Probabilidades

Lic. Luis J. Castillo Vásquez

4.5. PROBABILIDAD BÁSICA Numerosas personas (estudiantes, profesionales, empresarios,...) en diversas circunstancias tiene que tomar decisiones; muchas veces tendrán que hacerlo en condiciones de incertidumbre. Por ejemplo, los empresarios, al decidir sobre la comercialización de un nuevo producto, se encuentran en la incertidumbre de sí tendrán éxito. Los encargados de investigación de mercados iniciaran planes de publicidad sin pleno conocimiento de sus efectos futuros; en estos casos como ocurre en la mayoría de los asuntos de negocios, se tomarán decisiones sin disponer de toda la información pertinente. Todo esfuerzo para disminuir el nivel de incertidumbre en el proceso de toma de decisiones, permitirá incrementar la posibilidad (probabilidad) de tomar decisiones más inteligentes y mejor informadas. En este contexto, el objetivo del presente capítulo es comprender y aplicar los métodos y técnicas de medir la probabilidad de ocurrencia de sucesos inciertos y futuros reduciendo el riesgo y la especulación en el proceso de tomar decisiones.

4.5.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de un suceso o evento, cuyo resultado no se puede predecir con certeza. 4.5.2 EXPERIMENTO ALEATORIO (E) Es una operación (fenómeno) cuyo resultado no se puede predecir con certeza y que se realiza bajo las siguientes condiciones. 1) Puede ser repetido bajo las mismas condiciones. 2) Se puede describir el Nº de resultados posibles. 3) Se puede establecer un modelo matemático, asociado a E. Ejms. - Lanzamiento de una moneda. - Lanzamiento de un dado. - Tiempo de vida de un artículo.

4.5.3. ESPACIO MUESTRAL (Ω) Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Ejms.: a) Lanzar una moneda. Ω = (cara – sello)

b) Seleccionar de un lote, un frasco de medicamentos. Ω = (adecuado, inadecuado)

c) Extraer una muestra de sangre a una persona. Ω = (grupo sanguíneo)


4.5.4. EVENTO Es cualquier sub conjunto conjunto de un espacio espacio muestral Ω. Los eventos eventos se identifican

mediante letras mayúsculas. Ej.: Si se define el experimento aleatorio. E = {Lanzamiento de dos dados}, su espacio muestral será dado por: Ω = {(x, y)/x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6},

con lo cual se puede también definir como eventos: Evento:

A= {suma de los resultados es menor de 4} A = {(x, y) / x+y<4} A = {(1,1), (1,2), (2,1)} Evento: B = {Suma de resultados es mayor o igual que 10} B = {(x, y) / x+y/10} x+ y/10} B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,4), (6,6)}

4.5.5. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si no tiene elementos comunes es decir, si no pueden ocurrir al mismo tiempo. También, la ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro (u otros). Por ej.: supongan que se consideren dos posibles eventos “as” y “rey” con respecto a la extracción de una carta

de una baraja (52 cartas). Estos eventos son mutuamente excluyentes porque ninguna carta puede ser al mismo tiempo as y rey, otro ejemplo sería obtener un as y un cinco al lanzar un dado.

4.5.6. EVENTOS NO EXCLUYENTES Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. Ej.: Evento A: masculino Evento B: menor de 30 años No son mutuamente excluyentes porque una persona elegida al azar podría estar en ambas categorías. En los dos eventos “as” y “oros”, estos eventos no son mutuamente excluyentes

porque una carta determinada puede ser al mismo tiempo as y oro, sin embargo, esto no indica que todo as sea oro o todo oro sea as.

4.5.7. EVENTOS COMPLEMENTARIOS Dos eventos A y B son complementarios si son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral. Es decir si A ∩ B =  y A  B = Ω


4.5.8. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Es una fracción cuyo numerador es el No de casos favorables y cuyo denominador es el número total de los casos posibles. Fórmula: P( A)= N( A)/N(  ) Donde P(A)= Probabilidad de Ocurrencia del Evento A N(A)= N° de casos Favorables de ocurrencia del evento A. N(  ) = Todos los casos posibles en el evento 

Ejemplo1. Supongamos que lanzamos al aire un dado no cargado ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2? Solución P(A)= 1/6 Ejemplo 2. Si lanzamos una moneda ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? Solución P(A) = ½ Ejemplo 3. ¿Cuál es la probabilidad de Apostar a un número ganador en el juego de la ruleta, los Nos. de la ruleta incluyen un “0”, “00” y de “1” hasta “36”.

Solución P (Ganador)= 1 (favorable)/38 (Totales Posibles) Ejemplo 4. En una cantidad de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otra tipo, la probabilidad de obtener 1 (as) en una sola extracción es: P(A) =N(A) / N(  ) = 4/52 = 1/13 Exemplo 5. Aparte de los ejemplos dados tenemos: Si se lanzan 3 monedas. Hallar: a) El Espacio Muestral, b) P(A) = obtener exactamente 2 caras, c) Exactamente 2 sellos y d) Exactamente 3 caras. Solución a) El Espacio Muestral (Ω) = {CCC, CCS CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

1/8 cada uno. b) Evento A: obtener exactamente 2 caras. A= {CCS, CSC. SCC}; P (A) = 3/8 C) Evento B: Exactamente 2 sellos? P (B)= 3/8 d) Evento C: Exactamente 3 caras P(C)= 1/8

4.5.9. PROBABILIDAD SUBJETIVA El enfoque clásico de probabilidad produce valores de probabilidad objetivos. Por el contrario, el enfoque subjetivo de la probabilidad es particularmente apropiado cuando sólo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.

Lic. Luis J. Castillo Vásquez De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento “es el grado de

confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible”. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio

personal, el enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista. Y es realmente reciente.

Ejemplo 6. - La Probabilidad de que haya recesión el próximo año. - La probabilidad de que el índice de Precios y cotizaciones de la bolsa de valores sea 500 puntos en los próximos 6 meses. -La Probabilidad de que la inflación suba el próximo año. 4.5.10. CONSIDERACIONES GENERALES 1. La Probabilidad de ocurrencia de cada Punto Muestra, debe estar entre 0 y 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. La Suma de las Probabilidades de todos los puntos Muestrales debe ser igual a 1. P(A) + P ( A’) = 1 Es decir en una observación o experimento dados, el evento debe ocurrir o no. Por ello la suma de la probabilidad de ocurrencia más la probabilidad de no ocurrencia siempre es igual a 1.

4.5.11. REGLAS DE PROBABILIDAD 1. Regla de Adición para sucesos mutuamente excluyentes Se utiliza la regla de adición para determinar la probabilidad de que ocurra un evento u Otro (o ambos) en una sola observación. Simbólicamente, puede representarse la probabilidad de que ocurra el evento A o el Evento B mediante P(A o B). En el lenguaje de la Teoría de Conjuntos P(A U B), se lee: “La Probabilidad de A unión B”.

Para eventos mutuamente excluyentes es decir cuando no tiene elementos comunes. P(A  B)=P(A)+P (B)

Ejemplo 6. Se extrae una carta de una baraja de 52, los eventos “as” (A) y “rey” (R) son mutuamente excluyentes. Ejemplo 7.Hallar la probabilidad de extraer ya sea un as o un rey en una sola extracción. Solución De: P(A o R) = P(A) + P(R) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13 2. Reglas de Adición para eventos que no son mutuamente excluyentes.

Lic. Luis J. Castillo Vásquez Probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos es decir P(A y B) = P ( A∩B) por tanto resulta. P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Ejemplo 7. Un cliente ingresa a una panadería. La Probabilidad de que compre (a) pan es 0,60, b) Leche es 0,50 y c) Pan y leche es 0,30. ¿Cuál es la Probabilidad de que compre pan, leche o ambos? Solución P (P) =0,60 ; P (L) = 0,50 ; P (P∩L) = 0,30 P (P  L) = P (P) + P (L) – P (P∩L) P (P  L) = 0,60 + 0,50 – 0,30= 0,80

Ejemplo 8. Cuando se extrae una carta de un mazo de 52 cartas, los eventos “as” y una espada no son mutuamente excluyentes. Hallar la Probabilidad de obtener un AS (A) o una Espada (E) o ambos en una sola extracción. Solución P (AoE) = P(A) + P (E) – P(A y E) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13

4.5.12. EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Y son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.

Ejemplo 9. El lanzamiento de una moneda por dos veces se considera eventos independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una cara o sello en el segundo lanzamiento. Ejemplo 10. La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de barajas son eventos dependientes, por que las probabilidades asociadas con la segunda extracción dependen del resultado de la primera extracción. Específicamente si saliera un as en la primera extracción entonces la probabilidad de que salga as en la segunda extracción, es la razón del número de ases que sigue habiendo en las barajas con respecto al número total de cartas, o 3/51. 4.5.13 PROBABILIDAD CONDICIONAL Definición: Una medida de la probabilidad de que ocurra un evento particular, dado el hecho que otro ya ha ocurrido o de que hay certeza de que ocurra, se llama probabilidad condicional. Para dos eventos A y B, dicha probabilidad se denota, siempre por P (A/B) o P (B/A), lo que se lee como “la probabilidad de A, dado B” o “la probabilidad de B, dada A” ya

Lic. Luis J. Castillo Vásquez Cuando dos eventos son dependientes usamos la siguiente fórmula de probabilidad Condicional. P (B / A)= P(A ∩ B)/ P(A) Donde: P (B/A) = Probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A. P ( A∩B) = Probabilidad conjunta de 2 eventos. P(A) = Probabilidad simple no, condicional de un primer evento A.

4.5.14. PROBABILIDAD CONJUNTA Definición: Una Medida de la Probabilidad del acontecer simultáneo de dos o más eventos se llama probabilidad conjunta. Para los eventos A y B, esta probabilidad se simboliza por P (AyB) o P ( A∩B). Ejemplo 11. Se lanza un dado no cargado. Dado que el resultado es un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3? Solución Consideramos los siguientes conjuntos. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → espacio muestral. A = {2, 4, 6} → conjunto de resultados pares. B = {4, 5, 6} → conjunto de resultados mayores que 3. A∩B = {4, 6} → conjunto de resultados pares mayores que 3.

Como el dado es no cargado, asignamos a cada punto muestral una probabilidad de 1/6. P(A) = 3/6, P ( A∩B) = 2/6 = 1/3. De la fórmula de Probabilidad Condicional podemos determinar la probabilidad de obtener un número > que 3 dado que es par. P (B/A) = P(A ∩ B) /P(A) = 2 / 3 Este resultado queda comprobado por el hecho que de los 3 resultados pares 2, 4, 6 sólo 2 son mayores que 3.

Ejemplo 12. El 30% de todos los estudiantes recibe la calificación C (Evento A) de todos los estudiantes que reciben la calificación (C) el 40% son mujeres (Evento (B)). ¿Cuál es la Probabilidad de que se seleccione al azar un estudiante del sexo femenino con calificación C? Solución El evento de elección de un estudiante con calificación C es el evento conjunto (A y B) también se sabe que. P(A) = 0,30, P (B/A) = 0,40 Ö Según Fórmula P (A∩B) = P(A) P (B/A) = (0,3) (0,4) = 0,12


4.5.15 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN (A∩B): PARA EVENTOS INDEPENDIENTES. Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia del otro Ejemplo 14. Lanzar dos veces una moneda al aire. Esto significa que lo que haya ocurrido en A, la probabilidad asignada a B es siempre la misma. Por Tanto: P (B/A) = P (B) Obtenemos la Fórmula: P ( A∩B) = P(A). P (B) Ejemplo 15. Cuál es la probabilidad de que en una familia con 2 hijos ambos sean varones. P (V1) = 0.5;

P (V2) = 0.5 P (V1∩V2) = P (V1). P (V2) = (0.5) (0.5) = 0.25 = 1/4

Ejemplo 16. Si se lanza dos veces una moneda la probabilidad de que ambos eventos sean cara es: P (AyB) = P ( A∩B) = P (A). P (B) = ½ x ½ = ¼ 4.5.16. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: PARA EVENTOS DEPENDIENTES. Esta dada por la fórmula: P ( A∩B) = P(A) P (B/A) Probabilidad conjunta de A y B es igual a la Probabilidad de ocurrencia de A. por la Probabilidad de de B dado A. . En Palabras: Expresa que la probabilidad de que ocurra A y B es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que A ha ocurrido.

Ejemplo 17. Se sacan 2 cartas sin restitución de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la Probabilidad de que ambas sean ases? Solución Sean los eventos: Evento A1: 1ra carta es AS. Evento A2: 2da carta es AS. P (A1∩A2) = P (A1) P (A2/A1)= (4/52) (3/51) = 12/2652. Ejemplo 18. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se extraen 2 bolitas sucesivamente y sin restitución. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca?


Solución P (B1∩B2) = P (B1). P (B2/B1) = 6/10. 5/9 = 30/90 = 1/3. P (B1∩N2) = P (B1). P (N2/B1) = 6/10. 4/9 = 24/90 = 4/15. P (N1∩B2) = P (N1). P (B2/N1) = 4/10. 6/9 = 24/90 = 4/15. P (N1∩N2) = P (N1). P (N2/N1)= 4/10. 3/9 = 12/90 = 2/15.

Ejemplo 19. Se sabe que en un lote de diskets de 50 unidades hay 4 que no cumplen las especificaciones (defectuosos). Si se extraen al azar 2 diskets. Uno a continuación del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos? Solución Sabemos: P ( A∩B) = P (A). P (B/A) P (D1) = 4/50, P (D2/D1) = 3/49. Por lo tanto: P (D1∩D2) = P (D1) P (D2/D1) = 4/50. 3/49 = 12/2450

4.5.17. TEOREMA DE BAYES. Sean los eventos: E 1  E 2  E 3  ....  E n Tales que se verifican: i. E i  E j i  j ii.

n

 E i   1

iii. P(E )>0 iv. El teorema de Bayas esta dado por: i

P (E k / E ) 

P ( E k  E ) P ( E )



P ( E k ) P ( E / E k ) n

 P ( E i ) P ( E / E i ) i

Ejemplo 19. La compañía ABC está considerando comercializar una computadora electrónica de acuerdo con la investigación hecha en el mercado la probabilidad de que el producto tenga éxito es 0,80 si una firma competidora no introduce un producto similar en el mercado en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la firma competidora comercializa un producto similar. Además la compañía estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la firma competidora comercialice el producto. Dado de que el producto de la C.I.A. ABC tuvo éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que la firma competidora haya comercializado su producción? Solución Nos dan la siguiente información: P(C)=0.40; P (E/C)=0.30; P (E/C )= 0.80


Total

Compañía competidora Comercialice el producto: C

Computadora de la compañía tenga éxito: E P(C  E)= P(C)P(E/C) = (0.40)(0.30) = 0.12

Compañía competidora No comercialice el producto: C

Computadora de la compañía No tenga éxito: E P(C  E )= P(C)P( E /C) = (0.40)(0.70) = 0.28

P( C  E )  P (C ) P ( E / C ) = (0.60)(0.80) = 0.48 0.60

Total

P( C  E ) = P (C ) P ( E / C ) = (0.60)(0.20) = 0.12 0.40

0.40

0.60

Nos piden: P(C/E)=

P(C/E)=

P (C  E ) P ( E )

0.12 0.12  0.48



P (C ) P ( E / C ) P (C  E )  P (C  E )

=

P (C ) P ( E / C ) P (C ) P ( E / C )  P (C ) P ( E / C )

 0.20

Problemas Propuestos Cálculo de Probabilidades 1. Se lanza un dado: a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumerase los elementos de Ω contenido en el suceso de que el resultado sea par. c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado

sea, mayor que 4. 2. Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente. a) Enumérese los elementos del espacio muestr al Ω. b) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga exactamente una cara. c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga al menos una cara. 3. Se lanza un par de dados: a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma de los

Lic. Luis J. Castillo Vásquez 4. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso manufacturero y observar si son defectuosos D o no son defectuosos D’. a) Enumérese todos los elementos del espacio muestral Ω.

b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que el número de piezas defectuosas sea 1. c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que los números de piezas defectuosas sea al menos 1. 5. Se lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener. a) Exactamente una cara? b) Por lo menos una cara? c) No obtener una cara? 6. Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener? . a) 7? b) 7 u 11? c) Suma divisible por 3? d) No obtener 7? 7. Se elige una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea? a) Un as? b) Una espada? c) Un as o una espada? d) Un as o una carta roja? e) Una carta con una figura? 8. La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es 0,05 y de que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese día? 9. En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga televisor es 0,80; una máquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga televisor o máquina lavadora o ambas cosas? 10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0, 1 ó 2 autos en ese día? 11. La probabilidad de que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un día es 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que la señora hablantina reciba 6, 7 u 8 llamadas en un día? 12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a) Ningún tubo defectuoso? b) Exactamente un tubo defectuoso? c) A lo más un tubo defectuoso?


Cálculo de Probabilidades Regla de la Multiplicación 13. Dado que P(A) = 0,50 y P ( A∩B) = 0,30, encontrar P (B/A) 14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son varones que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y éste resulta ser varón. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie contabilidad? 15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas si: a) Se extrae sin restitución. b) Se extrae con restitución. 16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3 bolitas blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas sean blancas? 17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3 bolitas blancas y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca una bolita de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que Sean las tres del mismo color?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. El propietario de un lote de automóviles ha clasificado sus ventas del año basado en la siguiente tabla. Compra de automóviles y método de pago (Porcentaje sobre ventas totales) Forma de pago Tipo de automóvil comprado Contado Crédito Nuevo 6% 18% Usado 30% 46% a) Seleccionando un comprador al azar, ¿cuál es la probabilidad simple de que compre un automóvil nuevo? b) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de vender un automóvil otorgando crédito? c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de que un comprador de automóvil usado pague al contado? d) ¿Es independiente el tipo de automóvil vendido (en el sentido estadístico) del método de pago? ¿Por qué?

RESPUESTA

Lic. Luis J. Castillo Vásquez En la tabla anterior definimos: Compra de automóviles y método de pago (Porcentaje sobre ventas totales) Forma de pago Tipo de automóvil comprado Contado Crédito (C) (Cr) Nuevo (N) 6% 18% Usado (U) 30% 46% a) b) c) d)

P(N)=6+18=24% P(Cr)=18+46=64% P(U/C)=P(U  C)/P(C)=30/36=83,33% Para determinar si es independiente, verificamos: P (N  C) =P (N) P(C)  P (N  C) =0, 06 P(N) P(C)=0,24(0,36)=0,0864

Lo que indica que los sucesos no son independientes. 1. Un inversionista en valores ha clasificado sus existencias de valores financieros de la siguiente manera: Valores Industriales

Valores de empresas publicas

4 8

1 7

Grandes empresas Precio incrementado Precio disminuido Total Pequeñas empresas Precio incrementado precio disminuido Total Total (100%)

12

8

17 55

3 5 72 84 84

8 16 16

En esta cartera de valores: a) Si un valor financiero fuera seleccionado azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea uno de los que han incrementado su precio? ¿Qué tipo de probabilidad es ésta? ¿(simple, conjunta, marginal o condicional)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un valor financiero cuyo precio se ha incrementado dado que es una gran empresa industrial? ¿Qué tipo de probabilidad es esta? c) ¿Es independiente el tamaño de la empresa del comportamiento de los precios? ¿Por qué? d) ¿Es independiente el tipo de valores (industriales y de empresas públicas del comportamiento de los precios? ¿Por qué?


e) ¿Es independiente el comportamiento de los precios de ambas características: tamaño de empresa y tipo de valor financiero? Explique por qué. RESPUESTA a) P (I)=0,04+0,01+0,17+0,03=0,25  el 25 %. Es probabilidad conjunta. b) P(I/V)=P(I  V)/P(V)=(0,04+0,17)/0,84=0,25  el 25 %. Es probabilidad condicional. c) Verificamos si se cumple la condición de independencia: P (I  V)=0,04+0,17=0,21 P (I) P (V)=0,25(0,84)=0,21 Esto prueba que no es independiente el tamaño de la empresa del comportamiento de los precios. d) Verificamos si se cumple la condición de independencia: P (G  V)=0,12 P (G) P (V)=0,2(0,84)=0,168 Esto prueba que es independiente el tipo de valores, industriales y de empresas públicas del comportamiento de los precios. e) Verificamos si se cumple la condición de independencia: P (I  V)=0,04+0,17=0,21 P (I) P (V)=0,25(0,84)=0,21 Esto prueba que no es independiente el tamaño de la empresa del comportamiento de los precios. 2. Suponga que el 70% de las empresas en determinada industria tienen abogado en la Junta de Directores y que un 40% tienen un banquero en la Junta. ¿Qué proporción de las empresas no tienen banqueros ni abogados su Junta? RESPUESTA Diagrama de Venn: B A 70-x

x

40-x

Para el 100%: 70-x+x+40-x=100  x=10 Luego, el 10% de las empresas no tienen ni abogado ni banquero en las juntas. 3. Analizando las ventas de último año de cierto producto en una tienda menudeo, se determinó que el 10% de las compras las hicieron hombres y 20% de ellas fueron por valores mayores a S10.00. Si usted sabe que el 80% de los clientes masculinos hacen compras mayores de $10.00:

Lic. Luis J. Castillo Vásquez 

¿Qué porcentaje de compras son hechas por hombres o son mayores de $10.00? RESPUESTA Hombres (H) Mayores a $10 (M) menores a $10 (m) Total

Mujeres (F)

Total

8

32

40

2 10

58 90

60 100

a) P(M  H)=8% b) P(M  H)=10+32=42% 4. Si el 30% de los hogares en una ciudad tienen secadoras eléctricas, el 40 tienen estufas eléctricas y si 25% de aquellos que tienen estufas eléctricas también tienen secadoras eléctricas, ¿qué proporción de aquellos que tienen secadoras eléctricas también tienen estufas eléctricas? RESPUESTA Diagrama de Venn:

0,25(40)=10

E S 20

10

30

40

El 10% de los que tienen secadoras eléctricas también tienen estufas eléctricas. 5. Una compañía de investigación de mercados está interesada en examinar algunas actitudes en una pequeña comunidad. Hay 125 hogares clasificados de acuerdo con sus ingresos y con el hecho de ser propietarios de teléfono y televisión. Hogares con ingresos Hogares con ingresos de de $8000 o menos más de $8000

Con TV Sin TV

Con teléfono 27 18

Sin teléfono 20 10

Con teléfono 18 12

Sin teléfono 10 10

Lic. Luis J. Castillo Vásquez a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un dueño de TV en una selección aleatoria? b) Si una familia con ingresos de más de $8,000.00 tiene teléfono. ¿Cuál la probabilidad de que tenga TV? c) ¿Cuál es la probabilidad condicional de elegir una. familia que tenga tema. TV, dado el hecho de que tiene teléfono? d) ¿Son estadísticamente independientes los eventos “ser propietario de .TV y “poseer un teléfono”? e) ¿Son independientes los eventos “ingresos de $8,000.00 o menos” y “ser propietario de TV”?.

RESPUESTA La tabla con resultados totales se muestra a continuación: Hogares con ingresos de Hogares con ingresos de $8000 o menos más de $8000 Con teléfono Sin Con Sin teléfono Total (C) teléfono(D) teléfono (E) (F) Con TV (A) Sin TV (B) Total

27

20

18

10

75

18 45

10 30

12 30

10 20

50 125

a) b) c) d)

P(A)=75/100=0,75  el 75%. P(A/C)=P(A  C)/P(C)=27/45=0,6  el 60%. P(A  E/C) =P(A  E  C)/P(C)=(27+18)/75=0,6  El 60%. P(A)P(C  E)=(45+30)(0,75)=0,5625 P(A  C  E)=0,27+0,18=0,45  P(A)P(C  E)P(A  C  E) Por tanto no son sucesos independientes “ser propietario de .TV y “poseer un

teléfono”.

e) P(A)P(C  D)=(45+30)(0,75)=0,5625 P(A  C  D)=0,27+0,2=0,47  P(A)P(C  D)P(A  C  D) Por tanto no son sucesos independientes ““ingresos de $8,000.00 o menos” y “ser propietario de TV”.

6. En calidad de vendedor de bonos, usted está pensando usar una lista de propietarios de acciones para efectuar su publicidad por correo. Se sabe que 40% de los inversionistas financieros tienen solamente acciones y el 10% tienen sólo bonos, mientras que otro 20% tienen de ambos, y los restantes 30% no tienen ni bonos ni acciones. Entonces; si un inversionista. es propietario de acciones, ¿cual es la probabilidad de que también sea inversionista con bonos? RESPUESTA

Lic. Luis J. Castillo Vásquez Diagrama de Venn:

0,25(40)=10

B A 40

20

10

30

P (B/A)=P (B  A)/P(A)=20/60=0,33333 El 33% de que un inversionista que es propietario de acciones, también es inversionista con bonos. 7. Una pieza de equipo electrónico tiene tres partes esenciales. Anteriormente la parte A ha fallado el 20% del tiempo; la parte B, 40% del tiempo y la parte C, 30% del tiempo. La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las partes B y C están interconectadas, de tal manera que la falla de cualquiera afecta a la otra. Por eso, cuando falla la parte C, dos de tres veces puede fallar también la parte B. Suponga que por lo menos dos de las tres partes deben operar para permitir el funcionamiento del equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione? RESPUESTA El siguiente esquema muestra la conexión conforme se detalla. B y C están en serie y A en paralelo. A

B

C

P(A)=0,2 P (B)=0,4 P(C)=0,3 El equipo puede operar del modo siguiente: P (I  II) =P (I) +P (II)-P (I  II) Donde:

P (I)=P(A)=0,2

1

2

1

3

3

3

P (II)= (0,4)+ (0,3)=

Lic. Luis J. Castillo Vásquez 1

1

3

3

P (I  II) =0, 2+ - (0, 2) =0,467 8. El jefe de policía de un área metropolitana estaba revisando las estadísticas del número de accidentes fatales de peatones durante el año anterior. De un total de 12 muertes, notó que 6 muertes ocurrieron mientras el peatón cruzaba con la luz apropiada y 6 murieron mientras cruzaban la calle con la luz roja. ¿Podría concluir el jefe de policía en qué es tan peligroso obedecer las señales de tráfico al cruzar la calle como desobedecerlas? Explique por qué. RESPUESTA Calculamos la probabilidad de un accidente con luz roja y en luz verde: a) Luz roja: P(R)=6/12=0,5 b) Luz verde: P(V)=6/12=0,5 c) De ambos sucesos: P(R) P(V) =0,5(0,5) =25 Pero ambos sucesos pueden calcularse como roja para uno y al mismo tiempo verde para el otro: P(R  V) =6/12=0,5 Luego P(R) P(V)  P(R  V) Esto indica que los sucesos no son independientes. 9. Si un empleado elude su trabajo el 30% del tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que sea sorprendido, si su jefe lo controla cuatro veces al azar? RESPUESTA Cada vez que se le controla, el suceso es independiente, cada suceso se calcula a continuación: P(I)=0,3 P(II)=0,3(0,7)=0,21 P(III)=0,3(0,7)2=0,147 P(IV)=0,3(0,7)3=0,1029 Sin embargo, el jefe tiene la ventaja de sorprenderlo en cualquiera de los casos: P (I  II  III  IV)=0,3+0,21+0,147+0,1029=0,7599 Es probable que sorprendan al empleado con 75,99%. 10. Como capitán en un juego de béisbol, en un momento crucial usted considera que su “pitcher” tiene un 70% de probabilidades para poner “out” al siguiente

bateador. Usted puede reemplazarlo con un relevo, que tiene 90% de probabilidades de obtener el “out’, si está en su mejor momento, pero sólo el 40% si no está en su mejor momento. Su entrenador de lanzamiento le informa que, según las observaciones que hizo durante el entrenamiento, él cree que el “lanzador” de relevo tiene alrededor de 70% de probabilidades de estar en su mejor momento, ¿cambiaria usted de ‘pitcher”?

Lic. Luis J. Castillo Vásquez RESPUESTA P(O)=0,7

P (RB)=0,9

P (RM)=0,4

P (M)=0,7

Para cambiarlo, debe considerase la falla del primer out: P (O´)=0,3 En el mejor momento:

P (O´)=0,3

P (RB)=0,9

P (M)=0,7

P (O´  RB  M)=0,3(0,9) (0,7)=0,189 En el peor momento:

P (O´)=0,3

P (RM)=0,4

P (O´  RM)=0,3(0,4)=0,12 No es necesario cambiar el pitcher, la baja probabilidad de falla del jugador titular así lo indica.

GUÍA PRÁCTICA POR RESOLVER Cálculo de Probabilidades 1. Se lanza un dado: a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumérese los elementos de Ω contenido en el suceso de que el resultado sea par. c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que el resultado sea, mayor que 4. 2. Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente. a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga exactamente una cara. c) Enumérese los elementos de Ω contenidos en el suceso de que salga al menos una cara. 3. Se lanza un par de dados: a) Enumérese los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma de los puntajes sea 9. c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que la suma sea 4 ó 5

Lic. Luis J. Castillo Vásquez 4. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un proceso manufacturero y observar si son defectuosos D o no son defectuosos D’. a) Enumérese todos los elementos del espacio muestral Ω. b) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que el número de piezas defectuosas sea 1. c) Enumérese los elementos contenidos en el suceso de que los números de piezas defectuosas sea al menos 1. 5. Se lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener. a) Exactamente una cara? b) Por lo menos una cara? c) No obtener una cara? 6. Se lanzan dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener? a) 7? b) 7 u 11? c) Suma divisible por 3? d) No obtener 7? 7. Se elige una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que sea? a) Un as? b) Una espada? c) Un as o una espada? d) Un as o una carta roja? e) Una carta con una figura

Lic. Luis J. Castillo Vásquez 8. La probabilidad de que llueva el 12 de octubre es 0,10; de que truene es 0,05 y de que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese día?. 9. En cierta zona de la ciudad, la probabilidad de que una persona tenga televisor es 0,80; una máquina lavadora es 0,50 y que tenga ambos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tengan televisor o máquina lavadora o ambas cosas?. 10. La probabilidad de que un vendedor de autos venda por lo menos 3 autos en un día es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 0, 1 ó 2 autos en ese día? 11. La probabilidad de que la señora hablantina reciba a lo más 5 llamadas telefónicas en un día es 0,20; y por lo menos 9 llamadas telefónicas en un día es 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que la señora hablantina reciba 6, 7 ú 8 llamadas en un día? 12. Una caja contiene 100 tubos de televisor. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que tenga al menos dos tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a) Ningún tubo defectuoso? b) Exactamente un tubo defectuoso? c) A lo más un tubo defectuoso?

Cálculo de Probabilidades Regla de la Multiplicación 13.

Dado que p(A) = 0,50 y p (A∩B) = 0,30, encontrar p (B/A) =

14. De los estudiantes de una universidad, el 35% son varones y el 8% son varones que estudian contabilidad. Si se elige un estudiante al azar y éste resulta ser varón. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie contabilidad? 15. Una urna contiene 7 bolas blancas y 5 negras, si se saca dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas si: a) Se extrae sin restitución. b) Se extrae con restitución. 16. La urna A contiene 5 bolitas blancas y 7 rojas y la urna B contiene 3 bolitas blancas y 6 rojas. Se saca una bolita de la urna A y una de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas sean blancas? 17. La urna A contiene 4 bolitas blancas y 6 rojas, la urna B contiene 3 bolitas blancas y 5 rojas y la urna C 7 blancas y 7 rojas. Se saca una bolita de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las tres del mismo color?




Probabilidades

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