Guia de Geometria Analitica

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”

Departamento de Matérias Básicas

Geometria Analítica 3º. Semestre

GUÍA DE APRENDIZAJE

Alma Alicia Benitez Pérez. Ofelia Santiago Escoto. J. Ventura Ángel Felícitos.

Guía de Estudio Geometría Analítica

Objetivo General del Curso. El curso permitirá al alumno introducirse al estudio de los sistemas de coordenadas y los métodos de la Geometría Analítica, favoreciendo el uso e integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría y trigonometría y al mismo tiempo. El desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde un enfoque geométrico analítico y a su vez facilite a futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica. Justificación. El desarrollo del programa de Geometría Analítica se centra fundamentalmente en el planteamiento y solución de problemas, que promoverán las habilidades del pensamiento tales como: análisis, interpretación y síntesis, así como las preceptúales y también las de elaboración de conjeturas, argumentación, abstracción y generalización, incorporando con ello las líneas de orientación curricular propuestas en el modelo educativo. Indicaciones Generales. En este guía se presentan definiciones breves de cada uno de los temas del programa de Geometría Analítica por unidades, así como ejercicios resueltos, presentando un desarrollo claro de cada uno de ellos. Igualmente se integran ejercicios para su solución, con los cuales los alumnos podrán reforzar los conocimientos adquiridos. A. O. V.

Benítez Santiago Ángel

Academia de Matemáticas Matutino


PROGRAMA UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. Objetivo: conocer el plano cartesiano, la representación de los puntos en el, para calcular distancias, perímetros y áreas, así como la división de un segmento en una razón, que tenga aplicación en problemas teóricos, como en la vida real. 1.1 1.2 1.3 1.4

Distancia Entre Dos Puntos. Perímetros y Áreas de Figuras Rectangulares. División de un Segmento en una Razón Dada. Aplicaciones.

UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. Objetivo: desarrollar habilidades para analizar y describir las relaciones existenciales entre subconjuntos de puntos en el plano que cumple con una condición y las ecuaciones que los definen, para así comprender los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. 2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. UNIDAD 3. LA RECTA. Objetivo: identificar, obtener y transformar las diferentes formas de la recta, para interpretar y resolver problemas. 3.1 Formas de la Ecuación de la Recta. a) Punto Pendiente. b) Pendiente Ordenada al Origen. c) Abscisa y Ordenada al Origen. d) Ecuación General. e) Ecuación Normal. A. O. V.




f) Distancia de un Punto a una Recta. 3.2 Aplicaciones. UNIDAD 4. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES. Objetivo: deducir y aplicar las ecuaciones de las cónicas incluida la circunferencia en la resolución de problemas teóricos y de la vida real. 4.1 Circunferencia. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Circunferencia, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Circunferencia. e) Aplicaciones. 4.2 Parábola. a) Con Vértice en el origen. b) Con Vértice Fuera del Origen. c) Dada la Parábola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Parábola. e) Aplicaciones. 4.3 Elipse. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Elipse, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Elipse. e) Aplicaciones. 4.4 Hipérbola. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Hipérbola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Hipérbola. e) Aplicaciones.

A. O. V.




UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Objetivo: conocer la importancia de las coordenadas polares y la relación con el plano cartesiano con la finalidad de resolver problemas teóricos y de la vida real. 5.1 Relación de Sistemas Rectangulares y Polares. 5.2 Trazo de Gráficas en el Sistema Polar. 5.3 Transformación de Ecuaciones de Segundo Grado con Dos Variables, de Rectangulares a Polares y Viceversa. UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. Objetivo: aplicar ecuaciones paramétricas en la resolución de problemas teóricos y reales. 6.1 Gráficas de Curvas en Forma Paramétrica 6.2 Ejercicios de Eliminación del Parámetro. 6.3 Aplicaciones en la Física. BIBLIOGRAFIA. 1) Geometría Analítica. Lehmann Charles H. LIMUSA. 2) Geometría Analítica. Joseph Kindle Mc. Graw Hill (libro de texto). 3) Geometría Analítica. Gordon Fuller CECSA. UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. 1.1 Sistema Coordenado Bidimensional (Plano). Ejemplo. Trazar en el plano coordenado los siguientes puntos. 1) P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué figura representa?

A. O. V.




y 4

3

Q 2

P

1

x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1

R

−2

S

−3

−4

Un cuadrado

1.2 Distancia Entre Dos Puntos. Definición: Si (x 1 , y1 ) y ( x 2 , y 2 ) son las coordenadas de dos puntos, la distancia entre ellas está dad por:

d = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 Ejemplos. 1) Encontrar la distancia del segmento de recta definida por los puntos A (-2, 5) y B (12, -15). A. O. V.




y

A(-2,5)

4 2

0

2

x

4

B(12,-15)

A) Comprensión

d ( AB) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

B) Planteamiento d ( AB) = (12 − (−2)) 2 + (−15 − 5) 2 d ( AB) = (14) 2 + (20) 2 a ( AB) = 596 d ( AB) = 24.41u

2) Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su perímetro.

A. O. V.




y D(3,8)

A(2,3)

0

C(9,8)

B(7,3)

x

Solución: C) Resultados A) comprensión B) Planteo Se determinan las distancias de los lado, para el perímetro

Distancia AB =

(1 − 7) 2 + (3 − 3) 2

= (−6) 2 + 0 = 6 Distancia DC = =

(3 − 9) 2 + (8 − 8) 2 AB

3) Comprobar que los puntos A(1,1), B(0,5) y C(-3,0) son los vértices de un triángulo rectángulo. Dibujar las alturas del triángulo y calcular sus longitudes.

A. O. V.




y B(0,5)

A(1,1)

C(-3,0)

0

x

A) Comprensión ( 34 ) 2 = ( 17 ) 2 + ( 17 ) 2 Por la distancia de vértice a vértice o 34 = 17 + 17 longitudes de sus lados y le teorema de Pitágoras. Lo que se quiere demostrar B) Planteamiento (CB ) 2 = ( AB) 2 + ( AC ) 2

Luego : CB = (−3) 2 + (5) 2 = 9 + 25 = 34 AB = (1) 2 + (1 − 5) 2 = 1 + 16 = 17 AC = (1 + 3) 2 + (1) 2 = 16 + 1 = 17

1.3 División proporcional de un segmento de recta. A. O. V.




Definición: Las coordenadas del punto P0 que divide al segmento P1P2 en la proporción

r1 y r + y 2r1 x r + x 2r1 están dadas por: x 0 = 1 2 y y0 = 1 2 r1 + r2 r2 r1 + r2

Ejemplos. 1) Si B es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A( x1 , y1 ) y C ( x 2, y 2 ) , determinar las coordenadas de B. A) Comprensión

Se tiene que: Supongamos que B tiene de coordenadas (x,y) y puesto que B es x1 + 1( x 2 ) x1 + x 2 = un punto medio del segmento AC, se x = 1+1 2 tiene: AB = BC

y=

y1 + (1) y 2 = y1 + y 2 1+1

Y por lo tanto

r=

AB AB BC = = =1 BC AB BC

sustituyendo este resultado en las formulas :

x=

x1 + ry 2 , r ≠ −1 1+ r

A. O. V.


y=

y1 + ry 2 , r ≠ −1 1+ r



2) Si el punto P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos de un segmento dirigido P1P2, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón P1P: PP2 =-3. y

8

P

7

6

P2

5

4

3

2

P1

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

PLANTEAMIENTO:

X +4=-12 +3x;

r =P1P/ PP2=(x-x1)/(x2-x)=-3

;

3x-x =4+12;

r = P1P/ PP2=(y-y1)/(y2-y)=-3

2x=16;

DESARROLLO:

x =8

(x +4)/(4-x)=-3; x +4=-3(4-x);

A. O. V.


y-2=-18 +3y 3y-y =-2+18

2y=16 ;

y =8

(y-2)/(6-y)=-3; y-2=-3(6-y)



3) Los vértices de un triángulo son A (-1,3); B (3,5) y C (7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. y

B

5

D 4

3

A

E

2

1

x −1

1

2

3

4

5

6

7

−1

8

C

2

PLANTEAMIENTO:

yE =(5-1)/2;

xD =(x1+ x2)/2; yD =(y1+ y2)/2;

DE =√((5-1)2+(2-4)2); DE =√(42+(-2)2);

xE =(x1+ x2)/2; yE =(y1+ y2)/2;

DE=√(16+4); DE=√20; DE=4.472 u.

d =√((x2-x1)2+(y2-y1)2).

AC/2=(√((7-(-1))2+(-1-3)2)/2;

DESARROLLO.

AC/2=(√(82+(-4)2))/2;

yE =4/2;

yE =2.

xD =(3-1)/2;

xD =2/2;

xD =1.

AC/2=(√(64+16))/2; AC/2=(√80)/2;

yD =(5+3)/2;

yD =8/2;

yD =4.

AC/2=8.944/2; AC/2=4.472 u.

xE =(3+7)/2;

xE =10/2;

A. O. V.


xE =5.

Demostrado. Academia de Matemáticas Matutino


Ejercicios Propuestos. 1)

A (0,0); B (3,4); C (8,4) y D (5,0) y; une los puntos indicados, ¿qué figura representa? Sol. » Un paralelogramo.

2)

Uno de los dos extremos de un segmento es el punto P (7,8) y su punto medio M (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo Q. Sol. » Q (1, -2).

3)

Una circunferencia tiene como diámetro al segmento con extremos P (3,4) y Q (5,-2). Encuentra las coordenadas del centro y el radio. Sol. » C (1, 1) y r =5 u.

4)

Calcular el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(8,2), B(-1,5), C(7,-1) y D (-2,-6) y las longitudes de los lados AD y BC. A = 84u 2

Sol. AD = 10u BC = 10u

El segmento que une A(-2,-1) con el punto B(3,3) se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3AB, determinar las coordenadas del punto C. Hacer gráfica.

5)

Sol. c(18, 15). Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento formado por A82,-4) y B(8,12).

6)

Sol. 7)

4 20 P1 (4, ) yP2 (6, ) . 3 3 Los puntos M(2,-1) y P (-2,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo. Hallar sus vértices. Sol. A(-5,7), B(3,1) y C(1,-3)

A. O. V.




UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. Ejemplos.

xy = 1 . 1 1 Primer Paso. Intersección con los ejes. y = ; si x =0 es infinito; y si x = ; y x y =0 es también infinito; por lo tanto no pasa por el origen. 1 Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; y = ; como se altera la −x ecuación; entonces la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por 1 –y; x = ; también se altera, por lo tanto la curva tampoco es simétrica con el −y eje x. consecuentemente no hay simetría con el origen. 1 Tercer Paso. Extensión de la curva: y = ; para “x” todos los nos. Reales x 1 excepto x =0 y; x = ; todos los nos. Excepto en y =0. y 1 Cuarto Paso. Asíntotas. y = ; x ‡0; entonces se tiene una asíntota vertical en x x 1 =0 y; x = ; y‡0, entonces se tiene una asíntota horizontal en y =0. y 1 Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para y = ; Sí x =2 ; y =0.5 ; x =x 1 2 ; y =-0.5 ; ahora si x = ; y =2 ; x =0.5 ; y =-2 ; x =-0.5 ; etc. y 1) Construir la curva cuya ecuación es:

y

3

2

1

x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

4

A. O. V.




2) Construir la curva cuya ecuación es:

y 2 = x3 .

Primer Paso. Intersección con los ejes. y = x3 ; si x =0; y =0; y si x = 3 y 2 ; si y =0; x =0; por lo tanto, pasa por el origen. Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; y = (− x ) ; la ecuación se altera; por lo tanto la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por –y; 3

x = 3 (− y ) ; la ecuación no se altera; por lo tanto, la curva es simétrica con el eje x. 2

Tercer Paso. Extensión de la curva: y = x 3 ; x≥0 y; para x = 3 y 2 ; y son todos los nos. Reales. Cuarto Paso. Asíntotas. La ecuación no tiene denominadores ni para “x” ni para “y”. Por lo tanto, no hay asíntotas. Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para y = x3 ; si x =1; y =1; si x =2; y =2.8; x =3; y =5.2; si x =4; y =8. etc.

y

4

3

2

1

x −1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

5

A. O. V.




2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. Definición: Para obtener la ecuación de un lugar geométrico: • Se escogen los ejes coordenados que simplifiquen la forma de la ecuación resultante. • Después de construir los ejes, se ubica el punto P(x,y) cuyo lugar geométrico se desea determinar en una posición representativa. • Se expresa la solución que P debe cumplir en función de las coordenadas (x,y) y de otras constantes cualquiera que aparezcan en la definición del lugar geométrico. Ejemplos. 1) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al punto (-4,0) sea igual al valor absoluto de su distancia al eje y. De donde;

Solución Sea P(x,y) un punto del lugar geométrico. Sea A el punto (-4,0) y B el pie de la perpendicular de P al eje y

PA = ( x + 4) 2 + y 2 De acuerdo con la definición de abscisa, la distancia de P al eje y es x. Por tanto PB= x Utilizando (1),(2) y (3) se tiene

( x + 4) 2 + y 2 = x Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado y simplificando, se obtiene y²+8x+16=0 La condición dada es, entonces, PA=PB

A. O. V.




2) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (-1,2) y B (4,-1).

y

3

A 2

1

x −1

1

2

3

−1

4

5

B

−2

3

PLANTEAMIENTO:

x2 + 2x + 1 + y 2 − 4 y + 4 − x2

Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces PA =PB;

PA =

(x + 1)2 + ( y − 2)2 ;

PB =

(x − 4)2 + ( y + 1)2 .

DESARROLLO:

(x + 1)2 + ( y − 2)2

=

(x − 4)2 + ( y + 1)2 ;

+ 8 x − 16 − y 2 − 2 y − 1 = 0 10 x − 6 y − 12 = 0 ; 5 x − 3 y − 6 = 0 ; y=

5x − 6 ; 3

si x =0, entonces y =-2 y, si x =3, entonces y =3.

x + 2x + 1 + y − 4 y + 4 = 2

2

x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1

A. O. V.




3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje “y” es siempre igual a su distancia del plano A (4, 0). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Sea P (x, y) un punto cualquiera del 8x-16 =y2; lugar geométrico y, sea B el pie de la perpendicular bajada y2-8x+16=0; de P al eje “y”. y 2 + 16 x= ; 8 Entonces PB = PA; si y =0 entonces x =2;

por definición PB = x y PA =√((x-4)2+(y-0)2);

si y =±2 entonces x =2.5;

de donde x =√((x-4)2+y2);

si y =±4 entonces x =4

x2 =x2-8x+16+y2;

y

4

3

P

B 2

1

A 1

2

3

4

x 5

6

−1

−2

−3

−4

5

A. O. V.




4) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

xy − 2 xy − 3x + 2 x − 5 y − 2 y + 15 + 2 = 0 − xy − 7 y − x + 17 = 0 xy + x + 7 y − 17 = 0 17 − x y= x+7 si x =0 entonces y =2.4 si x =3 entonces y =1.4 si x =-3 entonces y =5 si x =-7 entonces y =∞ se tiene una asíntota vertical. Y en y =-1 se tiene una asíntota horizontal.

mac = mbc y − y1 m= 2 x2 − x1 y −3 mAC = x +1 y −1 mBC = x−5 y −3 ⎛ y −1⎞ = 2⎜ ⎟ x +1 ⎝ x −5⎠ ( y − 3)(x − 5) = 2( y − 1)(x + 1) xy − 5 y − 3x + 15 = 2 xy − 2 x + 2 y − 2

y

6

5

4

3

A

2

1

B

x −3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

A. O. V.



10


5) Los extremos A y B de una barra de longitud 21 se mueve a lo largo de los ejes coordenados. ¿ Qué lugar geométrico describe C. Punto medio de la barra?

Solución El ángulo Φ se llama parámetro Dada la figura de acuerdo a las De las ecuaciones se tiene condiciones del problema

x = cos φ ; t

y = senφ t

de las cuales

x2 = cos 2 φ 2 t

y2 = sen 2φ 2 t

Y sumando

x2 y2 + =1 t2 t2

La figura da: X= tcosΦ Y= tsenΦ

o sea, x²+y²=t²

C describe, pues una circunferencia de Las ecuaciones representan centro (0,0) y radio 1. paramétricas representan el lugar geométrico buscado.

Ejercicios Propuestos. A. O. V.




1) Construir la curva cuya ecuación es: a) x 2 y − x 2 − y = 0 b) xy − 2 y − 3 = 0 c) xy − 2 x − 1 = 0 d) x 4 − 4 x 2 − y = 0 2) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “y” disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje “x”. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Sol. » x-2y-3 =0. 3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4, 1) es siempre igual a su distancia del eje “y”. Sol. » x 2 + y 2 − 9 x − 2 y + 17 = 0 . 4) Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (-3, -2). A partir d su definición, hallar la ecuación de esta circunferencia. Sol. » x 2 + y 2 + 6 x + 4 y + 4 = 0 . 5) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “x” es siempre igual a su distancia del punto A (0, 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Sol. » x 2 − 8 y + 16 = 0 . 6) Determinar la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (2,4) y (2,-2) es siempre igual a 8. Sol. 16x 2 + 7 y 2 − 64x − 14 y − 41 = 0 7) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C, si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

Sol. xy + x +7y – 17=0

UNIDAD 3. LA RECTA. A. O. V.




3.1 Inclinación y Pendiente. Definición: La inclinación ( α ) es el ángulo( menor de 180° y medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) formado por una recta y por la parte positiva del eje X La pendiente ( m ) de la recta que pasa por dos puntos está expresa por y − y1 m = tan α = 2 x 2 − x1

rectas con pendiente m1 y m 2 no nulas, son perpendiculares, sus 1 y pendientes son recíprocas opuestas o negativas, entonces m 2 = − m1

Si dos

m1m2 = −1 Ejemplo.

Una recta l 1 pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y otra recta, l 2 , pasa por el punto C(-7,1) y por el punto D cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que l 1 perpendicular a l 2 . Puesto que m=

Ahora bien, si dos rectas perpendiculares se debe satisfacer

y 2 − y1 x 2 − x1

m1m2 = −1

sustituyendo (1) en (2) se tiene:

se tiene que

m1 =

2+6 8 = 3+ 4 7

1+ 6 7 m2 = = −7− x 7+ x

........ (2)

8 7 ( )( ) = 1, 7 7+x ........(1)

de donde resulta: x=1

3.2 Angulo entre rectas. A. O. V.




Definición: Si β es el ángulo formado por las rectas l1 y l 2 con pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces el ángulo que forman está dado por m − m1 tan β = 2 1 + m1m 2 Ejemplos. 1) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7); La recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A. Planteamiento

6 +1 17 = m = 11 Llamemos B(3,9), C(9,7) y D(-2,1) los 6 5 1− puntos dados, y si, designamos por m1 11 y por m2 las pendientes de CD y AB y puesto que respectivamente, entonces

m1 =

1− 7 6 −6 = = − 2 − 9 − 11 11

.......(1)

m=

..........(4)

y 2 − y1 x 2 − x1

puesto que ω = 45° se tiene que

se tiene

tan 45° = 1 .........(2)

y 2 = m2 ( x2 − x1 ) + y1

y como tan ω =

.........(5)

Resultado m2 − m1 1 + m2 m1

sustituyendo obtenemos:

.......(3)

(1)

y

(2)

Sustituyendo (4) y las coordenadas de A y B en (5) resulta: en

17 (3), y 2 = 5 (−2 − 3) + 9 = −8

3.3 La recta como una curva de pendiente constante. A. O. V.




Definición: Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, se toman dos puntos P( ( x1 , y1 ) y Q ( x2 , y 2 ) de la recta, formándose un triángulo rectángulo. Si se toma otro par de puntos P1 y Q1 en la misma recta, se obtiene otro triángulo rectángulo, el cual es semejante con el anterior. Y por tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta es constante y puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.

m=

y − y1 x − x1

3.4 Condiciones que determinan una recta. A. O. V.




Definición: Por dos puntos, pendiente y un punto Ejemplos. 1) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos i) (3,4), (1,-2) ii) (0,-5), (2,1) iii) (4,7), (0,-5)

Comprensión Se identifican los puntos en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por esos puntos

Planteamiento Resultado Se sustituye cada una de las combinaciones de puntos en la fórmula 4 − (−2) 6 m= = =3 de la pendiente 3 −1 2 − 5 −1 − 6 m= = =3 y − y1 0−2 −2 m= x − x1 7 − (−5) 12 m= = =3 4−0 4

A. O. V.




2) Trabajando sólo con el valor de la pendiente y el valor del punto que se proporciona graficar las siguientes rectas: a) Trazar la recta de pendiente igual a 2, y que pasa por el punto por el punto Q(3,5) Para graficar sin tabular se localiza el punto en un plano cartesiano para tomarlo como referencia para posteriormente trabajar con el valor de la pendiente.

b) Trazar la recta de pendiente igual a 2/3 y que pasa por el punto (0,-2)

m=

2 3

A. O. V.

P(0,-2)




3.5 Formas de la Ecuación de la recta. Definición:

y − y1 = m( x − x1 )

Forma de punto y pendiente

y = mx + b

Pendiente Intersección

y − y1 y1 − y 2 = x − x1 x1 − x 2 x y + =1 a b

Forma de dos puntos Forma con dos intersecciones

Ax + By + C = 0

Forma General

en donde A, B y C son constantes arbitrarias, m= − origen b = −

A y su ordenada B

al

C B

Ejemplos. Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las pendientes indicadas: a) (-3,2), m= a)

(-3,2), m=

2 , b) (2,4), m=3 3

2 , 3

a) Comprensión La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura

A. O. V.


b) Planteamiento

y−2=

2 ( x + 3) o 2x – 3y + 12 = 0 3



b) (2,4), m=3. a) Comprensión

b) Planteamiento

La recta citada en el texto se indica en y-4 = 3(x-2) o 3x-y-2 = 0 la siguiente figura

c) Hallar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación es 2x + 3y – 12 =0. a) comprensión

b) Planteamiento

Despejamos y en la ecuación 2x + 3y – 12 =0 2 2 y= − x + 4 de donde m= − y b=4 3 3

A. O. V.




d) Hallar la ecuación de la recta determinada por los dos puntos (-2,-2) y (5,2) .

a) Comprensión La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura

b) Planteamiento

y − y1 y1 − y 2 = x − x1 x1 − x 2 y+2 −2−2 = x+2 −2−5 − 4( x + 2) = −7( y + 2) − 4 x − 8 = −7 y − 14 4x − 7 y = 6

e) Cambiar la ecuación 4x – 5y – 8 = 0 a su forma de dos intersecciones. a) Comprensión 4x − 5 y = 8 x 5y − =1 2 8 x y + =1 a b x y + =1 2 −8 5

A. O. V.




f) Los vértices de un cuadrilátero son: A(-2,1), B(2,5), C(9,6) y D(7,2). Determinar: a) La pendiente del lado BC b) La ecuación del lado BC c) La ecuación del lado CD d) El punto medio del lado AB e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del lado AB f) La ecuación del lado AB en la forma: i) Pendiente- ordenada al origen ii) General iii) Simétrica y iv) Determinar la abscisa y ordenada al origen g) La ecuación del lado CD en forma simétrica Solución

a) Comprensión: El cuadrilátero antes citados, se ilustra a continuación.

a) La pendiente del lado BC Planteamiento A. O. V.


Resultado La pendiente del lado BC es: Academia de Matemáticas Matutino


m=

y 2 − y1 x 2 − x1

m=

6−5 9−2

m=

b) La ecuación del lado BC Planteamiento Resultado De la ecuación de la recta se conoce la pendiente y dos puntos. y − y1 = m( x − x1 )

y−2=

6−2 ( x − 7) 9−7

d) El punto medio del lado AB Planteamiento A(-2,1) y B(2,5) x + x1 y + y1 xm = 2 ym = 2 2 2 1+ 5 −2+2 xm = ym = 2 2

1 ( x − 2) 7 7( y − 5) = x − 2 y −5 =

7 y − 35 = x − 2 x − 7 y + 33 = 0

1 y − 5 = ( x − 2) 7

c) La ecuación del lado CD Planteamiento La ecuación de la recta tiene la forma y − y1 ( x − x1 ) y − y1= 2 x 2 − x1

1 7

Resultado

4 ( x − 7) 2 y − 2 = 2 x − 14 y−2=

De donde la ecuación 2x-y-12=0

Resultado 0 xm = = 0 2

ym =

6 =3 2

La pareja ordenada del punto medio es

Pm (0,3)

e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del lado AB

A. O. V.




Planteamiento D(7,2) y Pm (0,3)

Resultado

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y − y1 = y −3 =

−1 x 7 7( y − 3) = − x 7 y − 21 = − x La ecuación es: x+ 7y –21 = 0 y −3=

2−3 ( x − 0) 7−0

f) La ecuación del lado AB ecuación de la recta en la forma : i) Pendiente-ordenada al origen ii) General iii) Simétrica iv) Determinar la abscisas y ordenada al origen Planteamiento

Resultado

A(-2,1) y B(2,5)

Pendiente – Ordenada al Origen y = x+3 General x- y + 3 = 0

y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

5 −1 ( x − (−2)) 2 − (−2) 4 y − 1 = ( x + 2) 4 y-1 = x+2 y −1 =

Simétrica

x- y = -3 x y − = −3 −3 −3 Abscisa al origen = -3 Ordenada al origen = 3

g) La ecuación del lado CD en forma simétrica. Planteamiento

C(9,6) y D(7,2)

Resultado

2x- y = 12 la ecuación pedida es

A. O. V.




y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

x y − =1 6 12

6−2 ( x − 7) 9−7 y − 2 = 2 x − 14 y−2=

2 x − y − 12 = 0

3.6 Forma Normal de la ecuación de la recta. Definición: Una recta está determinada por dos cantidades: (1) la distancia perpendicular desde el origen hasta la recta y (2) el ángulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X. Ecuación de la Forma Normal x cos ω + ysen ω = p Ax + By + C

Fórmula de conversión de la

± A2 + B 2

=0

forma general a la forma normal Ejemplos.

Cambiar las siguientes ecuaciones a su Solución forma normal: a) A=3 y B=4, aplicando la fórmula a) 3x + 4y +5 = 0 antes descrita se tiene: b) 5x-12y –10=0 c) –5y + 7= 0 Ax + By + C 3 x + 4 y + 5 3 x + 4 y + 5 = = =0 d) –3x-2 =0 5 ± A2 + B 2 32 + 4 2 b)

c)

d)

A. O. V.


5 x − 12 y − 10 − 25 + 144 − 5y + 7 − 25 − 3x − 2 − 9

=

5 x − 12 y − 10 =0 − 13

= y−

7 =0 5

= x+

2 =0 3



3.7 Distancia de un punto a una recta. Definición: Fórmula de la distancia de un punto a una recta d = x1 cos ω + y1 senω − p =

Ax1 + By1 + C ± A2 + B 2

Ejemplo. Hallar las distancias desde los puntos (2,3) y (1,-4) hasta la recta 3x – 4y –8 =0. Planteamiento

Resultado Empleando la fórmula mencionada se tiene que: Ax + By + C =0 ± A2 + B 2 3x − 4 y − 8

El signo de d nos indica que el punto antes (2,3) está arriba de la recta. Sustituir a x=1 y y=-4 para obtener la distancia desde (1,-4)

3(1) − 4(−4) − 8 11 d= =− − 9 + 16 5 −5 3x − 4 y − 8 =0 El signo negativo indica que el punto −5 Sustituimos a x=2 y y=3 para obtener la está debajo de la recta distancia desde (2,3) d=

3(2) − 4(3) − 8 14 = 5 −5

A. O. V.




3.8 Sistemas de Rectas. Definición: Una ecuación de primer grado en x y y que contiene una constante, representa un sistema de rectas y la constante arbitraria es un parámetro. Ejemplo.

Escribir la ecuación del sistema de rectas paralelas a la recta 2x – 3y + 6= 0. Hallar la ecuación del sistema que pasa por el punto (4,3). Solución

Cualquier recta paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente y se puede escribir como 2x – 3y = k

Para obtener una recta del sistema que pase por el punto (4,3), se sustituye esas coordenadas en la ecuación del sistema a fin de encontrar el valor de k. 2x − 3y = k 2(4) − 3(3) = k k = −1

Por lo que para cada valor de k esta ecuación representa una recta con 2 . Esto La ecuación pedida será pendiente constante igual a 3 2x – 3y + 1= 0 dará un sistema de rectas paralelas a la recta dada con k como parámetro

A. O. V.




3.9 Rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas. Definición: La ecuación para hallar el sistema de rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas es ( A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 . Ejemplos 1) lar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas x – 2y + 4 = 0 y 2x + y + 6=0 y por el punto (3,-2). Solución Se escribe la ecuación del sistema de rectas que pasa por la intersección de las rectas dadas: ( x − 2 y + 4) + k (2 x + y + 6) = 0

Para escoger la recta del sistema que pasa por el punto (3,-2), se obtiene a k sustituyendo x=3 y y=-2 en la ecuación

(3+4+4)+ k(6-2+6)=0

11 10 y este valor de k lo reemplazamos en la ecuación del sistema para obtener la recta solicitada 10 K = -11 o

k= −

11 ( 2 x + y + 6) = 0 10 12 x + 31 y + 26 = 0 4 2) Obtener ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por la intersección 3 de las rectas 4x – 5y – 5 = 0 y 2x + 3y –11 = 0. ( x − 2 y + 4) −

Solución

Entonces la pendiente es m =

4 + 2k . 5 − 3k

Aplicando la ecuación antes descrita se 4 Esta de debe ser igual a y, así , tiene: 3 4 + 2k 4 4 A1 x + B1 y + C1 + k ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 = y k= , Se sustituye este 5 − 3k 3 3 4 x − 5 y − 5 + k (2 x + 3 y − 11) = 0 valor de k y la ecuación se conviertes (4 + 2k ) x + (3k − 5) y − 11k − 5 = 0 en: Se despeja para obtener la ecuación de la recta y = mx + b y=(

4 + 2k 11k + 5 )x + 5 − 3k 3k − 5

4 (2 x + 3 y − 11) = 0 9 44 x − 33 y − 89 = 0

(4 x − 5 y − 5) +

Ejercicios Propuestos. A. O. V.




1.- Hallar el valor de la ordenada para que la recta que pasa por los puntos (3,y) y (-4,5) forme un ángulo de 135° con la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (9,1)

Sol. y=9 2.- Determinar el valor de los coeficientes de A y B de la ecuación Ax – By + 4 =0. De una recta. Si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6) Sol. A= 29/19 B= 16/19 3.- Encontrar las ecuaciones de las medianas y un punto de intersección del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3,-2), B(-3,6) y C(4,4) 4.- Para un triángulo equilátero ABC, se conoce la ecuación de la lado AC: 2x – 3y –5 =0, y la del lado AB: x + y +1=0; Obtener la ecuación del lado BC si se sabe que éste pasa por el punto (1,1) Sol. 17x + 7 y –24 = 0 5.- Dados dos vértices de un cuadrado A(-1,3) y B(6,2) , determinar las ecuaciones de sus lados. Sol. 3x-4y+15=0; 4x+3y-30=0; 3x-4y-10=0, 4x+3y-5=0 6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-2) y determina sobre los ejes coordenados dos segmento cuya suma algebraica es 12. Sol. x-5y-15=0;

2x+y-8=0

7.- Se instala una empresa con una inversión de $ 50, 000, el costo de producción de un artículo es de $3,00 y se venderá al mercado en un precio unitario de $4,50. Determina la ecuación que representa la ganancia considerando que los artículos producidos son igual a los vendido y cuantos artículos hay que producir para tener una ganancia de $ 10,000. Sol. y =1.50x-5000 X= 40 000 artículos 8.- La pendiente de la recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a ¾. Hallar las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia de A. Sol. (5,7) y (-1,1) A. O. V.




UNIDAD 4. ECUACIÒN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES

4.1 Circunferencia. Definición.

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama Centro de la Circunferencia y la distancia constante se llama radio. Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x , y) y sin termino en xy representa una circunferencia, si los coeficientes de x² y y² son iguales. La ecuación de la circunferencia en forma ordinaria donde el centro (h , k) y radio r es:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Si el centro esta en el origen de coordenadas, o sea, h = 0 y k= 0, la ecuación toma la forma:

x2 + y2 = r 2 La ecuación de la circunferencia en su forma general es:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Si tenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia

( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 16 Resolviendo los binomios tenemos

x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 − 16 = 0 Reduciendo términos determinamos así la ecuación general de la circunferencia.

x 2 + 4x + y 2 − 6 y − 3 = 0 A. O. V.




Ejemplo 1) Los extremos de el diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) , B(4,5). Hallar la ecuación de la curva.

Y

8 7 6

(-4,5)

5

c(-1,4) 4 (2,3)

3 2 1

4

A. O. V.


3

2

1

0

1

2

3

4

X



Planteamiento: A (2,3) , B (-4,5) Por punto medio encontramos el centro de la circunferencia.

x1 + x2 2 2−4 = 2 −2 = 2 = -1

y1 + y 2 2 3+5 = 2 8 = 2 = 4

xm =

ym =

d=

( x − x1) 2 + ( y − y ) 2

r=

(−1 − 2) 2 + (4 − 3) 2

r=

9 +1

r=

10

Resultado: Sustituimos en la ecuación general de la circunferencia, centro y radio.

C ( -1 , 4 )

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

Desarrollo: Con el centro C ( -1 , 4 ) y un punto A ( 2 , 3 ) determinamos el radio con la fórmula de distancia entre dos puntos

( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 10 Ecuación de la circunferencia

Ejemplo 2) La ecuación de una circunferencia es ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20 . Hallar la ecuación de la tangente a este circulo en el punto ( 6 , 7 ). Y

10 9 8

(6,7)

7

X+

6 5

2Y

-2

0=

4

0

C(4,3)

3 2 1

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

1 2 3 4

A. O. V.




Planteamiento:

Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es : 1 m=2 Con la ecuación punto pendiente

De la ecuación ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20 determinemos Centro y Radio. C(4,3) r = 20

y − y1 = m( x − x1 ) Determinamos la ecuación de la recta tangente en el punto ( 6, 7 ) Resultado:

Con el C ( 4, 3 ) y el punto de tangencia ( 6 , 7 ) determinamos su pendiente con la relación. m=

y 2 − y1 x 2 − x1

m=

3−7 4−6

m=

−4 −2

m= Desarrollo:

y − y1 = m( x − x1 ) 1 y − 7 = − ( x − 6) 2 2 y − 14 = − x + 6 x + 2 y − 14 − 6 = 0 x + 2 y − 20 = 0

2

Ejemplo 3) Determinar centro y radio de la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (1 , -2) , B (5 , 4) y C (10 , 5) 8

Y

7 6

(10,5)

5

(5,4)

4 3 2 1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

1 2 3

(1,-2) C(9,-3)

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Planteamiento:

A. O. V.


Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia sus coordenadas deben satisfacer la



ecuación

− 3 E − F = −43 − 3(6) − F = −43

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 A(1,−2)1 + 4 + D − 2 E + F = 0

− 18 − F = −43

B(5,4)25 + 16 + 5D + 4 E + F = 0 C (10,5)100 + 25 + 10 D + 5E + F = 0 Deduciendo: D − 2 E + F = −5................1 5 D + 4 E + F = −41............2 10 D + 5 E + F = −125.........3 Desarrollo:

− F = −43 + 18 − F = −25 F = 25 Cálculo de D

D − 25 E + F = −5 D − 2(6) + 25 = −5 D = −5 − 25 + 12

Resolviendo el sistema de ecuaciones.

Con 1 y 2 D – 2E + F = -5………Mult (-5) 5D + 4E + F = -41 -5D +10E - 5F = 25 5D + 4E + F = -41 14E – 4F = -16………. 4 Con 4 y 5 14E – 4F =-16…………Entre (2) -3E - F = -43…………Mult (-2) 7E – 2F = -8 6E + 2F = 86 13E =78 78 E= E= 6 13 Resultado:

D = −30 + 12 D = −18 Sustituyendo en la Ecuación General E, D Y F

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x 2 + y 2 − 18 x + 6 y + 25 = 0

Cálculo de F

Ejemplo 4) Una circunferencia pasa por los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4) y su centro esta sobre la recta 3x − 2 y − 23 = 0 . Hallar la ecuación, graficar. Y

10

9

8

7

6 5

4

(1,4)

3

(-3,3)

2

8x + 1

10

9

8

7

6

4

3

2

1

0

1

3y + 1

2

1= 3

0

4

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

3x

-2 y-

3

4

6

23 =

2

5

5

0

11

6

7

8

9

C(2,8.5)

10

11

12

13 14

15

16 17

18

19

A. O. V.




Planteamiento:

y=

Por lugar geométrico determinamos otra recta que pasa por el centro, con los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4)

17 2

C(2, −

17 ) 2

Determinamos el radio con el centro y el punto A(-3,3)

( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 = ( x − 1) 2 + ( y − 4)2 Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:

( x + 3) 2 + ( y − 3) 2 = ( x − 1) 2 ( y − 4) 2

r=

(2 + 3) 2 + ( −

r=

25 + (

r=

100 529 + 4 4

r=

629 2

Desarrollando binomios

x 2 + 6x + 9 + y 2 − 6 y + 9 = x 2 − 2 x + 1 + y 2 + 8 y + 16 Reduciendo

8x + 2 y + 1 = 0

Y con la ecuación que pasa por el centro 3x – 2y – 23 = 0 resolvemos el sistema para encontrar el centro.

Desarrollo: 8x + 2y + 1 = 0 3x – 2y – 23 = 0 11x - 22 = 0

22 11

x=

17 − 3) 2 2

23 2 ) 2

Resultado

x= 2 8(2) + 2y + 1 = 0 16 + 2y +1 = 0 2y = -17

Sustituyendo en la Ecuación ordinaria

( x − 2) 2 + ( y +

17 2 629 ) = 2 4

Ecuación de la circunferencia

Ejemplo 5) Una circunferencia es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2 , 5), y el centro esta sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuación de la circunferencia. Graficar. Y

10

9

8

7

6

(2,5)

5

4

C(6,3)

+1 =0

3

2

2

1

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x+

10

11

2y -

12

x

2x

3

-y

1

+

14

12

15

=0

16

17

X

y

2

13

=


3

9

A. O. V.



Planteamiento

x + 2y – 12 = 0 x + y - 9 = 0……. Mult (-1) x + 2y – 12 = 0 -x – y + 9 = 0 y -3 =0 y=3 x + 2(3) =12 x =12 – 6 x=6 C (6 , 3) Resultado:

De la ecuación de la tangente determinamos la pendiente

2x – y + 1 = 0 Despejamos “y”

-y = -2x – 1 y = 2x + 1 m=2 La recta que es perpendicular a la tangente es la recta del radio y pasa por el centro, por lo tanto su

Calculo del radio

1 pendiente será − 2 Desarrollo:

(6 − 2) 2 + (3 − 5) 2

r=

r = 16 + 4

Con la ecuación punto pendiente, determinamos la ecuación del radio que pasa por el punto (2 , 5) punto de tangencia.

r=

y − y1 = m( x − x1) 1 y − 5 = − ( x − 2) 2 2 y − 10 = (− x + 2)

20

Sustituyendo centro y radio en la Ecuación ordinaria

( x − 6) 2 + ( y − 3) 2 = 20 Ecuación de la circunferencia

x + 2 y − 12 = 0 Resolviendo el sistema.

Ejemplo 6) Reducir la ecuación x 2 + y 2 − 18x + 6 y + 25 = 0 a su forma ordinaria. 8

Y

7

6 5 4

3

2 1

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

X

1

2 3 4

r = 8.09

5

6 7 8

9

10 11 12

A. O. V.


13



Planteamiento:

Resultado:

Completando el trinomio cuadrado perfecto factorizamos para reducir la ecuación.

( x − 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65 C(9 , -3)

r=

65

Desarrollo: Ordenamos términos La mitad del coeficiente del término lineal se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la igualdad.

x 2 − 18x + 81 + y 2 + 6 y + 9 = −25 + 81 + 9 Se factoriza el trinomio

( x − 9) 2 + ( y + 3) 2 = 65

A. O. V.




Ejercicios Propuestos. 1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) que pasa por el punto (-1,5). Sol. x 2 + y 2 − 10 x + 4 y = 56 2) Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) (-3,7) Sol. x 2 + y 2 − 2 x − 6 = 22 3) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (5,3), (6,2) y (3,-1) Sol. x 2 + y 2 − 8x − 2 y + 12 = 0 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (2,3) y (-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta x − 3 y − 11 = 0 Sol. x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 14 = 0 5) Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas 2 x − 3 y + 21 = 0 , 3x − 2 y − 6 = 0 , 2 x + 3 y + 9 = 0 Sol. ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 13 6) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea tangente a la recta 3x + 4 y − 16 = 0 Sol. ( x + 4) 2 + ( y − 2) 2 = 16 7) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,3) y que sea tangente al eje “y” Sol. x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 9 = 0 8) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pase por el punto (6,0) Sol. x 2 + y 2 − 36 = 0 9) Hallar de la circunferencia que pase por el origen de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6 Sol. x 2 + y 2 + 12x − 16 y = 0 , x 2 + y 2 + 12x + 16 y = 0 10) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,5), (3,-2), (1,-4) Sol. x 2 + y 2 + 7 x − 5 y − 44 = 0 11) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta x − 2 y + 9 = 0 Sol. x 2 + y 2 + 6 x − 6 y − 47 = 0 12) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11,2) y es tangente a la recta 2x + 3y – 18 = 0 en el punto (3,4) Sol. 5x 2 + 5 y 2 − 98x − 142 y + 737 = 0 13) Una circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0, hallar su ecuación. Sol. ( x − 6) 2 + ( y + 3) 2 = 25 14) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que tienen pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 = 26 Sol. 5x – y -26 = 0 , 5x – y + 26 = 0 15) Determina las ecuaciones de las circunferencias que tienen sus centros en el origen y son tangentes a la circunferencia x 2 + y 2 − 4 x + 4 y + 7 = 0 A. O. V.




Sol. x 2 + y 2 = 9 − 2 8 , x 2 + y 2 = 9 + 2 8

4.2 Parábola. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija “directriz” de la parábola.

En donde; V es el vértice, F el foco, P un punto cualquiera, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, MM’ cuerda y, FP radio focal o radio vector. 4.2.1 Ecuación de la Parábola con Vértice en el Origen y Eje Focal un Eje Coordenado. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “x” la ecuación será

y 2 = 4 px .

En donde; el F(p, 0); la ecuación de la directriz es x=-p; LR=l4pl y; Si p>0 la parábola abre a la derecha. Pero si p<0 la parábola abre a la izquierda. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “y” la ecuación será

x 2 = 4 py .

En donde; el F(0, p); la ecuación de la directriz es y=-p; LR=l4pl y; Si p>0 la parábola abre hacia arriba. Pero si p<0 la parábola abre hacia abajo. A. O. V.




Ejemplos. 1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y”, pasa por el punto (4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente. Planteamiento:

Por tanto la ecuación buscada es:

x 2 = 4 py Desarrollo:

x 2 = −8 y ; F (0, -2); y =-(-2); y =2 directriz. LR =4(-2); LR =8

(4)2 = 4 p (-2); 16=-8p; p =16/-8; p =-2

y

y=2 2

1

V −4

−3

−2

−1

x 1

2

3

4

5

−1

−2

F

−3

4

A. O. V.




2) Discutir la ecuación y 2 = −6 x y dibujar la curva. Planteamiento: si y =±4; x =-2.7 LR =4p; LR =4(-6); LR =-24 Directriz: x =-p; x =-(-6); x =6 F (p, 0); F (-6, 0) V (0, 0).

De acuerdo con el análisis la curva coincide con el eje “x” y p es (-). Por lo tanto la curva abre hacia la izquierda. Desarrollo: y2 x= : si y =0; x =0: si y =±2; x =-0.7: −6

y 6

5

4

3

2

1

F −6

x −5

−4

−3

−2

V

−1 −1

1

2

3

4

5

6

x=6

−2

−3

−4

−5

−6

7

A. O. V.



7


4.2.2 Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen y Eje Focal Paralelo a un Eje Coordenado.

( y − k )2 = 4 p (x − h )

(x − h )2 = 4 p ( y − k )

;

Ejemplos. 1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y la gráfica correspondiente. Planteamiento:

x 2 − 6 x + 9 = −8 y + 32

(x − h )2 = 4 p ( y − k )

x 2 − 6 x + 8 y + 9 − 32 = 0 x 2 − 6 x + 8 y − 23 = 0 y=6 LR=4p; LR=4(2);

Desarrollo: P=-2; ( x − 3) = 4(−2)( y − 4)

LR=8

2

x 2 − 6 x + 9 = −8( y − 4)

y

y=6

Directriz

6

5

V 4

3

2

F

P

1

x −2

−1

1

−2

3

4

5

6

7

8

9

Eje Focal

−1

2

3

A. O. V.




2) Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (-3, 1) y cuya directriz es la recta x=3. Hallar también su lado recto y trazar la gráfica correspondiente. Planteamiento:

y 2 − 2 y + 1 = −12 x

( y − k )2 = 4 p (x − h ) 2 p=-3; ( y − 1) = 4( −3)( x − 0)

y 2 − 2 y + 12 x + 1 = 0 LR = 4 p; LR = 4(− 3); LR = 12

Desarrollo:

y 2 − 2 y + 1 = −12( x)

V (0, 1).

y 7

6

x=3

5

4

D ir e c tr iz

3

2

Eje Focal 1

F

V x

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

6

A. O. V.




Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

4.2.3 Ecuación General de la Parábola.

Δ Sí A=0; C≠0 y D≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”. Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Δ Sí A≠0; C=0 y E≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”. Ax2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplos. 1) Demostrar que la ecuación 4 x 2 − 20x − 24 y + 97 = 0 representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento: 4 x 2 − 20x − 24 y + 97 = 0; es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “y”. Dividiendo entre 4; 97 x2 − 5x − 6 y + =0 4 Desarrollo: x2 − 5x +

97 25 25 − − 6y + = 0; 4 4 4

2

2

5⎞ 24 ⎛ ( y − 3); ⎜x − ⎟ = 2⎠ 4 ⎝

2

5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = 6( y − 3); 2⎠ ⎝ 6 4 p = 6; p= ; 4

p=

3 ; 2

LR = 4 p ; LR = 6; Directriz ⎛5 ⎞ V ⎜ , 3 ⎟; ⎝2 ⎠

5⎞ 25 97 ⎛ − ⎜ x − ⎟ = 6y + 2⎠ 4 4 ⎝

2

72 5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = 6y − ; 2 2⎠ ⎝

y=

3 2

⎛5 9⎞ F ⎜ , ⎟. ⎝2 2⎠

y

Eje Focal

7

6

5

(5/2, 9/2) F 4

3

V (5/2, 3)

2

Directriz

y=3/2

1

x −2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

1

A. O. V.




2) Verificar que la ecuación 4 y 2 − 48x − 20 y = 71 representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento:

2

4 y 2 − 48x − 20 y = 71 es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “x”. 71 Dividiendo entra 4; y 2 − 12 x − 5 y = 4 Desarrollo: y2 − 5 y +

25 71 25 = 12 x + + ; 4 4 4

2

5⎞ 5⎞ ⎛ ⎛ ⎜ y − ⎟ = 12 x + 24; ⎜ y − ⎟ = 12( x + 2); 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 12 4 p = 12; p = ; p = 3; 4 LR = 4 p ; LR = 12; Directriz x = −5; 5⎞ ⎛ V ⎜ − 2, ⎟; 2⎠ ⎝ ⎛ 5⎞ F ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠

2

5⎞ 96 ⎛ ⎜ y − ⎟ = 12 x + 2⎠ 4 ⎝

y 9

8

7

6

5

x=-5

4

(-2, 5/2) Directriz

V

3

(1, 5/2)

2

F

Eje Focal

1 x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

5

A. O. V.




4.2.4 Dado tres puntos de la Parábola y cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenados.

Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “x”, entonces A=0; y la ecuación queda

Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ; Dividiendo la ecuación entre C;

y2 +

y tomando

D' =

D E F x+ y+ = 0; C C C

D E F ; E' = ; F ' = ; C C C

la Ecuación finalmente queda.

y 2 + D' x + E ' y + F ' = 0. Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “y”, entonces C=0; y la ecuación queda

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 ; Dividiendo la ecuación entre A;

x2 +

haciendo

D' =

D E F x+ y+ = 0; A A A

D E F ; E' = ; F ' = ; A A A

la Ecuación finalmente queda.

x 2 + D' x + E ' y + F ' = 0.

A. O. V.




Ejemplos . 1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralela al eje “x” y pasa ⎛3 ⎞ por los puntos ⎜ , − 1⎟; (0, 5) y (− 6, − 7 ) . ⎝2 ⎠ Planteamiento: E’=-2; sustituyendo E’ en (2) 5(-2)+F’=-25; F’=-25+10; F’=-15 sustituyendo E’ y F’ en (1) 3 D '−(−2) + (−15) = −1; 2 3 2 D ' = −1 + 15 − 2; D ' = (12) 2 3 D' = 8 y 2 + 8 x − 2 y − 15 = 0

y + D' x + E ' y + F ' = 0. 3 3 1 + D'− E '+ F ' = 0; D'− E '+ F ' = −1 (1) 2 2 25 + 5E '+ F ' = 0; 5E '+ F ' = −25 (2) 49 − 6 D'−7 E '+ F ' = 0; − 6 D'−7 E '+ F ' = −49 (3) Desarrollo: Tomando la (1) y (3), al multiplicar (1) por 6 D '−4 E '+4 F ' = −4 − 6 D '−7 E '+ F ' = −49 4. _________________ − 11E '+5 F ' = −53 (4 ) Ahora tomando la (2) y (4), al multiplicar (2) por -5 − 25 E '−5 F ' = 125 − 11E '+5 F ' = −53 72 ; E' = ; − 36 _______________ − 36 E ' = 72 2

y 2 − 2 y = −8 x + 15; y 2 − 2 y + 1 = −8 x + 15 + 1 y 2 − 2 y + 1 = −8 x + 16

( y − 1)2 = −8(x − 2);

LR = 8; Directriz x = 4; F (0, 1).

p = −2;

y

5

4

3

Eje Focal

F (0, 1)

Directriz x=4

2

V (2, 1)

1

−2

−1

1

2

3

x 4

5

−1

−2

−3

4

A. O. V.




2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje “y” y pasa por los puntos (0, 0); (8, − 4) y (3, 1) . Planteamiento:

x 2 + D' x + E ' y + F ' = 0. F ' = 0; 64 + 8 D'−4 E '+ F ' = 0; 8D '−4 E '+ F ' = −64 (1) 9 + 3D'+ E '+ F ' = 0; 3D + E '+ F ' = −9 (2) Desarrollo:

Sustituyendo D’ y F’ en (2) 3(-5)+E’+0=-9; E’=-9+15; E’=6 Quedando la ecuación: x2 − 5x + 6 y = 0

x 2 − 5 x = −6 y; x2 − 5x +

25 25 = −6 y + 4 4

2

25 1 ⎞ 5⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −6 ⎜ y − * ⎟ 4 6⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

Tomando la (1) y (2), al multiplicar (2) 12 D '+4 E '+4 F ' = −36 8 D '−4 E '+ F ' = −64 por 4. __________ _______ 20 D '+5 F ' = −100 (3) Sustituyendo F’ en (3). 20 D'+5(0) = −100

D' =

2

5⎞ 25 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −6 ⎜ y − ⎟; LR = 6; 2⎠ 24 ⎠ ⎝ ⎝ 61 ⎛ 5 11 ⎞ Directriz y = ; F ⎜ , − ⎟. 24 24 ⎠ ⎝2

3 p=− ; 2

− 100 ; D' = −5 20 y

3

Directirz y=61/24

2

V (5/2, 25/24) 1

x −1

1

2

3

4

5

6

7

F (5/2, -11/24)

−2

Eje Focal

−1

−3

4

A. O. V.




4.2.5 Aplicaciones. Ejemplos. 1) Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150 m., y la depresión de 20 m.

x 2 = 4 py;

(75)2 = 4 p(20);

5625 = 80 p;

p=

5625 ; 80

p=

1125 . 16

1125 1125 x2 = 4 ( ) y; x 2 = y. 16 4

2) Un arco de forma parabólica mide 6 m de largo en su base, su vértice está a 2.4 m arriba de la misma. Hállese la longitud de una viga paralela a la base y 1.8 m arriba de la misma.

x 2 = −4 py;

(3)2 = −4 p(2.4);

⎛ 15 ⎞ x 2 = 4⎜ − ⎟(− 0.6); x = ⎝ 16 ⎠

A. O. V.


9 = −9.6 p;

p=−

9 ; 9.6

p=−

15 . 16

9 3 ⎛3⎞ ; x = . ∴ l = 2 x; l = 2⎜ ⎟; l = 3 m. 4 2 ⎝2⎠



Ejercicios Propuestos. 1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “x”, pasa por el punto (-4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Sol. » y 2 = − x ; F (-1/4, 0); x=1/4 y; LR=1. 2) Discutir la ecuación x 2 − 4 y = 0 y trazar la curva correspondiente. Sol. » p=1; F (0, 1); y=-1 y; LR=4. 3) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen, Siendo su directriz la recta y-5=0. Así como sus demás elementos. Sol. » p=-5; F(0, -5); LR=20; x 2 = −20 y. 4) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » y 2 − 6 y − 12 x − 39 = 0; x = −7; LR = 12. 5) La directriz de una parábola es la recta y-1=0 y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente. Sol. » x 2 − 8 x + 8 y + 24 = 0; LR = 8; p = −2. 6) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » 7) La directriz de una parábola es la recta x+5=0 y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente. Sol. » 8) Verificar que la ecuación indicada represente una parábola, encontrando sus elementos y la gráfica correspondiente. a) 9 x 2 + 24x + 72 y + 16 = 0 2

4⎞ ⎛ Sol. » ⎜ x − ⎟ = −8 y; 3⎠ ⎝ A. O. V.


⎛4 ⎞ p = −2; LR = 8; Directriz, y = 2; F ⎜ , − 2 ⎟ ⎝3 ⎠



b) y 2 + 4 x = 7 7⎞ ⎛ Sol. » y 2 = −4 ⎜ x − ⎟; 4⎠ ⎝

p = 1; LR = 4; Directriz , x =

11 ⎛3 ⎞ ; F ⎜ , 0⎟ 4 ⎝4 ⎠

c) 4 x 2 + 12 x + 48 y = 159 Sol. » 2

3⎞ 7⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x + ⎟ = −12⎜ y − ⎟; 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

p = −3; LR = 12; Directriz, y =

13 ⎛ 3 1⎞ ; F ⎜− , ⎟ 2 ⎝ 2 2⎠

9) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 6), (4, -2) y (6, -3) y cuyo eje focal es paralela al eje “y”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. » 2 x 2 − 12 x − 4 y + 24 = 0; (x − 6 ) = 4( y + 3); p = 1; LR = 4; Directriz , y = −4; F (6, − 2 ) 10) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (6, 7), (7/2, -3) y (8, 3), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. » 2 y 2 + x − 6 y − 55 = 0; ( y − 3) = −8(x − 8); p = −2; LR = 8; Directriz, x = 10; F (6, 3) 11) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (7, 17), (1, 5) y (7, -7), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. » 2 x 2 − 12 x − 4 y + 24 = 0; ( x − 6 ) = 4( y + 3); p = 1; LR = 4; Directriz, y = −4; F (6, − 2 ) 12) Una cuerda de la parábola y 2 − 4 x = 0 es un segmento de la recta x-2y+3=0. Hallar su longitud. Sol. » 13) Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x 2 + 8 y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4 y − 7 = 0 . Sol. » 14) Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y 2 − 9 x = 0 , cuya ordenada es igual a 6. Sol. »

A. O. V.




4.3 Elipse. Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Los puntos fijos se llaman focos de la elipse y la suma constante es igual a “2a” que equivale al eje mayor. Teorema: Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x,y) y sin termino x,y, representa una elipse, si los coeficientes de las variables al cuadrado son numéricamente distintos, pero de igual signo. La ecuación general es:

Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

AyC≠0

Ecuaciones de la elipse forma ordinaria, ejes de la elipse son paralelos al los ejes cartesianos: > ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 → Elipse con eje focal paralelo al eje X a2 b2

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 → Elipse con eje focal paralelo al eje Y b2 a2 Si el centro C( h , k ) esta en el origen, las ecuaciones anteriores se reducen a:

x2 y 2 + =1 ; a 2 b2

A. O. V.


x2 y 2 + =1 b2 a 2



B1

L

L

b V2

F2

c

R

C

a

V1

F1

R

B2

Elementos de la ELIPSE: a = Distancia del centro a cualquiera de los vértices. b = Distancia del centro a cualquiera de los extremos del eje menor. c = Distancia del centro a cualquiera de los focos V1V2 = Eje mayor B1B2 = Eje menor C(h,k)

A. O. V.


LR =

2b 2 a

e=

c a

y e<1

a 2 > b2



Ejercicio 1 En la siguiente ecuación 16 x 2 + 25 y 2 = 400 . Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Graficar. Planteamiento y Desarrollo: 16 x 2 25 y 2 400 + = 400 400 400

Resultado: Eje mayor = 2 a = 10

x2 y 2 + =1 25 16 a

2

= 25

b

2

= 16

Eje menor = 2b = 8 TR =

c =

a

c =

25 − 16

c =

9

2

− b

2

e=

2b 2 2(16) 32 = = = 6.4 a 5 5

c 3 = a 5

c = 3

Y B1 L

V2

F2

R A. O. V.


C

L

F1

V1 X

R B2 Academia de Matemáticas Matutino


Ejercicio 2 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0), (-2,0) y su 2 excentricidad es igual 3 Desarrollo: Planteamiento:

b = 9−4 c e= a

2 e= 3

a=3

b= 5 TR =

a =9 2

c=2

b2 = 5

2b 2 2(5) 10 = = 3 3 a

Resultado:

b = a2 − c2

x2 y 2 + =1 9 5

Y

L

V2


L V1 F1

C

F2 R

A. O. V.

B1

B2

X

R



Ejercicio 3

7 ,3) tiene su centro en 2 el origen, su eje menor coincide con el eje “x” y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto (

Planteamiento:

Desarrollo: 7 4 + 9 =1 b 2 (2b) 2

Si C(0,0) y eje menor coincide con eje “x”, su ecuación es: x2 y 2 + =1 b2 a 2

7 ,3) 2 Sustituimos “x” y “y” en la ecuación de la elipse. 7 ( ) 2 2 + 3 =1 b2 a2

Si pasa por (

2a = 2(2b) a = 4b

:

a = 2b

7 9 + 2 =1 2 4b 4b 9 ⎡ 7 ⎤ 2 ⎢ 4b 2 + 4b 2 = 1⎥ 4b ⎣ ⎦ 7 + 9 = 4b 2 4b = 16 b=2

c = a 2 − b2 c = 16 − 4 c = 12 Resultado:

2b 2 2 2 ( 4) LR = 2 LR = 4 LR =

x2 y 2 + =1 4 16

Y V1 F1

B1

C

B2

X

F2 A. O. V.


V2 Academia de Matemáticas Matutino


Ejercicio 4 El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, se excentricidad y las coordenadas de sus focos. Planteamiento:

Desarrollo y Resultado:

C (-2,-1)

V (3,-1) a=5

LR = 4

c = a 2 − b2 c = 25 − 10

Coordenadas fo cos : F (,−C ± h, K )

c = 15 c = 3.8 c e= a 15 e= 5 e = 0.7

2b 2 a 2 2b 4= 5 2 2b = 20 LR =

b 2 = 10 b = 10 b = 3 .1

F1 (1.8,−1) F2 (−5.8,−1)

EcuaciónElipse x + 2 y +1 + =1 25 10

Y

B1 L

V2

F2

C

L

F1

V1

X

R

R B2 A. O. V.




Ejercicio 5 Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, determinar todos sus elementos y graficar. 4 x 2 + 9 y 2 + 32 x − 18 y + 37 = 0 Planteamiento: Desarrollo: 2 2 4 x + 9 y + 32 x − 18 y + 37 = 0 c = a 2 + b2 Comple tan do c = 9−4 c trinomio e= c= 5 a 4 x 2 + 32 + _ + 9 y 2 − 18 y + _ = −37 2 5 2b e= 4( x 2 + 8 x + 16) + 9( y 2 − 2 y + 1) = −37 + 64 + 9 LR = 3 a 2 2 4( x + 4) 9( y − 1) 36 3 = 0.74 2(4) + = LR = 36 36 36 3 Ec.Elipse 8 LR = 2 2 3 ( x + 4) ( y − 1) + = LR = 2.6 9 4 Eje mayor = 6 Eje menor = 4

C (−4,1) a2 = 9 a=3 b2 = 4 b=2

Y B1 L V2

F2

L C

R

R B2

A. O. V.


V1

F1

X



Ejercicio 6 Un arco de 80m de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 metros hallar la altura del arco en un punto situado a 15m del centro. Planteamiento:

1237500 1600 12375 y= 16

y2 = 1 2 b2 x2 y2 + = 1 1600 900 y2 225 + = 1 1600 900 y2 225 = 1 − 900 1600 2 y 1375 = 900 1600 1375 y2 = ( ) 900 1600 x a

2

Desarrollo: y2 =

+

12375 4 15 55 y= 4 y = 27.81m y=

y = 27.81 m de altura

Y

(-15,y)

(-40,0)

A. O. V.


(0,30)

(15,y)

(40,0)

X



Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Para cada uno de los ejercicios, hallar las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes mayor y menor, los extremos de cada lado recto y graficar.

(

)

x2 y2 + =1 49 25

Sol: F ± 24 ,0 , V (± 7,0)

y2 x2 + =1 25 9

Sol: F (0,±4) ,

B(0,±5) 25 ⎞ ⎛ ⎜ 24 , ⎟ , 7 ⎠ ⎝ V (0,±5)

B(±3,0) 9 9 (± ,4), (± ,−4) 5 5

x2 + 4 y 2 = 4

Sol: F ( ± 3 ,0) , V (±2,0) B(0,±1) 1 1 ( 3, ± ), (− 3 ,± ) 2 2

2 x 2 + 3 y 2 = 18

Sol: F ( ± 3 , O ),V ( ±3,0) B (0 ± 6 ) ( 3 ,±2), ( − 3 ,±2)

( y − 3)2 + ( y − 2)2 16

9

=1

Sol: F (3 ± 7 ),V (3 ± 4,2)

B(3,2 ± 3) 9 9 (3 + 7 ,2 ± ), (3 − 7 ,2 ± ) 4 4

2.- Reducir la ecuación y graficar.

16 x 2 + 25 y 2 + 160x + 200 y + 400 = 0 16 x 2 + 4 y 2 + 32 x − 16 y − 32 = 0 3x 2 + 2 y 2 + 24 x − 12 y + 60 = 0

A. O. V.


( x + 5) 2 ( y + 4) 2 + =1 25 16 ( x + 1) 2 ( y − 2) 2 + =1 Sol. 4 16 ( x + 4) 2 ( y − 3) 2 + =1 Sol: 2 3

Sol:



3.- Escribe la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los ejercicios. Centro en (5,1) vértice en (5,4), extremo de su eje menor (3,1). 2 ( x − 5) ( y − 1) 2 Sol: + =1 4 4 Vértice en (-1,3) y (5,3), la longitud del eje menor es 4. ( x − 2) 2 ( y − 3) 2 + =1 Sol: 9 4 Centro en (-2,2), un vértice en (-2,6), extremo en un eje menor (0,2) ( y − 2) 2 ( x − 2) 2 + =1 Sol: 16 4 4.- Resuelve los siguientes problemas.

A. O. V.

La orbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de los focos. La longitud del eje mayor es 186 000 000 mi y la excentricidad es o.o167. Hallar las distancias de los extremos del eje mayor al sol. Sol:91.4millones de millas 94.6millones de milas El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 60 pies de ancho y 20 pies de altura. Hallar el claro de la orilla de un carril si la orilla esta a 20 pies del punto medio. 20 Sol: 5 pies 3 Hallar la ecuación de la trayectoria de un punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia a (-4,0) es igual a dos tercios de la distancia de la recta x=-9 x2 y 2 + =1 Sol: 36 20




4.4 Hipérbola. Tema: Definición Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la diferencia a dos puntos fijos, es una constante. Los dos puntos fijos se denominan focos y el punto medio del segmento que los une se llama centro de la hipérbola. x2 y2 − =1 a2 b2

x= -a

x=a

L (0,b) c b

F(c,0)

F´ V´

a V (a,0)

(0,-b)

R

La asíntotas de una curva es una línea recta tal, que la distancia perpendicular trazada desde la recta a un punto sobre la curva es, y permanece, menor que cualquier valor positivo que se le asigne a medida que el punto en la curva se aleja indefinidamente del origen. bx – ay = 0

A. O. V.


y

bx + ay =0



Ejemplos: Dada la hipérbola 49 y 2 − 16 x 2 = 196 , hallar: (a) los valores de a, b y c; (b) las coordenadas de los focos, de los vértices y delos extremos de los lados rectos; c) la longitud del lados recto y d) las ecuaciones de las asíntotas, e) Dibujar la curva a) Reducir la ecuación a la forma ordinaria

40 y 2 16 x 2 y 2 x 2 − = − =1 196 196 4 49 4 4=2 Por lo tanto, a = b = 49 = 7 4 2

y

Y así c = a2 + b2 =

y e=

16 49 1 + = 65 4 4 2

c 1 = 65 a 4

b) Como el término que contiene a y es positivo, sabemos que el eje transverso está incluido en el eje Y. Podemos ahora obtener las coordenadas de los puntos buscados:

c) La longitud del lado resto es 2b 2 49 = 4 a d) Las ecuaciones de las asíntotas son: 7y-4x=0 y 7y+4x=0

1 65 ) 2 Vértices VV´= (0,±a) = (0,±2) Extremos de los latera recta Focos: FF´= (0,±c) = (0,±

L,R y 2 b 49 1 ( ± ,± c ) = ( ± ,± 65 ) a 8 2

A. O. V.


L´R´=



Tema: Hipérbola, c (h,k) Definición: Utilizando las fórmulas de traslación x´=x-h y y=y-k, como en el caso de la elipse, se puede obtener la ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k) y el eje transverso paralelo al eje X: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 Y si el eje transverso es paralelo al eje Y, la correspondiente ecuación es:

( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 a2 b2 Forma General de la Hipérbola Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplos Dada la hipérbola 4 x 2 − 9 y 2 − 16 x + 18 y − 29 = 0 , determinar: a) los valores de a, b, c y e; (b) las coordenadas del centro de os focos y delos vértices; (c) las longitudes de los lateras recta y los ejes transverso y conjugado; (d) las ecuaciones de los ejes principales y de las asíntotas de la hipérbola, (e) Obtener la ecuación de la hipérbola conjugada y dibujar ambas curvas Completando cuadrados para expresar en su forma ordinaria

b) Las longitudes del lado recto y los jes transverso y conjugado son: respectivamente:

4( x − 2) 2 − 9( y − 1) 2 = 36

2b 2 ( x − 2) 2 ( y − 1) 2 LR = − =1 a 9 4 El término que contiene a x es c) positivo, puesto que indica que el eje transverso es paralelo al eje X y la ecuación es de la forma

8 = , 2ª = 6 , 2b = 4 3 La ecuación del eje principal es y – 1 = 0. Las asíntotas son los factores del miembro izquierdo de la ecuación ordinaria igualado a cero:

4(x-2)²-9(y-1)²=(2x-3y-1)(2x+3y-7) ( x − h) 2 ( y − k ) 2 entonces las asíntotas serán: − =1 a2 b2 2x-3y-1=0 y 2x+3y – 7=0 Entonces: d) La forma ordinaria de la ecuación es: a = 9 = 3, b = 4 = 2 ( y − 1) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( y − 1) 2 c 1 2 2 − =1 o − = −1 13 c = a + b = 13 , e = = 4 9 9 4 a 3 b) Las coordenadas del centro son (h,k)=(2,1)y, por consiguiente, los focos son FF´= ( h ± c, k ) = ( 2 ± 13 ,1), y los vértices V(h+a,k)=(5,1) y V´(hA. O. V.




a,k)= (-1,1)

Determinar la ecuación de una hipérbola con centro en (-3,2) y una distancia del centro al foco de 5 unidades. La longitud del semieje conjugado es de 3 unidades. a² = c² - b² El problema no menciona si eje es luego entonces a² = 5² - 3² = 16; a=4 paralelo al eje X o al eje Y, de donde

( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − =1 b) a2 b2 a)

Con este valor se tiene que:

( x + 3) 2 ( y − 2) 2 − =1 16 9 si se desarrolla 9(x+3) ² - 16(y-2) ² = (16)(9) Para ambos casos se requiere el valor que equivale a de los parámetros a, b, h y k. 9x² - 16y² + 54x + 64y –127=0 Se tienen los valores de h= -3, k= 2 y b= 3, faltando el valor del parámetro a , pero se sabe que la hipérbola cumple Para el caso b se obtiene la siguiente la relación c² = a²+ b², entonces se ecuación -16x² +9y² -96x +36y + 36 =0 puede calcular el valor de a

A. O. V.




Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las 144 rectas 4x – 3x + 11 = 0 y 4x + 3y + 5 = 0 sea igual a 25 Sea P(x,y) un punto cualquiera

(

4 x − 3 y + 11 4 x + 3 y + 5 144 )( )= −5 −5 25

Simplificando 16 x 2 − 9 y 2 + 64 x + 18 y − 89 = 0

obien ( x + 2) 2 ( y − 1) 2 − =1 9 16

A. O. V.




Problemas Propuestos 1.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes: a) Eje real 8, focos ( ± 5,0) Sol. 9x²-16y²=144 b) Centro (0,0), un foco (8,0), un vértice (6,0) Sol. 7x²-9y²=252 2.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos igual a 24. Sol. 3y² -x² = 108 3.- Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( ± 6,0) y asíntotas 6y = +7x. Sol. 49x² - 36y² = 1.764 4.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las pendientes de las rectas que los une con los puntos fijos (-2,1) y (3,2) es igual a 4, representa una hipérbola Sol. 4x²-y²-4x+3y-26=0 5.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas cuyos focos y vértices son: (a) F, 1 2

F´=( (±3,0),VV ´= (±2,0); FF´= (0,±1),VV ´= (0,± ); (c) F´= (−5,1), F = (7,1);V ´(−3,1),V = (5,1) x2 y2 − =1 4 5 Sol. 12 y 2 − 4 x 2 = 3 ( x − 1) 2 ( y − 1) 2 − =1 16 20 6.- 2.- Determinar las ecuaciones de las hipérbolas conjugadas de: (a) 4 x 2 − 9 y 2 = 36; (b) x 2 − y 2 = 1; (c) y 2 − x 2 / 4 = 1; (d )9 y 2 − x 2 + 8x − 7 = 0 Solución 2 y x2 a) − =1 4 9 b) y 2 − x 2 = 1

x2 − y2 = 1 4 ( x − 4) 2 − y2 = 1 d) 9

c)

A. O. V.




7.- Escribir la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados simétricamente con respecto al origen sobre el eje X, tal que satisfaga las siguientes condiciones: a) 2a= 10, 2b = 8 b) La distancia entre los focos es 10 unidades y el eje conjugado mide 8 unidades. c) La excentricidad es 3/2 y 2c = 6 d) El eje transverso mide 10 unidades y e = 5/4 Soluciones. x2 y2 − =1 25 16 x2 y2 b) − =1 9 16 x2 y2 c) − =1 4 5 x2 y2 d) − =1 64 36 a)

8.- Dada la hipérbola 16 x 2 − 9 y 2 = −144 , hallar: a) las longitudes de los semiejes; b) las coordenadas de los focos; c) la excentricidad, d) las ecuaciones de las asíntotas. Soluciones. a )a = 4, b = 3 b) F , F ´= (±5,0) 5 c )e = 3

4 d)y = ± x 3

A. O. V.




UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES.

Ecuaciones de Transformación.

Y

r 2 = x2 + y 2 r = x2 + y 2

P(x,y)

y r x cos Ө = r y tan Ө = x sen Ө =

sen Ө = cos Ө =

r

y = r sen Ө

y Ө

x = r cos Ө

x

y Ө = arc tan x

X

y x + y2 x 2

x2 + y 2

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. P ( x,y ) coordenadas rectangulares, Q ( r, Ө ) coordenadas polares. Ejercicio 1 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordinas polares son; ( 4,120° ). Solucion: r=1

Ө=120°

Por tanto x = r cosӨ x = 4 cos120° 1 x = 4 (- ) 2 x=2

A. O. V.


y = r senӨ y = 4 sen120° 3 y = 4( ) 2 y=2 3



Ejercicio 2 Hallar un par de coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares son (3,-5). Solución:

Y

X = 3 y = -5 r = ± x2 + y2 r = ± 9 + 25 3

r = ± 34

X

Ө

y x −5 Ө = arctan ( ) 3 Ө = arctan

± 34

-5

P(3,-5)

Ө = 300° 58´ Ejercicio 3

Hallar la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es x2 + y 2 − 4x − 2 y + 1 = 0 Solución: Podemos remplazar

x 2 + y 2 por r 2 , y r 2 = x2 + y2

Y por

r senӨ

Por lo tanto la ecuación polar buscada es:

y = r senӨ

r 2 - 4 r cosӨ - 2r senӨ + 1 = 0

A. O. V.




Ejercicio 4 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x − 6 y + 3 = 0 Solución :

2x2 + 2 y 2 + 2x − 6 y + 3 = 0 2( x 2 + y 2 ) + 2 x − 6 y + 3 = 0 Sustituimos por las ecuaciones de transformación

r 2 = x2 + y 2 x = r cosӨ y = r senӨ 2r 2 + 2 r cosӨ - 6 r senӨ + 3 = 0

Ejercicio 5 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar x 2 + y 2 − 2 y = 0 Solución:

x2 + y 2 − 2 y Sustituyendo ecuaciones de transformación:

r 2 = x2 + y 2

y = r senӨ

r 2 -2 r senӨ = 0

Dividiendo entre r r – 2 senӨ = 0 r = 2 senӨ

A. O. V.




Ejercicio 6 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es: 2 r= 1 − cosφ Solución: antes de sustituir quitar decimales Elevamos al cuadrado ambos 2 r= miembros 1 − cosφ

(

r ( 1 - cosӨ) = 2

x2 + y 2

) = (2 + x) 2

2

x2 + y 2 = 4 + 4x + x2

r – r cosӨ = 2

y2 = 4x + 4

Sustituyendo

x2 + y2

R=

y

x = r cosӨ

Ecuación rectangular (Parábola)

x2 + y2 − x = 2 x2 + y2 = 2 + x

Ejercicio 7 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es : 2 r= 2 − cosφ Solución: 2 r= 3x 2 + 4 y 2 − 4 x − 4 = 0 2 − cos φ r (2 − cos φ ) = 2 2r − r cos φ = 2 2 x 2 + y 2 − r cos φ = 2

Ec. Rectangular (Elipse)

2 x 2 + y 2 = 2 + r cos φ

(2

(

x2 + y2

)

) = (2 + x) 2

2

4 x2 + y 2 = 4 + 4x + x2 4x2 + 4 y2 = 4 + 4x + x2 A. O. V.




Ejercicio 8 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es: r = 2(1-cosӨ) Solución : 2 x2 + y2 = x2 + y2 + 2x r = 2(1 − cosφ ) 2 2 Multiplicamos la ecuación por ( r ) 2 x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2 x )

(

(

)

) (

4 x2 + y2 = x2 + y2 + 2x

r 2 = 2r (1 − cosφ ) r 2 = 2r − 2r cosφ

)

Ecuación Rectangular (Cardioide)

Sustituimos por las ecuaciones de transformación

x2 + y 2 = 2 x2 + y 2 − 2x

Ejercicio 9 Escribir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares e identificar la 1 curva. r = 1 − 2senφ Solución:

1 1 − 2senφ r (1 − 2senφ ) = 1 r=

r − 2rsenφ = 1

(

x 2 + y 2 = 1 + 2rsenφ x2 + y 2

) = (1 + 2 y ) 2

2

x2 + y 2 = 1 + 4 y + 4 y 2 x 2 − 3 y 2 − 44 − 1 = 0 Ec. Hipérbola

A. O. V.




Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Hallar las coordenadas rectangulares del punto determinado por las coordenadas polares (6,120°). Sol: (-3 , 3 3 ) 2.- Expresa las coordenadas rectangulares (-2 , 2) en terminos de coordenadas polares. Sol: (2 2 , 45°) 3.- Transformar la ecuación r = 4senӨ a coordenadas rectangulares. Sol: x 2 + y 2 = 4 y 4.- Trasformar la ecuación en coordenadas polares a rectangulares: 1 r= Sol: x + 3y = 1 cosφ + 3senφ 5.-Transformar las ecuaciones siguientes a las correspondientes ecuaciones en coordenadas polares. 3 2x + y = 3 Sol: r = 2 cos φ + senφ 3x + y = 0 Sol: r (3 cosφ − senφ ) = 0

x2 = 4 y

Sol: r cos2 φ = 4senφ

x2 + y 2 = 9

Sol: r = 3

x − 9y = 0

Sol: r cos2 φ − 9senφ = 0

x2 − 2 y 2 = 4

Sol: r 2 (1 − 3sen2φ ) = 4

x2 + y 2 = 2 y

Sol: r = 2 senφ

2

6.- Transformar la ecuaciones a las correspondientes ecuaciones en coordenadas rectangulares.

A. O. V.

r cos φ = 4

Sol: x = 4

r = 6 cos φ

Sol: x 2 + y 2 = 6 x

r = 8senφ 2 r= 1 − cosφ 3 r= 3senφ + 4 cosφ

Sol: x 2 + y 2 = 8 y


Sol: y 2 = 4( x + 1) Sol: 4 x + 3 y = 3



r=

2 1 + 2senφ

Sol: x 2 − 3 y 2 + 8 y = 4

∆ Ecuaciones Polares de la Recta, la Circunferencia y las Cónicas. ● Ecuación de la Recta.

p = r cos (θ − ω ) .

1) Si ω=0° » p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la derecha del origen. 2) Si ω=180° » -p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la izquierda del origen. 3) Si ω=90° del origen.

»

p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades arriba

4) Si ω=270° » -p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades debajo del origen. Ejemplos. 1) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ┴ al eje polar. a) 4u a la derecha del polo. b) 4u a la izquierda del polo. a) si ω=0° » p=r cosθ; r cosθ=4

b) si ω=0° » -p=r cosθ; r cosθ=-4

y

y

P (r, t)

P (r, t)

2

2

1

1

R

t −3

−2

p

−1

2

A

t

R

x 1

3

−2

)

) −4

−1

1

2

-p

O

3

A

x

4

O

l −1

−1

l 2

A. O. V.


2


5


2) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ║ al eje polar. a) 4u debajo del eje. b) 4u arriba del eje. a) si ω=270° » -p=r senθ; r senθ=-4

b) si ω=90° » p=r senθ; r senθ=4 y

y

A O

4

1

l 3

2

−1

R

1

2

3

x 4

5

−1

p

1

−2

p l −1

R

1

2

−1

3

x 4

5

−3

−4

O

2

A

5

Si una recta no pasa por el origen, puede deducirse a. c . r= A cos θ + B sen θ Esto es, si Ax + By = C cuando C ≠ 0 y A y B ambas no igual a cero. Ejemplos. 1) Trazar la gráfica de la ecuación polar y encontrar la ecuación rectangular correspondiente. Planteamiento y Desarrollo:

A. O. V.




y

4 r= ; 2 cos θ − 4 sen θ

A = 2; 1

B = −4 y C = 4 . ∴ A

2 x − 4 y = 4.

−1

1

O

2

x

3

4

−1

−2

3

2) Escribir la ecuación polar de la recta horizontal que pasa por el punto (3, 90°). Planteamiento y Desarrollo:

5

y

4

r=

C ; r = 3; A cos θ + B sen θ

l

3

θ = 90° ∴ cos 90° = 0 ;

2

p=rseno -

sen 90° = 1 ∴

1

A −5

r=

C . B

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 4

−1

−2

−3

−4

● Ecuación de la Circunferencia. a 2 = r 2 + c 2 − 2 c r cos (θ − α ) . O bien

r 2 − 2 c r cos (θ − α ) + c 2 = a 2 1) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma r = ±2 a cos θ ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. 2) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma r = ±2 a cos θ ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. Ejemplos. 1) Hallar la ecuación del círculo con centro en (5, 60°) y radio 3. A. O. V.




Planteamiento:

Desarrollo:

r 2 − 2 c r cos (θ − α ) + c 2 = a 2

r 2 − 2 (5) r cos (θ − 60°) + 25 = 9 r − 10 r cos (θ − 60°) + 16 = 0.

2) Si r = 4 cos θ . Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente. Planteamiento:

Desarrollo:

r = ± 2 a cos θ .

r = 2 (2) cos θ ; a = 2; la circunferencia pasa por el polo y su centro esta sobre el eje polar. c = a = 2 y θ = 0; es decir C (2, 0°) y a = 2.

● Ecuaciones de las Cónicas. 1) Si un foco está en el polo y la directriz D es ┴ al eje polar y esta situada p unidades a la izquierda del polo, la ecuación es: r=

A. O. V.


ep . 1 − e cos θ


Guía de Estudio

>

2) Si un foco está en el polo y la directriz está a p unidades a la derecha del polo, la ecuación es:

Directriz

Geometría Analítica

_ P (r, O)

r=

ep . 1 + e cos θ

r _ ) O

B p

Eje Polar

>

Origen

3) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades arriba del eje polar, la ecuación es: r=

ep . 1 + e sen θ Directriz

4) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades debajo del eje polar, la ecuación es: r=

_ P (r, O)

p r ) Origen

_ O

Eje Polar R

A

ep . 1 − e sen θ

Ejemplos. Trazar la gráfica de las ecuaciones.

1) r =

8 . 3 + 3 cos θ

Planteamiento y Desarrollo: Dividiendo el numerador y denominador entre 3.

A. O. V.


8 = 2.7; 3 θ = 180° ∴ r = error y

Si θ = 90° ∴ r =

θ = 270° ∴ r =

8 = 2.7 3



y

8 3 ; e = 1 ∴ es una parábola. r= 1 + cos θ 8 8 ep = ; como e = 1 ∴ p = . 3 3 .Si θ = 0° ∴ r =

90°

0°

180° F

1

2

A

x

3

4

4 = 1.3. 3 270°

2) r =

Si θ = 90° ∴ r = 5;

15 . 3 − 2 cos θ

θ = 180° ∴ r = 3 y θ = 270° ∴ r = 5

Planteamiento y Desarrollo:

y

Dividiendo el numerador y denominador entre 3. r=

5 2 1 − cos θ 3

; e=

ep = 5; como e =

90°

2 ∴ es una elipse. 3

A

180° F

2 15 ∴ p= . 3 2

1

3

4

6

7

9

10

12

270°

Si θ = 0° ∴ r = 15

3) r =

4 . 2 + 3 sen θ

Planteamiento y Desarrollo:

4 = 0.8; 5 θ = 180° ∴ r = 2 y θ = 270° ∴ r = −4

Si θ = 90° ∴ r =

Dividiendo el numerador y denominador entre 2.

A. O. V.



13

15

0°

x 16


y

3 ; e= ∴ es una hipérbola.. r= 3 2 1 + sen θ 2 2

ep = 2; como e =

3 4 ∴ p= . 2 3

90°

A

180° 1

2

3

F

.Si θ = 0° ∴ r = 2;

270°

Ejercicios Propuestos. 1) Escribir la ecuación polar de cada una de las rectas descritas: a) recta horizontal que pasa por el punto (-3, 90°). b) recta vertical que pasa por el punto (4, Π). 2) Hallar la ecuación del círculo con centro en (4, 0°) y radio 4. 3) Si r = 2 cos θ + 2 3 sen θ . Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente. 4) Hallar la ecuación del círculo con centro en (7, 120°) y radio 5. 5) Si r 2 − 2 2 r cos θ − 2 2 r sen θ − 5 = 0. Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente. ⎛ 3 ⎞ 6) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎜ 6, π ⎟ y radio 4. ⎝ 4 ⎠

7) Si r 2 + r cos θ − 3 r sen θ − 3 = 0. Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.

A. O. V.



4

0°

x 5


⎛ 7 ⎞ 8) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎜ 3, π ⎟ y pasa por el punto ⎝ 6 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎜ 2, π ⎟ . ⎝ 3 ⎠

9) r =

8 . S » Parábola. 4 + 4 cos θ

10) r =

6 . S » Elipse. 3 − 2 cos θ

11) r =

15 . S » Hipérbola. 5 − 4 sen θ

12) r =

9 . S » Parábola. 2 + 2 cos θ

13) r =

12 . 2 − cos θ

14) r =

4 . S » Hipérbola. 2 + 3 cos θ

15) r =

10 . S » Parábola. 3 − 3 sen θ

16) r =

12 . S » Elipse. 2 + sen θ

17) r =

2 . 1 − 2 cos θ

A. O. V.


S » Elipse.

S » Hipérbola.



UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. 6..1 Ejercicios de Graficación. Ejemplos. Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. 1)

x = t − 1;

y = 2t + 3

y

t = 0 ∴ x = −1 y

y=3

t = 2 ∴ x =1 y

y=7

y

7

6

5

4

3

2

1

x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1

2

2) A. O. V.




x = 2 + t; y y = 3 − t 2 t = −2 ∴ x = 0 y y = −1 t =0 ∴ x=2 y y=3 t = 2 ∴ x = 4 y y = −1 y

4

3

2

1

x −1

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

4

6.2 Eliminación del Parámetro. Ecuación Cartesiana de una Trayectoria Dada Parametricamente. Ejemplos. Hallar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes). 1)

x y ; sec2 θ = ; como sec2 θ − tg 2θ = 1 3 2 y x por la identidad trigonométrica. ∴ − = 1; (2)(3); 3 y − 2 x − 6 = 0. 2 3

x = 3 tg 2θ

y

y = 2 sec2 θ . tg 2θ =

y

4

3

2

1

x −1

1

2

3

4

5

6

1

2)

A. O. V.




y y2 ; sen 2θ = ; como sen 2θ + cos 2 θ = 1; 2 4 y2 y2 + 4x + x = 1; = 1; y 2 + 4 x = 4; por la identidad trigonométrica; ∴ 4 4 4 y 2 = −4 x + 4; y 2 = −4(x − 1); LR = 4 p; LR = 4; 4 p = −4; p = − ; p = −1; 4 h = 4 y k = 0. x = cos 2 θ

;

y = 2 senθ . cos 2 θ = x; sen θ =

y

3

2

1

x −3

−2

−1

1

2

3

4

−1

−2

−3

4

6.3 Ecuaciones Paramétricas. Ejemplos. Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes: 1) La recta que pasa por los puntos (2, 6) y (-3, -4).

Sí P1 (2, 6 ) y

P2 (− 3, − 4 ); x − 2 = t (−3 − 2); x − 2 = −5t ; x = −5t + 2.

y − 6 = t (−4 − 6);

y − 6 = −10t ;

y = −10t + 6. y 7 6 5 4 3 2 1 x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 8

2) A. O. V.




x −1 x −1 ; t 2 = 2 − y; t 2 = ; igualando 2 4 (x − 1)2 = 8 − 4 y; (x − 1)2 = −4( y − 2).

x −1 = 2 − y; 4

2

x = 1 + 2t

y

2

y = 2 − t 2. t =

y

3

2

1

x −3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

4

∆ Tiro Parabólico. Ejemplos. 1) Se lanza una piedra con una velocidad de 160 ft/seg, con una dirección de 45° respecto a la horizontal. Hallar la distancia hasta la cual llega la piedra y su altura máxima. Planteamiento y Desarrollo:

A. O. V.




V0 = 160 ft / seg ; α = 45°; g = 32 ft / seg. x = 160 cos 45° t ; 1 (32) t 2 x = 160 2 t; x = 80 2 t. y = 80 2 t − 16 t 2 ; 2 2 cuando la piedra llega al suelo, y = 0 ∴ 0 = 80 2 t − 16 t 2 ; 16 t 2 = 80 2 t ; y = 160 sen45° t −

t 2 80 2 = ; t = 5 2 . sustituyendo t en x; x = 80 2 5 2 ; x = 800 ft. 16 t

(

)

2

y = 80 2 5 2 − 16 5 2 ;

y = 800 − 800 = 0; como una parábola es simétrica

⎛5 2 ⎞ 5 2 ⎟ ∴ la mitad del tiempo nos dará la altura máxina. y = 80 2 − 16⎜⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

2

y = 400 − 200 = 200 ft. altura máxima. Ecuación rectángular. y = tg 45° x −

y = x−

1 x2 (32) ; 2 (160)2 cos2 45°

16 x 2 ; ⎛1⎞ 25600⎜ ⎟ ⎝2⎠

y = x−

32 x 2 ; 25600

y = x−

16 x 2

y = x−

16 x 2 ; ⎛2⎞ 25600⎜ ⎟ ⎝4⎠

⎛ 2⎞ ⎟ 25600⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 x . Re duciendo. 800 y = 800 x − x 2 ; y = x− 800

x 2 − 800 x = −800 y; x 2 − 800 x + 4002 − 4002 = −800 y;

(x − 400)2 = −800( y − 200).

; 2

(x − 400)2 = −800 y + 160000;

Con vértice en h = 400 y k = 200.

y

200

150

100

50

x 100

200

300

400

500

600

700

800

90

50

2) Un picher lanza una a horizontalmente con una velocidad inicial de 108 ft/g. Si el punto del disparo está 6 ft arriba del suelo: a) ¿a qué altura llega la pelota a la base meta, que está a una distancia de 60.5 ft del montículo? b) ¿cuál será la respuesta a esta pregunta si la velocidad inicial fuera de 132 ft? A. O. V.




Planteamiento.

y = 108 sen 0° (0.56 ) −

V0 = 108 ft / seg ; θ = 0°; x = V0 cos θ t Desarrollo. x = 108 cos 0°t ;

y

g = 32 ft / seg.

1 y = V0 senθ t − g t 2 . 2 x = 108(1)t ;

Si x = 60.5 60.5 = 108 t ; t =

1 (32)(0.56) 2

y = 5.018 ft. a ) V0 = 132 ft / seg ; x = 132 t ; 60.5 ; t = 0.46 seg . 132 1 2 y = − (32 )(0.46 ) ; y = 3.386 ft. 2

t=

x = 108t. 60.5 ; 108

t = 0.56 seg.

Ejercicios Propuestos: 1) Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. a) x = 1 + t 2 y y = 1 + t ; b) x = 4 − 3t y y = 1 + t

c)

A. O. V.

x = cos θ


y

y = 2 senθ

;

d)

x = sen t

y

y = cos t



2) lar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes). a) b)

x = 2 + cos θ x = 3 sen θ

y = 2 + sen θ ; S ⇒

y y

y = 4 cos θ ; S ⇒

( y − 2)2 + (x − 2)2 = 1;

2

h = 2; k = 2.

2

x y + = 1; LR = 4.5; a = 4; b = 3; c = 2.6 9 16

3) Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes:

a)

x = 3 + 4 senθ

b)

x = −2 + 2senθ

c)

x = tgθ

y

y = −4 + 3 cos θ . S ⇒

y y

y = 3 + 2 cos θ . S ⇒

y = sec θ . S ⇒

(x − 3)2

2 ( y + 4) +

= 1. 16 9 (x + 2)2 + ( y − 3)2 = 1. 4 4

y 2 − x 2 = 1.

4) Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 192 ft/seg y con un ángulo de 30° arriba de la horizontal. Hallar las coordenadas de su posición al final de: a) 2 seg. b) ¿en qué tiempo está el proyectil a 96 ft arriba del suelo? c) ¿cuál es el alcance máximo que alcanza el proyectil? d) ¿cuál su altura máxima? S » a) x=332.554 ft; y=128 ft. b) t1=4.7 seg. y t2=1.3 seg. c) x=997.661 ft. y d) y=144 ft. 5) Un proyectil que se dispara formando un ángulo de 12 ° con la horizontal, tiene una velocidad inicial de 678 mts. Háyanse: a) las ecuaciones paramétricas de su trayectoria. b) la altura máxima alcanzada. c) su alcance horizontal hasta los 91.4 m, más próximos. S» a) v sen 2θ v 2 0 sen 2θ 1 2v senθ x = v0 cosθ t ; y = v0 senθ t − g t 2 ; H = 0 ; D= ; t= 0 . g g 2 2g b) x=19033.4 m.; c) y=5.5 m.

A. O. V.



Guia de Geometria Analitica

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