Lista de exercícios - Alocação Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma empresa fabrica dois modelos de bolsas de couro. O modelo B1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo B2. Se todas as bolsas fossem do modelo B2 a empresa poderia produzir 1.2 u!idades por dia. " dispo!ibilidade do couro permite fabricar # bolsas de ambos os modelos por dia. "s bolsas empregam metais decorati$os difere!tes, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de ( para B1 e ) para B2. Os lucros u!it&rios são de *+( para B1 e *+ para B2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de B1 /2 5 qua!tidade a produzir de B2 6a/. 7ucro 5 (/1 8 /2 Su%eito 9: 2/1 8 /2 1.2 ;restrição /1 8 /2 # ;restrição /1 ( ;restrição /2 ) ;restrição /1 ? , /2 ?
qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade qua!to 9 qua!tidade
m&/ima de produção por dia< de couro por dia< de =$elas p> 61< de =$elas p> 62<
2 – Uma fabrica produz dois tipos de produto: " e B. ada modelo " requer horas de corte e 2 horas de polime!to, cada modelo B requer 2 horas de corte e ) horas de polime!to. " f&brica possui ( cortadoras e 2 polidoras. Sabe!do@se que a sema!a de trabalho da f&brica ' de horas e que cada modelo " d& um lucro de *+( e cada modelo B *+ e que !ão h& restriçAes de dema!da, pede@se qual de$e ser o modelo de produção da f&brica que ma/imiza o lucro. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir do modelo " /2 5 qua!tidade a produzir do modelo B 6a/. 7ucro 5 (/1 8 /2 Su%eito 9: /1 8 2/2 12 ;restrição qua!to 9 horas de corte< 2/1 8 )/2 ;restrição qua!to 9 horas de polime!to< /1 ? , /2 ?
3 – Uma peque!a f&brica de m$eis produz dois modelos de molduras or!ame!tais, cu%os preços de $e!da são, respecti$ame!te, *+11, e *+C),. la possui D peças de madeira e dispAe de ( horas de trabalho para co!feccio!ar os dois modelos, se!do que o mode modelo lo " requ requer er 2 peças peças de ma made deira ira e ) hora horass de traba trabalh lho, o, e!qua e!qua!t !to o o mode modelo lo B !ecessita de 1 peça de madeira e D horas de trabalho. -ua!tas molduras de cada modelo a f&brica de$e mo!tar se dese%ar ma/imizar o re!dime!to obtido com as $e!das. *S3OS4": " 5 qua!tidade a produzir da moldura " B 5 qua!tidade a produzir da moldura B 6a/. 7ucro 5 11" 8 C)B Su%eito 9: 2" 8 B D ;restrição qua!to 9 qua!tidade e madeira< )" 8 DB ( ;restrição qua!to 9 horas de trabalho< " ? , B ?
4 – Uma f&brica de computadores produz dois modelos de computador: 1 e 2. O modelo 1 for!ece um lucro de *+1, e 2 um lucro de *+(,. O modelo model o 1 requer, !a sua
produção, um gabi!ete peque!o e uma u!idade de disco. O modelo 2 requer um gabi!ete gra!de e 2 u!idades de disco. /istem !o estoque: C u!idades do gabi!ete peque!o, ) do gabi!ete gra!de e 12 u!idades de disco. 3ergu!ta@se qual de$e ser o esquema de produção que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": 1 5 qua!tidade a produzir do computador 1 2 5 qua!tidade a produzir do computador 2 6a/. 7ucro 5 11 8 (2 Su%eito 9: 1 C ;restrição qua!to 9 qua!tidade de gabi!etes peque!os< 2 ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de gabi!etes gra!des< 1 8 22 12 ;restrição qua!to 9 qua!tidade de u!idades de disco< 1 ? , 2 ?
– Um fu!do de i!$estime!tos tem at' *+(., para aplicar em duas açAes. " empresa E ' di$ersi=cada ;tem F do seu capital aplicado em cer$e%a e o resta!te aplicado em refrigera!tes< e espera@se que for!eça bo!i=caçAes de 12F. " empresa G !ão ' di$ersi=cada ;produz ape!as cer$e%a< e espera@se que distribua bo!i=caçAes de 2F. 3ara este i!$estime!to, co!sidera!do a legislação go$er!ame!tal aplic&$el, o fu!do est& su%eito 9s segui!tes restriçAes: a< O i!$estime!to !a empresa di$ersi=cada pode ati!gir *+2D.,H b< O i!$estime!to !a empresa !ão@di$ersi=cada pode ati!gir *+1).,H c< O i!$estime!to em cada produto ;cer$e%a ou refrigera!te< pode ati!gir *+1.,. 3ede@se: -ual ' o esquema de i!$estime!to que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": E 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa E G 5 qua!tidade a i!$estir !as açAes da empresa G 6a/. 7ucro 5 ,12E 8 ,2G Su%eito 9: E 8 G (. ;restrição qua!to total de i!$estime!tos< i!$estime!tos < E 2D. ;restrição qua!to ao i!$estime!to i!$estime!t o !a empresa di$ersi=cada< di$ersi=c ada< G 1). ;restrição qua!to ao i!$estime!to i!$estime!t o !a empresa !ão@di$ersi=cada< !ão@di$er si=cada< ,E 8 G 1. ;restrição qua!to ao i!$estime!to em cer$e%a< ,CE 1. ;restrição qua!to ao i!$estime!to em refrigera!te< refrigera!t e< E ? , G ?
! – Uma empresa !o ramo de madeiras produz madeira tipo compe!sado e madeira serrada comum e seus recursos são m ( de pi!ho e m ( de ca!ela. " madeira serrada d& um lucro de *+), por m ( e a madeira compe!sada d& um lucro de *+,D por m 2. 3ara produzir uma mistura comerci&$el de 1m ( de madeira serrada são requeridos 1m ( de pi!ho e (m( de ca!ela. 3ara produzir 1m 2 de madeira compe!sada são requeridos (m ( de pi!ho e )m ( de ca!ela. ompromissos de $e!da e/igem que se%am produzidos pelo me!os )m ( de madeira serrada e #m2 de madeira compe!sada. -ual ' o esquema de produção que ma/imiza o lucro de tal forma a usar o m&/imo possI$el do estoque de mat'ria@prima e produzir, !o mI!imo, o compromisso co!tratual0 *S3OS4": S 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo serrada 5 qua!tidade a produzir de madeira do tipo compe!sado 6a/. 7ucro 5 )S 8 ,D Su%eito 9: S 8 ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade de pi!ho< (S 8 ,) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de ca!ela< S?) ;compromisso de $e!da de madeira serrada< ? # ;compromisso de $e!da de madeira tipo compe!sado<
" – Uma microempresa produz dois tipos de %ogos para adolesce!tes e sua capacidade de trabalho ' de ) horas sema!ais. O %ogo " requer ( horas para ser co!feccio!ado e propicia um lucro de *+(,, e!qua!to o %ogo B precisa de ) horas para ser produzido e acarreta um lucro de *+,. -ual o modelo do sistema de produção que ma/imiza o lucro0 *S3OS4": " 5 qua!tidade a produzir do %ogo " B 5 qua!tidade a produzir do %ogo B 6a/. 7ucro 5 (" 8 B Su%eito 9: (" 8 )B ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de horas de trabalho< " ? , B ?
# – Uma empresa aps um processo de racio!alização de produção =cou com dispo!ibilidade de trJs recursos produti$os, *1, *2, *(. Um estudo sobre o uso desses recursos i!dicou a possibilidade de se fabricar dois produtos 31 e 32. 7e$a!ta!do os custos e co!sulta!do o departame!to de $e!das sobre o preço de colocação !o mercado, $eri=cou@se que 31 daria um lucro de *+12 por u!idade e 32, *+1) por u!idade. O departame!to de produção for!eceu a segui!te tabela de usos dos recursos: $roduto 31 32 &isponi'ilidade de recursos por m(s
%ecurso %1 por unidade 2
%ecurso %2 por unidade ( 2
%ecurso %3 por unidade ) (
1
#
12
o!strua o modelo de produção me!sal do sistema. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de 31 /2 5 qua!tidade a produzir de 32 6a/. 7ucro 5 12/1 8 1)/2 Su%eito 9: 2/1 8 /2 1 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *1< (/1 8 2/2 # ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *2< )/1 8 (/2 12 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade do recurso *(< /1 ? , /2 ?
) – " empresa 6* 6$eis fabrica m$eis para escritrio e oferece a uma cadeia de lo%as trJs produtos: mesa para computador, esta!te e cadeira com regulagem de altura e rodas. O $e!dedor da 6* 6$eis fecha um pedido de 1. mesas, esta!tes e 1.2 cadeiras, com prazo de e!trega de ) dias. Um estudo do departame!to de produção %& tem estimado a !ecessidade de mão de obra, madeira e compo!e!tes met&licos para a fabricação dos trJs ite!s e a dispo!ibilidade desses recursos !o perIodo de produção: *es a -ua!tidade a fabricar 6ão de obra ;horas>u!idade< 6adeira ;m2>u!idade< ompo!e!tes met&licos ;Kg>u!idade<
1. ( ( ,)
&isponi'ilidade de recursos no período
+stan te
Cadei ra
1.2
)
2 ,)
D.C horas D. m2
1
2
. Kg
" 6* 6$eis pode repassar seus pro%etos a outro fabrica!te e e!co!trar uma qua!tidade co!$e!ie!te desses produtos com a =!alidade de suprir o pedido. "ps co!sulta, chegou@ se !o quadro: usto da fabricação prpria ;*+< usto da fabricação por terceiros ;*+<
*esa
+stante
Cadeira
1
1(
#
12
1)
11)
O problema co!siste, agora, em determi!ar as qua!tias que a 6* 6$eis de$er& produzir e comprar de cada item, para mi!imizar o custo total desse pedido. o!strua o modelo. *S3OS4": /m , /e , /c 5 qua!tidades a ,a'ricar de mesas, esta!tes e cadeiras Lm , Le , Lc 5 qua!tidades a comprar de mesas, esta!tes e cadeiras 6i!. custo 5 1/ m 8 1(/e 8 # /c 8 12Lm 8 1)Le ,8 11)Lc Su%eito 9: /m 8 Lm ? 1. ;qua!tidade a fabricar e comprar de mesas< /e 8 Le ? ;qua!tidade a fabricar e comprar de esta!tes< /c 8 Lc ? 1.2 ;qua!tidade a fabricar e comprar de cadeiras< (/m 8 /e 8 2/c D.C ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de mão de obra< (/m 8 )/e 8 ,)/c D. ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de madeira< ,)/m 8 /e 8 2/c . ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de comp. met&licos< /m ? , /e ?, /c ? , Lm ? , Le ? , Lc ?
1 – Uma determi!ada empresa fabrica 2 produtos "1 e "2. O lucro por u!idade de "1 ' de *+# e o lucro u!it&rio de "2 ' de *+11. " empresa !ecessita de 1 hora para fabricar uma u!idade de "1 e 2 horas para fabricar 1 u!idade de "2. O tempo me!sal dispo!I$el para essas ati$idades ' de horas. "s dema!das esperadas para os dois produtos le$am a empresa a decidir que os mo!ta!tes produzidos de "1 e "2 !ão de$em ultrapassar ( u!idades de "1 e 2 u!idades de "2 por mJs. o!strua o modelo do sistema de produção me!sal com o ob%eti$o de ma/imizar o lucro desta empresa. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de "1 /2 5 qua!tidade a produzir de "2 6a/. 7ucro 5 #/1 8 11/2 Su%eito 9: 1/1 8 2/2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade de horas< /1 ( ;restrição qua!to 9 dema!da de "1< /2 2 ;restrição qua!to 9 dema!da de "2< /1 ? /2 ?
11 – Uma empresa fabrica dois modelos de computadores. O modelo 1, mais completo, requer o triplo de tempo de fabricação em relação ao modelo 2. Se todos os computadores fossem do modelo 2 a empresa poderia produzir (. u!idades por dia. " dispo!ibilidade dos produtos eletrM!icos permite fabricar 1. computadores de ambos os modelos por dia. Os computadores empregam difere!tes tipos de processadores, cu%a dispo!ibilidade di&ria ' de 1.# para 1 e 1.) para 2. Os lucros u!it&rios são de *+1. para 1 e *+ para 2. -ual o programa timo para a produção que ma/imiza o lucro total di&rio da empresa0 o!strua o modelo do sistema descrito. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a produzir de 1 /2 5 qua!tidade a produzir de 2 6a/. 7ucro 5 1./1 8 /2 Su%eito 9:
(/1 8 /2 (. ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de produção por dia< /1 8 /2 1. ;restrição qua!to 9 qua!tidade de produtos eletrM!icos por dia< /1 1.# ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 1< /2 1.) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de processadores p> 2< /1 ? , /2 ?
Lista de exercícios – &osagem Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs.: Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – Uma liga especial co!stituIda de ferro, car$ão, silIcio e !Iquel pode ser obtida usa!do a mistura desses mi!erais puros. " liga de$e ter a segui!te composição =!al:
*atria-prima Nerro ar$ão SilIcio GIquel
/ mínima 1 1 (
/ máxima 2) 2) ( 1
Os custos dos materiais puros são ;por Kg<: ferro @ *+,H car$ão@ *+,(H silIcio @ *+,1)H !Iquel @ *+,)). -ual de$er& ser a composição da mistura com me!or custo por Kg0 o!strua o modelo de decisão. *S3OS4": /1 5 qua!tidade de ferro puro !a mistura /2 5 qua!tidade de car$ão puro !a mistura /( 5 qua!tidade de silIcio puro !a mistura / 5 qua!tidade de !Iquel puro !a mistura 6i!. usto 5 ,/ 1 8 ,(/2 8 ,1)/( 8 ,))/ Su%eito 9: /1 ? ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro< /1 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de ferro< /2 ? , ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de car$ão< /2 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de car$ão< /( ? ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de silIcio< /( ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio< / ? ,( ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de !Iquel< / ,1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de !Iquel< /1 8 /2 8 /( 8 / 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir< /1, /2, /( e / ?
2 – Uma f&brica de ração para a!imais possui em estoque ( misturas e prete!de, a partir delas, compor uma !o$a ração que aprese!te qua!tidades mI!imas de dois !utrie!tes prese!tes !as misturas. O quadro abai/o aprese!ta as misturas com a porce!tagem dos i!gredie!tes prese!tes em cada uma e seu custo, al'm das qua!tidades mI!imas e/igidas !a !o$a ração. 0ngrediente
$or g
+xig(ncia mínima
1 2 Custog %5
*istura 1
*istura 2
*istura 3
2) 2
2 (
(2 1
,(
,2)
,2
em g por saco de 3g ) C
O problema co!siste em determi!ar a composição do saco de (Kg da !o$a ração a partir das trJs misturas que aprese!te o me!or custo. *S3OS4": /1 5 qua!tidade da mistura 1 !a !o$a ração /2 5 qua!tidade da mistura 2 !a !o$a ração /( 5 qua!tidade da mistura ( !a !o$a ração 6i!. usto 5 ,(/ 1 8 ,2)/2 8 ,2/( Su%eito 9: /1 8 /2 8 /( 5 ( ,2)/1 8 ,2/2 8 ,(2/( ? ) ,2/1 8 ,(/2 8 ,1/( ? C /1 ? , /2 ? , /( ?
;restrição qua!to 9 qua!tidade total a produzir !a mistura< ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima do i!gredie!te 1< ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima do i!gredie!te 2<
3 – Uma liga especial co!stituIda de ferro, car$ão, silIcio e !Iquel pode ser obtida usa!do a mistura desses mi!erais puros al'm de 2 tipos de materiais recuperados: 6aterial *ecuperado 1 omposição: ferro @ CFH car$ão @ 2FH silIcio @ 2F. usto por Kg: *+,2. 6aterial *ecuperado 2 omposição: ferro @ DFH car$ão: 2FH silIcio @ )FH !Iquel @ )F. usto por Kg: *+,2). " liga de$e ter a segui!te composição =!al:
*atria-prima Nerro ar$ão SilIcio GIquel
/ mínima C 1) 1) )
/ máxima C) 2 2
Os custos dos materiais puros são ;por Kg<: ferro @ *+,(H car$ão @ *+,2H silIcio @ *+,2H !Iquel @ *+,). -ual de$er& ser a composição da mistura em termos de materiais dispo!I$eis, com me!or custo por Kg0 o!strua o modelo de decisão. *S3OS4": /1 5 qua!tidade de 6*1 !a mistura /2 5 qua!tidade de 6*2 !a mistura /( 5 qua!tidade de ferro puro !a mistura / 5 qua!tidade de car$ão puro !a mistura /) 5 qua!tidade de silIcio puro !a mistura /C 5 qua!tidade de !Iquel puro !a mistura 6i!. usto 5 ,2/ 1 8 ,2)/2 8 ,(/( 8 ,2/ 8 ,2/) 8 ,)/C Su%eito 9: ,C/1 8 ,D/2 8 /( ? ,C ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro< ,C/1 8 ,D/2 8 /( ,C) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de ferro< ,2/1 8 ,2/2 8 / ? ,1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de car$ão< ,2/1 8 ,2/2 8 / ,2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de car$ão< ,2/1 8 ,)/2 8 /) ? ,1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de silIcio< ,2/1 8 ,)/2 8 /) ,2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio< ,)/2 8 /C ? ,) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de !Iquel< ,)/2 8 /C , ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de !Iquel< /1 8 /2 8 /( 8 / 8 /) 8 /C 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir< /1, /2, /(, /, /) e /C ?
4 – Sabe@se que uma pessoa !ecessita, em sua alime!tação di&ria, de um mI!imo de 1) u!idades de proteI!as e 2 u!idades de carboidratos. Supo!hamos que para satisfazer esta !ecessidade, ela dispo!ha dos produtos " e B. Um Kg do produto " co!t'm ( u!idades de proteI!as, 1 u!idades de carboidratos e custa *+2,. Um Kg do produto B co!t'm C u!idades de proteI!as, ) u!idades de carboidratos e custa *+(,. -ue qua!tidade de$e@se comprar de cada produto de modo que as e/igJ!cias da alime!tação se%am satisfeitas a um custo mI!imo0 *S3OS4": /1 5 qua!tidade do produto " a co!sumir /2 5 qua!tidade do produto B a co!sumir 6i!. usto 5 2/1 8 (/2 Su%eito 9: (/1 8 C/2 ? 1) ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de proteI!as a i!gerir< 1/1 8 )/2 ? 2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de carboidratos a i!gerir< /1 ? , /2 ?
– Uma empresa siderPrgica produz um tipo de aço a partir de aço puro misturado com Qligas met&licasR e recebeu um pedido de uma peça de Kg. Sabe@se que o custo por quilo de aço puro ' de *+), e o das ligas, *+(, e que os estoques são de Kg e Kg, respecti$ame!te. Ga carga do for!o para a produção da liga dese%ada, a relação de adiçAes para aço puro de$e estar e!tre 2)F e ()F. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0 *S3OS4": /1 5 qua!tidade de aço puro !a mistura /2 5 qua!tidade do adiçAes met&licas !a mistura 6i!. usto 5 )/1 8 (/2 Su%eito 9: /1 8 /25 ;restrição qua!to ao peso total da peça a produzir< /1 ? 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de aço puro !a mistura de Kg< /1 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de aço puro !a mistura de Kg< /1 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de aço puro< /2 ;restrição qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de adiçAes met&licas< /1 ? , /2 ?
! – Uma empresa adquire petrleo para produzir gasoli!a comum, gasoli!a especial e leo diesel. la !ecessita ma!ter em seus ta!ques, !o i!Icio de cada sema!a, um estoque mI!imo dos produtos. " tabela abai/o mostra, para uma determi!ada sema!a, as composiçAes, dispo!ibilidades e estoques mI!imos. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0
as. omum as. special Tleo Eiesel &isponi'ilidad e Custo
$etr6leo A
$etr6leo 7
1F 2F DF
CF (F 1F
2 Barris
( Barris
*+ 1,
*+ 1),
+sto8ue mínimo 2 Barris ) Barris 1 Barris
*S3OS4": /1 5 qua!tidade do petrleo " !a mistura /2 5 qua!tidade do petrleo B !a mistura 6i!. usto 5 1/1 8 1)/2 Su%eito 9: ,1/1 8 ,C/2 ? 2 ;restrição qua!to ao estoque mI!imo de gasoli!a comum<
,2/1 8 ,(/2 ? ) ,D/1 8 ,1/2 ? 1 /1 2 /2 ( /1 ? , /2 ?
;restrição ;restrição ;restrição ;restrição
qua!to ao estoque mI!imo de gasoli!a especial< qua!to ao estoque mI!imo de leo diesel< qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de petrleo "< qua!to 9 dispo!ibilidade m&/ima de petrleo B<
" – Um açougue prepara almM!degas mistura!do car!e bo$i!a magra e car!e de porco. " car!e bo$i!a co!t'm F de car!e e 2F de gordura e custa *+, o KgH a car!e de porco co!t'm CF de car!e e (2 F de gordura e custa *+,C o Kg. -ua!to de car!e bo$i!a e qua!to de car!e de porco o açougue de$e utilizar por Kg de almM!dega se o ob%eti$o ' mi!imizar seu custo e co!ser$ar o teor de gordura da almM!dega !ão superior a 2)F0 o!strua o modelo. *S3OS4": /1 5 qua!tidade de car!e bo$i!a !a mistura /2 5 qua!tidade de car!e de porco !a mistura 6i!. usto 5 ,/1 8 ,C/2 Su%eito 9: /1 8 /2 5 1 ;restrição qua!to 9 composição a produzir !um total de 1Kg< ,2/1 8 ,(2/2 ,2) ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de gordura< /1 ? , /2 ?
# – Uma empresa de mi!eração dese%a cumprir um co!trato de for!ecime!to de milhAes de to!eladas por a!o do mi!'rio Si!ter Need e, para ta!to, co!ta com os segui!tes mi!'rios ;a tabela abai/o mostra a composição perce!tual e o custo por to!elada de cada mi!'rio<: 9e :i Custo
*1 CCF 1,)F *+),C
*2 CF (,DF *+(,(
O mi!'rio a ser produzido por este ble!di!g de$e co!ter !o mI!imo C)F de Nerro e !o m&/imo (F de SilIcio. -ual ' o ble!di!g a custo mI!imo0 *S3OS4": /1 5 qua!tidade do mi!'rio 61 !a mistura /2 5 qua!tidade do mi!'rio 62 !a mistura 6i!. usto 5 ),C/ 1 8 (,(/2 Su%eito 9: /1 8 /2 5 .. ;restrição qua!to 9 qua!tidade total a produzir em to!eladas por a!o< ,CC/1 8 ,C/2 ? 2.C. ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima de ferro !a mistura total< ,1)/ 1 8 ,(D/2 12. ;restrição qua!to 9 qua!tidade m&/ima de silIcio !a mistura total< /1 ? , /2 ?
Lista de exercícios - ;ransporte Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir. Obs. Seguir o roteiro proposto em aula. 1 – "!alise a =gura a seguir:
" ia. de 3rodutos egetais 3 possui duas f&bricas que abastecem trJs depsitos. "s f&bricas tJm um !I$el m&/imo de produção baseado !as suas dime!sAes e !as safras pre$istas. Os custos em *+>t estão a!otados em cada rota ;ligação e!tre as f&bricas e depsitos<. Vos' de "lmeida, estuda!te de "dmi!istração, foi co!tratado pelo Eepartame!to de 7ogIstica com a =!alidade de ate!der a dema!da dos depsitos sem e/ceder a capacidade das f&bricas, mi!imiza!do o custo total do tra!sporte.
a o!strua o modelo. *S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E1 /12 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E2 /1( 5 qua!tidade a tra!sportar de N1 para E( /21 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E1 /22 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E2 /2( 5 qua!tidade a tra!sportar de N2 para E( 6i!. usto 5 )/11 8 /12 8 C/1( 8 /21 8 (/22 8 )/2(
Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( 2) /21 8 /22 8 /2( 1 /11 8 /21 5 1 /12 8 /22 5 1) /1( 8 /2( 5 ) /11, /12, /1(, /21, /22, /2( ?
;restrição ;restrição ;restrição ;restrição ;restrição
qua!to a produção de N1< qua!to a produção de N2< qua!to capacidade de E1< qua!to capacidade de E2< qua!to capacidade de E(<
' m sua decisão Vos' de "lmeida co!siderou as segui!tes situaçAes: W @ 1. u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 2 para o Eepsito 1. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 1H WW @ 2.) u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 1 para os Eepsitos 1 e 2. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 2H WWW @ 1. u!idades de$em ser tra!sportadas da N&brica 2 para o Eepsito 2. " dema!da resta!te de$e ser suprida a partir da N&brica 1. "prese!ta;m< o;s< me!or;es< custo;s< ape!as a;s< situação;Aes<: ;"< W ;B< WW ;< WWW ;E< W e WWW ;< WW e WWW
*S3OS4": W /21 5 1, / 12 5 1), /1( 5 ). 1( WW @ /11 5 1, / 12 5 1), / 2( 5 ). 1() WWW /22 5 1, / 12 5 ) /11 5 1, /1( 5 ). 5 1(
usto 5 /1 8 /1) 8 C/) 5 usto 5 )/1 8 /1) 8 )/) 5 usto 5 (/1 8/)8 )/1 8 C/)
%esposta correta< as situaçAes W e WWW aprese!tam me!or custo. Letra< &
2 – Uma empresa tem duas f&bricas para produzir determi!ado produto a ser depois tra!sportado para trJs ce!tros de distribuição. "s f&bricas 1 e 2 produzem, respecti$ame!te, 1 e ) carregame!tos por mJs. Os ce!tros de distribuição 1, 2 e ( !ecessitam receber, respecti$ame!te, , ( e carregame!tos por mJs. Os custos de tra!sporte, por carregame!to, são dados !o segui!te quadro: 9á'rica 1 9á'rica 2
C1 D
C2
C3 (
(
1
2
*S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição 1 /12 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição 2 /1( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o e!tro de Eistribuição ( /21 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição 1 /22 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição 2 /2( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o e!tro de Eistribuição ( 6i!. usto 5 D/11 8 /12 8 (/1( 8 (/21 8 1/22 8 2/2( Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade de carregame!tos da f&brica 1 por mJs< /21 8 /22 8 /2( ) ;restrição qua!to 9 qua!tidade de carregame!tos da f&brica 2 por mJs< /11 8 /21 5 ;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do ce!tro de distribuição 1< /12 8 /22 5 ( ;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do ce!tro de distribuição 2<
/1( 8 /2( 5 ce!tro de distribuição (< /11, /12, /1(, /21, /22 e /2(?
;restrição qua!to 9 !ecessidade de carregame!tos por mJs do
3 – Uma empresa tem atualme!te to!eladas de arroz !um armaz'm "1, 1 to!eladas !um armaz'm "2 e 11 to!eladas !um armaz'm "( !ecessita!do satisfazer as segui!tes dema!das mI!imas de trJs clie!tes 1, 2 e (: Cliente C1 C2 C3
=uantidade toneladas 1) 1D )
Os custos de tra!sporte ;em mil *+< são os segui!tes:
A1 A2 A3
C1 1C )
C2 C 1 1
C3 1)
"prese!te o modelo para mi!imização do custo de tra!sporte. *S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te 1 /12 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te 2 /1( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o lie!te ( /21 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te 1 /22 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te 2 /2( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o lie!te ( /(1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te 1 /(2 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te 2 /(( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o lie!te ( 6i!. usto 5 /11 8 C/12 8 /1( 8 1C/21 8 1/22 8 1)/2( 8 )/(1 8 1/(2 8 /(( Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 1< /21 8 /22 8 /2( 1 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 2< /(1 8 /(2 8 /(( 11 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm (< /11 8 /21 8 /(1 ? 1) ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te 1< /12 8 /22 8 /(2 ? 1D ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te 2< /1( 8 /2( 8 /(( ? ) ;restrição qua!to 9 dema!da do clie!te (< /11, /12, /1(, /21, /22, /2(, /(1, /(2 e /(( ?
4 – " e!eral Nord produz $eIculos em 7.". e Eetroit, possui um po!to de tra!sbordo em "tla!ta e e!trega os $eIculos produzidos em Xousto! e 4ampa. O custo de e!$iar $eIculos e!tre po!tos ' dado !a tabela abai/o: &e< L.A &etroit Atlanta
Atlanta 1 1) @
$ara< >ouston @ @ 121
;ampa @ @ 11#
" f&brica de 7.". pode produzir at' 1.1 $eIculos por mJs e a f&brica de Eetroit pode produzir at' 2.# $eIculos por mJs. Xousto! de$e receber !o mI!imo 2. $eIculos por mJs e 4ampa de$e receber !o mI!imo 1.( $eIculos por mJs. Normule o problema busca!do mi!imizar o custo total de tra!sporte dos $eIculos. *S3OS4": /1 5 qua!tidade a tra!sportar de 7." para o tra!sbordo em "tla!ta
/2 5 qua!tidade a tra!sportar de Eetroit para o tra!sbordo em "tla!ta /(1 5 qua!tidade a tra!sportar do tra!sbordo em "tla!ta para Xousto! /(2 5 qua!tidade a tra!sportar do tra!sbordo em "tla!ta para 4ampa 6i!. usto 5 1/1 8 1)/2 8 121/(1 8 11#/(2 Su%eito 9: /1 11 ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar da f&brica de 7." produção m&/ima da f&brica< /2 2# ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar da f&brica de Eetroit produção m&/ima da f&brica< /1 8 /2 ? (D ;restrição qua!to 9 dema!da mI!ima de Xousto! e 4ampa< /(1 ? 2 ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima a tra!sportar do tra!sbordo de "tla!ta para Xousto!< /(2 ? 1( ;restrição qua!to 9 qua!tidade mI!ima a tra!sportar do tra!sbordo de "tla!ta para 4ampa< /1, /2, /(1 e /(2 ?
– 4rJs armaz'!s abastecem ci!co po!tos de $e!da. O quadro abai/o mostra os custos de distribuição, a capacidade dos armaz'!s e as !ecessidades !os po!tos de $e!da. Eetermi!e o modelo a =m de mi!imizar os custos de tra!sporte.
Arma?m 1 Arma?m 2 Arma?m 3 @ecessidade mínima @ecessidade máxima
$1
$2
$3
$4
$
1C 12
1 C
12 1
12 1
1C 1
23
!)
"!
"
#2
2"
")
#
#1
)
Capacida de 1" ! )
*S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da 1 /12 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da 2 /1( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da ( /1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da /1) 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 1 para o 3o!to de $e!da ) /21 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da 1 /22 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da 2 /2( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da ( /2 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da /2) 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm 2 para o 3o!to de $e!da ) /(1 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da 1 /(2 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da 2 /(( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da ( /( 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da /() 5 qua!tidade a tra!sportar do "rmaz'm ( para o 3o!to de $e!da ) 6i!. usto 5 1C/ 11 8 1/12 8 12/1( 8 12/1 8 1C/1) 8 12/21 8 /22 8 1/2( 8 /2 8 /2) 8 /(1 8 C/(2 8 /(( 8 1/( 8 1/() Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( 8 /1 8 /1) 1D ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 1< /21 8 /22 8 /2( 8 /2 8 /2) C ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm 2< /(1 8 /(2 8 /(( 8 /( 8 /() # ;restrição qua!to 9 qua!tidade a tra!sportar do armaz'm (< /11 8 /21 8 /(1 ? 2( ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da 1< /11 8 /21 8 /(1 2D ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da 1< /12 8 /22 8 /(2 ? C# ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da 2< /12 8 /22 8 /(2 D# ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da 2< /1( 8 /2( 8 /(( ? DC ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da (< /1( 8 /2( 8 /(( ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da (< /1 8 /2 8 /( ? D ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da <
/1 8 /2 8 /( 1 ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da < /1) 8 /2) 8 /() ? 2 ;restrição qua!to 9 !ecessidade mI!ima do po!to de $e!da )< /1) 8 /2) 8 /() # ;restrição qua!to 9 !ecessidade m&/ima do po!to de $e!da )< /11, /12, /1(, /1, /1), /21, /22, /2(, /2, /2), /(1, /(2, /((, /( e /() ?
! – Uma empresa de$e programar o roteiro de embarques de seus produtos, os quais são e!$iados a partir de trJs f&bricas para quatro armaz'!s localizados em po!tos estrat'gicos do mercado. 7e$a!do em co!ta o tipo de tra!sporte que pode ser utilizado em cada caso, bem como das distY!cias e!tre as f&bricas e os armaz'!s, os custos são difere!ciados para cada combi!ação f&brica>armaz'm, como mostrado !a matriz abai/o: 9á'ric as 1 2 3 &eman da
Capacid ade
Arma?ns A 2 1C
7 1 C 2
C 1 1C (2
& 2 1C 1
1C
1
2
(2
2 4 3
Eetermi!ar o modelo matem&tico para o e!$io dos produtos de cada f&brica para cada armaz'm de modo a mi!imizar o custo do tra!sporte. *S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm " /12 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm B /1( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm /1 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 1 para o "rmaz'm E /21 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm " /22 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm B /2( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm /2 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica 2 para o "rmaz'm E /(1 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm " /(2 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm B /(( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm /( 5 qua!tidade a tra!sportar da Nabrica ( para o "rmaz'm E 6i!. usto 5 /11 8 1/12 8 1/1( 8 2/1 8 2/21 8 C/22 8 1C/2( 8 1C/28 1C/(1 8 2/(2 8 (2/(( 8 1/( Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( 8 /1 2 ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica 1< /21 8 /22 8 /2( 8 /2 ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica 2< /(1 8 /(2 8 /(( 8 /( ( ;restrição qua!to 9 capacidade da f&brica (< /11 8 /21 8 /(1 5 1C ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm "< /12 8 /22 8 /(2 5 1 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm B< /1( 8 /2( 8 /(( 5 2 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm < /1 8 /2 8 /( 5 (2 ;restrição qua!to 9 dema!da do armaz'm E< /11, /12, /1(, /1, /21, /22, /2(, /2, /(1, /(2, /(( e /( ?
" – Eetermi!ar o carregame!to da rede ;modelo< de tra!sporte que mi!imiza o custo total:
*S3OS4": /11 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o 1 /12 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o 2 /1( 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 1 para o Eesti!o ( /21 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o 1 /22 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o 2 /2( 5 qua!tidade a tra!sportar da No!te 2 para o Eesti!o ( 6i!. usto 5 1/11 8 (/12 8 )/1( 8 1D/21 8 D/22 8 #/2( Su%eito 9: /11 8 /12 8 /1( 1) ;restrição qua!to 9 capacidade de for!ecime!to da No!te 1< /21 8 /22 8 /2( 2) ;restrição qua!to 9 capacidade de for!ecime!to da No!te 2< /11 8 /21 5 2 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o 1< /12 8 /22 5 1 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o 2< /1( 8 /2( 5 1 ;restrição qua!to 9 capacidade de recebime!to do Eesti!o (< /11, /12, /1(, /21, /22 e /2(?
Lista de exercícios – $es8uisa peracional 1 – Uma o=ci!a mecY!ica dese%a alocar o tempo ocioso dispo!I$el em suas m&qui!as para a produção de ( produtos. " tabela abai/o d& as i!formaçAes sobre as !ecessidades de horas de m&qui!a para produzir uma u!idade de cada produto, assim como a dispo!ibilidade das m&qui!as, o lucro dos produtos e a dema!da m&/ima e/iste!te !o mercado.
;ipo de *á8uina
$roduto A
$roduto 7
$roduto C
) 2 2
( ) 1)
) ( 1
)
2
4or!o Nresa Nuradeira Lucro &emanda :emanal
;empo &isponíBel ;horas por sema!a< ) (
3ede@se o esquema de produção de lucro m&/imo.
2 – Uma f&brica de r&dios ti!ha o desa=o de ma/imizar o lucro global di&rio obtido de duas li!has de produção que comportam )C oper&rios, se!do que a f&brica possui ape!as . "s li!has de produção são *&dios 7u/o e *&dios Sta!dard. " 7i!ha *&dios Sta!dard comporta (2 pessoas e cada r&dio co!some 1 homem>dia, for!ece!do um lucro de *+(,>u!. " li!ha *&dios 7u/o comporta 2 pessoas e cada r&dio co!some 2 home!s>dia, for!ece!do um lucro de *+,>u!. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes. 3 – 3ara a fabricação de cada u!idade dos produtos ", B, e E, são utilizadas, em Kg, as segui!tes mat'rias@primas: *atria $rima 6adeira 3l&stico "ço idro 4i!ta
$roduto A 2
7 1
1 1
C ( 1 ( 2 2
& 2 1 1
Os estoques das mat'rias@primas, em to!eladas, co!forme lista acima, são, respecti$ame!te: 1, 2, , 1, 1). Os lucros u!it&rios dos produtos, co!forme lista acima, são respecti$ame!te: *+2,, *+(,, *+2), e *+1),. Ob%eti$a@se esquematizar a produção para obter lucro m&/imo. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
4 – Uma f&brica de m$eis tem como dois dos seus pri!cipais produtos mesas de madeira e mesas met&licas. "s mesas de madeira proporcio!am um lucro de + 12, por u!idade, %& as mesas met&licas determi!am um lucro de + 1, por u!idade. " fabricação de uma mesa de madeira requer 1) mi!utos da operação ", ( mi!utos da operação B e 2 mi!utos da operação . V& a produção de uma mesa met&lica e/ige ( mi!utos da operação " e 1) mi!utos da operação . " empresa dispAe de horas sema!ais para a operação ", ( horas sema!ais para a operação B e 2 horas sema!ais para a operação . 3ara gara!tir a $e!da de toda a sua produção, a empresa =rmou um co!trato de e/clusi$idade com um distribuidor. O mesmo e/ige que a produção mI!ima sema!al se%a de 1) mesas de madeira e 2 mesas met&licas. "l'm disto, em fu!ção da dema!da difere!ciada pelos dois tipos de produtos, o distribuidor e/ige que a relação e!tre as mesas de madeira e met&licas se%a !o mI!imo de 1:(, ou se%a, para cada mesa de madeira produzida podem ser produzidas !o m&/imo ( mesas met&licas. Normule o modelo de 3rogramação 7i!ear que represe!ta o problema acima, com ob%eti$o de ma/imizar o lucro sema!al da f&brica de m$eis. – Um pizzaiolo trabalha horas por dia e faz 1C pizzas por hora, caso faça some!te pizzas, e # calzo!es por hora, se =zer some!te calzo!es. le gasta gramas de quei%o para preparar uma pizza e C gramas de quei%o para fazer um calzo!e. Sabe!do@se que o
total dispo!I$el de quei%o ' de ) quilogramas por dia, e que a pizza ' $e!dida a *+ 1, e o calzo!e a *+22,, pergu!ta@se: qua!tas u!idades de pizzas e calzo!es uma pizzaria com trJs pizzaiolos de$e $e!der diariame!te para ma/imizar a sua receita0
! – " sportes *adicais S>" produz p&ra@quedas e asas@delta em duas li!has de mo!tagem. " primeira li!ha de mo!tagem tem 1 horas sema!ais dispo!I$eis para a fabricação dos produtos, e a segu!da li!ha tem um limite de 2 horas sema!ais. ada um dos produtos requer 1 horas de processame!to !a li!ha 1, e!qua!to que !a li!ha 2 o p&ra@quedas requer ( horas e a asa@delta requer D horas. Sabe!do que o mercado est& disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela $e!da de cada p&ra@ quedas ' de *+ C, e para cada asa@delta $e!dida ' de *+ ,, e!co!tre a programação de produção que ma/imize o lucro da sportes *adicais S>". " – " i!dPstria "lumilYmi!as S>" i!iciou suas operaçAes em %a!eiro de 21 e %& $em co!quista!do espaço !o mercado de lami!ados brasileiro, te!do co!tratos fechados de for!ecime!to para todos os ( tipos difere!tes de lYmi!as de alumI!io que f&brica: espessuras =!a, m'dia e grossa. 4oda a produção da compa!hia ' realizada em duas f&bricas, uma localizada em São 3aulo e a outra !o *io de Va!eiro. Segu!do os co!tratos fechados, a empresa precisa e!tregar 1C to!eladas de lYmi!as =!as, C to!eladas de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas. Ee$ido 9 qualidade dos produtos da "lumi!Ymi!as S>", h& uma dema!da e/tra para cada tipo de lYmi!as. " f&brica de São 3aulo tem um custo de produção di&ria de *+ 1., para uma capacidade produti$a de to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e 2 to!eladas de lYmi!as grossas por dia. O custo de produção di&rio da fabrica do *io de Va!eiro ' de *+ 2., para uma produção de 2 to!eladas de lYmi!as =!as, 1 to!elada de lYmi!as m'dias e D to!eladas de lYmi!as grossas. -ua!tos dias cada uma das fabricas de$er& operar para ate!der aos pedidos ao me!or custo possI$el0 # – Uma f&brica de le!ço de papel produz quatro tipos de produto: ", B, e E. " f&brica recebe o papel em gra!des rolos. Z cortado, dobrado e empacotado. Eada a peque!a escala da f&brica, o mercado absor$er& qualquer produção a um preço co!sta!te. Os lucros u!it&rios ;cai/a com 1. u!idades< de cada produto são, respecti$ame!te, *+1,, *+1),, *+1, e *+2,. O quadro abai/o ide!ti=ca o tempo !ecess&rio para operação ;em mi!utos para cada 1. u!idades< em cada seção da f&brica, bem como a qua!tidade de m&qui!as dispo!I$eis. o!sidere uma %or!ada de mi!utos. :eção
A
7
C
&
orte Eobra mpacotame !to
) 1
12 1)
1) 2
1 2)
=uantidade de *á8uinas )
1)
22
22
2)
(
) – Um fabrica!te de bri!quedos dese%a programar a produção de um determi!ado bri!quedo para ate!der a segui!te dema!da: W. Outubro: 1.2 u!idades WW. Go$embro: (.C u!idades WWW. Eezembro: 2. u!idades " capacidade !ormal de produção ' de 1.#2 u!idades. Usa!do horas@e/tras, obt'm@se uma capacidade adicio!al de 1.(2 u!idades>mJs. O custo de produção !ormal u!it&rio ' de *+ ,. Nora do tur!o !ormal o custo ' de *+ C2,>u!idade. O custo me!sal de armaze!agem ' de *+ 12,>u!idade. Supo!do que !ão e/ista estoque i!icial, e que o fabrica!te !ão dese%e estoque =!al em dezembro, formule um modelo de programação li!ear ;aprese!ta!do@o< para determi!ar qua!to produzir em cada um dos trJs meses, !o tur!o !ormal e !o e/tra, de ma!eira a mi!imizar o custo total.
1 – Uma estamparia pode fabricar pias de aço i!o/id&$el e>ou saladeiras do mesmo material. 3ara isto, utiliza com mat'ria@prima chapas de aço de um tama!ho P!ico, padro!izado. om cada chapa pode@se estampar uma pia e duas saladeiras ou e!tão seis saladeiras. "s sobras são eco!omicame!te i!apro$eit&$eis. Go processo de estamparia as chapas utilizadas para produzir pias e saladeiras requerem um tempo de mi!utos, e!qua!to que as chapas utilizadas para produzir ape!as saladeiras requerem um tempo de processame!to de 12 mi!utos. " empresa possui duas m&qui!as de estampar com uma dispo!ibilidade de horas sema!ais cada uma. O preço de $e!da de cada pia ' de + e de cada saladeira de + (. ada chapa de aço i!o/id&$el custa + . Os demais custos !ão depe!dem da decisão. Sabe@se por e/periJ!cia passada que !ão se co!segue $e!der mais do que saladeiras para cada pia $e!dida. " empresa possui um total de ) chapas de aço i!o/id&$el para a produção sema!al e dese%a saber qua!to de$e produzir de cada artigo para obter o maior lucro possI$el !o perIodo. 11 – Uma f&brica de r&dios produz os modelos ", B e , que for!ecem lucros de 1C, ( e ) reais por u!idade, respecti$ame!te. "s e/igJ!cias de produção mI!ima sema!al são ;em dPzias<: 2, 1 e ), respecti$ame!te. ada tipo de r&dio requer uma certa qua!tidade de tempo para a fabricação das partes compo!e!tes, para a mo!tagem e para a embalagem. " tabela a seguir mostra estas !ecessidades de tempo ;em horas< para lotes de 12 u!idades ;que são a qua!tidade mI!ima de fabricação<: %ádio " B &isponi'ili dade
( (,) )
)
+m'alage m 1 1,) (
12
1C
9a'ricação *ontagem
" tabela mostra, ai!da, a dispo!ibilidade em horas de cada setor da f&brica. 3ergu!ta@se qual a programação da produção de maior lucro.
12 – Uma f&brica de cadeiras produz quatro modelos, usa!do a carpi!taria e a seção de acabame!to. "s !ecessidades de home!s>hora de cada produto !a carpi!taria são as segui!tes, respecti$ame!te: , #, D e 1 e, !a seção de acabame!to, 1, 1, ( e . Os lucros u!it&rios for!ecidos por produto são, respecti$ame!te, *+12,, *+2,, *+1, e *+,. " f&brica possui 2 oper&rios !a carpi!taria e ( !a seção de acabame!to, trabalha!do horas por dia e 2) dias por mJs. Supo!do@se que !ão h& restriçAes de dema!da de produto, pergu!ta@se qual o esquema me!sal de produção capaz de ma/imizar o lucro da f&brica. 13 – Uma empresa fabrica quatro modelos de rebites met&licos a partir de chapas, cada um dos quais de$e ser cortado, dobrado e furado. "s !ecessidades especI=cas de tempo de trabalho ;em mi!utos por 1. u!idades< de cada um dos produtos são as segui!tes: *odelo A 7 C &
Cortar ( 2 2
&o'rar 2 1 2 1
9urar 1 ( 1 (
" empresa dispAe, !uma base di&ria, de 2 mi!utos de tempo de corte, 2 mi!utos de tempo de dobra e 2 horas de tempo de furar. Os lucros u!it&rios ;1. u!idades< sobre os produtos são, respecti$ame!te, *+C,, *+,, *+C, e *+,. 3ede@se o esquema de produção que ma/imiza o lucro.
14 – Um faze!deiro dispAe de hectares culti$&$eis com milho, trigo ou so%a. ada hectare de milho e!$ol$e custos de *+2., para preparação do terre!o, 2 home!s>dia de trabalho e gera um lucro de *+C,. Um hectare de trigo e!$ol$e custos de *+2., para preparação, requer ( home!s>dia de trabalho e gera um lucro de *+,. Ni!alme!te, um hectare de so%a e!$ol$e gastos de *+1.,, 2 home!s>dia e um lucro de *+,. O faze!deiro dispAe de *+., para cobrir os custos de preparação do terre!o e pode co!tar tamb'm com . home!s>dia de trabalho. -ual de$e ser a alocação da terra para os $&rios tipos de cultura de ma!eira a ma/imizar os lucros0 1 – Uma f&brica de bebidas produz ( tipos de rum: 3opular, Sta!dard e special, os quais passam por ( processos de!tro da empresa e cu%os tempos $emos abai/o ;em horas por cai/a de bebida<: +sterili?açã o (
7e'ida 3opular Sta!dard special
+ngarra,am ento 2 (
+m'alagem 1 ( D
1! – Uma gra!de empresa de mi!eração tem i!stalaçAes em ( estados disti!tos, ide!ti=cados como 6i!eraçAes ", B e . 4ais mi!eraçAes de$em ate!der a trJs usi!as de be!e=ciame!to e comercialização, localizadas !as cidades 1, 2 e (. Os custos de tra!sporte ;+>to!< e!tre as mi!eraçAes e as usi!as de be!e=ciame!to são co!hecidos e aprese!tados !a tabela a seguir, bem com as capacidades de produção ;to!< de cada mi!eração e as dema!das de comercialização ;to!< das usi!as de be!e=ciame!to.
*ineraçes " B &emanda das usinas
Dsinas de 'eneEciamento de co're Cidade 1 ) 1,)
Cidade 2 ) 1 (
Cidade 3 2 2
,D
1
(
Capacidade de *ineraçes ( 1 2
3or outro lado, tamb'm são co!hecidos os custos de e/tração do mi!'rio !as mi!eraçAes e de be!e=ciame!to !as usi!as, os quais estão aprese!tados !a tabela abai/o:
*ineraç es
Custos extração 5ton
Dsinas de 'eneEciamento
A 7 C
) ()
C0&A&+ 1 C0&A&+ 2 C0&A&+ 3
Custos de 'eneEciamento 5ton D C) C
Ob$iame!te, a empresa dese%a mi!imizar os custos totais ;somatrio dos custos de mi!eração, be!e=ciame!to e tra!sporte<, ate!de!do 9s dema!das do mercado, a partir das cidades com usi!as de be!e=ciame!to e de acordo com a capacidade das mi!eraçAes. Ee$e@se obser$ar que, ta!to para o tra!sporte como para a mi!eração e o be!e=ciame!to, de$em ser processadas, sempre, qua!tidades mPltiplas de 1 to!elada. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
1" – Uma empresa tem f&bricas !os locais W, WW e WWW, que abastecem armaz'!s situados em ", B, e E. "s capacidades me!sais das f&bricas são de 1, 2) e (, respecti$ame!te. "s !ecessidades me!sais mI!imas dos armaz'!s são 1), 2, 1) e ), respecti$ame!te. Os custos u!it&rios de tra!sporte são os segui!tes: rigem 0 00 000
&estino A ) (
7 2 )
C C 2
& # 1 )
Busca@se o esquema de tra!sporte de custo mI!imo. Ee=!a as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
1# – o!sidere uma metalPrgica que dispAe de tec!ologia !ecess&ria para a e/tração de metais di$ersos a partir da sucata, for!ece!do@os ao mercado. O programa de e!trega aos clie!tes, para a pr/ima sema!a, ' de (2 Kg de cobre, )( Kg de esta!ho, 1C Kg de chumbo e 1.) Kg de ferro. Os estoques, !o i!Icio da pr/ima sema!a, serão de ) Kg de cobre, ( Kg de esta!ho e 1.D Kg de ferro. " qua!tidade estocada de chumbo, !o i!Icio da pr/ima sema!a, ser& igual a zero. Os for!ecedores " e B for!ecem sucata com qua!tidades dos di$ersos metais co!forme a tabela a seguir: *etal obre sta!ho humbo Nerro Outros
:ucata do 9ornecedor / A 7 ( # 1 1 1C 2 C (1 1#
O custo por to!elada ;1. Kg< de sucata ' de + #, e de + D), para os for!ecedores " e B, respecti$ame!te. O for!ecedor B i!formou que, para a pr/ima sema!a, dispor& de, !o m&/imo, to!eladas de sucata para e!trega. O for!ecedor " !ão impMs quaisquer restriçAes para a qua!tidade de sucata a ser e!tregue. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes, de modo a determi!ar a qua!tidade de sucata a ser comprada de cada for!ecedor, a =m de cumprir o programa de e!trega da pr/ima sema!a, mi!imiza!do o custo de aquisição de sucata. o!sidere que a empresa prete!de produzir ape!as o !ecess&rio para ate!der ao programa de e!trega da pr/ima sema!a.
1) – Uma empresa tem f&bricas !as cidades ", B e , todas fabrica!do o mesmo tipo de pai!el de madeira para residJ!cias. Os produtos são atualme!te distribuIdos para as lo%as das cidades 1, 2 e (. " empresa est& estuda!do a reestruturação de sua rota de distribuição em fu!ção da eco!omicidade de despacho e tra!sporte para as lo%as. Geste se!tido, a empresa fez um le$a!tame!to dos seus atuais custos de tra!sporte das f&bricas para as lo%as, o que ' aprese!tado abai/o. 9á'ricas Cidade A Cidade 7 Cidade C
Cidade 1 12 1
LoFas Cidade 2 1 1 12
Cidade 3 12 1
3or outro lado, as f&bricas aprese!tam capacidades de produção difere!ciadas, da mesma ma!eira que as lo%as possuem dema!das difere!tes e especI=cas. Os dados de capacidade e dema!da sema!al são aprese!tados a seguir.
Capacidade das 9á'ricas C Cidade A )2 Cidade 7 Cidade C &emanda das LoFas ) Cidade 1 Cidade 2 () Cidade 3
Ee=!a qual a melhor alter!ati$a atual de despacho dos produtos para ate!der a dema!da das lo%as. "prese!te a modelagem ;de=!ição das $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes<.
2 – Os requerime!tos u!it&rios de uma ração para e!gorda de porcos são os i!dicados abai/o, por Kg de ração: a 3roteI!a: !o mI!imo .1 Kg ' &lcio: !o mI!imo ) g c Nsforo: !o mI!imo g d 6etio!i!a: !o mI!imo , g e isti!a: !o mI!imo 1, g 3ara alca!çar estes $alores especI=cos pode@se substituir at' )F do requerime!to de 6etio!i!a por isti!a. sta qua!tidade de isti!a de$e ser e/cede!te ao seu requerime!to mI!imo. "l'm disso, de$e@se obedecer para a qua!tidade de &lcio e Nsforo uma relação de 1,) a 2:1, ou se%a, 1,) a 2 partes de &lcio para 1 parte de Nsforo. Os alime!tos usados para fazer a ração, bem como os seus co!tePdos de !utrie!tes e preços por quilo, são os segui!tes:
3roteI!a ;Kg>Kg< 6etio!i!a ;g>Kg isti!a ;g>Kg< &lcio ;g>Kg< Nsforo ;g>Kg< $reço 5g
*ilGo
:orgo
9arinGa :oFa
9arinGa :angue
9arinGa ssos
,1
,#
,2C
,#(
1,
1(,
2,
1,C
1,)
1,C
C,)
11,)
1,
,(
2,#
,D
(,)
2,)
(,
1,)
11,2
11,(
1H2
H)!
2H3
4H3
1H#3
Ob%eti$a@se determi!ar a composição de ração que ofereça o mI!imo custo possI$el por quilo, ate!de!do as e/igJ!cias colocadas acima. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
21 – Uma metalPrgica possui em seu estoque ci!co difere!tes tipos de ligas met&licas, com as composiçAes: Compon ente sta!ho ;F< humbo ;F< [i!co ;F<
1
2
Liga 3
(
C
1
2
)
(
D
)
2
2
1
2
(
4
Os custos, por to!elada, das ligas são, respecti$ame!te, *+1,, *+12,, *+1),, *+12, e *+1,.
" empresa dese%a fu!dir, a partir das ligas e/iste!tes, uma !o$a liga cu%a composição de$e ser de )F de chumbo, F de esta!ho e 1)F de zi!co. O ob%eti$o ' determi!ar as proporçAes destas ligas que de$eriam ser fu!didas para produzir a !o$a liga a um custo mI!imo. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
22 – Uma empresa adquire petrleo para produzir gasoli!a comum, gasoli!a especial, leo diesel e querose!e. la !ecessita ma!ter em seus ta!ques, !o i!Icio de cada sema!a um estoque mI!imo de produtos. " tabela abai/o mostra, para uma determi!ada sema!a, as composiçAes, dispo!ibilidades e estoques mI!imos. -ual ' o esquema de produção de custo mI!imo0 Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
asoli!a omum -uerose!e asoli!a special Tleo &isponi'ilida de Custo
$etr6leo A
$etr6leo 7
$etr6leo C
+sto8ue *ínimo
1F
F
1F
1 barris
1F
2F
2F
) barris
2F
(F
CF
) barris
CF
1F
1F
1 barris
2 barris
1) barris
1) barris
*+ 2,
*+ 1),
*+ (,
23 – Uma empresa produz um suco obtido a partir da mistura de ci!co tipos de sucos !aturais, que de$e co!ter, em cada litro, pelo me!os 2. u!idades de $itami!a , . u!idades de $itami!a E e # u!idades de pot&ssio. Os dados são:
Iitamina C 2. ). 1. ). (.
:uco 7ara!%a "cerola "baca/i 6amão a%u
Iitamina & . 2. ). 2. (.
$otássio ) 1 2. C
Custo por Litro ,2 , ,2) ,1 ,2
3ergu!ta@se: qual ' a mistura a custo mI!imo que ate!de aos requisitos0 Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
24 – Uma mo!tadora de cami!hAes !ecessita distribuir a sua produção, que ' feita em ( f&bricas difere!tes, para ( co!cessio!&rias localizadas em trJs gra!des cidades. " co!=guração da malha rodo$i&ria que liga as f&bricas 9s co!cessio!&rias determi!a os custos de tra!sportes aprese!tados !a tabela abai/o. 9á'ricas 91 92 93
C1 # 1
Concessionárias C2 C 12 #
C3 1 1( 1)
3or outro lado, as f&bricas aprese!tam capacidades de produção difere!tes, da mesma ma!eira que as co!cessio!&rias aprese!tam !ecessidades disti!tas. Os dados de capacidade de produção por f&brica e de !ecessidade por co!cessio!&ria estão colocados abai/o.
9á'rica N1 N2 N(
$rodução *áxima () )
Concession ária 1 2 (
&emanda )) () ()
" partir destes dados, de=!a qual a qua!tidade de cami!hAes que de$em ser tra!sportados de cada f&brica para cada co!cessio!&ria, a =m de mi!imizar o custo e!$ol$ido !esta operação, obedece!do as restriçAes de produção e dema!da. Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes.
2 – " *e!ta ar est& a$alia!do a distribuição dos seus carros de aluguel !as di$ersas cidades o!de possui escritrios. " empresa aluga trJs tipos de carros: eco!Mmico, sta!dard e lu/o. O gere!te de distribuição acredita que as cidades ", B e possuem carros em e/cesso, assim caracterizados: CA%%: +* +JC+:: Cidades " B
+conKmico
:tandard
Luxo
2 ( 1
1 2 )
1 2 )
!treta!to, as cidades E, , N e possuem uma carJ!cia de carros, a qual est& aprese!tada !a tabela a seguir:
CA%%: +* 9AL;A +conKmico :tandard Luxo Cidades E 1 ) ) 2 ) ) N 1 1 ) 2 2 m termos do e$e!tual tra!sporte dos carros e/cede!te de uma cidade para outra, de$e ser obser$ado que uma cidade especI=ca !ão pode for!ecer mais de 2 carros, i!clui!do todos os modelos, para uma mesma cidade recebedora. Eado que os custos u!it&rios de tra!sporte, i!depe!de!teme!te do tipo de carro tra!sportado, das cidades ", B e para as cidades E, , N e são difere!ciados, co!forme a tabela a seguir, o gere!te de distribuição !ão sabe como resol$er esse problema de uma ma!eira tima. rigem & + 9
A 1 ( 2 1
&estino 7 1) 2 1 2
C 2 1 1) 1)
Normule o modelo de programação li!ear para o problema e/posto acima, i!dica!do: $ari&$eis de decisão, fu!ção ob%eti$o e sistema de restriçAes, de modo a mi!imizar o custo do tra!sporte dos carros.
2! – Uma metalPrgica dese%a utilizar o m&/imo de estoque e/iste!te para ma/imizar o lucro de $e!da obtido atra$'s da fabricação de duas ligas de alumI!io, parti!do de 2 mi!'rios, cu%os estoques e custos são: 6i!'rio ": usto 5 *+,( por Kg e stoque 5 C Kg 6i!'rio B: usto 5 *+,) por Kg e stoque 5 Kg Os mi!'rios " e B possuem composição quImica co!forme a tabela a seguir:
Componente SilIcio ;Si< Nerro ;Ne< "lumI!io ;"l<
*inrio A 1)F 1(F D2F
*inrio 7 1F )F )F
" liga " ' $e!dida a *+ , por Kg, e de$e ate!der a especi=caçAes t'c!icas que limitam a qua!tidade dos eleme!tos quImicos, segu!do a tabela:
Componente Si Ne "l
*ínimo
*áximo 1(F 1F
F
" liga B tem preço de $e!da *+ ,D por \g e de$e ate!der 9s segui!tes especi=caçAes t'c!icas:
Componente Si Ne "l
*ínimo
*áximo 1F 11F
DF
Eese%a@se usar ao m&/imo o estoque de mat'ria@prima para produzir ambas as ligas, ma/imiza!do o lucro. Eetermi!e as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2" – Um faze!deiro dese%a obter a composição da dieta alime!tar para o gado de acordo com as !ecessidades di&rias de !utrie!tes adequadas ao processo de e!gorda. Sabe@se que o gado de$e co!sumir diariame!te, pelo me!os , Kg de G1, ,C \g de G2, 2 \g de G( e 1,D Kg de G. "s i!dPstrias locais de ração fabricam dois produtos: " e B, os quais co!tJm as segui!tes qua!tidades de !utrie!tes por quilo: $rodut o A 7
@1
@2
@3
@4
1g
1g 2g
2g 1g
1g
O alime!to " custa *+ , por quilo e o B *+ (,2 >Kg. Eese%a@se obter as qua!tidades di&rias de " e B a serem usadas por a!imal, de modo a se mi!imizar o custo com ração. Eetermi!e as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2# – " 4rambique S.". possui ) questAes %udiciais. " empresa solicitou uma cotação de preços para ( ad$ogados, os quais i!formaram os segui!tes $alores por caso: A&IA & A
1 1
2 2
CA: 3 (
4 2
1
2 1)
7 C
2 1)
2 2
2 2
2 1)
ada caso dema!dar& um co!%u!to especI=co de horas, co!forme demo!stra a pr/ima tabela:
&+*A@&A +* >%A: 2 ( 2 (
CA: 1 2 ( )
3or sua $ez, cada ad$ogado possui um !Pmero =!ito de horas dispo!I$eis:
&0:$@070L0&A&+ +* >%A: D ) C
A&IA& " B
Se!do que: @ cada caso ter& ape!as um ad$ogado alocadoH @ um determi!ado ad$ogado !ão poder& tratar de mais de dois casos e @ o ad$ogado que tratar o caso ) !ão poder& trabalhar !o caso 1. " 4rambique gostaria de selecio!ar os ad$ogados de forma que o custo total de defesa se%a mi!imizado. Normule a modelagem do problema para obter o custo mI!imo, i!dica!do as $ari&$eis de decisão, a fu!ção ob%eti$o e o sistema de restriçAes.
2) – O prefeito e/ige que cada região da cidade se%a ate!dida por pelo me!os um posto. Normule uma modelagem de programação i!teira que determi!e os locais em que os postos policiais de$em ser co!struIdos de forma a mi!imizar os custos e ate!der 9s co!diçAes e/igidas. LCA L *egião 1 *egião 2 *egião ( *egião *egião ) CD:;
1
2
]
]
]
3
4
]
]
!
"
#
)
]
]
1
] ]
] ]
]
]
( mil
) mil
] ]
1 mil
]
2 mil
1 mil
] ]
]
]
mil
( mil
1 mil
]
]
2 mil
2 mil
3 – " Super 4ech S" est& pla!e%a!do seus gastos com 3esquisa e Eese!$ol$ime!to para o pr/imo a!o. " empresa selecio!ou quatro alter!ati$as de pro%etos e de$e escolher quais priorizar. Os dados do problema e!co!tram@se !a tabela a seguir: $roFeto
Ialor
CA$0;AL %+=D+%0& em mil %5
presente em mil %5 1 1,) 2 1D,# ( 1(,1 1D,( CA$0;AL &0:$@MI+L
ANO 1
ANO 2
ANO 3
ANO 4
ANO 5
D # ) 1
1) 2 ( 2 #
2) )
2 1) 1
2 1 2 2 "
31 – 4rJs !a$ios serão carregados !o porto de 4ubarão com mi!'rio de ferro. O termi!al de mi!'rio tem berços, cada um deles com um shiploader de capacidade difere!te. Ee$ido 9s difere!ças !as capacidades dos !a$ios e dos shiploaders, h& difere!tes tempos de carregame!to, depe!de!do das combi!açAes e!tre !a$ios e berços ;co!forme a tabela<. Normule a modelagem de modo que o tempo total de carregame!to dos !a$ios se%a mI!imo. ;+*$ +* >%A: 1 2 7+%N 3 4
A D C 12 1
@AI0 7 11 1 1C
C # 1) 1 )
