F.J.Mª del Sagrario Soler Ruiz VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.
Ejercicios resueltos. 1.- Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 de ellos sean varones.
Solución: Se trata de un experimento de Bernoulli donde n=4 y p=1/2
4 3 1 .0.5 .0,5 p(obtener 3 varones)=P(X=3)= 3
=
1 4
Recuerda:
4 3 es un número combinatorio cuyo valor se obtiene así:
4 4.3.2 = 3 3.2.1
En general
m m.(m − 1).(m − 2)......hasta tener n factores en el numerador m! = = n.(n - 1).(n - 2).....3.2.1 n!.(m − n)! n 2.- Se tiene una moneda trucada trucada de modo que la probabilidad de sacar sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: • Obtener dos veces cruz. • Obtener a lo sumo dos veces cruz.
Solución: Calculamos en primer lugar la probabilidad de cara y de cruz: p(cara)+p(cruz)=1. Si llamamos x a la probabilidad de sacar cruz, podemos escribir: 4x+x=1; 5x=1; x=0,2 Así resulta: p(cruz)=0,2 y p(cara)=0,8 Es una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0,2 Probabilidad de obtener dos veces cruz:
6 p( X = 2) = .(0,2) 2 .(0,8) 4 = 15.(0,04).(0,4096 ) = 0,24 2 Probabilidad de obtener a lo sumo dos veces cruz: p ( X ≤ 2) = p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) = Página 4 de 11
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6 .(0,2) 0 .(0,8) 6 = 0
+
6 .(0,2)1 .(0,8) 5 1
+
6 .(0.2) 2 .(0.8) 4 2
=
0,90
3.- La probabilidad de que un alumno de 1º de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 20 alumnos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya ha ya exactamente 4 alumnos repetidores?
Solución: Se trata de una binomial de parámetros 20 y 0,3, es decir, B(20; 0,3) Si X es el número de alumnos que repiten,
20 4 16 .0,3 .0,7 4
p ( X = 4) =
=
20! 4!.16!
.0,3 4.0,7 16
=
0,13
4.- Calcula la esperanza matemática, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente si guiente tabla: xi
-4 0,1
p ( X = x i )
-1 0,5
2 0,3
5 0,1
Solución: La esperanza matemática es la media: σ =
∑ x
σ =
5,76
2
2 i
. p i =
2
− µ
= ( −4)
2
µ = ( −4).0,1 + ( −1).0,5 +
2.0,3 + 5.0,1 = 0,2
.0,1 + (−1) 2 .0,5 + 2 2.0,3 + 5 2.0,1 − 0,2 2
= 5,76
2,4
5.- Sea la siguiente si guiente función de probabilidad: xi pi
1 0,2
3 0,2
5 0,4
7 0,1
9 0,1
Escribe la función de distribución y calcula: p ( X ≤ 5) y p (3 ≤ X ≤ 7)
Solución: xi F(x)=P(X ≤ xi) p ( X ≤ 5) = 0,8 ;
1 0,2
3 0,4
5 0,8
7 0,9
9 1
p (≤ X ≤ 7 ) = p ( X = 3) + p ( X = 5) + p ( X = 7 ) = =
0,2 + 0,4 + 0,1 = 0,7 Página 4 de 12
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Ejercicios propuestos. 1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla: a) El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000 b) La varianza y la desviación típica. tí pica.
( Solución: 40 y
6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la p robabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras b) Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )
3.- Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente: xi 1 2 3 P(X = xi) k 0,45 k a) Calcula el valor de k b) Halla la función de probabilidad c) Halla la función de distribución F.
Solución k = 0,275. Función de probabilidad:
xi f(x)=P(X = xi)
1 0,275
2 0,45
3 0,275
1 0,275
2 0,725
3 1
Función de distribución:
xi F(x)=P(X ≤ xi)
4.- Considera una variable aleatoria X cuya función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: x -25 -10 0 5 f(x) a 2a 3a 4a a) Deduce el valor de a. b) Halla la función de distribución F c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviación típica.
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Solución:
a) 0,1;
c) –2,5; 86,25; 9,29
5.- La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es 0,3. Calcula la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) Ninguno de los 7 finalice la carrera. b) Finalicen los 7. c) Al menos 2 acaben la carrera. d) Sólo finalice uno la carrera.
Solución: 0,082; 0,00021; 0,00021;
0,671;
0,2471
6.- El 20 % de los tornillos de un gran lote so defectuosos. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso.
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