Problemario de Probabilidad Variables Aleatorias Aleatorias discretas................................................. discretas........................................................................1 .......................1 Distribución binomial.............................................. binomial........................................................................... ......................................4 .........4 Distribución de Poisson........................ Poisson..................................................... .........................................................6 ............................6 Distribución hipergeométrica.................................. hipergeométrica........................................................................9 ......................................9 Distribución geométrica.............................................................................. geométrica.............................................................................. 11 Variables aleatorias continuas.......................................................... continuas..................................................................... ...........14 14 Distribución uniforme....................................................... uniforme...................................................................... .......................... ...........17 17 Distribución normal...................................................... normal................................................................................... ...............................1 ..1 Apro!imación de la distribución "ormal a la #inomial.............................$$ Distribución %!ponencial......................................... %!ponencial............................................................................$& ...................................$& 'esumen......................................................................................................$( )tras Publicaciones del autor................................................. autor...................................................................... .....................$6 $6 Autor *ng. *+,n %scalona.............................................. %scalona.............................................................................&...............................&-
Variables Aleatorias discretas 1. Sea Sea X una Variable Aleatoria que representa la demanda de horas extras en una empre empresa. sa. La exper experien iencia cia muestra muestra que que esta esta demand demanda a se comp comport orta a de acuer acuerdo do a la siguiente función de probabilidad, probabilidad,
0$ x + 1/ ∀ x = 1$&4 f x0 / = en otra parte Encuentre Encuentre la distribución de probabilidad probabilidad la distribución acumulada. !. "n lote de # l$mparas contiene dos defectuosas. "n restaurante adquiere tres de estas l$mpar l$mparas. as. Sea x el n%mero de l$mparas defectuos defectuosas. as. Encuentre Encuentre la distribuc distribución ión de x . &ra'que. (. Se lan)a un dado dos *eces, si en los lan)amientos aparece el mismo n%mero un +ugador gana 11, en caso contrario contrario pierde # -u$l es el *alor esperado esperado de este +uego/ 4. Una urna contiene 5 bolas rojas y 7 verdes. Se sacan tres bolas una tras otra sin sustitución, si un jugador gana $ 3 por cada bola roja y $ 1 por cada bola verde. ¿u!nto se deber"a pagar por el derec#o a jugar para ue este juego sea justo% SOLUCIÓN &
0. Si en el problema anterior las tres bolas se extraen con sustitución. -u$ndo sera el pago por el derecho a +ugar para que el +uego sea +usto/ 2. A continuación se presenta una función de probabilidad, de la *ariable aleatoria x , el n%mero de errores de escritura en una p$gina. 3 1 ! ( P(x) 3.4 3.( 3.1 3.3
3 a) b) c) d)
0
2
5
Encuentre Encuentre la distribución acumulada para x, El *alor esperado La *arian)a La des*iación est$ndar
#. En una escuela se aplica una prueba psicológica una de las opciones consiste en hacer corresponder tres preguntas con tres respuestas. Si un estudiante contesta las tres respuestas sin repetición en las columnas aleatoriamente, encuentre la distribución de probabilidad probabilidad para x , el n%mero de respuestas correctas. SOLUCIÓN 6
7. En el problema #, construa su función de distribución acumulada calcule la des*iación est$ndar. est$ndar. SOLUCIÓN6
5. La función de probabilidad de una *ariable aleatoria discreta x est$ est$ dada por
0$ x + 1/ si x = -1$& f x0 / = en otra parte 8etermine la función de distribución acumulada, la media, la *arian)a la des*iación est$ndar.
13. La función de probabilidad de una *ariable aleatoria discreta x est$ est$ dada por
0$ x + 1/ ( j0 x/ = -
∀ x = 1.$.&.4.( en otra parte
8etermine6 a9 :; x x 9 b9 Su des*iación est$ndar< 11. La función de probabilidad de una Variable aleatoria discreta x est$ est$ dada por6
x + $ ( 1- − x f 0 x / = $ 8etermine la des*iación est$ndar.
si x = 1.$.&.4.( si x = 6.7..9 en otra parte
3 a) b) c) d)
0
2
5
Encuentre Encuentre la distribución acumulada para x, El *alor esperado La *arian)a La des*iación est$ndar
#. En una escuela se aplica una prueba psicológica una de las opciones consiste en hacer corresponder tres preguntas con tres respuestas. Si un estudiante contesta las tres respuestas sin repetición en las columnas aleatoriamente, encuentre la distribución de probabilidad probabilidad para x , el n%mero de respuestas correctas. SOLUCIÓN 6
7. En el problema #, construa su función de distribución acumulada calcule la des*iación est$ndar. est$ndar. SOLUCIÓN6
5. La función de probabilidad de una *ariable aleatoria discreta x est$ est$ dada por
0$ x + 1/ si x = -1$& f x0 / = en otra parte 8etermine la función de distribución acumulada, la media, la *arian)a la des*iación est$ndar.
13. La función de probabilidad de una *ariable aleatoria discreta x est$ est$ dada por
0$ x + 1/ ( j0 x/ = -
∀ x = 1.$.&.4.( en otra parte
8etermine6 a9 :; x x 9 b9 Su des*iación est$ndar< 11. La función de probabilidad de una Variable aleatoria discreta x est$ est$ dada por6
x + $ ( 1- − x f 0 x / = $ 8etermine la des*iación est$ndar.
si x = 1.$.&.4.( si x = 6.7..9 en otra parte
1!. 1!. En un estu estudi dio o de merc mercad ado, o, se enco encont ntró ró que que el n%me n%mero ro de ogh oghur urts ts de 133 133 g consum consumido idoss por una familia familia *ara de uno a cuatr cuatro. o. Sea x una *ariable aleatoria que representa el n%mero de oghurts de 133 g consumidos diariamente por una familia. El estudio de mercado mostró que la función de probabilidad de x , est$ dada por6
0$ x$ − x/ ( j0 x/ = -
∀ x = 1.$.&.4 en otra parte
8etermine la des*iación est$ndar, 1(. Sea x la la *ariable aleatoria que representa la demanda semanal de una re*ista de modas en un expendio. La experiencia muestra que la demanda de este artculo es una *ariable aleatoria que tiene la función de probabilidad dada por6
0 x − 7/ 1 j x0 / = -
∀ x = &4(6 en otra parte
a9 Encuentr Encuentre e la función función de probabilid probabilidad ad acumulad acumulada, a, b9 8eterm 8etermine ine el el *alor *alor esperad esperado o 14. 14. Sea Sea x una *ariable aleatoria que representa los componentes defectuosos en el armado de tele*isores. La función de probabilidad de x est$ est$ dada por,
-.-( -.-6 x f 0 x/ = $ . -& x -.-$
si x = si x = 1$ si x = &4 si x = (
a9 Encuentr Encuentre e la distribuc distribución ión acumulad acumulada a des*iació des*iación n est$ndar est$ndar 12. "na empresa de alimentos con la entrada de =L, necesita moderni)ar si maquinaria para ser m$s competiti*a pero no tienen el su'ciente capital, por lo que decide ofrecer bonos, bonos, los cuale cualess *encen *encen al cabo cabo de *arios *arios a>os. La distri distribuc bución ión acumula acumulada da de x el n%mero de a>o al *encimiento para un bono elegido al a)ar, es6
1 6 F 0 x/ = & 6 1 'ncuentre&
si x < 1 si x = 1 si x = & si x ≥ 7
a9 P; x ? 29, b9 P; x 29 x ? x @ 49, c9 P;!.1 x
1#. En la )ona sureste del pas en la Bpoca de llu*ias por lo general los caminos se hacen intransitable. 8espuBs de a)otar un ciclón es necesario lle*ar auda alimenticia mBdica a la población C desde la población A, para ir de estas poblaciones partiendo de A, ha dos caminos, en el primero existe un puente en el segundo existen dos puentes, para que estos caminos sean transitable que los puentes estB en buen estado, la probabilidad de que los puentes se encuentren en ser*icio es de 3.# su funcionalidad es independiente a que est$n construidos con caractersticas diferentes. Encuentre la distribución de probabilidad para x , el n%mero de caminos posibles transitables para ir de la población A, a la población C despuBs de haber partido la auda. 17. on el problema de colera en la Dep%blica exicana la secretaria de salud implementó medidas pre*enti*as de control principalmente en el agua potable de un municipio del cual llegaron informes a esta secretaria de que no cloraban el agua, encontraron dos contaminantes el del cólera otro menor, los datos obtenidos son los siguientes, el 13F de los depósitos examinados no se encontró contaminante alguno, el (3F tena la bacteria del cólera el #3F tena el contaminante menor. Si se elige un depósito al a)ar de este municipio, encuentre la distribución de probabilidad para x , el n%mero de contaminante encontrados en el depósito. 15. "na *ariable aleatoria discreta x tienen la función de probabilidad f ; x 9 donde
1 ! k f 0 x/ = $
si x = 1$& en otra forma
a) 8etermine k b) Encuentre media *arian)a de x c) Encuentre F ; x 9
!3. La demanda de cierto tipo de alcohol es G1, 3, H1, H! por da con la probabilidades respecti*as de 1I0, 1I13, !I0, (I13. "na demanda de G1 implica que se regresa una unidad. Encuentre la demanda esperada la *arian)a. 8ibu+e la función de distribución de probabilidades. !1J "n polticos tiene tres traba+adores hombres tres traba+adores mu+eres. 8esea elegir dos traba+adores para una labor especial decide seleccionar al a)ar. Sea x el n%mero de hombres en su selección. a9 -u$l es el recorrido de x / b9 alcule la fdo grafquela c9 alcule la :8A, haga su gr$'ca !!. En una lotera se rifar$ un millón de pesos, si son mil boletos, cada uno *ale 13,333 pesos si una persona compra ! encuentre6 a9 La *arian)a b9 La :8A si la *ariable aleatoria es la ganancia
!(. Sea x una Variable aleatoria que representa el n%mero de caras menos el n%meros de $guilas en dos lan)amientos de una moneda, si esta moneda est$ cargada de tal manera
que es doblemente probable que ocurra una cara que una $guila, encuentre su distribución de probabilidad.
Distribución binomial 1. "n comerciante de *erduras de la colonia &ran+as Bxico tienen conocimiento de !I( de una ca+a de mango est$ descompuesta o tiene Klunares. Si se eligen 4 mangos al a)ar por un comprador, encuentre la probabilidad de que. A9 Los 4 estBn descompuestos o tengan lunares, b9 de 1 a ( estBn descompuestos o tengan lunares. !. En un estudio sociológico, se encontró que 23F de los consumidores de tacos calle+eros enferman de amibiasis, se seleccionan al a)ar 7 adictos a los tacos calle+eros, encuentre la probabilidad de que, a9 tres exactamente tengan amibiasis, b9 Por lo menos 0 tengan amibiasis. (. Seg%n una encuesta de una re*ista M, del total de empresas metalJmec$nica de un estado x de la Dep%blica exicana, acostumbran a desperdiciar a sus traba+adores antes de cumplir un determinado periodo de tiempo para que no adquieran la cabse sean sindicali)ados. Se seleccionan 2 empresas al a)ar, calcular la probabilidad de encontrar, a9 de ! a 0 de estas empresas, b9 enos de tres empresas 4. "na de las medidas de control de calidad de un amortiguador para automó*il, es probarlo en los baches de la a*enida Ermita G N)tapalapa, se encontró que el !3F de los amortiguadores sometidos a la prueba presentaban fuga de aceite por lo tanto est$n defectuosos. Si se instalan !3 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a9 4 estBn defectuosos, b9 m$s de 0 estBn defectuosos. 9 de ( a 2 amortiguadores estBn defectuosos. 0. La probabilidad de que un paciente se recupere de una operación para extirpar un tumor cerebral es del 53F. Oallar la probabilidad de que se recuperen cinco de siete pacientes que esperan turno para ser operados. 2. "n ingeniero Nndustrial que labora en el departamento de control de calidad de una empresa elBctrica, inspecciona una muestra al a)ar de tres alternadores de unos lotes. Si el 10F de los alternadores del lote est$n defectuosos. -u$l es la probabilidad de que en la muestra, a9 ninguno sea defectuoso, b9 uno sea defectuosos, c9 al menos dos sean defectuosos/ #. "n ingeniero en transportes informa que el #0F de la *eces los trolebuses de una ruta determina en el 8: llegan a su central con retraso de por lo menos *einte minutos en las horas pico, debido al intenso tr$'co *ehicular. Si se eligen 5 trolebuses, hallar la probabilidad de que menos de 4 arriben fuera de su horario. 7. La probabilidad de que compact dis, dure al menos un a>o sin que falle es de 3.50, calcular la probabilidad de que en 10 de estos aparatos, a9 1! duren menos de un a>o, b9 a lo m$s 0 duren menos de un a>o, c9 al menos ! duren menos de un a>o. 5. La empresa empacadora de pi>as LA N8EAL a'rma que el 70F de las que llegan est$n listas para ser procesadas. alcular la probabilidad de que !3 pi>as que llegaron, a9 10 est$n listas para ser procesadas, b9 a lo m$s 12 est$n para ser procesadas, c9 al menos 17 est$n listas para ser procesadas.
13. La probabilidad de que un estudiante de ingeniera apruebe un examen de matem$tica es de3.(3, utili)ando la formula de distribución binomial encuentre la probabilidad de que 4 de 13 estudiantes aprueben el examen. 11. "na compa>a de exploración gana un contrato con petróleos mexicanos para perforar po)os, esta compa>a tiene estadsticas que le indican que en el 13F de los po)os de prueba que perfora encuentra un depósito de gas natural. Si perfora 0 po)os, hallar la probabilidad de que en al menos en ! se encuentre gas natural. 1!. En una urna se encuentran # pelotas a)ules ( *erdes, se sacan 0 pelotas con reempla)o. Sea x el n%mero de pelotas a)ules que se sacan, calcular la media *arian)a de esta distribución. 1(. Se sabe que x es una *ariable aleatoria binomial con un media igual a 7 una des*iación est$ndar de !. Encontrar la distribución de probabilidad de x . 14. Sea x una *ariable aleatoria binomial. Oallar la distribución de probabilidad de x si µ ? 4 n? 13. 10. "na encuesta reali)ada en la "PNNSA del NPQ con los estudiantes de la carrera de Lic. En Administración industrial acerca de la importancia de las matem$ticas para ellos, re*eló que el 73F de los entre*istados consideran que no les sir*en para nada. Seg%n esta encuesta -u$l es la probabilidad de que por lo menos 4 de los 13 siguientes entre*istadores al a)ar sea de esta opinión/ 12. "na lnea de coches de una cierta marca fue construida con el distribuidor hacia aba+o, la compa>a que los fabricó encontró en un estudio que hi)o que el (3F de estos, al pasar por calles encharcadas se paraban por haberse mo+ado el distribuidor. Si 10 de estos coches son puestos a prueba en calles encharcadas, hallar la probabilidad de que a9 de 4 a # se paren, b9 menos de 0 paren. 1#. La Probabilidad de que un motor reciBn a+ustado tire aceite en los primeros 133 m por lo retenes es de 3.30. Si 13 automó*iles se a+ustan en un taller mec$nico. Oallar la probabilidad de que, a9 menos de 4 tire aceite por retenes, b9 ninguno tire aceites por los retenes, c9 al menos ! tiren aceite por los retenes, d9 la des*iación de la distribución de probabilidad. 17. La probabilidad de que un n%mero se presente a asesora durante el semestre en alguna asignatura de la academia de matem$ticas con el profesor que el corresponde es de 3.31. Si un profesor de una determinada materia tiene 03 alumnos hallar la probabilidad de que se presenten a asesora durante el semestre, a9 al menos 4 alumnos, b9 m$s de 0 alumnos, c9 ning%n alumno.
15. "na prestigiada agencia reali)ó una encuesta entre los residente de la población de Amatl$n Veracru), acerca de sus preferencia para *otar por uno de los dos candidatos a alcalde, esta encuesta mostró que el 43F de los ciudadano tienen intención de *otar por el candidato Qabor. alcular la probabilidad de que m$s de 0 de las siguientes !3 personas entre*istadas tengan intención de *otar por Qabor. !3. Rbtenga la media la *arian)a de la *ariable aleatoria binomial del problema 12.
!1. Si 2 de 17 *ie+as *ecindades en una ciudad *iolan el código de construcción. -u$l es la probabilidad de que un inspector de *ecindades, que selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para construcción, descubra que6 a9 ninguna de las *ie+as *ecindades *iola el código de construcción b9 una *iola el código de construcción c9 dos *iolan el código de construcción d9 Al menos tres *iolan el código de construcción !!. En cierta ciudad, se da hecho que los altos impuestos son la causa del #0F de todas las quiebras personales. EmplBese la distribución binomial para calcular la probabilidad de que los gastos mBdicos sean la causa de dos de las cuatro próximas quiebras personales registradas en toda la ciudad en tal ciudad. !(. "na despachador de cierta ruta de microbuses informa que el #0F de las *eces los microbuses de esa ruta llegan a su terminal con un retraso de por lo menos !3 minutos en las horas pico debido al intenso tr$'co *ehicular, si se eligen 5 microbuses, hallar la probabilidad de que menos de 4 arriben fuer)a de su horario. !4. al probar una cierta clase de droga en 133 estudiantes se encontró que !0 de ellos perdieron el h$bito de copiar en los ex$menes. 8e los siguientes 10 estudiantes que prueban esa droga obtenga la probabilidad de que6 a9 Exactamente 7 pierdan el h$bito de copiar e9 $s de 0 pierdan el h$bito de copiar b9 8e ( a 2 inclusi*e pierda el h$bito de copiar f9 alcule el *alor esperado la *arian)a c9 8e ( a 2 pierda el h$bito de copiar d9 enos de 4 pierdan el h$bito de copiar
Distribución de Poisson 1. En un crucero un o'cial de tr$nsito hacen en promedio ( infracciones diarias. Oallar la probabilidad de que un da cualquiera le*ante, a9 exactamente 0 infracciones, b9 menos de tres infracciones, c9 por lo menos ! infracciones.
!. "na ca+era no*ata de un tienda de autoser*icio se equi*oca en promedio ! *eces en el cobro por da. -u$l es la probabilidad de que en un da cualquiera, a9 tenga 4 o m$s equi*ocaciones, b9 no tenga ninguna equi*ocación/ (. En un estudio de in*entario reali)ado en un tienda de importación se determinó que se pierden en promedio 0 artculo por daJ -cu$l es la probabilidad de que en un da determinado dichos artculos, a9 se pierdan en una cantidad maor que 0, b9 no se pierda ninguno/ 4. La probabilidad de que un apersona muera de cólera o tifoidea por comer sopes en la calle es de 3.33!. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 0 de las siguientes !333 personas que contra+eron estas enfermedades por comer sopes en la calle.
0. La secretara de Oacienda estima que en promedio una de 1,333 personas comete un fraude al elaborar su declaración de impuestos. Se seleccionan al a)ar examinan 13,333 declaraciones, obtenga la probabilidad de que a lo m$s 7 tengan la mala costumbre de defraudar a Oacienda. 2. el n%mero de descomposiciones que sufre una copiadora en un semana, tienen una distribución de Poisson con λ ? 3.(. alcular la probabilidad de que no tenga ninguna descompostura en dos semanas consecuti*as. #. "n detector de partculas, detecta en promedio 0 partculas por cada milisegundo. -u$l es la probabilidad de que se detecten, a9 7 partculas en ( ms, b9 ! partculas de 3.0 ms/ 7. Se estiman que en promedio en uno de cada 4,333 *uelos de una lnea tiene un accidente. Si en el transcurso de un a>o esta lnea !,333 *uelos, -u$l es la probabilidad de que en el lapso de ( a>os le ocurra, a9 un accidente a alg%n a*ión de esta compa>a, b9 0 accidentes de esta lnea aBrea/ 5. Se considera que en promedio ! personas que deben declarar pagar impuestos en una aduana, no lo hacen. alcular las probabilidades siguientes considerando que lo anterior sucede en un lapso de tiempo de ( das, a9 ( personas pasan sin declarar en el transcurso de un da, b9 ( personas pasa sin declarar en el transcurso de ( das, c9 ( personas pasan sin declarar en el transcurso de 2 das.
13. En taller tipogr$'co se producen libros de matem$ticas se sabe que en promedio se producen libros defectuosos en una ra)ón de !1 por cada 13,333 libros, los defectuosos consisten en ho+as en blanco, mala encuadernación, cortes reba+as incorrectas etc. alcular la probabilidad de que en una edición de un libro con 03,333 e+emplares se tengan 03 defectuosos.
11. "na compa>a de seguros se dedica a asegurar cosechas de ma), fri+ol arro), en promedio al a>o se pierde 1# de cada 033 cosechas aseguradas. Si la compa>a decide asegurar 1,333 cosechas, -ual es la probabilidad de que se pierdan !0 cosechas/ 1!. En una f$brica de ropa el gerente de producción, tiene estadsticas que le indican que en promedio existe un defecto en cierta tela que produce por cada rollo, calcular la probabilidad de que, a9 tenga un defecto un rollo seleccionado al a)ar, b9 no tenga ning%n defecto un rollo seleccionado al a)ar, c9 no se encuentre ning%n defecto en dos rollos seleccionado al a)ar, d9 se encuentren ( defectos en un total de 4 rollos seleccionado al a)ar. 1(. "na f$brica de chocolates detectó que el !F de sus en*olturas de un chocolate en especial no lle*a pilón. Si se eligen 433 de dichas en*oltura6 a9 -u$ntas en*olturas sin pilón se esperara encontrar/ b9 -u$l es la probabilidad de hallar a lo m$s 0 en*oltura sin pilón/ c9 -u$l es la probabilidad de hallar al menos 0 en*oltura sin pilón/ 14. La probabilidad de que una persona muera de c$ncer es de 3.333(. Si se hace la autopsia a !3,333 cad$*eres. -u$l es la probabilidad de que, a9 nadie haa muerto de $ncer, b9 Por lo menos dos haan muerto de $ncer, c9 $s de 2 haan muerto de $ncer/
10. Suponga que en promedio una secretaria comete ( errores de mecanografa por p$gina. Encuentre la probabilidad de que en una p$gina tenga, a9 exactamente 0 errores, b9 al menos 4 errores. 12. En una agencia automotri) se sabe que en promedio dos de cada 133 clientes regresan a reclamar alg%n defecto *isible que tiene el automó*il, esto ocurre en un tiempo de un mes. Sobre esta base si se *ende 133 autos calcular la probabilidad de que, a9 m$s de ( clientes regresen a reclamar en el lapso de un mes, b9 4 clientes regresen a reclamar en el lapso de un mes, c9 calcular la media la *arian)a. 1#. En una compa>a aseguradora existen estadsticas que re*elan que cada a>o promedio 1 de cada 1,333 conductores asegurados tienen una colisión fuerte ;PBrdida total9. Si una compa>a en particular tiene 033 automó*iles asegurados, calcular la probabilidad de que colisionen, a9 4 conductores asegurados, b9 por lo menos dos conductores asegurados colisionen, c9 m$s de dos conductores asegurados.
17. En una población de la sierra de &uerrero donde la contaminación es pr$cticamente nula, la probabilidad de que una persona contraiga una infección respiratoria es de 3.3334. alcular la probabilidad de que a lo m$s 0 de 13,333 personas que se sometan a un an$lisis mBdico haa contrado la enfermedad.
15. "n fabricante de *ideo grabadoras sabe que el 13F tiene alg%n defecto, si un tienda de aparato electrónicos adquiere 03 *ideos grabadoras, hallar la probabilidad de que, a9 uatro estBn defectuosas, b9 a los m$s ( son defectuosas.
!3. En un estacionamiento en la central de abastos se tienen dos entradas, en la primera llegan en promedio 4 *ehculo cada hora por la segunda 0 *ehculos cada hora, la llegada de *ehculo a estas entradas son independiente. alcular la probabilidad de que lleguen m$s de # automó*iles en una hora.
Distribución hipergeomtrica 1J "n fabricante de automó*iles compra bombas de gasolina a una compa>a que las fabrica ba+o normas espec'cas de calidad. El fabricante recibe un lote de 133 bombas de gasolina para automó*il, selecciona cinco al a)ar las prueba,, si encuentra que a lo m$s una es defectuosa acepta el pedido, hallar la probabilidad de que lote sea recha)ado si en realidad contiene # bombas defectuosas. !. "n cargamento de 73 bicicletas de carrera contienen 0 defectuosas, cuatro de ellas son seleccionadas al a)ar embarcadas a un distribuidor, hallar la probabilidad de que este embarque tenga una defectuosa. (. "na sociedad de egresados de :sica atem$ticas, est$ considerando para sus tres encuentros anuales doce ciudades del pas como futura sedes, seis se encuentran en el sureste de Bxico. Para que no exista fa*oritismo la selección se hace al a)ar. Si ninguna de la ciudades puede ser elegida m$s de una *e), hallar la probabilidad de que, a9 ninguno de los encuentros se celebre en el sureste de Bxico, b9 a lo m$s dos encuentros se celebren en el sureste de Bxico. 4. En un examen de E.=.S. de matem$ticas en la cual se presentan (! estudiantes se sospecha que ha tres suplantadores, el +efe de la academia decide tomar seis credenciales al a)ar para *eri'car la autenticidad de estas. -u$l es la probabilidad de que se encuentren, a9 a lo m$s dos suplantadores, b9 dos suplantadores/ 0. Es com%n que en los ex$menes de probabilidad Estadstica NN algunos estudiantes que no se prepararon adecuadamente traten de utili)ar los llamados Kacordeones para recordar todas las fórmulas, estos estudiantes escriben sus acordeones por lo general en la tablas estadsticas, los cuales f$cilmente detectados por un profesor cuidadoso. onsidBrese un grupo de 43 alumnos, tres de los cuales escribieron sus acordeones en las tablas estadsticas, el profesor con'ando en la honestidad de sus estudiantes decide re*isar aleatoriamente las tablas de siete de ellos. -u$l es la probabilidad de que detecte a los infractores/ 2. "na industria editorial busca en la sección amarilla a sus futuros pro*eedores, el encargado de este traba+o por o+era decide hablar por telBfono sólo a tres para coti)ación precios de un cierto material, de un total de seis, dos dan el precio m$s barato del 8.:. -u$l es la probabilidad de que haa hablado, a9 a unos de los pro*eedores que
dan el precio m$s barato, b9 al menos a uno de los pro*eedores que den el precio m$s barato/ #. En un estante de un supermercado un cliente obser*a que sólo quedan die) focos de una oferta, selecciona cuatro para lle*arlo a su casa, pero del lote de die) tres no funcionan. -u$l es la probabilidad de que, a9 todos los seleccionados funcionen, b9 por lo menos dos no funcionen/ 7. Se estima que !3 de cada 03 personas residentes en la delegación N)tacalco est$n en contra del cobro del nue*o impuesto para la adquisición de *ehculo usados. Se entre*ista a 10 personas se les pide su opinión, -u$l es la probabilidad de que a lo m$s # no estBn a fa*or del nue*o impuesto/
5. Se sabe que de 103 empleados de la Secretaria de Protección Vialidad de algunas delegaciones6 (3 son corruptos exigen Kmordidas en los tr$mites de placas, cambio de propietario licencias de mane+o, La contralora interna de esa Secretara decide abrir una in*estigación para detectar a algunos malos elementos aplicarles las sanciones correspondientes para que los restantes se corri+an. "n inspector selecciona 13 nombres al a)ar de los 103 empleados. alcular la probabilidad de que por lo menos ( sean malos elementos.
13. "n cargamento de 1!3 pantalones tiene 0 defectuosos. Si ( pantalones son seleccionados aleatoriamente empacado para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque uno defectuoso. 11. "na empresa que manufactura autoestBreo utili)ados un sistema de aceptación para ciertos productos antes de que sean en*iados. El mBtodo utili)ado es de doble etapa. Se preparan ca+as de !0 artculos para su embarque se prueba una muestra de ( para locali)ar defectuosos. Si se halla un defectuoso en la muestra de ( para locali)ar defectuosos. Si se halla un defectuoso en la muestra, se regresa la ca+a completa para su reposición, si no se halla ninguno defectuoso la carga se en*a a su destino. -u$l es la probabilidad de que contenga sólo unos defectuosos sea de*uelta para su reposición/ 1!. "na empresa empacadora de alimentos de productos pesqueros, e*al%a su proceso de inspección con respecto a 03 productos, el proceso consiste en seleccionar una muestra de 0 dar por buena una remesa, si se halla que no m$s de ! son defectuosos. -TuB proporción de en*os con !3F de defectuosos podr$ ser aceptada/ 1(. "n falluquero para e*itar el pago de impuesto sobre la Denta agrega 2 tele*isores nue*os en un lote que contienen 5 tele*isores descompuestos usados. Si el polica aduanal selecciona ( de estos tele*isores para su inspección. -u$l es la probabilidad de que el falluquero sea detectado/
14. Los falluqueros de los tianguis por lo general se abastecen de artculos con ba+o control de calidad, un falluquero tienen 1! linternas de manos para su *enta en un tianguis, 5 est$n buenas las restantes presentan alg%n defecto, si una persona que *isita el tianguis selecciona 4 linternas, -u$l es la probabilidad de que ( de ellas estBn defectuosas/
10. A ra) de los temblores de 1570 en el 8.:. se establecieron nue*os códigos de construcción se obligó a los constructores a respetarlos. Si 7 de !4 nue*os edi'cios *iolan el código de construcción, -cu$l es la probabilidad de que un inspector que selecciona al a)ar 0 de ellos descubra que, a9 ninguno *iola el código, b9 tres *iolan el código, c9 al menos dos *iolan el código de construcción. 12. 8e los !3 proectos presentados por un grupo de in*estigadores de una "ni*ersidad, 1! son del $rea de inform$tica los restantes del $rea tecnológica. Si tres de estos proectos son cancelados por recorte de presupuesto, esta cancelación se reali)ó al a)ar. -u$l es la probabilidad de que, a9 dos de los proectos cancelados sean del $rea tecnológica, b9 a lo m$s uno sea del $rea tecnológica/ 1#. En una encuesta a 73 personas con edad para *otar, reali)ada por el equipo de campa>a de un candidato a alcalde para un municipio en el estado de Bxico, re*eló que el 43F tiene intención de *otar por Bl. Si 4 de estas personas se seleccionan al a)ar se les pide su opinión. -u$l es la probabilidad de que a9 m$s de 1 tenga intención de *otar por Bl/ C9 m$s de 1 pero menos de 4 tengan intención de *otar por Bl/ 17. Las autoridades del 8.: el Estado de Bxico est$n en pl$ticas que la colonia San :elipe de Ues%s pase a +urisdicción del Estado de Bxico. Si se encuesta a !,333 residentes de una sección de esta colonia la mitad de ellos se oponen a la anexión. -u$l es la Probabilidad de que en una muestra aleatoria de 13 personas, por lo menos ! estBn a fa*or del proecto de anexión/ 15. En la clase de Nntroducción a la Nngeniera Nndustrial el maestro acostumbra a pasar a exponer a los alumnos en equipos de tres seleccionados a la hora de clase, 5 alumnos a%n no han expuesto uno de ellos no preparó el tema, -u$l es la probabilidad de que el estudiantes que no preparó la clase sea escogido, suponiendo una selección aleatoria entre los 5/ !3. -u$l es la probabilidad de que un portero de un cine se rehusB a de+ar entrar a ! menores de edad, a que se exhibe una pelcula sólo para adultos, su al re*isar sus identi'caciones de 4 personas entre un grupo de 7, tres de los cuales no son maores de edad/ !1. En una ca+a ha 0 en*ases de un litro de leche de los cuales 4 de ellos contienen leche fresca. Si se seleccionan al a)ar ! en*ases, -ual es la probabilidad de obtener exactamente a9 ! litros de leche fresca, b9 un litro de leche fresca/
!!. "n poli, antinarcóticos inspecciona una muestra aleatoria de ( autos de cada lote de !4 que est$n listos para ser embarcados. Si un lote contiene 2 autos en los que se esconde droga. -u$les son la probabilidades de que la muestra del inspector contenga a ninguna de los autos con droga, b9 solamente uno de los autos con droga, c9 al menos dos autos con droga/ !(. "n cargamento de 1!3 perros contiene cinco con rabia, si tres de ellos son seleccionados aleatoriamente embarcados para un cliente, encuBntrese la probabilidad de que al cliente le toque un perro con rabia, utili)ando, a9 la fórmula de la distribución hipergeomBtrica, b9 la fórmula de la distribución binomial como una aproximación. !4. Se regresan las m$quinas fotocopiadoras al pro*eedor para que la limpie las de*uel*a, de acuerdo con el con*enio de arrendamiento. Si no se lle*an a cabo las reparaciones principales como resultado, algunos clientes reciben m$quinas que funcionan mal. Entre 7 fotocopiadoras usadas que se suministraron, ( funcionan mal. "n cliente desea rentar cuatro m$quinas r$pidamente se le mandan sin *eri'carlas. alcular la probabilidad que el cliente reciba, a9 Qinguna de las m$quinas que traba+en mal, b9 por lo menos una de las m$quinas que traba+an mal, c9 =res m$quinas que traba+an mal.
Distribución geomtrica 1. La probabilidad de que una persona se contagia al saludar de un beso a sus compañeros de un grupo es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que se contagia al saludar el tercero? !. El #3F de los aspirantes a un traba+o ha estudiado en el RQALEP. A todos ellos se le entre*ista se les hace una prueba de conocimiento, uno tras otro. Si los aspirantes se seleccionan al a)ar, determine la probabilidad de que encuentre al primer aspirante pro*eniente del RQALEP en la quinta entre*ista. (. "n buscador de tesoros exca*ar$ una serie de hoos en un $rea determinada, con una tBcnica sólo conocida por Bl, para encontrar un tesoro, la probabilidad de Bxito es de 3.!. Oallar la probabilidad de que le tesoro, a9 sea encontrado al exca*ar el tercer hoo, b9 no sea encontrado si sólo tiene $nimo de exca*ar 13 hoos. 4J Los expedientes de una compa>a de helados indica que la probabilidad de que uno de sus congeladores requiera reparación en el pla)o de un a>o es de 3.!3. Si se reali)a una re*isión de todos sus refrigerados. -u$l es la probabilidad de que el sexto que se re*ise sea el primer congelador que necesite ser reparado/ 0. "n polica experto en tiro de pistola, se +acta que el 50F de las *eces acierta en el blanco. Oallar la probabilidad de que falle por primera *e) en su decimoquinto tiro. 2. uchos alumnos a la hora de inscribirse a un nue*o se de+an lle*ar por lo comentarios referentes a los profesores del departamento de matem$ticas, la probabilidad de que un
estudiante lo crea es del 73F. -u$l es la probabilidad de que el tercer estudiante que oe el comentario es el primero que los cree/ #. Se considera que muchas *eces al comprar en el tianguis no se da el pero completo, la probabilidad de que una b$scula estB alterada no de Bl peso completo es del 0 F. "n inspector de la Secretaria de omercio se presenta a re*isar la b$scula de un tianguis x . Oallar la probabilidad de que la sexta b$scula re*isada sea la primera en estar alterada. 7. "n estudiante que no sea ha preparado para el examen 'nal de :ilosofa, debe contestar !3 reacti*os, toda pregunta tiene 0 posibles respuestas, una es la correcta. Si decide contestar en orden calcula la probabilidad de que obtenga su primera respuesta correcta, a9 en la pregunta cinco, b9 en la dBcima pregunta. 5. "n inspector de la Secretaria de onsumidor decide *isitar establecimiento para *eri'car una denuncia de que no se respetan los precios o'ciales, para esto decide organi)ar las *isitas en un orden determinado. omo estos establecimientos distribuen di*ersos productos la probabilidad de que le inspector detecte irregularidades es del 7F, hallar la probabilidad de que por lo menos detecte la primera irregularidad a partir de la tercera *isita. 13. Se estima que el #3F de los a'cionados al KCaset Call en la Dep%blica exinaca apoa a los Laers de Los ngeles. Se entre*ista a una grupo de a'cionados al a)ar, -u$l es la probabilidad de que se tenga que entre*istar a9 a cuatro personas, para encontrar al primero a'cionado que apoa a los Laers, b9 a al menos cuatro para encontrar al primer a'cionado que apoa a los Laers/
11. El 25 de los estudiantes que aspiran a !acer el ser"icio social en la academia de matemáticas de cierta escuela son e#perto en programaci$n computacional. El %e&e de las academias de matemáticas entre"ista uno tras otro a los aspirantes' los cuales son seleccionados aleatoriamente. Encuentre la probabilidad de que el quinto aspirante entre"istado sea el primero con conocimientos de programaci$n.
1!. "n inspector de la SER:N, ha encontrado que 2 de 13 tiendas que *isita presentan irregularidades. Si el inspector *isita una serie de tiendas al a)ar. -u$l es la probabilidad de que, a9 la primera tienda con irregularidades que *isite sea la segunda, b9 la primera tienda con irregularidades fuera encontrada despuBs de re*isar la cuarta/
1(. Los expediente de los pacientes de un dentista, indica que la probabilidad de que uno de ellos regresa a consulta en el pla)o de un a>o es de !3F. Oallar la probabilidad de que el sexto paciente examinado sea el primero que regresó en el mismo a>o.
14. En un concurso de tiro de participante acierta el 53F de las *eces, hallar la probabilidad de que falle por primera *e) en el dBcimo disparo.
10. En una f$brica de tornillos se tiene calculado la probabilidad m$xima de des*iación del di$metro de una serie de tornillos en particular en 0F Oallar la probabilidad de que el cuarto tornillo sometido a prueba sea el primero en mostrar esa des*iación. 12. "n pasante de la carrera de Nngeniera Nndustrial pretende titularse por examen general de conocimientos. El n%mero de *eces que se aplica es un con+unto de e*entos independientes con una probabilidad de aprobar del 43F. Oallar la probabilidad de que no se necesite m$s de ( intentos para aprobar el examen. 1#. 8e acuerdo a una encuesta reali)ada por una compa>a, se estima que el #3F de una población con derecho a *oto tienen preferencia por el candidato A. Si se entre*ista a un grupo de personas al a)ar, hallar la probabilidad de que a la tercer persona que se encueste sea el primer *otante que pre'ere al candidato A. 17. "n estudiante que es afecto a copiar en los ex$menes, tiene una probabilidad de que lo sorprendan del !0F. Oallar la probabilidad de que lo atrapen por primera *e) en su tercer examen.
15. La secretara de omercio recibió una denuncia de que en un mercado en particular la b$sculas est$n alteradas, si la probabilidad de que una de estas b$scula este alterada es del (F, hallar la probabilidad de que un inspector en*iado para este efecto detecte que la sexta de la b$scula examinada sea la primera en mostrar alteraciones.
!3. En nuestro medio es mu com%n soltar un borrego ;rumor9, la probabilidad de que una persona los crea es de 3.2. Oallar la probabilidad de que la tercera persona que lo escucha sea la primera que lo crea.
!1. "n polica experto recibe un soborno el 50F de las *eces que cree obser*ar una infracción a cierto reglamento. -u$l es la probabilidad de que no reciba soborno por primera *e) en su dBcimo quinto intento/
!!. Sesenta por ciento de la población de consumidores pre'eres refrescos con gas. Se entre*ista a un grupo de ellos, -u$l es la probabilidad de que se tenga que entre*istar exactamente a cinco personas antes de encontrar a una que pre'era refresco con gas/ -W quB entre*istar por lo menos a cinco personas/
!(. Si la tercera parte de las persona que llegan tarde a cierto e*ento son negros, calcular la probabilidad de que, a9 La primera persona que llega tarde a ese e*ento sea negro, b9 Si asisten 13 personas a la reunión, la segunda persona que llega tarde a ese e*ento es negro.
Variables aleatorias continuas 1. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de densidad de'nida por
1 x si 1 ≤ x ≤ & f x0 / = 4 - en otro lado a) ompruebe que es :.8.P. b) Encuentre F ; x 9 c) P ;1.0 x !9
!. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de densidad de'nida por
$ x si 1 ≤ x ≤ $ f x0 / = & - en otro lado alcule V ; x 9. (. Sea f ; x 9 una *ariable aleatoria continua, cua función de densidad est$ de'nida por
1 x si 1 ≤ x ≤ ( f 0 x/ = 1$ - en otro lado a) Encuentre F ; x 9 b) P ;! x 49.
4. Sea X una *ariable aleatoria continua, cua función de densidad est$ de'nida por
1 x si 1 ≤ x ≤ 6 f x0 / = ( - en otro lado a) b) c)
Encuentre F ; x 9 P ;1 < x 09 P ;( < x 09.
0. Sea X una *ariable aleatoria continua, cua función de densidad est$ de'nida por
4 x& si - ≤ x ≤ 1 f x0 / = - en otro lado a) encuentre F ; x 9 b) P ;3.0 x 3.59.
2. Sea X una *ariable aleatoria continua, cua función est$ dada por
( & + x f 0 x/ = ( & − x
si 2 & ≤ x < si - ≤ x ≤ & en otro lado
ompruebe que es una función de densidad.
#. Sea X una *ariable aleatoria continua, cua función est$ dada por
( & + x f 0 x/ = ( & − x
si $ ≤ x < 4 si 4 ≤ x ≤ ( en otro lado
ompruebe que es una función de densidad. 7. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de densidad
14.77e−$ x si x ≥ 1 f x0 / = en otro lado a) ompruebe que es :.8.P. b) P ;1.1 x 1.(9
5. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de densidad −( x
(e f x0 / = -
a) b) c) d)
si x ≥ -
en otro lado
ompruebe que es :.8.P. Encuentre P ; x 3.(9 Encuentre P ; x @ 3.29 Encuentre P ;3.! < x < 3.49.
13.Sea X una *ariable aleatoria continua, con función −& x
ke f x0 / = -
si x ≥ $.4
en otro lado
Encuentre el *alor de k , para el cual f ; x 9 es :.8.P. 11.Sea X una *ariable aleatoria continua, con función
-.-( f 0 x/ = -.-( − kx
si 2 $ ≤ x < si - ≤ x ≤ $ en otro lado
a) Para quB *alores de k , f ; x 9 es una :.8.P. b) Encuentre F ; x 9 c) Encuentre V ; x 9
1!.Sea X una *ariable aleatoria continua, con función
kx$ f 0 x/ = k ( ( − x)
si - ≤ x < & si & ≤ x ≤ ( en otro lado
a) Encuentre el *alor de k , para el cual f ; x 9 es :.8.P. b) Encuentre F ; x 9.
1(. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función
k ( 4 − x) si 21≤ x ≤ $ f x0 / = en otro lado a) Encuentre el *alor de k , para el cual f ; x 9 es :.8.P. b) Encuentre V ; x 9.
14. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de distribución acumulada
f x0 / = −6 x 1 − e
si x < si x ≥ -
a) Encuentre f ; x 9 b) Encuentre P ;1 x 1.09.
10. Sea X una *ariable aleatoria continua de distribución acumulada − x
1 − e F x0 / = -
si x ≥ -
si x < -
a) Encuentre V ; x 9, b9 Encuentre f ; x 9
12. Sea una *ariable aleatoria continua, con función de distribución acumulada
$ x − $ x + $ $ F 0 x/ = $ − x + 4 x − 7 $ 1 a) Encuentre f ; x 9 b) Encuentre P ;!.4 x (.09
si x < $ si $ ≤ x < & si & ≤ x ≤ 4 si x > $
1#. Sea X una *ariable aleatoria continua, con función de densidad
x − 4 f 0 x/ = 6 − x
si 4 ≤ x < ( si ( ≤ x ≤ 6 en otro lado
a) Encuentre F ; x 9, b9 Encuentre V ; x 9
Distribución uni!orme 1. El tiempo de *ida de una locomotora de ferrocarril, se comporta seg%n un modelo uniforme continuo en el inter*alo X0, 1(Y a>os. Oallar la Probabilidad de que se recuperen los gastos de in*ersión, si por lo menos funciona 7 a>os. !. Sea X una *ariable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el inter*alo cerrado X3, t Y. Rbtenga el *alor de t , si se sabe que P ; X !9 ? 3.4 (. "n grupo de in*estigadores interesados en estudiar el Do "sumacinta, encontró que de profundidad *ara de un da a otro uniformemente entre 1! 10 metros. a9 alcule la probabilidad de que en la siguiente medición se obtenga menos de 1( metros. b9 -u$l es la profundidad promedio del Do/ c9 Rbtenga la des*iación est$ndar ; σ9 para esta distribución 4. "n satBlite que ha cumplido su ciclo en órbita alrededor de la =ierra est$ a punto de caer en ella, los especialistas calcularon su cada en alg%n lugar entre los puntos P T, si su comportamiento es uniforme calcular la probabilidad de que, a9 aiga m$s cerca de P que de T, b9 la distancia con respecto a P sea dos *eces m$s larga con respecto a T. 0. Sea X una *ariable aleatoria con distribución
1 si x = 1.$.&.4 f 0 x/ = 6 - en otro lado a) 8etermine :; x 9, b9 alcule P ;! < x 49 c9 alcule P; x > 5) ; x 9 F ( x ). e9 Encuentre la media µ la *arian)a σ!.
d9 Oaga las gr$'cas de f
2. En un moderno negocio de hamburguesas se despacha el refresco en *asos, con una *ariabilidad uniforme entre 1(3 123 mililitros ;ml9. a) Rbtener un *aso que contenga a los m$s 143 ml. b) -u$ntos ml. contiene en promedio un *aso/
c) Rbtenga la *arian)a para esta distribución.
#. "n meteorólogo hace una medición del tiempo al a)ar, suponiendo que est$ distribuida uniformemente en el inter*alo X1, 4Y. A9 alcule la probabilidad de que la medición este entre 0I! (. b9 Si se reali)an 2 mediciones independientes, hallar la probabilidad de que exactamente ( de ellas estBn entre ! (. 7. "n punto se elige en un segmento de lnea X1, (Y. Suponiendo que X es una *ariable aleatoria continua distribuida uniformemente en este inter*alo, encontrar f ; x 9 F ; x 9. 5. Suponga que X es una *ariable aleatoria distribuida uniformemente en XJ a, aY en donde a @ 3, determinar a en los casos que sea posible6 a9 P; x @ !9 ? 1I(, b9 P; x @ !9 ? Z, c9 P; x Z9 ? 3.7, d9 P;[ x [ !9 ? P;[ x [ @ !9 13."na resistencia se comporta de acuerdo a una distribución continua entre 533 1,133 Rhms, encuentre la probabilidad de que la resistencia, a9 aguante a los m$s 503 ohms antes de quemarse, b9 este entre 503 1,303 ohms. 11.Sea X una *ariable aleatoria continua, referida al error cometido al determinar la densidad de una substancia. Supóngase que X est$ distribuida uniformemente en el inter*alo XJ3.3!, 3.3!Y. -u$l es la probabilidad de que el error cometido este, a9 entre 3.313 3.314, b9 entre G3.311 3.311/ 1!.El tiempo que tarda un autob%s en ir de un destino A a un destino C *ice*ersa, est$ distribuido uniformemente en un inter*alo de #3 a 53 min. Oallar la probabilidad de que la duración del *ia+e sea maor a 70 minutos, si se sabe que el *ia+e dura m$s de 00 minutos. 1(."na *ariable aleatoria X est$ distribuida uniformemente, con media igual a uno *arian)a tres. Encuentre P ; J1 x (9. 14.Supóngase que la concentración de contaminación en la iudad de Bxico ;8.:.9, se encuentra distribuida uniformemente en el inter*alo X43, !03Y N..E..A. ;\ndice etropolitano de la ontaminación del Aire9. Si se considera como tóxica una concentración de 103 N..E..A.s o m$s. Oallar la probabilidad de que al hacerse una medición la concentración de contaminación sea tóxica. 10.Sea X una *ariable aleatoria continua, con distribución uniforme en el inter*alo cerrado Xa, bY Encuentre P ; µ J σ x µ H σ9.
12.Sea X una *ariable aleatoria continua, con distribución uniforme en el inter*alo X a, bY, a b. Si la media es igual a uno la *arian)a es 1!, encuentre los *alores de a b. 1#. 8emuestre que
σ
$
=
(b
−
a
1$
)
$
.
Distribución normal 1. En una carrera automo*ilstica, las *elocidades registradas tienen una media de 53 mIh. on una des*iación est$ndar de 7 mIh. Si se supone normalidad, encuentre los porcenta+es de *elocidad, a9 maores de 133 mIh, b9 menores de 73 mIh, c9 Tue se encuentran entre 70 50 mIh. !. El tiempo necesario para llenar un frasco de un producto es una *ariable aleatoria que sigue una distribución normal, con una media de 13 minutos una des*iación est$ndar de un minuto. Encuentre el tiempo de llenado del frasco de manera tal que la probabilidad de exceder esta sea de 3.3(. (. "na f$brica de tornillos produce un tipo de tornillo con un di$metro promedio de 2.0 mm una des*iación est$ndar de 1.0 mm, -cu$l es la probabilidad de encontrar tornillos con di$metro a9 maor que #mm, b9 entre 2 # mm/ Suponga normalidad. 4. En in*ierno en la Sierra de hihuahua la temperatura media diaria fue de 0] con una des*iación est$ndar de !]. Si la distribución de las temperaturas diarias es aproximadamente normal. -u$l es la probabilidad de que en un da determinado la temperatura hubiera estado, a9 entre ( 2] / b9 a lo m$s de 4] / c9 Por lo menos de 0.0]/ 0. "na empresa fabrica baleros con un di$metro de !.332 cm una des*iación est$ndar de 3.3! cm. Estadstica reali)adas demostraron que todos los baleros fabricados con un di$metro de 1.50 cm hasta !.3(, son aceptados por los distribuidores fuera de estos se regresan a la fabrica. -u$ntos baleros de un grupo de 033 se espera que sean recha)ados si el di$metro especi'cado sigue una distribución normal/ 2. En un aserradero se producen pol!"# cuo largo debe ser !.1!m en promedio, sin embargo si estos polines se encuentran entre !m !.!4m se obser*a que se recha)an aproximadamente el !.0F por exceder el largo superior un !.0F por no llegar al largo inferior. Suponiendo que las longitudes est$n distribuidas normalmente, encuentre la des*iación est$ndar de esta distribución. #. La *ida %til de un refrigerador de una marca de prestigio es de 0 a>os en promedio con una des*iación est$ndar de 1.0 a>os. La garanta de estos aparatos es por un a>o, hallar la probabilidad de que si se adquiere uno de estos refrigeradores se tenga que reclamar la substitución. 7. El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer una distancia del punto A al punto C es de 43 minutos, con una *arian)a de 12 minutos. Oallar la probabilidad de que, a9 tarde al menos 40 minutos, b9 tarde de (2 a 40 minutos. Suponga normalidad. 5. La *ida %til de la pilar alcalinas de la marca E, tienen una media de 7.0 h con un des*iación est$ndar de 3.0 h, las pilas de la marca 8 ;8uracel9, tienen un media de 7.! h una des*iación est$ndar de 3.4 h, en ambas marcas la *ida %til tiene una
distribución normal. Si se elige una pila de cada marca, -cu$l es la probabilidad de que la marca E dure m$s de 7.!0 h la marca 8 menos de 7.4 h/ 13.Las pruebas que se han reali)ado en cierto componente electrónico han mostrado que tienen una *ida media de !3 h con una des*iación est$ndar de ! h, su distribución es normal. Oallar la probabilidad de que si se eligiera una muestra de 0 de estos componentes a lo m$s dos fallen antes de 12 h.
11.El tiempo que tarda un camión materialista entre la bodega de carga la obra de construcción, es aproximadamente normal con una media de !0 minutos una des*iación est$ndar de 4 minutos. A quB hora debe salir el camión de la bodega, para tener una probabilidad del 50F de estar en la obra de construcción a la 13 de la ma>ana.
1!.En un laboratorio mBdico se en*asan ciertos medicamentos en sobre cua distribución de pesos sigue la distribución normal con una des*iación est$ndar de 1.4 gramos. Si el 1F de los sobres pesan m$s de 2 gramos. -u$l es el *alor de la media/
1(.La fuente de sodas KEL EDE^R DRSA ha instalado una m$quina autom$tica, regulable de tal manera que la cantidad media de $lk sea la que se desee, en cualquier caso esta cantidad sigue la distribución normal con una des*iación est$ndar de 0.! ml. a) si el ni*el medio se a+usta a (3(.5 ml. -TuB porcenta+e de *asos de $lk contendr$ menos de !35 ml/ b) A quB ni*el medio debe a+ustarse la m$quina para que sólo el !.!7F de los *asos contenga a los m$s !30 ml/
14.El promedio de *ida de una licuadora de la marca S ;Son9 es de 4 a>os, con una des*iación est$ndar de un a>o, la f$brica repone sin cargo alguno al cliente todas las licuadoras que de+en de funcionar dentro del tiempo de garanta. Si sólo se desea reponer el !F de las licuadoras que funcionen mal. -TuB tiempo de garanta se debe ofrecer/ Suponga normalidad.
10.El peso que soporta una *arilla especial para construcción, sigue la distribución normal, si en promedio aguanta !0 toneladas antes de romperse con una *arian)a de 4 toneladas, a9 -A quB proporción de estas *arillas aguantan un peso maor de !#
=oneladas/ b9 Si las especi'caciones dadas por el fabricante requieren que todas las *arillas aguanten un peso entre !! !7 toneladas. -TuB F de *arillas se esperan recha)ar/ c9 de acuerdo a lo especi'cado en el inciso b, si se tiene un lote de 4,333 *arillas, -cu$ntas se recha)aran/ 12.El di$metro interior para un balero delantero de un automó*il de una marca _, est$ distribuido normalmente con una medio de 0 cm una *arian)a de 3.34 cm, -u$l es la probabilidad de que un balero tenga un di$metro interior, a9 maor a 0.34 cm/ C9 entre 4.57 0.3! cm/
1#.El promedio de tiempo en que un coche de una marca +aponesa empie)a a dar problemas es (.0 a>os con una des*iación est$ndar de 3.0 a>os, un coche de fabricación alemana tiene una media de 4 a>os con una des*iación est$ndar de 3.4 a>os. En ambos casos el tiempo en que empie)an a dar problemas, sigue una distribución normal. Si se elige al a)ar un automó*il de cada marca, -u$l es la probabilidad de que la marca +aponesa dure m$s de ( a>os la marca alemana a lo m$s 4.! a>os/
17.Se sabe que el tiempo que tarda un +efe de personal en entre*istar a una aspirante para una *acante en su compa>a sigue una distribución normal. Si el 13F de los entre*istados tardan m$s de 23 minutos el 4F duran menos de (0 minutos, hallar la media la *arian)a.
15.La resistencia de los alambres que se usan en una computadora de una marca especial, est$ distribuida normalmente. Si el 7F de estos alambres soportan una resistencia de m$s de 133 Rhms el !0F soportan menos de 50 Rhms, encuentre la media la des*iación est$ndar.
!3.En un aserradero se cortan $rboles en tro)os de 4m en promedio, con una des*iación est$ndar de 3.!m, estas longitudes est$n distribuidas normalmente. a9 Si se elige un lote de 033 tro)os -u$l ser$ el n%mero probable de estos que superen la longitud de 4.1m/ b9 Si se eligen 7 tro)os -cu$l es la probabilidad de que exactamente ( tengan una longitud maor de 4.1m/ !1."na compa>a produce baleros con di$metros que tienen una distribución normal con una media de (.3330 mm, una des*iación est$ndar de 3.3313 mm. Las especi'caciones requieren que los di$metros estBn en el inter*alo (.333 ± 3.33!3 mm. Se recha)an los baleros que quedan fuera del inter*alo debiBndose *ol*er a maquinar. -TuB fracción de la producción ser$ recha)ado/
!!.Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa una prueba que tiene una puntuación promedio µ, una des*iación est$ndar σ ? 13. Suponga que la distribución de las puntuaciones es normal< que una puntuación mnima de 20 le permite al solicitante seguir siendo considerado -u$l debe ser el *alor de µ, si se quiere que aproximadamente el !.0F de los solicitantes sigan siendo considerados despuBs de esta prueba/ !(.Los di$metros promedio del grueso del di$metros de una gran n%mero de tornillos se distribuen normalmente con un promedio igual a !.4 cm des*iación est$ndar igual a 3.0 cm. a9 -TuB fracción de tornillos tendr$ un di$metro promedio maor que (.3 cm/ b9 Si los tornillos que tienen un promedio de di$metro igual o menor que 1.5 cm son desechados -TuB porcenta+e se elimina/ c9 Se supone que se selecciona al a)ar tres tornillos de entre todos -cu$l es la probabilidad de que los tres tengan di$metro promedio maor que ( cm/ !4."n estudio reporta que el 13F de los obreros de ciertos departamentos pesan 11! lb o menos, que 13F pesan 143lb o m$s. Suponga que esas frecuencias relati*as pueden tomarse como probabilidades que la distribución de los pesos es una distribución normal. Encuentre la media la *arian)a de dicha distribución.
Apro"imación de la distribución Normal a la #inomial 1. "na encuesta reali)ada por la dirección del agua potable entre los residentes de una ciudad indica que el !3F desea que se le instale un medidor de agua por considerar que la cuota '+a de pago es superior al costo real de consumo. Si 133 residente solicitan su medidor de agua en dicha ciudad. Oallar la probabilidad de que entre 1# 15 inclusi*e, le instalen su medidor de agua. !. La probabilidad de que un foco falle antes de 1,!33 horas es del (3F. Encuentre la probabilidad de que un lote de !03 de estos focos, 23 fallen antes de 1,!33 horas de uso continuo.
(. "n enfermo de leucemia, debido al a*ance en la medicina tiene una probabilidad del 40F de recuperarse. Si de 53 personas que han contrado la enfermedad, encuentre la probabilidad de que al menos !0 sobre*i*an. 4. Los altos ndices de contaminación ambiental en el 8.:., ha ocasionado la fabricación para aparatos reducirla, la probabilidad de reali)ar la *enta de uno de estos equipos en la primera entre*ista es del 23F, si un *endedor entre*ista a 73 posibles clientes. -u$l es la probabilidad de al menos 43 clientes efect%en una compra/
0. "n ingeniero Nndustrial cree que el !3F de la pBrdida de traba+o horas G hombre en la planta en que labora, se debe a que los empleados no cumplen adecuadamente con su traba+o en el horario asignado. alcula la probabilidad de que 73 traba+adores in*estigados de esta f$brica de 14 a !3 incurran en esta irregularidad.
2. "na prueba de .R.E. tiene 03 preguntas de opción m%ltiple con tres respuestas posibles. -u$l es la probabilidad de que un estudiante que no sabe nada conteste correctamente de 14 a !0 preguntas/ #. El gerente de una f$brica sabe que el !F de los artculos que fabrica son defectuosos. Para hacer una prueba de control de calidad se seleccionan 1,333 artculos aleatoriamente, -u$l es la probabilidad de que el n%mero de artculos defectuosos, a9 Sea maor o igual a 14, b9 Sea menor de 13/
7. "n (3F de los estudiantes del N.P.Q. son de pro*incia. Si se eligen aleatoriamente !33 estudiantes en una facultad determinada. -u$l es la probabilidad de que a los m$s del !0F de estos estudiantes sean de pro*incia/
5. "na compa>a farmacButica fabrica una medicina para ba+ar la presión arterial alta, a'rma que es efecti*a en el 53F de los casos en los pacientes de este mal. El Seguro Social para *eri'car esta a'rmación utili)a una muestra de 103 indi*iduos con presión alta les da el medicamento, si es efecti*o en 1!7 enfermos o m$s se acepta. -u$l es la probabilidad de, a9 aceptarlo si la efecti*idad es realmente 73F/, b9 recha)arlo cuando la efecti*idad es menor o igual al 73F/
13.En una gasolinera en la que se aceptan tar+etas de crBdito, el (3F de los usuarios la utili)an. -u$l es la Probabilidad de que (33 clientes al menos 150 paguen en efecti*o/
11."na prueba de opción m%ltiple contiene (3 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posibles respuestas. Si un estudiante que no estudió contesta en forma aleatoria cada pregunta. -u$l es la probabilidad de que m$s de la mitad estBn correctas/ 1!."na f$brica produce bombas para desaguar la*adoras, debido a su equipo a obsoleto, se sabe que el 10F de su producción tiene alguna falla, se seleccionan 03 de estos aparatos aleatoriamente para una prueba de control de calidadJ -u$l es la probabilidad de que por lo menos 7 estBn defectuosos/
1(.En una encuesta reali)ada por una empresa, encontró que el 23F de los entre*istados utili)an un automó*il de la marca _. Si se pregunta aleatoriamente a 133 personas con automó*il, que marca tienen de automó*il. -u$l es la probabilidad de que a lo m$s #3 de este grupo tenga un automó*il de la marca _/
14.Se sabe que el 10F de las l$mparas que adquiere un municipio est$n defectuosas. En una muestra aleatoria de !33 l$mparas, hallar la probabilidad de que a los m$s !0 o al menos 43 estBn defectuosas.
Distribución $"ponencial 1. En el conmutador de una compa>a se reciben llamadas telefónicas a una ra)ón de ( llamadas por hora. -u$l es la probabilidad de que transcurran al menos !3 minutos antes de la siguiente llamada/ !. Las fallas de un equipo de radar siguen la distribución exponencial, el promedio de fallas es de una por cada hora (33 horas. Si se tiene una probabilidad del 52F de que no exista una a*era en un inter*alo de tiempo maor o igual a t , calcule el tiempo para esta probabilidad. (. "na f$brica de llantas para automó*iles garanti)a que duran dos a>os en promedio, si el desgaste de estas llantas sigue la distribución exponencial. -u$l es la probabilidad de que una llanta dure menos de 4 a>os/ 4. En los bancos exicanos sB a instituido el sistema Kunicola para atender a los clientes, el tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una medio de 13 minutos. 8eterminar la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de 5 minutos en al menos 2 de los 7 das siguientes. 0. Seg%n estadsticas que se han lle*ado a cabo un molino de trigo se descompone en promedio una *e) cada dos a>os -u$l es la probabilidad de que la siguiente descompostura sea dentro de 2 meses/ 2. 8e acuerdo a la escala de Dichter la magnitud de un terremoto en la ciudad de Bxico, se supone que sigue la distribución exponencial con un promedio de 1 cada 13 a>os. -u$l es la probabilidad de que un terremoto supere el #.0 de esta escala, la magnitud del gran terremoto de 1570 ocurrido en la ciudad/
#. El tiempo de espera en una cola de banco con ideas modernas, para ser atendido sigue una distribución exponencial en promedio es de un cliente cada 13 minutos. alcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 5 minutos. 7. En una clnica de la ru) Do+a, el tiempo entre llamadas de emergencia que se reciben en las primeras horas de un da cualquiera sigue una distribución exponencial con un tiempo medio de una hora entre llamadas. alcule la probabilidad de que entre dos llamadas transcurran menos de tres horas. 5. "na terminal de computadoras est$ conectada a una de si un estudiante la utili)a, el tiempo de respuesta de la computadora central sigue una distribución exponencial con un tiempo promedio de 4 segundos. -u$l es la probabilidad de que transcurran a los m$s 2 segundos para la llegada de la respuesta/ 13."n ciudadano contrató un ser*icio de alarma con una compa>a del ramo. Si la alarma se acti*a, el tiempo de respuesta de la compa>a sigue una distribución exponencial con una respuesta de !3 minutos en promedio. 8etermine la probabilidad de que la respuesta de la compa>a tarde al menos 1# minutos. 11.El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da ser*icio en su coche, sigue una distribución exponencial con una respuesta de atención al cliente de 4 minutos en promedio. -TuB probabilidad ha de que de los 4 clientes siguientes al menos dos deban esperar menos de 4 minutos/ 1!.La llegada de los trenes del metro ;Nndios Verdes G "ni*ersidad9 a la estación Caslica sigue una distribución uniforme en el inter*alo X3, 0Y la llegada de los trenes ;artn arrera G Dosario9 a esta misma estación siguen una distribución exponencial con par$metro λ. Encuentre el *alor del par$metro λ si var;NJV9 ? var; G D9 1(."na compa>a que produce tar+etas de *ideo para P.. sabe que el tiempo de *ida de estas, sigue una distribución exponencial con una *ida medio de 13 a>os. Si el fabricante no quiere reempla)ar m$s del 7F de su producto, determine este tiempo de garanta al mes m$s cercano. 14.En la estación del metro Pantitlan en la iudad de Bxico, el tiempo de llegada de los trenes sigue una distribución exponencial con 13 minutos en promedio por llegada. 8eterminar la probabilidad de que un usuario tenga que esperar m$s de 2 minutos la llegada de un tren. 10."na compa>a que fabrica focos para un 'n determinado sabe que el tiempo de *ida de estos sigue una distribución exponencial con una *ida media de # a>os, la compa>a quiere determinar un tiempo de garanta de tal manera que no tenga que
reempla)ar m$s del 13F de los focos. 8eterminar este tiempo de garanta, aproxime al mes m$s cercano.
%esumen Distribución uniforme de Probabilidad
"na *ariable aleatoria X est$ d#t%b&da &!fo%$"$"!t" en a x b si su función de densidad es
10b − a/ a ≤ x ≤ b f x0 / = de otra forma la distribución se llama d#t%b&c'! &!fo%$" La función de distribución est$ dada por
x < a F x0 / = P 0 X ≤ x/ = x0 − a/ 0b − a/ a ≤ x < b 1 x ≥ b La media la *arian)a son respecti*amente µ =
1 $
(a
+
b
)
σ
$
=
1 1$
(b
−
a
)
$
Distribución Normal de Probabilidad y Aproximación a la Binomial
"no de los m$s importantes e+emplos de una distribución de probabilidad continua es la d#t%b&c'! !o%$al , algunas *eces denominada la d#t%b&c'! a&##a!a . La función de densidad para la distribución est$ dada por 1
f 0 x / = σ
$π
$ $ e ( x µ ) $σ −
−
2 ∞ < x < ∞
donde µ σ son la media la des*iación tpica respecti*amente. PDRPNE8A8ES6 * ∫ f 0 x /dx 1 + f ; x 9 @ 3 ∀ x ∞
=
−∞
3 lim f 0 x/ = xlim f 0 x/ = x - f X; x Hµ9Y ? f XJ ; x J µ9Y. La densidad es simBtrica alrededor de µ. →∞
→ −∞
5 El *alor m$ximo de f ocurre en x ? µ . Los puntos de inexión de f est$n en x ? µ ± σ
La función de distribución correspondientes est$ dada por F 0 x / = P 0 X ≤ x / =
1
σ $π
x
∫
e −( x − µ )
−∞
$
$σ
$
dv
En este caso decimos que la *ariable aleatoria X est$ !o%$al$"!t" d#t%b&da con media µ *arian)a σ!. La distribución normal est$ndar correspondiente es , donde Φ( z ) =
z
1
∫
$π
−∞
e
−u $ $
du
Si hacemos que / sea la *ariable normali)ada correspondiente a X , es decir si hacemos Z =
X − µ σ
entonces la media o el *alor esperado de / es 3 la *arian)a es 1.
Si ! es mu grande ni p ni 0 est$n mu próximas a cero, la distribución binomial puede aproximarse estrechamente a la distribución normal con *ariable tipi'cada dada por Z =
X − np npq
Aqu X es la *ariable aleatoria que da el n%mero de Bxitos en ! pruebas de Cernoulli p es la probabilidad de Bxitos. La aproximación es tanto me+or conforme aumenta !, en el lmite es total. (.7 =eorema de hebshe* Distribución Exponencial
La distribución exponencial tiene función de densidad −λ x
λ e f x0 / = -
∀x≥-
en otro caso
donde λ es una constante positi*a real. El *alor esperado la *arian)a de la distribución exponencial son E 0 x/ = 1 λ
V(x) = 1 λ $
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La siguiente tabla muestra los traba+os publicados por el Nngeniero N*$n Escalona para quien este interesado en consultar los di*ersos temas ba+ar los traba+os, comentarios al correo6 i*an`escalonahotmail.com Ahorro de energía #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(a#orener(a#orener.s#t*l Aire comprimido #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(co*pri(co*pri.s#t*l Análisis de factibilidad de la sustitución #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos17(+actibilidad(+actibilidad.s#t*l Análisis de la Psicopatología #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(pedpsic(pedpsic.s#t*l Análisis Sistemático de la Producción #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(andeprod(andeprod.s#t*l Antropología Filosófica #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(antro+il(antro+il.s#t*l
Antropología Filosófica 2 Aplicación de la planeación estratégica Aplicación de un estudio de Mercado Aplicación de un estudio de Mercado Aplicaciones del tiempo estándar Artículo 14 1! de la "onstitución #tomo $alanceo de %íneas de ensamble $alanceo de líneas tiempo estándar $iología $iología "ódigo de &tica "omparación de autores escuelas "onocimiento sensible "ontrato indi'idual de traba(o "alidad ) *ráficos de "ontrol "ontrol de "alidad "uestiones Antropológicas "urso de fisico+uímica "urso de ,nglés para ,ngeniería ,ndustrial -efinición de Filosofía -elitos patrimoniales .esponsab /ociones de derecho positi'o -erecho de la Familia "i'il -ise0o manufactura asistido por P" -ise0o manufactura asistido por P" -istribución de Planta l hombre ante los problemas Perfil del hombre "ultura en Méico l Poder de la Autoestima l 3ui(ote de la Mancha laboración de un Manual de "alidad laboración de un Pi0ón ngrane "ónico c"old .olled 1516 laboración de una tuerca giratoria de acero duro 78157 lectro'ál'ulas en Sistemas de "trl mpresa familia ntender el Mundo de 9o structura de "ircuitos 9idráulicos studio conómico en una mpresa tapa de la ,ndependencia de Méico 'a de proectos ) studio conómico ámenes de #lgebra %ineal Factores :ni'ersales para determinar la confiabilidad Filosofía de la educación Física :ni'ersitaria ; Mecánica Física :ni'ersitaria ; inslo? 7alor ) Padre de la ,ngeniería ,ndustrial Fundamentos de conomía en "alidad *arantías ,ndi'iduales
#ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1()antrop()antrop.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1-(planeacionnepsa(planeacionnepsa.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(*ar(es*erivan.#t* ))).*onogra+ias.co*(trabajos1-(estudio*ercadoca+e(estudio*ercadoca+e.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(ingde*eti(ingde*eti.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(co*e/(co*e/.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(ato*o(ato*o.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger1(pcplinen.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos14(balanceo(balanceo.s#t*l #ttp&(())).divulcat.co*(*onogra+ias(biologia(biologia.#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(biolo(biolo.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(eticaplic(eticaplic.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(pedidact(pedidact.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(pedyantr(pedyantr.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(contind(contind.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(concalgra(concalgra.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos11(pri*dep(pri*dep.s#t*l #ttp&(())).*ercaba.org(02S(onogra+ias(cuestionesantropologicas.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(+isico(+isico.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos14(ingless(ingless.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1()+iloso()+iloso.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(derdeli(derdeli.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(dernoc(dernoc.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(derla+a*(derla+a*.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger1(*acives.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos14(*anu+acco*put(*anu+acco*put.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(distpla(distpla.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(uienes(uienes.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(per+#o*(per+#o*.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(elpoderde(elpoderde.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(lresuij(lresuij.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger(*ancalivan.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1-(pinion(pinion.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos17(tuercagiratoria(tuercagiratoria.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(valvu(valvu.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(teoe*pres(teoe*pres.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(enten*un(enten*un.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(estrcir(estrcir.s#t*l ))).*onogra+ias.co*(trabajos1-(evaluacion+errioni(evaluacion+errioni.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*etapas(#*etapas.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(+in(evaproivan.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(e/al(e/al.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1-(con+iabilidad(con+iabilidad.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(ped+ilo(ped+ilo.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#energ(#energ.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(+iuni(+iuni.s#t*l #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(+rasi(+rasi.s#t*l #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger1(t)tivan.#t* #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(+in(+undelacal.#t* #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(garin(garin.s#t*l
*io'anni Sartori@ 9omo 'idens #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(pdaspec(pdaspec.s#t*l *obierno del general Manuel *onále #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#**anuel(#**anuel.s#t*l 9erramientas para ,ngenieros ,ndustriales 9ar'ard):P,,"SA #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos5(docs(ger(esta*anu+ac.#t* 9erramientas por arran+ue de 'iruta ))).*onogra+ias.co*(trabajos14(*a#erra*ienta(*a#erra*ienta.s#t*l 9istoria ; l Maimato #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#**a/i*t(#**a/i*t.s#t*l 9istoria ; ,n+uisición en la /e? spa0a #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*inui(#*inui.s#t*l 9istoria ; %a *uerra con los :: #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*guerra(#*guerra.s#t*l 9istoria ; %a ,nter'ención Francesa #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*interv(#*interv.s#t*l 9istoria ) %as %ees de .eforma #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*leyes(#*leyes.s#t*l 9istoria ; Primer *obierno "entralista #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*pri*er(#*pri*er.s#t*l ,dentificación de la problemática mediante Pareto e ,shi=a?a ))).*onogra+ias.co*(trabajos17(paretois#i6a)a(paretois#i6a)a.s#t*l 7raba(o de ingeniería de medición #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(*edtrab(*edtrab.s#t*l ,ngeniería de Métodos ; Muestreo #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(i**uestr(i**uestr.s#t*l ,ngeniería de Métodos ) Análisis Sistemático de la producción #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(ig*analis(ig*analis.s#t*l ,ngeniería ,ndustrial ; Programación %ineal en ,n'estigación de operaciones #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(upicsa(upicsa.s#t*l ,ngeniería ,ndustrial Mercadotecnia ))).*onogra+ias.co*(trabajos1-(ingenieria*ercadotecnia(ingenieria*ercadotecnia.s#t*l ,ntroducción a la ingeniería ,ndustrial #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger1(introalaii.#t* ,ntroducción al B,7 #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger(introjit.#t* ,n'estigación de Mercados #ttp&(())).*iespacio.org(cont(invest(inv*er.#t* ,n'estigación de mercados #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos11(inv*erc(inv*erc.s#t*l ,< ) Método Simple #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(icerodos(icerodos.s#t*l ,< ) .edes Admon de Proectos #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger1(iopertcp*.#t* Bean Michelle $as+uiat #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(bbasuiat(bbasuiat.s#t*l Bosé %ópe Portillo #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*lope(#*lope.s#t*l Buicio de amparo #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(derjuic(derjuic.s#t*l nse0ana de la ingeniería #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(pedense(pedense.s#t*l %a Familia en l derecho "i'il Meicano #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(d+a*ilien(d+a*ilien.s#t*l %a Familia en el -erecho Positi'o #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(dla+a*il(dla+a*il.s#t*l %a Familia ,, #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(la+a*i(la+a*i.s#t*l %a 'idaC %as cosas se conocen #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(lavida(lavida.s#t*l %as religiones la moral #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(*ortest(*ortest.s#t*l %egislación Mecanismos para la promoción ,ndustrial #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(legislac(legislac.s#t*l Manual del 7iempo stándar #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(ger(*antie*esivan.#t* Manufactura ,ndustrial ,, ) 7raba(o Final #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos( docu*entos(+ulldocs(ger1(t+in*an.#t* Mecánica "lásica ; Mo'imiento #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(*oviunid(*oviunid.s#t*l Memoria de cálculo #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(elplane(elplane.s#t*l Memoria técnica de cálculo #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(electil(electil.s#t*l Métodos de 'aluación Financiera en ))).*onogra+ias.co*(trabajos1-(*etodosevaluacionecono*ica(*etodosevaluacion 'aluación de proectos econo*ica.s#t*l Méico de 1D26 a 1DE4 #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#*entre(#*entre.s#t*l MéicoC Adoptando /ue'a "ulturaG #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(nucul(nucul.s#t*l Moral ; Sal'ifichi -oloris #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(*orsalvi(*orsalvi.s#t*l Museo de las "ulturas #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(#**useo(#**useo.s#t*l ,ntroducción a los Sistemas 9idráulicos #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(intsis#i(intsis#i.s#t*l Hál'ulas Auiliares /eumáticas #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(valvau/(valvau/.s#t*l Hál'ulas /eumáticas #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(valvidos(valvidos.s#t*l Hál'ulas 9idráulicas #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(val#id(val#id.s#t*l /eumáticaC *eneración@ 7ratamiento #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos13(genair(genair.s#t*l /ociones de derecho meicano #ttp&(())).*onogra+ias.co*(trabajos1(dnoc*e/(dnoc*e/.s#t*l Pagos Salariales ) Plan de incenti'os #ttp&(())).gestiopolis.co*(recursos(docu*entos(+ulldocs(rr##(pagosal.#t*
