Solucionario del libro de Algebra lineal Universidad del d el Valle Valle Departamento de Matemáticas. Profesor: Profesor: Leonel Monroy Estudiantes: Ana Cristina Quintero y Carolina Urreo.
Facultad Facultad de Ingeniería.
!"LUC#"$A%#" DEL P%#ME% CAP#&UL" DE LA! 'U#A! DE AL'E(%A L#$EAL
&%A(A)" &%A(A)" P%E!E$&AD" P%E!E$&AD" E$ EL CU%!" CU%!" DE: AL'E(%A AL'E(%A L#$EAL AL D"CE$&E: LE"$EL M"$%"*
E!&UD#A$&E!: A$A C%#!&#$A QU#$&E%" + C"D#'": ,-/01/ CA%"L#$A U%%E'" %U(#" + C"D#'":,-1123
U$#VE%!#DAD DEL VALLE DEPA%&AME$&" DE MA&EMA&#CA! E$E%" DE ,,4 &A(LA &A(LA DE C"$&E$#D"
Páina
3. !o ! olucionario del capitulo55555555555555555555556
primer
. !olucionario del capitulo555555555555555555555.36
seundo
•
!"LUC#"$A%#" DEL P%#ME% CAP#&UL" DE AL'E(%A L#$EAL
1
3. a7 Ecuaciones lineales: 4x 1+2x 2+x 3-2=0; 4x 1-3x 2-1=x 3+5x 5; x 1
sin
π
X
+ 4 -3=0;
3
2
√ 3 x + π y −12 z −7 3 w= 0 .
Estas ecuaciones son lineales por8ue conservan la forma a 393a95 an9n;< 2
<7 Ecuaci=n lineal >omo?nea:
√ 3 x + π y −12 z −7 3 w= 0 . Es una ecuaci=n
lineal >omo?nea por 8ue el t@rmino independiente <;,. c7 - 4x 1+2x 2+x 3-2=0 coecientes: 6BB3. &?rminos independientes;. - 4x 1-3x 2-1=x 3+5x 5 coecientes: 6B1B3B0. &?rminos independientes: 3 - x 1
sin
π 3
X
+ 4 -3=0 coecientes:
sin
π 3
1
B 4 . &?rmino independiente:1.
{} −1 2 2
d7 La terna 8ue es soluci=n de la ecuaci=n: 69 3991;, es:
por8ue al reemplaar la terna en la ecuaci=n se cumple con la iualdad ,;,. 2 3
e7 Las 6uplas 8ue son soluci=n de la ecuaci=n: √ 3 x + π y −12 z −7 w= 0 .
{} √ 3
son
0 1 4 0
y
{} 12 0 √ 3 0
Por8ue al reemplaarlas se cumple con la iualdad
,;,.
6
f7 !i es posi
{} {} {} −2
3 −6 2
como por eemplo las ternas:
B
4 2
y
1 1 −4
cumpliendo las
tres con la iualdad ,;,. 7
!i
es
posi
encontrar
otra
soluci=n
de
2
√ 3 x + π y −12 z −7 3 w= 0 . como por eemplo la 6upla:
la
{} 4 √ 3 0 1 0
ecuaci=n
por8ue
2 3
4 √ 3 × √ 3 + π × 0 −12 × 1−7 × 0 =0
>7 Ecuaciones >omo?neas asociadas: 693991;,693991;, 693193;910906931991090;,
x 1
sin
π 3
X
+ 4 -3=0
x 1
2
√ 3 x + π y −12 z −7 w= 0 3
sin
π 3
X
+ 4 -3=0 2
√ 3 x + π y −12 z −7 3 w= 0
1. a7 a9;< es una ecuaci=n lineal por8ue tiene la forma: a 393a95 an9n;< <7 $o siempre es posi
allar el valor de 9 en la ecuaci=n a9;< ya 8ue en caso de 8ue a ;, no se puede. •
•
!i es posiomo?nea 8ue no tena soluci=n ya 8ue estas tienen al menos la soluci=n trivial.
0
0. a7 Este es el Fnico sistema >omo?neo 9y;, B 19y;,B por8ue no tienen varia
<7 i7 9y; Coecientes: 3B &?rmino independiente: 91y;1B Coecientes: B1 &?rmino independiente:1 ii7 9y;3 Coecientes:3B &?rmino independiente:3 96y;B Coecientes: B6 &?rmino independiente: iii7 9y;3 Coecientes:3BB &?rmino independiente:3 96y;,B Coecientes:B1 $o tiene t?rmino independiente. iv7 9y;, Coecientes: 3B $o tiene t?rmino independiente. 91y;,B Coecientes: B1 $o tiene t?rmino independiente. c7 $inuna de las tres duplas son soluciones del sistema 9y; B 91y;1 ya 8ue no cumplen con la iualdad las dos ecuaciones lineales simultáneamente. d7 Las duplas soluci=n del sistema 9y;3 B 96y; son G3B37BG1B7B ya 8ue las dos ecuaciones lineales del sistema cumplen simultáneamente con la iualdad. e7 $inuna de las tres duplas son soluciones del sistema 9y;3 B 96y;, ya 8ue no cumplen con la iualdad las dos ecuaciones lineales simultáneamente. f7 $oB no es posiallar otra soluci=nB por8ue el sistema tiene soluci=n Fnica. 7 $oB no es posiallar otra soluci=nB por8ue el sistema es inconsistente. >7 9y; B 91y;1B es consistente 9y;3 B 96y;B es inconsistente 9y;3 96y;,B es inconsistente 9y;, y 91y;,B es consistente i7 9y; B 91y;1B 9y;, B 91y;, /
9y;3 B 96y; 9y;, B 96y;, 9y;3 96y;,B
9y;,B
9y;, y 91y;,B
96y;,B
9y;,B
91y;,
2. $inuno de los tres sistemas son e8uivalentes ya 8ue al aplicarles las operaciones ale
{
−1 −1 −1 −1 1 1
{
−1 −1 −1
1 3
1 0
| }
2
4
| } 4
Cuya matri aumentada asociada es
Cuya matri aumentada asociada es
{
1 3
{
1 0
|}
−1 −1 0 −1 1 0
|}
−1 −1 0 2
4 0
f7 !iB cuando dos sistemas de ecuaciones lineales son e8uivalentes sus matrices asociadas tam
33. !oluci=n eom?trica de cada sistema de ecuaciones lineales: i7 9y;3 y 19y;6
2
El sistema de ecuaciones tiene soluci=n FnicaB con corte en G3B37.
Compro
ii7 9y;3 y 19/y;1
El sistema de lineales tiene soluciones.
ecuaciones innitas
Compro
-
1
Al aplicarle a la matri las siuientes operaciones !e o
{ − |− } 1 0
2 1 0 0
3
f 2 → f 2 ; f 2 + f 1 → f 2
Kay una variaay
innitas soluciones. iii7 9y;3 y 19/y;,.
El sistema de ecuaciones lineales no tiene soluci=n.
Compro
Al aplicarle a la matri las siuientes operaciones
3
f 2 → f 2 ; f 2 + f 1 → f 2
!e o
{ |} 1 0
−2 1
!iendo por tanto un sistema inconsistente.
0 1
31. !oluci=n de los sistemas lineales de ecuaciones: i7
ii7
{} { } 3 2 −2
4 −t −1 + 2 t
t
4
{} −1
iii7
2 9 2
30. 1
1
i7 !i se sustituye a; x y <; y B tendrJamos la ecuaci=n lineal:
( |) 3 4
20 31
B 8ue escalonándolo o
1 Que a;1B por lo tanto 9; 3
1
y 8ue <;B por lo tanto y; 2
ii7 !i se sustituye 9;a y y;1< tendrJamos nuestra ecuaci=n lineal:
(− − | ) 1 3
2 1 41
B 8ue escalonándolo o
Que 9;1B por lo tanto a;1 lna ;ln1
a;
ln 3 ln 2 y 8ue y;B por lo tanto
ln 2 1 ; ln1 ;ln1 <; ln3 <
<
iii7 !i se sustituye c;9 y d;y tendrJamos nuestra ecuaci=n lineal:
( −|) 1 1
13 2 6
B 8ue escalonándolo o
Que c;6B por lo tanto 9 ;6 9 ; y 8ue d;3B por lo tanto y ;3y;.3.
32. $inuna de las matrices i y ii son e8uivalentes. 34. i7 operaciones:
f 2 → f 1, f 3 + f 1 → f 3, f 3 −10 f 2 → f 3 . Con lo cual la matri
8uedarJa:
3,
( ) −1 0 0
3 2 0
ii7 "peraciones:
f 2 + 2 f 1 → f 2, f 2 → f 4, f 2 −f 1 → f 2, f 2 → f 3, f 4 −8 f 3 → f 4 . Con lo
cual la matri 8uedarJa:
( ) 2 0 0 0
−1 3 0 0
4 −1 1 0
iii7 operaciones: I3 IB I1I3I1B I6I3I6B I1II1B I6II6B I1 0I6I1B I1I6. Con lo cual la matri 8uedarJa:
(
5 0 0 0
2 −1 1 0
−1 3 0 0
2 −1 0 0
)
3. a7 i7 $Fmero de ecuaciones:6 $Fmero de varia
33
e7 Conunto soluci=n de los sistemas consistentes: ii7 !iendo la varia
{ } −3 t −2 t
0 0
1. •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Un sistema de ecuaciones G1967 con 1 varia
•
•
Un sistema de ecuaciones G09-7 con / varia
Conclusi=n: En eneral si se tiene un sistema de ecuaciones lineales con m ecuacionesB n varia
Para matrices con mn y mRn: Pa ra una matri mn si ;m el sistema tendrá innitas solucionesB pero no se puede dar 8ue ;n por8ue a cada varia
•
Para matrices cuadradas con m;n: Para una matri cuadrada con m;n se cumple 8ue si m 8ue es e8uivalente a 8ue n el sistema tiene innitas solucionesB mientras 8ue si ;m;n el sistema presenta una soluci=n FnicaB pero si Rm y por tanto Rn el sistema no podrJa presentarse por8ue a cada varia
0. a7 Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene 8ue una de sus ecuaciones es:,;, el tipo de conunto soluci=n es innito ya 8ue serJa linealmente dependiente. <7 Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene 8ue una de sus ecuaciones es:,;0 el sistema es inconsistente. c7 Cuando en un sistema de ecuaciones lineales se tiene 8ue una de sus ecuaciones es:1;1 el sistema tiene Fnica soluci=n.
2. !oluci=n a los sistemas de ecuaciones lineales:
31
a7 El sistema se puede solucionar simultáneamente si se considera a la matri:
(
x
y
z
2 1 0
0 1 1
−4
w
|
−1 0 1 −1 0 −2
0 1
0 2 4
6 0 −2
3 −1 2
)
!i la escalonamos aplicandole las siuientes operaciones: I1G37ISI1 I G3H7I3SI I1ISI1 !e o
{} 7 6 5
6 5 t 6
t
!oluci=n del seundo sistema:
{} 16 + 8 t 6 2−t 3 4 + 2 t 3
t
!oluci=n del tercer sistema:
{} 28 −8 t 6 1−t 3 −5 +2 t 3
t
36
!oluci=n del cuarto sistema:
{} 19 t 6 18− 5 t 12 5 6 t
t
<7 El sistema se puede solucionar simultáneamente si se considera a la matri:
( | ) x
1 2 −3
y
z 1 0
−2 1 −1 − 1 0 0
3
1
3 2
7
6 5
6 0
30
. !"LUC#"$A%#" DEL !E'U$D" CAP#&UL" 37. a7. escalaresB { 5,3,7,2 } <7. vectores
( )( )( ) 5 9 5 0 , 5 , 0 −2 0 0
´ ´ ´ c7. vectores li
( ) 1 −2 1
() 3 2
y (; 3
1
( ) ( )=(− )−( )=(−− )
1 a− a → 2 2 2 −2
a7.
3 − 3 2 2
1
9
2 1
2 3
4 4
( ) (− ) ( ) ( ) (− ) ( ) ( )
b −3 a− b→ 3 −3 1 − 3 = 3 − 3 − 3 = −3
<7.
2
3 3 3 a + b → 4 4 4
c7.
•
( )
−3 → 6
2
2
+
3 3 4 2
6
2
6
( )()
( ) ( )= 1 −2
2
3 4 −3 2
es paralelo a
9 4 3 2
+
( )= 1 −2
a
07. Iut
⃗ mujeres ( 4 )
4 mujeres 7 hombres
→
primiparos
11 personas
hombres ( 7 ) H
+ H
3/
⃗ mujeres ( 2 )
(aloncesto
2 mujeres 3 h ombres
→
primiparos
5 personas
hombres ( 3 ) H
+ H
27
a ¿ A =
() 1 −4 0 2
()() 1 1.5 0.5 → 1 −1 3 5 −1
−2
1 x ;
1−3 x =−2
−4 −3 x =0.5
1 + 2=3
−4 −0.5= 3 x
− 4.5
3 = x 3
2 b ¿ A = x + 3
3
0 −3 x =−1 1 3
= x
= x
() ()( ) 3 −9 3
−2
;
5 → 11 −1 −3
6 3
x + = 2 x =−12 x =5 +
−12
x − 18 3
x =−1 −
18 3
6
=5 x + =−1 3
6 3
x =
33 3
→ 11 x =−3
47
´ 1. Ley conmutativa: !
´ " ;
´ "
´ ! 32
u´ # y ´$ #
!ean
u´ # + $´ #
respectivamente. Entonces
´ !
vector
´ ! y
las iesimas componentes del vector
´ " B como
u´ # + $´ #
´ "
es la iesima componente del es iual a
$´ # + u´ #
por la
propiedad conmutativa de los nFmeros realesB las componentes ´ ´ ´ ´ respectivas de ! " y " ! son iualesB entonces concluimos 8ue
´ !
´ " ;
´ "
´ ! .
Por eemplo: !ea
´= !
´ !
( ) ( ) ´= ( )+( )=( t ´ s y " = 2 t 2s
"
t 2 t
s 2s
)( )( )(
Compro
(
(
)
B con lo cual se concluye 8ue 6. E9iste un Fnico vector
´ & ∈ '
n
)
t + s % s + t = t + s = ´" 2 t + 2 s 2s 2 t 2 t + 2 s
tal 8ue
´ !
)( )
1 + 3= 3 + 1
= 4= 4 8= 8 2 ( 1 )+ 2 ( 3 )=2 ( 3 )+ 2 (1 )
´ !
´ " ;
´ "
´ !
´ !
´ & ;
´ &
´ ´ ! ; !
(ey mo)u(at#$a para(a suma *
´ & ∈ '
!ea
n
cuyas componentes son nulas o carecen de elementos
´ G & =0 ¿ . Por lo tanto al sumar un vector componentes del vector suma de
´ !
´ ! con
´ & ;
´ &
´ & las
´ ! serán las
´ ! dada la e9istencia del modulo en los reales.
Por eemplo: !ean
( ) ()
´ = t y ´& = 0 ! 2 t 0
3-
´= "
´ !
´ ´ ! B e9iste un Fnico vector P
0. Para cada
´ P
( )() ( )
t + 0 = t = ´! 2 t 2 t 0
∈ '
n
tal 8ue
´ ´ ! P ;
´ ! ;, E9istencia del opuesto para la suma. &´ y ´" ∈ ' n de iual manitud pero sentidos opuestosB de
!ean
tal forma 8ue al sumar
u´ # y ´ p#
se enere el vector nulo o vector
& mencionado en la propiedad anterior.
Por eemplo:
!ean
( ) ( ) ´= ( )+(− − )=(
´ = t y P ´ = − t ! 2 t −2 t t 2 t
´ ! P
/.
´ ∈ ' + !
n
t 2 t
)()
t −t ´ = 0 = & 2 t −2 t 0
Ley clausurativa para el producto por escalar
´ ∈ 'n ! y
!iendo
+ u´ #
multiplicar
+ un escalar
∈ '
❑
B se cumple 8ue al
n el vector resultante pertenecerá a ' .
Por eemplo:
( ) = ´= ( )=( )=( )
!ean
´= !
+ ! 4
este 2.
t 2 t
t 2 t
∈ '
n
y
4 ×t 8 × t
+ 4 4 t 8 t
el cual es mFltiplo de
´ ! y al iual 8ue
.
+ ( ´ ! + ´ " )=+ ( ´ ! )+ + ( ´ " ) Ley distri
la suma de vectores:
34
!ean
u´ # y ´$ #
las iesimas componentes del vector
respectivamente. Entonces esimas componentes de
u´ # + $´ #
$´ # + u´ #
;
´ y ´" ! y siendo
´ ! y
´ "
es la suma de las i + un escalar
∈ '
B
por la e9istencia de la propiedad distri
cumple 8ue Por eemplo.
+ ( ´ ! + ´ " )=+ ( ´ ! )+ + ( ´ " )
( ) ´ =( ) ( ´ + ´ )= ( ) +( ) =( ( + ) ) =( [ ] (+ )
!ea
´= !
+ ! "
•
t y " 2 t +
t 2 t
s 2s
s 2s
+ t s + 2 t 2 s
) ( ) ( )
+t + +s =+ t + + s =+ ( ´! ) + + ( ´" ) + 2 t + + 2 s 2 t 2s
´ ´ ´ G + + ¿ ! = + ! + ! !ean
+ y dos escalares reales y
´ ∈ 'n ! B por la e9istencia de
la ley distri
´ + ! ´ + + ¿ ´! = + ! .
Por eemplo:
( ) ( + )( )
!ea
+
´= !
t 2 t
t 2 t
;
( + + ) t + ( + + ) 2 t ; +t + t + + 2 t + 2 t ; + ( t + 2 t ) + ( t + 2 t )
´ ´ ; + ! + ! •
´ ´ ´ G + + ¿ ! = + ( ! ) ; (+ ! ) ,
•
+ y dos escalares reales y
!ean
´ ∈ 'n ! B por la asociatividad
y conmutatividad del producto de los reales se cumple 8ue G
´ ´ ) + + ¿ ´! = + ( ! ; (+ ! ) . Por eemplo:
( ) ( )= ( )= ( ) ( )=( )=( ) ( ) ´= + =4, =2 y !
!ean: 6
.2 *
t 2 t
t ; 8. 2 t
;
•
4
.
8 t 16 t
2 t 4 t
2
t 2 t
4 t 8 t
8 t 16 t
8 t 16 t
Las propiedades 3,31 se cumplen dada la e9istencia de los escalares
+ =1 y = 0 en los nFmeros reales.
337 'raca del vector
•
´ PQ :
(− )−(− )=(− )
´ = PQ
1 2
1 3
2 5
3
•
´ 'ráca del vector PQ :
() () ()
´ = PQ
3 2 5
−
2 0 1
=
1 2 4
317
() ( ) ( | ) −9
a7.
−13
b = −4
25 0 −1
y
2
−13 −9 0 11 −22 f 2 + 2 f 1 → f 2 0 −1 2
( |)
−13 −9 2 5 −4 f 3 0 −1 2
1 11
f 2 → f 3
( | ) −13 −9 0 11 −22 00
0
e( $e-tor b es-omb#na-#on (#nea(
<7.
(
b = −2 b a +5 b
(
) y (
−1−2 35
| )
) ( | )
−1−2 −2 f 2 +3 f 1 → f 2 −1−2 −2 35
5
01
1
e( $e-tor b es-omb#na-#on (#nea(
() () ( | ) (| )
307 !ea
2 3 6 −3
´= !
5 3 4 0 8 −3 −4 0
2 5 3 ´= 4 y " 6 8 −3 −4
1 f 2 + f 4 → f 2 −2 → f 4 + f 2 → f 4 → 3 f 3 −2 f 2 → f 3 0
2 0 0 0
5 3 0 0 0 −3 0 0
1 −2 7 −2
con lo cual al ser el sistema
inconsistente se prue
327 Para
+ =0 se o
.en={ e 1 ,e 2 , e3 } = '
.en=
´ ! ni a
´ " .
{( )( )( )} 0 1 0
1 0 0 0 0 1
= ' 3
3
3-7
() () () ( )( ) ( )( )
a=
0 1 0 1 −2 b = −2 - = 12 2 a−b + 4 1 0 24
0 2 −2 1
−
1 −2 0
0 1 + 12 4 24
=
−1 1 8
1
b ¿ * a + 2 b− 2
1
1 2
( ) ( )( )( ) 0 −2 1
1 + 2 −2 0
0 12 24
−
=
2 −17 24.5
- ¿ * E9isten innitas com
(
( )( )( ) 0 −2 1
1 0 1 −1 + −2 = −4 → f 1 → f 3 −2 −2 0
1
0
1
|)
(
24 1 1 1 f f → f f f → f 2 2 1 2, 3 2 3 + + 12 −4 0 2 0 1 0
0 −2 0
|)
24 1 60 −2 6 1
Es com
(
1 e ¿ * −2 0
|)(
0 −2 1
24 0 12 0 0 0
1 0 0
0 −2 0
|)
24 0 60 0 6 0
Como el sistema es inconsistenteB no es
com
f ¿ * u=2 a −3 b + -
( ) ( ) ( )( ) ( | )( | ) 0 2 −2 1 1 −2 0
1 −3 −2 0
0 −2 1
0 2 + 12 3 24
24 −3 12 10 0 18
=
1 0 0
−3 10 18
0 −2 0
24 −3 60 4 6 23
Como el sistema es consistenteB si es una
com
( )(
1 /¿* 1 1
1 −2 0
0 −2 1
|)(
24 1 12 1 0 1
1 0 0
0 −2 0
|)
24 1 60 3 6 2.5
Es com
h7 El proacemos una matriB y si al escalonarla esta es consistenteB el vectorB o los vectores son com
pues es una -omb#na-on (#nea( )e este . 6
() () () −1
3.
u= 0 , $ = 3
−2 0 3 , w = 2 , h= { u , $ } −5 1
a ¿ * Verdadera.
b 7. Ialsa. - ¿ * Verdadera
() ()()( |) −1 0 0 =∝ 0 + 2 → 0 −5 3 3 3
−1
−1
0 −1 2 2 0 3 f 1 + f 3 → f 2 + f 3 → f 3 5 −5 3
( |) −1 0 0
0 −1 2 0 0 0
Como el sistema tiene soluci=n podemos aseurar 8ue el vector V esta en K. ) ¿ * Ialsa
() ()()( |) −1 0 2 =+ 0 + 2 → 0 −5 1 3 3
−2
−1
0 −2 2 2 2 f 3 + 3 f 1 → f 3, f 2 + f 3 → f 3 5 −5 1
( |) −1 0 0
0 −2 2 2 0 −7
Como el sistema es inconsistente G,O27B el vector T no está en el
.en { H }
e ¿ * Ialsa
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) −1
2 u − $→.en { H } 2 0 3
=
−2 0 6
−
0 2 −5
−2 −2 −1 = −2 → −2 =+ 0 + 1
( |) −1 0 3
0 −2 2 2 −2 3 f 1 + f 3 → f 3, f 3 + f 2 → f 3 5 −5 1
1
3
0 2 −5
( |) −1 0 0
−2 0 −2 2 1 0 5
1
Como el sistema es inconsistente G,O
5
7B el vector uv no está en el
.en { H } f ¿ * Ialsa
( ) ( )( ) ( ) ( ) −1
−2
−7
3
1
6
u + 3 w→.en { H } → 0 + 3 2 = 6
−1
−2
3
1
→ + 0 + 2
0
( |)
( | )
−1 −2 −7 −1 −2 −7 0 −2 6 f 3 + 3 f 1 → f 3, f 2 → f 3, f 3 −f 1 → f 3 0 −5 −15 3
1
6
0
0
Como el sistema es inconsistente G,O317B el vector
13
u + 3 w no está en el
.en { H } 17 !i
´ ! un vector de
'
2
el
.en={ u , $ } y e(.en= {u , 2 u } son el conunto de
com
´, ! lo cual eom?tricamente se verJa
como puntos con coordenadas x , y 8ue al unirlas forman una recta en el plano cartesiano.
$
¿¿ ¿ .en {u , $ } ,=.en { u , $ , u + $ } ya 8ue estos conuntos son ( u ) ¿ El ¿ ⃗
07.
⃗
eom?tricamente una misma recta en r 1. { u + $ } Es una com
{u , $ } *
27. conunto 'enerador
.en {u , 2 u , $ , 2 u + $ } , La Fnica forma en 8ue el
.en {u , $ } , se pue)a es-r#b#r -omoun -onjunto /enera)or -onmenos -ant#)a) )ee(ementos
B es
si el uno es mFltiplo del otro.
´ ´ 47. .en {u , $ } , u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u $ 2 $ 3 $ 4 $ .en {u + $ ,u −$ } ,
u + $|2 u + 2´ $|3 u + 3 $ u− $ 2 u −2 $ 3 u −3 $ 4 u −4 $ 5 u −5 $ 6 u −6 $ 7 u−7 $
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
En efecto si u y v forman toda la rectaB eom?tricamente am
- ¿ * IalsoB por 8ue de ser asJ el sistema no tendrJa innitas soluciones.
) ¿ * IalsoB por8ue como el sistema tiene innitas soluciones dea
una varia
h ¿ * Podemos decir 8ue no tiene n pivotes.
107.
()()( ) −1
a ¿ * ,
3 2 +2 5 −1 0 0 −2
−5 + 3 −1 = z 1 −41
() 21 13 −5 123
= z
b¿*
( ) ( ) ( )( ) −1
3
3 2 +0 5 −1 0 2 0
−5 −4 + 1 −1 = − 3 1 41
1 −43
El vector a no pertenece al espacio nulo de A.
Al mismo tiempo tampoco pertenece al espacio columnaB ya 8ue es n vector de %1 y Aes un vector de % 6 - ¿*
( ) ( ) ( ) () −1
,
3 2 +0 5 −1 0 2 0
−5 0 + 0 −1 = 0 1 41
0 0
El vector G,B,B,7 si pertenece al espacio nulo de A
Pero este mismo vector n pertenece al espacio columna de AB ya 8ue al resolver la matri nos da 8ue es inconsistente. )¿ . 2
( ) ( ) ( ) ( )() −1
,
3 2 +2 5 −1 0 2 0
−5 + 3 −1 = 1 41
21 0 13 1 0 −5 0 123 0
Entonces el vector < n pertenece al espacio
nulo de AB pero en cam
127.
( )
( )
−3 3−5 −33 −5 a ¿ * 2 5−1 f 4 + 2 f 1 → f 4, f 2 − f 1 → f 2, f 2 + f 3 → f 2, f 3 + f 4 → f 3, f 4 + f 3 → f 4 0−6 10 1−8 6 000 52 4
000
Para esta matri la Fltima columna no es LiB lo deducimos al ver no tiene pivoteB por lo tanto el sistema es Ld. b ¿ * Para sa
escalonar la matriB y dependiendo de las varia
a ¿ * Al ser el ultimo vector ceroB eso nos dice 8ue o va tener varia
pivotalB entoncesB tiene innitas soluciones GLd7. b¿*-¿*) ¿* 637 E9presiones
a ¿ * (u * $ ) * w b ¿ * (u * $ ) w - ¿ * ( u * $ )( u * w ) ) ¿ *( u+ $ ) * w e ¿ * ( u * $ )+ w
607.
()() −1
4
5
2
a ¿ *u = 2 $ = −3
!on ortoonalesB por8ue sin ser vectores nulos su
producto es cero.
( ) (− )
u= −7 $ = 0 0
!on ortoonalesB por8ue sin ser vectores nulos su producto
3
es cero. u=
() ( ) 4 −1 6 $= 2 2 5 6 −3
!on ortoonalesB por8ue sin ser vectores nulos su producto
es cero. 627.
( ) (− ) ( ) a ¿ * u * $ =¿ (− ) (− )=(− ) u * $ = ( − ) * ( ) =( ) − − =( − ) ( )−(− ) ( )=(− − # ¿ u = −5 $ = 3 w = 0 2
1
3
5 * 3 2 1
1 2
7 2
u*$ u*w
,
1 2
5 2
7 2
3 1
5 * 3 2 1
.36 $ − 0.36 = 0.36
( )
17
91 4
5 0 * 2 3
−5 −0.36 2
23 )
( )=(− 3 −1
1.8 )
4
b ¿ * $orma
(− )
5 , ∥u ∥= √ 25 + 4 =√ 29 2
u=¿
3 u= 3
( )
−5 = ,∥ 3 u ∥ =√ 225 + 36= √ 261 2
2u+ $=2
(− )+(− )=(− )= 5 2
3 1
7 3
, ∥ 2 u + $ ∥= √ 49 + 9 =√ 58
( ) (− ) ( )
u− $ = −5 − 3 = −8 =,∥u − $ ∥ =√ 65− 9=√ 73 2
1
3
- ¿ * Anulo •
Entre
u y$
( )( )
u * $ = −5 * 2
cos 3 =
•
3 −1
2
2
( ) ( )= 3 * 3 −1 −1
10
u y2$
( )( )
u .2 $ = −5
3 .2 2 −1
•
( ) ( )
=(−17 ) ∥ u ∥ = −5 * −5 =29 y ∥ $ ∥2
u*$ −17 → 3= 176.6 4 = ∥ u ∥∥ $ ∥ √ 29 * √ 10
Entre
cos 3 =
2
2
( ) ( )
=(−34 ) ∥ u ∥ = −5 * −5 =29 y ∥ 2 $ ∥2 2
2
( ) ( )= 6 * 6 −2 −2
40
u*$ −34 →3 = =0.54 4 ∥ u ∥∥ $ ∥ √ 29 * √ 40
Entre $ y
−3 $
1,
2
( ) ( )
$ *−3 $ =
cos 3 =
•
3 *−3 3 −1 −1
( ) ( )
= 10 y ∥ −3 $ ∥2 −9 * −9 =90 3
3
uyw
( ) ( )
u * w= − 5 * 2
0 3
2
( ) ( )
=6 ∥ $ ∥ = −5 * −5 =29 y ∥w ∥2 2
2
( ) ( )= 0 0 * 3 3
9
6 u*$ = →3 =0.93 4 ∥ u ∥∥ $ ∥ √ 29 * √ 9
Entre
u y $ +w 2
( ) ( ) ( )
u y $ + w = −5 * 2
cos 3 =
( )( ) 3 * 3 −1 −1
u*$ −30 = →3 =0.54 4 ∥ u ∥∥ $ ∥ √ 10 * √ 90
Entre
cos 3 =
=(−30 ) ∥ $ ∥ =
3 −1
+
0 3
( ) ( )
=−14 ∥u ∥ = −5 * −5 2
2
29 y ∥$ + w∥
2
( ) ( )=− 0 * 0 − 3 −3
9
u*$ −14 = →3 =0.64 4 ∥ u ∥∥ $ ∥ √ 29 * √ 9
) ¿ *$un#tar#o=
( )
1 1 $ → u= −5 ∥ $ ∥ =√ 29 u =$ * → $ ∥$ ∥ ∥ $∥ 2 √ 29
() −5
( ) √
1 u= −5 * = √ 29 → 2
29
2
√ 29
() ()
f ¿ * w =
Vector unitario su norma es ;3
→
( )
0 0 0 por −1 , !i puede e9istir otro vector 3 w= 3 9 ( sent#)o-ontrar#o ) −9
13
( ) (− )
j ¿ *u = −5 $ = 3 proy 2
1
u=
V
( ) u*$
2
∥$ ∥
*$
2
() −51
−17 3 u * $ = −5 * 3 =(−17 ) ∥ $ ∥ =10 → * = 10
( ) (− ) 2
(− )
10
1
1
( )( ) −51
$ − proy "- =¿
5 ¿ *
V
proy
(− )
u ¿ "-= 3 −¿ 1
U
17 10
10 17 10
=
81 10 −27 10
( )
$=
u* $ *u 2 ∥u ∥
() 85
2
−17 −5 u * $ = −5 * 3 =( −17 ) ∥ $ ∥ =29 → * = 29
( ) (− ) 2
( )
29
1
−34
2
29
u− proy "- =¿
( ¿ * proy
U
v
( )
$ ¿ "- = −5 −¿ 2
u=
( ) u*$
∥ u∥
( )( ) 85 29 −34 29
−230
=
29 −68 29
*u
2
() 170
2 $=
(− )
2
6 u * $ =−34 ∥ $ ∥ 2
=40 →
−34 −5 * = 40
( ) 2
40 −68 40
1
( )( ) −370
170
u− proy m ¿ * "- =¿
v
( )
u ¿ "-= −5 −¿ 2
40 −68 40
=
40 12 40
647. a ¿ * %ecta b ¿ * %ecta
- ¿ * Kiperplano ) ¿ * %ecta
e ¿ * Kiperplano f ¿ * Plano
()
−4 ´ → Q− P= −5 → PQ 037. Vector director de la recta −4 0
()( ) ( ) x 1 3 −4 x 2 = −5 + t −5 0 −4 x 3 2 0 x 4
11
