CALCULO MULTIVARIADO CÓDIGO: 203057 FASE 1- TRABAJO COLABORATIVO-UNIDAD 1 UNIDAD No 1
Presentado a: JOSE ADEL BARRERA Tutor
Entregado por: ARLEY FERNADO ZUÑIGA Código: 24764410 CARLOS ANDRES CARDENAS Código: XXXXX CRISTIAN FABIAN ARIAS Código: 1143829574 FABIÁN SÁNCHEZ CERÓN Código: 12265941 JOSE ALEXIS DOMINGUEZ Código: XXXXX
Grupo: 203057_10
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FECHA CIUDAD
INTRODUCCIÓN
Para poder comprender el trabajo colaborativo de la fase 1, nos adentraremos a las funciones de varias variables. Es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. Estas se ordenan mediante una regla de correspondencia, da un número real (llamado Dominio) y el conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio. Al tener una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c). Entonces teniendo todos estos puntos tenemos el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c. así que todos estos puntos están a la misma altura sobre el plano x y, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano x y.
1. Hallar las componentes y la longitud del vector final
a.
v
que tiene punto inicial
p y punto
q , despues hallar un vector unitario en la dirección de v p(5,−3, 2) y q(3,3,−2)
Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen
v =q−p=( 3,3,−2 )−( 5,−3,2 )=(−2,6,−4)
‖v‖= √( 22+ 62+ 4 2)= √ 4+36+ 16= √56
Vector unitario u
u=
(
[ ]
1 (−2,6,−4 )=¿ √56
−2 6 −4 , , ) √ 56 √ 56 √ 56
b.
p(−2,5, 2) y q( 3,−4,−1)
Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen
v =q−p=( 3,−4,−1 ) −(−2,5,2 ) =(5,−9,−3)
5 ¿ ¿ 9 −¿ ¿ 2+(¿ ¿ 2+(−3)2 ) ¿ ‖v‖=√ ¿
Vector unitario u
u=
(
[√ ]
1 ( 5,−9,−3 )=¿ 56
5 −9 −3 , , ) √ 115 √115 √115
c.
p(2, 3,2) y q(−3,−1,5)
d.
p(3,−2,−4)
y
q( 2,3, 5)
El vector resultante es la resta del vector final menos el vector inicial
v =q−p=( 2,3,5 ) −( 3,−2,−4 )=(−1,5,9)
‖v‖= √(−12 +52 +92 )=√ 1+25+81=√ 107
Vector unitario u
u=
[ ]
u=
−1 5 9 , , √ 107 √107 √81
1 (−1,5,9 )=¿ √ 107
Comprobación Geogebra
p(−4,−2,5) y q( 3,2,−5)
e.
Para este ejercicio el vector se obtiene restando las coordenadas del extremo menos el origen
v =q−p=( 3,2,−5 )−(−4,−2,5 )=(7,4,−10)
‖v‖= √(72 +4 2+−102 )=√ 49+ 16+100= √ 165
Vector unitario u
u=
(
[ ]
1 ( 7,4,−10 )=¿ √165
7 4 −10 , , ) √ 165 √ 165 √ 165
2. Determine la gráfica de la ecuación, recuerde que se tiene que completar el cuadrado
x 2+ y 2 + z 2−8 y +6 z−25=0
a.
Para completar el cuadrado realizamos lo siguiente: 2
2
2
x + y + z −8 y +6 z−25=0 Agrupamos los términos
x 2+ ( y 2−8 y ) + ( z 2 +6 z )−25=0 x 2+ ( y 2−8 y +16 ) −16+ ( z 2 +6 z+ 9 )−9−25=0 2
2
2
2
2
2
x + ( y −4 ) + ( z+3 ) =25+16+9 x + ( y −4 ) + ( z+3 ) =50
( 0,4,−3 ) Radio=√ 50
x 2+ y 2 + z 2−8 x +4 y+ 2 z−4=0
b.
La grafica para la función es una esfera, para determinarla se procede de la siguiente manera.
x 2+ y 2 + z 2−8 x +4 y+ 2 z−4=0 2
2
2
x + y + z + AX + BY +CZ + D=0 ⇒ A=−2 ª B=−2 b
C=−2c 2
2
2
D=a + b +c −r
2
Reemplazar:
−8 a=−2 a a=4 4=−2 b b=−2 2=−2 c c =−1
−1 ¿2−r 2 −2¿ 2+ ¿ −4=4 2 +¿ Despejar: 2
r =25 r= √ 25=5
2
2
2
2
2
2
c.
x + y + z −x− y +3 z +2=0
d.
x + y + z −8 x +10 y−4 z+ 13=0
Para completar el cuadrado realizamos lo siguiente: 2
2
2
x + y + z −8 y +6 z−25=0
2
2
2
x + y + z −8 x +10 y−4 z+ 13=0 Agrupamos los términos
( x 2−8 x ) + ( y 2 +10 y ) + ( z 2−4 z ) + 13=0
( x 2−8 x+ 16 )−16+ ( y 2 +10 y+ 25 )−25+ ( z 2−4 z + 4 ) −4 +13=0
( x−4)2+ ( y+5 )2+ ( z−2 )2=−13+ 16+9+ 4 (x−4)2+ ( y+5 )2+ ( z−2 )2=16
( 4,−5,2 ) Radio=4
e.
x 2+ y 2 + z 2−6 x +2 y−4 z+19=0
Se agrupan términos semejantes
( x 2−6 x +9 ) + ( y 2+2 y +1 ) + ( z 2−4 z+ 4 )=−19+9+1+ 4=−5 Se dividen y se suman el cuadrado a cada expresión
( x−3 )2 + ( y +1 )2+ ( z−2 )2=−5
3. L a
posición de una partícula, que se mueve en el plano
xy , a las t
está determinada por la ecuación vectorial, obtenga
V ( t ) , A ( t ) ,‖V (t)‖ y ,‖ A (t)‖ ; y
determine los vectores velocidad y aceleración en a.
R ( t ) =( t 2 +4 ) i+ ( t−2 ) j; t 1=3
V ( t )=2t ,1
‖v (t)‖=√ 4 t 2+1 A(t) es la derivada de la velocidad:
A ( t ) =(2,0)
unidades de tiempo
t=t 1
V ( t ) , es la derivadade R ( t )=( t 2 +4, t−2 )
‖ A ( t )‖=2 R ( 3 )=(13,1) V (3 )=( 6,1 ) A ( 3 )=(2,0)
b.
R ( t ) =( 1+ t ) i+ ¿ ( t 2 -1) j ; t 1 =1
V ( t ) , es la derivadade R ( t )=( t 2 +4, t−2 )
V ( t )=1,2 t
‖v (t)‖=√ 1+ 4 t 2 A(t) es la derivada de la velocidad:
A ( t ) =(0,2)
‖ A ( t )‖=2 R ( 1 )=(2,0)
V (1 )=( 1,2 ) A ( 1 )=(0,2)
c.
1 R ( t ) =5 cos 2ti+ 3 sen 2 tj ; t 1= π 4
d.
2 1 R ( t ) = i− tj ; t 1=4 t 4 2 3 R ( 3 )= i− j 3 4
2 1 R ( 3 )= i− ∗3 j 3 4
Tenemos que la V(t) es la derivada de la posición R(t) por ello
dR −2 1 =V ( t ) = 2 i− j dt 4 t Ahora evaluamos la función V(t) en t=3
dR −2 1 =V ( 3 )= 2 i− j dt 4 3 dR −2 1 =V ( 3 )= i− j dt 9 4
‖V (t )‖=
√
4 1 + 4 t 16
La aceleración es la derivada de la velocidad
dV 4 =A ( t ) = 3 i+ 0 j dt t A ( 3 )=
4 i +0 j 33
A ( 3 )=
4 i+0 j 27
4 t3 ¿ ¿ ¿ ‖ A ( t )‖= √¿
‖ A ( t )‖= 43 t
e.
R ( t ) =et i+e 2 t j ; t 1=ln 2
∂ t ( e )=e t ∂t
∂ 2t ( e ) = ∂ ( e u ) ; sea u=2 t ∂t ∂u ∂ u ( e )=eu ∂u ∂ ( 2 t ) =2 ∂t Sustituimos en la ecuación a u=2t
¿ e 2t 2 La velocidad y aceleración en el tiempo de t son
v (t )=R ´ ( t ) =e t i+e 2 t 2� ∂ t ( e )=e t ∂t ∂ 2t ( e 2 )=2 ∂ ( e 2t ) ∂t ∂t ∂ 2t ( e ) = ∂ ( e u ) ; sea u=2 t ∂t ∂u ∂ u ( e )=eu ∂u ∂ ( 2 t ) =2 ∂t ¿ 2 e2 t 2 2t
¿4 e
a(t )=R ´ ´ ( t ) =e t i+ 4 e 2 t �
e e e e ;( ¿¿ 2t)2=22 e 4 t (¿¿ t)2=e2 t ¿ (¿¿ t)2 +( ¿¿ 2t)2 ; ¿ ¿ ||v ( t )||=√¿
||v ( t )||=√ e2 t +22 e 4 t Simplificamos aplicando ley de exponentes:
b
c
a ∗a =a
b +c
||v ( t )||=√22 e 6 t Aplicamos Propiedad de Radicales:
√n ab= √n a √n b
||v ( t )||=√22 √ e 6t Aplicamos Propiedad Propiedad de radicales:
√n an=a
;
6t
||v ( t )||=2 e 2
||v ( t )||=2 e3 t e 4e (¿¿ t)2 +( ¿¿ 2t)2 ¿ ||a ( t )||=√ ¿
e 4e ;(¿ ¿2 t)2=4 2 e 4 t ; (¿¿ t)2=e 2 t ¿ ¿
||a ( t )||=√ e2 t + 4 2 e 4 t Simplificamos aplicando ley de exponentes:
ab∗a c=ab +c
√n am =a mn
||a ( t )||=√ 4 2 e 6 t √n ab= √n a √n b
Aplicamos Propiedad de Radicales:
||a ( t )||=√ 4 2 √ e 6 t Aplicamos Propiedad de radicales:
||a ( t )||=4 e
√n an=a
√n am =a mn
;
6t 2
||a ( t )||=4 e3 t t
cuando t=ln2 ; v (t )=R ´ ( t ) =e i+e
2t
2�
v ( ln 2)=e ln2 i+ e2 ln 2 2� ln 2
e =2 ; aplicando propiedad logaritmica :a e
2 ln2
2=8 ; aplicamosley de exponente:
ln (b )
=b
abc =(ab )c
v ( ln 2 )=2 i+ 8 j cuando t=ln2 ; a(t )=R ´ ´ ( t ) =et i+ 4 e 2t � a( ln 2)=e ln2 i+ 4 e 2 ln 2 2� e ln 2=2 ; aplicando propiedad logaritmica :a ln (b )=b 4 e2 ln 2 2=32 ; aplicamosley de exponente : a ( ln 2 )=2 i+32 j
abc =(ab )c
cuando t=ln2 ;||v ( t )||=2 e
3t
||v ( ln2 )||=2 e 3 ln2 3 ln 2
2e
; aplicamos ley de exponente :
=16
a.
||v ( ln2 )||=16
4. Sean
f ( x , y )=
x y2 ,
g ( x ) =x2 , h ( x )=√ x
( h ∘ f ) (2,1)
a.
( h ∘ f ) (2,1 ) =¿ h ( f ( 2,1 ) ) =¿ h
( 12 )=¿ 2
h ( 2 )=¿
√2
b.
abc =(ab )c
3 h(¿) , g (9) f¿
h ( 3 )= √ 9=3 2 g ( 9 )=9 =81
3
(ℎ(3),�(9))= 812
=
3 =4,5724 × 10−4 6561
Determine
a ln ( b) =b
c.
h ( g∘ f ) ( x , y )
d.
( h ∘ g ) ( f (x , y))
( h ∘ g ) (f ( x , y))
g( f ( x , y )) h¿
( ( ))
h g
h
x y2
(( ) ) √( ) x 2 y
e.
2
2
=
x x = 2 2 y y
( h ∘ f ) (2,1)
( fog ) ( x , y )=f ( x , y )=
f ( x , y )=
x y2
2 2 = =2 12 1
g ( x ) =x2 =22=4
h ( x )=√ 2=1.41
5. Fuerzas con magnitudes de 180 newton y 275 newton actúan sobre un gancho (ver la figura). El ángulo entre las dos fuerzas es de
θ grados.
θ=30 ° , hallar la dirección y la magnitud de la fuerza resultante. b. Expresar la magnitud M y la dirección α de la fuerza resultante en funciones a. Si
0 ° ≤ θ ≤180 ° c. Usar una herramienta de traficación para completar la tabla 0°
30°
60°
90°
120°
d. Usar una herramienta de traficación para representar las dos funciones M y e. Explicar por qué una de las funciones disminuye cuando las otras no.
150°
α
θ aumenta mientras que
180°
CONCLUSIONES En esta fase estudiamos las funciones de varia variables, (con valores reales y con valores vectoriales) incluso en cada uno de los ejercicios pudimos observar que esto es aplicable a la vida real, muchos fenómenos del mundo físico se pueden describir mediante tales funciones, pero en la mayoría de los fenómenos intervienen muchas variables relacionadas entre sí y el valor de una de ellas depende de las otras. En la fase 1 de Calculo Multivariado se tuvo que hacer una sobre simplificación de los problemas de tal manera que pudiéramos utilizar las herramientas que proporcionaron la universidad por medio del tutor del tutor y después llevado a un software de simulación llamado Geogebra.
BIBLIOGRAFÍA
(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2053/book.aspx? i=629&opensearch=matem%C3%A1ticas %203&editoriales=&edicion=&anio=
(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=11013675
(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=10491306
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(s.f.). Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10609048&p00=calculo+de+varias+variables
(s.f.). Obtenido de https://www.geogebra.org/material/show/id/352279
