Descripción matemática de la deformación Imaginemos que se traza idealmente, dentro de un medio continuo, un vector unitario n. Este vector se irá modificando a medida que el medio se deforma. Se define como tensor de las deformaciones (unitarias) E la homografía vectorial que, aplicada al vector unitario n, da la deformación sufrida por él. Si el tensor E se escribe bajo la forma () () ( ) Los coeficientes , , representan evidentemente, como muestra la figura, las magnitudes de las deformaciones unitarias longitudinales (o elongaciones) sufridas por los vectores respectivamente; los coeficientes , , etc., representan las magnitudes de las deformaciones unitarias angulares sufridas por dichos vectores, en sentido normal al eje correspondiente al primer subíndice y paralelo al eje correspondiente al segundo. Es importante establecer una relación entre las deformaciones que acabamos de mencionar y los desplazamientos de las partículas en el interior del medio. Consideremos nuevamente un punto P y otros dos puntos A y B, a. distancias , , siendo APB un ángulo
de lados paralelos a los ejes x, y (figura deformación de un ángulo recto). Después de la deformación, P habrá ido a P', A a A', B a B’. Llamemos s al vector desplazamiento PP'. Considerando que las variaciones angulares y son muy pequeñas, la elongación , se escribe [(
)
(
)]
Repitiendo el cálculo de manera parecida para las otras elongaciones, se obtiene que
De aquí se deduce, la importante fórmula
Teniendo en cuenta la definición de deformación angular, se obtiene, por otro lado, que ( Considerando la pequeñez de primero, podemos escribir
y
, y despreciando infinitesimales de orden superior al
(
(
)
)
(
)
)
(
)
Formulas análogas se obtienen para las demás deformaciones angulares. Resulta, así, que (
)
(
)
(
)
La matriz del tensor de las deformaciones es, entonces,
( [ ]
[
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
La aplicación del tensor E al vector unitario
] , da como resultado
( ) Siendo
Como en el caso de los esfuerzos, conviene a veces descomponer la deformación E(n) en una componente longitudinal (elongación) paralela a n y una componente angular normal a n que, se suele llamar ⁄ . Tales componentes se calculan por medio de las formulas,
( ( )
)
