APÉNDICE A PÉNDICE : COORDENA COORDENADA DAS S CURVILÍNEA CURVIL ÍNEAS S Chantal Chan tal Ferre Ferrerr Roca Roca 2008 2008
r
r
Las Las coo coord rden enad adas as esfé esféri rica cass se util utiliz izab aban an en el sigl sigloo IV-I IV-III II a.C. a.C.,, tant tantoo para para la dete determ rmin inac ació iónn de posicio posiciones nes estelare estelaress (por ejemplo, ejemplo, catalog catalogació aciónn estelar estelar de Hiparco Hiparco)) como de de longitud longitud y latitud latitud sobre la superficie superficie terrestre terrestre (por ejemplo, ejemplo, Geografía Geografía Física de Eratóstene Eratóstenes) s)
INTRODUCCIÓN A L AS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES Chantal Ferrer Roca 2008
coordenadas cartesianas
r
u ρ
r
r
r
uφ
r
u y
coordenadas polares x = ρ cos φ y = ρ sin φ
Q
r
uφ
r
u ρ P(ρ,φ)
r
u x P(x,y)
ρ
ρ = x 2
+ y 2
φ = tg −1
y x
φ
A = A x u x r
r
⊥ a las líneas de x cte. sentido: incremento de x y x cte
?
+ A y u y r
r
A = A ρ u ρ + Aφ uφ r
r
vectores unitarios base ⊥ a las líneas de ρ cte.
⊥ a las lineas de y cte. sentido: incremento de y
⊥ a las líneas de φ cte. sentido: incremento de ρ sentido: incremento de φ y y uφ u ρ r
r
r
y
r
u x
u y y cte
x
x
En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección
x
ρ cte
x
φ cte
En cada punto los vectores unitarios tienen dirección diferente
INTRODUCCIÓN A L AS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES Chantal Ferrer Roca 2008
coordenadas polares
coordenadas cartesianas
r
u ρ
r
A
r
A
r
u y
r
uφ
r
uφ
Q
P(ρ,φ)
r
u x P(x,y)
r
u ρ
ρ φ
En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección
En cada punto los vectores unitarios tienen dirección diferente
Ejemplos 2 A = ( 0 , − 2 ) En el punto (1,π ) en r
r
A = (1,−1)
A = ( 0 , 2 ) En el punto (1,0) r
y
en cartesianas
y
En el punto (1,1) en cartesianas
polares
r
A
y
r
A
uρ r
uφ r
uφ r
(1,0 )
(1,π )
r
uρ
(1,1)
r
A
x
x
−x
uρ r
uφ r
x
r
A = ( 0 , 2 ) = 2 u φ En polares r
A = (0,− 2 ) = − 2u φ En polares r
r
r
A = ( 0 , 2 ) = 2 j En cartesianas r
INTRODUCCIÓN A L AS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES Chantal Ferrer Roca 2008 coordenadas polares
coordenadas cartesianas
u φ = − sin φ u x + cos φ u y r
r
uφ
r
r
r
r
π 2
r
u y
u ρ = cos φ u x + sin φ u y r r
+ φ
r
r
φ
ρ
r
u x
P(x,y)
φ r
Acar = A x u x r
A pol = A ρ u ρ + A φ u φ r
+ A y u y
r
r
r
cos φ u x + sin φ u y − sin φ u x + cos φ u y r
r
r
A pol = (A ρ cos φ − A φ sin φ) u x + (A ρ sin φ + A φ cos φ) u y r
r
A ⎞ ⎛ A x ⎞ ⎛ cos φ − sin φ ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ A ρ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ A y ⎠ ⎝ sin φ cos φ ⎠ ⎝ φ ⎠
r
u ⎞ ⎛ cos φ sin φ ⎞ ⎛ ⎟⎟ = ⎜⎜ ρ ⎟⎟ T = ⎜⎜ ⎝ − sin φ cos φ ⎠ ⎝ u φ ⎠ r
r
T-1 = TT − Acar = T 1 A pol r
r
A pol = T A car r
r
r
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES Chantal Ferrer Roca 2008
Ejemplo 3: (Problema 1.1 b) boletín) El vector (1,-1) está aplicado en el punto (1,1), ambos en cartesianas. Escribid el vector en coordenadas polares Geométricamente: es fácil ver que en el punto P (1,1) el vector (1,-1) tiene dirección u φ (y sentido opuesto), sin realizar una transformación de las coordenadas.
uφ r
P ( x = 1, y = 1)
ρ = x 2 + y2 = 2
uρ r
(1,1) y φ = tg −1 = tg −11 = 45º x
r
A = (1,−1)
⎛ A ⎞ ⎛ cos 45º sin 45º ⎞⎛ A x ⎞ 2 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 0 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = − 2u φ A pol = ⎜⎜ ρ ⎟⎟ = ⎜⎜ A A ⎝ φ ⎠ ⎝ − sin 45º cos 45º ⎠⎝ y ⎠ 2 ⎝ − 1 1 ⎠⎝ − 1 ⎠ 2 ⎝ − 2 ⎠ r
r
INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES Chantal Ferrer Roca 2008 r
vector de posición del punto P(x,y,z)
uφ
rcar = ( x , y ) = xu x + yu y = ρ cos φ u x + ρ sin φ u y rpol = ( ρ ,0 ) = ρ u ρ r
r
r
r
d r
r
r
r
u ρ
r
d
r
d
r
r
elemento de trayectoria (geométricamente) drcar = dx u x + dy u y r
r
r
φ
drpol = d ρ u ρ + ρ d φ uφ
r
r
r
variación de la distancia radial
r
variación del elemento de arco
= ρ
mismos resultados usando la matriz T
Obtención analítica de los vectores unitarios
r
y
variación de ρ
y
uφ
variación de φ
r
u ρ
r
r
r
r
x
d r d ρ
x
r
r
= cos φ u x + sin φ u y = u ρ r
r
r
d r d φ
= ρ ( − sin φ u x + cos φ u y ) = ρ uφ r
r
r
u ρ = r
d r d ρ
=
1 r
r
d r
d r d ρ d ρ
h ρ
uφ = r
1 d r
ρ d φ
=
r
r
1
d r
r
d r d φ d φ
hφ
r
COORDENADAS CURVILÍNEAS- GENERALIZACIÓN Chantal Ferrer Roca 2008
Curvilíneas q 1, q 2, q 3
Ejemplo: coordenadas polares
x = ρ cos φ y = ρ sin φ
⎧ x = f 1 ( q1 , q 2 , q 3 ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ y = f 2 ( q1 , q 2 , q 3 )⎬ ⎪ z = f ( q , q , q ) ⎪ 3 1 2 3 ⎭ ⎩
sistema de coordenadas
q 1 = ρ q 2 = φ
d r 1 d r uρ = = dρ d r dρ dρ r
r
r
r
vectores unitarios
ui = r
1 hi
∂r ∂r ; hi = ; ∂qi ∂qi r
h ρ
r
1 d r 1 d r uφ = = ρ dφ d r dφ dφ r
r
hφ
⎛ u1 ⎞ matriz de ⎜ ⎟ transformación T = ⎜ u 2 ⎟ ⎜u ⎟ cart-curv ⎝ 3 ⎠ r
⎛ u ρ ⎞ ⎛ cos φ sin φ ⎞ ⎟⎟ T = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ u sin cos − φ φ ⎠ ⎝ φ ⎠ ⎝ r
r
r
r
elemento de dr = h dq u + h dq u + h dq u 1 1 1 2 2 2 3 3 3 línea r
r
r
r
r
r
d r = d ρ u ρ + ρ dφ u φ r
• Si la coordenada q i es una distancia, hi =1 • Si la coordenada q i es un ángulo, hi es la cantidad que lo transforma en una distancia de arco hi dq i .
r
r
COORDENADAS CILÍNDRICAS Chantal Ferrer Roca 2008
⎡h ρ = 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢hφ = ρ ⎥ ⎢h = 1 ⎥ ⎣ z ⎦
z
⎧x = ρ cos φ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨y = ρ sin φ ⎬ ⎪z = z ⎪ ⎩ ⎭
r
u z r
P
uφ
z
u ρ
r
r
r
y
ρ φ
ρ = x
2
φ = tg −1
+ y
2
y x
⎛ cos φ ⎜ vectores = T cil ⎜ − sin φ unitarios ⎜ 0 ⎝
z = z
x
r = ρuρ + zuz r
r
r
dr = d ρ u ρ + ρ d φ uφ + dz u z ; r
ds =
r
r
2
( d ρ )
r
2
+ ( ρ d φ ) + ( dz )
Problema 1.1, 1.3 boletín
d 2
Cuestiones 1.4, 1.9
dz
P
d
sin φ cos φ 0
0 ⎞
⎛ u ⎞ ⎟ ⎜ ρ ⎟ 0 ⎟ = ⎜ uφ ⎟ 1 ⎠⎟ ⎜⎝ u z ⎠⎟ r
r
r
COORDENADAS ESFÉRICAS Chantal Ferrer Roca 2008
z hacia "arriba" u
⎡h r = 1 ⎤ ⎢ ⎥ r h = θ ⎢ ⎥ ⎢h φ = r sin θ ⎥ ⎣ ⎦
r
r s i n θ
r
r
P
u φ hacia el "este"
r
uθ
y
hacia el "sur"
u r r
x
⎧x = r sin θ cos φ ⎫ r = x 2 + y 2 + z 2 ⎪ ⎪ ⎨y = r sin θ sin φ ⎬ −1 z −1 y tg = = θ cos ; φ ⎪z = r cos θ ⎪ r x ⎩ ⎭
vectores unitarios
⎛ sin θ cos φ
⎜ Tesf = ⎜ cos θ cos φ ⎜ − sin φ ⎝
θ ∈ [0, π ], φ ∈ [0,2π ]
sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ
uφ
⎛ u ⎞ ⎟ ⎜⎜ r ⎟⎟ − sin θ ⎟ = uθ ⎜ ⎟ 0 ⎠⎟ ⎜ u ⎟ ⎝ φ ⎠ r
cos θ ⎞
r
r
r
sup. φ = cte
r = r ur r
r
uθ r
sup. r = cte
sup. θ = cte
rsin d
dr = dr ur + r d θ uθ + r sin θ d φ uφ ; r
ds =
r
r
2
( dr )
r
+ ( rd θ )2 + ( r sin θ d φ )2 ;
Problema 1.2, 1.3 boletín Cuestiones 5, 6
P
dr
rd
Elementos de línea, superficie y volumen
CARTESIANAS d r = dx i
r
r
r
+ dy j + dz k r
∫
C = E ⋅ d r r
C
r
d r
r
dz
d S =
dx
r
+ dS y j + dS z k = dydz i + dxdz j + dxdy k
r
r
r
dS x i
r
r
dy
r
Φ = ∫ E ⋅ d S r
S
dz
dz dy
dV = dx ⋅ dy ⋅ dz
dx
dy
dx
∫
M = ρ ⋅ dV dV
V
Φ = ∫ (∇ ⋅ E )dV r
V
Chantal Ferrer Roca 2008
r
r
Elementos de línea, superficie y volumen
CILÍNDRICAS
dr = d ρ u ρ + r
d
d
d φ uφ + dz u z r
r
d S = dS ρ u ρ + dS φ u φ + dS z u z ; = ρ dφ dz u ρ + dρ dz u φ + ρ dφ dρ u z ; r
r
r
dz
r
d r
r
r
r
dz
Ejemplo: calcular el flujo a través de una superfície circular de radio a del campo vectorial A = ( x 2 + y 2 )u r
r
z
Chantal Ferrer Roca 2008
r
ρ dφ dρ
ρ dφ dρ
r
ρ dφ dz
dρ dz
dV = ρ d ρ d φ dz dV
Elementos de línea, superficie y volumen
ESFÉRICAS
d r = dr u r + r d θ uθ + r sin θ d φ uφ ; r
dS = r
rsin d
r
r
dSr u r +
r
dSθ u θ +
r
dSφ u φ
r
r
= r 2 sin θdθ dφ u r + r sin θdr dφ u θ + r dr dθ u φ r
r
r
d r
P
r
rd rdθ
dr
dr
rdθ
dr r sin θ dφ
dV
rdθ dr
r sin θ dφ
r sin θ dφ
2 dV = r dr sin θ d θ d φ d Ω
Ejemplo : calcular la carga de una esfera de radio a centrada en el origen, cuya densidad volúmica es
ρ( r ) = x 2 + y 2 + z 2 r
Problema del Boletín: 6.6
Ángulo sólido de una esfera: Superficie de una esfera:
Elemento de ángulo sólido π
2π
0
0
Ω = ∫ sin θ d θ ∫ d φ = 4π
∫
S = dS r
= a 2 ∫ d Ω = 4π a 2
Chantal Ferrer Roca 2008
Operadores expresados en coordenadas curvilíneas
Operadores en cilíndricas 1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ uρ + uφ + u ∂z z ∂ρ ρ ∂φ 1 ∂ 1 ∂A φ ∂A z + DIVERGENCIA ∇ ⋅ A = (ρA ρ ) + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z ∂A ρ ⎞ ⎛ 1 ∂A z ∂A φ ⎞ ⎛ ∂A ρ ∂A z ⎞ 1 ⎛ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟u z ∇ × = − + − + ROTACIONAL A ⎜ uρ ⎜ u φ ⎜ (ρA φ ) − ⎟ ⎟ ∂z ⎠ ∂ρ ⎠ ∂φ ⎠ r ⎝ ∂ρ ⎝ ρ ∂φ ⎝ ∂z 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ + LAPLACIANO ∆ψ = (ρ ) + ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2 ∂z 2
GRADIENTE ∇ψ = r
r
r
r
r
r
r
r
r
Problema del Boletín: 6.7
r
r
Chantal Ferrer Roca 2008
Operadores expresados en coordenadas curvilíneas
Operadores en esféricas ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ u r + uθ + u ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ φ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂A φ DIVERGENCIA ∇ ⋅ A = 2 (r 2 A r ) + (A θ sin θ) + r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ ∂A ⎞ 1 ⎛ ∂ ⎜⎜ (A φ sin θ) − θ ⎟⎟u r + ROTACIONAL ∇ × A = ∂φ ⎠ r sin θ ⎝ ∂θ ⎞ ∂ ∂A ⎞ 1 ⎛ ∂A r 1 ∂ ⎜⎜ − sin θ (rA φ ) ⎟⎟u θ + ⎛ ⎜ (rA θ ) − r ⎟u φ r sin θ ⎝ ∂φ r ⎝ ∂r ∂r ∂θ ⎠ ⎠ ∂ ∂ψ 1 ∂ 2 ∂ψ 1 1 ∂ 2ψ LAPLACIANO ∆ψ = 2 (r )+ (sin θ ) + 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ2 r ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ
GRADIENTE
∇ψ = r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Problema del Boletín: 6.7 Ejercicios del Cuestionario: 68
r
Chantal Ferrer Roca 2008
Operadores y elementos de línea, superficie y volumen
Coordenadas generalizadas dr = h1dq1u1 + h2 dq2u2 + h3dq3u3 r
elementos
r
r
r
elemento de línea
2 2 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ds = d r = h1 dq1 + h2 dq2 + h3 dq3 ) elemento de arco r
r
dS = h2 h3dq2 dq3 u1 + h1h3dq1dq3 u 2 + h1h2 dq1dq2 u3 e. de sup erfície elemento de volumen dV = h1h2 h3dq1dq2 dq3 r
r
r
r
GRADIENTE
∇ψ =
DIVERGENCI A
∇ ⋅ A= r
r
r
ROTACIONAL
r
∇ × A =
r
r
u1 ∂ψ u 2 ∂ψ + h1 ∂ q1 h2 ∂ q2
+
u3 ∂ψ h3 ∂ q3
⎡ ∂ (h2 h3 A1 ) ∂ (h1h3 A2 ) ∂ (h1h2 A3 )⎤ + + ⎢ ∂ q ⎥ h1h2 h3 ⎣ q ∂ ∂ q3 1 2 ⎦ 1
r
Operadores
r
r
r
h1u1 ∂
h2u 2 ∂
h3u3 ∂
h1h2 h3 ∂ q1 h1 A1
∂ q2 h2 A2
∂ q3 h3 A3
1
LAPLACIANO
∆ψ =
Chantal Ferrer Roca 2008
⎡ ∂ ⎛ h2 h3 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ h3h1 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ h1h2 ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎢ ⎜ h1h2 h3 ⎣ ∂ q1 ⎜⎝ h1 ∂ q1 ⎠⎟ ∂ q2 ⎜⎝ h2 ∂ q 2 ⎠⎟ ∂ q3 ⎜⎝ h3 1
∂ψ ⎞⎤
⎟⎥
∂ q3 ⎠⎟⎦
