DIS ISTR TRIB IBUC UCIÓ IÓN N DE PR PROBA OBABI BILI LID DAD ADES ES Métodos Cuantitativos Avanzados Avanzados Nincen Fiue!oa Ca!!a de Ciencia Po"#tica Unive!sidad Dieo Po!ta"es
nincen$%iue!oa&'ai"$ud($c"
)*+,
DISTRIBUCIÓN DE PR PROBABILIDADES OBABILIDADES AL-UNAS DEFINICIONES Bibliografía para esta sesión: • • • •
.eis eiss/ s/ N$A$ 0)* 0)*++1 ++1$$ E"e' E"e'ent enta!2 a!2 Stat Statist istics ics 03t 03t44 ed$ ed$1$ 1$ Pea Pea!so !son$ n$ B"a"oc5// 6$ M$ 0+7 B"a"oc5 0+7831 831$$ Est Estad#s ad#stic ticaa soc socia"$ ia"$ Mé9 Mé9ico ico:: Fo Fondo ndo de Cu" Cu"tu! tu!aa Eco Econ;' n;'ica ica$$ oz/ <$ 6$ 0)**31$ Estad#stica e"e'enta": "o esencia"$ Mé9ico: Cenae Lea!nin$ T!i !io" o"a/ a/ M$ M$// Pi Pine neda da A2 A2a" a"a/ a/ L$ E$ E$// = 6e 6e!n !n?n ?nde dezz Ra Ra'# '#!e !ez/ z/ R$ 0) 0)** **71 71$$ Es Esta tad# d#st stic ica$ a$ Na Nauc uca" a"(? (?nn de
ESTAD@STICA INFERENCIAL DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
6asta au#/ 2 en cu!sos ante!io!es/ esta'os 4ai"itados (a!a co'ina! e" uso de "a estad#stica desc!i(tiva 2 de "as (!oai"idades (a!a esta"ece! un 'ode"o te;!ico ue nos (e!'ita da! cuenta de "a %o!'a en ue se co'(o!tan di%e!entes va!ia"es en una se!ie de e9(e!i'entos$
Lo ue nos inte!esa a4o!a/ es co'o se dist!iu2en "as (!oai"idades en esos e9(e!i'entos (a!a (e!'iti!nos uti"iza! estos !esu"tados en a("icaciones !ea"es de "a estad#stica in%e!encia"$ A"uno de "os conce(tos ue a(!ende!e'os 2 ue se !e"acionan con "a situaci;n ante!io!/ co!!es(onden a "os de variables aleatorias 2 distribución de probabilidades.
ESTAD@STICA INFERENCIAL DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES$ E
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: ARIABLES ALEATORIAS
Una va!ia"e a"eato!ia es aue""a ue asu'e un so"o va"o! nu'é!ico (a!a cada uno de "os !esu"tados (osi"es en e" es(acio 'uest!a" de un e9(e!i'ento$ Casi sie'(!e es !e(!esentada (o! $
Se ""a'a a"eato!ia (o!ue e" va"o! ue to'a es e" !esu"tado de un evento %o!tuito o a" aza!/ es deci!/ no conoce'os su va"o! antes de !ea"iza! e" e9(e!i'ento$
Las va!ia"es a"eato!ias (ueden c"asi%ica!se en discretas o continuas.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: ARIABLES ALEATORIAS
Las va!ia"es a"eato!ias (ueden c"asi%ica!se ent!e: Discretas:
Est?n de%inidas so!e un es(acio 'uest!a" disc!eto$ Tiene un n'e!o %inito de va"o!es o un n'e!o de va"o!es conta"e$ -ene!a"'ente son e" !esu"tado de un conteo$ N'e!o de (e!sonas en e" 4oa!/ n'e!o de ca'as en un 4oa!/ n'e!o de 4iGos/ n'e!o de candidatos (!esidencia"es$
Continuas:
Est?n de%inidas so!e es(acios 'uest!a"es continuos$ A" 'edi!"as no es (osi"e 4ace!"o e9acta'ente/ sie'(!e 4a!? un e!!o! de 'edida/ 2a ue se !eist!an de 'ane!a disc!eta$ No e9isten inte!!u(ciones ent!e uno 2 ot!o va"o!$
Ejemplos:
Ejemplos: Edad/ in!eso/ (eso/ a"tu!a$
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: ARIABLES ALEATORIAS$ E
C"asi%iue cada una de "as va!ia"es a"eato!ias siuientes/ 2a sea co'o disc!etas o continuas: +$ N'e!o de (e!sonas ue vota!on (o! e" Pa!tido Socia"ista en "a Rei;n
Met!o(o"itana )$ P!esu(uesto asinado a "as ca'(a>as (!esidencia"es H$ N'e!o de (a#ses ue (a!tici(an en "a Asa'"ea -ene!a" de "as Naciones
Unidades $ Cantidad de a"u'nos de "a c"ase Métodos Cuantitativos Avanzados ,$ Edad de "os a"u'nos de "a c"ase Métodos Cuantitativos Avanzados
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DEFINICIONES
Cuando se e9a'inan "as (!oai"idades asociadas a "as va!ia"es a"eato!ias/ estas (ueden se! (!esentadas en %o!'a de una distribución de probabilidades, uti"izadas (a!a !e(!esenta! (o"aciones e'(#!icas$
Entende!e'os "a dist!iuci;n de (!oai"idad asociada a una va!ia"e a"eato!ia co'o "a distribución teórica de los valores de la variable $ Mediante e""as (ode'os ve! cu?ntos casos co!!es(onden a cada uno de "os va"o!es ue to'a "a va!ia"e $
Cuando ue!e'os const!ui! "a dist!iuci;n de (!oai"idad de una va!ia"e a"eato!ia a!'a'os "a ta"a con "as co"u'nas J x K 2 “P(x)” $
∑ P ( x ) = 1
Requisitos de una probabilidad de distribución • donde x asu'e todos "os va"o!es (osi"es$ 0Es deci!/ "a su'a de todas
"as (!oai"idades dee se! +1$
0 ≤ P ( x ) ≤ 1• (a!a cada va"o! individua" de x $ 0Es deci!/ cada va"o! de (!oai"idad dee uica!se ent!e * 2 +/ inc"usive1$
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Las distribuciones de probabilidad ta'ién (ueden se! !e(!esentadas (o! una %unci;n de (!oai"idad/ "as cua"es deen cu'("i! "os !euisitos se>a"ados ante!io!'ente$ Pode'os entende! una función de probabilidad co'o una !e"a ue asina (!oai"idades a "os va"o!es de va!ia"es a"eato!ias$
Po! eGe'("o/ (ense'os en "a %unci;n de (!oai"idad de%inida (o!:
P ( x ) =
x
x +/)/H/
10
¿Cumple la función de probabilidad con los requisitos definidos?
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: TABLA DE FRECUENCIAS
Pa!a "as variables discretas "a dist!iuci;n de (!oai"idades co!!es(onde a una ta"a de %!ecuencias$ N'e!o de (e!sonas en e" 4oa!
9i
+ ) H , 8 3 7 +* ++ +) +H + +, Tota"
n09i1
33* H)** ,+7+ 8+3 7 )8,H +H7 37 * +* 88 3 ,) H +, )8*,
(09i1
*$*HH *$++3 *$+7) *$), *$+3H *$+*) *$*,H *$*), *$*+, *$**, *$**H *$**) *$**) *$**) *$**+ +
Fuente: E"ao!aci;n (!o(ia en ase a tau"aciones es(ecia"es de "a Encuesta CASEN )*++
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: 6ISTO-RAMA DE PROBABILIDADES
De iua" %o!'a/ una dist!iuci;n de (!oai"idades (uede se! (!esentada no so"o a t!avés de una ta"a de %!ecuencias sino ue ta'ién 'ediante un histograma de probabilidades. Este ti(o de !?%ico 'uest!a "os (osi"es va"o!es de una va!ia"e a"eato!ia disc!eta en e" eGe 4o!izonta" 2 "as (!oai"idades de estos va"o!es en e" eGe ve!tica"$ La (!oai"idad de cada va"o! es !e(!esentado en una a!!a ve!tica" cu2o (eso es iua" a "a (!oai"idad$ 0,300
0,300
0,250
0,250
" ! P0,200 d a d i 0,150 l i b a b o0,100 r P
0,200 0,150 0,100
0,050
0,050
0,000
0,000 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
#$mero de personas en el hogar
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DISTRIBUCIÓN ACUMULATIA
Se ""a'a distribución acumulativa o función de distribución acumulativa a P091 (0 91$ N'e!o de (e!sonas en e" 4oa!
9i
n09i1
(09i1
P09i1
+ 33* *$*HH *$*HH ) H)** *$++3 *$+,+ H ,+7+ *$+7) *$HH 8+3 *$), *$*8 , 7 *$+3H *$87+ )8,H *$+*) *$37H 8 +H7 *$*,H *$7 3 37 *$*), *$78+ 7 * *$*+, *$73 +* +* *$**, *$77+ ++ 88 *$**H *$77 +) 3 *$**) *$77 +H ,) *$**) *$773 + H *$**) *$777 +, +, *$**+ +$*** Tota" )8*, + Fuente: E"ao!aci;n (!o(ia en ase a tau"aciones es(ecia"es de "a Encuesta CASEN )*++
1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0
1
2
3
4
5
6
7 8
9 10 11 12 13 14 15
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: MEDIA/ARIANA DESIACIÓN ESTNDAR
E" 4isto!a'a de (!oai"idad (uede da!nos in%o!'aci;n ace!ca de "a natu!a"eza o %o!'a de "a dist!iuci;n de una va!ia"e a"eato!ia$ Pode'os ca"cu"a! "a 'edia/ va!ianza 2 desviaci;n est?nda! "as cua"es !inda!?n 'a2o! in%o!'aci;n ace!ca de "a dist!iuci;n de "a va!ia"e$ #otación
+$ )$ H$ $ ,$ $
Media de una 'uest!a x 2 a!ianza de una 'uest!a s Desviaci;n est?nda! de una 'uest!a Media de una (o"aci;n µ a!ianza de una (o"aci;n σ Desviaci;n est?nda! de una (o"aci;n
s
2
σ
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETA
La 'edia de una dist!iuci;n de (!oai"idades disc!eta se deno'ina ta'ién co'o esperan%a matem&tica 2 (uede se! si'o"izada (o! E$ Su c?"cu"o se !ea"iza en ase a "a su'ato!ia de "a 'u"ti("icaci;n de cada va"o! (osi"e de (o! "a (!oai"idad ue este ocu!!a$ La %;!'u"a est? dete!'inada (o!:
E(x)
=
Valor medio de x ( µ )
=
∑[x * P(x )] i
i
Con un 'a2o! n'e!o de ose!vaciones de una va!ia"e a"eato!ia / e" va"o! (!o'edio de estas ose!vaciones se a(!o9i'a!? a" (!o'edio/ μ/ de $ Un 'a2o! n'e!o de ose!vaciones '?s se ace!ca!? a "a tendencia de μ$
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: ARIANA DESIACIÓN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETA
Po! su (a!te/ "a va!ianza de una va!ia"e a"eato!ia disc!eta se ca"cu"a uti"izando "a siuiente %;!'u"a: σ = ∑ 2
2
σ =
(
2
)
( x i − E ( x )) * P ( x )
∑ ( x
2 i
* p( xi ) ) − E ( x)
2
La desviaci;n est?nda! de una va!ia"e a"eato!ia disc!eta se inst!u'enta a (a!ti! de "a !a#z cuad!ada de "a va!ianza$
σ =
2
σ
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: MEDIA/ARIANA DESIACIÓN ESTNDAR
Ca"cu"a! "a 'edia/ va!ianza 2 desviaci;n est?nda! de "a dist!iuci;n de (!oai"idades de "a va!ia"e a"eato!ia disc!eta n'e!o de (e!sonas en e" 4oa!: N'e!o de (e!sonas en e" 4oa!
9i
n09i1
(09i1
+ ) H , 8 3 7 +* ++ +) +H + +, Tota"
33* H)** ,+7+ 8+3 7 )8,H +H7 37 * +* 88 3 ,) H +, )8*,
*$*HH *$++3 *$+7) *$), *$+3H *$+*) *$*,H *$*), *$*+, *$**, *$**H *$**) *$**) *$**) *$**+ +
Fuente: E"ao!aci;n (!o(ia en ase a tau"aciones es(ecia"es de "a Encuesta CAS EN )*++
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: E
9i + ) H , 8 3 7 +* ++ +) +H + +, Tota"
o"viendo a" eGe'("o ante!io!: n09i1 33* H)** ,+7+ 8+3 7 )8,H +H7 37 * +* 88 3 ,) H +, )8*,
(09i1 *$*HH *$++3 *$+7) *$), *$+3H *$+*) *$*,H *$*), *$*+, *$**, *$**H *$**) *$**) *$**) *$**+ +
9iQ(09i1 *$*HH *$)H *$,8, +$*,7 *$7+8 *$+* *$H8) *$)* *$+H, *$*,) *$*H+ *$*)+ *$*), *$*)) *$**3 $H*)
9iμ H$H*) )$H*) +$H*) *$H*) *$73 +$73 )$73 H$73 $73 ,$73 $73 8$73 3$73 7$73 +*$73
09iμ1) +*$7*) ,$)73 +$7, *$*7+ *$38 )$33 8$)3* +H$88 ))$*8H H)$8* $3 ,7$)) 8,$,7 7$*,, ++$,)
09iμ1)Q(09i1 *$H, *$) *$H), *$*) *$*37 *$)7H *$H38 *$H3 *$HH+ *$+3 *$+)3 *$+*, *$+, *$+7 *$*H H$,H3
P01 *$*HH *$+,+ *$HH *$*8 *$87+ *$37H *$7 *$78+ *$73 *$77+ *$77 *$77 *$773 *$777 +$***
a!ianza
Media
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: E
9i
n09i1
*$ Mu2 de Izuie!da +3 + )) ) H H 8* 83 , )83 3 8 , 3 , 7 +3 +*$ Mu2 de De!ec4a )3 Tota" 8) Fuente: E"ao!aci;n (!o(ia en ase a datos de "a Encuesta UDP )*+H 0Ma!zo1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: E
9i
n09i1
Nada i'(o!tante ) H , 8 3 7 Mu2 i'(o!tante Tota"
)8 + )3 , )+H +3) H*H 3, H)H +73 H+)7
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Bibliografía para esta sesión: • • • •
.eiss/ N$A$ 0)*++1$ E"e'enta!2 Statistics 03t4 ed$1$ Pea!son$ B"a"oc5/ 6$ M$ 0+7831$ Estad#stica socia"$ Mé9ico: Fondo de Cu"tu!a Econ;'ica$ oz/ <$ 6$ 0)**31$ Estad#stica e"e'enta": "o esencia"$ Mé9ico: Cenae Lea!nin$ T!io"a/ M$/ Pineda A2a"a/ L$ E$/ = 6e!n?ndez Ra'#!ez/ R$ 0)**71$ Estad#stica$ Nauca"(?n de
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: ARIABLES BINOMIALES
a!ia"es a"eato!ias disc!etas ue tiene so"o dos !esu"tados (osi"es 09ito 2 %!acaso/ ( 2 1$
“ (”
es "a (!oai"idad de ocu!!encia de + suceso en un so"o ensa2o 0é9ito1 2 “” es "a (!oai"idad de ue e" suceso no ocu!!a en un so"o ensa2o 0%!acaso1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En estos casos "a (!oai"idad de ue e" evento ocu!!a e9itosa'ente “9” veces en “n” ensa2os inde(endientes est? dado (o!:
n k n k p[ X = k ] = p q , 0 ≤ k ≤ n k −
( (!oai"idad constante de + é9ito (o! cada intento (!oai"idad de %!acaso 0+(1
Esto es "o ue se conoce co'o dist!iuci;n ino'ia"/ ue se cu'("e aGo "os siuientes su(uestos:
6a2 un n'e!o %iGo de intentos o e9(e!i'entos$ La (!oai"idad de é9ito es "a 'is'a (a!a cada intento$ Todos "os intentos son inde(endientes$
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
E" n'e!o de é9itos en n intentos es una va!ia"e a"eato!ia 0v$a$1 ue tiene dist!iuci;n ino'ia"$ En esta función, n sobre k, es el coeficiente binomial, que representa el nmero !e formas en que pue!e "aber x #xitos en n ensa$os% p(x) es la probabili!a! !e obtener x #xitos exactamente $ q(n&x) es la probabili!a! !e ocurran fracasos en los (n&x) ensa$os restantes'
Notaci;n: B0n/(1
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La me!ia de una dist!iuci;n ino'ia" es e" (!oducto de" n'e!o de intentos (o! "a (!oai"idad de é9itos:
a!ianza
2
σ =
µ =
n * p * q
n * p
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL$ E
Una investiaci;n !ea"izada (o! una e'(!esa de co'unicaciones so!e cie!to candidato (!esidencia" 4a !eve"ado ue e" ),V de "os 4aitantes de una dete!'inada (o"aci;n vota!#an (o! é" en "as (!;9i'as e"eccionas$ Si se e"ien a" aza! +* (e!sonas de esa (o"aci;n:
Cu?" es "a (!oai"idad de ue ninuna de e""as vea vota!? (o! e" candidato
Cu?" es "a (!oai"idad de ue dos de e""as si "o vean
SOCIOLO-@A E INESTI-ACIÓN SOCIAL: EN RESUMEN
