometría intrínseca sobre una superficie a la colección de propiedades que se pueden determinar midiendo longitudes solamente sobre la superficie.
¡REFLEXIONA! • Cuando está usted creadoramente entregado a su vida, no tiene tiempo para la enfermedad ni el cansancio. ¡Haz de tu rutina diaria un acto de entrega a la acción permanente! • Cuando está usted ocupado, activo y vive su instante presente, el tiempo parece pasar con excesiva rapidez; no hay, evidentemente, tiempo para la depresión o la angustia. • Ganas en fuerza, experiencia y confianza cada vez que dejas de mirar al miedo de frente… Debes hacer aquello que no puedes hacer.
Geometría no euclídea: aquella en la que no se verifica el quinto postulado de Euclides.
¡ Razona... ! ¿Qué letra continúa? P; L; S; M; T; M; C; …
A) E D) H
B) F E) J
C) M
10 CONGRUENCIA SUCESIONES DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Es aquel conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras), tal que cada uno ocupa un lugar establecido. SUCESIONES NUMÉRICAS
•
Armónica: 1; 1; 1; 1 ; ... ; 1 2 3 4 n Fibonacci: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 24; …
• Oscilante: 1; -1; 1; -1; 1; -1; ... ; tn = (-1)n+1
•
Feinberg (Tribonacci): 1; 1; 2; 4; 7; 13; …
•
•
De Morgan: 1; 2; 3; 4; 245; 1206; …
•
• Lucas: 1; 3; 4; 7; 11; 18; …
Números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; …
• Triangulares: 1; 3; 6; 10; ... ; n^n + 1h 2
tx = x + k(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4); k = 10 •
Combinadas: 1. 3; - 6; - 9; 18; 15; ... # + # +
3. 1; 2; 4; 8; 10; ... # 2 +2 # 2 +2 # 2
(–2) –3 (–2) –3 2.
4.
7; 8; 4; 5;
1; ...
16; 20; 24; 36; 96; ... +1 -4 +1 - 4 + 1 4
#1 #3 #5 #7
•
4 12 60 420
Alternadas:
1. +5 +10 +15
3. #2
1; 2; 2; 7; 6; 17; 24; 32; ...
#2
#3
#4
#5
+4
+4
+3
+4
+3
+ 2
+ 2
4. +1
+1
+1
15; 10; 16; 12; 17; 14; ...
6 ; 8; 10 ; 11; 14 ; 14; ...
# 2
2; 3; 4; 5; 8; 7; ...
2.
# 2
+ 2
+ 2
11 Sucesiones Literales Por la posición que ocupa la letra en el abecedario. A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
J
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q
10
11
12
13
14
15
16
17
18
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Ejemplos: 1. U; O; K; G; D; ?
U; O; K; 22; 16; 11;
G; 7;
D; ? 4; 2
Luego: ? = B
Luego: ? = R
- 6 - 5 - 4 -3 -2
2. E; G; J; N; ? E; 5;
G; J; N; ? 7; 10; 14; 19;
+2 +3 +4 +5
Sucesiones Alfanuméricas Ejemplo: 4; E; 6; F; 9; H; 13; K 4: 6: 9: 13; 18
E; 5;
F; 6;
H; K; Ñ 8; 11; 15;
+2 +3 +4 +5 +1 +2 +3 +4 Sucesiones Aritméticas de Orden Superior Ejemplos: 1. 6; 13; 24; 39; x 6; 13; 24; 39; x +7 +11 +15 +19 + 4
+ 4
x = 39 + 19 = 58
+ 4
2. 1; 3; 7; 13; 21; x 1;
3;
+ 2 + 4
7;
13;
21;
x
+ 6 + 8 + 10
+ 2 + 2
+ 2 + 2
x = 21 + 10 = 31
12 Término enésimo de una sucesión de orden superior Sea la sucesión: a1; a2; a3; a4; a5; … Para determinar el término general o enésimo an, se procede de la siguiente manera; se calcula las primeras diferencias luego las segundas y así sucesivamente hasta que se encuentra una sucesión aritmética de primer orden. Así como se indica: a2
a1 b1 Sucesión aritmética de 1.er orden
a3 b2
a4 b3
c2
c1 d
Nota
a5 ...
b4 ...
primeras diferencias
m m! f p= n ^m - nh! n!
c3 ... segundas diferencias d ... terceras diferencias
Ejemplo: 5 5! 5! 5 . 4 . 3! f p= = = 3 ^5 - 3h! 3! 2! 3! 1. 2 . 3!
Donde:
n-1 n-1 n-1 an = a1 + f p b1 + f p c1 +f pd 1 2 3
= 20 = 10 2
Ejemplo: Calcular el término enésimo de: n-1 n-1 an = 6 + f p9 + f p4 1 2
6 ; 15; 28; 45; 66 9
13 4
17 4
21
an = 6 + 9^n - 1h + 4
4
an = 2n 2 + 3n + 1
Sucesiones Geométricas Son aquellas cuya ley de formación consiste en multiplicar o dividir. Ejemplos: ¿Qué número sigue? 1. 5; 15; 45; 135; x 5
15 #3
x = 3 # 135 = 405
2. 1; 1; 1; 1; 2; 24; x 1;
1;
1;
#1 #1
1;
#1
x
#1 #2 #12 #288
#1 #1 #2
2; 24;
#2
x = 24 # 288 = 6912
#6 #3
#24 #4
45 #3
135 #3
#3
x
^n - 1h^n - 2h 1# 2
13 1. Hallar m.
4. Hallar W.
21; 28; 36; 45; m
1; 4; 10; 20; 35; W
Resolución:
Resolución:
1;
21; + 7
28;
36;
+8
45;
+9
m
+ 10
4;
+ 3
+ 6
20;
+ 10
+3
m = 45 + 10 = 55
10;
+4
+ 15 +5
5. ¿Qué letra continúa?
19; 24; 30; 37; n
X; Z; U; W; R; ...
Resolución:
Resolución:
25;
19; + 5
30;
37; +7
+6 +1
24;
+1
n 8
+1
27; 22; 24;
+2 -5
+6
19;
?
+2 -5 +2
La posición que continúa es: 19 + 2 = 21
+ 21
X; Z; U; W; R;
n = 37 + 8 = 45
W
W = 35 + 21 = 56
2. Calcular n.
35;
La letra que continúa es T.
3. Hallar el término que continúa.
252; 232; 214; 198; ...
Resolución: 252;
6. ¿Qué número continúa?
232; -20
214; -18
x = 198 - 14 = 184
198; -16
x
1; 1; 2; 6; 24; 120; ...
Resolución:
1;
El número que sigue es 120 # 6 = 720.
-14
#1
1; #2
2;
6; #3
24; #4
120; #5
? #6
14
7. Hallar x.
10. Hallar x.
8;
Resolución:
17; 19; 21; 23; x
Resolución:
17; 19; 21; 23;
x
9; 12; 17; x
8;
+2
+2
12;
+1
+2
9;
+ 3 + 5 + 7
+2 + 2
x = 23 + 2 = 25
11. Hallar x.
19; 24; 30; 37; x
Resolución:
8; 9; 11; 14; x
Resolución:
8; 9; 11; 14; x
+1 +2 +3 +4
x = 14 + 4 = 18
9. ¿Qué número continúa?
7; 9; 12; 14; 17; 19; x
Resolución:
7; 9; 12; 14; 17; 19; x
x = 19 + 3 = 22
+ 6 + 7
+ 5
+1
x
8
+1 +1
x = 37 + 8 = 45
12. Hallar n.
1; 1; 2; 6; n
Resolución:
1; 1;
#1
+2 +3 +2 +3 +2 +3
+ 2
19; 24; 30; 37;
+ 2
x = 17 + 7 = 24
8. ¿Qué número continúa?
17; x
n = 6 # 4 = 24
2; 6; #2
#3
#4
n
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar x.
2. ¿Qué número continúa?
10; 12; 14; 16; x
A) 12 D) 20
B) 19 E) 18
14; 37; 60; 83; ...
A) 108 D) 109
C) 21
3. Calcular 2m.
4. Calcular n.
4; 4; 8; 24; m
A) 168 D) 144
B) 172 E) 192
C) 160
B) 106 E) 97
C) 110
B) 40 E) 15
C) 24
2; 3; 6; 11; 18; n
A) 27 D) 16
15
5. Hallar a.
6. Calcular x.
19; 20; 22; 25; a
A) 28 D) 26
B) 29 E) 30
C) 27
5; 15; 30; 90; 180; x
A) 360 D) 720
B) 350 E) 520
7. Hallar x.
8. ¿Qué letra continúa?
19; 25; 31; 37; 43; x
A) 44 D) 53
B) 50 E) 49
B; C; E; G; ...
A) K D) X
C) 51
B) O E) V
9. Hallar x.
10. Hallar la letra que continúa.
5; 5; 10; 20; 80; x
A) 640 D) 680
B) 600 E) 720
C) 240
C) 540
C) P
A; B; D; H; J; S; ...
A) W D) U
B) T E) S
C) R
17 12. 60; 70; 90; 120; x
Hallar x en cada uno de los ejercicios.
A) 130 D) 140
1. 8; 10; 12; 14; x A) 15 D) 20
B) 13 E) 16
B) 18 E) 23
B) 26 E) 27
C) 20
B) 32 E) 34
C) 22
B) 60 E) 65
C) 27
B) 42 E) 34
A) 36 D) 54
B) 30 E) 52
C) 28
A) 124 D) 150
B) 121 E) 156
C) 360
18. 21; 28; 37; 48; 61; x
C) 64
A) 76 D) 84
B) 75 E) 87
C) 81
B) 288 E) 360
C) 268
B) 305 E) 415
C) 315
B) 318 E) 351
C) 264
B) 172 E) 134
C) 124
19. 18; 36; 72; 144; x
8. 18; 19; 22; 27; x A) 40 D) 32
C) 112
17. 4; 12; 13; 39; 40; 120; x
7. 40; 43; 49; 58; x A) 70 D) 66
A) 86 D) 48
16. 5; 10; 12; 24; 26; x
6. 15; 18; 21; 24; x A) 25 D) 36
B) 96 E) 72
15. 4; 4; 8; 24; x
5. 10; 11; 13; 16; 20; x A) 25 D) 28
C) 60
C) 21
4. 8; 9; 11; 14; x A) 16 D) 17
B) 45 E) 110
14. 1; 1; 3; 15; x A) 30 D) 105
B) 18 E) 19
C) 110
C) 32
3. 7; 11; 15; x; 23 A) 20 D) 22
B) 48 E) 53
13. 4; 4; 6; 18; 22; x A) 40 D) 120
B) 29 E) 42
C) 150
C) 18
2. 17; 20; 23; 26; x A) 28 D) 36
B) 170 E) 160
C) 36
A) 180 D) 280 20. 5; 15; 45; 135; x
9. 12; 13; 15; 16; 18; x A) 23 D) 19
B) 21 E) 16
C) 20
A) 405 D) 385 21. 1; 4; 16; 64; x
10. 15; 13; 18; 16; 21; 19; x A) 22 D) 25
B) 24 E) 27
C) 23
22. 7; 7; 14; 42; x
11. 14; 17; 16; 19; 18; 21; x A) 18 D) 22
B) 19 E) 23
A) 128 D) 256
C) 20
A) 168 D) 136
18
34. 27; 25; 22; 18; x
23. 5; 10; 13; 26; 29; x A) 54
B) 61
D) 67
E) 77
C) 58
24. 16; 23; 30; 37; x
A) 12
B) 11
D) 15
E) 17
C) 13
35. 11; 22; 25; 50; 53; x
A) 59
B) 51
D) 44
E) 46
C) 56
25. 56; 79; 102; 125; x A) 148
B) 141
D) 260
E) 271
A) 116
B) 106
D) 89
E) 67
C) 84
36. 261; 243; 225; 207; x C) 136
A) 172
B) 184
D) 191
E) 190
C) 189
26. 28; 21; 63; 56; 168; x A) 160
B) 171
D) 191
E) 199
C) 161
37. 481; 467; 453; 439; x A) 431
B) 398
D) 425
E) 416
C) 378
27. 46; 58; 72; 88; x A) 90
B) 100
D) 106
E) 112
C) 110
38. 128; 149; 171; 194; 218; x A) 243
B) 321
D) 253
E) 230
C) 371
28. 69; 68; 65; 60; x A) 50
B) 48
D) 55
E) 53
C) 59
39. 491; 521; 553; 587; x
29. 89; 87; 83; 77; x A) 60
B) 76
D) 81
E) 69
C) 77
B) 142
D) 156
E) 150
C) 139
B) 630
D) 602
E) 660
C) 640
40. 864; 824; 786; 750; x
30. 18; 49; 80; 111; x A) 140
A) 623
A) 680
B) 642
D) 716
E) 741
C) 688
41. Hallar la letra que continúa.
C; F; I; L; ...
31. 9; 9; 18; 54; x A) 216
B) 108
D) 98
E) 120
C) 104
A) G
B) R
D) T
E) Ñ
C) S
42. A; D; G; J; ... 32. 4; 9; 15; 22; x A) 32
B) 36
D) 30
E) 42
C) 40
B) 68
D) 90
E) 88
B) M
D) O
E) R
C) Q
43. B; D; H; J; ...
33. 15; 19; 27; 39; 55; x A) 75
A) N
C) 78
A) M
B) X
D) S
E) T
C) Z
19 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Y NUMÉRICAS DEFINICIÓN DE DISTRIBUCIONES GRÁFICAS Son situaciones numéricas donde se buscará alguna relación operativa entre sus números, dispuestos en un determinado gráfico. Ejemplos: 1. Hallar x en la siguiente distribución.
2. Hallar x en la siguiente distribución.
Resolución:
" (8 # 2) – (5 # 3) = 1
Resolución:
Analizando las primeras figuras se deduce que:
" (4 # 9) – (5 # 5) = 11 " (6 # 7) – (4 # 8) = x
8 + 2 5_ = b b 2 ` & x = 11 + 7 6 + 12 9b 2 = 2 a x=9
x = 10
DEFINICIÓN de distribuciones numéricas Son aquellas disposiciones de números colocados generalmente en filas y columnas, donde uno de ellos es dado de incógnita. Este número buscado se encuentra utilizando la relación existente entre los demás números dados.
Analogías numéricas Comparación horizontal entre relaciones numéricas; generalmente se relacionan a los términos extremos, para así hallar el centro.
Ejemplos: 1. Encontrar el número que falta en: Resolución:
14 (77) 11 12 (72) 12 10 ( ) 13
14 (77) 11 & (14 # 11) : 2 = 77 12 (72) 12 & (12 # 12) : 2 = 72 10 ( ) 13 & (10 # 13) : 2 = 65 El número buscado es 65.
20 2. Encontrar el número que falta en:
Resolución:
Encontramos que: 6 ( 9 ) 3 " (6 # 3) : 2 = 9 4 ( 8 ) 4 " (4 # 4) : 2 = 8 7 ( ) 2 " (7 # 2) : 2 = 7
6
( 9 )
3
4
( 8 )
4
7
(
2
)
El número buscado es 7.
Distribuciones numéricas En este caso se consideran grupos de números distribuidos en filas (horizontales) y columnas (verticales) pudiendo establecerse analogías entre filas como en el caso anterior y también entre columnas, sin que la incógnita sea necesariamente el número central. Por este motivo las operaciones a realizarse alcanzan una mayor diversidad y exigen más raciocinio. Ejemplos: 1. Hallar el número que debe escribirse en lugar de x.
6 7 3 x 3 8 5 4 3
Resolución:
En la segunda columna: 7 + 3 + 4 = 14
En la tercera columna: 3 + 8 + 3 = 14
Ambas columnas coinciden; luego, en la primera columna: 6 + x + 5 = 14 & x = 3
2. ¿Qué número falta?
18 25 4 16 20 3 6 15 ?
Resolución:
En cada columna el último número es el triple de la diferencia de los primeros; entonces:
Primera columna:
Segunda columna: 25 - 20 = 5 & 5 # 3 = 15
Tercera columna:
El número que falta es 3.
18 - 16 = 2 & 2 # 3 = 6
4-3 =1& 1#3=3
21 1. Hallar x.
4. Hallar x.
8
3 12
3
14
7
10
54
21 x
7
16 8
3
x 6
9
Resolución:
Resolución: x
8
3
10 14
16
9
& (8 + 3) + 1 = 12
12 3
1
& 7 # 8 - 2 = 54
6
& 6 # 3 - 2 = 16
Luego:
x 9 1
& (10 + 3) + 1 = 14
3
&9 # 1 -2 &x =7
Luego:
7
21
5. Hallar x. & x = (7 + 21) + 1
x
3
2. Hallar a.
20 8 12
Resolución:
5
7
x = 29
7 1 6
19 8 a
1
5
36
Resolución:
2
45
12
8
5
7
20 8 12 & 20 - 12 = 8
7 1 6 & 7 - 6 = 1 Luego:
19 8 a & 19 - a = 8 a = 11
3 x
3
1
1
5
8
36 45 & (7 + 5) # 3 = 36 & (1 + 8) # 5 = 45 2 Luego: 12 & (12 + 3) # 2 = x 3 x = 30 x
3. Hallar x.
13
22 x
10
+4
+2
+5 13
#2
15 m 3
+1
17
22 + 6 Luego: x = 22 + 6 x 10 x = 28 8
14
6 Resolución:
Resolución:
+3
7
8
6. Hallar m.
17
7
14
15 +1 # 2 m 6 3 #2
Luego: m = 15 # 2 m = 30
22
7. Calcular el número que falta:
13 (14) 15 22 (19) 16 42 ( ? ) 26
Entonces el valor de x es: 63 : 9 = x = 7
Resolución:
11. Hallar el número que falta.
13 + 15 = 28 & 28 : 2 = 14 22 + 16 = 38 & 38 : 2 = 19
Luego:
42 + 26 = 68 & 68 : 2 = 34 Entonces el número que falta es 34.
8. ¿Qué número falta?
15 (36) 3 23 (60) 7 32 ( ? ) 15
Resolución:
(15 + 3) # 2 = 36 (23 + 7) # 2 = 60
Entonces el número que falta es: (32 + 15) # 2 = 94
9. Hallar m.
3 (11) 2 5 (28) 3 7 (m) 5
Resolución: 32 + 2 = 11 52 + 3 = 28
Luego: 72 + 5 = m = 54
10. Calcular x.
45 (5) 9 72 (9) 8 63 (x) 9
Resolución:
45 : 9 = 5 72 : 8 = 9
15 (46) 3 22 (89) 4 31 ( ? ) 2
Resolución: (15 # 3) + 1 = 46 (22 # 4) + 1 = 89
Luego tenemos: (31 # 2) + 1 = 63
12. Hallar n.
241 (56) 17 416 (55) 23 534 ( n ) 34
Resolución:
(2 + 4 + 1) # (1 + 7) = 56
(4 + 1 + 6) # (2 + 3) = 55
Entonces el valor de n será:
(5 + 3 + 4) # (3 + 4) = 84
13. ¿Qué número falta?
26 (1) 5 40 (4) 6 72 (?) 8
Resolución: 26 - 52 = 26 - 25 = 1 40 - 62 = 40 - 36 = 4
Luego tenemos:
72 - 82 = 72 - 64 = 8
Evaluación
Día:
Mes:
23
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
2. Hallar m.
1. Hallar a. 15 20
70
40 16
5
32
a
2
5
65 4
8
6
A) 20 D) 24
B) 10 E) 25
9
B) 0 E) 4
m
C) 7
18
36
x
23
51
45
25
29
3
4
3
m
A) 35 D) 34
23
18
11
8
1
4. Hallar x.
3. ¿Qué número falta?
14
13
4
A) 3 D) 9
C) 30
7
6
B) 36 E) 40
C) 42
A) 21 D) 28
B) 26 E) 30
C) 24
6. Hallar m.
5. Hallar x.
4 (12) 15 (25) 24 ( x )
A) 37 D) 32
18 10 13
B) 25 E) 42
C) 28
7. ¿Qué número falta?
B) 39 E) 42
C) 27
A) 6 D) 8
B) 35 E) 94
C) 82
A) 56 D) 50
72 (27) 3 64 (50) 5 53 ( x ) 7
B) 64 E) 55
C) 60
10. Hallar el número que falta.
9. Calcular m.
2 3 4
8. Hallar x.
4 (36) 8 5 (42) 9 6 ( ? ) 7
A) 36 D) 30
A) 92 D) 128
18 (36) 27 (81) 32 ( m )
7 ( 8) 9 9 ( 7) 5 1 (m) 5
B) 3 E) 5
C) 4
A) 18 D) 23
4 ( 16 ) 5 (125) 2 ( ? )
2 3 4
B) 16 E) 8
C) 17
25 1. ¿Qué número falta?
8. ¿Qué número falta?
5 6 8 2 20
6 4 18 2 4
? 10 4 3 13
A) 4
B) 7
C) 6
D) 8
E) 9
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
B) 16
C) 18
D) 13
E) 14
9. Hallar x.
2. ¿Qué número falta?
A) 6
A) 12 B) 5
C) 8
D) 9
E) 4 10. Hallar x.
3. ¿Qué número falta? 4
8
2
6
3
8
24
8
30
?
C) 26
D) 32
A) 20
B) 24
E) 18
A) 16
B) 12
C) 15
D) 14
E) 18
C) 12
D) 16
E) 18
C) 8
D) 9
E) 4
C) 32
D) 25
E) 36
50 17
a 42
C) 23
D) 26
11. ¿Qué número falta?
4. ¿Qué número falta?
A) 64 D) 40
13
B) 32 E) 36
C) 42
A) 8 B) 9 12. Hallar n.
5. Hallar y.
A) 18
B) 20
C) 23
D) 26
E) 16
6. Hallar n.
A) 28 D) 36
B) 32 E) 34
C) 26
A) 6 B) 7 13. Hallar a.
A) 26 B) 28 14. Hallar a.
7. Hallar x.
A) 25
13 23
B) 36
C) 49
D) 100
E) 16
A) 22
B) 20
E) 32
26
15. ¿Qué número falta?
23. ¿Qué número falta?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 4
A) 10 D) 16
16. ¿Qué número falta? 3 12
48 4
4 13
60 2
7 1
? 8
A) 56 B) 58 C) 72 17. ¿Qué número falta?
D) 77
E) 63
6 (10) 8 9 ( 4 ) 1 21 ( ) 3 B) 11 E) 15
C) 12
24. ¿Qué número falta?
5 (26) 1 8 (70) 6 3 ( ) 11 A) 24
B) 26
C) 30
D) 36
E) 20
D) 100
E) 144
D) 8
E) 9
D) 7
E) 3
D) 14
E) 18
D) 4
E) 8
D) 49
E) 56
25. ¿Qué número falta? A) 5 B) 6 18. Hallar n.
C) 7
D) 8
E) 9
B) 20
A) 81
C) 32
D) 18
E) 36
19. Hallar x.
C) 400
15 (4) 1 8 (5) 17 30 ( ) 6 A) 5
B) 6
C) 7
27. ¿Qué número falta?
A) 243
B) 169
26. ¿Qué número falta? 10
A) 24
3 (16) 1 5 (64) 3 10 ( ) 2
B) 81
C) 125
D) 64
E) 25
7 (8) 1 20 (5) 5 12 ( ) 6 A) 2
B) 6
C) 8
20. Hallar x. 28. ¿Qué número falta? A) 59
B) 64
C) 57
D) 51
2 ( 8 ) 5 (32) 8 ( )
E) 68 A) 10
21. ¿Qué número falta?
B) 30
C) 45
B) 11
C) 13
29. ¿Qué número falta?
8 (12) 16 7 (25) 43 20 ( ) 60 A) 40
3 6 1
D) 50
E) 59
4 (64) 3 9 (81) 2 1 ( ) 5 A) 0
B) 2
C) 1
22. ¿Qué número falta?
30. ¿Qué número falta?
60 (25) 10 9 ( 4 ) 1 30 ( ) 4 A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 13
2 (16) 4 4 (81) 3 5 ( ) 2 A) 36
B) 32
C) 25
27 CONGRUENCIA OPERADORESDE MATEMÁTICOS TRIÁNGULOS Operación Matemática Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado operador matemático. Operación matemática
Operador matemático
Adición
+
Sustracción
–
Multiplicación
#
División
:
Radicación Logaritmación
Log
Valor absoluto
| |
Sumatoria
/
Productoria
P
6 @
Máximo entero Límites
lím
Integración
#
h
h
Las operaciones matemáticas arriba mencionadas son conocidas universalmente, es decir, que cualquier matemático al observar la siguiente operación: log2 8, sabe que el resultado es 3. En el presente capítulo estudiaremos las operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático puede ser cualquier símbolo, incluso figuras geométricas; por ejemplo: *, 7 , #, T, &, X, … Las reglas de definición se basarán en las operaciones matemáticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos:
1.
Operador matemático
2.
a K b = 2a 2 - a # b
Regla de definición
Regla de definición
x % y = 3x - 4y Operador matemático
7 = x2 - x + 2 Operador matemático
3.
4.
Regla de definición
ab T cd = a # b - c # d Operador matemático
Regla de definición
28 1. Dado:
Resolución:
27(x + 2) = 81(x - 5) 33(x + 2) = 34(x - 5) 3(x + 2) = 4(x - 5) 3x + 6 = 4x - 20 x = 26
2
a # b = (a - b)
Hallar: S = (5 # 4) + (3 # 1)
Resolución:
S = (5 # 4) + (3 # 1)
S = (5 - 4)2 + (3 - 1)2
5. M # N = 3M - 5N + 1
S=1+4=5
Resolución:
2. Si: a % b = 2a - b
P = (4 # 2) + 1
P = 3 (4) - 5 (2) + 1 + 1
P = 12 - 10 + 2
P= 4 P=2
Hallar x. x % 10 = 10 % 2
Resolución: 2x - 10 = 2(10) - 2 2x - 10 = 20 - 2 2x = 30 - 2 2x = 28 x = 14 3. Se define:
Calcular: P = (4 # 2) + 1
6. Se define:
A q B = 5A - 7B Hallar m. (2 q m) q (3 q 2) = 8
Resolución:
2 q m = 5(2) - 7m = 10 - 7m 3 q 2 = 5(3) - 7(2) = 1 Reemplazando:
a 6 b = a -1(a - b)
Calcular: E = 24 c 1 6 1 mc 1 6 1 m 5 6 3 4
(10 - 7m) q 1 = 8
Resolución:
5(10 - 7m) - 7(1) = 8
E = 24 c 1 6 1 mc 1 6 1 m 5 6 3 4
E = 24 ;5 c 1 - 1 mE;3 c 1 - 1 mE 5 6 3 4
E = 24 ;5 . 1 E;3 . 1 E 30 12
E = 24 . 1 . 1 = 24 = 1 6 4 24
50 - 35m - 7 = 8
35 = 35m m=1
7. Si: a % b = a2 + b – 1 Hallar: A = 3 ^5 % 6h - 3 Resolución:
4. Se define:
aab=b
5 % 6 = (5)2 + 6 - 1 = 25 + 6 - 1 = 30
a
A=
3
Resolver:
A=
3
(x + 2) a 27 = (x - 5) a 81
A=3
^5 % 6h - 3
30 - 3
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Si: a q b = 3b - 2a2
2. Si: a % b = (2a - b)3
Calcular: 5 q 23
A) 16 D) 14
B) 18 E) 19
C) 13
3. Si: x = x3 - x2
A) 16 D) 28
B) 13 E) 20
C) 14
B) 14 E) 8
C) 15
4. Dados: m a n = 2m - 3n
Hallar:
3 -2
A) 1 D) 4
Hallar: A = (5 % 9) + (4 % 5)
B) 6 E) 3
C) 7
Calcular x. xa8=8a4
A) 12 D) 16
29
5. Si: a # b = a2 + 1
6. Si: a # b = a - b a
Hallar: (6 # 66) + (5 # 2)
A) 60 D) 76
7. Si: P
B) 63 E) 58
C) 71
(46)
B) 100 E) 72
C) 90
D) 1 15
E) 1 10
C) 2 3
x = 2x + 3
x = 3x - 2
Calcular: E = 3 + 3 + 6 + 6
A) 45 D) 58
B) 51 E) 47
C) 56
B) 61 E) 80
C) 59
10. Se define:
9. Si: a γ b = 5a - 2b
B) 3 2
A) 80 D) 120
A) 4 5
8. Se definen:
Q = 8P - 6Q
Calcular: R = (47)
Calcular: c 1 # 1 mc 1 # 1 m 2 3 4 5
b
Hallar x: (x γ 8) γ (3 γ 7) = 18
a
c
= b3 - ac
Calcular:
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
A) 60 D) 72
31 1. Si: a
7. Se define:
b = 2a + b2
a # b = a+b a-b Hallar: x#3=8#2
Hallar x. 5 x = 19 A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
2. Dada: a
C) 3 A) 12 D) 20
b = a2 – b2
B) 4
D) 7
E) 10
A) 0
B) 1 E) 4
A) 20 D) 27
B) 23 E) 28
C) 2
P Q = P2 – 3Q Además: x 4=5 2
A) 48 3 D) 37 5
Hallar y. 3 y=8
A) 30
B) 28 E) 31
11. Si: a
E) 2
B) 37 5 E) 3
A) 15 8 D) 2
Hallar: (9 % 7) % (1 a 2)
C) 37 2
5
C) 27
A % B = (A – B)2 M a N = (M + N)2
B) 45 4
n = m-n 2n
10. Si: m
D) 36
C) 24
9. Si: a a b = a - b a+b Hallar x. xa5=9a4
4. Hallar x2, si:
5. Dados:
a b = a2 – b2 Calcular la suma de cifras del resultado de: 5444 5443
C) 6
3. Si: m # n = m + n 2 Hallar x en: (x # 5) # (1 # 3) = 3 D) 3
C) 18
8. Si:
Hallar x. x 2 = 21 A) 5
B) 16 E) 10
C) 1
b = a2 – b2
Calcular: 222 222
A) 20
B) 25
D) 40
E) 32
222 220
C) 15 A) 848 844 D) 1
B) 888 884 E) 888 488
C) 2
B) 17 E) 20
C) 18
6. Si: a b = a2 + 2b – ab Calcular: (3 2) (2 3) A) 28
B) 29
D) 30
E) 60
C) 26
12. Si: a a b = 5a – 7b Hallar: (4 a 2) a (6 a 4) A) 16 D) 19
32
13. Si:
19. Si: b
x = 2x – 3 x = 3x + 1
= b3 – a.c Calcular: a
c
Calcular: S=
8 + 4 - 1
A) 5 D) 6 A) 4076 D) 2086
B) 2046 E) 4096
C) 2056
a b = b . ^a - ch c Hallar x. 6 2 x = 20 2 B) 4 E) 8
B) 6 E) 3
C) 8
22. Dado: a K b = 8a - 3b Hallar n. n K 10 = 10
A) 96 D) 94
B) 95 E) 91
C) 93
16. Si:
A) 10 D) 4
B) 20 E) 9
C) 5
B) 2 E) 5
C) 3
23. Se define:
n = n2 – 5n
a
Hallar x.
b = a3 + 2b
Hallar x.
x=6
4
A) 5 D) 2
B) 8 E) 9
A) 1 D) 4
#b 24. Dado: a = a + b a-b Calcular:
Calcular:
^- 3h#^- 2h H ^- 4h#^- 3h
B) 3 E) 10
E = 8#7 + 10#9 C) 2
b = 2a + 3b
A) 34 D) 48
B) 30 E) 39
C) 21
2 25. Si: x = x – x + 1 Calcular: S = 3 4 - 25
Hallar x. (x – 1) 4 = 20 B) 7 E) 5
x = 74
C) 6
17. Si: a # b = a2 – b2 + 1
A) 6 D) 10
C) 15
b = a2 + 2b
A) 5 D) 10
( 3 2 a 4) a 3
18. Se define: a
B) 14 E) 10
C) 2
Hallar:
A) 1 D) 6
3 +1
Calcular x. x = 24 2 3
15. Si: a a b = a2 – 2b
S = 4.>
x = x2 – 1 x = x2 + 1
21. Si: a
A) 7 D) 6
8
C) 4
20. Si:
Calcular: F = A) 12 D) 13
14. Si:
m
B) 3 E) 8
C) 8
A) 4 D) 0
B) 3 E) 2
C) 1
33 CONGRUENCIA PLANTEO DEDE ECUACIONES TRIÁNGULOS ecuación Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. Ejemplos: 1. 3x + 8 = 11 3x = 3 x = 1
2.
x2 - x - 12 = 0 (x - 4)(x + 3) = 0 x = 4 0 x = - 3
Plantear una ecuación consiste en llevar el problema que se encuentra escrito en un lenguaje convencional (forma verbal) a un lenguaje matemático utilizando símbolos, variables, etc.
Métodos para la resolución de problemas de planteo 1. Lee cuidadosamente el problema reconociendo así un plano genérico.
Ejemplos: 1. El triple de un número, menos 5 es 10.
2. Identificar la incógnita. 3x - 5 = 10 3x = 15 3. Reconocer los datos. x = 5
` El número es 5.
4. Relacionar la incógnita con el dato, 2. El doble de un número aumentado en 4, formando una ecuación. es igual a 24. 2(x + 4) = 24 5. Resolver la ecuación. 2x + 8 = 24 2x = 16 6. Dar respuesta al problema. x=8
A continuación veremos algunos ejemplos de traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica matemática.
Forma verbal
Forma simbólica
Sea un número (mi edad, mi dinero, etc.)
x
El doble de mi edad
2x
Mi edad aumentada en 5
x+5
El triple de mi dinero aumentado en 8
3(x + 8)
El triple de mi dinero, aumentado en 8
3x + 8
La suma de 3 números consecutivos La suma de 3 números pares consecutivos
x + (x + 1) + (x + 2) 2n + (2n + 2) + (2n + 4)
34 1. La suma de 2 números es 45 y su diferencia es 5, hallar el mayor de dichos números.
Resolución: Sean los números a y b. a + b = 45 a-b= 5 2a = 50 a = 25
+
El número mayor es 25.
2. La suma de tres pares consecutivos es 216, hallar el mayor de dichos números.
Resolución: Sean los números x; x + 2; x + 4.
x + x + 2 + x + 4 = 216 3x = 210 x = 70
Nos piden el mayor: 74
3. El triple de un número aumentado en su quíntuple es 160. Hallar dicho número aumentado en 5.
Resolución: Sea el número x. 3x + 5x = 160 8x = 160 x = 20
Nos piden: 20 + 5 = 25
4. Si Juan Adolfo gana $880, tendría 9 veces lo que le quedaría si perdiera $40, ¿cuánto tenía inicialmente Juan Adolfo?
Resolución: Juan Adolfo tenía: x x + 880 = 9(x - 40) x + 880 = 9x - 360 1240 = 8x 155 = x Juan Adolfo tenía: $155
5. El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia del triple del mayor y el doble del menor.
Resolución:
Sean los números: x; x + 1 Por dato: (x + x + 1)2 = 81 (2x + 1)2 = 81 2x + 1 = 9 2x = 8 x = 4 Nos piden: 3(4 + 1) - 2(4) = 7
6. En una feria venden 8 plátanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos al mismo precio que 10 nísperos, 12 nísperos al mismo precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan S/.32, ¿cuánto cuesta cada plátano?
Resolución:
8pa = 6d ... (1); 4d = 10n ...(2); 12n = 2Pi
Cada piña cuesta: 32 = S/.3,2 10
12n = 2(3,2) 6, 4 ; reemplazando este valor en (2): n= 12 6, 4 4d = 10 ( ) & d = 16 ; reemplazando en (1): 12 12
8pa = 6 . (16 ) & pa = S/.1 12 Luego cada plátano cuesta; S/.1
7. Un lapicero cuesta 8 soles y un lápiz 5 soles. Se quiere gastar exactamente 96 soles, de manera de poder adquirir la mayor cantidad posible de lapiceros y lápices. ¿Cuál es este número máximo? Resolución lapicero: x lápiz: y
8x + 5y = 96 . . 7 8
La mayor cantidad posible será: 7 + 8 = 15
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3 libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclopedias se obtendrá con 225 cuadernos?
A) 22 D) 27
B) 23 E) 31
C) 25
3. Cuatro hermanos tienen 30 manzanas. Si el número de manzanas del primero se incrementa en 1, el del segundo se reduce en 4, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos tendrían la misma cantidad. Hallar la cantidad de manzanas del tercero.
A) 10 D) 3
B) 12 E) 8
C) 5
2. En una granja se tienen pavos, gallinas y patos; sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves y sin contar los patos tenemos 4 aves, luego el número de pavos es:
A) 3 D) 2
B) 1 E) 0
C) 4
4. El exceso de un número sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo número sobre 70. Hallar el número disminuido en su cuarta parte.
A) 120 D) 110
B) 80 E) 98
C) 90
35
5. El cuádruple de la tercera parte de un número aumentado en su novena parte es igual a 13. Indicar el triple de dicho número.
A) 21 D) 30
B) 24 E) 33
C) 27
7. El quíntuple de un número aumentado en 2, más el triple de dicho número disminuido en dos es igual al quíntuple del número aumentado en 11.
A) 24 D) 56
B) 17 E) 81
C) 44
9. Al cine asistieron 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuple que el de mujeres y el número de mujeres es el triple que el de niños, ¿cuántos hombres hay?
A) 380 D) 288
B) 255 E) 258
C) 315
6. Dados tres números consecutivos, si la octava parte del menor, aumentado en la tercera parte del intermedio y más la mitad del mayor, resulta el menor de ellos. ¿Cuál es la suma de dichos números?
A) 42 D) 51
B) 99 E) 81
C) 63
8. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay patos y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales?
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
10. En una reunión el número de hombres es al de las mujeres como 4 es a 5. Si se retiran 8 parejas de esposos la nueva relación es de 2 a 3 de los invitados, ¿cuántos invitados asistieron?
A) 18 D) 25
B) 22 E) 23
C) 24
37 1. La suma de dos números es 480 y la diferencia es 260. Hallar el número mayor. A) 320 D) 370
B) 410 E) 260
C) 340
2. Un granjero compró 5 caballos y 3 burros. Si hubiera comprado un caballo menos y un burro más, habría gastado S/.5000 menos. ¿En cuánto difieren el precio de un caballo y el de un burro? A) S/.5000 D) S/.15 000
B) S/.10 000 E) S/.8000
C) S/.2500
3. La suma de 3 números es 6, si el doble del primero más el segundo es igual al triple del tercero aumentado en 5; además se sabe que el triple del primero menos el tercero es igual al segundo aumentado en 6. Entonces el doble del primero más el triple del segundo es: A) 13 D) 7
B) 12 E) 11
C) 5
B) 52 min E) 24 min
A) S - N 2
B) S + N 2
D) S - N
E) 2(S - N)
C) 62 min
5. Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron?
A) 5
B) 12
C) 14
D) 16
B) 56
C) 47
D) 38
C) 4 1 4
D) 3 1 3
E) 3
B) 14
C) 16
D) 18
E) 24
11. Una persona pierde en una apuesta S/.300 luego pierde S/.400, enseguida pierde la mitad de lo que le quedaba y por último pierde la mitad del resto, quedándose con S/.250. ¿Cuánto tenía inicialmente? A) S/.2800 D) S/.1950
B) S/.1400 E) S/.1100
C) S/.1700
12. Si a un número se le quita 30 unidades, quedan los 3 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al 5 número inicial para que queden los 2 del mismo? 3 B) 18
C) 15
D) 20
E) 25
E) 24
6. El cuadrado de la suma de las dos cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se resta el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las dos cifras; se obtiene 81. ¿Cuál es el número? A) 65
B) 4
10. Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos casos 45 de cociente. Si los dos residuos suman 73, uno de ellos es:
A) 10 A) 10
C) S + N
9. A un número le agregamos un tercio de su valor, luego a este resultado lo multiplicamos por un octavo del número inicial y por último a este resultado se le quita el sexto del número inicial. Si el resultado de toda esta operación es 2, hallar el número inicial.
A) 12
4. Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemática, suponiendo que a cada pregunta de matemática se da el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada con esta materia. ¿Cuánto se demorará resolver preguntas de matemática si el examen dura tres horas? A) 45 min D) 60 min
8. La suma de dos números es S, si se añade N al menor y se le quita N al mayor, su relación geométrica se invierte. Hallar el menor.
E) 29
7. Hoy gané S/.1 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2 de lo que 5 gané ayer. ¿Cuánto gané ayer? A) S/.15 B) S/.16 C) S/.14 D) S/.17 E) S/.13
13. Indicar cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro 2p cuando cada uno de sus lados aumenta en x. (Área del rectángulo = base # altura, el perímetro es la suma de sus 4 lados). A) x2 + px D) x2 - p2
B) x2 - px C) (x + p)2 2 2 E) x - 2px + p
14. En un corral de conejos y gallinas el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de conejos. A) 6
B) 10
C) 12
D) 16
E) 15
38
15. Si escribo a la derecha de un número las cifras x, y; este número aumenta en a unidades. ¿Cuál es ese número?
A) a - 10x - y
B)
a + 10x + y 99
C)
a - 10x - y 11
D)
a - 10x - y 99
E) a + 10x - y
16. Dos números A y B están en relación de m a n, si a A le aumenté n, ¿cuánto debo de aumentar a B para que se mantenga la relación?
A) m2 D) m3
2 C) n m
B) n m 3
E) m n
17. A y B comienzan a jugar con igual suma de dinero; cuando B ha perdido los 3 del dinero con el que 4 empezó a jugar, lo que ha ganado A es S/.24 más que la tercera parte de lo que le queda a B. ¿Con cuánto empezaron a jugar? A) S/.20 D) S/.23
B) S/.21 E) S/.36
C) S/.22
18. Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café, y tuvieron que pagar S/.20. Si en otra oportunidad, consumiendo una taza de leche y tres tazas de café; pagaron S/.10. Entonces una taza de leche cuesta: A) S/.2,5 D) S/.5
B) S/.3 E) S/.6
C) S/.4
19. Si en 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas o 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa?
A) 3 horas C) 4 horas E) 5 horas
B) 3 horas 30 min D) 4 horas 30 min
20. En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercer piso? A) 20 mil D) 75 mil
B) 50 mil E) 150 mil
C) 100 mil
21. En dos salones hay el mismo número de alumnos. Si por cada 4 alumnos que salen del primer salón salen 7 del segundo salón. ¿Cuántos alumnos había inicialmente en cada salón si al final quedan 28 en el primer salón y 4 en el segundo salón? A) 50 D) 64
B) 68 E) 48
C) 60
22. Los ángulos interiores de un pentágono son proporcionales a 5 números consecutivos. Hallar uno de los ángulos del pentágono. A) 72° D) 90°
B) 100° E) 120°
C) 108°
23. Dos números suman 94 y si dividimos al mayor entre el menor obtenemos 3 de cociente y 14 de residuo. ¿En cuánto excede el mayor al menor? A) 74 D) 54
B) 50 E) 48
C) 64
24. Un número excede a otro en 36 unidades y si dividimos el mayor entre el menor obtenemos 3 de cociente y 2 de residuo. Hallar el menor de dichos números. A) 13 D) 21
B) 15 E) 23
C) 17
25. Si A y B suman 123 y si dividimos a A entre el exceso de A sobre B obtenemos 2 de cociente y 6 de residuo. Hallar A. A) 75 D) 82
B) 78 E) 85
C) 80
26. Si x y , además (x + y) x – y 9 2 18 2 Hallar x. A) 63 D) 79
B) 67 E) 83
C) 71
27. Si un número de 2 cifras, aumentado en 13, se le divide por el duplo de la cifra de las unidades se obtiene 5 de cociente y 9 de residuo. Hallar el número. A) 74 D) 65
B) 47 E) 83
C) 56
