3
Recuerda: 1630-1677
Isaac Barrow (inglés) Matemático y teólogo, fue maestro de Newton sobre el que influyó notablemente. Ideó el llamado triángulo diferencial o triángulo característico para la determinación de las tangentes a las curvas planas, lo cual inspiró el concepto de derivada de Newton.
1654-1705
Jacobo Bernoulli (suizo) Enseñó matemática en Basilea, fundó el moderno cálculo de variaciones. Estudió la curva elástica, la catenaria, y la espiral logarítmica. Inventó el cálculo exponencial y escribió uno de los primeros tratados sobre el cálculo de probabilidades: Ars conjectandi.
1661-1704
L’Hospital, Guillaume François Antoine (francés)
¡REFLEXIONA! • Importa comprender que uno ha hecho siempre lo mejor que podía, teniendo en cuenta la persona que era en un momento determinado. • Ahora que está aprendiendo una nueva forma de pensar, puede empezar a percibir las cosas de una manera distinta y posiblemente a cambiar muchos de sus actos. • Usted está simplemente en el camino hacia una mayor realización de sí mismo y se trata de un largo proceso de pruebas y errores.
Matemático, discípulo de Juan Bernoulli y autor de la primera obra sistemática sobre el análisis infinitesimal. El Teorema de L’Hospital, permite calcular el límite de ciertos tipos de expresiones indeterminadas. 1642-1727
¡ Razona... !
Isaac Newton (inglés) El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro Principia Mathematica bastó para asegurarle un lugar sobresaliente en la historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibniz el cálculo diferencial y el cálculo integral. En álgebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre.
Hallar la figura que continúa:
... ...
... A)
D)
...
B) ... E)
C)
...
70 CONGRUENCIA FRACCIONES DE TRIÁNGULOS definición Se denomina así a todos los números racionales que cumplen las siguientes condiciones: numerador
a b
denominador
Donde: • a y b ! Z+ •
o
a!b
Representación gráfica de una fracción Para representar gráficamente una fracción, consideraremos lo siguiente: número de partes iguales que se consideran
a b
número de partes iguales en que se divide la unidad
Unidad: es la totalidad de una cantidad referencial. Ejemplo: 3 partes iguales
3 & 5
1 5
1 5
1 5
1 5
1 5
5 partes iguales
Nota
Para graficar una fracción en la cual el numerador es mayor que el denominador, es necesario considerar la unidad varias veces.
Ejemplo:
Unidad (1)
7 3
&
1 3
1 3
1 3
Unidad (1)
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
7 3 12
23
1
Número mixto
1 3
1 3
Consta de una parte entera y una parte fraccionaria
71 Principales tipos de fracciones
Fracción propia Son aquellas en las cuales el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad. Ejemplo: 1; 3 ; 5 ; 7 2 4 19 20
Fracción impropia Son aquellas en las cuales el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad. Ejemplo: 20 ; 6 ; 7 ; 9 3 5 2 4
Fracción reductible Su numerador y denominador poseen factores en común (no son primos entre sí). Ejemplo: 3 ; 20 ; 100 ; 6 6 18 1000 10
Fracción irreductible Su numerador y denominador no poseen factores en común (son primos entre sí). Ejemplo: 3 ; 7 ; 4 ; 21 5 2 9 101
Fracciones homogéneas Es un conjunto de fracciones que tienen igual denominador. Ejemplo: 3 ; 5 ; 1; 10 7 7 7 7
Fracciones heterogéneas Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplo: 3; 4; 2; 3; 4 5 9 8 6 10
Nota
Para comparar dos fracciones se puede usar el criterio de multiplicación en aspa. Ejemplo: ¿Cuál es mayor: 5 ó 3 ? 5 8 Multiplicación en aspa:
Luego: 5 2 3 8 5
25 5 8
2
24 3 5
72 Fracciones equivalentes Son aquellas fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.
1 2 4 2 12 4 12 8 Relación parte todo Viene a ser la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte respecto a otra cantidad asumida como un todo. Luego: a b
Lo que hace de parte.
Es, son, representa.
Lo que hace de todo.
De, del, respecto.
Fracción Generatriz a b
= Decimal
exacto períódico puro periódico mixto
Casos 1. Decimal exacto:
0, 8 = 8 10
0, 21 = 21 100
0, 765 = 765 1000
2,71 = 271 100
2. Decimal periódico puro:
! 0, 3 = 3 9
! 0, 76 = 76 99
! 0, 002 = 2 999
2, 7160 = 2 + 0, 7160 = 2 + 7160 9999
!
! 0, 854 = 854 999
!
3. Decimal periódico mixto:
! 0, 24 = 24 - 2 = 22 90 90
! 0, 3542 = 3542 - 35 = 3507 9900 9900
! 0, 0105 = 105 - 1 = 104 9900 9900
! ! 7,3 81 = 7 + 0,3 81 = 7 + 381 - 3 = 7 + 378 990 990
73 1. Calcular los 3 de los 7 de 1 de 63. 8 9 7
4. ¿Qué parte de 724 es 32? Resolución:
Resolución: • La palabra “de” en matemáticas indica multiplicación, entonces: 3 # 7 # 1 # 63 = 21 8 9 7 8 33 2. Si Vanessa mide 20 de metro y Carol 89 de metro, 50 ¿quién es más alta? Resolución: • Lo que tenemos que hacer es comparar las fracciones y ver cuál de ellas es la mayor. • Aplicaremos el método del aspa.
Vanessa 33 20
Carol
• “parte de” & multiplicación x^724h = 32 x = 32 724 x= 8 181 0, 0x + 0, 0z = 10 10 Hallar: x + z Resolución:
5. Si:
• Convertimos a fracción generatriz:
89 50
33(50) 20(89) 1650 1 1780
0,0x = x 100 0, 0z = z 100 x z 10 + = 100 100 10 x+z 10 = 100 100 ` x + z = 10
& Carol es la más alta. 2 3. Cada vez que Fabiana sale de compras gasta 3 de lo que tiene. Si fue de compras tres veces y le quedaron S/.35, ¿cuánto de dinero tenía al inicio? • Si gastó 2 entonces le queda 1 . 3 3 • Sea A lo que tenía inicialmente:
Gastos
Saldo
1. salida
2A 3
1A 3
2.a salida
2 1A c m 3 3
1 1A c m 3 3
3.a salida
2 1 1A ; c mE 3 3 3
1 1 1A ; c mE 3 3 3
& 1 ; 1 c 1 A mE = 35 3 3 3 A = 35 27 A = 945 • Fabiana tenía al inicio S/.945.
!
!2
!3
H = 0, 3 + a0, 3k + a0, 3k + ... Resolución: • Por progresiones geométricas sabemos: t Sn = 1 ; - 1 1 q 1 1 1-q ! q: razón geométrica aq = 0, 3k t1: primer término
Resolución:
a
6. Hallar H.
2 3 & H = 3 + c 3 m + c 3 m + ... 9 9 9 1 3 1 3 9 H= = = 2 2 3 13 9
7. Efectuar: M=
-1
2
f1 - 2 p 7
Resolución: 2 -1 1 - 2 = 5 & 1 = 14 & c 14 m = 5 5 5 5 14 7 7 7
74
8. En la oficina de informática una computadora Pentium III tarda 10 minutos en procesar cierta información. Otra computadora (Core 2 Duo) tarda 1,5 minutos en hacer la misma tarea, ¿qué tiempo emplearán las dos computadoras juntas (en red) en procesar la misma información?
Resolución:
• Analizamos el rendimiento de la Pentium III. 10 min ––– 1 obra 1 min ––– x
x = 1 obra 10
• Analizamos la otra computadora: 1,5 min –– 1 obra 1 min –– y
x + y = 2 + 1 = 23 obra 3 10 30 &
1 min ––– z
–––
Tubo B: 1 obra –––– 3 h y –––– 1 h y = 1 obra 3
Tubo C (desagüe):
1 obra –––– 4 h z –––– 1 h
z = 1 obra 4
Rendimiento total:
•
1 1 1 7 obra + - = 2 3 4 12
&
y = 2 obra 3
• Rendimiento de las dos computadoras en 1 min:
x = 1 obra 2
1 h –––– 7 obra 12
23 obra 30 1 obra
m –––– 1 obra m = 12 h = 1,714 h 7 !
!
!
10. Si: 0, ab + 0, ab = 1, 13
•
z = 30 min 23 Las 2 computadoras juntas tardarán 30 min. 23
9. Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas, por otro en 3 horas y vaciarse por uno de desagüe en 4 horas. ¿En qué tiempo se llenará si los 3 tubos estuvieran funcionando?
Hallar: a + b
Resolución:
! 0,ab = ab 99
& 2 # ab = 1 + 13 = 112 99 99 99
Resolución:
•
Analicemos los rendimientos en 1 h. Tubo A: 1 obra –––– 2 h x –––– 1 h
& ab = 112 2 ab = 56
` a + b = 11
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: LIFICACIÓN CA
Sección:
Año:
Tema:
1. Efectuar: !
!
!
2. Hallar z.
!
L = 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 + ... + 0, 8
!
!
A) 3,8
B) 3,82
D) 3,5
E) 3,6
!
!
!
C) 3,7
3. De un barril se extrajo 1/4 de vino y luego la mitad de lo que quedaba. ¿Cuántos litros quedaron en el barril si al inicio había 76 litros?
A) 28,6 D) 27
B) 28 E) 29
C) 28,5
z = c1 + 1 mc1 + 1 mc1 + 1 m ... c1 + 1 m 2 3 4 27
A) 14 D) 10
B) 13 E) 16
C) 12
4. Hallar los 3 de los 5 de los 4 de 288. 2 8 9
A) 122 D) 118
B) 120 E) 116
C) 119
75
5. Josué realiza gastos en dos días. El sábado gastó 1/6 de lo que tenía y el domingo gastó la cuarta parte de lo que le quedaba. ¿Qué parte del total inicial le queda?
A) 1 8
B) 7 8
D) 5 8
E) 6 7
C) 8 5
7. En una conferencia hay 27 reporteros, 36 contadores y 9 ingenieros. ¿Qué fracción del total son reporteros?
A) 3 8
B) 8 3
D) 6 7
E) 1 4
C) 5 8
9. Una madre de familia ahorra durante una semana la sexta parte de S/.426. Si en una reunión familiar gastó un tercio de S/.45, ¿cuánto le quedó?
A) S/.52 D) S/.56
B) S/.53 E) S/.55
C) S/.54
6. Hallar P. 1
P = 1+ 1+
1 1 1 + 2 5
A) 24 15
B) 24 17
D) 25 17
E) 17 24
C) 23 17
8. ¿Qué número debe sumarse a los términos de la fracción 12/9 para que la suma de sus términos sea 47?
A) 9
B) 10
D) 12
E) 14
C) 13
10. Karen tiene tanto dinero como S/.75 más los 3/8 de su dinero. ¿Cuánto dinero tiene Karen?
A) S/.105 D) S/.100
B) S/.120 E) S/.125
C) S/.110
77 1.
Calcular los 3 de los 7 de los 15 de la mitad de 16. 5 8 7 A) 4 D) 11
B) 7 E) 15
C) 9
B) 13 E) 16
C) 12
p qb de 21. 3. Calcular los a de los de los b q ap 21p a
A) a b
B)
D) 21p
E) 21
C)
21ap qb
4. Calcular los m de 1 de los a de n . n 2 b a A) m b
B) 2m b
D) b 2m
E) m 2b
C) b m
5. De un recipiente lleno de vino se extraen los 3 , 5 1 3 del resto y por último del nuevo luego los 5 4
resto. ¿Qué parte del total queda? A) 12 25
B) 1 5
D) 3 4
E) 2 25
C) 3 5
nuevo resto. ¿Qué parte de lo que tenía le quedó? A) 2 5
B) 3 4
D) 1 40
E) 1 8
A) 1 3
B) 1 9
D) 8 27
E) 4 9
C) 2 27
8. Cada vez que Mario apuesta a los caballos pierde 2 5 de lo que tiene en ese momento. Si apostó 3 veces, ¿qué parte de lo que tenía al inicio le quedó? A) 3 9
B) 9 25
D) 3 5
E) 27 125
C) 9 125
9. Si gasto los 3 de lo que tengo, ¿qué parte me 7 queda? A) 1 2
B) 4 7
D) 7 31
E) 7 4
C) 10 7
10. Si pierdo los 7 de lo que tengo, ¿qué parte me 11 queda? A) 2 5
B) 8 11
D) 5 7
E) 4 11
C) 4 7
11. Tengo S/.2000 y pierdo 3 de lo que tengo. ¿Cuánto 4 me queda?
6. Luis va a la tienda, primero gasta 4 de lo que tiene, 5 1 luego gasta del resto y por último gasta 3 del 4 2
de dinero y cada vez que juega pierde 1 de lo que 3 tiene. Si jugó 3 veces, ¿qué parte de lo que tenía al inicio le quedó?
2. Calcular los 4 de los 5 de 1 de 54. 3 8 3 A) 14 D) 15
7. Una persona entra a un casino con cierta cantidad
C) 1 2
A) S/.500 D) S/.1500
B) S/.2000 E) S/.1000
C) S/.1800
12. De los S/.5000 que llevaba en el bolsillo, se me cayeron los 3 . ¿Cuánto me queda en el bolsillo? 5 A) S/.1000 D) S/.4000
B) S/.2000 E) S/.1500
C) S/.3000
78
13. Andrés cada vez que va de compras gasta
1 de 4
lo que tiene en ese momento. Si fue de compras 3
20. 3 - 1 # 1 5 1 3 12 2 8
veces y al final le quedaron S/.270, ¿cuánto tenía al inicio? A) S/.640 D) S/.120
B) S/.320 E) S/.160
C) S/.360
14. Una pelota cae desde cierta altura y en cada rebote 1 pierde 3 de la altura de donde cayó. Si cae desde 27 m, ¿qué altura alcanza luego del tercer rebote? A) 6 m D) 12 m
B) 8 m E) 16 m
C) 5 m
15. ¿Qué parte es 15 de 25? A) 3 4
B) 4 3
D) 2 5
E) 3 5
C) 5 8
B) - 1 15
D) - 3 5
E) 3
C) 3 5
21. c1 + 1 + 1 mc2 1 + 6 4 + 5 1 m 3 8 2 5 10 A) 12 D) 21
B) 13 E) 23
C) 17
A) 11 21
B) 11
C) 21
D) 21 11
E) 13 5
3
22. 3-
2
2-3 5
23. Hallar: 2x - 5; si: 0,S 00f001234 = 1234 # 10 x
16. Efectuar:
23 ceros
1 1 1 2 4 c + + m:c + m 2 3 4 5 5 A) 65 32
B) 32 47
D) 35 23
E) 65 72
17. 1 +
A) 1 15
C) 59 43
A) 48 D) 43
B) 30 E) - 40
24. Si: a + b + c = 0; a ! b ! c Hallar: M=
1 1+ 1 2
3^a + bh^a + ch^b + ch + 3abc a5 + b5 + c5 + a9 + b9 + c9
A) 1
A) 3 5
B) 3
D) 5 3
E) 2
C) - 59
C) 5
B) 6 E) 1 2
D) 0 25. Calcular M. !
!
C) 2
!
M = 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 18. 2 +
2 2+ 1 3
A) 7 20
B) 20 7
D) 20
E) 13
C) 7
A) 1 9
B) 1
D) 2
E) 3 9
26. Simplificar: E=
19. 1 + 3 # 7 2 1 4 9 + 3 2 A) 3 D) 5 3
B) 2 E) 3 2
C) 1 3
C) 3
^0, 333...h^0, 555...h ^0, 444...h^0, 1222...h
A) 15 48
B) 3 12
D) 15 44
E) 5 11
C) 75 22
79 CONGRUENCIA CRIPTOARITMÉTICA DE TRIÁNGULOS Llamada también aritmética oculta. El objetivo es reconstruir operaciones matemáticas las cuales tienen cantidades representadas ya sea por medio de letras o asteriscos.
Consideraciones importantes 1. Letras diferentes representan cifras diferentes y letras iguales representan a una misma cifra o el mismo valor (salvo que nos den otros datos). 2. Cada asterisco representa a una cifra y dos asteriscos pueden tener el mismo valor como también no. 3. Las cifras que utilizamos (sistema decimal) son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 4. Para resolver un problema se tratará de imaginar la operación dada y seguir el procedimiento como si tuviera su forma normal.
Observación En este capítulo se deben recordar las principales conclusiones básicas, ya aprendidas con anterioridad (criterios generales de la adición, sustracción, multiplicación, división, etc.) las cuales nos ayudarán a verificar los casos particulares.
Ejemplos: 1. Si: M + A = 12
Resolución:
Calcular:
Colocando en forma vertical lo que nos piden:
MAMA + AMAM
M
A
M
A
A
M
A
M
1
2
1 1
2. Hallar la suma de cifras del producto en:
# * * 9 8
* * + * * * *
*
*
1
2
1
3
+ +
A+M M+A
2
A+M
2
M+A 3
3
2
Resolución: Observando y analizando tenemos: 8#**=** 9 # * * = * * *
(número de dos cifras) (número de tres cifras)
La única posibilidad es que el multiplicando sea 12, luego reconstruyendo la operación:
*
1
2
9
8
9
6
1
0
8
1
1
7
#
+
6
Luego, la suma de cifras del producto es: 1 + 1 + 7 + 6 = 15
80 1. Si: a + b + c = 21
Luego: A = 2; B = 7; C = 5; D = 6
Hallar: a7b + c8a + b5c
`
Resolución:
• Ordenando los sumandos y utilizando el dato: 22 + a7b c8a b5c
A + B + C + D 20 = Y-P
5. Indicar la suma de cifras encontradas en:
2321
N # 375 = ...625 N # 427 = ...021
4 9
(-)
9
1 4 7
3 # 3 9
6. Hallar: A + B
Si: 966 + AAB + 8B1 = 2B92 Resolución: • Ordenando:
Multiplicando por 3 a ambos miembros : 3(N # 52) = 3(...396)
966 +
N # 156 = ...188
AA B
` Las tres últimas cifras de N # 156 son: 188
8B1
3. Si: a # ab = 111
2B92
b # ab = 259
• 6 + B + 1 = ...2 7 + B = ...2 & B = 5 • 1 + (6 + A + B) = ...9 7 + A + B = ...9 7 + A + 5 = ...9 12 + A = ...9 & A = 7
Calcular: ab # ba Resolución: ab#
ab#
4
` La suma de cifras encontradas es 11.
Resolución: N # 427 = ...021 N # 375 = ...625 N # 52 = ...396
ba
3 #
Resolución:
2. Hallar las tres últimas cifras de N # 156 si:
4 9
ba 111 a # ab = 111 & 259 b # ab = 259 2701
` 7. Si:
` ab # ba = 2701
A + B = 12 M
ANY = M.
Calcular: M + Y + N + Y + N + A
Resolución:
4. Si: PP = AB y YY = ACD
Hallar: A + B + C + D Y-P
Resolución: Los únicos números que cumplen que PP sea un número de dos cifras e YY sea un número de tres cifras son: P = 3 / Y = 4
P = 3 = AB / Y = 4 = ACD & 27 = AB 256 = ACD P
3
Y
4
Tenemos que: ANY = MM Tanteando adecuadamente, encontraremos que la única posibilidad que cumple la igualdad es: M=4 Donde: ANY = 44 & ANY = 256 A = 2; N = 5; Y = 6 Por lo tanto: M + Y + N + Y + N + A = 28
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: LIFICACIÓN CA
Sección:
Año:
Tema:
2. Si:
1. Si: (a + b)4 = 81 Hallar: ab + ba
* * * * # 9 * 7 1 4 3
Hallar la suma de cifras de los asteriscos.
A) 33 D) 48
B) 35 E) 54
C) 34
3. Si: A + AA + AAA + AAAA = 7404
B) 24 E) 38
B) 9 E) 12
C) 10
4. Si: 3 # N = ...18 Calcular las dos últimas cifras en las que termina N.
Calcular: A2 + A + 1
A) 30 D) 39
A) 8 D) 17
C) 43
A) 07 D) 24
B) 06 E) 23
C) 16
81
6. Si:
5. Si: (a + b + c)2 = 144
ABC+
Calcular: abc + bca + cab
BC5 5 9 2 Hallar: B + C A
A) 1332 D) 1432
B) 1222 E) 1532
C) 1322
7. Indicar la menor cifra encontrada en:
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
8. Hallar la suma de cifras del multiplicando en: #
4 6
2 2
1
A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
5 -
3 0
6
1
0
C) 2
A) 20 D) 23
B) 21 E) 24
C) 22
B) 3478 E) 972
C) 5476
10. Si: a # ab = 188 b # ab = 329
9. Hallar: A + B Si: AA89 - A0BB = 223
Calcular: ab # ba
A) 2 D) 10
B) 9 E) 11
C) 8
A) 2209 D) 517
83 10. Si:
1. Si: A + B + C = 18
A) 1888 D) 1998
B) 1898 E) 1999
C) 1989
Hallar: A + B + C
2. Si: (a + b)2 = 169
A) 12 D) 15
Hallar: ab + ba A) 143 D) 134
B) 133 E) 153
C) 144
B) 1888 E) 1787
C) 1877
C) 14
11. Si: *
3
*
2
*
4
1
*
*
*
5
5
Hallar: aba + bab
#
+
*
Hallar la suma de todos los asteriscos.
4. Si: a + b + c = 29
A) 27 D) 30
Hallar: abc + bca + cab A) Absurdo D) 3329
B) 13 E) 16
4
3. Si: a + b = 17, con: a 2 b
A) 1887 D) 1777
ABC+ C45 BC7
Hallar: ABC + BCA + CAB
B) 3119 E) 3219
C) 3129
B) 28 E) 31
C) 29
12. Si: CAR # 3 = ...1377 Hallar: C + A + R + A
5. Si ab . ba = 574, hallar: a + b A) 5 6. Si:
U
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
13. Si:
MAR = U
Hallar: A + M + A + R + U A) 18 D) 21
B) 19 E) 22
B) 13 E) 16
3
B) 22 E) 25
C) 23
BCA = 8
Hallar: B + A + C + A C) 20
A) 10 D) 14
B) 11 E) 15
C) 12
14. Si:
7. Si: (aa)2 = 4bca, hallar: a + b + c A) 12 D) 15
A) 21 D) 24
C) 14
C A P A S O P A P U U M
+
O = cero; A 2 M y C 2 S
8. Si: xy. x = 111; xy . y = 259
Hallar: C + U + M + P + A Hallar: x + y A) 8 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
B) 111 E) 1001
B) 25 E) 23
C) 28
15. Según el problema anterior, hallar: S+U+M+A
9. Hallar el cociente de: mnmn : mn A) 11 D) 101
A) 24 D) 30
C) 121
A) 18 D) 16
B) 19 E) 15
C) 20
84
16. Si: PP + EE + ZZ = MES y S = M + 1 Hallar: M + E + S + E + S A) 10 D) 13
B) 11 E) 18
A) 8 D) 11
C) 12
B) 9 E) 12
C) 10
B) 6 E) 12
C) 8
23. Si: (AB)2 = 18A9 Hallar: A + B
17. Si: ECO = (E + C + O) ; O ! cero 3
Calcular: E A) 1
A) 7 D) 10
CO
B) 9
C) 8
D) 5
E) 25
18. Si: MAT = 5 # M # A # T
19. Si
B
B) 3061 E) 5041
B) 14 E) 18
C) 15
A) 11 D) 17
B) 23 E) 26
C) 24
4
*
*
7
*
*
3
*
*
*
*
B) 7225 E) 4850
C) 4275
27. Hallar la suma de las cifras del producto si:
+
5 *
Hallar la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos. A) 36 D) 40
C) 14
2 Calcular: ^bah
A) 5765 D) 6840
#
B) 12 E) 16
26. Si: a # ab = 425 b # ab = 680
21. Si:
C) 13
RAMA+ AMAR 9 3 28
Hallar: M + U + J + E + R
*
B) 12 E) 15
25. Hallar el mayor valor de M + A + R, sabiendo que las letras representan a números impares.
MUJER2
A) 22 D) 25
y O = cero
A) 11 D) 14
20. Si: 2MUJER # 3
TOC# TOC
C) 5184
ABBCB = B , hallar: A + B + C
A) 12 D) 16
ENTRE Hallar: T + R + E + N
Hallar: ( AM )2 A) 2604 D) 3600
24. Si:
B) 38 E) 44
C) 39
22. Si:
*
4
*
5 *
2
*
*
*
1
*
6
*
*
5
3
A) 10 D) 11
#
+
*
B) 12 E) 17
C) 15
28. Hallar la suma de las cifras del menor dividendo.
3
*
4
*
*
–
8
*
*
*
–
–
*
*
*
*
*
8
–
8
*
*
*
6
*
*
Hallar la suma de las cifras del cociente.
A) 18 D) 23
3
*
*
9
–
–
*
*
9
*
*
*
*
1
*
–
–
*
B) 19 E) 22
*
9
*
*
*
*
C) 20
85 ECUACIONES CONGRUENCIA DEDE PRIMER TRIÁNGULOS GRADO igualdad Es la relación o comparación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor. Clases de igualdad
Identidad (igualdad absoluta) Es aquella que se verifica siempre, o sea que es evidente por sí misma. Ejemplo: 2x + 1 ^x + 1h2 = x 2 +2 44 3 1 4 2 4 3 1 44 resultado operación indicada
Ecuación (igualdad condicional) Es una igualdad que solo se verifica para valores particulares de la incógnita. Ejemplo: 5x - 3 = 3x + 1 Es una igualdad que solo se cumple cuando x = 2. En efecto si sustituimos la variable (x) por 2, tenemos: 5(2) - 3 = 3(2) + 1 7=7 La ecuación cumple, convirtiéndose en una identidad. Ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado con una incógnita, es aquella que puede reducirse a la forma general siguiente: ax + b = 0 Donde: x : incógnita a; b : valores reales constantes La ecuación de primer grado, también es llamada ecuación lineal.
análisis de la ecuación de primer grado Se sabe: ax + b = 0 & ax = -b & x = - b a Donde: 1. Si: a ! 0, b ! 0
ax = -b & x = - b a La ecuación admite solución única, por lo cual decimos que es una ecuación compatible.
86 2. Si: a ! 0, b = 0
ax = - b & ax = 0 & x = 0 & x = 0 a La ecuación admite solución única, por lo cual decimos que es una ecuación compatible determinada.
3. Si: a = 0, b = 0
ax = - b & 0x = 0 & x ! R
Observamos que cualquier valor que tome x, verifica la ecuación, luego es una ecuación compatible indeterminada.
4. Si: a = 0, b ! 0
ax = -b & 0x = -b & x = - b (indeterminado) 0 Observemos que cualquier valor de x, multiplicado por cero, dará un producto nulo y no una cantidad diferente de cero, por lo cual la ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación incompatible.
Transposición de términos Al transponer términos en una ecuación, estos pasan efectuando la operación inversa.
Adición x + 2 = 7 &x = 7 – 2
pasa restando
Sustracción x – 4 = 3 &x = 3 + 4
pasa sumando
Multiplicación 2x = 12 & x = 12 2
pasa dividiendo
División x 2&x 2 4 = = ^ h 4
pasa multiplicando
87 1. Resolver la siguiente ecuación de coeficientes enteros. 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14
Resolución: • Transponemos términos y luego agrupamos en un miembro todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades conocidas. pasa sumando 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14 pasan restando 8x + 3x – 7x – x = 14 + 4
• Sumamos los términos semejantes: 3x = 18
• Efectuamos: 2(5x – 2) = 3(x – 1) + 7x + 1 10x – 4 = 3x – 3 + 7x – 1 • Transponemos términos (agrupando en un miembro todas las incógnitas y en el otro todas las cantidades conocidas). 10x – 3x – 7x = –3 – 1 + 4 • Reducimos términos semejantes: Ecuación compatible 0x = 0 indeterminada
El conjunto solución: C.S. = R
• Despejamos la variable: 3x = 18 pasa dividiendo x = 18 & x = 6 3 • Verificamos la solución: 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14 8(6) – 4 + 3(6) = 7(6) + 6 + 14 48 – 4 + 18 = 42 + 6 + 14 62 = 62 La ecuación se verifica, convirtiéndose en una identidad. El conjunto solución: C.S. = {6}
3. Resolver en x la siguiente ecuación de coeficientes literales.
a(x + a) – x = a(a + 1) + 1 Resolución: • Efectuamos los productos indicados para suprimir los signos de colección:
ax + a2 – x = a2 + a + 1 • Eliminamos los términos repetidos en ambos miembros. ax – x = a + 1
• Factorizamos:
2. Resolver la siguiente ecuación de coeficientes fraccionarios.
5x - 2 x - 1 7x - 1 + = 3 2 6
• Despejamos la variable: x(a – 1) = a + 1 pasa dividiendo
Resolución: • Calculamos el M.C.M. de los denominadores: 3 2 6 2 3 1 3 3 1 1 1 & M.C.M. = 2 . 3 = 6
x = a+1 a-1
• Multiplicamos a toda la igualdad por dicho M.C.M.
^6h 5x - 2 = ^6h x - 1 + ^6h 7x - 1 3 2 6
x(a – 1) = a + 1
Donde: a ! 1
El conjunto solución: C.S. = ' a + 11 a-1
88
4. Un padre dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltarían S/.12 y si adquiere entradas de S/.5 le quedarían S/.15, ¿cuántos hijos tiene el padre? Resolución:
Sea n el número de hijos que tiene el padre.
x c 210 + 70 + 35 + 21 + 14 + 10 m = 2 420 xc 6 m = 2 7
&
x= 7 3
7. Resolver en (p ! ! q) &
8n - 12 = 5n + 15
px qx q qx px p + = + qb pa p qb qa q
Resolución:
5. Al preguntarle a Susan por la nota de su examen respondió: “Si cuadruplico mi nota y le resto 40, tendría lo que me hace falta para obtener 20”. ¿Qué nota tiene Susan?
•
px qx qx px p q + = qb pa pb qa q p
p q x p q x p q c - m+ c - m = b q p a q p q p
3n = 27
n=9
Resolución:
• Sea x la nota de Susan. & 4x - 40 = 20 - x 5x = 60 x = 12
•
Susan obtuvo 12 de nota.
Transponemos términos y agrupamos.
&
x x =1 + b a
xc 1 + 1 m = 1 b a
xc a + b m = 1 ab
x = ab a+b
6. Hallar x.
x x x x x x =2 + + + + + 2 6 12 20 30 42
Resolución:
•
Factorizando x: xc 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 m = 2 2 6 12 20 30 42
•
Calculamos el M.C.M.
2 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 2 3 6 10 15 21 2 3 3 5 15 21 3 1 1 5 5 7 5 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1
8. En un estante se pueden guardar 24 libros de RM y 20 libros de RV, o 36 libros de RM y 15 de RV. ¿Cuántos libros de RM se pueden guardar en el estante?
Resolución: • Sea a el ancho del lomo de los libros de RM y b el ancho de los de RV y L el largo del estante.
&
&
24a + 20b = L 36a + 15b = L 12a = 5b 24a + 20 c 12a m = L 5
M.C.M. = 22 # 3 # 5 # 7 = 420
(-)
72a = L
• Por lo tanto, en el estante se pueden colocar 72 libros de RM.
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Hallar tres números enteros consecutivos tales que el doble del menor más el triple del número menor más el triple del número intermedio más el cuádruple del mayor es 740. Dar de respuesta el menor número.
A) 80 D) 83
B) 81 E) 85
C) 82
3. La diferencia de dos números es 38. Si se divide al mayor de los números por el menor, el cociente es 2 y el resto es 8. Determinar el número mayor.
A) 70 D) 68
B) 69 E) 67
C) 66
2. Hallar x. x - 1 x - 2 x - 3 2 = 2 3 4 3
A) 3 D) 8
B) 6 E) 9
C) 5
4. Las dimensiones de un rectángulo están en razón de 3 a 5 y su perímetro es 144. Calcular el largo.
A) 35 D) 45
B) 40 E) 46
C) 50
89
6. Hallar x. 6x - 5 1 2 - = 3
5. Hallar x. 2x - 1 5 = x+1 4
A) 1,5 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
7. Hernán tiene el doble de dinero que Gladys y el triple de María. Si Hernán regalara S/.14 a Gladys y S/.35 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Hernán?
A) S/.64 D) S/.125
B) S/.42 E) S/.63
C) S/.126
9. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el hijo?
A) 10 D) 7
B) 9 E) 8
C) 6
A) 7 3
B) 3 7
D) 4 7
E) 1 3
C) 7 4
8. Hallar x. (a ! 0) a - 1 1 3a - 2 + = a 2 x
A) 1 a
B) 4a
D) a
E) 2a
C) 3a
10. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuál es el menor número?
A) 23 D) 29
B) 25 E) 31
C) 27
91 1. Hallar x. x x x a3 - k - a1 - k = 7 - a x - k 2 3 2 A) 11 D) 14
B) 12 E) 15
9.
C) 13
B) 5 8
D) - 5 8
E) 5
A) 28 D) 35 C) - 8 5
3. Calcular el mayor de dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 72. A) 7 D) 10
B) 8 E) 12
C) 9
4. Calcular el menor de dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 30. A) 5 D) 10
B) 6 E) 12
C) 8
5. El producto de dos números que difieren en tres unidades es 130. Dar el doble del menor. A) 10 D) 26
B) 15 E) 52
C) 20
6. La edad de Luis y Carlos están en razón de 13 a 11. Si Luis, el mayor, tiene 65 años, calcular la edad de Carlos dentro de 5 años. A) 40 años D) 55 años
B) 45 años E) 60 años
C) 50 años
7. Si 221 excede a un número en sus 4/13. Calcular el número. A) 156 D) 182
B) 91 E) 195
C) 169
8. Si 8 kg más la tercera parte de su peso total es el peso de una computadora. ¿Cuál es dicho peso? A) 6 kg D) 18 kg
B) 14 kg E) 24 kg
A) 21 kg D) 7 kg
B) 14 kg E) 28 kg
C) 12 kg
10. Si: a = 5 y a + b = 98, calcular a. b 9
2. Resolver: 1 x 1 ^ - h - ^x - 3h = x + 3 + 1 2 3 6 A) 8 5
Sergio pesa 18 kg más la séptima parte de su peso total. ¿Cuál es la tercera parte del peso de Sergio?
C) 12 kg
B) 63 E) 140
C) 49
11. Las edades de Karla, María y Leticia están en relación de 3; 5 y 7, respectivamente. Si María tiene 25 años, ¿cuál es la diferencia de edades entre Karla y Leticia? A) 10 años D) 30 años
B) 15 años E) 50 años
C) 20 años
12. Mario y Jorge tienen juntos $9000. Si Mario tiene el doble de dinero que Jorge, ¿qué cantidad tiene Mario? A) $6000 D) $4500
B) $3000 E) $2000
C) $5000
13. Jimena gasta la cuarta parte de lo que no gasta. Si en total tenía $100, ¿cuál es la diferencia entre lo que no gastó y lo que gastó? A) $90 D) $30
B) $60 E) $20
C) $40
14. Dar el valor de x, si a ! 0: 2a + 3x 2^6x - ah = x+a 4x + a A) - 2a D) - 5a
B) - 3a E) - 6a
C) - 4a
15. Hallar x. ax - 4 = bx – 2; a ! b. 2 a-b
A) 2ab
B)
D) 2(a - b)
E) 2a
C) a - b 2
16. Hallar x. x 1 x + = 2 4 6 A) 3 4
B) 4 3
D) - 4 3
E) 1
C) - 3 4
92
17. El producto de dos enteros consecutivos es 342. Hallar su suma. A) 35 D) 33
B) 37 E) 41
B) 23 E) 50
B) 45 E) 47
B) 56 años E) 80 años
B) 3 4
D) - 3 14
E) 1
D) 2b
E) a + 1 2
25. Si: x/y =
4 7
A) 30 D) 70
C) a - 1 2
y x + y = 165, hallar: y – x B) 45 E) 65
C) 50
26. Si A y B están en la misma relación que 14 y 9, hallar A + B, si A - B = 45
C) - 14 3
B) 195 E) 210
C) 170
27. Resolver en x.
C) 60 años
6(12 – x) – 5(10 – x) = 4(8 – x) + 3(6 – x) A) 14 3
B) a + 1
A) 207 D) 205
21. Hallar x.
A) a – 1
C) 40
20. La edad de Edgard es a la edad de Ingrid como 7 es a 4. Si estas suman 154, hallar la edad de Ingrid. A) 45 años D) 71 años
x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)
C) 25
19. Dos números están en la misma razón que 4 y 5. Si suman 81, hallar el menor. A) 36 D) 50
C) 39
18. El producto de 3 números consecutivos es 72 veces el menor. Dar la suma de los números. A) 24 D) 31
24. Hallar x.
ax bx + 2ab = + a 2 - b 2; a ! b ! 0 a+b a-b A) (a – b)2 D) (a – b)3
B) (a + b)2 E) a2 – b2
C) a2 + b2
B) 17 E) 20
C) 18
A) 17
B) 16
C) 18
D) 20
E) 15
28. Hallar x.
x - 1 1 2 - = 6 A) 16 D) 19
29. Hallar x. 22. ¿Qué porcentaje de 25 000 es 10 000? A) 40% D) 55%
B) 30% E) 70%
C) 25%
23. Hallar x.
x + 1 2 8 + = 3
16x – (3x – (6 – 9x)) = 30x + [–(3x + 2) – (x – 3)]
30. Hallar x.
A) 2 23
B) 5 22
D) 1 2
E) 1 3
C) 1 4
6x - 4 26 = x-3 2 A) 5
B) 4
D) 8
E) 9
C) 6
93 CONGRUENCIA PROBABILIDADES DE TRIÁNGULOS Conceptos previos
Experimento aleatorio (x) Llamaremos experimentos aleatorios a aquellos cuyos resultados no se pueden saber con exactitud antes de su realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. Ejemplo: x1: Lanzar al aire un dado o una moneda. x2: Sacar un naipe de una baraja.
Suceso elemental (w) Es el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio. Ejemplos: • Al lanzar un dado y anotar el resultado de la cara superior, se pueden obtener los siguientes sucesos elementales. w1 = {1}; w2 = {2}; w3 = {3}; w4 = {4}; w5 = {5}; w6 = {6} •
Al lanzar una moneda y anotar el resultado de la parte superior, se pueden obtener los siguientes sucesos elementales: w1 = {C}; w2 = {S}
Espacio muestral (W) Viene a ser el conjunto de todos los sucesos elementales, es decir, es el conjunto de todos los resultados posibles que tiene el experimento aleatorio. Ejemplos: • Del experimento aleatorio de lanzar un dado, su espacio muestral sería: W = {1; 2; 3; 4; 5; 6} •
Del experimento aleatorio de lanzar una moneda, su espacio muestral sería: W = {C; S}
Suceso (A, B, C, ...) Viene a ser cualquier subconjunto del espacio muestral, en otras palabras, viene a ser un caso particular que se solicita del experimento aleatorio. Ejemplo: En el experimento correspondiente a lanzar un dado, algunos sucesos son: A: obtener un número par B: obtener un número primo C: obtener un número impar menor que 5.
Suceso imposible y suceso seguro Se llama suceso imposible a cualquier suceso que sea igual al conjunto vacío (Q), y por lo tanto, será un suceso que no sucede nunca. Se llama suceso seguro a cualquier suceso que sea igual al espacio muestral (W), y por lo tanto, será un suceso que ocurre siempre. Ejemplo: • En el lanzamiento de un dado es un suceso imposible obtener un número negativo y es un suceso seguro obtener un número menor que 7.
Sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles) Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente, es decir: A+B=Q
94 Ejemplo Sea el experimento, contar el número de personas atendidas por un banco en un periodo de tiempo. • Evento A: se han atendido menos de 20 personas • Evento B: se han atendido exactamente 25 personas & A = {0; 1; 2; 3; 4; ...; 19} A +B = Q
B = {25}
Sucesos independientes Se dice que un suceso B es independiente de otro A cuando el suceso A no influye en B y viceversa. Ejemplo: • Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda anotándose el resultado obtenido. Se dan los siguientes sucesos: A: obtener en el dado un número par B: obtener cara en la moneda Observamos que la ocurrencia de un suceso no influye en el otro y viceversa. probabilidad La probabilidad es un valor numérico que mide el grado de incertidumbre (duda) que se tiene al realizar un experimento aleatorio. La probabilidad se calcula de la siguiente manera: número de casos
n(A) favorables del suceso A P(A) = = n(W) número de casos totales
del experimento aleatorio
Se lee: “La probabilidad de que ocurra el suceso A es”
Propiedades 1.
0 # P(A) # 1
2. P(A) + P(A’) = 1 &
P(A’) = 1 - P(A)
Donde: P(A): probabilidad de que ocurra el suceso A. P(A’): probabilidad de que ocurra el complemento del suceso A, llamada también probabilidad complementaria o probabilidad de que no ocurra el suceso A. 3. Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene: P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B) Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (incompatibles) A + B = Q, entonces: P(A , B) = P(A) + P(B) 4. Si los sucesos A y B son independientes se tiene que:
P(A + B) = P(A) . P(B)
Probabilidad condicionada Sea A un suceso cuya probabilidad es distinta de cero, y sea B cualquier suceso. Se llama probabilidad de B condicionada a A, al cociente: P^B/Ah =
P^A + Bh P ^ Ah
95 1. Al lanzar un dado sobre una mesa, ¿cuál es la probabilidad de obtener un resultado mayor que 4?
4. En una bolsa hay 6 bolas rojas y 8 bolas negras. Si se extraen 2 bolas, una a continuación de la otra, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos bolas negras?
Resolución: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Los casos favorables son: A = {5; 6} & P ^ Ah = `
n ^ Ah 2 1 = = n ^X h 6 3
La probabilidad de obtener un resultado mayor que 4 es: 1 3
Resolución: A: obtener una bola negra. Extrayendo la primera bola negra: n(A) = 8, n(Ω) = 6 + 8 = 14 P ^ Ah = 8 = 4 14 7 Extrayendo la segunda bola negra: B: obtener una bola negra.
2. En una bolsa hay 30 fichas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha, esta sea múltiplo de 5? Resolución:
n(B) = 7, n(Ω) = 6 + 7 = 13 P(B) = `
7 13
La probabilidad de obtener dos bolas negras es: P(A) . P(B) = 4 13
A: obtener una ficha múltiplo de 5. A = {5; 10; 15; 20; 25; 30} n(A) = 6, n(Ω) = 30 n ^ Ah 6 = n^Xh 30 ` P ^ Ah = 1 5 & P ^ Ah =
3. Al lanzar dos dados sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un puntaje mayor que 9?
5. Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea par. Resolución: A: obtener un par de números diferentes. Analizando su complemento: A’ = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} n(A’) = 6 & n(A) = 36 - n(A’) = 30
Resolución: Los casos de obtener un puntaje mayor que 9 son: A = {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6)} n(A) = 6 & P ^ Ah =
n ^ Ah 6 1 = = n^Xh 36 6
En este caso el espacio muestral es A, debido a que los números que resultan son siempre diferentes. B: obtener dos números diferentes cuya suma sea par. B = {(1; 3), (1; 5), (2; 4), (2; 6), (3; 1), (3; 5),
(4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 3), (6; 2), (6; 4)}
` P^A’h = 1 - P^Ah = 1 - 1 = 5 6 6
n(B) = 12
` La probabilidad de no obtener un puntaje mayor que 9 es 5 . 6
`
& P^Bh =
n^Bh 12 = n^Ah 30
P(B) = 2 5
96
6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte 3? Resolución:
• El número de casos favorables es 1 y el total de casos es 4.
& P = 1 4
A: obtener el número 3. n(A) = 1, n(Ω) = 6 ` P ^ Ah =
n ^ Ah 1 = n^Xh 6
9. Si se lanzan 2 dados al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 8?
7. Si se extrae de un juego completo de naipes una carta, ¿cuál es la probabilidad de que sea de trébol?
Resolución: • Construimos un cuadro de doble entrada con los 6 números:
Resolución:
+
1
2
3
4
5
6
• Un juego de naipes tiene 4 palos (trébol,
1
2
3
4
5
6
7
corazones, espadas y diamantes). Cada una
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
consta de 13 naipes. • Entonces, el número de casos favorables son 13 y el número de casos totales son 52. • Utilizamos la definición:
P = n.° casos favorables n.° casos totales
P = 13 = 1 = 0,25 52 4
• Observando el cuadro de doble entrada nos damos cuenta de:
n.° de casos favorables = 5
n.° de casos totales = 36
8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras al lanzar dos monedas sobre una mesa?
& P= 5 36
10. Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 10 ó 12?
• La probabilidad de que sea de trébol es 0,25.
Resolución: • Determinamos los casos posibles haciendo un diagrama de árbol.
C: cara S: sello
Primera moneda
Segunda moneda S & CS
C C & CC
S
S & SS C & SC
Resolución: Aplicamos el mismo criterio anterior y podemos ver: n.° de casos favorables (suma 10) = 3 n.° de casos favorables (suma 12) = 1 & números de casos posibles = 4 P = 4 = 1 36 9
Evaluación
Día:
Mes:
Año:
Apellidos y nombres: Año:
LIFICACIÓN CA
Sección:
Tema:
1. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 6 ó 7?
A) 5 36
B) 5 7
D) 5 18
E) 11 36
C) 3 5 A) 64 D) 16
3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener números iguales?
A) 1 2
B) 1 6
D) 5 6
E) 1 4
2. Una moneda se lanza cinco veces. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?
C) 1 3
B) 32 E) 5
C) 8
4. Si se lanzan dos monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea dos caras o dos sellos?
A) 1 2
B) 1 3
D) 3 4
E) 1 8
C) 1 4
97
5. Una urna contiene 7 bolas negras, 4 bolas azules y 2 bolas rojas. Si se extrae al azar una de ellas, hallar la probabilidad de que la bola extraída sea azul.
A) 7 13
B) 3 13
D) 4 13
E) 2 13
C) 11 13
7. Al lanzar 4 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y un sello?
A) 3 4
B) 5 16
D) 1 4
E) 7 16
C) 3 16
9. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un múltiplo de tres?
A) 1 2
B) 1 6
D) 1 4
E) 5 6
C) 1 3
6. De una baraja de 52 naipes se extrae uno. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de corazones?
A) 1 17
B) 7 36
D) 3 4
E) 7 51
C) 1 4
8. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte un número impar?
A) 1 3
B) 1 2
D) 2 5
E) 1 4
C) 3 5
10. En una urna hay 8 fichas negras y 10 fichas azules. Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de color azul?
A) 5 9
B) 7 9
D) 5 18
E) 7 18
C) 4 9
99 1. Al arrojar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 8 ó 9? A) 1 4
B) 1 85
C)
1 1 D) 18 E) 6
1 9
2. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el
A)
1 4
1 B) 17
D)
3 4
7 E) 51
7 C) 36
9. Se ejecutan tres lanzamientos consecutivos de una misma moneda. Determinar la probabilidad de obtener sello, cara y sello, en ese orden.
del segundo? 5 9 17 5 19 A) 12 B) 12 C) 36 D) 36 E) 36 3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos menor que 5? A)
1 4 B)
1 1 9 C) 18 D)
A)
1 2 B)
1 3 C)
1 8 D)
3 4 E)
2 5
10. En una caja se tienen 8 bolas rojas, 7 bolas blancas y 10 bolas amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos bolas, la primera sea roja y la
1 2 6 E) 17
4. Una moneda se lanza tres veces. ¿Cuántos
segunda sea amarilla? 16 3 2 2 3 A) 125 B) 25 C) 25 D) 15 E) 125
elementos tiene el espacio muestral? 11. En una ánfora se tienen 12 bolas negras, 20 rojas A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
y 18 marrones. ¿Cuál es la probabilidad de que al
E) 9
extraer una bola, esta no sea roja?
5. Si se tiran tres monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea tres caras o
A)
1 5 B)
2 5 C)
3 5 D)
1 5 E)
4 5
tres sellos? A)
1 8 B)
3 8 C)
1 4 D)
3 4 E)
5 8
12. Al arrojar 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello?
6. Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 negras. Si se extrae al azar una de ellas, hallar la
A)
1 4 B)
5 8 C)
3 8 D)
3 4 E)
1 2
probabilidad de que la bola extraída no sea azul. 2 A) 13 B)
3 1 7 8 C) 12 D) 10 E)
5 8
13. Una caja contiene 10 bolas rojas, 4 bolas blancas y 6 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola, esta sea roja?
7. De una baraja de 52 naipes se extrae uno. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de espadas?
A)
1 1 7 4 B) 17 C) 36 D)
3 7 4 E) 51
8. De un total de 52 cartas se extraen dos a la vez.
A)
2 3 C)
2 4 D)
1 5 E)
2 5
14. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado resulte 2?
¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de corazones?
1 2 B)
A)
1 5 B)
1 4 C)
2 6 D)
1 11 6 E) 12
100
15. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado
21. Miguel lanza tres monedas, una por una sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 3
resulte 2 ó 3?
sellos? A)
1 6 B)
1 2 C)
1 3
1 D) 36 E)
1 4
16. Al arrojar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea cuatro o seis?
A)
1 6 B)
2 1 9 C) 18 D)
22. Del problema 21, ¿cuál es la probabilidad de que salgan solo 2 caras?
1 1 4 E) 12
17. Al arrojar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 8?
A)
1 1 1 1 3 A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 8
A)
3 4 B)
1 8 C)
1 4 D)
3 8 E)
5 8
23. Del problema 21, ¿cuál es la probabilidad de que salgan al menos 2 sellos?
5 5 7 11 9 B) 36 C) 36 D) 36 E)
1 4
18. En una prisión se tiene que en el pabellón A1, la probabilidad de que una pregunta dada se conteste con la verdad es 2/7, y en el pabellón C3 esta probabilidad es 3/10. ¿Cuál es la probabilidad de que al hacer una pregunta a los presos de estos pabellones
A)
3 8 B)
1 4 C)
1 8 D)
3 4 E)
1 2
24. En una bolsa se tienen 8 caramelos de fresa y 3 de limón. Si se extraen al azar 2 caramelos, ¿cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de fresa? 31 13 28 29 17 A) 45 B) 45 C) 55 D) 45 E) 45
se obtenga como respuesta una mentira? 6 32 A) 70 B) 35 C)
1 2 D)
4 7 E)
6 7
25. Se lanza un dado. Si el número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo?
19. Para un sorteo se han impreso 520 boletos, de los cuales 96 tienen premio. ¿Cuál es la probabilidad de
A)
1 6 B)
1 2 C)
1 3 D)
2 3 E)
1 4
comprar un boleto y no obtener premio alguno? A) 53 65
B) 12 65
D) 53 96
E) 12 53
26. Se lanza un par de dados. Si los números que C) 13 53
resultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea impar.
A)
2 5 B)
3 7 5 C) 10 D)
1 3 E)
2 8
20. En una fiesta se encuentran 40 hombres y 60 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona en retirarse de la fiesta sea un varón? 2 A) 5
3 B) 5
1 D) 5
1 E) 4
2 C) 3
27. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea múltiplo de 5?
A)
12 B) 11 C) 36 36
4 9 D)
21 36 E)
2 9
101
CONGRUENCIA PSICOTÉCNICO DE TRIÁNGULOS
1. ¿Qué figura continúa?
A)
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D)
E)
C)
Resolución: • Las figuras de la primera fila se repiten en las otras 2 filas. • Por lo tanto, la figura que falta es la alternativa D.
4. ¿Qué figura continúa?
Resolución: • En la diagonal del primer heptágono, el punto izquierdo se desplaza de 1 en 1 y el punto derecho de 2 en 2, en sentido horario. • Por lo tanto, la respuesta es la A.
2. Hallar la figura que sigue.
A)
B)
D)
E)
A)
B)
D)
E)
C)
Resolución: • El número de círculos sombreados va aumentando de 1 en 1 siguiendo un sentido horario. • Entonces, la clave es la E.
C)
5. Hallar el número y la letra que sigue.
Resolución: • Se observa que el número de puntos, en el lado derecho aumenta de 2 en 2: 1; 3; 5; ... • Luego, la siguiente figura es la alternativa D.
A) 11 - P D) 9 - Ñ
B) 9 - P E) 11 - Ñ
C) 10 - Ñ
Resolución: • Los números aumentan de 2 en 2: 1; 3; 5; 7 • Las letras varían en:
3. Señalar la figura que debe estar en la incógnita:
A
B C
1 letra
DE F 2 letras
GHI J 3 letras
Entonces: 9 - Ñ • Luego, la respuesta es la D.
KLMN Ñ 4 letras
102 6. ¿Qué figura sigue?
A)
B)
D)
E)
9. ¿Qué figura continúa?
C)
Resolución:
• La suma de puntos en cada ficha aumenta de 1 en 1: 6; 7; 8; 9 • Entonces la ficha que continúa es la alternativa A. 7. Hallar la figura que sigue.
A)
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D)
E)
C)
Resolución: • La primera figura es un triángulo (3 líneas) dividido en 3 partes, solo una de ellas tramada (parte inferior). • Luego continúa un cuadrilátero (4 líneas) dividido en 4 partes de las cuales están tramadas dos de ellas (también la parte inferior). Luego un pentágono (5 líneas) dividida en 5 partes, tramadas tres de ellas (parte inferior). • Podemos concluir que la siguiente figura debe ser un hexágono (6 líneas) dividida en 6 partes de las cuales se deben tramar cuatro de ellas, también la parte inferior. Entonces, la clave es la C.
Resolución: Se observa en la primera dupla una figura grande y otra pequeña. Entonces la siguiente dupla debe cumplir la misma condición. Por lo tanto, la figura que continúa es un triángulo pequeño.
10. Indicar la figura que continúa:
Entonces, la clave es la E. 8. Hallar la figura que sigue.
A)
B)
D)
E)
C)
Resolución:
• En este caso la primera figura es una circunferencia, la siguiente son dos, pero intersecadas. La tercera figura es diferente, en este caso es una “Ve”, pero debe cumplir la misma condición, es decir la cuarta figura debe ser dos “Ve” intersecadas. Entonces, la clave es la D.
A)
B)
D)
E)
C)
Resolución: Observando detenidamente las figuras se observa que es la misma con la diferencia que las líneas horizontales que tienen van disminuyendo de una en una empezando con 4, luego 3, continuando con 2, y 1, entonces la última figura tendrá 0 líneas horizontales. Entonces, la clave es la C.
Evaluación
Día:
Mes:
103
Año:
Apellidos y nombres: LIFICACIÓN CA
Sección:
Año:
Tema:
1. Si la figura I es a la figura II, la figura III a cuál de las figuras corresponde.
I
A)
D)
II
B)
III
C)
E)
3. Indicar la figura que falta.
A)
B)
D)
E)
2. Indicar la figura que completa la secuencia.
A)
B)
D)
E)
C)
4. ¿Cuál de las alternativas completa el grupo de figuras?
C)
A)
B)
D)
E)
C)
5. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? A)
B)
C)
D)
6. ¿Qué figura continúa?
...
A)
B)
D)
E)
C)
E)
7. Hallar la figura que continúa.
8. Hallar la figura que continúa.
...
...
A)
B)
D)
E)
C)
9. Indicar la figura que continúa:
A)
B)
D)
E)
A)
B)
D)
E)
C)
10. ¿Cuál es el día que sigue al anterior día del jueves?
C) A) Lunes D) Martes
B) Miércoles E) Viernes
C) Jueves
105 1. ¿Qué figura sigue?
6. ¿Qué figura continúa?
A)
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D)
E)
C)
7. ¿Qué figura continúa?
2. Si: ¿Qué figura resultaría de la operación?
,
A)
B)
D)
E)
C)
3. ¿Qué figura continúa?
A)
D)
4.
es a
A)
D)
,
A)
B)
D)
E)
; ...
,
C)
8. Hallar la figura que sigue.
B)
C)
E)
es a ...
como
B)
A)
B)
D)
E)
C)
C)
9. Hallar la figura que sigue.
C) A)
B)
D)
E)
E)
5. ¿Qué figura falta?
10. ¿Cuál de los siguientes gráficos no concuerda con el grupo?
A) D)
B) E)
A)
B)
D)
E)
C)
C)
106
11. Hallar la figura que sigue.
A)
B)
D)
E)
17. Reconocer en las alternativas la figura que guarda relación con la del recuadro.
C)
D)
12. Hallar la figura que sigue.
A) D)
B)
A)
B)
C)
E)
18. ¿Qué figura continúa?
C) A)
B)
D)
E)
C)
E)
13. Hallar la figura que sigue.
19. ¿Qué figura continúa? A)
B)
D)
E)
C)
14. ¿Cuál de los siguientes gráficos no concuerda con el grupo? A)
B)
D)
E)
C)
A)
B)
D)
E)
C)
20. ¿Qué figura continúa?
15. Marcar la figura que corresponda. es a
como
...
es a...
A)
D)
B)
A)
B)
D)
E)
C)
C)
E) 21. ¿Qué figura continúa?
16. ¿Qué figura continúa?
... A) D)
B) E)
... C)
A)
B)
D)
E)
C)
