1/16 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba Departamento Acadêmico de Matemática Probabilidade e Estatística Estatíst ica – Profª: Silvana Heidemann Rocha Aluno(a): ___________________________________ Data: ___/___/____
PRINCIPAIS MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS DISCRETOS - Aula 10 Principais modelos de distribuição de probabilidades de variáveis aleatórias discretas: •
Distribuição Uniforme Discreta
•
Distribuição de Bernoulli
•
Distribuição Binomial
•
Distribuição Hipergeométrica
•
Distribuição Geométrica
•
Distribuição de Pascal (ou binomial negativa)
•
Distribuição de Poisson
Relação entre os modelos: •
Binomial e Poisson
•
Binomial e hipergeométrico;
2/16
1) Distribuição Uniforme Discreta:
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo uniforme discreto, denotada por X ~ Ud( M ), onde M é o
conjunto de valores equiprováveis x1 , x 2 ,..., x n que X assume, se tem função de probabilidade dada por P ( X = xi ) =
1 n
,
∀ i
= 1, 2, ..., n.
Esperança matemática e variância:
E( X ) =
1 n
1 n V( X ) = ∑ xi − ∑ xi n i1 n i 1
1
n
∑1 x
i
i=
n
2
2
=
=
Exemplo1: ε : Lançar um dado não viciado e observar o número de pontos da face superior. Seja a variável aleatória X definida como o número pontos da face superior do dado, isto é, X ~ Ud(1 , 6), . Obtenha: a) Afunção de probabilidade de X e seu gráfico; b) A função distribuição de X e seu gráfico; c) A esperança e a variância de X . Interprete essas medidas. d) Por que X é uma variável aleatória? e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
Exemplo2: (Cf. MAGALHÃES et LIMA, p. 69)
Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5
bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25 e meu colega tem outros 5 bilhetes com os números 1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Justifique. a) Defina a variável aleatória X em questão e o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas.
3/16
2) Distribuição de Bernoulli
Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo de Bernoulli com parâmetro p, denotada por X ~ Be( p), se tem função de probabilidade dada por P ( X = x) = p x .(1 − p)1− x , x = 0, 1, com
0 < p < 1
Esperança matemática e variância:
E( X ) = p
V( X ) = p(1-p)
Observação: •
Na distribuição de Bernoulli, considera-se uma única tentativa (ensaio) de um experimento aleatório, sendo p a probabilidade de sucesso e 1- p a probabilidade de fracasso nessa tentativa. É usual denotar 1- p = q. Sucesso significa ocorrência do evento em controle e fracasso significa não ocorrência. Não há sentido de mérito na ocorrência ou não do evento considerado.
• •
Ensaio de Bernoulli é o experimento que tem resposta dicotômica do tipo sucesso-fracasso.
No modelo de Bernoulli, a variável aleatória X em geral é o número de sucessos em uma única tentativa do experimento.
Exemplo1: Uma urna contém apenas 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Numa única extração somente dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas. e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
4/16
3) Distribuição binomial Definição: Seja a variável aleatória X que conta o número total de sucessos obtidos numa seqüência de n
ensaios independentes de Bernoulli. A variável X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, denotada por X ~ b(n, p), e tem função de probabilidade dada por
n P( X = x) = . p x .( 1 − p) n − x , x = 0, 1, 2, ..., n, com 0 < p < 1 x onde: n é o nº de repetições do experimento; x
é o nº desejado de sucessos;
n - x
é o nº esperado de fracassos;
p é a probabilidade de sucesso num ensaio individual;
1 – p é a probabilidade de fracasso num ensaio individual;
n = C n, x x
=
x , n − x
Pn
é o nº de combinações de n elementos, tomados x a x.
Esperança matemática e variância:
E( X ) = np
V( X ) = np(1-p)
Observações: •
Ensaios independentes de Bernoulli significa uma seqüência de repetições do experimento na qual o resultado ocorrido num ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores e nem nos posteriores e, em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade 1 − p.
•
Como as probabilidades p de sucesso se mantêm constantes em cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em que a amostragem é feita com reposição.
•
n
A denominação binomial é devida aos coeficientes serem os coeficientes do desenvolvimento x
binomial das potências de (a + b)n.
5/16
Exemplo1: A probabilidade de um produto fabricado não atender as especificações de projeto é igual a 5% (produto não-conforme). São selecionadas ao acaso 8 unidades deste produto. Qual a probabilidade de no mínimo 3 serem conforme as especificações? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas. e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
Exemplo2: Uma companhia de avião chegou à conclusão de que 5% das pessoas que fazem reserva num dado vôo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a política de vender 70 lugares para um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de que não haja excesso de lotação?
6/16
4) Distribuição hipergeométrica: Definição: Numa amostra de tamanho n retirada ao acaso e sem reposição de um conjunto contendo N elementos, dos quais exatamente K elementos têm a característica A em estudo, seja X a variável aleatória que conta o número de elementos com a característica A nessa amostra. A variável X segue o modelo hipergeométrico com parâmetros N, K, n, denotada por X ~ H(N,K,n), e tem função de probabilidade dada por P( X = x) =
N n
A A
K
x
AC
C K , x .C ( N − K ),( n − x ) C N , n
,
com: N = 1, 2, 3,... K = 0, 1, 2, ..., N , n =1, 2, ..., N-1 x = máx{0, n+K-N}, ..., min(K, n) e x ≤ K
n-x
AC N-K
Esperança matemática e variância:
E(X) = n.
K
Var(X) = n.
N
K
N
(1 −
K N − n
).
N N − 1
Observações: •
O modelo hipergeométrico é utilizado para estimar o tamanho da população de animais de uma certa espécie em uma região, num procedimento denominado captura e recaptura.
•
Na distribuição hipergeométrica, ao contrário da binomial, a probabilidade de sucesso não se mantém constante em todas as provas do experimento, uma vez que os eventos são dependentes entre si. Dessa forma, a binomial corresponde ao esquema de extrações com reposição, enquanto que, na hipergeométrica, o esquema é de extrações sem reposição.
•
O fator
N − n N − 1
presente na fórmula da variância é denominado fator de correção para população
finita. •
A amostragem com reposição,
como é o caso do modelo binomial, é equivalente à amostragem
proveniente de uma população infinita porque a proporção de sucesso permanece constante em cada ensaio do experimento. Na amostragem sem reposição, como é o caso do modelo N − n
hipergeométrico, o fator de correção para população finita (
N − 1
) representa a correção para a
variância do modelo binomial, visto que no modelo hipergeométrico a população é finita. No
7/16 modelo hipergeométrico, se n for pequeno relativo a N , de modo que
N − n N − 1
→
1, então a
distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela binomial, com ganhos algébricos (cálculos mais fáceis), isto é, mesmo que a amostragem seja feita sem reposição, pode-se considerar para fins de cálculo uma amostragem com reposição, onde p =
K N
(Cf . MONTEGOMERY et RUNGER, 2008,
p. 67). Mais adiante há uma seção sobre a relação entre os modelos binomial e hipergeométrico.
Exemplo1: Num lote de 40 peças há três que são defeituosas. Qual a probabilidade de, em cinco peças extraídas, se encontrar pelo menos uma peça defeituosa? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas. c) Responda a questão do enunciado. d) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev. e) Neste caso, poderíamos ter utilizado uma aproximação pelo modelo binomial, considerando constante a probabilidade de um sucesso individual como p =
3 ? Justifique. 40
f) Responda os itens b, c, d considerando um modelo binomial de parâmetro p =
3 e compare com 40
os resultados obtidos por meio da distribuição hipergeométrica.
Exemplo2: Deve-se constituir um comitê de quatro pessoas escolhidas entre três químicos e cinco físicos. Determinar a distribuição de probabilidade do número de químicos no comitê. Faça o gráfico da função de probabilidade de X e o da função distribuição de X .
8/16
5) Distribuição geométrica: Definição: Seja a variável aleatória X que conta o número de tentativas até o aparecimento do primeiro sucesso numa seqüência de ensaios independentes de Bernoulli. A variável X com parâmetro p, denotada por X~G(p), tem função de probabilidade dada por P ( X = x ) = p.(1 − p ) x −1 , x = 1, 2, 3,... e 0 < p < 1,
onde: x = nº de tentativas até o aparecimento do primeiro sucesso; p = probabilidade de sucesso no ensaio individual;
1 – p é a probabilidade de fracasso no ensaio individual.
Esperança matemática e variância:
1
E(X) =
p
V(X) =
1 − p p 2
=
q p 2
, onde q = 1-p
Observações: •
O nome deste modelo decorre do uso da progressão geométrica (P.G.) para demonstrar que ∞
∑1 p( x ) = 1 . i
i=
•
No modelo geométrico, alguns autores definem a variável aleatória X como o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso (ou tempo de espera, em termos de ensaios anteriores, para obter o primeiro sucesso). Nesse caso, a função de probabilidade de X é dada por P ( X = x) = p.(1 − p ) x , x = 0, 1, 2, 3,... , 0 < p< 1.
•
O modelo geométrico é o único modelo discreto com a propriedade da falta de memória (MAGALHÃES, M.N., 2006, p. 85). Essa propriedade é definida como P( X ≥ j + k / X ≥ j ) = P( X ≥ k ) , com j e k inteiros positivos. Isso significa que foram obtidos j fracassos e o primeiro sucesso ainda não ocorreu. Qual a probabilidade de se ter mais k fracassos até obter o primeiro sucesso? Essa probabilidade, P ( X ≥ j + k / X ≥ j ) , é a mesma que se obtivéssemos k fracassos a partir de um ensaio inicial, isto é P ( X ≥ k ) . Conforme DANTAS (2008, p. 145):
“[...] Considere um objeto cujo tempo de vida é uma variável aleatória X com distribuição geométrica com parâmetro p. Suponha que esse tempo de vida é medido em unidades discretas, isto é, ao final de cada unidade de tempo verifica-se se o objeto está funcionando ou se deixou de funcionar. A expressão P ( X ≥ j + k / X ≥ j ) = P ( X ≥ k ) mostra que, se o objeto funcionou até o instante j, então a probabilidade de que ele funcione por mais k unidades de tempo é a mesma que a probabilidade de que um objeto novo funcione por k unidades de tempo”.
Exemplo1: Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela
9/16
empresa contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um com perfil desejado? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas. e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
Exemplo2: Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela empresa contratante. Num grupo de 15 candidatos, qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um com perfil desejado? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função de distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança matemática e a variância de X . Interprete essas medidas.
Exemplo3: (MAGALHÃES, M. N., 2006, p. 84) Uma linha de fabricação de um equipamento de precisão é interrompida na primeira ocorrência de um defeito. A partir da manutenção, o equipamento tem probabilidade de 0,01 de apresentar defeito em um dia qualquer. Deseja-se planejar o cronograma de manutenção preventiva e, para tal, decidiu-se avaliar probabilisticamente a espera até a produção ser interrompida. Seja X a variável aleatória que conta o número de dias que antecedem a interrupção. Qual seria o intervalo ideal para uma manutenção preventiva, se desejamos uma probabilidade de, pelo menos 0,90 de que o defeito não ocorrerá?
Exemplo4: Demonstre que
P ( X ≥ m + n / X ≥ m ) = P ( X ≥ n ) , a partir da definição de probabilidade
condicional e da função de probabilidade P( X = x ) = p.(1 − p ) x , x = 0, 1, 2, 3,... , 0 < p< 1. (Se preciso, consulte DANTAS, C. A. B., 2008, p. 145).
10/16
6) Distribuição de Pascal (ou binomial negativa) Definição: Seja a variável aleatória X que conta o número de tentativas até o aparecimento do k-ésimo sucesso numa seqüência de ensaios independentes de Bernoulli. A variável X com parâmetros k e p, denotada por X~Pa(k,p) (ou X~BN(k, p) ), tem função de probabilidade dada por x − 1 k . p .(1 − p ) x − k , P ( X = x ) = k − 1
x = k, k+1, k+2, ... ,
0 < p < 1 e k ∈ N * ,
onde: k é o nº de sucessos desejado, x
é o nº de ensaios para ocorra o k-ésmo sucesso,
p
é a probabilidade de sucesso no ensaio individual,
1 – p é a probabilidade de fracasso no ensaio individual. x − 1 = C ( x −1),( k −1) = P x(−k 1−1), ( x −k ) k − 1
Esperança matemática e variância:
E(X) = k .
1
V(X) = k .
p
1 − p p 2
= k .
q p 2
, onde q = 1-p
Observação: •
A distribuição de Pascal é uma generalização do modelo geométrico.
•
Se são necessárias x provas para que ocorra o k -ésimo sucesso, então o resultado da x-ésima prova deve ser necessariamente um sucesso.
•
Alguns autores definem a variável aleatória X como o número de fracassos anteriores ao k-ésmo sucesso.
Neste
caso,
a
P( X = x) = C ( x + k −1),( k −1) . p k .(1 − p) x •
função ,
de
probabilidade
de
X
é
dada
x = 0, 1, 2, ...
Sobre o nome do modelo “binomial negativa”, ver MAGALHÃES, M. N., 2006, p. 86.
por
11/16
Exemplo1: Dada uma máquina que produz 20% de peças defeituosas, qual a probabilidade de ter que se fabricar 8 peças para se conseguir 5 boas? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
Exemplo2: A probabilidade não conforme de um produto é igual a 5%. Pede-se: a) Qual a probabilidade de que um lote com dez unidades contenha três não conformes? b) Qual a probabilidade de que se tenha de inspecionar oito unidades para se encontrar duas não conformes?
Exemplo3: Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir 3 peças complicadas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído quando da retirada da peça. O custo de cada molde é de R$ 500,00 e se o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo-se R$ 700,00 de material. a) Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças para atender a encomenda? b) Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucro esperado de R$ 1000,00 na encomenda?
12/16
7) Distribuição de Poisson: Definição: Uma variável aleatória X segue o modelo de Poisson de parâmetro
λ ,
denotada por X ~ P( λ ),
se sua função de probabilidade for dada por λ . e x
P ( X = x ) =
onde: λ
x!
− λ
, x = 0, 1, 2, 3 ... ,
λ >
0,
é a taxa média de ocorrências dos eventos por unidade de medida;
e = 2,71828 (constante de Euler) x = número de vezes em que ocorre o evento.
Esperança matemática e variância:
E(X) =
λ
V(X) =
λ
Observações: •
Historicamente, o modelo de Poisson foi deduzido como uma aproximação da distribuição binomial com parâmetros n e p, quando n grande (n
→∞
) e p pequeno ( p
→
0 ) ocasionava
uma média np constante. Atualmente, o modelo de Poisson tem significado próprio descrevendo as probabilidades de certo número de ocorrências (variável aleatória discreta) num dado intervalo, espaço ou campo contínuo (tempo, comprimento, área, volume, peso, por exemplo). •
“O processo de Poisson: Diz-se que existe um processo de Poisson se pudermos observar eventos discretos num intervalo contínuo (de tempo, de comprimento, de área, por exemplo) de maneira tal que se subdividirmos o intervalo em comprimentos suficientemente pequenos disjuntos: i) A probabilidade de se observar mais de um sucesso em um subintervalo é zero; ii) A ocorrência de um sucesso em qualquer subintervalo é independente da ocorrência em qualquer outro subintervalo disjunto; iii) A probabilidade de um sucesso em um subintervalo seja a mesma (constante) para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo (isto é, o número médio de ocorrências por unidade de comprimento do intervalo é constante ao longo do intervalo). Historicamente, o termo processo foi usado para sugerir a observação de um sistema ao longo do tempo. O item iii) significa que, por exemplo, se o número médio de falhas por milímetro de um fio de cobre for 3,4, então o número médio de falhas em 10 mm deste fio será 34 e o número médio de falhas em 100 mm será 340.” (Cf. FARIAS et alli, 2003, p. 90; MONTGOMERY LEVINE et alli, 2000, P. 202)
et
RUNGER, 2008, p. 69;
Exemplo de um processo de Poisson (LEVINE et alli, 1998, p. 202):
13/16
Suponha que examinemos o número de clientes que chegam durante a hora de almoço, entre 12:00 horas e 13:00horas, a um banco localizado no centro de negócios de uma grande cidade. Qualquer chegada de um cliente é um evento discreto em um determinado ponto ao longo do espaço contínuo de 1 hora. Ao longo desse espaço de tempo, pode haver uma média de 180 chegadas. Se tivéssemos agora que abrir o espaço de 1 hora em 3600 intervalos consecutivos de um segundo, i)
o número esperado (ou a média) de clientes chegando em qualquer intervalo de 1 segundo seria igual a 0,05.
ii)
A probabilidade de haver mais de um cliente chegando em qualquer intervalo de 1 segundo se aproxima de 0; (verifique!)
iii)
A chegada de um cliente em qualquer intervalo de 1 segundo não tem efeito (quer dizer, é estatisticamente independente) na chegada de qualquer outro cliente em qualquer outro intervalo de 1 segundo.
Exemplo de modelagem de um processo de Poisson ((Para provar que determinada variável aleatória tem distribuição de Poisson, veja BARRY, JAMES, 2006, p. 21 a 26):
Num caixa de uma loja, chega em média 1 cliente por hora e a atendente tem capacidade de atender 10 pessoas por hora. Qual a probabilidade de formar fila nessa loja? Qual é o tamanho médio da fila?
Exemplo2: Nos sinais de um transmissor ocorrem distorções aleatórias a uma taxa média de 1 por minuto. Qual a probabilidade de o número de distorções em uma mensagem de 3 minutos ser 3 ou mais? a) Defina uma variável aleatória X neste experimento e indique o modelo de distribuição de probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. b) Determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. c) Determine a função distribuição de X e seu respectivo gráfico. d) Determine a esperança e a variância de X . Interprete essas medidas. e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios padrões? Compare esse resultado com o obtido através da desigualdade de Tchebychev.
14/16 Exemplo3: O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média 1 vez a cada 4 horas de funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de: a) numa hora o fio se romper menos de 2 vezes; b) em 8 horas de funcionamento o fio se romper menos de 2 vezes.
Exemplo4: Um certo artigo consome 750 m de fio. Em média, o fio rompe 2 vezes a cada 1000m. O lucro e a qualidade dos artigos estão relacionados da seguinte maneira: Qualidade
Nº de emendas
Lucro/artigo
1º
Nenhuma
R$ 5,00
2º
Uma ou duas
R$ 2,00
3º
Mais de duas
R$ 1,00
Se forem vendidos 2000 destes artigos, qual o lucro esperado na venda?
Exemplo5: Ao decolar de um porta-aviões, determinado tipo de avião tem probabilidade p = 0,0002 de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade de 2 ou mais acidentes desta natureza, em 500 decolagens?
15/16
8) Relação entre os modelos binomial e de Poisson: Seja a variável aleatória X ~ b(n, p) com função de probabilidade dada por
n P( X = x) = . p x .(1 − p) n − x , x = 0, 1, 2, ..., n, com 0 < p < 1 . x Se n grande (n
→∞
) e p pequeno ( p
→
0 ) de modo que a média np seja constante, é possível
n x λ x e λ n x , com λ = np . P( X = x) = lim . p .( 1 − p) = mostrar que lim n n x ! x −
−
→∞
→∞
9) Relação entre os modelos hipergeométrico e binomial: Seja a variável aleatória X ~ H(N,K,n) com função de probabilidade dada por P ( X = x ) =
C K , x .C ( N − K ),( n − x ) C N , n
,
com: N = 1, 2, 3,... K = 0, 1, 2, ..., N , n =1, 2, ..., N x = máx{0, n+K-N}, ..., min(K, n) e x ≤ K ,
onde N é o tamanho de uma população que contém K elementos com uma característica A em estudo, n é o tamanho da amostra retirada ao acaso e sem reposição desta população e X é a variável aleatória que conta o número de elementos com a característica A nessa amostra. Seja p =
K N
a proporção de elementos com a característica A na população. Se N for bem maior
que n, isto é, se o tamanho da população for bem maior que o da amostra, é possível mostrar que k N − K . − x n x n x n− x K = p (1 − p) lim P( X = x) = lim , com , p = n→∞ n→∞ x N N n isto é, a distribuição hipergeométrica pode ser aproximada pela binomial. Isso significa que quando o tamanho da população é bem maior que o da amostra, a amostragem sem reposição produz resultado próximo ao da amostragem com reposição.
16/16
EXERCÍCIOS: Fazer os exercícios das páginas 67, 68, 76, 77, 83 a 92, 120 a 124, ex 4 e 6 da p. 102, ex 4, 5 e 6 da p. 114 do livro MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: EDUSP, 2008.
REFERÊNCIAS DANTAS, Carlos A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3 ed. São Paulo: EDUSP, 2008. FARIAS, A. A.; SOARES, José F.; CÉSAR, Cibele C. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. JAMES, BARRY R. Probabilidade: um curso em nível intermediário, 2 ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2006. LEVINE, David. M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística: teoria e aplicações usando MICROSOFT EXCEL em português. Rio de Janeiro: LTC, 2000. MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Probabilidade e variáveis aleatórias. 2 ed. São Paulo: EDUSP, 2006. MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C. P. Noções de probabilidade e estatística. 6 ed. São Paulo: EDUSP, 2008. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
