Tema1

C´ alculo alcul o para la Computaci Computaci´ ´ on on Curso 2013-2014

E.T.S. E.T .S. Ingenier´ Inge nier´ıa ıa Inform´ Info rm´ atica

Dpto. de Matem´ atica atica Aplicada Universidad de M´ alaga alaga

C´ alculo para la computaci´ on ın Valverde Ramos. 2013, Agust´ın Este trabajo está editado con licencia “Creative Commons” del tipo: Reconocimiento-No comercial-Compartir bajo la misma licencia 3.0 Espa˜ na. Usted es libre de:

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2

Yo no ense˜ no a mis alumnos, solo les proporciono las condiciones en las que puedan aprender. Albert Einstein

Este libro est´ a concebido como una “gu´ıa ıa docente” para la asignatura C´ alculo para la computaci´ on que on que se imparte en los tres grados que oferta la E. T. S. I. Inform´ atica de la Universidad de Málaga atica alaga a partir del curso 2010/11. Su contenido es fruto del trabajo de varios a˜ nos, previos a la redacci´ nos, on de los correspondientes planes on de estudio, y en él el han participado todos to dos los profesores que durante este tiempo han impartido dicha asignatura. A lo largo de estos a˜ nos, nos, se ha ido rediseñando, nando, curso a curso, la asignatura. Varios son los factores que han intervenido en este proceso. En primer lugar, se ha adecuado el contenido de cada tema a las necesidades reales de un futuro graduado en inform´ atica, intensificando o relajando los contenidos de cada apartado en funci´ atica, on on de ello. En segundo lugar, se ha buscado adaptar la curva de aprendizaje de los alumnos a su base real de conocimientos y al tiempo que los planes de estudio estiman necesarios para preparar la asignatura. Posiblemente, este ha sido el factor m´ as importante en el proceso de adaptaci´ as on de los planes de estudio al Espacio on Europeo de Educación on Superior y el que más as ha influido en el resultado final del programa program a que qu e esta es ta gu´ gu´ıa desarrolla. desarro lla. La estructura del libro se adapta a los objetivos establecidos para su creaci´ on. on. El conten contenido ido se divide divide en “temas “temas”, ”, no en “ca “cap p´ıtulos ıtulos”, ”, y cada cada tema tema se divide divide en “lecciones”, no en secciones. Cada tema se inicia con una descripción on en términos ermi nos docentes: se detallan los objetivos, los prerrequisitos y se da un esquema de su contenido.

3

Esta asignatura, tiene asignados 6 cr´ editos editos E.C.T.S.1 En los documentos que desarrollan los planes de estudio de los diferentes grados, esta asignación on de crédito edi toss se traducen en una dedicaci´ o n de 150 horas por parte del alumno. Es decir, se on entiende que un alumno “medio” necesitar´ a aproximadamente 150 horas de trabajo total para prepararse y superar la asignatura, incluyendo las que emplee en el aula, laboratorios o ex´ amenes. amenes. No vamos a entrar aqu´ aqu´ı en las la s dificultades al valorar todas las fases del trabajo del alumno, de sus necesidades necesidades espec´ espec´ıficas o la calidad calidad de las horas de estudio, pero en cualquier caso, en la elaboración on de este documento se ha intentado ajustar los contenidos de la asignatura a este tiempo de dedicaci´ on. on. Sin embargo, es evidente que un alumno concreto deberá incrementar o podr´ a reducir este tiempo de trabajo en funci´ on on de su formación on previa y de la “calidad” de las horas de estudio, ya sea en casa o en clase. La distribución on de los contenidos del curso abandona, en algunos momentos, lo que puede considerarse una estructura clásica a sica de un curso de cálculo; alculo; adem´ as, as, tambi´ tambi´ en en se han eliminado eliminado secciones secciones que, aunque aunque aparecen aparecen habitualmen habitualmente te en este tipo de cursos, consideramos que son más as propias de estudiantes de matemáticas aticas puras. Por ejemplo, la lecci´ on dedicada a las ecuaciones diferenciales se plantea como on continuaci´ on on al c´ alculo alculo de primitivas, ya que ambos temas comparten técnicas, ecnicas, y la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales se sustenta en el cálculo on alculo de primitivas. En el dise˜ no de la asignatura se han seguido dos importantes premisas. Por un no lado, se pretende que las destrezas a desarrollar por el alumno tengan dificultad ascendente, y para ello intentamos que, en la medida de lo posible, cada lecci´ on on use, y por lo tanto refuerce, los contenidos de las lecciones anteriores. Por otra parte, se ha evitado incluir, de forma exhaustiva, los contenidos que un alumno que accede a la universidad deber´ deber´ıa conocer por su formaci´ on preuniversitaria; sin embargo, en on cada tema se dedicará parte del tiempo a recordar estos contenidos, pero siempre vinculado al desarrollo de nuevos conceptos.

1

E.C.T.S. son la siglas de European Credit Transfer System , es decir, Sistema Europeo de Trans-

ferenci fere ncia a de Cr´ editos. edit os.

4

´ Indice general

1. Preliminares

7

1.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Los n´ umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3. El binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.4. Polinomios

60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. C´ alculo diferencial

85

2.1. Curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.2. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.3. Optimizaci´ on de campos escalares 3. C´ alculo integral

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 169

3.1. C´ alculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.3. Integraci´ on de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.4. Integraci´ on doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4. Sucesiones y series num´ ericas

235

4.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.2. Introducci´ on al c´ alculo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.3. Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

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TEMA

1

Preliminares

Los objetivos fundamentales del tema son: (1) recordar y reforzar la manipulaci´ on de expresiones algebraicas, en especial los polinomios; (2) recordar y reforzar las técnicas de resoluci´ on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones; (3) saber operar con n´ umeros complejos; (4) saber utilizar los n´ umeros complejos como herramienta en la resoluci´ on de problemas con n´ umeros reales; y (5) saber calcular polinomios de Taylor. Objetivos.

Gran parte del contenido de este tema debe ser conocido por el alumno, por lo que parte del tiempo de preparaci´ on lo dedicar´ a a recordar conocimientos: saber manejar con soltura expresiones algebraicas (resolución de ecuaciones, simplificaci´ on,. . . ) en las que aparezcan funciones elementales de tipo polin´ omico, potenciales, logar´ıtmicas y trigonométricas. Prerrequisitos.

Contenido.

´ n 1.1: Funciones reales. Funciones elementales. L´ımites y continuiLeccio dad. Derivabilidad. Infinitésimos e infinitos equivalentes. ´ n 1.2: Los nu ´ meros complejos. Conjuntos numéricos. Definici´ Leccio on de n´ umero complejo. Funciones destacadas. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Exponencial compleja. F´ ormula de De Moivre ´ n 1.3: El binomio de Newton. Factorial, n´ Leccio umeros combinatorios y tri´ angulo de Tartaglia-Pascal. Operador sumatorio. Binomio de Newton. ´ n 1.4: Polinomios. Evaluaci´ Leccio on de polinomios: m´ etodo de Horner. Compleci´ on de cuadrados. Cambio de centro de un polinomio. Funciones racionales. Polinomios de Taylor.

Ingenier´ıa Informática. C´ alculo para la computaci´ on

7

8

C´ alculo para la computaci´ on

Los contenidos de este primer tema giran alrededor de dos nociones b´ asicas, los polinomios y los n´ umeros complejos . Sin embargo, el tema est´ a concebido para que gran parte del trabajo necesario para su estudio sea repasar y reforzar conceptos y técnicas que el alumno debe conocer al iniciar unos estudios universitarios. El contenido y los objetivos de este tema son, por lo tanto, fundamentalmente transversales; aparte del trabajo de repaso, los m´ etodos y conceptos nuevos que se aprenden, se utilizar´ an de forma instrumental a lo largo del resto del curso. Dentro de la lecci´ on dedicada a los polinomios, aparecen los polinomios de Taylor. Si bien hasta el tema siguiente no aprenderemos sus aplicaciones, la inclusi´ on en este tema servirá para que el alumno repase las reglas de derivarión y las funciones elementales, a la vez que aprende algo nuevo. De la misma forma, los números complejos no representan un tema especialmente dif´ıcil de forma aislada, pero requiere que el alumno recuerde propiedades y técnicas de manipulaci´ on de potencias, logaritmos y funciones trigonométricas. Por u ´ ltimo, debemos tener en cuenta que con este primer tema el alumno empieza a enfrentarse a un texto cient´ıfico estructurado siguiendo unos convenios a los que debe adaptarse y cuyo aprendizaje también es importante para su formaci´ on posterior. Destacamos aqu´ı algunos aspectos importantes Las definiciones, teoremas, ejemplos,. . . se numeran para poder localizarlos fácilmente cuando se haga referencia a ellos en otras partes del libro. De la misma forma, tambi´ en se numeran algunas f´ ormulas y expresiones expuestas de forma destacada. Aunque en pocas ocasiones, usaremos notas a pie de p´ agina para incluir referencias externas y establecer relaciones con otras asignaturas, libros o temas de interés. Su contenido no es fundamental para el desarrollo y preparaci´ on de la asignatura. Los enunciados etiquetados con “Observaci´ on” se usar´ an para recoger aclaraciones sobre lenguaje matem´ atico, s´ımbolos y notaciones. El alumno debe aprender a utilizar con corrección el lenguaje matem´ atico, lo que también repercutirá en su evaluación.

E.T.S.I.Inform´ atica

1.1. Funciones reales.

9

´ 1.1 LECCION

Funciones reales Los conceptos y resultados que recogemos en esta lecci´ on deben ser conocidos por el alumno y, por lo tanto, su objetivo es que sirva para repasar y como referencia para el resto del curso. Una funci´ on real es una relación que asocia a cada n´ umero de un conjunto D R, que se llama dominio, un u ńico n´ umero real. Si llamamos f a la funci´ on, escribimos

⊂

f : D

⊂R→R

y usamos f (x) para representar al único n´ umero real asociado por f al n´ umero x. Habitualmente, las funciones se determinan mediante fórmulas que describen esta R relaci´ on. As´ı por ejemplo, presentaremos una funci´ on diciendo: “sea f : (1, 2] x tal que f (x) = 2 ”; en este caso, el intervalo (1, 2] es el dominio de f , lo que x 1 podemos indicar igualmente con Dom(f ) = (1, 2].

→

−

Aunque normalmente necesitaremos especificar el dominio de la función en el que vamos a traba jar, también es habitual que nos centremos solamente en la f´ ormula que define la función; en estos casos, consideramos que el dominio es el mayor conjunto sobre el que está definida dicha fórmula. Por ejemplo, si presentamos una funci´ on x diciendo “sea f (x) = ” entendemos que Dom(f ) = ( 1, 1). 1 x2

√ −

−

´ n 1.1.1 Antes de continuar, es conveniente hacer algunas observaciones Observacio sobre determinados aspectos de la notaci´ on utilizada hasta ahora. 1. En las expresiones matem´ aticas, se utilizan letras para representar variables y constantes, ya sea para denotar n´ umeros o funciones. Para distinguir entre constantes y variables, es habitual utilizar letras cursivas para variables e incógnitas (x, y,. . . ) y letras en redonda para representar constantes (por ejemplo, el n´ umero e o la unidad imaginar´ıa i). El mismo criterio se sigue para las funciones: f (x) representa una función arbitraria, mientras que cos(x) es la funci´ on coseno y exp(x) es la funci´ on exponencial. Este tipo de convenios tiene su contrapartida en los lenguajes de programación, que pueden utilizar determinas restricciones para expresar ob jetos constantes y objetos variables. 2. Tal y como hemos visto antes, la notaci´ on f (x) indica que f es el nombre dado a la funció n y (x) indica la letra usada en la expresión como variable independiente . De esta forma, siempre que queramos sustituir esta variable por un n´ umero o expresión, lo escribiremos delimitado por los par´ entesis. Por lo tanto,

Grados en Ingenier´ıa Informática, del Software y de Computadores

10


deberemos escribir, por ejemplo, cos(θ), exp(2x), log(x + 1),. . . Sin embargo, es habitual en el lenguaje matem´ atico prescindir de los paréntesis siempre y cuando esto no provoque confusión o ambig¨ uedad. As´ı, podremos escribir cos θ o exp2x y entenderemos que log x + 1 es igual a 1 + log(x). Tendremos que prestar mucha atenci´ on a este tipo de simplificaciones y a˜ nadir los paréntesis cuando no estemos seguros de que su ausencia provoque ambig¨ uedades. En los lenguajes de programaci´ on, estas simplificaciones se usan raras veces. En este curso, vamos a trabajar principalmente con funciones definidas en términos de funciones elementales , es decir, funciones determinadas por operaciones algebraicas entre funciones elementales. Recordamos a continuaci´ on la lista de funciones que conocemos como funciones elementales : Funciones elementales.

Funciones polin´ omicas , a las cuáles dedicaremos una lección m´ as adelante en este tema. Funciones potenciales : pα (x) = x α , siendo α cualquier n´ umero real. Si α N, la correspondiente funci´ o n potencial es un polinomio. El dominio de estas funciones depende de α.

∈

Funci´ on exponencial : exp(x) = ex . Solo consideremos como elemental a la de base e, ya que el resto se pueden definir a partir de ella. Funci´ on logaritmo neperiano: log(x) = ln(x) = L(x). Estas son las tres notaciones habituales para el logaritmo con base e, aunque en este curso utilizaremos principalmente log. El resto de los logaritmos no se consideran como elementales, ya que se pueden definir a partir del neperiano. Funci´ on seno: sen(x). Funci´ on coseno: cos(x). Funci´ on arcoseno: arc sen(x), que es la función inversa del seno. Su dominio es el intervalo [ 1, 1] y consideramos que su rango es [ π/2, π/2].

−

−

Funci´ on arcocoseno: arc cos(x), que es la función inversa del coseno. Su dominio es el intervalo [ 1, 1] y consideramos que su rango es [0, π].

−

Funci´ on arcotangente : arc tg(x), que es la función inversa de la tangente. Su dominio es el intervalo R y consideramos que su rango es [ π/2, π/2].

−

Cuando hablamos de funciones, la operaci´ on de composici´ on también se considera como operaci´ on algebraica; por ejemplo, la funci´ on f (x) = 1 + sen2 (x) se construye

»



11

componiendo la ra´ız cuadrada con la suma de la funci´ on constante y el cuadrado de la funci´ on seno. Ejemplo 1.1.1 Aunque solo consideramos como elementales las relacionadas arriba, hay otras funciones importantes y con “nombres1 propios”: 1. Las funciones exponenciales con base distinta de e se pueden definir f´ acilmente a partir de la funci´ on exponencial: ax = exp(log(ax )) = exp(x log a) 2. De la misma forma, los logaritmos con base distinta de e, se pueden definir a partir del logaritmo neperiano: y = loga (x) ay = x log(ay ) = log(x) y log(a) = log(x) log x y = log a log x loga (x) = log a 3. Es conveniente conocer el resto de las funciones trigonométricas, su definici´ on a partir del seno y el coseno y las propiedades fundamentales de todas ellas: sen x cos x 1 1 , cotg x = , sec x = , cosec x = cos x sen x cos x sen x Las correspondientes funciones inversas son arc tg x, en ( π/2, π/2), arccotg x, en (0, π), arcsec x, en [ π/2, π/2] y arccosec x, en [0, π] . tg x =

−

−

4. Las funciones hiperb´ olicas se definen a partir de la función exponencial; las fundamentales son el seno hiperb´ olico, senh, y el coseno hiperbólico, cosh, que se definen como ex e−x ex + e−x senh(x) = , cosh(x) = . 2 2 A partir de ellas se pueden definir el resto de las funciones hiperbólicas siguiendo el mismo esquema que para las funciones trigonométricas.

−

5. Podremos manejar expresiones potenciales en donde la variable aparece tanto en la base como en el exponente, como por ejemplo: f (x) = (1 + x)2x . Estas expresiones se definen a partir de las funciones exponencial y logaritmo como sigue: g(x)h(x) = exp(log g(x)h(x) ) = exp(h(x)log g(x)). 


12


L´ ımites y continuidad.

Recordemos la definici´ on de l´ımite de una funci´ on real

de variable real. ´ n 1.1.2 Sea f : D R Definicio R. Decimos que el l´ımite de f cuando x tiende a a D, x = a y R es  R si: para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si x x a < δ , entonces f (x)  < ε. En tal caso, escribimos:

∈ | − |

⊂ →

∈

|

∈

−|



l´ım f (x) = 

x→a

También podemos calcular l´ımites cuando x tiene a + o a as´ı como concluir que el valor de un l´ımite sea + o a . No incluimos la definici´ on detallada de todas las situaciones posibles, ya que entendemos que deben ser conocidas por el alumno y adem´ as no necesitaremos trabajar con ellas.

∞

∞ −∞

−∞

En cualquier caso, estas definiciones no establecen métodos para decidir si un l´ımite existe o no y en tal caso, determinarlo. La propiedad de continuidad de las funciones elementales y las propiedades algebraicas del operador l´ımite son las herramientas para el estudio y cálculo de l´ımites. ´ n 1.1.3 Decimos que la funci´ Definicio on f es continua en a

∈ Dom(f ), si

l´ım f (x) = f (a).

x→a

Todas las funciones elementales son continuas en su dominio, as´ı como todas las que se pueden definir en términos de funciones elementales. Teorema 1.1.4 Si una funci´ on est´ a definida, en un entorno de un punto a, por una unica ´ expresi´ on determinada por operaciones algebraicas (suma, producto, cociente y composici´ on) entre funciones elementales, entonces la funci´ on es continua en a. Este resultado permite concluir que el inter´ es pr´ actico del estudio de cálculo de l´ımites está exclusivamente en aquellos puntos que quedan fuera del dominio y en . En estos casos, las propiedades algebraicas que enunciamos a continuaci´ on y el teorema de L’Hˆ opital que recordaremos m´ as adelante serán suficientes para calcular estos l´ımites.

±∞

´ n 1.1.5 Proposicio 1. l´ım (f (x) + g(x)) = l´ım (f (x)) + l´ım (g(x)) si ambos l´ımites son reales. x→a

x→a

x→a

2. l´ım (f (x) g(x)) = l´ım (f (x)) l´ım (g(x)) si ambos l´ımites son reales. x→a

·

·x

x→a

a

→

1 1 = . x→a f (x) l´ım (f (x))

3. Si l´ım f (x) = 0, entonces l´ım x→a



x→a



13

4. Si l´ım g(x) = b, entonces l´ım f (g(x)) = l´ım f (x). x→a

x→a

x→b

En los tres primeros apartados de esta proposici´ on, solo consideramos l´ımites reales. Para los l´ımites infinitos se verifican tambi´ en estas propiedades con algunas excepciones; vemos a continuaci´ on las operaciones v´ alidas entre estos l´ımites: (+ ) + (+ ) = + , a R.

∞ ∞ ∞ (−∞) + (−∞) = −∞ y a ± ∞ = ±∞ para todo ∈ (±∞) · (±∞) = ±∞, a · (±∞) = ±∞ si a  = 0. En ambos casos, aplicamos la regla de los signos para determinar el signo correcto. 1

1 1 = + , = . En donde, 0+ indica que el l´ımite del + − 0 0 denominador es 0 pero que la funci´ on es positiva y 0− indica que el l´ımite del denominador es 0 pero que la función es negativa.

±∞

= 0,

∞

−∞

Las situaciones que no están consideradas en las igualdades anteriores son: 0 , 0 ( ), (+ ) (+ ). 0 Si, en una primera evaluación, nos encontramos con uno de estos casos, diremos que el l´ımite está indeterminado (a priori); necesitaremos, por lo tanto, realizar transformaciones algebraicas que conviertan la expresi´ on de la función en otra que s´ı permita calcular el l´ımite.

∞, ∞

· ±∞

∞− ∞

Ejemplo 1.1.2 1. No podemos calcular el l´ımite l´ım (x3

− 3x2 + 1) como suma de los l´ımites l´ım x3 = +∞, l´ım (−3x2 + 1) = −∞, x + x + ya que nos encontramos con una indeterminación (∞ − ∞). Sin embargo, si x→+∞

→

∞

→

∞

sacamos factor com´ un el monomio x3 , convertimos la expresi´ on en un producto, cuyo l´ımite s´ı se puede calcular con las propiedades algebraicas: l´ım (x3

x→+∞

− 3x2 + 1) = x l´ım+ →

∞

Ä − 3 + 1 ä = (+∞ · 1) = +∞

x3 1

x3

x

2. La idea utilizada en el apartado anterior permite calcular los l´ımites en + de cualquier función racional.

∞y

−∞

2 − x · 3 − 1 = x x 1 − x2 = l´ım x · x 1 + x3 − x1

1 x4 2 x4 l´ım 3 = l´ ım 2 3 x→−∞ x + 3x 1 x→−∞ x 1 +

−

−

4

3

4

→−∞

3

=(

−∞ · 1) = −∞




14


Debemos recordar que en muchas ocasiones necesitaremos calcular l´ımites laterales para estudiar algunos l´ımites. Ejemplo 1.1.3 Evaluando el siguiente l´ımite como cociente de funciones, nos encontramos una indeterminaci´ on: x3 x2 + x 1 0 l´ım = . x→1 x2 2x + 1 0

−

−

−

Åã

Esto significa que los dos polinomios son divisibles por x 1; por lo tanto, podemos factorizar numerador y denominador y simplificar el factor x 1:

−

−

x3 x2 + x 1 (x 1)(x2 + 1) x2 + 1 2 l´ım = l´ ı m = l´ ım = x→1 x→1 x→1 x x2 2x + 1 (x 1)2 1 0

−

−

−

−

−

−

Åã

Para poder terminar la evaluaci´ on del l´ımite, debemos determinar el signo de la funci´ on alrededor del punto 1 y, para ello, debemos evaluar l´ımites laterales. x2 + 1 2 l´ım = + = + 1 0 x→1+ x 2 x +1 2 l´ım = − = 1 0 x→1 x

−

−

−

Å ã Å ã

∞

−∞

Por lo tanto, el l´ımite inicial no existe.



Tal y como hemos visto en el apartado 5 del ejemplo 1.1.1 en la p´ agina 11 las g(x) funciones de la forma f (x) deben ser expresadas como funciones exponenciales a través de la igualdad f (x)g(x) = exp(g(x)log f (x)). De esta forma, las indeterminaciones que podemos obtener al calcular l´ımites sobre este tipo de funciones, se derivan de las indeterminaciones que obtengamos en el producto del exponente. Concretamente, las posibles indeterminaciones son 1∞,

00 ,

∞0 .

Recordamos ahora la noci´ on de derivabilidad de funciones reales, sus propiedades m´ as importantes y sus aplicaciones. Derivabilidad.

´ n 1.1.6 Decimos que f es derivable en a Definicio existe y es real f (x) f (a) l´ım x→a x a

∈ Dom(f ) si el siguiente l´ımite

− −

En tal caso, este l´ımite se denota por f  (a).



15

Otra forma equivalente de expresar el l´ımite que define la derivada en un punto es la siguiente: f (a + h) f (a) l´ım h→0 h

−

Una notaci´ on alternativa de la derivada es la conocida como notaci´ on Leibniz: df (x). dx Mientras que la notaci´ on “comilla” solo se puede utilizar sobre el nombre dado a la funci´ on (f  (x), cos (x), exp (x). . . ), la notaci´ on de Leibniz se puede usar tanto sobre el nombre de la función como sobre expresiones; por ejemplo: d 3 (x dx

− sen x).

Siendo en este segundo caso en donde es especialmente u ´ til. Cuando queremos expresar la derivada en un punto concreto, po demos utilizar las siguientes notaciones:



df d f (a) = (a) = (f (x)) dx dx x=a 

Para las derivadas n-ésimas también disponemos de los dos tipos de notaci´ on: f (n) (x) =

dn f (x) dxn

En la mayor´ıa de los casos, es suficiente con las propiedades algebraicas de la derivación y las derivadas de las funciones elementales para calcular la derivada de cualquier función. Ejemplo 1.1.4 Aunque suponemos que el alumno debe conocer las derivadas de las funciones elementales, incluimos este ejemplo para que tenga un punto de referencia en caso de dudas. d α x = αx α−1 . Obsérvese que si 0 dx en x = 0 pero no es derivable.

≤ α < 1, la función potencial es continua

d x e = ex . dx d 1 log x = . dx x d sen x = cos x. dx d cos x = dx

− sen x.


16


d arc sen x = dx

√ 1 1− x2 .

d arc cos x = dx

√ 1−−1 x2 .



d 1 arc tg x = . dx 1 + x2



´ n 1.1.7 (Propiedades algebraicas) Proposicio 1. Linealidad: (αf + βg) (x) = αf  (x) + βg  (x), para todo par de n´ umeros reales α, β . 2. (f g) (x) = f  (x)g(x) + f (x)g  (x)

·

3.

Å f ã g



(x) =

f  (x)g(x) f (x)g  (x) (g(x))2

−

4. Regla de la cadena: (f g) (x) = f  (g(x)) g  (x)

◦

·

Aunque es consecuencia de la regla del cociente, también es u´til recordar la siguiente f´ ormula d 1 f  (x) = dx f (x) (f (x))2

Ç å

−

Ejemplo 1.1.5 Deber´ıamos memorizar las derivadas de las funciones del ejemplo 1.1.1 (p´ agina 11), aunque se deducen fácilmente a partir de las expresiones dadas en ese ejemplo. 1.

d x d a = exp(x log a) = exp(x log a)log a = ax log a. dx dx

d d log x 1 2. log a (x) = = dx dx log a x log a

Å ã Å ã (cos x)(cos x) + (sen x)(sen x) d d sen x 3. tg x = = = 1 + tg x = sec x dx dx cos x cos x Å ã − sen x − cos x d d cos x 4. cotg x = = = −1 − cotg x = − cosec x dx dx sen x sen x Ç å e +e d d e −e 5. senh(x) = = = cosh x dx dx 2 2 Ç å e −e d d e +e 2

2

2

2

2

2

2

2

6.

dx

cosh(x) =

dx

x

−

x

−

2

x

x

−

x

x

−

=

x

x

2

= senh x



7.

17

d d (1 + x)2x = exp(2x log(1 + x)) = dx dx 2x 2x = exp(2x log(1 + x)) 2log(1+ x) + = (1 + x)2x 2log(1+ x) + 1+x 1+x

·









8. Para hallar la derivada de la funci´ o n arc tg x (y el resto de las funciones inversas) utilizamos las propiedades algebraicas y el procedimiento llamado derivaci´ on impl´ıcita . f (x) = arctg x tg(f (x)) = x Dado que estas funciones son iguales, sus derivadas también son iguales. En el lado izquierdo, derivamos usando la regla de la cadena: d d tg(f (x)) = (x) dx dx (1 + tg2 f (x))f  (x) = 1 (1 + x2 )f  (x) = 1 f  (x) =

1 1 + x2



ˆpital) Teorema 1.1.8 (de L’Ho f  (x) 1. Si l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0 y existe el l´ımite l´ım  , entonces x→a x→a x→a g (x) f (x) f  (x) l´ım = l´ım  x→a g(x) x→a g (x) 2. Si l´ım f (x) = l´ım g(x) = x→a

x→a

±∞

f  (x) y existe el l´ımite l´ım  , entonces x→a g (x)

f (x) f  (x) = l´ım  x→a g(x) x→a g (x) l´ım

Ejemplo 1.1.6 l´ım

x→0

x

− sen x = l´ım 1 − cos x = sen x = 1 x3

x→0

3x2

6x



6

Otra importante aplicaci´ on de la derivada es que nos permite estudiar la monoton´ıa y la concavidad de las funciones usando los siguientes resultados. Teorema 1.1.9 Si I es un intervalo y f  (x) > 0 para todo x I , entonces f es creciente en I . An´ alogamente, si I es un intervalo y f  (x) < 0 para todo x I , entonces f es decreciente en I .

∈

∈

Teorema 1.1.10 Si I es un intervalo y f (x) > 0 para todo x I , entonces f es convexa en I (con forma de ). An´ alogamente, si I es un intervalo y f  (x) < 0 para todo x I , entonces f es c´ oncava en I (con forma de ).

∈

∈


18


Una de las aplicaciones del c´ alculo de l´ımites es el estudio de la equivalencia de funciones convergentes a 0 o a infinito. Infinit´ esimos e infinitos equivalentes.

´ n 1.1.11 Dos funciones f y g son equivalentes en a si Definicio f (x) = 1; x→a g(x) l´ım

y lo escribimos m´ as brevemente como “ f (x)

∼ g(x) en x = a”.

La equivalencia de funciones es realmente importante en los casos en que las dos funciones converge a 0 o divergen a en a, ya que en ellos la definición de 0 equivalencia da indeterminaciones del tipo 0 y ∞ respectivamente. ∞

±∞

´ n 1.1.12 Definicio 1. Decimos que la funci´ on f (x) es un infinitésimo en a si l´ım f (x) = 0 y f (x) = 0 x→a en un entorno de a.



2. Decimos que la funci´ on f (x) es un infinito en a si l´ım f (x) = x→a

∞.

Ejemplo 1.1.7 Para ver que sen x y x son dos infinitésimos equivalentes necesitamos comprobar que 1. efectivamente son infinitésimos: l´ım sen x = 0

y

x→0

l´ım x = 0;

x→0

2. y que son equivalentes: sen x x→0 x l´ım



(L H )

=

cos x = 1. x→0 1 l´ım



Ejemplo 1.1.8 Las funciones polin´ omicas son infinitos en + valentes al monomio de mayor grado:

∞ y −∞ y son equi-

l´ım

an xn +

x→+∞

· ·· + a1x + a0 = an xn

l´ım

x→+∞

Å

a n−1 1+ + x

· ··

a1 a0 + n−1 + n = 1 x x

ã



En el teorema siguiente vemos cómo se puede utilizar la equivalencia de funciones en el cálculo de l´ımites de funciones. Teorema 1.1.13 Sean f y g dos infinit´ esimos (resp. infinitos) equivalentes en a y h(x) otra funci´ on definida en un entorno de a. Entonces: l´ım f (x)h(x) existe si y x→a solo si l´ım g(x)h(x) existe, y en tal caso coinciden. x→a



19

Este teorema justifica la técnica que se conoce como sustituci´ on de infinitésimos o infinitos equivalentes ya que, en la pr´ actica, las equivalencias dadas en el enunciado, se convierten en igualdades, de forma que, en las condiciones del teorema, escribimos: l´ım h(x)f (x) = l´ım h(x)g(x)

x→a

x→a

Los infinitésimos e infinitos tambi´ en pueden sustituirse si aparecen dividiendo al resto de la función y en general tendr´ıamos que, en las condiciones del teorema anterior, y para cualquier α R:

∈

h(x) h(x) = l´ ım x→a (f (x))α x→a (g(x))α l´ım

No podemos sustituir infinitésimos o infinitos en cualquier situaci´ on y, en particular, no se pueden sustituir si aparecen como sumando. Ejemplo 1.1.9 Demostramos a continuaci´ on las equivalencias m´ as importantes; en la mayor´ıa de los c´ alculos, usamos el teorema de L’Hôpital. 1. tg x

∼ x en 0: tg x sen x x 1 = l´ım = l´ım = l´ım =1 x→0 x x→0 x cos x x→0 x cos x x→0 cos x l´ım

Hemos usado la equivalencia demostrada en el ejemplo 1.1.7. 2. 1

− cos x ∼

x2 en 0: 2 l´ım

x→0

3. arc sen x

1

− cos x = l´ım sen x = 1 x2 /2

x→0

∼ x en 0: arc sen x = l´ım x→0 x→0 x l´ım

4. arctg x

5. ex

x

∼ x en 0:

arctg x 1 = l´ım =1 x→0 x→0 1 + x2 x l´ım

− 1 ∼ x en 0:

l´ım

x→0

6. log(1 + x)

√ 1 1− x2 = 1

ex

− 1 = l´ım ex = 1

x

x→0

∼ x en 0: log(1 + x) 1 = l´ım =1 x→0 x→0 1 + x x l´ım


20


El siguiente resultado nos permite construir otras equivalencias a partir de las demostradas en el ejemplo anterior. Teorema 1.1.14 Sean f y g dos infinit´ esimos (resp. infinitos) equivalentes en a y sea h(x) continua en b y tal que h(b) = a. Entonces, f h y g h son infinitésimos (resp. infinitos) equivalentes en b.

◦

◦

En este enunciado, queda impl´ıcito que las composiciones se pueden realizar en un entorno de b. Ejemplo 1.1.10 Las siguientes equivalencias son deducibles a partir de las equivalencias b´ asicas y el resultado anterior Con estos resultados se pueden deducir otras equivalencias: tg(x2 1) x2 1 en 1

− ∼ − ax − 1 ∼ x log a log x ∼ x − 1

en 0 en 1

Ejemplo 1.1.11 La continuidad de la funci´ on exponencial y la propiedad de sustituci´ on de infinit´ esimos, nos permite deducir la siguiente regla para la resoluci´ on de indeterminaciones del tipo (1∞). Si l´ım f (x) = 1 y l´ım g(x) = , entonces x→a

x→a

l´ım f (x)g(x) = l´ım exp(g(x)log f (x)) = l´ım exp(g(x)(f (x)

x→a

x→a

x→a



±∞

− 1)) =

= exp l´ım g(x)(f (x) x→a

− 1)





1.1.1. Primitivas

El c´ alculo de primitivas es la parte del c´ alculo integral que consiste en buscar una funci´ on cuya derivada coincida con una expresión dada. Por esta razón, se dice que el c´ alculo de primitivas es el proceso inverso a la derivaci´ on. Por ejemplo, dada la funci´ on f (x) = 3x2 , el objetivo es encontrar una función F (x) tal que F  (x) = f (x); en este caso, podemos considerar la funci´ on F (x) = x 3 , pues F  (x) = 3x2 = f (x). Sin embargo, a diferencia del cálculo de derivadas, el cálculo de primitivas no es un proceso autom´ atico. Es m´ as, en muchos casos no es posible calcular la primitiva de una expresión en términos de funciones elementales, por ejemplo, para las funciones 2 f (x) = e−x o g(x) = sen x se sabe que existen primitivas pero no es posible x expresarlas en términos de funciones elementales. ´ n 1.1.15 Una funci´ Definicio on F es una primitiva de f en el intervalo I si verifica que F  (x) = f (x) para todo x en I .



21

Fórmulas de derivación

F´ ormulas de integraci´ on

     

     

xα+1 x dx = α+1 α= 1

d (xα ) = αx α−1 dx α R d (ex ) = ex dx d (log x) = 1 dx x d (sen x) = cos x dx d (cos x) = sen x dx d (arc tg x) = 1 dx 1 + x2

∈

α

−

ex dx = ex

1 dx = log x x

||

sen x dx =

α=

−

ef (x) f  (x) dx = ef (x) f  (x) dx = log f (x) f (x)

| sen(f (x))f (x) dx = − cos(f (x))

cos x dx = sen x

−

(f (x))α α+1 1

(f (x))α f  (x) dx =

|



cos(f (x))f  (x) dx = sen(f (x))

− cos x

dx = arctg x 1 + x2

f  (x) dx = arctg f (x) 1 + f (x)2

Figura 1.1: Derivadas e integrales inmediatas. Obsérvese que cualquier otra función construida a partir de la función F (x) sum´ andole una constante también ser´ıa una primitiva, pues la derivada de cualquier funci´ on 3 2 constante es 0. As´ı, F C (x) = x + C es también una primitiva de f (x) = 3x ya que  F C (x) = 3x2 = f (x). ´ n 1.1.16 Si F es una primitiva de f en un intervalo I entonces la Proposicio funci´ on G es primitiva de f si y s´ olo si G es de la forma: G(x) = F (x) + C para todo x en I donde C es una constante. De esta forma, llamamos integral indefinida a la familia de todas las primitivas de una funci´ on y escribimos



f (x) dx = F (x) + C,

siendo F una primitiva de f . En esta expresión, f (x) se llama integrando, dx se lee diferencial de x e indica la variable de integraci´ on y C se denomina constante de integraci´ on . La relación que existe entre los conceptos de derivada y primitiva permite deducir fácilmente las propiedades de linealidad del operador, tal y como establecemos en el siguiente resultado. ´ n 1.1.17 La integral indefinida verifica las siguientes propiedades: Proposicio



(f (x) + g(x)) dx =

 ·



k f (x) dx =k

donde k es una constante.

f (x) dx +

 ·



f (x) dx,

g(x) dx para todo k

∈R


22


Ejemplo 1.1.12 La integral indefinida de la función 15x2



2

(15x

− 3sen x) dx =

 Ä 

− 3sen x es

5(3x2 ) + 3( sen x) dx =

=5

−

2

3x dx + 3

 −

= 5x3 + 3 cos x + C

ä

sen x dx = 

En el tema 3 aprenderemos varias técnicas para calcular primitivas en términos de funciones elementales. Todos ellas requieren identificar, en algún momento, lo que se denominan integrales inmediatas , es decir, aquellas primitivas que pueden determinarse aplicando de forma inversa una regla de derivación. La tabla 1.1 recoge las integrales inmediatas b´ asicas. 1.1.2. Funciones elementales: gr´ aficas

Cerramos esta lecci´ on recogiendo las gr´ aficas de las funciones elementales para que el alumno tenga un lugar de referencia cuando necesite recordarlas o resolver alguna duda. En el caso de las funciones polin´ omicas y de las racionales, solo hemos incluido algunos ejemplos. Tambi´ en a˜ nadimos las gr´ aficas de otras funciones que, aunque no son elementales, s´ı ser´ a habitual su uso y por lo tanto también conviene visualizar r´ apidamente, como las funciones hiperb´ olicas.



23

5

x

4

x

3

x

x

2

x

2

( − 1)(x + 2)

x

x x

(x + 2) 3

-2

-1.5

-1

2

2

1

1

-0.5

0.5

1

1.5

-2

-1.5

-1

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1

3 3

2 2.5

e

log x

x

-x

e

1

2

1.5

1 1

-1

0.5

-2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3


2

3

4

24


sen x 1

tg x

− 2π

2π

π

π

-1

−32

π

π

−2

2

π

3π 2

cos x 1

π

−2 −32

π

2 3π 2

π

-1

cosec x

sec x

4

4

2

−2π

−π

2

π

2π

π

π

−2

2 3π 2

3π 2

−

-2

-2

-4

-4

cotg x

4

2

−2π

−π

π

2π

-2

-4



25

arcsen x

arccos x

π

2

π

π

-1

-0.5

0.5

1

2

π

−2

-1

-0.5

0.5

arctg x π

2

-4

-2

2

4

π

−2

Grados en Ingenier Ingeni er´´ıa Informática, atica, del Software y de Computadores

1

26

Calculo a´lculo para la computaci´ on on

arccosec x π

2

-6

-4

-2

2

4

6

π

−2 arcsec x π

π

2

-6

-4

-2

2

4

6

arccotg x π

π

2

-4

cosh x

-2

2

4

3

tgh x 2 1

1 x e 2

1

-2

-1

0.5

1

2

-2

-1

1

2

-0.5 -1

-1 -2

senh x -3

E.T.S.I.Inform´ atica atica


27

argtgh x 3

2

2

1 1

argcosh x -1 -4

-2

argsenh x

2

1

4

-1 -1

log 2x

-2

-2

-3

√ 3 x7 = x 7/3 3

x

√

2

2

√ x = x 1/2 1

0.5

1

1.5

2

√ 3 x7 = x 7/3

Grados en Ingenier Ingeni er´´ıa Informática, atica, del Software y de Computadores

28

Calculo a´lculo para la computaci´ on on

7x2 4(2 x−1)(2 x+1)

1 4(2x−1)(2 x+1)

-1 .5

-1 -1

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

-0 -0.5

0.5

1

1.5

-1.5

-1 -1

-0 -0. 5

0.5

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5

-1.5

1

1 .5

-2

7x3 4(2 x−1)( 1)(2 x+1)

-1.5

-1 -1

7x4 4(2 x−1)( 1)(2 x +1)

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

-0 -0.5

0. 5

1

1.5

-1 .5

-1 -1

-0 -0.5

0 .5

-0.5

-0.5

-1

-1

-1.5

-1.5

1

1.5

E.T.S.I.Inform´ atica atica

1.2. Los n´ umeros complejos.

29

´ 1.2 LECCION

Los n´ umeros complejos En principio, los n´ umeros complejos que introducimos en esta lección fueron definidos para cubrir una carencia de los n´ umeros reales: hay ecuaciones polinómicas que no tienen solució n en R; por ejemplo, no hay ning´ u n n´ umero real x, tal que x2 + 1 = 0. Esta propiedad es la que los determina, pero veremos que podremos utilizarlos para resolver o analizar otros problemas geométricos y trigonométricos. En el campo de la ingenier´ıa electrónica, los n´ umeros complejos se usan en la descripción de se˜ nales peri´ odicas y en el estudio de redes eléctricas. Antes de introducir los números complejos, es conveniente recordar algunos conceptos. En concreto, vamos a repasar los conjuntos numéricos y las propiedades que rigen las operaciones dentro de ellos. En la asignatura de Estructuras algebraicas para la computaci´ on estudiaremos con detalle la estructura y propiedades de los siguientes conjuntos, aqu´ı nos limitamos a recordar su denominaci´ on y notaci´ on. N´ umeros naturales: N´ umeros enteros:

N = 0, 1, 2, 3, . . . .

} Z = {0, 1, 2, 3, . . . }∪{−1, −2, −3, . . . }.

N´ umeros racionales:

{

Q=

ß p

™

; p, q enteros primos entre s´ı, q = 0 . q



Finalmente, el conjunto de los n´ umeros reales se denota por R, pero no es posible hacer una descripci´ on sencilla de ellos tal y como hemos hecho con los otros. Tanto el conjunto de los n´ umeros racionales como el de los reales con las operaciones de suma y producto, tienen estructura de cuerpo ordenado, es decir, en ellos se verifican las propiedades que enunciamos a continuación. Asociatividad: Todos los n´ umeros reales a, b y c verifican (a + b) + c = a + (b + c),

(a b) c = a (b c).

· ·

· ·

Existencia de elemento neutro y de unidad: el n´ umero 0 es el elemento neutro para la suma y el n´ umero 1 es la unidad para el producto, es decir, para todo n´ umero real a a + 0 = 0 + a = a, a 1 = 1 a = a

·

·

Existencia de elementos opuestos e inversos: el n´ umero a es el opuesto de a respecto de la suma, es decir, a + ( a) = ( a) + a = 0 para todo n´ umero 1 −1 real a. El n´ umero a = a es el inverso de a respecto del producto, es decir, a a1 = a1 a = 1, para todo n´ umero real a = 0.

−

·

·

−

−




30


Conmutatividad: Todos los n´ umeros reales a y b verifican a + b = b + a,

a b = b a.

·

·

Distributividad: Todos los n´ umeros reales a, b y c verifican a (b + c) = a b + a c,

·

·

·

(b + c) a = b a + c a.

·

·

·

Si aplicamos estas igualdades de derecha a izquierda, decimos que sacamos un factor com´ un . Ley de tricotom´ıa : Cada par de n´ umeros a y b verifica una y solo una de las siguientes relaciones: a = b a 0 y b > 0, entonces a + b > 0. El producto es cerrado para el orden: si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0. El alumno debe conocer estas propiedades, ya que las habr´ a usado para resolver ecuaciones e inecuaciones y para simplificar expresiones algebraicas en la resoluci´ on de m´ ultiples ejercicios. Es conveniente que, a partir de ahora, se vaya acostumbrando a sus denominaciones y a entender su significado. Como ya hemos dicho, no es posible describir f´ acilmente a los n´ umeros reales para distinguirlos de los n´ umeros racionales. Ambos conjuntos numéricos comparten las propiedades que acabamos de recordar, pero el conjunto de los n´ umeros reales posee una propiedad adicional que no tiene el de los racionales y que recogemos en el resultado siguiente. Teorema 1.2.1 Toda sucesi´ on de n´ umeros reales mon´ otona y acotada es convergente. Dejaremos para el tema 4, dedicado a las sucesiones y series de números reales, el estudio del significado y de las consecuencias de esta propiedad. ´ n 1.2.2 Observacio 1. La operaci´ on producto se expresa indistintamente con los s´ımbolos ‘ ’ o ‘ ’, aunque en este curso, solo usaremos ‘ ’. Incluso omitiremos este s´ımbolo si ello no conduce a error. Esta omisi´ on es habitual porque, normalmente, utilizamos un u ´ nico car´ acter para representar variables; de esta forma si, por ejemplo,

·

·

×



31

nos encontramos la expresi´ on ab, necesariamente tiene que corresponder al producto de a por b. Sin embargo, en los programas y lenguajes inform´ aticos, es habitual utilizar variables con varios caracteres, por lo que se hace imprescindible hacer expl´ıcito el operador producto. 2. A lo largo del curso vamos a usar muchas veces la palabra algebraico: hablamos de expresiones algebraicas para referirnos a expresiones en las que solo intervienen las operaciones de suma, diferencia, producto y cociente entre n´ umeros y variables. En el caso de expresiones que involucren funciones, tambi´ en consideraremos como algebraica la operaci´ on de composici´ on de funciones. Por otra parte, hablamos de propiedades algebraicas de un concepto, de una función o de un operador, para referirnos a las propiedades en relación con esas mismas operaciones. En el conjunto de los números reales, podemos formular ecuaciones polin´ omicas sin soluci´ on. Por ejemplo, dado que x2 0 para todo x un R, no existe ning´ 2 2 n´ umero real tal que x = 1, es decir, tal que x + 1 = 0. Los n´ umeros complejos 2 se introducen para cubrir esta limitaci´ on, y la ecuación x + 1 = 0 es la base de su definici´ on.

−

≥

∈

´ n 1.2.3 El conjunto de los n´ Definicio umeros complejos es el menor cuerpo que contiene a R y al n´ umero i que verifica i2 = 1.

−

Esta definici´ on debe considerarse intuitiva e informal; la introducci´ on formal queda fuera de los objetivos de este curso, aunque s´ı se har´ a en la asignatura de Estructuras algebraicas para la computaci´ on . El n´ umero i R se denomina unidad imaginaria . La definici´ on anterior establece que los n´ umeros complejos son expresiones algebraicas que involucran a la unidad imaginaria i y a cualquier n´ umero real. Sin embargo, las propiedades de cuerpo y la identidad i2 = 1 permitir´ an simplificar estas expresiones hasta llegar a una del tipo a + b i, en donde, a y b son n´ umeros reales; esta forma de escribir los n´ umeros complejos se denomina bin´ omica o rectangular .

∈

·

−

Ejemplo 1.2.1 Vemos a continuaci´ on dos ejemplos de como simplificar cualquier expresi´ on algebraica con complejos hasta reducirla a su forma binómica. (2 + i)(1

− 2i) = 2 − 4i + i − 2i2 (distributividad) = 2 − 4i + i + 2 (definici´ on de i) = 4 − 3i


32


En las expresiones en las que aparezca un cociente, utilizaremos un simple “truco” para conseguir su simplificaci´ on: 2+i (2 + i)(1 + 2i) 5i = = = i. 1 2i (1 2i)(1 + 2i) 5

−

−

El n´ umero a bi se denomina conjugado de a + bi; en el desarrollo anterior hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador. Al operar el nuevo denominador, obtenemos un n´ umero real, por lo que el resultado es un número en forma bin´ omica. 

−

1.2.1. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

La resoluci´ on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones es una herramienta básica en el desarrollo de m´ ultiples ejercicios tanto de matem´ aticas como de otras materias cient´ıficas. Las técnicas de resoluci´ on se basan en las propiedades de las operaciones que hemos repasado en la sección anterior. Aunque el alumno debe conocer las técnicas básicas para el estudio de ecuaciones, en los ejemplos que componen esta secci´ on establecemos algunas pautas, indicaciones y advertencias. Ejemplo 1.2.2 Vamos a resolver la ecuación

√ x =



x2 + x

− 1,

x

∈ R.

√

Antes de empezar, recordemos que, cuando trabajamos con n´ umeros reales, x representa la ra´ız positiva; de esta forma, si queremos expresar la ra´ız negativa, escribiremos x.

−√

El primer paso en la resoluci´ on es elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad para eliminar las ra´ıces, pero en los pasos siguientes deberemos tener en cuenta que la expresión que hay dentro de la ra´ız debe ser positiva: x = x 2 + x

− 1,

x

≥ 0,

De la misma forma, la ra´ız cuadrada “cancela” un cuadrado, pero el resultado debe ser positivo, por lo que el resultado debe escribirse con valor absoluto:

√ 2

a =

» |a| = |a|, para todo a ∈ 2

R.

Siguiendo con la ecuaci´ on del ejemplo: x = x 2 + x

− 1, x ≥ 0 ⇒

0 = x 2

− 1, x ≥ 0 ⇒

x = 1.

Obsérvese que, en el u ´ ltimo paso, hemos descartado la soluci´ on negativa de la ecuaci´ on. 



33

Ejemplo 1.2.3 Vamos a resolver la ecuación x3

− 2x2 + x = 0.

Un error bastante frecuente es efectuar directamente la siguiente simplificación: x2

− 2x + 1 = 0.

Hacemos esto porque dividimos ambos lados entre x, pero para hacer esto, debemos suponer que x = 0. Es preferible razonar de la siguiente forma. Sacando factor común x en la ecuación, obtenemos



x(x2

− 2x + 1) = 0,

por lo que la ecuaci´ on se convierte en dos: x2

x = 0,

− 2x + 1 = 0;

la primera es trivial y la segunda lleva a la soluci´ on x = 1. La factorizaci´ on de expresiones es, en general, una técnica bastante u´til para la resoluci´ on de ecuaciones, como podremos comprobar en las lecciones siguientes. 

Ejemplo 1.2.4 De los sistemas de ecuaciones, solo los denominados sistemas lineales son resolubles de manera mec´ anica; es decir, siempre es posible decidir si tienen o no soluciones y, en tal caso, determinarlas. Entendemos que el alumno debe conocer la teor´ıa b´ asica asociada a estos sistemas, as´ı que solo vamos a resolver un ejemplo para insistir en que el método m´ as simple y eficiente para resolverlos es el denominado método de Gauss o reducci´ on . La asignatura Estructuras algebraicas para la computaci´ on dedicará un tema a este tipo de problemas. En el desarrollo siguiente, utilizamos etiquetas para indicar para las operaciones realizadas: (e2) (e2) (e1) indica que restamos la primera a la segunda ecuaci´ on y que el resultado pasa a ser la nueva segunda ecuaci´ on.

←

   −

x+y

−z

−

   −   −  

=1

(e2)←(e2)−(e1)

x + 2y + 2z = 2 x + y + 3z =

=

⇒

⇒

2

x+y

(e3)←(e3)+(e1)

=

   −   

x+y

−z

   −   −   − =1

y + 3z = 1

x + y + 3z =

z =1

y + 3z = 1

2y + 2z =

−1

2

x+y

(e3)←(e3)−2∗(e2)

=

⇒

z =1

2y + 6z = 2


4z =

−3

  

34


El objetivo ha sido obtener un sistema “triangular”, que se resuelve fácilmente de abajo hacia arriba. (e3)

⇒

3 z = 4 (e2)

  ⇒

2y + 6

3 =2 4

⇒

y =

− 54 (e1)

   ⇒

x

− 45 − 43 = 1 ⇒

x = 3 

Para los sistemas no lineales, no disponemos de algoritmos similares al de Gauss para calcular, si existe, la soluci´ on de cualquier sistema. En estos casos, solo podemos utilizar “heur´ısticas”, es decir, reglas que, sin ser generales, son aplicables a muchos casos y, por lo tanto, es recomendable utilizarlas en primer lugar. No obstante, solo la experiencia y la intuición ayudar´ an a abordar con éxito este tipo de problemas. 1. Sustituci´ on: Buscamos una ecuaci´ on que permita despejar fácilmente una variable, directamente o a partir de una factorizaci´ on que divida el sistema en varios casos. La variable despejada se sustituye en el resto de las ecuaciones, obteniendo uno o varios sistemas con menos variables. 2. Igualaci´ on: Si una de las variables se puede despejar en todas las ecuaciones en las que aparece, podemos hacerlo y a partir de ah´ı, generar por igualaci´ on un sistema equivalente pero con menos variables. 3. Reducci´ on: Este método de simplificaci´ on consiste en sumar o restar ecuaciones, posiblemente multiplicadas por constantes o por expresiones; el proceso es similar al utilizado en sistemas lineales. Aunque no consigamos eliminar una variable, intentaremos reducir de esta forma la complejidad de las ecuaciones antes de aplicar las otras técnicas. En los ejemplos siguientes mostramos c´ omo aplicar las técnicas anteriores. Ejemplo 1.2.5 Para resolver el sistema

 

x2

− y = 5 3x − y = 1

,

nos fijamos en la segunda ecuaci´ on, que permite despejar fácilmente una variable en funci´ on de la otra. (e2)

⇒

y = 3x

(e1) x 2

−1

− y = 5

 

⇒

x2

− 3x + 1 = 5 ⇒

x = 4, x =

−1



35

Debemos tener cuidado al escribir las soluciones de un sistema y asociar correctamente los distintos valores que tome cada variable. En este ejemplo, x = 4 conduce a y = 11 y x = 1 conduce a y = 4; por lo tanto, debemos escribir las soluciones dejando claras las asociaciones correctas:

−

−

{x1 = 4, y1 = 11},

{x2 = −1, y2 = −4}.



En los sistemas de ecuaciones lineales caben tres posibilidades: que no tengan soluci´ on, que tengan solamente una solución o que tengan infinitas soluciones. Como podemos ver en el ejemplo anterior, en los sistemas no lineales tenemos m´ as posibilidades y puede haber más de una soluci´ on aunque estas no sean infinitas. Ejemplo 1.2.6 En el sistema

  

2x

− xy = 0 x − yz = 0

x2 + y2 + z 2 = 1,

x, y, z

∈ R,

elegimos en primer lugar la primera ecuación para factorizarla, sacando x como factor com´ un: 0 = 2x xy = x(2 y).

−

−

De esta forma, obtenemos dos posibilidades, o bien x = 0, o bien y = 2, lo que permite simplificar las otras ecuaciones para obtener dos sistemas m´ as sencillos:

(1)

  

x = 0 y

yz = 0

(2)

y2 + z2 = 1

  

y = 2 x

− 2z = 0

x2 + 4 + z 2 = 1

La segunda ecuaci´ on de (1), conduce a dos posibilidades, o bien y = 0, o bien z = 0, que generan dos sistemas triviales:

(1.1)

  

x = 0 y = 0

y

(1.2)

z2 = 1

Las soluciones obtenidas a partir de estos son

{x1 = 0, y1 = 0, z1 = −1}, {x3 = 0, y3 = −1, z3 = 0},

  

x = 0 z = 0 y2 = 1

{x2 = 0, y2 = 0, z2 = 1}, {x4 = 0, y4 = 1, z4 = 0}.

El sistema (2) no tiene soluciones en R, ya que su tercera ecuación es equivalente a x2 + z 2 = 3. 

−


36


Ejemplo 1.2.7 Vamos a resolver el sistema

 

xy2

− y + 1 = 0 x2 y − x + 2 = 0

usando reducci´ on . Si multiplicamos la primera ecuaci´ o n por x y la segunda por y, obtenemos x2 y2

− xy + x = 0 x2 y2 − xy + 2y = 0 (Esta operaci´ on puede a˜ nadir soluciones tales x = 0 o y = 0, que deberemos comprobar sobre el sistema inicial). Ahora podemos eliminar los t´ erminos x2 y2 y xy restando las dos ecuaciones para llegar a que 2y x = 0. Esta ecuació n es m´ as simple que cualquiera de las iniciales y, en particular, permite expresar x en funci´ on de y: x = 2y; llevando esta igualdad a la primera ecuación del sistema inicial, obtenemos 2y3 y + 1 = 0

−

−

Buscamos soluciones de esta ecuaci´ on entre los divisores del término independiente y deducimos que y = 1 es una soluci´ on; por lo tanto,

−

0 = 2y 3

− y + 1 = (y + 1)(2y2 − 2y + 1). Para resolver la ecuación 2y2 − 2y + 1 = 0 utilizamos la f´ ormula que ya conocemos para ecuaciones de segundo grado: y =

2

± √ 4 − 8 = 2 ± √ −4 = 2 ± 2i = 1 ± 1 i 4

4

4

2

2

Por lo tanto, las soluciones del sistema son:

{y1 = −1,

x1 =

−2}, {y2 = 21 + 12 i,

} {y3 = 21 − 21 i,

x2 = 1 + i ,

x3 = 1

− i}.



Ejemplo 1.2.8 Vamos a resolver el sistema

  

x2 + y2 = 1 x = yz y = xz + 1

La variable z aparece en las ecuaciones segunda y tercera, y en ambas podemos despejarla f´ acilmente: x y 1 z = , z = . (1.1) y x

−



37

Dado que hemos dividido entre x e y, posteriormente tendremos que analizar los casos en que x = 0 o y = 0. Aplicando igualaci´ on en (1.1) obtenemos x y 1 = y x

−

x2

⇒

− y2 + y = 0,

por lo que nuestro sistema inicial se ha convertido en x2 + y2 x2

−1 =0

− y2 + y = 0

Ahora vemos que podemos simplificar f´ acilmente el término x2 restando las dos ecuaciones, para llegar a una ecuaci´ on en y: 2y2

−y−1=0

Utilizando la primera ecuaci´ on, x2 + y 2 resoluci´ on:

{y1 = 1, x1 = 0, z1 = 0},

y = 1, y =

⇒

{y2 = −

−1 .

− 1 = 0, y que z √

1 3 , x2 = , z2 = 2 2

2

=

√ − 3},

{y3 = −

1 , x3 = 2

x y,

completamos la

−√ 3 , z3 = √ 3}. 2

Finalmente, debemos analizar qu´ e ocurre si x = 0 o y = 0. El caso x = 0 conduce f´ acilmente a la primera soluci´ on obtenida anteriormente. Por la segunda ecuaci´ on, si y = 0, entonces x = 0, lo cual es imposible atendiendo a la primera ecuaci´ on del sistema inicial. 

1.2.2. Teorema fundamental del ´ algebra

Este resultado recoge la propiedad que anunciábamos al principio de la lecci´ on y que caracteriza al cuerpo de los números complejos. ´ Teorema 1.2.4 (Teorema fundamental del Algebra) Toda ecuaci´ on polin´ omica con coeficientes en C tiene soluci´ on en C. Equivalentemente, todo polinomio de grado mayor o igual que 1 con coeficientes en C puede factorizarse en factores de grado menor o igual a 1: P (z) = z0 (z en donde, z0 , z1 , . . . , zn

− z1)m

1

. . . (z

− zn)m , n

∈ C.


38


Los n´ umeros complejos z 1 , . . . , zn en el teorema anterior se denominan ra´ıces o ceros del polinomio P y son igualmente las soluciones de la ecuaci´ on polin´ omica P (z) = 0. Para cada zi , el n´ umero natural m i se denomina multiplicidad de la ra´ız o cero. Una de las lecciones de este tema está dedicada al estudio de los polinomios, pero entendemos que el alumno debe conocer la teor´ıa b´ asica y en particular la relación entre factorizaci´ on de polinomios y ecuaciones polinómicas que se utiliza en este teorema. Ejemplo 1.2.9 El polinomio x2 + 1 es irreducible en R, pero admite la siguiente factorizaci´ on en C: x2 + 1 = x 2 i2 = (x + i)(x i). 

−

−

Decimos que un polinomio est´ a factorizado en R si est´ a escrito como producto de polinomios con coeficientes en R y que tienen grado menor o igual que 1 o bien grado 2 pero son irreducibles. Decimos que est´ a factorizado en C si est´ a escrito como producto de polinomios con coeficientes en C, siendo todos ellos de grado menor o igual a 1. Ejemplo 1.2.10 La ecuación x 4 + 1 = 0 no tiene soluciones reales y por lo tanto la factorizaci´ on de x4 + 1 en R tiene la siguiente forma x4 + 1 = (x2 + Ax + B)(x2 + Cx + D ),

A, B, C, D

∈R

Expandiendo el lado derecho de la igualdad y agrupando los términos obtenemos x4 + 1 = x 4 + (A + C )x3 + (B + AC + D )x2 + (AD + BC )x + BD . Ahora vamos a usar una propiedad que ya debe conocer el alumno, pero que recordaremos m´ as adelante en el teorema 1.4.1 (p´ agina 60): dos polinomios son iguales si y solo si los coeficientes correspondientes a los términos del mismo grado son iguales. Aplicando esto, obtenemos el sistema A + C = 0,

B + AC + D = 0,

AD + BC = 0,

BD = 1.

Este sistema se puede resolver f´ acilmente porque proviene de un polinomio sin t´ ermino de tercer grado, pero para ello, conviene seguir el camino que indicamos a continuaci´ on. De la primera ecuaci´ on deducimos que C = A, y sustituyendo C por A en las dos ecuaciones centrales obtenemos:

−

−

D + B = A 2 A(D

− B) = 0 E.T.S.I.Inform´ atica


39

De la segunda ecuación deducimos que, o bien A = 0 o bien D B = 0. El caso A = 0 conduce a una contradicci´ on, ya que el sistema se reduce a B +D = 0, BD = 1 2 y de aqu´ı a B = 1, lo que es imposible al estar trabajado en R. Seguimos a partir de D B = 0 y nos fijamos en la siguiente parte del sistema

−

−

−

D + B = A2

− B = 0;

D

a partir de él, sumando y restando las ecuaciones, podemos expresar f´ acilmente las inc´ ognitas D y B en función de A: A2 A2 D = , B = . 2 2 Sustituyendo en la u ´ ltima ecuaci´ on del sistema inicial, BD = 1, obtenemos una ecuaci´ on en A con la que podemos determinar su valor: A2 A 2 =1 2 2 A4 = 4

·

A =

√ ± 2

A partir de aqu´ı, se termina la resoluci´ on f´ acilmente para obtener dos posibles soluciones: A = 2, B = 1, C = 2, D = 1; o bien A = 2, B = 1, C = 2, D = 1. Las dos soluciones conducen a la misma factorizaci´ on en R:

√

−√

−√

√

x4 + 1 = (x2 + x 2 + 1)(x2

√ − x 2 + 1).

√



Dado que todas las magnitudes f´ısicas se pueden medir con n´ umeros reales, se podr´ıa pensar que los n´ umeros complejos solo son un objeto matem´ atico abstracto sin interés práctico. Sin embargo, la utilidad de estos n´ umeros no está en la descripción de magnitudes f´ısicas, sino que constituyen una herramienta para resolver problemas algebraicos y geométricos. En el ejemplo anterior, hemos factorizado un polinomio en R usando solamente n´ umeros reales; en el siguiente ejemplo, vamos a resolver el mismo ejercicio pero ayud´ andonos de los n´ umeros complejos. Ejemplo 1.2.11 Vamos a factorizar el polinomio P (x) = x 4 +1 en C y en R. Introduciendo n´ umeros complejos, podemos realizar f´ acilmente la siguiente factorizaci´ on: x4 + 1 = x 4

− i2 = (x2 − i)(x2 + i). Para seguir factorizando, resolvemos las ecuaciones x2 − i = 0 y x2 + i = 0. Para la primera, buscamos x = a + bi tal que (a + bi)2 = i, es decir, (a + bi)2 = i a2

− b2 + 2abi = i


40


A partir de esta igualdad, comparando las partes reales e imaginarias, construimos el siguiente sistemas de ecuaciones en R: a2

− b2 = 0, 2ab = 1, √ √ √ √ cuyas soluciones son { a1 = 1/ 2, b1 = 1/ 2, }, {a2 = − 1/ 2, b2 = − 1/ 2, }; es decir, las soluciones de x2 − i = 0 son −1 − √ 1 i. √ 12 + √ 12 i, √ 2 2 Siguiendo el mismo método, obtenemos las soluciones de x2 + i = 0:

−1 + √ 1 i. √ 12 − √ 12 i, √ 2 2 En consecuencia, la factorizaci´ on en C del polinomio x4 + 1 es

Ç

x4 + 1 = x

1 2

1 i 2

− √ − √

åÇ

1 1 x+ +i 2 2

√

√

Ç

å

x

1 1 +i 2 2

− √

√

åÇ

1 x+ 2

1 i 2

√ − √

å

.

Emparejando adecuadamente los factores, es f´ acil obtener la factorizaci´ on en R:

Ç

åÇ 1 1 å √ − √ x + √ 2 + i √ 2 Ç åÇ 1 1 å − √ − √ x − √ 2 + i √ 2 Ç 1 å 1 Ç 1 å 1 

1 1 x +1 = x+ 1 i 2 2 1 1 x i 2 2 4

2

=

x+

√ 2 √

2

+

2

= (x2 + x 2 + 1)(x2

x

− √ 2

√ − x 2 + 1).

+

2



El esquema seguido en este ejemplo es muy habitual en matemáticas: para resolver un problema en R, lo estudiamos antes en C para aprovecharnos de las propiedades adicionales; posteriormente volvemos a R para dar las soluciones deseadas. A lo largo del tema veremos más ejemplos de esta metodolog´ıa. También nos hemos encontrado en estos dos ejemplos con algo que ser´ a muy recurrente en matemáticas: los problemas admiten distintos caminos para llegar a su soluci´ on. Debemos aprender las distintas herramientas y métodos alternativos y saber elegir en cada momento el m´ as adecuado y simple. Ejemplo 1.2.12 En general, la resoluci´ on de ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones puede hacerse utilizando los mismos métodos que empleamos para ecuaciones y sistemas en el cuerpo de los reales. Esto se debe a que las transformaciones



41

Im y

z = x + y i

·

|z | Arg(z) Re

x

Figura 1.2: Representaci´ on gr´ afica de los n´ umeros complejos y simplificaciones necesarias son consecuencia de las propiedades de cuerpo. Vemos a continuaci´ on un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales que resolvemos utilizando el método de reducci´ on . ix y = 2

ix

−y

=2

2x + y = i

 

(e1)←2∗(e1)

 

−

2x + y = i

2ix

⇒

− 2y

=4

2ix + iy =

Terminamos de despejar y: y =

−5

2+i

=

−1

 

(e2)−(e1

⇒

(2 + i)y =

−5

−10 + 5i = −10 + 5i = −2 + i. (2 + i)(2 − i) 4+1

Y utilizando la segunda ecuación inicial, determinamos x: x =

i

−y = i+2 −i =1 2



2

1.2.3. Funciones destacadas.

Si z = x + iy umero x se denomina parte real de z, C, con x, y R, el n´ Re(z) = x, mientras que y se denomina parte imaginaria , Im(z) = y. La figura 1.2 muestra la representaci´ o n habitual de los n´ umeros complejos como puntos en el plano, de forma que la abscisa se corresponde con la parte real y la ordenada se corresponde con la parte imaginaria. La longitud del segmento que une el origen de coordenadas y el n´ umero complejo se denomina m´ odulo, z , y el ángulo que forma este segmento con la parte positiva del eje OX , se denomina argumento principal , Arg(z). La siguiente definici´ on introduce formalmente todas estas funciones; en ella hacemos uso de la siguiente notaci´ on: C∗ = C 0 . En general, el super´ındice sobre cualquier conjunto numérico, indica que excluimos al n´ umero 0.

∈

∈

| |

{}


∗

42


´ n 1.2.5 Definicio En las definiciones siguientes, x, y

∈ R, z ∈ C:

Conjugado de un n´ umero complejo: ¯: C

· → C,

x + iy = x

− iy

Parte real de un n´ umero complejo: Re: C

→ R,

1 Re(z) = (z + z¯) 2

Re(x + iy) = x,

Parte imaginaria de un n´ umero complejo: Im : C

→ R,

Im(x + iy) = y,

Im(z) =

1 (z 2i

− z¯)

M´ odulo de un n´ umero complejo: +

| · |: C → R

» |x + iy| = x + y ; 2

,

2

|z| = √ zz¯

Argumento principal de un n´ umero complejo: Arg: C∗ Si x = 0, entonces Arg(iy) =

→ [0, 2π).

π 3π , si y > 0, Arg(iy) = , si y < 0; 2 2

si y = 0, entonces Arg(x) = 0, si x

≥ 0, Arg(x) = π, si x < 0;

y, en cualquier otro caso, Arg(x + iy) = θ, en donde tg θ =

y y: x

θ

∈ [0, π] si y ≥ 0 θ ∈ (π, 2π) si y < 0 Obs´ ervese que, por su definici´ o n, el m´ o dulo de un n´ umero complejo es siempre positivo y su argumento principal es un ańgulo entre 0 y 2π. Ejemplo 1.2.13 1. Re(3 2i) = 3

− 2. Im(−1 + i) = 1 √ √ 3. |1 − i| = 1 + 1 = 2 E.T.S.I.Inform´ atica


43

3π 3π 4. Arg( 1+ i) = : los dos ángulos entre 0 y 2π cuyas tangentes son 1 son 4 4 7π y , pero dado que la parte imaginaria es positiva, el argumento principal es 4 el primero de ellos. 

−

−

´ n 1.2.6 El operador conjugado verifica las siguientes propiedades: Proposicio z + w = z + w,

z w = z w.

·

·

La demostraci´ on de esta proposici´ on es una simple comprobación que deber´ıa ser f´ acilmente desarrollada por el estudiante. La principal consecuencia de esta propiedad es la siguiente. ´ n 1.2.7 Si P (x) es un polinomio con coeficientes en R y z Proposicio ra´ız de P , entonces z también es ra´ız de P .

∈ C es una

En el ejemplo 1.2.11 de la p´ agina 39 hemos calculado las ra´ıces del polinomio P (x) = x 4 + 1,

−1 − √ 1 i, √ 1 − √ 1 i, √ −1 + √ 1 i, √ 12 + √ 12 i, √ 2 2 2 2 2 2 y es fácil observar que se verifica la propiedad de la proposici´ on anterior, cuya demostraci´ on general es bastante simple. Supongamos que P (x) = a n xn +

· · · + a1x + a0,

y que z C es ra´ız de P ; en el desarrollo siguiente, solo utilizamos la proposici´ on anterior y que el conjugado de un n´ umero real es él mismo:

∈

an z n +

· ·· + a1z + a0 = 0 an z n + · ·· + a1 z + a0 = 0 an · z n + ·· · + a1 · z + a0 = 0 an z n + · ·· + a1 z + a0 = 0 Por lo tanto, efectivamente z también es ra´ız del polinomio. Ejemplo 1.2.14 Vamos a resolver la ecuación z z¯ + 3(z

− z¯) = 13 + 12i

En esta ecuación aparece la función conjugado y, por lo tanto, no son suficientes las propiedades algebraicas, as´ı que necesitamos un tratamiento espec´ıfico. Podemos utilizar dos métodos:


44


1. Si sustituimos z por x+iy, convertimos la ecuaci´ on en un sistema de ecuaciones reales cuyas soluciones son la parte real y la parte imaginaria de las soluciones de la ecuación inicial. Este es el m´ etodo que hemos seguido en la ecuaci´ on 2 x i = 0 del ejemplo 1.2.11 (página 39).

−

2. Aplicando el operador conjugado a la ecuaci´ on inicial, obtenemos una segunda ecuaci´ on; podemos considerar las dos ecuaciones como un sistema de ecuaciones en C, de cuyas soluciones extraemos la soluci´ on de la ecuaci´ on inicial. Vamos a aplicar el segundo m´ etodo a la ecuaci´ on propuesta para aclarar su funcionamiento. Si aplicamos el operador conjugado a los dos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de la proposici´ on 1.2.6 obtenemos: z¯z + 3(¯ z

− z) = 13 − 12i

Si sustituimos z¯ por w en ambas ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema en z y w: zw + 3(z

− w) = 13 + 12i wz + 3(w − z) = 13 − 12i Para resolverlo, basta con sumar y restar las dos ecuaciones, lo que nos lleva a un sistema equivalente pero más sencillo: 6z

− 6w = 24i

(diferencia)

2zw = 26 (suma)

De la primera ecuación, deducimos que w = z 4i, por lo que la segunda ecuación se convierte en z2 4iz 13 = 0,

−

− − √ 4i ± −16 + 52 cuyas soluciones son z = = ±3 + 2i. 2



1.2.4. Exponencial compleja y f´ ormula de De Moivre

Una representación alternativa para los n´ umeros complejos se obtiene al usar la funci´ on exponencial. Para introducirla, necesitamos en primer lugar, extender la definici´ on de esta funci´ on a todos los n´ umeros complejos. ´ n 1.2.8 Definimos la funci´ Definicio on exponencial en el cuerpo de los n´ umeros complejos como: ex+iy = ex (cos y + i sen y).



45

Es evidente que esta definición es coherente con la exponencial sobre n´ umeros reales, ya que si y = 0: ex+iy = ex (cos y + i sen y) = ex (cos0 + i sen 0) = ex La otra razón por la que esta función se denomina exponencial es que comparte las propiedades algebraicas de su versi´ on real. ´ n 1.2.9 Proposicio 1. ez ew = e z+w , para todo z, w 2. (ez )n = enz , para todo z

∈ C.

∈ C y todo n ∈ N

Demostraci´ on: Solo es necesario probar la primera propiedad, ya que la segunda

es consecuencia de ella. La demostraci´ on hace uso, solamente, de las f´ ormulas del seno y coseno de la suma de ángulos. Consideramos z = x 1 + iy1 , w = x 2 + iy2 , ez ew = ex1 ex2 (cos y1 + i sen y1 )(cos y2 + i sen y2 ) = ex1 +x2 (cos y1 cos y2

− sen y1 sen y2

+ i(sen y1 cos y2 + cos y1 sen y2 )) = ex1 +x2 (cos(y1 + y2 ) + i sen(y1 + y2 )) = ex1 +x2 ei(y1 +y2 ) = ez+w

♠

Si z = r y Arg(z) = θ, entonces

| |

z = r cos θ + i r sen θ = r(cos θ + i sen θ) = reiθ . La expresión reiθ se denomina forma exponencial del n´ umero z, que se determina a partir de su m´ odulo y su argumento principal. Una representaci´ on alternativa a partir de estas dos componentes es la forma polar y que se suele escribir como rθ ; las dos representaciones son equivalentes en cuanto a sus consecuencias pr´ acticas, pero preferimos utilizar la forma exponencial, ya que la manipulaci´ on de la misma se basa en las propiedades ya conocidas de la función exponencial. Ejemplo 1.2.15 1. 1 = eiπ , ya que

− | − 1| = 1 y Arg(−1) = π. 2. −i = ei3π/2 , ya que | − i| = 1 y Arg(−i) = 3π/2. √ 3. 1 − i = 2ei7π/4 .




46


La igualdad eiθ = cos θ + i sen θ, se conoce como igualdad de Euler y aplicada a θ = π conduce a una identidad que relaciona las constantes matemáticas m´ as importantes: eiπ + 1 = 0 Como consecuencia del segundo apartado de la proposici´ on 1.2.9, obtenemos que (eiθ )n = einθ y a partir de aqu´ı, deducimos la f´ ormula de De Moivre. ´ rmula de De Moivre) Para todo n´ Corolario 1.2.10 (F o umero natural n y todo real θ: (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ. Una importante aplicaci´ on de esta fórmula es obtener expresiones para simplificar funciones trigonométricas, seg´ un mostramos en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.2.16 Si expandimos la igualdad de De Moivre para n = 2 obtenemos: cos2θ + i sen 2θ = (cos θ + i sen θ)2 = cos2 θ + 2i sen θ cos θ

− sen2 θ

Fijándonos en la parte real y en la parte imaginaria, deducimos: cos2θ = cos2 θ

− sen2 θ

sen2θ = 2 sen θ cos θ

Es decir, hemos obtenido expresiones para escribir el seno y el coseno del múltiplo de un ángulo en terminos del seno y el coseno del mismo ángulo. En combinaci´ on con el binomio de Newton que estudiamos en la lección siguiente, podemos obtener fórmulas similares para cualquier m´ ultiplo. Este tipo de igualdades son u´tiles para simplificar expresiones en las que intervengan distintos m´ ultiplos de un mismo ángulo. 

Ejemplo 1.2.17 En otras ocasiones, nos interesará un proceso opuesto al del ejemplo anterior, es decir, reducir potencias de funciones trigonométricas a expresiones en términos del seno y coseno de m´ ultiplos del ańgulo. Para deducir estas expresiones partimos de las igualdades eix + e−ix 2 ix e e−ix sen x = 2i cos x =

−

(1.2)



47

que se deducen fácilmente sumando y restando respectivamente, las siguientes: eix = cos x + i sen x e−ix = cos x

− isen x

Vemos a continuaci´ on un ejemplo de como usar las igualdades (1.2) para el objetivo buscado. 2

sen θ =

Çe

iθ

iθ

−

−e 2i

2

å

− 14 (e2iθ − 2eiθ e iθ + e 2iθ ) 1 = − (e2iθ − 2 + e 2iθ ) 4 1 = − ((e2iθ + e 2iθ ) − 2) 4 1 1 − cos2θ = − (2 cos(2θ) − 2) = 4 2 −

=

−

−

−

En combinaci´ on con el binomio de Newton que estudiamos en la lecci´ on siguiente, podemos obtener f´ ormulas similares para cualquier potencia. 

Ejemplo 1.2.18 Otra de las aplicaciones de la fórmula de De Moivre es el cálculo de las ra´ıces de los n´ umeros complejos, que nos aparecen en la resoluci´ on de ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular los n´ umeros complejos w, tales que w4 = 1; es decir, las ra´ıces cuartas de 1 y ra´ıces del polinomio P (z) = z 4 + 1. Para calcularlas, partimos de la forma exponencial de 1,

−

−

−1 = eπi,

k

−

∈ Z.

Sin embargo, el ańgulo π no es el u ´ nico que permite obtener una igualdad similar a la anterior; en general tenemos que:

−1 = e i(π+2kπ) Las ra´ıces w = reθi que buscamos verifican entonces que: w4 = r 4 e4iθ =

−1 = ei(π+2kπ).

De donde deducimos que r = 1 y 4iθ = i(π+2kπ). De la segunda igualdad, deducimos que solo cuatro valores de θ son argumentos principales de n´ umeros complejos, los correspondientes a k = 0, 1, 2, 3: θ0 =

π , 4

θ1 =

3π , 4

θ2 =

5π , 4

θ3 =

7π 4


48


z =

w1

w0

w2

w3

−1

Figura 1.3: Ra´ıces cuartas de z = En consecuencia, w0 = eiθ0

−1 tiene cuatro ra´ıces cuartas: 1 1 = eiπ/4 = √ + i √ , w1 = eiθ 2 2

−1

1

w2 = eiθ2 = e5iπ/4 =

− √ 12 − i √ 12 ,

w3 = eiθ3

− √ 12 + i √ 12 , 1 1 = e7iπ/4 = √ − i √ 2 2 = e3iπ/4 =

En la figura 1.3, se puede ver la representación de estas ra´ıces en el plano complejo. Por otra parte, en el ejemplo 1.2.11 (página 39), resolvimos el mismo problema a partir de la ecuaci´ on polin´ omica; como ya hemos mencionado antes, debemos acostumbrarnos a que un mismo problema puede resolverse de varias formas y debemos aprender a elegir la forma más adecuada seg´ un los datos concretos. 

Teorema 1.2.11 Para cada n´ umero complejo z = reiθ existen n numeros complejos distintos w0 , . . . , wn−1 que verifican wkn = z. Estos n´ umeros complejos son:

√ w = r exp k

n



θ + 2kπ i , n



k = 0, 1, 2, . . . , n

−1

Hemos utilizado en este enunciado una notaci´ on alternativa para la funci´ on exponencial exp(x) = ex , que es de gran ayuda cuando escribimos expresiones grandes en el exponente.


1.3. El binomio de Newton.

49

´ 1.3 LECCION

El binomio de Newton En esta lecci´ on, introducimos la f´ ormula del binomio de Newton para calcular cualquier potencia de una suma de expresiones y que generaliza la siguiente: (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 Para expandir una potencia como (a + b)7 , bastar´ıa con multiplicar siete veces la expresi´ on (a + b), eliminando los paréntesis adecuadamente con la propiedad distributiva; el binomio de Newton es simplemente una f´ ormula que nos “ahorra” este trabajo. Para poder entender la fórmula, necesitamos introducir algunos operadores que usaremos a lo largo de este curso. ´ n 1.3.1 (Factorial) Definimos el factorial de un n´ Definicio umero natural n, denotado por n!, como sigue: 0! = 1 n! = (n

− 1)! · n

para todo n

≥1

Esta forma de definir una funci´ on se denomina recursiva : la definici´ on llama al mismo operador que se define, pero aplicado a un n´ umero menor, hasta llegar a un caso base , en este caso 0!. Otra forma de escribir la definici´ on del operador es n! = 1 2 3 . . . n,

para todo n > 0

· · · ·

Ejemplo 1.3.1 0! = 1, 1! = 1,

2! = 1 2 = 2,

·

,

3! = 1 2 3 = 6

· ·

10! = 1 2 3 . . . 10 = 3 628 800

· · · ·



´ n 1.3.2 (Nu ´meros combinatorios) Sean n y k dos n´ Definicio umeros naturales n tales que 0 k n. Se define el número combinatorio , que se lee “ n sobre k k”, como n n! = (1.3) k k! (n k)!

Çå

≤ ≤

Çå

· −

Ejemplo 1.3.2 1.

Ç10å 7

=

10! 10 9 8  7! 10 9 8 10 9 8 = = = = 10 3 4 = 120 7! 3! 3! 3 2 7! 3! 

·

· · · ·

· ·

· · ·

· ·


50


2.

Ç0å

3.

Çnå

=

n! n! = =1 0! n! n!

4.

Çnå

=

n! n! = =1 n! 0! n!

5.

Çnå

0

=

0

n

0! =1 0! 0!

·

·

·

n! = = k k! (n k)!

· −

Çnå n



−k

La forma habitual de calcular los n´ umeros combinatorios es la que se ha utilizado en el apartado 1 del ejemplo anterior, es decir, se expande parcialmente el factorial del numerador y se simplifica con el numerador. Esto lo podemos hacer de forma general para obtener una expresión alternativa para los n´ umeros combinatorios.

Çnå

n! n(n = = k k! (n k)!

· −

 − 1) . . . (n − k + 1) ·  −  k)! (n  =  k! ·  (n  −  k)! n(n − 1) . . . (n − k + 1) =

k!

(1.4)

Esta f´ ormula es aplicable incluso si n es un n´ umero real, sea o no mayor que k, lo que permite generalizar la definici´ on de los n´ umeros combinatorios. ´ n 1.3.3 (Nu ´ meros combinatorios) Sea x un n´ Definicio umero real y k un n´ umex ro natural. Se define el n´ umero combinatorio , que se lee “ x sobre k”, como k

Çå

Çxå 0

= 1,

Çxå k

=

x(x

− 1) . . . (x − k + 1) si k > 0 k!

Para recordar esta fórmula, es u ´ til tener en cuenta que el n´ umero de factores en el numerador debe ser exactamente k. Ejemplo 1.3.3

Ç1/3å 4

=

(1/3) ( 2/3) ( 5/3) ( 8/3) = 4!

·−

·−

·−

10 − 342·  ·45· ·3  8·  2 = −243



Igual que para el factorial, es posible definir el operador “sobre k” de forma recursiva sobre el natural k. Aunque tal definición no es necesaria para evaluarlo



51

normalmente, es conveniente conocer este tipo de definiciones para poder implementarlas con lenguajes de programaci´ on. Una posible definici´ on es la siguiente:

Çxå = 1 0 Çxå x − k + 1 Ç x å k

=

k

k

−1

, si k > 0

La siguiente propiedad es la m´ as importante de los n´ umeros combinatorios, siendo el fundamento del tri´ angulo de Tartaglia-Pascal , que veremos a continuación, y del binomio de Newton . ´ n 1.3.4 Para todo x Proposicio

∈ R y todo k ∈ N:

Çxå Ç x å Çx + 1å k

+

k + 1

=

k + 1

Ejemplo 1.3.4 En este ejemplo, mostramos c´ omo se llega a esta igualdad en un caso particular; por esta razón, evitamos la realizaci´ on de la mayor´ıa de los c´ alculos intermedios. Este tipo de desarrollos nos ayudan a entender demostraciones generales, en las que manejamos variables y parámetros en lugar de n´ umeros concretos.

Ç8å Ç8å 3

+

8 7 6 8 7 6 5 4 8 7 6 8 7 6 5 + = + = 4 3! 4! 4 3! 4! 4 8 7 6 + 8 7 6 5 (4 + 5) 8 7 6 9 8 7 6 = = = = 4! 4! 4! =

· ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · · · · · · · · · · · ·

Ç9å 4



A la vista de este ejemplo, deber´ıa ser fácil entender la demostraci´ on de la proposici´ on 1.3.4:

Çxå Ç x å k

+

=

k + 1 x (x

=

· − 1) · ·· (x − k + 1) + x · (x − 1) · ·· (x − k + 1) · (x − k) =

k! (k + 1)! (k + 1) x (x 1) (x k + 1) x (x 1) (x k) = + = (k + 1) k! (k + 1)! (k + 1 + x k) x (x 1) (x k + 1) = = (k + 1)! (x + 1) x (x 1) (x k + 1) x+1 = = (k + 1)! k + 1

· · − ··· − · − ··· − · − · · − ··· − · · − ··· −

Ç å

La propiedad 1.3.4 permite calcular los n´ umeros combinatorios usando una representaci´ on geométrica que se donomina tri´ angulo de Tri´ angulo de Tartaglia-Pascal.


52


Tartaglia o tri´ angulo de Tartaglia-Pascal . Construimos este tri´ angulo colocando en 0 el vértice superior, el n´ umero 0 y debajo de él colocamos los n´ umeros 10 y 11 ; formamos as´ı un primer tri´ angulo con solo tres n´ umeros. A partir de aqu´ı, vamos a˜ nadiendo nuevas filas usando la siguiente regla: debajo de cada par de números, colocamos su suma:





 

 

n k

n k+1



   n k

n k+1

+



Prop. (1.3.4)

=

 n k

  n k+1



 



n+1 k+1





Adicionalmente, cada fila se comienza con n0 = 1 y se termina con nn = 1. Vemos a continuaci´ o n el tri´ angulo resultante hasta la quinta fila, a la izquierda con los números combinatorios indicados y a la derecha con los valores resultantes.

                     0 0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

5 1

1 1

2 1

3 1

4 1

1

2 2

3 2

4 2

5 2

1

5 3

1

3 3

4 3

1

4 4

5 4

5 5

1

1 1

2 3

3

4 5

1

6 10

1 4

10

1 5

1

Ademas de los n´ umeros combinatorios, necesitamos introducir el operador o sumatorio, que se utiliza para expresar sumas con un cantidad variable de sumandos: Operador sumatorio.

  n

f (k) = f (m) + f (m + 1) +

k=m

· · · + f (n)

Los sumandos se expresan en función de una variable k que tomará valores entre dos n´ umeros naturales m y n tales que m n. Este operador es frecuente en los lenguajes de programaci´ on, en los que toma una sintaxis similar a

≤

(f (k), k , m , n)

sum

Este operador será usado muchas veces en esta y otras asignaturas de la carrera, por lo que el alumno tendr´ a muchas ocasiones para practicar y aprender a manejarlo correctamente. Vemos a continuaci´ on algunos ejemplos sencillos pero que ayudarán a entender algunas propiedades de este operador.



53

Ejemplo 1.3.5 1. La variable utilizada como ´ındice de cada sumando no influye en el resultado y podremos cambiarla por la letra que deseemos siempre que no interfiera en el resto del problema. Por ejemplo, en los sumatorios siguientes utilizamos ´ındices distintos pero obtenemos el mismo resultado: 10

 

k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

k=1 10

i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

i=1

2. Obtenemos un ejemplo curioso, pero bastante frecuente, cuando el ´ındice no 10



aparece en la expresión del sumatorio, por ejemplo,

2: esta expresi´ on tiene

k=1

10 sumandos, pero ninguno depende de k, todos valen 2, y por lo tanto: 10



2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 2

·

k=1

3. Un sumatorio no es m´ as que una suma, y por lo tanto le podemos aplicar las propiedades de esta operación. Por ejemplo, la siguiente igualdad no es más que la aplicaci´ on de la propiedad asociativa:

     8

4

8

k =

k=1

k +

k

k=1

k=5

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (1 + 2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8) 4. De la misma forma, si la expresi´ on que hay dentro del sumatorio es tambi´ en una suma, las propiedades de asociatividad y conmutatividad nos permitir´ an manipulaciones como la mostrada en el siguiente ejemplo: 4



    4

(k + 1) =

k=1

4

k +

k=1

1

k=1

(1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 1 + 1 + 1) Usaremos la igualdad anterior de derecha a izquierda para unificar la suma de dos sumatorios. En tal caso, tendremos que asegurarnos de que el rango del ´ındice es el mismo en los dos; una forma de conseguir esto, es apartando los sumandos que sea necesario:

    5

6

k +

k=1

k

k=2

2

    5

= 1+

5

k +

k=2

k 2 + 36 =

k=2

= 1+

 5



(k + k2 ) + 36

k=2


54


5. Otra propiedad asociada a la suma es la distributividad, que tambi´ en admite una formulaci´ on muy u ´ til en combinaci´ on con los sumatorios. 5



5

2k = 2

k=1



k

k=1

2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)

·

·

·

·

·



6. Otra operaci´ on bastante habitual y u ´til al trabajar con sumatorios es la traslaci´ on del ´ındice n



k=1

n+m



E (k) =

E (k

k=1+m

− m)

En el siguiente ejemplo, los cinco sumandos quedan descritos por los dos sumatorios que se diferencian en el rango de valores en que se mueve el ´ındice: 5

8 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + = k 2 2 3 4 5 k=4 k 3 k=1





−

Debemos asegurarnos de que todas las transformaciones que realicemos estén respaldadas por las propiedades de cuerpo, tal y como hemos hecho en los apartados del ejemplo anterior. En el ejemplo siguiente recogemos algunos errores bastante frecuentes en la manipulaci´ on de sumatorios. Ejemplo 1.3.6

    5

1.

k=1

k2 =

5

k

2

. Estas dos expresiones son distintas, ya que, en general, el

k=1

cuadrado de una suma no es igual a la suma de los cuadrados 12 + 22 + 33 + 42 + 52 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2



2. Hemos visto anteriormente que, gracias a la propiedad distributiva, podemos sacar factores comunes a todos los sumandos del sumatorio. Sin embargo: 5



k=1

 5

k(k + 1) = k



k=1

(k + 1)



La variable k toma un valor distinto en cada sumando y por lo tanto no se puede considerar com´ un a todos ellos. Debemos pensar siempre que la variable que funciona como ´ındice solo tiene sentido dentro del sumatorio. 



55

Para poder simplificar correctamente expresiones que involucran sumatorios, es conveniente saber modificar su ´ındice. Recordemos que el ´ındice sirve para generar una secuencia de números naturales consecutivos; por ejemplo, en el sumatorio 10



f (k), el ´ındice k genera la lista 1, 2, 3, . . . , 10. Sin embargo, esta misma lista de

k=1

n´ umeros la podemos generar de otras formas, tal y como ilustramos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.3.7 Consideremos la siguiente suma, en la cual f puede ser cualquier funci´ on. S = f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6) + f (7) + f (8) + f (9) + f (10) Las siguientes expresiones describen esa misma suma: 10

S =



9

f (k) =

k=1



11

f (k + 1) =

k=0



k=2

9

f (k

− 1)

=



f (10

− k).

k=0

Partiendo de la primera, obtenemos las siguientes sustituyendo la variable k por otra expresi´ on que también genere la misma secuencia de n´ umeros naturales consecutivos (creciente o decreciente), modificando adecuadamente el valor inicial y final del ´ındice. 

Veamos un u ´ ltimo ejemplo en el que utilizamos las propiedades anteriores para evaluar un sumatorio. Ejemplo 1.3.8 Vamos a calcular la suma de los n primeros n´ umeros naturales, es decir, vamos a evaluar la suma n

S =



k = 1 + 2 +

k=1

· · · + (n − 1) + n.

Vamos a hacer la suma para n = 5 para entender la idea que queremos utilizar. Si en lugar de sumar una vez la lista de n´ umeros la sumamos dos veces, tendr´ıamos lo siguiente: 1 S = ((1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)). 2 En lugar de sumarlos tal y como aparecen en esta expresión, vamos a reordenarlos y agruparlos como se muestra a continuaci´ on. S = 12 ((1

+2

+3

+4

+5)

+(5

+4

+3

+2

+1)) =

= 12 ((1 + 5) +(2 + 4) +(3 + 3) +(4 + 2) +(5 + 1)) = = 12 (6

+6

+6

+6

+6) =


1 2

· 5 · 6

56


Ahora, vamos a repetir el mismo proceso utilizando sumatorios y sus propiedades.

   n

1 S = 2

n

k +

k=1

k

k=1

En primer lugar, cambiamos el orden de los sumandos del segundo sumatorio y lo hacemos con el siguiente cambio de ´ındices: k (n + 1 k).

→

−

     n

1 S = 2

n

k +

k

k=1

n

1 = 2

k=1



n

k +

k=1

(n + 1

k=1

− k)

A continuaci´ on, unimos los dos sumatorios usando la propiedad asociativa:

  n

1 S = 2

 

n

k +

k=1

(n + 1

k=1

n

1 k) = 2

−

(k + (n + 1

k=1



− k))

Tras simplificar la expresi´ on del sumatorio, obtenemos otra independiente del ´ındice cuya suma es igual a la expresió n por el n´ umero de sumandos. 1 S = 2

 n

(k + (n + 1

k=1

−

  n

1 k)) = 2

(n + 1)

k=1



1 = n(n + 1) 2



Como veremos m´ as adelante, el binomio de Newton es otra consecuencia de la proposición 1.3.4 y consiste en una fórmula para “expandir” las potencias de una suma. Binomio de Newton.

´ rmula del binomio de Newton) Para todo par de n´ Teorema 1.3.5 (F o umeros complejos a y b y todo n´ umero natural n, se verifica que n

Ç å

n

(a + b) =

n n−k k a b k

k=0

También podemos escribir la f´ ormula del binomio usando “puntos suspensivos”: n

n

(a + b) =

Ç å

n n−k k a b = k

k=0

=

Çnå 0

an b0 +

Ejemplo 1.3.9 (x y)2 =

−

(s + t)3 = (z

Çnå 1

an−1 b +

Çnå 2

an−2 b2 +

 −  −      2 0

3 0

x2 ( y)0 +

s3 t0 +

3 1

2 1

x( y) +

s2 t +

3 2

st2 +

2 2

3 3

···+

Çnå n

−1

x0 ( y)2 = x 2

−

abn−1 +

Çnå n

a0 bn .

− 2xy + y2

s0 t3 = s3 + 3s2 t + 3st2 + t3

− 2)6 = z 6 − 12z5 + 60z4 − 160z3 + 240z2 − 192z + 64 E.T.S.I.Inform´ atica


2n = (1 + 1)n =

57

   n 0

+

n 1

+

n 2

+ ...+

   n n−1

n n

+



En el siguiente ejemplo, vamos a calcular la potencia tercera de un binomio de tal manera que podamos “intuir” la demostraci´ on de la fórmula general. Ejemplo 1.3.10 Calculamos la potencia tercera a partir del cuadrado, pero escribiendo los coeficientes como n´ umeros combinatorios: (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 )

                    

= (a + b)( = a( =

2 0 3

2 0

a2 +

a3 +

2 1

= a + ( = a 3 +

2 0

3 1

2 1

a2 + 2 1

2 0

a2 b +

2 2

2 2

b2 )

b2 ) + b(

ab2 +

2 0

2 2 3

+

)a2 b + ( 3 2

2 2

ab +

ab +

a2 b +

+

2 1

2 0 2

a2 +

2 1

)ab2 + b3

a b+

2 1

2 1

ab +

ab2 +

2 2 2 b ) 2 3 2 b

ab2 + b

Como puede verse, en la u ´ ltima igualdad hemos usado la proposici´ on 1.3.4 para sumar los pares de n´ umeros combinatorios que aparecen en los dos sumandos centrales. 

Para hacer una demostraci´ on general a partir de la idea mostrada en este ejemplo, necesitamos aplicar “sucesivamente” los mismos pasos. La técnica que permite hacer esto formalmente se conoce como Inducci´ on matem´ atica y será estudiada con m´ as detalle en la asignatura de Matem´ atica Discreta . El principio de inducci´ on matem´ atica dice: para demostrar que todos los n´ umeros naturales verifican una determinada propiedad , tenemos que:

P

(i) demostrar que el n´ umero 0 verifica la propiedad

P ;

(ii) deducir que n + 1 tiene la propiedad verifica la propiedad.

P a partir de la suposición de que n

El apartado (i) puede sustituirse por la misma prueba para otro n´ u mero (1, 2,. . . ), siendo la conclusi´ o n que todos los n´ umeros a partir de él verifican la propiedad deseada. Por ejemplo, para el binomio de Newton podemos partir de la propiedad para el n´ umero 2, que coincide con la identidad notable ya conocida: (i) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b2 = = a2 + 2ab + b2 =

   2 0

a2 +


2 1

ab +

2 2

b2

58


(ii) Supongamos que la f´ ormula es verdadera para ‘n’ y vamos a deducir a partir de ah´ı la correspondiente f´ ormula para ‘n + 1’, siguiendo el proceso que hemos visto para n = 2 en el ejemplo 1.3.10. Partimos de la igualdad para n, n

n

(a + b) =

Ç å

k=0

n n−k k a b , k

y multiplicamos ambos lados por (a + b): (a + b)

n+1

n

n

= (a + b)(a + b) = (a + b)

Ç å

k=0

n n−k k a b k

Tenemos que operar en el lado derecho hasta llegar a la expresi´ on deseada. En primer lugar, aplicamos la propiedad distributiva: n+1

(a + b)

n

Ç å  Ç å   Ç å  Ç å   Ç å

= (a + b)

k=0 n

= a

k=0

n n−k k a b = k n n−k k a b k

n

=

k=0

n

+b

k=0

n n−k k a b = k

n n−k+1 k a b k

n

n n−k k+1 a b k

+

k=0

El siguiente paso será juntar los dos sumatorios, pero antes tenemos que asegurarnos de que podremos simplificar la expresión resultante. En este caso, buscamos que los exponentes de a y b en los dos sumatorios sean iguales y para ello basta con cambiar en el segundo sumatorio k por k 1; para hacer esto, tendremos que cambiar los valores inicial y final de k a 1 y n + 1 respectivamente:

−

(a + b)n+1 =

 Ç å n

k=0

 Ç å  Ç å   Ç å

n n n−k+1 k n n−k k+1 a b + a b = k k k=0 n

k=0

n n−k+1 k a b k

n+1

+

k=1

n

k

−1

an−k+1 bk

Todav´ıa no podemos juntar los sumatorios, ya que ambos tienen valores iniciales y finales distintos. Para arreglar esto, basta con separar los sumandos iniciales o finales necesarios; en este caso, el primer sumando del primer sumatorio y el u ´ ltimo sumando del segundo sumatorio: n+1

(a + b)

 Ç å   Ç å  Ç å  − Ç å n

=

k=0

= a n+1 +

n+1 n n−k+1 k n a b + an−k+1 bk = k k 1 k=1 n

k=1

n n−k+1 k a b k

n

+

k=1

n

k

−1

an−k+1 bk



+ bn+1



59

Ya podemos unir los dos sumatorios: (a+b)n+1 = a n+1 +

 Ç å n

k=1

  Ç å n

n n−k+1 k a b + k

= a n+1 +

n

k

1

 ÇÇ å Ç −åå n

k=1

k=1

n n + k k 1

−

 

an−k+1 bk +bn+1 =

an−k+1 bk

+ bn+1

Para terminar, basta con aplicar la propiedad 1.3.4 (p´ agina 51) para sumar los dos n´ umeros combinatorios y volver a incorporar los sumandos sueltos en el sumatorio: n+1

(a + b)

= a

 ÇÇ å Ç åå   Ç å − Ç å

n+1

n

+

k=1

= a

n+1

n

+

k=1

n n + k k 1

n + 1 n−k+1 k a b k

+b

an−k+1 bk

n+1

n+1

=

k=0

+ bn+1 = n + 1 n−k+1 k a b k

Por lo tanto, efectivamente la expresi´ on resultante coincide con la f´ ormula del binomio de Newton para n + 1 y podemos concluir que la fórmula es válida para todo n N.

∈

Es posible que la demostraci´ on anterior resulte demasiado compleja a estas alturas del curso, pero es conveniente hacer un esfuerzo por entenderla, ya que a lo largo del curso seguiremos utilizando las simplificaciones de sumatorios. Por otra parte, en la asignatura de Matem´ atica Discreta se harán m´ as ejercicios con demostraciones por inducci´ on matem´ atica y podrá utilizarse la demostraci´ on anterior como ejemplo adicional.


60


´ 1.4 LECCION

Polinomios En las lecciones anteriores ya hemos trabajado con polinomios, ya que entendemos que el alumno conoce las operaciones entre ellos y sus propiedades m´ as importantes. Sin embargo, la importancia de estas funciones elementales hace conveniente dedicar una lección a ellas, para seguir recordando propiedades y aprender algunas operaciones nuevas. A lo largo de la lección, consideraremos la siguiente expresi´ on como forma normalizada de un polinomio y que se denomina forma expandida : an xn + an−1 xn−1 +

· · · + a2x2 + a1x + a0.

(1.5)

El n´ umero n debe ser natural , los coeficientes ai pueden ser reales o complejos y x es la variable; si an = 0, se dice que n es el grado del polinomio. Para cada i, el monomio ai xi se denomina término i-ésimo o término de grado i y el n´ umero a i se denomina coeficiente i-ésimo.



Cualquier expresión algebraica dada con sumas y productos de n´ umeros comple jos y una variable, debe ser considerada polinomio, ya que las propiedades de cuerpo permiten transformarla hasta llegar a la forma expandida dada por (1.5). La propiedad que enunciamos en el siguiente teorema justifica la técnica denominada identificaci´ on de coeficientes , que ya hemos usado en el ejemplo 1.2.10. Teorema 1.4.1 La funci´ on polin´ omica P (x) = a n xn + an−1 xn−1 +

· · · + a2x2 + a1x + a0

es nula ( P (x) = 0 para todo x) si y solo si ai = 0 para todo i. Ejemplo 1.4.1 ¿C´ ual es el valor de a si la siguiente igualdad es v´ alida para todo x? x2 + ax + 4 = (x 2)2

−

Obs´ ervese que, al decir que la igualdad debe ser valida para todo x, estamos estableciendo algo m´ as fuerte que una ecuación, estamos estableciendo una identidad entre funciones. x2 + ax + 4 = (x x2 + ax + 4

− (x − 2)2 = 0 x2 + ax + 4 − x2 + 4x − 4 = 0

− 2)2

(a + 4)x = 0


1.4. Polinomios.

61

Aplicando el teorema anterior a la u´ltima identidad entre funciones, podemos deducir que a = 4. El proceso seguido para el desarrollo de este ejemplo se denomina identificaci´ on de coeficientes, ya que podemos abreviarlo diciendo que dos polinomios son iguales si y solo si coinciden los coeficientes de los términos del mismo grado. 

−

El teorema anterior nos puede llevar a la conclusi´ on de que la mejor forma de trabajar con un polinomio es a trav´ es de su forma expandida. Sin embargo, existen otras formas normales para una expresi´ on polin´ omica que pueden ser más adecuadas seg´ un el ejercicio concreto que queramos abordar. Por ejemplo, ya hemos comprobado que la forma factorizada es conveniente para la resoluci´ on de ecuaciones polinómicas. Otras formas posibles son: Cuadrados completos para polinomios de grado 2. Forma centrada en un n´ umero arbitrario. Descomposici´ on factorial , que veremos en el tema siguiente como técnica para sumar series . Ya hemos dedicado varios ejemplos de la lección 1.2 a la forma factorizada de los polinomios y a su relación con la resoluci´ on de ecuaciones polin´ omicas. Esta relaci´ on es la establecida por el siguiente resultado. ´ n 1.4.2 Si P (x0 ) = 0, entonces P (x) es divisible por x Proposicio Ejemplo 1.4.2 1. La identidad a2 polinomio:

− x0.

− b2 = (a + b)(a − b) es suficiente para factorizar el siguiente

x4

− 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 − (−1))(x + 1)(x − 1) = = (x + i)(x − i)(x + 1)(x − 1). Y a partir de ella, resolvemos la ecuaci´ on polin´ omica x 4 − 1 = 0: x1 = 1, x2 = −1, x3 = i, x4 = −i. 2. Para factorizar x 3 + 2x2 + 2x + 1 intentamos buscar alguna ra´ız “a ojo”, recordando que en un polinomio con coeficientes enteros, los divisores del término independiente son candidatos a ra´ız del polinomio. Para evaluar el polinomio utilizamos el método de Ruffini, cuyos detalles no recordamos aqu´ı pero que


62


se pueden encontrar en cualquier manual de matemáticas de educaci´ on secundaria. 1 2 2 1

−1

−1 −1 −1 1

1

1

0

Por lo tanto, el polinomio es divisible por x + 1 y x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1). Para completar la factorizaci´ on, resolvemos la ecuación x 2 + x + 1 = 0:

√ 3 √ 1± 1−4 1 − x = = − ± i . 2

2

2

Por lo tanto: 1 x3 + 2x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 2

−

√ 3

√

1 3 i )(x + + i ) 2 2 2



1.4.1. Evaluaci´ on de polinomios: M´ etodo de Horner

La evaluaci´ on de un polinomio para valores concretos de la variable se basa en la realizaci´ on de multiplicaciones y de sumas. Aunque esto puede parecer simple, si el grado del polinomio es elevado, este proceso supone la realización de muchas operaciones. Incluso si estas las hace un ordenador, el tiempo necesario puede ser alto. Para reducir el n´ umero de operaciones necesarias, vamos a introducir en esta secci´ on el Método de Horner , que se basa simplemente en reescribir el polinomio en una forma m´ as adecuada. Este proceso es muy simple y basta con analizarlo sobre un ejemplo para entenderlo, tal y como hacemos a continuaci´ on: 2x3 + 3x2

− 4x + 1 = x(2x2 + 3x − 4) + 1 = x(x(2x + 3) − 4) + 1

Es decir, separando el término independiente, sacamos la variable x como factor com´ un; en el polinomio de grado 2 que aparece como subexpresión, repetimos el proceso. Podemos observar que, si evaluamos el polinomio en su forma inicial, tenemos que realizar 3 + 2 + 1 multiplicaciones y 3 sumas; sin embargo, si evaluamos el polinomio en la forma obtenida a la derecha, realizamos también 3 sumas pero solo 3 multiplicaciones. En general, si el polinomio tiene grado n, la evaluaci´ on del polinon(n + 1) mio en su forma expandida requiere multiplicaciones y n sumas, mientras 2 que el método de Horner efect´ ua solamente n productos y n sumas. La forma m´ as simple de utilizar este método es mediante el algoritmo de Ruffini, que nos sirve para dividir polinomios, pero que también nos eval´ ua el polinomio en el


1.4. Polinomios.

63

punto. La justificaci´ on es la siguiente, si dividimos un polinomio P (x) entre x obtenemos la igualdad P (x) = C (x)(x

− x0) + r,

r

− x0,

∈ C,

en donde r es el resto de la división; de esta igualdad se deduce f´ acilmente que P (x0 ) = r. Por ejemplo, si dividimos P (x) = x 3 +2x2 +2x +1 entre x i, obtenemos

−

1

2

i

i 1 2+i

2

1

2i

− 1 −2 + i 2i + 1 −1 + i

De donde deducimos que P (i) = 1 + i. No es dif´ıcil observar que la secuencia de operaciones realizadas para llegar al resto en el m´ etodo de Ruffini coincide con la secuencia dada por el método de Horner.

−

1.4.2. Compleci´ on de cuadrados

La compleci´ on de cuadrados es una simple transformaci´ o n de polinomios de grado 2, pero cuya aplicaci´ on permite resolver muchos problemas: resoluci´ o n de ecuaciones e inecuaciones de segundo grado, estudio y representación de parábolas, simplificaci´ on de expresiones, cálculo de primitivas,. . . El objetivo de la transformaci´ on es que, en la expresión resultante, la variable aparezca solamente dentro de un expresi´ on que quede elevada al cuadrado. Por ejemplo, x2 + 2x 1 = (x + 1)2 2

−

−

y, en la expresión de la derecha, la variable x aparece solamente en (x+1)2 . Naturalmente, dado que estamos trabajando con polinomios, en la expresi´ on transformada solo podr´ an aparecer sumas, restas y productos. Ejemplo 1.4.3 El primer método para conseguir esta transformaci´ on es utilizar identificaci´ on de coeficientes. Por ejemplo, para completar cuadrados en el polinomio 2x2 3x + 1 buscamos parámetros A y B tales que:

−

2x2

− 3x + 1 = 2(x + A)2 + B

A partir de aqu´ı, expandiendo la expresi´ on de la derecha e identificando coeficientes, obtenemos un sistema de ecuaciones que permite determinar la expresión buscada. 2x2

− 3x + 1 = 2(x + A)2 + B 2x2 − 3x + 1 = 2(x2 + 2Ax + A2 ) + B 2x2 − 3x + 1 = 2x2 + 4Ax + 2A2 + B Grados en Ingenier´ıa Informática, del Software y de Computadores

64


Por lo tanto, 4A =

−3 ⇒

y de ah´ı: 2x2

A =

2A2 + B = 1

−3/4,

⇒

B = 1

− 3x + 1 = 2 x − 34 2 − 18 .

Ä ä

− 2 169 = − 18 , 

Debemos acostumbrarnos, no obstante, a realizar esta transformaci´ o n de una forma m´ a s rápida. Si nos fijamos en el caso particular x2 + bx y recordamos la fórmula del cuadrado de un binomio, es f´ acil concluir que la compleción de cuadrados tendr´ a la siguiente forma: b x + bx = x + 2

Å

2

ã

2

+...

Si elevamos al cuadrado “mentalmente”, nos aparece el n´ umero b 2 /4, que no está en el lado izquierdo, y por lo tanto debemos “eliminarlo”, es decir: b x + bx = x + 2

Å

2

ã

2

−

b2 4

Si aprendemos a desarrollar mentalmente la igualdad anterior, el proceso de compleci´ on de cuadrados podrá hacerse sin necesidad de plantear ninguna ecuación. Ejemplo 1.4.4 Vamos a transformar el polinomio 2x2 explicado anteriormente:

− 4x + 1 usando el proceso

Å ã 1 2x − 4x − 1 = 2 x − 2x −  2 Å ã 1 2

2

1)2

= 2 ((x

1)

 −  −  −

2

− 1)2 − 2 − 1 = 2(x − 1)2 − 3 = 2(x



Ejemplo 1.4.5 En el ejemplo anterior, hemos sacado factor común al coeficiente de x2 para que los cálculos siguientes sean m´ as simples. En algunos casos ser´ a m´ as sencillo proceder directamente sin hacer este paso. 3 4

9 +1 16

2

     −   −  −   − 2

4x

3x +1 =

= 2x

2x

3 4

2

+

7 16



Ejemplo 1.4.6 Ya hemos resuelto varias ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula que todo estudiante sabe desde sus años de educaci´ on primaria. En realidad,


1.4. Polinomios.

65

no es más que una consecuencia de la compleción de cuadrados que hemos aprendido en esta secci´ on. Resolvemos en este ejemplo una ecuación sin utilizar la f´ ormula y dejamos al alumno el ejercicio de deducir la f´ ormula para una ecuaci´ on general 2 ax + bx + c = 0 siguiendo los mismos pasos. x2

−x−2 =0 1 2 1 x− − 4 −2 =0 2 1 2 9 −4 =0 x− 2 1 2 9 x− = 2 4 1 3 1 3 x− = , x− =− 2 2 2 2 x = 2, x = −1

      

De forma equivalente, tambi´ en podr´ıamos utilizar compleci´ o n de cuadrados y la identidad A2 B 2 = (A + B)(A B) para factorizar directamente los polinomios. Por ejemplo, sobre el mismo ejemplo anterior, podemos hacer lo siguiente:

−

2

x

−x−2 =

−

1 2

2

9 = x 4

1 2 3 2 = 2 22 1 3 1 + x 2 2 2

− − − −  −  − −  x

= x

3 = (x + 1)(x 2

− 2)



1.4.3. Cambio de centro de un polinomio

Un polinomio centrado en x0 es una expresión algebraica de la forma

· · · + a2(x − x0)2 + a1(x − x0) + a0 (1.6) Tambi´ en se dice que el polinomio est´ a expresado en términos de (x − x0 ). Natuan (x

− x0)n + an

1 (x

−

− x0)n

1

−

+

ralmente, estas expresiones son polinomios y con la ayuda del binomio de Newton podemos transformarlas f´ acilmente en su forma expandida. Por otra parte, la forma expandida de un polinomio no es mas que el polinomio centrado en x 0 = 0. Veremos que esta forma alternativa de escribir un polinomio puede ser más conveniente que la expandida para determinadas operaciones y por lo tanto es muy importante disponer del siguiente resultado. Teorema 1.4.3 Para todo n´ umero x0 , cualquier polinomio P (x) puede ser escrito de forma unica ´ como polinomio centrado en x0 . Vamos a apoyarnos en unos ejemplos sencillos, pero no triviales, para describir lo métodos de obtener la forma centrada de un polinomio en un punto determinado.


66


Ejemplo 1.4.7 Haciendo uso de simples operaciones algebraicas y del binomio de Newton, vamos a expresar el polinomio P (x) = 2x3

− x2 + 3x − 1

en términos de (x + 1). Para ello, sustituimos x por (x + 1) 1 y expandimos la expresi´ on resultante sin eliminar en ning´ un momento los paréntesis de (x + 1):

−

2x3 x2 + 3x

−

− 1 = 2((x + 1) − 1)3 − ((x + 1) − 1)2 + 3((x + 1) − 1) − 1 = 2((x + 1)3 − 3(x + 1)2 + 3(x + 1) − 1)− ((x + 1)2 − 2(x + 1) + 1) + 3(x + 1) − 3 − 1 = 2(x + 1)3 − 7(x + 1)2 + 11(x + 1) − 7



Ejemplo 1.4.8 La segunda forma para llegar a la forma centrada de un polinomio en un centro distinto de 0 hace uso de la división de polinomios. Nuevamente, queremos encontrar los coeficientes a i tales que P (x) = 2x3

− x2 + 3x − 1 = a3(x + 1)3 + a2(x + 1)2 + a1(x + 1) + a0.

Vamos a razonar sobre la parte derecha para justificar el procedimiento que aplicaremos después. Si dividimos P (x) entre x + 1 obtenemos: P (x) a3 (x + 1)3 + a2 (x + 1)2 + a1 (x + 1) + a0 = = x+1 x+1 = a 3 (x + 1)2 + a2 (x + 1) + a1 +

a0 x+1

Es decir, C 1 (x) = a3 (x + 1)2 + a2 (x + 1) + a1 es el cociente y a0 es el resto de la divisi´ on. Si ahora dividimos C 1 (x) de nuevo entre x + 1, C 1 (x) a3 (x + 1)2 + a2 (x + 1) + a1 a1 = = a 3 (x + 1) + a2 + x+1 x+1 x+1 obtenemos como resto al coeficiente a 1 . Podemos seguir as´ı sucesivamente y deducimos que la secuencia a 0 , a1 , a2 ,. . . es la de los restos que se obtiene al dividir P (x) entre x + 1 sucesivamente, descartando los restos. Para realizar esta secuencia de


1.4. Polinomios.

67

divisiones utilizamos el método de Ruffini. 2

−1 −1 −1 −1

−1 −2 −3 −2 −5 −2 −7

2 2 2

3

−1 −6 −7

3 6 5

= a 0

11 = a 1 = a2

2 = a 3

Esto nos lleva a la misma expresi´ on que hemos obtenido en el ejemplo anterior: 2x3

− x2 + 3x − 1 = 2(x + 1)3 − 7(x + 1)2 + 11(x + 1) − 7



El método mostrado en este segundo ejemplo es el m´ as simple y el más eficiente, ya que se basa en la evaluaci´ on de los polinomios usando el método de Horner. Sin embargo, es conveniente entender los otros métodos, que nos ayudan a recordar y aplicar varias propiedades que usaremos a lo largo del curso. Ejemplo 1.4.9 Vamos a repetir el ejemplo anterior pero usando las derivadas sucesivas del polinomio. La igualdad que queremos conseguir es la siguiente, P (x) = 2x3

− x2 + 3x − 1 = a3(x + 1)3 + a2(x + 1)2 + a1(x + 1) + a0.

Para determinar los coeficientes ai , vamos a hallar las derivadas sucesivas del polinomio en sus dos representaciones, la inicial y la centrada en 1, y evaluaremos ambas expresiones en el nuevo centro:

−

P (x) =

2x3

x2

− 1 ⇒ P (−1) = −7 a = −7 0 P (x) = a 3 (x + 1)3 + a2 (x + 1)2 + a1 (x + 1) + a0 ⇒ P (−1) = a 0 P (x) = 6x2 − 2x + 3 ⇒ P (−1) = 11 a1 = 11 P (x) = 3a3 (x + 1)2 + 2a2 (x + 1) + a1 ⇒ P (−1) = a 1 P (x) = 12x − 2 ⇒ P (−1) = −14 a2 = −14/2 = −7 P (x) = 3 · 2a3 (x + 1) + 2a2 ⇒ P (−1) = 2a2 P (x) = 12 ⇒ P (−1) = 12 a3 = 12/6 = 2 P (x) = 3 · 2a3 ⇒ P (−1) = 3 · 2a3 −

+ 3x

   

























   

Esto nos lleva a la misma expresi´ on que obtuvimos en los ejemplos anteriores: 2x3

− x2 + 3x − 1 = 2(x + 1)3 − 7(x + 1)2 + 11(x + 1) − 7




68


Si aplicamos el proceso mostrado en el ejemplo anterior a un polinomio genérico, deducimos el resultado de la siguiente proposici´ on. n

´ n 1.4.4 Si P (x) = Proposicio



ak (x

k=0

(k) (x ) 0

− x0)k , entonces ak = P

k!

.

Esta proposici´ on es la clave para la construcción de los polinomios de Taylor que estudiamos en la secci´ on siguiente.

1.4.4. Funciones racionales y fracciones simples

Las funciones expresadas como cociente de polinomios se denominan funciones racionales . En esta secci´ on, vamos a trabajar con polinomios con coeficientes reales y estamos interesados en la transformaci´ on de las expresiones racionales en una forma normal dada como suma de un polinomio y fracciones simples . En primer lugar, hablaremos de funciones racionales propias si el grado del denominador es estrictamente mayor que el grado del numerador, como por ejemplo 5x + 4 , x2 2x 8

1 x5

− −

− 8.

Hablaremos de funciones racionales impropias si el grado del denominador es menor o igual que el grado del numerador, como por ejemplo x2 x , x+3

−

x2 + 3x x2 2x

−4 − −8

´ n 1.4.5 Cualquier funci´ Proposicio on racional se puede expresar como suma de un polinomio y de una funci´ on racional propia. La transformaci´ on necesaria para conseguir la descomposici´ on es simplemente la divisi´ on de polinomios, tras la cual llegamos a la igualdad P (x) R(x) = C (x) + , Q(x) Q(x) en donde C (x) el cociente y R(x) el resto de dividir P (x) entre Q(x).

Ejemplo 1.4.10 La función racional

x6 2 no es propia; dividimos para obtener x4 + x2

−


1.4. Polinomios.

69

la expresión de la proposici´ on anterior.  x6   x6  

x4 + x2

−2 − −x4  x4 −2 −  

x2

−1

 4 +x2  +x 

+x2

−2

Mostramos, pero no explicamos, los detalles de la divisi´ on, que pueden consultarse en cualquier manual de matem´ aticas de secundaria. Ya podemos escribir la descomposición deseada. x6 2 x2 2 2 = x 1 +  x4 + x2 x4 + x2

−

−

−

´ n 1.4.6 (fracci o ´ n simple) Las funciones racionales Definicio A , (ax + b)n en donde, n N, A, B,a,b,c fracciones simples.

∈

Ax + B , + bx + c)n

(ax2

∈ R y ax2 + bx + c no tiene ra´ıces reales, se denominan

Por ejemplo, 3 , 2x + 1 x , 2x2 + 2x + 1

−5 −5 , = x3 − 3x2 + 3x − 1 (x − 1)3 1−x 1−x = , x4 + 8x2 + 16

(x2 + 4)2

son fracciones simples. Sin embargo, x

no es fracción simple, ya que el denominador tiene grado 1 y el numex 2 rador no es una constante;

−

x2 + x + 1 no es simple, ya que el numerador tiene grado 2; x2 + 1 1 no es simple, ya que el denominador, x(x2 +4), no se corresponde con + 4x una potencia de un polinomio de grado 1, ni con una potencia de un polinomio de grado 2; x3

2x + 5 no es simple, ya que el polinomio x 2 (x2 4)3

−

− 4 tiene ra´ıces reales.


70


´ n 1.4.7 Cualquier funci´ Proposicio on racional propia

P (x) , se puede expresar coQ(x)

mo suma de fracciones simples. Concretamente, si Q(x) = a(x

− a1)n (x − a2)n 1

2

. . . (x

− a p)n

p

(x2 + b1 x + c1 )m1 (x2 + b2 x + c2 )m2 . . . (x2 + bq x + cq )m

q

es la factorizaci´ on en R del polinomio Q(x), entonces existen n´ umeros reales Aij , Bij , C ij , tales que: P (x) = Q(x) + + +

ÇA Ç xA− a

A12 11 + + (x a1 )2 1 A22 21 + + x a2 (x a2 )2

−

·Ç· · +

−

11

2

+ +

−

·· · · ··

A pn + (x a p )n

−

11

1

21

x2

·· ·

A p1 A p2 + + x a p (x a p )2

Ç B x + C + Ç xB+xb +x C + c +

−

A1n1 + (x a1 )n1 A2n2 + (x a2 )n2

+ b 2 x + c2

·Ç· · +

−

p

−

+

·· ·

+

·· ·

B1m x + C 1m1 + 2 1 (x + b1 x + c1 )m1 B2m x + C 2m2 + 2 2 (x + b2 x + c2 )m2

···

Bqm x + C qm + 2 (x + bq x + cq )m

1

21

−

Bq1 x + C q1 + x2 + bq x + cq

q

q

q

p

å + å å

+

å + å å

+

+

(1.7)

El n´ umero de sumandos de la descomposici´ on descrita en el resultado es la suma de las multiplicidades de los factores de Q. Para cada ra´ız real, se consideran tantos sumandos como su multiplicidad; los denominadores son las potencias sucesivas del correspondiente factor y los numeradores son constantes. Para cada factor de grado 2 irreducible (par de ra´ıces complejas conjugadas), se consideran tantos sumandos como su multiplicidad; los denominadores son las potencias sucesivas del correspondiente factor y los numeradores son polinomios de grado menor o igual a 1. Por lo tanto, para determinar la descomposici´ on, partimos de la factorizaci´ on del denominador y planteamos la igualdad (1.7) para determinar, mediante identificaci´ on de coeficientes, los n´ umeros A ij , Bij , C ij Ejemplo 1.4.11 Mostramos el proceso de descomposición en fracciones simples de


1.4. Polinomios.

71

x2 2 la funci´ on racional propia 4 . x + x2

−

[Factorizamos el denominador,. . . x2 2 x2 2 = 2 2 x4 + x2 x (x + 1)

−

−

[aplicamos el esquema de descomposici´ o n,... A B C x + D = + 2+ 2 x x x +1 [sumamos. . . =

Ax(x2 + 1) + B(x2 + 1) + x2 (Cx + D ) x2 (x2 + 1)

[y agrupamos. (A + C )x3 + (B + D )x2 + Ax + B = x2 (x2 + 1) Al igualar los coeficientes de los polinomios de los numeradores, obtenemos el siguiente sistema lineal de 4 ecuaciones y 4 inc´ ognitas: x3 x2 x TI cuya soluci´ on es A = 0, B =

→ → → →

A + C =

0

B + D =

1

A

=

0

B

=

−2

−2, C = 0 y D = 3. Por lo tanto: x2 − 2 2 3 =− + x4 + x2

x2

x2 + 1



Ejemplo 1.4.12 La siguiente función racional tambi´ en es propia y por lo tanto no es necesario dividir los polinomios: 6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x (x 1)2 (x + 2)(x2 + x + 1)2

−

−1

El denominador ya est´ a factorizado, as´ı que podemos pasar directamente a escribir la descomposici´ on en fracciones simples: 6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x 1 = (x 1)2 (x + 2)(x2 + x + 1)2 A B C D x + E Fx + G = + + + 2 + 2 2 x 1 (x 1) x + 2 x + x + 1 (x + x + 1)2

−

−

−

−


72


Sumamos la expresi´ on de la derecha tomando el denominador inicial como m´ınimo com´ un m´ ultiplo y obtenemos la siguiente igualdad de numeradores 6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x

−1=

− 1)(x + 2)(x2 + x + 1)2 + B(x + 2)(x2 + x + 1)2 + C (x − 1)2(x2 + x + 1)2+ + (D x + E )(x − 1)2 (x + 2)(x2 + x + 1) + (F x + G)(x − 1)2 (x + 2) = = (A + C + D )x6 + (3A + B + D + E )x5 + (3A + 4B − 2D + E + F )x4 + + (A + 7B − 2C − D − 2E + G)x3 + (−3A + 8B + D − E − 3F )x2 + + (−3A + 5B + 2D − E + 2F − 3G)x + (−2A + 2B + C + 2E + 2G)

= A(x

Por lo que, igualando coeficientes, obtenemos el siguiente sistema de siete ecuaciones lineales con siete inc´ ognitas: x6 x5 x4 x3 x2 x TI

→ 0 → 6 → 16 → 22 → 18 → 20 → −1

= A + C + D = 3A + B + D + E = 3A + 4B = = = =

− 2D + E + F A + 7B − 2C − D − 2E + G −3A + 8B + D − E − 3F −3A + 5B + 2D − E + 2F − 3G −2A + 2B + C + 2E + 2G

Por tanto, la descomposici´ on final es: 6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x (x 1)2 (x + 2)(x2 + x + 1)2

−

       ⇒        =

A = 1 B = 3 C =

−1

D = 0 E = 0 F = 1 G =

−2

−1 = =

1 x

−1

+

3

1 x−2 + − (x − 1)2 x + 2 (x2 + x + 1)2 

1.4.5. Polinomios de Taylor

Los polinomios son las funciones elementales m´ as simples, ya que solo hacen uso de las operaciones suma, resta y producto. La situaci´ on ideal ser´ıa que el resto de las funciones elementales se pudieran convertir en polinomios, pero esto no es cierto en ning´ un caso. Sin embargo, s´ı es posible “aproximar” cualquier funci´ on elemental con polinomios, as´ı como cualquier funci´ on que se pueda construir a partir de ellas en determinadas condiciones. Como veremos m´ as detalladamente en el tema siguiente, para establecer un método de aproximaci´ on adecuado, debemos saber construir


1.4. Polinomios.

73

una aproximaci´ on de una funci´ on dada y también debemos poder mejorar la aproximaci´ on cuanto deseemos. En esta sección, solo vamos a aprender a construir los polinomios aproximantes, y ser´ a en el tema siguiente cuando aprendamos a controlar los errores de este método de aproximaci´ on. ´ n 1.4.8 El polinomio de Taylor de orden n (o n-ésimo polinomio de TayDefinicio lor) de la funci´ on f en el punto x 0 es un polinomio T , de grado menor o igual que n tal que su valor en x 0 y el valor de las n primeras derivadas coinciden con los de f : T (n) (x0 ) = f (n) (x0 ). Como consecuencia de la proposici´ on 1.4.4, podemos deducir f´ acilmente la expresi´ on de los polinomios de Taylor como polinomios centrados en x0 . Corolario 1.4.9 El polinomio de Taylor de la definici´ on anterior, es unico ´ y viene dado por: 

T (x) = f (x0 ) + f  (x0 )(x

− x0) + f (x2 0) (x − x0)2 + . . . · ··

f (n) (x0 ) + (x n!

n

− x0)

n

=

f (k) (x0 ) (x k! k=0



− x0)k

El polinomio de Taylor en x 0 = 0 se denomina igualmente polinomio de McLaurin. Ejemplo 1.4.13 Para la función f (x) = ex , se verifica que f (n) (x) = ex y por tanto, f (n) (0) = e0 = 1 para todo n. Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden n de la funci´ on exponencial en el punto 0 es: x 2 xn + + 2 n! En la figura 1.4, aparecen representadas la funci´ on exponencial y los polinomios de Taylor de orden 1, 2 y 4. En primer lugar, apreciamos el parecido de la función y sus polinomios, mayor cuanto mayor es el orden y cuanto más cerca estamos del punto x0 = 0. Además, para el caso n = 1, observamos que la recta obtenida en su representaci´ on coincide con la recta tangente en el punto x 0 = 0.  T (x) = 1 + x +

· ··

Los polinomios de Taylor pueden calcularse en cualquier punto, pero debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones: Si queremos utilizarlos para aproximar magnitudes, solo tiene sentido usar los polinomios en los puntos para los cuales los coeficientes obtenidos sean n´ umeros racionales, ya que el objetivo es estimar magnitudes reales con magnitudes racionales; esto ser´ a analizado con m´ as detalle en el tema siguiente.


74


Y

f (x) = e

1

x

T 1 (x) = 1 + x

X

−1 Y

f (x) = e

1

x

x 2 T 2 (x) = 1 + x + 2

X

−1 Y

f (x) = e

x

1

−1

T 4 (x) = 1 + x +

x 2 x 3 x 4 + + 2 6 24

X

Figura 1.4: Funci´ on exponencial y algunos polinomios de Taylor.


1.4. Polinomios.

75

Solo tendremos la posibilidad de controlar los errores cometidos para las funciones elementales y para algunas funciones construidas a partir de ellas. S´ı trabajaremos con funciones arbitrarias cuando utilicemos los polinomios para deducir propiedades locales de la funciones, es decir, para estudiar qué es lo que ocurre en un entorno “muy pequeño” alrededor de un punto. Por ejemplo, todos los resultados de clasificaci´ on de puntos cr´ıticos en los problemas de optimizaci´ on, se basan en los desarrollos de Taylor. Ejemplo 1.4.14 Vamos a calcular el polinomio de Taylor de la funci´ on log x (logaritmo neperiano) en x0 = 1. No podemos elegir a 0 como centro, ya que ese punto no est´ a en el dominio; adem´ as, el n´ umero 1 es el u ´ nico punto del dominio tal que el valor de la función en ese punto y sus derivadas sucesivas son números racionales. Empezamos calculando las primeras derivadas sucesivas de la funci´ on f (x) = log x, x > 0: f  (x) = x −1 f  (x) =

2

−

−x

f  (x) = 2x−3 f (4) (x) =

−3 · 2x 4 f (5) (x) = 4 · 3 · 2x 5 −

−

Podemos observar que: Aparece alternativamente el signo “ ”: las derivadas pares incluyen el signo, y las impares no. Por lo tanto, para el orden de derivación n, el signo ser´ a ( 1)n−1 .

−

−

No hemos multiplicado las constantes para poder observar como se construyen: en cada paso de derivación multiplicamos por el siguiente n´ umero natural. De esta forma, la constante correspondiente al orden de derivación n es (n 1)!.

−

Finalmente, en cada derivada, la variable x aparece con un exponente negativo, cuyo valor absoluto coincide con el orden de derivaci´ on. Es decir, con la observación de estas primeras derivadas podemos “intuir” que f (n) (x) = ( 1)n−1 (n

−

n

−

− 1)!x

,

n

≥1

(1.8)

Sin embargo, debemos hacer una demostraci´ on formal de esta afirmaci´ on usando inducci´ on matem´ atica (ver p´ agina 57): (i) Para n = 1: ( 1)1−1 (1

−

1

−

− 1)!x

= 1 1x−1 = x −1 = f  (x).

·


76


(ii) Supongamos que la f´ ormula es válida para n y a partir de ah´ı, vamos a deducirla para n + 1. f (n) (x) = ( 1)n−1 (n 1)!x−n d (n) d f (n+1) (x) = (f (x)) = ( 1)n−1 (n 1)!x−n dx dx (n+1) f (x) = n( 1)n−1 (n 1)!x−n−1

−

−

Ä−

− − f (n+1) (x) = (−1)n n!x

ä

− −

(n+1)

−

Efectivamente, la u ´ ltima igualdad se corresponde con la f´ ormula (1.8) sustituyendo n por n + 1. Por lo tanto, podemos concluir que la f´ ormula es válida para todo n

∈ N.

El resto del ejemplo consiste simplemente en aplicar la f´ ormula del polinomio de Taylor: f (1) = log 1 = 0,

f (n) (1) = ( 1)n−1 (n

− 1)! 1! 2! (n − 1)! T (x) = 0 + 1 · (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 + · · · + (−1)n 1 (x − 1)n 2! 3! n! 1 1 1 T (x) = (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 + · ·· + (−1)n 1 (x − 1)n 2 3 n −

−

−

n

T (x) =

1 ( 1)k−1 (x k k=1

−

− 1)k



En general, puede ser bastante complicado hallar los polinomios de Taylor de funciones no elementales a partir de la definición, pero como es habitual en matem´ aticas, podemos facilitar estos c´ alculos estudiando el comportamiento respecto de las operaciones algebraicas y de la derivaci´ on. ´ n 1.4.10 (Propiedades algebraicas del Polinomio de Taylor) Proposicio 1. El n-ésimo polinomio de Taylor de f +g es la suma de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g 2. El n-ésimo polinomio de Taylor de f g es el producto de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayor que n.

·

3. El n-ésimo polinomio de Taylor de f g es la composici´ on de los n-ésimos polinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayor que n.

◦

4. La derivada del (n + 1)–ésimo polinomio de Taylor de f , es el n–ésimo polinomio de Taylor de f  . Esta propiedad se suele aplicar en sentido inverso, a partir del polinomio de f  , se obtiene el polinomio de f .


1.4. Polinomios.

77

A partir de estas propiedades y de los desarrollos de funciones elementales, es posible estudiar una amplia familia de funciones. Debemos observar sin embargo, que no siempre es práctico o u ´til el uso de los desarrollos de Taylor para funciones arbitrarias, ya que su cálculo directo puede ser imposible y, aunque la aplicaci´ on de las propiedades anteriores ayude en algunos casos, no proporciona una forma alternativa para calcular los restos , necesarios en el control de errores, seg´ un veremos en el tema siguiente. No obstante, estas propiedades s´ı pueden ser utiles ´ para otras aplicaciones de polinomio de Taylor.


78


Relaci´ on de ejercicios 1.1 1. Determine la forma bin´ omica de los siguientes n´ umeros complejos. 1 18 + i a ) (5 + 3i)(2 i) (3 + i); b) (1 2i)3 ; c ) ; d ) i−17 ; e ) . i 3 4i

− −

−

−

2. Resuelva la siguiente ecuaci´ on y exprese la solución en forma binómica: 2z 1+i

− 2zi = 2 +5 i .

3. Resuelva el siguiente sistema y exprese las soluciones en su forma bin´ omica:

 

4z + 3w = 23 z + iw = 6 + 8i

4. Resuelva en R los siguientes sistemas de ecuaciones:

  

x2 + y2 = 25

 

xy = 12 xyz = 180

5. Factorice en R el polinomio x 4

x2 + y2 + z 2 = 1 x2 + y2 = 2z + 2

− 2x2 + 8x − 3.

6. Resuelva la siguiente ecuaci´ on y exprese la solución en forma binómica: z 2 + 2z

− 1 = 0.

7. Exprese en forma exponencial los siguientes n´ umeros a ) 1

− i,

b)

−√ 3 + i,

8. Consideramos los n´ umeros complejos z = 1 + i, w =

c )

−1 − i√ 3.

−√ 3 + i.

a ) Calcule y simplifique el producto zw. b) Utilizando la forma exponencial de z y w, calcule el producto zw y exprese el resultado en forma exponencial y forma bin´ omica. c ) A partir de los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores, deπ π π duzca el valor de cos 12 , sen 12 y tg 12 . 9. Escriba sen 4θ en términos de sen θ y cos θ. 10.

a ) Exprese sen6 θ en función del seno y coseno de m´ ultiplos de θ. b) Utilice la expresi´ on obtenida en el apartado anterior y las propiedades de linealidad de la integral para calcular la primitiva



sen6 θdθ.


1.4. Polinomios.

79

Relaci´ on de ejercicios 1.2 1.

√

√

a ) Calcule las ra´ıces c´ ubicas de 4 2 + 4 2i y expréselas en forma binómica. (Indicaci´ on: utilice los resultados del ejercicio 8 de la relaci´ on de ejercicios 1.1.) b) Represente gr´ aficamente las ra´ıces calculadas en el apartado anterior. c ) A partir de los ejemplos y ejercicios sobre ra´ıces complejas, deduzca c´ omo es la representación gr´ afica de las ra´ıces n-ésimas de un número complejo iθ z = re .

2. Obtenga la forma centrada en 1 del polinomio P (x) = x3 + x 2 + x + 1. Resuelva este ejercicio usando las distintas formas estudiadas en el tema.

−

3. En este ejercicio vamos a aprender a factorizar un polinomio de grado 4 con término c´ ubico. Consideremos el polinomio P (x) = x 4 4x3 + 9x2 4x + 8:

−

−

a ) Exprese el polinomio P cambiando su centro a 1 y, mediante el cambio de variable t = x 1 convi´ ertalo en otro polinomio Q(t). (Que no debe contener término de grado 3).

−

b) Factorice el polinomio Q(t) usando identificaci´ on de coeficientes. c ) Obtenga la factorizaci´ on en R de P (x) deshaciendo el cambio de variable y finalmente, factorice el polinomio en C. 4. En este ejercicio vamos a calcular cos π5 utilizando n´ umeros complejos. a ) Utilice la fórmula de De Moivre para demostrar que cos(5θ) = 16cos5 θ 20cos3 θ + 5 cos θ. b) Deduzca que cos π5 es ra´ız del polinomio P (x) = 16x5

−

− 20x3 + 5x + 1.

c ) Factorice el polinomio P (x) determinando una ra´ız “a ojo” y usando identificaci´ on de coeficientes para factorizar el polinomio de grado 4 resultante como producto de dos polinomios de grado 2. d ) A partir de la factorizaci´ on del apartado anterior, calcule cos π5 .



5. Utilice el s´ımbolo para expresar las siguientes sumas. Tenga en cuenta que en los u ´ ltimos apartados se indica cual debe ser el primer valor del ´ındice. a ) c )

6 2

−1

+

8 3

+

10

+

·· · + 1022− 1

−1 4−1 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) =



k=0

b) 110 + 29 + 38 + d )

· · · + 101

n n + + n+1 n+2


· · · + n +n n =



k=3

80


Relaci´ on de ejercicios 1.3



1. Reescriba el siguiente razonamiento, utilizando el s´ımbolo e indicando las propiedades del sumatorio que se aplican para obtener la simplificación conseguida en la igualdad (1): Consideramos 1 1 1 1 S n = 1 + + + + ... + n 2 4 8 2 Entonces 1 S n = S n 2

− 12 S n =

1 1 1 1 = 1 + + + + ... + n 2 4 8 2 1 (1) =1 n+1 2

Å

ã Å1 −

1 1 1 1 + + + + ... + n+1 = 2 4 8 16 2

ã

−

Por lo tanto, S n = 2

− 21 . n

2. Transforme los polinomios usando la técnica de completar cuadrados: a ) 5x2 + 7x + 2, 3.

a ) Transforme el polinomio 9x2 cuadrados.

b) 3x2 + 1.

− 6x + 2 usando la técnica de completar

b) Utilice la expresi´ on anterior para calcular la primitiva



9x2

4. Descomponga en suma de polinomio y fracciones simples la funci´ on

−

3 dx. 6x + 2

x3 + 2x + 9 . x2 + x 2

5. Utilice la descomposici´ on en fracciones simples para calcular la primitiva

 6.

−

x2 + 6x + 5 dx. x3 x2 x 2

− − −

a ) Obtenga la forma centrada en 2 del polinomio P (x) = x 3

− 3x2 + 1.

b) Utilice la expresi´ on obtenida en el apartado anterior para obtener la desP (x) composición en fracciones simples de la funci´ on . (x 2)4 c ) Utilice la expresi´ on obtenida en el apartado anterior para calcular la priP (x) mitiva dx. (x 2)4

−



−

7. Utilice el m´ etodo de Horner para evaluar el polinomio de McLaurin de orden 5 de la función exponencial en x = 1/2. Utilice una calculadora para comparar el resultado con e1/2 = e.

√


1.4. Polinomios.

81

8. Para la funci´ on f (x) = sen x, determine los polinomios de Taylor de o´rdenes 1, 2, 3, 4 y 5 en x0 = 0. Deduzca la expresión de su polinomio de Taylor de cualquier orden. 9. Consideremos la funci´ on f (x) = x 2 sen x: a ) Use la definici´ on para determinar el polinomio de Taylor de f (x), de orden 5 en el punto x0 = 0. b) Use las propiedades algebraicas del Polinomio de Taylor como forma alternativa para hallar el mismo polinomio del apartado anterior.


82


Relaci´ on de ejercicios 1.4 1. Resuelva en R las siguientes ecuaciones y comprobar los resultados: a ) x

2 x + 2 x 8 = 3(x 3 3 2 4x + 3 = 0

− −

Å

− · b) x2 − c ) 2x3 − 14x + 12 = 0 d ) y · y2 − 1 = 0 e ) x4 − 3x2 + 2 = 0 √ f ) u + 13 − u = 1

ã

− 4) − 5(x − 8)

 

2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de reducci´ on o de Gauss : a )

    

x

− y = −3

2x + y = 6

 −  −−  −  −  − x

b)

y + 3z = 4

2x

y

z = 6

3x

2y + 2z = 10

3. Resuelva en R los siguientes sistemas de ecuaciones:

a )

x2 + y2 = 25

x2 + y 2 + z 2 = 93

b)

xy = 4y

z

x2 = 1

x2

xyz = 180

5x + 6 = 0

4. Simplifique y exprese el resultado en forma bin´ omica: 1 i 5 5 a ) , b) , c ) 12 (1 + i)2 , d ) i2034 , 1+i 1 3i 1 + 3i

−

− −

e ) (1

− i)8.

5. Exprese en forma bin´ omica las soluciones de la siguiente ecuaci´ on: 1 2 1 = + z 2 + 3i 3 2i

−

6. Demuestre la proposici´ on 1.2.6 (p´ agina 43), es decir, demuestre que para todo z, w C

∈

a ) z + w = z + w,

7. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

b) z w = z w.

·

  

z

·

− w + u = 2 − i

z + iw = 6 + 8i w + 2iu =

−2i E.T.S.I.Inform´ atica

1.4. Polinomios.

83

8. Resuelva la siguiente ecuaci´ on y exprese la solución en forma binómica: z + z¯i

9. Calcule el m´ odulo de: z =

− 5 = 3 −2izz¯

(1 + 2i)3 (4 3i)4 . (3 + 4i)4 (2 i)3

− −

10. Exprese en forma exponencial los siguientes n´ umeros a )

√ 2 − i√ 2,

Ä√ 2 − i√ 2ä , 2

b)

c )

−2 + 2i,

d )

−√ 3 − i,

e ) 1

− i√ 3.

11. Calcule las siguientes exponenciales complejas a ) exp(1

5π 3

b) exp 1

3π

c ) e 2 i e1− 4 i .

Ä − i ä,

− πi),

π

12. Exprese sen 3θ, cos 6θ y sen 5θ como polinomios en sen θ. 13. Exprese cos4 θ, sen3 θ y cos5 θ en términos de senos y cosenos de m´ ultiplos de θ. 14. Encuentre y represente gráficamente las ra´ıces quintas de

−1. 15. Encuentre y represente gráficamente las ra´ıces sextas de −i. 16. Encuentre y represente gráficamente las ra´ıces cuartas de 32(1

− i√ 3)

17. Eval´ ue y simplifique las siguientes expresiones: a ) 5!, e )

b)

Ç7å 4

,

f )

100! , 98!

Ç100å 99

,

c )

10! 5! , 6! 8!

g )

Ç3n + 2å

· ·

3n

d ) ,

h )

(n + 1)! , (n 1)!

Ç1/2− å 5

18. Demuestre que para todo x

∈ R y todo k ∈ N, k ≥ 1: Çxå x − k + 1 Ç x å = k k k−1

19. Utilice el s´ımbolo



para expresar las siguientes sumas.

a ) 23 + 33 + 43 + 53 + ... + 183 b) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 100 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 c ) 1 + + + + + 1+1 2+1 3+1 4+1 1 2 3 2n d ) + + + + 1+1 1+2 1+3 1 + 2n

·

· ·

· · ·

·· · + 2 · 3 ·n4 ·· · n

···


.

84


20. Use la fórmula del binomio de Newton para desarrollar las siguientes potencias: a ) (a

+ b)7 ,

1)4 ,

b) (x

−

d ) (x

− 2)5,

e ) (1

− 2x)3,

c )

Å

2x3

−

2 5x2

ã

2

f ) (z + 1/2)3 .

21. Calcule el valor de a, b, c y d para que se verifique:

− y)3 = 8 − 24aby + 12aby2 − y3 b) (x − c)2 + d 2 = x 2 + x + 1

a ) (2

22. Identifique el binomio de Newton equivalente a los siguientes polinomios: a ) x2

− 4x + 4 b) 4x2 − 4x + 1 c ) x3 − 3x2 + 3x − 1

d ) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 23. Calcule el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios: a ) (x4

− 3x2 + 7x − 2) : (x + 1) b) (6x4 − x3 + 3x + 5) : (2x2 + x − 1) c ) (−6x3 + 4x2 + x − 7) : (3x − 2)

24. Averig¨ ue el valor de m para que el resto obtenido de la división del polinomio 4 x 5x2 + mx 1 entre x + 1 sea 2.

−

−

−

25. Halle razonadamente una ecuaci´ on de segundo grado, con coeficientes enteros, que tenga por soluciones los n´ umeros: 1 a ) 2 y 3, b) y 3. 5

−

26. Factorice en R y en C los siguientes polinomios (utilice los métodos aprendidos a lo largo del tema y en la relaci´ on de ejercicios). a ) z 3 + 8,

b) y4 + 81,

c ) z 4 + 5z 2 + 4,

d ) t6 g )

− 2t4 + 4t2, e ) 3x3 − x2 − 7x + 5, f ) x3 − 12x + 16, 16x4 − 56x2 − 256x + 561, h ) 4x4 + 8x3 + 17x2 + 2x + 4.

27. Obtenga la expresi´ on polin´ omica centrada en x = 1 del polinomio P (x) = x 3

− 3x2 + 3x − 1. E.T.S.I.Inform´ atica

1.4. Polinomios.

85

28. Exprese los siguientes polinomios en términos de los monomios indicados: a ) 2x5

− 3x2 + x − 4 en potencias de (x − 1).

b) x3 + 6x2 + 12x + 8 en potencias de (x + 2). 29. Utilice la técnica de compleci´ on de cuadrados sobre las siguientes expresiones: a ) x2

b) 4x2 + 8x

− 2x,

− 1,

c ) x2

− 9x + 2.

30. Aplique la técnica de completar cuadrados al polinomio ax2 +bx+c, con a = 0, para deducir la fórmula de la resolución de ecuaciones de segundo grado:



ax2 + bx + c = 0 31.

=

⇒

√ b ± b2 − 4ac − x = 2a

a ) ¿Cu´ al es el polinomio de Taylor de orden 10 en el punto x0 = 3 de la funci´ on f (x) = x 3 2x2 + 3x 1?

−

−

b) ¿Es cierto que el polinomio de Taylor de orden 5 de una función tiene grado 5 ? c ) Si el polinomio de orden 5 de una funci´ on f en el punto x0 = 2 es 5 4 3 2 P (x) = x x +x x + x 1, ¿Cu´ anto vale la derivada tercera de f en “ 2”, f (3) ( 2)? ¿Podemos conocer el valor exacto de f (0)?

−

−

−

−

−

−

32. Calcule los polinomios de Taylor de o´rdenes 1, 2, 3, 4 y 5 en el punto x0 = 0 de la función cos x. 33. Calcule los polinomios de Taylor de o´rdenes 1, 2, 3, 4 y 5 en el punto x0 = 1 de la función x.

√

34. Calcule el polinomio de Taylor de orden 12 de la funci´ on f (x) = sen(x2 ) en el punto x = 0. 35. Halle los polinomios de Taylor de las siguientes funciones en los puntos indicados y de los órdenes indicados:

√ x, orden 4 en 4

a ) f (x) = sen x, orden 2n en π/2

b) f (x) =

c ) f (x) = ex sen x, orden 8 en 0

d ) f (x) = tg x, orden 5 en 0

36. Calcule el polinomio de Taylor de orden 3 de la funci´ on f (x) = e−x sen x en el punto x = 0.


Tema1

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