Skripta _nosive

SVEUČILIŠTE U SPLITU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET

Jure Radnić Alen Harapin

OSNOVE BETONSKIH KONSTRUKCIJA INTERNA SKRIPTA

Split, 2007.

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka

2

SADRŽAJ: 1

Osnove pojmovi o Armiranom betonu...................................................................................... 4 1.1 Općenito ................................................................................................................................ 4

2

Osnove proračuna AB konstrukcija.......................................................................................... 5 2.1 Općenito ................................................................................................................................ 5 2.2 Osnovne pretpostavke........................................................................................................... 7 2.3 Radni dijagram betona........................................................................................................... 8 2.4 Radni dijagram čelika ............................................................................................................ 9 2.5 Koeficijenti sigurnosti ........................................................................................................... 10 2.6 Klase okoliša........................................................................................................................ 11

3

Dimenzioniranje AB konstrukcija prema Graničnim stanjima nosivosti ................................. 13 3.1 Minimalna i maksimalna armatura u presjeku ..................................................................... 13 3.2 Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja .......................... 13 3.2.1

Teoretske postavke ...................................................................................................... 13

3.2.2

Slučaj 1 ......................................................................................................................... 16

3.2.3

Slučaj 2 ......................................................................................................................... 17

3.2.4

Slučaj 3 ......................................................................................................................... 19

3.2.5

Slučaj 4 ......................................................................................................................... 21

3.3 Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja ............................. 22 3.4 Dimenzioniranje T i Γ presjeka ............................................................................................ 26 3.5 Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom.......................................................... 31 3.6 Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom......................................................... 31 3.7 Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu....................... 32 3.7.1

Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog ........................................................... 32

3.7.2

Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog ............................................................ 33

3.7.3

Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije .............. 38

3.8 Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom .... 41 3.9 Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu......................................................................... 43 3.9.1

Općenito ....................................................................................................................... 43

3.9.2

Postupak....................................................................................................................... 43

3.9.3

Standardna metoda ...................................................................................................... 44

3.9.4

Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova ...................................................... 45

3.9.5

Minimalna (konstruktivna) armatura ............................................................................. 46

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije....................................................................... 50 3.10.1 Općenito ....................................................................................................................... 50 3.10.2 Postupak....................................................................................................................... 51 3.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile ................................................ 52


3

3.10.4 Proračun ploča na proboj.............................................................................................. 57 3.10.5 Koso savijanje............................................................................................................... 57 3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom ................................................ 57 4

Dimenzioniranje presjeka prema Graničnim stanjima uporabe ............................................. 58 4.1 Općenito .............................................................................................................................. 58 4.2 Granično stanje naprezanja................................................................................................. 58 4.3 Granično stanje pukotina ..................................................................................................... 59 4.3.1

Općenito ....................................................................................................................... 59

4.3.2

Minimalna armatura ...................................................................................................... 59

4.3.3

Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina ............................................................ 60

4.3.4

Proračun širine pukotina ............................................................................................... 60

4.4 Granično stanje progiba....................................................................................................... 64

5

4.4.1

Općenito ....................................................................................................................... 64

4.4.2

Dokaz graničnog stanja progibanja .............................................................................. 65

PRILOZI ................................................................................................................................. 72 Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma ..... 73 Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka...................................................................... 74 Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem.......................................................................................... 75 Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 76 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 77 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka...................... 78 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka............................. 79 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka............................. 80 Prilog 9: Armaturne tablice........................................................................................................... 81


1

OSNOVE POJMOVI O ARMIRANOM BETONU

1.1

Općenito

4

Beton je umjetni kamen, dakle materijal koji, kao i svaki kamen ima veliku tlačnu ali malu vlačnu čvrstoću. U kombinaciji s armaturom dobiva se novi materijal – armirani beton, koji objedinjuje sve dobre karakteristike oba osnovna materijala. Efikasno djelovanje tih dvaju, po mehaničkim karakteristikama različitih materijala, omogućeno je sljedećim: −

Beton tokom svog stvrdnjavanja čvrsto prianja uz čelik (armaturu), tako da pri djelovanju vanjskih sila oni zajedno sudjeluju u nošenju. Prianjanje čelika i betona glavni je faktor njihovog zajedničkog sudjelovanja u nošenju.

−

Beton i čelik imaju približno jednake temperaturne koeficijente. Betonu, ovisno o agregata temperaturni koeficijent je: α c = 1.4 ⋅ 10 −5 − 0.7 ⋅ 10 −5 1 o C , a čeliku: α c = 1.2 ⋅ 10 −5 1 o C , zbog čega u kombinaciji ova dva materijala dolazi do neznatnog unutrašnjeg naprezanja pri temperaturnim promjenama.

−

Beton štiti čelik od korozije, ako je dovoljno kompaktan, zbog bazičnog karaktera kemijskih reakcija i obilnog lučenja Ca(OH)2.

Kombinacijom betona i čelika u obliku armiranog betona postiže se dobro iskorištenje obaju materijala, pri čemu beton u prvom redu prima tlačna, a čelik vlačna naprezanja.


2

OSNOVE PRORAČUNA AB KONSTRUKCIJA

2.1

Općenito

5

Pod pojmom graničnog stanja presjeka odnosno konstrukcije, podrazumijeva se ono stanje pri kojem presjek odnosno konstrukcija gubi sposobnost da se odupre vanjskim utjecajima ili pak dobiva nedopušteno velike deformacije ili lokalna oštećenja, čime prestaje ispunjavati postavljene kriterije u pogledu nosivosti, trajnosti i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili jedan njen dio) smatrat će se nepodobnom za predviđenu uporabu ako je prekoračeno bar jedno od graničnih stanja. Ovakav pristup, zasnovan na teoriji pouzdanosti konstrukcija, zahtijeva da se odabere ograničeni skup stanja za opisivanje ponašanja konstrukcije. Takva se stanja obično nazivaju graničnim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava uvjete za koje je projektirana. Općenito, uobičajeno je da se granična stanja dijele u dvije velike grupe: a) granično stanje koje odgovara maksimalnoj nosivosti, a postiže se: −

lomom materijala u kritičnom presjeku ili dosezanjem znatnijih deformacija;

−

otkazivanjem nosivosti konstrukcije praćeno pojavom tzv. plastičnih zglobova, gdje se formira mehanizam loma kod statički neodređenih nosača (kod ploča se formiraju tzv. linije loma);

−

dovođenjem konstrukcije ili elementa konstrukcije koje promatramo kao kruta tijela u stanje gubitka ravnoteže;

−

izvijanjem u elastičnom ili plastičnom području;

−

zamorom materijala (npr. za mostove i nosače kranskih staza);

−

nestabilnošću uslijed velikih pomaka i deformacija.

b) granična stanja upotrebljivosti, a postižu se: −

graničnim stanjem deformacija vezano za upotrebljivost i izgled elementa i konstrukcije u cjelini - proračun deformacija;

−

graničnim stanjem pukotina - proračun pukotina.

−

graničnim stanjem naprezanja – kontrola naprezanja.

Bitno je napomenuti da se još uvijek često proračun konstrukcija vrši po teoriji elastičnosti (linearna teorija), dok se dimenzioniranje vrši po metodi graničnih stanja. Dakle, očiti je nesklad takvog postupka jer, naime, nedjeljiva je nelinearna ovisnost naprezanje-deformacija za armirano betonski presjek od preraspodjele unutarnjih sila u statički neodređenoj konstrukciji ("plastifikacija" presjeka i "plastifikacija" sistema). Metoda graničnih stanja promatra stanje deformacija i naprezanja neposredno pred slom presjeka. Da bi se mogla odrediti nosivost presjeka neposredno pred slom, valja poznavati i stanja naprezanja koja prethode graničnome. Greda od armiranog betona opterećena koncentriranom silom u sredini raspona ima različite stupnjeve iskorištenosti u raznim presjecima zavisno od momentnog dijagrama. Idući od ležajeva prema sredini raspona vide se tri različita stanja naprezanja, poznata u armiranom betonu kao stanja naprezanja I, II i III (crtež 1).

6


F Ia

I

III n.o.

n.o.

n.o.

SREDINA PRESJEKA

R

II

d

Bez pukotina

Sitne pukotine

Pukotine pred slom

1/2 l MI

M Ia

M II

M III

Crtež 1 - Stanja naprezanja AB grede

Za stanje I, naprezanja tlaka i vlaka su mala, pa je opravdano pretpostaviti da je raspodjela naprezanja linearna. Kraj stanja I (Ia) označava da je vlačna čvrstoća betona pred iscrpljenjem, pa raspodjela naprezanja u vlačnoj zoni ide po krivulji dok je raspodjela tlačnih naprezanja još uvijek linearna. Stanje naprezanja II karakteristično je po tome što u vlačnoj zoni nastaju pukotine i vlačna se zona isključuje iz nosivosti, a raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje. Stanje naprezanja III (stanje neposredno pred slom) karakteristično je po tome što raspodjela tlačnih naprezanja ima oblik krivulje, a u vlačnoj zoni, kao i u zoni II, nastaju pukotine koje su još veće i dosežu neutralnu os. Tlačna zona se smanjuje i neutralna os putuje prema gore. Način sloma armirano betonskih elemenata ovisi o postotku armiranja, o djelovanju unutrašnjih sila i o mehaničkim karakteristikama betona i armature. Općenito slom presjeka može nastati: 1. uslijed popuštanja armature i to na 2 načina: − nedovoljnim armiranjem (ρ < ρmin) tako da prilikom prijelaza iz faze I u fazu II dolazi do

naglog povećanja naprezanja u armaturi, plastifikacije armature, formiranja većih pukotina i loma armature. Slom nastaje trenutno. Da se takav slom ne dogodi, potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom;

− iscrpljenošću armature, kod čega se slom presjeka ne događa odmah poslije pojave

pukotina, već mu prethode sve veće pukotine i naglašene deformacije armature u vlačnoj zoni (duktilan slom); 2. uslijed popuštanja betona nastaje neduktilan slom. Takav slom nastaje kod jako armiranih presjeka, pri čemu naprezanje u čeliku ne doseže granicu popuštanja. Slom nastaje iznenadno bez naglašenih pukotina i većih deformacija, osobito za betone visokih kvaliteta; 3. uslijed istodobnog popuštanja betona i armature nastaje tkz. balansirani slom, koji je karakteriziran prethodnom pojavom naglašenih deformacija i pukotina. Ako postoji mogućnost slobodnog izbora presjeka, preporučuje se dimenzioniranje uz pretpostavku istodobne iscrpljenosti armature i betona, tj uz potpuno iskorištenje obaju materijala ili samo čelika.


2.2

7

Osnovne pretpostavke

Elementi konstrukcija kod dimenzioniranja trebaju zadovoljiti uvjete: − da postoji dovoljna sigurnost na lom, − da je zadovoljen uvjet ograničenja pukotina za radna opterećenja (uvjet trajnosti), − da ukupne deformacije, s utjecajem puzanja, skupljanja i temperature, ne izazovu

nepovoljne utjecaje na konstrukciju u eksploataciji (uvjet uporabljivosti). U proračunu se po pravilu izračuna jedno granično stanje, koje se smatra mjerodavnim, a zatim se, za usvojenu geometriju poprečnih presjeka i kvaliteta materijala, dokazuje da su i ostala granična stanja zadovoljena. U velikom broju slučajeva, u inženjerskoj praksi, najkritičnije je stanje granične nosivosti - loma. Stoga se detaljan proračun - dimenzioniranje karakterističnih poprečnih presjeka nosača sprovodi prema teoriji granične nosivosti, a zatim se daje dokaz odnosno provjera ispunjenosti uvjeta koje traže granična stanja upotrebljivosti. Međutim, zavisno od namjene objekta, okolne sredine, primijenjenog sistema konstrukcije i sl., može se dogoditi da ne bude (uvijek) mjerodavno stanje loma, već jedno od dva granična stanja upotrebljivosti. Tako, na primjer, u jako agresivnim sredinama, gdje se u toku eksploatacije dopuštaju vrlo male širine pukotina u betonu, može biti najkritičnije granično stanje pukotina, pa kao takvo i mjerodavno za proračun. Kod vitkih AB konstrukcija velikih raspona može pak biti mjerodavno granično stanje deformacija, koje se kod savijenih elemenata svodi na granično stanje progiba. Uvjeti koje ovo granično stanje traži moraju se poštivati radi osiguranja funkcionalnosti konstrukcije, posebno radi osiguranja kompatibilnosti deformacija (progiba) konstrukcije sa opremom, pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama; zatim izbjegavanja nepovoljnih psiholoških efekata, itd. Proračun prema graničnim stanjima dakle obuhvaća proračune i kontrole ponašanja konstrukcija i to: a)

granično stanje loma:

− proračun statičke ravnoteže konstrukcije (gdje se konstrukcija promatrana kao kruto tijelo

provjerava na klizanje, izvijanje, prevrtanje, isplivavanje, odizanje oslonaca...); − proračun unutarnjih sila koje vladaju u konstrukciji bilo linearnom teorijom (teorijom

elastičnosti) ili transformacijom konstrukcije u mehanizme loma (proračun teorije plastičnosti); − proračun granične nosivosti kritičnih presjeka za djelovanje momenata savijanja i uzdužnih

sila, poprečnih sila, momenata torzije, lokalnih naprezanja, probijanja, adhezije i sl.; − proračun graničnog stanja loma uslijed zamora materijala (za posebne elemente

konstrukcija). b)

granično stanje u eksploataciji:

− dokaz razmaka i otvora pukotina u vlačnoj zoni betona; − dokaz maksimalnih deformacija i progiba za upotrebljivost konstrukcije.

Proračun po graničnoj nosivosti lomu vrši se na osnovu sljedećih pretpostavki: − presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni (vrijedi hipoteza Bernoulli-a), iz čega proističe da

je raspored deformacija po visini presjeka pravolinijski; − nosivost betona u vlačnoj zoni se ne uzima u obzir. Vlačnu silu prima armatura; − prianjanje betona i čelika nije narušeno sve do samog loma konstrukcije. Dakle deformacije

betona i armature su iste za istu udaljenost od neutralne osi presjeka; − poznata je veza naprezanje-deformacija za armaturu i beton, čime je određena veličina i

raspored tlačnih naprezanja po visini tlačnog dijela presjeka.

8


2.3

Radni dijagram betona

Eksperimentalna istraživanja su pokazala da stvarni oblik veze između naprezanja σc i deformacije εc za beton ovisi o nizu faktora: vrsti opterećenja, stanju naprezanja u elementu (jednoosno, dvoosno ili višeosno), kvaliteti betona, brzini nanošenja opterećenja, dužine trajanja opterećenja, obliku poprečnog presjeka nosača, količine armature u tlačnoj zoni presjeka, gustoći vilica itd. Za potrebe proračuna-dimenzioniranja betonskih i armirano betonskih presjeka potrebno je iznaći analitičku vezu između naprezanja σc i deformacija εc betona, koja će s jedne strane biti vrlo jednostavna i primjenjiva u praksi, a s druge što vjernije opisivati stvarnu vezu. Ova analitička veza, koja se u literaturi naziva radni dijagram betona (RDB), u pravilnicima raznih zemalja poprima čitav niz oblika: parabole drugog ili trećeg stupnja, pravokutnika, parabole+pravokutnika i sl. U našoj zemlji, a prema prijedlogu EC 2, usvojen je radni dijagram betona oblika parabola+pravokutnik (crtež 2).

σc fck

σc = ck (4−εc)εc f 4

αfcd

εc [‰] 2.0‰

3.5‰

Crtež 2 – Radni dijagram betona

Računski radni dijagram betona je dakle parabola: σc =

α fcd (4 − εc ) εc 4

pri

0 ≤ ε c ≤ 2 .0 ‰

()

tj pravac σc = α fcd

pri

2 . 0 < ε c ≤ 3 .5 ‰

()

gdje je: − fcd - računska tlačna čvrstoća betona, koja se dobiva iz karakteristične tlačne čvrstoće Karakteristika betona fck (MPa) fc,cub (MPa) fct,m (MPa) τRd (MPa) Ecm (MPa)

C 12/15

C 16/20

C 20/25

C 25/30

C 30/37

C 35/45

C 40/50

C 45/55

C 50/60

Čvrstoća na valjku

12.0

16.0

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

Čvrstoća na kocki

15.0

20.0

25.0

30.0

37.0

45.0

50.0

55.0

60.0

1.6

1.9

2.2

2.6

2.9

3.2

3.5

3.8

4.1

0.18

0.22

0.26

0.30

0.34

0.37

0.41

0.44

0.48

26000.0

27500.0

29000.0

30500.0

32000.0

33500.0

35000.0

36000.0

37000.0

Srednja vlačna čvrstoća Posmična čvrstoća Početni modul elastičnosti

U tabeli su također dane i vrijednosti početnog modula elastičnosti te vlačne čvrstoće za pojedine klase betona, izračunate po izrazima

Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8

;

fck [MPa]

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

;

fck [MPa]

23

[MPa] [MPa]

()

9


2.4

Radni dijagram čelika

Idealna veza između naprezanja i deformacija za čelik, kao računski model za proračundimenzioniranje armirano betonskih presjeka, koja se u literaturi naziva radni dijagram čelika (RDČ), uzima se u obliku bilinearnog dijagrama (crtež 3). Maksimalno (granično) naprezanje čelika fyk jednako je granici tečenja (razvlačenja). Dakle usvaja se da je granična nosivost armature po naprezanjima dostignuta kada naprezanje u armaturi bude jednako granici razvlačenja.

±σs fyk fyd

εs [‰] 20.0‰

Crtež 3 – Radni dijagram čelika

Dakle smatra se da je dostignuta granična nosivost presjeka po vlačnoj uzdužnoj armaturi znatno prije no što čelik uđe u zonu očvršćivanja. To je iz razloga što već pri deformacijama od 5 ‰ do 20 ‰ armirano betonski nosači se toliko deformiraju da se praktički iscrpljuje nosivost presjeka deformacije rastu iako se vanjska sila ne mijenja (armatura "teče"). Pri prekoračenju deformacija od 20 ‰ dolazi do značajnih rotacija presjeka i do znatne redukcije tlačne zone što ima za posljedicu drobljenje i lom betona u tlaku. U tablici su date mehaničke karakteristike i uvjeti za pojedina svojstva čelika za armiranje, koji u stvari predstavljaju tražene kvalitete za pojedina svojstva.

Naziv i oznaka (broj) čelika

Šipkasta armatura (nHRN EN 10080-2, nHRN EN 10080-3 i nHRN EN 10080-4) B 500A B 500B B 450C (1.0438) (1.0439) (1.04…)

Mrežasta armatura (nHRN EN 10080-5) B 500A (1.0438)

B 500B (1.0439)

B 450C (1.04…)

Namot: 4-16 Šipke: 6-40

Namot: 6-16 Šipke: 6-40

Namot: 6-16

5-16

6-16

6-16

Granica razvlačenja fyk (MPa)

≥ 500

≥ 500

≥ 450

≥ 500

≥ 500

≥ 450

Omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja

≥ 1.05

≥ 1.08

≥ 1.15 ≤ 1.35

≥ 1.05

≥ 1.08

≥ 1.15 ≤ 1.35

Nazivni promjer, d (mm)

10


2.5

Koeficijenti sigurnosti

Metoda graničnih stanja je semiprobabilistička metoda u kojoj se na principu vjerojatnoće intenziteta opterećenja definiraju reprezentativne vrijednosti. Tim se vrijednostima pridružuju koeficijenti sigurnosti, pa se dobivaju računske vrijednosti. Željeni stupanj sigurnosti postiže se dakle preko koeficijenata sigurnosti. Zavisno o kakvom se opterećenju radi imamo i različite koeficijente sigurnosti. Koeficijenti sigurnosti variraju prema tome da li se radi o stalnom (vlastita težina, težina stalne opreme...), promjenjivom (korisno opterećenje, snijeg, vjetar...) ili specijalnom opterećenjenju (utjecaji temeperature, puzanja i skupljanja betona, seizmički udari...). Koeficijent sigurnosti, u biti, služi nam da "pokrijemo" neke netočne pretpostavke koje smo uveli u račun, kao što su: − Netočnost procjene stalnog i pokretnog opterećenja; − Netočnost određivanja čvrstoća i deformacija materijala; − Netočnost usvojenog statičkog sistema u odnosu na stvarnu konstrukciju; − Odstupanje računskih radnih dijagrama σ−ε od stvarnih za pojedine materijale; − Tolerantne greške proračuna; − Greške određivanja kritičnih presjeka kod dimenzioniranja konstrukcije; − Utjecaj puzanja i skupljanja betona na konačnu čvrstoću, kao i utjecaj nejednolike

temperature; − Neke netočnosti kod izvođenja (tolerantna odstupanja vertikalnosti elemenata, netočnost

dimenzija presjeka, itd.); − Netočnost u položaju armature, naročito odstupanje u veličini zaštitnog sloja u odnosu na

projektiranu statičku visinu presjeka; − Moguću koroziju čelika, koja utječe na smanjenje nosivosti; − Zanemarivanje prostornog djelovanja konstrukcije i zanemarivanje prostornog stanja

naprezanja na čvrstoće; Zavisno od deformacije betona i čelika definiraju se područja za određivanje stanja naprezanja, odnosno jedinstvenog koeficijenta sigurnosti, prema crtežu 4. Tlak 2.0‰ 3.5‰ B

d2

Vlak

As2 a 1

b

c C

d

2 4 d e

3

d1

As1

g h 5

A 20.0‰

f

3.0‰

Crtež 4 – Dijagram deformacija AB presjeka

1.

Centrični i ekscentrični vlak u fazi malog ekscentriciteta u području 1 omeđeni su linijama a i b. Cijeli betonski presjek je vlačno opterećen. Ukupnu vlačnu silu prima armatura. Točka A je točka rotacije presjeka.

2.

Između linija deformacija b i c, u području 2, dolaze slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom (±N). Neutralna os uvijek se nalazi u presjeku, a po položaju ide i do tlačnog ruba. Mogući položaji linija deformacije b i c imaju rotaciju u točki A. Samo u slučaju linije c beton je potpuno iskorišten.

11


3.

Slučajevi čistog savijanja i savijanja sa uzdužnom silom mogu biti omeđeni i linijama c i d, u području 3. Beton je u ovom području uvijek iskorišten do čvrstoće (fcd). Presjeci su jače armirani za liniju deformacije d. Mogući položaji linije deformacija imaju za rotaciju točku B.

4.

Između linija d i f u području 4, spadaju svi slučajevi složenog savijanja sa ekscentričnom tlačnom silom. Vlačna armatura, As1, u pravilu nije uvijek iskorištena kod loma zbog malih deformacija čelika. Točka rotacije linija deformacije je točka B. Za deformacije armature: ε s1 < ε v = fyd Es lom nastaje po betonu, prije nego što čelik dostigne granicu razvlačenja fyd. Naprezanja u čeliku nisu iskorištena između linija e i f, dok su iskorištena između linija d i e. Linija f predstavlja granicu kod koje je εc=3.5‰ i εc=0‰. U području iznad ove linije (prema liniji d) presjeci se računaju na složeno savijanje po velikom ekscentricitetu.

5.

2.6

Područje 5 određeno je linijama g i h, a odnosi se na slučajeve ekscentrične tlačne sile u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija nalazi se uvijek izvan presjeka. U presjeku se javljaju samo tlačna naprezanja. Moguća točka rotacije linija deformacije je točka C. Lom uvijek nastaje po betonu. Za krajnje tlačno vlakno betona εc= 2.0-3.5‰, naprezanja su praktično na granici gnječenja, dok su naprezanja u armaturi na suprotnom rubu od σs= 0 do σs= fyd. Maksimalna deformacija tlačne armature iznosi 2.0‰.

Klase okoliša

Beton u eksploataciji može biti izložen različitim djelovanjima. Prema uvjetima u kojima se beton nalazi propisani su minimalni tehnološki zahtjevi u vezi sastava betona, karakteristične tlačne čvrstoće, minimalnog zaštitnog sloja, vodocementni omjer i sl. prema kojima treba odabirati i projektirati klasu betona. Razredi izloženosti i minimalne vrijednosti dane su u tablici. Razred

Opis okoliša

Informativni primjer moguće pojave razreda izloženosti

Najmanji razred tlačne čvrstoće betona

Minim. Zaštitni sloj cmin (mm)

Maksim. v/c omjer

Min. količina cementa

Ostali zahtjevi

C 20/25

15

-

-

-

C 20/25

20

0.65

260

-

C 30/37

35

0.60

280

-

C 30/37

35

0.55

280

-

C 30/37

40

0.50

300

-

C 30/37

55

0.55

300

C 30/37

55

0.55

320

C 35/45

55

0.45

320

1. Nema rizika od oštećenja X0

Bez rizika djelovanja

Elementi bez armature u neagresivnom okolišu (npr. Nearmirani temelji koji nisu izloženi smrzavanju i odmrzavanju, nearmirani unutarnji elementi)

2. Korozija armature uzrokovana karbonitizacijom XC1

Suho ili trajno vlažno

XC2

Vlažno, rijetko suho

XC3

Umjerena vlažnost

XC4

Cikličko vlažno i suho

Elementi u prostorijama obične vlažnosti zraka (uključujući kuhinje, kupaonice, praonice rublja u stambenim zgradama); elementi stalno uronjeni u vodu Dijelovi spremnika za vodu; dijelovi temelja Dijelovi do kojih vanjski zrak ima stalni ili povremeni pristup (npr. Zgrade otvorenih oblika); prostorije s atmosferom visoke vlažnosti (npr. Javne kuhinje, kupališta, praonice, vlažni prostori zatvorenih bazena za kupanje,…) Vanjski betonski elementi izravno izloženi kiši; elementi u području vlaženja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke,…

3. Korozija armature uzrokovana kloridima koji nisu iz mora XD1

Suho ili trajno vlažno

XD2

Vlažno, rijetko suho

XD3

Cikličko vlažno i suho

Područja prskanja vode s prometnih površina; privatne garaže Bazeni za plivanje i kupališta sa slanom vodom; elementi izloženi industrijskim vodama koji sadrže kloride Elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja

12

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 4. Korozija armature uzrokovana kloridima iz mora XS1 XS2 XS3

Izloženi soli iz zraka, ali ne u direktnom dodiru s morskom vodom Uronjeno U zonama plime i prskanja vode

Vanjski elementi u blizini obale

C 30/37

55

0.50

300

-

Stalno uronjeni elementi u lukama

C 35/45

55

0.45

320

-

Zidovi lukobrana i molova

C 35/45

55

0.45

340

-

C 30/37

-

0.55

300

C 25/30

-

0.55

300

C 30/37

-

0.50

320

5. Djelovanje smrzavanja i odmrzavanja, sa li bez sredstava za odleđivanje XF1

XF2

XF3

XF4

Umjereno zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje Umjereno zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda Jako zasićeno vodom bez sredstava za odleđivanje

Jako zasićeno vodom sa sredstvom za odleđivanje ili morska voda

Vanjski elementi Područja prskanja vode s prometnih površina, sa sredstvom za odleđivanje (ali drukčije od onog kod XF4); područje prskanja morskom vodom Otvoreni spremnici za vodu; elementi u području kvašenja vodom (slatkovodna jezera i/ili rijeke) Prometne površine tretirane sredstvima za odleđivanje; pretežno vodoravni elementi izloženi prskanju vode s prometnih površina na koja se nanose sredstva za odleđivanje; parkirališne ploče bez zaštitnog sloja); elementi u području morske plime; mjesta na kojima može doći do struganja u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije

Agregat prema HRN EN 12620 s dovoljnom otpornošću na smrzavanje; Minimalna količina zraka 4.0%

C 30/37

-

0.45

340

6. Beton izložen kemijskom djelovanju XA1

Slabo kemijski agresivan okoliš

Spremnici u postrojenjima za tretiranje voda iz kanalizacije; spremnici tekućih umjetnih gnojiva

C 30/37

-

0.55

300

XA2

Umjereno kem. agresivan okoliš; konstrukcije u marinama

Betonski elementi u dodiru s morskom vodom; elementi u agresivnom tlu

C 35/45

-

0.50

320

Jako kemijski agresivan okoliš

Kemijski agresivne vode u postrojenjima za tretiranje otpadnih voda; spremnici za silažu i korita (žlijebovi) za hranjenje životinja; rashladni tornjevi s dimnjacima za odvođenje dimnih plinova

XA3

C 35/45

-

0.45

360

C 30/37

25

-

-

C 30/37

45

-

-

-

Sulfatno otporni cement

7. Beton izložen habanju XM1

Umjereno habanje

XM2

Znatno habanje

XM3

Ekstremno habanje

Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu vozila s pneumatskim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim ili tvrdim gumama na kotačima Elementi industrijskih konstrukcija izloženi prometu viljuškara s pneumatskim gumama ili čeličnim kotačima; hidrauličke konstrukcije u vrtložnim (uzburkanim) vodama (npr. Bazeni za destilaciju); površine izložene prometu gusjeničara

Manje maks. zrno agregata C 35/45

50

-

-

13


3

DIMENZIONIRANJE AB KONSTRUKCIJA PREMA GRANIČNIM STANJIMA NOSIVOSTI

3.1

Minimalna i maksimalna armatura u presjeku

Slom slabo armiranih presjeka, kao što je prije istaknuto, nastaje trenutno. Da bi spriječili takav slom potrebno je presjek armirati minimalnom armaturom. Minimalna vlačna armatura određuje se iz uvjeta sprečavanja krtog loma, tj. iz uvjeta da ukupnu vlačnu silu u betonu kod pojave pukotina preuzme vlačna armatura. Osim toga ova armatura smanjuje širinu pukotina kod loma betona. EC-2 utvrđuje jedinstveni minimalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: ρl,min = 0.1% Maksimalna vlačna armatura u presjeku određuje se iz uvjeta da kapacitet rotacije pri lomu bude dovoljan da bi se mogla izvršiti redistribucija momenata duž nosača. Plastifikacija armature se mora izvršiti prije iscrpljenja nosivosti betona da do sloma ne bi došlo drobljenjem betona u tlaku. EC-2 utvrđuje jedinstveni maximalni postotak armiranja za presjeke opterećenje dominantno na savijanje: ρl,max = 4.0%

3.2

Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja

3.2.1 Teoretske postavke U presjeku opterećenom momentom savijanja javlja se stanje deformacije-naprezanja kakvo je prikazano na crtežu 5.

εc2

d-d2 z=ζ*d

d-x

h d

εs1

As1

Fc

B

Neutralna os

Msd

d1

0.85 fcd

x=ξ*d

2

A

Fs1

1

b Crtež 5 - Naprezanja i deformacije jednostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

Linija deformacije je pravac jer vrijedi Bernoullieva hipoteza ravnih presjeka. Naprezanje u betonu je određeno radnim dijagramom betona (parabola+pravokutnik) - crtež 2, a naprezanje u armaturi po radnom dijagramu čelika – crtež 3. Za dimenzioniranje presjeka koristi se uvjetom ravnoteže koji se za ovaj slučaj može iskazati

∑M = 0 ∑H = 0 gdje su: − Msd =

∑γ M i

i

⇒

Msd = Fc ⋅ z = Fs1 ⋅ z

⇒

Fc = Fs1

- računska vrijednost utjecaja (računski moment);

(3.1)

14


− − − − − − −

Fc - računska sila u betonu (tlačna sila); Fs1 - računska sila u armaturi (vlačna sila); z - krak unutrašnjih sila; x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka; d - udaljenost težišta vlačne armature od tlačnog ruba presjeka, statička visina presjeka; b, h - dimenzije presjeka (širina i visina); d1 - udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka.

Tlačna sila u betonu za opći poprečni presjek može se izraziti kao integral naprezanja po površini poprečnog presjeka:

∫

Fb = σc dA

(3.2)

A

Za pravokutni poprečni presjek kod kojeg je širina (b) konstantna izraz 3.2 se transformira u: x

∫

Fc = b σc dx = α v x b α fcd

(3.3)

0

gdje je αv koeficijent punoće RDB-a, ovisan o stupnju iskorištenosti betona, a predstavlja odnos površine RDB-a i površine pravokutnika ( fcd ⋅ x ). εc 2 (6 − εc 2 ) 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 12 3 εc2 − 2 αv = 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3 .5 ‰ 3 εc2 αv =

(3.4)

Vlačna sila u armaturi dobiva se umnoškom površine armature sa naprezanjem u čeliku sa: Fs1 = A s1 fyd

(3.5)

Položaj neutralne osi x može se lako izračunati iz geometrijskih odnosa (crtež 5): x d = εc 2 ε s1 + εc 2

gdje je: −

⇒

x=

εc 2 d= ξd ε s1 + εc 2

(3.6)

ξ - koeficijent položaja neutralne osi.

Krak unutrašnjih sila (z) također se može lako izračunati: z = d − k a ⋅ x = d − k a ⋅ ξ ⋅ d = (1 − k a ⋅ ξ ) ⋅ d = ζ ⋅ d

(3.7)

gdje su: − z - krak unutrašnjih sila; − ζ - koeficijent kraka unutrašnjih sila; − ka - koeficijent položaja tlačne sile betona. 8 − εc 2 0 ‰ < εc 2 ≤ 2 ‰ 4(6 − εc 2 ) ε (3ε − 4 ) + 2 ka = c2 c2 2 ‰ < ε c 2 ≤ 3 .5 ‰ 2εc 2 (3εc 2 − 2) ka =

(3.8)

Unutrašnji reaktivni moment (računska nosivost presjeka) može se izraziti kao umnožak unutrašnje sile i kraka: Msd = Fc ⋅ z = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd ⋅ ζ ⋅ d

tj.

(3.9)

15


µ sd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ =

Msd b ⋅ d2 ⋅ fcd

(3.10)

gdje su: − b - širina pravokutnog presjeka; − d - statička visina presjeka; − fcd - računska čvrstoća betona; − µ sd - bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja. Potrebna površina armature dobit će se iz: Msd = A s1 ⋅ fyd ⋅ ζ ⋅ d ;

A s1 =

Msd ζ ⋅ d ⋅ fyd

(3.11)

Na isti način može se postaviti jednadžba preko sume horizontalnih sila:

∑N = 0

⇒

Fc = Fs1

0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ d ⋅ b ⋅ fcd = A s1 ⋅ fyd ω = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ =

(3.12)

fyd A s1 fyd ⋅ = ρ⋅ d ⋅ b fcd fcd

gdje su: − ω - mehanički koeficijent armiranja; − ρ - stvarni koeficijent armiranja; Kod praktičnog rješavanja pojedinih zadataka dimenzioniranja armirano betonskih presjeka, niz uvedenih koeficijenata se očitava iz tablica. Jedne takve tablice dane su u prilogu 1, a njihovo a njihovo praktično korištenje biti će prikazano na konkretnim primjerima koji se javljaju u praksi.

16


3.2.2 Slučaj 1 Postupak

Poznate su dimenzije betonskog presjeka, kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. Iz izraza (3.10). odredi se bezdimenzionalna vrijednost momenta savijanja:

µ sd =

Msd bd2 fcd

te se iz tablica (prilog 1) za odabranu deformaciju armature εs1 očitaju vrijednosti εc2, ξ i ζ. Potrebna površina armature dobiva se prema izrazu (3.11).

A s1 =

Msd ζ d fyd

Numerički primjer

h = 60 d = 55

x = 10.67

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

opterećenje c

A s1

Msd = 260.0 kNm

b = 40

geometrija b = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm µ sd =

Msd 260 ⋅ 100 = = 0.107 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0

iz tablica

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.4 ‰; ζ = 0.925; ξ = 0.194

x = ξ ⋅ d = 0.194 ⋅ 55 = 10.67 cm A s1 =

Msd 260 ⋅ 100 = = 11.75 cm2 ζ d fyd 0.925 ⋅ 55 ⋅ 43.48

⇒ odabrano 6∅16 (As=12.06 cm2)

17


3.5 0.8 1.6 5.1

A s1

3

1.6 0.8

1.6 4.56

1.6 4.56

1.6 4.56

1.6 4.56

4.56

1.6 0.8

3

40


Poznate su dimenzije betonskog presjeka b/d i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je As1, εs1, εc2 i moment nosivosti). Moment nosivosti presjeka je onaj moment za kojega su oba materijala (beton i čelik) u potpunosti iskorišteni. Dakle εc2 =3.5 ‰ a εs1=3-20 ‰. Izborom εs1=3 ‰ dobiva se veliki moment nosivosti i više armature, a izborom εs1=20 ‰ mali moment nosivosti i malo armature Za pretpostavljene deformacije iz tablica se očitaju koeficijenti µ sd i ζ. Izrazima (3.10) i (3.11) dobivamo tražene veličine. MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd

A s1 =

MRd,lim ζ d fyd

Numerički primjer

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal:

B 500B

fck = 30.0 MPa

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa A s1

d1 = 5

;

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd

b = 40

c

h = 60 d = 55

C 30/37

18


geometrija b = 40 cm h = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm

Pretpostavimo: εs1 = 20.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ ⇒

iz tablica

µsd,lim = 0.096; ζlim = 0.938; ξ lim = 0.149

MRd,lim = µ sd bd2 fcd = 0.096 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 232.32 kNm x = ξlim ⋅ d = 0.149 ⋅ 55 = 8.19 cm A s1 =

MRd,lim ζ lim d fyd

=

232.32 ⋅ 100 = 10.36 cm2 0.938 ⋅ 55 ⋅ 43.48

Pretpostavimo: εs1 = 3.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ ⇒

iz tablica

µsd,lim = 0.288; ζlim = 0.776; ξ lim = 0.538

MRd,lim = µ sd bd2 fcd = 0.288 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 696.96 kNm

x = ξlim ⋅ d = 0.538 ⋅ 55 = 29.59 cm A s1 =

MRd,lim ζ lim d fyd

=

696.96 ⋅ 100 = 37.56 cm2 0.776 ⋅ 55 ⋅ 43.48

U tablici su dani odnosi momenta nosivosti i uzdužne armature za još neke deformacije čelika: εc2

ξlim

ζlim

µRd,lim

x

MRd,lim

As1

3.5

0.538

0.776

0.288

29.59

696.96

37.56

5.0

3.5

0.412

0.829

0.235

22.65

568.23

28.67

10.0

3.5

0.259

0.892

0.159

14.26

385.16

18.05

15.0

3.5

0.189

0.921

0.120

10.41

290.24

13.17

20.0

3.5

0.149

0.938

0.096

8.19

232.32

10.36

εc2=3.5‰

d = 55

A s1

εs1 20 ‰

d1 = 5

h = 60

29.60 22.65 14.26

8.19

3.0

10.41

εs1

b = 40

15 ‰

10 ‰ 5 ‰ 3 ‰

19



Poznati su kvaliteta materijala i računsko opterećenje. Potrebno je odrediti dimenzije betonskog presjeka i potrebnu površinu armature. (Nepoznato nam je: b, h, As1, εs1, εc2). Unaprijed se odabere širina presjeka b, te se izračunavanjem izraza (3.10) po d odredi potrebna visina presjeka. µ sd,lim =

Msd bd2 fcd

;

dpot ≥

Msd µ sd,lim b fcd

te se za odabrano d, potrebna površina armature dobiva prema izrazu (3.11) A s1 =

Msd ζ d f yd

Numerički primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal: fck = 30.0 MPa

;

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd

B 500B

fyk = 500.0 MPa

;

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

A s1

c

h = 60 d = 55

C 30/37

b = 40

Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰ iz tablica dpot ≥

⇒

µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259

Msd µ sd,lim b fcd

b (cm)

d (cm)

120.0

10.0

97.1

100.0

20.0

68.7

80.0

30.0

56.1

40.0

48.6

50.0

43.4

60.0

39.7

70.0

36.7

h (cm)

60.0 40.0 20.0

b

0.0 0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

20


Za presjeke koji su opterećeni momentom savijanja povoljan odnos dimenzija je d/b = 1.5-2.0. bod = 35 cm hod = 60 cm d1 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm Msd 300 ⋅ 100 = = 0.142 2 bd fcd 35 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0

µ sd =

⇒

iz tablica

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.1 ‰; ζ = 0.904; ξ = 0.237

x = ξ ⋅ d = 0.237 ⋅ 55 = 13.04 cm A s1 =

Msd 300 ⋅ 100 = = 13.88 cm2 ζ d fyd 0.904 ⋅ 55 ⋅ 43.48

⇒ 7∅16 (As=14.07 cm2) Armatura nije dobro odabrana jer je mali razmak između šipki.

3.5 0.8 1.6 5.1

A s1

3.5

1.6 0.8

1.6 2.53

1.6 2.53

1.6 2.53

1.6 2.53

1.6 2.53

2.53

1.6 0.8

3.5

35

A s1 = 13.88 cm2

⇒ 6∅18 (As=15.27 cm2) Ova armatura je bolje odabrana.

3.5 0.8 1.8 5.2

A s1

3.5

1.8 0.8

1.8 3.12

1.8 3.12

1.8 3.12 35

1.8 3.12

3.12

1.8 0.8

3.5

21



Poznate su dimenzije betonskog presjeka (b/h), površina armature i kvaliteta materijala. Potrebno je odrediti moment nosivosti. (Nepoznato nam je: Msd). Uz pretpostavku deformacija armature εs1 = 20.0 ‰, nađe se mehanički koeficijent armiranja (izraz 3.12): ω=

A s1 fyd ⋅ d ⋅ b fcd

te nakon što se iz tablica (prilog 1) očitaju koeficijenti µ sd,lim ili ζ lim moment nosivosti se odredi prema jednom od sljedećih izraza MRd,lim = µ sd,lim b d2 fcd

ili

MRd,lim = A s1 ζ lim d fyd

Važno je napomenuti da se na ovaj način dobiva najmanji moment nosivosti. Odabirom manjih deformacija Numerički primjer

Potrebno je odrediti optimalni betonski presjek, za računski moment Msd=300 kNm.. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Potrebno je odrediti moment nosivosti i potrebnu površinu armature. materijal:

h = 60 d = 55

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

c

A s1

b = 40

Pretpostavimo: εs1 = 10.0 ‰ i εc2 = 3.5 ‰, i b=60 cm iz tablica dpot ≥

⇒

µsd,lim = 0.159; ζlim = 0.892; ξ lim = 0.259

Msd = µ sd,lim b fcd

300 ⋅ 100 = 39.65 cm 0.159 ⋅ 60 ⋅ 2.0

22


3.3

Dvostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja

d2

2

As2

x=ξ*d

Dvostruko armirani presjeci su oni presjeci koji posjeduju vlačnu i tlačnu armaturu (crtež 6). Dvostruko armirani presjeci upotrebljavaju se kada je računski moment Msd veći od momenta nosivosti MRd,lim kojeg presjek može preuzeti bez tlačne armature.

εs2

εc2

h d

d-x

Nsd

εs1

d1

As1

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

Neutralna os

Msd

0.85 fcd

Fs1

1

b Crtež 6 - Naprezanja i deformacije dvostruko armiranog pravokutnog AB presjeka

U dvostruko armiranom presjeku utjecaj tlačne armature na njegovu nosivost može se uzeti u obzir ako je ona povezana sponama na razmaku: sw ≤ 15∅ (∅ - promjer šipke tlačne armature) i ako je zadovoljen uvjet x ≥ 2d2 (x - udaljenost neutralne osi od tlačnog ruba presjeka , d2 -udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka). Time se tlačna armatura osigurava od izvijanja! Za betone razreda ≤C 35/45 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.45. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri: ε c2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.45

;

ε s1 = 4.278 ‰ ζ lim = 0.813

;

;

µ sd,lim = 0.252

(3.13)

Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:

(

MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd

)

(3.14)

Za betone razreda ≥C 40/50 prema normi HRN EN 1992-1-1 najveća dopuštena granična vrijednost koeficijenta položaja neutralne osi iznosi ξlim=0.35. S tim u vezi mogu se izračunati i ostali parametri: ε c2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.35

; ;

ε s1 = 6.5 ‰ ζ lim = 0.854

;

µ sd,lim = 0.206

(3.15)

Prema tome najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti je:

(

MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.206 ⋅ bd2 fcd

)

(3.16)

Limitirajući moment preuzimaju beton i vlačna armatura, dok razliku do stvarnog momenta preuzimaju dodatna vlačna i tlačna armatura. Prema tome potrebna armatura će se izračunati prema izrazima: A s1 =

MRd,lim M − MRd,lim + sd - ukupna vlačna armatura (d − d2 ) fyd ζ lim d fyd

(3.17)

Msd − MRd,lim - tlačna armatura (d − d2 )σs2

(3.18)

A s2 =

23


Gdje je σs2 tlačno naprezanje u armaturi. Pri deformaciji ε s2 ≤ ε v uzima se da je ε s2 = fyd a za ε s2 > ε v , sa se izračunava iz izraza: σs2 = Es ε s2

d2 d 1− ξ

ξ−

(3.19)

gdje je: −

ε s 2 - vlačna deformacija čelika promatrana kao apsolutna vrijednost,

−

Es - modul elastičnosti čelika ( Es = 200 GPa ),

−

εv - Granična deformacija pri kojoj dolazi do tečenja armature (= fyd E s ).

Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne i tlačne armature od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: c

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

A s1

opterećenje c

d = 55

d2 = 5

A s2

Msd = 760.0 MPa

b = 40

geometrija b = 40 cm h = 60 cm d1 = d2 = 5.0 cm d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm µ sd =

Msd 760 ⋅ 100 = = 0.314 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0

Vidljivo je da izračunati µ sd veći od maksimalnog kojeg možemo očitati iz tablica. Presjek je potrebno dvostruko armirati. Računamo moment nosivosti: ε c2 = 3.5 ‰ ξlim = 0.45

; ;

ε s1 = 4.278 ‰ ζ lim = 0.813

;

µ sd,lim = 0.252

MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.252 ⋅ bd2 fcd = 0.252 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 609.8 kNm

24


Vlačna armatura: A s1 =

MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 609.8) ⋅ 100 = 609.8 ⋅ 100 = + + sd (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 55 ⋅ 43.48 (55 − 5) ⋅ 43.48 ζ lim d fyd = 31.36 + 6.91 = 38.27 cm2

A s2

d2 = 5

x = 24.75

εc2 = 3.5 ‰

x = ξlim ⋅ d = 0.45 ⋅ 55 = 24.75 cm εc 2 ε x − d2 24.75 − 5.0 = s2 ⇒ ε s2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 2.79 ‰ x x − d2 x 24.75

ε s2 = 2.79 ‰

ε v (B 500 ) =

fyd Es

=

434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000

ε s2 > ε v ⇒ σs2 = fyd A s1

A s2 =


A s1 = 38.27 cm2

⇒ odabrano 3∅20 (As=9.42 cm2) 2 0.8 3.5 5.33

A s2 = 6.91 cm2

Msd − MRd,lim (760.0 − 609.8 ) ⋅ 100 = = 6.91 cm2 (d − d2 )fyd (55 − 5) ⋅ 43.48

A s2

Krivo su pretpostavljene veličine d1 i d2, pa ponavljamo proračun. b = 40 cm h = 60 cm d1 = 6.0 cm d2 = 5.5 cm d = h − d1 = 60 − 6 = 54 cm

3.5 0.8 3.2 5.9

A s1

3.2 3.5

0.8

3.2 3.85

3.2

3.2 3.85

3.85

3.2 3.85

0.8

3.5

40



MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 587.9) ⋅ 100 = 587.9 ⋅ 100 + sd = + (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 54 ⋅ 43.48 (54 − 5.5) ⋅ 43.48 ζ lim d fyd = 30.80 + 8.16 = 38.96 cm2

Tlačna armatura A s2 =

Msd − MRd,lim (760.0 − 587.9 ) ⋅ 100 = = 8.16 cm2 (d − d2 ) fyd (54 − 5.5) ⋅ 43.48

Vidljivo je da se armatura nije značajno promijenila. Vrijede odabrane šipke.

25



Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=6 cm, a udaljenost težišta tlačne armature od ruba presjeka d2=12 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=760 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. d 2 = 12

materijal:

d = 55

c

C 30/37 A s2

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

Msd

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

opterećenje c

A s1

Msd = 760.0 MPa

b = 40

geometrija b = 40 cm h = 60 cm d1 = 6.0 cm d2 = 12.0 cm d = h − d1 = 60 − 6 = 54 cm µ sd =

Msd 760 ⋅ 100 = = 0.314 2 bd fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0



MRd,lim M − MRd,lim (760.0 − 587.9) ⋅ 100 = 587.9 ⋅ 100 + sd = + (d − d2 ) fyd 0.813 ⋅ 54 ⋅ 43.48 (54 − 12) ⋅ 43.48 ζ lim d fyd = 30.80 + 9.42 = 40.22 cm2

A s2

d 2 = 12

x = 24.75

εc2 = 3.5 ‰

ε s2 = 1.80 ‰

x = ξlim ⋅ d = 0.45 ⋅ 55 = 24.75 cm

εc 2 ε x − d2 24.75 − 12.0 = s2 ⇒ ε s2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 1.80 ‰ x x − d2 x 24.75 ε v (B 500 ) =

fyd Es

=

434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000

ε s2 > ε v ⇒ σs2 = Es ⋅ ε s2 = 200000 ⋅ 0.0018 = 360.6 MPa A s1

A s2 =

Msd − MRd,lim (760.0 − 587.9 ) ⋅ 100 = = 11.36 cm2 (55 − 12) ⋅ 36.06 (d − d2 )σs2

26



A s2 = 11.36 cm2

⇒ odabrano 4∅20 (As=12.57 cm2) 2 0.8 3.5 5.33

A s1 = 40.22 cm2

A s2

3.5 0.8 3.2 5.9

A s1

3.2 3.5

0.8

3.2

3.2

3.2

3.85

3.85

3.85

3.2 3.85

0.8

3.5

40

Napomena: Ovim postupkom se praktički može odrediti armatura za bilo koji zadani moment Msd. No, potrebno je uvijek imati na umu da ukupni postotak armature u presjeku ne prijeđe maksimalnu dopuštenu vrijednost. ρl =

A sl A s1 + A s2 40.21 + 12.57 = = = 2 .2 % Ac 60 ⋅ 40 60 ⋅ 40

Maksimalna vrijednost količine armature za presjeke naprezanje savijanjem je (prema EC2) ρl,max=4%, što je više od dobivene vrijednosti, te zaključujemo da je presjek ispravno dimenzioniran. Međutim, ovaj postotak armature je praktično prevelik za dani presjek, te je potrebno povećati presjek i/ili smanjiti opterećenje.

3.4

Dimenzioniranje T i Γ presjeka

T presjecima nazivamo one presjeke čija tlačna zona ima oblik slova "T", crtež 7. beff A s2

εs2

x

hf

d2

2

Neutralna os

εc2

0.85 f cd

ε*c

Fs2 Fc

d1

A s1 1

εs1

z

d-x

h d

d-d2

Msd

Fs1

bw Crtež 7 – T - presjek

Dakle, osim oblika, da bi presjek bio T presjek mora biti ispunjen i uvjet da je x>hf . Ako je x
27


ploča rade zajednički, tj ako je u presjecima 1-1 i 2-2 osigurana čvrsta veza između rebra i ploče, sposobna primiti posmičnu silu. Općenito, u proračunu T presjeka primjenjuju se dva postupka u zavisnosti od odnosa beff/bw. Načelno, ako je beff>5bw primjenjuje se pojednostavljeni proračun, koji je za praksu dovoljno točan, a nalazi se na strani sigurnosti. Pri tome se pretpostavlja da ukupnu tlačnu silu prima samo ploča, i da ova sila djeluje u srednjoj ravnini ploče, tj. da je krak unutrašnjih sila z=(d-hf/2). Dakle, zanemaruje se tlačna sila koju prima dio rebra između neutralne osi i donje ivice ploče b eff 0.85 f

x

hf

εc2

Neutralna os

d-x

h d

Msd

εs1

d1

A s1 1

ε*c

cd

Fc

z = d - h f /2

εs2

d2

2

Fs1

bw Crtež 8 – "T" presjek s odnosom beff/bw>5

Koristeći uvjete ravnoteže, dobiva se izraz za potrebnu površinu presjeka vlačne armature. A s1 =

Msd (d − hf / 2) fyd

(3.20)

U praksi se najčešće pretpostave-usvoje dimenzije presjeka, a zatim se određuje armatura. Pri tom se, u pravilu, ne ide na potpuno iskorištavanje betona, jer bi to dalo neracionalne, previše armirane presjeke. Dakle granična nosivost ovakvih presjeka dostiže se po armaturi (10-20 ‰). S obzirom na veliku nosivost ploče, tlačna računska armatura je u pravilu nepotrebna i ekonomski neopravdana. Izuzetno kada aktivna širina ploče beff nije mnogo veća od širine rebra bw, a T presjek izložen savijanju s velikom tlačnom silom, može se javiti potreba i za tlačnom računskom armaturom. Ako je beff≤5bw, obično se ne zadovoljavamo prethodnim, pojednostavljenim postupkom proračuna T presjeka, posebno ako je nosač T presjeka većeg raspona i opterećenja. Tada primjenjujemo točniji postupak u kojem ne zanemarujemo doprinos tlačnog dijela rebra. Točniji postupak primjenjujemo i onda kada je beff>5bw ako je x >>hf. To će se dogoditi kod presjeka opterećenih na savijanje s velikom tlačnom silom. Tada se doprinos nosivosti presjeka velike tlačne zone rebra ne smije zanemariti. U praksi se dimenzioniranje T presjeka svodi na dimenzioniranje zamjenjujućeg presjeka širine bi. Širina bi određuje se iz uvjeta da se, pri jednakim položajima neutralne osi, dobiju jednake tlačne sile u zadanom i zamjenjujućem presjeku. Polazišna osnova nam je pravokutni presjek širine jednake širini ploče. Nakon izračunavanja koeficijenta µsd i očitavanja koeficijenta ξ, određujemo položaj neutralne osi (3.6), pri čemu se mogu pojaviti dvije mogućnosti: −

neutralna os prolazi kroz ploču ili njenim donjim rubom. Takav presjek proračunavamo kao pravokutni dimenzija beff/d, dakle za očitani ζ određujemo armaturu prema (3.11).

−

neutralna os siječe rebro.

28


εs2

hf

d2

2

x

A s2

ε*c

d-x

h d

Msd N sd

εs1

d1

A s1 1

0.85 f cd

d-d2

Neutralna os

εc2

Fs2 Fc

z

b eff bi

Fs1

bw Crtež 9 – Zamjenjujući "T" presjek

Širinu fiktivnog T presjeka bi možemo odrediti iz izraza: bi = λ b ⋅ beff

(3.21)

pri čemu se koeficijent λb može izračunati iz formule (3.22) ili dovoljno točno očitati iz tablica danih u prilogu 2, što u praksi predstavlja uobičajeni postupak.

λb = 1 −

αv α∗v

⎛ h ⎞⎛ b ⎜⎜1 − f ⎟⎟⎜⎜1 − eff bw ⎝ ξ d ⎠⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

(3.22)

pri čemu su: − α v - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ε c 2 ;

α∗v - koeficijent punoće radnog dijagrama betona za deformaciju ε∗c ;

−

Nakon pronalaženja aktivne širine bi zamjenjujućeg T presjeka provodi se dimenzioniranje kao za pravokutni presjek poznatih dimenzija bi/d. Dobivene nova vrijednost ξ uspoređuje se sa starom, pa nastane li razlika, postupak se ponavlja. Na ovaj način T presjek je zamijenjen s pravokutnim presjekom pa se mogu koristiti sva pomoćna sredstva za proračun pravokutnih presjeka (tablice, dijagrami i sl.) Numerički primjer 1

Zadan je betonski presjek dimenzija prema slici. Element je izrađen iz betona klase C 25/30 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=700 kNm. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. b eff = 150

d = 95

Msd

C 25/30

;

fck = 25.0 MPa

fcd = fck γ c = 25.0 1.5 = 16.7 MPa

B 500B

;

fyk = 500.0 MPa

A s1 b w = 40

c

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa d1 = 5

h = 100

h f = 15

materijal:

opterećenje Msd = 700.0 MPa

29


početni presjek: µ sd =

beff/d = 150/95:

Msd 700 ⋅ 100 = = 0.031 2 beff d fcd 150 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67

iz tablica

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 1.0 ‰; ζ = 0.968; ξ = 0.091

⇒

< hf = 15.0 cm − neutralna os siječe ploču!

x = ξ ⋅ d = 0.091 ⋅ 95 = 8.65 cm

Msd 700 ⋅ 100 = = 17.51 cm2 ζ d fyd 0.968 ⋅ 95 ⋅ 43.48

A s1 =



Zadan je isti betonski presjek kao u prethodnom primjeru, ali opterećen računskim opterećenjem Msd=3000 kNm. početni presjek: µ sd =

beff/d = 150/95:

Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.133 2 b eff d fcd 150 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67

iz tablica

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.9 ‰; ζ = 0.910; ξ = 0.225

x = ξ ⋅ d = 0.225 ⋅ 95 = 21.38 cm

− neutralna os siječe rebro!

> hf = 15.0 cm

⇒ Potrebno je odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka. Aktivnu širinu očitavamo iz Tablice u Prilogu 2, prethodno izračunavši parametre: b eff 150 = = 3.75 bw 40

hf 15 = = 0.16 d 95

,

ξ = 0.225

,

hf d 0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

b eff b 0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.5

2.0

2.5

3.0

0.550

0.525 0.550

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

3.5

4.0

4.5

5.0

λb

ξ=x d 0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.513

0.489

0.464

0.437

0.413

0.386

0.362

0.335

0.309

0.284

0.259

0.232

0.207

0.181

0.155

0.130

0.103

0.078

0.052

0.026

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.550

0.513

0.487

0.461

0.436

0.409

0.383

0.357

0.330

0.303

0.276

0.249

0.221

0.194

0.166

0.139

0.111

0.083

0.056

0.028

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.550

0.513

0.487

0.460

0.434

0.407

0.379

0.351

0.323

0.295

0.266

0.237

0.208

0.178

0.149

0.119

0.090

0.060

0.030

0.99

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.550

0.512

0.485

0.459

0.431

0.403

0.374

0.345

0.315

0.285

0.254

0.223

0.192

0.160

0.129

0.097

0.065

0.032

0.98

0.97

0.97

0.97

0.96

0.96

0.96

0.96

0.550

0.512

0.485

0.457

0.428

0.399

0.368

0.337

0.306

0.273

0.240

0.207

0.173

0.139

0.105

0.070

0.035

0.97

0.96

0.95

0.94

0.94

0.94

0.94

0.93

0.550

0.511

0.483

0.454

0.425

0.394

0.362

0.329

0.295

0.260

0.224

0.188

0.151

0.114

0.076

0.038

0.96

0.94

0.93

0.92

0.91

0.91

0.91

0.550

0.510

0.481

0.451

0.420

0.388

0.354

0.318

0.281

0.243

0.204

0.164

0.124

0.083

0.042

0.95

0.92

0.90

0.89

0.88

0.88

0.87

0.87

0.550

0.509

0.479

0.448

0.415

0.381

0.344

0.305

0.265

0.223

0.180

0.136

0.091

0.046

0.93

0.90

0.87

0.86

0.85

0.84

0.84

0.83

0.550

0.98

0.90

0.508

0.477

0.444

0.409

0.372

0.331

0.289

0.244

0.198

0.150

0.101

0.051

0.91

0.87

0.84

0.83

0.81

0.80

0.80

0.79

0.550

0.507

0.473

0.439

0.401

0.360

0.316

0.268

0.218

0.166

0.112

0.056

0.90

0.84

0.81

0.79

0.78

0.76

0.76

0.75

0.550

0.505

0.469

0.432

0.391

0.345

0.295

0.241

0.184

0.125

0.063

0.88

0.82

0.78

0.75

0.74

0.72

0.71

0.70

0.550

0.502

0.464

0.423

0.378

0.326

0.268

0.206

0.140

0.071

0.86

0.79

0.74

0.72

0.70

0.68

0.67

0.66

0.550

0.499

0.457

0.412

0.360

0.299

0.232

0.158

0.081

0.84

0.76

0.71

0.68

0.65

0.64

0.62

0.61

0.550

0.494

0.448

0.397

0.335

0.262

0.181

0.093

0.82

0.73

0.68

0.64

0.61

0.59

0.58

0.57

0.550

0.488

0.435

0.374

0.298

0.208

0.108

0.80

0.70

0.64

0.60

0.57

0.55

0.53

0.52

0.550

0.479

0.418

0.342

0.243

0.127

0.78

0.67

0.60

0.56

0.53

0.51

0.49

0.48

0.550

0.467

0.392

0.288

0.154

0.76

0.64

0.58

0.53

0.49

0.47

0.45

0.43

0.550

0.449

0.347

0.192

0.74

0.62

0.54

0.49

0.45

0.42

0.40

0.38

0.550

0.420

0.252

0.72

0.59

0.50

0.45

0.41

0.38

0.36

0.34

0.550

Te iz tablice očitamo λb: λ b = 0.91

Fiktivna širina je: bi = λ b ⋅ b eff = 0.91 ⋅ 150 = 136 .5 cm

0.351

0.71

0.56

0.47

0.41

0.37

0.34

0.31

0.29

0.550

0.69

0.53

0.43

0.37

0.33

0.29

0.27

0.25

30


⇒ Analiziramo novi presjek:

bi/d = 136.5/100

Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.146 2 bi d fcd 136.5 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67

µ sd =

iz tablica

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.2 ‰; ζ = 0.901; ξ = 0.242

⇒

⇒ Ponovno je potrebno odrediti aktivnu širinu fiktivnog T presjeka (ξ = 0.242): hf d 0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.550

0.513

0.489

0.464

0.437

0.413

0.386

0.362

0.335

0.550

0.513

0.487

0.461

0.436

0.409

0.383

0.550

0.513

0.487

0.460

0.434

0.550

0.512

0.485

0.459

0.550

0.512

0.485

0.550

0.275

b eff b 0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.275

0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.00

1.00

1.00

1.00

0.309

0.284

0.259

0.232

0.207

0.181

0.155

0.130

0.103

0.078

0.052

0.026

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.357

0.330

0.303

0.276

0.249

0.221

0.194

0.166

0.139

0.111

0.083

0.056

0.028

0.99

1.00

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.407

0.379

0.351

0.323

0.295

0.266

0.237

0.208

0.178

0.149

0.119

0.090

0.060

0.030

0.431

0.403

0.374

0.345

0.315

0.285

0.254

0.223

0.192

0.160

0.129

0.097

0.065

0.032

0.457

0.428

0.399

0.368

0.337

0.306

0.273

0.240

0.207

0.173

0.139

0.105

0.070

0.035

0.99

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.97

0.97

0.97

0.96

0.96

0.96

0.96

0.97

0.96

0.95

0.94

0.94

0.94

0.94

0.511

0.483

0.454

0.425

0.394

0.362

0.329

0.295

0.260

0.224

0.188

0.151

0.114

0.076

0.93

0.038

0.96

0.94

0.93

0.92

0.91

0.91

0.91

0.550

0.510

0.481

0.451

0.420

0.388

0.354

0.318

0.281

0.243

0.204

0.164

0.124

0.550

0.509

0.479

0.448

0.415

0.381

0.344

0.305

0.265

0.223

0.180

0.136

0.083

0.042

0.95

0.92

0.90

0.89

0.88

0.88

0.87

0.87

0.091

0.046

0.93

0.90

0.87

0.86

0.85

0.84

0.84

0.83

λb

ξ=x d

0.550

0.98

0.90

0.508

0.477

0.444

0.409

0.372

0.331

0.289

0.244

0.198

0.150

0.101

0.051

0.91

0.87

0.84

0.83

0.81

0.80

0.80

0.79

0.550

0.507

0.473

0.439

0.401

0.360

0.316

0.268

0.218

0.166

0.112

0.056

0.90

0.84

0.81

0.79

0.78

0.76

0.76

0.75

0.550

0.505

0.469

0.432

0.391

0.345

0.295

0.241

0.184

0.125

0.063

0.88

0.82

0.78

0.75

0.74

0.72

0.71

0.70

0.550

0.502

0.464

0.423

0.378

0.326

0.268

0.206

0.140

0.071

0.86

0.79

0.74

0.72

0.70

0.68

0.67

0.66

0.550

0.499

0.457

0.412

0.360

0.299

0.232

0.158

0.081

0.84

0.76

0.71

0.68

0.65

0.64

0.62

0.61

0.550

0.494

0.448

0.397

0.335

0.262

0.181

0.093

0.82

0.73

0.68

0.64

0.61

0.59

0.58

0.57

0.550

0.488

0.435

0.374

0.298

0.208

0.108

0.80

0.70

0.64

0.60

0.57

0.55

0.53

0.52

0.550

0.479

0.418

0.342

0.243

0.127

0.78

0.67

0.60

0.56

0.53

0.51

0.49

0.48

0.550

0.467

0.392

0.288

0.154

0.76

0.64

0.58

0.53

0.49

0.47

0.45

0.43

0.550

0.449

0.347

0.192

0.74

0.62

0.54

0.49

0.45

0.42

0.40

0.38

0.550

0.420

0.252

0.72

0.59

0.50

0.45

0.41

0.38

0.36

0.34

0.550

0.351

0.71

0.56

0.47

0.41

0.37

0.34

0.31

0.29

0.550

0.69

0.53

0.43

0.37

0.33

0.29

0.27

0.25

Te iz tablice očitamo λb: λb = 0.88

Fiktivna širina je: bi = λ b ⋅ b eff = 0.88 ⋅ 150 = 132 .0 cm

⇒ Analiziramo novi presjek: µ sd =

b/d = 132.0/100

Msd 3000 ⋅ 100 = = 0.151 2 bi d fcd 132 ⋅ 95 2 ⋅ 1.67

iz tablica

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.3 ‰; ζ = 0.898; ξ = 0.248

pošto je promjena ξ mala, zadovoljavamo se dobivenim rezultatom. A s1 =

Msd 3000 ⋅ 100 = = 80.87 cm2 ζ d fyd 0.898 ⋅ 95 ⋅ 43.48


Da smo prihvatili da je zadani presjek vitak (beff>5bw): A s1 =

Msd 3000 ⋅ 100 = = 78.85 cm2 (d − hf 2) fyd (95 − 15 2) ⋅ 43.48

Napomena uz primjer 2: Potrebna površina armature je korektno izračunata danim formulama, međutim postava ove armature u presjek bi bila prilično nezgodna. ρs =

A s1 80.87 = = 0 .5 % Ac 150 ⋅ 100

31


9.7

Težište armature

3.6 3.5

0.8

3.6 5.67

3.6

3.5 0.8 3.6

3.6

3.6

Moguća armatura bila bi 8∅36 (As1=81.43 cm2), pa skica armature jasno pokazuje da je potrebno ponoviti proračun s novom vrijednosti d1≈10.0 cm.

3.6

5.67

5.67

0.8

3.5

40

3.5

Kratki elementi opterećeni centričnom tlačnom silom

Pošto je beton materijal koji posjeduje veliku tlačnu čvrstoću, često nema potrebe za armiranjem kratkih elemenata opterećenih centričnom tlačnom silom. Kratkim elementima smatramo one elemente kod kojih nema pojave izvijanja. Potrebna armatura u presjeku, uz poznate dimenzije, proračunava se po izrazu: A s,req =

Nsd − A c ⋅ 0.85 ⋅ fcd fyd − 0.85 ⋅ fcd

(3.23)

Ako je vrijednost A s,req negativna, armatura nije potrebna i tada se postavlja minimalna armatura. Važno je napomenuti da bi presjeci opterećeni na centrični tlak u svakom slučaju trebali biti minimalno armirani. Pojava armature, posebno veće količine, u takvim presjecima ukazuje na iscrpljenost betona i nedostatne dimenzije presjeka.

3.6

Kratki elementi opterećeni centričnom vlačnom silom

Elementi naprezani na centrični vlak mogu se proračunavati na dva načina: 1. Ako monolitnost betona nije važna i u njemu mogu nastati pukotine, sve sile vlaka preuzima armatura A s,req =

Nsd fyd

(3.24)

2. Ako treba paziti na trajnu monolitnost betona, što znači da beton konstrukcije ne smije imati pukotina, tada: Nsd ≤ NRd =

pri čemu su: − Nsd =

− −

∑γ N i

i

A c ⋅ fct,m + A s ⋅ fs γ1

- računska vrijednost utjecaja (računska uzdužna sila);

NRd - računska nosivost; A c - ukupna površina betonskog presjeka;

(3.25)

32


−

fct,m - srednja vlačna čvrstoća betona (tablica u poglavlju 2.4);

− −

fs - stvarna čvrstoća čelika; γ1 - koeficijent sigurnosti od pojave pukotina: 1.2-1.5 i ovisi o važnosti konstrukcije;;

Stvarno naprezanje u armaturi nalazi se iz uvjeta da su relativne deformacije betona εc i čelika εs u trenutku nastanka pukotina jednake (uvjet monolitnosti): εs = εc =

fct,m Ecm

;

fs = Es ⋅ ε s

Prema pokusima opasnost od pojave pukotina u betonu nastaje kada relativna deformacija betona dosegne vrijednost εc = 0.1‰. Iz izraza (3.25) može se odrediti potrebna količina armature za zadani betonski presjek odnosno potrebna površina betonskog presjeka za zadani koeficijent armiranja. Ovdje je također važno napomenuti da je generalno potrebno izbjegavati armiranog betonske elemente opterećene na centrični vlak. Takve elemente je znatno ekonomičnije izvesti iz čelika ili nekog drugog materijala (npr. karbonska vlakna i sl.).

3.7

Dimenzioniranje pravokutnog presjeka na moment savijanja i uzdužnu silu

3.7.1 Uzdužna vlačna sila – postupak Wuczkowskog Kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna vlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom vlaku ili savijanju s uzdužnom vlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 10.

As2

εs2

x=ξ*d

d2

2

εc2

d-x

h d Nsd

εs1

d1

As1

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

Neutralna os

Msd

0.85 fcd

Fs1

1

b Crtež 10 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

As2 Msds

d-x

d-h/2

h d

Neutralna os

d1

As1 Nsd

εs2

εc2

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

d2

2

x=ξ*d

Dimenzioniranju presjeka pristupa se tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 11.

εs1

1

b Crtež 11 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature

Fs1

33


Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će: h⎞ ⎛ Msds = Msd − Nsd ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝

(3.26)

Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je: MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd

(3.27)

Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima: A s1 =

MRd,lim M − MRd,lim Nsd + sd + (d − d2 ) fyd fyd ζ lim d fyd A s2 =

Msd − MRd,lim (d − d2 )σs2

- ukupna vlačna armatura

- tlačna armatura

(3.28)

(3.29)

gdje je −

σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju: A s1 =

Msd N + sd fyd ζ d fyd A s2 = 0


(3.30)

- tlačna armatura

(3.31)

3.7.2 Uzdužna tlačna sila – postupak Wuczkowskog

As2

εs2

Neutralna os

d-x

h d

Msd Nsd

d1

As1

εs1

εc2

0.85 fcd

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

d2

2

x=ξ*d

U slučaju kada na pravokutni presjek osim momenta savijanja Msd djeluje i uzdužna tlačna sila Nsd govorimo o ekscentričnom tlaku ili savijanju s uzdužnom tlačnom silom. Primjer takvog slučaja prikazan je na crtežu 12.

Fs1

1

b Crtež 12 – Pravokutni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

Dimenzioniranju presjeka također se pristupa tako da se sila prebaci u težište vlačne armature, crtež 13.

34


Msds

d-x

d-h/2

h d

Neutralna os

d1

0.85 fcd

εs1

As1 Nsd

εc2

Fs2 Fc

d-d2 z=ζ*d

As2

εs2

x=ξ*d

d2

2

Fs1

1

b Crtež 13 – Prebacivanje sile u težište vlačne armature

Računski moment savijanja s obzirom na vlačnu armaturu bit će: h⎞ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝

(3.32)

Moment nosivosti (najveći moment savijanja koji jednostruko armirani presjek može preuzeti) je: MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd

(3.33)

Pa se potrebna armatura može dobiti po slijedećim izrazima: A s1 =

MRd,lim M − MRd,lim Nsd + sd − (d − d2 ) fyd fyd ζ lim d fyd A s2 =

Msd − MRd,lim (d − d2 )σs2


- tlačna armatura

(3.34)

(3.35)

gdje je −

σs2 tlačno naprezanje u armaturi (izraz 3.19)

Kada je računski moment Msd nije veći od momenta nosivosti MRd,lim, prethodni izrazi za potrebnu količinu armature se reduciraju: A s1 =

Msd N − sd ζ d fyd fyd A s2 = 0

- ukupna vlačna armatura - tlačna armatura

(3.36) (3.37)

35



h = 60 d = 55

Msd

x = 11.33

x = 10.67

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

B 500B

Nsd

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

opterećenje c

A s1

Msd = 260.0 kNm Nsd = −120.0 kN (tlačna sila)

b = 40

geometrija d1 = 5.0 cm

b = 40 cm h = 60 cm

d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm

Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⎜ d − ⎟ = 260.0 + 120.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 290.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 ) MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm > Msds µ sd =

iz tablica

Msds 290 ⋅ 100 = 0.120 = bd2 fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.6 ‰; ζ = 0.919; ξ = 0.206

x = ξ ⋅ d = 0.206 ⋅ 55 = 11.33 cm A s1 =

Msd N 290 ⋅ 100 120.0 − sd = − = 13.20 − 2.76 = 10.44 cm2 ζ d fyd fyd 0.919 ⋅ 55 ⋅ 43.48 43.48

A s 2 = 0 .0 A s1 = 10.44 cm2


Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. Položaj neutralne osi: x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2

36



h = 60 d = 55

Msd

x = 11.33

x = 9.57

Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=120 kN (vlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

B 500B

Nsd

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

opterećenje c

A s1

Msd = 260.0 kNm Nsd = 120.0 kN

b = 40

(vlačna sila)


b = 40 cm h = 60 cm

d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm

Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd − Nsd ⎜ d − ⎟ = 260.0 − 120.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 230.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 ) MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm > Msds µ sd =

iz tablica

Msds 230 ⋅ 100 = 0.095 = bd2 fcd 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934; ξ = 0.174

x = ξ ⋅ d = 0.174 ⋅ 55 = 9.57 cm A s1 =

Msd N 230 ⋅ 100 120.0 − sd = + = 10.30 + 2.76 = 13.06 cm2 ζ d fyd fyd 0.934 ⋅ 55 ⋅ 43.48 43.48

A s 2 = 0 .0 A s1 = 13.06 cm2


Kao usporedba mogu se navesti rezultati za čisto savijanje (djelovanje samog momenta) iz točke 3.2.2. i rezultati iz prethodnog primjera: Položaj neutralne osi: x exc,vl = 9.57 cm < x sav = 10.67 cm < x exc,tl = 11.33 cm Potrebna armatura: A s1,exc,vl = 13.06 cm2 > A s1,sav = 11.75 cm2 > A s1,exc,tl = 10.44 cm2

37



Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta vlačne armature od ruba presjeka d1=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=360 kNm i Nsd=-240 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: A s2

C 30/37

;

fck = 30.0 MPa

h = 60 d = 55

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa Msd

B 500B

Nsd

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

d1 = 5

opterećenje c

A s1


b = 40


b = 40 cm h = 60 cm

d = h − d1 = 60 − 5 = 55 cm

Moment s obzirom na težište vlačne armature h⎞ 0.60 ⎞ ⎛ ⎛ Msds = Msd + Nsd ⎜ d − ⎟ = 360.0 + 240.0 ⋅ ⎜ 0.55 − ⎟ = 420.0 kNm 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

Moment nosivosti za εs1 = 10.0 ‰ ( µ sd,lim = 0.159 ) MRd,lim = µ sd,lim bd2 fcd = 0.159 ⋅ bd2 fcd = 0.159 ⋅ 40 ⋅ 55 2 ⋅ 2.0 = 384.8 kNm < Msds

presjek je dvostruko armiran iz tablica A s1 =

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 3.5 ‰; ζ = 0.892; ξ = 0.259

MRd,lim M − MRd,lim Nsd (420.0 − 384.8) ⋅ 100 − 240.0 384.8 ⋅ 100 + sds − = + (d − d2 ) fyd fyd 0.892 ⋅ 55 ⋅ 43.48 (55 − 5)⋅ 43.48 ζ lim d fyd 43.48

εc2 = 3.5 ‰ d2 = 5

A s2

x = 14.25

A s1 = 18.04 + 1.62 − 5.52 = 14.14 cm2

ε s2 = 2.27 ‰


x = ξlim ⋅ d = 0.259 ⋅ 55 = 14.25 cm εc 2 ε x − d2 14.25 − 5.0 = s2 ⇒ ε s2 = εc 2 = ⋅ 3.5 = 2.27 ‰ x x − d2 x 14.25 ε v (B 500 ) =

fyd Es

=

434.8 ⋅ 1000 (‰) = 2.17 ‰ 200000

ε s2 > ε v ⇒ σ s2 = fyd A s1

A s2 =

Msds − MRd,lim (420.0 − 384.8 ) ⋅ 100 = = 1.62 cm2 (d − d2 ) fyd (55 − 5)⋅ 43.48


38


3.7.3 Uzdužna tlačna/vlačna sila – dimenzioniranje pomoću dijagrama interakcije Pravokutni presjeci pri djelovanju momenta savijanja i uzdužne tlačne ili vlačne sile mogu se također proračunati pomoću dijagrama interakcije. Dijagrami su napravljeni za različite vrste armature i za različite omjere d1/h (d2/h) i za različite omjere As2/As1. Dijagrami za armaturu B500, simetričnu armaturu (As2=As1) i tri odnosa d1/h (d2/h) prikazani su u prilozima 4, 5 i 6. Postupak je vrlo jednostavan. Za proračunate bezdimenzionalne vrijednosti: µ sd = ν sd

Msd b ⋅ h2 ⋅ fcd

(3.38)

Nsd = b ⋅ h ⋅ fcd

u dijagramima interakcije se očita mehanički koeficijent armiranja ω, te se proračuna potrebna armatura prema izrazima A s1 = ω ⋅ A c ⋅

fcd f = ω ⋅ b ⋅ h ⋅ cd fyd fyd

(3.39)

A s2 = A s1


Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=260 kNm i Nsd=-120 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: d2 = 5 h = 60 d = 55

C 30/37

A s2

fck = 30.0 MPa

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

Msd

B 500B Nsd

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

opterećenje c

A s1 d1 = 5

;

Nsd = −120.0 kN (tlačna sila)

b = 40

geometrija b = 40 cm h = 60 cm

Msd = 260.0 kNm

d1 = d2 = 5.0 cm α = d1 h = 5 60 = 0.083

Koristimo dijagram: α=0.075 (prilog 5) ν sd =

Nsd 120 = = 0.025 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0

µ sd =

Msd 260 ⋅ 100 = = 0.090 2 bh fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0

39

Dimenzioniranje armirano betonskih presjeka 30 25 0. 20 0. 15 0. 10 05 0.

Nsd b h fcd

As1

M µsd = 2sd b h fcd A s1 = A s2 = ω b h

Msd fcd fyd

d h

νsd =

d2

β = d1 h = d2 h = 0.075

ν

0.

ω=

B 500 α = A s2 A s1 = 1.0

Nsd

d1

As1

b

35 0. 0 3 25 20

1. 0 00 0 .95 0. .90 85 0 0 .8 0 .75 0 0. .70 0. 65 6 0 0 .5 0 0 .5 5 0. .45 0 40

0.

Očitano

0.

0.

15 10 0. 5 0 0.

ω=

0.

ω = 0.090 µ

Armatura 2 .0 = 9.94 cm2 43.48 = A s1 = 9.94 cm2

A s1 = 0.09 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s2

Vidljivo je da je armatura izračunata na ovakav način znatno veća nego armatura izračunata postupkom Wuczkowskog, iako je sama vlačna armatura (As1) nešto manja: A sl,tot,dij = A s1 + A s2 = 9.94 + 9.94 = 19.88 cm2 A sl,tot, Wuc = A s1 + A s2 = 10.44 + 0.0 = 10.44 cm2

U slučaju da je moment alternirajući (mijenja smjer), vidljivo je da bi ukupna armatura tada bila manja.

40



Zadan je betonski presjek dimenzija b/h=40/60 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1=d2=5 cm. Element je izrađen iz betona klase C 30/37 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Element je opterećen računskim opterećenjem Msd=860 kNm i Nsd=-420 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: d2 = 5 h = 60 d = 55

C 30/37

A s2

fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa

Msd

B 500B Nsd

;

fyk = 500.0 MPa

f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

opterećenje c

A s1 d1 = 5

fck = 30.0 MPa

;


b = 40

geometrija d1 = d2 = 5.0 cm

b = 40 cm h = 60 cm

α = d1 h = 5 60 = 0.083

Koristimo dijagram: α=0.075 ν sd =

Nsd 420 = = 0.088 bh fcd 40 ⋅ 60 ⋅ 2.0

µ sd =

Msd 860 ⋅ 100 = = 0.300 2 bh fcd 40 ⋅ 60 2 ⋅ 2.0

B 500 α = A s2 A s1 = 1.0

0 0 0. .50 0. 45 40

β = d1 h = d2 h = 0.075

A s1 = A s2 = ω b h

d2

Msd b h2 fcd

35 0. 0 3 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 05 0.

µsd =

As1 Msd fcd fyd

Nsd

0.

Nsd b h fcd

ω=

νsd =

d h

ν

d1

As1

b

0.

Očitano

15 10 0. 5 0 0.

ω=

35 0. 30 0. 25 0. 20 0.

1. 0 00 0 .9 5 0 .90 0. .85 0 8 0 .75 0 0 .70 0 .65 0 . .6 0 5 0 0 .5 5 0. .45 0 40

ω = 0.31 µ

Armatura 2 .0 = 34.22 cm2 43.48 = A s1 = 34.22 cm2

A s1 = 0.31 ⋅ 40 ⋅ 60 ⋅ A s2

41


3.8

Dimenzioniranje okruglog presjeka naprezanih momentom savijanja i uzdužnom silom

Određivanje potrebne armature za elemente okruglog presjeka najlakše je sprovesti pomoću dijagrama interakcije. Na sličan način kao za pravokutne presjeke izrađeni su dijagrami za dimenzioniranje kružnih presjeka. Dijagrami, izrađeni za armaturu B500 simetrično raspoređenu po opsegu, te za odnose ϕ = rs r = 0.85 i ϕ = rs r = 0.90 , priloženi su u prilozima 7 i 8.

d=2r

εc2

Msd Nsd

Neutralna os

rs r

As

d1

εs,max

Crtež 14 – Kružni presjek opterećen momentom savijanja i tlačnom silom

Dijagram se koristi na sličan način kao i dijagram za pravokutne presjeke. Dakle, za proračunati odnos: ϕ = rs r , proračunaju se bezdimenzionalne vrijednosti: µ sd =

Msd r ⋅ A c ⋅ fcd

ν sd =

;

Nsd A c ⋅ fcd

(3.40)

te se iz dijagrama interakcije očita mehanički koeficijent armiranja ω i proračuna ukupna potrebna armatura prema izrazu: As = ω ⋅ Ac ⋅

fcd fyd

(3.41)

Proračunatu armaturu je potrebno jednoliko raspodijeliti po opsegu. Numerički primjer

Okrugli betonski stup dimenzija d=50 cm (udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =4 cm), izrađen je iz betona klase C 40/50 (klasa okoliša XC2), simetrično armiran s B 500B. Stup je opterećen računskim opterećenjem Msd=160 kNm i Nsd=-320 kN (tlačna sila). Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa As Msd fcd = fck γ c = 40.0 1.5 = 26.7 MPa B 500B ; fyk = 500.0 MPa f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

Nsd

opterećenje Msd = 160.0 kNm 4

42 50

4

Nsd = −320.0 kN (tlačna sila)

42


geometrija r = 25 cm rs = r − d1 = 21 cm

d1 = 4.0 cm ϕ = rs r = 21 25 = 0.84

Koristimo dijagram: ϕ = 0.85 (prilog 7) A c = r 2 π = 25 2 ⋅ π = 1963.5 cm2

ν

ν sd =

Nsd − 320 = = 0.061 A c fcd 1963.5 ⋅ 2.67

µ sd =

Msd 160 ⋅ 100 = = 0.122 A c r fcd 1963.5 ⋅ 25 ⋅ 2.67

B 500 ϕ = rs r = 0.85

1.0 0.9 0 0.9 5 0.8 0 0.8 5 0.7 0 0.7 5 0.6 0 0.6 5 0.5 0 0.5 5 0 .4 0 0.4 5 0.3 0 0.3 5 0.2 0 0 .2 5 0.1 0 ω= 0.105 0.0 5

νsd =

Nsd A c fcd

µsd =

Msd A c r fcd

ω=

Ac = r 2 π A s1 = A s2 = ω A c

5 0.0 .10 0 .15 0

fcd fyd

Očitano ω = 0.010

Armatura µ

As = ω ⋅ Ac ⋅

fcd = fyd

= 0.100 ⋅ 1963.5 ⋅

2.67 = 12.1 cm2 43.48

Odabrana simetrična armatura: 12∅12 As=13.57 cm2 ρ=

Msd

rs

Nsd

As 13.57 = = 0 .7 % A c 1963.5

r As

A s =12Ø12

4

42 50

4

43


3.9

Dimenzioniranje presjeka na Poprečnu silu

3.9.1 Općenito Poprečne sile se proračunavaju prema poboljšanoj Mörsch-Ritterovoj analogiji rešetke. Po toj metodi pretpostavlja se da jedan dio poprečne sile prihvaća beton i uzdužna armatura nakon razvoja dijagonalnih pukotina u betonu, a ostatak poprečne sile se prihvaća vertikalnim sponama (stremenovima) i/ili kosom armaturom (Standardna metoda). Po drugoj metodi – Metodi slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova, koja se kao alternativa predlaže s EC2, nosivost betona se ne uzima u obzir, već se uzima blaži kut nagiba tlačnih dijagonala od 45°, čime se postižu uštede na poprečnoj armaturi, ali se povećava uzdužna armatura, izravno ili preko pomaka dijagrama vlačnih sila prilikom raspodijele armature. F F

z d h

Vwd

sw

sw

sw

VRd1

l

Vwd

Crtež 15 – Model Mörsch-Ritterove rešetke

3.9.2 Postupak Uvjet nosivosti na poprečne sile: Vsd ≤ VRd

(3.42)

gdje je: −

Vsd – računska poprečna sila

−

VRd – računska nosivost na poprečne sile

Računska armatura za prihvaćanje poprečnih sila (tj. glavnih kosih vlačnih naprezanja) neće biti potrebna ako je zadovoljen uvjet:

[

]

Vsd ≤ VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σcp ⋅ b w ⋅ d

(3.43)

gdje je: −

τRd – računska čvrstoća na djelovanje glavnih kosih naprezanja

−

k = 1.6 − d ≤ 1 - korekcijski faktor (d u metrima)

−

ρl – koeficijent armiranja uzdužnom armaturom (As/Ac) < 0.02 (2.0%)

−

bw – najmanja širina presjeka u vlačnoj zoni

−

d – statička visina presjeka

−

σcp = Nsd/Ac – središnje naprezanje (+ za tlak, - za vlak)

−

Nsd – računska uzdužna sila u presjeku

−

Ac – površina betonskog presjeka

Za presjek u kojem je zadovoljen izraz 3.43, računska poprečna armatura nije potrebna, ali je uvijek potrebno postaviti minimalnu (konstruktivnu) poprečnu armaturu.

44


Ako na presjek istovremeno s poprečnim silama djeluje i moment torzije, tada se uzima VRd1 = 0.0 , i cjelokupnu poprečnu silu preuzima armatura. Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: Vsd ≤ VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ≈ 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ 0.9 ⋅ d

(3.44)

pri čemu je: −

ν = 0 .7 −

fck ≥ 0.5 – redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200

Tablica Karakteristika betona: Karakteristika betona fck Čvrstoća na (MPa) valjku fc,cub Čvrstoća na (MPa) kocki Posmična τRd čvrstoća (MPa)

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

12

16

20

25

30

35

40

45

50

15

20

25

30

37

45

50

55

60

0.18

0.22

0.26

0.30

0.34

0.37

0.41

0.44

0.48

Ako u elementu djeluje uzdužna tlačna sila, potrebno je reducirati nosivost tlačnih štapova: σ ⎛ VRd2,red = 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ ⎜⎜ 1 − cp,eff fcd ⎝

⎞ ⎟⎟ ≤ VRd2 ⎠

(3.45)

pri čemu je: −

⎛ A ⎞ σcp,eff = ⎜⎜ Nsd − fyk s2 ⎟⎟ A c - tlačno naprezanje u betonu γs ⎠ ⎝

Ako nije zadovoljen uvjet Vsd ≤ VRd1 potrebno je proračunati računsku armaturu za prijem poprečnih sila. Konstrukcijska poprecna armatura

0

Proracun poprecne armature

Nedopušteno podrucje

VRd1 Vsd Vwd

VRd2

Vsd

Crtež 16 – Područja poprečnih sila

3.9.3 Standardna metoda Standardna metoda proračuna presjeka na djelovanje poprečnih sila pretpostavlja nagib tlačnih štapova u betonu od 45°. Poprečna armatura (stremenovi, vilice, spone) se proračunava iz uvjeta: Vsd ≤ VRd3 = VRd1 + Vwd Vwd =

gdje je: −

Asw – površina jedne grane spone

−

m – reznost spona

A sw ⋅ fyw,d ⋅ m ⋅ z sw

(3.46)

45


−

z – krak unutrašnjih sila (z ≈ 0.9 d)

−

sw – razmak spona

−

fyw,d – računska granica popuštanja poprečne armature

Nosivost kose armature može se izračunati po izrazu: Vwd =

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z s

⋅ (1 + ctg α ) ⋅ sin α

(3.47)

gdje je: −

s – razmak kose armature mjeren uzduž osi elementa

−

α – kut nagiba kosih šipki prema osi nosača (crtež 17)

Θ s

α s

s

Crtež 17 – Kutovi kod proračuna poprečnih sila

3.9.4 Metoda slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova Ovaj postupak dopušta veću slobodu rasporeda armature od normalnog postupka, što dovodi do racionalnijeg razmještaja poprečne armature, ali može dovesti do povećanja uzdužne vlačne armature. Ovaj se postupak preporuča kad je element istodobno napregnut poprečnim silama i torzijom. Nagib tlačnih štapova prema uzdužnoj osi (Θ) bira se u granicama:

21.8o ≤ Θ ≤ 68.2o ⇒ 0.4 ≤ tg Θ ≤ 2.5 - Kada se glavna uzdužna armatura vodi do ležaja 26.6o ≤ Θ ≤ 63.4o ⇒ 0.5 ≤ tg Θ ≤ 2.0 - Kada se glavna uzdužna armatura postupno prekida u polju Kod elemenata s vertikalnom poprečnom armaturom (sponama), nosivost na poprečne sile dobiva se iz izraza: VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ VRd3 = Vwd =

z ctg Θ + tg Θ

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw sw =

A sw

⎛ A sw ⋅ m ⋅ fyw,d 1 ⎞ ≤ ⋅ ν ⋅ fcd ⎟⎟ ⋅ ctg Θ ; uz uvjet : ⎜⎜ 2 ⎝ bw ⋅ sw ⎠ ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m ⋅ ctg Θ VSd

(3.48)

46


Proracun poprecne armature


0

Vsd

VRd2

Vwd

Vsd

Kod elemenata s kosom poprečnom armaturom, nosivost na poprečne sile: VRd2 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ⋅ VRd3 = Vwd =

ctg Θ + ctg α 1 + ctg2 Θ

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z

⋅ (ctg Θ + ctg α ) ⋅ sin α

s

(3.49)

⎛ A sw ⋅ fyw,d 1 ν ⋅ fcd ⋅ sin α ⎞ ⎟ ≤ ⋅ uz uvjet : ⎜⎜ 2 1 − cos α ⎟⎠ ⎝ bw ⋅ sw Da bi se ustanovila najmanja količina poprečne armature za mala i srednja posmična naprezanja, gornje granice za ctg Θ, bit će u običnom slučaju mjerodavne za dimenzioniranje. Za veća posmična naprezanja najveću vrijednost za ctg Θ (što odgovara najmanjoj količini poprečne armature) može se naći izjednačavanjem vrijednosti proračunskih poprečnih sila VSd i VRd2. Nakon raspucavanja nosača, sila u donjem pojasu bit će: Fs =

MSd 1 + ⋅ VSd ⋅ (ctg Θ − ctg α ) z 2

(3.50)

te je za drugi član potrebno povećati uzdužnu armaturu u polju.

3.9.5 Minimalna (konstruktivna) armatura Ukupna poprečna armatura (spone) ne smije biti manja od minimalne: A sw,min =

ρmin ⋅ s w ⋅ b w m

(3.51)

Tablica 4.1 - Minimalni postoci armiranja Klasa betona ρmin

C12/15

C16/20

C20/25

0.0007

C25/30

C30/37 0.0011

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

0.0013

Tablica 4.2 - Maksimalni razmaci spona Maksimalni razmak spona u smjeru Maksimalni razmak vertikalnih krakova glavne vlačne armature sw,max spona u poprečnom smjeru sp,max

Broj

Računska poprečna sila Vsd

1

Vsd ≤ 0.2 VRd2

0.8 d; 30 cm

1.0 d; 80 cm

2

0.2 VRd2 ≤ Vsd ≤ 0.67 VRd2

0.6 d; 30 cm

0.6 d; 30 cm

3

Vsd > 0.67 VRd2

0.3 d; 20 cm

0.3 d; 20 cm

gdje je: −

d – statička visina presjeka

47

h

d


s w,max

s w,max

s w,max

s w,max

s p,max

s p,max

s p,max

d1

s w,max

b

Numerički primjer

Potrebno je dimenzionirati ab gredu, l=8.0 m, dimenzija 30×80 cm, udaljenost težišta armatura od ruba presjeka d1 =7 cm. Greda je izrađena iz betona klase C 30/37 i armirana s B 500B. Greda je opterećena opterećenjem prema skici. Potrebno je odrediti potrebnu površinu armature. G, Q

73 80

g, q

1.0

7.0

A s1 7

8.0

30

beton:

armatura:

C 30/37 fck = 30.0 MPa fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa τRd = 0.34 MPa

B 500B fyk = 500.0 MPa fyd = fyk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

Opterećenje: g = 8.0 kN m' ; G = 40.0 kN q = 11.0 kN m' ; Q = 67.0 kN s = γ g ⋅ g + γ q ⋅ q = 1.35 ⋅ 8.0 + 1.5 ⋅ 11.0 = 27.3 kN m' S = γ g ⋅ G + γ q ⋅ Q = 1.35 ⋅ 40.0 + 1.5 ⋅ 67.0 = 154.5 kN

48


G, Q

g, q

a

b d

73 80

c 1.0

7.0 8.0

244.4 Vsd (kN)

7

A s1

R a =244.4 kN

R b =128.5 kN

30

217.1 62.6

128.5

3.3 M sd (kNm)

230.8 302.4

Nosač je prvo potrebno dimenzionirati na moment savijanja. µ sd =

Msd 302.40 ⋅ 100 = = 0.095 2 b d fcd 30 ⋅ 73 2 ⋅ 2.0

iz tablica A s1 =

⇒

εs1 = 10.0 ‰; εc2 = 2.1 ‰; ζ = 0.934

Msd 30240 = = 10.20 cm2 ζ d fyd 0.934 ⋅ 73 ⋅ 43.48

Odabrana armatura prikazana je na skici:

73

2Ø14 (As2=3.08 cm2)

2Ø14 (As =3.08 cm2)

7

5Ø16 (As1=10.05 cm2)

30

Za proračun nosača na poprečne sile koristi se standardna metoda proračuna.

∑ A = 10.5 + 2 ⋅ 3.08 = 16.21 cm ∑ A = 16.21 = 0.00675 ρ = s

s

l

Ac

30 ⋅ 80

2

49


Dio poprečne sile koju preuzima beton i uzdužna armatura:

[

]

VRd1 = τRd ⋅ k ⋅ (1.2 + 40 ⋅ ρl ) + 0.15 ⋅ σ cp ⋅ b w ⋅ d k = 1.6 − d = 1.6 − 0.73 = 0.87 < 1.0

⇒

k = 1 .0

σ cp = Nsd A c = 0.0

VRd1 = [0.034 ⋅ 1.0 ⋅ (1.2 + 40 ⋅ 0.00675 ) + 0.15 ⋅ 0.0] ⋅ 30 ⋅ 73 VRd1 = 109.5 kN Dio poprečne sile koju mogu preuzeti tlačne dijagonale: VRd2 = 0.5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z fck 30 = 0 .7 − = 0.55 > 0.5 ⇒ 200 200 = 0.5 ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 1084.1 kN ν = 0 .7 −

VRd2

Vsd,max = Vsd,a = 244.4 kN

G, Q

g, q

a 1.0

c

d

7.0

Vsd,max VRd2 = 244.4 1084 .1 ≈ 0.23 ⇒ Vsd = 0.23 VRd2

s w,max = min {0.6 ⋅ d; 30.0 cm} =

min {0.6 ⋅ 73 = 43.8; 30.0} ⇒

8.0

Vsd (kN)

217.1

Maksimalni razmak spona:

62.6

sw ≤ 3.3 M sd (kNm)

230.8 302.4

m ⋅ A sw 2 ⋅ A sw = ρmin ⋅ b w 0.0011 ⋅ 30

Profil

Površina (Asw) (cm2)

Razmak (sw) (cm)

∅6

0.28

17.0

∅7

0.38

23.0

∅8

0.50

30.3

∅10

0.79

47.9

Odabrane spone ∅7/20, B 500B fyw,d =

fyk γs

; B 500B ⇒

500 = 434.8 MPa = 43.48 kN cm2 1.15 m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z = VRd1 + Vwd = VRd1 + sw fyw,d =

VRd

s w,max = 30.0 cm

ρmin = 0.0011

R a =244.4 kN 244.4

ν = 0.55

2 ⋅ 0.38 ⋅ 43.48 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 109.5 + 108.6 = 218.1 kN 20 > VRd

109.5 + Vsd,a

Odabrane spone zadovoljavaju na cijelom nosaču osim kod ležaja a.

50


244.4

s w,pot ≤

VRd =218.1 kN 217.1

m ⋅ A sw ⋅ fyw,d ⋅ z Vsd − VRd1

=

2 ⋅ 0.38 ⋅ 43.48 ⋅ (0.9 ⋅ 73 ) = 16.09 cm 244.4 − 109.5

Odabrane spone ∅7/15, B 500B

62.6

73

80

Prikaz armature nosača:

7

A s1

1.0 Ø7/15

30

7.0 Ø7/20 8.0

3.10 Dimenzioniranje presjeka na Moment torzije 3.10.1 Općenito Kod betonskih konstrukcija, s obzirom na značenje, a potom i daljnje tretiranje, razlikujemo kompatibilnu (sekundarnu) i ravnotežnu (primarnu) torziju. Kompatibilna torzija je ona koja nastaje kod monolitnih spojeva elemenata, nije nužno bitna za ravnotežu, pa se za granično stanje nosivosti može zanemariti. Naime, konstrukcija u graničnom stanju doživljava velike deformacije i pukotine što znano smanjuje torzijsku krutost, te kompatibilna torzija iščezava. Može se reći da konstrukcija koja je ispravno dimenzionirana na momente savijanja, poprečne sile i ostale utjecaje je sigurna i na djelovanje kompatibilne torzija. Nasuprot tome primarna torzija nastaje kao posljedica zadovoljavanja uvjeta ravnoteže. Zanemarivanjem primarne torzije dolazi do sloma konstrukcije, te stoga ona ne smije biti zanemarena. Dva karakteristična primjera za primarnu i sekundarnu torziju prikazani su na crtežu 18.

Primarna torzija

Sekundarna torzija

Crtež 18 – Primjer primarne (ravnotežne) i sekundarne (kompatibilne) torzije

51


3.10.2 Postupak Proračun elemenata naprezanih torzijom provodi se uporabom modela oblika prostorne rešetke. Puni presjeci zamjenjuju se šupljim presjecima debljine t. Nagib tlačnih štapova slobodno se odabire u granicama navedenim pri proračunu na poprečne sile. Kontura u Kontura uk t /2

t Ak

c

Crtež 19 – Presjek opterećen momentom torzije

Uvjet nosivosti na moment torzije: Tsd ≤ TRd

(3.52)

gdje je: −

Tsd – računski moment torzije

−

TRd – računska nosivost na torziju

Nosivost tlačnih štapova biti će zadovoljena ako je: Tsd ≤ TRd1 =

2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctg Θ + tg Θ

(3.53)

gdje je: −

f ⎞ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ ≥ 0.35 – - redukcijski faktor (fck u N/mm2) 200 ⎠ ⎝

−

t=A/u – debljina stjenke zamjenjujućeg šupljeg presjeka

−

Ak – površina unutar srednje konture šupljeg presjeka

−

u – opseg vanjske konture

−

A – ukupna površina presjeka Proracun poprecne armature

0


Tsd TRd2 TRd3

TRd1

TSd

Crtež 20 – Područja momenata torzije

52


Površina poprečne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta: TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅

ctg Θ sw

(3.54)

Površina uzdužne armature za prihvaćanje momenta torzije određuje se iz uvjeta: TSd ≤ TRd3 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅

tg Θ uk

(3.55)

gdje je: −

Asw – presjek spone koja obuhvaća presjek na razmaku sw

−

Asl – površina svih uzdužnih šipki

−

fyw,d, fyl,d – računske granice popuštanja poprečne i uzdužne armature

Uzdužne šipke treba raspodijeliti po opsegu. U svakom kutu treba postaviti jednu šipku, a ostale jednoliko raspodijeliti po opsegu, s tim da razmak između njih ne bude veći od 35.0 cm. Kada su poznate armature Asw i Asl, te kut Θ i nosivost TRd2, moraju biti zadovoljene i sljedeće jednadžbe: tg2 Θ =

fyw,d A sw ⋅ s w A sl ⋅ fyl,d uk

TRd2 = 2 ⋅ A k ⋅

(3.56)

A A sw ⋅ fyw,d ⋅ sl ⋅ fyl,d uk sw

3.10.3 Zajedničko djelovanje Momenta torzije i Poprečne sile Pri istodobnom djelovanju poprečne sile i momenta torzije valja zadovoljiti uvjet: 2

2

⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ≤ 1 ; uz : VRd2 = 0.5 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ z ⎝ TRd1 ⎠ ⎝ VRd2 ⎠

(3.57)

Poprečna armatura se posebno određuje za svako djelovanje te superponira. Pri simultanom djelovanju momenta savijanja i momenta torzije valja posebno za svako naprezanje izračunati uzdužnu armaturu, samo što se one u vlačnoj zoni od savijanja zbrajaju, a u tlačnoj redovito nije potrebno dodavati onu zbog naprezanja torzijom, jer je ona često manja od konstruktivne. Kad istodobno djeluju moment torzije i veliki moment savijanja (sandučasti presjeci), može biti kritično glavno naprezanje u tlačnoj zoni od savijanja, pa valja zadovoljiti uvjet:

2

σ ⎛σ ⎞ 2 σ 2 = Sd − ⎜ Sd ⎟ + τSd ≤ 0.85 ⋅ fcd 2 ⎝ 2 ⎠

(3.58)

gdje je: −

σ Sd =

MSd – Računsko normalno tlačno naprezanje koje se uvrštava s predznakom + z ⋅b⋅ t

−

τSd =

TSd – Računsko posmično naprezanje uzrokovano torzijom 2 ⋅ Ak ⋅ t

53


Spone za prihvaćanje torzije moraju biti zatvorene i preklopljene po kraćoj stranici. Uvjeti za minimalnu armaturu i maksimalne razmake spona su isti kao i kod proračuna na poprečne sile. Numerički primjer 1

2Ø14 (A s2=3.08 cm2 )

68

73

80

5

Isti presjek kao kod proračuna na poprečne sile, opterećen momentom torzije Tsd=20.0 kNm

2Ø14 (A s =3.08 cm2 )

beton: C 30/37 fck = 30.0 MPa fcd = fck γ c = 30.0 1.5 = 20.0 MPa τRd = 0.34 MPa armatura:

7

7

5Ø16 (As1=10.05 cm2 ) 4

22 30

4

B 500B fyk = 500.0 MPa fyd = fyk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa

Nosivost tlačnih štapova: TRd1 =

2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t ctg Θ + tg Θ f ⎞ 30 ⎞ ⎛ ⎛ ν′ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ck ⎟ = 0.7 ⋅ ⎜ 0.7 − ⎟ = 0.385 200 200 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A = b ⋅ h = 30 ⋅ 80 = 2400 cm 2 u = 2 ⋅ (b + h) = 2 ⋅ (30 + 80 ) = 220 cm A 2400 = 10.91 cm t= = 220 u A k = (b − t ) ⋅ (h − t ) = (30 − 10.91) ⋅ (80 − 10.91) = 1319 cm 2

Θ = 45 o 2 ⋅ ν′ ⋅ fcd ⋅ A k ⋅ t 2 ⋅ 0.385 ⋅ 2.0 ⋅ 1319 ⋅ 10.91 TRd1 = = = ctg Θ + tg Θ ctg 45 o + tg 45 o TRd1 = 11080 .5 kNcm = 110.8 kNcm

54


Odabrane spone ∅10 (Asw=0.79 cm2): TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ s w,pot ≤

ctg Θ sw

2 ⋅ A sw ⋅ A k ⋅ fyw,d ⋅ ctg Θ TSd =

2 ⋅ 0.79 ⋅ 1319 ⋅ 20.87 ⋅ 1 = 21.74 cm 2000

Odabrana poprečna armatura: ∅10/20.

Uzdužna armatura: TSd ≤ TRd2 = 2 ⋅ A sl ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅

tg Θ uk

uk = 2 ⋅ ((b − t ) + (h − t )) = 2 ⋅ ((30 − 10.91) + (80 − 10.91)) = 176.36 cm A sl =

TSd ⋅ uk 2000 ⋅ 176.36 = = 3.08 cm2 2 ⋅ A k ⋅ fyl,d ⋅ tg Θ 2 ⋅ 1319 ⋅ 43.48 ⋅ 1

Odabrana uzdužna armatura: 8∅10 (Asl=6.28 cm2). Numerički primjer 2

Pretpostavimo da na gredu zadanu kod numeričkog primjera za poprečne sile, djeluje i moment torzije. Koristimo metodu slobodnog odabira nagiba tlačnih štapova. Odaberimo Θ=45°. VRd1 = 0.0 fck 30 = 0 .7 − = 0.55 > 0.50 200 200 z 0.9 ⋅ 73 = ν ⋅ fcd ⋅ b w ⋅ = 0.55 ⋅ 2.0 ⋅ 30 ⋅ = 1084.1 kN ctg Θ + tg Θ 1+ 1

ν = 0 .7 − VRd2

Ukupnu poprečnu silu, u ovom slučaju potrebno je preuzeti armaturom. Odabrani profil spona: ∅10. Presjek uz ležaj a: VRd3 = Vwd = sw =

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw

⋅ ctg Θ

2 ⋅ 0.79 ⋅ 43.48 ⋅ 0.9 ⋅ 73 ⋅ 1 = 18.47 cm 244.4

Odabrane spone uz ležaj a: ∅10/18. Kontroliramo zadani uvjet: 0.79 ⋅ 2 ⋅ 43.48 1 ≤ ⋅ 0.55 ⋅ 2.0 30 ⋅ 18 2 0.191 ≤ 0.55

Ostali presjeci duž nosača: Vwd =

A sw ⋅ fyw,d ⋅ z ⋅ m sw

⋅ ctg Θ =

2 ⋅ 0.79 ⋅ 43.48 ⋅ 0.9 ⋅ 73 ⋅ 1.0 = 180.5 kN sw

Odabrane spone na ostalom dijelu nosača: ∅10/25

55


Presjek (element) smo dosad dimenzionirali odvojeno na moment savijanja, poprečnu silu i torziju. U slučaju da sva tri djelovanja su istovremena armaturu je potrebno sumirati. Uzdužna armatura:

Msd

Tsd

2Ø14

2Ø10

2Ø10

2Ø10

2Ø10

2Ø14

"+"

5Ø16

Ukupno

"=" 2Ø10

2Ø10

2Ø10

6Ø16

−

U gornjoj zoni i sredini presjeka armatura od savijanja je konstruktivna, a armatura od torzije je računska. Usvaja se armatura od torzije.

−

U donjoj zoni obje armature (i od savijanja i od torzije su računske. Potrebno ih je zbrojiti. 5∅16 (As=10.05 cm2);

2∅10 (As=1.57 cm2)

6∅16 (As=12.06 cm2) > 5∅16+2∅10 Poprečna armatura: Spone na prvih 1 m grede: Vsd

s wt ≤

s w , V ⋅ s w ,T = s w , V + s w ,T =

1.0 Ø10/18

Spone na ostalom dijelu grede:

7.0 Ø10/25

"+"

Tsd

s wt ≤

s w , V ⋅ s w ,T = s w , V + s w ,T =

8.0 Ø10/20

"="

1.0 Ø10/9.5

Ukupno

7.0 Ø10/11.1

18 ⋅ 20 = 9.5 cm 18 + 20

25 ⋅ 20 = 11.1 cm 25 + 20


Kontrola zajedničkog djelovanja poprečne sile i momenta torzije 2

2

⎛ TSd ⎞ ⎛ VSd ⎞ ⎟ ≤1 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ′ 2 ⎟⎠ ⎝ TRd1 ⎠ ⎝ VRd TSd = 20.0 kNm ; TRd1 = 110.8 kNm VSd = 244.4 kN ; VRd2 = 1084.1 kN ′ 2 = 0.7 ⋅ VRd2 = 758.8 kN VRd 2

2

⎛ 20.0 ⎞ ⎛ 244.4 ⎞ ⎟ = 0.129 ≤ 1 ⎟ +⎜ ⎜ ⎝ 110.8 ⎠ ⎝ 758.8 ⎠

56


3.10.4 Proračun ploča na proboj 3.10.5 Koso savijanje 3.10.6 Vitki elementi naprezani ekscentričnom tlačnom silom

57

58


4

DIMENZIONIRANJE PRESJEKA PREMA GRANIČNIM STANJIMA UPORABE

4.1

Općenito

Ako graničnim stanjima nosivosti osiguravamo da konstrukcija i njeni elementi u graničnom stanju imaju dovoljnu nosivost, graničnim stanjima uporabe osiguravamo da ta konstrukcija bude i upotrebljiva, pri čemu uzimamo u obzir uvjete okoliša i vrstu i karakter opterećenja. Primjerice, ako konstrukcija ima preveliki progib i/ili značajne pukotine, bez obzira na što sigurnost konstrukcije nije ugrožena, korištenje takve konstrukcije neće biti ugodno, te je bitno smanjena njena vrijednost. U nastavku će biti obrađena tri granična stanja uporabe koja obrađuje i EC-2, to su:

4.2

−

Granično stanje naprezanja

−

Granično stanje pukotina

−

Granično stanje progiba

Granično stanje naprezanja

Prekomjerno naprezanje betona i/ili čelika pod opterećenjem u eksploataciji utječe preko raspucavanja i plastičnog deformiranja na trajnost i uporabljivost armiranobetonskih i prednapetih konstrukcija. Da bi se izbjegle negativne posljedice, prema EC-2 ograničavaju se naprezanja, i to: U Betonu: −

Pod rijetkom kombinacijom opterećenja σ c ≤ 0.6 fck

−

(4.1)

Pod kvazistalnom kombinacijom opterećenja σ c ≤ 0.45 fck

(4.2)

U Čeliku: −

Pod rijetkom kombinacijom opterećenja

σs ≤ 0.8 fyk −

Pod naprezanjem izazvanim samo indirektnim djelovanjem (prinudne deformacije)

σs ≤ 1.0 fyk −

(4.3)

(4.4)

U čeliku za prednaprezanje nakon svih gubitaka pod rijetkom kombinacijom djelovanja

σp ≤ 0.75 fpk

(4.5)

Ograničenjem naprezanja sprječava se slabljenje tlačne zone otvaranjem poprečnih mikropukotina nastalih poprečnim vlačnim naprezanjima (sile cijepanja) i plastifikacija betona. Izrazima (5.3) i (5.5) želi se spriječiti prekomjerno istezanje čelika, a time i široke pukotine. Za određivanje naprezanja koristi se linearna raspodjela naprezanja u betonu i čeliku (linearna teorija), te konstantan odnos modula elastičnosti (Es/Ec=15). Kada uvjeti ograničenja naprezanja nisu ispunjeni, potrebno je pojačati presjek i/ili armaturu, ili poduzeti druge mjere.

59


4.3

Granično stanje pukotina

4.3.1 Općenito Raspucavanje armiranobetonskih konstrukcija ograničava se kako bi se spriječile šetne posljedice za trajnost građevine. Pukotine nastaju kada vlačna naprezanja izazvana savijanjem, torzijom, poprečnim silama i uzdužnom vlačnom silom, pojedinačno ili zajednički, prijeđu vlačnu čvrstoću betona. Kada nema posebnih zahtjeva na raspucavanje (npr. vodonepropusnost) armiranobetonskih sustava, može se uzeti za normalne klase onečišćenja, za armirano betonske konstrukcije wg=0.3 mm, a za prednapete konstrukcije wg=0.2 mm. Za proračun graničnih stanja pukotina primjenjuju se kvazistalna i/ili česta kombinacija opterećenja.

4.3.2 Minimalna armatura Armiranobetonske i prednapete elemente valja uvijek armirati u području vlačnih naprezanja barem minimalnom armaturom za ograničenje širina pukotina, osobito ako se očekuje indirektno djelovanje izazvano spriječenošću slobodnog skupljanja ili prinudnim deformacijama (popuštanje ležaja). Kako raspodjela vlačnih naprezanja po visini presjeka utječe na raspucavanje elementa, valja razlikovati: −

Promjenjivu raspodjelu izazvanu momentom savijanja (postoji vlačna i tlačna zona),

−

Jednoliku raspodjelu izazvanu vlačnom silom ( cijeli presjek naprezan na vlak).

Minimalna armatura može se izračunati po izrazu: A s,min = k c ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅

A ct σs

(4.6)

gdje je: −

kc – koeficijent kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja po visini presjeka pri pojavi prve pukotine (kc=1.0 za centrični vlak; kc=0.4 za savijanje)

−

k – korekcijski koeficijent (k=0.8 kod spriječenih deformacija; k=1.0 za prinudne deformacije)

−

fct,eff – vlačna čvrstoća betona pri pojavi prve pukotine

−

Act – vlačna površina neposredno prije pojave pukotine

−

σs – naprezanje u armaturi neposredno nakon pojave pukotine

Granično stanje pukotina nije potrebno kontrolirati kod ploča, ako debljina ploče ne prelazi 200 mm, te kada je ploča armirana u skladu s preporukama u vezi površine i rasporeda armature potrebnom za nosivost. Za elemente armirane minimalnom armaturom, dobivenom po prethodno prikazanom izrazu, granično stanje pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipaka i razmaci šipki budu manji od graničnih. Naprezanja u čeliku (σs) odgovara onom pri određivanju minimalne armature, a proračunava se za kvazistalnu kombinaciju opterećenja.

60


4.3.3 Dokazni postupak bez kontrole širine pukotina Armirano betonske i prednapete ploče naprezane savijanjem nije potrebno kontrolirati na granično stanje širina pukotina ako ukupna debljina ploče ne prelazi 20 cm, te kada je korektno proračunata i armirana prema graničnim stanjima nosivosti. Za elemente armirane minimalnom armaturom, izračunatom prema izrazu (4.6) granično stanje širina pukotina biti će zadovoljeno ako promjeri šipki i razmaci među njima odgovaraju onima danim u tablicama priloženim u nastavku. Osnovni odnos raspona i efektivna debljina presjeka (l/h), sortirani su u tablici: Jače napregnut beton

Slabije napregnut beton

1. Prosta greda; Samostojeće ploče koje nose u jednom ili dva smjera (ploče koje se nastavljaju)

18

25

2. Krajnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u dva smjera a nastavlja se preko jedne stranice

23

32

3. Unutarnji raspon kontinuiranog nosača ili ploče koja nosi u 1 smjeru ili 2 smjera i koja se nastavlja

25

35

4. Ploče oslonjene na stupove bez greda (bazirano na duljem rasponu)

21

30

5. Konzole

7

10

Konstrukcijski sustav

Maksimalni promjeri šipki i njihovi maksimalni razmaci za različite nivoe naprezanja u čeliku, sortirani su u tablici: Naprezanje u armaturi (MPa)

Maksimalni promjer šipke φ (mm)

160 200 240 280 320 360

32 25 20 16 12 10

Maksimalni razmak šipki (mm) Savijanje

Vlak

300 250 200 150 100 50

200 150 125 75 -

Visoke grede (grede visine 60 cm i više), kod kojih je glavna armatura skoncentrirana u donjem dijelu vlačne zone valja armirati po visini hrpta kako bi se ograničile širine pukotina i po visini grede. Površinu ove armature se može izračunati po izrazu (4.6), s tim da se uzme k=0.5, a σs=fyk. Promjeri i razmaci šipki se odabiru prema priloženim tablicama. Ovu armaturu je potrebno dobro povezati sponama.

4.3.4 Proračun širine pukotina Kada nisu zadovoljeni uvjeti iz tablica ili kada se želi točniji dokaz graničnog stanja pukotina, proračunava se računska (karakteristična) vrijednost širine pukotina i uspoređuje s graničnom vrijednošću.

wk ≤ w g

(4.7)

Računska širina pukotine, prema EC-2, može se prognozirati pomoću izraza: w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm

gdje je: −

β – odnos računske i srednje širine pukotina (β=1.7 za vanjsko opterećenje; β=1.3 za neizravno opterećenje)

−

σrm – srednji razmak pukotina

−

εsm – srednja deformacija armature

(4.8)

61


Srednja deformacija armature određuje se po izrazu: ε sm =

⎛σ σs σ ⎡ ⋅ ζ = s ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr Es Es ⎢ ⎝ σs ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(4.9)

gdje je: −

ζ – koeficijent raspodjele

−

σs – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pukotine σs =

−

Msd Msd ≈ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎜d − ⎟ ⋅ As 3 ⎝ ⎠

(4.10)

σsr – naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine σ sr =

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fctm ⋅

b ⋅ h2 6

(4.11)

−

β1 – koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta armature (β1=1.0 - rebrasta armatura, β1=0.5 - glatka armatura)

−

β2 – koeficijent kojim se uzima u obzir trajanje opterećenja (β2=1.0 – kratkotrajno opterećenje, β2=0.5 – dugotrajno opterećenje ili promjenjivo s čestim udjelom)

Srednji razmak pukotina određuje se po izrazu: srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅

φ ρr

[mm]

gdje je: −

φ – promjer šipke u mm

−

ρr – djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom

−

k1 – koeficijent kojim se uzima u obzir prionjivost čelika i betona (k1=0.8 - rebrasta armatura, k1=1.6 - glatka armatura

−

k2 – koeficijent kojim se uzima u obzir utjecaj raspodjele deformacija (k2=0.5 – savijanje, k2=1.0 – vlak)

−

Ac,eff – sudjelujuća vlačna zona presjeka Grede Ploce h d

h d

Ac,eff

d1

Težište armature

c

d1

2.5 d1

Ac,eff Manja vrijednost od

2.5 (c+φ/2) ili (h-x)/3

b

Crtež 21 – Primjeri za određivanje sudjelujuće vlačne zone presjeka

(4.12)

62


Numerički primjer

d2 =4

Potrebno je odrediti granično stanje pukotina za gredu prikazanu na crtežu. Beton C40/50. materijal: C 40/50 ; fck = 40.0 MPa fcd = fck γ c = 40.0 1.5 = 26.7 MPa A =3Ø12 x

s2

h=44 cm d=40 cm

B 500B ; fyk = 500.0 MPa f yd = f yk γ s = 500.0 1.15 = 434.8 MPa opterećenje: Msd = 43.90 kNm

M sd=43.90 kNm

geometrija: b = 30.0 cm h = 44.0 cm ;

d1 =4

A s1 =3Ø16

b=30 cm

d1 = 4 cm

d = h − d1 = 40.0 cm

Prognozna širina pukotine: w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm

β=1.7 - odnos računske i srednje širine pukotina Proračun srednje deformacije armature: ε sm

⎛σ σ σ ⎡ = s ⋅ ζ = s ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr Es Es ⎢ ⎝ σs ⎣

x=

n ⋅ A S1 ⎛⎜ 2 ⋅ b ⋅ d ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ ⋅ − 1+ 1+ = ⋅ − 1+ 1+ = 8.50 cm ⎜ ⎟ ⎜ b n ⋅ A S1 ⎠ 30 5.71 ⋅ 6.03 ⎟⎠ ⎝ ⎝

σs =

σsr =

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Msd Msd 4390 kN ≈ = = 19.59 = 195.9 MPa x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm 2 ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fct,m ⋅

fct,m = 0.3 ⋅ (fck )

23

b ⋅ h2 6

;

= 0.3 ⋅ (40.0 )

23

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

;

fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 44 2 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 Mcr Mcr 3388 3388 kN = = 15.12 = 151.2 MPa = σsr = ≈ x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ As ⎛ 0.9 ⋅ 40 ⋅ 6.03 ⎛ cm2 ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Mcr = 0.35 ⋅

E s = 200 .0 GPa = 200000000 .0 kPa - modul elastičnosti armature

β1 = 1.0 - Rebrasta armatura β2 = 0.5 - Dugotrajno opterećenje

ε sm

σ = s Es

⎡ ⎛σ ⋅ ⎢1 − β1 ⋅ β2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎢ ⎝ σs ⎣

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

2 ⎤ ⎡ 195.9 ⎛ 151.2 ⎞ ⎤ −3 ⎥= ⋅ ⎢1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = 0.688 ⋅ 10 ⎥ 200000 .0 ⎢⎣ ⎝ 195.9 ⎠ ⎥⎦ ⎦

63


Proračun srednjeg razmaka pukotina: srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅

φ ρr

[mm]

φ = 16 mm - Promjer najdeblje šipke k1 = 0.8 - Rebrasta armatura

k 2 = 0.5 - Savijanje

=2.5*d1 =10 cm

As 6.03 = = 0.0201 - Djelotvorni koeficijent armiranja glavnom vlačnom armaturom A c,eff 30 ⋅ 10

d1 4

ρr =

b=30 srm = 50 + 0.25 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅

φ 16 = 50 + 0.25 ⋅ 0.8 ⋅ 0.5 ⋅ = 129.6 mm ρr 0.0201

Prognozna širina pukotine:

w k = β ⋅ srm ⋅ ε sm = 1.7 ⋅ 0.688 ⋅ 10 −3 ⋅ 129.6 = 0.151 mm < w g = 0.3 mm

64


4.4

Granično stanje progiba

4.4.1 Općenito Deformiranje elemenata i konstrukcija dozvoljava se u određenim granicama i pod uvjetom da ne izazove oštećenja u samom sustavu i drugim nosivim elementima. Pod pojmom deformiranje (izobličenje) podrazumijeva se deformacija, progib, zakrivljenost, pomak, uvrtanje i promjena nagiba. Najčešća analiza je analiza progiba. Preporučene vrijednosti maksimalnih vertikalnih progiba prikazane su u tablici: δmax

δ2

krovovi

L/200

L/300

pristupačni krovovi za drugu namjenu osim održavanja

L/250

L/300

stropovi

L/250

L/300

stropovi/krovovi sa žbukom ili drugim krhkim završnim slojevima ili nesavitljivim pregradama

L/250

L/250

stropovi koje podupiru stupovi (osim ako je progib uzet u obzir u sklopu proračuna za granično stanje nosivosti)

L/400

L/500

kada δmax može narušiti izgled zgrade

L/250

−

Konstrukcija

δ0= nadvišenje δ1= progib od kratkotrajnog opterećenja δ2= progib od vremenskih efekata δmax= maksimalni (ukupni) progib

Kontrolu progiba nije potrebno provoditi uvijek. EC2 propisuje da kontrolu graničnog stanja uporabe nije potrebno provoditi kada vitkost elementa na savijanje (leff/d) ne prelazi vrijednosti naznačene u tablici. Vrijednosti naznačene u tablici valja umanjiti: −

Za grede T presjeka kojima je beff/bw>3 s faktorom: 0.8;

−

Za sve elemente, osim ravnih ploča, raspona preko 7 m, koji nose pregradno ziđe, s faktorom: 7/leff.

−

Za ravne ploče, raspona preko 8.5 m, s faktorom: 8.5/leff.

Također, kada je stvarno naprezanje u čeliku manje od 250.0 MN/m2, vrijednosti u tablici treba korigirati s nepovoljnijim od dva faktora: f3 =

250 σs

;

f3 =

400 A fyk ⋅ s,req A s,prov

(4.13)

gdje je As,prov postojeća, a As,req potrebna površina armature. Upotreba ove tablice je na strani sigurnosti. Kod većih vitkosti i kada se ne može zadovoljiti uvjet za primjenu tablice potrebno je provesti dokaz graničnog stanja deformiranja.

65


4.4.2 Dokaz graničnog stanja progibanja Potrebno je dokazati da je progib izazvan opterećenjem manji od graničnog: νk ≤ ν g

(4.14)

Za elemente pretežno naprezane na savijanje vrijedi sljedeći izraz:

ν = ζ ⋅ νII + (1 − ζ ) ⋅ νI

(4.15)

gdje je: −

ν – ukupni progib

−

ζ – koeficijent raspodjele (već primjenjivan kod proračuna pukotina); za neraspucali element z=0.0 2 ⎡ ⎛ σ sr ⎞ ⎤ ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ ζ = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ σ ⎢ s ⎠ ⎦ ⎝ ⎣

−

νI, νII – odgovarajuće vrijednosti progiba za neraspucali (homogeni) i potpuno raspucali element

66


Za elemente konstantne visine koristi se pojednostavljena metoda prema kojoj se izračuna zakrivljenost na mjestu maksimalnog momenta, a progib se tada izračuna prema izrazu: ν tot = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

(4.16)

gdje je: −

k – koeficijent ovisan o statičkom sustavu i opterećenju (vidi tablicu)

−

L – raspon elementa

−

rtot – ukupna zakrivljenost elementa, prema izrazu 1 rtot

=

1 1 + rm rcsm

−

rm – zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja

−

rcsm – zakrivljenost zbog skupljanja

Tablica koeficijenata k za pojednostavljeni proračun progiba:

(4.17)

67


Srednja zakrivljenost zbog opterećenja i puzanja sastoji se od zakrivljenosti u stanju naprezanja I i stanju naprezanja II: 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ rm rI rII

(4.18)

Zakrivljenost za stanje naprezanja I proračunava se prema izrazu:

MSd 1 = rI E c,eff ⋅ II

(4.19)

gdje je: −

II – moment tromosti presjeka u stanju I (neraspucalo stanje)

Približne vrijednosti vlačne čvrstoće betona i modula elastičnosti mogu se odrediti izrazima: E cm = 9500 ⋅ 3 fck + 8

;

fck [MPa]

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

;

fck [MPa]

23

[MPa] [MPa]

(4.20)

Puzanje betona može se uzeti u obzir preko korigiranog modula elastičnosti, nakon očitanja trajnog koeficijenta puzanja ( ϕt 0 ,t ∞ ) iz pravilnika: Ec,eff =

Ecm 1.0 + ϕ t 0 , t ∞

(4.21)

Zakrivljenost za stanje naprezanja II:

ε s1 MSd 1 = = rII d − yIIg Ec,eff ⋅ III

(4.22)

gdje je: −

yIIg – udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba poprečnog presjeka za stanje II

−

εs1 – relativna deformacija armature, koja se izračunava po izrazu: ε s1 =

σs Es

σs =

;

Msd z ⋅ A s1

(4.23)

Moment nastanka prve pukotine određuje se prema izrazu: Mcr = fct,m ⋅

b ⋅ h2 6

;

fct,m ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

(4.24)

Te, ako je Mcr>Msd, tada se koeficijent raspodjele z uzima jednak 0, bez obzira na proračunatu vrijednost, jer je nosač u elastičnom stanju. Zakrivljenost zbog skupljanja za stanje naprezanja I i II iznose:

1 rcsl,I

=

ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SI II

;

1 rcsl,II

=

ε cs∞ ⋅ α e ⋅ SII III

gdje je: −

SI, SII – statički moment površine armature za stanje naprezanja I, tj. II,

−

II, III – momenti tromosti poprečnog presjeka za stanje naprezanja I, tj. II,

−

εcs∞ – relativna deformacija zbog skupljanja u beskonačnosti (iz tablica)

−

αe – omjer modula elastičnosti čelika i betona, prema:

(4.25)

68


αe =

Es (za t = 0) ; α e = Es (za t = ∞ ) Ecm Ec,eff

(4.26)

Numerički primjer

Potrebno je izračunati granično stanje progiba za nosač prikazan na crtežu. Granični progib: L 460 ν lim = = = 1.84 cm 250 250 MB= 57.5 kNm Beton: C 40/50; fck=40.0 MPa Ecm = 9500 ⋅ 3 fck + 8 = 9500 ⋅ 3 40 + 8 ≈ 35000 MPa

MA= 0 kNm

fct,m = 0.3 ⋅ (fck )

23

= 0.3 ⋅ (40.0 )

23

= 3.5 MPa

Čelik: B500B; Es=200.0 GPa E 200.0 α eI = s = = 5.71 E cm 35.0

MF= 43.9 kNm L=460 cm

ν tot = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

β = MA + MB MF = 0.0 + 57.5 43.9 = 1.31 k=

d2 4

Presjek u polju:

40

As2=3Ø12

As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2 II =

2 2 ⎡ bh3 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎤ + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ 12 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

=

d1 4

As1=3Ø16 b=30

5 ⋅ (1 − 0.1 ⋅ β ) = 0.104 ⋅ (1 − 0.1 ⋅ 1.31) = 0.091 48

2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤ + 5.71 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ − 4⎟ ⎥ = 12 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

= 212960 .0 + 15336 .8 = 228296 .8 cm 4

MSd = MF = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm Ec,eff = Ecm = 35.0 GN m2 = 3500.0 kN cm2 1 MSd 4390.0 1 = = = 0.00000549 rI Ec,eff ⋅ II 3500.0 ⋅ 228296 .83 cm

x=

α eI ⋅ A s1 ⎛⎜ 2bd ⎞⎟ 5.71 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ − 1+ 1+ = − 1+ 1+ = 8.50 cm ⎜ ⎜ b α eI ⋅ A s1 ⎟⎠ 30 5.71 ⋅ 6.03 ⎟⎠ ⎝ ⎝

69


[

2

III =

bx 3 ⎛x⎞ 2 2 + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eI ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) 2 12 ⎝ ⎠

]

[

2

30 ⋅ 8.50 3 ⎛ 8.50 ⎞ 2 2 = + (30 ⋅ 8.50 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 5.71 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 8.5 ) + 2.26 ⋅ (8.5 − 4 ) 12 ⎝ 2 ⎠

]

= 6141.25 + 34425 .78 = 40567 .03 cm 4 Msd Msd 4390 kN ≈ = = 19.59 = 195.9 MPa x⎞ 8 .5 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm 2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ε s1 =

Fc

d2 4

σ s1 =

ε s1 1 0.0009795 1 = = = 0.00003110 rII d − yIIg 40 − 8.5 cm

d - x/3

h = 44 cm d = 40 cm

x

As2=3Ø12

As1=3Ø16

σs1 195.9 = = 0.0009795 Es 200000

Alternativno: MSd 1 4390.0 1 = = = 0.00003092 rII E c,eff ⋅ III 3500.0 ⋅ 40567 .03 cm

d1 4

Fs1

b=30

σ sr =

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fctm ⋅

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

b ⋅ h2 6

;

= 0.3 ⋅ (40.0 )

23

fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

;

fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 44 2 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 Mcr Mcr 3388 kN = 15.12 = 151.2 MPa = σ sr = ≈ x⎞ 8 . 5 z ⋅ As ⎛ ⎞ ⎛ cm 2 ⎟ ⋅ 6.03 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ Mcr = 0.35 ⋅

1 1 = 0.00000549 rI cm 1 1 = 0.00003110 rII cm 2

2

⎛σ ⎞ ⎛ 151.2 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.702 ⎝ 195.9 ⎠ ⎝ σs ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.702 ⋅ 0.00000549 + (1 − 0.702 ) ⋅ 0.00003110 = 0.0000131 rm rI rII cm k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t =0 = k ⋅ L2 ⋅

1 rtot

= 0.091 ⋅ 360.0 2 ⋅ 0.0000131 = 0.16 cm < ν lim = 1.84 cm

70


Ako uključimo puzanje: Presjek u polju: d2 4

E c,eff = α eII =

As2=3Ø12

40

II =

E cm 35.0 = ≈ 10.3 GPa 1 + ϕ t ,t = ∞ 1 + 2 .4

Es 200.0 = = 19.42 E c,eff 10.3

2 2 ⎡ bh3 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ ⎤ + α eI ⋅ ⎢ A s1 ⋅ ⎜ − d2 ⎟ + A s2 ⋅ ⎜ − d1 ⎟ ⎥ 12 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣

=

d1 4

As1=3Ø16

2 2 ⎡ 30 ⋅ 44 3 ⎛ 44 ⎞ ⎛ 44 ⎞ ⎤ + 19.42 ⋅ ⎢6.03 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 2.26 ⋅ ⎜ − 4⎟ ⎥ = 12 ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎢⎣

= 212960 .0 + 52161 .34 = 265121 .34 cm 4

b=30

MSd = MF = 1.0 ⋅ Mg + 1.0 ⋅ Mq = 43.90 kNm = 4390.0 kNcm

As1 = 3∅16 =6.03 cm2 As2 = 2∅12 =2.26 cm2

1 MSd 4390.0 1 = = = 0.0000161 rI Ec,eff ⋅ II 1030.0 ⋅ 265121.34 cm x=

α eII ⋅ A s1 ⎛⎜ 2bd ⎞⎟ 19.42 ⋅ 6.03 ⎛⎜ 2 ⋅ 30 ⋅ 40 ⎞⎟ = 14.20 cm = − 1+ 1+ − 1+ 1+ ⎜ ⎟ ⎜ b 30 19.42 ⋅ 6.03 ⎟⎠ α eII ⋅ A s1 ⎠ ⎝ ⎝

[

2

bx 3 ⎛x⎞ 2 2 III = + bx ⋅ ⎜ ⎟ + α eII ⋅ A s1 ⋅ (d − x ) + A s2 ⋅ (x − d2 ) 12 ⎝2⎠

] [

2

30 ⋅ 14.20 3 ⎛ 14.20 ⎞ 2 2 = + (30 ⋅ 14.20 ) ⋅ ⎜ ⎟ + 19.42 ⋅ 6.03 ⋅ (40 − 14.20 ) + 2.26 ⋅ (14.20 − 4 ) 12 ⎝ 2 ⎠ = 28632 .88 + 82514 .41 = 111147 .29 cm 4 σ s1 =

ε s1 =

Msd Msd 4390 kN ≈ = = 20.64 = 206.4 MPa x⎞ 14.2 ⎞ z ⋅ A s1 ⎛ ⎛ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s1 ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ σ s1 206.4 = = 0.001032 E s 200000

ε s1 1 0.001032 1 = = = 0.0000400 rII d − yIIg 40 − 14.2 cm MSd 1 4390.0 1 = = = 0.0000383 rII E c,eff ⋅ III 1030.0 ⋅ 111147 .29 cm σsr =

Mcr z ⋅ As

; Mcr = fctm ⋅

fctm = 0.3 ⋅ (fck )

23

b ⋅ h2 6

;

= 0.3 ⋅ (40.0 )

23

2

fctm ≈ 0.3 ⋅ (fck )

23

;

fck = 40.0 MPa

= 3.5 MPa

30 ⋅ 44 = 3388.0 kNcm = 33.88 kNm 6 kN 3388 Mcr Mcr σsr = ≈ = = 15.90 = 159.0 MPa 14.2 ⎞ x⎞ z ⋅ As ⎛ ⎛ cm2 ⎜ d − ⎟ ⋅ A s ⎜ 40 − ⎟ ⋅ 6.03 3 ⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ Mcr = 0.35 ⋅

(195.9 MPa)

]

71


1 1 = 0.0000161 rI cm 1 1 = 0.0000400 rII cm 2

2

⎛σ ⎞ ⎛ 159.0 ⎞ ζ = 1 − β1 ⋅ β2 ⋅ ⎜⎜ sr ⎟⎟ = 1 − 1.0 ⋅ 0.5 ⋅ ⎜ ⎟ = 0.703 ⎝ 206.4 ⎠ ⎝ σs ⎠ 1 1 1 1 = ζ ⋅ + (1 − ζ ) ⋅ = 0.703 ⋅ 0.0000161 + (1 − 0.703 ) ⋅ 0.0000400 = 0.0000232 rm rI rII cm

k = 0.091 L = 360.0 cm ν tot,t = ∞ = k ⋅ L2 ⋅

1 = 0.091⋅ 360.02 ⋅ 0.0000232 = 0.27 cm < νlim = 1.84 cm rtot


5

PRILOZI Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.05 Prilog 5: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.075 Prilog 6: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka, β=0.10 Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.85 Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka, ϕ=0.90 Prilog 9: Armaturne tablice

72

Prilog 1: Tablice za dimenzioniranje pravokutnih presjeka prema graničnim stanjima sloma

0.005 0.010 0.015 0.020 0.024 0.029 0.034 0.038 0.043 0.048 0.052 0.057 0.061 0.065 0.070 0.074 0.078 0.083 0.087 0.091 0.095 0.099 0.103 0.107 0.111 0.115 0.119 0.123 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.145 0.149

0.998 0.997 0.995 0.993 0.992 0.990 0.988 0.987 0.985 0.983 0.982 0.980 0.978 0.977 0.975 0.973 0.971 0.970 0.968 0.966 0.964 0.962 0.960 0.958 0.957 0.955 0.953 0.951 0.949 0.947 0.945 0.944 0.942 0.940 0.938

ω1

µsds

0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.030 0.033 0.037 0.041 0.044 0.048 0.052 0.055 0.059 0.062 0.066 0.069 0.073 0.076 0.080 0.083 0.086 0.090 0.093 0.096 0.099 0.102

0.000 0.001 0.002 0.003 0.005 0.007 0.009 0.011 0.014 0.017 0.020 0.023 0.026 0.029 0.033 0.036 0.039 0.043 0.046 0.050 0.053 0.056 0.060 0.063 0.066 0.069 0.073 0.076 0.079 0.082 0.085 0.088 0.090 0.093 0.096

d2

2

[‰] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

As2

x=ξ*d

ξ=x/d ζ=z/d

Lom preko armature εs1=10.0 ‰ εc2

εs1

[‰] 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

εs2

Neutralna os

Msd

d-x

h d

[‰] 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0

As1

d1

[‰] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

εs1

1

b

εs1

ξ=x/d ζ=z/d 0.010 0.020 0.029 0.038 0.048 0.057 0.065 0.074 0.083 0.091 0.099 0.107 0.115 0.123 0.130 0.138 0.145 0.153 0.160 0.167 0.174 0.180 0.187 0.194 0.200 0.206 0.213 0.219 0.225 0.231 0.237 0.242 0.248 0.254 0.259

0.997 0.993 0.990 0.987 0.984 0.981 0.977 0.974 0.971 0.968 0.965 0.962 0.959 0.956 0.953 0.950 0.947 0.944 0.941 0.938 0.934 0.931 0.928 0.925 0.922 0.919 0.916 0.913 0.910 0.907 0.904 0.901 0.898 0.895 0.892

εc2

ω1

µsds

0.000 0.002 0.004 0.006 0.009 0.013 0.017 0.022 0.027 0.032 0.038 0.044 0.050 0.056 0.062 0.069 0.075 0.082 0.088 0.094 0.101 0.107 0.113 0.119 0.125 0.130 0.136 0.142 0.147 0.153 0.158 0.163 0.168 0.173 0.178

0.000 0.002 0.003 0.006 0.009 0.013 0.017 0.021 0.026 0.031 0.037 0.042 0.048 0.054 0.059 0.065 0.071 0.077 0.083 0.089 0.094 0.099 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.129 0.134 0.138 0.143 0.147 0.151 0.155 0.159

0.85 fcd


[‰] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

εs1

[‰] 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0

ξ=x/d ζ=z/d 0.020 0.038 0.057 0.074 0.091 0.107 0.123 0.138 0.153 0.167 0.180 0.194 0.206 0.219 0.231 0.242 0.254 0.265 0.275 0.286 0.296 0.306 0.315 0.324 0.333 0.342 0.351 0.359 0.367 0.375 0.383 0.390 0.398 0.405 0.412

0.993 0.987 0.981 0.975 0.969 0.963 0.958 0.952 0.947 0.942 0.937 0.931 0.926 0.922 0.917 0.912 0.907 0.902 0.898 0.893 0.888 0.883 0.879 0.874 0.870 0.865 0.861 0.857 0.852 0.848 0.844 0.840 0.836 0.832 0.829

Lom preko armature εs1=3.0 ‰

ω1

µsds

0.001 0.003 0.007 0.012 0.018 0.025 0.032 0.041 0.050 0.059 0.069 0.079 0.089 0.100 0.110 0.121 0.131 0.142 0.152 0.162 0.172 0.181 0.190 0.199 0.208 0.216 0.224 0.232 0.240 0.248 0.255 0.263 0.270 0.277 0.283

0.001 0.003 0.007 0.011 0.017 0.024 0.031 0.039 0.047 0.056 0.064 0.074 0.083 0.092 0.101 0.110 0.119 0.128 0.136 0.145 0.152 0.160 0.167 0.174 0.181 0.187 0.193 0.199 0.205 0.210 0.216 0.221 0.226 0.230 0.235

εc2

[‰] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

εs1

[‰] 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 3.0

ξ=x/d ζ=z/d 0.032 0.063 0.091 0.118 0.143 0.167 0.189 0.211 0.231 0.250 0.268 0.286 0.302 0.318 0.333 0.348 0.362 0.375 0.388 0.400 0.412 0.423 0.434 0.444 0.455 0.464 0.474 0.483 0.492 0.500 0.508 0.516 0.524 0.531 0.538

0.989 0.979 0.969 0.960 0.951 0.943 0.935 0.927 0.920 0.913 0.906 0.899 0.892 0.886 0.880 0.874 0.868 0.862 0.856 0.850 0.844 0.839 0.833 0.828 0.822 0.817 0.812 0.807 0.802 0.798 0.793 0.789 0.784 0.780 0.776

Lom preko betona εc2=3.5 ‰

ω1

µsds

0.001 0.005 0.011 0.019 0.028 0.038 0.050 0.062 0.075 0.089 0.102 0.117 0.131 0.145 0.159 0.173 0.187 0.201 0.214 0.227 0.239 0.251 0.262 0.273 0.283 0.293 0.303 0.313 0.322 0.331 0.339 0.347 0.355 0.363 0.371

0.001 0.005 0.011 0.018 0.026 0.036 0.046 0.058 0.069 0.081 0.093 0.105 0.117 0.129 0.140 0.152 0.162 0.173 0.183 0.193 0.202 0.210 0.218 0.226 0.233 0.240 0.246 0.252 0.258 0.264 0.269 0.274 0.279 0.283 0.288

Fs2 Fc

A s1 =

d-d2 z=ζ*d


µ sd = Fs1

Msd = µRd = 0.85 ⋅ α v ⋅ ξ ⋅ ζ b ⋅ d2 ⋅ fcd

M sd ζ ⋅ d ⋅ f yd

A s1 = ω1

fcd ⋅d⋅b f yd

εc2

[‰] 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

εs1

[‰] 20.0 19.5 19.0 18.5 18.0 17.5 17.0 16.5 16.0 15.5 15.0 14.5 14.0 13.5 13.0 12.5 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 8.5 8.0 7.5 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

ξ=x/d ζ=z/d 0.149 0.152 0.156 0.159 0.163 0.167 0.171 0.175 0.179 0.184 0.189 0.194 0.200 0.206 0.212 0.219 0.226 0.233 0.241 0.250 0.259 0.269 0.280 0.292 0.304 0.318 0.333 0.350 0.368 0.389 0.412 0.438 0.467 0.500 0.538 0.583 0.636 0.700 0.778 0.875

0.938 0.937 0.935 0.934 0.932 0.931 0.929 0.927 0.925 0.923 0.921 0.919 0.917 0.914 0.912 0.909 0.906 0.903 0.900 0.896 0.892 0.888 0.884 0.879 0.873 0.868 0.861 0.854 0.847 0.838 0.829 0.818 0.806 0.792 0.776 0.757 0.735 0.709 0.676 0.636

ω1

µsds

0.102 0.105 0.107 0.109 0.112 0.115 0.117 0.120 0.124 0.127 0.130 0.134 0.138 0.142 0.146 0.151 0.155 0.161 0.166 0.172 0.178 0.185 0.193 0.201 0.209 0.219 0.229 0.241 0.254 0.268 0.283 0.301 0.321 0.344 0.371 0.401 0.438 0.482 0.535 0.602

0.096 0.098 0.100 0.102 0.104 0.107 0.109 0.112 0.114 0.117 0.120 0.123 0.126 0.130 0.133 0.137 0.141 0.145 0.149 0.154 0.159 0.165 0.170 0.176 0.183 0.190 0.198 0.206 0.215 0.224 0.235 0.246 0.259 0.272 0.288 0.304 0.322 0.341 0.362 0.383

Prilog 2: Tablice za dimenzioniranje T i Γ presjeka b eff bi

ε s2

ε *c

d-x

h d

d-d2

Neutralna os

M sd N sd

ε s1

d1

A s1 1

0.85 f cd

λb = 1 −

F s2 Fc

αv α∗v

⎛ h ⎞⎛ b ⎜⎜1 − f ⎟⎟⎜⎜1 − eff bw ⎝ ξ d ⎠⎝

F s1

bw

hf d 0.550

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

b eff b 0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

1.00

λb

ξ=x d 0.550

⎞ ⎟⎟ ⎠

z

A s2

ε c2

x

hf

d2

2

0.525

0.500

0.475

0.450

0.425

0.400

0.375

0.350

0.325

0.300

0.275

0.250

0.225

0.200

0.175

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

0.025

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.550

0.513

0.489

0.464

0.437

0.413

0.386

0.362

0.335

0.309

0.284

0.259

0.232

0.207

0.181

0.155

0.130

0.103

0.078

0.052

0.026

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

1.00

0.550

0.513

0.487

0.461

0.436

0.409

0.383

0.357

0.330

0.303

0.276

0.249

0.221

0.194

0.166

0.139

0.111

0.083

0.056

0.028

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.99

0.550

0.513

0.487

0.460

0.434

0.407

0.379

0.351

0.323

0.295

0.266

0.237

0.208

0.178

0.149

0.119

0.090

0.060

0.030

0.99

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.98

0.550

0.512

0.485

0.459

0.431

0.403

0.374

0.345

0.315

0.285

0.254

0.223

0.192

0.160

0.129

0.097

0.065

0.032

0.98

0.97

0.97

0.97

0.96

0.96

0.96

0.96

0.550

0.512

0.485

0.457

0.428

0.399

0.368

0.337

0.306

0.273

0.240

0.207

0.173

0.139

0.105

0.070

0.035

0.97

0.96

0.95

0.94

0.94

0.94

0.94

0.93

0.550

0.511

0.483

0.454

0.425

0.394

0.362

0.329

0.295

0.260

0.224

0.188

0.151

0.114

0.076

0.038

0.96

0.94

0.93

0.92

0.91

0.91

0.91

0.90

0.550

0.510

0.481

0.451

0.420

0.388

0.354

0.318

0.281

0.243

0.204

0.164

0.124

0.083

0.042

0.95

0.92

0.90

0.89

0.88

0.88

0.87

0.87

0.550

0.509

0.479

0.448

0.415

0.381

0.344

0.305

0.265

0.223

0.180

0.136

0.091

0.046

0.93

0.90

0.87

0.86

0.85

0.84

0.84

0.83

0.550

0.508

0.477

0.444

0.409

0.372

0.331

0.289

0.244

0.198

0.150

0.101

0.051

0.91

0.87

0.84

0.83

0.81

0.80

0.80

0.79

0.550

0.507

0.473

0.439

0.401

0.360

0.316

0.268

0.218

0.166

0.112

0.056

0.90

0.84

0.81

0.79

0.78

0.76

0.76

0.75

0.550

0.505

0.469

0.432

0.391

0.345

0.295

0.241

0.184

0.125

0.063

0.88

0.82

0.78

0.75

0.74

0.72

0.71

0.70

0.550

0.502

0.464

0.423

0.378

0.326

0.268

0.206

0.140

0.071

0.86

0.79

0.74

0.72

0.70

0.68

0.67

0.66

0.550

0.499

0.457

0.412

0.360

0.299

0.232

0.158

0.081

0.84

0.76

0.71

0.68

0.65

0.64

0.62

0.61

0.550

0.494

0.448

0.397

0.335

0.262

0.181

0.093

0.82

0.73

0.68

0.64

0.61

0.59

0.58

0.57

0.550

0.488

0.435

0.374

0.298

0.208

0.108

0.80

0.70

0.64

0.60

0.57

0.55

0.53

0.52

0.479

0.418

0.342

0.243

0.127

0.78

0.67

0.60

0.56

0.53

0.51

0.49

0.48

0.550

0.467

0.392

0.288

0.154

0.76

0.64

0.58

0.53

0.49

0.47

0.45

0.43

0.550

0.449

0.347

0.192

0.74

0.62

0.54

0.49

0.45

0.42

0.40

0.38

0.550

0.420

0.252

0.72

0.59

0.50

0.45

0.41

0.38

0.36

0.34

0.550

0.351

0.71

0.56

0.47

0.41

0.37

0.34

0.31

0.29

0.550

0.69

0.53

0.43

0.37

0.33

0.29

0.27

0.25

0.550

Prilog 3: Tablice za proračun pravokutnih križno armiranih ploča opterećenih jednolikim kontinuiranim opterećenjem M x = k x ⋅ q ⋅ l2x

;

Max = k ax ⋅ q ⋅ l2x

M y = k y ⋅ q ⋅ l 2y

;

Mby = k by ⋅ q ⋅ l2y

Shema 2

Shema 1

upeti rub

q – jednoliko raspodijeljeno opterećenje Poissonov koeficijent = 0.15

Shema 3

slobodno oslonjeni rub

Shema 6

Shema 5

Shema 4

Mby

q

My

ly

ly Mx

q

My

Max

ly

q

My

Max

Max

My ly

Max

ly

Mx

Mx

Mx

q

My

Max

Max

Mx Mby lx

lx q

q

q

ly

q

My

Max

Mby

lx

lx

lx

q

Max

Mx

Mby

lx

q

q

q

ly lx

kx

ky

kx

ky

k ax

ly lx

kx

ky

k ax

kx

ky

k ax

k by

ly lx

kx

ky

k ax

k by

kx

ky

k ax

k by

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

0.0079 0.0103 0.0131 0.0162 0.0194 0.0230 0.0269 0.0307 0.0344 0.0383 0.0423 0.0500 0.0575 0.0644 0.0710 0.0722 0.0826 0.0874 0.0916 0.0954 0.0991

0.0991 0.0923 0.0857 0.0792 0.0730 0.0669 0.0611 0.0577 0.0507 0.0462 0.0423 0.0353 0.0293 0.0244 0.0204 0.0173 0.0146 0.0124 0.0107 0.0091 0.0079

0.0084 0.0109 0.0135 0.0162 0.0192 0.0221 0.0249 0.0277 0.0304 0.0330 0.0354 0.0399 0.0438 0.0471 0.0500 0.0524 0.0544 0.0561 0.0572 0.0586 0.0594

0.0908 0.0826 0.0747 0.0670 0.0599 0.0533 0.0472 0.0417 0.0369 0.0327 0.0291 0.0288 0.0180 0.0143 0.0115 0.0094 0.0076 0.0062 0.0052 0.0044 0.0037

-0.0305 -0.0362 -0.0421 -0.0479 -0.0537 -0.0594 -0.0650 -0.0703 -0.0750 -0.0797 -0.0840 -0.0917 -0.0980 -0.1032 -0.1075 -0.1109 -0.1136 -0.1160 -0.1184 -0.1203 -0.1213

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

0.0088 0.0113 0.0137 0.0166 0.0187 0.0212 0.0233 0.0254 0.0274 0.0292 0.0309 0.0335 0.0357 0.0374 0.0386 0.0396 0.0404 0.0410 0.0414 0.0416 0.0417

0.0835 0.0738 0.0647 0.0563 0.0489 0.0423 0.0363 0.0313 0.0270 0.0232 0.0201 0.0151 0.0113 0.0088 0.0068 0.0053 0.0042 0.0034 0.0028 0.0023 0.0019

-0.0297 -0.0350 -0.0400 -0.0450 -0.0497 -0.0540 -0.0578 -0.0612 -0.0644 -0.0677 -0.0699 -0.0741 -0.0770 -0.0793 -0.0811 -0.0815 -0.0825 -0.0830 -0.0832 -0.0833 -0.0833

0.0040 0.0054 0.0072 0.0092 0.0114 0.0139 0.0164 0.0191 0.0217 0.0243 0.0269 0.0319 0.0365 0.0406 0.0442 0.0473 0.0499 0.0521 0.0540 0.0556 0.0570

0.0570 0.0543 0.0514 0.0483 0.0451 0.0418 0.0385 0.0354 0.0324 0.0295 0.0269 0.0221 0.0182 0.0148 0.0122 0.0100 0.0081 0.0066 0.0055 0.0046 0.0040

-0.0205 -0.0249 -0.0294 -0.0341 -0.0390 -0.0442 -0.0496 -0.0548 -0.0598 -0.0648 -0.0699 -0.0787 -0.0869 -0.0937 -0.0993 -0.1041 -0.1082 -0.1116 -0.1143 -0.1167 -0.1189

-0.1189 -0.1148 -0.1104 -0.1057 -0.1008 -0.0957 -0.0905 -0.0852 -0.0798 -0.0745 -0.0699 -0.0608 -0.0530 -0.0462 -0.0405 -0.0358 -0.0317 -0.0282 -0.0252 -0.0226 -0.0205

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00

0.0045 0.0062 0.0081 0.0101 0.0122 0.0145 0.0169 0.0191 0.0211 0.0232 0.0252 0.0287 0.0316 0.0340 0.0359 0.0374 0.0386 0.0395 0.0402 0.0408 0.0412

0.0550 0.0514 0.0476 0.0436 0.0398 0.0359 0.0323 0.0289 0.0257 0.0228 0.0202 0.0158 0.0123 0.0096 0.0075 0.0060 0.0048 0.0039 0.0031 0.0026 0.0022

-0.0203 -0.0247 -0.0291 -0.0336 -0.0381 -0.0427 -0.0471 -0.0513 -0.0551 -0.0586 -0.0617 -0.0676 -0.0722 -0.0757 -0.0782 -0.0800 -0.0814 -0.0825 -0.0834 -0.0842 -0.0847

-0.1135 -0.1078 -0.1021 -0.0964 -0.0906 -0.0845 -0.0781 -0.0720 -0.0661 -0.0603 -0.0546 -0.0467 -0.0399 -0.0341 -0.0293 -0.0254 -0.0221 -0.0193 -0.0171 -0.0154 -0.0141

0.0024 0.0033 0.0046 0.0061 0.0079 0.0098 0.0103 0.0139 0.0160 0.0181 0.0202 0.0242 0.0287 0.0306 0.0332 0.0353 0.0369 0.0383 0.0392 0.0399 0.0405

0.0405 0.0394 0.0378 0.0360 0.0339 0.0315 0.0293 0.0269 0.0247 0.0224 0.0202 0.0164 0.0131 0.0105 0.0084 0.0066 0.0053 0.0042 0.0035 0.0028 0.0024

-0.0143 -0.0172 -0.0206 -0.0242 -0.0280 -0.0320 -0.0360 -0.0400 -0.0440 -0.0480 -0.0515 -0.0585 -0.0643 -0.0690 -0.0728 -0.0757 -0.0779 -0.0797 -0.0812 -0.0824 -0.0833

-0.0833 -0.0817 -0.0794 -0.0767 -0.0737 -0.0704 -0.0668 -0.0631 -0.0593 -0.0554 -0.0515 -0.0449 -0.0388 -0.0336 -0.0291 -0.0254 -0.0223 -0.0198 -0.0176 -0.0158 -0.0143

Množitelj

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2y

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2y

q ⋅ l 2x

Množ.

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2y

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2y

q ⋅ l 2x

q ⋅ l 2y

Množ.

2 2 2 2 q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y q ⋅ l 2x q ⋅ l y

Prilog 4: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih pravokutnih presjeka

B 500 α = A s2 A s1 = 1.0

Nsd b h fcd

µsd =

Msd b h2 fcd

A s1 = A s 2 = ω b h

As1 Msd fcd fyd

d h

νsd =

d2

β = d1 h = d2 h = 0.05

ν

N sd

d1

As1

b

ω=

35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 5 0 0.

1. 0. 00 9 5 0. 0. 90 0. 85 0 80 0. .75 7 0. 65 0 0 0. .60 5 0. 5 5 0 0. .45 0 40

µ


B 500 α = A s2 A s1 = 1.0

Nsd b h fcd

µsd =

Msd b h2 fcd

A s1 = A s 2 = ω b h

As1 Msd fcd fyd

d h

νsd =

d2

β = d1 h = d2 h = 0.075

ν

N sd

d1

As1

b

ω=

35 0. 30 0. 25 0. 20 0. 15 0. 10 0. 5 0 0.

1. 0 00 0. .95 0 90 0. .85 8 0 0 .75 0 0. .70 6 0 5 0 .6 0 .5 0 0. .50 5 0. 45 40

µ


B 500 α = A s2 A s1 = 1.0

Nsd b h fcd

µsd =

Msd b h2 fcd

A s1 = A s2 = ω b h

As1 Msd fcd fyd

d h

νsd =

d2

β = d1 h = d2 h = 0.10

ν

Nsd

d1

As1

b

ω=

35 0. 30 0. 5 2 0. 20 0. 5 1 0. 10 0. 5 0 0.

1 0 .00 0. .95 0 90 0 .85 0. .80 0 7 0 .7 5 0. .65 0 0 6 0 .5 0 0. .50 5 0. 45 40

µ

Prilog 7: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka

ν

B 500 ϕ = rs r = 0.85

1.0 0 .9 0 0.9 5 0 .8 0 0.8 5 0.7 0 0.7 5 0 .6 0 0 .6 5 0.5 0 0.5 5 0 .4 0 0 .4 5 0 .3 0 0 .3 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .1 0 ω= 0.105 0 .0 5

νsd =

Nsd A c fcd

µsd =

Msd A c r fcd

Ac = r 2 π A s1 = A s2 = ω A c

fcd fyd

µ

Msd

rs

N sd

r As

Prilog 8: Dijagram za dimenzioniranje simetrično armiranih kružnih presjeka

ν

B 500 ϕ = rs r = 0.90

1 .0 0 .9 0 0 .9 5 0 .8 0 0 .8 5 0. 7 0 0 .7 5 0. 6 0 0. 6 5 0 .5 0 0 .5 5 0 .4 0 0 .4 5 0. 3 0 0 .3 5 0. 2 0 0 .2 5 0 .1 0 5 ω = 0. 10 0 .0 5

νsd =

Nsd A c fcd

µsd =

Msd A c r fcd

Ac = r 2 π A s1 = A s2 = ω A c

fcd fyd

µ

Msd

rs

Nsd

r As

Prilog 9: Armaturne tablice

Tip mreže Q 131 Q 139 Q 166 Q 188 Q 196 Q 226 Q 257 Q 283 Q 335 Q 385 Q 424 Q 503 Q 636 Q 785

1 0.20 0.28 0.38 0.50 0.79 1.13 1.54 2.01 2.54 3.14 3.80 4.91 6.16 7.07 8.04 10.18 12.57

2 0.39 0.57 0.77 1.01 1.57 2.26 3.08 4.02 5.09 6.28 7.60 9.82 12.32 14.14 16.08 20.36 25.13

3 0.59 0.85 1.15 1.51 2.36 3.39 4.62 6.03 7.63 9.42 11.40 14.73 18.47 21.21 24.13 30.54 37.70

4 0.79 1.13 1.54 2.01 3.14 4.52 6.16 8.04 10.18 12.57 15.21 19.63 24.63 28.27 32.17 40.72 50.27

5 0.98 1.41 1.92 2.51 3.93 5.65 7.70 10.05 12.72 15.71 19.01 24.54 30.79 35.34 40.21 50.89 62.83

UZDUŽNO NOSIVE MREŽE “R-mreže” Dimenzije Profil šipki Razmak Površina [cm] [mm] [mm] [cm2/m] Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. 5.0 4.2 150 250 1.31 0.56 600 215 4.2 4.2 100 250 1.39 0.56 600 215 4.6 4.2 100 250 1.66 0.56 600 215 6.0 4.2 150 250 1.88 0.56 600 215 5.0 4.2 100 250 1.96 0.56 600 215 7.0 5.0 150 250 2.57 0.78 600 215 6.0 4.6 100 250 2.83 0.66 600 215 8.0 5.0 150 250 3.35 0.78 600 215 7.0 5.0 100 250 3.85 0.78 600 215 9.0 6.0 150 250 4.24 1.13 600 215 8.0 6.0 100 250 5.03 1.13 600 215 10.0 6.0 150 250 5.24 1.13 600 215 9.0 6.0 100 250 6.36 1.13 600 215 10.0 6.0 100 250 7.85 1.13 600 215 OBOSTRANO NOSIVE MREŽE “Q-mreže” Profil Razmak Dimenzije Površina [mm] [mm] [cm] Dužina Širina Uzd. i Pop. Uzd. i Pop. [cm2/m] 5.0 150 1.31 600 215 4.2 100 1.39 600 215 4.6 100 1.66 600 215 6.0 150 1.88 600 215 5.0 100 1.96 600 215 6.0 125 2.26 600 215 7.0 150 2.57 600 215 6.0 100 2.83 600 215 8.0 150 3.35 600 215 7.0 100 3.85 600 215 9.0 150 4.24 600 215 8.0 100 5.03 600 215 9.0 100 6.36 600 215 10.0 100 7.85 600 215

Masa [kg/m2] 1.50 1.55 1.76 1.96 2.00 2.72 2.77 3.33 3.68 4.34 4.89 5.15 5.95 7.35

Masa [kg/m2] 2.12 2.20 2.64 3.06 3.07 3.63 4.16 4.48 5.45 6.10 6.81 8.03 10.08 12.46

POPREČNO NOSIVE MREŽE “T-mreže” Dimenzije Profil šipki Razmak Površina [cm] [mm] [mm] [cm2/m] Uzd. Pop. Uzd. Pop. Uzd. Pop. Duž. Šir. 5.0 7.0 250 150 1.31 0.56 240 600 5.0 8.5 250 150 3.85 0.78 240 600 6.0 10.0 250 150 7.85 1.13 240 600

Tip mreže T 257 T 378 T 524

OBOSTRANO NOSIVE "Q-mreže"

215

R 131 R 139 R 166 R 188 R 196 R 257 R 283 R 335 R 385 R 424 R 503 R 524 R 636 R 785

[kg/m] 0.154 0.222 0.302 0.395 0.617 0.888 1.208 1.578 1.998 2.466 2.984 3.853 4.834 5.549 6.313 7.990 9.865

TABLICA ŠIPKASTE ARMATURE površina presjeka As [cm2] za komada: 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.18 1.37 1.57 1.77 1.96 2.16 2.36 2.55 2.75 2.95 1.70 1.98 2.26 2.54 2.83 3.11 3.39 3.68 3.96 4.24 2.31 2.69 3.08 3.46 3.85 4.23 4.62 5.00 5.39 5.77 3.02 3.52 4.02 4.52 5.03 5.53 6.03 6.53 7.04 7.54 4.71 5.50 6.28 7.07 7.85 8.64 9.42 10.21 11.00 11.78 6.79 7.92 9.05 10.18 11.31 12.44 13.57 14.70 15.83 16.96 9.24 10.78 12.32 13.85 15.39 16.93 18.47 20.01 21.55 23.09 12.06 14.07 16.08 18.10 20.11 22.12 24.13 26.14 28.15 30.16 15.27 17.81 20.36 22.90 25.45 27.99 30.54 33.08 35.63 38.17 18.85 21.99 25.13 28.27 31.42 34.56 37.70 40.84 43.98 47.12 22.81 26.61 30.41 34.21 38.01 41.81 45.62 49.42 53.22 57.02 29.45 34.36 39.27 44.18 49.09 54.00 58.90 63.81 68.72 73.63 36.95 43.10 49.26 55.42 61.58 67.73 73.89 80.05 86.21 92.36 42.41 49.48 56.55 63.62 70.69 77.75 84.82 91.89 98.96 106.03 48.25 56.30 64.34 72.38 80.42 88.47 96.51 104.55 112.59 120.64 61.07 71.25 81.43 91.61 101.79 111.97 122.15 132.32 142.50 152.68 75.40 87.96 100.53 113.10 125.66 138.23 150.80 163.36 175.93 188.50

600 UZDUŽNO NOSIVE "R-mreže"

215

Tip mreže

Masa

600 POPRECNO NOSIVE "T-mreže"

240

Promjer ∅ [mm] 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 30 32 36 40

600

Promjer ∅ [mm] 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 25 28 30 32 36 40

Masa [kg/m2] 2.72 3.62 5.15

Skripta _nosive

Recommend Documents