TRABALHO 1 – PESQUISA OPERACIONAL I
JOÃO MARCUS SOARES CALLEGARI - 82876 Departamento de Informática, Universidade Federal Federal de Viçosa Av. P.H. Rolfs s/n°, 36570-000, 36570-000, Viçosa, MG, Brasil
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1.
Exercício adaptado de TAHA, página 76.
A Toyco monta três tipos de brinquedos – trens, caminhões e carros – usando três operações. Os limites diários dos tempos disponíveis para as três operações são 430, 460 e 420 minutos, respectivamente, e os lucros por unidade de trem, caminhão e carro de brinquedos são $3, $2 e $5, respectivamente. Os tempos de montagem por trem nas três operações são 1, 2 e 1 minutos, respectivamente. Os tempos correspondentes por caminhão e por carro são (3; 0; 2) e (1; 4; 0) minutos. Representando o número diário de unidades montadas de trens, caminhões e carros por x1, x2 e x3, respectivamente: 1) Escreva o modelo correspondente.
matemático
para
o
PLL
(1)
Desta forma, o modelo dual para o PLL é dado por (3):
(3)
0, para i =1, 2 e 3.
Na forma padrão, o modelo para p ara o PLL da equação (2) é:
(2)
2) Escreva o modelo Dual correspondente para o problema.
≤
3) Obtenha a tabela ótima do Simplex associada ao modelo Primal e descreva a solução obtida.
onde xi 0, para i =1, 2 e 3.
Tabela 1 – Regras para construir o problema dual. Problema Dual F.O primal Sinal das Objetivo Operação variáveis Irrestrita Maximização Minimização Irrestrita Minimização Maximização
onde yi
O modelo matemático para o PLL é dado por:
3 + 2 + 5 çã 1) 1 + 3 + 1 ≤ 430 43 0 çã 2) 2 46 0 + 0 + 4 ≤ 460 çã 3) 1 + 2 + 0 ≤420
Além disso, devem -se considerar as seguintes regras:
430 +460 +420 1 + 2 + 1 3 31 ++ 04 ++ 20 25
Sejam as variáveis de decisão:
{
definem os coeficientes do lado direito; Os coeficientes da função objetivo do problema dual são iguais aos coeficientes do lado direito das equações de restrição do problema primal.
Características do modelo Dual, segundo [1]: Uma variável dual é definida para cada equação (restrição) primal. Neste caso específico, teremos 3 variáveis duais (yi) já que temos três restrições primais; Uma restrição dual é definida para cada variável primal. Teremos, portanto, três restrições duais em decorrência de três variáveis primais; Os coeficientes da restrição (coluna) de uma variável primal definem os coeficientes do lado esquerdo da restrição dual, e seus coeficientes na função objetivo
1/5
3 + 2 + 5 çã 1) 1 + 3 + 1 + 1 430 çã 2) 2 + 0 + 4 + 1 4 6 0 çã 3) 1 + 2 + 0+ 1 420
(4)
A tabela ótima associada ao modelo Primal é dada pela tabela 2: Tabela 2 – Tableau ótimo do modelo da equação (2). Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 0 0 0 -f -1/3 -2/3 -7/6 -823,33 x2 0 1 0 66,67 -1/3 1/3 -1/6 x1 1 0 2 0 1/2 0 230 x6 0 0 1 56,67 -4/3 -2/3 -1/6
INF 280 – Pesquisa Operacional I
A solução pode ser interpretada da seguinte maneira: A Toyco deve realizar a montagem de 230 unidades de trens, 66,67 unidades de caminhões, sobrando 56,67 minutos da operação três. O lucro máximo obtido, neste caso, será de $823,33. 4) Usando a análise de sensibilidade obtida pelo LINDO®, monte uma tabela mostrando os valores atuais, bem como as faixas de variação (mínimos e máximos) dos coeficientes c j e bi dentro das quais a Base atual não é alterada. Valores ilimitados podem ser presentados por um traço, tanto os negativos quanto os positivos.
A função objetivo pode ser expressa conforme a equação (5):
+ +
(5)
onde ci (i=1,2 e 3) são os coeficientes de lucro. Além disso, o vetor b é dado, genericamente por (5):
Tabela 3 – Análise de sensibilidade para a base ótima vista no item (3). Valor Valor Coeficientes Valor atual mínimo máximo 3 2,83333 2 0 2,999999 5 5,333333 430 230,000015 515 460 0 800 420 363,333332
5) Caso a Toyco consiga aumentar a capacidade das três operações em 20% (isto é, para 516, 552 e 504 minutos, respectivamente), o que acontecerá com a solução ótima?
Através do quadro ótimo obtido na tabela 2, é possível encontrar a B -1. Este resultado encontra -se em (7):
16 12 16
0 0 1
(8)
A nova solução ótima será, portanto:
13 16 0 0 12 0 516 552 2 3 16 1 504 80 27668
(9)
(10)
Recorde que a análise de estabilidade feita no item (4) só é válida para alteração de um parâmetro por vez. Como foram alterados três parâmetros simultaneamente, ela não é válida, neste caso. A solução ótima é dada por (11):
(276)(3)+(2)(80)$988 $823 3 3∗1 2 $988 6667∗1280 230∗ 1 2 276 5667∗1268 (11)
(6)
Os resultados da análise de sensibilidade estão apresentados na tabela 3.
13 − 0 23
516 552 504
(7)
Aumentando a capacidade das operações em 20%, o novo vetor b é dado por (8):
2/5
Note que a solução ótima também foi incrementada em 20%, isto é, , assim como as variáveis básicas: , e . Para este caso, a Toyco deve realizar a montagem de 276 unidades de trens, 80 unidades de caminhões, sobrando 68 minutos da operação três. O lucro máximo obtido, neste caso, será de $988. 6) Embora a solução acima possa ser interessante, ela também pode ser muito cara. Verifique se existe alguma sobra de recurso que possa ser deslocada para uma ou mais das três operações. A princípio, use os Preços Duais e a Análise de Sensibilidade para justificar sua sugestão. Depois faça simulações para mostrar que sua sugestão é de fato a mais apropriada.
A tabela 4 refere-se ao Tableau ótimo para a situação do item (5), onde apenas o vetor b, com relação com o Tableau da tabela 2. Tabela 4 – Tableau ótimo para a situação do item (5), i.e., com aumento de 20% da capacidade das três operações. Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 0 0 0 -f -1/3 -2/3 -7/6 -988* -1/3 1/3 -1/6 x2 0 1 0 80* x1 1 0 2 0 1/2 0 276* -4/3 -2/3 -1/6 x6 0 0 1 68* * Aumento de 20% em relação à tabela 2. Além disso, a análise de sensibilidade é aumentada
INF 280 – Pesquisa Operacional I
em 20% com relação à obtida na tabela 3, veja: Tabela 5 – Análise de sensibilidade para a base ótima vista no item (3). Valor Valor Coeficientes Valor atual mínimo máximo 3 2,83333 2 0 2,999999 5 5,333333 516* 276* 618* 552* 0* 960* 504* 436* * Aumento de 20% em relação à tabela 3.
Perceba que apesar de aumentar o lucro em 20%, houve um aumento de 20% na sobra do recurso referente à operação 3, o que não é interessante. Através da análise do Tableau da tabela 4, nota -se que o recurso mais valioso é referente à operação 2. Em outras palavras, para cada aumento de um minuto do recurso 2, nos limites de sensibilidade da tabela 5, tem -se um aumento do lucro em $1,167. Desta forma, podemos transferir todos os 68 minutos de sobra da operação 3 para a operação 2 (valor atual de b 2 será 620 e b 3 será de 436). Recorde que para os limites da análise de sensibilidade da tabela 5 valerem, deve -se fazer apenas uma alteração por vez, isto é, diminuir de 68 min .
b
(436 ≤b 436≤∞) b
Tabela 6 – Tableau ótimo para a diminuição de min (sem sobra da operação 3). Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 0 0 -f -1/3 -2/3 -7/6 x2 0 1 0 -1/3 1/3 -1/6 x1 1 0 2 0 1/2 0 x6 0 0 1 -4/3 -2/3 -1/6
para 436 b 988 80 276 0
Perceba que a solução básica continua a mesma. A análise de sensibilidade para o caso da tabela 6 é dada pela tabela 7. Tabela 7 – Análise de sensibilidade para o Valor Coeficientes Valor atual mínimo 3 2,83333 2 0 5 516 276 552 0 436 436
Tableau 6.
Valor máximo
2,999999 5,333333 516 552
-
b
Note que a sugestão de modificar para 436 min e b 2 para 620 min (incremento de 68min) alterará a base ótima, de acordo com a tabela 7. No entanto, espera -se que após esta alteração, o resultado seja melhor que o obtido pelo Tableau inicial da tabela 4. O resultado simulado encontra se na tabela 8. Perceba que agora x 3 está na base (produção de carros), não havendo sobra de nenhum recurso (minutos das operações 1, 2 ou 3). Além disso, aumentou -se a variedade
3/5
da empresa Toyco de 2 produtos para 3, tornando-a mais competitiva. Por fim, o lucro também é aumentado (de $988 para $1064,5). Tabela 8 – Tableau ótimo para a sugestão feita de usar os 68 minutos excedentes da operação 3 na operação 2. Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 0 0 0 -f -1/2 -9/8 -1/4 -1064,5 x2 0 1 0 1/2 71,5 -1/8 -1/4 x3 0 0 1 1/2 1/8 -3/4 8,5 x1 1 0 0 1/4 3/2 293 -1 Para este caso, a Toyco deve realizar a montagem de 293 unidades de trens, 71,5 unidades de caminhões, 8,5 unidades de carros. O lucro máximo obtido, neste caso, será de $1064,5. A sugestão, portanto, foi extremamente satisfatória. 7) Suponha que a Toyco esteja mudando o projeto de seus brinquedos e que a mudança exigirá a adição de uma quarta operação nas linhas de montagem. A capacidade diária da nova operação é de 500 minutos e os tempos por unidade para os três produtos nessa operação são de (3; 3; 1) minutos, respectivamente. Verifique se a inclusão dessa nova operação afeta a viabilidade da solução atual obtida no item 3. Caso a solução fique inviável, use o Simplex Dual para obter a nova solução ótima.
O novo modelo de PLL apresentará mais uma restrição, dada por (12):
+5 çã 3 +2 1) 1 + 3 + 1 ≤430 çã 2) 2 + 0 + 4 ≤460 çã 3) 1 + 2 + 0 ≤420 çã 4) 3 + 3 + 1 ≤500
(12)
De acordo com [1], a adição de uma nova restrição pode levar a um dos dois casos abaixo: A nova restrição é redundante, o que significa que é satisfeita pela solução ótima atual; A solução atual viola a nova restrição, caso que o dual simplex deve ser utilizado para restaurar a viabilidade. Vamos verificar se essa nova restrição é satisfeita pela solução ótima do item 3.
3(230)+3(6667)500
(13)
Portanto, a solução atual viola a nova restrição. A nova restrição deve ser adicionada à tabela Simplex ótima (tabela 2), resultando na tabela 9. A região da tabela 9 destacada refere -se à inclusão de uma nova linha e uma nova coluna referente à nova restrição adicionada. Precisamos realizar operações sobre a linha de x7 para tornar, nesta linha, a coluna de x1 e x2 iguais a 0.
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Tabela 9 – Tableau ótimo do modelo da equação (12). Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b 0 0 0 0 -f -1/3 -2/3 -7/6 -823,33 x2 0 1 0 0 66,67 -1/3 1/3 -1/6 x1 1 0 2 0 1/2 0 0 230 -4/3 -2/3 -1/6 x6 0 0 1 0 56,67 x7 3 3 1 0 0 0 1 500 Realizando as operações, obtém -se a tabela 10. Deve -se realizar o método do Dual Simplex: Tabela 10 – Simplex. Base x1 x2
-f
0
0
x2
0
1
x1
1
0
x6
0
0
x7 -f x2 x1 x6 x3
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
Tableau
x3
1/3
1/3 2
4/3 -4 0 0 0 0 1
ótimo, após usar o método Dual
x4
x5
x6
-2/3
-7/6
0
1/3
-1/6
0
0
1/2
0
-2/3
-1/6
1
-1
-1
-7/12
-13/12 -1/12
0 0 0 0 1 0
5/12 -1/2 -1/3 1/4
0 1/6 1/4
x7 0
b
-823,33
0
66,67
0 0
230 56,67
1 -1/12 -1/12 1/2 -1/3 -1/4
-390 -790,83 99,17 35 186,67 97,5
operações sejam (1;1; 2), respectivamente. Use o modelo Dual para verificar se realmente compensa introduzir esse produto. Caso a resposta seja positiva, determine a nova solução ótima realizando novos pivoteamentos do Simplex a partir da solução do item 3.
O novo modelo de PLL apresentará mais uma variável, conforme mostrado em (16):
3 +2 +5 +4 çã 1) 1 + 3 + 1 +1 ≤430 çã 2) 2 + 0 + 4 +1 ≤460 çã 3) 1 + 2 + 0 +2 ≤420
Do modelo Dual da equação (3), pode -se calcular a solução ótima através do LINDO ®, dada em (17):
(∗;∗;∗) (0667;11667;0) 1 +1 + 4 substituindo os valores da equação (17) em (18):
8) Considerando novamente a solução obtida no item 3, mostre o que ocorrerá com a solução do problema se o lucro de cada trem de brinquedo subir para (a)$6; (b)$8.
ç − çã çã
(230)(6)+(2)(6667)$151333
(14)
(b) O aumento continua dentro dos limites da AS. O novo custo ótimo é:
(230)(8)+(2)(6667)$197334
(15)
9) Já que é difícil justificar a produção de trens de brinquedo, a Toyco quer analisar a possibilidade de lançar um novo produto no mercado: carro de bombeiros. Ela estima que o lucro por carro de bombeiros seja de $4, e tempos de produção nas três
4/5
(17)
Considerando o novo produto (carro de bombeiros) como x7, podemos calcular o custo reduzido deste produto. Lembre -se que os tempos de produção nas três operações (1; 1; 2) min refere -se a uma coluna no modelo primal. Já no modelo dual, trata -se de uma linha. Desta forma:
A nova solução ótima: A Toyco deve realizar a montagem de 35 unidades de trens, 99,17 unidades de caminhões, 97,5 unidades de carros, sobrando 186,67 minutos na operação 3. O lucro máximo obtido, neste caso, será de $790,83. Note que a operação 4 provocará uma redução na receita de $823,23 para $790,83.
A tabela 3 contém a análise de sensibilidade (AS) para o item 3. Perceba que a alteração de c 1 para $6 ou $8 manterá a base ótima. (a) Em outras palavras, esse aumento está dentro dos limites da AS. Com isso, os valores das variáveis da Base não seriam afetados, e teríamos o novo custo ótimo como sendo:
(16)
2166
(18)
(19)
O resultado mostra que é lucrativo incluir x 7 na solução básica ótima. Em qualquer iteração simplex, uma coluna do lado esquerdo é calculada, como mostrado em (20):
(20)
Desta forma:
13 0 23
16 0 1 12 0 1 1 6 1 2 16 12 7[ 6 ]
(21)
(22)
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A tabela simplex pode ser modificada. O resultado encontra-se na tabela 11. Note que a solução não é ótima. Tabela 11 – Tableau com inclusão do novo produto (x 7). Base x1 x2 x3 x7 x4 x5 x6 b 0 0 0 -f -1/3 13/6 -2/3 -7/6 -823,33 -1/3 1/6 1/3 -1/6 x2 0 1 0 66,67 x1 1 0 2 1/2 0 1/2 0 230 -4/3 7/6 -2/3 -1/6 x6 0 0 1 56,67 O pivô é 7/6, conforme destacado. Realizando as operações, obtém-se a tabela ótima 12. Tabela 12 – Tableau ótimo para tabela 11. -f -7/8 -3/4 -5/4 0 0 0 -1/4 x4 1/8 9/4 0 0 1 x3 3/8 -1/4 1 0 0 1/4 x7 1/2 1 0 1 0 0
-11/8 -3/8 -1/8 1/2
-1152,5 157,5 62,5 210
A nova solução ótima: A Toyco deve realizar a montagem de 210 unidades de carros de bombeiros, 62,5 unidades de carros, sobrando 157,5 minutos na operação 1. O lucro máximo obtido, neste caso, será de $1152,5. Note que a produção de x7 provocará um aumento da receita de $823,23 para $1152,5.
2.
Referências
[1] TAHA, H.A., Pesquisa Operacional, 8ª Edição, Pearson Prentice Hall, 2008.
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