Probabilidades

CAPITULO III PROBABILIDAD

Los genes no son decisivos ¿Puede la hija de una mujer que murió de cáncer de mama ser portadora de un gen defectuoso que la haga contraer también el padecimiento?. Tal vez, pero lo más probable es que no. Todos (hombres y mujeres) nacemos con dos genes llamados CM1 y CM2; una mutación en cualquiera de los dos podría tener por consecuencia la aparición de la enfermedad. La probabilidad de que una mujer presente una mutación en uno de esos genes es de sólo uno en 800, pero si su madre padeció de cáncer de mama y tenía una mutación heredada en el CM1 o en el CM2, el riesgo de haber heredado también la mutación es de 50 por ciento. Sin embargo, aunque sea portadora de ese gen, no por fuerza va a contraer cáncer; los CM sólo son genes de propensión a la enfermedad. ¿Cómo saber si una mujer portadora padecerá o no cáncer? "Por desgracia, no hay manera de averiguarlo. Es un juego de ruleta estadístico, señala la doctora Bernardine Healey, de la Universidad Estatal de Ohio. Revista "Selecciones" "Selecciones"

 Establecer el modelo probab ilístico.  Establecer

y discutir las reglas básicas de las probabilidades y la manera como se asignan probabilidades.

 Establecer y discutir el concepto de probabilid ad condicional y de eventos independientes.

 Introducir el Teorema de Bayes.

3.1. INTRODUCCION Los modelos que se usan en el estudio de los conjuntos de datos que son objeto de la Estadistica; es decir los que tienen variabilidad, son tratados por l a teoría de la Probabilidad. Estos modelos se llaman modelos aleatorios y su característica principal es que describen los patrones que rigen los resultados pero no los

58 P r o b a b i l i d a d .

Carlos Véliz Capuñay.

resultados en si. No es posible tener un modelo de este tipo que, mediante una fórmula, indique cuál es el resultado al lanzar una moneda; pero si se puede argumentar, por ejemplo, que la moneda es equilibrada; esto es, que existe igual posibilidad de obtener “cara” o “sello”. En general, la Probabilidad tiene que ver con la descripción matemática (la modelación) de la incertidumbre, con la construcción de modelos que describen situaciones reales en donde no solo existe variabilidad en los resultados sino que además éstos sean imprevisibles. La modelación en este caso consistirá en listar los resultados, asignándoles a cada uno de ellos una ponderación que indique de alguna manera la posibilidad que tiene de aparecer. De este modo se puede establecer un cierto patrón que permita “predecir” con un cierto grado de seguridad los resultados futuros. Los modelos que se presentan en la teoría de la Probabilidad también se usan para evaluar resultados que son inciertos. Este tipo de resultados se presentan a menudo en la Estadística cuando, a partir de muestras aleatorias, se realizan estimaciones de los parámetros que resumen características de una población. Lo expresado justifica el siguiente desarrollo.

3.2. EL MODELO PROBABILISTICO PROBABILISTICO 3.2.1. Experimento aleatorio Un experimento aleatorio , es todo proceso que se puede repetir indefinidamente obteniéndose resultados imprevisibles.

Existen experiencias cuyos resultados son imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee; tal es el caso del experimento consistente en observar si para cierto día lloverá o no en un lugar determinado a las 8 a.m. Aún cuando esta experiencia no se puede repetir cuantas veces se desee, el mismo día y en la misma hora, podemos imaginar que se trata de la primera de una serie ilimitada de experiencias semejantes. Las experiencias con resultados imprevisibles pero que no pueden repetirse cuantas veces se desee, también son consideradas como experimentos aleatorios por aquellos que suelen llamarse subjetivistas, en contraposición con los frecuentistas, quienes aceptan como experiencias aleatorias aquellas que son repetibles cuantas veces se desee y con resultados imprevisibles. Los principios generales de la Teoría de la Probabilidad que se estudian pueden aplicarse a partir de cualquiera de las dos posiciones antes indicadas; pero si interesa que la experiencia pueda repetirse muchas veces para de este modo construir un modelo que permita, en base a sus propiedades, tomar decisiones, respecto al proceso que se experimenta. Los siguientes experimentos son aleatorios: • • • • •

La elección de una familia, para luego anotar el número de hijos que tiene. La producción de un artículo por una determinada máquina, para luego anotar si es bueno o defectuoso. La llegada de un autobús a un paradero para luego anotar el tiempo de llegada. La observación de un sistema de información para ver si funciona o no. La medición de la resistencia de una viga al aplicar una fuerza para luego anotar el resultado correspondiente.

Carlos Véliz Capuñay

P r o b a b i l i d a d .59

3.2.2. Espacio muestral Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

El espacio muestral se denota con Ω .

 Ejemplo. Variabilidad de los resultados de un negocio. Un negocio se observa hasta que el resultado es exitoso (e). El espacio está formado por los siguientes resultados en donde f indica fracaso: e, fe, ffe, ...

Ω de

este experimento aleatorio

el negocio es exitoso en la primera realización, el negocio es exitoso en la segunda realización, el negocio es exitoso en la tercera realización, ...

etc. Nota Si el negocio solo se observa para ver si es exitoso o no, el espacio muestral es {e, f }.

De acuerdo a esta observación el espacio muestral depende del propósito de la experiencia más que de la experiencia en si. Ejemplo. Variabilidad de los resultados de un sistema de comunicación. Un sistema de comunicación tiene dos componentes. Si el sistema se observa para anotar luego el número de componentes que funcionan correctamente, el espacio muestral es el conjunto {0, 1, 2}.

Si el sistema se observa para luego anotar las componentes que funcionan se tendrá que el espacio muestral es {(0, 0), (1, 1), (0,1), (0, 1)} en donde 0 indica que la componente no funciona y 1 que la componente funciona. Ejemplo. Midiendo la variabilidad de la resistencia de un metal. La dureza de un metal puede medirse imprimiendo una punta de acero o diamante a la superficie a probarse para luego medir la profundidad de la penetración. La resistencia del metal indica el grado de su dureza. Si se mide la dureza de varias piezas de metal del mismo lote de fabricación, los resultados conforman el espacio muestral de las mediciones y se puede expresar como [0, a], en donde “a” puede ser un número como 100, 110, 110.45, 120,... . No sabiendo a ciencia cierta cuál será el valor a, conviene tomar como espacio muestral al intervalo [0, +∞[ .

3.2.3. Evento. Operaciones con eventos Un evento de un experimento aleatorio E, es cualquier subconjunto de su espacio muestral.

En particular, el espacio muestral, Ω , y el conjunto vacío, Φ , son eventos, pues son subconjuntos de Ω .



De manera equivalente, un evento queda determinado por las proposiciones que describen sus elementos.

 Ejemplo. Experiencias con dos resultados posibles. Al lanzar una moneda, el espacio que se obtiene es corresponde a sello. Los eventos que se pueden obtener son : {c}, {s}, Ω y

Ω

= {c, s}, donde c corresponde a cara y s

Φ .

El lector puede encontrar una serie de experiencias aleatorias que se parecen al lanzamiento de una moneda. Si al realizar un experimento aleatorio el resultado pertenece a un evento A se dice que el resultado favorece al evento A o que el evento A se realiza. Si al lanzar un dado se obtiene un número par, entonces el evento A = {2, 4, 6} se realiza. El espacio muestral Ω se llama también suceso siempre cierto, siempre se realiza, mientras que Φ se llama suceso imposible, nunca se realiza. Si con cada elemento del espacio muestral se forman subconjuntos unitarios, se tendrán los eventos llamados eventos elementales. Si la ocurrencia de un evento excluye la ocurrencia de otro evento ambos se llaman eventos excluyentes. Si A y B son eventos excluyentes entonces A ∩ B = Φ .

Operaciones con eventos Las operaciones con eventos son las mismas operaciones que se realizan con los conjuntos.

Entre los eventos de un espacio muestral, se pueden definir operaciones tales como, la intersección de eventos, reunión de eventos y complemento de un evento . Para los eventos A y B, la intersección de A y B, denotada con A ∩ B, es el evento formado por los elementos comunes a A y B. Figura 3.1 a). El evento A ∩ B se realiza si A y B se realizan a la vez. Si A ∩ B = Φ , se dice que A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos. La reunión o unión de A y B, que se denota con A ∪ B, es el evento formado por los elementos del espacio muestral que están en A, en B o en ambos eventos a la vez.

El evento A ∪ B se realiza si al menos uno de los eventos A o B se realiza.

a) A ∩ B

b) A ∪ B Figura 3.1

c) A



El complemento de A, que se denota con A , es el evento formado por los elementos de Ω que no están en A. Figura 3.1. c). El evento A se realiza cuando el evento A no se realiza. Ejemplo. Telefonía sin hilos. Un sistema de telefonía sin hilos consta de tres canales. Un experimento aleatorio consiste en observar el sistema para luego anotar el número de canales que están ocupados o desocupados.

El espacio muestral puede describirse usando triadas en donde la posición indica el canal, 1 indica que el canal no esta ocupado y 0 indica que el canal está ocupado. {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0), (1, 1, 1)}. Por ejemplo, (0, 1, 1) indica que el canal 1 esta ocupado, que los canales 2 y 3 están desocupados.

El evento A, descrito con “al menos dos canales están desocupados” es {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. El evento B, descrito con “el primer canal esta desocupado” es {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} La intersección A ∩ B es {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} La unión A ∪ B es {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}. El complemento de A es {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)}

3.2.4. La probabilidad Como los eventos de un experimento están constituidos por resultados imprevisibles será preciso introducir una función que mida la incertidumbre de la ocurrencia de tales conjuntos. Históricamente, para medir lo incierto se usó el concepto clásico de probabilidad. Este concepto, ideado por Laplace, tuvo su origen en los juegos de azar y se aplica a experiencias "aleatorias" para las cuales el espacio muestral es finito y con resultados igualmente posibles. Así se definió la probabilidad de un evento A como el cociente Número de resultados que favor ecen al evento A Número de resultados posibles

Al lanzar un dado equilibrado, la probabilidad de q ue aparezca un número par es igual al cociente: Número de eventos que favorecen a que el resultado sea para Número de resultados posibles

Por mucho tiempo se manejo este concepto clásico de probabilidad; sin embargo, no incluía situaciones como por ejemplo, la probabilidad de que un foco dure entre 100 y 200 horas. El

=

3 6

= 0.5 .

Historia La teoría de Probabilidad fue presentada como teoría por primera vez en el siglo XIX por Pierre Simon, marqués de Laplace. Años antes, Jacob Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), el reverendo Thomas Bayes (17021761) y Joseph Lagrange (17361813), desarrollaron una serie de fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad.



matemático ruso Andrei Kolmogorov (1903 - 1987) amplió este concepto mediante una serie de axiomas consistentes con los conceptos mencionados anteriormente y que de manera racional resuelven el problema de medir la incertidumbre, aún cuando el número de resultados posibles de la experiencia sea infinito. Estos axiomas se comprenden si se toma en cuenta lo siguiente: El espacio muestral es el evento seguro, el que siempre se realiza, de ahí que si se desea determinar una medida o ponderación para este evento, ésta debe ser máxima. En oposición, el evento vacío debe tener la menor ponderación, pues éste es el que nunca se realiza . Si decidimos que la ponderación de Ω debe ser 1 y que la de Φ debe ser 0, se tendrá, en forma natural, que para cualquier evento A, la ponderación debe ser un número entre 0 y 1 y más seguridad existirá que ocurra este evento cuando la ponderación esté más cercana de 1.

Definición de probabilidad Formalmente se define la probabilidad de un evento, de la siguiente manera: La probabilidad de un evento A se denota con P( A) y se define como el número que cumple con los siguientes axiomas, introducidos por Andrei Kolmogorov.:

1. Es un número no negativo: P( A) ≥ 0 2. La probabilidad del espacio muestral o evento siempre cierto es igual a 1: P(Ω ) = 1 3. Si A1 y A2 son eventos mutuamente excluyentes; esto es, si A1 ∩ A2 = Φ , entonces, la probabilidad de la unión de los dos eventos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Simbólicamente :

P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) .

Las siguientes propiedades se deducen de los axiomas. 4. La probabilidad del evento vacío es igual a 0. 5. La probabilidad es un número entre 0 y 1. 6. La probabilidad del complemento de un evento A es igual a 1 - P( A). 7. Si A1 ,... An son eventos mutuamente excluyentes; esto es, si Ai ∩ A j = Φ , para i ≠ j, entonces, la probabilidad de la unión de los eventos es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Simbólicamente:

P ( A1 ∪ .... ∪ An ) = P( A1 ) + ... + P ( An ) .

8. Si A ⊆ B entonces P ( A) ≤ P ( B)  Ejemplo. Modelando y evaluando la demanda de electricidad y agua potable.

La demanda de potencia eléctrica que necesita una residencia en un determinado sector de la ciudad puede ser 4 o 8 unidades, mientras que la demanda de agua potable puede ser 1.5 o 2 unidades. El espacio muestral de la demanda conjunta es {(4, 1.5), (4, 2), (8, 1.5), (8, 2)}.



Cierta información indica que la probabilidad de cada uno de los elementos del espacio muestral es Resultados

Probabilidades

E1: (4, 1.5)

0.2

E2: (4, 2)

0.1

E3: (8, 1.5)

0.3

E4: (8, 2)

0.4

Tabla 4.1. Modelando el consumo de electricidad y agua

Si denotamos con A: la demanda de la energía es 8 unidades y B: la demanda de agua es 1.5 unidades se tiene que,

La probabilidad de que la demanda de la energía sea de 8 unidades es P[ A] = P[(8, 1.5), (8, 2)] = 0.7. La probabilidad de que la demanda de energía sea de 8 o que la demanda de agua sea de 1.5 unidades es P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) = 0.7 + 0.5 − P( E 3) = 0.7 + 0.5 − 0.3 = 0.9 .

Asignación de Probabilidades Los axiomas y propiedades estudiadas no indican como deben asignarse, en general, las probabilidades a los diversos resultados de una experiencia aleatoria en particular; solamente establecen las limitaciones de las formas en que esto puede hacerse. Algunas veces la asignación antelada es posible como en el caso del lanzamiento de un dado “equilibrado”, en donde a cada resultado se le asigna 1/6 de probabilidad. Otras veces; sin embargo, tal asignación previa es imposible, por lo que es necesario lanzar el dado varias veces, digamos 200, y asignar a cada resultado su respectiva frecuencia relativa. Estas probabilidades pueden ser mejoradas observando un mayor número de lanzamientos. En general se puede asignar probabilidades provisionales para luego “afinarlas” a partir de una mayor información de la experiencia que se estudia. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES PARA UN ESPACIO MUESTRAL CON

n

RESULTADOS

Cuando el espacio muestral tiene n resultados, a cada resultado wi se le asigna como probabilidad el número no negativo p i , de tal manera que la suma de todos los valores asignados sea igual a 1. Si a cada elemento del espacio muestral se le asigna la misma probabilidad, p i = 1 /n, entonces se le llama equiprobable. En este caso, la probabilidad de un evento A es igual a P ( A ) =

Nú mero de casos favorables a A Nú mero de casos posibles

.

La fórmula corresponde a la definición clásica de Probabilidad o también llamada definición de Pascal.



A las experiencias cuyos resultados son equiprobables se les llama "experiencias al azar ". Así, "elegir una persona al azar" de un grupo de n personas equivale a asignar igual probabilidad a la elección de cada persona. En general , elegir m objetos al azar de un conjunto, significa que cada uno de los conjuntos formados con m elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos. Como resumen de lo desarrollado podemos derivar las siguientes recomendaciones en la resolución de problemas relacionados con probabilidades: a)

Planteada la experiencia aleatoria, se debe identificar de manera apropiada el espacio muestral, indicando sus elementos de manera exhaustiva y sin ambigüedades.

b) Asignar a cada elemento del espacio muestral las probabilidades, de manera consistente con los axiomas. La asignación de las probabilidades se hace en base a estimaciones, a supuestos o a cuidadosos análisis previos. c)

Identificar los eventos que interesan para luego, usando los axiomas y propiedades, calcular las probabilidades respectivas.

Ejemplo. Asignación de probabilidades para el control de calidad. En un almacén hay 10 artículos: n1, n2, ..., n6, d 1..., d 4,, de los cuales d 1..., d 4 son defectuosos. Si se eligen cuatro artículos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en el conjunto elegido no exista ninguno que sea defectuoso? Solución El espacio muestral de la experiencia, Ω , está formado por conjuntos de cuatro elementos tomados de un conjunto que tiene diez elementos. Algunos de estos conjuntos son:

{n1, n2, n3, n4}, {n1, n2, d 2 , n3}, {n2, d 1, n3, d 3}, {n2, n3, d 1, d 2}, {n1, n2, n3, d 1}. El evento A que interesa y cuya probabilidad se desea conocer, está formado por conjuntos de cuatro artículos y en donde no aparecen defectuosos. Algunas de éstas combinaciones son: {n1, n2, n3, n4}, {n1, n2, n4, n5}, {n1, n3, n4, n6}, etc.,

Se sigue que

P ( A ) =

Nú mero de casos favorables a A Nú mero de casos posibles

=

15 = 0.071. 210

El lector puede resolver el caso en donde la elección de los artículos se hace de uno en uno y con restitución. También, si la elección se hace de uno en uno sin restitución.

 Ejemplo. Asignación de probabilidades en la transmisión de señales. Se transmiten señales al azar, las cuales pueden ser ceros o unos. Si se transmiten 4 señales; ¿cuál es la probabilidad de que sólo 2 de ellas sean ceros? Solución El espacio muestral de esta experiencia aleatoria tiene 2 4 elementos y la probabilidad del evento descrito

por “de 4 señales, 2 son ceros”, es igual a 6/ 2 4 =0.3750. FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD



Se puede asignar probabilidades de manera aproximada a un evento A, observando hacia que valor se acerca la frecuencia relativa del evento en una serie prolongada de experimentos repetidos y bajo las mismas condiciones.

Este concepto fue estudiado por Jacques Bernoulli (1654 - 1705) y publicado posteriormente con el nombre de la ley débil de los grandes números (también se conoce como teorema de Bernuolli ). Básicamente esta ley indica que "Cuando una experiencia aleatoria se realiza un número grande de veces, es muy probable que la frecuencia relativa de un evento tienda a la probabilidad de que suceda el evento".

Si después de realizar n veces un experimento aleatorio, se observa que el evento A sucedió n A veces entonces la probabilidad se aproxima con n A / n . A esta probabilidad se le llama probabiliadad frecuencial

El valor exacto de la probabilidad frecuencial se obtiene al hacer tender n hacia infinito. La introducción de las tablas de frecuencia en la primera parte del curso resulta así importante en la búsqueda del modelo para estudiar la variabilidad.

 Ejemplo. Asignación de probabilidades a los resultados de una moneda equilibrada. Al lanzar N veces una moneda, la frecuencia relativa del evento “cara” tiende a una constante, si N crece indefinidamente. Esta constante puede asignarse como probabilidad al evento “cara”. Cuando la moneda es equilibrada, la constante es igual a 0.5. Así se puede escribir P("cara") = P("sello") = 0.5.

 Ejemplo. Modelando el número de hijos de las familias. Si al tomar una muestra representativa de las familias de un país, observamos que la frecuencia relativa del número de hijos es como indica la siguiente tabla Número de hijos

0

1

2

3

4

5 o más

Frecuencia relativa

0.05

0.10

0.30

0.25

0.15

0.15

Tabla 3.2. Modelando el número de hijos en la familia

Podemos escribir:

P(“tener un hijo”) = 0.10,

P(“tener dos hijos”) = 0.30, etc.

 Ejemplo. Probabilidad geométrica Para un experimento aleatorio cuyo espacio muestral Ω es un conjunto contenido en el plano y de área diferente de cero, se define la probabilidad geométrica de un evento A contenido en Ω , como el número P( A) =

Area( A) Area(Ω)

Como puede comprobarse, la función P así definida es efectivamente una probabilidad,.



 Ejemplo. Evaluación de la elección de un punto de un círculo. 2

Se escoge al azar un punto del círculo C definido por x + y escogido esté en el círculo D con centro el origen y radio 1.

2

≤ 4.

Hallar la probabilidad de que el punto

Solución El espacio muestral Ω corresponde al círculo C y la probabilidad de que el punto elegido esté en el círculo D es

P ( D) =

Area( D ) Area(Ω )

=

π

4π

= 0.25 .

Ejemplo. Encuentros. Federico y Vania acuerdan encontrarse en cierto lugar entre las 8 a.m. y las 9 a.m. de un día determinado y convienen en que cada uno de ellos debe esperar al otro a lo más 10 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren. Solución Denotaremos con x al tiempo transcurrido hasta la llegada de Federico y con y el tiempo transcurrido hasta la llegada de Vania. Cada valor x e y varían en el intervalo [0, 60].

El espacio muestral [0, 60].

Ω

está formado por los pares ( x, y ) del cuadrado cuyos lados son iguales al segmento

El evento expresado con "Federico llegó primero y se encontró con Vania" se indica con la siguiente relación: x ≤ y ≤ x + 10

El evento expresado con "Vania llegó primero y se encontró con Federico" relación: y ≤ x ≤ y + 10

El evento "Vania y Federico se encuentran" se determina con A = {( x, y ) / y ≤ x ≤ y + 10 o x ≤ y ≤ x + 10} .

60

60

Y

A

10 60 10 X

Figura 3.2

se indica con la siguiente


La probabilidad de A es P( A) =


Area de A Area de Ω

=

60 × 60 − 50 × 50 11 . = 60 × 60 36

ANDREI KOLMOG OROV Andrei Kolmogorov nació en Rusia, el 25 de abril de 1903. Muy joven ingresó a la universidad estatal de Moscú y se graduó en 1925. Kolmogorov revolucionó las Probabilidades introduciendo los axiomas que definen la Probabilidad de un evento. Estos axiomas permitieron la amplia aplicación de las Probabilidades a diferentes campos como la Física, Química, Biología e Ingeniería. Sin embargo, sus aportes también se produjeron en el campo de las Ecuaciones Diferenciales en donde diferentes propiedades llevan su nombre. Entre los trabajos realizados por Kolmogorov se encuentran discusiones sobre el desarrollo de las Matemáticas desde sus inicios hasta los t iempos modernos. Como miembro de la Facultad de Matemáticas desarrolló diversos cargos importantes en la Universidad Estatal de Moscú. Su aporte a las Matemáticas no sólo se circunscribió al campo universitario pues también se interesó en las Matemáticas escolares promoviendo diferentes programas de entrenamiento para los profesores de esta área. Andrei Kolmogorov murió el 20 de Octubre de 1987 cuando aún era profesor de la Universidad Estatal de Moscú.

3.3. EJERCICIOS 1.

Indicar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) E 1: Elección de tres personas de una en una y sin restitución para luego anotar si cada una es “ocupada, “O” o ”desocupada, “D”. b) E 2: Elección de un automóvil producido por una fábrica para luego anotar el espacio recorrido después de consumir un galón de gasolina. Rpta. a) {(O,O,O), (O,O,D), (O,D,O), (D,O,O), (O,D,D), (D,O,D), (D,D,O), (D,D,D)}. b) [ 0, +∞[

2. Un experimento consist e en seleccionar al azar 4 personas y observar si su sangre tiene el factor RH+ o el factor RH. a) Indicar el espacio muestral. b) Enumerar los elementos de los sucesos que se describen a continuación: A: "Por lo menos tres personas tienen sangre con RH+". B: "A lo más dos personas tienen sangre con RH+".

3. El señor Pérez debe pasar por tres entrevistas consecutivas para ingresar a trabajar en una compañía. Las personas encargadas de las entrevistas son: Hugo, Paco y Luis, en ese orden. Sean los eventos descritos por las proposiciones que se indican. A: el veredicto de Hugo es favorable.



B: el veredicto de Paco es favorable. C : el veredicto de Luis es favorable.

Usando A, B y C , escribir los eventos descritos por a) "Ninguno de los veredictos es favorable". b) "Todos los veredictos son favorables". c) "Por lo menos dos veredictos son favorables". d) "El veredicto de Hugo es favorable". Rpta. a) A ∩ B ∩ C c) ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C ).

4. En una mesa hay cuatro cartas con sus respectivos sobres. Se introducen al azar las cuatro cartas, una en cada sobre. a) Usando una notación adecuada, describir el espacio muestral. b) Describir cada uno de los siguientes eventos: A: "sólo una carta se introdujo correctamente". B: "dos cartas se introdujeron correctamente". Rpta. a) El espacio muestral está formado por las “permutaciones” o arreglos de las cartas 1, 2, 3, 4. El arreglo (1, 2, 3, 4) indica que la carta 1 ha sido introducida en el sobre 1, la carta 2 se ha introducido en el sobre 2, la carta 3, en el sobre 3, etc.

5. Se escoge una persona al azar de un grupo de 100. Sean los eventos descritos por: E 1: la persona escogida es hombre, E 2: la persona escogida es mujer, E 3: la persona escogida tiene educación superior, E 4: la persona escogida proviene de un colegio estatal.

¿Qué significan los siguientes eventos:

A = E 1 ∪ E 2?, B = E 2 ∩ E 3 ∩ E 4?, C = ( E 1 ∩ E 3 ∩ E 4) ∪ ( E 2 ∩ E 3 ∩ E 4)?.

Rpta. B: La persona elegida es mujer con educación superior y proviene de un colegio estatal .

6. Se tienen 5 computadoras de tipo A y 6 de tipo B. Si se eligen al azar y de una sola vez 4 computadoras, a) ¿Cuál es el número de elementos que tiene el espacio muestral ? b) ¿Cuál es el número de elementos que tiene el evento cuyos elementos están formados por dos computadoras de tipo A y dos de tipo B. Rpta. a) El espacio muestral está formado por el número de combinaciones de 5 elementos que se pueden formar con los elementos de un conjunto de 10 elementos. b) 150.

7. Una estación de bombeo puede quedar fuera de servicio por falla en la bomba, por fuga o por falla y fuga a la vez. Para dos estaciones de bombeo se tiene lo siguiente: Para la estación 1: P( falla en la bomba ) = 0.07, P( fuga) = 0.10 y P( falla y fuga ) = 0.06. Para la estación 2: P( falla en la bomba ) = 0.09, P( fuga) = 0.12 y P( falla y fuga ) = 0.06 ¿Cuál estación tiene la mayor probabilidad de quedar fuera de servicio? 8. La probabilidad de que Juan vaya a una determinada cita es 0.4, de que Pedro vaya a la misma cita, 0.6 y de que ambos vayan a la cita, 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Pedro vayan a la cita? Rpta. 0.8.

9. La probabilidad de ganar el primer premio en una juego es 2/5 y la de ganar el segundo premio, 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4, hallar la probabilidad de ganar ambos premios. Rpta. 4/9.

10. Un dado es fabricado de tal manera que cuando se lanza, el 1, el 2 y el 3 tienen el doble de probabilidad de aparecer que el 4, el 5 o el 6. Calcular la probabilidad de que al lanzar el dado el resultado sea par.



Rpta. 3/36.

11. Si se lanzan dos dados equilibrados, el espacio muestral está formado por 36 resultados. a) b)

Indique el espacio muestral Si los dados se lanzan, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 3 o menos?.

12. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la probabilidad de la intersección de dos eventos si la probabilidad de la reunión es 0.4? 13. La probabilidad de que José apruebe el primer examen del curso AYB es 0.8 y que la probabilidad de que apruebe el segundo examen del mismo curso es 0.6. Si el 50% de los alumnos aprueban ambos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de José apruebe sólo uno de los dos exámenes?. 14. Diez personas de diferentes tallas llegan de manera aleatoria para hacer cola en una ventanilla. Hallar la probabilidad de que a) el más alto esté al inicio de la cola. b) el más alto y el más bajo estén en los extremos de la cola c) el más alto y el más bajo estén juntos. 15. Un alumno de la universidad UU debe llevar en el segundo ciclo de estudios los cursos de Filosofía, Matemáticas y Lengua. Si la probabilidad de aprobar el curso de Filosofía es 0.7, el de Lengua, 0.55, el de Matemáticas, 0.5, el de Filosofía y Matemáticas, 0.3, el de Filosofía y Lengua, 0.35, el de Matemáticas y Lengua, 0.3 y los tres a la vez, 0.2; calcular, a) la probabilidad de aprobar por lo menos dos cursos, b) la probabilidad de aprobar por lo menos un curso c) la probabilidad de no aprobar curso alguno. Rpta. a) 0.55 b) 0.9.

16. Una caja contiene 100 vacunas. La probabilidad de que al menos una no sea efectiva es 0.05 y de haya al menos dos no efectivas es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga a) todas las vacunas efectivas? b) exactamente una no efectiva? c) a lo más una no efectiva? 17. En una lista de electores, 3 son del partido A, 8 del partido B y 13 del partido C. Otra lista tiene 5 electores del partido A, 7 del partido B y 6 del partido C. Una persona de cada lista es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas personas sean del mismo partido? Rpta. 0.3449

18. El tiempo de duración de una llamada que llega a una central telefónica está entre 3 y 5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada que llega a la central dure entre 3.5 y 4.5 minutos? Rpta. 0.5.

19. ¿Puede un evento diferente del vacío tener probabilidad igual a 0? 20. La producción de camisas de una determinada marca presenta el 2% de defectuosas. Si de un lot e de 200 camisas se eligen al azar y de una sola vez 30 de ellas, ¿cuál es la probabilidad que de las camisas escogidas, 3 sean defectuosas? Rpta. 0.0107.

21. La gerencia opina que de cada seis personas que ven un anuncio de sus productos en la televisión, uno comprará el producto. Se seleccionan al azar cuatro personas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas compren el producto?



22. Si la probabilidad de un evento A es p , entonces se define "la posibilidad o chance de que ocurra A " como la razón de p a 1 - p. A menudo las posibilidades se expresan como cocientes de dos factores que no tienen un factor común y si es más probable de que no ocurra un evento, se acostumbra dar las posibilidades de que no ocurra en lugar de las que sí ocurra, ¿Cuáles son las posibilidades a favor o en contra de la ocurrencia de un evento si su probabilidad es a) 3/8; b) 0.07; c) 0.4. 23. En una caja hay n balotas numeradas del 1 al n. Las balotas se sacan de una en una sin reemplazo. Si la balota r se saca en la r - ésima extracción se considera “un éxito”. Hallar la probabilidad de obtener al menos un éxito. 1 Rpta. 1/1! –1/2! + 1/3! - ... ( −1) n − 1 / n! .

24. Probar que a) P( A ∩ B ) = P( A) − P( A ∩ B ) b) P( A ∩ B) ≥ P( A) + P ( B) − 1 . La propiedad b) se llama “de Bonferroni” y puede generalizarse para n eventos: n

P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) ≥

∑ P( Ai ) − (n − 1) i =1

3.4. PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EVENTOS INDEPENDIENTES 3.4.1. Probabilidad condicional. Para el cálculo de la probabilidad de un evento no se asumen condiciones especiales aparte de las que definen el experimento. Algunas veces; sin embargo, se requiere revisar la probabilidad de un evento a la luz de otro evento ya realizado. Así, la probabilidad de que una resistencia, elegida de un lote producido, dure menos de 100 horas puede ser calculada a partir de la información adicional de que el lote fue fabricado en el turno de la tarde. De este modo, el espacio muestral queda reducido al conjunto de las resistencias fabricadas en el turno de la tarde. La probabilidad de que una resistencia dure menos de 100 horas, sabiendo que fue fabricada en el turno de la tarde es una probabilidad condicional. La probabilidad del evento A, sabiendo que el evento B ha sucedido, se llama probabilidad condicional de A dado el evento B , se denota con P( A | B) y se define como P( A | B ) =

P( A∩ B) P ( B)

,

si P ( B ) ≠ 0

Cuando P( B) = 0 se define P( A|B) = 0.

La probabilidad condicional cumple con los axiomas de probabilidad. Es una probabilidad. De la definición de probabilidad condicional se obtienen la siguiente regla de multiplicación



 P ( B) P( A | B) si P ( B) ≠ 0,

P( A ∩ B) = 

 P ( A) P( B | A) si P ( A) ≠ 0.

 Ejemplo. Distribuciones condicionales. Se eligieron 200 resistencias fabricadas y usadas en diferentes procesos bajo las mismas condiciones, con la finalidad de estudiar la relación que podía existir entre el turno de fabricación y el hecho de que duran menos de 100 horas. La distribución que se obtuvo de acuerdo a estos dos factores fue la siguiente: Turno Duración

Mañana

Tarde

Noche

Total

Hasta 100 h.

3

4

6

13

Más de 100 h.

97

56

34

187

100

60

40

200

Total

Tabla 3.3.

Si de las 200 se elige una al azar, la probabilidad de que ésta dure menos de 100 horas es 13/200 = 0.065. Si de las 200 resistencias se elige una al azar y resulta que ésta fue producida en el turno de la tarde, entonces la probabilidad de que dure menos de 100 horas es p = P(dure menos de 100 horas | es del turno de la tarde) =

4 / 200 60 / 200

= 0.066.

Ejemplo. Chips defectuosos. En una caja existen 2000 chips elaborados por la compañía A y 500 elaborados por la compañía B. El 8% de los chips elaborados por A y el 5% de los chips elaborados por B son defectuosos. Al elegir un chip al azar de la caja se observa que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad que provenga de A?.

Si denotamos con A al evento descrito por “el chip proviene de A” y con D denotamos el evento descrito por “el chip es defectuoso”, se tendrá que P( A | D) =

P( A ∩ D ) P( D )

=

[(0.08)(2000)] / 2500 [(0.08)(2000) + (0.05)(500)] / 2500

=

160 185

= 0.864

En este caso, conocimiento de la ocurrencia del evento D incrementa la probabilidad de ocurrencia de A.

 Ejemplo. A partir de un censo se ha determinado que El 20% de los administradores tienen maestría. El 70% de los profesionales son administradores. El 40% de los profesionales tienen maestría.



¿Cuál es la probabilidad de que un profesional que no es administrador tenga maestría? Solución

Indiquemos los siguientes eventos: A: El evento formado por los profesionales que tienen maestría. B: El evento formado por los profesionales que son administradores.

Se sabe que: P( A) = 0.4, P( B) = 0.7 y P( A |B) = 0.2. Para calcular P ( A| B ) , supondremos, para simplificar, que el espacio muestral Ω , formado por todos los profesionales es un rectángulo de área igual a 1 y que los eventos A y B son como se indican. De este modo las áreas de cada región en la siguiente figura y que representa a los eventos son iguales a su probabilidad.

Como 0.2 = P( A| B) =

P ( A ∩ B) P ( B)

, x

x

A

y

B

se tiene que Figura 3.3

. . x = P( A ∩ B) = 0.2 P( B) = 0.2( 0.7) = 014

Luego, P ( A | B ) =

P ( A ∩ B ) P ( B )

=

y

1 − P ( B )

=

0 .4 − x 1 − 0 .7

=

0 . 4 − 0 .14 0.3

=

0 . 26 0 .3

=

26 30

=

13 15

.

3.4.2. Eventos independientes Si la probabilidad del evento A no depende de la realización del evento B se dice que A es independiente de B. Formalmente, Se dice que dos eventos A y B son independientes si P( A | B) = P( A).

Si la probabilidad de que una persona contraiga una enfermedad E es igual a la probabilidad de que la persona contraiga la enfermedad sabiendo que ésta es mujer, entonces los eventos que indican el riesgo de contraer la enfermedad y que la persona sea mujer son independientes. De la definición de probabilidad condicional, se deduce que una manera de calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos es P( A ∩ B) = P( B |A).P( A) o equivalentemente P( A ∩ B) = P( A |B).P( B),

de donde resulta la siguiente propiedad: Si los eventos A y B son independientes, P( A ∩ B) = P( A)P( B).



En efecto, P( A ∩ B) = P( A | B)P( B) = P( A)P( B). Esta propiedad se extienda para tres o más eventos. PROPIEDAD Si A y B son independientes entonces A y B también lo son.

Ejemplo. Estudiando las inundaciones. La probabilidad de que en una determinada región suceda una inundación cada año es 0.025. Si las inundaciones suceden de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que la primera inundación suceda dentro de 6 años? Solución Ai indica el evento: “sucede una inundación en el i-ésimo año”.

La probabilidad de que no suceda una inundación cada año es 0.975. Luego, la probabilidad pedida es P( A1 ∩... A5 ∩ A6 ) = P ( A1 ) P( A2 )... P( A5 ) P ( A6 ) = (0.9755)(0.025) = 0.0220.

 Ejemplo. Reemplazando un puente. Cada año i un puente puede ser reemplazado por dos únicas razones: por la ocurrencia de alguna inundación con probabilidad p o por aumento de la demanda de agua con probabilidad k i . Si Ai representa al evento “el puente colapsa por inundación en el año i y Bi representa al evento “el puente debe ser reemplazado en el año i ,

y se supone que ambos eventos ocurren de manera independiente, entonces se tendrá que para cada año i, P(reemplazar al puente) = P( Ai ∪ Bi ) = P( Ai ) + P ( Bi ) − P( Ai ∩ Bi ) = P ( Ai ) + P( Bi ) − P( Ai ) P( Bi ) = p + r i − ( p )(r i )

La probabilidad de que el puente sea reemplazado dentro de 10 años es [ p + r 1 − ( p )(r 1 )][ p + r 2 − ( p )(r 2 )]...[ p + r 9 − ( p )(r 9 )][1 − { p + r 10 − ( p )(r 10 )}] .

 Ejemplo. SISTEMAS EN SERIE Y SISTEMAS EN PARALELO Un sistema de n componentes se dice que está en serie si sus componentes están conectadas de la siguiente manera A

C 1

C 2

C n

...

B



Figura 3.4. Sistemas en serie

En un sistema de información de n componentes en serie la información pasa del punto A al punto B si la señal es transmitida por todas las componentes. Un sistema de n componentes se dice que está en paralelo si sus componentes están conectadas de la siguiente manera C 1 C 2 B

A

... C n Figura 3.5.

En un sistema de información de dos componentes en paralelo la información pasa del punto A al punto B si la señal es transmitida por alguna de las componentes. Si las n componentes actúan de manera independiente, entonces la probabilidad R de que la señal pase de A a B es R = 1 − [(1 − R1 )(1 − R2 )...(1 − R n )] .

3.5. EJERCICIOS 1. Dados P( A) = 0.5, P( B ) = 0.7 y P( A ∩ B ) = 0.15, decir si los eventos A y B son independientes. Rpta. No.

2. Para dos eventos A y B se indicó P( A) = 0.65, P( B) = 0.80, P( A |B) = P( A), P( B|A) = 0.85. ¿Es correcta la asignación de probabilidades? 3. En un estudio para introducir una nueva revista semanal se ha determinado que de 200 personas encuestados, 30 leen la revista A, 35 leen la revista B, 40 leen la revista C, 8 leen las revistas A y C, 12 leen las revistas A y B, 15 leen las revistas B y C y 6 leen las revistas A, B y C. Si con A denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista A, con B denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista B y con C denotamos al evento formado por todos los lectores de la revista C, hallar P( A | B ), P( B | A), P( A ∩ B | C ), P( A | B ∩ C ) y P( A ∩ B | A ∩ C ). Rpta. P( A| B) = 12 / 35, P( B| A) = 12 / 30.

4. Se ha determinado que las probabilidades de que un televidente vea los programas A, B, o C son: 0.5, 0.4 y 0.7, respectivamente. ¿Cuál es el porcentaje de televidentes que ven por lo menos dos de los programas?. Se asume que cada persona ve los programas independientemente uno del otro. Rpta. 0.55.



5. El 3% de la población en general padece de la enfermedad E. De ellos solamente el 40% lo saben. Si se selecciona al azar una persona, ¿cuál es la probabilidad de que padezca E pero no sea consciente de padecerla?. Rpta. 0.012.

6. Para que un postulante sea admitido a una escuela superior debe pasar con éxito al menos dos exámenes consecutivos de los tres a que es sometido en forma alternada ante dos personas A y B. Se supone que los exámenes son independientes. Por experiencia se sabe que el 40% de los postulantes aprueban el examen con A, mientras que sólo el 35% aprueban el examen con B. Si a cada postulante se le permite escoger a la persona con quien iniciar los exámenes; ¿qué recomendar al postulante, iniciar con A o con B?. Rpta. Con B.

7. a) Probar que si A y B son independientes, A y B también son independientes. b) Probar P( B |A) = 1 - P( B | A) . 7. En la siguiente tabla se presenta la distribución de 125 hogares de acuerdo con los ingresos de sus jefes de familia y con el hecho de ser propietarios de teléfonos y de aparatos de televisión.

Con TV Sin TV

Hogares con ingresos de $1000 o menos con teléfono sin teléfono 27 20 18 10

Hogares con ingresos de más de $1000 con teléfono sin teléfono 18 10 12 10

Tabla 3.4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un hogar con TV? b) Si una familia con ingresos de más de $1000 tiene teléfono, ¿cuál es la probabilidad de que tenga TV? c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una familia que tenga TV, dado el hecho que tiene teléfono? d) ¿Son independientes los eventos "tener TV" y tener teléfono? e) ¿Son independientes los eventos "ingresos de menos de $1000" y "ser propietario de TV"?. Rpta. 7. a) 0.60, b) 0.60 . 9. Doscientas personas están distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera: 130 son varones, 110 son capitalinos, 30 son mujeres y del interior. Si se eligen dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad a) b)

de que ambos sean varones y del interior? de que al menos una de las dos personas sea mujer? Rpta. a) 0.0889, b) 0.5786 .

10. La probabilidad de que un alumno apruebe el primer examen de un curso es 0.8 y que apruebe el siguiente examen es 0.6. a) Si los eventos anteriores no guardan relación entre sí, ¿con qué probabilidad un alumno aprobará alguno de los exámenes? b) Si el 50% de alumnos aprueba ambas evaluaciones, ¿con qué probabilidad ocurrirá que alguien apruebe sólo un examen? ¿Cuál es la probabilidad de que alguien desapruebe el segundo examen si aprobó el primero? 11. Con la finalidad de determinar la efectividad de una prueba de sangre para detectar cierta enfermedad se realizó un estudio sobre 100 personas. De las 100 personas elegidas al azar, las pruebas convencionales determinaron que 10 de ellas padecían la enfermedad y 90 de ellas no la tenían. En el grupo que no la padecían, 86 individuos resultaron con pruebas negativas y 4 resultaron con pruebas positivas. En el grupo de las personas que tenían la enfermedad se encontraron tres individuos con pruebas negativas y siete con positivas. A partir de los datos, ¿cuál es la probabilidad de que una persona con prueba positiva padezca la enfermedad?



12. En un grupo de 50 personas hay 4 que tienen sangre con el factor RH negativo, (RH-) y el resto con el factor RH positivo (RH+). Hallar la probabilidad de que escogidos 5 personas al azar y de una sola vez, dos de ellas tengan el factor RH- y tres con el factor RH+. 13. La compañía de teléfonos asegura que la fiabilidad del servicio es tal que cuando se marca correctamente el número deseado se tienen 19 chances sobre 20 de obtener tono al otro lado de la línea. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tono al otro lado de la línea en tres intentos a lo más si se supone que cada vez se marca el número correcto?. b) Si se estima que en el primer intento existe un chance sobre 10 de marcar un número equivocado (error de manipulación), para el segundo intento existe 1 chance sobre 100 de equivocación y para el tercer intento existe 1 chance sobre 1000 de equivocación, ¿cuál es la probabilidad de obtener tono al otro lado de la línea en tres ensayos a lo más? Rpta. a) 0.9998, b) 0.9996.

14. Un comerciante tiene tres tiendas A, B y C con probabilidades de dar utilidades de 0.8, 0.3 y 0.5, respectivamente. Cada tienda opera con independencia. Halle la probabilidad de que el comerciante tenga pérdidas; que tenga pérdida en su mejor tienda si tuvo pérdida en dos tiendas. 15. En una ciudad hay 20 distritos y en cada uno hay 300 hogares. Se elige un distrito al azar y luego, en el distrito seleccionado se toman 30 hogares al azar y sin reemplazo. a) Hallar la probabilidad de que un distrito específico sea seleccionado. b) Hallar la probabilidad de que un hogar específico sea seleccionado. Rpta. a) 1/20

16. Con el fin de probar la efectividad de un test para detectar enfermedades renales en pacientes con hipertensión, se escogieron 200 pacientes hipertensos obteniéndose los siguientes resultados: 56 pacientes tenían afecciones renales, en 55 pacientes con enfermedad renal el test resultó positivo, en 13 pacientes sin enfermedad renal el test resultó positivo. a).Hallar la "tasa falsa positiva" del test. Esto es, la probabilidad que el test resulte negativo dado que el paciente sufre de afecciones renales. b). Hallar la "tasa falsa negativa" del test. Esto es, la probabilidad que el test resulte positivo dado que el paciente no sufre de afecciones renales. 17. Existe el 70% de probabilidad de que la Universidad VV cree la Maestría de Robótica. Si ésta se crea, Juan tiene el 80% de probabilidad de ingresar a dicha maestría. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan ingrese a estudiar la maestría de Robótica?. 18. Una persona está expuesta al riesgo en 1000 ocasiones independientes. Si la probabilidad de que ocurra un accidente es 1/1000 cada vez, hallar la probabilidad de que un accidente ocurra en una o más ocasiones. Rpta. 0.6323.

19. Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). a) b) c)

Si A y B son mutualmente excluyentes y ambos son independientes entonces P ( A ) = 0 o P ( B ) = 0. Si A y B son independientes y los eventos B y C son independientes entonces A y C son independientes. Si los eventos A y B son independientes entonces A y B son independientes.

20. Una persona tiene tiempo para jugar la ruleta cuatro veces. Gana o pierde $1 en cada juego. La persona comienza con $2 y parará de jugar antes de los cuatro juegos si pierde todo su dinero o gana $3 (o sea, si termina con $5). Hallar el número de maneras cómo pueden ocurrir los juegos. Hallar la probabilidad de ganar $2 después de 4 juegos.



21. Un número “binario” de n dígitos es transmitido a través de una señal. (Un número binario de n dígitos consta de n dígitos 0 y 1). La transmisión se realiza digito por digito y de manera independiente. Hallar la probabilidad de que el número binario transmitido sea incorrecto si la probabilidad de transmitir erróneamente cada digito es p. Rpta. (1 − p )n

22. En una urna hay dos bolas rojas y una negra. Hugo, Paco y Luis (en ese orden) deben sacar, uno después del otro, una bola sin restituirla posteriormente. ¿Cuál de las tres personas tiene mayor probabilidad de sacar la bola negra?. Rpta. Todos tienen igual probabilidad . 23. Un ingeniero mecánico ha ideado una maquina para detectar soldaduras imperfectas. Según los

estudios que ha realizado detecta el 80% de las soldaduras imperfectas pero también indica incorrectamente soldaduras defectuosas en el 5% de las soldaduras perfectas. La experiencia del ingeniero le indica que el 10% de las soldaduras son imperfectas. ¿Cuál es la probabilidad de que una soldadura que es defectuosa sea en realidad defectuosa?

3.6. EL TEOREMA DE BAYES La probabilidad de un evento depende muchas veces de los resultados de otros eventos que se realizan en condiciones mutuamente excluyentes. La consideración de estas situaciones facilita el cálculo de la probabilidad del evento. Así, la probabilidad de que una persona compre un seguro de vida dependerá, entre otros factores, de que la persona sea hombre o mujer. El teorema de las probabilidades totales muestra como calcular la probabilidad de un evento en función de las probabilidades de otros eventos en condiciones mutuamente excluyentes.

3.6.1. Teorema de las probabilidades totales Si A1, ... , An, son eventos disjuntos cuya reunión es igual al espacio muestral cumple que para cualquier evento A,

, entonces Ω

se

P ( A) = P ( A | A1 ) P( A1 ) + ... + P( A | An ) P( An ) Ω

A A

1

A

2

...

A

n

Figura 3.6

Si A denota el evento de que una persona compre un seguro de vida, y si H y M son los eventos hombre y mujer, respectivamente, según el teorema de las probabilidades totales podremos escribir: P ( A) = P( A ∩ H ) + P( A ∩ M ) = P ( A | H ) P ( H ) + P( A | M ) P( M )

Si el 60% son hombres y la probabilidad de que un varón compre un seguro es igual a 0.3, mientras que en el caso de las mujeres, la probabilidad es 0.2, se tendrá que P( A) = (0.3)(0.6) + (0.2)(0.4) = 0.26.



Las experiencias aleatorias excluyentes, como la del ejemplo, pueden representarse con los llamados árboles de probabilidades , como el de la siguiente figura, en donde cada rama representa un resultado parcial de la experiencia y cada nudo terminal, un punto del espacio muestral. Sobre algunas ramas del árbol se ha escrito la probabilidad condicional del resultado que representa dada la experiencia anterior. La probabilidad de cada nudo terminal se obtiene multiplicando los números escritos sobre las ramas que conducen a él. * P ( S | M )P ( M ) = (0.20)(0.40)

S

0.20 -

M

S

0.40

-

PERSONA

S

H

0.60

0.30

S

*

P ( S | H ) P ( H ) =( 0.30)(0.60)

Figura 3.7. Los nodos terminales que indican el resultado S están marcados con *.

 Ejemplo. Colapso de una represa. Existen varios motivos por los cuales una represa puede colapsar; sin embargo, para simplificar e ilustrar, supondremos que una represa puede colapsar solamente por una “fuerte avenida de agua” o por sabotaje y que estos eventos suceden de manera independiente. Se ha determinado que las probabilidades de que ocurra una fuerte avenida es 0.0001 y de que ocurra un sabotaje es 0.002. Por otro lado, la probabilidad de que el puente colapse por una fuerte avenida es 0.40, mientras que la probabilidad de que colapse por sabotaje es 0.80. Si se denota con D : “el puente colapsa” A : “sucede una fuerte avenida” B : “sucede un acto de sabotaje. C : “no sucede ni sabotaje ni una fuerte avenida”

Se tiene que la probabilidad de que el p uente colapse es p = P[ D | A]P[ A] + P[ D | B ]P[ B ] + P[ D | C ]P[C ]

= 0.40*0.0001 + 0.80*0.002 + 0*0.9979.

3.6.2. El teorema de Bayes Un candidato al parlamento puede recibir información indicándole que tiene el 60% de probabilidad de ganar las elecciones. Esta probabilidad puede ser revisada a la luz de información adicional, como por ejemplo un sondeo de opinión, para luego tomar una mejor decisión (realizar mayor propaganda). En general, cualquier persona que tenga que realizar decisiones en condiciones de incertidumbre tratará de incorporar información que le permita revisar o modificar las probabilidades que en principio conoce. El teorema de Bayes2 es una herramienta muy poderosa que permite revisar probabilidades “a priori”, a la luz de cierta información, sin utilizar grandes cantidades de datos para tomar mejores decisiones.

2 El teorema de Bayes se le atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) d e origen inglés.



Enunciado Con las mismas hipótesis del teorema de las probabilidades totales, se cumple : P( Ai | A) =

P( A| Ai ) P( Ai ) P( A)

=

P( A| Ai ) P( Ai ) n

, para i = 1,..., n .

∑ P( A| Ak ) P( Ak ) k =1

Ejemplo. Comunicación binaria. Un canal de comunicación binaria transmite dos tipos de señal que se denotan con 1 y 0. Como consecuencia del ruido que se mezcla con la señal, no siempre se recibe la señal que se transmite. De acuerdo a los datos analizados, el 1 se transmite correctamente en el 95% de las veces mientras que el 0 se transmite correctamente en el 90% de las veces. Si el 0 se transmite en el 60% de las veces, hallar

a) b) c)

La probabilidad de que se reciba el 1. La probabilidad de que se halla transmitido el 1 dado que se recibió el 1 La probabilidad de que ocurra un “error”

Si con Ri se denota el evento “se recibió el número i” y con Ti se denota el evento “se transmitió el el número i”, se tendrá; a)

Que la probabilidad de recibir el número 1 es P[ R1] = P[ R1 | T 1]P[T 1] + P[ R1 | T 0]P[T 0] = (0.95)(0.40) + (0.10)(0.60) = 0.44 .

b) Que la probabilidad de haber transmitido el 1 dado que se recibió el 1 es P[T 1 | R1] =

c)

P[ R1 | T 1]P[T 1] P[ R1]

=

(0.95)(0.40) 0.44

= 0.8636 .

P[" error " ] = P[ R 0 | T 1]P[T 1] + P[ R1 | T 0]P[T 0] = (0.05)(0.40) + (0.10)(0.60) = 0.08 .

Ejemplo. Ladrillos defectuosos. El encargado de la construcción de un edificio ha determinado que, según su experiencia, el lote de 200000 ladrillos que se ha recibido puede tener el 5% de defectuosos con probabilidad 0.6, el 6% de defectuosos con probabilidad 0.3 y 7% con probabilidad 0.1.

Para revisar las probabilidades indicadas por el encargado el lote se somete a una inspección por muestreo, tomando 20 ladrillos al azar. De los 20 ladrillos observados ninguno es defectuoso. Usando las siguientes notaciones: A : El 5% de los ladrillos son defectuosos. B : El 6% de los ladrillos son defectuosos. C : El 7% de los ladrillos son defectuosos. I : Los 20 ladrillos elegidos no son defectuosos.

y a la luz de los resultados del muestreo se tienen las siguientes probabilidades revisadas:


P[ A | I ] = P[ B | I ] = P[C | I ] =


P[ I | A]P[ A] P[ I ] P[ I | B ]P[ B] P[ I ] P[ I | C ]P[C ] P[ I ]

=

=

=

0.9520 0.60 0.95 200.60 + 0.94 20 0.30 + 0.93200.1 0.94 20 0.30 0.95 200.60 + 0.94 20 0.30 + 0.93200.1 0.93200.10 0.95 200.60 + 0.94 20 0.30 + 0.9320 0.1

= 0.5390 = 0.3633 = 0.0977.

Al parecer y a la luz de los resultados podríamos decir que el administrador si tiene experiencia al respecto.

 Ejemplo. Dosaje etílico. Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de tránsito a un test de "dosaje etílico". ¿Cuál es la probabilidad de que un chofer de esta población esté ebrio, dado que el resultado del dosaje etílico fue positivo?, si se ha determinado que: - cuando un chofer está ebrio, el test proporciona resultado positivo en el 95% de los casos. - cuando un chofer no está ebrio, el test proporciona resultado negativo en el 94% de los casos. - el 2% de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.

Solución El espacio muestral está formado por todos los choferes que cometen accidentes.

Sean los eventos:

E , descrito por "el chofer está ebrio" y T , descrito por "el test es positivo".

Por el teorema de Bayes se tiene que a partir de la información adicional T , la probabilidad corregida de E es P( E | T ) =

P ( T | E) P ( E )

=

P (T | E ) P( E ) + P(T | E ) P ( E )

(0.95)(0.02) (0.95)(0.02) + (1 − 0.94)( 0.98)

= 0.2442.

En cada uno de los siguientes ejemplos, el lector indicará el espacio muestral correspondiente.

 Ejemplo. Control de calidad. Dos fabricantes A y B proveen de transistores para la fabricación de radios. Los transistores que fabrica A tienen la probabilidad 0.05 de ser defectuosos. Los de B tienen la probabilidad 0.10 de ser defectuosos. Los fabricantes de radios reciben una remesa de 15 transistores y al no saber si provienen de A o de B optan por revisar toda la remesa. Se desea indicar las probabilidades que el lote provenga de cada de los proveedores sabiendo que en la remesa no se encontró ningún transistor defectuoso y que a priori se asigna igual probabilidad de el lote provenga de A o de B. Con D denotaremos al evento de hallar 0 defectuosos en los 15 revisados. Se tiene que 15

P( D | A) = 0.95

15

= 0.4633. y P( D | B ) = 0.90

Usando la fórmula de Bayes,

= 0.2059 .



P( A | D) =

0.5 × 0.4633 = 0.6923 0.5 × 0.46333 + 0.5 × 0.2059

P( A | D) =

0.5 × 0.4633 = 0.3076. 0.5 × 0.46333 + 0.5 × 0.2059

A la luz de la revisión de toda la remesa se puede indicar que es más posible que la remesa provino de A. Ejemplo. Las mujeres fumadoras versus los hombres fumadores. Según una encuesta realizada,

-el 90% de los hombres ( H ) que tienen cáncer pulmonar ( C ) son fumadores ( F ). -el 70% de mujeres ( M ) que tiene cáncer pulmonar son fumadoras. -la frecuencia de cáncer pulmonar es 4 × 10 - 4 para los hombres y de 10 - 4 para las mujeres. -la proporción relativa de fumadores es 5 veces más elevada en los hombres que en las mujeres. ¿Se puede concluir que una mujer fumadora tiene más propensión de contraer cáncer pulmonar que un hombre fumador? Solución Los datos nos indican que: P( F ∩ H ∩ C)

P ( F |H ∩ C ) = 0.9; es decir, P ( F |M ∩ C ) = 0.7 ; esto es,

= 0.9 ,

P ( H ∩ C ) P ( F ∩ M ∩ C)

P ( F |H ) = 5P ( F | M ); es decir,

P ( M ∩ C ) P ( F ∩ H ) P ( H )

= 0.7 y

=5

P ( F ∩ M ) P ( M )

.

Para responder afirmativamente la pregunta es suficiente probar que

Usando las relaciones anteriores, se tiene:

P ( C| M ∩ F ) > 1. P( C| H ∩ F )

P ( C| M ∩ F ) P (C ∩ M ∩ F ) P( H ∩ F ) P ( C| H ∩ F )

=

P ( M ∩ F )

0.9 P( H ∩ C )

−4

=

5 P ( F | M ) 0.7 × 10 3.5 . = P ( F | M ) 0.9 × 4 x10 −4 3.6

Como 3.5/3.6 es menor que 1, la respuesta es negativa; sin embargo, este valor es muy cercano a 1; lo que indica que una mujer fumadora tiene, prácticamente la misma probabilidad de contraer cáncer pulmonar que un hombre fumador. Ejemplo. Aplicación a la medicina. Los “tests diagnósticos” Se sospecha que un paciente puede padecer cierta enfermedad E, la cual tiene una incidencia (probabilidad de que una persona padezca de la enfermedad) de 0.03. Como ayuda al diagnóstico se le hace pasar una



prueba o test, que da como resultado: Positivo, T +, (la evidencia a favor de que el paciente esté enfermo es alta en función de esta prueba). Sobre el test utilizado, se tiene la siguiente información: La sensibilidad (probabilidad de que el test de positivo en una persona que sabemos que padece la enfermedad) es P[T + | E ] = 0.95. La especifidad

(la probabilidad de que el test de negativo de una persona que no la padece) es

−

P[T | E ] = 0.99.

Se concluye, por ejemplo, que el índice predictivo de verdaderos positivos (la probabilidad de que el paciente este realmente enfermo dado que el test dio positivo), de acuerdo al teorema de Bayes, es P[T + | E ].P[ E ]

P[ E | T + ] =

+

+

P[T | E ].P[ E ] + P[T | E ].P[ E ]

=

0.95 × 0.03 0.95 × 0.03 + (1 − 0.99) × 0.97

= 0.7460.

3.7. EJERCICIOS 1. La probabilidad de que un alumno estudie para su examen de Matemáticas es 0.8. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0.90. Si el alumno no estudia, la probabilidad de que no apruebe el examen es 0.85. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe el examen? Rpta. 0.75

2. El 40% de las resistencias que se utilizan en una fábrica son de la marca A y el resto son de la marca B. El 1% de las resistencias de la marca A y el 0.5 % de la marca B son defectuosas. Si de un lote de tales resistencias adquiridas por la fábrica se elige una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta resulte defectuosa? Rpta. 0.007.

3. En una urna hay 3 esferas rojas y x negras. De la urna se sacan al azar, dos esferas de una en una y sin reposición. Si la probabilidad de sacar una esfera roja en la segunda extracción es 6/10, hallar x. Rpta . 2.

4. Una compañía está estudiando la posibilidad de construir una granja en un cierto sector agropecuario. La compañía considera de gran importancia la construcción de un reservorio en las cercanías del lugar. Si el gobierno aprueba este reservorio la probabilidad de que la compañía construya la granja es 0.9, de otra manera la probabilidad es de sólo 0.2. El presidente de la compañía estima que hay una probabilidad de 0.6 de que el reservorio sea aprobado. a) Hallar la probabilidad de que la compañía construya la granja. b) Si la granja fue construida, hallar la probabilidad de que el reservorio haya sido aprobado. Rpta a) 0.6200 b) 0.8709

5. Un ingeniero tiene la posibilidad de intervenir en una de tres licitaciones diferentes: A, B y C, con probabilidades 0.5, 0.3 y 0.2, respectivamente. El ingeniero sabe que si interviene en la licitación A tiene el 80% de posibilidad de obtener dictamen favorable, si interviene en la licitación B, el dictamen puede ser favorable con probabilidad 0.4 y si interviene en la licitación C, el dictamen le puede favorecer con probabilidad 0.6. Si el ingeniero ha recibido un dictamen favorable, ¿cuál es la probabilidad de que haya intervenido en la licitación B? 6. Al contestar una pregunta de "opción múltiple" y con 5 distractores (posibles respuestas) de los cuales sólo uno es la respuesta correcta, puede ocurrir que la persona que responda correctamente conozca realmente la respuesta o responda al azar. La probabilidad que conozca la respuesta es 0.6 y que



recurra al azar, 0.4. Si un estudiante marcó correctamente la respuesta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta? Rpta. 0.882. 7. Un político ha llegado a la conclusión de que si hay cambios en el índice principal de la bolsa, esto tendrá efecto en su partido de ganar o perder escaños en el senado. Si el índice sube 2%, las probabilidades de que su partido pierda más de 10 escaños y que gane o pierda entre 6 y 8 escaños son 0.65 y 0.35, respectivamente. Si el índice baja 2%, las probabilidades respectivas son: 0.4 y 0.6. Si el índice baja menos del 2%, las probabilidades son: 0.3 y 0.7, respectivamente. Si el partido del político ganó 7 escaños, ¿cuál es la probabilidad de que el índice haya subido más del 2%?. 8. Con la finalidad de realizar un estudio acerca de la manera como los Jueces de Paz administran justicia en los distritos del país, se ha constituido una muestra en la cual 93 son jueces de la costa, 207 son de la sierra y 74 son de la selva. Se ha determinado también que en la costa el 60% de los jueces son abogados, en la sierra el 20% y en la selva, el 10%. Si de la muestra se elige un juez es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea abogado? Si el juez elegido es abogado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la selva? 9. La compañía Kancio está considerando comercializar una computadora. La probabilidad de que la compañía tenga éxito es 0.8 si una firma competidora no introduce un producto similar en el mercado, en tanto que la probabilidad de éxito es sólo 0.4 si la firma competidora introduce un producto similar. Kancio estima en 0.3 la probabilidad de 0.3 de que la firma competidora comercialice el producto. Si Kancio no tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que la competencia haya lanzado su producto? 10. Un lote de chips contiene 2% de defectuosos. Cada chip es probado antes de ser enviados para su venta. El inspector de calidad no es totalmente confiable: la probabilidad de que el inspector diga que el chip es bueno dado que realmente esta bueno es 0.95 y la probabilidad de que el inspector diga que el chip es defectuoso dado que está defectuoso es 0.94. Si el inspector indica que un chip esta bueno, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea defectuoso? 11. Una empresa recibe billetes de tres bancos: A, B y C. De A recibe el 60% de todos los billetes, de B, el 30% y el resto de C. Se ha determinado que la proporción de billetes falsos que provienen de A es 0.1%, de B, 0.2% y de C, 0.1%. En cierta ocasión al recibir una cantidad de billetes, resulto que uno era falso; ¿de qué banco se puede sospechar que proviene el billete falso? 12. Para conminar a sus deudores una compañía utiliza: el teléfono, visita personal y correo. De los datos registrados se sabe que al 20% se les sugiere que paguen vía telefónica, 20% son visitados personalmente y al resto se les envía una carta. Las probabilidades de recibir respuesta positiva al aplicar estos métodos son: 0.6, 0.8 y 0.4, respectivamente. Si acaban de informar que un cliente acaba de hacer efectivo el pago de una deuda, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya visitado personalmente. 13. Una prueba para la hepatitis ( E ) tiene la siguiente exactitud Sensibilidad = 0.90 y Es pe ci fi da d = 0.99.

Un paciente desea que le realicen la prueba porque tiene ciertos síntomas sospechosos, según el médico. Si el resultado de la prueba del paciente es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga hepatitis, sabiendo que la incidencia de la hepatitis es 0.15? 14. Una compañía de seguros clasifica a las personas en una de tres categorías respecto al riesgo: bueno, promedio o malo. Sus registros indican que la probabilidad de que una persona se vea involucrada en un accidente en el lapso de un año es de 0.05, 0.15, y 0.30, respectivamente. Si 20% de las personas están clasificadas como de riesgo bueno, 50% como promedio y 30% como malo, ¿qué proporción de las personas tienen accidentes durante un año?. Si el poseedor de una póliza no tiene un accidente durante un año, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido clasificado como de riesgo promedio?



15. Se va a perforar un pozo de petróleo en cierto lugar. El terreno ahí es roca con probabilid ad 0.53, arcilla con probabilidad 0.21 o arena con probabilidad 0.26. Un examen geológico da un resultado positivo con una exactitud del 35% en el caso de que sea roca, con una exactitud del 48% si es arcilla y con 75% si es arena. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roca si la prueba resulta positiva?, ¿cuál es la probabilidad de que sea arcilla?, ¿cuál es la probabilidad de que el terreno sea arena? Rpta. a) 7/18.

16. Una elección tiene lugar para elegir a uno de los candidatos A y B por mayoría y a dos vueltas. En la primera vuelta, 15% de los electores inscritos votaron en blanco, 40% de los electores votaron por A y 45% votaron por B. Se estima que todos los electores que votaron en la primera vuelta lo harán en la segunda vuelta, pero una encuesta indica que en razón de las declaraciones contradictorias de los candidatos, 20% de los que votaron por A en la primera vuelta votarán por B en la segunda vuelta y 30% de los que votaron por B votarán por A. La misma encuesta indica que 2/3 de los que votaron en blanco en la primera vuelta votarán en la segunda, a razón de 40% por A y 60% por B. Si la encuesta es fiable, ¿quién saldrá elegido en la segunda vuelta? Rpta. A tendrá el 49.5% de los votos y B el 5%.

17. Respecto del partido de fútbol que protagonizarán el día de mañana los equipos A y B, el Veco piensa lo siguiente: De todas maneras se abrirá el marcador y cualquiera de los dos equipos tiene igual probabilidad de hacerlo. Si A anota el primer gol la probabilidad de que el próximo también sea de A es 2/3 contra 1/3 que sea de B; en cambio si es B el que anota el primer gol habrá un segundo gol que puede ser con igual probabilidad para cualquier bando. Si el marcador llega a ponerse 2-0 a favor de cualquier equipo la desmoralización de uno y la apatía del otro impedirán que haya más goles; en cambio si llega a ponerse 1-1, puede ocurrir tres cosas con iguales probabilidades: que A anote y gane 2-1, que B anote y gane 2-1 o que no haya más goles. Use un diagrama de árbol para contestar lo siguiente: ¿Cuál es, de acuerdo a lo anterior, la probabilidad de que a) B gane? b) B gane dado que abrió el marcador? c) A haya abierto el marcador dado que B ganó? Rpta. a) 7/18.

18. Una sociedad de beneficencia pretende lanzar al mercado la venta de una lotería, tal como lo hacía en años anteriores. Los beneficios dependen de la proporción θ de personas que la compren: Puede suponerse que la demanda de la lotería puede ser alta ( θ 1), media ( θ 2 ) o baja ( θ 3) y que los beneficios que la sociedad puede esperar son: 5, 1 y 3 millones de pesos, respectivamente. La información inicial de la sociedad permite suponer que p(θ 1) = 0.2, p(θ 2) = 0.5 y p(θ 3) = 0.3. Un equipo de marketing ofrece a la sociedad disminuir la incertidumbre, respecto de la demanda. La encuesta puede aconsejar el lanzamiento ( x = 1) o no ( x = 0). Suponiendo que p ( x = 1 | θ 1 ) = 0.9 , p ( x = 1 | θ 2 ) = 0.5 y p ( x = 1 | θ 3 ) = 0.2 , calcular el precio máximo que debe pagarse por la encuesta. 19. En una fábrica se usan tres procedimientos para hacer pistones: A, B y C. La distribución es como sigue.

Proced. p

A 0.2

B 0.5

C 0.3

Tabla 3.6.

Se ha detectado que el 15% de los pistones son defectuosos. ¿Cuál es el porcentaje de pistones defectuosos que se fabrican con el procedimiento A si el 11% de los p istones fabricados con el proceso B son defectuosos mientras que para el proceso C es el 13%? 20. Un médico tiene duda entre tres enfermedades E1, E2, y E3, posibles en un paciente.



Observando el estado general del paciente, al médico le parece que la probabilidad de que suceda la enfermedad E1 es el triple de la probabilidad de que suceda cada una de las otras dos enfermedades. Sin embargo, ordena un examen de sangre el que se sabe resulta positivo en el 10% de los casos cuando E1 es la causa de la dolencia, en el 90% de los casos cuando la causa de la dolencia es E2 y en el 60% de los casos cuando la causa de la dolencia es E3. Si el resultado del análisis fue positivo ¿cuál es la probabilidad final de cada enfermedad? A la luz de l os resultados, ¿se puede afirmar que la probabilidad de que suceda la enfermedad E 1 es el triple de la probabilidad de que suceda cada una de las otras dos enfermedades? 21. Al contestar una pregunta de “opción múltiple” y con 5 distractores (posibles respuestas) de los cuales solo uno es la respuesta correcta, puede ocurrir que la persona que responda correctamente conozca la respuesta o responda al azar. La probabilidad que conozca la respuesta es 0.6 y que recurra al azar, 0.4. Si un estudiante marcó correctamente la respuesta, ¿cuál es la probabilidad de que conozca la respuesta?

Probabilidades

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