DISTRIBUSI BETA (Menentukan Varian)

 DISTRIBUSI BETA BETA  Menentukan Varian Varian : E

 E

• 

2

( x − µ)

 =

2

( x − µ)

αβ 2

( α + β ) (α + β + 1 )

 Pembuktian : E ( x − µ)2 = E(  x 2 ¿ −[ E ( x )]2  Langkah pertama mencari E(  x 2 ¿ ∞

 E(  x

2

∫

¿ =

 x f  ( ( x ) dx 2

−∞ 0

=

∫  x f  ( ( x ) dx

+∫ x f  ( ( x ) dx +∫ x f  ( ( x ) dx 2

−∞

 x

2

2

0

.0 dx

+¿

1

∞

1

Γ ( α + β ) α −1  x  x ( )  Γ  α   Γ   β ( ) 0

∫

0

=

∞

1 2

∫¿

 β −1

2

( 1− x )

dx  +

∫ x .0 dx 2

1

−∞

1

Γ ( α + β ) 2 α −1  x . x 0+  Γ ( α ) Γ ( β ) 0

∫

=

( 1− x ) β − dx +0 1

1

 Γ ( α + β ) 2 α − 1  x . x ( 1− x ) β −1 dx =  Γ ( α ) Γ ( β ) 0  Γ ( α + β )  Γ ( α + 2 ) Γ ( β ) =  Γ ( α ) Γ ( β )  Γ ( α + β + 2 )  Γ ( α + β )  Γ ( α + 2 ) =  Γ ( α )  Γ ( α + β + 2)  Γ ( α + β ) ( α + 2 −1 ) Γ ( α + 2 −1) =  Γ ( α ) ( α + β + 1) Γ ( α + β + 1) Γ ( α + β ) ( α + 1 ) Γ ( α + 1) =  Γ ( α ) ( α + β + 1)( α + β ) Γ ( α + β ) Γ ( α + β ) ( α + 1 ) α Γ  (α ) =  Γ ( α ) ( α + β + 1)( α + β ) Γ ( α + β ) α ( α + 1 ) = (α + β )( α + β + 1)  x  Langkah selanjutnya yaitu memasukkan nilai  E ( ¿ ¿ 2 )  dan E( x ) ke dalam rumus varian

∫

• 

¿

E

2

= E(  x ¿ −[ E ( x )] α ( α + 1 )

2

( x − µ)

2 2

−[ α   ] = ( α + β )( α + β + 1) ( α + β ) α  ( ¿¿ 2 + α ) ( α + β ) −α 2 ( α + β + 1 ) =

2

( α + β + 1)( α + β ) ¿

α  (¿ ¿ 3 + α  + α   β + αβ )− α 3 −α 2 β −α 2 2

=

2

¿ ( α + β + 1)( α + β )

2

=

αβ 2

(α + β + 1 )( α + β )

TERBUKTI !!!