2
Recuerda: Tales de Mileto Nació y murió en la ciudad de Mileto (en lo que actualmente es Turquía). La opinión antigua es unánime al considerar a Tales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo, el primero de los siete sabios griegos. El hecho concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol, que tuvo lugar exactamente en el año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brillaba por el reflejo del sol. Tomó prestada la geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva. Se le asignan entre otros los siguientes teoremas: 1.- Teorema de Tales: un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 2.- Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro. 3.- Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales. 4.- Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales. 5.- Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Matemático y filósofo alemán nacido en Leipzig y fallecido en Hannover. Ha sido considerado por algunos como el último erudito que consiguió unos conocimientos universales para su época. Fue un niño prodigio cuyos talentos universales persistieron durante toda su vida. Sin duda, su intento de abarcar todo le hizo no haber sido un verdadero personaje de primera fila en algo en particular. Estudió teología, derecho, filosofía y matemáticas, entrando posteriormente en la carrera diplomática. Se interesó por las matemáticas cuando volvía de sus viajes en los que pudo conocer a personajes como Huygens. Su primer invento fue una máquina de calcular, que además de sumar y restar, era capaz de dividir y multiplicar. En 1673 empezó a pensar en un sistema de análisis matemático que publicó más tarde en 1684. Esto hizo surgir una controversia entre él mismo y los seguidores de Newton. A pesar de esto, hoy en día se da por hecho que su obra se llevó a cabo independientemente de la de Newton, e incluso su línea metodológica fue superior a la de este. La terminología y forma de cálculo que Leibniz desarrolló son hoy preferidas a las de Newton. En 1693 reconoció la ley de conservación de la energía mecánica. Murió en Hannover, olvidado y desdeñado.
¡REFLEXIONA! • La esencia del genio es utilizar la más sencilla de las ideas. ¡Atrévete a realizar…! • El pasado ha pasado, y, sea lo que sea lo que haya sucedido “entonces”, nunca volverá, y nunca podrás recuperarlo. • Siempre que se sorprenda malgastando sus momentos presentes paralizado por algo que ocurrió en el pasado, está usted castigándose innecesariamente. • Si ha decidido usted derrochar el presente vagando por el pasado, lamentando las oportunidades perdidas o rememorando “los buenos tiempos”, lamentándose de que “todo ha cambiado”, o deseando poder revivir su vida anterior, no hará más que “asesinar” su presente.
¡ Razona... ! Indicar el número que continúa en: 19; 23; 29; 38; 51; … A) 67 D) 69
B) 72 E) 85
C) 79
40 CONGRUENCIA CONTEO DE DEFIGURAS TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Consiste en poner dígitos a las figuras que nos interesa contar e ir combinándolos en forma ordenada. Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay?
De 1 figura: 1; 2; 3 = 3
De 2 figuras: 12; 23; 34; 14 = 4
De 4 figuras: 1234 = 1
Total = 8
4
Conteo por Inducción Este método se emplea para determinar las fórmulas en ciertos casos particulares, consiste en analizar casos particulares y luego generalizar para hallar el total. Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande. Dentro de estos casos tenemos:
Para triángulos
n.° de triángulos =
1
2
g
3
n-1
n^n + 1h 2
n
m
g
g
1
2
g
n.° de triángulos =
n^n + 1h .m 2
2 n 1
Para ángulos
3 2 1
n.° de ángulos =
n^n + 1h 2
41 Para sectores circulares
n^n + 1h n.° de sectores = circulares 2
Para cuadrados
n^n + 1h^2n + 1h n.° de cuadrados = 6
Para cuadriláteros
m(m + 1) 2
m h 2 1 2 3 4 5 ... n
n.° de n^n + 1h m^m + 1h . cuadriláteros = 2 2
n(n + 1) 2
Para cubos
n 1 n
1
n
n.° de cubos = ;
n^n + 1h 2 E 2
42 1.
¿Cuántos triángulos existen en el siguiente gráfico?
3. ¿Cuántos cuadriláteros existen en la figura?
Resolución:
Resolución:
• • • •
Total: 15 cuadriláteros
e f g
d c
h
b
i j
a
• 1 letra: a; b; c; d; e; f; g; h; i; j = 10 • 2 letras: ab; bc; cd; de; fg; gh; hi; ij = 8 • 3 letras: abc; bcd; cde; fgh; ghi; hij = 6 • 4 letras: abcd; bcde; fghi; ghij = 4 • 5 letras: abcde; fghij = 2 • 10 letras: abcdefghij = 1
Total: 31 triángulos.
2. ¿Cuántos cuadriláteros existen que por lo menos tengan un asterisco?
1 letra: b; c; d; e; f; g; h = 7 2 letras: bc; cd; fg; gh = 4 3 letras: bcd; fgh = 2 5 letras: abcde; efghi = 2
a
b
c
d
e
f
g
h
i
4. ¿Cuántos ángulos agudos existen en el siguiente gráfico? 1 2 3
n
Resolución: Veamos por inducción: 1
1
2
1
2
3
1 2
n
&
Resolución: Primero hallaremos todos los cuadriláteros y les restaremos los cuadriláteros que no tengan asterico. a d g
h
j
k
b
c
e
f
2=
1^1 + 3h 2
5=
2^2 + 3h 2
9=
3^3 + 3h 2
n^n + 3h 2
5.
¿Cuántos triángulos existen en el siguiente gráfico?
Resolución:
i l
Por fórmula:
n.° de cuadriláteros =
Hallamos los que no tienen asterisco.
• 1 letra: a; b; c; d; e; f; g; h; i; j; k; l = 12
• 2 letras: ab; bc; ef; gh; jk; kl; be; cf; dg; fi; gj; hk = 12
• 3 letras: abc; jkl; dgj; cfi = 4
• 4 letras: becf; gjhk = 2
Total: 30 cuadriláteros sin asterisco Luego: 100 - 30 = 70 Hay 70 cuadriláteros con al menos un asterisco.
4^5h 4^5h = 100 # 2 2
a e
• • • • • •
Total: 24 triángulos
b f
c d g h
1 letra: a; b; c; d; e = 5 2 letras: ab; bc; cd; ef; ae; bf; cg; dh = 8 3 letras: abc; bcd; efg = 3 4 letras: abcd; efgh; abef; bfcg; cdgh = 5 6 letras: abcefg; bcdfhg = 2 8 letras: abcdefgh = 1
Evaluación
Día:
Año:
Mes:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
2. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
1
2
3
A) 120 D) 90
16
B) 136 E) 900
A) 18 D) 20
C) 108
B) 22 E) 15
C) 21
4. ¿Cuántos triángulos hay?
3. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 13 D) 5
B) 10 E) 7
C) 8
A) 10 D) 12
B) 9 E) 8
C) 11
43
5. Hallar el total de triángulos que hay en la siguiente figura.
6. ¿Cuántos cuadriláteros hay?
A) 8 D) 7
B) 9 E) 11
C) 10
A) 7 D) 9
2
C) 5
8. ¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?
7. ¿Cuántos ángulos hay en la siguiente figura? 1
B) 6 E) 3
3
10
A) 50 D) 40
B) 60 E) 68
C) 55
9. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
A) 300 D) 150
B) 120 E) 100
C) 350
10. Hallar la suma del número de cuadriláteros y el número de triángulos.
A) 160 D) 130
B) 200 E) 140
C) 100
A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
45 Hallar el total de triángulos en cada figura.
6.
1.
A) 7 D) 9
B) 6 E) 12
C) 5
2.
A) 18 D) 14
B) 13 E) 12
C) 16
A) 6 D) 4
B) 7 E) 5
C) 8
A) 9 D) 12
B) 8 E) 14
C) 7
A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
C) 10
A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
7.
A) 12 D) 14
B) 10 E) 7
C) 13
8.
3.
A) 10 D) 7
B) 12 E) 9
C) 13 9.
4.
A) 7 D) 6
B) 8 E) 11
C) 10
5. 10.
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
46
16.
11.
A) 12 D) 11
B) 15 E) 14
A) 5 D) 7
B) 6 E) 4
C) 8
A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
A) 7 D) 6
B) 8 E) 5
C) 9
A) 7 D) 6
B) 8 E) 5
C) 9
A) 16 D) 12
B) 14 E) 15
C) 18
A) 32 D) 30
B) 36 E) 28
C) 38
C) 16 17.
Hallar el total de cuadriláteros en cada figura. 12.
18. A) 11 D) 13
B) 10 E) 14
C) 12
13.
19.
A) 6 D) 10
B) 11 E) 7
C) 9
14. 20.
A) 12 D) 9
B) 10 E) 7
C) 11
15. 21.
A) 11 D) 14
B) 8 E) 13
C) 16
A) 40 D) 44
22.
B) 42 E) 46
47
C) 43
27. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco en su interior? A) 12 D) 14
B) 10 E) 15
C) 13
23. ¿Cuántos triángulos existen en el siguiente gráfico?
A) 90 D) 93
B) 91 E) 94
C) 92
28. El número de cuadriláteros que existen en la figura adjunta es:
A) 20 D) 26
B) 24 E) 27
C) 25
24. ¿Cuántos cuadrados existen en el siguiente gráfico?
A) 42 D) 114
B) 45 E) 102
C) 57
29. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura? A) 30 D) 60
B) 40 E) 65
C) 50
25. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura? A) 20 D) 60
A) 18 D) 45
B) 24 E) 43
C) 26
B) 42 E) 64
30. ¿Cuántos triángulos siguiente?
existen
C) 44
en
el
26. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente gráfico? A) 9 D) 12
B) 10 E) 14
C) 11
gráfico
48 CONGRUENCIA EXPONENTES DE TRIÁNGULOS Leyes de Exponentes Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación. Potenciación Es aquella operación matemática donde, dados los elemento llamados base (b) y exponente (n) se calcula un tercer elemento llamado potencia (p).
Notación: n
b =p
b : base, b ! R n : exponente , n ! Z p : potencia , p ! R
Principales exponentes
Exponente natural Si n es cualquier entero positivo y x es un número real, definimos:
xn =
x ; si n = 1 x . x . x ... x ; si n $ 2 n veces
Exponente cero Si x es cualquier número real no nulo, definimos: x0 = 1
Exponente negativo Si x es un número real no nulo y si n es un entero positivo, definimos:
Si x, y son reales no nulos, n es un entero positivo, entonces:
y n x -n c m =a k y x
x-n = 1n x
Teorema Si, x, y son números reales y m, n son enteros, tal que xm, xn, yn existen, entonces: xm . xn = xm+n
(x . y)n = xn .yn
xm xm - n; x ! 0 = xn
xm . xn = xm+n
x n xn c m = n; y ! 0 y y
49 Radicación
n
es el símbolo radical n es el índice; n ! N / n $ 2 a es el radicando (cantidad radical) b es la raíz enésima
a=b
Observaciones 1. Si a 2 0 y n es un entero positivo, n $ 2, entonces existe un único número real b 2 0, tal que: bn = a. El número b se llama raíz enésima de a y se denota por: b = n a . 2. Si a 1 0 y n es un entero positivo impar, n $ 3, entonces existe un b 1 0, tal que bn = a.
En este caso, de nuevo escribimos
3. Finalmente:
n
n
a y la llamamos la raíz enésima de a.
0 = 0.
Teorema Si n es un natural, n $ 2; x, y son reales tales que
x y
n
y existen, entonces:
^n x hn = x
n
x .n y = n x . y
n
x n x ; si y ! 0 = y y
n
m n
n
n
x = mn x
xn = *
; si m es un natural, m $ 2, y las raíces indicadas existen.
x ; n es impar x ; n es par
Exponentes Racionales 1
Definición ( x n ) Si x es un número real y n es un natural (n $ 2), entonces definimos:
1
xn = n x
(suponiendo que
n
x existe)
Definición b x n l m
Sea
m un número racional irreductible y n un natural (n $ 2). Luego, si x es un número real, tal que n
definimos: m n n x n = ^ xh = x m
m
n
x existe,
50 1. Simplificar:
1
x-2 x-3 x-4 Z = 2x - 4 + 3x - 6 + 4x - 8 2 3 4
Resolución: Z=
x -2 x -3 x -4 Z = 2 x .2- 4 + 3 x .3- 6 + 4 x . 4- 8 2 .2 3 .3 4 .4 – 3 + 6
Z = 2
Z = 2 + 3 + 4 = 287
+ 3 3
M=
x
xn + 10 . 6 x n - 10 12 x . x3 - n
3
Resolución:
E=
n + 10
2n + 21
6 E = x 2n - 27 = x x 12
E=x
2n + 21 2n - 27 6 12
1
2n + 69 12
. ab H> ba . ^- b- a h H b b a a
b- 1
M = >a
Resolución:
M = >a
-1
-1
-1
. ab H> ba . ^- b- a h H b b a a
b- 1
-1
-1
1 3
- 3-1
E3 = 64
E3 = 64- 8
E3 = 64-
E3 = 64
E3 =
1 = 1 64 8
E= 3
1 =1 8 2
Luego nos piden:
1
1 3 27
- 27- 3
-
-
1
1
13 8
8 3
1 2
= 13
= 12 1
=
12 64
2 E = c 1m = 1 2 4
6. Simplificar:
n+2 3n - 1 A = n + 1 9n - 1 . 3 n + 1 3 3
Resolución:
2n + 4 3n - 1 A = n+1 3 n-1 . 3 n+1 3 3
2n + 4 + 3n - 1 A = n+1 3 n-1+n+1 3
5n + 3 A = n + 1 3 2n 3
A = n + 1 3 5n + 3 - 2n = n + 1 3 3n + 3
A=
4. Ejecutar:
, hallar el valor de E2.
xn + 10 . 6 x = x 3 . x 6 n - 10 3-n n - 10 12 x . x3 - n x 4 . x 12
3 4
-1
- 8- 27
3. Simplificar: 4
=- 1
1
Resolución:
Resolución:
E=
H
ab
1
2 + 2 = 18 2x(23 + 1) = 18 2x . 9 = 18 2x = 2 & x=1
1 a
+4
4
2x + 3 + 2x = 18
x +3
-
- 27-3
2. Hallar x en:
a b . ^- 1h
5. Si: E3 = 64- 8
– 4 + 8
2
1
1
2x - 2 3x - 3 4x - 4 + + 2x - 4 3x - 6 4x - 8
–2 + 4
1
a b b M = > a . 1a H> - b .1b ab ab
-1
n+1
3
3 (n + 1)
=3
3 (n + 1 ) n+1
= 33 = 27
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Si: aa = 2
2. Reducir:
Hallar el valor de: F = a
A) 64 D) 36
3a a + 1
B) 16 E) 28
C) 72
B = 5 +5
A) 5 D) 5n
A) 27 D) 9
B) 24 E) 3
C) 3n
B) x–2 E) x3
C) x–1
4. Ejecutar:
3. Simplificar: n
n+3 - 3n + 1 M= 3 3^3n - 1h
n+1
5
+5
n+2
n
B) 50 E) 31
C) 25
3m + 5 2m - 1 C = x 5 +. x5m x
A) x2 D) 1
51
6. Efectuar:
5. Reducir:
A=3
x +2
x +1
+3
x
+3
A) 3 D) 9
B) 13(3x) E) 27
C) 3x
A) 2 D) 3
n + 13
n + 14
H = 2n + 14 + 2n + 15 2 +2
A) 2 D) 16
B) 4 E) 2 –1
C) 8
9. Hallar el valor de:
E = n9
A) 27 D) 92
9
n9
B) 5 E) 4
C) 7
8. Hallar el valor de J.
7. Simplificar:
6 3 3 E = 214 . 359 . 802 15 . 14 . 30
90n +2
9
A) 2 D) 5
B) 3 E) 16
C) 9
10. Se cumple que:
+1
+3
-1
- 32-5
J = 1616
2n9
+2
B) 10 E) 81
C) 20
x
xx = 2
Hallar: E = x x
A) 16 D) 8
x
+ xx + x
x
B) 2 E) 1
C) 4
53 7. Simplificar:
1. Simplificar: R =9 x x x C
23
3
B) x6 E) x9
A) x5 D) x8
C) x7
M=
-1
- 4- 2
243
.
3
27
A) 1 3
B) 1 9
D) 1 81
E) 1 243
E = c9m 4
B) x E) x3
M = 8 4.
-1
- 4- 2
C) 1 27
C) x
B) 1 2
D) 1 4
E) 1
-3-1
-c
625 0, 25 810, 25 m + 81
A) 6 D) 3
2-20 .2 4
A) 2
C) 4
-2-1
E = 2568
- 0,5
-1
4
9. Reducir:
3. Calcular:
A) 1 D) x2 8. Calcular:
2. Reducir: 5
x9
3
x 2 . x5 .
B) 5 E) 2
- 81 4
A) 1 D) 7
B) 3 E) 9
C) 6
B) 0,75 E) 2
C) 0,5
B) 2 E) 5
C) 3
C) 4 10. Reducir: -0,5
- 9-4
E = 8- 27
4. Reducir: 1 1 - c mc m - c mc m 9 3 9 3
1 -3
1
A) 0,25 D) 2,5
B = c 1m 3 A) 3 D) 81
B) 9 E) 243
C) 27
>c 1 m 3
-c
- 3- 1
1 m 64
A) 4 D) 7
1 1 2 1 - c m2 4
1 +c m 4
B) 5 E) 8
H
12. Reducir: P= C) 6
6. Reducir: E=
3
-1
-2
-1
64 2 + 16 2 - 83
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
A) 6 3
B) 8 3
C) 8 27
D) 3
E) 3
13. Efectuar: 1 1 1 2 2 2k m
M = ca^6561h
x. x. x. x. x- 1
A) 1 D) x3
-2-1
R = 649 A) 1 D) 4
5. Reducir: 1 -1 -c m 3
11. Calcular:
B) x E) x
C) x2
54
14. Simplificar:
20. Simplificar: -1 ^27h
-2 E = >c 1 m H 64
3-1
2
n
P=
A) 1
B) 2
D) 4
E) 1 4
C) 1 2
x. 3 x. x
A) 1 D)
B) x x
3
6
E)
C)
x
x
16. Calcular: M=a
20a + 1 4 + 2 2a + 2
B) x2 E) x5
C) x3
A) 20 4
B) 21 4
C) 22 4
D) 23 4
E) 24 4
22. Simplificar:
a+2
A) 4 D) 7
B) 5 E) 8
C) 6
17. Calcular: R = n2
A) x D) x4
P = 5 8 + 9 32 128
x. 3 x. 4 x 4
2
x 4n + x3n 2 2 x 2n + xn xn + 1
21. Simplificar:
15. Reducir: E=
x 3n + n
9n
2
+ 3 2n 2 90n + 1
+2
2
+2
4 a = 2 4 32 3 2
A) 2 3
B) 3 5
D) 5 3
E) 6 3
C) 4 3
23. Calcular: A) 1 7
B) 1 8
D) 1 10
E) 1 11
18. Si: f(x) =
3
C) 1 9
-n
6 4^4-1hn@2 B) 3 E) 0
C) 2
A) 30 x15
B) 30 x16
C) 30 x17
D) 30 x18
E)
24. Simplificar:
Calcular f(16).
M= B) 8 E) 5
C) 7
19. Simplificar:
5
x2
3
x 2 x3
30
x19
25. Simplificar:
J 4 x 8 N72 K6 : xO O P =K 3 x 9 K x. x O K O x P L
C = a+b
A) x
B) x2
D) x
E) x
4
43 ^8 4/3h
A) 4 D) 1
x8 . 4 x7 ^ x3 h5
A) 9 D) 6
E=
5
C) x3
xa .y-b x-b .ya
A)
y x
B) x y
D)
y2 x
E) 1
2 C) x y
55 CONGRUENCIA TANTO POR DE CIENTO TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad) dividida en 100 partes iguales. 100 partes iguales
1 1 100 100
1 1 100 100
...
...
1 1 100 100
n partes
Ejemplos: n 1. El n por ciento 1 2 el n% 1 2 100
2. El 2 por ciento 1 2 2% 1 2
30 3. El 30 por ciento 1 2 30% 1 2 100
108 4. El 108 por ciento 1 2 108% 1 2 100
5. El k2 por ciento 1 2 k2 % 1 2
2 100
k2 100
Equivalencias •
2% 1 2
1 ; 50
20% 1 2
1 5 ;
10% 1 2
1 10
•
5% 1 2
1 ; 20
50% 1 2
1 2 ;
75% 1 2
3 4
100% 1 2 1
El todo representa a la unidad y como tal equivale al 100%.
APLICACIONES
a El a% de b = 100 # b
Ejemplos: 1. El 20% de 100 =
20 (100) = 20 100
3. El 40% de 80 = 40 (80) = 32 100
2. El 5% de 20 =
5 (20) = 1 100
4. El 20% del 40% de 900 = 20 # 40 # 900 = 72 100 100
5. El 30% del 20% de 200 = 30 # 20 # 200 = 12 100 100
56 Operaciones con el Tanto Por Ciento Si tenemos porcentajes referidos a las mismas cantidades, podemos realizar operaciones aritméticas entre ellas. Ejemplos: 1. 40%a + 20%a = 60%a
2. 80%a - 30%a = 50%a
Relación Parte-Todo Si queremos expresar en porcentaje una comparación parte-todo, basta con multiplicarla por 100%.
lo que hace de parte # 100% lo que hace de todo
Ejemplos: 1. ¿Qué tanto por ciento de 80 es 40?
40 # 100% 50% = 80
2. ¿Qué porcentaje de 28 es 7?
7 # 100% 25% = 28
3. ¿Qué tanto por ciento representa 100 de 50?
100 # 100% 200% = 50
4. ¿Qué tanto por ciento es 40 de 25?
40 # 100% 160% = 25
5. ¿Qué porcentaje de A es B?
B # 100% A
6. ¿Qué porcentaje es Y de X?
Y # 100% X
57 1. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 40% y 30% de una cantidad?
Resolución:
Descuento del 40% & 60% Descuento del 30% & 70%
Luego: 60% # 70% = 42%
Descuento único = 100% – 42% = 58%
4. Un futbolista dispara 12 penales acertando todos ellos. ¿Cuántos penales más debe patear (todos fallados), para tener una eficiencia del 60%?
Resolución:
Penales acertados
Penales fallados
& 12 & x & 12 + x
Total de penales Luego: 60%total = acertados 60%(12 + x) = 12
2. ¿A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 30%; 40% y 10% de una cantidad?
60 (12 + x) = 12 100
Resolución
72 + 6x = 120 6x = 48 x = 8
Aumento del 30% & 130%
Aumento del 40% & 140%
Aumento del 10% & 110%
Luego: 130% # 140% # 110% = 200,2%
Aumento único = 200,2% – 100% = 100,2%
Resolución:
Final Inicial A1 100%a
Ainicial = 100%a2
Afinal = (130%a)2
Afinal = 130% # 130%a2
Afinal = 169%a2
&
Debe fallar 8 penales.
5. Si tuviera el 55% menos de la edad que tengo, tendría 27 años. ¿Cuántos tendré dentro de 10 años?
3. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
&
A2
130%a
Su área aumenta en un 69%.
Resolución:
55% menos & tengo 45%
––– 27 100% ––– x
45%
x = 100% # 27 45 x = 60
&
Tengo 60 años y en 10 años tendré 70.
6. Un empresario decide hacer un aumento a sus empleados del 20%, al no cumplir con los requerimientos exigidos les hace un descuento del 20% del sueldo.¿Qué porcentaje pierde cada empleado de su sueldo?
Resolución:
Sea x el sueldo antes del primer aumento:
x + 20%x = 120%x
Descuento del sueldo del 20% & 80%
Luego:
120%x # 80% = 96%x
&
Cada empleado pierde el 4% de su sueldo.
58 7. Una inmobiliaria remató dos casas en S/.16 800 cada una, de modo que en una de ellas ganó 40%, pero en la otra perdió 40%. ¿Ganó o perdió en la venta, y cuánto?
9. En un depósito que contiene una mezcla de 90 litros de alcohol y 10 litros de agua, ¿qué cantidad de alcohol debe añadirse para que la mezcla sea del 95% de pureza de alcohol?
Resolución:
Para la venta en que ganó:
PV = PC1 + ganancia
16 800 = PC1 + 40%PC1
16 800 = 140%PC1
PC1 = S/.12 000
Para la venta en que perdió:
PV = PC2 - pérdida
16 800 = PC2 - 40%PC2
16 800 = 60%PC2
PC2 = S/.28 000 Luego:
PC1 + PC2 = S/.40 000
PV = 2(16 800) = S/.33 600
Entonces en la venta perdió S/.6400.
8. Si el precio de un artículo, luego de haberle hecho dos descuentos sucesivos del 20% y 10% es de S/.14 400. ¿Cuál es el precio que tenía antes de dichos descuentos?
100 l
& 90 l de alc.
100 + x
& 10 l de H2O
& 90 l + x de alcohol & 10 l de H2O
Sea x los litros adicionales de alcohol, entonces:
95%(100 + x) = 90 + x
9500 + 95x = 9000 + 100x
500 = 5x x = 100 l
Entonces deben agregarse 100 l de alcohol.
10. En una empresa trabajan 420 personas, donde el 80% son varones. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 30% del personal sea femenino?
Resolución: Calculemos el número de varones para hallar el número de mujeres:
Resolución:
Descuentos del 10% y 20% equivalen a un descuento de:
Resolución:
420 –––– 100% V –––– 80% V = 420 # 80 = 336 100
90 # 80 = 72% 100 100
Luego las mujeres son: 84
Luego: x –––– 100% 14 400 –––– 72%
Sea x el número de mujeres que se deben contratar,
x = 14 400 # 100 72
30%(420 + x) = 84 + x
entonces:
3(420 + x) = 10(84 + x)
x = S/.20 000
1260 + 3x = 840 + 10x 7x = 420
El precio que tenía antes de los descuentos es S/.20 000.
x = 60 Entonces se deben contratar 60 mujeres.
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Si el radio de un círculo aumenta en un 20%, ¿en cuánto aumenta su área?
A) 44% D) 50%
B) 40% E) 30%
C) 20%
3. Dos aumentos sucesivos del 10% y 20% seguido de un descuento del 30%, ¿a qué aumento o descuento único equivalen?
A) 92,4% D) 112%
B) 8,9% E) 10%
C) 7,6%
2. Si tenía S/.350 y me han regalado 140 soles; lo que tengo ahora, ¿qué tanto por ciento es de lo que tenía al principio?
A) 80% D) 140%
B) 90% E) 130%
C) 144%
4. ¿Qué descuento único puede reemplazar a dos descuentos sucesivos del 18% y 12%?
A) 28% D) 24%
B) 25% E) 27,84%
C) 30%
59
5. Hallar un aumento único que reemplace a tres aumentos sucesivos del 10%, 10% y 40%.
A) 69,4% D) 60%
7.
B) 67% E) 45%
C) 80%
Al comprar unos libros por S/.850 Jimmy paga S/.816. ¿Qué porcentaje de descuento le hicieron?
A) 4% D) 11%
B) 5% E) 7%
C) 6%
9. ¿Cuánto es el 20% del 35% del 42% de S/.800?
A) S/.23,52 D) S/.42,8
B) S/.20 E) S/.37,4
C) S/.35,9
6. En una empresa hay 32 trabajadores, de los cuales 20 son mujeres. ¿Qué porcentaje del número de trabajadores son los varones?
A) 45% D) 52%
B) 42% E) 37,5%
C) 38%
8. Se sabe de una fiesta que el 32% son varones. Si el número de personas que asistieron es 75, ¿cuál fue el número de hombres?
A) 30 D) 42
B) 24 E) 27
C) 26
10. El 30% del 50% de un número representa el 20% de 150; ¿cuál es ese número?
A) 250 D) 520
B) 350 E) 480
C) 200
61 1. Tres descuentos sucesivos del 50%, 70% y 20%, ¿a qué descuento único equivalen? A) 88% D) 90%
B) 84% E) 78%
C) 94%
2. El 3 por 8 de 48 es: A) 20 D) 232
B) 18 E) 48
C) 240
B) 600 E) 1200
C) 800
4. ¿Qué tanto por ciento del 80% del 40% del 50% de la mitad de 200, representa el 40% del 0,5% del 10% de 500? A) 0,625% D) 0,90%
B) 0,750% E) 0,60%
C) 0,850%
5. Si el lado de un cuadrado aumenta en 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A) 72% D) 52%
B) 64% E) 48%
C) 69%
6. Si el radio de un círculo disminuye en 10%, ¿en qué porcentaje varía su área? A) 12% D) 18%
B) 16% E) 23%
C) 19%
7. Calcular el 20% de 250. A) 40 D) 80
B) 60 E) 50
B) 480 E) 360
B) 10% E) 40%
C) 32%
11. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué único descuento equivalen? B) 46% E) 72%
C) 48%
12. Tres aumentos sucesivos del 20%, 10% y 100%, ¿a qué único aumento equivalen? A) 148% D) 149%
B) 164% E) 128%
C) 172%
13. El 30% del 120% del 40% de qué número es el 60% del 80% de 30. A) 80 D) 120
B) 90 E) 150
C) 100
14. ¿Qué tanto por ciento del 40% del 20% del 50% de 100, representa el 40% del 10% de 500? A) 5% D) 0,8%
B) 0,50% E) 0,6%
C) 0,125%
15. De una reunión se retiraron 30 hombres y 36 mujeres. El 12% de los hombres que quedaron equivale al 38% del número de mujeres; de los que quedaron, ¿qué porcentaje son hombres? A) 72% D) 78%
C) 60
9. ¿Qué porcentaje de 8a es 2a? A) 36% D) 25%
B) 24% E) 28%
C) 70
8. Calcular el 30% del 40% de 2000. A) 240 D) 180
A) 31% D) 26%
A) 50% D) 52%
3. El 5 por mil de qué número es 6. A) 1400 D) 1000
10. Dos aumentos sucesivos del 10% y 20%, ¿a qué único aumento equivalen?
C) 20%
B) 76% E) 69%
C) 82%
16. Un comerciante redujo en un 20% el precio de venta de cada uno de sus artículos. ¿En qué porcentaje aumentarán sus ventas, si se sabe que sus ingresos aumentaron en un 20%? A) 40% D) 51%
B) 52% E) 50%
C) 48%
62
17. Un granjero tiene 750 huevos. El 4% de estos se rompen y se encuentra que el 5% de los restantes son defectuosos. ¿Cuántos huevos pueden venderse en el mercado? A) 300 D) 684
B) 450 E) 692
C) 675
18. Una persona retira S/.1649, luego de haber perdido el 15%. ¿Cuánto invirtió? A) 1490 D) 1810
B) 1940 E) 1930
C) 1920
19. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a 4 litros de vino, de modo que la cantidad de vino constituya el 20% de la mezcla? A) 18 L D) 12 L
B) 14 L E) 24 L
C) 16 L
20. Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye 20%, ¿cómo varía su área? A) Aumenta en 8% B) No varía C) Aumenta en 4% D) Disminuye en 4% E) Aumenta en 6%
B) S/.280 E) S/.260
C) S/.420
22. Después de una de sus batallas, Bolívar observó que el 5% de sus soldados habían muerto y el 20% de los que quedaron vivos estaban heridos, además había 608 ilesos. ¿Cuántos soldados habían muerto? A) 30 D) 40
B) 25 E) 80
C) 60
23. Si 20 litros de agua contiene 15% de sal, ¿cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? A) 4 D) 6
B) 3 E) 8
A) 18 L D) 6 L
C) 5
B) 14 L E) 20 L
C) 19 L
25. En una reunión el 40% de las personas son hombres. Si se retiran la mitad de estos, ¿cuál es el nuevo porcentaje de hombres? A) 15% D) 35%
B) 25% E) 45%
C) 18%
26. Lolo disminuye el precio de sus artículos en un 20%. ¿En qué porcentaje deberá aumentar el volumen de sus ventas, para que su ingreso bruto aumente en un 30%? A) 18,3% D) 48,3%
B) 60,5% E) 46%
C) 62,5%
27. Si la base de un triángulo aumenta en 50% y su altura aumenta en 20%, su área aumenta en: A) 120% D) 60%
21. Después de realizar dos descuentos sucesivos del 25% y 20%, se vende un artículo en S/.540. ¿A cuánto equivale el descuento? A) S/.360 D) S/.310
24. Si 30 litros de una solución contiene 12 litros de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%?
B) 90% E) 80%
C) 70%
28. Hace un mes un artículo costaba S/.50, ahora cuesta S/.70. ¿En qué porcentaje ha aumentado el precio del artículo? A) 40% D) 42%
B) 60% E) 54%
C) 45%
29. Se han vendido dos corbatas a S/.72 cada una, en una se gana el 20% y en la otra se pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto? A) Se ganó S/.6 B) Se ganó S/.8 C) Se perdió S/.8 D) Se perdió S/.6 E) Se perdió S/.12 30. En una bodega, el 40% es azúcar, 30% es arroz y el resto fideos, si se consume el 30% de azúcar y el 70% de arroz, ¿en qué porcentaje disminuyó la bodega? A) 33% D) 36%
B) 30% E) 35%
C) 28%
63 CONGRUENCIA ORDEN DE INFORMACIÓN DE TRIÁNGULOS Se trata de resolver problemas con un aparente caos en su redacción, donde existen muchos datos en desorden, los que pueden ser ordenados por lo general en cuadros. Ejemplo: En un club se encuentran cuatro deportistas cuyos nombres son: Juan, Marcio, Lucas y Jhon. Los deportes que practican son: natación, básquet, fútbol y tenis. Cada uno juega solo un deporte. – El nadador, que es primo de Juan, es cuñado de Marcio y además es el más joven del grupo. –
Lucas, que es el de más edad, es vecino del basquetbolista, quien a su vez es el más alegre del grupo.
–
Juan, que es sumamente tímido, es 7 años menor que el tenista.
¿Quién practica básquet? Resolución: Analizamos con cuidado: * Si el nadador es primo de Juan, entonces Juan no es el nadador. *
Como el nadador es cuñado de Marcio, entonces Marcio no es el nadador.
*
Como el nadador es el más joven, Lucas no puede ser el nadador (ya que Lucas es el de más edad).
*
Lucas no juega básquet, ya que es vecino del basquetbolista.
*
Juan es menor que el tenista, luego Juan no es el tenista.
*
Juan no juega básquet, ya que es tímido.
Colocando en un cuadro todo lo analizado, tendremos: Natación
Básquet
Juan
No
No
Marcio
No
Lucas
No
Fútbol
Tenis No
No
Jhon Como cada personaje practica solo un deporte, en cada columna debe haber un Sí y en cada fila también; esto hace que si una fila y columna tienen tres veces No, el cuarto recuadro se completa con Sí. Entonces el cuadro completo será: Natación
Básquet
Fútbol
Tenis
Juan
No
No
Sí
No
Marcio
No
Sí
No
No
Lucas
No
No
No
Sí
Jhon
Sí
No
No
No
Por lo tanto, el que practica básquet es Marcio.
64 Enunciado n.° 1
Resolución:
Tres amigos: Pedro, Quino y Rafael, tienen una mascota diferente: perro, mono y loro; tienen diferentes edades y viven en distritos diferentes: Lince, Surco y Jesús María. Además: - Pedro no es el mayor y tiene como mascota un loro. - Rafael no es el menor. - El que tienen un perro vive en Lince. - El que tiene un mono vive en Surco. - Quino tiene dos años más que el que vive en Jesús María.
Fútbol
Resolución:
Pedro
Cristal
Nov.
Luis
Poes.
Dram.
#
#
Miguel
Luis
#
#
#
Miguel
#
Alberto
#
#
#
#
Alberto
#
#
Estudios
pera
manz.
uva
Luis
Ing.
Med.
Ed.
#
Luis
#
Miguel
#
#
#
#
Miguel
#
#
Alberto
#
#
Alberto
#
#
Miguel es hincha de Alianza Lima y come pera.
perro
mono
loro
Lince
Surco
J.M
mayor
medio
menor
#
#
#
#
#
#
Quino
#
#
#
Rafael
#
#
#
4. ¿Quién lee poesía y estudia Medicina? De la información dada sabemos que Luis lee poesía y estudia Medicina.
Enunciado n.° 3
& Pedro es el menor y vive en Jesús María. 2. Si Rafael no vive en Surco entonces, ¿quién es el dueño del perro? perro
mono
loro
Lince
Surco
J.M
mayor
medio
menor
Pedro
#
#
#
#
#
#
Quino
#
#
#
#
#
Rafael
#
#
#
#
#
&
AL
Fruta
1. ¿Quién es el menor y dónde vive?
Literatura
U
El dueño del perro es Rafael.
Rosa, Carmen y Alicia son amigas. Una es soltera, la otra es casada y la otra es viuda, (no necesariamente en ese orden). Se sabe que: - Alicia no es casada y debe 5 soles a la verdulera. - La viuda y Rosa solo le deben a la carnicera.
5. ¿Quién es la casada?
Resolución: Con los datos llenamos el cuadro, además,
Enunciado n.° 2
deducimos que como Rosa y la viuda solo le deben
Luis, Miguel y Alberto tienen diferentes aficiones y gustos en el fútbol (U, Alianza y Cristal); literatura (novela, poesía y drama); frutas (pera, manzana y uva) y estudios (Ingeniería, Medicina y Educación).
a la carnicera, Alicia no es viuda.
Además: - Miguel no es hincha de la U. - Al hincha del Cristal le encanta la manzana. - El que estudia Ingeniería lee dramas. - El hincha de la U come uva. - Luis es hincha del Cristal y lee poesías. - Alberto estudia Educación. 3. Miguel, ¿de qué equipo es hincha y qué fruta come?
soltera
casada
viuda
Rosa
#
#
Carmen
#
#
Alicia
#
#
Luego la casada es Rosa.
6. ¿Quiénes le deben a la carnicera?
Carmen y Rosa le deben a la carnicera.
Evaluación
Día:
Año:
Mes:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Luis es el alumno más alto de su salón. En ese mismo salón Pedro es más alto que Mario, pero más bajo que Jorge. De estas afirmaciones podemos deducir: I. Pedro, Mario y Jorge son más bajos que Luis. II. Jorge es más bajo que Pedro y más alto que Mario. III. Jorge es el más bajo.
A) Solo I D) I y III
B) Solo II E) II y III
C) I y II
2. Tres hermanos practican natación, atletismo o básquet, cada deporte se identifica con un color: azul, rojo y verde. Juan no sabe nadar, el que juega por el verde es atleta, los rojos no juegan básquet, Gustavo participa con el verde; ¿qué deporte y color le corresponde a Alberto?
A) Natación-rojo D) Natación-verde
B) Básquet-verde E) Básquet-azul
C) Atletismo-rojo
65
3. En una carrera entre 5 amigas, María va en primer lugar y Lucía en el quinto puesto. Si Leticia va en el puesto intermedio entre ambas, Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana. ¿Quién ocupa el segundo lugar?
A) Irene D) Lucía
B) Leticia E) María
C) Juana
4. Cuatro amigos: Jorge, Luis, Pablo y Mario practican cada uno un deporte diferente. Jorge juega básquet. Luis le pide prestadas sus raquetas de frontón a Mario. Pablo no sabe nadar. ¿Qué deporte practica Luis?
A) Natación D) Frontón y Natación
B) Frontón E) Básquet
C) Fútbol
5. Tito, Lalo, Luis y Eduardo practican los siguientes deportes: fútbol, atletismo natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Se sabe que: - Luis no vive en Los Olivos ni en Breña. - El atleta vive en Los Olivos. - Lalo vive en Miraflores. - Eduardo es futbolista. - El nadador nunca ha emigrado de San Borja.
¿Qué deporte practica Lalo?
A) Natación D) Tenis
B) Atletismo E) Básquetbol
C) Fútbol
67 Enunciado n.° 1 Cinco personas tienen distintas aficiones: fútbol, básquet, vóley, natación y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo, blanco, negro y verde. Se sabe que:
- Cada uno de los músicos no puede tocar más de un instrumento al conformar un trío. 5. ¿Cuántos tríos de mandolina, charango y tambor se pueden formar?
- Brenda no practica vóley ni le gusta. A) 0 D) 3
- La basquetbolista no gusta del rojo. - Ada no practica básquet. - Quien practica vóley gusta del blanco. - A Diana no le gusta los deportes en los que se use la pelota. - Emma y Carla no practican básquet ni vóley. - A la nadadora le gusta el verde.
B) Vóley E) Natación
C) Básquet
B) Rojo E) Blanco
C) Negro
3. ¿A quién, con seguridad le gusta el rojo? A) Emma D) Brenda
6. ¿Cuántos tríos de quena, guitarra y zampoña se pueden formar? A) 1 D) 4
B) 2 E) más de 4
C) 3
A) 0 D) 3
B) 1 E) más de 3
C) 2
8. Si se desea formar un trío de zampoña, guitarra y mandolina, entonces, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
2. ¿Cuál es el color de Diana? A) Azul D) Verde
C) 2
7. ¿Cuántos tríos de quena, charango y guitarra se pueden formar?
1. ¿Qué afición tiene Ada? A) Fútbol D) Tenis
B) 1 E) Más de 3
B) Carla C) Ada E) No se puede determinar
4. ¿Cuál de las siguientes es correcta? A) A Brenda no le gusta los colores oscuros. B) A la futbolista le gusta el color rojo. C) Quien practica tenis gusta del blanco. D) Si Emma es futbolista, Carla es tenista. E) Si Carla es tenista, no le gusta el rojo.
Enunciado n.° 2 A una audición asisten tres músicos: Álvaro, Jorge y Bruno. Se sabe que: - Álvaro solamente toca quena, zampoña, guitarra o mandolina. - Jorge solamente toca quena, guitarra, charango o tambor. - Bruno solamente toca quena, zampoña, mandolina o charango.
I. Álvaro tocará la zampoña. II. Bruno tocará la mandolina. III. Jorge tocará la guitarra. A) Solo I D) I y III
B) Solo II E) II y III
C) Solo III
9. Si se forma un trío donde Álvaro toca la guitarra, entonces es imposible que: A) Se forme un trío de guitarra, zampoña y mandolina. B) Se forme un trío de guitarra, mandolina y charango. C) Se forme un trío de guitarra, mandolina y tambor. D) Bruno toque la zampoña. E) Jorge toque la quena.
Enunciado n.° 3 En una reunión se encuentran cinco amigos cuyos nombres son: Mario Antonio, Juan Carlos, Luis Miguel, Carlos Alfonso y Javier Enrique. Estos a su vez son: atleta, futbolista, obrero textil, economista e ingeniero industrial, aunque no necesariamente en ese orden. Y se sabe además que: - El atleta, que es primo de Mario Antonio y Carlos Alfonso, es el más joven de todos y siempre va al cine con Juan Carlos. - Luis Miguel, que es el mayor de todos, es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario.
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- Mario Antonio, que es sumamente pobre, tiene cinco años menos que el ingeniero industrial; pero es mayor que el economista. - Juan Carlos no estudió una carrera universitaria. - Cada uno de los cinco amigos realiza una y solo una de las ocupaciones indicadas anteriormente. 10. ¿Quién es el ingeniero industrial? A) Mario Antonio B) Juan Carlos C) Luis Miguel D) Javier Enrique E) No se puede precisar 11. La asociación correcta es: A) Mario Antonio - obrero textil B) Juan Carlos - ingeniero industrial C) Luis Miguel - futbolista D) Carlos Alfonso - atleta E) Javier Enrique - obrero textil
Enunciado n.° 4 Arturo, Bruno, Carlos y Dante viven en los siguientes distritos: Ate, Breña, Comas y Lince, pero no necesariamente en ese orden. Cada uno tiene solo una mascota: canario, gato, loro y perro. Se sabe que: - Arturo no tiene el canario ni vive en Breña. - El dueño del loro vive en Ate. - Carlos tiene el perro. - El dueño del gato vive en Breña y es muy amigo de Dante. 15. ¿Quién vive en Breña? A) Arturo D) Dante
16. ¿Quién es el dueño del canario? A) Arturo D) Dante
13. Juan Carlos es: A) Primo de Mario Antonio B) Millonario C) Cinco años menor que Mario Antonio D) Vecino del economista E) Ninguna es correcta 14. La afirmación incorrecta es: A) El obrero textil es menor que el ingeniero industrial. B) El futbolista va al cine con Javier Enrique. C) Juan Carlos no es ingeniero industrial. D) Luis Miguel es economista. E) Carlos Alfonso no es ingeniero.
B) Bruno C) Carlos E) No se puede determinar
17. ¿Quién vive en Lince? A) Arturo B) Bruno C) Carlos D) Dante E) No se puede determinar
12. Javier Enrique es: A) Atleta B) Obrero Textil C) Ingeniero Industrial D) Futbolista E) Economista
B) Bruno C) Carlos E) No se puede determinar
18. La relación correcta es: A) Breña - perro B) Bruno - loro C) Bruno - gato D) Lince - canario E) Comas - perro 19. Para determinar con seguridad dónde vive cada uno y qué mascotas tienen, es suficiente saber que: I. Carlos vive en Lince. II. Dante no tiene al loro. A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. E) Se necesitan más datos.
