BAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret Amy Arimbi PENDAHULUAN
Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multitafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan.Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter,mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Materi dalam modul ini disajikan secara sistematis, mulai dari hal yang konkret ke yang abstrak dan dari yang sederhana ke yang kompleks. Soal-soal dalam modul ini pun disajikan dengan sangat variatif, baik jenisnya maupun tingkat kesulitannya. Dengan demikian, siswa diharapkan mampu menguasai konsep yang disajikan dengan baik, bukan sekadar menghafal konsep dan mengerjakan soal dengan cepat. Setelah mempelajari materi Bab 2 ini, Kalian diharapkan dapat memahami tentang pola bilangan, baris dan deret. Secara lebih terperinci, Kalian diharapkan dapat: 1. Memahami pola bilangan ganjil, genap, segitiga, persegi, persegi panjang, dan segitiga pascal 2. Memahami jumlah n suku pertama barisan dan deret aritmetika 3. Memahami jumlah n suku pertama barisan dan deret geometri 4. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan bilangan dan barisan konfigurasi objek
Untuk mencapai tujuan di atas, Kalian dituntut untuk membaca setiap uraian materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan dan tes formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi Kalian dan kesuksesan menanti Kalian.
Sub Bab 1 POLA BILANGAN
Pernahkah anda bermain ular tangga? Untuk dapat memainkan permainan ular tangga anda memerlukan sebuah dadu. Jika anda perhatikan, di setiap dadu tersebut memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan digambarkan dalam bentuk bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik), seperti gambar berikut:
Bulatan-bulatan kecik tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu bulatan mewakili bagian 1, dua bulatan mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam bulatan yang mewakili bilangan 6. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar ata u bangun ruang.
Jika mengamati dadu tersebut, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan
pada
dadu
tersebut
membentuk
suatu
barisan.
Jadi pola
bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu yang akan membentuk suatu
barisan bilangan yang teratur.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak terdapat ukuran-ukuran pada benda yang membentuk pola bilangan. bilangan. Semakin indah bentuk suatu benda, maka semakin teratur pola bilangan yang dimilikinya. Contoh Contoh pola bilangan dalam kehidupan kehidupan sehari-hari, diantaranya:
Sub Bab 1 POLA BILANGAN
Pernahkah anda bermain ular tangga? Untuk dapat memainkan permainan ular tangga anda memerlukan sebuah dadu. Jika anda perhatikan, di setiap dadu tersebut memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan digambarkan dalam bentuk bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik), seperti gambar berikut:
Bulatan-bulatan kecik tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu bulatan mewakili bagian 1, dua bulatan mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam bulatan yang mewakili bilangan 6. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar ata u bangun ruang.
Jika mengamati dadu tersebut, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan
pada
dadu
tersebut
membentuk
suatu
barisan.
Jadi pola
bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu yang akan membentuk suatu
barisan bilangan yang teratur.
Dalam kehidupan sehari-hari banyak terdapat ukuran-ukuran pada benda yang membentuk pola bilangan. bilangan. Semakin indah bentuk suatu benda, maka semakin teratur pola bilangan yang dimilikinya. Contoh Contoh pola bilangan dalam kehidupan kehidupan sehari-hari, diantaranya:
Macam-macam pola bilangan
1. Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan bilangan ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .
Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….
Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
Rumus mencari suku ke ke-n adalah
= 2 1 Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah =
Contoh : 1 , 3 , 5 , 7 , . . . , ke 10 Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ? Jawab :
= 2 1 = 210 1 =201 = 19 2. Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya.
Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..
Rumus untuk mencari suku ke-n adalah
= 2 Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = +
Contoh : 2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ? Jawab :
= 2 = 2 × 1 0 = 2 0
3. Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk sebuah pola bilangan segitiga .
Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
Rumus mencari suku ke-n adalah
= + 1 Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = + 1 + 2 6
Contoh Soal : Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ? Jawab :
= 12 + 1 = 12 × 10 10 + 1 = 5 ( 11 ) = 55 4. Pola Bilangan Persegi
Pola bilangan persegi yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu pola persegi .
Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
Rumus mencari suku ke-n adalah
Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah
= = 6 + 12 + 1
Contoh : Dari suatu barisan bilangan 1 , 2 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . ,ke 10 . Berapakah pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ? Jawab :
= = 10 =100 5. Pola Bilangan Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi panjang
Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
Rumus mencari suku ke-n adalah
= + 1 Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = + 1 + 2
Contoh : Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola bilangan persegi ke 10 ? Jawab :
= + 1 = 10 10 + 1 =10 11 =110 6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah
2−
Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. 1. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. 2. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. 3. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. 4. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
Contoh: Pada pola bilangan segitiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke -7 adalah ... Pembahasan:
Cara 1: Pola bilangan Pascal sebagai berikut 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
Jumlah bilangan pada garis ke 7 = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 Cara 2: jumlah bilangan ke-7 pada segitiga Pascal
7. Pola Bilangan Fibonacci
Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.
Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..
2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 3 + 2 dan seterusnya
Rumus mencari suku ke-n adalah
= – 1 + 2
8. Pola Bilangan Pangkat Tiga
Pola bilangan pangkat tiga adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya
Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512, 134217728, …..
Keterangan : 8 diperoleh dari hasil 2 pangkat tiga, 512 diperoleh dari hasil 8 pangkat tiga, dan seterusnya 9. Pola Bilangan Aritmatika
Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dimana bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama.
Contoh pola bilangan aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, ….
Suku pertama dalam bilangan aritmatika dapat disebut dengan awal (a) atau sedangkan suku kedua adalah
dan seterusnya.
,
Selisih dalam barisan aritmatika disebut dengan beda dan dilambangkan dengan b.
Karena bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama, maka
=
= = 4 = 5 4 = 6 5 = 3 Rumus mencari suku ke-n adalah = + – 1 Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = + = 2 + 1 10. Pola Bilangan Geometri
Pada pola bilangan geometri, suatu bilangan merupakan hasil perkalian bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap.
Rumus suku ke-n adalah
= −
Latihan
Untuk memantapkan pemahaman Kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di bawah ini! 1. Sebuah barisan bilangan dituliskan sebagai berikut: 1234567891011121314151617181920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-2004? 2. Perhatikan
susunan
lantai
dari
beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping ini. Susunan
persegi
tersebut
membentuk
suatu pola tertentu.
Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7? 3. Diketahui pola barisan bilangan pada barisan tersebut!
, 6 , , , , 4 , …, Tentukanlah
4. Suatu barisan dengan pola deret kemudian tentukanlah suku ke-10!
banyak suku
= 2 3. Tentukan pola barisan tersebut
5. Perhatikan barisan huruf berikut: A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... Berdasarkan pola barisan tersebut, tentukanlah huruf pada urutan ke 864
Petunjuk Jawaban Latihan
1. Kalian cermati kembali Pola bilangan 2. Pendapat Kalian dapat saja berbeda-beda. Kalian dapat menerima atau menolak pendapat tersebut dengan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan Kalian mengemukakan pendapat, terlebih dahulu kaji kembali kapan suatu masalah itu timbul pada seseorang. 3. Sebelum diskusi, ada baiknya Kalian mencermati Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Sekolah Dasar terutama yang berkaitan dengan kompetensi yang harus dikuasai siswa Sekolah Dasar. 4. Untuk menjawab soal ini, Kalian harus memahami terlebih dahulu pengertian soal rutin dan soal non rutin sehingga Kalian dapat menentukan karakteristik masing-masing jenis soal tersebut. 5. Berbekal pemahaman Kalian tentang karakteristik soal rutin dan soal non rutin yang dikaitkan dengan materi pelajaran matematika pada setiap jenjang kelas di Sekolah Dasar, Kalian akan dapat mengkategorikan soal pemecahan masalah pada masingmasing tingkatan tersebut.
RANGKUMAN
Pola bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu yang akan membentuk suatu barisan bilangan yang teratur.
Macam-macam pola bilangan yaitu pola bilangan ganjil, genap, segitiga, persegi, persegi panjang, segitiga pascal, fibonacci, pangkat tiga, aritmatika dan geometri
Sub Bab 2 BARISAN DAN DERET BILANGAN
Barisan bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut: a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, … c. 3, 6, 9, 12, 15, … Jika kamu perhatikan, bilangn-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangn-bilangan tersebut disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Suku pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U 1 = suku ke-1 = 2 U 2 = suku ke-2 = 4 U 3 = suku ke-3 = 6 U 4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku Contoh soal
Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Sebutkan satu persatu suku yang dimaksud Penyelesaian : a.
terdapat 8 suku barisan dalam barisan dalam bilangan tersebut.
b.
U 1 =1
U 5 =9
U 2 = 3
U 6 =11
U 3 = 5
U 7 =13
U 4 = 7
U 8 =15
Jadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang di urutkan menurut aturan
, , 4,…, setiap unsur pada bilangan di atas disebut suku barisan. Suku ke-n dari auatu barisan ditulis dengan simbol (n bilangan asli). Dengan demikian, disebut suku pertama atau , disebut suku kedua atau , dan disebut suku ke-n atau . tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah
Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi 2 bagian, barisan aritmatika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini. 1. Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika (barisan hitung) adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. Barisan aritmatika merupakan suatu barisan bilangan, dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih yang tetap ini dilambangkan b. Diketahui barisan bilangan: 1
4 +3
7 +3
10 +3
13 +3
16 +3
19 +3
22 +3
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmatika. Diketahui barisan bilangan: 8
4 -4
0 -4
-4 -4
-8 -4
-12 -4
-16 -4
-20 -4
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara 2 suku barisan yang berurutan, yaitu -4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan ari tmatika.
Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmatika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika naik. Sebaliknya, jika b bernilai negative maka barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika turun. Contoh soal
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut: a. 30, 32, 34, 36, 38, … b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, … Penyelesaian: a.
30
32
+2
34
+2
36
38
+2
+2
Merupakan barisan aritmatika naik karena bedanya 2 b.
18
15 -3
12 -3
9 -3
6 -3
3 -3
Merupakan barisan aritmatika turun karena bedanya -3 Kamu telah memahami barisan aritmatika naik dan turun. Sekarang, bagaimana cara mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut. U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, U 6,..., U n-1, U n Dari barisan tersebut diperoleh U 1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a) U 2 = U 1 + b = a + b U 3 = U 2 + b = (a + b) + b = a + 2b U 4 = U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U 5 = U 4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b U 6 = U 4 + b + (a + 4b) + b = a + 5b . . U n = U n-1 + b = (a + (n – 2) b) + b = a + (n - 1) b
Jadi, rumus ke-n barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut: U n = a + (n – 1) b Keterangan: U n = suku ke-n
b = beda
a = suku pertama
n = nomor suku
Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmatika, coba kamu perhatikan uraian berikut. U 2 = U 1 + b maka b = U 2 – U 1 U 3 = U 2 + b maka b = U 3 – U 2 U 4 = U 3 + b maka b = U 4 – U 3 U 5 = U 4 + b maka b = U 5 – U 4 . . . U n = U n-1 + b maka b = U n – U n-1 Jadi, beda suatu barisan aritmatika dinyatakan sebagai berikut.
= − Contoh soal
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, … Tentukan: a. jenis barisan aritmatikanya b. suku kedua belas barisan tersebut. Penyelesaian: a. untuk menentukan jenis barisan aritmatika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U 2 - U 1 = 13 – 10 = 3 Oleh karena b>0, barisan aritmatika tersebut merupakan barisan aritmatika naik. b. untuk mencari suku kedua belas (U 12), dilakukan cara sebagai berikut. U n = a + (n-1) b maka U 12 = 10 + (12-1) 3 = 10 + (11) 3 = 10 + 33 = 43 Jadi, suku keduabelas barisan tersebut adalah 43.
Aplikasi Barisan Aritmetika dalam kehidupan
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan barisan aritmatika. Berikut contohnya:
Contoh aplikasi barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari:
Setiap bulan, Gofur selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabbung Rp12.000,00,. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1000,00, setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Gofur (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12 Penyelesaian: a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Gofur 8 bulan pertama adalah sebagai berikut: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui : U1 = 10 b = 1 U12 = a + ( n – 1 ) = 10 + ( 12 – 1 ) 1 = 10 + 11 = 21 Jadi, uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12 adalah Rp 21.000,00.
2. Barisan Geometri
Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang memmpunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmatika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r ). artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Pelajari uraian berikut:
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut: 3
6 x2
12 x2
24 x2
48 x2
96 x2
192 x2
barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r=2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut: 81
27
9
3
x
x
1
x
x
x
x
barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu atau r = . Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.
Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun. Contoh soal
Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun.
5 5 5 4 6, 64, …
a. 100, 20, 5, ,
b. 1, 5, 25, 125, 625, … Penyelesaian: a. 100
20
5 4
5
4
4
x
4
x
5 6 4
x
x
5 64 4
x
4
merupakan barisan geometri turun karena rasionya .
b. 1
5 x5
25 x5
125 x5
625
x5
merupakan barisan geometri naik karena rasionya 5.
Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut, U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, U 6, …, U n-1, U n Dari barisan tersebut diperoleh U 1=a U 2= U 1 x r = axr = ar U 3= U 2 x r = (axr)xr= ar 2 U 4= U 3 x r = (axr 2) = ar 3 U 5= U 4 x r = (axr 3) = ar 4
U 2= U 1 x r = (axr 4) = ar 5 . U n= Un-1 x r = (axr n-2)x r = ar n-1 Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut: U n = ar n-1
Keterangan: U n = suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
n = banyak suku
Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut.
U U U 3=U 2 x r maka r = U4 U 4=U 3 x r maka r = 5 U 2=U 1 x r maka r =
. U n=U n-1 x r maka r =
Un −
Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai ber ikut
r=
n n−
Contoh soal
Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
7, …
18, 6, 2, , ,
Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Penyelesaian:
6 maka r = = = − 8 dengan rasio , suku kesepuluh barisan tersebut adalah 8 U n = ar n-1 maka U 10 = 18 x 10-1 =18 x 9 = 18 x = = .68 .68 .87 r=
Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah
.87
Aplikasi Barisan Geometri dalam kehidupan Setiap awal bulan Weni menabung di bank BRI sebesar Rp.500.000,-. Jika Bank memberikan bunga 2% per bulan dengan asumsi tidak ada biaya pada proses penabungan. Tentukan jumlah semua tabungan Weni setelah menabung selama 1 tahun! Jawab: Sebelum menjawab soal diatas, terlebih dahulu mencari rumus modal akhir dengan menggunakan bunga majemuk, yaitu: Suatu modal M dengan bunga p% per bulan, maka setelah: Satu bulan modal menjadi
= M + Bunga
M1
=M+Mxp = M (1 + P)
Dua bulan modal menjadi M2
= M1 + Bunga = M (1 + p) + M (1 + p) p = M (1 + P)(1 + P) = M (1 + p)2
Tiga bulan modal menjadi M3
= M2 + Bunga = M (1 + p)2 + M (1 + p) 2 p = M (1 + P) 2(1 + P) = M (1 + p) 3
Dari pila uraian diatas, maka pada n bulan modal menjadi: Mn = M (1 + p) n. setelah satu tahun simpanan Weni pada: Bulan pertama = 500.000 ( 1 + 0,02) 12 = 500.000 (1,02) 12 Bulan ke-2
= 500.000 (1,02) 11
Bulan ke-3
= 500.000 (1,02) 10 dan seterusnya, sehingga membentuk deret:
500.000 (1,02) 12 + 500.000 (1,02) 11 + 500.000 (1,02) 10 + … + 500.000 (1,02) Dari deret diatas, dapat diketahui: suku pertama a = 500.000 (1,02) 12, rasio (r) = 1,02 dan banyaknya suku n = 12, maka jumlah semua sukunya adalah
− − 5. ,, − S n = ,− S n =
S n =
5. ,68474 ,
S n = Rp. 6.840.165,76
Deret Bilangan
Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmatika ataupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 5, 8, 11, 14, 17, …, U n Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + U n Bentuk seperti ini disebut deret bilangan. Jadi, deret bilangan adalah jumlah sukusuku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.
1. Deret Aritmatika Kalian telah mengetahui definisi barisan aritmatika. Jumlah seluruh suku-sukunya dinamakan deret aritmatika. Jadi, deret aritmatika atau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmatika. Jika a,a + b,a + 2b,…, a+(n-1)b adalah barisan aritmatika baku maka a + (a+b) + (a+2b) + … + (a+(n-1)b) disebut deret aritmatika baku. Coba kamu perhatikan barisan aritmatikaa berikut. 3, 6, 9, 12, 15, 18, …, U n Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmatika sebagai berikut. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + … + U n Jadi, deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmatika.
Contoh soal
Suatu barisan aritmatika adalah memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmatika dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Barisan aritmatikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, U n
Deret aritmatikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + … + U n
Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmatika tersebut? Untuk deret aritmatika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya.
Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika maka
Sn = U 1 + U 2+ U 3+ U 4+ U 5+…+ U n = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + … + U n Kemudian,
S n = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + … + U n
S n = U n + (U n – b) + (U n - 2b) + (U n – 3b) + (U n – 4b) + … + a 2S n= (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) + (a + U ) + … + (a + U ) Sebanyak n kali
2S n = n (a + U n)
S n = n (a + U n) = (a + U n)
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmatika adalah sebagai berikut.
S n = (a + U n) Oleh karena U n = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.
S n = (2a + (n – 1) b) Keterangan: S n = jumlah n suku a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku
Sekarang kamu akan mempelajari sifat-sifat deret aritmatika. Suatu deret aritmatika memiliki sifat-sifat sebagai berikut. (1) Jika diketahui deret aritmatika U 1 + U 2 + U 3 + … + U n Maka U 2 - U 1 = U 3 – U 2 = U 4 – U 3 = … = U n – U n-1 (2) Jika U 1, U 2, dan U 3 merupakan suku-suku deret aritmatika Maka 2U 2 = U 1 + U 3 (3) Jika U m dan U n adalah suku-sukun deret aritmatika Maka U m = U n + (m – n) b
Contoh soal
Dari satu deret aritmetika diketahui bahwa suku ke empatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan beda deret tersebut! Penyelesaian: Diketahui U 4 = 38 dan U 10 = 92 Untuk mencari beda: U m = U n + (m-n)b maka b =
− −4 −8 54 − = −4 = 6 = 6 = 9
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9.
Aplikasi Deret Aritmetika dalam kehidupan
Banyak permasalahan dalam kehisupan sehari-hari yang bias diselesaikan dengan menggunakan konsep deret artimatika dalam menyelesaikan masalah yang ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengubah masalah nyata tersebut kedalam model matematika, setelah itu dicari solusinya.
Solusi yang didapat diinterpretasikan kembali kemasalah nyata yang tadi dimodelkan, sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata. Agar dapat memahami konsep deret aritmatika, perhatikan uraian berikut.
Contoh soal
Seorang pegawai mendapat gaji pertama Rp.1000.000,- setiap ia mendapatkan kenaikan gaji Rp.100.000,-. Berapakah jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut dalam waktu 10 bulan. Jika anda perhatikan masalah tersebut sebenarnya permasalahan deret aritmatika dalam menentukan jumlah n suku. Suku pertama dari deret tersrebut 1000.000 dan bedanya
100.000 dengan demikian, deret aritmatika dari masalah tersebut adalah 1000.000 + 1.100.000 + . . . + U 10 Suku ke-10 dari deret tersebut adalah U10
= a + 9b = 1000.000 + 9(100.000) = 1.900.000
Sehingga jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut: S10
=
(1.000.000 + 1.900.000)
= 5 (2.900.000) = 14.500.000 Jadi, jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut selama kurun waktu 10 bulan adalah Rp.14.500.000,-
2. Deret Geometri
Sama seperti deret aritmatika, deret geometri pun merupakan jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, …, U n Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + … + U n Bentuk seperti ini disebut deret geometri. Deret geometri atau deret ukur adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu, jika a, ar, ar 2, …, ar n-1 adalah barisan geometri baku, deret a+ar+ar 2+ …+ar n-1 disebut deret geometri baku.
Contoh soal
Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Penyelesaian: Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, …, U n Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + … + U n
Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri maka S n = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 + … + U n = a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + … + ar n-1 Kemudian, S n = a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + … + ar n-1
r S n = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + … + ar n-1 S n - rS n = a – ar n S n - rS n = a(1 – r n)
S n (1 – r) = a(1 – r n) S n = a(1 – r n) (1 – r) Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. S n =
− − atau S n = − −
Contoh soal
Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, 48, …, U n. tentukan suku ke tujuh ( U 7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S 7). Penyelesaian:
Menentukan suku ketujuh U n = ar n-1 maka U 7 = ar 6 = 3(2)6 = 3 (64) = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.
Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya. (− ) − S n = maka S n =
−
− −8 = − −7 = − = 381
Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381
Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat menggunakan sifatsifat dasar deret geometri, sebagai berikut.
(1) Jika diketahui deret geometri : U 1 + U 2 + U 3 + … + U n Maka : U 2 = U 3 = U 4 = … = U n U 1 U 2 U 3 U n-1 (2) Jika U 1, U 2, dan U 3 merupakan suku-suku deret geometri Maka : U 12 = U 1 x U 3 (3) Jika U m dan U n merupakan suku dari deret geometri Maka : U m = U n x r m-n
Aplikasi Deret Geometri dalam kehidupan
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan deret geometri. Berikut contohnya: Contoh soal:
Dalam sebuah gedung pertemuan terdapat 25 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat 2 kursi lebih banyak didepannya. jika dalam gedung tersebut terdapat 15 baris kursi,tentukan banyak kursi pada baris ke-15? Penyelesaian:
S n = ½n [2a + (n − 1)b] S 15 = ½ 15 [2×23 + 14×2] = ½ × 15 × 74 = 555
Latihan
Untuk memantapkan pemahaman Kalian terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di bawah ini!
1. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan: a. Suku pertama dan rasio barisan geometri tersebut, b. Suku ke-9 barisan geometri tersebut
2. Diketahui deret aritmatika: 3+7+11+15+19+ … +U 10 Tentukan: a. Suku ke-10 (U 10)deret tersebut b. Jumlah sepuluh suku pertama (S 10)
3. Diketahui suatu deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan suku ke-6 20. a. Tentukan beda deret aritmatika tersebut b. Tuliskan deret aritmatika tersebut c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmatika tersebut
4. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x-1, 2x-8, 5-x merupakan suku-suku deret geometri
5. Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio(r), suku kelima (U 5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S 8)
Petunjuk Jawaban Latihan
1. Kalian cermati kembali barisan dan deret bilangan serta aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. 2. Pendapat Kalian dapat saja berbeda-beda. Kalian dapat menerima atau menolak pendapat tersebut dengan sejumlah argumentasi. Untuk memudahkan Kalian mengemukakan pendapat, terlebih dahulu kaji kembali kapan suatu masalah itu timbul pada seseorang. 3. Sebelum diskusi, ada baiknya Kalian mencermati Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Sekolah Dasar terutama yang berkaitan dengan kompetensi yang harus dikuasai siswa Sekolah Dasar. 4. Untuk menjawab soal ini, Kalian harus memahami terlebih dahulu pengertian soal rutin dan soal non rutin sehingga Kalian dapat menentukan karakteristik masing-masing jenis soal tersebut. 5. Berbekal pemahaman Kalian tentang karakteristik soal rutin dan soal non rutin yang dikaitkan dengan materi pelajaran matematika pada setiap jenjang kelas di Sekolah Dasar, Kalian akan dapat mengkategorikan soal pemecahan masalah pada masingmasing tingkatan tersebut.
RANGKUMAN
Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmatika dan barisan geometri.
Rumus suku ke-n barisan aritmatika sebagai berikut: U n = a + (n – 1) b
Rumus suku ke-n barisan geometri sebagai berikut: U n = ar n-1
Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika dan deret geometeri.
Jumlah suku ke-n deret aritmatika dinyatakan oleh rumus:
S n = (a + U n)
Jumlah suku ke-n deret aritmatika dinyatakan oleh rumus:
− − S n = − atau S n = −
Untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi ini, Tes Formatif 1
jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
Pilih satu jawaban yang Kalian anggap paling tepat! 1. Perhatikan gambar pola berikut!
Jika pola persegi tersebut dibuat dari batang korek api, banyaknya batang korek api pada pola ke-7 adalah... a. 40 b. 60 c. 84 d. 112
2. Segitiga tersebut tersusun atas batang-batang lidi. Banyak segitiga kecil pada pola ke7 adalah...
a.
84
b.
49
c.
54
d.
59
3. Dua suku berikutnya dari pola: 4, 8 , 14, 22, adalah... a.
30, 42
b.
30, 44
c.
32, 42
d.
32, 44
4. Rumus suku ke-n dari barisan 0, 3, 8, 15, … adalah … a. n2-1 b. n2+1 c. n(n+1)
d. n(n-1)
5. Rumus suku ke-n dari barisan 5, 8, 11, 14, … adalah … a. n+4
c. 3n+2
b. 2n+3
d. 5n
6. Suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmetika berturut-turut 14 dan 23. Suku ke-30 barisan tersebut adalah .... a. 89 b. 87 c. 85 d. 80 7. Dari barisan aritmetika diketahui U 3 = 18 dan U 7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah .... a. 786 b. 1.248 c. 1.572 d. 3.144 8. Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah .... a. Rp7.500.000,00 b. Rp8.000.000,00 c. Rp52.500.000,00 d. Rp55.000.000,00
9. Jumlah semua bilangan kelipatan 7 dari 80 sampai 170 adalah... a.
1.368
b.
1.386
c.
1.638
d.
1.683
10. Suatu bakteri akan membelah diri menjadi dua setiap menit. Jika banyaknya bakteri semula ada 6, banyaknya bakteri setelah 5 menit adalah.. a. 48 b. 96 c. 192 d. 384
Apabila Kalian telah mengerjakan tes formatif, cocokkanlah jawaban Umpan Balik
Kalian dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat pada bagian
dan Tindak
akhir unit ini, Kemudian hitunglah jumlah jawaban Kalian yang
Lanjut
benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi ini. Rumus:
Jumlah Jawaban Kalian yang Benar Tingkat Penguasaan =
x 100% .....................
Arti tingkat penguasaan yang Kalian capai: 90% − 100% = baik sekali 80% − 89% = baik 70% − 79% = cukup < 70%
= kurang
Bila tingkat penguasaan Kalian mencapai 80% ke atas, Bagus Kalian dapat melanjutkan dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi, bila tingkat penguasaan Kalian kurang dari 80%, Kalian harus membaca kembali uraian materi BAB 1, terutama pada bagian yang belum Kalian kuasai.
Kunci Jawaban Tes Formatif 1
1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. A 7. C 8. C 9. C 10. C
