4º 1/2 PROBABILIDADES
El origen del cálculo de probabilidades está relacionado con la práctica de los juegos de azar. La teoría de la probabilidad surge ante un problema de juego que cierto caballero (De Meré) plantea a Pascal. El problema consistía en “como repartir el dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de terminarlo”. Se trata de medir las posibilidades de éxito de cada jugador o lo que cada jugador puede esperar del azar en partidas futuras. El cálculo de probabilidades es el soporte matemático de la estadística. Juntas permiten obtener información y conclusiones acerca de distintos sucesos, que pueden ser del área de la economía, de las ciencias sociales y de muchas otras. Para esta unidad definiremos antes algunos conceptos básicos en el estudio de las Probabilidades: ● ● ●
●
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces Experimento Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles. Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral Evento o Suceso: Es el resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras es un subconjunto del espacio muestral. Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc…, se supondrá que no están cargados o truncados, a no ser que se indique otra cosa.
El pase ingles (un juego de azar): El pase ingles es un antiguo juego de azar. Tiene muchas variantes, pero la idea del juego es esta: Se sortea quien empieza. Ese jugador tira dos dados y suma los puntos que obtuvo. Tira nuevamente y suma los puntos que saco a los que tenia acumulados. Continua de esa manera hasta que, en alguna tirada, la suma de los puntos obtenidos sea 7, en cuyo caso no suma más puntos y cede el turno a otro jugador, quien repite el procedimiento. El que suma más puntos gana esa mano, y es quien empieza la siguiente, iniciando la suma de los puntos desde cero.
¿Por que será que en este juego cada jugador termina su mano cuando los dados arrojados suman 7 puntos? ¿Que pasaría si cada jugador termina su mano cuando los dados sumaran 11 puntos?... SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE INCERTIDUMBRE 1
4º 1/2
Si tomamos cinco papeles iguales y anotamos en cada uno un número del 1 al 5, los dóblamos y metemos en una caja. Luego sin mirar, sacamos uno cualquiera. ¿sabrían de antemano que numero es? Si Lanzan un dado una vez. ¿sabrían de antemano que numero va a salir? Ahora si introducen en una bolsa 2 bolas rojas y 2 verdes, y saca una. ¿podrían decir con anticipación anticipación el color de la bola?
Estos casos son experimentos en los que no se puede predecir el resultado. Se denominan Experimentos Aleatorios. Si vuelven a repetir cada uno de los experimentos anteriores pueden obtener los mismos o distintos resultados, no lo saben cierto, porque no pueden predecirlos. Entonces están frente a una Situación de Incertidumbre. En la vida cotidiana nos encontramos con muchas situaciones de incertidumbre, por ejemplo: en un partido de futbol entre un equipo de primera división y otro de tercera división, probablemente probablemente ganara el equipo de primera división, pero no lo podemos afirmar, no estamos absolutamente seguros de que así ocurra. Cuando jugamos al kino donde tenemos que elegir 14 de 25 números, es posible que acertemos, pero no estamos seguros.
Ejemplos PSU
1) ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de los siguient siguientes es experimen experimentos tos es (son) (son) aleatorio(s aleatorio(s)? )? I) Encender una vela y observar si alumbra. II ) Lanzar un dado y observar si la l a cara superior muestra un cinco. III ) Preguntarle a un desconocido si fuma. A) B) C) D) E) 2)
Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II, y III
Un vendedor del servicio de televisión por cable visita tres casas, anotando v si vende y n si no vende. El evento de vender el servicio a lo mas en una de ellas está representado por A) B) C) D) E)
[nnn, nnv, nvn, vnn] [nnv, nvn, vnn] [vvv, vvn, vnv, nvv] [vvn, vnv, nvv] [nnn]
Antes de continuar definiremos dos nuevos conceptos que intervienen en esta unidad. 1
4º 1/2 ●
Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable. La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa
●
Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (Total de datos). ACTIVIDAD 1
1. Indica Indica tres tres situacion situaciones es de incertid incertidumbre umbre que que no se hayan hayan dicho dicho anteriormente. 2. Señala Señala cual o cuales de las siguient siguientes es situacione situacioness son aleatorias aleatorias.. a) Mezclar café y azúcar. b) Jugar Jugar a las las cartas cartas.. c) La suma suma obten obtenida ida al lanzar lanzar dos dados dados.. d) El resultado resultado al al lanzar lanzar una moneda moneda tres tres veces. veces. 3. Se ha lanzado lanzado un dado dado 100 veces y se ha obteni obtenido do la siguiente siguiente tabla tabla de frecuencias. Completa su frecuencia relativa.
a) b) c) d) e) f)
Ca ra
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
1
13
13 = 0,13 100
2
15
3
17
4
16
5
20
6
19
Total
10 0
Calcula las frecuencias relativas de los sucesos siguientes: sali salirr par par sali salirr impa imparr no sali salirr par par sali salirr 2 o 4 no sali salirr 1 ni 3 salir 7
PROBABILIDAD EXPERIMENTAL
Al lanzar una moneda al aire puedes obtener cara o sello. Al repetir el 1
4º 1/2 experimento esperamos esperamos obtener la mitad de sellos y la mitad de caras, es decir, que si lanzas 100 veces la moneda, esperamos que el resultado sea 50 caras y 50 sellos. Pero los resultados obtenidos no siempre son los esperados. Cuando el número de lanzamientos es grandes, se observan regularidades en las frecuencias relativas. Estas regularidades regularidades se muestran en la siguiente tabla en la que aparecen los resultados de 5000 lanzamientos. lanzamientos. Lanzamient
10
50
1 00
2 00
5 00
1 00 0
2 0 00
5 00 0
caras
7
20
42
1 01
240
5 15
1 028
2 5 50
Frec.
0 ,7 0
0 ,4 0
0 , 42
0 , 50 5
0 ,4 8
0 ,5 1 5
0 ,5 1 4
0 ,5 1
os
Relativa
Observen que no se obtiene mitad cara y mitad sello en ningún caso. Como los resultados de cada tabla se ha construido un grafico que indica como varían las frecuencias relativas.
¿ Que puedes concluir a medida que q ue el numero de lanzamiento l anzamientoss aumenta? ¿ A que numero se aproxima? Este numero, al cual tiende la frecuencia relativa para obtener obtener cara, se denomina Probabilidad (modelo de Laplace).
PROBABILIDAD
El lanzamiento de un dado o de una moneda, la extracción sin mirar de una bola en una bolsa, son experimentos experimentos aleatorios, y para medir la mayor o 1
4º 1/2 menor posibilidad de que ocurra un resultado se le asigna un numero entre 0 y 1. Este número corresponde a la Probabilidad (que designaremos pos P). En el lanzamiento de una moneda es igualmente probable obtener cara que sello. Para calcular la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda notamos que hay un caso “favorable” (obtener cara) y 2 casos posibles (cara o sello). Entonces escribimos: P(cara) = =0,5 Probabilidad de obtener cara P(sello) = =0,5 Probabilidad de obtener sello En el caso de un dado de 6 caras se tendria: P(1)= P(1)= ; P(2)= P(2)= ; P(3)= P(3)= ; P(4)= P(4)= ; P(5)= P(5)= ; P(6)= P(6)= que corresponden a las probabilidades probabilidades de obtener 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en un lanzamiento. ¿Cual sera la probabilidad de obtener cara par al lanzar un dado?. Completa Casos favorables: _______ P (cara par) =
Casos Posibles: _______
_____
Probabilidad (regla de Laplace): Si en un experimento aleatorio el espacio muestral E tiene n elementos igualmente probables probables y un evento A subconjunto de E tiene nA elementos, entonces la probabilidad de que dicho elemento ocurra
es P ( A) =
nA n
Observación: Toda probabilidad es posible expresarla como porcentaje (%) multiplicándola por 100
Ejemplos PSU
1) ¿Cuál ¿Cuál es la probabilida probabilidad d de que al lanzar lanzar 2 dados sus sus caras superio superiores res sumen tres?
1
4º 1/2 A) B) C) D) E)
1 18 1 36 10 36 8 36 2
18
2) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de obtener obtener 7 o 5 al lanzar lanzar simultáneamente simultáneamente dos dados? A) B) C) D) E)
5 18 5 36 4
9 2 9 1 3
ACTIVIDAD 2
1. En una bolsa bolsa tenemo tenemoss 4 bolas azules azules,, 3 rojas, rojas, 2 verdes verdes y 1 blanca. blanca. Se saca una bola. a) ¿Qué es más probable, que salga azul o blanca? Justifica. b) ¿Qué es menos probable, que salga roja o verde? c) Calcula la probabilidad de que al sacar s acar una bola, esta sea blanca. Haz lo mismo con los demás colores. d) Calcula Calcula la suma suma de estas probabili probabilidades dades.. 2.
De una bolsa que contiene 6 bolas rojas, 9 bolas azules y 10 bolas verdes, Ana saca una bola al azar. ¿Cual es la probabilidad de que salga bola roja? ¿Y la probabilidad de que o salga bola azul?
3. En el experime experimento nto de lanzar lanzar dos dados, dados, se conside considera ra el suceso suceso suma de los dos. Escribe todos los resultados posibles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Obte Obtene nerr suma suma 2. b) Obte Obtene nerr sum sumaa 3. 3. c) Obte Obtene nerr suma suma 4. 1
4º 1/2 d) e) f) g) h)
Obte Obtene nerr suma suma 12. 12. Obte Obtene nerr suma suma par par.. Obte Obtene nerr suma suma imp impar ar.. Obtener Obtener como suma un numero numero primo. primo. Obte Obtene nerr sum sumaa 7. 7.
4. Se lanza un dado de 8 caras (octaedro) marcados con puntos del 1 al 8. 8. Completa la siguiente tabla. Suceso
Número de casos favorables
Números de casos posibles
Probabilidad
Múltiplo de 2 Primo Múltiplo de 3 Menor o igual que 2 Impar Mayor que 3
5. Se lanzan lanzan al aire aire 3 monedas. monedas. ¿Podrias ¿Podrias obtener obtener todos todos los sucesos sucesos posibles? ¿Cual es la probabilidad probabilidad de obtener dos caras?, ¿una cara?, ¿dos o tres sellos?. Para responder es util construir un diagrama de arbol. Completalo y responde. 1° moneda
2° moneda
C
3° moneda
Resultado
C
CCC
S
CCS
C S
S
6. Considerando el lanzamiento lanzamiento de 4 monedas, cual sera la probabilidad probabilidad de: a) Obte Obtene nerr una una cara cara.. b) Obtene Obtenerr al menos menos una una cara. cara. c) Obtene Obtenerr mas mas de una cara. cara. d) No obt obten ener er car cara. a.
1
4º 1/2 USO DE TABLAS
En una tienda de música hay 28 hombres y 32 mujeres. Se sabe que 15 hombres y 20 mujeres prefieren musica Rock, el resto prefiere musica alternativa. Si eliges una persona al azar: ¿Cual es la probabilidad de que sea hombre? ¿Cual es la probabilidad de que le guste la musica alternativa? ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer y que le guste la musica Rock? Para responder estas preguntas completa la siguiente tabla: Hombre Musica Rock
Mujer
15
Total
20
Musica alternativa Total
Luego,P(Hombre) =
P(Musica Alternativa) =
P(Mujer) = P(Hombre y Musica Rock) P(Musica Rock) P(Mujer y Musica Alterntiva)
Juegos Equitativos
Andrea propone a su amiga Emilia dos juegos con monedas. En el primero, se lanza una moneda y si sale cara, Emilia debe darle un dulce a Andrea, de lo contrario Andrea debe darselo a Emilia. En el segundo juego, se lanzan dos monedas y si sale cara en ambas gana Emilia y Andrea debe darle un dulce, pero si en una de las monedas sale cara y en la otra sello es Emilia quien debe darselo. ¿Cual de los dos juegos parece mas justo? Explica por que... Nota: un juego sera justo o equitativo cuando todos los participantes tinen la misma posibilidad de ganar.
Principio Multiplicativo
Si un conjunto A tiene m elementos y un conjunto B tiene n elementos, entonces existen m•n pares ordenados ordenados diferentes (a,b), (a,b), en los que a є A; b є B; m,n є Z +
1
4º 1/2 Ejemplos: 1.
Pensemos en dos conjuntos, cuyos elementos son tres fichas de colores y los números 4 y 5 respectivamente. respectivamente. Es decir F={ , , } N={4, 5} . Si formamos todos los pares ordenados (ficha, numero) obtenemos un total de 6, osea la cantidad de parejas ordenadas que obtenemos son 3•2 = 6
2.
Calculemos cuantos números pares de tres cifras se pueden formar con los digitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 como por ejemplo el 124. De los 8 dígitos dados, solo 7 pueden ocupar la primera cifra del número, ya que los números que necesitamos formar no pueden comenzar con 0. La segunda cifra puede ser cualquiera de los 8 dígitos dados y la tercera cifra solo puede tomar 4 valores diferentes. Entonces la cantidad de números pares de tres cifras que podemos formar con los digitos del 0 al 7, según el principio multiplicativo, son: 7•8•4=224 Principio Aditivo Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de a maneras, la segunda alternativa puede realizarse de b maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es de a+b
Ejemplos PSU
1) Un niño niño dispone dispone de 6 lapice lapicess grafito grafito de diferent diferentes es colores colores y de 7 lapices de cera distintos. ¿de cuantas maneras distintas puede escoger un lápiz? A) B)
62•72 42 1
4º 1/2 C) D) E)
13 12 1
2) En el expe experi rime ment ntoo aleat leator orio io:: “ lanz lanzar ar 3 dado dadoss y obse observ rvar ar el resultado que aparece en cada uno de ellos”, la cantidad de puntos muéstrales que tiene el espacio muestral es A) B) C) D) E)
3)
216 26 18 6 3
Diego desea comprar un televisor, para lo cual ha pensado que puede seleccionar entre tres marcas, W, N, y L. Cuando acude a hacer la compra, se da cuenta que el televisor W se presenta en dos colores, 4 tamaños y puede tener Home Theater o no tenerlo. El televisor N se presenta en tres colores, en dos tamaños y también puede escoger con Home Theater o no. Finalmente, el televisor L se presenta en un solo color, dos tamaños y no tiene Home Theater. ¿Cuántas maneras tiene Diego de seleccionar el televisor que va a comprar? A) B) C) D) E)
3 19 30 192 384
Tipos de Eventos •
•
Evento o Suceso Cierto: Es el espacio muestral, tiene probabilidad 1 y siempre ocurre. Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto vacio del espacio muestral, tiene probabilidad 0 y nunca ocurre.
1
4º 1/2 •
•
Eventos Mutuamente Excluyentes: son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o mas eventos no tienen elementos comunes. Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.
Ejemplos:
1. Al lanzar lanzar un dado dado considere consideremos mos los eventos eventos A: Que salga un número menor que 10 B: Que salga el numero 17 Entonces A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E y B = ø Luego Evento A
Evento B
6
n=6 ; nA=6 ; P(A)= 6 = 1
n=6 ; nB=0 ; P(B)=
0 6
=0
Estos eventos son llamados, respectivamente, respectivamente, evento cierto y evento imposible. 2. En una bolsa bolsa hay 10 fichas fichas blancas blancas.. Si extraemos extraemos una ficha, ficha, ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de los eventos? A: Que la ficha sea blanca B: Que la ficha sea negra A = E ; n=10 ; n A=10 B = ø ; n=10 ; nB=0
⇒
⇒
P(A)=
P(B)=
10 10
0 10
= 1. Es un evento cierto
=0. Es un evento imposible
Ejemplos PSU
1) ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de las siguient siguientes es afirmacio afirmaciones nes es (son) (son) verdadera( verdadera(s)? s)? I) Al lanzar un dado el evento “sacar un numero menor que siete”, es un suceso cierto. II ) “Lanzar un dado y que salga un numero menor que tres” y “lanzar un dado y que salga un múltiplo de tres” son sucesos mutuamente excluyente. III ) “lanzar dos dados y obtener una suma mayor que 12”, es un 1
4º 1/2 A) B) C) D) E)
evento imposible. Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
2) Dado el espacio espacio muestral muestral E={ a, a, e, i, o, u } y los eventos eventos A={i, o, u}, B={o, u}, C={a}, D={a, e}. ¿Cuál de las l as siguientes afirmaciones es falsa? A) A y B no son mutuamente excluyentes B) A y D son Complementarios Complementarios C) B y C son mutuamente excluyentes D) B y D son complementarios A y C son mutuamente excluyentes E) Probabilidad de que no ocurra un evento Si P(A) es la probabilidad de que ocurra un evento A, entonces la probabilidad de que no ocurra A es P(Ā) y se cumple que P ( A )
1
=
P ( A)
−
Ejemplos: 1. En el el lanzamie lanzamiento nto de de un dado dado consi considerem deremos os el evento evento A: Que salga un numero menor que 3 2
A={1, 2} ; n=6 ; n A=2, luego P(A)=
¿Cuál es la probabilidad de que no
6
ocurra el evento A? P ( A )
=
1 − P ( A) ⇒ P ( A )
=
1−
2
( A)
⇒ P
6
=
4 6
2. De un naipe naipe de 52 cartas cartas sacamos sacamos una al azar. azar. La probabil probabilidad idad de ocurrencia del suceso A: Que la carta sea de trébol, es P(A)=
13
=
52
1 4
¿Cuál es la probabilidad que la carta extraida no sea de trébol? Nos preguntamos por
P ( A ) :
P ( A )
=
1 − P ( A)
=
1−
1 4
=
3 4
Probabilidad Total
Dados los eventos A y B, subconjuntos del espacio muestral E de cierto experimento aleatorio, aleatorio, la probabilidad de que ocurra A o B o ambas esta expresada en la siguiente Ley de la probabilidad total . P ( A ∪ B )
( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
= P
Observación: P ( A ∩B ) corresponde a la probabilidad probabilidad de que ocurra A y B a la
vez (Probabilidad de la intersección). intersección). Ejemplos:
1
4º 1/2 1. En relació relaciónn al lanzamie lanzamiento nto de un un dado conside consideremo remoss los eventos: eventos: A: Que salga un numero menor que 3 B: Que salga un numero par Luego A={1, 2} ; B={2, 4, 6} Podemos observar que A ∩ B ={2} y A ∪ B ={1, 2, 4, 6} son también eventos. Veamos ahora que relación hay entre P(A), P(B), P( A ∪ B ) y P( A ∩ B ). P(A)=
2 6
;
P(B)=
3 6
;
4
P( A ∪ B ) =
6
1
;
P( A ∩ B )= 6
Podemos comprobar que se cumple: P ( A ∪ B )
( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
= P
4
2
=
6
3
+
6
1
-
6
6
2. Una ruleta ruleta tiene tiene como como resultados resultados posible posibless los números números del 1 al 10 Evento A: Que salga un numero menor que 8 Evento B: Que salga un numero múltiplo de 3 A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B={3, 6, 9}, de modo que A ∩ B ={3, 6} Calculemos la probabilidad de que ocurra A ∪ B , es decir, un multiplo de 3 o un número menor que 8. P(A)= ⇒
7 10
; P(B)=
3 10
7
P( A ∪ B )= 10 +
2
; P( A ∩ B )= 10 3
-
10
2 10
8
=
4
=
10
5
Observación: Los eventos A y B, subconjuntos del espacio muestral E de cierto
experimento aleatorio, aleatorio, son mutuamente excluyentes si y solo si
A ∩ B
=
ø.
De acuerdo con lo anterior, si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces se cumple que:
P ( A ∪ B )
( A) + P ( B )
= P
Ejemplo:
1. ¿Cuál ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de que que en la misma misma ruleta ruleta del ejemplo ejemplo anter anterior ior salga un numero menor o igual que 3 o que sea múltiplo de 4? C={1, 2, 3} ; D={4, 8} ; P (C ∪ D )
= P
P (C ∪ D )
=
C ∩ D
=
ø
(C ) + P ( D ) − P (C ∩ D ) 3 10
+
Es decir se verifica que C ∩ D ) es igual a cero.
2 10
-
0 10
P (C ∪ D )
=
5 10
=
1 2
(C ) + P ( D )
= P
ya que es este caso P(
Probabilidad Compuesta 1
4º 1/2 Para comprender como calcular este tipo de probabilidad comenzaremos planteando la siguiente situación: •
Consideremos un experimento aleatorio que consiste en sacar dos d os fichas de una bolsa que contiene 3 rojas y 4 blancas. Frente al evento de que ambas sean rojas se nos presentan dos alternativas. 1. Con Reposición
2. Sin Reposición Evento A: Primera ficha roja Evento B: Segunda Ficha Roja
Numero de casos posibles: 2 fichas cualesquiera 7 • 7 = 49 7 • 6 = 42 Numero de casos favorables: 2 fichas rojas 3•3=9 3•2=6 Probabilidad de que ambas sean rojas P =
9
P =
49
6 42
Expresemos la probabilidad como producto P ( A ∩ B)
El valor
3 7
=
9 49
=
3 7
•
3
P ( A ∩ B)
7
es la probabilidad de que
El valor
ocurra el evento B independientemente del evento A.
2 6
=
6 42
=
3 7
•
2 6
es la probabilidad de que
ocurra el evento B después de haber ocurrido A, que se llama probabilidad condicionada y se designa P ( B / A) .
La situación anterior ilustra la Ley de la probabilidad compuesta que dice lo siguiente: Dados los eventos A y B subconjuntos del espacio muestral E de cierto experimento aleatorio, aleatorio, la probabilidad de que ocurra B después de haber sucedido A esta expresada en la siguiente Ley de la probabilidad compuesta. P ( A ∩ B )
( A) • P ( B /
= P
A)
En la que P(B/A) es la probabilidad de B después de ocurrido A En aquellos casos en que P(B/A)=P(B), es decir, que la ocurrencia de B no esta condicionada por la ocurrencia del evento A, se dice que los eventos son independientes. independientes. A y B son independientes
( A ∩ B )
⇔ P
( A) • P ( B)
= P
De lo anterior podemos deducir lo siguientes: “Sean “Sean A y B dos sucesos s ucesos de un
1
4º 1/2 mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de la ocurrencia del evento A dado que ya ha ocurrido el evento B es”
P ( A / B )
=
P ( A ∩ B ) P ( B )
Otro Ejemplo •
De un naipe de 52 cartas se extraen dos de ellas. Calculemos la probabilidad de que ambas cartas sean ases, con reposición y sin reposición. Con reposición Sin reposición A: Que la primera carta sea un as B: Que la segunda carta sea un as 4 4 Si la primera carta no la P(A)= 52 ; P(B)= 52 reponemos, entonces Como A y B son independientes 4 3 P(A)= ; P(B/A)= P( A ∩ B ) = P(A) • P(B) 52 51 1 1 1 4 4 P( A ∩ B ) = P(A) • P(B/A) P( A ∩ B ) = • = • = 52
52
13
13
169
P( A ∩ B ) =
4
52
3
1
• 51 = 221
Observa que la probabilidad es menor cuando no hay reposicion. 1 221
<
1 169
El la practica no es fácil determinar si dos eventos son independientes. Para establecerlo se emplea la ley de la probabilidad compuesta.
Si se cumple que P ( A ∩ B) = P ( A) • P ( B) entonces los eventos A y B son independientes. independientes. En caso contrario son dependientes. Ejemplo: En el experimento aleatorio del lanzamiento de dos dados, establezcamos si los siguientes eventos son independientes. Evento A: Que en uno o en los dos dados salga un 3. Evento B: Que en ambos dados salga el mismo número. En este caso A ∩ B ={(3,3)} De modo que la probabilidad de que ocurran ambos eventos es: P( A ∩ B )= •
1 36
Por otro lado P(A)=
11 36
y P(B)=
6 36
Entonces remplazamos remplazamos estos valores en la expresión de la Ley correspondiente correspondiente a eventos independientes. P( A ∩ B )=P(A)•P(B)
1
4º 1/2 1 36 1 36
= ≠
11 36
11 216
•
6 36
por lo tanto, los eventos A y B no son
independientes, independientes, es decir, son Dependientes
Ejercicios
1. ¿Cuántos ¿Cuántos número númeross de tres cifra cifrass distintas distintas se pueden pueden formar formar con con los dígitos 1, 2 y 3? A) 27 B) 18 C) 9 D) 6 E) 3 2. Mariana Mariana desea desea comprar comprar un helado helado y le dan las siguiente siguientess posibilidad posibilidades: es: Tamaño: Grande, mediano o chico Sabor: Frutilla, chocolate, vainilla o piña ¿Cuántas posibilidades le ofrecen en la venta? A) 64 B) 12 C) 8 D) 7 E) 4 1
4º 1/2 3. Sergio Sergio y Mauricio Mauricio compit compiten en entre entre los dos un campeon campeonato ato de tenis. tenis. El primero que gane dos juegos seguidos o que complete tres triunfos gana la competencia. ¿De cuantas maneras puede ser ganado este campeonato? A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 4. ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de las siguientes siguientes afirmaci afirmaciones ones es (son) verdade verdadera(s ra(s)? )? (1) El evento “lanzar tres veces una moneda”, tiene un espacio muestral de 3 elementos. El espacio muestral del suceso “lanzar dos monedas distintas”, (2) tiene 3 elementos. (3) El suceso complementario del espacio muestral es el conjunto vacio. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III
5. En el experimento aleatorio “lanzar tres tres monedas”, monedas”, ¿Cuál(es) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) ejemplo(s) de evento(s) mutuamente excluyente(s)? “Obtener exactamente dos caras” y “Obtener exactamente dos (1) sellos”. (2) “Obtener a los mas una cara” y ”Obtener a lo mas un sello”. (3) “Obtener exactamente exactamente un sello” y “Obtener a lo menos una cara”. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 6. Un profesor profesor decide decide confeccio confeccionar nar un mini contro controll de 5 preguntas preguntas de verdadero o falso. Si desea que 3 preguntas sean verdaderas y 2 falsas, ¿de cuantas maneras distintas puede combinar las preguntas de esta prueba? A) 30 B) 25 15 C) 1
4º 1/2 D) E)
10 5
7. En un sorteo sorteo se conceden conceden dos premios premios distintos distintos y participan participan cuatro cuatro personas. ¿De cuantas maneras pueden repartirse los premios si una misma persona no puede recibir dos premios? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 8. Si se lanzan lanzan dos dados, dados, ¿Cuál ¿Cuál es la probabilid probabilidad ad de obtener obtener mas mas de 10 puntos? A) B) C) D) E)
2 36 3 36 7 36 11 36 12 36
9. En un experime experimento nto aleatori aleatorioo E, dos eventos eventos A y B son complemen complementario tarioss si: (1) Al unir los elementos de A y B se obtiene el espacio muestral. (2) La intereseccion de A y B es vacia. (1) por si sola A) B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 10. Al lanzar un dado, podemos conocer el número que aparece aparece en la cara superior si sabemos que: (1) El numero es primo (2) El numero es impar menor o igual a tres A) (1) por si sola B) (2) por si sola Ambas juntas, (1) y (2) C) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 11. El numero de resultados posibles posibles de un experimento experimento que consiste en el lanzamiento de un dado y una moneda es 1
4º 1/2 A) B) C)
24 12 8
D) E)
6 2
12. En el lanzamiento de una monesa de $100 y una de $50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y sello en la de cincuenta es A) B)
1 4 1 3
C) D) E)
1 2 3 4
1
13. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3? A) B) C)
1 6 1 4
D) E)
1 2 2 3
1 3
14. Un naipe ingles consta de 52 cartas repartidas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (j) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10. Entonces, la probabilidad de obtener un “AS” o un “REY” al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es A) B) C) D) E)
1 13 2 13 4 13 1 4
1 3
15. Se tienen dos urnas: la primera contiene contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? A) B) C)
3 10 6 10 9 10
1
4º 1/2 D) E)
9 20 18
100
16. Una caja contiene contiene 3 esferas verdes y 2 amarillas. Si se sacan sucesivamente 2 esferas, sin devolverlas a la caja, ¿Cuál es la probabilidad de que estas sean alternativamente de distinto color? A) B) C) D) E)
3 10
2 5 3 5 7 10
Ninguna de las anteriores
1
