Movimiento Curvilíneo Gabriela Miranda Escuela Superior Politécnica de Chimborazo Riobamba, Ecuador
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Una partícula o cuerpo ejecuta un movi movimi mien ento to curv curvil ilín íneo eo,, cuan cuando do dich dichaa partícula describe una traectoria !ue no es recta" En la naturaleza, así como en la técnic técnicaa es mu corrie corriente nte encont encontrar rarse se con movimientos cuas traectorias no son líneas rectas, rectas, sino curvas" Estos Estos movimiento movimientoss son llamad llamados os curvil curvilíne íneos os,, se encuen encuentra tran n con m#s m#s $rec $recue uenc ncia ia !ue !ue los los rect rectil ilín íneo eos" s" Por Por traectorias curvas se mueven en el espacio c%smic c%smico o los planetas planetas,, los satélite satélitess en la &ierr &ierraa se mueven mueven así todos todos los medios medios de transporte, las partes de las m#!uinas, el a'ua de los ríos, el aire de la atm%s$era"
tiempo. En el instante t, el t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. iremos !ue el m%vil se ha desplazado Δr=r’-r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t tiempo Δt=t'-t " icho vector tiene la direcci%n de la secante !ue une los puntos P P-" 3)
ura urant ntee el tiem tiempo po .t, .t, la velo veloci cida dad d promedio de la partícula es . Velocida locidad d
Esta Esta tra traec ecto tori riaa se desc descri ribe be a menu menudo do en tres tres dime dimens nsio ione nes, s, para para esto esto tendríamos !ue utilizar an#lisis vectorial para $ormular su posici%n, velocidad aceleraci%n" 1) Posición. Posición. Considere una partícula
situada en un punto de una curva espacial de$inida pos la $unci%n de traectoria tra ectoria s(t) s(t)"" El vect vector or posi posici ci%n %n de r ( r)t * desi'n desi'nara ara la posici%n de la partícula medida con respecto a un punto $ijo +" 2) Desplazamiento. Como
Fig. 2 Desplazamiento curvilíneo
V prom=
∆r ∆ t
la
posición del móvil cambia con el Fig. 1 Posición circular
/a velocidad instantánea es deter eterm minad inadaa cuan cuando do .t→0, como /a direcci%n de la velocidad v de la partícula siempre es tan'ente a la traectoria, su
ma'nitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la $unci%n de la lim ¿ ( ∆ r / ∆t )
∆ r es
¿
V =
a prom =
dr dt
Fig. 3 Velocidad curvilínea
la rapidez, se obtiene al tener en cuenta !ue la lon'itud del se'mento de línea recta tiende la lon'itud de arco
∆s a
∆ t → 0 , tenemos
∆v ∆ t '
∆ v =v − v "
onde
Como d r ser# tan'ente a la curva, la direcci%n de v también es tan'ente a la curva" /a ma'nitud de v, !ue es conocida como
medida !ue
el intervalo
v =∆t → 0
traectoria por lo tanto
∆r
aceleraci%n promedio de la partícula durante
Para
estudiar la tasa de cambio en el tiempo, los dos vectores de velocidad se trazan de modo !ue sus colas !ueden en el punto $ijo O’ sus cabezas de punta de $lecha to!uen puntos situados en la curva" Esta curva se llama hodógrafa cuando se construe, describe el lu'ar 'eométrico de puntos para la cabeza de punta de $lecha del vector posici%n" Para
obtener
la
instant#nea, hacemos !ue
aceleraci%n
∆ t → 0 en la
ecuaci%n anterior" En el limite
∆v
tendera la tan'ente a la hod%'ra$a por tanto lim ¿ ( ∆ v / ∆ t ) ¿
lim ¿ ( ∆ r / ∆t ) ¿
v =∆ t → 0
a =∆ t → 0
=
a=
lim ¿ ( ∆ s / ∆ r ) ¿
,o
dv dt
∆t → 0
Por tanto, la rapidez se obtiene al di$erenciar la $unci%n de la traectoria s con respecto al tiempo"
v=
ds dt
4) Aceleración. Si la velocidad de la
partícula es v en el instante t v’=v0 ∆ v en
el
instante
t+ ∆ t ,
entonces
la
Si sustituimos la ecuaci%n en este resultado, también podemos escribir 2
a=
d r 2
dt
V siempre es tan'ente a la traectoria a siempre es tan'ente a la hom%'ra$a"
a.- Movimiento componentes rectangulares
circular en
e vez en cuando el movimiento de una
la dirección de r se especifca por el vector unitario U r =r / r !a primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad de la part"cula. 6)
partícula puede describirse mejor a lo lar'o de una traectoria !ue pueda e1presarse en $unci%n de sus coordenadas x, y, z. !) Posición" Si en un instante dado la
partícula P est# en un punto )1, , z* sobre la traectoria curva s, su ubicaci%n es de$inida entonces por el vector de posici%n2
r = x i+ y j+ z k /a ma'nitud de r es siempre positiva , siempre cuando estas ean $unciones del tiempo es decir !"!#t$, %"%#t$, z"z#t$ de modo que r=r(t) est# de$inida por la ecuaci%n"
En cualquier instante de la ecuación se defne la magnitud de r
r = √ x
2
2
2
+ y + z
Velocidad.
Por lo tanto# v=
dr d d d d = ( xi ) + ( yj )+ ( yj ) + ( zk ) dt dt dt dt dt
Cuando se toma esta derivada, es necesario tener en cuenta tanto la ma'nitud como la direcci%n de cada uno de los componentes vectoriales
d ( xi ) = dx i + x di dt dt dt El se'undo término del lado derecho es cero, siempre !ue el marco de re$erencia 1, , z este $ijo por consi'uiente la direcci%n de i no cambie con el tiempo" /a di$erenciaci%n de los componentes j k se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado $inal"
v=
dr = v i+ v y j + v z k dt x
Donde1
v x =´ x v y = y´ v z =´ z
/a notaci%n 3de punto4,
y´ ,
Fig. & Posición en componentes rectangulares
z´
representa
las
x´ ,
primeras
derivadas de las ecuaciones paramétricas x=x(t), y=y(t), z=z(t), respectivamente" /a
ma'nitud de la velocidad viene determinada por la si'uiente ecuaci%n"
/a aceleraci%n tiene una ma'nitud
a =√ a x + a y + a z 2
u= √ u x +u y + u z 2
2
2
2
2
5 una direcci%n especi$icada por el
uv = v / v
5 el vector unitario
vector
especi$ica su direcci%n" Esta direcci%n
unitario
ua= a / a
"
Como
a
representa el cambio tanto de la ma'nitud como de la direcci%n de la velocidad, en
Fg. ( Velocidad en componentes rectangulares
siempre es tan'ente a la traectoria"
Fg. ) celeración en componentes rectangulares
'eneral a no ser# tan'ente a la traectoria" ") Aceleración" /a aceleraci%n de la
partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo" &enemos
a=
dv = a i+ a y j + a z k dt x
#) Puntos importantes
El movimiento curvilíneo hace !ue
onde
cambie tanto la ma'nitud como la direcci%n de los vectores de posici%n, velocidad aceleraci%n" El vector de velocidad siempre es
tan'ente a la traectoria" En 'eneral, el vector de aceleraci%n
no es tan'ente a la traectoria, sino !ue m#s bien es tan'ente a la hod%'ra$a" Si el movimiento se describe
mediante coordenadas rectan'ulares, entonces los componentes a lo lar'o de cada uno de los ejes no cambian de direcci%n, solo su mar'en sentido cambiaran" 6l considerar los movimientos de
a x =´v x =´ x a y =´v y = y ´
a z =´v z =´ z a x
6!uí
,
a y
,
a z
representan, respectivamente, las primeras derivadas con respecto al tiempo de
v x =v x ( t ) ,
v y =v y (t ) ,
v z=( t )
o
las se'und$as rerivadas con respecto al tiempo
de
las
$unciones
y = y ( t ) , z = z ( t ) "
x = x (t ) ,
los componentes, el cambio de
ma'nitud direcci%n de la posici%n velocidad de la partícula se toman autom#ticamente en cuenta" 3er !"#$
$.- Movimiento circular en componentes polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema coordenado bidimensional en el cual cada punto )posici%n* en el plano esta determinado por un #n'ulo una distancia" Este sistema es especialmente 7til en situaciones donde la relaci%n entre dos puntos es m#s $#cil de e1presar en términos de #n'ulos distancias Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es !ue un 7nico punto del plano puede representarse con un n7mero in$inito de coordenadas di$erentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas" En el sistema de coordenadas cartesiano o rectan'ular estas mismas relaciones deben ser e1presadas mediante $%rmulas tri'onométricas" 6l ser un sistema de coordenadas bidimensional, cada punto dentro del plano se encuentra determinado por dos coordenadas2 la coordenada radial la coordenada an'ular" /a coordenada radial )com7nmente simbolizada por r* e1presa la distancia del punto al punto central del sistema conocido como polo )e!uivalente al ori'en del sistema Cartesiano*"
Si la traectoria del movimiento curvilíneo se e1presa en este tipo de coordenadas, se pueden relacionar las componentes velocidad aceleraci%n con las derivadas respecto al tiempo r 8 Por lo tanto es necesario determinar2
´
r , ´r , ´ r , θ , θ´ r = f ( θ ) ,
Si nos da la traectoria
entonces se debe utilizar la re'la de la cadena para obtener las derivadas respecto al tiempo" %er !"#$
Vr =´r V θ =r ´θ ar = ´r −r ´θ
2
a θ= r θ´ + 2 r´ ´θ c.- Movimiento circular en componentes cilindricas
/as coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para de$inir la posici%n de un punto del espacio mediante
/a coordenada an'ular )también conocida como #n'ulo polar o #n'ulo acimutal, usualmente simbolizado por 8 * e1presa el #n'ulo positivo )es decir en sentido anti horario* medido desde el eje polar )usualmente se hace coincidir este con el eje 1 del sistema cartesiano* %er !&#$
un #n'ulo, una distancia con respecto a un eje una altura en la direcci%n del eje" El sistema de coordenadas cilíndricas es mu conveniente en a!uellos casos en !ue se tratan problemas !ue tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal" Se trata de una
versi%n
en
coordenadas
tres
dimensiones
polares
de
la
de
las
direcci%n uz, es constante, las derivadas
'eometría
respecto al tiempo de este vector son cero" 5
analítica plana"
por consi'uiente la posici%n, velocidad
Un punto en coordenadas cilíndricas se
aceleraci%n de la partícula se describen en $unci%n de sus coordenadas cilíndricas como
representa por )9,:, *, donde2
92 Coordenada radial, de$inida como la distancia del punto P al eje z , o bien la lon'itud de la proecci%n del
si'ue %er !"#$ r p (r ur 0 zuz
´
v =rur + r θ uθ´+ zuz ´ 2
radio vector sobre el plano ;5
:2 Coordenada azimutal, de$inida como el #n'ulo !ue $orma con el eje ; la proecci%n del radio vector sobre el plano ;5
z2 Coordenada vertical o altura,
θ θ
´ ´ ¿ ¿ ´ r −r ¿ ur +¿ ¿´ a=¿
r θ + 2 r ¿´ u θ + z´
de$inida como la distancia, con si'no, desde el punto P al plano" ;5" /os ran'os de coordenadas son 0≤ ρ
<∞
variaci%n
de
las
tres
REFERENCIAS
@AB R" C" ibbeler, Dn'enieria Mecanica 0≤φ
< 2 Π
−∞
/a coordenada azimutal : se hace
inamica, Aava ed" >A>
@B r" F" M" ecerra @onlineB avalaible2
variar en ocasiones desde <= a 0=" /a
http2HHd'enp"unam"m1Hdirecc'ralHsecacadHcma
coordenada radial es siempre positiva" Si
tematicasH'eo'ebraHpolares"html
reduciendo el valor de 9 lle'a a alcanzarse el valor >, a partir de ahí, 9 vuelve a aumentar, pero : aumenta o disminue en = radianes" %er !#$ /a coordenada ? es idéntica a la !ue se utiliz% para componentes rectan'ulares, así como el vector unitario !ue de$ine su
@IB JiKipedia )>AL* @onlineB avalaible2 https2HHes"iKipedia"or'HiKiHCoordenadasNcil OCIO6ndricas
