Introducción Este manual de cálculo integral y series es una ayuda preparada para los estudiantes que tienen que cur sar esta materia y para los amantes de las matemáticas . En este s e empieza con una retroalimentación al cálculo diferencial con el objetivo de reforzar los conocimientos principalmente de límites y derivadas. Entre los contenidos se encuentran tiene: Diferencia entre calculo Diferencial e integral, Derivación logarítmica, derivadas por formulas, formas indeterminadas y límites por la Regla de L°Hoppital , historia del cálculo integral, primitiva de una función, integral definida e indefinida, Resolución sustitución,
de
integrales
integrales
inmediatas,
integrales
trigonométricas,
por
Integrales
el por
método
de
identidades
trigonométricas, integrales por partes, integrales cíclicas, método tabular, integrales de potencias de la distintas funciones trigonométricas , integrales de
ángulos
distintos,
método
de
sustitución
trigonométrica
inversa,
integración por tabla, integrales que contienen polinomios cuadráticos, método de fracciones parciales, método de Heaviside, integración de funciones racionales de seno y coseno, Integrales con valor absoluto, sumatoria y propiedades, estimación de áreas , sumas de Riemann , Reglas de Simpson, Reglas del trapecio , integral definida, Teoremas fundamentales del
cálculo,
áreas
entre
curvas,
integrales
impropias,
integrales
convergentes y divergentes, volumen de sólidos de revolución, método de los discos, método de las arandelas, series, seri e de Maclaurin, serie de Taylor y serie de Fourier. Al final de cada unidad hay actividades de ejercicios para que el lector se pueda ejercite . Se espera que este manual sea de mucha ayuda.
Wilton Oltmanns Revisado el 18 de enero del 2015
2
C á l c u l o El cálculo
elemental incluye do s procesos que son fundamentales en el
análisis matemático: El cálculo diferencial: Estudia el cambio que hay en las funciones. Define la pendiente de la recta tangente de la función en un punto determinado.
El cálculo Integral: Permite hallar el área de figuras curvas las cuales se forman por regiones limi tadas por funciones continuas. Definición y propiedades de la función logaritmo natural. La función logaritmo natural se define como
x1 ln x dt , x 0 . 1 t
Propiedades de los logaritmos. Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las siguientes propiedades. 1. ln1=0
3) ln P n =n ln P
2. ln (PQ)= ln P + ln Q
4) ln (P/Q)= ln P – ln Q
Derivada de la función logaritm o natural. Sea u una función derivable en x 1.
d 1 (ln x) , x 0 dx x
2.
d 1 du u' (lu ) ,u 0 dx u dx u
3
Derivación logarítmica. Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos como ayuda en la derivación de funciones no logar ítmicas. Ejempló.
x 2 3x 2 , x 1 Ejemplo: Hallar la derivada de y ( x 1) 2 1. Se Reescribe la función. y
x 2 3x 2 , x 1 ( x 1) 2
x 2 3x 2 2. Se aplica logaritmo en ambos miembros. ln y ln ( x 1)2 3. Aplicando las propiedades ln y 2ln x 12 ln(3x 2) 2ln( x 1)
logarítmicas
en
ambos
miembros.
y' 2 1 3 2 y x 2 3x 2 x 1 2 1 3 2 5. Despejar a y y' y x 2 3x 2 x 1 2 6. Sustituyendo a y por el paso 1. y ' 2 1 3 2 x 3x 2 x 2 3x 2 x 1 ( x 1) 2
4. Derivar en ambos lados.
Ejemplo 2: Hallar la derivada de y
Lny Ln Resolviendo
( x 1) 4 7
x 2 9
( x 1) 4 7 x2
Lny 4 Ln( x 1)
1 Ln( x 9 2) 7
4 y' 1 1 9 x8 1 9 x8 ( x 1) 4 4( ) 9 y ' ( ) 9 7 y x 1 7 x 2 x 1 7 x 2 x 2
"Cuando se muere un viejo es como si se quem ara una biblioteca" (Probervio africano)
4
Resolución de derivadas por fórmulas Sean u y v funciones de x. 1. La regla de la constante
df d (c ) 0 dx dx
Ejemplo 1: Resolver las siguientes derivadas d ( x 3 1)(5 x 1) dx Esta es la derivada de un producto, por lo tanto se tiene que:
2.Regla de una variable
dy d d ( x 3 1) (5 x 1) (5 x 1) ( x 3 1) dx dx dx 3 ( x 1) 5 (5 x 1) 3 x
respecto a ella misma
df d ( x) 1 dx dx
5 x 3 15 x 2 3 x 5
3 .Regla del múltiplo con stante. d (cu ) du c dx dx
4. Regla de las potencias.
d n u nu n1u ' dx
d ( x 2 6 x 4) dx dy d d d x2 6 x 4 dx dx dx dx dy 2x 6 dx
Ejemplo 2: Resolver
5. Regla de la suma
d u v u ' v ' dx 6. Regla del producto:
d uv uv ' vu ' dx 7. Derivada del cociente.
d u vu ' uv ' dx v v2
5
Derivadas de funciones trigonométricas
d Sen(u) cos u.u ' dx d 9) C os(u) senu.u ' dx d 10) Tan(u) sec2 u.u ' dx
d Cot (u) cosec2 u.u ' dx d 12) Sec(u) sec u. tan u .u ' dx d 13) Cosec(u) cosec u.cot u.u ' dx
8)
11)
Ejemplo: Derivar y = Sen( x2 9) y ' 2 x cos ( x2 9)
Derivadas de funciones exponenciales
14. función potencial inversa d 1 n dx u
nu ' u n 1
15. Derivadas para raíz (n-esima)
Ejemplo: Derivar y9 =x 2
3y '
d n u' u dx n n u n 1 2x 9 9 x 2 3
8
16. Derivada de la función exponencial en base a.
a)
d x (a ) a x .ln a dx
b)
d u ( a ) au .ln a.u ' dx
17. Derivada de la función exponencial natural.
d (e x ) a) ex dx
b)
d u du ( e ) eu dx dx
6
18) Derivada de una función elevada a otra función.
d v (u ) v. u v 1. u ' + u v . Ln u . v ' dx Derivadas de funciones Logaritmicas 18. Derivada de la función logaritmo natural.
d u' Ln(u) , u 0 dx u 19. Derivada de la función logaritmo decimal .
d u' Loga (u) dx u.ln a
Ejemplo: Derivar y = Ln Cosx +
3
x 1
1 Senx d 3 2 Cosx + x 1 3 3 x 1 dy dx dx Cosx + 3 x 1 Cosx + 3 x 1
7
Cálculo Integral Práctica: 1 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones logarítmicas y exponenciales.
I . Deriva las siguienttes funciónes: II . Halle la derivada de las funciones 1. y = ln x 5 2 x
exponenciales dadas: 1. y = e
2. y = Log 9 2 x 4 5
5
5. y =
6. y=
3. y = e x
x3 6 x 2
x 3
3
x5
7
3
7
sec x
x 6 x 9 5
3
sen ln x
3 4. y = Cot 9 e x 2 5 cos x 6
7
x3 1 x 4 6
2x 7
x 5
7. y=ln
2. y = Tan e cot 8 x 6 x 4 e
3. y = ln 6 2 x 1 3 x3 4
4. y =
x 4 senx3 ln x
5. y = x 3 cos e sen 5 x
8
6. y = 7
2x 3
sen3 x 2 senx 8
7. y = ecos
5 x x
9
ln x
6
senx3
2x 2
3
4 4 x5 2 2 x 6 8 5x 2
8. y = x 3 Tan e x .senx 23
9. y= Co sec 9 x (ln cos x)
8
III . Encuentre la derivada de las funciones exponenciales
x x sen ln 2 x 1. y = 5 8
2
IV . Determine la derivada de cada función: 1. y = log 2 senx x5
2. y = 4
tan x x
7cos x
2
3 x4
Sen5 x x 2. y = log 4 T an e x cos x
x6 ln cos x 3. y = sec 10
4. y = 6
3. y = log16 x3 cot x
ln x3 x 2 6 x Cotx
cot x 5. y = 6 3
6. y = 12
7. y = 16
x ln x
sec6 x
4. y = log10 2 x 6 2 tan x cos5 * x 7
5. y = log18 sec x9 e3 x
cos ln x 5 x
sec x3 senx
sen4 x
5
2
ecos 2 x
8. y =10 tan sen x ln 4 x 2
9. y = 6cos x "La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)
9
20. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
d u ' (arccos u) dx 1 u2 d u' ( arc cot u ) dx 1 u2 d u ' ( arcc sc u) dx u u2 1
d u' (arcsenu ) dx 1 u2 d u' (arc tan u dx 1 u2 d u' (arc sec u ) dx u u2 1
26. Derivación e integración de funciones hiperbólicas.
d ( senhu ) (cosh u )u ' dx d (cosh u ) ( senhu )u ' dx d (tanh u ) (sec h 2u )u ' dx
d (coth u ) (csc 2 u )u ' dx d (sec hu ) (sec hu tanh u )u ' dx d (csc hu ) (csc hu coth u )u ' dx
32. Derivación de funciones hiperbólicas inversas.
d u' [ senh 1u ] dx u2 1 d u' [tan h 1u ] dx 1 u2 d u ' [sec h 1u ] dx u 1 u2
d u' [cosh 1u] dx u2 1 d u' [co t h 1u] dx 1 u2 d u ' [c sc h 1u] dx u 1 u2
Ejemplos: Hallar la derivada de las funciones dadas.
1) y Arcsen ( x 2 4) y '
2x 1 x2 4
2
2) y Sech x 6 3 x 1 y ' 6 x 5 3 Sech x 6 3 x 1 Tanh x 6 3x 1
10
Cálculo Integral Práctica: 2 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Práctica de funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas: I . Halle la derivada de las siguientes funciones: 1. y = arcsen x 5 tanh x ln x 7 2. y = arctan x 9 9 x 5 e
II. Determine la derivada de cada función: 1. y=senh x8 ln x
arccos x x
2. y tanh arcsenx x
3. y = arcsec 4csc x x 4
3. y x sec h 9 7
sen x arccos x
ln arc cot x
6. y = 6
2
senx x log10 x9 5
7. y = Arccos x 2 9 sen
x 3
9. y = 14arctan
x 8
5. y x tan e x coth ln x 5 6. y log 9 senhx tanh x11 7. ln senx 3
8. y = Sen arc sec ln x ln arctan x
x3
4. y cos ch x8 senx
5. y = x 5 3 arctan 6 x 3x
ln
senh e 4 x tan x
9
4. y = 11
arc sec x6 6 x3
x 10
tanh x
cosh x e4 x
7
8. y 13
9
coth x 2 5 x 4
tanh ln x
x 4 11x arc sec x
10. y = Arcsen x ln x 6
El mejor medio de conservar los amigos es no pedirles ni deberles nada. François de la Rochefoucauld. Escritor francés.
11
Indeterminaciones y Límites Las formas indeterminadas 0
A
0
y
Se le llama formas indetermin adas porque no garantizan que
el límite exista , ni indican cual es en caso de existir. Las más comunes son , 0 , , 0, 0 , 0 ,1 ,
0
Regla de L’HÔpital Sean f y g funciones que son derivables en un interv alo abierto (a,b) conteniendo un c (a,b) . Asumir que g´(x) existe para todo x en (a,b), excepto posiblemente el propio c. si el límite de produce
L im x c
la
forma
indeterminada
f ( x) cuando x tiene a c g ( x) 0 , , 0
entonces
,
f ( x) f ´( x ) L im x c g ´(x ) g(x )
Supuesto que el límite de la derecha existe es infinito). Este resultado f ( x) g ( x) cuando x tiende a C produce también aplica si el límite de , , ó , . cualquiera de las formas indeterminadas Ejemplo 1. Encuentre el lim 2 x senx x 0 x
lim x 0
2 x senx 2(0) sen0 0 0 0 x 0 0 0
forma indeterminada lim x 0
0 0
Como el cálculo directo nos lleva a la
podemos aplicar la regla de L’HÔpital.
2 x senx 2 cos x lim lim 2 cos x 2 cos 0 2 1 1 x 0 x 0 x 1
12
ln(3x 5) x 2 Tan( x 2) ln(3x 5) 0 Evaluando se tienes que Lim x 2 Tan( x 2) 0 3 3 3 Ahora plicando regla de L'Hopital Lim 32x 5 Lim 3 2 x 2 Sec ( x 2) x 2 (3 x 5) Sec ( x 2) 1 Lim
Ejemplo 2. Halle el límite de
Ejemplo 3. Determine el límite L im(cos x)Cotx x 0
1. Evaluando directamente se tiene que L im(cos x)cot x (cos 0)cot 0 1 x 0
2. Ahora se aplica logaritmo natural
Ln y lim Ln(cos x)csc x x 0
3. Aplicando propiedades logarítmicas y evaluando
ln y = lim1n(cos x)Cotx limcotx1n cos x (cot 0)1n cos 0 .0 x 0
x 0
4. Para aplicar el Hoppital se debe obtener las indeterminaciónes 0 ó 0
En la expresión (2) aplicar identidades trigonométricas y evaluar 5.
lim cotx1n cos x lim 6.
x 0
Ln cos x
x 0
Tanx
0 0
7. Ahora si se puede aplicar la regla de Hoppital
Ln cos x
Senx Senx lim lim x 0 x 0 Tanx Cosx Secx 1 lim Senx Lny 0 Lny lim x 0
x 0
8. Como La variable dependiente esta afectada por un logaritmo se aplica la operación inversa de esta. Lny 0 e Lny e0 y 1
L im(cos x)Cotx 1 x 0
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Cálculo Integral Práctica: 3 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….… I. Busca el límite de las siguientes funciones: 1. y= lim x2
x2 x2 4
2. y lim x2
x2 x 3 e x e 2
11. lim
x3 8 x2
ex 1 x 0 tan 3 x
12. lim
3x 2 x 5 x 5 x 2 6 x 3
3. y lim
e 3 x e 3 x 13. lim x 0 senx
4. y lim x 2 e x x
14. lim x x 2 x x
1
5. y lim cos x x
2
x 0
6. y lim x 0
15. lim tan x
sen 2 x sen3 x
7 x2 4x 16. lim 3 x x 2 x 2
e x e3 7. y lim x 3 x 3 1 8. y lim 1 x x
x
1
17. lim cos x x 0
2 5 9. y lim 2 x 3 x 9 x 3 10. y lim x 0
senx
x 0
x5 3x 2 x2 8x
18. lim
x
4 x2 x x
19. lim x 2 5 x 2 x x
El hombre que sabe gastar y ahorrar es el más feliz, porque disfruta de ambas cosas.
S a mu e l J o h n s o n . E n s a yi s t a , p o e t a y d r a m a t u r go i n gl é s .
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Cálculo Integral En el siglo III a.c Arquímedes y otros griegos empezaron a investigar cómo conseguir el área y volumen de cualquier figura geométrica. Dieron una regla general para calcular la med ida del área de un rectángulo (b.h ), por tal razón el área de un triangulo rectángulo es (1/2.b.h). Se sabe que la trigonometría nos proporciona fórmulas para hallar la medida de cualquier clase de triángulo (1/2b.h senθ) . Los pitagóricos inventaron que un polígono se puede descomponer en triángulos, entonces su área se consigue mediante la suma de las áreas de los tr iángulos en que se ha dividido (Método del agotamiento). Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas li mitadas por segmentos de rectas y es un aproximado. En esa época los griegos no encontraron una expresión general por falta de herramientas (limite). La ciencia queda al desnudo con la quema de la biblioteca de Alejandría (S. III d.c), años más tarde (1600) Johane Keepler Comienza a investigar sobre área de figuras curvas y funciones, acertó en muchas cosas pero no pudo encontrar un método general. Después Pierret Fermat y Renet Descartes (Fran ceses) combinan algebra y geometría (descripción de figuras a través de ecuaciones). Finalmente ha mediado del siglo XVII se logra inventar un método general para buscar área bajo curva, a ese método se le llamo integración. El cálculo integral, encuadr ado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración o anti -derivación. Fue inventado por Leibniz, Newton y Barrow, éste último junto a Newton, crearon el Teorema fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. La integración es una herramienta para calcular mucho más que áreas y volúmenes. Tiene aplicaciones en estadística, economía, ciencias e ingeniería. Permitiéndo calcular rangos de aplicaciones de probabilidad y promedios de consumo de energía, así como la fuerza del agua contra las compuertas de una p resa. Su objetivo es permitir calcular efectivamente muchas cantidades, dividiéndola en partes más pequeña y sumando después en total cada trozo.
15
Función primitiva, anti derivada o integral. Es la relación dependiente de datos sobre uno o más valores que declaran los límites de un área. A través de la primitiva se encuentran una familia de funciones que solo difieren en la constante. Por lo que
dy
f ( x)dx F ( x) c dx ( F ( x) c) f ( x) , eso indica que la operación inversa de la integración es la derivación y viceversa. La función f (x) posee infinitas integrales que solo se diferenciaran en una constante (c). Tipos de Integrale s. Hay dos tipos de integrales, las cuales son la integral definida cuyo resultado es un número y la integral indefinida mediante la cual se obtiene otra función. En este manual empezaremos por el estudio de las integrales indefinidas Las cuales formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías de matemáticas puras y aplicadas. El diferencial es el que nos indica respecto a cual variable es que vamos a integral.
( )d la integración se va a realizar respecto a , no sobre .
16
Resolución de integrales Por medio de integración inmediata . Para resolver integrales de este tipo es conveniente que el estudiante memorice una serie de integrales fundamentales
1. Integral de Cero: Será igual a una constante.
0dx C
2. Integral del diferencial de una variable : Es igual a la variable más una constante. dx x C 3. La integral del producto de una constante por una función : Es igual al producto de la constante por la integral de la función.
kf ( x)dx k f ( x)dx 4. La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones: Es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.
f ( x) g ( x )dx f ( x)dx g ( x)dx 5. Integral de una función exponencial: Es igual a la base de la función elevada al exponente aumen tado en uno y dividido por el n 1
x , n x n 1 c decir, para n 1 de una forma general tenemos que , Para todo número real exponente aumentado en uno, má s una constante, es n 1 .
n u
u n 1 C n 1
6. integral de la función exponencial
e e .du e C u
u
Reglas para la integración de este tipo: 1. 2. 3. 4.
Se reescribe la función ponerla de tal forma que se pueda integral. Se integra. Reducción de términos semejantes. Escribir el resultado de la integral.
19
Ejemplos: Resuelva las siguientes integrales.
x 61 x7 a. x dx C 6 1 7
x 41 d . 5x dx 5 x dx 5( ) x5 c 4 1
6
4
x 3 1 b. x dx c 3 c 3 x 4
4
3
f . x dx 1 2
x2 3 2
2 3 c .x 2 c 3
c. ( x5 4 x 4 3 x 2 x 1)dx x5 dx 4 x 4 dx 3 x 2 dx xdx dx
1 6 4 5 1 x x 3x 1 x 2 x c 6 5 2
En los siguientes ejemplos hay que desarrollar el numerador. Ejemplo g:
(4 x )
Ejemplo h:
(1 e ) dx |dx 2 e dx e
3 2
x 2
dx 16dx 8 x3dx x6 dx 16 x 2 x 4
x
2x
1 7 x c 7
1 dx x 2e x e2 x c . 2
Solo si estás dispuesto a ir demasiado lejos sabrás lo lejos que puedes llegar . Autor pendiente
Resolución de integrales por el método de sustitución o cambio de variable. Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas, para facilitarlas se han ideado diversos procedimi entos generales, de los cuales uno de los métodos más importante para la resolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable ( u) para sustituir a una expresión apr opiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Hay que tomar en cuenta que si tenemos a u también debemos tener su diferencial por lo tanto debemos derivar. 7. La función logaritmo natural y la integración. Sea u una función derivable de x.
a.
dx x
ln x c
b.
du u
ln u c
Ejemplo 1: resolver las siguientes integra le. x 5 x 5 (1 e ) e dx |u du
u6 (1 e x )6 c c 6 6
u 1 e x , du e x dx
Ejemplo 2: Separando el numerador. 3x 2 2 x3 2 xdx ; haciendo u x3 2x el denominador y luego derivando para obtener
du 3x 2 2 dx el numerado y sustituir cada valor , por lo tanto tenemos que du 3 y obtenemos de resultado a u LnU lim x 2 x c
26
Ejemplo 3: Integrar
x dx x 1 2
x x1dx u1 du u x 1 2
2
2
1 y du 2 xdx
despejando a du se tiene que:
du xdx 2 , aplicando la regla logarítmica para la integración: 1 2
u1du
Ejemplo4:
1 2
x
ln u c
1 2
ln x 2 1 c
2x 1 dx L x 2 x 6 Esta integral es inmediata ya x6
2
que el numerador es exactamente la de rivada del denominador la siguiente también solo que tenemos que acomodar el numerador a través de artificios matemáticos. Ejemplo5:
x
2
x 1 1 dx c 2x 6 2
Ejemplo 6 : Resuelva la siguiente integral x 4 3 1 x5 dx z 1 x5 ,
dz 5 x 4 dx
x 4 3 1 x5 dx
1 13 1 3 43 z dz z 5 5 4
4 3 3 1 x5 c 20
27
Resolución de integrales trigonométricas y potenciales aplicando el método de sustitución.
e u .du e u C
8)
a u .du
9)
au C ln a
senu.du cos u C
10)
cos u.du senu C 11) 13) tgu.du ln(sec u) C
14) ctgu.du ln senu C 15) 16)
ó - ln cos x c ó - ln csc x c
sec u.du ln sec .u tgu C cos ecu.du ln cos ec.u ctgu C
a) Demostración de la integral de la tangente. sin x 1 tan xdx cos xdx cos x ( sin xdx) sea
u cos x, du sin xdx al hacer las sustituciones respectivas, se obtiene 1 1 1 tan xdx u du 1n u c 1n u c 1n cos x c, xdx ln1n secsec x x c c tantanxdx
28
b) Demostración de la integral de la cotangente.
si u sin x du cos xdx du ln u ln senx c u c) Demostración de la integral de la secante Secxdx . co t xdx
Multiplicando y dividiendo el integrando por secx+tanx
Resolviendo por el método de sutitución trigonométrica
Secxdx ln sec x tan x c d)Demostración de la integral de la cosecante Cscxdx
Multiplicando y dividiendo el integrando por cscx-cotx
Cscxdx Ln Cscx cot x C
Por lo que
Ejemplos: Calcular la siguentes integrales.
1
1
cos 9 x dx 9 cos zdz 9 senz z 9x
1 = sen9 x c 9
dz 9dx
29
Resolver senx 7 1 cos xdx u 11 cos x ,
du senxdx
8
u
1
7
u 7 du 87
=
77 8 1 cos x c 8
Resolución de integrales aplicando identidades y sustitución trigonométricas. Las integrales trigonométricas vistas en cursos anteriores son de mucha importancia, pues las vamos a usar para poder integrar fácilmente.
Ejemplo 1: Hallar Como
(tan 2 x 1)dx
tan 2 x 1 sec2 x , entonces
(tan 2 x 1)dx sec2 xdx sec xdx
Aplicando la fórmula 15 tendremos que :
sec xdx ln sec x tan x c cox 1 dx senx
Ejemplo 2:
u senx 1 du cos x
duu ln u c ln senx 1 c sen d 2
como sen 2 Ejemplo 3:
1 cos 2 Entonces sera 2
1
2d cos 2 d ; La primera es una integral directa y la segunda por sustitucion.
sen
d
2
1 1 sen 2 c 2 4
“Libros, caminos y dias dan al hombre sabiduria”. Proverbio árabe.
30
Sen z +Tan z Ejemplo 4: Resolver dz Sec z 1 Sen z +Tan z Sec z dz Sen z +Tan z Cos z dz = Sen z Cos z dz + Sen z dz, Resolviendo cada integral I1 Sen z Cos z dz
1 sen z +c & I 2 + Sen z dz=-cos z +c 2
1 Sen z +Tan z dz senz - cosz + c Sec z 2
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a una mujer. William Shakespeare
31
Cálculo Integral Práctica: 4 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales inmediatas y sustitución
1
x dx
11.
2.
r
12. Cos7d
3.
2
9
r 4 dr
x
3 4
dx
14. 5w4dw 15)
5. 5.
1 Lnx dx x
2 13. Sen Cos d
4. 1 3 y y 2 y dy 5 2 5
3
1 4
u3 4 u2
du
2 y3 3 y 9 dy 6. y2
9t 7. (4e 7Sen6t )dt
Ln 2 xdx 8. x 9. 2 3x dx 5
2 3 10. 2 z( z 4) dz
33
II. Resuelve las siguientes integrales: 1)
2)
tan
x11 dx
2
4
sen
2
x
11)
12)
1 sec x 5 1 cos x 3) dx cot x
5)
6)
1 1 dx c sec 2 x sec 2 x
14)
1 x2
dx
arc cot
7)
8)
9)
x ln
10)
15)
arc sec x
1 x2
7
9
dx
x dx x3
13) x 2 x 4dx
sec xe tan x cos x dx e
3x
dx
2
4)
5 ln x
x
2 x 3 dx 2
tan arccos x 1 x
2
dx
3
dx
6 1 x arccos x 2
7
x
x
dx
7 ln x
dx
Las personas no cambian por el simple hecho de cambiar, sino, cuando hacen conciencia de que realmente deben cambiar. Wilton Oltmanns
34
Integración por partes El método de integración por parte
surge cuando hay un producto fruto de
combinaciones
como
de
trigonométrica,
funciones, una
tal
algebraica
unida
una a
algebraica una
unida
a
una
logarítmica,
una
trigonométrica inversa y una logarítmica solas, aunque también puede ser una trigonométrica con una trans cendente cualquiera, etc. Debido a que no hay una integral inmediata para resolver un producto de integrales, ha sido necesario crear un método para darle solución a estas. Sean u y v funciones de x con derivadas continuas. Demostración:
udv uv vdu c Derivando a (uv) d (uv) udv vdu Despejando a udv udv d (uv) - vdu ahora se integra udv duv - vdu c y se obtiene udv uv - vdu c
Nota: Cuando se está frente a una integral por partes, es conveniente seleccionar como integración y como
dv la parte más complicada, pero de más fácil
u
el resto. Luego se hacia el proceso de integrac ión
cuantas veces sea necesario
35
Regla nemotécnica:
Para elegir la función se puede usar una de las siguiente reglas sabiendo que esta sera la función de la izquierda.
1. Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas , Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ L I A T E .
2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a l a izquierda de la palabra ILPET, LIATE O ALPES .
El hombre que tiene lengua no es hombre, si no puede con ella conquistar a una mujer.
William Shakespeare
36
Resuelva las siguientes integrales:
xe dx x
Ejemplo 1: Re solver si u x du dx dv e x v e x
acoplando x.e x .dx a la fórmula udv uv vdu c xe x e x dx xe x e x c Ejemplo 2 : Re solver ln .d si u ln du dv d v
1
d
2 2
acoplando ln .d a la fórmula udv uv vdu c 2 2 1 2 ln d ln C 2 4 2 2 Ejemplo 3 : Re solver
xe
2x
dx
u x du dx dv e 2 x dx e2 x 2 Aplicando el métdo de int egración tenemos que :
Integrando a dv e 2 x dx v 2x xe dx uv vdu c 2x xe dx
xe 2 x e2 x dx 2 2
xe 2 x e 2 x C 2 4
A veces se tendría que aplicar varias veces este método hasta llegara a resolver definitivamente la integral, debemos tener en cuanta tal como ya lo vimos en los ejercicios anteriores que se debe llegar a resolver una sola integral y que la misma sea directa.
37
Ejemplo 4 : Resolver
x
2
cos xdx
si u x 2 du 2 xdx dv cos xdx v senx
x
2
cos xdx x 2 senx 2 x.senx.dx
Re solviendo x.senx.dx si u x du dx dv senxdx v cos x x cos x cos xdx x cos x senx Uniendo x 2 senx ( x cos x senx) x 2 senx x cos x senx c
Ejemplo 5: Resolver u : Arctanx ;
du=
Arctan x dx
1 dx; 1 x2
dv dx;
vx 1
udv uv vdu c Arctan x dx x arctan x 1 x
2
dx
La siguiente integral se resuelve por sustitución 1 1 x 2 dx z 1 x2 ;
dz 2 xdx;
dx
dz 2x
x dz 1 dz 1 Ln 1 x 2 c z 2x 2 z 2
Arctan x dx xTan
1
1 x Ln 1 x 2 c 2
38
Integrales cíclicas Son aquellas que vuelven a su integral original por lo tanto hay que hacer algunos arreglos para obtener su resultado final.
Ejemplo 6 : Re solver e x senxdx u senx du cos xdx dv e x dx v e x Aplicando el métdo de int egración tenemos que :
e senxdx e senx e x
x
x
cos xdx
Dado que la integral de la derecha es por parte, aplicamos el métdo de nuevo.
e
x
cos xdx e x cos x e x senxdx e x cos x e x senxdx
u cos x du senx dv e x dx dv e x dv; v e x Como se puede obsevar la integral original se repite, porque es cíclica,
e senxdx e senx e cos x e senxdx c e senxdx e senxdx e senx e cos x c 2 e senxdx e senx e cos x c x
x
x
x
x
x
x
x e senxdx
x
x
x
x
e x senx e x cos x c 2
2 Ejemplo 7 : Resolver sen x dx.
Reescribiéndola tenemos
senx . senx dx
dv senx.dx v cos x u senx du cos x.dx Aplicamos el método:
sen 2 x.dx senx. cos x
cos 2 x.dx
39
Aplicando identidades trigonométricas
sen 2 x.dx senx. cos x
1 sen 2 x .dx
Luego operamos de acuerdo a las propiedades ya vistas de las integrales:
sen 2 x.dx senx. cos x
dx sen 2 x.dx
Luego operamos algebraicamente:
sen 2 x.dx
sen 2 x.dx senx. cos x
sen x.dx 2
dx
2 sen 2 x.dx senx. cos x x
senx. cos x x C 2
EJercicios: Resolver .
ln x dx x
. e x cosxdx .
e
2x
sen3xdx
2sen3xe2 x 3cos 3xe2 x sol: c 13 13
"La cara es el espejo del alma, y los ojos confiesan en silencio los secretos del corazón" (San Jerónimo)
40
Método Tabular Es otro método de resolución de integrales que se usa frecuentemente sustitución del método de integrales por partes, pero este es una técnica matemática más fácil. Su inventor fue Dan Rosen profesor de la universidad de Hofstra. Este método es para integrales que tienen la forma:
x
n
x senaxdx, x e n
cos axdx,
n ax
dx
Procedimiento: Según el prof. ing. gil Sandro Gómez. Para calcular
f x g x dx
construye una tabla, donde se puedan poner las
funciones a derivar (f x) en la columna “D” y en la columna “I” las funciones a integral (gx). Los signos van alternándose. Signos
Derivadas
Integrales
f x
g x
Df x
I ( g) x
D2 f x
I 2 (g) x
...
...
...
D f x
n
I n ( g ) x1
Se continúa este proceso hasta que:
La función a la izquierda se convierta en cero. En este caso siempre debe ser una algebraica. El producto de las funci ones en el último reglón se pueda integrar.
41
El producto de las funciones sea un múltiplo constante del producto de las funciones en el primer reglón.
Resuelva la integral dada utilizando el método tabular .
Ejemplo : Re solver Signos
x e dx 4 x
u y sus derivadas
dv y sus int egrales
x
-
4x 3
ex
12x 2
ex
-
24x
ex
24
ex
-
0
ex
4
ex
x 4 e x dx x 4 e x 4x 3e x 12x 2 e x 24xe x C
Resolucion de Integrales Trigonomé tricas con exponentes enteros. Hay varios casos de este tipo de integrales, pero es bueno reconocer que los más comunes son del tipo.
sen
m
x cosn xdx
sec
y
m
x tan n xdx
a) Integrales que contienen potencias de senos y cosenos Caso 1. Si la potencia del seno es impar y positiva, conservar un factor seno y pasar los factores restantes a cosenos. Entonces, desarrollar e integrar.
sen x cos xdx sen x cos xdx sen sen x cos xsenxdx 1 cos x cos m
2 k 1
n
2
k
n
n
2
k
2k
x cosn xsenxdx
n
xsenxdx
42
sen xdx sen x.dx senx.sen x.dx senx. sen x .dx senx 1 cos x sen x.dx senx. 1 2 cos x cos x .dx senx.dx 2 senx.cos 5
Ejemplo 1: Resolver 5
4
2
5
2
2
2
4
2
2
Tenemos tres integrales que se res uelven
por
.dx x.dx senx.cos 4 x.dx
metodos anteriormente vistos,
como a) se resuelve directamente, b) y c) por sustitucion. a ) senx.dx cos x C1 cos3 x C2 3 cos5 x c) senx.cos 4 x.dx C3 5 u cos x du du senx.dx dx senx du u5 senx.u 4 . u 4 .du C3 senx 5 Arnando la integral original tendremos :
b) senx.cos 2 x.dx
2
sen x.dx cos x 3 cos 5
Ejemplo 2: Resolver
3
cos 5 x C3 5
1 x cos 5 x C 5
sen xcosxdx 3
u senx du cos x Sustituyendo tenemos que : 1
sen x cos xdx u du 4 u 3
3
4
1 sen 4 x c 4
c
sen 4 x C 4
Caso 2. Si la potencia del coseno es impar y positiva, conservar un factor coseno y pasar los factores restantes a senos. Entonces, desarrollar e integrar.
sen x cos xdx sen x cos xdx sen x cos x cos xdx cos x cos xsen xdx sen x 1 s en x cos xdx m
n
2
m
k
m
2 k 1
m
m
2
2k
k
43
Ejemplo 3: Resolver
sen xcos xdx 5
3
Sacamos un factor coseno y lo otro lo convertimos en seno:
sen x cos 5
2
cos xdx sen5 x(1 s en 2 x ) cos xdx ( sen 5 x cos x sen 7 x cos x)dx
5 7 5 7 sen x cos xdx sen x cos xdx u du u du
u6 u7 C 6 7
Hacemos :
sen6 x sen 7 x C 6 7
u senx du cos xdx
Caso 3. Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usar repetidamente las identidades.
sen2 x
1 cos 2 x 2
y
cos 2 x
1 cos 2 x 2
N o t a : p ar a p o t e n c i as d i f e r e n t e s c o n s ul t a r l i b r os d e t a bl as ma t e má t i c as .
44
Ejemplo 4: Resolver cos 4 x.dx 1 1 cos 2 x 2 cos x.dx cos x .dx 2 .dx 4 1 2.cos 2 x cos 2 x .dx 1 1 1 4 2 cos x.dx 4 dx 2 cos 2 x.dx 4 cos 2 x.dx 1 1 a) dx x 4 4 u 2 x 1 b) cos 2 x.dx du 2 du 2.dx dx 2 4
2
2
2
1 du 1 1 1 cos u. cos u.du senu sen 2 x 2 2 4 4 4 1 1 1 cos 4 x 1 1 1 c) cos 2 2 x.dx .dx dx cos 4 x.dx dx cos 4 x.dx 4 4 2 8 8 8 1 1 .x sen 4 x 8 32 1 1 1 1 3 1 1 4 cos x.dx 4 x 4 sen2 x 8 .x 32 sen4 x 8 x 4 sen2 x 32 sen4 x C Sustituyendo y resolviendo :
Ejemplo 5 : Re solver sen 2 x cos 2 xdx Aplicamos la identidad del ángulo duplo : 1 cos 2 x 1 cos 2 x ~ (2), cos 2 x ~ (3) 2 2 Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos que : sen 2 x
1 cos 2 2 x 1 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx (1 cos 2 2 x)dx ~ (4) dx 2 2 4 4 Utilizamos la identidad del ángulo duplo otra vez: 1 cos 4 x ~ (5) 2 Sust. (5) en (4):
cos 2 2 x
1 x (1 1cos4 )dx 2 4
1 4
1 4
(1 12 cos44 x )dx 14 (1 12 cos44 x )dx
( 12 cos44 x )dx 81 dx 81 cos 4 xdx 8x 321 cos zdz 8x sen324 x C
Hacemos z 4 x dz 4dx De a hí que : dx
dz 4
45
Integrales que contienen potencias de secante tangente y cotangente – cosecante. Caso 4. Si la potencia de la se cante o cosecante es par y positiva y hay factores tangentes o cotangente , conservar un factor secante o cosecante cuadrado y convertir los factores restantes en tangente o cotangente. Entonces desarrollar e integrar.
sec
2k
x tan n xdx (sec2 x)k 1 tan n x sec2 xdx (1 tan 2 x) k 1 tan n x sec 2 xdx
Caso 5. Si la potencia de la tangente o cotangente es impar y positiva y hay factores secante o cosecante, se debe conservar un factor secante tangente o cosecante cotangente y convertir todos los demás en secante o secante y luego desarrollar e integrar.
sec
m
x tan 2k 1 xdx secm1 x(tan 2 )k x sec x tan dx secm1 x(sec 2 x 1) k sec x tan xdx
Caso 6. Si la tangente o cotangente están solas y su potencia ( n)
es
cualquier entero positivo , se convierte un factor cuadrático de ellos en
sec2 x o c sc2 x y se deja todo lo demás en tangente o cotangente. Aplicar este proceso tantas veces sea necesario hasta obtener una tangente o cotangente de n=1, la cual se hará inmediatamente.
tan
n
xdx tan n2 x(tan 2 x)dx tan n2 x(sec2 x 1)dx
Caso 7. Si se tiene una integral de la forma
sec
m
xdx se aplican los
siguientes criterios. a) Para m par aplicar el caso 4 b) Para m impar aplicar la integración por parte. Caso 8. Si ningunas de las guías anteriores aplican tratar de convertir el integrando en senos y cosenos.
46
Ejemplo 6. Resuelva el siguiente integral.
tan x sec xdx tan x sec x sec xdx tan (tan x sec x tan x sec x) dx tan x sec 2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
x(1 tan 2 x)sec 2 xdx xdx tan 4 x sec 2 xdx ~ ( a)
Hacemos : u tan x du sec2 xdx
~ (b)
Sustituyendo (b) en (a) :
u3 u5 tan 3 x tan 5 x u du u du 3 5 C 3 5 C 2
4
Ejemplo 7. Calcule el integral.
tan x sec xdx tan x sec x sec x tan xdx (sec x 1)sec x sec x tan xdx (sec sec x tan x sec x sec x tan x)dx sec x sec x tan xdx sec x tan x sec xdx ~ ( a ) 3
3
4
2
2
2
2
4
2
2
Hacemos : u sec x du sec x tan xdx
~ (b)
Sustituyendo (b) en (a) :
u5 u3 sec5 x sec3 x u du u du 5 3 C 5 3 C 4
3
47
Cálculo Integral Práctica: 5 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales por parte y trigonometricas: 1. xsen2xdx x 2. xsen dx 5 3. x cos xdx x2 2
4. 5e x 3 dx 5. e
cos x
sen 2 xdx
6. x e dx 5 x
7. sen5 xdx 8. sen 2 x cos 4 xdx 9. tan 5 xdx 10. sen3 x cos 2 xdx 11. tan 6 xdx 12. sec 6 x tan 2 xdx 13. sec x
x 1 R : cos 2 x sin 2 x c 2 4 x x R : 5 x cos 25sin c 5 5 R : xsenx cos x c x2 2 2
x2 2
R : 5 x e 10e c R : 2ecos x cos x 1 c R :? 2 1 R : cos x cos3 x cos 5 x c 3 5 1 1 1 1 R : x sen4 x sen3 2 x c 8 2 8 6 1 1 R : tan 4 x tan 2 x ln cos x c 4 2 1 1 R : cos5 x cos3 x c 5 3 R :? R :?
3
48
x
13)
cos
14)
x
15)
ln xdx
2
2
x
R: xTanx ln cos x c
dx
1 1 1 R: x3 arctan x 2 ln(1 x 2 ) c 3 6x 6
arctan xdx
R: x ln 2 x 2 x ln x 2 x c
2
x4 16) x ln xdx............ (4ln x 1) c 16 3
17)
arcsen2 xdx.......xarcsen2 x
18) sen5 2 x cos2x dx....
1 1 4 x2 c 2
1 sen 4 2 x c 12
19) sen 4 xdx................
1 12 x 8sen2 x sen4 x 32
1 20) Sec 2 x Tanx dx................ Tan 2 x c 2 21)
x
22)
e
2
Cos3xdx
Cos 2 dx "Tener hijos no nos convierte en padre, del mismo modo tener un piano no nos convierte en pianista". ( Mi ch a el L e vi n e )
49
Integrales que contienen los productos seno -coseno de ángulos distintos. En este tipo de integrales es necesario convertir dicho producto en función de una suma. Su demostración está en el manual de precálculo en la parte de trigonometría. Aquí se dan las formulas directamente. Se debe tomar en cuenta que m y n son las v eces que se repite un ángulo y que 𝑚 ≠ 𝑛.
Fórmula s 17 : Pr oductos sen mx. sen nx
sen mx .cos nx
12 ( sen[ m n] x s en[ m n] x)
cos mx.cos nx
12 (cos[ m n] x cos[ m n] x )
1 2
(cos[ m n] x cos[ m n] x)
Ejemplo: Resolver las siguientes integrales. 1)
Sen 8 x Sen 5 x dx
1 Cos m n x Cos m n x 2 1 Sen 8 x Sen 5 x.dx Cos 8 5 x Cos 8 5 x 2 1 Cos 3 x dx Cos13 x dx 1 1 2 1 Cos u du Cos dz 2 3 13
Senmx Sennx
Cos 3x dx u 3x 1 Cosu du du 3dx 3 dx du
1 1 1 Sen u Sen z c 2 3 13 1 1 Sen u Sen 6 26 1 1 Sen 3 x Sen 13 x c 6 26
50
2) Sen6 x Cos 2 xdx 1 Sen m n x Sen m n x 2 1 Sen6 x Cos 2 x 2 Sen4 xdx Sen8 xdx Sen 4 xdx Senmx Cosnx
u 4x
1 1 Sen u du 4 2
du 4dx dx
du 4
1 1 Cos 4 x Cos8 x 8 16 3). Cos10 x Cos3 xdx 1 Cos m n x Cos m n x 2 1 1 Sen10 x Cos3x Cos7 xdx Cos13xdx 2 2 11 1 1 Sen7 x Sen16 x 27 2 13 1 1 Sen7 x Sen13x c 14 26 Cosmx Cosnx
Transformarte en la persona que tu realmente quieres ser
51
Método de sustitución trigonométrica inversa. Para aplicar el método es necesario usar el Teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas. Se hará uso de un triángulo rectángulo desde donde se sacaran todas las funciones que serán sustituidas en el ejercicio. Ejemplo1: Resuelve
dx 16 x 2
Sustituyendo en la integral !
4 cos d
16 4 Sen 4 cos d
16 16 Sen 2 4 cos d
2
16 1 Sen 2 4 cos d 4 1 Sen 2
Cos d Cos 2
Cos d d C Cos x arcSen C aplicamos la inversa 4 x arcSen arcSen 4 arcSenx x , solucion : arcSen C 4 4
52
Ejemplo 2 : Resuelve
x
dx 2
4 x2
Haciendo sustituciones de Sen
x ,x 2Sen , dx = 2 cos d 2
Ahora sustituyendo en la integral se tiene que :
2Cos d
2Sen
2
4 2 Sen 2
2Cos d 4 Sen 2 4 4 Sen 2 2Cos d
4 1 Sen 2
4 Sen 2
2 Cos d
1
4 Sen 2 2 Cos 2
1
1 4 Sen Cos 4 Sen
Cos d 2
d
2
Ahora aquí debemos aplicar identidades
trigonométricas, pues recordemos que
1 1 Coscx cos ec 2 d senx 4
1 Cot c, peroCot 4 solución :
4 x2 x
4 x2 C 4x
53
Ejemplo 3 : Resuelve
x3 x 2 25
dx
5 tan (5sec 2 d ) x 2 25 dx 2 5 tan 25 5 25 tan 3 sec 2 d 3
x3
25 tan 2 25 5 125 tan 3 sec 2 d
25 tan 2 1
125 tan 3 sec 125 tan 2 sec tan d 125 sec 2 1 sec tan d
125 sec 2 sec tan d 125 sec tan d u sec ; du sec tan d u 2 du du 125 u 2 du 125sec
125u 3 125sec c 3
125 3
3
x 2 25 125 x 2 25 5 5
3 1 2 x 25 25 x 2 25 c 3
54
Integración por Tabla El método de sustitución trigonométrica puede ser muy útil cuando aparecen expresiones algebra icas como la siguientes, sabiendo que u u( x) . Lo que debemos es memorizar estas fórmulas y en vez de irnos por el método anterior, sustituir tal como la igualdad.
ln u
u a C
du 1 u arctan C 2 a a a
22)
du 1 ua .ln C 2 a 2a u a
23)
du 1 a u ln C 2 u 2a a u
24)
u
u arcsen c a a u
25) Lnu du u Lnu - u +C
18)
u
2
19)
u
2
20)
a
2
21)
du
2
2
du u a du 2
2
u a 2
2
ln u u 2 a 2 C 2
2
u 1 arc sec C a u2 a2 a du
Ejemplo 1. Resolver las siguientes integrales: La descomponemos en dos integrales en la cual en la primera aplicamos la fórmula 1 y en la otra una integral por sustitución. 1 2x
1 x
2
dx
1 2x dx dx arctg x L(1 x 2 ) C 2 2 1 x 1 x
Integrales que contienen polinomios cuadráticos. Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o potencias negativas de un polinomio de la forma ax2 bx c se pueden simplificar con e l proceso de dx dx ó completar cuadrado. Tienen la forma 2 . 2 ax bx c ax bx c Ejemplos: Resolver las siguientes integrales. 1)
dx dx Tan1 ( x 1) c 2 x 2x 2 ( x 1) 1
2)
dx dx Tan1 ( x 2) c 2 2 x 4x 5 ( x 2) 1
3)
2
x
2
dx dx 1 x3 Arc tan( )c 2 6 x 13 ( x 3) 4 2 2
55
x
4)
2
dx 4x 7
Podemos escribir el denominador como la suma de dos
x 2 cuadrados donde tenemos que
2
3 u2 a 2
.
En esta forma de cuadrados completados tenemos que u x 2 y a 3 por lo tanto
x
2
dx dx 1 x2 Arc tan( )C 2 4x 7 ( x 2) 3 3 3
5) Encuentre la int egral de
5 3x dx x2 4 x 5
Completando al cuadrado el denominador para transforma rlo en el tema anterior. Descomponiendo distributivamente
x2 4x 5
x
2
4x 4 1
x 2
2
tan x 2
1
5 3x 5 3x 5x2 4 x 5 dx x 22 1 dx
x tan 2 dx sec 2 d
11 3ln u c
sec 2 d tan 2sec 2 d 5 2 3 tan 1 tan 2 1 2 2 tan 2 sec sec d d 5 2 3 2 sec sec 1
arctan x 2
5 d 3 tan 2 d
11 3ln cos c
sen d 6 d cos du 5 3 u
11arctan x 2 3ln
5 3
u cos du sen d
c 2 x 2 1 1
56
Ejemplo 6 :
2x 1 4 x 4 x 15 2
4 x 2 4 x 15
d d sec 1 2dx dx x 4 sec tan 2dx 4
2
2
4 4 4 x 2 4 x 15 2 2
2 x 2 19 4 x 2 2 2 x 2 4 19 2
2
2
15 1 1 15 x2 x x2 x 4 2 2 4 1 1 x x 4 2 2 2
1 x 4 2 1 x 2 2 1 12 x 4 4 x 2 x 14 154 4x2 4x
2x 1 2
1 x 4 2 Transformado
x 12
2
dx
2
2x 1
sec
2
16
2x 1
2 x 1
2
16
dx
4 sec 2 2 sec tan d 2 4 sec 16 4 sec 2 2 sec tan d
16 sec 2 16 1 4 sec 2 2 sec tan d 16 tan 2 1 4 sec 2 2 sec d 16 tan 2 2 4 sec d 2 sec d 8 tan 2 8 tan 2 1 sec d 1 1cos d 2 tan 2 4 sen cos u tan ; du sec 2 d
4 2 x 1 16
2 x 1
Solucion
dx
2x 1 , 4sec 2 x 1, 4sec 1 2 x 4
1 du 1 1 d 2 u 4 sen 1 1 ln u cos c d 2 4 1 1 ln tan ln cos c cot c 2 4
57
Método de fracciones parciales Función racional: Es una función que puede expresarse como el cociente de dos polinomios. Es decir,
R( x)
P( x) ; Q( x)
Donde P( x) y Q( x) son polinomios.
El método de fracciones parciales : Es una técnica algebraica descompone un polinomio R( x) en una suma de términos . integrar
R( x)
cierta
clase
de
Nos
funciones
que
permite
racionales
P( x) p( x) F1 ( x) F2 ( x) ... Fk ( x) Q( x )
Donde p( x) es un polinomio y Fi ( x) es una expresión que puede integrarse con facilidad. Esta integral cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son de fácil solución. Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes criterios:
Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización.
Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver primero la división de polinomios.
Fracción parcial Simple: Es cualquier fracción propia de polinomios, es decir, el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador. Así,
3 5x 2 x 3 ; 2 ; x 4 x x 3 2 x 13
.
58
Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en que el estudiante debe tener conocimientos previos de precálculo el cual debe dominar, por lo menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes. Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que por lo general se resuelven aplicando los métodos ya expuestos, por esta razón, es conveniente que el estudiante los domine todos. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0, el cual es el denominador. Al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:
Primer caso: 1. Fracción impropia: Si p(x)/q(x) es una fracción impropia (es decir, si el grado de numerador es mayor o igual al grado del denominador), dividir el denominador para obtener
px r x c x q x qx Donde: p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto y se cumple que q(x) es de mayor grado que r(x). Ahora aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene:
p x r x r x cx dx c x dx dx q x q x q x
59
Ejemplo 1: Resuelve
x2 1 dx x 1
Se resuelve realizando previamente la división , a través de la cual px r x c x qx obtenemos el cociente x+1 y el resto 2 que es símbolo de qx
x2 1 x 1
dx ( x 1
Ejemplo 2: Resuelva
x2 2 )dx x 2L x 1 C x 1 2
x2 x 3 x 2 dx
Dividimos el numerador por el denominador y luego aplicamos integramos cada parte.
x2 x 3 9 x 3 x2 x2 2 x x3 9 x 2 dx x 3 x 2dx dx x 3 dx 9 x2
x2 3 x 9 ln x 2 c 2
60
2do Caso: Factores lineales. 2.a) Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador. Como se muestra a continuación:
Qx
es
un
polinomio
que
tiene
raíces
reales
distintas,
es
decir,
Qx x a1 x a2 x a3 ... x an , por lo tanto: Px A1 A2 x an Integrando Px A A2 x an ... dx ( 1 ... )dx Qx x a1 x a2 xn an Qx x a1 x a2 xn an
1 x x 6dx Factorizamos el polinomio que está enel denominador. Ejemplo 3 : Re solver
2
x 2 x 6 x 3 x 2 1 1 dx x 2 x 6 x 3 x 2 dx A B dx x 3 x 2 A x 2 B x 3 1 Ax 2 A Bx 3B 1 El coeficiente de x es 0x 1, multiplicando
por x 3 x 2
Como mas abajo se formo un sistema de ecuaciones : A B 0 2 A 3B 1 1 1 1 dx 1 dx B ; A ; 5 5 5 x3 5 x2 1 1 ln x 3 ln x 2 c 5 5 ln 5 x 3 ln 5 x 2 c
x
2
x 2 c 1 dx ln 5 x6 x 3
61
Ejemplo 4: Resolver
dx x 2 -16
x 2 16 x 4 ( x 4) 1
x 4 x 4 dx 1 x 16 2
A B x 4 x 4
1 A x 4 B x 4 1 Ax 4 A Bx 4 B Ax Bx 0 x x A B 0 A B 0 A B 0 4 A 4B 0 4 A 4 B 1 4 A 4 B 1 8B 1 A
1 8
B
1 8
1 1 18 8 x 16 x4 x4 1 dx 1 dx 1 1 ln x 4 ln x 4 8 x4 8 x4 8 8 2
1 1 ln x 4 ln x 4 c 8 8
62
Ejemplo 5 : Re solver
4 x 2 18 x 38 x3 x 2 5 x 3dx
4 x 2 18 x 38 4 x 2 18 x 38 4 x 2 18 x 38 x3 x 2 5 x 3dx x 3 x 12 dx x 3 x 12 dx Re solviendo
4 x 2 18 x 38
al g ebraicamente
A B C x 3 x 1 x 12
x 3 x 1 2 2 A x 1 x 1 B x 3 x 1 C x 3 x 1 4 x 2 18 x 38 2
Operando y luego resolviendo el sistema de ecuaciones A B 4 2 A 2 B C 18 A 3B 3C 38 A 8, 8
B 4,
c6
dx dx dx 4 6 2 x3 x 1 x 1
8ln x 3 4 ln x 1 6 x 1 dx c 2
ln x 3 ln x 1 8
4
x 1 6 1
1
c
x 3 6 C ln 4 x 1 x 1 8
63
Método de Heaviside para factores lineales distintos. Si se tienen funciones parciales
P x R x
sumando el grado de p x R x y los factores
de R x son todos lineales distintos R x x a x b x c ,,, x z . para aplicar este metodo hacer los siguientes pasos: 1. Escribir el cociente R x en forma factorizada: P x R x
p x
x a x b x c ,,, x z
2. Eliminar uno a uno los factores de R x , reemplazando cada x en los factores por el numero que la elimina. p x
A
x b x c ,,, x z p x B x a x c ,,, x z p x C x a x b ,,, x z 3. Escribir el desarrollo de P x R x
cuando x a cuando x b cuando x c
P x R x
como:
A B C Z ,,, x a x b x c x z
x 2 3 x 10 x3 2 x x 2 dx por el metodo de Hearside. Ejemplo: resolver
x 2 3 x 10 x 2 3 x 10 dx x3 2 x x 2 x 1 x 1 x 2 dx Como todos son lineales distintos podemos aplicar este metodo. x 2 3 x 10 A B C x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 A cuando x 1 es el valor que la anula x 3 x 10 6 1 x 1 x 2 6 2
A=
64
B cuando x 1 es el valor que la anula B
x 2 3 x 10 12 6 x 1 x 2 2 C cuando x 2 es el valor que la anula.
x 3 x 10 12 4 x 1 x 1 3 2
C=
1 6 4 dx x 1 x 1 x 2 dx dx dx 6 x 1 x 1 x2 6 ln x 1 ln x 1 ln x 2 c 6 ln x 1 ln x 1 ln x 2 c
x 1 2 x 2 3 x 10 dx ln c 3 x 2x x 2 x 1 x 2
2.b) Factores lineales repetidos en el denominador. Para cada factor lineal ( px q)m , la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de (m=n) fracciones.
Am A1 A2 ... ( px q) ( px q) 2 ( px q) m La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A, B, C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
p x
A
B
qx ax b ax b
2
...
z ax bn
65
Ejemplo : Re solver x5
x 1
dx 3
x5
x 1
3
dx
x5 , dividiendo tenemos x3 3x 2 3x 1 x3 3 x 2 3 x 1
x5 x5 3x 4 3x3 x 2
x 2 3x 6
3x 4 3x3 x 2 3 x 4 9 x 3 9 x 2 6 x3 8 x 2 3x 6 x 3 18 x 2 18 x 6 10 x 2 15 x 6 Aplicando int egrales : x 2 3 x 6 dx
10 x 2 15 x 6
x 1
3
Multiplicar
10 x 2 15 x 6
x 1
3
dx
x3 3 2 10 x 2 15 x 6 x 6x dx 3 3 2 x 1
A B C dx 2 x 1 x 1 x 13
por x 1
3
10 x 2 15 x 6 A x 1 B x 1 C 2
10 x 2 15 x 6 A x 2 2 x 1 Bx B C 10 x 2 15 x 6 Ax 2 2 Ax A Bx B C
Se formó un sistema de ecuacion de 3*3 cuya solucion será: 2 A B 15 A B C 6
A 10, B 5, C 1
B 15 2 A
10dx 5dx 1dx dx dx dx 10 5 2 3 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
10 ln x 1 5 x 1 dx x 1 dx 2
1
x 1 x 1 10 ln x 1 5 1 2 5 1 10 ln x 1 c x 1 2 x 12
3
2
x3 3 2 5 1 x 6 x 10 ln x 1 c 3 2 x 1 2 x 1 2
66
Método de la diferenciación en factores lineales repetidos. Este es otro método de determinar las constantes que aparecen en las fracciones parciales. Ejemplo:Resolver
x 2 3x 4
x 2
3
dx
solucion: A B C dx x 2 3 x 2 x 2 2 x 2 3 dx Ahora se procede a eliminar las fracciones x 2 3x 4
para determinar el valor de las constantes A,B,C x 2 3x 4 A x 2 B x 2 C 2
a) Para encontrar el valor de C basta con buscar un valor de X que anule todas las demas constantes en este caso seria x=2 y sustituimos A x 2 B x 2 C x 2 3x 4 2
x=2 A 0 B 0 C 6 c6
67
b) Ahora se deriva la misma expresión de a
en ambos lados.
2A x 2 B 0 2 x 3 2 A x 2 B 2x 3 Como se puede observar para obtener a B se sustituye x=2 para eliminar la constante A y asi se obtiene el valor de B. 2A 2 2 B 2 2 3 B7 c) Para obtener C 2A x 2 B 2 x 3 derivar 2A=2 A=1 Eso implica que: A B C dx x 2 x 2 2 x 2 3 1 7 6 x 2 dx x 2 dx x 2 3 dx dx
dx
x 2 7 x 2 I1 I2
2
6
dx
x 2
3
dx
x 2 ln x 2 c dx
x 2
z x 2;
2
=
dz
z
2
2 z dz
z 1 1
1 1 z x2
d z dx I3
dx
x 2
x 2 3x 4
x 2
2
3
1 2 x 2
2
dx I1 I 2 I 3 ln x 2
1 1 C x 2 2 x 2 2
68
3cer caso Factores cuadráticos 3a) Factores cuadráticos repetidos. La descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de
n
fracciones en (ax 2 bx c)n .
Ax B Cx D WX Z ... 2 2 2 (ax bx c) (ax bx c) (ax bx c)n 2
La integral dada debe escribirse en función de un cociente compues to por: Polinomios de grado uno en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
p x
qx ax Ejemplo : Re solver
Ax B Cx D Wx Z ... 2 2 2 2 bx c ax bx c ax bx c
1
x 1 x2 1
Multiplicamos por
x 1 x2 1
A B 0 BC 0 AC 1 1 1 1 siA ; B ; C 2 2 2 1 dx 1 x 1 dx 2 dx 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 u x 1 du xdx 2
n
dx
1 A x 2 1 Bx C x 1
du 2 x
dx x2 1 1 1 du 1 ln x 1 2 arctan x 2 2 u 2 1 1 du 1 ln x 1 arctan x c 2 4 u 2 1 1 ln x 1 ln u arctan x c 4 2 arctan x ln x 1 ln x 2 1 c 2 ln
x 1 4
x2 1
arctan x c 2
69
3B) Factores cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
p x Ax B Cx D 2 qx ax bx c cx 2 dx e ...
(ax2 bx c)n , Factorizar completamente el
Para cada factor cuadrático
denominador en fracciones de los tipos :
( px q)m
(ax 2 bx c)n
y
y
donde ax 2 bx c es irreducible denominadores
que
nos
den
recordando raíces
que
complejas
Cuando
tengamos
entonces
tendremos
Ax B, Cx D sobre el polinomio.
Ejemplo 7: Calcula la integral.
2 x 3 5 x 2 16 x dx x 5 8 x 3 16 x x 2 x 2 5 x 16
x x 4 8 x 2 16
dx
2 x 2 5 x 16
Ax B Cx D dx 2 2 x 4 x2 4
x
2
4
2
Mult. por x 2 4
2
Ax B x 2 4 Cx D 2 x 2 5 x 16 A 0, B 2, C 5 x x 2 tan dx 2 sec 2 d 2 du u x2 4 xdx 2 tan
70
2 5x 4 dx dx 2 2 4 x 4
x
2
2
dx 2sec 2 d 2 2 tan 2 4 x2 4
sec 2 d 4 tan 2 4 4 sec 2 d d c 4 tan 2 1 4
arctan 2x c 5
x dx dx 8 2 x 4 x2 4 2
5 du 2 sec 2 d 2 8 2 u 4 sec 2 5 sec 2 d u 1 16 2 16 sec 4 d d cos 2 d 2 1 sec cos 2 1 cos 2 1 1 d d cos 2 d 2 2 2 dz 1 z 2 ; d ; senz 2 2 4 1 dz 2d sen2 2 4 1 x x 1 arctan sen 2 arctan c 2 2 2 4
3 5 1 x x arctan sen 2 arctan c 2 2 2 2 2 x 4 4
71
x 2 3x 2 Ejemplo 8: Resolver la siguiente integral 5 4 dx x x x 1 Factorizando el denominador aplicando unos de los métodos ya conocidos
como es el método de Ruffini tenemos que: x5 x 4 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2
por lo que tenemos.
x 2 3x 2
x 1 x 1 x 2
2
1
dx Observando cada uno de los
miembros del divisor lo expresaremos en la forma.
Q x R x
M n A B C 2x 2 x a x b x b x d
Ha de hacer notar que la última parte tiene esa forma por tener raíces complejas.
A Mx n B C dx = x 1 x 12 x2 1 x 1 x 1 x 12 x2 1 dx por lo tanto
x 2 3x 2
Mx n A B C x 2 3x 2 x 1 x 1 x 12 x 2 1 x 1 x 12 x 2 1 A x 2 x 2 1 B x 1 x 1 x 2 1 C x 1 x 2 1 M x N x 1 x 2 2 x 1 2
x 2 3x 2 A x 2 2 x 1 x 2 1 B x 2 1 x 2 1 C x 3 x 2 1 M x N x 1 x 2 2 x 1 x 2 3x 2 A x 4 2 x3 2 x 2 2 x 1 B x 4 1 C x 3 x 2 x 1 M x 4 x 3 x 1 N x 3 x 2 x 1 x 2 3x 2
72
Ahora se forma un sistema de ecuación
A
B
M
2 B
C
2A
C
2 B
C C
A
B
M
0 N
0
N
1
M
N
3
M
N
2
Ponerlo en forma para resolver por Gauss.
A
B
0C
M
0 N
0
2 A
0 B
C
M
N
0
2A
0 B
C
0M
N
1
2 A
0 B
C
M
N
3
A
B
C
M
N
2
Resolviendo el sistema obtenido obtuvi mos:
1 A ; 8
5 B ; 8
3 C ; 4
1 M ; 2
N
3 2
Sustituyendo en la integral:
3 1 3 1 5 4 2 x 2 dx 8 8 x 1 x 1 x 12 x2 1 1 dx 5 dx 3 dx 1 x 3 dx 2 dx 2 2 8 x 1 8 x 1 4 x 1 2 x 1 2 x 1
73
Resolviendo detenidamente cada integral
a)
1 dx 1 du 1 ln u ln x 1 C 8 x 1 8 u 8 5 dx 5 ln x 1 C 8 x 1 8 3 dx 3 dz 3 1 3 C 2 2 4 x 1 4 z 4 z 4 x 1
b)
c) z x 1
dz dx 1 x 1 1 dv 1 dx ln v 2 2 x 1 2 2 v 4 d)
1 ln x 2 1 C 4
v x2 1 dv 2 xdx e)
3 dx 3 arctan x 2 2 x 1 2
Solución:
x 2 3x 2 1 5 3 1 3 2 x5 x4 x 1 dx 8 ln x 1 8 ln x 1 4 x 1 4 ln x 1 2 arctan x C
74
Cálculo Integral Práctica: 6 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales con ángulos repetidos, fracciones parciales y complexión de cuadrados. I. Integrales con angulos repetidos
III. Integrales por fracciones parciales.
1) sen7 x sen3 xdx
12)
2) cos 9 x cos12 xdx 3) cos 25 x cos12 xdx II. Resuelva 4) 5) 6) 7) 8)
dx 100 x 2 dx x 4 x2 1 dx 1 x 1
2
dx x 5 dx 2
16 x 2 dy 9) 2 y 9 dx 10) 25 x 2 9 dx 11) 25 x 2 9
"No hay amistad sin libertad"
dx x x2 x x 11 13) 2 dx x 3x 4 3 x 13 14) 2 x 3 x 10 17 x 3 15) 2 dx 3x x 2 7 x 2 2 x 3dx 16) 2 x 1 3x 2 x 3 3
17)
dx 2 x 9
18)
x2
19)
x 2
3
x
x 1
3
dx dx
IV. Resolver las siguientes integrales por complexion de cuadrados. dx x 8 x 19 dx 21) 2 5 x 15 x 20 2x 1 22) 2 dx x 2x 2 2x 23) 2 dx x 6 x 13 20)
2
(Francesc Torralba)
75
Integración de funciones racionales de seno y coseno Hay integrales que a veces se nos complica resolverla por los métodos anteriormente vistos, por lo que si el integrando es una función racional de de Sen( u) ^ Cos (u ) debemos reducirla a una función racional de z, Por lo que
1 asumiendo que z Tan u , para obtener las 2
formulas del seno, coseno y el
diferencial en función de z partiremos de las identidades del ángulo duplo .
1. Demostración de Sen u.
Sen 2u = 2sen(u).Cos(u); Como u=
1 1 1 u tenemos que Sen (u) = 2sen u.Cos u 2 2 2
1 Cos u 2 Ahora multiplicamos por y obtenemos 1 Cos u 2 1 1 Cos u 2Sen u 1 1 2 Sen (u) 2 * Cos 2 1 u Sen (u) = 2sen u.Cos u 1 2 2 Cos 1 u 2 Cos u 2 2
1 2Tan u 1 1 1 1 2 2Tan u. 2Tan u. 1 1 1 2 Sec 2 u 2 1 Tan 2 u 1 Tan 2 u 2 2 2 1 2z sustituciones de z Tan u tenemos que Sen(u ) 2 1 z2
;
ahora
que
haciendo
76
2. Demostración de Cos U.
1 Como Cos(u ) 2Cos 2 u 1 aplicando identidades trigonométricas para el 2 2 2 coseno obtendremos que Cos(u ) 1 Cos(u ) 1 y 2 1 2 1 S ec u Tan u 1 2 2 operando algebraicamente 1 1 Tan 2 u 1 1 Tan 2 u 2 2 2 2 Cos(u ) 1 z 1 1 1 1 z2 Tan 2 u 1 Tan 2 u 1 1 Tan2 u 2 2 2
c) Demostración del diferencial
1 1 1 Como z Tan u dz Sec 2 u.du por lo que aplicando identidades y luego 2 2 2 haciendo transposición de términos tendremos que
1 Tan u du 2dz (1 z )du du dz 2
2
2
2z ; En conclusión: Sen(u ) 1 z2
2dz . 1 z2
1 z2 Cos(u ) ; 1 z2
Ejemplo 1. Calcule la siguiente integral
du
2dz 1 z2
4 du
1 Cos u
2dz 8dz 4 2 2 4 du 1 z 1 1 Cos u 1 z 2 z 2 1 4 dz 4 z Como ya sabemos que z Tan 2 u 1 2 z2 1 z 1 tenemos que
4 du
1
1 Cos u 4Tan 2 u C
77
Cálculo Integral Práctica: 7 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
Integrales de seno y coseno dx 1 senx cos x senx cos x 2) dx 1 cos x
1)
3) cos ecxdx 4)
dx senx tan x
5)
cot x dx 3 2 senx
6)
7)
dx 2 cos x dx 1 senx cos x
x ln 1 tan c 2 cos x ln 1 cos x c x ln tan c 2 1 x 1 x - sec 2 ln tan c 4 2 2 2 1 senx ln c 3 3 2 senx 2 x arctan 3 tan +c 3 2 x tan 2 ln x tan 1 2
"Un país con grandes desigualdades sociales mata de hambre a los de abajo, de miedo a los de arriba, y deja sin libertad y sin felicidad a todos" ( Jua n)
78
Sumatoria y área de figuras planas Para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotad a por una curva y=f(x) y las rectas x = a y x = b, hay que hallar la suma de muchos términos; por lo que hay que utilizar la expresión de sumatoria.
Sumatoria: Dado un conjunto de números (bi , bi 1 , bi 2 ,..., bn ) , su suma la representamos como n
b b b k
k 1
i 1
i
bi 2 ... bn , ,
donde
: denota sumatoria
bk : representa el k-ésimo término : se llama índice de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos.
k
i:
Extremo inferior, n : Extremos superior.
Ejemplos: Resuelve por sustitución directa. 4
a) k 2 (1)2 (2)2 (3)2 (4)2 1 4 9 16 30 k 1
Sustituir k por 1,2,3,4 realizar las operaciones indicadas. 5
b)
2
k k 3
2 2 2 47 3 4 5 30
k2 (2)2 (1)2 0 1 2 2(2) 1 (2)(1) 1 2(0) 1 2(1) 1 2(2) 1 k 2 2k 1 2
c)
4 1 1 2 1 2 8 0 1 3 1 3 5 3 5 5
79
Sumatoria por propiedades 1) Regla del valor constante: Es igual a la con stante multiplicada por el extremos superior. n
c cn, c : constante
1)
k 1
2) Regla del múltiplo constante: Es igual a la constante por la sumatoria de la secuencia. n
2)
n
c a c a , c : constante .
k1
k
k 1
k
3) Regla de la suma : Es igual a la suma de la sumatoria de cada secuencia.
3)
n
n
n
k 1
k 1
k 1
ak bk ak bk
4) Regla de la resta: Es igual a la resta de la sumatoria de cada secuencia. n
4)
(a
k
k 1
n
n
k 1
k 1
bk ) ak bk
Regla para cuando k 1 5)
5)
b
b c
k a
k a c
f (k )
7) Regla de la potenciación de sumatoria . n
k k 1
n(n 1) 2
n 2 (n 1) 2 k 4 k 1 n
3
n
Si n z ,Entonces
k2 k 1
f (k c)
n(n 1)(2n 1) 6
n(n 1)(6n3 9n2 n 1) k 1 k 30 n
4
80
Ejemplos: Hallar la suma a través de sumatorias. (Asumir que k=i) 5
1)
(i
2
3)
i 1
5
5
5
i 1
i 1
i 1
(i 2 3) i 2 (3) 20
2)
(3k )(k 2)
k 1
n(n 1)(2n 1) 5(3) 6
20
20
5(6)(11) 15 55 15 70 6
20
(3i 2 6i) 3 i 2 6 i 3( n(n 1)(2n 1) ) 6( n(n 1) ) k 1 k 1 k 1 6 2
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1) 2
1 20(20 1)(2(20) 1) 3 20(20 1) 2
8,610 1260 7,350 20
3) Hacer la sumatoria de
3k (k k 1
2
2)
si obtenemos 133,560.
Estimación de áreas a través de sumas finitas. Es a través de la cual podemos encontrar una proximidad del área de figuras geométricas que no tienen formulas especifica. Sea y=f(x) una curva; acotada en el eje positivo por x a x b . Continúa en a , b el cual formara la región. Para hallar el área debemos dividir la región en intervalos cuya longitud Serán rectángulos cuya A=b. h.
81
Ejemplo : Encontrar el área de la curva y 2 x 2 entre las rectas verticales x 0 y x 1. Buscando la altura para luego hacer la gráfica, por lo que se evalua la 1 31 función y los resultados son: (0,2); , 4 16 rectángulo se incluye el extremo final.
1 7 3 23 ; , ; , . Aquí en cada 2 4 4 16
Como se dividió el área en 4 rectángulos, tenemos 1 que:b = , h = y, aplicando sumatoria se tiene que 4 1 1 31 1 7 1 23 S 2 4 4 16 4 4 4 16 1 31 7 23 S 2 64 16 64 71 S 2.21875 unid 2 32
Sumas de Riemann Bernard Riemann fue un matemático Alemán que murió a la temprana edad de 40 años. (1826-1866). Su suma es un método matemático utilizado para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Aplicaciones La determinación del área por este método es solo una de las muchas aplicaciones que implican el límite de una suma. Un enfoque similar puede utilizarse para determinar cantidades tan diversas como longitu des de arco, valores medios, centroides, volúmenes y áreas superficiales. Sea f : [ D] R , continua en [a, b] contenido en D, siendo P un conjunto de intervalos abiertos de particiones I, tales como p a [( x0 , x1 );( x1, x2 ) ... ( xn1, xn )]b por lo tanto P se define como la suma de Riemann. S
Lim n
n
f (c ).x
x
i
i 1
Donde:
ba n
y
ci a ix
f (ci) es el valor mínimo absoluto de f en i-Enésima sub-intervalo. Esto significa
0, n N
n
0/
f (ci)x A
i 1
82
Resolución de Área por sumatorias de Riemann. 1. 2. 3. 4. 5.
Desarrollar operaciones si es necesario. Despejar las constantes Aplicar las propiedades de las sumatorias Reducir términos semejantes Aplicar limite cuando n tiende a infinito .
2i 2 sn i 1 n n n
Ejemplo: Buscar el límite de
2i 2 n n i 1 2 2 n 2 i n 1 n n i 1 n lim 2 lim 1 20 2 n n n
sn sn sn
n
Ejemplo 2: Dada la función y x 2 limitada por las recta x 0 ^ x 3 Hallar el área de la curva a través de sumatoria de Riemann. x
b a 3 0 3 n n n
y
ci a ix 0 ix ix
Lim n La definición dice que A f (ci ).x por lo que n i 1 3 S (ix ) .x i ( x ) .x i n i 1 i 1 i 1 n
n
2
n
2
2
2
2
3 27 n . 3 i 2 n n 1
Operando con i=k cuadratico tenemos que por definicion da
s
9 2n 3 3n 2 n n3 2
Al tomar el límite cuando n tiende a infinito ( ), se hace para buscar que al incrementarse el número de rectángulos, el valor del área obtenido por la suma de Riemann se aproxime al valor real del área bajo la curva. Por tanto: por lo tanto
Dada la funcion y=3x
2
Unid cuadráticas.
limitada por las rectas x=1 x=3
83
b a 3 1 2 n n n Ci a xi 1 xi x
A lim
n
A lim
n
n
f (ci)x i 1 n
3 1 xi i 1
2
2i 2 x lim 3 1 n n n i 1 n
2
6 4 4 1 i 2 i 2 n n n n ahora aplicamos propie+dades de la sumatoria asumiendo que n es constante. lim
6 n 4 n 4 = lim 1 i n n n i 1 n2 i 1
i 1 aplicando ahora las potencias de i o k. n
i
2
lim
6 4 n n 1 4 n n 1 2n 1 n 2 n n 2 6 n
lim
6 2 2 n 2 n 1 2 n 3 n 1 n 3n
n
n
6 Multiplicando por . y aplicando prop.limites n 12 A= lim 6 lim 12 lim lim 8 n n n n n 12 4 lim lim 2 6 12 8 n n n n A 26 unid 2
84
Cálculo Integral Práctica: 8 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:……………………….. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………….…………….……………..
Tema I. Encuentre el valor de la sumatorias encontradas: 7
1
1) 2k 3
5) k
k 1 6
2) k 3
k 3 3
k k 1
6) 5k k 3
10
3) 2k 1 k 5
n 100
4)
4
1 k 1
k 1
k
7)
2
8) k 3 2 k 2
k2
k 1
k 0
Tema II. Calcular la suma usando las propiedades: 10
9) i 2 1 , sol : 375 i 1
20
10) i 1
2
, sol :10
i 1
15
11) i 1
1 2 i 1 , sol : 0.3 2 n
n
12) i 2i 1 , sol : i 1
4n3 3n 2 n 6n
25
13) 2i i 1 ,sol :10, 400 i 1
Tema III. Buscar una aproximacion de area en: 14) y x 2 , 1, 5 15) y x 2 x 6 , 1, 3
85
Tema IV. Busca el limite de las siguientes sumatorias: 2
i 1 1 16)s n lim 2 , sn n n n 3 i 1 n n 2 3i 17) sn n3 i 1 n
Tema V. Busca el area a traves de suma de Rieman, haga la ilustracion grafica: 18)Dado y=x 2 en 0,8 19)Dado y 3 x 2 en x=0 ^ x=1 20)Dado y 3 x 4en x=2 ^ x=6 Tema VI. Busca el valor de las siguientes integrales definidas: 21)
1
1
3x
3
x 2 x 1 dx ,sol :
x dx 2 x 1 e dx 23) 1 x 22)
3
2
,sol : ln
8 3 8 3
,sol :1
24) 2 senxdx
,sol :1
0
25) 2 sen3 x cos 4 xdx 0
,sol :
2 35
Tema VII. Valor medio para integrales 26) Determina el valor medio de f x 3 x 2 2 x en el intervalo 1, 4 27) Determina el valor de
f x cos 2 xsen 2 xdx 0
86
Tema VIII. Buscar el valor de area de: 28)
4
0
1 dx 2x 1
7
29) x 3 x 1dx 0
1
30) e 2 x dx 0
31)
4
0
sen2 sen3 d
32) sen 2 xdx
2u 2 1209 2 u 28 e2 1 2 u 2e 2 3 2 2 u 10
No esperes que lleguen las circunstancias ideales ni la mejor ocasión para actuar, porque tal vez no lleguen nunca. Autor pendiente
87
Método de Simpson Es una manera de obtener una estima ción más exacta de una integral. U sa polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre y , entonces los tres puntos se pueden co nectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson. Regla de Simpson 1/3. Se utiliza cuando la integral es complicada y no se puede resolver por ningún método. La regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva medi ante parábolas de segundo grado y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Se resuelve mediante la fórmula:
b
b
a
a
h ba ab f (a) 4 f , es f (b) ; donde h 3 2 2 ba f ( x)dx f (a) 4 f (c) f (b) , c es el punto medio de a, b. 6 f ( x)dx
Ejemplo 1: Resolver
f ( x)dx
2
3
1
2
3
1
h f (a) 4 f 3
ba ab f (b) ; donde h 2 2
ba ab x 1 dx f (a) 4 f f (b) (2)3 2
* f (1)
3 f (2) 2
3 x 2 1 3 (1) 2 1 3 2 1.2599
* f (1.5) 3 x 2 1 3 (1.5) 2 1 3 3.5 1.5183 * f (2) 3 x 2 1 3 (2) 2 1 3 5 1.7100
2
3
x 2 1 dx 0.1667 1.2599 4(1.5183) 1.7100
3
x 2 1 dx 1.5075 unid 2
1 2
1
usar
x 2 1 dx por medio del método de Simpson.
2
2 1 f (1) 4 f 6
igual
Ejemplo 2 : Resuelve
1
e 0
x2
dx
Organizando los datos a=0; c=0.5; b=1 f (a) 4 f c f (b) x2 e dx b a 0 6 1
f (0) 4 f 0.5 f (1) 1 0 6 1 4e0.5 e 1.4757 unid 2 6
88
Regla del trapecio La Regla o Método de los Trapecio es una técnica de aproximación que se utiliza para encontrar áreas bajo curvas. Una de las formas para aproximar una integral definida es utilizar n números de trapecios. Las integrales definidas son límites de las Sumas de Riemann, cualquiera de estas sumas se pueden utilizar como una aproximación tomando como referencia la fórmula de este método que supone que f(x) es continua y positiva en el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de iguales longitud.
b
a
f ( x)dx
Donde:
x f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2 f ( x3 ) ... f ( xn1 ) f ( xn ) 2 x
ba , el error se puede estimar al utilizar l a regla del trapecio: n
Si M R y | f ( x) | M , x [a, b] el error que se comete al usar la regla del trapecio no es mayor que:
f ( x)(b a )3 12n 2
Ejemplos: Hallar el área bajo la curva de la f ( x) x 2 en el intervalo x 1 , x 2 . Con n 4 se tiene que:
x
2 1 1 0.25 4 4
Luego, se sustituye en la ecuación para buscar el área y se tiene: 2
x 1
2
dx
0.25 f (1) 2 f (1.25) 2 f (1.5) 2 f (1.75) f (2) 2
A continuación, se evalúa la función con los valores dados y se tiene:
0.25 0.25 (1 3.125 4.5 6.125 4) (18.75) 2.34575 unid .2 2 2
89
Y ese será el valor del área bajo la curva en los inter valos dados.
Calculando el error:
f ( x)(b a)3 2(2 1)3 = = 0.04166666667 12n 2 12(4) 2
Así se ve que la inexactitud de la regla del trapecio. Sin embargo, para funciones lineales esta regla es exacta. También podemos comparar el resultado mediante el teorema fundamental del cálculo: 2
2 x dx 1
x3 2 8 1 7 |1 2.33333 unid .2 3 3 3 2
Ejemplo 2: f ( x) 3sen x; x 0; x 3; n 6
x
30 1 6 2
1 1 3 5 3 senx dx f (0) 2 f ( ) 2 f (1) 2 f ( ) 2 f (2) 2 f ( ) f (3) 3 4 2 2 2 1 3sen(0) 2(3sen(0.5)) 2(3sen(1)) 2(3sen(1.5)) 2(3sen(2)) 2(3sen(2.5)) 3sen(3) 4 5.84 unid .2 0
90
Ejemplo 3:
x 7
1
x dx 2
f ( x)
1 ; x 2, x 7, n 8 x
72 0.625 8 0.625 f (2) 2 f (2.625) 2 f (3.25) 2 f (3.875) 2 f (4.5) 2 2 f (5.125) 2 f (5.75) 2 f (6.375) f (7))
0.625 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) f ( ) 2 2 2.625 3.25 3.25 3.875 4.5 5.125 5.75 6.375 7
0.625 (4.0325) 1.26 unid .2 2
"Aunque esperes encontrar la felicidad en la meta, no te olvides nunca de divertirte durante el camino" (Juan)
91
La integral definida
La integral definida es un concepto uti lizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. La integral definida de la función entre los extremos b
del intervalo [a, b] se denota como
f ( x)dx
siendo a y b rectas de x.
a
Primer Teorema fundamental del cálculo En relación con la controversia de quien fue el inventor del cálculo de Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, surgió a partir de esa época una forma de demostrar el cálculo de diferentes maneras, una es el cálculo diferencial o método de las fluxiones por Newton, la otra se le llamo Integrales. El teorema fundamental del cálculo era investigado tiempos atrás de tal forma que Newton le dio seguimiento dando lugar así a la derivación, esta última era la manera de estudiar las áreas y los vol úmenes a diferencia de la integración que estudia algo más de lo que se había investigado a través de las derivadas de figuras cuadráticas, el área debajo de figuras curvas. La importancia del primer teorema fundamental del cálculo radica en la relación existente entre el cálculo integral y el cálculo diferencial, es decir el mismo consiste en demostrar que la integración y la derivación son operaciones inversas
Este esblece que : Dada una función f int egrable en a, b , definimos F sobre a, b por F x f t dt x
a
Si f es continua en c a, b , entonces F es derivable en c y F ' c f c
92
Segundo Teorema Fundamental del C álculo Este teorema es una propie dad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Si f es continua en a,b y F es una integral de f en a,b f x dx F b F a b
a
Demostración : 1) Sea g(x)= f t dt x
a
2) Por el primer Teorema fundamental el cálculo. F ' x f ( x) g ' x x , c
/ F x g ( x) c
3) Evaluar a x g ( x) c en a, b ; tomando en cuenta valor final menos el valor inicial. F b g b c
y F a g a c, por lo que se tiene que :
F b F a g b c g a c Ahora aplicando el paso 1, g(x)= f t dt en el punto c a evaluar, x
a
tal como evaluar a g(b)= f t dt y g(a)= f t dt b
a
a
a
F b F a f t dt f t dt , Como se sabe que b
a
a
a
f t dt 0 a
a
F b F a f t dt f x dx b
b
a
a
93
Ejemplo 1 : Calcular
1
0
x 2 dx
x3 la funcion que la satisface es F x 3 13 03 1 Aplicando el teorema x dx F 1 F 0 unid 2 0 3 3 3 1
2
Ejemplo 2 : Calcular el área bajo la curva x3 F x 3
2
0
x 2 dx .
8 0 8 Aplicando el teorema unid 2 3 3 3
Henri Lebesgue La figura del matemático francés Henri Lebesgue (1875-1941) resultó fundamental para la sistematización del cálculo integral y su aplicación a las modernas teorías de las ciencias naturales y económicas.
94
Propiedades de las integrales definidas Para facilitar el cálculo de una integral definida sin tener que recurrir al método
b
a
de
sumatorias
de
Riemanns
en
donde
se
estableció
que
n
f ( x)dx lim f (i )i x, x
i 1
Se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales . 1) Si a > b, entonces
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx b
2) Si f(a) existe, entonces a
f ( x)dx 0
a
3) Si k es una constante cualquiera, entonces b
a
kdx k (b a)
4) Si la función f es integrable en [a, b] y, k es una constante arbitraria, entonces b
b
a
a
kf ( x)dx k
f ( x)dx
5) Si las funciones f y g son integrables en [a, b], entonces f g también es integrable en [a, b] y
b
a
f ( x) g ( x) f ( x)dx g ( x)dx b
b
a
a
6) Si f es integrable en [a, b], [a, c] y [c, b], y a< c < b, entonces
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
7) Si f es integrable en un intervalo cerrado 1 y, (a, b, c)
b
a
c
b
a
c
1, entonces
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
95
8) Si f es integrable en [a, b] y f (x)
b
a
0 x
[a, b], entonces
f ( x)dx 0
9) Si las funciones f y g son integrables en [a, b] y f (x) g (x) x [a, b], entonces
b
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
a
Ejemplos: Evalúa las siguientes integrales. x3 3 (3)3 (2)2 27 4 23 2 x dx 3 2 3 3 3 3 3 1. 3
2
0
senxdx cos x
0
cos cos 0
1 1 2
2.
2
5
( x 2 x 1) dx
Aplicando propiedad 1.
si a b
b
a
5 5 x3 x2 - ( x 2 +x-1)dx=- + -x 2 2 3 2 8 125 25 5 2 2 2 3 3
f ( x) dx
a
b
f ( x) dx
93 117 25 5 2 2 3
3.
2
( sen 5cos 2)d
cos 5sen 2
2
cos 2 5sen2 2( ) cos 5sen 2 1 5(0) 2 (1) 5(0) 2
4.
1 2 1 2 2
96
Valor promedio de una función Si f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor promedio de b 1 f ( x)dx f en el intervalo es (b a) a
Ejemplo: Determine el valor promedio de f ( x) x3 ; [0, 2] b 1 1 f ( x)dx ba a 20
2 0
1 x4 x dx 2 4 3
2 0
1 16 16 2 es el valor promedio de f ( x) 2 4 8
Teorema del valor medio para cálculo integral. El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte entre los rectángulos inscritos y circunscritos hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo la curva.
Enunciado: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un número c en el b intervalo cerrado [a, b] tal que f (c) 1 b f ( x)dx es lo mismo decir f (c)(b a) f ( x)dx b a a
a
Ejemplo : Encuentre el área de la función fx x 2 3 en
1,3
Como la función es continua en 1,3 se puede aplicar el teorema de la media. 3
b 3 1 1 1 x3 2 f (c ) f ( x ) d x x 3 3 x b a a 3 1 1 2 3 1
1 27 1 8 8 1 ( 9) ( 3) (0 ) 2 3 3 3 6 2 Buscando ahora el valor de c tenemos que: c2 3
f (c )
4 3
4 13 13 c2 c 3 3 3
97
Integrales con Valor Absoluto Estas son muy útil para cualquier proceso de identificar áreas bajo curvas, no importando si esta tiene partes bajo o sobre el eje x. Formalmente, el valor absolut o o módulo de todo número real está definido por:
a, si a 0 a a, si a 0
El valor absoluto nunca negativo
de A siempre
será
mayor
o
igual
que cero y
Propiedades del valor absoluto. 1) Valor absoluto de la suma algebraica de varios números
|x+y|=|x|+|y| 2) Valor absoluto de la diferencia de numero reales
|x-y |-|x+y| 3) El valor absoluto de un producto
|xyz|=|x||y||z| 4) El valor absoluto de un cociente
x x = y y Ejemplo 1: Resolver la siguiente integra l con valor absoluto.
f x
4
0
x 2 4 x 3 dx
98
a) Si integramos esta función sin valor absoluto daría lo siguiente. 4
x3 F x x 4 x 3 dx 2 x 2 3x 0 3 0 4
2
64 (4)3 (0)3 2(4) 2 3(4) 2(0) 2 3(0) 32 12 3 . 3 3 4 F ( x) Und 2 3 A nivel gráfico la solución de la función sin valor absoluto son la suma de las partes que estan en amarillo. b) Resolución con valor absoluto. Las integrales definidas con valor absoluto debemos separarla a partir de los puntos donde el módulo se hace cero. Se debe encontrar la sumatoria de las áreas que proyecta esa función en los puntos donde está evaluada, p ara ellas se encuentra el área bajo la curvas de la suma de las regiones ya sean negativas o positivas .
99
El asunto radica que al integrar una función con valor absoluto vemos que el área que antes se restaba ahora se suma, pues, la parte que tenemos de azul es la que tendremos sumando.
La integral dada es f x x 2 4 x 3 dx 4
0
Para resolver esta integral empezamos por la definición de valor absoluto
x 2 4 x 3 , x 0 x 4x 3 y luego se busca los valores que anula n la 2 x 4 x 3 , x 0 2
ecuación x2 4 x 3 x 1 x 3 x1 1 x2 3 El ejercicio pide que se evalúe la integral en el intervalo 0, 4
pero ya se
conocen los valores que anulan la función, por lo que hay que hacer diferentes
intervalos
hasta
donde
esta
se
anules,
es
decir
se rompe 0, 4 0,1 ; 1,3 ; 3, 4 la integral en 3 partes debido a los intervalos que se forman entre esos valores conforme a la definición del valor absoluto.
x 1
0
2
4 x 3dx x 2 4 x 3dx 3
1
4
3
x
Como se observa la parte en el intervalo de
2
4 x 3dx
1,3
esta en forma negativa, es
por la definición de valor absoluto como esta queda por debajo de la gráfica obligatoria mente se cambia el signo.
100
Re solviendo a x 2 4 x 3dx x 2 4 x 3dx x 2 4 x 3dx 1
3
0
1
x3 2 x 2 3x 3 0
4
1
3
13 0 3 1 4 2 2 2 1 3 1 2 0 3 0 2 3 und 2 3 3 3 3
3 3 3 13 x3 2 2 4 4 2 2 x 3x 2 3 3 3 2 1 3 1 9 18 9 und 2 3 3 3 3 3 1 4 4 3 3 3 64 x3 4 2 2 2 2 x 3x 2 4 3 4 2 3 3 3 32 12 9 18 9 und 2 3 3 3 3 3 3
f x
4
0
4 4 4 12 x 2 4 x 3 dx 4 unid 2 3 3 3 3
Ejemplo 2: Resolveer
02 2 2 2 2
3
2
0
3
2
0
x dx xdx
x2 xdx 2
0
2
x2 2
3
0
32 0 9 13 02 und 2 2 2 2 2
101
Áreas entre curvas Si f (x) y g (x) son funciones continuas en [a,b]tal que f ( x) g ( x), si y=g(x) está por debajo de y=f(x) en el intervalo dad.
Su área se calcula mediante la
fórmula
b
a
n
( f ( x) g ( x))dx Lim ( f ( xi ) g ( xi )(xi ) n
Vemos
que
i 1
(f(x )-g(x)
representa
la
altura de un rectángulo diferencial. Ejemplo 1: Hallar el área de la región encerrada por las curvas.
f ( x) x 2 x 2 1)
g ( x) 4 x 2
Buscando la intersección de las graficas f ( x) g ( x)
x 2 x 2 4 x 2 2 x 2 x 6 0, donde a 2, b 1, c=-6 x 1
1 4(2)(6) 1 49 1 7 x x Las intersecciones son x 1 2 2(2) 4 4
x2 23
S g ( x) f ( x) dx b
a
2
3 2
( 4 x 2 ) ( x 2 x 2 ) dx
2
3 (4 x 2 x 2 x 2)dx
2
2
3 (6 x 2 x 2 )dx
2
1 2 6x x 2 x 3 2 3
2
3 2
Ahora Evaluando 1 2 3 3 1 3 2 2 3 3 243 2 2 6(2) 2 (2) 3 (2) 6 2 2 2 3 2 24 14.29 u
102
Área entre una curva y el eje Y Este tipo de curva está limitado a la izquierda por el ejes de las Y y queda entre d y c y d , su curva será X= h(y) por lo tanto
d
c
h( y )dy .
Ejemplo: Si una parábola x 2 y Calcular el área de la figura.
d
c
2
está limitado por las rectas y 1 y 1 .
1
h( y )dy (2 y 2 )dy 1
2y
3 1
y 3
1
2(1) 3
1
1 5 5 10 2( 1) ( ( ) 3 3 3 3 10 A unid 2 3 Ejemplo: Encuentra el área entre las curvas
3 f ( x) 2 x 2 3 g ( x) e x en 0, 2 S
f ( x) gx dx b
a
3 2 0
2 x
2
3 e x 1 dx
2x
2
e x 4 dx
3/ 2
0
2 x 3 4 x e x 3
3 2 0
2 3 2 3 3 4 e 3/ 2 0 3 4 0 e 0 2 3 2 3 2 3.7683 1 2.77unid
103
Área de una región de una curva bajo o sobre una recta. Se aplica el mismo procedimiento vista anteriormente.
f ( x) 6 x 2 g ( x) x entre las rectas
Ejemplo: Buscar el area de la curva x=-1^x=1.
f ( x) g ( x)dx
6 x 2 ( x) dx a 1 1 1 2 1 31 2 1 6 x x dx 6 x 2 x 3 x 1 3 1 2 1 3 1 2 1 6 1 1 1 6 1 1 1 2 3 2 3 b
1
1 1 1 1 6 6 2 3 2 3 31 37 34 11.33unid 2 6 6 3
Longitud del arco de una curva Es la distancia o camino recorrido por un punto a lo largo de una curva en un intervalo dado.
Teorema: Si f(x) ^f´(x) son continuas en [a,b] la longitud de arco de la curva y=f(x) desde(a,f(a) al punto (b,f(b)) viene dada por
L
b
a
1 f ' ( x) 2 dx
s longitud de Arco
s 2 x 2 y 2dividiendo por
s2 x 2
x 2
2 x
y 2
x 2
x 2
s2 y 1 2 x x
2
s 2 2 1 y ' d ( s ) 1 y ' dx x s 1 y ' dx 2
104
Ejemplo 1: Calcular la longitud de arco de
f ( x) x 2 x 6
en el
intervalo [-1,1]. Hacer el bosquejo de la grá fica. L
b
a
1 y ' 2 dx
Y x 2 x 6 y ' 2 x 1 L
1
L
1
1
1 1
2
2 x 1 2 dx
2 x 1 2 1dx
1
Re solviendo por formula tenemos u a2 2 2 u a Ln u u 2 a 2 c 2 2 1 2x 1 1 L (2 x 1) 2 1 L n1 2 x 1 2 x 1 2 1 2 2 _1 u 2 a 2 du
3 1 1 1 10 L n 3 10 2 L n 1 2 2 2 2 2 4.7434 0.909 0.707 0.4407
L 6.8001 unidades
Ejemplo 2: Halle la longitud de la curva de la función. Y
1 2 x 4 3/2 en el intervalo 0 x 3 6
1 2 x 4 3/2 en 0,3 6 13 y ' x 2 4 1/2 2 x 62 y
L 1 ( y ') 2 dx
3
0
1 2 1 x 4 2 x y ' x x 2 4 1/ 2 4 2
x 1 x 2 4 2 2
3 4 3 x2 2 x4 4 x 2 x 4 4 x 2 4 L 1 dx x 4 dx 0 4 4 4 dx 0 0 4 4 1 3 1 3 1 3 x 4 4 x 2 4 dx L x 2 2 dx x 2 2 dx 2 0 2 0 2 0 1 1 x 3 1 15 L 2 x 30 9 6 0 15 L= unid . 2 3 2 2 2 3
105
Ejemplo 3: Calcular la longitud de arco de
L L
b
1
a
0
1 y ' 2 dx y ' 1
x
2
dx
1
23 x 32
2 f ( x) x 3/2 1 , 0,1 3 1 2
x
1 x dx
0
3
2u 2 2 1 x dx 1 x dx u du 1 x 0 0 3 3 3 3 3 3 2 2 2 evaluando 1 1 2 1 0 2 (2) 2 (1) 2 3 3 3 2 L 2 2 1 unid 3 1
1
1 2
1 2
3 2
1 0
106
Cálculo Integral Práctica: 9 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………………… Grupo:…………………Fecha…………..…………Profesor(a): …………….……………
I. Hallar el área entre las siguientes curvasy haga un bosquejo de la gráfica. a) f x x 2 2 x; g x x 2 b) f x 1 x 2 ; g x; 0,1 c) y x 2 2; y 2 d ) y x 2 2 x; y x e) y 2 4 x 4; 4 x y 16 f )x y2; x y 2 g ) y 2senx; y sen 2 x;0 x h) Encuentre el area de la región conforma de helipce , acotada por la curva x y 3 0 y la recta x y 0. II . Buscar la siguiente longitud de curvas. Via calculadora haga un bosquejo. 3 1 x 2 2 de x 0 a x 3 3 y x3 2 de x 0 a x 4
y
"Un viaje de miles de kilómetros debe comenzar por un solo paso" (Lao-Tsé).
107
Integrales impropias Integrales Impropias: La definición de integral definifa
b
a
f ( x) dx requiere que el intervalo a, b sea finito
y que además f x sea continua en dicho intervalo, pero si hay integrales que no cumplen estas condiciones ya sea porque uno o los dos limites de integración sean infinito o quizás porque dentro del intervalo hay descontinuidades, entonces las integrales se le llama impropia. Propiedades de las integrales impropias con limites de integración infinitos. 1. si f es continua en a,
b
f x dx lim f x dx b
b a
a
2. si f es continua en -,b f x dx lim f x dx b
a a
a
3. si f x es continua en el intervalo ,
c
=
f x dx f x dx c
f x dx lim
f x dx lim f x dx c
b
a a
b c
En los dos primeros casos si el limite existe la integral es convergente de lo contrario es divergente. En el caso 3 la integral impropia a la izquierda diverge si cualquiera de las integralesa la derecha divergen. Ejemplos: Diga si las siguientes integrales son convergente o divergentes. a)
2
x 2 dx
x3 x dx li m x dx lim x dx lim 3 2 b 2 b 2 b 2 b 1 1 1 lim x3 lim b3 8 8 2 3 b 3 b 3 Esta integral es divergente.
2
2
b
b
2
108
b)
6
1
x 4
e dx b
x 3 b e dx lim e dx lim 4e 4 4 lim e 4 e 2 b 6 b b 6
x 4
b
x 4
3 3 3 4 = -4 e 4 e 2 4 e e 2 =-4 o e 2 3 . e2 La integral es convergente.
Integrales impropias con discontinuidades infinitas. Propiedades 1. si f es continua en a, b y tiene una descontinuidad infinita en b
f x dx lim f x dx a
c
c b
b
a
2. si f es continua en a, b y tiene una descontinuidad infinita en a,
f x dx lim f x dx
b
b
c a
a
c
3. si f es continua en a, b , excepto para algun c a, b donde f tiene una descontinuidad infinita
f x dx f x dx f x dx b
c
a
a
a
c
En el caso 1 y 2 la integral impropia converge si el limite existe, de otra forma es divergente, mientras que en el caso 3 la integral impropia en la izquierda diverge si cualquiera de la integrales impropiasa la derecha diverge. c) Resolver
1
0
x ln x.
Analizamos si f x es continua en 0,1 f x x ln x f 1 1ln1 1 0 0 f 0 0 ln 0 0 0.
109
f x es descontinua en el limite inferior.
1
0
1
x ln xdx lim x ln xdx lim a 0 a
u ln x du dx x dv xdx 2 v x 2
a 0
x2 x 2 dx ln x 2 2 x
2 x 1 ln x- xdx = lim a 0 2 2
1 ln1 1 a 2 ln a a 2 x2 x2 lim ln x lim a 0 2 4 a a 0 2 4 2 4 1
2
2
1 a2 a2 1 1 lim ln a 0 ln 0 0 0. a 0 4 2 4 4 4 Nos dio una indeterminada por lo que debemos destruirla por medio de L`Hòpital. a2 1 1 ln a 1 ln 0 ln a lim a 2 ln a lim a 0 2 2 a 0 2 a 0 1 2 2 1 2 a 0 ahora si se puede aplicar la regla de l`Hòrbital. lim
1 1 1 a2 1 2 1 1 lim a lim 0 0 0 a 0 a 0 2 2 2 2 4 4 3 2 a 1 1 Sustituyendo tenemos: x ln xdx 0 4
1 2 0 0 2
sustituyendo tenemos:
1
0
1 x ln xdx 0 4
110
Cálculo Integral Práctica: 10 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:………………………………… Grupo:…………… ……Fecha…………..…………Profesor(a):…………….……………
I. Diga si las siguientes integrales impropias es divergente o convergente.
1) x3dx 0
2)
0 0
2 dx x
3) e x dx
3)
4
x
2
2 x 3dx
4) e x cos xdx 0
5)
2 dx 4 x2
111
Volumen de Sólidos de Revolución Hay sólidos que para hallar su área o volumen tienen formulas fijas tales 1 4 como: 1) Cilindro: V= r 2 h; Al=2 rh; At=AL+2B 2) Cono: v= r 2 h 3) Esfera: r 3. 3 3
Otras de las aplicaciones
de las integrales es que permiten encontrar el
volumen de un sólido tridimension al. Estos cuerpos se usan mucho en ingeniería, mecatronica, manufactura. Entre estos encontramos embudos, ejes, píldoras, botellas, pistones, cilindros, conos, esfera.
Método de los Discos
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos usar: a) v= b R 2 dx cuando el eje de revolución sea horizontal. x a
b) v= Ry dy cuando el eje de revolución sea vertical. b
2
a
Ejemplos: encontrar el volumen del sólido formado cuando se hace girar la gráfica y= senx en el intervalo 0 , Dibujar la gráfica .
2
f x =senx en el intervalo 0, 2 b
v= R( x ) dx a 2
v
0
2
sen 2 dx
Resolviendo la integral sen 2 dx
1 1 x senx cos x 2 2
1 1 1 1 v x senx cos x 2 sen cos 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 0 sen0 cos 0 1 0 2 4 2 4 2
112
Ejemplo 1: Encontrar el volumen del solido formado al girar la región 1 acotada por f x x 2 2 y la recta g(x)= 3x al rededor de la recta y 2 a) buscando intersección para establecer los limites. R x f x g x R x x 2 3x 2 x 2 x 1 ; x1 2
x2 1
v R( x ) dx x 2 3x 2 dx a 1 b
v
2
1
2
x
4
2
2
6 x 3 13x 2 12 x 4 dx
x5 3 13 3 x4 x 6x2 4x 5 2 3 2 2 5 3 1 3 1 4 13 13 6 1 2 13 4 3 2 2 2 6 2 4 2 5 2 3 2 3 5 4 1 104 32 1 3 13 24 24 8 6 4 3 5 5 2 3 1 16 31 15 30 30 1 v 30
El Método de las Arandelas
Una
arandela
se
forma
al
hacer
girar
un
rectángulo alrededor del eje, tendrá un hueco en el medio por lo que referente al eje tendrá un radio menor y un radio mayor, es una corona donde está su volumen, es decir
V R2 r 2 w
aplicando integrales se tiene que
b 2 2 V= R( x ) r( x ) dx a
113
Ejemplo 2: encontrar el volumen del solido formado al girar la región intersecada por y x ^ y x3 alrededor del eje x.
la intersección de los graficos de ambas funciones esta en el intervalo 0,1 por lo que ahi es que se va a buscar el volumen cuando la figura formada gire. 1 2 2 v= R( x ) r( y ) dx 0 1
x3 x7 v= x x dx v 0 3 7 0 1
2
6
1 1 4 4 v= 0 21 21 3 7
Series Sucesión: es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales. Ejemplos: a n 5n 1 a 1 4 ; a 2 9 ; a 3 14 ;
a 4 19 ;
a 5 24
Serie: es la suma de los términos de una sucesión. Ejemplos: a n =1-x+
x 2 x3 x 4 x5 ... 2 3 4 5
114
Serie de Laurent
Si f(z) no es analítica en un punto z z0 , entonces no podemos aplicar el teorema de Taylor en ese punto; pero si podemos hallar una representación en serie de potencia tanto negativa como positiva de
z z0 que
representa
una singularidad para eso utilizamo s el teorema de Laurent.
Teorema:
Sea f(z) analítica en un dominio anular R1 Z Z0 R2 y sea C
un contorno cerrado simple entorno a
z0 , orientado positivamente y
contenido en dicho dominio, entonces en todo tipo z d e la corona o dominio; f(z) admite la representación en serie.
f z cn z z0 n
parte Analitica
a z z n 0
an
n
0
n
parte principal bn n n 1 z z0
bn son coeficientes; R 1 z z0 R2 es una corona donde la serie
serà covergente. Para conseguir los coeficientes utilizaremos la integral de C auchy donde 1) an
f z dz 1 2 i c z z0 1 n
para n 0,1, 2,3, 4,5,,, y
2) bn
f z dz 1 2 i c z z0 1 n
para
n 1, 2,3, 4,,,,
podemos decir que
115
3) Cn
f Z dz 1 2 i z z0 1 n
para n 0; 1; 2; 3,,,
como lo interesante es 2 entonces este integrando tambien lo podemos expresar como bn
1 fzdz 1 n 1 f z z z0 dz 1 n 2 i c z z0 2 i c
Convergencia:
como la serie està centrada en z=z 0 definida como Cn z z0 n
Cn , z0 , z ; la convergencia està cetrada en la corona: 1) z0 , r2 , r1 z0 C / R1 Z Z 0 R2 Donde R1 R2 ; pero si R 2 R1 entonces la convergencia esta en el vacio, es lo mismo que decir que la serie es divergente. los radios se pueden definir como R1 lim sup c n
1 n
n
R 2 lim sup
y
n
1 cn
1 n
Es bueno hacer notar que si la parte principal en la serie de Laurent
se hace cero, es decir si
bn z z 0
n 1
n
0 que la serie es de Taylor
y solo queda la parte analítica
an z z n 0
0
n
cuya convergencia
es punteado o abierto. 0 z z0 R2 ó R1 z z0 R2 ó z0 R1 z R2 z0 pero si z 0 0 la serie de Taylor se llama serie de MacLaurin.
116
Empezando con series es bueno recordar que: 1 z n ; para z 1 su desarrollo de sus derivados son 1 z n 0 n! n z : n 0,1, 2,3,,, 1 z n 1
1 1 z z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 ... 1 z 1 n n para 1 z 1 , z 1 1 1 2 1 1 z z 2 z 3 z 4 z 5 ... 1 z por lo que si z es por toda potencia es par y se alteran los signos. 1 1 z 2 z 4 z 6 z 8 z10 ... 2 1 z 1 2z2 Ejemplo: Desarrollar f z 3 en z 1 z z5 1 2z2 1 2z2 factorizando f z 3 por lo que z z 5 z 3 1 z 2 1 1 2z2 tendremos 3 z 1 z2 2 1 z 2
1 z 2
f z
2 1 2 z 2 2 1 z 1 2 1 z 1 z2
1 1 2 : por lo que 2 1 z2 1 z
1 1 2 3 z 1 z2
117
Serie de Taylor Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo (a -r, a+r) que es lo mismo x a r . La serie de Taylor en x=a se representa como: f '' a z a f ''' a z a f z f a f ' a z a 2! 3! 2
f IV a z a
4
...
4!
f n 1 a z a
3
n 1
n 1!
Demostración: 1) sea f z a0 a1 z a a2 z a a3 z a a4 z a ... 2
3
4
2) Derivando: f ' z a1 2a2 z a 3a3 z a 4a4 z a ... 2
3
f '' z 2a2 6a3 z a 12a4 z a ... 2
f ''' z 6a3 24a4 z a ... f IV z 24a4 ... 3) Evaluando (2) cuando z=a f a a0 f a f ' a a1 f I a z a f '' a f '' a 2 z a 2! 2 f ''' a f ''' a 3 f ''' a 6a3 a3 z a 6 6 IV f a f IV a 4 IV f a 24a4 a4 z a 24 24 f '' a 2a2 a2
f z f a f ' a z a
f
IV
a z a 4!
4
...
f
n 1
f '' a z a 2!
a z a n 1!
2
f ''' a z a
3
3!
n 1
118
Ejemplo: Encuentra la serie de Taylor para f x ln x en a=2. f x f 0
f I a x a
1!
f II a x a 2!
f III a x a 3!
3
,,,
f x ln x ..............ln2.................ln2 f ' x
1 1 1 x 1................ ................. x 2 2 2
1 1 f '' x x ................. ................. 2 2
2
2
3
1 1 f ''' x 2 x ............2 ...............2 2 2
3
3
f f f
4
4
4
1 1 x 3 2 x ..... 3 2 .................. 3! 2 2
5
1 1 x 4 3 2 x ..... 4 3 2 .................4! 2 2
6
1 1 x 5 4 3 2 x ....... 5 4 3 2 ......... 5! 2 2
4
5
5
5
6
6
6
1 x 2 1 ln x ln 2 1 2 1! 2 1 x 2 1 4! 1 3! 4! 2 2 Tenemos pues que: 4
4
ln x ln 2 1
n 1
n 1
ln a ln a 1 n 1
n 1
1 2
n
5
2
x 2 2!
x 2 5!
x 2
x 2
n!
n
5
2
1 2 2
3
x 2
1 1 5! 2
3 6
3
x 2 ,,, 2!
n 1!
n
2n.n !
119
Serie de MacLaurin
Se cumple cuando a=0. tenemos que: f x f x
f 0 0! f 0 0!
f ' 0 x a
1
1! f ' 0 x 0
1
1!
f ' x f 0 f ' 0 x
f '' 0 x a
2
2! f '' 0 x 0
f '' 0 x
2
2
2! f ''' 0 x 3
2! 3! Ejemplo: Hallar la serie de Maclaurin de e x .
f ''' 0 x a
3
3! f ''' 0 x 0 f
IV
3! 0 x4 4!
,,,
3
,,,
f x ex. f x
f 0
f '0 x
f '' 0 x 2
0! 1! f x e x f 0 e0 1
2!
f ''' 0 x 3 3!
,,,
f ' x e x f ' 0 e0 1 f '' x e x f '' 0 e 0 1 f ''' x e x f ''' 0 e0 1
ex 1 x
x 2 x3 x 4 ... 2! 3! 4!
120
Serie de Fourier La series de Fourier ha sido uno de los más grandes aportes hecho en el si glo X IX y este ha generado un gran número de trabaj os de Inves ti gación y han dado nombre a una de las áreas más i mport antes del Análisis
Matemático,
Análisis
Ar mónico.
el Son
Análisis de
Fourier
muchas
cuestiones
las
o
matemáticas básicas y atractivas que las series de Fourier plantean.
Jean Baptiste Joseph Fourie r El problema de si una función cualquiera puede representarse mediante una serie trigonométrica reaparece más tarde con el matemático francés J. Fourier (1768 -1830).
En una memorable sesión de la Academia Francesa de las Ciencias, el día 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir un nuevo capítulo en la historia de la matemática: la creación del Análisis Armónico o, como también se le conoce a partir de sus trabajos, el Análisis de Fourier.
Fourier había deducido una ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, la ecuación del calor y un método para resolverla, el método de separación de variables, procedimiento que, en cierto modo, había sido utilizado ya por Bernoulli para su solución,
121
Aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistemática en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicación de la técnica de separación de variables a la ecuación del calor, le condujo a escribir la solución en forma de serie t rigonométrica.
Aunque la representación de una función en serie trigonométrica se había Considerado
antes
de
Fourier,
pero
Fourier
puso
de
manifiesto
la
correspondencia entre función y coeficientes.
Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptad o a la primera, teniendo como parte del auditorio a matemáticos como J.L. Lagrange (1736 1813), P.S. Laplace (1749 -1827) y A.M. Legendre (1752 -1833), que criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De hecho, Fourier tuvo que rehac er su trabajo ya que su memoria no fue aceptada en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas y fueron expuestas, años después, en su obra de 1822, Theorie anal ytique dela chaleur . Serie de Fourier. Definición Sea f x una función periodica definida en un intervalo -L x L o L, L tal que
L
L
f ( x)dx existe. Entonces
n x n x f x a0 an cos bn sen L L n 1
Donde: ao
L
L
f ( x)dx
an
1 L n x f x cos dx ; n 1, 2,3, 4,5... L L L
bn
1 L n x f x sen dx L L L
; n 1, 2,3, 4,5...
122
an
^
bn son coeficientes correspondiente a la función f(x) y al mismo
tiempo cumplen las condiciones de Dirichlet para que la serie converja es posible que se cumpla la identidad de Parseval.
Funciones par es e impares: Decimos que una función f(x) es par si f ( -x) = f(x). Decimos que un función f(x) es impar si f ( -x) = -f(x)
Propiedades:
El producto de dos funciones pares es par
El producto de dos funciones impares es par
El producto de una función par por una impar es impar. a
Si f (x) es par
a
2
f ( x)dx 2 f ( x)dx 0 a
Si f (x) es impar
f ( x)dx 0
a
Desarrollo en serie de Fourier de una función par: Sea f (x) una función par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [-L, L]: L
L
1 2 a0 f ( x)dx [ f (es, par )] f ( x)dx L L L0 L
L
1 n 2 n an f ( x) cos xdx f ( x) cos xdx Por ser f (x) y cos(x) L L L L0 L
123
Producto de Funciones L
bn
1 n f ( x) sen xdx 0 Por ser el producto de una función par f (x) por una L L L
impar (sin x) una función impar. Luego
f ( x)
a0 n an cos 2 n1 L
Es decir, la serie de Fourier de una función par en el inter valo [ -L, L] es una serie en la que solo aparecen Cosenos.
Desarrollo en serie de Fourier de una función impar: Haciendo cálculos análogos se obti ene a0 an 0 Es decir, la serie de Fourier de una función impar en el intervalo [ -L, L] es una serie en la que solo aparecen senos.
f ( x)
a sen n 1
n
n L
Ejemplo: Calcular la serie de fourier de f x x en el intervalo - x . Procedemos a buscar los coeficientes: 1 L 1 i) a0 f x dx 2 L L 2 1 2
1 x2 x dx 2 2
2 2 1 2 2 0 a0 0 2 2 2 2 2
124
ii ) an ? an
1
1 L 1 n x n x f x cos dx x cos dx L L L
1 1
2
x cos nx dx n
cos nx
1 xsen nx n
1 1 1 1 1 2 cos n xsen n 2 cos n sen n n n n n 11 x x 1 2 cos n senn 2 cos n sen n n n n n
11 x 1 x cos n sen n cos n sen n 2 2 n n n n
1 2x senn : como n 1, 2,3,,, n 1 1 2 xsen 0 an 0
iii ) bn ?
como f x x es una función impar tendremos que a0 ; an 0 y bn ?; pero como
bn
1 L n x f x sen dx es equivalente decir L L L
2 L n x f x sen dx ; esto significa que la serie de fourier L 0 L de una función impar es una serie infinita de funciones
bn
n x seno. f x bn sen L n 1
125
bn
1
xsen nx dx
2
0
xsen nx dx
Integrando por parte 1 2 2 x 0 xsen nx dx 2 sen n cos nx n 0 n
evaluando: 2 1 0 1 2 sen n cos n 2 sen0 cos 0 n n n n 21 1 0 2 sen n cos n 2 sen0 cos 0 n n n n 2 2 2 cos n cos n cos n n n n bn
2 cos n n
iiii) pero! cuál es la bendita serie? n x como ya dijimos que f x bn sen L n 1 2 2 n 1 bn cos n 1 n n n 1 2 f x 1 .sen nx n 1 n Haciendo algunas evaluaciónes para ver la
serie n 1, 2, 3, 4, 5, 6, , , f x 2 senx sen 2 x
2 1 sen3 x sen 4 x ... 3 2
126
2. Encuentre la serie de Fourier para f ( x) x ; [0, 2] n x n x f ( x) a0 an cos bn sin L L n 1
2 1 1 x2 2 1 22 02 1 a 0 xdx a0 0 a0 (2) a0 1 20 2 2 2 2 2 2
2
2
2 n x n x an x cos dx an x cos( )dx 20 2 2 0 Integrando por parte:
x cos
2x n x n x 4 n x dx sin( ) cos( ) 2 2 2 (n ) 2 n
2x n x 4 n x 2 Evaluando: an sin( ) cos( ) 0 2 2 (n ) 2 n 4 4 an sin(n ) cos(n (n ) 2 n
0 4 ) sin(0) cos(0) 2 (n ) n
4 4 cos(n ) 2 (n ) (n ) 2 4 4 an (1) n 2 (n ) (n ) 2 an
Función par bn 0
La serie de Fourier es: f ( x)
a0 n 1 4 4 n (an cos( )) (1)n cos 2 2 2 n1 L 2 n1 (n ) (n ) 2
127
3. Encuentre la serie de Fourier para f ( x) x2 x 2; [0, 2]
f ( x) a0 (an cos n 1
n x n x bn sin ) L L 2
1 1 x3 x 2 2 a0 x x 3 a0 3x 4 2 2 3 2 2 Evaluando: 2
a0
13 3
2
1 n x an [ x 2 x 3]cos( )dx 2 2 2 Integrando por parte: 1 2x2 n x 8x n x an [ sin( ) cos( ) 2 n 2 (n ) 2 16 n x 2x n x 4 n x 6 n x 2 sin( ) sin( ) cos( ) sin( )]2 3 2 (n ) 2 n 2 (n ) 2 n 2 Evaluando:
16n cos(n ) 16sin(n ) 14(n ) 2 sin( n ) an ( n )3 2
1 n x bn [ x 2 x 3]sin( )dx 2 2 2 Integrando por parte: 2
2 x 2 n x 8 n x 16 n x 2x n x cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) 2 (n ) 2 2 ( n )3 2 n 2 1 n bn 2 4 n x 6 n x sin( ) cos( ) 2 2 n 2 (n ) 2
128
Evaluando: bn
16n cos(n ) 8 sin( n 2 (n )
)
La serie de Fourier es:
f ( x) a0 (an cos( n 1
n x n x ) bn sin( )) L L
16n cos(n ) 16sin( n ) 14( n ) 2 sin( n ) n x cos( ) 3 (n ) 2 13 f ( x) 3 n 1 16n cos(n ) 8sin( n ) n x [ sin( )] (n ) 2 2
Como, sin(n )=0, entonces:
f ( x)
13 16cos(n ) n x 8cos(n ) n x cos( ) sin( ) 2 3 n1 (n ) 2 n 2
129
Cálculo Integral Práctica: 11 Apellidos:………………………………….……………….… Matrículas:…………………………. Grupo: ……………Fecha: ………..…………Profesor(a): …………………….…………….…
1) Encontrar el volumen del solido formado cuando y=cosx en 0, 2 gira al rededor del eje de las X. 2) Encontrar la serie de y = cosx en a=0 y = lnx en a=5 3) Encontrar la serie de fourier en f x x 2 en el metodo de l , l .
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Revisado el 18 de Enero del 2014
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