Trabajo Practico Version Final V2-2013

Comunicaciones Digitales y Analógicas (66.78)

Trabajo Práctico Final Primer Cuatrimestre 2011

Alumnos Rocabado, Marcelo Pardo, Marco A.

Padrón 77202 79297

Trabajo Práctico Final


Introducción. En el presente trabajo estudiaremos el comportamiento de un sistema de comunicación digital por medio de la transmisión de una constelación M-PAM. Se estudiará el comportamiento para dos tipos distintos de canal, en un principio un canal ideal con AWGN y luego un canal con respuesta impulsiva en tiempo continúo h(t ) = e

− t / τ

.

Se hará un análisis y comparación entre distintas formas de recuperar los símbolos transmitidos en el receptor, como lo son un filtro adaptado, un ecualizador MMSE-FIR y uno ZFE-FIR. Considerando la siguiente señal de comunicación

x (t ) =

∑ I

n

⋅ g (t − nT )

n

donde In define los símbolos transmitidos, T es el período de símbolo y g(t) es el pulso formador. Asuma que se utiliza un alfabeto PAM de M niveles.

Los parámetros asignados para resolver los ejercicios son:

er

•

Pulso formador g(t): pulso de Nyquist.

•

Canal de transmisión: h(t ) = e

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− t / τ

con

τ

= 2T.

2



Ejercicio 1

Asumiendo un canal AWGN y SNR = 20dB, determine la máxima tasa de transmisión que −5

permita transmitir con una P( E ) ≤ 10 . Para resolver este punto tenemos en cuenta que para una constelación M-PAM la cota de probabilidad de error de símbolo por vecinos cercanos es:

⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎟ SNR ⎟Q⎜⎜ 2 ⎟ M M − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

P( E ) = 2⎜1 −

Donde

SNR = 20dB = 100 −5

En este caso hallamos M de tal forma que P( E ) < 10 , entonces operando con la ecuación de arriba:

3 M 2 − 1

→

SNR > 4,013

M 2 < 19,6

→

→

3 M 2 − 1

>

4.0132

3

→

M 2 − 1

100

> 0.161

→

M 2 − 1 <

3 0.161

obtenemos M = 4,4

Elegimos M = 4 y verificamos que la P(E) = 5,895.10

-6

-5

< 10

Se observo que para M = 8 la P(E) = 2,564.10 -2 > 10-5 Con respecto a la tasa de transmisión debemos saber que la misma está dada por:

Γb = b * Γs donde Γs =

1 T s

Γ b:

tasa de bits T s: tiempo de símbolo b: número de bits por símbolo Para nuestro caso elegimos T s = 1seg. Como M = 4 entonces b = 2 por lo tanto resulta que la máxima tasa de bits que cumple con la condición requerida es Г b = 2 bps.

er

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3



Ejercicio 2

Verifique empíricamente la expresión de la probabilidad de error de símbolo obtenida en clase para esta constelación. Para comprobar empíricamente la probabilidad de error de detección de símbolo teórica suponemos un canal ideal con la introducción de ruido blanco gaussiano (AWGN). La probabilidad de error de símbolo (SER) para esta constelación es:

⎞ 3 3 ⎛ SNR ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ SNR = Q⎜ ⎟Q⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ M ⎠ ⎝ M − 1 ⎠ M =4 2 ⎝ 5 ⎠

P( E ) = 2⎜1 −

En base a esta fórmula graficamos la curva teórica de la probabilidad de error en función de la SNR, en el mismo grafico se representan las probabilidades de error obtenidas empíricamente (simuladas) para distintos valores de SNR (snr como parámetro). La curva empírica se obtuvo simulando la transmisión de la s eñal a través del canal con ruido AWGN, recuperándola en el receptor mediante un filtro adaptado. De las muestras de esta señal recuperada se obtuvo un conjunto de símbolos. Esta secuencia recuperada finalmente se comparo con la secuencia transmitida y se determino de esta manera la cantidad de símbolos erróneos. Grafica de la curva teórica y empírica de la probabilidad de error de bits.

Para realizar las simulaciones fue neces ario aumentar el número de bits de la secuencia de datos a medida que aumenta la SNR. Al aumentar la SNR disminuye la probabilidad de error, y por lo tanto es necesario tomar más datos para encontrar un error.

er

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4



A continuación mostramos el pulso formador.

er

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5



Ejercicio 3

Obtenga el gráfico del diagrama de ojo del sistema para diferentes valores de SNR. A continuación mostramos un esquema completo del sistema cuando el canal es ideal con AWGN. Para recuperar la señal en el receptor se implemento un filtro adaptado que para nuestro caso es el mismo pulso formador (señal es real y simétrica). El diagrama de ojo lo tomamos a la salida del filtro adaptado.

A continuación mostramos los gráficos obtenidos mediante la simulación. Diagrama de ojo a la salida del filtro adaptado:

En el gráfico se observa que para una SNR=60dB la señal pasa por el valor del símbolo transmitido en el instante T=0.

er

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6



Diagrama de ojo para SNR = 30dB de la señal antes de pasar por el filtro adaptado.

Diagrama de ojo para SNR = 30dB de la señal después de pasar por el filtro adaptado.

Diagrama de la constelación para SNR = 30dB.

er

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Diagrama de la constelación para SNR = 10dB.

er

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8



De la observación de los gráficos anteriores se puede concluir que a medida que se disminuyó la SNR el diagrama de ojo obtenido es más “cerrado”, es decir que es más difícil distinguir el valor del símbolo transmitido. Por lo que aumenta de este modo la Probabilidad de error al decidir que símbolo ha sido transmitido. También se puede observar que para una SNR=30 dB a pesar de tener un diagrama de ojo “más cerrado” respecto al diagrama de ojo para SNR=60dB, se puede decidir correctamente cual ha sido el símbolo transmitido, esto se ve reflejado en el correspondiente diagrama de constelación. Así mismo para una SNR=10dB se puede observar como aumenta la probabilidad de tomar una decisión incorrecta.

Ejercicio 4

Ahora suponga que el canal de transmisión tiene una respuesta impulsiva en tiempo continuo igual a h(t). Obtenga el nuevo diagrama de ojo del sistema, y determine el nivel de ISI que genera este canal. A continuación se muestra un esquema completo del sistema cuando el canal tiene una respuesta impulsiva en tiempo continuo igual a h(t ) = e

Respuesta al impulso del canal h(t ) = e

er

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− t / τ

− t / τ

con

con

τ

τ

= 2T.

= 2T

9



A continuación mostramos el diagrama de ojo a la salida del filtro adaptado para una SNR=60dB y τ =2T

Para τ = 2T el nivel de ISI generado es muy alto, a pesar de tener una SNR=60dB (es decir un efecto de ruido muy bajo) igualmente se obtiene solapamiento de los pulsos correspondiente a cada símbolo transmitido.

er

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10



A continuación mostramos el diagrama de ojo a la salida del filtro adaptado para una SNR = 60dB y τ = T/4

Graficando el diagrama de ojo a la salida del Filtro Adaptado para una SNR= 60 dB y un τ =T/4 (duración de la respuesta del canal) se observa cualitativamente que el nivel de ISI disminuye.

er

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El nivel de ISI que genera este canal lo podemos determinar cualitativamente del diagrama de ojo sabiendo que mientras más cerrado esté el mismo más ISI tenemos, por otro lado también lo podemos determinar cuantitativamente por medio de la distorsión cuadrática media que por definición es:

•

Distorsión media cuadrática: Dms

= ε x . p .∑ qi 2

i ≠0

Donde p(t ) = g (t ) ∗ h(t ) y

q(t ) = p(t ) ∗ p * (− t )

Este cálculo para nuestro caso dio Dms = 6.9254 con SNR = 60dB y Este cálculo resulta Dms = 0.0083 con SNR = 60dB y

τ

τ

= 2T.

= T/4.

Ejercicio 5

Determine en cuánto se degrada la probabilidad de error, y verifique experimentalmente el resultado. Para resolver este punto sabemos que la probabilidad de error debida al ISI se ve afectada de la siguiente forma:

⎛ p(t ) d mim ⎞ ⎟ P ( E ) ≤ NeQ ⎜ ⎜ 2 D + σ 2 ⎟ ms ⎝ ⎠ Donde

⎛ 1 ⎞ 3 M = 4 ; d mim = 2 ; Ne = 2⎜1 − ⎟= ⎝ M ⎠ 2

;

p (t ) = g (t ) * h(t )

2

;

σ

=

E prom SNR

Se calculo la probabilidad de error para una SNR alta para ver el efecto del ISI introducido por el canal para el cálculo experimental.

Para

τ

= 2T:

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,5348 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,5411

Para

τ

= T/4:


De los resultados obtenidos para la P(E) se observa que disminuye cuando el τ decrece, como es de esperar ya que el nivel de ISI disminuye para estos valores de τ según lo visto en el punto anterior.

er

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Ejercicio 6

Modifique la tasa de transmisión de modo de respetar la cota de error Pe < 10 −5. Para M = 4 y un canal h(t ) = e

− t / τ

con

τ

= 2T y SNR = 60dB simulamos para distintos valores

de T: T=1/2: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,5339 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,5428 T=5: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,5339 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,5426 T=10: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,5339 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,5427 De los resultados se ve que no hay mejora en lo que respecta a la probabilidad de error. También lo hicimos modificando la constelación para M = 2 y variamos de nuevo T: T=1/2: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,2044 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,2169 T=5: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,2044 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,2169 T=10: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,2044 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,2161

Se observó que la SER no varía con el período de símbolo T por lo que no se puede obtener una tasa de transmisión que cumpla con la restricción Pe<10 -5 (para Γ s =

er

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1 T s

) que requiere el enunciado.

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Ejercicio 7

Diseñe un ecualizador MMSE para el canal. A continuación mostramos un esquema de cómo queda el sistema con la inclusión del ecualizador lineal MMSE-FIR.

Tener en cuenta que la señal y(t) se pasa primero por un filtro anti-alias ideal y luego se muestrea cada T segundos. Entonces debemos diseñar un ecualizador lineal de mínimo error cuadrático medio y de respuesta impulsiva finita. El ecualizador consiste en un filtro FIR con N f coeficientes f k , que permite obtener una estimación z k a partir de las muestras de salida del canal y k, o sea:

El criterio de diseño consistió en:

min

[

E z k − x k −Δ

f , Δ Donde

representa al ecualizador y

2

]

retardo.

Entonces el ecualizador tiene la siguiente forma: −1

2 ⎡ T ⎤ σ T f MMSE = I Δ ⎢ P .P + I . ⎥ .P ε x ⎣ ⎦ T

M Donde P = Matriz de Toeplitz.

er

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Simulaciones variando la SNR y τ . Parámetros: 4-PAM; T=1; g(t) = pulso de Nyquist ; Canal h(t ) = e

− t / τ

;

Ecualizador MMSE-FIR Simulación para SNR= 60dB con τ = 2T:

er

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Simulación para SNR= 20dB con τ = 2T:

er

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Simulación para SNR= 60dB con τ = T/4:

er

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De lo observado en los gráficos podemos decir que el filtro MMSE-FIR presenta una buena respuesta tanto para niveles de ruido elevados y baja ISI como para bajos niveles de ruido y elevada ISI.

er

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Ejercicio 8

Vuelva a repetir el cálculo de la probabilidad de error. ¿Es posible aumentar la tasa de transmisión sin violar la restricción en P( E ) ≤ 10

−5

?

Se toma como base para el análisis el cálculo de SER con el ecualizador:

E ek

2

2 = σ W 2 1Δ ⋅ ( P * ⋅P + SNR−1 I ) −1 ⋅ 1Δ* = σ W T ΔΔ 144 4 4 244 4 4 3

T ΔΔ

SNR EQ, Biased =

ε

x

[ ]

E ek

2

=

SNR T ΔΔ

SNR EQ,Un− Biased = SNR EQ, Biased − 1 =

SNR T ΔΔ

−1

⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ Q SNR ⎟ ⎜ EQ ,Un− Biased ⎟ 2 M M − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Pe = 2⎜1 −

En la expresión de Pe se observa que para un SNR elevada (>30dB aproximadamente), el valor de SER se reduce notoriamente, pudiéndose despreciar al considerarse Pe prácticamente nula. Este hecho es debido a la acción del ecualizador, el cual prácticamente elimina el efecto del ISI. De las ecuaciones se observa también que al reducir la varianza del ruido la SNR EQ se ve incrementada significativamente, provocando que la SER disminuya varios órdenes de magnitud (< 10-10), por lo que se torna también de esta forma despreciable. Se expresan a continuación los resultados obtenidos del cálculo del SER, tanto teórico como empírico (simulado), para la constelación de referencia, con distintos valores de SNR y τ con una cantidad de coeficientes del ecualizador Nf dada por la longitud del pulso equivalente del canal muestreado p. Parámetros: 4-PAM; T=1; g(t) = pulso de Nyquist ; Canal h(t ) = e

− t / τ

;

Ecualizador MMSE-FIR Simulación para SNR= 60dB con: Para

τ

= 2T: −21

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 6,7345.10 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0

Para

τ

= T/4: −295


er

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Simulación para SNR= 20dB con: Para

τ

= 2T:


Para

τ

= T/4:

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,1662 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,1650 Para la determinación del SER experimental, directamente de utilizó la proporción entre símbolos errados contra el total. Los resultados obtenidos para SER se condicen con lo mostrado en los gráficos del punto 7, en cuanto se podía esperar muchos mejores resultados respecto al valor de SER al tener una SNR mayor (SNR= 60dB en el presente caso) resultando prácticamente nulo el valor obtenido . Para realizar un análisis más completo se pueden comparar los resultados obtenidos aquí, correspondientes al caso con ecualizador, con los obtenidos en el punto 5 y 6, correspondientes al caso sin ecualizador con una SNR alta, se observa que SER, a pesar de tener una alta influencia del ruido se ha reducido notablemente (más de un orden de magnitud). A fin de completar el análisis y comparar con los resultados obtenidos en los puntos 5 y 6 se presentan los resultados obtenidos para SER variando T y M. Para M = 4 y un canal h(t ) = e

− t / τ

con

τ


de T: T=1/2: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,1626 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,1619 T=5: −13

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 5,2287.10 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0 T=10: −18


De los resultados obtenidos para M=4 se puede determinar que es posible cumplir con la restricción P( E ) ≤ 10

er

−5

aumentando significativamente el valor de T.

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Para M = 2 y un canal h(t ) = e


− t / τ

con

τ


de T:

T=1/2: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,0029 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,0031 T=1 −7

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 1,8612.10 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0 T=5:

−58

Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 2,6392.10 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0 T=10:

−85


Para la obtención experimental del SER, se tomó la proporción de símbolos errados. En la simulación se utilizaron 10 6 símbolos. Observamos aquí que con un tamaño de constelación de M=2 es posible satisfacer la −5

condición del enunciado P( E ) ≤ 10 , tomando una ecualizador con una cantidad suficiente de coeficientes. Se observa claramente que la mejora en cuanto a la P(E) es mucho más evidente y de mayor magnitud al reducir el tamaño de la constelación M para reducir la tasa de transmisión . Si se toman en cuenta los valores obtenidos en el punto 6 (sin Ecualizador) y se los compara con los resultados obtenidos aquí (con Ecualizador), se evidencia que para un mismo tamaño de constelación (M=2), el valor de SER se redujo en varios órdenes de magnitud, a pesar de la influencia del ruido. En definitiva se puede ver que claramente se cumple con la condición pedida en el enunciado. Pudiéndose afirmar, entonces, que una constelación con tamaño M=2, y T=1 permite alcanzar una taza binaria de 1 bps, garantizando una probabilidad de error, Pe<10 -5.

er

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Ejercicio 9

Diseñe ahora ZFE-FIR y analice el aumento del ruido. Para el diseño del ecualizador ZFE-FIR suponemos que la señal no tiene ruido, descontando su efecto y procedemos de manera equivalente al diseño del filtro MMSE. Repitiendo los cálculos sin tomar en cuenta el ruido llegamos a la siguiente expresión.

[

f ZFE = 1Δ ⋅ P * ⋅ P ⋅ P * T

]−

1

En este caso el error cuadrático medio resultará:

[ ]=

E ek

2

[ ]=

E ek

2

−1

* * xy = ε x − ε x 1Δ ⋅ P ⋅ (P ⋅ P ) ⋅ P ⋅1Δ x − f ⋅ r *

*

ε

(

* * x 1 − 1Δ ⋅ P ⋅ P ⋅ P

ε

)−

1

−1

⋅ P ⋅1Δ = ε x 1Δ ⋅ I − P * ⋅ (P ⋅ P * ) ⋅ P ⋅1Δ *

Debe notarse que este resultado no es el error cuadrático medio real del ecualizador dado que se ha despreciado el efecto del ruido. Ahora si tenemos en cuenta el ruido, a la salida del ecualizador tendremos

(

z k = f ⋅ y k = 1Δ ⋅ P * ⋅ P ⋅ P *

(

)−

(

)−

z k = 1Δ ⋅ P * ⋅ P ⋅ P * z k = 1Δ ⋅ P * ⋅ P ⋅ P *

1

1

)− ⋅ (P ⋅ x 1

k

+ W k )

⋅ P ⋅ x k + nk *

⋅ P ⋅1Δ ⋅ x k −Δ + ISI + nk

ISI : Termino relativo a otros símbolos nk : Término relativo al ruido Si tomáramos Nf suficientemente grande y con una elección adecuada de Δ, el valor esperado de zk condicional al símbolo transmitido en k- Δ sería ese mismo símbolo, o sea, x k-Δ. Esto quiere decir que el ecualizador es insesgado. Para poder hallar Δ en la simulación, el procedimiento fue minimizar la diagonal principal de la matriz I - P* (P P*) -1 P. Esto es equivalente a buscar el elemento de P* (P P*) -1 P que más se aproxima a 1, el cual minimiza el sesgo y el error cuadrático medio, para el caso en que no consideramos el ruido. En la simulación del ecualizador ZFE-FIR se han utilizado la misma cantidad de coeficientes que en el caso del MMSE-FIR, Nf , a la vez que utilizamos el mismo pulso equivalente del canal p(t).

er

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Resultados de la Simulación: Simulación para SNR= 60dB con τ = 2T:

er

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Simulación para SNR= 20dB con τ = 2T:

er

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er

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er

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De los gráficos presentados se puede observar que el ecualizador ZFE-IR, al igual que el MMSE-FIR, realiza sobre la señal, un efecto equivalente a invertir la dinámica del canal. Este efecto se hace más evidente al aumentar la SNR (en nuestro caso 60dB), dado que el filtro ZFEFIR se ha diseñado para minimizar el error cuadrático medio exclusivamente de la señal, sin considerar el ruido. Por tal motivo, en teoría, el ecualizador ZFE-FIR presenta un rendimiento óptimo en ausencia de ruido. En la práctica, el ruido se encuentra siempre presente y el hecho de no considerar el efecto del ruido, suele traer como consecuencia la amplificación de su varianza a la salida. Consecuentemente, en la práctica, al no haber considerado el ruido al diseñar el ecualizador, la estimación que minimiza el error cuadrático medio tiene por valor esperado al símbolo estimado, no presentando sesgo. Podemos observar que, tal como ocurría con el ecualizador MMSE-FIR, la SNR a la salida (SNR EQ) se encuentra dominada por el ruido, dado que el ISI ha sido prácticamente eliminado, siendo el efecto de este último despreciable frente al del ruido. Este hecho explica el por qué aquí la SNR EQ, y por ende la SNR, mejoran al aumentar el período de símbolo T, dado que la varianza de ruido a la salida del ecualizador disminuye en T 2.

Ejercicio 10

Calcule la nueva Pe y una posible nueva tasa de transmisión que satisfaga siempre la restricción de Pe < 10-5. Cálculo de SER con ecualizador:

SNR EQ =

ε x

[ ]

E ek

2

=

1 f / SNR + T ΔΔ

1 3 Pe = 2(1 − )Q( SNR EQ ) 2 M M −1

Dado que el ecualizador, para este caso, no tiene sesgo, la SNR EQ calculada es introducida en la expresión de la probabilidad de error por símbolo, en forma directa. Se puede observar que para SNR>30 dB el valor de SER se reduce considerablemente al punto de poderse despreciar, tal como ocurre con el ecualizador MMSE-FIR. El ecualizador prácticamente elimina el ISI, y la varianza de ruido se reduce provocando que el valor de SER se vea reducido varios órdenes de magnitud (<10 -10), tornándose despreciable. Haciendo un análisis análogo al realizado en el punto 8 respecto a la reducción de la tasa de tansmisión presentamos los siguientes resultados a fin de encontrar una tasa de transmisión que cumpla con la restricción solicitada y poder comparar el comportamiento del ecualizador MMSE-FIR y el ecualizador ZFE-FIR respecto de lo obtenido en los puntos 5 y 6:

er

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− t / τ

con

τ

= 2T y SNR = 20dB se obtiene el siguiente resultado:

T=1: Este cálculo para el caso teórico nos dio P( E ) = 0,0266 Experimentalmente (simulada) nos dio P( E ) = 0,0267 T=5: −12



− t / τ

con

τ

= 2T y SNR = 20dB se obtiene el siguiente resultado:

T=1: −6


T=5: −52


Donde en el cálculo experimental hemos computado la proporción de símbolos errados. Una vez más se observa que para cumplir la restricción solicitad respecto a P(E)<10 -5 modificando la tasa de transmisión, la reducción del tamaño de la constelación tiene un efecto más evidente en la reducción del SER en comparación con el aumento de T . También se puede observar que el ecualizador ZFE-FIR es levente inferior en su performance en comparación con el MMSE-FIR, ya que la probabilidad de error de símbolo se presenta mayor. A pesar de ello, y del ruido, podemos afirmar que representa una gran mejora en relación al canal sin ecualizador, visto en los puntos 5 y 6. Del análisis de los resultados presentados se observa cómo la ecualización del canal, para una constelación de tamaño M=2, representa una gran mejora en la detección, viéndose reducida la SER en varios ordenes de magnitud en relación a los resultados observados en los puntos 5 y 6, a pesar de la presencia del ruido.

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