Resolucion de Problemas Libro Hull

Universidad Nacional Andrés Bello Facultad de Economía y Negocios Escuela de Ingeniería en Administración de Empresas

Resolución de Preguntas y Problemas Hull

Integrante: Matías Soto Profes or: Re né Sanjinés Derivados Financieros


Entrega viernes 4 de noviembre del 2011 Respuestas a las preguntas y problemas del capítulo tres del libro Introducción a los mercados de futuros y opciones de Hull. 3.8

Un inversor recibe 1.100 dólares en un año como rendimiento de una inversión de 1.000 dólares hoy. Calcule el porcentaje de rendimiento anual con: a)

Composición anual

11001000-1=0,1

10% por año. b)

Composición semestral

10001+R22=1100 R=0,0976

El porcentaje de retorno es de 9,76% por año c)

Composición mensual

10001+R1212=1100 R=0,0957

El porcentaje de retorno es de un 9,57% por año d)

Composición continua

1000eR=1100 R=0,0953

El porcentaje de retorno es de un 9,53% por año

3.9

¿Qué tipo de interés compuesto continuo es equivalente al 15 por ciento anual compuesto anual?

2 Matías Soto Aubel

Noviembre 2011

Universidad Nacional Andrés Bello Facultad de Economía y Negocios Escuela de Ingeniería en Administración de Empresas eR=1+0,151212 R=0,1491

El interés compuesto continuo equivalente es de 14,91% por año 3.10 Una cuenta de depósito paga el 12 por ciento anual compuesto continuo, pero los intereses actualmente se pagan trimestralmente. ¿Qué intereses pagará cada trimestre en un depósito de 10.000 dólares? e0,12=1+R44 R=0,1218

Entonces la cantidad de interés pagado es por lo tanto: 10000 ×0,12184=304,55

3.11 Un contrato de compra a plazo a un año sobre una acción que no paga dividendos se firma cuando el precio de la acción es de 40 dólares y el tipo de interés libre de riesgo es el 10% anual compuesto continuo a)

¿Cuál es el precio a plazo y el valor inicial del contrato a plazo?

F0=40e0,12=44,21 Dólares precio a plazo

El valor inicial del contrato a plazo es cero b) Seis meses más tarde, el precio de la acción es de 45 dólares y el tipo de interés libre de riesgo sigue siendo 10%. ¿Cuál es el precio a plazo y el valor inicial del contrato a plazo? Como el precio a plazo es 44,21, entonces para seis meses más el valor del contrato está dado por: f=45-44,21e-0,1×0,5=2,95

Entonces, el precio a plazo está dado por: 45e0,1×0,5=47,31

3.12

El tipo de interés libre de riego es el 7% anual compuesto continuo y el rendimiento por dividendo sobre un índice de acciones es del 3,2%


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anual. El valor hoy del índice es 150. ¿Cuál es el precio del futuro a seis meses? El precio del futuro a seis meses es: 150e0,07-0,032x0,5=152,88

3.13

Suponga que el tipo de interés libre de riesgo es el 9% anual compuesto continuo y el rendimiento por dividendo sobre un índice de acciones varía a lo largo del año. En febrero, mayo, agosto y noviembre, es el 5% anual. En el resto de meses es el 2% anual. Suponga que el valor del índice el 31 de julio del 2001 es 300. ¿Cuál es el precio del futuro de un contrato con entrega el 31 de diciembre del 2001? El promedio de los rendimientos es: 15(3×2+2×5)=0,032

Entonces el precio a futuro es: 300e0,09-0,032x0,4167=307,34 Dólares

3.14

Suponga que el tipo de interés libre de riesgo es el 10% anual compuesto continuo y el rendimiento por dividendo sobre in índice de acciones es 4% anual. El índice está en 400 y el precio del futuro para un contrato con entrega a 4 meses es 405. ¿Qué oportunidades de arbitraje nos da? Primero calculamos el precio a futuro: 400e0,1-0,04x0,3333=408,08

Esto demuestra que el actual precio a futuro está muy bajo con respecto al índice. Entonces la estrategia de arbitraje seria: a) Ir largo en un contrato a futuro b) Vender las acciones del índice 3.15

Estime la diferencia entre el tipo de interés libre de riesgo entre México y Estados Unidos a partir de la información de la tabla 3.8 Los precios de los contratos a futuro son: Marzo 0,10403 Septiembre 0,09815 2

Matías Soto Aubel

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En septiembre del 2001 el precio esta 5,65% por debajo del precio en marzo del mismo año. Entonces podemos estimar que la tasa de interés a corto plazo en México excede a la tasa de interés a corto plazo en Estados Unidos alrededor del 5,65% por seis meses o un 13,3% por año. 3.16

Los tipos de interés a dos meses en Suiza y en Estados Unidos son 3% y 8% anuales respectivamente compuestos continuamente. El precio al contado del franco Suizo es 0,65 dólares. El precio del futuro para un contrato con entrega a los dos meses es 0,66 dólares. ¿Qué oportunidades de arbitraje nos ofrece? El precio a futuro sería: 400e0,1-0,04x0,3333=408,08

El precio actual es muy alto. Entonces se puede estimar una estrategia donde el arbitrajista pida prestado dólares americanos, compre francos suizos, y se vaya a corto en un contrato a futuro por francos Suizos. 3.17

El precio actual de la plata es 9 dólares por onza. Los costos de almacenamiento son de 0,24 dólares por onza anuales pagaderos por trimestres adelantados. Suponiendo una estructura plana de tipos de interés con un tipo compuesto continuo del 10%, calcules el precio del futuro de la plata para una entrega en 9 meses. El valor presente de los costos de almacenaje es: 0,06+0,06e-0,25×0,1+0,06e-0,5×0,1 =0,176 Dólares

Entonces el precio a futuro dado por F0 es: F0=(9+0,176)e0,1×0,75=9,89 Dólares por onza

3.18

Suponga que F1 y F2 son dos contratos de futuros sobre el mismo producto con fechas de entrega t1 y t2 y que t2> t1. Demuestre que: F2≤ F1er(t2-t1) Donde r es el tipo de interés (supuesto constante) y no hay costos de almacenamiento. Para los propósitos de este problema, considere que un contrato de futuros es lo mismo que uno a plazo. Si F2>(F1+U)er(t2-t1), un inversor podría beneficiarse sin riesgo:


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a) Tomando posición larga en un contrato a futuro que finaliza en el periodo t1 b) Tomando posición corta en un contrato a futuro en el periodo t2 Cuando finaliza el el primer contrato, se presta una cantidad de F1+U a una tasa r por un tiempo t2-t1. Los fondos se utilizan para comprar el activo para F1 y para almacenarlos durante el periodo t2. Luego en el momento t2 se intercambia por F2 en el segundo contrato. Se requiere un monto de (F1+U)er(t2-t1) para repetir el préstamo. Un beneficio de F2-(F1+U)er(t2-t1) es por lo tanto entregado en el periodo t2. Este tipo de oportunidad de arbitraje no puede existir para una posición larga, por lo tanto se demuestra que: F2≤ F1er(t2-t1) 3.19

Cuando se cubre un pago previsto en divisas por una empresa utilizando un contrato a plazo, no hay riesgo de tipo de cambio. Cuando se cubre utilizando contratos de futuros, el proceso de ajuste al mercado deja a la empresa expuesta a algunos riesgos. Explique la naturaleza de estos riesgos. En particular, considere si será preferible para la empresa utilizar un contrato de futuros o un contrato a plazo en los casos a continuación. Suponga que el precio a plazo es igual al de futuro.

En total, la ganancia o pérdida en contratos a futuros es igual a la ganancia o perdida en el correspondiente contrato forward. De todas formas el tiempo de los pagos es diferente. Cuando el valor del dinero está dentro de un contrato a futuro puede llegar a valer más o valer menos que un contrato forward. Por supuesto la compañía no puede saber por adelantado qué funcionará mejor. El contrato largo forward provee una cobertura perfecta y Un contrato a futuro largo provee una cobertura levemente imperfecta. a) El valor de la divisa cae rápidamente durante la vida del contrato. En este caso, el contrato a plazo lleva a un resultado levemente mejor. La compañía podría tener una perdida en su cobertura. Si se usa el contrato forward, la totalidad de la perdida se lleva al termino. Si se usa el contrato a futuro, la perdida se lleva día a día durante el contrato. En términos de valor presente es preferible el primero.


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b) El valor de la divisa sube rápidamente durante la vida del contrato. En este caso el contrato a futuro es levemente mejor. La compañía obtiene una ganancia en su cobertura. Si se usa un contrato forward, la ganancia se lleva al final. Si un contrato a futuro se usa, la ganancia se lleva a diario durante la vida del contrato, lo que en términos de valor presente es preferido. c) El valor de la divisa primero sube y luego vuelve a caer a su valor inicial. En este caso el contrato a futuro es levemente mejor. Esto se debe porque primero entrega retornos positivos y al final los negativos. d) El valor de la divisa primero baja y luego vuelve a subir hasta su valor inicial. En este caso el contrato forward es levemente mejor. Se debe a que cuando se usa el contrato a futuro, las ganancias primero son negativas y luego positivas. 3.20

Algunas veces se ha argumentado que un tipo de cambio a plazo es un predictor insesgado de los tipos de cambio futuros. ¿Bajo qué circunstancias puede hacerse esta afirmación? Se puede hacer esta afirmación cuando las tasas r y k son iguales. Esto sucede cuando el tipo de cambio no posee riesgo sistémico.

3.21

Demuestre que la tasa de crecimiento en el precio del futuro sobre un índice es igual a la diferencia de rendimiento del índice sobre el tipo de interés libre de riesgo. Suponga que el tipo de interés libre de riesgo y del rendimiento por vencimiento son constantes. Suponiendo que F0 es el precio futuro en el periodo cero en un contrato que termina en el tiempo T y siendo F1 el precio a futuro para el mismo contrato en el periodo t1, resulta: F0=S0er-qT F1=S1er-q(T-t1)

Donde S0 y S1 son el precio spot en el tiempo cero y t1 respectivamente, r es la tasa libre de riesgo, y q es el retorno de los dividendos. Estas ecuaciones implican: F1F0=S1S0e-r-qt1 4 Matías Soto Aubel

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Ahora, definimos el exceso de retorno del índice libre de riesgo como x. El retorno total es r+x y el retorno generado en ganancias de capital es r+x-q. Esto conlleva a que S1=S0er+x-qt1 y que la ecuación de F1/F2 se reduzca a: F1F0=ext1

Por lo que el enunciado queda demostrado 3.22

Demuestre que la ecuación (3.7) es correcta considerando una inversión sobre un activo combinado con una posición corta sobre un contrato de futuros. Suponga que todos los ingresos que se generen por el activo son reinvertidos en el activo. Use un argumento similar al que aparece en las notas al pie de página números 2 y 3 y explique en detalle que haría un arbitrajista si la ecuación (3.7) no se cumpliese. Suponiendo que compramos N unidades de acciones e invertimos los ingresos del activo en el activo. Los retornos del activo hacen que nuestra posesión del activo crezca a una tasa de capitalización continua q. Por el periodo T, nuestra posesión a crecido a NeqT números de acciones. Análogamente para las notas 2 y 3 al pie de página, podemos comprar N unidades de acciones en el periodo cero a un costo de S0 por unidad y entrar en un contrato forward para vender NeqT unidades por F0 por unidad en el momento T. Esto genera los siguientes ingresos: Tiempo 0: -NS0 Tiempo T: NF0eqT Como no hay incertidumbre sobre los ingresos, el valor presente de los ingresos en el tiempo T debe ser igual a las perdidas en el periodo cero cuando lo descontamos a la tasa libre de riesgo. Esto significa que: NS0=(NF0eqT)e-rT

ó F0=S0er-qT

Si F0>S0er-qT , un arbitrajista podría pedir prestado dinero a una tasa r y comprar N unidades de acciones. Al mismo tiempo podría entrar en un contrato forward para vender NeqT unidades de acciones en el momento T. Cuando se reciben los retornos, estos se reinvierten en la acción. En el momento T la se paga el préstamo y el arbitrajista obtiene una ganancia de N(F0eqT-S0e-rT) en el momento T. Si F0
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Universidad Nacional Andrés Bello Facultad de Economía y Negocios Escuela de Ingeniería en Administración de Empresas unidades vendidas crecieron a una tasa q a NeqT . La posición corta se cierra en el tiempo T y el arbitrador genera ganancias de N(F0eqT-S0e-rT).


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