ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
2013
LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada.
Ecuación de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensional Equidimensional tiene la forma
son constantes reales. ,…,a 2, Donde, los coeficientes a n n ,a n-1 n-1 2, a 1 1 ,a 0 0 , son
La ecuación de Cauchy – Euler tiene la característica de que el grado de las potencias coincide con el orden
d k y k de la diferenciación,
dx k
y ( k ) .
Son ejemplos de ecuaciones de Cauchy
MÉTODO DE SOLUCIÓN Para la solución de la ecuación ecuación diferencial de Cauchy, se supone que dicha solución tiene la forma donde m será será una variable por determinar determinar en la cual dependiendo de los valores que resulten viene dada la solución.
Al aplicar esta solución se deben encontrar las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial, realizar las respectivas sustituciones y proceder a resolver la ecuación polinómica en función de m que resulte. Un método similar al anterior se puede considerar al suponer que las soluciones tiene la forma .
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ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Veamos como se aplica cauchy de tercer orden.
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el método para resolver una ecuación diferencial de
Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial
Consideremos que las soluciones tienen la forma:
Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada.
Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene
Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en x, se llega
Aplicando factor común
Como , se tiene que
Agrupando términos semejantes
Lo cual corresponde a una ecuación cúbica en términos de m.
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Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial
Consideremos que las soluciones tienen la forma:
Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada.
Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene
Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en x, se llega
Aplicando factor común
Como , se tiene que
Agrupando términos semejantes
Al resolver la ecuación polinómica resultante, se pueden presentar los siguientes casos, en función de si las raíces de esta ecuación son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.
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CASO 1: raíces reales distintas Sean m 1 y m 2 las raíces reales , con m 1 ≠ m 2 . m1 m2 Entonces y1 x y y 2 x forman un conjunto fundamental de soluciones.
Por consiguiente, la solución general es:
y c1 x RESOLVER
Sea
m1
c2 x m
2
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
( ) Dividiendo por
Luego la solución general es:
y c1 x1 c2 x 2 y c1 x c2 x 2 ESP. DANIEL SAENZ C
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RESOLVER
Sea
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
( ) Dividiendo por
Luego la solución general es:
y c1 x1 c2 x 1 c3 x 2 y c1 x c2 x 1 c3 x 2
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CASO 2: raíces reales repetidas Si las raíces son repetidas (esto es, si
m l =
m 2 ), la solución general es de la forma
y c1 x m1 c2 x m1 ln x Caso 3: Si la ecuación característica de (1) tiene las raíces complejas conjugadas, entonces m 1 = + i y m 2 = - i, donde , > 0 entonces la
solución general es
y x c1 cos ln x c2 sen ln x . EJEMPLO. RESOLVER
Sea
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
( ) Dividiendo por
de donde
Luego la solución general es:
y x c1 cos ln x c2 sen ln x . y x 0 c1 cos2 ln x c2 sen2 ln x . ESP. DANIEL SAENZ C
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y c1 cos2 ln x c2 sen2 ln x EJAMPLO. Solucionar la siguiente ecuación diferencial
Sea
la solución general,
Reemplazando en la ecuación diferencial
( ) Dividiendo por
Luego la solución general es:
y c1 x1 c2 x1 ln x c3 x 2 y c1 x c 2 x ln x c3 x 2
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RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES 1)
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
9)
10)
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CAMBIO A COEFICIENTES CONSTANTES Hay ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Consideramos la ecuación diferencial de Cauchy – Euler caso homogéneo, de segundo orden, es decir. a 0 x
2 d
2
x
a 1 x
2
dx
dy dx
a 2 y 0
(3)
donde a 0 , a1 , a 2 son constantes reales y a 0 0 . Verificamos que si hacemos x et , la ecuación (3) se convierte en una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. En efecto : Suponiendo x 0, y tomando
Entonces:
Sustituyendo en (3): a0 x
d 2 x dx
t
ó
e
2
x
2
a1 x
y dy dx
t = ln x. d 2 y d 2 y 1 1 dy 2 2 2 ; 2 dx dt x x dt
a2 y 0 obtenemos:
d 2 y dy dy a0 2 a1 a2 y 0 dt dt dt
Es decir:
a0
d 2 y dt 2
(a1 a0 )
dy dt
a2 y 0
(4)
ecuación diferencial lineal con
coeficientes constantes. Finalmente, resuelta esta ecuación (4) , se deshace el cambio y por sustitución se obtiene la solución del problema dado. El caso no homogéneo a0 x
2
d 2 x dx
2
a1 x
dy dx
a2 y f ( x ) , requiere el uso de variación
de parámetros.
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