Métodos energéticos La relación entre una carga aplicada a una estructura en las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecánica de materiales.
Un concepto de fundamental importancia en la solución de estos problemas se basa en el principio de la conservación de la energía.
Energía se define como la capacidad de realizar un trabajo
W = Fd
El trabajo se evala como el producto de una fuerza de la distancia recorrida en dirección de la fuerza. La energía de deformación se define como la energía absorbida por la estructura durante un proceso de carga en muc!os casos es llamada como trabajo interno. El objetivo de este capitulo" es introducir las t#cnicas energ#ticas para relacionar las cargas aplicadas con las deformaciones estructurales resultantes" e$isten muc!as t#cnicas %ue caen bajo la amplia clasificación de m#todos energ#ticos entre ellos están el trabajo real" trabajo virtual" teorema de clape&ron & teorema de castigliano.
TRABAJO Y ENERGIA En la siguiente figura el cuerpo se mueve del punto de posición '( al ') separados a una distancia d(" igual manera para F) se mueve de *( a *) separados a una distancia d).
El trabajo efectuado por la fuerza f
(
es F( veces
+(" &a %ue la fuerza de la distancia debe tener la misma línea de acción. ,e manera similar ocurre con F).
Trabajo Externo = Trabajo Interno Principio de observación de la ener!a El trabajo interno se refleja cuando aplicamos una carga a una estructura" esta carga genera una deformación de dic!a estructura" pero si retiro la carga la estructura regresa a su estado srcinal -Estructura elástica" es decir el trabajo interno se ve reflejado en la energía de deformación & es la %ue esta almacenada en la estructura adentro.
En la figura se tiene una barra sujeta a una carga a$ial" al aplicar la carga gradualmente" si la relación carga deformación es la %ue se presente en la figura *" si en el momento %ue retiramos la carga esta regresa a su estado srcinal se dice %ue la estructura es de un material elástico lineal.
/uando aplicamos la carga gradualmente" la relación 0 1
∆ es la %ue se muestra en la
figura / & al retirar la carga esta no regresa a su estado srcinal" la estructura se llama elástica no linear.
+in %ue importe si e$isten o linealidades debidas al material o la configuración geom#trica" consideremos siempre %ue el material de una estructura permanece elástica.
0ara ilustrar los conceptos de energía consideremos siempre %ue le material de una estructura permanece elástico" para ilustrar los conceptos de energía consideremos la barra de la figura anterior sometida a una carga a$ial *" el cual produce esfuerzo
,e la grafica tenemos una relación 2rabajo = W = Fd ,onde
W = 2rabajo e$terno d3
= 0d∆
E = ,eformación unitaria ' = 'largamiento
σ= Esfuerzo
4ntegrando
∫
∆(
= 0d∆
3
σ
d' = diferencial del alargamiento
∆ = 5alor má$imo de alargamiento U = Energía de deformación
W
/uando la relación 0∆ es lineal el trabajo es
=
0d∆ )
El trabajo se puede interpretar geom#tricamente por el área bajo la curva 0 ∆.
/omo la barra es elástica se desprecia cuales%uiera perdidas durante la carga & descarga todo el trabajo efectuado durante la carga se almacenara en la barra en forma de energía de deformación unitaria" %ue puede recuperarse durante la descarga por lo tanto la energía de deformación es igual al trabajo 6=W
∆(
=
0d∆
7
∫
,e la relación esfuerzo defor mación en la figura * tenemos %ue la energía de deformación unitaria" tenemos %ue la M por unidad de volumen de material se obtiene considerando un elemento diferencial del volumen de dimensiones unitarias sometido al esfuerzo & %ue sufre una deformación -E).
∆
E=
L
M = Energía de deformación unitaria
6=
E(
∫ σdE 7
Energía de deformación complementaria
∫
∆(
U = 0d∆
W
7
∫
u
δ(
U=W
= 7σdE
∫
σ(
⇒
0(
= U = ∆d0
U = E dσ
∫
7
+ea la siguiente barra sujeta a una fuerza a$ial 0" la barra se deforma segn la figura.
Energía de deformación debidas a cargas a$iales.
σ=E
E
0or la le& de 8oo9e
σ
0 '
=E
donde
' L
⇒ ∆=
0 '
E=
' L
0L 'E
deformación total de una barra sujeta a cargas a$iales
E = 6odulo de elasticidad o 6oduló de :oung ' = 'rea de la sección transversal
La deformación interna de un segmento de la barra de longitud d$ es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de energía es decir;
d∆ =
0d$ 'E
+upongamos %ue la relación 0 1∆ es lineal la deformación de energía es;
U = ( 0∆ ) dU =
dU =
( 0d∆ )
( 0 ) d$ ) ' E
4ntegrando l
( 0 ) d$ E
∫ dU = ∫ ) ' 7
U=
( )
U=
L(
0)
∫ ) 'E d$ 7
L 0)
∫ 'Ed$ 7
Energía de deformación para cargas a$iales
ENERGIA "E "E#OR$A%I&N "E E'E$ENTO( A #'E)ION +ea la siguiente viga con una carga concentrada 0 actuando en el punto *" el trabajo e$terno involucra el movimiento de la fuerza 0 a trav#s de la defle$ión ' de la viga.
0artiendo de;
∆=
0L 'E
σ=E
=∆=σ
L E
E
El esfuerzo por fle$ión
σ=
6c 4
∆=
6c L $ 4 E
+i la relación 0 1
d∆
0ara un segmento de
∆ es lineal
=
6c d$ $ 4 E
U=
( 0d∆ )
σ=
0 '
0 d'
⇒ σ=
si 0 = σd'
σ=
6c 4
∴
U=
U=
( 6c d'd$ ) 4 E
∴
0=
6c d' 4
( 6c 6c d$ $ d' $ ) 4 4 E )
La energía de deformación para un segmento d$ es la suma de la energía de deformación de todas las fibras de ese segmento. 4ntegrando
U=
( )
)
6) d$
7
E4
∫
0or lo tanto la U total es
0L'< ( U2
=)
l 0$ )
?
L
5g )
∫ 'E d$ + ) ∫ 7
(
'> d$ + )
7
L
∫
7
6z ) E4 d$
E+0'/4 U2
=
( )
L
∫
7
0$ ) d$ 'E
+
? )
L
5g
?
L
∫ '>d$ + ) ∫ 7
7
5z ) ( d$ + '> )
L
2
(
L
∫ >Ad$ + ) ∫ 7
7
6& ) ( ,@ + E4 )
L
∫
7
6z ) d$ E4
,onde; A = 6odulo de 4nercia polar > = 6odulo de elasticidad al corte
Eje*plo+ ,eterminar la defle$ión
∆ de la estructura de dos barras con la carga concentrada 0 =
B7 ?<. El área de la sección transversal de cada barra es igual ' = C $ (7 1B m ) & E = )77 > 0a.
W
=
( 0 )
∆ ∑ F$ = 7 ∑ F& = 7 ∑6 = 7
0or e%uilibrio
' = C $ (71B m) E = )77 > 0a
( )
U2
=∑
U2
=
U2
=
0'/ = D) ?<
)
L
U=
∫ 0'Ed$ 7
0 )L ) 'E
0*/ = )B ?< ) 0'/ L
'E
+
) 0*/
'E
L
-D)777 ) -). )-C $(7
−B
-)77 $(7
B
+
-)B777) -D.DD )-C $(7 − B -)77 $(7G
= (.CC <.m
Eje*plo+ /alcular la defle$ión en el punto * de la viga" el cual está sujeta a una carga 0 de )B ? lb. El momento de 4nercia 4 = DC7 0lg)" #l módulo de :oung E = D7 777 ?lbHplg).
4 = DC7 0lg) )
E = D7 777 ?lbH0lg
2rabajo W
=
( 0 )
∆
Energía de deformación -fle$ión U=
( )
)
L
∫ 6E4 d$ 7
/alculo de reacciones
∑ 6' = - )B- − -/& -)7 = 7 /& =
−(.G) )7
= G.C ?lb
' + G.C − )B ?lb
@(
∫
G .C I
7
=7
'& = (B.B ?lb
@)
(.BBI
∫
7
/alculo de JUK
G.C
-(B.B $ ) d$ E4
U '*
=
( )
U '*
=
( )7 .DC D $ )E4 D 7
U '*
=
( CG.()-G.C D )E4
U/*
=
( )
∫
7
=
( )E4
G.C
U2
[
(B.B -G.C $
∫
)
G.C
7
)7 .DC$ ) d$
( CG.() $ D )E4
[
]G7.C
− CG.()-7 D ] = D7CBC .(C E4
)
E4
7
=
∫
d$
=
BCB(B.)B E4
= U '* + U/* = .7
0ero W = U
∴
( 0 )
∆ = .7
)-.7
∆=
0
)-.7
=
)B
∆ = 7.G 0 lg
'I$ITA%IONE( "E' $ETO"O "E TRABAJO Y ENERGIA En las secciones anteriores se describieron m#todos para calcular la JUK en miembros sujetos a los principales tipos de carga.
Las ecuaciones de energía de deformación JUK son generales & pueden usarse en cual%uiera de los m#todos energ#ticos. El trabajo es la fuerza por una distancia" o un par por un ángulo de rotación. 0or consiguiente" este m#todo es solamente valido para encontrar una defle$ión o una rotación en la dirección de la fuerza o el par. +in embargo" si %ueremos la deformación en un lugar diferente de donde se aplica la carga" el m#todo no es válido. 'demás si se aplican simultáneamente más de una carga e$terna sobre el miembro. 'parecerá
más de una incógni ta
∆ o θ en la e$presión para el trabajo e$terno & la solución es
imposible calcular. Las limitaciones de la t#cnica del trabajo real nos impulsan a adaptar los conceptos de otros m#todos energ#ticos relacionados %ue no sean tan limitados en su aplicación.
PRIN%IPIO "E 'O( "E(P'A,A$IENTO( -IRT.A'E( El t#rmino JvirtualK implica %ue las cantidades son puramente !ipot#ticas & %ue no e$isten en un sentido real o material. 0or lo tanto" un desplazamiento virtual es un imaginario %ue se le impone arbitrariamente a una estructura" de esa manera el trabajo efectuado por las fuerzas reales durante un desplazamiento virtual se llama Jtrabajo virtualK.
Este principio establece %ue una estructura elástica %ue está en e%uilibrio bajo un sistema de cargas generalizadas permanece en estado de e%uilibrio" si para pe%ueMas variaciones en los desplazamientos generalizados a partir de un estado compatible de deformaciones se satisface la siguiente condición;
dW e
= dW v + dW d
,Wc = ,iferencial del trabajo total ,Wv =,iferencial del trabajo virtual" realizado durante un desplazamiento del mismo como cuerpo rígido & por consiguiente debe ser cero. ,Wd = Es el trabajo relacionado con la deformación del elemento.
0or lo tanto dWc
= dWd
,e la misma forma; dW
= dU
5ariación del trabajo = variación de la energía
E' TEORE$A "E %'APEYRON /onsidere un material elástico;
,e las gráficas se obtiene; dW
{ δ∆} {N }F {= }δ{ 0} N ∆
= dWc 0or lo tanto
'nálogamente ( W
= Wc 0or lo tanto
)
(
{ ∆} {N }0 = { }{ 0} ∆ )
W
(
= {0} {N ∆}
Finalmente
)
'!ora;
∫ {δε} { } σ dv ={ ∫}{ }δσ N
dU = dUc
0or lo tanto
N
ε dv
'nálogamente (
U = Uc
0or lo tanto
)
U=
Finalmente
(
∫ {ε}{ } σ dv = {)}∫{ } σ N
( )
N
ε dv
∫ {σ} { ε} dv N
Estas dos ecuaciones son conocidas como el teorema de /lape&ron.
PRIN%IPIO E(TA%IONARIO "E ENERGIA POTEN%IA' Este principio tiene una gran importancia para calcular los desplazamientos generalizados de las estructuras" partiendo del principio de los desplazamientos virtuales;
δWe = δWi
,onde;
δWe = ,iferencial del trabajo e$terno δWi = ,iferencial de la energía 0or lo tanto; W
δ
W e
−δ
7 i
=
0or la primera le& de la termodinámica;
δWe = −δUe
+ustitu&endo el valor de δWe
0or lo tanto;
−δUe − δUi = 7
δUe + δUi = 7 o
0or lo tanto;
φ = dUe + dUi Oue es la energía potencial total
δφ = 7
/uando tenemos un sistema conservativo con un numero finito de grados de libertad" la energía potencial es función de las coordenadas generalizadas.
φ = φ- $(" $ ) " $ D ..." $ n
,onde $i = +on las coordenadas generalizadas o grados de libertad.
La diferencial total de la energía potencial se e$presa;
δφ =
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ δ$ + δ$ + δ$ + + δ$ = 7 ∂ $ ( ( ∂$ ) ) ∂$ D D ∂$ n n
δφ =
∑ ∂∂$φ δ$ = 7
n
i
i =(
i
simplemente
δφ =
∂φ =7 ∂$ (
i = (" )" D" ... " n
donde
Esta ultima ecuación es la %ue se conoce como el principio estacionario de la energía.
,e igual forma" el principio estacionario para la energía potencial complementaria será;
δθ / = δ-u E + u4 = 7
∂θ / =7 ∂f4
θ / = θ / -F("F) " FD " " F< donde;
F( = +on las fuerzas generalizadas o grados de !iperestaticidad.
Eje*plo+ /alcular la energía de deformación de una barra articulada de sección transversal constante '" & un modulo de elasticidad E" en el cual se aplica una carga a$ial <.
Usando el teorema de /lape&ron" la energía potencial se e$presa como;
U=
( )
∫ {σ}{ }ε dv
0ero; dv = 'd&
ε=d
σ = Eε
L
Entonces; U=
( E'ε ) d& )
∫
=
)
( d E' ) d& ) L
∫
U=
( d) E' ) ) L
L
∫ d& 7
Finalmente;
U=
E' ) d )L
Energía potencial interna de cada barra para una estructura articulada. '!ora la energía de deformación complementaria" tenemos %ue; Uc
=
( )
∫ {σ}{ }ε dv
,e donde;
σ=
< '
ε=
σ
dv =
E
' d&
+ustitu&endo;
σ) '
( Uc
=
)
=
L <) ) 'E
∫
E d&
=
(
<)
)
'Ed&
∫
Uc
=
( <)
L
) 'E
7 d&
∫
Finalmente
Uc
U = Uc
por lo tanto se conclu&e %ue
PRO%E"I$IENTO PARA AP'I%AR E' PRIN%IPIO E(TA%IONARIO "E ENERGIA POTEN%IA' (. ,eterminación del grado de libertad" definir el nmero de coordenadas generalizadas
-$(" $)" $D" ... " $n.
). Establecer las e$presiones de los desplazamientos de cada barra en función de las coordenadas generalizadas.
D. /álculo de energía potencial interna de cada barra. Ui
=
-E' i )L
di
)
B. /álculo de la energía potencial e$terna debido a las cargas. Ue
= −0i @ i
. btención del potencial de energía.
θ = U e + Ui
C. 'plicación del principio estacionario de energía potencial total.
∂θ =7 ∂@ i . +olución del sistema de ecuaciones algebraicas obteniendo el vector @ i.
. /alculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
G. ,eterminación de las fuerzas a$iales de cada barra
=
-E' i Li
di
'nalizar la estructura utilizando el 0rincipio Estacionario de Energía 0otencial.
(.
>L= -C = (
di = $ ( cos θ = di =
). cos =
D.
B
$i
B
Energía 0otencial 4nterna
Ui
=
-E' i )L
di
)
)
B$ i ) = (CE'@ i
-E'
B.
Ui(
=
Ui )
=
E'- $ i
Ui2
=
(CE' ) $i )7
Ui2
=
(G E' ) $i (777
)7
)
)- B
= E' $ ()
+
E' ) @i
( )
Energía E$terna Ue Ue
.
= −0$ i = −C$ i
Energía 0otencial 2otal
U2
= Ui + Ue = P
P = U2
C.
=
(G ) E'- $ i − C$ ( (777
'plicando 0.E.E.0.
∂θ $i
∂
.
)-
=
D
E'$ i
−C= 7
(777
+olución del +istema de ecuaciones D E' $i (777
−C =7
.
$i
=
C-(777 DE'
$i
=
(. E'
,esplazamiento de cada barra B $(
d(
=
d)
= $( =
B (. ().7 = = E' E' (. E'
G.
Fuerzas '$iales
= E' d = E' ().7 = ).B 2on Li E'
<)
=
-E' ) (. = D.G 2on B E'
E%uilibrio
Σ F $ = Q$( R D.G = 7 Q$( = D. 2on
B
Σ F $ = Q$) S ).B - = 7
B
Q$) S ).B -
D
Σ F & = Q&D S ).B - = 7 D
Q&$ S ).B -
'nalizar la siguiente estructura por el m#todo de 0.E.E.0.
+olución; (.
,eterminación de los grados de libertad.
>.L = <,0 S <,Q >.L = S D >.L =
4mplica cinco coordenadas generalizadas -$(" $)" $D" $B" $
).
/álculo de las e$presiones de los desplazamientos en función de las coordenadas generalizadas.
Qegla;
'islar la barra" anotando en los e$tremos las coordenadas generalizadas correspondientes para representar su deformación.
Aalar la barra en el e$tremo inferior & e$presar ese desplazamiento en t#rminos de las coordenadas generalizadas" repetir #ste paso con el otro e$tremo.
En los nodos donde !a& apo&os los desplazamientos son nulos segn el tipo de apo&o.
d ( = $) d ) = $ $ D cos θ + $ B senθ
=
B $D
+
D $B
dD =
− $ ( cos θ + $ ) dB =
−$( + $ D d = d C = $B
senθ
+ $
cos θ
= − B
$(
+
D $)
+ B
$
D.
/álculo de Energía 0otencial 4nterna en cada barra.
Ui
=
-E' i
U(
=
-E' -$ ) ) )-D
U(
U)
= -E' - $ )
U)
UD
=
E' (C ) $D )7 )
UB
=
E' (C ) $( )7 )
)L
= d i)
)- B
=
= -E' $ )
G ) $B )
+
)B $D$B )
+
+
G ) $) )
(C ) $ )
+
-E' ) $) C
−
)B $ ($ ) )
+
)B $)$ )
−
D) $ ($ )
E' ) $ ( − )$ ($ D + $ D) E' ) UC = $B C U2 = U( + U) + UD + U B + U U
(
=
)
( )
B.
/álculo de la Energía E$terna.
Ue Ue
.
= −0i @ i = −- B $ i + C $ D cos θ − C $ B senθi
/álculo del 0otencial de Energía.
φ = Ue + Ui 7.( $ () + 7.( $ )) + 7.( $ D) + 7.( $ )B + 7.( $ ) − − B$ i − .(GC $ D + D$ B φ = E' − − + + 7 . 7B $ $ 7 . ) $ $ 7 . 7CB $ $ 7 . 7B $ $ 7 . 7B $ $ ( ) ( D ( ) D B
C.
'plicando 0.E.E.0.
∂ϕ =7 ∂$ i
∂φ = E'-7.D(B $( − 7.7B $ ) − 7.)$ D − 7.7CB $ − B = 7 ∂$( ∂φ = E'-7.DCG $ ) − 7.7B $( + 7.7B $ = 7 ∂$ ) ∂φ = E'-7.D(B $ D − 7.)7 $( + 7.7B $ B − .(GC = 7 ∂$ D ∂φ = E'-7.DCG $ B + 7.7B $ D + D = 7 ∂$ B
∂φ = E'-7.D(B $ − 7.7CB $( + 7.7B $ ) = 7 ∂$
Qesolviendo el sistema de ecuaciones.
7.D(B − 7.7B − 7.) − 7.7B 7.DCG 7 − 7.) 7 7.7B 7 7.DCG 7 − 7.7CB 7.7B 7
7 7 7.7B 7.DCG 7
− 7.7CB B 7 $($) 7 .7B $D ( − .(GC − = 7 $ B E' 7 − D $ 7 .D(B 7
$( G7.GG $) ( G.C) G).7 $D = $ B E' − )7.(( (.7 $
.
/álculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
d( = $ )
=
d)
= $ =
dD
=
G.C) E' (.7
C(. E'
E'
dB
=
d
=
dC
=
1 D.DC E' (.7C E' 1 )7.(7 E'
.
/álculo de las fuerzas a$iales.
=
-E' i Li
di
-E' -G.C( H E' = D.)7 ton D -E' <) = -(.7H E' = B.) ton B <( =
.DC ton == 1C.DD ton < = 7.) ton
Finalmente por el m#todo de los nodos se calculan las reacciones en los apo&os.
TEORE$A "E %A(TIG'IANO
+ea una estructura la cual está sometida a un sistema de cargas cuales%uiera" las cuales generan una deformación a la estructura misma" el valor de la carga puntual aplicada a un punto dado estará definido por la derivada parcial de la energía con respecto a la deformación en el mismo punto dado de la estructura.
∂U = 0( ∂di 0rimer teorema de /astigliano
La deformación en el punto i de la estructura citada arriba es igual a la derivada parcial de la energía con respecto a la carga puntual 0 aplicada en el mismo punto i.
∂U = d( ∂0i +egundo teorema de /astigliano
Eje*plo+
/alcular la deformación en el punto * de la siguiente barra.
'plicando el segundo 2eorema
∂U =d ∂0 i
U=
( )
L0 ) d$ $
∫
7
TF$ = 7
E'
∴
+?
( )
L
)
L
)
5 ( 6 d$ + ∫ d$ ∫ >L ) E4 7
5=7
7
( 0)L ∂ ∂U ) E' 0L = = E' ∂0 ∂0
TF& = 1< R 0 = 7
6fle$ = 7
U=
(
L
0)
( 0
d$ = L=7 ) ∫ E' ) E' 7
/alcular el desplazamiento en el punto * de la siguiente viga.
TF& = <10 = 7 < = 0
TF$ = 7 '$ial = 7
T6' = 0 V @ = 0 VL
U=7+ U=
? )
L 0)
(
∫ >'d$ + ) ∫
? 0L ) >'
7
+
L -0
7
⋅ @) d$ E4
( 0 )LD C E4
∂U ?0L ( 0LD = + = ∂0 >' D E4
deformación
/alcular la defle$ión en el punto *.
E = )77 >0a
4 = 7.GB $(71DmB
T6' = 0-D R D7-* R D7-G -B. S /g-G = 7
/g =
0 D
+ (D
2Q'6 '*
)0 D
+ (D − D7 $ /ortante
6=
5
5
=
∫ 5d$ = ( )E4
)0$ D
)
D
∫ B0G$ 7
+ (D $ − ( $ ) = 7
)
+ -(D ) $ ) + -( ) $ B + G70$ ) − (70$ D − )7) $ D d$
= B0 ) + C7.0 + (DDGD .
2Q'6 */
−
0 D
− (D + D7$ /ortante
6=
∫ 5d$ = − 0$D − (D$ + ($
U=
( )E4
U = 0 )
L0 ) $ )
∫
7
G
)
+ (D ) $ ) + ( ) $ B + B0$ ) − 0$ ) − )7)$ D
+ (C)70 + (77C7)7
∂U 4 ( = 0 + C7. + (C0 ()+ (C)7) = ∂0 E4
( )B0 + ))). )E4
∆=
(777[ )B-(D + C-D7 ] + ))). )-)77 $(7 G < H m ) -7.GB $(7 D m B
= 7.7)77m
$ETO"O "E 'A %ARGA -IRT.A' .NITARIA O $ETO"O "E' TRABAJO -IRT.A' .NITARIO El segundo teorema de /astigliano se limita a calcular la deformación en el punto de aplicación de la carga" esto es;
∂U c = d( ∂0i
El m#todo de la carga vitural unitaria es el más til & versátil de las t#cnicas energ#ticas.
0uede usarse para determinar deformaciones en cual%uier lugar de la estructura" %ue sean causadas por cual%uier tipo de carga.
J5irtualK significa %ue e$iste en efecto" pero no de !ec!o. La carga virtual es una carga ficticia %ue se incorpora en algn punto de la estructura.
El trabajo virtual es el movimiento de esta carga virtual a trabes de una distancia.
0or el principio de la conservación de la energía para las fuerzas o cargas virtuales.
Trabajo -irt/al Externo = Ener!a de "e0or*ación -irt/al Externa +ea la siguiente viga el cual se re%uiere conocer la defle$ión en el punto ,.
0ara conocer la defle$ión en el punto ," se aplica & una carga unitaria ficticia en este punto" en la dirección de la defle$ión deseada.
+i solo consideramos fle$ión la carga ficticia provoca un momento m en cada lugar de $" esto es;
'!ora" las cargas reales !acen %ue la carga vertical sobre la cual acta m gire un dθ
ángulo
.
,e nuestros cursos anteriores sabemos %ue; dθ =
6d$ E4
El trabajo virtual interno para la viga es mdθ
∫ 0or lo tanto la defle$ión de una viga se calcula mediante;
4$∆
Trabajo -irt/al Externo = Trabajo -irt/al Interno
=
∫ mdθ
0ero dθ =
6d$ E4
0or lo tanto" la deformación considerando solo fle$ión es;
∆=
L
d$
∫ 6m E4 7
,e manera similar para el resto de elementos mecánicos" por lo %ue la deformación total es;
0ara estructuras en el plano
d=
L
∫< n 7
$
d$ $
E'
+9
L
∫5v 7
&
d$ &
>'
+
L
∫6 m z
7
d$ z
E4
0ara estructuras en el espacio
d=
L
∫< n 7
$
$
d$ E'
+9
L
∫5v 7
&
&
d$ >'
+9
L
∫5v 7
z
z
d$ >'
+
L
∫2t 7
$ $
d$ >Am
+
L
∫6 m 7
&
&
d$ E4
+
L
∫6 m 7
z
z
d$ E4
,onde;
Las letras ma&sculas indican los elementos mecánicos generados por las cargas reales. Las letras minsculas indican los elementos mecánicos generados por las cargas virtuales o ficticias.
TAB'A( "E INTEGRA'E( "E -A'ORE( %A'%.'O "E "E(P'A,A$IENTO
L
(
∫ 6md$ = D +i ? 7
=
( 0LD -L -0L-L = D DE4
%A'%.'O "E GIRO
L
(
∫ 6md$ = ) +i ? 7
θ* =
( 0L) -L -i-0L = ) )E4
%A'%.'O "E "E(P'A,A$IENTO(
d*
=
d*
L
7
=
( 3L) -L -L B )
d*
"IAGRA$A( (
θ* = D +i ?
θ* =
( 3L) -L -4 D )
(
∫ 6md$ = B +i ?
=
3LB E4
Eje*plo+
>8 = D >L = 7
'plicando 2.6
∂U d Q" 6
=7
+olo considerar fle$ión
∫ 6 dd6Q d$E4 d6 d$ U= 6 ∫ d 6 E4 L
U=
)
7
'
L
7
'
6 = '&$ S 6a d6 d '&
U=
=
=
4 E4
4 E4
LH)
∫ - '&$ − 6 7
LH)
∫ -'& $ 1 6 7
4 '$ D E4 D
U6'
=
4 E4
−
∫
)
-$ d$
- $ d$
6' $ )
LH)
7
'
'
d6 d '&
=$
= −4
=
=
LH)
D ) = 4 'L − 6oL )B E4 7
- '&$ − 6 ' - −(d$
=
4 E4
LH)
∫ -−'&$ + 6 7
'
d$
=
LH)
4 '&$ ) − E4 )
4 '& L) 6 ' L + 6 ' $ = − + E4 ) 7
6 = '& ( L H ) + $ ) − 6 ' '& L
=
U '&
=
4
∫
=
=
=
E4
4 E4
LH)
7
∫
LH)
7
d 6'
−
'& L) '& L $ 6 ' L 0 L $ '& L $ ) ) B + ) − ) − ) + ) − 6 ' $ − 0$ + '& $ d$ LH)
'& L) $ '& L $ ) 6 ' L$ 0 L $ ) '& L $ ) 6 ' $ ) 0 $ D + − − + − − E4 B B ) B B ) D 7 4
4 '& LD E4
+
'& LD (C
=
4 '& LD E4 )B
U6'
=
4 E4
4 E4
∫
LH)
7
LH)
∫
7
−
6 ' L)
−
0 LD − (C
B
D 6 ' L)
−
+
0 LD B
'& LD )B
'& L + '& $ 1 6$ 1 0$ -−( d$ )
− '& L − '& $ + 6 + 0$ d$ ' ) )
LH)
)
= E44 − '&)L $ − '&)$ + 6 ' $ + 0$) 7
=
d6
0$ '
'& L + L '& $ 1 6 ' − 0$ + $ d$ ) )
U '&
=
'& $ 1 6
+
)
d6 d '&
− 0$
4 '& L) − E4 B
U6'
=
−
'& L)
4 D '& L) − E4
+
+
6' L )
6' L )
+
+
0 L)
0 L)
6 ' LD
−
0 LD − )B
+
'& LD )B
= LH)+ $
= −(
U total
=
4 'LD E4 )B
=
U ':
−
6 ' L)
4 '&LD E4 D
−
6 ' L) )
−
'&LD D6 ' L) 0LD + B − − B
0LD B
=
U6'
=
4 '&L) − E4 )
+
D'&L) 6 ' L 0L) + ) + ) +
6 ' L )
'&L) 0L) − + 6'L + E4 ) 4
,espejando '& de
'&LD D '&LD '&
=
= =
6 ' L) ) D6 ' L)
D6 ' )L
)
+
+
0LD
+
B (0LD B
0 (C
+ustitu&endo '& en
6'
=
0L
'&
=
0 )
$ETO"O "E %ARGA -IRT.A' Encontrar defle$ión en JcK
d=
dc'/
+í0=(
(H )
7
6=
0 ( $ − 0L ) )
d '/
=
4 E4
d '/
=
4 0$ D E4 ()
−
−
LH)
∫
7
=
4 0LD E4 GC
d '/
=
4 0LD E4 DB
6=
=
0L B
6=
+
() D CB
0LD ()
+
0L + $ − − 0$
+
0$ )
0L
−
−
0$ )
−
0L
0L) $ CB
0L$ ) (C
+i0=(
0L ))
$ )
(
(H )
7
0$ ) 0L$ 0L$ 0L$ 0L) B − (C − (C − + CB d$
d '/
dc'/
m=
− 0$
LH)
7
4 L 6md$ E4 7
∫
LH)
0L − 0$ L − $ d$ = 4 E4 )
d /*
=
4 E4
d /*
=
4 0L) $ E4 CB
∫
7
d /*
=
4 0LD E4 GC
d /*
=
4 0LD E4 DB
−
−
0L$ ) (C
0LD (B
+
+
0$ D )(
LH)
∫
7
0L) 0L$ 0L$ ( 0$ ) CB − (C − (C − 0L$ + B d$
LH)
7
0LD ()
=
4 0LD E4 DB
=
4 0LD E4 (G)
+
,efle$ión 2otal = d'/ R d/*
0LD DB
%A'%.'O "E GIRO
2ramo '*
/argas Qeales 6=
0$ )
−
4 E4
∫
θ' =
=
0L
LH)
7
4 0$ ) E4 B
−
/argas 5irtuales
LH)
LH)
7
6=4
7
0$ − 0L d$ ) 0L$
)
L H)
7 )
θ ' = E44 0L − 0L = 7 (C (C
2Q'6 */
/argas Qeales 6=
0L
θ* =
4
−
L H) 7
E4
0$ )
∫
/argas 5irtuales
LH)
LH)
7
6=4
7
0L − 0$ d$ )
L H) 4 0L$ 0$ ) = − E4 B 7
θ* =
4 0L) E4 (C
−
0L) (C
=7
θ = 7.77
/alcular el desplazamiento d* & el giro θ*
∑ 6c = 7 − 6F − 6F
/argas reales
=
3L) )
)
3$ (
+ 3L$ −
)
=7
)
3L)
3L$
)
+
3$ ( )
/alculo de momentos
∑ 6' = 6a
=
3L) )
− 6' = 7
3L) )
/argas ficticias en * -/arga unitaria
/alculo de Qeacciones & momentos 6' Q'
= -4- $ = -L -4
/orte
$
L
∫
7
∑6 = 7
∑ 6 = 6 ' + mp + Q ' L
'plicando 6./.5.U. /onsiderando solo fle$ión
L
L
d$
d$
3L)
L
∫ 6m E4 = ∫ -6p-mF E4 = ∫
)
( − $ + L ) d$ E4
=
d*
) L 3$ ( 3L) 3LD 3$ )L = − + − 3L) $ + $ + 3L$ ) − d$ 7 ) ) ) )
7
7
7
)
− 3L$ +
3$ (
d*
)
∫
d*
=
d*
=
3L) $ ) B
+
3L$ D D
B
3$
−
(
+
3LD $ )
( 3L
Eje*plo+
>8 = >8E R >84 >8E = B S D = ( >84 = 7 >82 = (
>L = D $ D S B =
/alculo de Qeacciones
0ara este caso emplearemos el m#todo del trabajo mínimo para ello tomaremos como redundante a Qc& por tanto
∂U ∂U =d=7⇒ =7= ∂Qc& ∂Qc&
L
∂6
d$
∫ 6 ∂Qc& E4 7
6f(
= Qc&- $ ⇒
6f)
∂6f( =$ ∂Qc&
= Qc&-L −
3& ) )
⇒
L= !
∴
∂6f ) =L ∂Qc&
'plicando 6.2.6.
L
7=
4 E4
7=
4 Qc& $ D E4 D
7
4
!
∫ Qc&-$-$d$ + E4 ∫ Qc&-L − 7
7
L
+ 7
3& ) -Ld& )
3L& D 4 Qc&L) & − E4 C
!
7
4 Qc&LD 4 3L! D ) = E4 D + E4 Qc&L ! − C
pero 7=
4 Qc&LD E4 D
4 B + (Qc&LD ) − 4 3L E4 C E4 despejando a Qc&
Qc& L E4 D
D
+ LD =
B
3L CE4
⇒
Qc& BL E4 D
D
=
B
3L CE4
∴
=
Q /:
3LB DE4 CE4 BLD
Qc& =
Finalmente
3L
sustitu&endo valores Qc&
=
-- B
⇒
Qc&
= ). ton
0ara encontrar el resto de las reacciones se aplica el e%uilibrio estático
∑ 6' = 7
−
3L
-L +
3L) )
− 6' = 7
6'
=
∑ F& = 7
Q '&
+
3L
=7 ⇒
Q '&
=−
3L
⇒
Q '&
∑ F$ = 7
2razo de diagramas
= −).7 2on
Q '$
+ 3L = 7
Q '$
= − 3L
Q '$
= −)7 2on
D 3L)
⇒
6a
= D7 ton 1 m
/alculo del desplazamiento !orizontal en -*
'plicando el m#todo de /arga 5irtual Unitaria;
d8
L
∫
= 6m 7
d$ E4
6f(
= Qc&- $ ⇒
∂6f( =$ ∂Qc&
6f)
= Qc&-L − -(-&
∂6f) =L ∂Qc&
L
7
'plicando 6.2.6. L
!
7
7
7=
4 E4
7=
4 Qc& D $ E4 D 7
∂6 d$
∫ 6 ∂Q E4
7=
∫ Qc&- $-$d$ + ∫ [Qc&-L −][&] L d& L
!
L& ) + Qc&L) & − ⇒ ) 7 pero L = !
7=
Qc&
4 Qc&LD 4 + Qc&LD E4 D E4
=
LD DE4 )E4 BLD
=
−
LD )
⇒
Q c& LD E4 D
+ LD =
LD )E4
D ton
0or e%uilibrio estático
∑6' = 7 − 6 ' + (-! −
D
-L = 7
6'
D
= − L+!
6'
=−
D- B
Q '&
=−
D
Q '$
= −(
+ ↑ ∑ F& = 7 Qc& +
D
=7
+
→ ∑ F$ = 7 ( + Q '$
=7
pero ! = L = B
+B ⇒
6'
=
ton 1 m )
6f )
=
d!*
3L
-L −
=
4 E4
4
∫
∴ d !*
=
=
E4
3& )
6f)
)
D
= L−&
)
∫ 3L$ D $ d$ + E44 ∫ 3L L
!
7
7
L D 3L$ )
7
CB
4 D 3L$ D E4 (G)
L
+ 7
d$ +
4 E4
D 3LD
!
∫ 7
CB
−
−
3L) B
3L) & ) 4 D 3LD & − E4 CB (C
+
3& ) )
−
D L − & d&
D 3L& ) (C
D 3L& D B
+
+
3& D B
3& B
d&
!
7
pero ! = L
=
4 3LB 4 D 3LB + E4 CB E4 CB
d!*
=
D 3LB (C E4
= d!* =
/alculo del giro
3LB (C
+
3LB (C
D--B B (C E4
=
)B7 m E4
−
+
3LB
+iempre & cuando E & 4 est#n en 2Hm ) & mB
6f(
= Qc&- $ − (
∂6f( =$ ∂Qc&
6f )
= Qc&-L − (
∂6f( =L ∂Qc&
7=
∴
4 E4
L
L
7
7
∫ (Qc&-$) − ( -$(d$ +) E44 ∫ Qc&L − ( -Ld&
7=
4 Qc& $ D E4 D
7=
4 Qc& L D E4
−
$) )
−
L 4 + E4 Qc& LD )
L
∫ + E44[Qc& L & − L&] )
7
! 7
pero ! = L D
7=
Qc& LD E4 D
Qc&
=
)
[
− L) ]
4 L) + LD + − − L) ⇒ E4 )
D L) D E4 ) E4 BLD
⇒
Qc&
=
7=
Qc& BLD 4 DL) + − E4 D E4 )
G L
0or e%uilibrio se encuentran las reacciones restantes
/alculo de giro
∴ θ* =
θ* =
L
8
7
7
∫ CB 3$ L
4 E4
)
∫ 3L -$ GL$ − (d$ + ∫ 3L
4 E4
θ* =
G
)
7
4 D 3$ D E4 CB
−
−
3L
3L$ ) (C
$ d$ +
L
∫
7
+
G 3L)
!
∫ 7
CB
−
−
3& ) G )
3L)
−
G (C
− (d&
3& )
4 G 3L) 3L) G 3& D &− &− E4 CB B
+
+
3& ) )
3& D C
d& !
7
pero ! = L
θ* =
4
D
E4 CB
θ* = − ∴
θ* = −
3LD
3LD CB E4
3LD B
E4
+
D
−
3L
( CB
(C
4 G D 3L D 3L − 3LD + + 3L − (C C E4 CB
3LD
D
−
3LD B E4
D
Eje*plo+ /alcular los desplazamientos !orizontal & vertical & el giro en el nodo / aplicando el m#todo de la carga virtual unitaria del siguiente marco el cual esta sujeto a una carga 0 en el nodo /. /onsidere solo fle$ión.
E$isten dos formas de encontrar los desplazamientos" una de ellas es encontrar las e$presiones de la variación de los momentos fle$ionantes del marco para cargas reales & para cargas unitarias & sustituir en la ecuación;
∆=
L
d$
∫ 6m E4 7
& l a otra es la utilización de los valores de integrales %ue contienen los productos
L
∫ 6md$ 7
/alculo del desplazamiento !orizontal dc
/alculo de los momentos fle$ionantes debido a cargas reales
2ramo /*
2Q'6 *'
8
6f ) L
6f(
= 0$
$
7
/alculo de los momentos fle$ionantes debido a cargas unitarias
= 0L
&
7
2ramo /*
2ramo *'
L
mf(
$
=7
8
7
mf )
'plicación del m#todo de la carga virtual unitaria.
∫
L
d$ E4
dc 8
= 6m
dc 8
=
∫ -0$ -7 E4 + ∫ -0L-& E4
dc 8
=
&) 4 -0L E4 )
7
dc 8
=
8) 4 -0L E4 )
dc 8
0L8) =
7
L
8
d$
7
7
)E4
8
d&
= -&
&
7
'!ora se calculara el mismo desplazamiento !orizontal en el punto /" empleando L
∫ 6md$ 7
valores de integrales %ue contienen los productos
,iagramademomentos
,iagrama
de
momentos
debidos a la paracargasreales
carga virtual unitaria
!orizontal
'l utilizar las tablas de valores de integrales; 2ramo /*
2ramo *'
(H ) +i ?
0or lo tanto dc 8
=
( ) - 8 $ 0L $ 8
Finalmente dc 8
=
4 )E4
-0L8)
dc 8
=
4 ) ) -0L8
/álculo del desplazamiento vertical dc
,iagrama de momentos
,iagrama de momentos debidos
a la paracargasreales
carga v irtual u nitaria
vertical
'l utilizar las tablas de valores de integrales
( D
+i ?
+i ?
0or lo tanto dc v
=
dc 5
=
( D
+i ? + +i ?
( - L $ 0L $ L D
dc !
=
( -0LD + 0L)8 D
Finalmente dc v
=
0L) L + D8 E4 D
dc !
( = 0L) L + 8 D
θc /alculo del giro L
∫ 6md$ 7
Empleando valores de integrales %ue contienen los productos
,iagrama de momentos
,iagrama de momentos debidos
a la paracargasreales
carga v irtual u nitaria
vertical
'l utilizar las tablas de valores de integrales
( +i ? )
+i ?
0or lo tanto
θv =
( +i ? + +i ? )
θc =
( - L $ 0L $ L + - 8 $ 0L $ ( )
Finalmente
θc =
( -0L) + 0L8 )
( θc = 0L L + 8 )
θc =
0L L + )8 E4 )
