Proyek

PROYEK KALKULUS INTEGRAL (Drs. Marsangkap Silitonga, M.Pd)

OLEH :

 NAMA

: PAULINSON RIKI MARPAUNG MARPAUNG

 NIM

: 5173530022

PRODI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN MEDAN, 2018

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aplikasi Integral Dalam Bidang Teknik Elektro” ini. Penulis menyadari bahwa di dalam pembuatan makalah ini tidak lepas dari tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan juga bantuan berbagai pihak. Untuk itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua  pihak yang telah memberikan dorongan dan sumbangan pikiran yang bersifat positif terhadap penyelesaian makalah ini. Makalah ini ditulis dari hasil penyusunan data-data yang penulis peroleh dari buku panduan yang berkaitan dengan Kalkulus, serta infomasi dari media massa yang berhubungan dengan Aplikasi Integral Dalam Bidang Teknik Elektro. Penulis menyadari, bahwa dalam penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, penulis telah  berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga makalah ini dapat diselesaikan. Akhir kata, penulis minta maaf atas segala kesalahan dan semoga makalah ini dapat  bermanfaat bagi kita semua. Amin.

Medan, Mei 2018

Penulis

2

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.............................................................................................1 KATA PENGANTAR .......................................................................................... 2 DAFTAR ISI .........................................................................................................3 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang............................................................................................ 4 1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................... 5 1.3 Tujuan.........................................................................................................5 1.4 Manfaat.......................................................................................................5 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Sejarah Integral ........................................................................................... 6 2.2 Pengertian Integral...................................................................................... 7 2.3 Pengertian Arus Listrik............................................................................... 8 2.4 Pengertian Daya Listrik .............................................................................. 9 2.5 Hubungan Integral dengan Arus dan Daya Listrik ..................................... 10 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan.................................................................................................15 3.2 Saran ........................................................................................................... 15 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 16

3

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan  persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia  pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan.  Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan yaitu dalam sains yang khususnya fisika yaitu arus listrik. Sehingga saya mengambil judul Aplikasi Kalkulus Integral dalam Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup dan Daya Listrik dalam Ruang. Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan. Dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di  bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi

4

digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah: 1. Bagaimana sejarah integral? 2. Apa pengertian integral? 3. Apa pengertian arus listrik? 4. Apa pengertian daya listrik? 5. Apakah hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik?

1.3. Tujuan

Adapun tujuan dari pembahasan makalah ini yaitu: 1. 2. 3. 4. 5.

Mengetahui sejarah dari integral. Mengetahui pengertian dari integral. Mengetahui pengertian dari arus listrik. Mengetahui pengertian dari daya listrik. Mengetahui hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik.

1.4 Manfaat

Adapun manfaat dari pembuatan makalah ini yaitu : 1. Mengetahui mengenai sejarah dari integral. 2. Mengetahui mengenai pengertian dari integral. 3. Mengetahui mengenai pengertian dari arus listrik. 4. Mengetahui mengenai pengertian dari daya listrik. 5. Mengetahui mengenai hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik. 6. Memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus Integral.

5

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Integral

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang  berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral. Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang  pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory

6

membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac  Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong  pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir  bersamaan.  Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika  Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima  penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan  Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.

2.2 Pengertian Integral

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wila yah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum"  yang berarti penjumlahan).

7

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan bidang-bidang lain. Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan  persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen. Sedangkan dalam bidang ekonomi  penerapan integral diantaranya ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi

marginalnya.

Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan, seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda  putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya

pada

struktur

pelengkung.

Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan

digunakan

untuk

mengetahui

luas

daerah

pada

kurva.

2.3 Pengertian Arus Listrik 

Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang disebabkan dari pergerakan elektron-elektron, mengalir melalui suatu titik dalam  sirkuit listrik tiap satuan waktu. Arus listrik dapat diukur dalam satuan Coulomb/detik atau Ampere. Contoh arus listrik dalam kehidupan sehari-hari berkisar dari yang sangat lemah dalam satuan mikroAmpere seperti di dalam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat 1-200 kiloAmpere (kA) seperti

yang

terjadi

pada petir.  Dalam

kebanyakan

sirkuit arus

searah dapat

diasumsikan resistansi terhadap arus listrik adalah konstan sehingga besar arus yang mengalir dalam sirkuit bergantung pada voltase dan resistansi sesuai dengan hukum Ohm. Arus listrik merupakan satu dari tujuh satuan pokok dalam  satuan internasional. Satuan internasional untuk arus listrik adalah Ampere (A). Secara formal satuan Ampere didefinisikan

sebagai

arus

konstan

yang,

bila

dipertahankan,

akan

menghasilkan gaya sebesar 2 x 10-7 Newton/meter di antara dua penghantar lurus sejajar,

8

dengan luas penampang yang dapat diabaikan, berjarak 1 meter satu sama lain dalam ruang hampa udara. Arus listrik adalah perbandingan jumlah muatan(Q) yang mengalir pada suatu titik dalam penghantar dengan waktu (t) yang ditempuhnya. I = Q/t I = arus listrik (Ampere) Q = muatan yang dipindahkan (Coulomb) t = waktu (detik) 1 A = 1 Coulomb/detik

Jika terjadi perubahan aliran muatan (aliran muatan tidak konstan, berubah-ubah), maka arus listrik yang mengalir adalah : I = dQ/dt I = arus listrik (Ampere) dQ = perubahan aliran muatan (Coulomb) dt = perubahan waktu (detik)

2.4 Pengertian Daya Listrik 

Daya listrik didefinisikan sebagai laju hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik. Daya listrik, seperti daya mekanik, dilambangkan oleh huruf P. Satuan SI yang dipakai adalah watt . Arus listrik yang mengalir dalam rangkaian dengan hambatan listrik menimbulkan kerja. Peranti mengkonversi kerja ini ke dalam berbagai bentuk yang  berguna, seperti panas (seperti pada pemanas listrik), cahaya (seperti pada bola lampu), energi kinetik (motor listrik), dan suara (loudspeaker). Listrik dapat diperoleh dari  pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai.

2.5 Hubungan Integral dengan Arus dan Daya Listrik 

Ternyata hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya dalam permukaan yang tertutup dan dalam rangan. Dan disini kita akan membahasnya yaitu: 1.

9

Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup

Arus yang mengalir dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J  dapat ditentukan dengan perhitungan integral tertutup :  I  = arus listrik dalam permukaan tertutup (A)  J = kerapatan arus (A/m2) d A = komponen diferensial permukaan. 2.

Perumusan daya listrik dalam ruang Dalam kasus umum, persamaan P  = VI   harus diganti dengan perhitungan yang

lebih rumit, yaitu integral hasil kali vektor medan lis trik dan medan magnet dalam ruang tertentu. Potensial

Listrik

dan

Energi

Potensial

yang

ditimbulkan

oleh

Muatan

Titik . Potensial listrik pada sebuah titik yang diletakkan sejauh r dari muatan q dapat

ditentukan dngan persamaan umum beda potensial

Dengan A dan B adalah dua titik sebarang sperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada titik tertentu di dalam ruang, medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik adalah E = k q r[topi] / r[kuadrat], dengan r[topi] adalah vektor satuan yang arahnya dari muatan ke titik tinjauan. Besaran E • ds dapat dinyatakan dalam bentuk.

Karena besar r[topi] adalah 1 maka hasil kali titik r[topi]• ds = ds cos q, dengan q adalah sudut antara r[topi] dan d s. Selanjutnya, ds cos q merupakan proyeksi ds pada r, sehingga ds cos q = dr. Perpindahan ds sepanjang lintasan dari titik A ke B menghasilkan

10

 perubahan dr sebagai nilai r, yaitu vector posisi titik tinjauan relative terhadap muatan yang membentuk medan tersebut. Dengan subtitusi, diperoleh E•

ds = (k q /r2) dr

Sehingga pernyataan untuk beda potensial menjadi

Persamaan ini menunjukkan bahwa integral

E•ds

tidak bergantung pada bentuk lintasan

antara titik A dan B. Dengan mengalikan muatan q o yang bergerak di antara titik A dan B tampak pula bahwa integral q o E• ds tidak bergantung pada bentuk lintasan. Integral yang terakhir ini merupakan usaha yang dilakukan oleh gaya listrik, yang menunjukkan  bahwa gaya listrik bersifat konservatif. Berkaitan dengan gaya konservatif ini didefenisikan

pula medan

konservatif .

Dengan

demikian

 persamaan 25.10 menunjukkan bahwa medan listrik dari sebuah muatan titik tetap  bersifat konservatif. Lebih jauh lagi, persamaan 25.10 menyatakan sebuah hasil penting  bahwa beda potensial antara dua titik A dan B di dalam medan yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik hanya bergantung pada koordinat radial r A dan r B. Pemilihan titik acuan potensial listrik untuk sebuah muatan titik dapat disesuaikan, misalnya V = 0 pada r A = ∞. Dengan pilihan acuan ini, potensial listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik pada jarak r dari muatan tersebut adalah

Potensial listrik total pada sebuah titik P yang dihasilkan oleh dua atau lebih muatan dapat diperoleh dengan menerapkan prinsip superposisi pada persamaan di atas. Potensial listrik total tersebut sama dengan jumlah dari potensial listrik yang dihasilkan oleh masing-masing muatan, sehingga dapat ditulis

dengan r i adalah jarak titik P ke muatan q i. Persamaan ini menunjukkan bahwa potensial akan bernilai nol pada titik jarak tak terhingga dari muatan. Perlu diingat bahwa

11

 persamaan ini merupakan penjumlahan aljabar dan bukan penjumlahan vektor. Dengan demikian, biasanya lebih mudah menghitung V dari pada menghitung E.

Selanjutnya akan dibahas energi potensial sebuah sistem yang terdiri dari dua partikel  bermuatan. Jika V 2adalah potensial listrik di titik P yang yang ditimbulkan oleh muatan q2, maka usaha yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan kedua q1 dari jarak tak terhingga menuju P tanpa percepatan adalah q 1V2. Usaha ini merepresentasikan sebuah perpindahan energi ke dalam sistem dan energi tersebut timbul di dalam sistem sebagai energi potensial U jika kedua partikel terpisah sejauh r 12. Dengan demikian energi potensial sistem adalah

Jika kedua muatan bertanda sama, maka U positif. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa usaha positif harus dilakukan oleh sebuah pengaruh luar t erhadap sistem untuk membawa kedua muatan mendekat satu sama lain (karena muatan yang bertanda sama tolakmenolak). Jika kedua muatan berlawanan tanda, U negatif; ini berarti bahwa usaha negatif dilakukan oleh pengaruh luar melawan gaya tarik di antara kedua muatan yang  berlawanan tanda tersebut ketika dibawa saling mendekati –  sebuah gaya harus diberikan dalam arah yang berlawanan dengan perpindahan untuk mencegah terja dinya percepatan q1 menuju q2. Pada gambar berikut, muatan q 1 dihilangkan. Pada posisi awal muatan q1, yaitu titik P, persamaan 25.2 dan 25.13  dapat digunakan untuk mendefenisikan potensial yang ditimbulkan oleh muatan q2, yaitu V = U/q 1 = k q2/r 12. Pernyataan ini sesuai dengan  persamaan 25.11.

12

Jika sistem terdiri dari lebih dari dua partikel bermuatan, energi potensial totalnya dapat ditentukan dengan menghitung U untuk setiap pasangan muatan dan menjumlahkannya secara aljabar. Sebagai contoh, tinjau gambar berikut.

Secara fisis, dapat diinterpretasikan sebagai berikut : andaikan posisi q1tetap seperti pada gambar tetapi q2 dan q 3 berada di jarak tak terhingga. Usaha total yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan q 2 dari jarak tak terhingga ke posisi di dekat q1 adalah k q1q2/r 12, yang merupakan suku pertama pada persamaan 25.14 . Dua suku terakhir menggambarkan usaha yang diperlukan untuk membawa q3 dari jarak tak terhingga mendekati q1 dan q2.

13

BAB Ill PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan. Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada  permukaan tertutup dan dalam ruang.

3.2 Saran

Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang teknik elektro yaitu dalam arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.

14

DAFTAR PUSTAKA

Cekmas Cekdin. 2005. Teori dan Contoh Soal Teknik  Elektro. Andi ; Yogyakarta. Duane Hanselman & Bruce Littlefield. 2000. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis. Andi ; Yogyakarta. Hamdhani, Mohamad. 2005. Rangkaian Listrik . STTTELKOM ; Bandung.

15