(Metodo de Las Fuerzas)Corregido

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS

Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS TEMA: “MÉTODO DE LAS FUERZAS”

PROFESOR: Ing. Anita Haro

FECHA: 2012

SEP 2012 - FEB 2013 1


OBJETO.-

La solución de estructuras hiperestáticas, constituyendo fuerzas las incógnitas básicas. Con el término fuerzas estamos indicando, en general, a solicitaciones exteriores o interiores; es decir, externamente fuerzas o pares reacción, e internamente fuerzas (cortante, normal), momentos flectores y momentos torsores. A las incógnitas básicas también las denominaremos incógnitas hiperestáticas o redundantes.

NOTACIÓN.Xi

(i=1, 2, 3,…,n) Incógnitas redundantes.

δij

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de esta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza Xj=1. El primer sub-índice indica siempre siempre el lugar donde se mide el desplazamiento (o giro), y el segundo individualiza la causa que lo origina (fuerza o par). Según el teorema de reciprocidad de Maxwell: δji=δ ji.

δij Xj

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de ésta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza incógnita Xj.

δio

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de ésta fuerza, desplazamiento debido al conjunto de cargas reales exteriores.

δit

El mismo desplazamiento debido a la acción de la temperatura.

δia

El mismo desplazamiento debido al asentamiento del apoyo a. Solicitación en general (momento, cortante, normal, reacción) en el sistema principal. Solicitación en el estado auxiliar i, es decir cuando la estructura isostatizada, desprovista de las cargas reales, sólo actúa la fuerza unitaria Xi=1. Solicitación en la estructura hiperestática.

METODO.1) Determinar el grado de Hiperestaticidad de la estructura. 2) Escoger las incógnitas redundantes X1, X2, X3,…, Xn (pares y/o fuerzas). 3) Isostatizar la estructura, para lo cual se anularán las incógnitas escogidas como redundantes. Así se tendrá el sistema principal o isostatizado. 4) Establecer los estados o modelos auxiliares, aplicando a la estructura isostatizada, primero el conjunto de cargas reales, y enseguida, desprovista de las cargas reales, separadamente, las fuerzas unitarias X1=1, X2=1, X3=1,…, Xi=1, X j=1,…, Xn=1. Cada uno uno de estos modelos modelos origina las expresiones, o valores, o diagramas de solicitaciones solicitaciones , , , ,…, , ,…, (las que puedan ser momentos flectores, fuerzas normales, etc.) 2


OBJETO.-

La solución de estructuras hiperestáticas, constituyendo fuerzas las incógnitas básicas. Con el término fuerzas estamos indicando, en general, a solicitaciones exteriores o interiores; es decir, externamente fuerzas o pares reacción, e internamente fuerzas (cortante, normal), momentos flectores y momentos torsores. A las incógnitas básicas también las denominaremos incógnitas hiperestáticas o redundantes.

NOTACIÓN.Xi

(i=1, 2, 3,…,n) Incógnitas redundantes.

δij

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de esta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza Xj=1. El primer sub-índice indica siempre siempre el lugar donde se mide el desplazamiento (o giro), y el segundo individualiza la causa que lo origina (fuerza o par). Según el teorema de reciprocidad de Maxwell: δji=δ ji.

δij Xj

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de ésta fuerza, desplazamiento debido a la fuerza incógnita Xj.

δio

Desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza Xi en la dirección de ésta fuerza, desplazamiento debido al conjunto de cargas reales exteriores.

δit

El mismo desplazamiento debido a la acción de la temperatura.

δia

El mismo desplazamiento debido al asentamiento del apoyo a. Solicitación en general (momento, cortante, normal, reacción) en el sistema principal. Solicitación en el estado auxiliar i, es decir cuando la estructura isostatizada, desprovista de las cargas reales, sólo actúa la fuerza unitaria Xi=1. Solicitación en la estructura hiperestática.

METODO.1) Determinar el grado de Hiperestaticidad de la estructura. 2) Escoger las incógnitas redundantes X1, X2, X3,…, Xn (pares y/o fuerzas). 3) Isostatizar la estructura, para lo cual se anularán las incógnitas escogidas como redundantes. Así se tendrá el sistema principal o isostatizado. 4) Establecer los estados o modelos auxiliares, aplicando a la estructura isostatizada, primero el conjunto de cargas reales, y enseguida, desprovista de las cargas reales, separadamente, las fuerzas unitarias X1=1, X2=1, X3=1,…, Xi=1, X j=1,…, Xn=1. Cada uno uno de estos modelos modelos origina las expresiones, o valores, o diagramas de solicitaciones solicitaciones , , , ,…, , ,…, (las que puedan ser momentos flectores, fuerzas normales, etc.) 2

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS 5) Calcular las deformaciones δio, δij, δii, etc. Estas deformaciones, son, por ejemplo según el método de los trabajos virtuales, teniendo en cuenta únicamente los efectos de la flexión.

O, teniendo en cuenta solamente las fuerzas normales (caso de estructuras de barras):

6) Plantear las ecuaciones de compatibilidad (también llamadas ecuaciones de elasticidad o de Mohr), teniendo en cuenta que la estructura hiperestática dada es la superposición de la isostatizada con el conjunto de cargas reales, más, separadamente, la isostatizada con cada una de las redundantes: δ11.X1

+

δ12.X2

+ … +

δii.Xi

+ … + δ1n.Xn

+

δ10

+

δ1t

+

δ1a

= 0

δ21.X1

+

δ22.X2

+ … +

δ2i.Xi

+ … + δ2n.Xn

+

δ20

+

δ2t

+

δ2a

= 0

δ31.X1

+

δ32.X2

+ … +

δ3i.Xi

+ … + δ3n.Xn

+

δ30

+

δ3t

+

δ3a

= 0

…………….. …………….. … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. …………….. …………….. … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. δi1.X1

+

δi2.X2

+ … +

δii.Xi

+ … +

δin.Xn

+

δi0

+

δit

+

δia

(1.G) = 0

…………….. …………….. … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. …………….. …………….. … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … … … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. … …………….. …………….. δn1.X1

+

δn2.X2

+ … +

δni.Xi

+ … + δnn.Xn +

δn0

+

δnt

+

δna

= 0

7) Resolviendo el sistema de ecuaciones de compatibilidad, se obtendrá los valores para las incógnitas redundantes X1, X2, X3,…, Xn. 8) Calcular los esfuerzos o solicitaciones solicitaciones finales: S=S0+S1.X1+S2.X2+S3.X3+…+Sn.Xn…………………………………………….(2.G)

3

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS PROBLEMA G-1.- RESOLVER LA VIGA EMPOTRADA Y APOYADA QUE SE MUESTRA, SIENDO EI CONSTANTE.

1) Es una estructura hiperestática de 1er grado. 2) Escogemos como incógnita redundante el momento en el empotramiento: M A=X1. 3) La estructura se isostatiza transformando el empotramiento en apoyo articulado fijo; es decir haciendo X 1=0.

4) Los modelos auxiliares, y los correspondientes diagramas de momentos flectores, son:

5) Cálculo de las deformaciones δ: - Haciendo caso de la Tabla II, combinando primero los diagramas Mo y m1, y enseguida el diagrama m1 con él mismo, podemos escribir:

(i)

6) La ecuación de compatibilidad está basada en que la deformación de la estructura real (la hiperestática dada) en la dirección de la incógnita X 1, es nula; o sea que:

Reemplazando los valores (i) se tiene la ecuación: 4


de la que:

PROBLEMA G-2.- RESOLVER LA VIGA DE SECCIÓN CONSTANTE QUE SE MUESTRA.

Es hiperestática de 1er grado. Consideremos como incógnita redundante la reacción en B: R B= X1. Isostatizamos la estructura eliminando el apoyo B, y tendremos: La ecuación de compatibilidad es:

a

O sea que:

Determinemos trabajos virtuales:

5

por


que, reemplazando en la ec. (1) da:

El resultado positivo indica que la reacción incógnita X 1 tiene el mismo sentido de la fuerza unitaria considerada.

PROBLEMA G-3.- TODOS LOS ELEMENTOS DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA TIENEN LA MISMA ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL Y SON DEL MISMO MATERIAL. INDICAR ESQUEMÁTICAMENTE COMO SE DETERMINARÍAN LAS REACCIONES DE APOYO Y LOS ESFUERZOS EN LAS BARRAS.

En esta estructura se presentan 5 componentes de reacciones en los apoyos: en A, una colineal con AB; en D, dos componentes (que tomaremos una horizontal y otra vertical); en E, una colineal con EF; y en C, una vertical o sea perpendicular al plano de deslizamiento del apoyo. Como solo disponemos de las 3 ecuaciones de equilibrio estático; hay, pues, 5-3=2 incógnitas hiperestáticas externas. Internamente, por simple observación se constata que hay una barra redundante; es, pues, hiperestática de primer orden internamente. En total hay tres incógnitas hiperestáticas que denominaremos: X 1 para el esfuerzo en la barra DC, X2 para la reacción en A (o sea el esfuerzo en la barra AB), y X 3 para la reacción en E (o sea el esfuerzo en EF). Podemos entonces plantear la siguiente igualdad de modelos, en base a la estructura isostatizada:

6


En la que para cada barra o reacción de apoyo:

Las ecuaciones de condición o de compatibilidad para el modelo mostrado, son:

En la que, siendo δ10 =ΣS0. μ1. λ δ11 =Σμ1². λ δ21 =Σμ2. μ1. λ δ31 =Σμ3. μ1. λ

δ20 =ΣS0. μ2. λ δ12 =Σμ1. μ2. λ δ22 =Σμ2². λ δ32 =Σμ3. μ2. λ

δ30 =ΣS0. μ3. λ δ13 =Σμ1. μ3. λ δ23 =Σμ2. μ3. λ δ33 =Σμ3². λ

(3)

(Recuérdese que según el método de los Trabajos Virtuales en estructuras de barras, la deflexión está dada por

).

Deberá calcularse los coeficientes (3) según la siguiente tabulación: Elem l λ S0 μ1 μ2 μ3 S0. μ1. λ S0.μ2. λ S0. μ3.λ μ1². λ μ2². λ μ3². λ μ1. μ2. λ μ1. μ3. λ μ2. μ3. λ X1.μ1 X2.μ2 X3.μ3 S AB BC … … … Σ=

Reemplazando en las ec. (2), se resuelve este sistema de ecuaciones y se obtienen los valores de las incógnitas hiperestáticas X1, X2, X3; las que reemplazadas en la expresión (1) dá los valores finales de los esfuerzos para cada barra de la estructura (esta operación se realiza según las 4 últimas columnas de la tabulación). (La solución numérica aparece en el Problema G-8). 7

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS PROBLEMA G-4.- INDICAR PASO A PASO, COMO RESOLVERÍA EL ANILLO MOSTRADO, EN EL QUE TODAS SUS PARTES SON DE SECCIÓN CONSTANTE. EL ANILLO GUARDA CONTINUIDAD CON EL ELEMENTO DIAMETRAL. ESTA SUJETO A UNA PRESIÓN (CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA) CONSTANTE P T/m² EN SOLAMENTE UNA DE LAS PORCIONES DIAMETRALES. SE APLICARÁ EL MÉTODO DE LAS FUERZAS.

En primer lugar debemos isostatizar la estructura. Ello se logra si la cortamos mediante el eje vertical de simetría, en las secciones B y E. Así tendremos las siguientes incógnitas hiperestáticas X1= fuerza normal en B; X2= par o momento flector en B; X3= fuerza normal en E; X4= par o momento flector en E. Por simetría, en esta sección las fuerzas cortantes son nulas. Podemos plantear la siguiente igualdad de modelos:

8

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Para una sección cualquiera, en general, el momento flector es:

Las ecuaciones de condición o compatibilidad son: δ10 θ20 δ30 θ40

+ + + +

X1.δ11 X1.θ21 X1.δ31 X1.θ41

+ + + +

X2.δ12 X2.θ22 X2.δ32 X2.θ42

+ + + +

X3.δ13 X3.θ23 X3.δ33 X3.θ43

+ + + +

X4.δ14 X4.θ24 X4.δ34 X4.θ44

= = = =

0 0 0 0

(2)

En la que:

Por la simetría existente sólo será necesario calcular los ángulos indicados en los esquemas efectuando las integrales correspondientes a media estructura (la mitad derecha, por ejemplo). Igual procedimiento se puede seguir para calcular los valores ; al efectuar la integración en media estructura, en realidad, se estará calculando la mitad de los valores indicados en los esquemas: Calculados los coeficientes según las expresiones (3), se resolverá el sistema de ecuaciones (2), obteniéndose los valores de la incógnitas hiperestáticas X1, X2, X3 y X4. Reemplazando estos resultados en (1), tendremos el momento flector para las diversas secciones de la estructura, así como los correspondientes esfuerzos cortantes. (La solución completar de este problema aparece en la hoja G-6).

9


PROBLEMA G-5.- EN LA ESTRUCTURA DE LA FIGURA, TODAS LAS BARRA SON DEL MISMO MATERIAL Y DE LA MISMA SECCIÓN TRANSVERSAL. DETERMINAR LAS REACCIONES EN B; C Y D.

La estructura es hiperestática de primer grado. La isostatizamos eliminando el apoyo B:

Ecuación de compatibilidad o condición:

Donde

, siendo Luego,

Elem. AB AC AD

l a √2.a a

S0 0 -√2.P P

S0.μ.l 0 -2√2.P.a -P.a

μ

-1 √2 -1

10

μ².l

a 2√2.a a

X1.μ -0,793.P 1,121.P -0,793.P

S -0,793.P -0,293.P 0,207.P


Las reacciones son colineales con los esfuerzos en las barras; luego:

PROBLEMA G-6.- TODOS LOS ELEMENTOS DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA TIENEN EL MISMO VALOR

. INDICAR PASO A PASO COMO SE DETERMINARÍAN LOS ESFUERZOS EN TODAS LAS

BARRAS, INDICANDO EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR Y LAS EXPRESIONES O FÓRMULAS A EMPLEAR, SIN NECESIDAD DE REALLIZAR LAS OPERACIONES.

Isostatizamos la estructura cortando la barra AD y FC. Por simetría física y de cargas, los esfuerzos en estas dos barras son iguales entre sí, y él será nuestra incógnita hiperestática: SAD = SFC = X. Podemos plantear la siguiente igualdad de modelos:

11

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS En los que, para cualquier barra: Las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones son, para cada una de las barras cortadas: δ10 + X1.δ11 + X2.δ12 = 0 δ20 + X1.δ21 + X2.δ22 = 0

en las que, conforme se ha indicado: X1 = XAD X 1 = X2 = X X2 = XFC

O sea que, simplemente, en este caso tenemos:

De la que

Donde:

Luego, reemplazando estas expresiones en (2), tenemos finalmente el valor de la incógnita hiperestática:

(3)

PROBLEMA G-7.- COMPLETAR LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA G-4. SE DETERMINARÁN LAS EXPRESIONES DE LAS INCÓGNITAS HIPERESTÁTICAS Y SE TRAZARÁN LOS DIAGRAMAS DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y DE LOS ESFUERZOS CORTANTES. Para poder calcular los coeficientes dados por las expresiones (3), determinamos para los tres tramos de la estructura (mitad derecha): son variables , intervalo

;

, variable

, intervalo

Así:

12

;y

, variable x, origen en E, intervalo

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Resumiendo tenemos:

Momento de la carga en BC.

Momento de la carga en EC.

0

13


0

0

0

Resumiendo tenemos: Tramo

BC CD EC

Intervalo

m1

M0

0≤φ≤π/2 PR²(1-cos φ) R(1-cos φ) π/2≤φ≤π PR²(0,5-cos φ) R(1-cos φ) 0≤x≤R -½.p.x² 0

m2

m3

m4

1 1 0

0 -R.cos φ 0

0 1 1

Ahora ya podemos determinar las expresiones de las deformaciones y desplazamientos dados en (3):

14


15


Reemplazando estos valores en el sistema de ecuación (2), se tiene:

De las que, resolviendo se obtiene:

Llevando estos resultados a la expresión (1), se tienen:

Para Para Para Para

Para Para Para Para

16

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Para Para

Para los esfuerzos cortantes, como

, se tienen: Para Para

Para Para x Para

PROBLEMA G-8.- TODOS LOS ELEMENTOS DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA TIENEN LA MISMA ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL Y SON DEL MISMO MATERIAL. CALCULAR LOS ESFUERZOS EN TODOS LOS ELEMENTOS Y LAS REACCIONES EN LOS APOYOS.

17

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS La solución de este problema está expuesta en el problema G-3 siguiendo el método de las fuerzas, y calculando los desplazamientos relativos por trabajos virtuales. De acuerdo en el desarrollo que allí se indicó, debemos calcular en primer lugar los esfuerzos en las barras en la estructura isostatizada para cuatro estados de carga; es decir, debemos determinar los esfuerzos . Así: ΣMD=0: 10(9)+5(12)-RD(24)=0 ΣFv=0: -5+6,25-VD=0 ΣFh=0: -HD+10=0

En D.- ΣFh=0: ΣFV=0:

0,8-10=0 0,6-1,25=0

En C.- ΣFh=0: ΣFV=0:

0,6-6,25=0

En F.- ΣFV=0: 2(125/24)senβ-5senβ=0,6

cosβ=0,8

Por simple inspección: 1) Las reacciones de apoyo son cero; 2) Los esfuerzos en Luego, en C, por ΣFh=0: 2N’cosβ-1=0 N’=5/8T N’’=3/4T En B.- ΣFV=0: 2N’senβ-N’’=0

.

Aplicando las ec. De equilibrio estático al conjunto y a los nudos, como en los casos anteriores, se obtienen:

Igualmente, en este caso se obtienen:

18

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Como en las ec. (2) del problema G-3 debemos reemplazar los desplazamientos relativos (3), o valores proporcionales a ellos, en vez de tenemos para cada elemento su valor l, ya que EA es el mismo para todos las barras. Hacemos los cálculos según la siguiente tabulación: Elem AB BC CF FE FD DB DC BF

l (') 12 15 15 12 15 15 24 18

S0 (T) 0 125/24 -125/24 0 -125/24 -175/24 0 5/4

μ1 (T) μ2 (T) μ3 (T)

0 5/8 5/8 0 5/8 5/8 -1 -3/4

-1 -5/16 5/16 0 5/16 15/16 0 -3/8

0 5/16 -5/16 -1 15/16 5/16 0 -3/8 Σ=

S0.μ1. l 0 3125/64 -3125/64 0 -3125/64 -4375/64 0 -1080/64 -8580/64

S0. μ2.l 0 -3125/128 -3125/128 0 -3125/128 -13125/128 0 -1080/128 -23530/128

S0. μ3.l 0 3125/128 3125/128 0 -9375/128 -4375/128 0 -1080/128 -8580/128

μ1². l

μ2². l μ3². l μ1. μ2.l μ1.μ3. l μ2. μ3.l 0 3078/256 0 0 0 0 375/64 375/256 375/256 -375/128 375/128 -375/256 375/64 375/256 375/256 375/128 -375/128 -375/256 0 0 3072/256 0 0 0 375/64 375/256 3375/256 375/128 1125/128 1125/256 375/64 3375/256 375/256 1125/128 375/128 1125/256 1536/64 0 0 0 0 0 648/64 648/256 648/256 648/128 648/128 648/256 3684/64 8220/256 8220/256 2149/128 2148/128 2148/256

S0 (T) 0 5,21 -5,21 0 -5,21 -7,29 0 1,25

μ1.X1(T) μ2.X2(T) μ3 .X3(T)

0 0,43 0,43 0 0,43 0,43 -0,69 -0,52

-5,29 -1,65 1,65 0 1,65 4,96 0 -1,98

0 0,11 -0,11 -0,35 0,33 0,11 0 -0,13

De esta tabulación se obtiene en primer lugar:

Reemplazando en la ec.(2) valores proporcionales de estos desplazamientos relativos, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: -34,320 + 14,736.X1 + 4,296.X2 + 4,296.X3 = 0 -47,160 + 4,296.X1 + 8,220.X2 + 2,148.X3 = 0 -17,160 + 4,296.X1 + 2,148.X2 + 8,220.X3 = 0

Que resolviéndolo da los siguientes resultados:

Los tres positivos, lo que significa que los esfuerzos en las barras AB, DC Y EF son del signo o sentido considerado; es decir, los tres son esfuerzos de tracción. Con estos resultados se pueden calcular los esfuerzos finales S dados por la expresión (1) Del problema G-3. Para esto se ha trabajado en la tabulación de la página anterior en sus 5 últimas columnas. Con la misma expresión (1) se calculan las reacciones de apoyo. Así:

19

S (T) -5,29 4,10 -3,24 -0,35 -2,80 -1,79 -0,69 -1,38


Finalmente, en el siguiente esquema de ejes de la estructura se indican las reacciones de apoyos y los esfuerzos resultantes en las barras:

PROBLEMA G-9.- RESOLVER EL PORTICO QUE SE MUESTRA. SE CALCULARAN LAS REACCIONES DE APOYO Y SE TRAZARAN LOS DIAGRAMAS DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y DE ESFUERZOS CORTANTES.

Aplicaremos el método de las fuerzas. Para ello, en primer lugar isostatizamos la estructura modificando el apoyo E:

20


M

Aplicando una carga unitaria horizontal en E, en el sentido opuesto para la reacción hiperestática H1. m

Ecuación de compatibilidad:

Donde:

Reemplazando (2) y (3) en (1):

Para la estructura hiperestática dada: 21


DCB

6

Diagrama de momentos flectores y esfuerzos constantes:

22

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS PROBLEMA G-10.- APLICANDO EL MÉTODO DE LAS FUERZAS, CALCULAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS DE LA ESTRUCTURA MOSTRADA, EN LA QUE EI ES CONSTANTE PARA TODOS LOS ELEMENTOS. CONSIDERAR SOLO LOS EFECTOS DE LA FLEXIÓN.

La estructura es externamente hiperestática de 1 grado. Denominando x a la componente horizontal de las reacciones de 1 y 5 (iguales entre sí por simetría), podemos establecer la siguiente igualdad de modelos y la correspondiente ecuación de condición:

Donde, En las que: Para el tramo 12;

Para el tramo 23;

23

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS luego,

Reemplazando estos valores en (1), tenemos la reacción horizontal en los apoyos:

PROBLEMA G-11.- LA VIGA DE SECCIÓN CONSTANTE MOSTRADA EN EL ESQUEMA, ESTA SUJETA A LA ACCIÓN DE UNA CARGA REPARTIDA, VARIABLE EN FORMA PARABÓLICA (DE 2 GRADO), DE CERO EN EL EXTREMO 3, A 4 T/ml. EN 1. APLICANDO EL MÉTODO DE LAS FUERZAS, CALCULAR LAS REACCIONES (FUERZAS Y PARES) EN LOS APOYOS DE LA VIGA.

24


Isostatizamos la estructura eliminando el apoyo 2, en el que la reacción (fuerza vertical) es nuestra incógnita hiperestática. De la igualdad de modelos mostrada, tenemos:

En la que: El valor de la carga repartida w en una sección cualquiera de abscisa ξ es:

Las expresiones para los momentos

y

, son:

Entonces:

Luego, reemplazando en (i), se tiene:

25

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS La reacción en 1 es:

Y el momento en el empotramiento es:

PROBLEMA G-12.- POR ACCIÓN DE LA CARGA INDICADA, DETERMINAR EL ELEMENTO DE EMPOTRAMIENTO. LAS REACCIONES DE APOYO, LA DISTRIBUCION DE LOS MOMENTOS DE FLEXIÓN Y LA DE LOS ESFUERZOS CORTANTES. SE PRESCINDIRA DEL PESO PROPIO DE LA VIGA. LAS SECCIONES VARÍAN ENTRE 0.60m EN EL EMPOTRAMIENTO Y 0,30m. EN EL APOYO SIMPLE; EL ANCHO ES CONSTANTE DE 0,30 m.

De acuerdo con el método de las fuerzas se tiene el siguiente modelo:

Siendo la ecuación de compatibilidad: Donde a

En la que

Esto dificultará las integrales; por lo que trabajaremos en valores

h

aproximados para las integrales. Considerando secciones constantes a lo largo de la viga:

26

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS , y eliminando los factores comunes, tendremos:

Debemos calcular los valores h, M 0 y m para cada intervalo de la viga:

Con los valores calculados, podemos trabajar en la tabulación siguiente:

27

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Sección 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h (m) 0,585 0,555 0,525 0,495 0,465 0,435 0,405 0,375 0,345 0,315

h³ (m³) 0,2002 0,171 0,1447 0,1213 0,1005 0,0823 0,0664 0,0527 0,0411 0,0313

M0 (T.m) m (T.m) M0.m/h³ -8,75 4,75 -207,6 -6,25 4,25 -155,3 -3,75 3,75 -97,2 -1,25 3,25 -33,5 0 2,75 0 0 2,25 0 0 1,75 0 0 1,25 0 0 0,75 0 0 0,25 0 Σ= -493,6

m²/h³ 112,7 105,6 97,2 87,1 75,2 61,5 46,1 29,6 13,7 2,0 630,8

Reemplazando estos resultados en la expresión (ii):

La reacción y el momento flector en a son:

Los desplazamientos y también se pueden determinar haciendo uso de la Tabla II (Hoja C-3). Para ello tenemos los siguientes modelos auxiliares:

28

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Tendremos, combinando estos diagramas, de la mencionada Tabla:

(iii)

En las que: λ=1

n=(0,3/0,6)³=0,125 p=12.⅖=7,2

De la Tabla N°5: De la Tabla N°17: Reemplazando estos valores en (iii):

Llevando estos resultados a la expresión (i), tenemos finalmente:

Resultado que difiere del obtenido anteriormente en solamente un 4%. En el extremo a se tienen:

PROBLEMA G-13.- RESOLVER LA VIGA MOSTRADA EN EL ESQUEMA.

29

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Isostatizamos la estructura eliminando el apoyo en 2. Así tenemos los siguientes estados:

Empleando la Tabla II (Hoja C-5) para determinar las expresiones de estas integrales, y las Tablas N°5 y 13 para calcular los correspondientes factores de forma y de carga de 1ª especie, tenemos:

En las que: 30


Siendo,

Reemplazando las expresiones (iii) en las (ii), y estas en (i), obtenemos:

Donde, sustituyendo los valores (iv), tenemos:

Con este resultado ya se pueden calcular las otras reacciones y el momento flector sobre el apoyo intermedio. Así tendremos los siguientes resultados:

31

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Podemos así trabajar, finalmente, los diagramas de momentos flectores y de los esfuerzos cortantes en la viga hiperestática:

PROBLEMA G.14.- RESOLVER LA VIGA QUE SE MUESTRA, PARA LA QUE EI=1.2x105 T.m2. LOS APOYOS B Y C SON ELÁSTICOS, CON COEFICIENTES 400 Y 500 T/m RESPECTIVAMENTE.

La estructura es hiperestática de 2do grado. Considerando las reacciones y , en B y C, como las reacciones redundantes, tenemos los siguientes estados, en base a la eliminación de los apoyos en B y C con el fin de isostatizar la viga. Para plantear las ecuaciones d compatibilidad (1.G) necesitamos determinar las deflexiones y los correspondientes en los asentamientos de los apoyos, o sea y . Para las primeras utilizaremos las Tablas de Strassner (Tabla I, Hoja C-3):

32


Las deflexiones correspondientes a los asentamientos son: , o sea , o sea Las ecuaciones de compatibilidad (1.G) adaptadas a este caso, son:

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ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS δ11. X1 δ21. X1

+ +

δ12. X2 δ22. X2

+ +

δ10 δ20

+ +

δ1a δ2a

= 0 = 0

En las que, multiplicando por EI, reemplazamos los valores calculados: (64,8).X1 + (18,22).X 2 (18,22).X1 + (55,56).X 2 -

1442,00 + 1249,98 +

300.X1 240.X2

= 0 = 0

Que, resolviendo dán: Con estos resultados podemos calcular los momentos flectores y las r eacciones en los apoyos; así:

PO

Lo que permite trazar los siguientes diagramas de momentos y de esfuerzos cortantes:

PROBLEMA G-15.- CALCULAR EL ESFUERZO EN LA BARRA 23. TODOS LOS ELEMENTOS TIENEN EL MISMO VALOR PARA EA.

34


Para la fórmula (1.A): g=b+r-2n en la estructura dada: b=22, r=3, n=12

Es, pues, hiperestática de 1er grado interiormente. Para isostatizarla seccionamos la barra 23, y la ecuación de compatibilidad será: donde:

y

siendo EA igual para todas las barras, tendremos:

Expresión del esfuerzo en la barra seccionada 23. Debemos determinar los esfuerzos S0 en la estructura isostatizada debido a las cargas reales aplicadas, y los esfuerzos µ debido a cargas unitarias (respuesta de compresión) aplicadas en las

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ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS barras seccionadas. Elemento

l

S0 (T)

μ (T)

12 23 34 67 91 3-11 11-4 4-6 2-11 11-12 12-6 2-12 2-10 10-12 12-7 1-10 10-9 9-7

l l l l l l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2 l√(2)/2

+20/3 0 -10 -5 +10/3 0 +5√(2) -5√(2) +5√(2) 0 0 -10/3 -5√(2)/3 +5√(2)/3 -5√(2)/3 +5√(2)/3 -5√(2)/3 +5√(2)/3

+1 +1 +1 +1 +1 -√(2) -√(2)/2 +√(2)/2 -√(2)/2 -√(2) -√(2)/2 +1 -√(2)/2 -√(2) -√(2)/2 -√(2) -√(2)/2 +√(2)/2

S0 .μ.l + 20l/3 0

-

10l 5l 10l/3 0 5√(2)l/2 5√(2)l/2 5√(2)l/2 0 0 10l/3 5√(2)l/6 5√(2)l/3 5√(2)l/6 5√(2)l/3 5√(2)l/6 5√(2)l/6

μ².l

l l l l l √(2)l √(2)l/4 √(2)l/4 √(2)l/4 √(2)l √(2)l/4 l √(2)l/4 √(2)l √(2)l/4 √(2)l √(2)l/4 √(2)l/4

(10+(10/3)√(2)l ((55/3)+(65/6)√(2)l (6+6√(2)l

Ʃ=

((25/3)+(15/2)√(2)l

PROBLEMA G-16.- RESOLVER EL PROBLEMA K-9 APLICANDO EL MÉTODO DE LAS FUERZA. Isostatizamos la estructura seccionando en la sección de en medio del elemento inferior, y podemos plantear la siguiente igualdad de modelos:

Para cualquier sección: Las secciones de compatibilidad son: δ10 δ20

+ +

X1.δ11 X1.δ21

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+ +

X2.δ12 X2.δ22

= 0 = 0

ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS en las que, prescindiendo del factor EI constante y común en todos los términos:

Reemplazando en las expresiones (ii):

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ANALISIS ESTRUCTURAL TEMA: MÉTODO DE LAS FUERZAS Que llevando a las ecuaciones (i) dán: (56+18π)R.X 1 + (36+12π).X2 = wR²(57+18π) (9+3π)R.X1 + (12+3π).X 2 = wR²(11+3π)

Que son respectivamente iguales a las ecuaciones (1’’) y (3’’ ) de la solución del problema K-9, en los que M’ es X2 y N’ es X1. Lo que resta de la solución de este problema puede verse en la del indicado problema K-9.

PROBLEMA G-17.- APLICANDO EL MÉTODO DE LAS FUERZAS, RESOLVER LA ESTRUCTURA QUE SE MUESTRA.

Isostatizamos la estructura eliminando la rótula, en la que están las dos incógnitas del problema: las fuerzas normales X1 y las fuerzas transversales X2. Tenemos el siguiente esquema de igualdad de modelos:

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Para cualquier sección de la estructura dada:

Las ecuaciones de compatibilidad son: δ10 δ20

+ +

δ11 .X1 δ21 .x 1

+ +

δ12 .X2 δ22 .X2

= 0 = 0

en las que omitiendo el factor EI constante, y que aparece en todos los términos de las ecuaciones, y haciendo caso de las Tablas de Strassner, Hoja C-3, tenemos:

[

Reemplazando estas expresiones en la ec. (ii)

De la que resolviendo: X1= 67/405 P

X2= 137/405 P

Los momentos en los extremos de los elementos, según (i) son:

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(Metodo de Las Fuerzas)Corregido

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