PROBABILIDAD APLICACIONES A LA INGENIERIA .
1. Verificar rificar que para los los eventos eventos A y B cualesquie cualesquiera: ra: a) P (A – B) B) = P(A P(A)) – P(A P(AB) B) b) P(ABC U AC B) =P(A) P(B) – !P(AB) A
B
Solución:
A"B A∩B
a) P (A – B) = P(A) – P(AB) #i:
A =(A – B) U (A ∩B) P(A – B) P(A∩B) – P $(A"B) ∩(A∩B)% & Por: P(A U B) =P(A) P(B) – P(A ∩B): 'espeano: P(A – B) = P(A) – P(A B)
b) P(ABC U AC B) =P(A) P(B) – !P(AB) A
B
Verificano: ABC A∩B ACB P (A U B – A ∩ B) = P $(A U B) – (A ∩ B)% = P (A U B) – P $(A U B) ∩ (A ∩ B)% = P (A U B) – P(A ∩ B) = P(A) P(B) – P(A ∩ B) – P(A ∩ B) P $(A U B) – (A ∩ B)% = P(A) P(B) – !P (A ∩ B) * #i la probab probabilia ilia e que ocurra ocurra un evento evento A es + y que que ocurra ocurra un event eventoo B es ,- eterine los posibles valores e P = P (A ∩ B) Solución:
Haciendo para 3 casos:
P(A) = + P(B) = , P = P (A ∩ B) B)
1) A ∩ B = ϕ P =& !) A ⊂ B = P(A) = + *) A ⊄ B = / 0 P 0 1
1
1. Caso: A ∩ B = ϕ :
P=&
!. Caso: A ⊂ B:
P = P (A ∩ B) P =P(A) P=+
*. Caso: A ⊄ B: P(A U B) = P(A) P(B) – P (A ∩ B) 1 = 1 * " P ( A ∩ B) ! 1 " 2 = "P (A ∩ B) P (A ∩ B) = 1 ==3
1 0 P (A ∩ B) 0 1
2 Un lote lote e prouc proucci4n ci4n e constr construcci ucci4n 4n contie contiene ne n obetos. obetos. 5a proba probabili bilia a e que al enos uno sea efectuoso es &.&6- ientras que la probabilia e que al enos os sean efectuosos es &.&. Calcular la probabilia e que: a. 7oos oos los los obetos obetos sea sea no efec efectuo tuosos sos.. b. 89actaente un un obeto sea efectuoso. efectuoso. Solución:
#i:
#ea
9 = e efectuoso
n 9 = &- 1- !- *- ... n– P(9 3 1) = &.&6 P(9 3 !) = &.& a. P (9 = &) = 1 – P (9 3 1) !
1. Caso: A ∩ B = ϕ :
P=&
!. Caso: A ⊂ B:
P = P (A ∩ B) P =P(A) P=+
*. Caso: A ⊄ B: P(A U B) = P(A) P(B) – P (A ∩ B) 1 = 1 * " P ( A ∩ B) ! 1 " 2 = "P (A ∩ B) P (A ∩ B) = 1 ==3
1 0 P (A ∩ B) 0 1
2 Un lote lote e prouc proucci4n ci4n e constr construcci ucci4n 4n contie contiene ne n obetos. obetos. 5a proba probabili bilia a e que al enos uno sea efectuoso es &.&6- ientras que la probabilia e que al enos os sean efectuosos es &.&. Calcular la probabilia e que: a. 7oos oos los los obetos obetos sea sea no efec efectuo tuosos sos.. b. 89actaente un un obeto sea efectuoso. efectuoso. Solución:
#i:
#ea
9 = e efectuoso
n 9 = &- 1- !- *- ... n– P(9 3 1) = &.&6 P(9 3 !) = &.& a. P (9 = &) = 1 – P (9 3 1) !
P (9 =&)
= 1 – &.&6 = &.; 931 93!
b. P (9 = 1) = P(9 3 1) – P(9 3 !) = &.&6 – &.& P (9 =1) = &.&!
& 1 ! * ..... 1 efectuoso
< Coo Coo resulta resultaoo e la ean eanaa e pasaes pasaes-- las lneas lneas a>rea a>reass naciona nacionales les se ?an visto obli@aas a auentar el nero e vuelos. Una copaa eterinaa tiene por el oento 2 vuelos: 5ia – quitos- os e ellos en la aana y los otros en la tare. a. DCuEl es la probabilia e que no ?aya nin@n vuelo en la aanaF b. #i se cancelan al aGar os e estos vuelos- DcuEl es la probabilia e que si@an ?abieno un vuelo en la aana y os en la tareF Solución:
n = 2 vuelos A- B ! vuelos en la aana H- I- J vuelos en la tare #ea el evento = ?ay vuelo en la aana. a) A =no =no ?ay ?ay nin@n nin@n vuel vueloo en la a aana ana.. P(A) =1 – P () =1–! 2 P(A) = * 2 b) 5a probabilia e: e: 1 vuelo e la aana (! vuelos) ! vuelos e la tare (* vuelos) !
*
C . C 1
=
!
!K 9 *K ! 9 6 1K !K 1K = 1 ! = 6 = *
2
C
2K *K !K
*
!
1!& 1!
1&
2
*
C
.C
1
!
* =
2
C
2 *
; Un n@eni n@eniero ero pro@raa pro@raaor or e e coputa coputaora orass ebe ebe esco@ esco@er er tres tres traba trabaos os e e entre entre cinco que esperan atenci4n el pro@raaor. pro@raaor. Aunque Aunque el pro@raaor no lo sabe*
los trabaos varan en cuanto al tiepo e pro@raaci4n que requieren. 'efina un espacio uestral para este e9periento enuerano sus eleentos. 'ar una asi@naci4n e probabiliaes aecuaa y calcular la probabilia e que el pro@raaor escoa escoa los os trabaos trabaos que requieran requieran el enor tiepo. Solución:
'os trabaos e enor tiepo
!
1
*
1!*
1!
2
1!2
1*
2
1*2
2
12
* n(2!) = 1&
!*
2
!*2
2
!2
2
*2
* !
* #ea: #ea:
A = 'os 'os traba trabao oss e e en enor or tie tiep po: o: A = L1!*- 1!- 1!2M n(A) = *
P(A) = n(A) = * n(2!) 1&
1&." en una fEbrica e prouctos un lote contiene N artculos buenos y efectuosos- si se e9traen al aGar * artculos a la veG- calcular la probabilia e obtener por lo enos un efectuoso. Solución:
n =1! NB ' #ea el evento:
A = Por lo enos un efectuoso. B = * artculos e los 1! que e9isten. AO = Un efectuoso.
P(A) = 1 – P(AO) P(B)
N
P(A) = 1 – C
C
&
* 1!
C *
P(A) = 1 – 26 !!& PNA) = &.<2 1* un in@eniero civil tiene 1! uniaes e cierto artculo e losetas e los cuales tienen al@n tipo e efecto. Un cliente pie para coprar * e tales artculos pero que no ten@an efectos. #i el coerciante esco@e al aGar y e una sola veG e tales artculos- DCuEl es la probabilia e que con las uniaes esco@ias satisfa@a el peio el clienteF Solución:
1! ' NB
2
#ea el evento: A = 8l coerciante esco@e artculos. N
P(A) = C
C *
N
C
1
C &
1!
C
N
P(A) = C
C *
N
C
1
= 1*& = &.!6* ;2
1!
C
P(A) = &.!6* 12 un urao e < in@enieros civiles van a eciir la inocencia o culpabilia e un in@eniero en una obra #upon@a que votan por inocencia y los otros tres por culpabilia. #i se seleccionan al aGar * ueces- y se pre@unta por su voto. DCuEl es la probabilia e que la ayora e los uraos e la uestra est>n a favor e la inocencia el in@eniero F Solución:
<
se e9traen * ueces
*C #ea el evento:
A = la ayora e los ueces estEn a favor e la inocencia el reo.
P(A) = C
*
C !
C
1
*
*
C &
<
C *
K 9 *K K P(A) = !K !K 1K !K *K 1K
6
P(A) = &.6!; 1< Una caa contiene 16 pernos e los cuales N no tienen efectos. 2 tienen efectos leves- y * tienen efectos @raves. #i se eli@en * pernos al aGar y e una sola veG. Calcular la probabilia e que los tres no ten@an efectos leves. 16
ay
C = 26& aneras e esco@er * pernos entre 16. * 2
C = 1& aneras e obtener pernos con efectos leves *
P(A) = casos posibles e obtener * pernos con efectos leves casos posibles e esco@er * pernos P(A) = 1& 26& 5a probabilia e que los tres no ten@an efectos leves es el copleento el evento. P(9) = 1 – P(A) P(9) = 1 " 1& 26& P(9) = &.;N
!1 Cien in@enieros civiles e obra fueron encuestaas a cerca e sus preferencias sobre tres prouctos A- B y C. #e encontr4 que 2& prefieren el A- *< el B y *& el C aeEs 1! prefieren A y B- N s4lo A y C- 2 s4lo B y C- y 12 s4lo C. 'e 2 personas encuestas ele@ias al aGar- calcular la probabilia e que ! e ellas prefieran solo A y B y una prefiere los tres prouctos. U = 1&& A = 2&
B =N< a 1& !=b
*& N
!& 2
12
<
c = *& a b =1! N b 2 12 = *& b = ! ↔ a =1& n (B ∩ C) = < n (s4lo A y B) = n (A ∩ B – C ) = 1& n (A ∩ B ∩ C) = ! #ea el evento 9 = ! prefieren A- B- CQ ! prefieren solo A y B y uno prefiere A- B y C.
<
P(9) =
1&
C
C !
1&
C
!
1 1&&
C 2
P(9) = !1 9 2 9 1& = .1N 9 1& "2 !!2N6!26& !* Un ao noral se tira cinco veces- calcular la probabilia e obtener: a) toos los resultaos iferentes- b) al enos os resultaos i@uales. Solución:
a.
#ea: A = 7oos los resultaos son iferentes: R n =6
S=2 n
√
= S
nK (n"S)K
6
√ = 2
6K = 6K =
n
N
R
√
= nS
62 = <<<6
S
P(A) = e casos a favor e casos posibles P(A) =
P(A) = &.&;!2
Tbtener al enos os resultaos i@uales es el copleento el anterior (PA) P(9) = 1 – P (A) P(9) = 1 – &.&;!2 P(9)= &.;&<
!2 #e selecciona al aGar un nero- &- 1- !- ... ;;;. Calcular la probabilia e que el nero no sea ivisible ni por * ni por <. Solución:
eros ltiplos e *: *- 6- ;- 1!- ... ;;;
1 = ***
<- 1- !1- ... ;;; eros ltiplos e * y <: !1- !- 6*- ... ;;;
! = 1!
eros ltiplos e <: * =2
1 ! – * = n(A) *** 1! – 2 = n (A) *& = n(A) P(A) = *& = &.* ;;; Para calcular que no sea ivisible ni por * ni por < es i@ual al copleento e P (A). P() = 1 – P(A) P() = 1 – &.* P() = &.2< !< Una caa contiene * barras e acero nueraas e 1 a *. 5as barras se saca al aGar a una sin reposici4n. #i se consiera un e9isto cuano la bola S sale en e9tracci4n S- S = 1- !- *. a.
'escriba el espacio uestral. ;
b.
Calcular la probabilia e obtener al enos un >9ito.
Solución:
8
8
888
8
8
8
88
8
8
*1 Un lote contiene & artculos e accesorios e servicios el>ctricos e los cuales son efectuosos y *6 no efectuosos. #e ivie el lote en sub"lotes e 1& artculos caa uno- calcular la probabilia que caa sub lote ?aya un artculo efectuoso. Solución:
' = & B = *6 #ea el evento A = en caa lote ?ay un artculo efectuoso. •
Wue los artculos en caa lote se puee realiGar e K foras y los restantes e *6K ora- tabi>n en caa sub"lote los ; que no son efectuosos se pueen colocar e ;K oras coo ?ay sub"lotes serE: ;K H ;K H ;K H ;K = ;K
∴ •
n(A) = K *6K ;K
& artculos pueen colocarse e & foras y esto ivien en sub"lotes e 1& esto ocurre para caa lote 1&K 9 1&K 9 1&K 9 1&K = 1&K
∴
K *6K P(A) = ;K = 1 &K 1&K 1&
*< 5a eana e caa uno e os artculos A y B vara aleatoriaente e inistintaente en un ran@o e !&&& a 1&&&& tn. #e acuera baar el precio e venta e abos artculos- si la sua e sus eanas supera las 2&&& tn..- pero no es ayor a <&&& tn. DCuEl sera la probabilia e que el precio e venta e abos artculos baeF Solución:
9 = 'eana el artculo A I = 'eana el artculo B Ω = L(9- y) X !&&& 0 9 0 1& &&&- !&&& 0 y 0 1& &&&M Ω = L(9- y) X ! 0 9 0 1&- ! 0 y 0 1&M
#ea el evento: A = 5a sua e sus eanas superen los 2&&& tonelaas pero que no sea ayor a <&&& tonelaas. A = L(9- y) ∈ Ω X 2 0 9 y 0
(A) =
n Ω = 1& – ! = N 9 1& – ! = N 9 n (Ω) = N 9 N = 6
∴ P(A) = = 1
1.
6
16
Si: P(A) = 5/8, P (B) = ¾ y P (A/B) = 2/3, Calcular P(A/Bc) Solucion:
11
P(A/Bc) = 1 - P(Ac/Bc) = 1 −
P ( AC ∩ B C ) P ( B C )
1 − P ( A ∪ B ) = 1− C P ( B )
1 − P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ….. (1) P ( B C )
= 1−
Lu!o: "allan#o
P ( A ∩ B )
P(A/B) =
P ( A ∩ B )
P ( B )
P ( A ∩ B )
=
!
P ( A ∩ B )
=
1
*
*
1
!
• =
P (B) = P ( A ∩ B )
P(A/B)
!
$%&la'an#o n la cuacin (1) 1 − P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P ( B C )
1−
P (A/Bc) = 2.
1 !
Si P (B) = 3/, P (B/A) = 1/5 y P ( A ∩ B ) = 1/15, Calcular P ( A ∩ B C ) Sol:
(
P A ∩ B C
) = P (A B) = P (A) - P ( A ∩ B ) ….. (1)
Calcula%o* P (A) P (A) =
P ( A ∩ B ) P ( B X A )
=
1 X 12 1X 2
= 1/3 P (A) = 1/3
Lu!o $%&la'an#o n (1):
(
P A ∩ B C
) = &(A) = P ( A ∩ B ) =
1 *
−
1 12
1!
∴ P ( A ∩ B C ) = 3.
12
+n una %u*ra # 12 caa%aruino*, * nconr u l 0 *ur al!una nr%#a#, l 3 in al %no* 3 ao* y l 2 *on %nor* # 3 ao* y *ano*. Si uno # al*
caa%aruino* *
*co!i#o al a'ar, 4Cul * la &ro6a6ili#a#7 a) u *ura al!una nr%#a# y n!a al %no* 30 ao*7 6) u *ura al!una nr%#a# *i in al %no* 3 ao*7 Sol: 9 ( Ω )=12 0 *urn al!una nr%#a# 3
2
≥ 3 ao*
30
2 ; 3 ao* y *ano*
2<
Con*rui%o* una a6la # #o6l nra#a:
0*&*&TOTAL6&1!
:
TOTALN*61!&
#ufren al@una
enferea 1
:
o sufren enferea
A
:
0 *& aos
B
:
*& aos
a) P ( F ∩ B = 1! X 1!& = 1 X 1& ) 6) <.
P ( F X B )
=
P ( F ∩ B ) P ( B)
=
1! X 1!& *6 X 1!&
=
1! *6
=
1 *
2 clin* # cr#io # una in#a co%rcial $uo,(an-21<), 1 inn cr#io* %nor* u S/. 2, 15 inn cr#io* # la %no* S/. 5, y 11 inn cr#io* %nor* # < ao*. A#%* 3
1*
clin* inn cr#io* # al %no* < ao* y # 2 a %no* # S/. 5 y 1 clin* inn cr#io* # al %no* 5 y %no* # < ao*. a) Si * li! un clin al a'ar, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u n!a cr#io %no* # < ao* *i in *al#o # cr#io # %no* # 27 6) Si * li!n #o* clin* al a'ar y r*ulan # al %no* # < ao* # cr#io 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u uno n!a *al#o # cr#io # S/. 5 o %*7 Sol: 1
Clin*
15 Clin*
Cr#io ; S/. 2
Cr#io ; S/. 5
11
Clin*
Cr#io ; < ao*
3
Clin*
Cr#io > < ao* y ; 2, 5>
1 Clin* Con*rui%o*
0 aos 3 aos TOTAL
Cr#io ; S/. 5 y ; < ao*
una a6la # #o6l nra#a: TOTA
0 #X.!&&
[ !&& − 2&&]
> 500
2 22 1&&
22 *& N2
1& 2 12
a) P (;< ao*/; S/. 2) =
L
P ( < años∩ < S X .!&& ) P ( < !&& )
=
11& ;& !&&
2 X !&& 1&& X !&&
=
2 1&&
=
; !&
6) P (uno n!a >S/. 5/>< ao*) =
(
P uno tenga > S X .2&& > años
(
P > años
)
)
1
=
=
C 12 × C 1N2 X C !!&& C !;& X C !!&& C 12 C 1N2 C !2&
= .12
∴
La &ro6a6ili#a# # u uno n!a *al#o # cr#io # S/. 5 a %* * .12
5.
+n una ncu*a # o&inin n Caa%arca (21<) * nconr u l 25 # lo* lcor* ?oar@an &or l can#i#ao +. lo* u no ?oar@an &or + l 2 *on %ur* y l r*o *on o%6r*. A#%* la &ro6a6ili#a# # u un lcor l!i#o al a'ar *a o%6r * .. *i * li! un lcor l!i#o al a'ar y r*ula *r %ur 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u no ?o &or +7 Sol: 25 oan &or l can#i#ao + 2 9o ?oan &or l can#i#ao + Son %ur*
= obre Y = Yuer
a)
8 = Votar por 8 81 = o votar por 8
P() = 1- P (") = 1- (.) P() = .3 6) P (+ /) = 1
( )
P E 1 P ( M X E 1 ) P ( M )
12
=
( &.<2)( &.!&) &.*
P (+1/) = .5
∴ 0.
La &ro6a6ili#a# # u no ?o &or + * .5
Dn co%rcian # Ean
rci6 &ara *u ?na 8 o6o*, 2/5 #l
&ro?#or A y l r*o #l &ro?#or B. +l 12.5 # o6o* # ca#a &ro?#or *on #cuo*o*. Si * ac una in*&ccin # cuaro o6o* *co!i#o* al a'ar a la ?' y *i r*ulan: a) Sr # B, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u al %no* uno *a #cuo*o7 6) Fr* #cuo*o*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #o* # lo* #cuo*o* &ro?n!an # A7 Sol: " Foal # o6o* = 8 ! 2 * 2
': 'efectuosos
#l Pro?#or A
'1: o efectuoso
#l Pro?#or B
" 12.5 *on #cuo*o* # A y B A = 9 N& = *! A = *! B = 9 N& = N B = N A(') = *! 9 1!.2 Z = A('1) = *! 9 N<.2 Z = !N B(') = N 9 1!.2 Z = 6 B('1) = N 9 N<.2 Z = !
a. P (B) = 1- P(Bc)
16
!
=1-
C
C N
∴ La &ro6a6ili#a# # u al %no* uno *a #cuo*o * !
1-
C
C N
6. P(#o* # lo* #cuo*o* &ro?n!an # A) = C ! C 16 C 1<& 1&
<&
C * C 1
∴ La
=
C ! C 16 1&
C *
&ro6a6ili#a# # u #o* # lo* #cuo*o*
&ro?n!an * 1.
C ! C 16 C *1&
+n ora* # ra6ao (cr?cr@a Fruillo ) una cr?cr@a uili'a #o* %uina* %6olla#ora* 1 y 2, &ro no o&ran *i%ulna%n. La &ro6a6ili#a# # u la &ri%ra %uina * #*co%&on!a * .2. *i la &ri%ra %uina * #*co%&on * ncin# la *!un#a, la cual in &ro6a6ili#a# # #*co%&onr* # .3 4Gu &ro6a6ili#a# ay u l *i*%a %6olla#or no * uncionan#o n la* ora* # ra6ao7 Sol: 1 * #*co%&on!a * P ( 1) = .2 2 * #*co%&on!a * P ( 2) = .3 Y1 = Y! =
P (Y1
1 ! 1 !
= &.2 = &.2
∩ Y ) = P(Y1) P(Y X Y ) !
!
1
= (&.!) (&.*) P (Y1
∩ Y ) = &.6 !
1<
∴
La &ro6a6ili#a# # u l *i*%a %6olla#or no * uncionan#o n la* ora* # ra6ao * .0
8.
+n un lo # 5 ar@culo*, ay 1 # i&o A y < # i&o B, * Hran #l lo 5 ar@culo* al a'ar uno &or uno *i r&o*icin, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u al %no* uno # *o* *a # i&o A7 Sol: 5 Ar@culo* 1 #l Fi&o A
#e e9trae
< #l Fi&o B
2 artculos
Sa: 9 : #l Fi&o A 91: 9in!uno #l Fi&o A n ( Ω ) = C !2& Lu!o: P (91) =
C 2& C 22&
= .31
P(91) = 1 P(9) P(9) = 1-P(91) P(9) = 1 .31 P(9) = .0I
∴
La &ro6a6ili#a# # u al %no* *a #l Fi&o
∃ una &ro6a6ili#a# #
.0I I.
Slo una # la* 1 lla?* u ll?a una &r*ona a6r la crra#ura # *u &ura. +l &ru6a la* lla?* una &or una *co!in#o al a'ar ca#a ?' una # la* lla?* no &ro6a#a*. Calcular la &ro6a6ili#a# # u la lla? u a6r la crra#ura *a *co!i#a n l uino inno. Sol: A 1 Lla?*
A = Abre A1 = o abre 1N
A1 1A
9 A 1 A
; N < 6 1 P(A) = ) 1& ; N < 6 1 ∴ P(A) = 1&
1.
+n una urna ay r* 6aloa* nu%ra#a* # 1 a 3. la* 6aloa* * *acan al a'ar una a una y *in r%&la'o. Si la 6aloa nu%ra#a con r * *aca n la r -*i%a Hraccin * con*i#ra un Hio. "allar a &ro6a6ili#a# # o6nr un Hio. Sol: #aca Una a Una
8 = 89to 81 = racas
1 1 2 2 3 3
∴ P (+) = 3/0 11.
P
2 3 1 3 1 2
3 2 3 1 2 1
= = = = = =
+ +
+ +
+ +
(+)= J
S &ru6a un lo # <8 oco* uno &or uno (*in r&o*icin). Si l lo conin #o* #cuo*o*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u l Kli%o #cuo*o * #c n la rcra &ru6a7 Sol:
1;
': 'efectuoso
<8 MCMS #: #ano
P(B1 H 2 H 3) N P(B2 H 2 H 3)
6 ! 1 ! 6 1 = X X + X X N < 6 N < 6
∴ = .18 12.
La urna 1 conin #o* 6ola* roa* y #o* 6ola* a'ul*, %inra* u la ranura 2 conin una 6ola roa y r* a'ul*. Dna 6ola * *lcciona#a alaoria%n # la urna 1 y coloca#a n la urna 2. Lu!o una 6ola * !&
*lcciona#a al a'ar # la urna 2 y coloca#a n la urna 1. Si aora una 6ola * *lcciona#a al a'ar # la urna 1, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u *a *a roa7 Sol: 2$
1$
2O
3O ![
*[ *A
!A
![
1[ !A
*A
1[
![ A
1 * * ! P($)= + = 2 2
* !&
*A
+
6 !&
∴ P($) = I/2 13.
Dna urna conin 5 ica* roa* y al!una* ica* 6lanca*. S Hra al a'ar una ica # la urna y * r%&la'a &or una #l oro i&o. Lu!o * *aca # la urna una *!un#a ica. r%inar l nK%ro # ica* 6lanca* n la urna *i * *a6 u la &ro6a6ili#a# # u la *!un#a ica *a roa * .5.
!1
Sol: [: ic?as [oas B: ic?as Blancas
2[ 9B
[ H1
2[ 9B
6 [ H"1
=
!&
( X + 2)
!
+
6
( X + 2)
!
=
6 X + !&
( X + 2)
!
=
1 !
12Q N < - (Q N 5) 2 = Q2 - 2Q - 15 =
∴
Q1 = 5
!!
1<.
Para #ci#ir *i * ac&a o no un lo # 12 o6o* n #on# Hi*n 3 #cuo*o*, * o%an #o* o6o* al a'ar y a la ?'. Si lo* #o* *on #cuo*o*, * rca'a l loR *i lo* #o* *on 6uno* * ac&a l loR y *i *olo uno * 6uno * o%a oro* #o* o6o* al a'ar y a la ?' # lo* 1 u u#an. +*a ?', *i al!uno * 6uno * ac&a l lo, # oro %o#o * rca'a. Calcular la &ro6a6ili#a# # ac&ar l lo. Sol: I 9o cuo*o*
n ( Ω ) = C !1!
n ( Ω ) = C !1&
3 cuo*o* - S *co!n: ;
*
C ! C & 1!
;
+
1!
C !
!< C ! C & N
!
66 C !1&
+
!
C 1 C 1 1&
+
C !
*
C & C 1 1!
C !
N
+
;
*
C 1 C 1
C !
=
*6 66
+
!< 66
+
* 66
N ! C & C ! 1&
C !
!< !N
16 !< 1 + + 66 2 2 66 2
*6 66
+
!< 66
( X 2)
!*
15.
Si: P(A) = 1/3, y P (A ∪ B) = 11/21, Calcular P(B) a) Si lo* ?no* A y B *on Hcluyn* 6) Si lo* ?no* A y B *on in#&n#in* Sol: a) P (A ∩ B) = P (A ∩ B) = P (A) N P (B) =
11 !1
( ) *
= P A + P ( B)
P(B) =
11
P(B) =
!1
−1
*
!1
6) P( A ∪ B ) = (A) N P(B) P(A) P(B) = P(A)NP(B) 1-P(A)T 11 !1
! = 1 + P ( B ) * *
⇒ P ( B ) =
10.
!1 !*
=
6 !1
=
* <
Sa l *&acio %u*ral:
Ω = { w1- w!- w*- w} donde. P ( { w1} ) % = 1 - P ( {W *} ) = 1 - P ( { w} ) = 1 ,* an lo* ?no*: A=UV1,V2W B=UV1,V3W C=UV1,V
Ω = { w1- w!- w*- w} !
P(UV1W)=1/<
P(UV3W)=1/<
P(UV2W)=1/<
P(UV
A#%*: A=UV1,V2W B=UV1,V3W C=UV1,V
∴ ABC no *on in#&n#in* 1.
Pru6 u: a) Si l ?no B * in#&n#in #l ?no A, nonc*, A * in#&n#in # B. 6) A y B *on ?no* in#&n#in*, *i *olo *i, P(A ∩ B) = P(A) P(B) c)
Si A y B *on in#&n#in*, nonc* P(B/A)=P(B/Ac)
Sol: a)
A
B
1.
⇒ co%o
a%6o*
*on
Hcluyn*
∴ a%6o* *on in#&n#in* !2
b) P(A
∩ B)=P(A) P(B) A
B
P(A)=1/
1X
P(B)=1/
∴ P(A ∩ B)=P(A) P(B) A
B
c.- ⇒ la &ro6a6ili#a# # u ocurra l ?no B #a#o a u l ?no XAY a ocurri#o, #a#o u la &ro6a6ili#a# # B *a con#iciona#a &or
la
&ro6a6ili#a# # la no ocurrncia # A.
∴ P(B/A)=P(B/A ) c
∀ A
y B
?no* in#&n#in*. 18.
Dn n!ocio * al u *u &ro6a6ili#a# # Hio * P. l n!ocio * rali'a #o* ?c* # %anra in#&n#in. 4Gu ?alor # P ac %Hi%a la &ro6a6ili#a#. a) o6nr Hio una *ola ?'7 6) o6nr al %no* una ?'7 Sol: 1ra veG
8
P
9!ocio
8
P e@ocio
1"
P
a)
!a veG
Al enos una veG
8O
1"
P
8O
o6nr Hio una *ola ?'. P(1-P)NP(1-P)
∴ 2P(1-P) !6
b)
o6nr al %no* una ?' P(1-P)NP(1-P)NPHP
∴ 2P(1-P)NP 1I.
2
Pru6 u o#o ?no # &ro6a6ili#a# cro o uno * in#&n#in # cualuir oro ?no. Sol: Ca*o 1
P(A)=
Ca*o 2
P(A)=1
Sa A un ?no
Ca*o 1: P(A)= (A ∩ B)∈ A P(A)
P(A ∩ B) P(A) P(B)
Ca*o 2: P(A ∩ B)NP(Ac B) P(A) P(A ∩ B)=P(A) P(B) ∀
P(Ac C)
≤ P(Ac)
!<
2.
Su&on!a u una co%&a@a # 'a&ao* Mrco
21< uili'a un
&roc#i%ino # &ru6a u * conia6l n I8 * #cir i#niica corrca%n a un o6o co%o #cuo*o o no #cuo*o con una &ro6a6ili#a# # .I8. n un *ur'o &or r#ucir la &ro6a6ili#a# # rror a ca#a o6o * co% a #o* &ru6a* in#&n#in*. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u un o6o no #cuo*o no &a*
a)
a%6a* &ru6a*7 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u * #c a un o6o #cuo*o,
b)
* #cir # u no &a* lo %no* una # la* &ru6a*7 Sol: Conia6l : I8
: cuo*o
9o conia6l: 2
Z: 9o #cuo*o
P()=.I8
' C ' ' CO '
a) (.2) (.2) = .< 6) P()=(.<8H.2N.2H.I8N.I8H.I8) P()=.III0
!N
21.
Dna urna conin 1 o6o* nu%ra#o* # uno a 1. un u!o con*i* n *acar al* o6o* y r%ina cuan#o *al l nu%ra#o uno. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u l u!o r%in *i * *aca al a'ar 5 o6o*7 a)
A la ?'7
b)
Dno a uno *in r&o*icin7
c)
Dno a uno con r&o*icin7
Sol: #acan 2 obetos #ea A: solo en \ 1
a)
A la ?'7 P(A)=5/1 ⇒ P(A)=.5
b)
Dno a uno *in r&o*icin: P(A)=1/1 ⇒ P(A)=.1
∴ P(A)=.1 c)
Dno a uno con r&o*icin:
(1& − 1) P(A)= 1&
=
;
2−1
2
1&
2
∴ P ( A) =
;
1& 2
!;
22.
S a #r%ina#o u l &orcna # l?i#n* n Caa%arca u ?n lo* &ro!ra%a* A, B y C *on r*&ci?a%n .<, .5 y .3 ca#a l?i#n ? lo* &ro!ra%a* in#&n#in%n uno #l oro. Si * li! al a'ar a uno # al* l?i#n* 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u ?a. o* # lo* r* &ro!ra%a*7
a)
Al %no* uno # lo* r* &ro!ra%a*7
b)
Sol: C A c B c C c &. &.2 &.* &.6 &.2 &.< A
B
a) P(Ac BC)NP(ABc C)NP(ABCc)
=P(.0H.5H.3)NP(.
BC)NP(ABc
C)NP(ABCc)NP(ABcCc)NP(AcBCc)NP(AcBcC)
NP(ABC) =(.0H.5H.3)NP(.
+n una oicina # una %&r*a %inra # ual!ayoc caa%arca ay #o* co%&ua#ora* A y B u ra6aan # %anra in#&n#in, *i n un %o%no cualuira la &ro6a6ili#a# # u la %auina B * n %al *a#o * [ y la &ro6a6ili#a# # u *olo la %auina A * n %al *a#o * 3/1 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u *olo la %auina B * n %ala* con#icion*7 Sol:
*&
B A Y B B Y
Si *olo B *a %al 2<.
P(B)=(1/2)(1/<)=1/8
+n lo* circuio* # la* i!ura* u *i!un, la &ro6a6ili#a# # u ca#a lla? * cirr (&a* co%n) * P, ;P;1, *i o#a la* lla?* * cirran o a6rn n or%a in#&n#in, calcular la &ro6a6ili#a# # u la co%n &a* # + * S n a) y 6). a) + Sol:
#
1 !
a) +
6) +
#
!
6) +
*
*
2
!
*
2
#
1
*
1
!
#
1
P(1)=P P(2)=P
P(1)NP(1)TP(2)P(5)-P(1)P(2)P(3)P(<)P(5)
P(3)=P
(2P(1))P(2)P(3)-P(1)P(2)P(3)P(<)P(5) 2P3.P2-P.P.P.P.P.
∴ 2P P 3
5
Sa a: la corrin &a*a # + a S P(1)NP(1O2)-P(1y2) P(1)NP(1O2)-P(1y2)
∴ PH1NP-P T 2
*1
25.
Dn H&ri%no * rali'a ana* ?c* n o%a in#&n#in a*a o6nr l &ri%r Hio. Su&on!a u n ca#a inno la &ro6a6ili#a# # u * n!a Hio, * # .I5 *i * *i!un corrca%n la* in*ruccion*R y * # .2 *i no * *i!un corrca%n la* in*ruccion*. Calcular la &ro6a6ili#a# # alcan'ar l Hio n r* inno* a lo %*. a)
Si * *i!un corrca%n la* in*ruccion* ca#a ?'.
b)
Si no * *i!un corrca%n la* in*ruccion* ca#a ?'.
Sol: Si!u la* r!la*:
9o * *i!u la* r!la*:
A=.I5 ⇒ Hio
B=.2 ⇒ Hio
AZ=.5 ⇒ no Hi*o
BZ=.8 ⇒ 9o Hi*o
a) (A)NAZ(A)N(AZ)2(A)=(.I5)N(.5)(.I5)N(.5)2(.I5) = .III85 6) (B)N(BZ)BN(BZ)2(B)=(.2)N(.8)(.2)N(.8)2(.2)=.<88 20.
Calcular la &ro6a6ili#a# # u un %n*a # n(n ≥ 1) #@!io* 6inario* ( y 1) *a incorrco, *i la &ro6a6ili#a# # rci6ir un #i!io incorrco * P y *i lo* #@!io* * rci6n n o%a in#&n#in. Sol:
&
9(9 ≥ 1)
Sa: AR l %n*a * incorrco 1
P(A)=P(-2)-P(Ac)
∴ P(A)=-1-(1-P)
n
Correcto
i!io ncorrecto
*!
2.
Su&on!a u un *i*%a unciona *i al %no* una # *u* co%&onn* unciona. Si la* co%&onn* ra6aan in#&n#in y *i la &ro6a6ili#a# u all ca#a uno * # .1 4Cuna* co%&onn* #6r@a nr l *i*%a &ara u no all con &ro6a6ili#a# # .IIII7 Sol: Z: 9o alla = .II
O
: alla = .1
⇒ H(.1)(.II)N(.II)2=.IIII Q(.1)(.II)=.1I8 Q(.II)=.1I8 Q=
&.&1;N &.&&;;
∴ Q=2 28.
Dn &r*ona * H&u*a a 1 ri*!o n 1 oca*ion* in#&n#in* *i la &ro6a6ili#a# # u ocurra un acci#n * 1/1 ca#a ?'. "allar la &ro6a6ili#a# # u un acci#n ocurra n una o %a* oca*ion*. Sol: 1
"
Mcurra un acci#n *
"
Gu no ocurra un acci#n * 1-
"
;; Gu no ocurra un acci#n n una o %* oca*ion* = 1&&
1&& 1 1&&
=
;; 1&& 1&&
**
1&&
;; Gu ocurra un acci#n n una o %a* oca*ion* =1- 1&&
"
1&&
;; ⇒ 1- =1-.300=.03< 1&&
2I.
Dn H&ri%no alaorio * r&i *uc*i?a%n 1 ?c* n or%a in#&n#in. +n ca#a &ru6a la &ro6a6ili#a# # Hio * [. Calcular la &ro6a6ili#a# # u ocurran 3 Hio* *i l uli%o inno #6 *r un Hio. Sol: 1 ?c* 8
1& Veces
+: \Hio +Z: 9o Hio
8O
3.
1& Veces
(
; !
( &.!2 ) * ( &.<2) <
Su&on!a u n cira r!in #l &a@* la &ro6a6ili#a# # u un a#ulo %ayor # < ao* n!a cncr * .5. la &ro6a6ili#a# # u l #ia!no*ico *a corrco * .8 y # u *a rra#o * .2. *i * li! al a'ar a una # *a* &r*ona*, calcular la &ro6a6ili#a# # u. a)
Si * l #ia!no*iu cncr.
b)
Si * l #ia!no*iu cncr, n!a ral%n al nr%#a#.
Sol: A = Fn!a Cncr AZ= 9o n!a cncr
*
C = ia!no*ico Corrco CZ = ia!no*ico no corrco a) P(A)=(.5)(.8)N(.I5)(.2) C
P(A)=.23 A CO 3& C
6) P(B/A)=
( &.&2)( &.N&) &.!*
∴ P(B/A)=.13I
AO CO
31.
An una &r!una # o&cin %Kli&l # 5 alrnai?a* #on# *olo una * la r*&u*a corrca, un Ha%ina#o &u# *a6r la r*&u*a o no *a6rla o nr #u#a*. Si no *a6 %arca al a'ar. Si #u#a, r#uc la* alrnai?a* a 3 # la* cual* una * la corrca y lu!o, r*&on# al a'ar. Si la &ro6a6ili#a# # u cono'ca la r*&u*a * .5, # u cono'ca * .2 y # u #u# * .3. a)
"allar la &ro6a6ili#a# # u acir la &r!una.
b)
Si acr la &r!una 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u no aya *a6i#o la r*&u*a7.
*2
Sol: #]]]..1(&.2)
S = Sa6
1
SZ = 9o *a6
! *
= u#a
2 1 '
! *
a)
(.5)N(.2)1/3N(.3)1/3 =.0<
b)
32.
( &.!)1 X 2 &.6
=
&.& &.6
Solo l 0 # la %rca#r@a u rci6 un co%rcian #l a6rican A * la cali#a# Hc&cional, %inra* u l I # la %rca#r@a u rci6 #l a6rican B * # Hc&cional. Sin %6ar!o la ca&aci#a# # a6ricacin #l a6rican B * li%ia#a, y &or *a ra'n *olo l 3 # %rca#r@a l * &r%ii#o a#uirir al a6rican B, l la a#uir # A. * in*&cciona un %6aru u aca6a # ll!ar y * ncunra * la cali#a# Hc&cional. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u &ro?n!a #l a6rican A7 Sol: P(C)=()(0)N(3)(I)
=(.)(.0)N(.3)(.I)
P(c)=.0I
*6
B A Y B B Y
P(A/C)=
=
P(A/C)= 33.
P(A)(P(CXA))
P (c)
(&.<)(&.6) &.6; &.! &.6;
+n un &roc*o # &ro#uccin l &orcna # o6o* no #cuo*o* a6rica#o* * con &ro6a6ili#a# .35, I con &ro6a6ili#a# .25 y 0 con &ro6a6ili#a# .<. *i * *lcciona al a'ar uno # al* o6o* y *i r*ula no #cuo*o, calcular la &ro6a6ili#a# # u * # cali#a# #l I no #cuo*o. Sol: '
P(Z)=(.35)(.)N(.25)(.I)N(.<)(.0)
A ' ' B ' '
P(Z)=.1 P(B/Z)=
=
P(B)P('^ XB) P('^ )
( &.!2)( &.;) &.<1
∴ P(PB/Z)= &&.!!2 .<1
C '
*<
3<.
+l 1 # una &o6lacin # lcor* * #i?i# n r* *rao* *ocial* Hcluyn*: 6aa, %#ia y alaR # %anra u la cla* 6aa o %#ia *on l I #l oal, y la cla* %#ia o ala l < #l oal. lo* &ri%ro* *on#o* rali'a#o* &ara la* &rHi%a* lccion*, * air%a u l &orcna # lcor* u ?oar@an &or l can#i#ao &u# *r: 3 # cla* 6aa, 5 # cla* %#ia # cla* ala. a)
Si * li! un lcor al a'ar y * ncunra u ?oa &or , 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u &rn'ca a la cla* ala7
b)
Si * *co!n #o* lcor* al a'ar 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u uno # llo* ?o &or 7
Sol: Baa = 0
P(B )=I ⇒ P(B)NP()
#ia = 3
P( A)=< ⇒ P(A)NP()
Ala = 1
P(A)NP(B)N2P()=13…………. 1
Lu!o: P(A)NP(B)NP()=1...................
!
⇒ 1 ] ! = P() = 3 ' A ' ' Y ' ' B ' *N
a)
( &.1&)( &.< )
P(A/)= (&.1)(&.<) + (&.*)(&.2) + (&.6)(&.*) =
&.&< &.
= &.1<2
∴ P(A/)=.15 b)
P(Z Z)=2(P(Z))
35.
=2(.<)(.0)T=.<8
Dna %auina &ro#uc un i&o # o6o n #i*ino* &rio#o*. Si la %auina * 6in au*a#a n un &rio#o, l 8 # lo* o6o* &ro#uci#o* &a*an l conrol # cali#a# # oro %o#o *olo &a*an l 0. S a #r%ina#o u l I # lo* &rio#o* la %auina *a 6in au*a#o # lo* 25 o6o* &ro#uci#o* n un *olo &rio#o * *co!n 3 al a'ar y a la ?' &ara l conrol # cali#a#. a)
4Gu &ro6a6ili#a# ay u *olo 2 &a*n l conrol # cali#a#7
b)
Si *olo a &a*n l conrol # cali#a# 4Gu &ro6a6ili#a# * in u aya *i#o &ro#uci#o cuan#o la %auina ra6aa n un &rio#o # 6un au*7.
Sol: Pro#uccin: Dn &rio#o → 8 &a*a l conrol # cali#a# 6in au*a#o # lo conrario *olo l 0 → %al au*a#o Bin au*a#o → I # lo* &rio#o* 25 o6o* → *co!n 3 al a'ar a)
P(P)=(.I)(.8)N(.1)(.0) P(P)=.8 ⇒ ∴ La ca&aci#a# # u *olo 2 &a*n l conrol # cali#a# * # .8
*;
b)
P(2P1PZ) ⇒ P(P) P(P) P(PZ) =(.8)2(1-.8)
∴ P(2P PZ)=.1338<8 1
30.
+l #&ara%no # cr#io* # una in#a co%rcial air%a u *!Kn *u* H&rincia* &a*a#a* la &ro6a6ili#a# # u l 2 # lo* clin* u co%&ran &or %a* # S/.5 * i!ual a .3 y u la &ro6a6ili#a# # u l 0 # lo* clin* co%&rn %a* # S/.5 * i!ual a .. Sin %6ar!o al nr?i*ar a #o* clin* al a'ar * ncunra u lo* #o* co%&raron &or %a* # S/.5. n 6a* * r*ula#o 4Gu %o#iicacin acrca # la* &ro6a6ili#a#* .3 y . #6r acr la in#a co%rcial7 Sol: P()=(.2)(.2)(.3)N(.0)(.0)(.) P()=.20< Lu!o: n 2 y 0 !&Z 0 2X2&
P(2/)=
P ( !&Z) P ( D X !&Z) P ( D)
C
=
!&Z 32&
(&.!)(&.!)(&.*) &.!6
= &.&2
CO C
P(0/)=
6&Z 32X2& CO
=
P (6&Z) P ( D X 6&Z) &.!6 (&.<)(&.6)(&.6) &.!6
= &.;22
&
3.
Dna a!on@a # &u6lici#a# o6*r?a u l 2 # lo* co%&ra#or* &oncial* # &ro#uco ? *u &ro&a!an#a &or &rio#o, l 2 # #ica &ro&a!an#a &or l?i*in y l 1 ? lo* i&o* # &ro&a!an#a. A #%* # ca#a r* u ?n la &ro&a!an#a uno co%&ra #ico &ro#uco y l .I co%&ran y no ?n la &ro&a!an#a. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u l co%&ra#or &oncial co%&r
a)
#ico &ro#uco *i no ?io la &ro&a!an#a7 Si un co%&ra#or &oncial co%&ra l &ro#uco 4Cul * la
b)
&ro6a6ili#a# # u no aya ?i*o la &ro&a!an#a7 Solucion a) (.21)1/3N(.I)(1/1)
∴ =.1
C → &.&& * * P CO C → &.&6 *
6)
7 (&.
=
&.&<; &.1;
= &.1 CO C
P∧7 CO → &.&&< 7
C → &.&<; CO → &.<11
1
38.
Dn !rn * a la *&ra # la lla%a#a lnica # 3 # *u* clin* &ara rali'ar un n!ocio. La &ro6a6ili#a# # u lo lla%n cualuira # *u* 3 clin* n o%a in#&n#in * .3 a#%* la &ro6a6ili#a# # rali'ar n n!ocio * # .2 *i lla%a un clin, * # .< *i lla%an #o* clin* y * # .8 *i lla%an lo* 3 clin*, *i nin!uno # lo* 3 l lla%an. 9o * rali'a l n!ocio. a)
Calcular la &ro6a6ili#a# # u ralic l n!ocio.
b)
4Cuna* lla%a#a* # clin* * %* &ro6a6l u aya rci6i#o
l !rn *u6in#o u rali'o n n!ocio7 Sol: P ( A1 )
&. *
+
P ( A! )
&.*
+
P ( A* )
&.*
i = ,1,2,3 ==> P (Ao) = A = 1 9in!Kn clin lla%a ==> P(A ) = A1 = 1 Clin lla%a ==> P (A1) = .2 A2 = 2 Clin* lla%an ==> P (A 2) = .< A3 = 3 Clin* lla%an ==> P (A 3) = .8 B: +l a!n rali'a l n!ocio: P(A) =
* & * & C & (&) (1) −
=&
P(A1) = C 1* (&.*)1 (&.<) *−1 = &.1 P(A2) = C !* (&.*) ! (&.< ) *− ! = &.1N; P(A3) =
C ** (&.*) * (&.<) &
= &.!< !
P(B) = P(B/A) N P(B/A1) N P(B/A2) N P(B/A3)
, (.2) N (.<) N (.8)
P(B) = P(A1) N P(B/A1) N P(A2)(B/A2) N P(A3) P(B/A3) P(B) = (.<<1) (.2) N (.18I) (.<) N (.2) (.8) P(B) = .882 N .50 N .210 P ( A1 ) P ( B X A1 )
a) 1 &u* *
P ( A1 ) P ( B X A1 ) + P ( A! ) P ( B X A! ) + P ( A* ) P ( B X A* )
⇒
&.&NN! 1N2
= &.&&&&<2
*
VARIABLES ALEATORIAS 3I. +l nK%ro # io* &or a%ilia n una #r%ina#a r!in * una ?aria6l alaoria Q cuya uncin # &ro6a6ili#a# *. Q P Q=HT
1/10
1
a) Calcular b) Si
2 ^
3
< 1/10
l ?alor # la con*an ^
una a%ilia in al %no* #o* io* 4Cul* la &ro6a6ili#a# #
u n!a 3 io*7 Solucin
a)
∑ P = 16 + 16 + k + 16 + 161 = 1 i
x − &
=
1& 16
+ k = 1 ⇒ k = 1 − 1& 16
k =
6 16
La &ro6a6ili#a# # u n!a al %no* #o* io* *r:
[
]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
P ! ≤ X ≤ = P ! + P * + P
b)
P ! ≤ X ≤ =
P ! ≤ X ≤ =
6 16
+
16
+
1 16
11 16
La &ro6a6ili#a# # u n!a r* io* #a#o u in al %no* #o* io* *:
∴
<.
P [ X = *] P [ ! ≤ X ≤ ]
=
X 16 11 X 16
= X 11
Dna urna conin 1 ica* # la* cual* < *on roa* y 0 6lanca*, * Hran 3 ica* al a'ar r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ica* roa*. Si * *co!n:
a) Lo* 3 a la ?' 6) Dna &or una *in r*iucin c) Dna &or una con r*iucin Solucin a) Ca*o* u &u#n *alir al!una # la* ica* # color roo $H= ,1,2,3 C *1&
Ca*o* u &u#n *alir la* 3 ica* roa* a la ?' C k C *6− k
6
f ( k ) = P x = k =
Ck C *− k
[
C& C *
[
]
1&
C *
]
f (o ) = P X = & =
[
6
C
]
f (1) = P X = 1 =
6
]
[
]
C* C &
C
6
1&
C !
1 .1
2 .3
$H = ,1,2,3
= &.*
1& !
.1
6) Dna &or una *in r*iucin
= &.&1<
1&
C *
f (!) = P X = ! = f (*) = P X = * =
Q P Q=HT
6
C1 C !
C! C 1
[
= &.&1<
1& *
= &.&*
[ = k ] =
CkC *6− k
[ = k ] =
CkC *6− k
P X P X
C !1& C !1&
c) 1 ica* < roa* 0 6lanca* La #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ica* roa*:
p =
1&
-q =
6 1&
⇒ p + q = 1
2
P [ X = 1] = C 1 p q *
1
* −1
P [ X = !] = C !* p ! q *− ! P [ X = *]
= C ** p 1 q *−*
∴ P [ X = k ] = C p * k
<1.
k
q * − k
S ?n#n 5 6olo* # una ria u con*i* n un &r%io # _ 2, < &r%io* # _ 5, y 1 &r%io* # _ 5. Si ca#a 6olo cu*a _ 1, y *i u*# a#uir un 6olo a) "allar la uncin # &ro6a6ili#a# # la uili#a# 6) Gu &ro6a6ili#a# ay # !anar al!Kn &r%io
Solucion a)
Base 1 < 1 <85 5
Precios S/. 2 S/. 15 S/. 5 --
Utilidad S/. 1II S/.
P [ X = x] 1/5
6) P (Q=1II) N P(Q=
1 2&&
+
2&&
+
1& 2&&
=
12 2&&
= &.&*
Dna urna conin 3 ica* roa* y 5 a'ul* un u!o con*i* n Hrar una ica *uc*i?a%n con r&o*icin *i #o* &r*ona* A y B u!an alrna#a%n Hrayn#o la ica, a*a u ocurra una ica a'ul 4cul * la &ro6a6ili#a# # u A !an l u!o *i l *al &ri%ro7
Solucion. $: ica* roa* A: ica* A'ul*
6
C: u !an l Eu!a#or A *[ 2A N ic?as
P
(A)=
2 N
P (B)= *XN
Sa H: +l nK%ro # Hraccion* a*a o6nr la &ri%ra ica A'ul. Sin#o (^-1) l nK%ro # Hraccion* # la* ica* roa* K −1
2 * P (Q-`) = N N
`=1,2…. +c.
P(c) = P(Q=1) P(Q=3) P(Q=5) ... c.
!
2 2 * 2 * = + + + ... N N N N N
2 ; !< 2 ; 2 6 = + ... = 1 + + 1 X 1 − = = N X 11 6 N 62 N 6 *1! N
<3 .
Dna urna conin *i* 6ola* nu%ra#a* #l 1 al 0,
* Hran al a'ar #o* 6ola*, una #*&u* # la ora con r&o*icin Sa Q l %nor # lo* #o* nK%ro* o6ni#o* a) +ncunr la uncin # &ro6a6ili#a# # Q 6) a &arir # H la1#i*ri6ucin ! * acu%ula#a 2 6 # Q calcular P 2;H;< T Solucion:
1
11 1! 1* 1 12 16
!
!1 !! !* ! !2 !6
*
*1 *! ** * *2 *6
1 ! * 2 6
2
21 2! 2* 2 22 26
f(1)= P [ X = 1] = 11 X *6 n ( Ω )=696=*6 f(!)= P [ X = !] = ; X *6 f(*)= P [ X = *] = < X *6 f()= P [ X = ] = 2 X *6 f(2)= P [ X = 2] = * X *6 f(6)= P [ X = 6] = 1 X *6
6 61 6! 6* 6 62 66 <
Por
in#uccin %a%ica * in u: (H)= P [ x = k ] =
a)
∩
1* − !k = 1. 6 *6
P [ ! ≤ X ≤ ] → P [ X ≤ ] − P [ X < ! ] = P [ ! < X ≤ ]
(1)= 11/30 (2)= 11/30NI/30=2/30 (3)= 11/30NI/30N/30=2/30 (<)= 11/30NI/30N/30N0/30=32/30 P [ !
≤
X
≤ ] = 32/30-2/30= 12/30
<3. a) H: nero e >9itos n ( Ω )= { (1-!-*) - (1-*-!) - ( !-1-*) - ( !-*-1) - ( *-!-1)( *-1-!) } n ( Ω )= 6 H
P(9)
1
!X6
!
1X6
*
*X6 N
6) P (H ≥ 1) = P(H=1) N P(H=3) = 1/0 N 3/0 =
;
= .10 <5. H: \ e Ventas
H
P(9)
&
2X6&
2&& 1X6& 1&&& 1X6&
! 2
* 2 2
1&
+
12
2 !
2 6 6
*&
P(H=5)= ⋅ + ! ⋅ ⋅ ⋅ =
P(H=)= ⋅ + ⋅ ⋅ =
*6
! 1
* 2 1
!
2 6
2 6 6
*&
* 1
=
+
2 6&
6 *6
=
1 6&
!
* 1 = P(H=1)= = 2 1& 1N& 6&
#ia = +(H) =
2 1 1&&& = N&&& + 2&& + ∑ xP ( x) → E ( x) = & && 6& 6& 6&
! (H) = + (H2) - E ( x ! ) − [ 8(9)] = 1!2&&&& −
16&&&& ;
= 11&;&&& ;
<0. a) 0 "o%6r*
cu%&ln rui*io* <
< ur*
5 % P
= (&.6)(&.) (&.) (&.2)
P = &.! &.! = &.
2&
21
6)
<.
P [ x = k ]
= C k * p k q *− k
P [ x = k ]
= C k * p k q *− k =
C 1* ( & . )(1 − &. ) !
= &.1
Si * *co!n uno &or r&o*icin nonc*: +l ran!o H * l conuno
R x {1-!-*-...etc} *i
^ + $H nonc*
Hraccin con &ro6a6ili#a# 1/n. Lu!o: +n la* (^-1) Hraccion* r*an ocurr la ora &ro6a6ili#a# 1/n y ocurr (^-2) 6ola* in#&n#in* con &ro6a6ili#a# (1-1/n)
∴
La &ro6a6ili#a# # H=^ * #a#a &or:
L(H)= P [ x = k ] = C 1k −1 q k − ! P P = C 1k −1 q k − ! P ! on#:
1 = 1 − , n
P =
∴ P [ x = k ] = C
k −1 1
1
^=1,2,… c
n k − !
!
1 − 1 1 n n
^=1,2,… c
2!
<8.
_rea = _reas = = = = =
k-puntos
S-k
5
Área=kS ! [ k + 1] S 1/25
π
Pro"# 1/25 π
2*
1
<
3/25 π
2
3
I/25 π -
5/25 π
3
2
10/25 π - I/25 π = 3/25
π
/25 π
π
<
1
I/25 π 10/25 π =
π
a) D: Dili#a# (S-^) = = 5,<,3,2,1
^= ,1,2,3,<
6) Pro6. 1/25 π , 3/25 π , 5/25 π , /25 π , I/25 π
∫
2 &
cdx
2
=
c s
x
"allan#o (H) n
2 &
= c =1
[ &-2]
1)
Q; ⇒ F ( x ) = ∫ −x ∝ odc = &
2)
x ≤ x ≤ s
⇒ F ( x) = ∫ x−∝ odc + ∫ x& 1
= 2 t x = &
1 2
dc +
∫ odc x x
x 2
2
x ≥ s
3)
⇒ F ( x) = ∫ &− ∝ odc + ∫ &2 1 dc + ∫ sx odc 2
=
1 2
t 2& = 1
Lu!o:
& x < & (H) = x X 2 & ≤ x ≤ 2 1 x ≥ 2 6)
P [ X ≥ N]
= 1 − P [ X < !]
=1− ! X 2 = *X 2 c)
∫
MAX
−α
F ( X ) dx = * X 2 →
∫
a9
−α
dx
2
= *X2
1/5%aH=3/5 ⇒ a9 = * dx
#) P(H=2)= ∫ N!
2
= & Por un *olo &uno
P(H=2)= 51. a) La cuacin # la rca * y=%HN6, #on# % * la &n#in =
−c Nc
= −1 X N y 6 * l &uno # inr*ccin n l y 6=c x
∴ P ( x) = − + c- a ≤ x ≤ Nc N
x
f ( x) = 1 ⇒
⇒ ∫
&
(N xc −
! ! !
1
Nc
(Nc − x )dx = 1 ∫ N &
) = N → 6c − !
6c ! !
= N ⇒ c = ±1 X !
acur#o a la !raica no o%o C=-1/2
22
f ( x)
1
x
− x
N
N
− =
!
1 − x < dx = 6) P (& ≤ x < 1) = ∫ & 16 N
< 16
! − x 2 dx = ) P (1 ≤ x < 1) = ∫ 1 16 N
12/10
* − x * dx = P ( ! ≤ x < !) = ∫ ! 16 N
15/10
− x dx = 1 X 16 1 P ( * ≤ x ≤ ) = ∫ * N
(H)=77 S *a6 u (H)=
df ( x) dx
⇒ ∫ f ( x) dx = f ( x)
x ! − x dx → f ( x) = 1 X N + k − x (H)= ∫ N !
&ro ^=77
⇒ (H1)=/10
&roH1=1
! x1 1 < k + = (H1)= x1 − ! 16 N
(1)=
< 16
+ 1k =
< 16
→ k = & !
x − ∴ f ( x) = 1 −
;2
k
∫
c) P ( & ≤ x ≤ k ) = & f ( x)dx = 1&& k − k 1; = ∫ & dx = !& N N x − x ! k 1; Nk − k ! 1; = = X& = ⇒
16
!&
4&k − 2k = <6 !
16
k =
!&
&< (&) !
− (2)(<6)
1&
∴ k = *.1&6 1
52. ∫ & c(! x + 1)dx = 1 a)
(
c N!
+ x ) X1& = 1 ⇒ !c = 1 → c = 1 X !
Lu!o la uncin #*i#a# # y o *.
26
< x + 1 !
f ( x) =
x ∈ &.1
n l r*o *i H ≤ 1 !
x
*i ;Hc1, (H)= ∫ & ( c + 1 X !) de x
(H)= t !
x
t
∫ t de + ∫ de = ! + ! X &
&
f ( x) =
6)
x !
x
&
+ x !
P [ x ≤ <2 Z X x ≥ !2 Z ] = P [ x ≤ &.<2 X x ≥ &.!2 ]
= P [ x ≤ * X X
x ≥ 1 X
≤ * X nx ≥ 1 X ] ] = P [ x P [ x ≥ 1 X ]
]]]]..(9) ]]]]..
n (H) P [1 X ≤ x ≤ * X ] = 1 X !
*X
∫
1X
( ! x + 1) dx =
1 !
( x !
+ x) X1*XX = 1 X !
n (HH) 1
=1/2 ∫ 1 X ( ! x + 1) dx =
1 ! ( x !
P [ x ≤ * X X x ≥ 1 X ] =
Lu!o
+ x) X11 X = !< X 1!
1X ! !< X *!
=
16 !<
= &.2;
53. a) (H)=1 1
2
⇒ ∫& kdx + ∫ 1 k (2 − 1)dx = 1 1
2
k X & + k (2 x ) X1
=1
→ k + !& k − 1!k = 1 1! k = 1 → k = 1 X !
6)
P (& ≤ x ≤ !) =
1
!
∫ kdx + ∫ (2k − kx)dx &
= k + 2k −
1
*k !
=
12k !
coo k = 1 X !
12 ; ⇒ P (& ≤ x ≤ !) = = 2 X N ! 1! ∴ 2 X N x1&& Z = 6!.2Z
5<. a)
2<
cx & ≤ x <1 c f ( x ) = − ( x − *)1 ≤ x ≤ * !
"allan#o C. &
onotrocaso cx !
1
Q C ∫ & xdx =
c X =! 1
&
!
* c x ! − QQ C ∫ & ( x − *) dx = ! ! − * x X1 ⇒ c = ! X * 1
! x & ≤ x < 1 * f ( x)( x − *) 1 ≤ x ≤ * & en caso f ( x ) = P [ x
6) i) H;
ii) & ≤ x < 1 iii)
1 ≤ x
≤ x ] = ∫ − &de = & α
α
f ( x) = P [ x ≤ x]
α
= ∫−
α
≤ * = f ( x)% = P [ x < x ] = ∫−
&de +
α
α
&de
1
+ ∫ &
x
∫ &
1c *
c! = & + 1 X * + 1 X **c − = 1 X * + * ! = 6 x − x − *
!c *
de
6 x
dc = x
+ ∫ 1
!c
!
6
X
x &
(* − c ) *
de
− ! ! − 2 *
6
iu)
f > *
f ( x) = P [ x ≤ *] =
x
∫
− x
& de +
1
∫ &
Cde +
* − c de + x &de = 1 ∫ 1 * ∫ * *
& x < & ! x & ≤ x < 1 * f ( x) = ! 6 x − x − * 1 ≤ x ≤ * 6 1 ! > *
2N
1
!
*
* − x dx = &.6!2 1 * x ! ! x ! = X1& x1 X ** x − X1k = &.6!2 * ! ! = 6k − k ! − * = *.<2 ⇒ k = ; X ! ∨ k = * X !
! x
1
k
∫ * dx + ∫ &
c)
∴ k = * X !
55. a)
∫
2&&
&
kxdx
1&&
+ ∫ N&& (1&&& − x )dx = 1
! x ! 2&& x 1&&& 1&&& + 1&&& x X ;&& − =1 k X X & 2&& ! !
κ (!2&&&&)
6)
∫
f ( x)dx = k
<2&
!2&
=1
⇒ k = 2&&
∫!2&
= k
x ! !
X
xdx +
2&& !2&
!2&&&& (1&&& − x)dx
<2&
∫
2&&
<2&
+ 1&&& x X2&& −
<2&
∴ ∫ !2& f ( x)dx =
c)
1
1N<2&& !2&&&&
x ! !
X
<2& 2&&
= &.<2
a
∫ f ( x)dx = &.N& &
x ! 2&& a + ∫ 2&& (1&& − x)dx = &.N& k X & ! x ! 2&& x ! a k x 1&&& + − X 2&& = &.N& X& ! ! 1&&& ± (1&&&) ! − ( )(1 X !)( 2&&&&) a= (1 X !)
a = 6N*.<<
50. a)
∫
!
&
kxdx
6
N
+ ∫! !kdx − ∫ 6 k ( x − N)dx = 1
x ! N − N x X & = 1 ! !k + Nk + !k = 1 ⇒ k = 1 X ! kx !
!
6
X & + !kx X ! − k
2;
6)
f ( x ) =
x
∫ f ( x)dx − x
x X 1! & ≤ x < ! ! ≤ x < 2 1 X 6 f ( x) 1 X 1!(N − x) 6 ≤ x < N & en ot"o
caso
x
∫ &de = & c t x & ≤ x ≤ ! f ( x) = ∫ &de + ∫ de = & + = X 1! ! ! ( x − !) 1 tde t + ∫ de = + X = + f ( x) = ∫ &de + ∫ 1! ! ! 6 ! 6 1 tde f ( x) = ∫ de + ∫ + ∫ dc + ∫ (N − c)de 1! ! f 1 ( x) =
&
!
*
x
&
&
!
6
x
x
&
!
!
!
6
x
!
6
− x
=&+ f 2 ( x) =
!
x
&
!
&
x
∫
− x
&
&
!
+
&de +
x
16 ! !
+
tdc
∫ 1! &
1 1! x − x !
1!
6
+ ∫ !
! dc
6
− *& N (N − c)
! ≤ x ≤ 6
+ ∫ 6
1!
de +
x < & & ! x & ≤ x < ! ! 1 f ( x) = + ( x − !) ! ≤ x < 6 ! 6 !& 1 16 x − x ! − *& + ! 1! ! x ≥ N x
x
∫ &de = 1 &
6 ≤ x < N
1
5.
&
a)
a
∫ ce x
.#x
dx
=1
6&
C B f ( x ) =
6)
− x
x
∫
C
e dx ⇒
&
x
∫ Be
− B
&
B = 1 X
B
((1) = 1 ⇒ C = B
− e − B$ x du = B = 1 − e − BX X & B
P ( ≤ x) ⇒
x
1
∫ e
− x X
si x ≥ &
x
X = &.*6<;
− x
58. f ( x) = ce !&& − x
− x = 1 !&&
⇒ ∫ & ce 1&& dx = 1 z − !&& c ∫ & e !&& d − x
x
x
− x x
− !&&ce !&& X & = 1 ⇒ −!&&c(−1) = 1 ⇒ f ( x) =
1 !&&
c
=
1 !&&
− x
e
1&&
*u uncin #n*i#a# o uncin # &ro6a6ili#a# #
&ro6a6ili#a#* * :
[
]=
P x ≥ 1&&
1
x
!&&
∫ e
− x 1&&
1&&
− x 1&& x X1&& = e −1 X ! = &.6&62 dx = − e
∴ f ( x) = &.6&62 x
5I. ∫ 1&&
cdx x !
x
1 = 1 ⇒ c − = 1 x 1&&
1 ⇒ c = 1&& c & + 1&&
P ( x > !&&&) = ∫ !&&& x
1&&dx
! !
=−
1&&
x
x
X1&& =
1&& !&&
= &.2
!&&&&" ≈ !&& docenas do%a"es
P =
(
n k
p k q n − k
⇒ P = ( ! (&.2) ! (1 − &.2) ! &.*<2
0. 1 ≤ x ≤ ≤ x
≤ 16
1 ≤ ; ≤ 1*
1 ≤ x
− * ≤ 1*
#on# I(I) *r
61
C 1 ≤ ; ≤ 1* '(;) = D en ot"o caso "allan#o l ?alor # C 1*
∫
Cdx = 1 → c
&
1*
∫ 1
1*
dx = cx X1 = 1!c = 1 → c = 1 X 1!
1 X 1! ' (;) &
1 ≤ ; ≤ 1*
en ot"o caso
01. & − x( x + 1) f ( x)& − ax + x &
x )
∫
−1
−!
xx)
− ! ≤ x ≤ −1 − 1 ≤ x ≤ &
∫
−!
∫
−!
x
− ;)du + ∫ −1&du = x
−1
∫
−!
=
(−au
(−au
2;
+
− au !
− a )du + ∫ −1&du =
!
− au ! !
− au X −!1 =
−;
− au X −−1! =
! ; !
+ ; + !a − !a = + a + !a − !a =
− ; x ! ! ; !
− ax
− 1 ≤ x < &
& x x −; − au ! du = ; + & − a)du + ∫ −1&du + ∫ & u + a + au X & ! !
= xxx)
&=a+#
x ≥ !
(−au
−1
! = − xx + #
& ≤ x < 1
(−au
−1
xxx)
x < −!
; !
−
; x
!
+ ax &
-& ≤ x 1
<1 x
− a)du + ∫−1 &du + ∫& (−; X !u + a)du + ∫ 1
;
du !
; x !
6!
x < −! & ! − ax − ax − ! ≤ x < −1 ! a ! f ( x ) = − ax X + ; x − 1 ≤ x < & ! 2a + ; x & ≤ x < 1 ! x ≥ ! 1
$O%ELO BI&O$IAL 1.- Si Q b B(n, &) al u +(Q) = 3 y (Q) 2.< , calcular: PQ ≥ 3T. SMLDC9: +(H) = n& (H) = n& +(H) = n& = 3 ...............
(1)
(H) = n& = 2.< ............ (2) $%&la'an#o 1 n 2
∴ 1 & = .8
3 = 2.< q =
! . *
& = 1 .8
= .8
& = .2
n& = 3 n(.2) = 3 ⇒ n =
* ⇒ n = 15 &.!
&(H ≥ 3) = 1 & (H ; 3) = .02
a6la.
P(H ≥ 3) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T 1 1 12 ! 1* = 1 - C12& (&.!) & (&.N)12 + C12 1 (&.!) (&.N) + C ! (&.!) (&.N)
= 1 1(.3518<) N 15 (.8I0) N 15 (.2<8)T = 1 .3I8232 6*
= .01III 6)
Solucin: alor %* &ro6a6l. n (&) = 1 5 (c/*2) = 1
⇒ 1
1=1
2.- Dn *u#ian con*a al a'ar (o *a *in *a6r na#a) a I &r!una*, *in#o ca#a una # < r*&u*a* # la* cual* *lo una * la corrca. a) r%inar la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a#* #l nK%ro # &r!una* con*a#a* corrca%n. 6) Si &ara a&ro6ar al Ha%n #6 con*ar corrca%n al %no* 0 &r!una*, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # a&ro6ar l Ha%n7.
SOLU'I(&) n = I &r!una* con < o&cion*: = [ = .25 = & & = &ro6a6ili#a# # conraar corrca%n. a)
Q : 9 # &r!una* con*a#o* corrca%n. Q ⇒ Bino%ial (I, .25) +* #cir # < o&cion* una corrca ⇒ & = 1/<
6)
Para a&ro6ar #6 con*ar corrca%n al %no* 0 &r!una* * la &ro6a6ili#a# # con*ar corrca%n. H → B(I, .25) P (H ≥ 0) = P(H = 0) N &(H=) N &(H = 8) N &(H = I) = C;6 (.25)0 (.5)3 N C;< (.25) (.5)2 N CN; (.25)8 (.5) N C;; (.25)I (.5)
= 8< (.25)0 (.5)3 N 30 (.25) (.5)2 N I(.25)8 (.5) N (.25)I (.5) = .II<508 = .11
$#on#an#o.
6
3.- +n una &ro#uccin, la &ro6a6ili#a# # u un o6o *a #cuo*o * .2. Si n una %u*ra # n # al* o6o* *co!i#o* al a'ar uno &or uno, * *&ra u aya un #cuo*o, a) calcular la &ro6a6ili#a# # u aya un o6o #cuo*o. 6) 4Cuno* o6o* #cuo*o* * %* &ro6a6l u ocurra7
SOLU'I(&) Q: 9 # o6o* #cuo*o* P(H = 1) = .2 9 + = (H) = n& = 1 n(.2) = 1 n = 1/.2 ⇒ n = 5 &(H = 1) = C12 (.2) (.8)< = .<I0 <.- +l 5 # la %rca#r@a u rci6 un co%rcian #l a6rican A * # cali#a# Hc&cional, %inra* u l 8 # la %rca#r@a u rci6 #l a6rican B * # cali#a# Hc&cional, +l 0 #l oal # la %rca#r@a lo a#uir # A y l r*o # B. Si * *lccionan < uni#a#* # la %rca#r@a, 4u &ro6a6ili#a# ay # u * ncunrn 2 uni#a#* u *an # cali#a# Hc&cional7.
SOLU'I(& A 5 +Hc&cional → 0 a#. A B 8 +Hc&cional → < a#. B Q : 9 # o6o* # cali#a# Hc&cional. P A = .0 (.5) = .<5 &B = .< (.8) = .32 . & = & A N &B = .
∴ & = . ⇒ H → Bino%ial (<, &) & (H =2) = C ! (.)2 (.23)2 62
= 0(.)2 (.23)2 = .188180< 5.- +n una %&r*a # con*ruccin ci?il #on# lo* %&la#o* *on 8 o%6r* y 2 %ur* *n a&o* &ara u6ilar* l 1 # la* %ur* y l 1 # lo* o%6r*. cinco *oliciu#* &ara u6ilar*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u al %no* #o* *n a&o* &ara u6ilar*7. .-
SMLDC9:
8 - "o%6r* → Eu6ilacin 1 ". 2 - ur* → Eu6ilacin 1 . n=5 Q : 9 # ra6aa#or* a&o* &ara u6ilar* P (H ≥ 2) P = .8 H .1 N .2 H .1 = .1
∴ Q Bino%ial (5R .1) P(H ≥ 2) = 1 & (H ; 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1)T = 1 - C2& ( &.1) & ( &.;) 2 + C12 ( &.1) ( &.;) = 1 (.I)5 N 5(.1) (.I)
1 2 3 < 5 . .15 .8 .5 .2 .
La in*&ccin #iaria con*i* n Ha%inar la* 5 uni#a#* # ca#a caa. S ac&a una caa, cuan#o conin %no* # #o* uni#a#* #cuo*a*. +n ca*o conrario * rca'a.
66
a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # rca'ar una caa u no conn!a uni#a#* #cuo*a*7 6)
4Cul * la &ro6a6ili#a# # ac&ar una caa u conn!a r* uni#a#* #cuo*a*7
SOLU'I(&) < %uina* n = 5 uni#a#*. d # uni#a#* #cuo*a* Porcna # caa*
1 2 3 < 5 . .15 .8 .5 .2 .
Ac&a la caa *i ay %no* # 2 uni#a#* #cuo*a*. +n ca*o conrario * rca'a. a) Q : 9 # uni#a#* #cuo*a*. P(H ≤ 2) Q ------- Bino%ial (5, .) P(H ≤ 2) = 1 &(H 2) = 1 P(H = ) N &(H = 1)T & 2 1 2 2 = 1 - C& ( &.< ) ( &.*) C1 ( &.< ) ( &.*)
= 1 (.5)5 N 5 (.) (.3)
P(H ≥ 2) Q ------ Bino%ial (5, .5) P(H ≥ 2) = 1 &(H ; 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1)T & 2 1 2 2 = 1 - C& ( &.&2 ) ( &.;2) + C 1 ( &.&2) ( &.;2)
= 1 (.I5)5 N 5(.5) (.I5)< T = 1 .I<5 = .225I25
6<
.- Dn ?n##or a #o%icilio co%&ra #iaria%n 1 uni#a#* # un &ro#uco lcrico &ara ?i?in#a* 6*ica* a _2 ca#a una. Por ca#a uno, !ana 13_ *i ?n# o &ir# 1_ *i no ?n# n l #@a . Si la &ro6a6ili#a# # ?na # ca#a uni#a# * .2 y *i la* ?na* *on in#&n#in*. a) allar la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# # la* uni#a#* ?n#i#a*. 6) calcular la uili#a# *&ra#a #( ?n##or.
SOLU'I(&) n = 1
S/. 2.
Por ca#a ?n#i#o !ana S/. 3 Por ca#a no ?n#i#o &ir# S/. 1 P (?na # c/uni#a#) = .2, y la ?na* *on in#&n#in*. a)
Q : 9 # uni#a#* ?n#i#a*: Q → Bino%ial (1, .2)
6)
+(H) = n & = 1 (.2) = S/. 2.
8.- Dna co%&ua#ora uili'a#a &or un *i*%a 6ancario # 2< ora* a*i!na ca#a ran*accin al a'ar y con i!ual &ro6a6ili#a#, a una # cinco &o*icion* # %%oria:
1, 2, 3, <, 5. Si al r%inar l &rio#o nocurno
# un #@a * an r!i*ra#o 15 ran*accion*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u l nK%ro # ran*accion* cua#a* a la* &o*icion* # %%oria &ar *a %ayor u 37
SOLU'I(&) 1, 2, 3, <, 5 ⇒
&(H) = 1/5
n = 15 → ran*accion* &((nK%ro &ar) = 2/5 = &(Hio)
∴ Q : 9e # ran*accion* a 9e &ar Q → Bino%ial (15, 2/5) &(H > 3) = 1 &(H ≤ 3) = 1 &(H = ) N &(H= 1 ) N &(H = 2) N &(H = 3)T = 1 - C12& ( &. ) & ( &.6 )12 + C12 ( &. ) 1( &.6) 1 + C12!( &.) !( &.6) 1* + C12*( &.) *( &.6) 1! = .II
I.- Dna *craria u #6 ll!ar a la oicina a la* 8 # la %aana, * rra*a 15 %inuo* n l 2 # la* ?c*. +l !rn # la co%&a@a u no ll!a *i no a*a la* 1 # la %aana lla%a oca*ional%n a la oicina nr la* 8 y 8.15 # la %aana &ara #icar una cara. Calcular la &ro6a6ili#a# # u n 5 %aana* &or lo %no* una no ncunr a la *craria.
SOLU'I(&) #6 ll!ar a la* 8: 2 # la* ?c* * rra'a 15Z ⇒ 8.15 +l !rn lla%a a la oicina nr lo* 8 y 8.15 Q : 9e # #@a* u ll!a ar# n=5
⇒ Hio, no *a n la oicina # 8 a 8.15 &(H > 3) = 1 &(H ≤ 3) ∴ H Bino%ial (5, .2) &(Hio) = 1/5 &(H ≥ 1) = 1 &(H ; 1) = 1 &(H = ) = 1 - C2& ( &.!) & ( &.N) 2 = 1 .3208 = .0232 1.- Al rali'ar un H&ri%no, la &ro6a6ili#a# # lo!rar l o6i?o * .<. Si * rali'a l H&ri%no 2 ?c* 6ao la* %i*%a* con#icion* y a*u%in#o r*ula#o* in#&n#in* a) Calcular la &ro6a6ili#a# # lo!rar l o6i?o &or lo %no* n r* # la* 2 ?c* 6) +l co*o # rali'ar l fH&ri%no * # S/.15, *i * lo!ra l o6i?oR y # S/. 3 *i no * lo!ra. Calcular l co*o *&ra#o &ara rali'ar l H&ri%no. . 6;
SOLU'I(&) &(\QFM) = .< n = 2 a)
Q : 9 # ?c* u * lo!ra l o6i?o.
∴ H → Bino%ial (2, .<) &(H ≥ 3) = 1 &(H ; 3) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T ! 1N = 1 - C&!& ( &. ) & ( &.6 ) !& + C1!& ( &. )1( &.6) 1; + C !& ! ( &.) ( &.6)
= 1 .3011<21 = .II038852I 6)
+(H) = n& = 2(.<) = 8 Co*o = 15H N 3 (2 H) +(co*o) = +(15H N 3 (2 H) = 15 +(H) N 0 3 +(H) = 15 (8) N 0 3 (8) +(co*o) = <8.
11.- Dna &ru6a # a&iu# con*a # lo &r!una* con cinco alrnai?a* ca#a una, # la* cual* *lo una * la corrca. La caliicacin * rali'a # la *i!uin %anra: Ca#a &r!una corrca%n con*a#a ?al 2 &uno*. Por ca#a &r!una %al con*a#a * #*cuna ^ &uno*, a) r%in l ?alor # ^ # al %anra u la noa *&ra#a # un alu%no u r*&on# al a'ar la* 1 &r!una* *a cro. 6) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u un alu%no u r*&on# al a'ar la* 1 &r!una*, n!a una noa %ayor o i!ual a 117
SOLU'I(&) n = 1 con cinco alrnai?a* ca#a una # la* cual* *lo una * corrca. Ca#a &r!una corrca = 2 &uno*. Ca#a &r!una incorrca = -^ &uno*. a)
^=7 Q : 9e # r*&u*a* corrca* H --------Bino%ial (1, .2) <&
+(H) = n(&) =
* P+,
1/5
1 1/5
+(H) = N 1/5 = 1/5 +(H) = n (1/5) = 1(1/5) = 2 9oa = 2H ^ (1 H) 2H ----- &or ca#a r*&u*a corrca 2 &uno*. `(1-H) --------&or ca#a r*&u*a incorrca -^ &uno*. Por lo ano: +(9oa) = +2H ^(1 H)T + (9oa) = 2+(H) 1^ N ^+(H) Pro la +(9oa) = 2+(H) 1^ N ^ +(H) = 2(2) 1^ N ^(2) = < 8^ = ^ =
P(9oa ≥ 11) = C <1& ( &.! ) ( &.N) <
*
&(H ≥ 0) = .<0
SOLU'I(&) 2 no * ci?i'an 2 %* # lo* 15 cu&on* u &o*, .2(15) = 3. # clin* u a6in#o co* *u* r*r?a* * u#an *in ?iaar. Q : 9e # cu&on* cu6iro*.
<1
9 = 18 = 15 N .2(15) P(H > 15) -------------Q Bino%ial (18, .8) P(H > 15) = &(H = 10) N &(H = 1) N &(H = 18) 16 ! 1< 1 1N & 1N 1N = C12 16 ( &.N) ( &.! ) + C1< ( &.N ) ( &.! ) + C1N ( &.N) ( &.!)
= .213<185 13.- +l i%&o # #uracin Q, n %**, # un i&o # r*i*ncia lcrica in uncin # #n*i#a# # &ro6a6ili#a#:
&.2e −&.29 - si 9 ≥ & f ( 9 ) = en otro caso &a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u una # al* r*i*ncia* lcrica* #ur %* # < %**7. 6) Si * &ru6an lo r*i*ncia* lcrica*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u nin!una #ur %* # < %**7. c) 4Cuna* r*i*ncia* * &ro6ar@an &ara u con &ro6a6ili#a# i!ual a .I * n!a al %no* uno u #ur %* # < %**7 #) Si l co*o # &ro#uccin # una r*i*ncia *: C = 2 N (3 - Q)2 4Cuno * l ?alor *&ra#o #l co*o7
SOLU'I(&) Q : i%&o # #uracin n %**
&.2e −&.2 x - si 9 ≥ & f ( x ) = en otro caso &a)
∫
−&.2 x = e−&.2 x &(H > <) = &.2e
= -1/2(<) = -2 = .135 6)
n = 1 H → B(1, &) &(H = ) = C &1& (.135) (.805)1 = (.805)1
H → B(n, &)
c)
&(H ≥ 1) = .I 1 .I = &(H = ) .1 = C &n (.135) (.805)n (.805)n = .1 n lo! (.805) = lo! (.1) n =
lo@ (&.1) lo@ (&.N62)
= 15.8
n = 10
.odelo /iper0eo.1trica) 21.- Dna caa conin 2 ci&*, # lo* cual* l 2 no *n a&o* &ara *u ?na y l r*o *i. S *co!n 5 ci&* al a'ar uno a uno *in r&o*icin. a) r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ci&* *coci#o* u *an no a&o* &ara *u ?na. 6) Calcular la &ro6a6ili#a# # u al %no* uno *a no a&o &ara *u ?na.
SOLU'I(&) C r S C n −−S r (H) = &(H = ^) = , ^ = , 1, 2, ............. C n
+(H) = n& (Q) = 9PG
" n − 1
9 = 2 2 no *n a&o* &ara *u ?na, y l r*o *i. n = 5 R 2 (2) = < = r , 9 r = 10 a)
C S C162"S &H = ^T = , ^ = , 1, 2, 3, <. C2!&
6)
&H ≥ 1T = 1 &(H ; 1) = 1 &(H = ) C & C162 =1C 2!&
<*
C162 = 1 - !& = .18200. C2
22.- Dn #r%ina#o &ro#uco in#u*rial * %6arca#o n lo* # 2 uni#a#*. S *co!n 5 @%* al a'ar # un lo y * rca'a l lo *i * ncunra #o* o %* #cuo*o*R n ca*o conrario * ac&a l lo. Calcular la &ro6a6ili#a# # ac&ar un lo u in 3 #cuo*o* *i lo* @%* * *co!n uno &or uno, a) con r&o*icin, 6) *in r&o*icin.
SOLU'I(&) 9 = 2
& = 1/5 = .2
n=5 a)
Con *u*iucin. Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. Q → Bino%ial (5, , 2) &(H ≤ 1) = C2& (.2) (.8)5 N C12 (.2 (.8)< = .32
6)
Sin *u*iucin: 9 n r Q → " (2, 3, 5) C2& C12! C12 C12! &(H ≤ 1) = N = .85I0
= 2#34 23.- Dna n*a%6la#ora # co%&ua#ora* rci6 lo* # 1 ara* ca#a uno # un i&o *&c@ico, n la &ro&orcin, 3 # %arca A y # %arca B. S *a6 u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a * # < &ara la %arca A y # 1 &ara la %arca B. Si * &ru6an 3 ara* Hra@#a* al a'ar una a una y *in r&o*icin # un lo l!i#o al a'ar, calcular la &ro6a6ili#a# # no nconrar ara* #cuo*a*,
SOLU'I(&) 9 = 1 <
3 → A → B &ro#uccin #cuo*a * < → A &ro#uccin #cuo*a * 1 → B n=3 Q : 9e # ara* #cuo*a*. P(H = ) * C& C*6 < C1& C;* 1& N 1& C1& 1& C * *
p(9 =&) e A
p(9 =&) e B
2<.- Dn ura#o # I uc* ?a a #ci#ir la inocncia o cul&a6ili#a# # un ro. Su&on!a u 0 ?oan &or inocncia y l r*o &or cul&a6ili#a#. Si * *lccionan al a'ar 3 uc* y * &r!una &or *u ?oo, a) Calcular la %#ia y la ?arian'a #l nK%ro # uc* # la *lccin u ?oan &or la inocncia. 6) 4cul * la &ro6a6ili#a# # u nin!Kn u' *lcciona#o * a a?or # la inocncia #l ro7.
SOLU'I(&) Q : 9e # uc* u ?oaron a a?or. a)
& = 0/I
µ = n& = + (H) 6 = 3 = 2 ; σ ! = n&
− n − 1
6 = 3 ; = 6)
* 1& − * ; ;
6 < ! = = .518518518 ; ; N1
Q : 9e # uc* u ?oarn a a?or. C 6& C ;* P(H = ) = = .11I C;*
<2
25.- Dn lo !ran# # 9 o6o* %anuacura#o* conin l 1 # uni#a#* #cuo*a*, *in#o l r*o no #cuo*o*. l lo * *lccionan al a'ar 1 uni#a#* una a una *in r&o*icin. a) r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l Hra@#o*, 4cuno* o6o* #cuo*o* * r&i l H&ri%no ruca* ?c*7. 6) Si 9 = 1,, calcular a&roHi%a#a%n la o6ni#o a lo %* un o6o #cuo*o.
$&. a) "(9, .1 9, 1).
+*&ra#o = 1, 6)
.301. 20.- Dna co%&a@a rci6 un n?@o # 2 &i'a* # un &roc*o # %anuacura. +l conrol # cali#a# # la C@a. con*i* n o%ar una %u*ra # 3 &i'a* al a'ar *in r&o*icin # * n?@o. Si n la %u*ra * ncunra al %no* una #cuo*a, * rca'a l loR n ca*o conrario * li!n al a'ar 2 &i'a* a#icional*. Si n la *!un#a %u*ra * ncunra al %no* una #cuo*a, * rca'a l loR n ca*o conrario * ac&a l lo. Calcular la &ro6a6ili#a# # rca'ar l n?@o *i conin 25 # &i'a* #cuo*a*.
SOLU'I(&) 9 = 2 n=3 Si * ncunra al %nor #cuo*o. 25 → 2(.25) = 5 Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. 12 C12 C2! C12 C2* C12& 1 C! 1 &(H ≥ 1) = N N !& C*!& C*!& C*
C2& C12* P(H ; 1) = 1 - !& C* = .08. 2.-
+n una 6rica la &ro#uccin *%anal # ciro i&o # ar@culo * # 1 uni#a#*.
Ca#a *%ana * rali'a un conrol # cali#a#
*lccionan#o una %u*ra # 2 uni#a#* #l ar@culo, *coci#o* al <6
a'ar y *in r&o*icin # la &ro#uccin # la *%ana (1 ar@culo*) y a#o&an#o la *i!uin r!la # #ci*in:
ac&ar u l &orcna
# &ro#uccin #cuo*a * 2 *i n la %u*ra * ncunra a lo %* un #cuo*o, o rca'ar u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a * 2 n ca*o conrario, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u * aya #ci#i#o ac&ar u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a # una *%ana * 2 cuan#o n rali#a# u 5 # lo* 1 &ro#uci#o*7
SOLU'I(&) 9 = 1 n = 2 r = < = 2 (.2). ac&ar *i a lo %* uno #cuo*o. 1 (.5) = 5 Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. Q → 1 N (1 . 5, 2) &(ac&ar) = &(H ≤ 1/&=.5 !2& 2& ;2& C2& & C !& + C1 C1; = = C1&&& !&
28.- riicar u: ∞
∑ Sq S =1
S −1
=
1 (1 − q) ! ∞
$&. ri? r*&co a a%6o* la#o* #
∑q S = &
S
=
1 1− q
$O%ELO POISSO& 2I.- +l nK%ro %#io # auo%?il* u ll!an a una !aria # &a * # 12 &or ora.
<<
a) Calcular la &ro6a6ili#a# # u n un %inuo cualuira no ll!u auo%?il al!uno. 6) Calcular la &ro6a6ili#a# # u n l &r@o#o # 3 %inuo* ll!un %* # 5 auo%?il*. ) Si al !aria &u# an#r a un %Hi%o # 3 auo%?il* n 3 *!un#o*, calcular la &ro6a6ili#a# # u n un %#io %inuo #a#o ll!un %* auo%?il* # lo u &u# an#r.
SOLU'I(&)
µ = 12 &or ora µ n un %inuo ll!arn: 12 ÷ 0 = 2 λ = 2 Q : 9e # auo%?il* u ll!an a la !aria # &a. P(H = H) =
e
−λ
(9 )9
H = , 1, 2, ........
9K
e −! ( !) &
= -2 = .135
a)
&(H = ) =
6)
Pr@o#o # 3 %inuo* ll!an %* # 5 auo%?il*.
&K
λ Z = λ = 2(3) = 0. P(H = )
λ = 2(3) = 0 e −6 (6) & &(H = ) = = .2<8 &K
λ Z = λ = 2(3) = 0. P(H > 5) = 1 &(H ≤ <)
e −6 (6)& e −6 (6)1 e −6 (6) ! e −6 (6)* e −6 (6) + + + + =1- & K 1 K ! K * K K −6 *6e −6 !16 e −6 1!;6e −6 −6 + + = 1 - e + 6e + ! 6 !
+
= 1 -0 N 0 -0 N 18 -0 N 30 -0 N 5< -0 T = 1 115 -0 = 1 .28550 = .<
3.- Dn l@ui#o conin cira 6acria con un &ro%#io # 3 6acria* &or c%3, calcular la &ro6a6ili#a# # u una %u*ra, a) # 1/3 # c% 3 no conn!a 6acria al!una. 6) # 2 c% 3 conn!a &or lo %no* una 6acria. .
SOLU'I(&) Q=3 a)
λ Z = λ = 1/3(3) = 1 e −1 (&)1 &(H = ) = = .308I &K
6)
λ Z = λ = 2(3) = 0 &(H ≥ 1) = 1 & (H = )
e −6 (&)6 =1- &K = 1 .2<8521 = .II521 31.- Su&on!a u l nK%ro # acci#n* # ra6ao u * &ro#ucn &or *%ana n una 6rica *i!u la ly # Poi**on # %anra u la &ro6a6ili#a# # u ocurran 2 acci#n* * i!ual a 3/2 # la &ro6a6ili#a# # u ocurra un acci#n. Calcular la &ro6a6ili#a# # u no ocurran acci#n*
n
2
*%ana*
con*cui?a*.
.
SOLU'I(&) Q : 9e # acci#n* &or *%ana &(H = 2) = 3/2 P(H = 1) &(H = ) n 2 *%ana* &(H = 2) =
* & (H = 1) !
* e λ λ1 e −λ λ! = ! 1K !K <;
!e −λ λ! *e − λ λ = ! 1 e − λ λ!
= 3 e−λ λ
e −λ λ! = 3 e −λ λ
λ = 5 &(H = ) = 7
λ Z = λ = 2(3) = 0 e − λ λ9 e −6 (6) & &(H = ) = = = .2<8 9K &K
32.- Dn 6anco ain# o#o* lo* #@a* # 8a%. a <&%. y * *a6 u l nK%ro # clin* &or #@a u ?an a *oliciar un &r*a%o &or %* # _1, in una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # 3 clin* &or #@a. a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u a*a l %#io#@a no * aya &ro#uci#o una *oliciu# # &r*a%o &or %* # _ 1,7 6) +n cuaro #@a*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u n #o* # lo* #@a* a*a l %#io#@a no * aya &ro#uci#o una *oliciu# # &r*a%o &or %* # _ 1,7
SOLU'I(&) Por %* # S/. 1. → Poi**on con λ = 3 a)
&(H = ) = 7 Q : 9e # clin u *olician &r*a%o &or %* # 1.
λ Z = λ () = 3(1/2) = 3/2 e −* X ! *& &(H = ) = = -1.5 = .2231310 &K
6)
n = < ⇒ Poi**on con a&roHi%acin a la 6ino%ial. & = .223 &(H = 2) = C ! (.223)2 (.)2 = .1813
33.- La #%an#a *%anag # ciro &ro#uco in una #i*ri6ucin # Poi**on Acual%n *u %#ia * 3 &or *%ana. S *i%a u #*&u* # una ca%&aa &u6liciaria, l ?alor *&ra#o # la #%an#a * #u&licar con
N&
&ro6a6ili#a# .8 y * ri&licar con &ro6a6ili#a# .2. 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #*&u* # la ca%&aa la #%an#a *a i!ual a <7.
SOLU'I(&)
λ = 3 &or *%ana. λ = 0 con &(.8) λ = I con &(.2) Q : #%an#a #*&u* # la ca%&aa &(#%an#a = <, #*&u* # la ca%&aa &.Ne −6 (6) &.!e −; (;) &(H = <) = N K K 1&*6.Ne −; + 1*1!.!e −; = !
=
!.26;;< + &.161;*N !
= .11382I 3<.- +l nK%ro # &r*ona* u ca#a #@a * aloa n un ol * una ?aria6l alaoria Q u in #i*ri6ucin # Poi**on con &ar%ro λ , u &u# *r: i!ual a 2 con &ro6a6ili#a# .5, i!ual a 15 con &ro6a6ili#a# .3, i!ual a 1 con &ro6a6ili#a# .2 a) r%inar PQ = ^T , #on# ^ = 1, 2, ..., c.. 6) Calcular l ?alor *&ra#o # Q.
SOLU'I(&)
λ = 3 &or *%ana. λ = 0 con &(.8) λ = I con &(.2) Q : #%an#a #*&u* # la ca%&aa &(#%an#a = <, #*&u* # la ca%&aa &.Ne −6 (6) &.!e −; (;) &(H = <) = N K K
N1
1&*6.Ne −; + 1*1!.!e −; = ! !.26;;< + &.161;*N !
=
= .11382I Q → Poi**on Par%ro λ 2 con &ro6. .5 15 con &ro6. .3 1 con &ro6. .2 a)
&(H = ^) ^) R ^ = 1, 2, 2, 3, 3, ........ e −!& (!&) S e −12 (12) S e −1& (1&) S &(H = ^) = N N S K S K S K &.2
&.*
&.!
e −!& (!&) S &(H = ^) = = .5 S K
-2 (2)^ = .5 ^h e − !& (!&) S 2
= ^h
<.1223 H 1 -I (2)^ = ^h +(H) = λ1 &(1) N λ ! &(2) N λ * &(3) = 2(.5) N 15(.3) N 1(.2) = 10.5 35.- Ciro i&o i&o # loca &u# &u# nr nr un nK%ro Q # &uno* &uno* #cuo* #cuo*o* o* u *i!u una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # 3 &uno* #cuo*o* &or loca. loca. +l &rcio &rcio # la lo*a lo*a * _1 *i Q = , # _. *i Q = 1 o 2, y # _.1 *i Q>2. Q>2. Calcular l &rcio *&ra#o &or lo*a. lo*a.
SOLU'I(&) Q : 9e # &uno* #cuo*o*. Q → Poi**on
λ =
3 N!
Prcio = S/. 1,
Si: H =
. . Si H = 1 2 .1 Si H > 2 +(H) =
λ =
P(H = ) =
7 e −λ λ &
&K
= -3 = .
P(H = 1) &(H = 2) =
e −* *1
1K -3
= 3 N
N
e −* *!
!K
;e −* !
= .5 -3 = .33< &(H > 2) = 1 &(H 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T = 1 .
1 .
1 .
2 .
3 .1
30.30.- +l nK%ro nK%ro # u*uario u*uario** u acu#n acu#n a cira cira 6a* # #ao* coni# coni#nc ncial ial *i!u una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # #o* u*uario* &or ora. a) Calcu Calcular lar la &ro6a6i &ro6a6ili# li#a# a# # u nr nr la* 8 a%. y l %#io#@a %#io#@a (1 2.%) acu#an %* # #o* u*uario*. 6) Si un o&r o&ra# a#or or # la 6a* 6a* # #ao* #ao* ra6a ra6aa a o#o* o#o* lo* #@a* #@a* # 8 a%. a* a*a a l %#i %#io# o#@a @a (12. (12.%), %), 4cu 4cull * la &ro6 &ro6a6 a6ilili# i#a# a# # u u * * o&ra#or n!a u *&rar %* # #@a* a*a o6*r?ar l &ri%r #@a n l cual acc#n %* # #o* u*uario*f7.
SOLU'I(&)
N*
λ =
2 &or ora.
λ f = λ = 2(<) = 8 H → Poi**on Q : 9e # u*uario* u acu#n a ciro 6a* # #ao* coni#ncial. P(H > 2) = 1 &(H ≤ 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)
e −* N& e −N N1 e −N N! + + =1- & 1 K !K = 1 -8 N 8 -8 N 32 -8T = 1 <1 -8T = 1 .1353I0< = .I802<0 6)
Q → o%rica (&) #on#: & = .I80 &(H > ) = a = (1 .I80) = (.1<) = 1.5<1< H 1-13
3.- Cira &ana# &ana#r@a r@a #i*&on #i*&on # una %a*a con rua* rua* concia#a* concia#a* &ara acr acr 2 &anon*. A!r!a 2, 2, &a*a* # u?a* a la %a*a y la %'cla %'cla 6in. Su&on!a u l nK%ro # &a*a* * una ?aria6l alaoria # Poi**on con un &ro%#io 1 &a*a* &or &ann. a) Calc Calcu ular lar la &ro &ro6a6 6a6ili# ili#a a# # u u un &an nn n l! l!i#o i#o al a'ar 'ar no conn!a nin!una &a*a. 6) 4Cuno* 4Cuno* &anon* &anon* * *&ra *&ra u conn!an conn!an 0 &a*a*7 &a*a*7 c)
Su&o Su&on! n!a a u n al al &ro#u &ro#ucc cci in n ay 15 &an &ano on n** con a 1e %* 0 &a*a*, *i un clin a#uir 5 &anon*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #o* n!an %* # 0 &a*a*7.
SOLU'I(&) 9 = 2 &anon* Q : 9 # &a*a* &or &ann: N
Q → Poi**on
λ = 1
a)
e −1& 1&& &(H = ) = = -1 = <.5< H 1 -5 &
6)
e −1& 1&6 &(H = 0) = = .0355 6K
n& = 2 (.0355) = 12.01 ≈ 65 r = 15 con a lo %* 0 &a*a* 9 = 2 n=5
^=2
&(2 conn!an 0 &a*a*) Q : → i*ri6ucin "i&r!o%rica C12* C1N2 ! P(H = 0) = !&& C2
38.38.- Dna co%&a co%&a@a @a # *!uro* *!uro* ncun ncunra ra u l . 1 # lo* a6ia a6ian n** # una !ran ciu#a# ciu#a# allc allc ca#a ao n acci#n acci#n** # rn*io. Calcular Calcular la &ro6a6ili#a# u la co%&a@a n!a u &a!ar n un ao a %* # 1 # *u* 3, a*!ura#o* conra al* acci#n*.
SOLU'I(&) .1 # lo* a6ian* allcn ca#a ao. P(H > 1) R λ = .1 (3) Q : 9e # clin* a*!ura#o* conra acci#n* # rn*io. P(H > 1) = 1 &(H ≤ 1) e − λ λ9 =19K 9 =& 1&
∑
λ = .1 (3) (3) = 3 e −* *9 ∴&(H > 1) = 1 9 =& 9K 1&
∑
N2
= 1 - &.;;;<1 7abla
= .2I 3I.- Su&on!a u la &ro6a6ili#a# # u * a!a una *ol#a#ura #cuo*a n un conHin #a#a * .1. Calcular la &ro6a6ili#a# # u * &r*nn a lo %* 2 #co* n un *i*%a u in 5, conHion* *ol#a#a* in#&n#in%n.
SOLU'I(&) &(H = *ol#a#ura #cuo*a) = .1 Q : 9e # *ol#a#ura* #cuo*a*. P(H ≤ 2), 9 = 5. conHion* Q → Bino%ial (5 , .1) Si a&roHi%a%o* a la Poi**on.
λ = 5 (.1) = 5 &(H ≤ 2) = &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2) e −2 2& e −2 21 e −2 2! = N N &K 1K !K
= -5 N 5 -5 N 12.5 -5 = 18.5 -5 = .12<052 <.- Dn li6ro # n &!ina* conin n &ro%#io ^ rror* # i%&r*in &or &!ina. Calcular la &ro6a6ili#a# u &or lo %no* una &!ina conn!a &or lo %no* ^ N l rror*.
SOLU'I(&) n &!ina*
λ +rror* n &ro%#io. &(una &!ina conn!a &or lo %no* ^ N 1 rror*) &(H ≤ ^N1) = 7
∴H Poi**on, λ H1 : 9 # &!ina* con &or lo %no* ^ N 1 rror*.
∴H1 → Bino%ial (n, &) & = &(H 1 ≤ ^N1)
N6
