coordenadas polares.doc

Posición y velocidad en coordenadas polares

La posición del punto P es  x=r·cos   y=r·sen  Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

CALCULAMOS LAS COMPONENTES RECTANULARES !E LOS "ECTORES UN#TAR#OS R $  .

vemos %ue Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son& por tanto

'

La energía y el momento angular en coordenadas polares La expresión de la ener(ía en coordenadas polares es

!onde k/r  es la ener(ía potencial correspondiente a la )uer*a conservativa F=k/r 2+ Con k=-GMm si la interacción es (ravitatoria

 

si la interacción es de tipo el,ctrico K  ES NEAT#"O S# LA -UER.A ES ATRACT#"A K  ES POS#T#"O S# LA -UER.A ES REPULS#"A

Expresamos el momento an(ular L en coordenadas polares

!espe/ando d  /dt  en la expresión del momento an(ular 0 la introducimos en la expresión de la ener(ía+ Tenemos dos ecuaciones

Ecuación de la trayectoria Eliminamos dt  entre estas dos ecuaciones para o1tener la ecuación de la tra0ectoria

Para inte(rar se 2ace el cam1io u=1/r 

3

 Tenemos una inte(ral del tipo

con a=L2 /(2m), b=k, c=E 4acemos el cam1io

A2ora& vamos des2aciendo los cam1ios

4a0 dos posi1les soluciones se(5n el si(no de b o de k + Si k  o b es positivo

Si k  o b es ne(ativo

La primera& es la ecuación de una 2ip,r1ola en coordenadas polares La se(unda& es la ecuación de una cónica 6elipse& par71ola o 2ip,r1ola8 dependiendo del valor de la excentricidad  +

9

Graficando un punto en coordenadas polares UN PUNTO EN EL PLANO SE ENCUENTRA EN LA #NTERSECC#:N !E UN C;RCULO (R=CTE) CON UN RA$O (ÁG!L"=CTE) + LAS COOR!ENA!AS POLARES !E UN PUNTO # EN EL PLANO SON EL PAR OR!ENA!O (R,$)+ O
=

CON"ENC#ONES> '8 Los 7n(ulos $ % & se miden en el sentido ?

opuesto a las manecillas del relo/ a partir del e/e polar& en tanto %ue los 7n(ulos ne(ativos se miden en el sentido de las manecillas de relo/+ 38 Para locali*ar el punto (r,$) si r ' && se (ra)ica el punto (r,$ )+ 98 Las coordenadas del polo " son (&,$)& donde $ es cual%uier 7n(ulo+ A di)erencia de las coordenadas cartesianas 6o rectan(ulares8& las coordenadas polares de un punto no son 5nicas+ Las coordenadas polares (r,$) 0 (r,$2* ) con * entero& corresponden al mismo punto+

@

3.2.6 Área en coordenadas polares En esta sección aprenderemos a calcular el 7rea de la re(ión comprendida entre dos ra0os 0 una curva dada por una ecuación polar r=+(t)+ Supon(amos %ue r=+(t) es una )unción continua no ne(ativa en un intervalo  , B+ ueremos evaluar el 7rea comprendida entre la curva 0 los ra0os t=  0 t= & con &' ' '2 +

E/emplo>

D

Empe*aremos como 0a es costum1re& calculando aproximaciones al 7rea 1uscada+ primero& 2acemos una partición del intervalo  , B en * subintervalos de amplitud ( - ) = 

Si esco(emos un valor especí)ico de t en cada su1intervalo& llam,mosle & 0 evaluamos +( )& entonces el 7rea de cada re1anada es aproximadamente i(ual a el 7rea de un tri7n(ulo de 1ase  (r)( ) 6recuerda la de)inición de radi7n8 0 altura r + Entonces el 7rea de cada re1anada es> 6'F3861ase86altura8 G (1/2)(r )(r) = (1/2)r 2

+

E/emplo>

A2ora veremos varias particiones del intervalo  , B 0 la suma de las 7reas de las re1anadas+

H

Como ves& el 7rea encerrada por la curva R=F(T) en el intervalo  , B se puede aproximar mediante la suma de las 7reas de las re1anadas 0 la aproximación es me/or cuanto ma0or sea el n5mero de re1anadas+ Entonces de)inimos el 7rea como el límite de la suma de 7reas cuando  +

!E-#N#C#:N !E IREA EN COOR!ENA!AS POLARES> SEA R=F( ) UNA -UNC#:N CONT#NUA NO NEAT#"A EN UN #NTER"ALO  , B+ EL IREA COMPREN!#!A ENTRE LA CUR"A $ LOS RA$OS T G $ T G ESTI !A!A POR ' ' T= J

 $ LM =  

R2 B  3

R2

 G 3

T=

Coordenadas Polares Las coordenadas cartesianas 6x, y8 no son la 5nica )orma de desi(nar un punto p en el plano con un par de n5meros+ Existen otras )ormas 0 pueden ser m7s 5tiles en circunstancias especiales+ Un sistema 6coordenadas polares8 usa la longitud r de la línea OP desde el ori(en 2asta P 0 el 7n(ulo %ue )orma esa línea con el e/e x+ Los 7n(ulos se denominan& a menudo& con letras (rie(as 0 a%uí se(uimos las convenciones desi(n7ndolo como  6) (rie(a8+ O1serve %ue mientras en el sistema cartesiano x e 0 tiene roles mu0 similares& a%uí est7n divididos> r denota la distancia 0 la dirección+ Las dos representaciones est7n mu0 relacionadas+ !e las de)iniciones de seno 0 coseno> x G r cos  0 G r sin  Esto permite %ue 6x& 08 se dedu*can de las coordenadas polares+ Para ir en sentido inverso 0 deducir 6r& 8 de 6x& 08& o1serve %ue de las ecuaciones superiores o del teorema de Pitágoras se puede deducir r> r3 G x3 K 03 Una ve* %ue se conoce r& el resto es )7cil cos  G x / r sin  G 0 / r Estas relaciones solo )allan en el ori(en& donde x G 0 G r G + en ese punto&  est7 inde)inido 0 se puede esco(er para ,l lo %ue uno %uiera+ En el espacio tridimensional& la desi(nación cartesiana 6x& 0& *8 es exactamente sim,trica& pero al(unas veces es conveniente se(uir el sistema de coordenadas polares 0 desi(nar la distancia 0 la dirección por separado+ La distancia es )7cil> se toma la línea OP desde el ori(en 2asta

'

el punto 0 se mide su distancia r+ tam1i,n puede deducirse del teorema de Pit7(oras& como en este caso> r3 G x3 K 03 K *3 todos los puntos con el mismo valor de r )orman una esfera de radio r alrededor del ori(en O+ En una es)era se puede desi(nar cada punto por la latitud l 6lam1da& l min5scula (rie(a8 0 lon(itud  6p2i& ) min5scula (rie(a8& lue(o la posición de cual%uier n5mero en el espacio se de)ine por 9 n5meros 6r, , 8+

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