PEMBAHASAN A. Similaritas
Pada bab-bab kita talah membicarakan membicarakan
mengenai transformasi-tram transformasi-tramsformasi sformasi yang
mengekalkan antara jarak dua titik, yaitu kelompok transformasi yang berupa isometri. Salah satu satu sifat sifat yang yang penti penting ng diant diantar arany anyaa adala adalah h hub hubung ungan an tenta tentang ng kekong kekongrue ruenan nan segit segitig iga. a. Tepatnya jika Δ ABC
XYZ, maka ada tepat sebuah isometri yang mematakan A ke X, B ke
Y, dan C ke Z. Selanjutnya sebagai akibat sifat isometri pada kekongruenan segitiga tersebut, kita telah membahas mengenai dua himpunan disebut kongruen apabila ada sebuah isometri yang memetakan anggota-anggota himpunan yang satu ke anggota-anggota yang satu lagi. Jenis Jenis
hubung hub ungan an lain lain diant diantara ara dua himpuna himpunan n dalam dalam geome geometr trii Eu Eucl clid ides es adala adalah h
keseba kesebangu nguna nan. n. Dua Dua buah buah polig poligon on diseb disebut ut seban sebangun gun jika jika sisi sisi yang yang berse bersesua suaia ian n adala adalah h sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen. Kekongruenan merupakan isometri, sedangkan kesebangunan merupakan suatu transformasi, tetapi belum tentu berupa isometri. isometri. Transformasi ini selanjutnya akan disebut kesebangunan. Definisi 8.1
Transformasi Transformasi T disebut kesebangunan jika dan hanya jika ada konstanta k>0 sehingga untuk setiap titik P dan Q, P’Q’ = k (PQ) (PQ) dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q). Gambar Gambar 8.1 memberi memberi gambara gambaran n bahwa bahwa suatu suatu pemeta pemetaan an yang merupak merupakan an kesebang kesebangunan unan dengan k = 2, dimana P’ = T(P), Q’ = T(Q) dan R’ = T(R). Sehingga P’Q’ = 2(PQ) dan P’R’ = 2(PR).
R
P
T(P)= P’
R’
Q Q’
Gambar 8.1
Pada kesebangunan yang mempunyai nilai k = 1, maka kesebangunan tersebut akan berupa isometri, sebab P’Q’ = PQ. Dengan demikian jelaslah bahwa isometri bagian dari kesebangunan. Sehingga untuk memperoleh sebuah isometri tidak dengan sendirinya dapat diturunkan diturunkan dari kesebangunan. Tetapi sifat-sifat sifat-sifat yang berlaku pada isometri otomatis berlaku pula pada kesebangunan. Oleh kaarena itu, jika T suatu s uatu kesebangunan maka pada T berlaku teorema dasar isometri sebagai berikut: Teorema 8.1
Jika T kesebangunan, maka : 1. T memetakan garis pada garis 2. T mengawetkan ukuran sudut 3. T mengawetkan kesejajaran Bukti : 1) T memetakan garis pada garis. Andaikan g garis yang memuat titik A dan Bdengan A
≠ B. Misal A’ = T(A) dan B’ = T(B). Akan dibuktikan bahwa T(g) =
T(g) = { y I y = T(x), T(x),
dengan
x є g }. }. Untuk membuktikan membuktikan dua garis itu sama, kita lakukan
dengan membuktikan : a. T(g)
A’B’
Ambil P’ є T(g), berarti ada P є g, sehingga T(P) = P’. Kasus 1. andaikan P antara A dan B, maka AP + BP = AB. Sedangkan disini didefinisikan A’ = T(A), B’ = T(B), P’ = T(P), maka A’P’ = k(AP) dan P’B’ = k(PB). Sehingga A’B’ + P’B’ = k(AP) + k(PB) = k(AP + PB) = k(AB). P B A
P’
g
B’
A’
T(g)
Gambar 8.2 Menurut definisi kesebangunan A’B’ = k(AB), maka A’P’ + P’B’ = A’B’. Hal ini berarti P’ antara A’ dan B’. Jadi A’, P’, B’ segaris. seg aris. Dengan demikian P’ є A’B’. Jadi T(g) A’B’. Mengapa ? Untuk Untuk kasus 2, yaitu yaitu A antara B dan P, sedangkan sedangkan kasus 3, yaitu yaitu B antara A dan P dapat anda coba sendiri. Apakah akan diperoleh kesimpulan bahwa ketiga titik, yatiu : P’, A’ dan B’ segaris? Memang benar akan diperoleh kesimpulan berikut. Bila ketiga titik tersebut segaris maka berarti P’ є garis yang melalui A’ dan B’ atau P’ є
.
Mengapa? b.
T(g)
Ambil Q’ є
. Oleh karena T suatu transformasi, transformasi, maka pasti T surjektif. surjektif. Artinya
ada Q sehingga Q’ = T(Q). Andaikan Q’ antara A’ dan B’, maka A’Q’ + Q’B’ = A’B’. Andaikan Q
g, maka dengan sifat pertidaksamaan segitiga kita peroleh AQ +
QB > AB. Kedua ruas kalikan dengan k > 0, maka kita peroleh : k(AQ + QB) > k(AB) k(AQ) + k(QB) > k(AB) A’Q’ + Q’B’ > A’B’
A
Q
B
g
A’
Q’
B’
T(g)
Gambar 8.3 Ini betentangan dengan akibat Q’ antara A’ dan B’, yaitu A’Q’ + Q’B’ = A’B’. Dengan demikian demikian pengandaian pengandaian Q
Karena setiap mengambil Q’ є
berarti
g tidak tidak benar, jadi haruslah Q є g atau Q’ є T(g).
kita berhasil menunjukkan bahwa Q’ є T(g), maka
T(g). Maka Ma ka terbuktilah terbu ktilah T(g) =
atau peta p eta suatu s uatu garis oleh T adalah
juga garis. 2) T menga mengawe wetk tkan an uku ukuran ran sud sudut ut Untuk membuktikan bahwa T mengawetkan ukuran sudut, kita andaikan peta dari sudut ABC t adalah sudut A’B’C’atau A’B’C’atau T (
maka maka
,
dan
ABC) =
bertu berturut rut-tu -turut rut adala adalah h garis garis
A’B’C’. A’B’C’. Menurut 1) di atas,
,
, dan
. Oleh Oleh karen karenaa
itu,peta itu,peta Δ ABColeh ABColeh T adalah juga segitiga, yaitu Δ A’B’C’. A’B’C’. Karena T kesebangunan, kesebangunan, maka : A’B’ = k(AB), A’C’ = k(AB), dan B’C’ = k(BC) A
B
C
A’
B’
C’
Gambar 8.4 Dengan menggunakan menggunakan torema kesebangunan kesebangunan yang unsur-unsurn unsur-unsurnya ya (sisi, sisi. sisi. sisi). Maka kita simpulkan Δ A’B’C’ ≈ Δ ABC. Akibatnya A’B’C’ A’B’C’ = m
ABC atau atau T (
g
ABC ) = T
A’B’C’
ABC atau m
A’B’C’ A’B’C’..
h
g’
h’
Gambar 8.5 3) T menga mengawe wetk tkan an kesej kesejaj ajar aran an Misal diketahui g // h , T(g) = g’, T(h) = h’. Akan dibuktikan bahwa g’ // h’. Andaikan g’ // h’, misal X = g’ berarti
Y
Untuk Untuk X
h’ , maka X
g’ dan X
h’. Untuk X
g’ , maka
g sehingga T(Y) = X .
h’, kama kama berarti berarti
Z
h, sehingga sehingga T(Z) T(Z) =X.dari =X.dari dua hal tersebu tersebutt kita
peroleh T(Y) = T(Z). Karena T kesebangunan kesebanguna n berarti T transformasi , maka T injektif. Oleh Oleh karen karenaa itu, itu, dari T(Y) T(Y) = T(Z), T(Z), maka maka Y = Z . karen karenaa Y maka Z’
g
h. Atau Y = g
g, Z
h. , dan Y = Z, Z,
h. Ini berarti g dan h berpotongan (kontradiksi dengan
yang diketahui bahwa g // h). Oleh karena itu pengandaian bahwa g’ // h’tidak benar. Jadi haruslah g’ // h’. Teorema 8.2
(Teorema Akibat) Kesebangunan mengawetkan ketegaklurusan dua buah garis. Bukti :
Ambil Ambil garis garis k, l, m sehingga sehingga antara antara sudut k dan m adalah 90 ke A. Menurut Menurut teorem teoremaa 8.1 bagian 2) karena T kesebangunan, maka T mengawetkan ukuran sudut. su dut. Karena T(k) = k’ dan T(m) T(m) = m’ dan sudut sudut antara antara k dan m adalah adalah 90⁰ maka maka sudut antara antara k’ dan dan m’ adalah adalah 90⁰ atau atau k’
k m’. Jadi mengawetkan ketegaklurusan dua buah garis.
m’
k’ m
Gambar 8.6
Teorema 8.3
Jika T dan L adalah kesebangunan , maka TL adalah kesebangunan. Bukti : Menurut Menurut definisi definisi karena karena T dan L kesebanguna kesebangunan n maka maka T dan L adalah transform transformasi. asi. Kita Kita bahwa komposisi dua buah transformasi adalah transformasi. Karena T dan L transformasi maka TL adalah transformasi. Akan kita tunjkkan TL adalah kesebangunan , artinya ada skalar > 0 sehingga untuk setiap pasang titik P dan Q, P”Q” = k(PQ) dengan P” = TL(P) dan Q” = TL(Q). Misal L(P) = P’ dan L(Q) = Q’. Karena L kesebangunan maka P’Q’ = t (PQ) dengan t > 0. Kita tahu bahwa TL(P) = T [L(P)] = T (P’) = P” dan TL(Q) = T [L(Q)] = T(Q’) = Q”.
Karena T kesebangunan maka P”Q” = 1(P’Q’) dengan 1> 0. Dari P’Q’ = t (PQ) dan P”Q” = 1(P’Q’) , maka kita peroleh hubungan P”Q” = 1[t(PQ)] atau P”Q” = 1 t(PQ). Karena 1>0 dan t>0, maka 1t > 0. Mengapa ? dengan demikian TL adalah kesebangunan (menurut definisi). B. Dilatasi
Pada topik isometri , pembicaran kita tidak lepas dari pencerminan, sebab pecerminan merupakan merupakan topik dasar untuk membangun isometri yang lainnya, seperti translasi, translasi, rotasi, dan refleksi geser. Torema utamanya menyatakan , bahwa setiap isometri dapat dibentuk oleh paling banyak komposisi dari tiga pencerinan. Bagaimana tentang kebangunan ? apakah ada topik dasar dasar untuk membangun membangun kesebangunan? kesebangunan? Tentu Tentu jawabnya jawabnya ada, yaitu yaitu yang akan kita kita pelajari berikut. Definisi 8.2
Diketahui Diketahui sebuah titik A dan bilangan bilangan positif positif r, pemetaan pemetaan yang pusat A dengan dengan faktor skala r disebut dilatasi (dinotasikan DA,r ) jika jika dan hanya jika jika untuk untuk setiap setiap titik P di v berlaku : a) Jika Jika P = A, A, mak makaa DA,r (P) = A b) Jika P
(
A, maka DA,r (P) = P’ dengan P’ adalah titik pada sinar
, sehingga
). Pernyataan Pernyataan ini ekuivalen ekuivalen dengan P’ adalah titik yang mengakibatkan mengakibatkan
= r
=r(
).
Dari definisi definisi di atas jelas bahwa untuk setiap titik titik A dan bilangan positif positif r yang diketahui, diketahui, maka selalu ada sebuah dilatasi yang dinotasikan dengan DA,r . Mungkin anda bertanya bertanya apakah apakah dilatasi dilatasi merupakan transformasi transformasi?? Jawabnya benar benar bahwa dilatasi dilatasi merupakan merupakan suatu suatu transformasi. transformasi. Untuk menunjukkannya menunjukkannya kita kita lakukan lakukan dengan dengan cara cara memperlihatkan bahwa DA,r surjektif dan DA,r injektif. 1. Memperlihatkan bahwa D A,r surjektif.
Untuk memperlihatkan bahwa DA,r surjektif surjektif kita harus memperlihatkan memperlihatkan bahwa bahwa setiap setiap titik pada bidang mempunyai tepat satu peta oleh dilatasi d ilatasi DA,r .
Ambil Y
V. Harus diperlihatkan diperlihatkan bahwa Y mempunyai mempunyai prapeta. Misal X
sehinga AX
= (AY). Dengan menggunakan definisi dilatasi DA,r , bila X’ peta dari X, maka D A,r (X) = X’.
Sehingga AX’ AX’ = r (AX). AX’ = r(
AY) atau AX’ =AY.
Karena A, X’ dan Y segaris, maka X’ = Y A
X
Y
Gambar 8.7 Sehingga kita peroleh DA,r (X) = Y. Ini berarti Y memiliki prapeta, yaitu X. Jadi DA,r adalah surjektif.
2. Menunjukkan bahwa D A,r injektif.
Ambil Ambil X dan Y dua titik di v dengan dengan X ≠ Y. Harus diuktik diuktikan an bahwa DA,r (X) ≠ D A,r (Y). Andaikan X’ = Y’ dengan X’ = D A,r (X) dan Y’ = D A,r (Y). X’Y’ = 0. (sebab X’ = Y’). Menurut definisi dilatasi X’Y’= r (XY). Karena X’Y’ = 0, maka r (XY) = 0 atau XY = 0, sebab r ≠ 0. Ini berakibat X =Y (kontradiksi dengan yang kita ambil, yaitu X ≠ Y). Jadi pengandaian bahwa ba hwa X’ = Y’ tidak benar. Oleh karena itu haruslah h aruslah X’ ≠ Y’ atau DA,r (X) ≠ DA,r (Y). Jadi DA,r injektif. Karena DA,r surjektif dan injektif, maka DA,r adalah transformasi.
A
X
X’=DA,r
Y Y’
Gambar 8.8
(x)
Sifa Sifatt dilat dilatasi asi yang
akan akan kita kita pelaj pelajari ari,, bahwa bahwa dilata dilatasi si adala adalah h keseb keseban angun gunan an.. Untu Untuk k
memperlihatkan memperlihatkan hal tersebut, tersebut, maka kita ambil dua titik sebarang sebarang di bidang, misal P dan Q. Garus diperlihatkan P’Q’ = r (PQ) (PQ) dengan r> 0, P’ = DA,r (P), dan Q’ = DA,r (Q). (Q). Ada beberapa kasus yang mungkin terjadi yaitu : 1) jika salah satu titik merupakan dilatasi. Misal Misal P =A , Q ≠ A (ini (ini sama sama dengan dengan Q= A, , P ≠ A). P’ = A’ = A dan Q’ = D A,r (Q), (Q), sehingga P’Q’ = AQ’ = r(AQ)=r(PQ).
A=P=A’=P ’
Q’
Q
Gambar 8.9 2) P ≠ A dan Q є Andaikan P antara A dan Q. Maka menurut aksioma uruta AP + PQ = AQ. Dari persamaan tersebut kita memperoleh memperoleh hubungan bahwa AP < AQ. Karena r > 0, maka pertidaksamaan pertidaksamaan di atas busa di ubah menjadi : r(AP) < r (AQ) atau AP’ < AQ’. Mengapa ? A
P
Q
Q’
P’
Ganbar 8. 10 Berdasarkan teorema urutan , maka P’ terletak di antara A dan Q’ , sehingga P’Q’ = AQ’ – AP’ (lihat gambar). P’Q’ = r(AQ) – r(AP) = r (AQ - AP) = r(PQ). Anda coba sendiri bila Q terletak di antara A dan P . apakah diperoleh P’Q’ = r (PQ)?
3) jika A, P dan Q tidak segaris. Untuk kasus ini kita tentukan dahulu peta-peta peta-peta titik A, P dan Q yaitu DA,r (A) (A) = A’, DA,r (P) (P) = P’ dan DA,r (Q) (Q) = Q’. Sehingga AP’ =r(AP) dan AQ’ = r(AQ). P’ P
A
Q
Gambar 8.11
Q’
Kita bentuk perbandingan berikut
=
= r.
Dengan menggunakan menggunakan teorema teorema kesebanguna kesebangunan n (ss, sd, ss), ss), maka maka
AP’Q’ ≈ Δ APQ. Akibat
kesebangunan tersebut maka sisi-sisi kedua segitiga yang seletak adalah sebanding. Sehingga
kita peroleh :
=
= r atau
= r atau P’Q’ = r(PQ).
Karena titik P dan Q yang di ambil di atas sebarang , maka berarti berlaku P’Q’ = r(PQ) untuk semua titik P dan Q pada bidang. Jadi DA,r adalah kesebangunan. Berdasarkan uraian dua hal di atas maka terbuktilah teorema berikut :
Teorema 8.4
Setiap dilatasi adalah kesebangunan Karen Karenaa keseb keseban angun gunan an meme memeta takan kan garis garis menj menjadi adi garis garis,, menge mengeka kalka lkan n kesej kesejaj ajara aran n dan dan ketegaklurusan, ketegaklurusan, maka dilatasi dilatasi juga mempunyai mempunyai sifat tersebut. Selain sifat sifat tersebut dilatasi dilatasi mempunyai sifat seperti pada teorema berikut :
Teorema 8.5
Jika s garis maka s’ peta garis s oleh dilatasi DA,r , maka : a) s’ = s , jika A є s dan b) s’ // s, jika A
s.
Bukti : Akan dibuktikan s
s’, dan s’
s.
a) jika A є s (pusat dilatasi pada s) ambil X є s, maka ada Y є s sehingga AX = r(AY). Akibatnya menurut definisi dilatasi, maka berarti DA,r (Y) ( Y) = X,karena Y є s , maka D A,r (Y) ( Y) є DA,r (s)= s’. Jadi X є s’.karena dengan mengambil X є s kita berhasil membuktikan X є s’ maka berarti s
s’.
Ambil X є s’ = D A,r (s). (s). Maka berarti ada Y є s sehingga DA,r (Y) (Y) = X. Ini berarti AX = r(AY) dan X, A, Y segaris. Karena A є s da Y є s, maka juga X є s. Jadi s’ s, maka s =s’.
s. Karena s
s’ dan s’
b) A
s.
Amil P є s, dan Q є s dengan Q ≠ P. DA,r (P) (P) = P’, sehinga AP’ = r(AP) DA,r (Q) (Q) = Q’ sehingga AQ’ = r(AQ). Kita bentuk perbandingan berikut : =
= r
Q’
Q
P’
P A
S’
S
Gambar 8.12 Menurut Menurut teore teorema ma keseban kesebanguna gunan, n, maka maka Δ APQ APQ ≈ AP’Q AP’Q (s, sd, sd, s). s). Akibatn Akibatnya ya AP’Q’ atau s // //
APQ
. Karena P є s dan dan Q є s, s, maka P’ є s’dan s’dan Q’ є s’. Melalui Melalui titik titik P’ P’ dan dan Q’ Q’
hanya ada sebuah garis yaitu s’ =
. Sehingga s//
= s’. Jadi s // s’.
Pada modul terdahulu telah diperlihatkan bahwa setiap isometri dapat dinyatakan sebagai komposisi paling banyak tiga pencerminan. Juga hanya ada tepat satu isometri yang memetak memetakan an ΔABC ΔABC ke ke ΔXYZ ΔXYZ,, jika jika ΔABC ΔABC
ΔXYZ. ΔXYZ. pada bagian bagian ini ini akan diperlih diperlihatka atkan n
kemunngkinan kemunngkinan dari dasar-dasar dasar-dasar isometri isometri tersebut dalam similaritas(kes similaritas(kesebangunan), ebangunan),seperti seperti teorema beikut :
Teorema 8.6
(Teorema kesebangunan) Jika ΔABC ≈ ΔXYZ maka ada tepat satu kesebangunan T sehingga T(A) = X , T(B) = Y dan T(C) = Z.
Bukti : Akan dibuktikan dua hal yaitu : 1. keberadaan (eksistensi) kesebangunan itu dan 2. ketunggalan kesebangunan tersebut.
1. Untuk Untuk memp memper erlih lihat atkan kan eksis eksisten tensi si keseb keseban angun gunann annya, ya, kita kita gun gunaka akan n yang yang diket diketahu ahuii yaitu ΔABC ≈ ΔXYZ. ΔXYZ. Maka Maka ada k > 0, sehingga XY= kAB, kAB, YZ = kBC, dan dan XZ = kAC. Buatlah dilatasi DA,k sehingga DA,k (ΔABC) = ΔA’B’C’.
C’
Z
C
A
B
B’
Y
X
Gambar 8.21 Maka A’B’ = kAB = XY, B’C’ = kBC = YZ, dan A’C’= kAC = XZ. Berdasarkan teorema kekongruenan, (s,s,s) maka Δ A’B’C’
ΔXYZ. ( A’) = X, M ( B’) = Y, dan
M ( C’) = Z. Jika T adalah komposisi antara M dan DA,K ,maka T = MD A,K memetakan A ke X , B ke Y, dan C ke Z dengan ; T ( A ) = M D A, K ( A ) = M ( A’) = X T ( B ) = M D A, K ( B ) = M ( B’) = Y T ( C ) = M D A, K ( C ) = M ( C’) = Z Kare Karena na T adal adalah ah kom komposi posisi si anta antara ra dila dilata tasi si dan dan isom isomet etri ri,, maka aka T adal adalah ah kesebangunan. Jadi terbuktilah eksistensikesebangunan tersebut.
2. Untuk membuktikan ketunggalan kesebangunan yang memetakan memetakan
kita misalkan ada dua kesebangunan, yaitu S dan T sehingga dan Akan dibuktikan bahwa S = T. Ambil titik titik P sembarang sembarang . akan diperlihatkan diperlihatkan S ( P ) = T ( P ). Misalkan Misalkan S (P) = P’ dan T(P) = P’’. Adaikan P’
P’’.
Oleh isometri S, maka A’P’ = XP’ = kAP. Oleh isometri T, maka A”P” = XP” = k AP. Dari dua hal di atas kita peroleh hubungan XP’ = XP”. Ini berarti bahwa X pada sumbu
. Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan diperlihatkan bahwa Y pada sumbu
dan Z pada sumbu
.
Jadi X, Y, Z terletak pada sumbu
segaris .
Ini kontradiksi dengan X, Y, Z membentuk Jadi pengandaian P’
atau X, Y, Z tak segaris.
P’’ tak benar. Oleh karena itu haruslah P’ P’ = P”.
Jadi S (P) = T (P). Karena Karena P diambil diambil sembara sembarang, ng, maka maka berarti berarti berlaku berlaku untuk untuk setiap setiap Pyang Pyang diambil diambil sehingga S (P) = T (P),
titik di bidang . jadi T = S.
Teorema 8. 7
Setiap kesebangunan dapat dinytakan sebagai komposisi antara dilatasi dan paling banyak tiga buah pencerminan p encerminan (sebuah Isometri) Iso metri)
Bukti : Andaikan ada tiga titik yang tak sehgaris A, B, dan C. Misal T adalah kesebangunan kesebangunan dengan T (A) =A” , T (B) = B” dan T (C) = C”. Ini berarti ada k > 0sehingga A”B” = kAB, B”C” = kBC, kBC, dan dan A”C” A”C” = kAC. kAC. Buat Buat dila dilata tasi si deng dengan an pusa pusatt A dan dan fakt faktor or skal skalaa k sehi sehing ngga ga atau DA,K
.
Maka A’B’ = kAB = A”B” B’C’ = kBC = B”C” A’C’ = kAC = A”C”
C’
C’’
C
A
B
B’
A’’ B’’
Gambar 8. 22 Menurut teorema kekongruenan (s-s-s), maka Menur nurut teorem rema
isom sometri,
maka aka
ada tepa epat
. jadi Sehingga
. sat satu
isom sometri
M
yan yang
memetakan kan
.
M DA,K (A) = M (A’) = A’’ M DA,K (B) = M (B’) = B’’ M DA,K (C) = M (C’) = C’’
Jadi M DA,K
. Jadi M DA,K adalah adalah kesebang kesebangunan unan yang dimint diminta. a.
Sedangkan menurut teorema dasar isometri dapat dinyatakan komposisi paling banyak tiga pencerminan. Jadi kesebangunan M DA,K merupakan komposisi dilatasi dengan paling banyak pencerminan.
Suat Suatu u keseb keseban angun gunan an dapat dapat digun digunaka akan n untuk untuk menen menentuk tukan an sebang sebangun un atau atau tidak tidaknya nya dua himp himpuna unan n yang yang diket diketahu ahui. i. Sepe Seperti rtiha halny lnyaa pada pada isom isometr etrii bahwa bahwa dua himpun himpunan an disebu disebutt kongruen bila ada isometri yang memetakan satu himpunan ke himpunan lain. Berikut adalah definisi dua himpunan sebangun.
Definisi 8.3
Dua himpu himpunan nan A dan dan B disebut disebut sebang sebangun un dinotas dinotasika ikan nA
B jika jika dan hanya hanya jika jika ada
kesebangunan yang memetakan himpunan A ke himpunan B.
Contoh ; Jika T kesebangunan kesebangunan yang memetakan memetakan
, seperti pada gambar dan P (2, -2),
maka tentukan kordinat T (P) !
E(0,3)
F
C
D(0,2)
A
B(3,0)
X
Gambar 8.23
Penyelesaian
Diketahui bahwa
, seperti pada gambar, artinya T(A) = D, T(B) = E, dan
T (C) = F. AB
=
dan
DE
=
.
Karena
T
kesebangunan, maka DE = k(AB) atau k =1/3. Misal T(P) = P’ dengan P’(x’,y’). Akan ditentukan koordinat P’. Dari T (A) = D dan T (P) = P’, maka DP’ = k(AP)
Sehingga kita peroleh
Jadi
KOMPOSISI DILATASI Definisi 1
Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r . Suatu dilatasi D dengan factor skala r dan pusat A adalah padanan yang bersifat : 1.
D(A) = A
2.
Jika P ≠ A, P’ = D(P) adalah titik pada sinar dengan mengatakan bahwa
=r
sehingga AP’ = r (AP). (AP). (Ini setara
)
Dilatasi dengan pusat A dan factor skala r ini dilambangkan dengan DA, r . Komposisi Transformasi dengan Dilatasi
Andaikan P = ( x, x, y) dan andaikan ada dilatasi DO , r . kita hendak mencari koordinatkoordinat P’ = D O ,r (P). P’ terletak pada sinar
sehingga OP’= rOP . Jadi jika P’ = (x’ , y’) maka x’ =rx
dan y’=ry . Sehingga P’= (rx, ry) Sekarang andaikan A = (a,b)dan diketahui dilasi DA ,r (P) = P” sedangkan P =( x,y) . Apakah hubungan antara x” , y”, x dan y ? Untuk itu kita lakukan translasi GAO , kemudian dilatasi D O, r disusul dengan translasi GOA maka dapat ditulis
DA, r = GOA DO,r GAO
Jadi untuk P = ( x,y kita peroleh berturut-turut berturut- turut : x,y) kita peroleh DA, r [ ( x,y x,y) = GOA DO,r GAO [ ( x, x, y) ] = GoA Do, r [( x-a x-a , y-b) = GOA [r ( x-a x-a) , , r( y-b) ] = [r ( x-a x-a)+ a, r( y-b)+ b ] =[rx + a (1-a), ry + b (1-r )] )] Dengan demikian dapat dikatakan Teorema 14.2
Apabila DA, r sebuah dilatasi dengan A = (a, b ) dan P = ( x,y ), maka DA, r (P) = [ rx + a (1-r ) , ry + b ( 11-r) ] Sebaliknya padanan T(P) = (rx + c , ry + d ) untuk P =( x,y x,y) dengan r > 0 dan r ≠ 1 adalah suatu transformasi dan merupakan suatu dilatasi. Pusat dilatasi ini dapat ditentukan sebagai berikut. Kita tulis
T(P) = ( rx +
( 1-r ), ry +
( 1-r )
Dengan demikian pusat dilatasi tersebut adalah titik
A=(
,
)
Teorema 14.3
Hasil kali dua dilatasi tersebut adalah sebuah dilatasi, Bukti: Andaikan diketahui dilasi DA, r dan DB, r .
Kita pilih sebuah koordinat orthogonal dengan
sebagai sumbu- x x dan titik asal kita pilih di
A. Andaikan B = (b, 0) dan A = (0,0). Jika P = ( x,y x,y) maka DA, r (P) = (rx,ry) dan DB, r (P) = [ sx + b (1-s), sy] jadi
DB, s , DA, r (P) = DB,s [(rx, ry)]
= [ s s (rx) + b (1-s), s (ry)] Apabila rs ≠ 1, dapat kita tulis
DB, s , DA, r (P) = [ ( rs) x +
(1 – rs) , (rs) y ]
Jadi hasil kali DB, s , Da, r adalah suatu dilasi dengan pusat
C=(
,0)
Sehingga hasil kali dilasi berpusat di C dengan factor skala rs. Jika rs = 1 dan A ≠ B maka b ≠ 0 ; jika P = ( x,y x,y) diperoleh DB, s , DA, r (P) = [x + b (1 – s) , y ] Ini berarti bahwa DB, s , DA, r adalah suatu translasi dengan arah yang sejajar dengan garis Akibat I : Jadi jika DA, r dan DB, s dengan A ≠ B maka DB, s , DA, r adalah sebuah dilatasi D c, rs
dengan C
apabila rs ≠ 1.
Apabila rs = 1 maka hasil dilasi itu adalah suatu translasi yang sejajar dengan
.
Akibat II : Jika diketahui DA, r dan DA, s maka DA,s DA,r adalah satu dilasi dengan skala factor rs, jika rs ≠ 1
Apabila rs = 1 maka hasil kali ini adalah transformasi identitas. Akibat III : Untuk sebuah dilasi DA, r berlaku
DA, r -1 = D A, 1/r Apabila diketahui dua dilasi DA, r dan DB, s , akan ditentukan pusat dilasi hasil kali dua dilasi tersebut, Misalkan P’ = DB, s dan DA, r (P) = Dc, rs (P) menurut uraian di atas C adalah titik potong
dan
dan C
, di sini P dapat dipilih sebarang, kemudian P’.
. Jadi C
.
P’
P1
P
C
A
B
Di atas telah kita buktikan, bahwa hasil kali dua dilatasi adalah suatu dilasi atau suatu translasi. Apabila suatu dilasi dikalikan dengan sebuah refleksi atau rotasi maka hasil kalinya bukan suatu dilasi atau isometri. Mengenai ini dapat dap at dituangkan sebuah.$ sebu ah.$ Teorema 14.4
Hasil kali sebuah dilasi dan sebuah isometric isometric adalah sebuah kesebangunan, kesebangunan, Bukti : sebuah isometri adalah sebuah kesebangunan dengan skala 1. Hasil kali dua
kesebangunan adalah kesebangunan. Dengan demikian maka hasil kali suatu dilasi dan suatu isometri adalah suatu kesebangunan. Akibat : Jadi pada umumnya hasil kali suatu refleksi dan suatu dilasi atau hasil kali suatu
rotasi dan suatu dilasi adalah sebuah kesebangunan. Contoh : Buktikan bahwa garis-garis berat sebuah segitiga melalui satu titik. Bukti
A Y X B
Andaikan M titik tengah sehingga AX = 2(XN) dan Y
M C
dan N titik tengah
. Andaikan X titik pada
sehingga BY = 2 (YM).
Akan dibuktikan bahwa Y = X. berturut-turut diperoleh X = DA, 2/3 (N), N = D B, ½ (C) Jadi X = DA, 2/3 . DB, ½ (C) Sedangkan D-1A, 2/3 = D A, 2/3 dan D-1B, ½ = DB,2 Jadi C = DB, 2 DA, 2/3 (X) Selanjutnya Y = DB, 2/3 DA, ½ (C), maka maka Y = DB, 2/3 Da, ½ DB,2DA,3/2(X) DB,2/3 = DB, ½ DB,2 DA, 3/2 = DA, ½ DA,3 Maka
Y = (DB, 1/3 DB.2) DA,1/2 DB,2 (DA, ½ DA,3)(X) = DB, 1/3 (DB,2DA, ½ )(DB,2 DA, ½ ) DA,3 (X) = DB, 1/3 SBA SBA DA,3 (X) = DB, 1/3 S2BA DA,3 (X) = DB, 1/3 (DB,3 DA, 1/3)DA,3 (X) = ((DB, 1/3 DB,3)(DA, 1/3 DA,3) (X) =X
Dengan cara serupa, jika Z ∊
, K titik tengah AB sedangkan CZ = 2/3 CK atau CZ =
2ZK, maka Z = X. KOMPOSISI ROTASI Contoh soal : 1. Dibe Diberi rika kan n dua titik itik Kemudian tentukan Penyelesaian :
Lukis ukis titik itik
sehi ehingga ngga
Ambi Ambill
. Bu Buat at gari garis s
sehi sehing ngga ga su sudu dutt dari dari
adal adalah ah
buat garis I melalui B, sehingga sudut dari s ke I adalah Titik C merupakan titik potong dari I dan t. t.
t
A
C
l
B s
2. Dibe Diberik rikan an dua dua titi titik k A dan dan B,
,
Tent Tentuk ukan an C dan dan
sehingga Penyelesaian : Ambi Ambill gari garis s adalah
. Bu Buat at garis garis t mela melalu luii A, sehi sehing ngga ga su sudu dutt dari dari t ke s dan garis I melalui melalui B, sehingga sehingga sudut dari s ke I adalah l
. Maka, C merupakan titik potong t dan l.
A
s B
C
3. Diberik Diberikan an dua titik titik A dan B, dan
Tentuk Tentukan an C
sehingga
Penyelesaian : Ambi Ambill gari garis s
. Bu Buat at garis garis t mela melalu luii A, sehi sehing ngga ga su sudu dutt dari dari t ke s
adal adalah ah
dan dan gari garis s l melal melalui ui G sehi sehing ngga ga su sudu dutt dari dari s ke l
adalah
l
s
C
A
B
4. Ambi Ambill A (-1, (-1,0) 0),, B (2,0 (2,0), ),
Tentukan koordinat titik C dan
sehingga
Penyelesaian : A (-1,0), B (2,0) maka sehingga sudut dari t ke s adalah adalah
sebagai garis s. Garis t melalui A, Akibatnya koefisien arah dari t
. Oleh sebab itu, Garis l melalui B,
sehingga sudut dari s ke l adalah adalah
Akibatnya koefisien arah dari l
Sehingga persamaan
C perpotongan antara t dan l maka koordinat C didapat dari : dan
Diperoleh :
Jadi C
maka Perhatikan lukisan berikut : t
l A (1,0)
B O
(2,0)
C
X= s
5. Bukt Buktika ikan n teor teorem emaa beri berikut kut : 1) Apabila Apabila R suatu suatu refleksi refleksi geser, geser, maka R 2 suatu translasi. 2) Apabila Apabila R suatu refleksi geser geser,, maka R tidak memiliki memiliki titik-titik titik-titik invariant invariant Penyelesaian : 1) Akan Akan dibuktikan dibuktikan jika jika R suatu suatu refleksi refleksi geser, geser, maka R 2 suatu translasi. Andaikan terdapat garis s dengan A, B Є s dan terdapat garis g dengan p Є g. maka berlaku GABMs(p) = p’ dan GABMs(p’) = p’’ adalah suatu tanslasi.
P ’
Ms(p) B s
A
g
P ’
P
P ’’
Jadi terbukti bahwa R 2 adalah suatu translasi. 2) Penye Penyele lesai saian an : Akan dibuktikan jika R suatu refleksi geser maka, R tidak memiliki titik-titik invariant. Titik invariant adalah titik yang jika ditransformasi ditransformasi tidak memiliki prapeta kecuali dirinya sendiri. Jika melihat gambar diatas maka p jika direfleksi geserkan akan menja menjadi di p’ sehin sehingga gga terbu terbukti kti bahwa bahwa misal misal R suat suatu u refle refleksi ksi geser geser maka maka tidak tidak memiliki titik invariant. Karena setiap R akan memiliki prapeta berupa R’.
6. jika t sumbu sumbu X sebuah sistem sistem koordinat koordinat ortogonal, ortogonal, A = (2,3) (2,3) dan B = (1,6)adalah (1,6)adalah titiktitik yang diketahui. Tentukan peta-peta titik tersebut oleh suatu refleksi geser M G . tentukan pula persamaan sumbu refleksi geser tersebut. B’ 9 B ’ t
AB
6
A’ A
3
2 9 6
B’’(0 A’’(1,-
X = t
