04. PROBABILIDADES SUCESOS Y ESPACIO MUESTRAL Sucesos. Sucesos. Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades. probabilidades. Suceso Suceso Element Elemental, al, hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar presentar.. Suceso Compuesto, Compuesto, es un subconjunto de sucesos elementales.
Un suc suces esoo pue! pue!ee esta esta"" cont conten en#! #!oo en ot"o ot"o,, entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Dos suceso esos pue! ue!en se" se" #$uales, en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Inte Inte"s "sec ecc# c#%n %n !e suce suceso sos, s, es es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se interceptan. La probabilidad será igual a la probabilidad probabilidad de los elemento elementoss comunes.
Un# Un#%n !e !os !os o m&s m&s suc suces esos os,, la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección
Suce Suceso soss #nc #ncoompat mpat#' #'lles, es, la probabilidad probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (a que su intersección es el conjunto vacío por lo tanto no ha que restarle nada!.
Suce Suceso soss comp compllemen ementa ta"# "#os os,, la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A! es igual a " # $(A!
Un#% Un#%n n !e suce suceso soss comp comple leme ment nta" a"#o #os, s, la la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a ".
Un suceso pue!e esta" conten#!o en ot"o, las posibles soluciones del primer suceso tambi%n lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suas propias.
"
Dos sucesos pue!en se" #$uales, esto #$uales, esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro viceversa. Un#%n !e !os o m&s sucesos, sucesos, la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen. Inte"secc#%n Inte"secc#%n !e sucesos, es sucesos, es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se interceptan. Sucesos #ncompat#'les, son #ncompat#'les, son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo a que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío!. Sucesos complementa"#os. complementa"#os. &on aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro. 'isten dos tipos de fenómenos) *eterministas, que son aquellos cuos resultados se pueden predecir de antemano, estocásticos o Aleatorios, que son los que dependen del a+ar (no se pueden predecir!. &e llama prueba al proceso mediante el cual se obtiene un resultado. se llama eperimento aleatorio a todo fenómeno aleatorio. &e llama suceso aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral. &e llama suceso elemental a un suceso unitario. &e llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos, se representa por Ω . &e llama suceso imposible al que no se verificará nunca, se representa por ∅ . &e llama suceso seguro al que se verificará siempre, se representa por '. &e dice que un subconjunto A ∈ Ω se ha reali+ado o se ha verificado cuando el resultado de la prueba coincide con alg-n componente del subconjunto A. &e dice que un suceso A implica a otro cuando siempre que se verifica A, se verifica ) A ⊆ . *iremos que dos sucesos son iguales cuando A ⊆ ⊆ A. (l$e'"a !e Boole ∪
Ω × Ω → → Ω
( A
B
,
)
→
A
∪
B
∩
Ω × Ω → → Ω
( A
,
B
)
→
A ∩ B
C
Ω → → Ω A
→
A ∪ es el suceso que se verifica si sólo si se verifica uno de los dos. A ∩ es el suceso que se verifica cuando se verifican los dos a la ve+. A
A
C
C
, complementario de A, es el suceso que se verifica cuando no se verifica
A.
/
P"op#e!a!es. 0omo las definiciones de unión, intersección complementación de sucesos son id%nticas a las de los conjuntos, estas operaciones para sucesos cumplen las mismas propiedades que para los conjuntos. # 0onmutativa) A ∪ 1 ∪ A A∩ 1 ∩ A # Asociativa) A ∪ ( ∪ 0! 1 (A ∪ ! ∪ 0 A ∩ ( ∩ 0! 1 (A ∩ ! ∩ 0 # 2dempotente) A ∪ A 1 A A∩ A 1 A # &implificación) A ∪ (A ∪ ! 1 A ∪ A ∩ (A ∩ ! 1 A ∩ # *istributiva) A ∪ ( ∩ 0! 1 (A ∪ ! ∩ (A ∪ 0! A ∩ ( ∪ 0! 1 (A ∩ ! ∪ (A ∩ 0! # 'istencia de elemento neutro) A ∪ ∅ 1 A A∩ ' 1 A # Absorción) A∪ ' 1 ' A ∩ ∅ 1 ∅ # 0omplementación) ' 1 ∅ ∅ C 1 ' # 2nvolución) (A ! 1 A # Lees de 3organ) (A ∪ ! 1 A ∩ (A ∩ ! 1 A ∪ C
C
C
C
C
C
C
C
C
4n conjunto dotado con dos lees de composición (operaciones! que cumple la conmutatividad, distributividad, eistencia de elemento neutro eistencia de complementario, se llama álgebra de oole. Así pues, ( Ω 5 ∪ , ∩ ! es un álgebra de oole. *os sucesos se dicen incompatibles si A ∩ 1 ∅ . 4n sistema completo de sucesos son n sucesos A , A , ......., A que verifican las dos siguientes condiciones A ∪ A ∪ ...... ∪ A 1 ' A ∩ A 1 ∅ , ∀ i, j 1 ", /, ...., n, para i ≠ j. "
"
/
n
n
/
i
j
Suceso aleato"#o. 'l espacio muestral del eperimento que consiste en lan+ar un dado cuas caras están numeradas del " al 6, ' 1 (", /, 7, 8, 9, 6!!. 0onsideremos ahora algunos subconjuntos de ', &alir par &alir impar &alir m-ltiplo de 7
A 1 (/, 8, 6! 1 (", 7, 9! 0 1 (7, 6!
A todos estos subconjuntos de ' se les llama sucesos 'jemplo, *eterminar el espacio muestral el espacio de sucesos del eperimento aleatorio que consiste en lan+ar una moneda anotar el resultado de la cara superior. Espac#o muest"al) ' 1 (0, &! 'spacio de sucesos & 1 (:, (0 !, (&!, (0,&!!
7
'jemplo, 0onsideremos el eperimento aleatorio que consiste en lan+ar un dado de quinielas anotar el símbolo que aparece en la cara superior. ;allar el espacio muestral el espacio de sucesos. 'spacio muestral) ' 1 (", &, /! 'spacio de sucesos & 1 (:, ("!, (& !, (/!, (",&!, (",/!, (/,&!, (",&,/!! E)emplo, 'n el eperimento que consiste en etraer una carta de una baraja espa
0uándo diremos que se ha reali+ado el suceso A? *ecimos que se ha reali+ado el Suceso A, si al etraer una carta obtenemos cualquiera de las cuatro sotas, o de los cuatro caballos o de los cuatro rees. &i la carta etraída no es ninguna de %stas, decimos que el suceso A no se ha reali+ado. &ucesos elementales. &e llama sucesos elementales a los sucesos formados por un solo punto muestral5 es decir, por un solo resultado del eperimento aleatorio &ucesos compuestos. &e llama sucesos compuestos, a los sucesos formados por dos o más puntos mu%strales5 es decir, por mas de un resultado del eperimento &uceso cierto. &e llama suceso cierto, o suceso seguro, al que siempre se reali+a. 's evidente que el suceso cierto, estará formado por todos los resultados posibles del eperimento5 es decir, coincide con el espacio muestral por eso lo representaremos tambi%n por la letra '. &uceso imposible. &e llama suceso imposible, se designa por un :, a un suceso que no se reali+a nunca. @ecu%rdese que cuando se formaba el espacio de sucesos &, de un eperimento aleatorio, aparecería siempre el suceso :, ese es precisamente el suceso imposible. Sucesos Complementa"#os. 0onsideremos el espacio muestral asociado al lan+amiento del dado, ' 1 (", /, 7, 8, 9, 6!, los siguientes sucesos A 1=salir n-mero impar= 1 (", 7, 9!, 1 =salir n-mero par= 1 (/, 8, 6! Los sucesos A son complementarios, a que si se reali+a A no se reali+a si se reali+a no se reali+a A. *ado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos &, se llama suceso cont"a"#o del suceso A a un suceso que se reali+a cuando no se reali+a A, recíprocamente. Ope"ac#ones con Sucesos
8
4nión de sucesos. 0onsideremos, en el eperimento aleatorio el lan+amiento del dado, cuo espacio muestral es ' 1 (", /, 7, 8, 9, 6!, de los siguientes sucesos A 1=salir n-mero par= 1 (/, 8, 6! 1=salir n-mero primo= 1 (/, 7, 9! 0 1=salir n-mero par o numero primo=. 'ste suceso es 0 1 (/, 7, 8, 9, 6!. se llama suceso unión de A . (observe que la unión se relaciona con el operador lógico B ó ∨ !. *ados dos sucesos A de un mismo eperimento aleatorio, llamamos suceso un#%n de A al suceso que se reali+a cuando se reali+a A o se representa por AUB 2ntersección de sucesos. &ucesos incompatibles . Cons#!e"emos los sucesos A * B A 1=salir n-mero par= 1 (/, 8, 6! 1=salir n-mero primo= 1 (/, 7, 9! * 1=salir n-mero par primo=. 'ste suceso es) * 1 (/! se llama suceso de #nte"secc#%n de A . A+B. *ados dos sucesos A de un mismo eperimento aleatorio, llamaremos suceso de intersección de A al suceso que se reali+a cuando se reali+an simultáneamente los sucesos A . 'l suceso A + esta formado por los puntos muestrales comunes a los sucesos A . Bbserve que la intersección tiene mucha relación con el operador lógico #C. Sucesos Incompat#'les. 'n los ejemplos anteriores hemos visto que en algunas ocasiones la intersección de dos sucesos es el suceso imposible. 0uando esto ocurre, es decir, cuando es imposible que dos sucesos se realicen simultáneamente. 's decir, datos dos sucesos A de un mismo eperimento aleatorio, se tiene que, &i AD 1 :, entonces A son incompatibles. Me!#!a !e P"o'a'#l#!a!. &i & es un espacio muestral, A es evento, A ⊆ & definimos una medida de probabilidad $(A! como un n-mero que asignamos al evento A. 'ste n-mero indica la probabilidad de que el evento A ocurra. &ea & un espacio muestral, A un evento en & $ una medida de probabilidad. Lo siguientes aiomas establecen las propiedades fundamentales de una medida de probabilidad) A#oma -. $ara cualquier evento A ⊆ &, $(A! ≥ E. A#oma . $(&! 1 ". A#oma /. $ara cualquier secuencia infinita de conjuntos disjuntos, A ", A/, F , donde ∞ Ai ⊆ &, i 1 ", /,...., tenemos i ="
$ A i
∞ $( A i ! = ∑ i ="
9
Ahora usaremos los aiomas de probabilidad para obtener resultados reglas que nos audarán a entender usar la medida de probabilidad. Algunos de los resultados nos pueden parecer obvios, sin embargo, el que se puedan demostrar a partir de los aiomas nos da una indicación de su consistencia de lo poderosos que resultan ser. Teo"ema. $(φ! 1 E. $rueba. 0onsidera la secuencia infinita A ", A/, F, donde cada A i 1 φ. Genemos que φ∪φ1φ , φ∪φ 1 φ ∪ φ = φ i ="
Teo"ema. $ara cualquier secuencia finita de conjuntos disuntos, A", A/,F, An
n tenemos i="
$ A i =
n
∑ $ (A ! i
i ="
Teo"ema. $ara cualquier evento A) $(A c!1"#$(A!. Teo"ema. $ara cualquier evento A) E ≤ $(A! ≤ ". $rueba. &abemos que $(A! ≥ E. &i $(A! H ", entonces del Georema 7, tenemos que $(A c ! I E, lo que contradice el Aioma ". $or lo tanto, debemos tener que $(A! ≤ ". Teo"ema. &i A⊆ entonces $(A!≤$(!.
Teo"ema. $ara dos eventos cualquiera A, tenemos $(A ∪!1$(A!J$(!#$(AD! $rueba. A∪1(ADc!∪(AD!∪(AcD!, por lo tanto $(A ∪! 1 $(ADc! + $(AD! + $(AcD!. Gambi%n vemos que $(A! 1 $(AD c! + $(AD! que $(! 1 $(DA c! + $(AD!
6
A#om&t#ca !el Espac#o !e p"o'a'#l#!a!es. S#$ma Al$e'"a. &i ℘ representa la colección de todos los suceso Ω el conjunto fundamental de probabilidad, se tiene que $ara todo suceso A de los que constituen ℘ , entonces el complementario de A es tambi%n elemento de ℘ ) A ∈℘ ⇒ A c ∈℘ &i A",...,An son una sucesión numerable de sucesos en ℘ , tambi%n es A ∈℘
#
∞
# #
n ="
n
φ ∈℘
0uando se cumplen todas las proposiciones anteriores estamos frente a un &igma K Anillo o una &igma K Algebra. Teo"ema) &i A",...,An es cualquier sucesión finita de sucesos en
℘,
entonces,
n
A k k =1
∈℘
Teo"ema) 'l suceso seguro Ω siempre pertenece a ℘ Teo"ema) &i A",...,An es una sucesión numerable cualquiera de sucesos de ℘ , tambi%n,
∞
A k k =1
∈℘
*e acuerdo con lo anterior, &i A ",...,An es una sucesión finita de sucesos cualesquiera, entonces todas sus intersecciones todas pertenecen a ℘ P"o'a'#l#!a!1 $ es una función que se asigna a cada suceso A en ℘ un n-mero $(A!, al cual cumple) $( A! ≥ E $ (Ω ! = " ∞ ∞ $ ∑ A n = ∑ $(A n ! n =" n =" este -ltimo caso los conjuntos deben ser disjuntos. Teo"ema) P(φ) = 0 Teo"ema) &i A",...,An son n sucesos incompatibles cualesquiera, entonces, se tiene, $( A"
+ ⋅ ⋅ ⋅A n ! = $(A" ! + ⋅ ⋅ ⋅ + $(A n !
Teo"ema) $(A !
$ara dos sucesos cualesquiera A se = $(A! + $(! − $(A ! , esto es, $(A ! ≤ $(A! + $(!
cumple
'ste teorema se puede generali+ar para n sucesos
≤ $(!
Teo"ema) 0uando se tiene que A ⊂ . , resulta que
$(A!
Teo"ema) $ara un suceso cualquiera A, se cumple
$( A! ≤ " . 4sar que P(Ω) = 1
Teo"ema) $ara cualquier suceso M, $(M c!1"#$(M!, $(M!1"#$(Mc!. La probabilidad mide la maor o menor posibilidad de que se d% un determinado resultado (suceso! cuando se reali+a un eperimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre E " (o epresados en tanto por ciento, entre EN "EEN!. 'l valor 0ero corresponde al suceso imposible. 'l valor 4no corresponde al suceso seguro. 'l resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero uno) que será tanto maor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. Me!#!a !e P"o'a'#l#!a!. 4no de los m%todos más utili+ados es aplicando la @egla de Laplace, que define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables casos posibles. De2#n#c#%n. La probabilidad de un suceso A se calcula como el n-mero de casos favorables al suceso A, partido por el n-mero de casos posibles del eperimento aleatorio)
p(A!
casos favorables =
casos posibles P3A 5 Casos 2a6o"a'les 7 Casos pos#'les
$ara poder aplicar la @egla de Laplace el eperimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos) # 'l n-mero de resultados posibles (sucesos! tiene que ser finito. &i hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla casos favorables O casos posibles el cociente siempre sería cero. # Godos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. &i al lan+ar un dado, algunas caras tuvieran maor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. Las 8"ecuenc#as. 0uando se reali+a un eperimento aleatorio un n-mero mu elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empie+an a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades. 'n
P
este modelo a no será necesario que el n-mero de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad. La idea intuitiva de probabilidad se basa en la llamada le de los grandes n-meros, enunciada por ernoulli) QLa frecuencia relativa de un suceso tiende a estabili+arse en torno a un n-mero, a medida que el n-mero de pruebas del eperimento crece indefinidamenteR. 's decir, si A es un suceso, podríamos hablar del
Lím fr (A! n →∞
= Lím n →∞
nA n
'ste n-mero al que la frecuencia relativa se acerca es lo que llamaremos la probabilidad del suceso, se representará como $(A!. La probabilidad es una le que asigna a cada suceso A ∈ Ω un n-mero real p 1 Ω → ℜ que verifica) A → $(A! # $(A! ≥ E , ∀ A ∈ Ω $('! 1 " # si A son sucesos incompatibles, $(A ∪ ! 1 $(A! J $(! 0omo consecuencia de estos tres aiomas, se verifican además las siguientes propiedades) # $(A ! 1 "K $(A! # $( ∅ ! 1 E # si A ⊆ , ⇒ $(A! ≤ $(! # $(A! ≤ ", ∀ A∈ Ω # si A , A / , ...... , A son incompatibles dos a dos, entonces, $(A ∪ A / ∪ ..... ∪ A ! 1 $(A ! J $(A ! J ..... J $(A ! # si A, ∈ Ω son dos sucesos cualesquiera, entonces, $(A ∪ ! 1 $(A! J $(! K $(A ∩ ! C
n
"
n
"
"
/
n
La p"o'a'#l#!a! !e un suceso A es el cociente entre el n-mero de casos favorables al suceso el n-mero de casos posibles. E)emplos, &e considera un eperimento aleatorio que consiste en lan+ar un dado se pide la probabilidad de obtener a! S-mero impar c! 3-ltiplo de 7
b! S-mero primo d! 3-ltiplo de 9
'spacio muestral del eperimento ' 1 ( ",/,7,8,9,6! Luego el n-mero de casos posibles es 6
T
$robabilidades a! A1 = obtener impar= 1 (", 7, 9! U $(A! 1 7O6 b! 1 = obtener n-mero primo= 1 (/, 7, 9! U $(! 1 7O6 c! 01 = obtener m-ltiplo de 7= 1 (7, 6! U $(! 1 /O6 d! * 1=obtener m-ltiplo de 9 = 1 (9! U $(*!1 "O6 &e reali+a un eperimento aleatorio que consiste en la etracción de una carta de una baraja espa
"E
A la estructura ( Ω, $(Ω!, p! se le denomina espac#o !e p"o'a'#l#!a!. E)emplo, $ara el eperimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es Ω X1 Z", /, 7, 8, 9, 6[. 'n este espacio el conjunto de sucesos es $( Ω! 1 Z∅, Z"[, Z/[, ... Z",/[, Z",7[, ...Z",/,7,8,9,6[[X $ara establecer una probabilidad ha que asignar un n-mero a todos esos sucesos. &in embargo si se ha asignado a los sucesos elementales $(Z"[!1 $(Z/[!1 ...1 $(Z6[!1 "O6, por la propiedad ii!, p.e. la probabilidad del suceso Z", 7[ es $(Z",7[!1 $(Z"[!J $(Z7[!1/O6. P"op#e!a!es !e la p"o'a'#l#!a!. *emostraciones "! $(Ac! 1 " # $(A! Ac representa el suceso complementa"#o de A, es decir el formado por todos los resultados que no están en A. /! A"⊂ A/ ⇒ $(A"! ≤ X$(A/! 7! $(∅! 1 E 8! $(A! ≤ " 9! $(A ∪ ! 1 $(A! J $(! # $(A ∩ ! (@egla general de la adicción! E)emplo, 4n "9N de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un "EN son obesos un 7N son hipertensos obesos. >\u% probabilidad ha de que elegido un paciente al a+ar sea obeso o hipertenso? A 1 Zobeso[ 1 Zhipertenso[ A ∩ 1 Zhipertenso obeso[ A ∪ 1 Zobeso o hipertenso[ $(A! 1 E,"E5 $(! 1 E,"95 $(A ∩ ! 1 E,E7 $(A ∪ ! 1 E,"E J E,"9 # E,E7 1 E,// A#omas !e P"o'a'#l#!a!es. &i A son incompatibles, $(A4! 1 $(A! J $(! $robabilidad del suceso contrario, $(! 1 " # $(A $robabilidad del suceso imposible, $(:! 1 E $robabilidad de todo el espacio muestral $('!1" Depen!enc#a 2unc#onal e #n!epen!enc#a. La relación entre las variables M e , parte del objetivo de este capítulo en general de un n-mero importante de los estudios de las 0iencias &ociales, puede ser más o menos acentuada, pudiendo llegar %sta desde la dependencia total o dependencia funcional hasta la independencia. Depen!enc#a 2unc#onal. La dependencia funcional, que nos refleja cualquier fórmula matemática o física, es a la que estamos normalmente más habituados.
""
In!epen!enc#a. ;emos visto que la dependencia funcional implica una estructura mu particular de la tabla bidimensional, en la que en todas las filas (o en todas las columnas! eiste un -nico elemento no nulo. 'iste un concepto que de alg-n modo es el opuesto a la dependencia funcional, que es el de independencia. &e puede epresar de muchas maneras el concepto de independencia, va a implicar de nuevo una estructura mu particular de la tabla bidimensional, en el que todas las filas todas las columnas van a ser proporcionales entre sí. $ara enunciar lo que es la independencia de dos variables vamos a basarnos en el siguiente ra+onamiento) &i la variable Y es independiente de M, lo lógico es que la distribución de frecuencias relativas condicionadas O i sea la misma que la de O M / ,..., O " . 'sto se puede escribir) $ara todo j1",F,p, se tiene que f j" = = f j^ = f ] j $ues bien, diremos que la variable es #n!epen!#ente de M si la relación es verificada. ;a otras formas equivalentes de enunciar la independencia) 0ada una de las siguientes relaciones epresa por si sola la condición de independencia. 0ada una de las siguientes relaciones epresa por sí sola la condición de independencia entre las variables M e
n ij
n ] j
n i] f ij
=
=
n ]]
f i] ] f ] j
n " j n "]
n / j =
n /] n ij
n ] j =
=
n ]]
n i] ] n ] j =
n ]]
Bbs%rvese que la relación implica que la independencia es siempre recíproca, es decir, si M es independiente de , entonces es independiente de M. Me!#as * 6a"#an9as ma"$#nales * con!#c#ona!as. Asociados a las distribuciones marginales condicionadas definidas en las secciones anteriores, podemos definir algunos estadísticos de tendencia central o dispersión, generali+ando los que vimos en los capítulos dedicados al análisis de una variable. Las me!#as ma"$#nales de la variable M e se definen del siguiente modo)
"/
=
^
"
^
n i] i = ∑ f i] i ∑ n ]] i="
=
i ="
" p
p
]] j="
j="
n ] j j = ∑ f ]i j ∑ n
Las 6a"#an9as ma"$#nales respectivas son
/
s=
"
^
^
n i] ( i − ! = ∑ f i] ( i − ! ∑ n /
]] i="
i ="
/
/
s=
"
p
p
n ] j ( j − ! = ∑ f ] j ( j − ! ∑ n ]] j="
/
/
j="
$ara cada una de las p variables condicionadas X O Y i Y O x j definimos sus respectivas me!#a con!#c#ona!a 6a"#an9a con!#c#ona!a mediante,
" ^ ^ j j = ∑ n iji = ∑ f i i n j] i=" i=" "
^
∑
" p p j i = ∑ nij j = ∑ f i j ni] j=" j=" ^
∑
"
^
p
" p
∑
s / j = n ij ( i − j !/ = f ji ( i − j ! / = nij i/ − j/ n j] i=" n j] i=" i=" " p
∑
∑
∑
s / j = n ij (i − i !/ = f ji ( j − i !/ = n ij j/ − j/ n i] j=" n i] j=" j=" 's interesante observar que podemos considerar que las n ]] observaciones de la variable M han sido agrupadas en subgrupos, cada uno de ellos caracteri+ados por la propiedad de que 1 j para alg-n j1",F,p. Las medias varian+as marginales de las variables M se pueden escribir de modo equivalente como)
"7
p
= ∑ f ] j j = j=" ^
= ∑ f i] i = i ="
p
"
p
∑ n] j j
n ]] j=" "
^
∑n
n ]] i="
i] i
p
s / = ∑ f ] js / j + ∑ f ] j ( j − ! / j="
j="
^
^
s = ∑ f s + ∑ f i] ( j − ! /
/ i] j
i ="
/
i ="
PROBABILIDAD CO:DICIO:AL 'n muchas ocasiones, la verificación o no de un suceso se estudia en función de otro suceso de cua verificación depende o del cual está condicionado. &e dice probabilidad condicionada del suceso respecto del suceso A, se representa $(A ∩ ! $( A O ! = $( A! ≠ E $( A !
E)emplo, se tira un dado sabemos que la probabilidad de que salga un / es "O6. &i incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un n-mero par! entonces la probabilidad de que el resultado sea el / a no es "O6. $ (OA! es la probabilidad de que salga el n-mero / (suceso ! condicionada a que haa salido un n-mero par (suceso A!. $(A ∩ !. es la probabilidad de que salga el dos n-mero par. $(A! es la probabilidad a priori de que salga un n-mero par. $or tanto, $(A ∩ !.! 1 "O6 $ (A! 1 _, entonces, $ (OA! 1 ("O6! O ("O/! 1 "O7. Luego, la probabilidad de que salga el n-mero /, si a sabemos que ha salido un n-mero par, es de "O7 (maor que su probabilidad a priori de "O6!. E)emplo, 'n un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso ! es el E,"E. Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A! es el E,/9 la probabilidad de que una persona sufra a la ve+ problemas de obesidad coronarios (suceso intersección de A ! es del E,E9. 0alcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada $(OA!!. $(A ∩ ! 1 E,E9, o sea, $ (A! 1 E,/9, entonces, $ (OA! 1 E,E9 O E,/9 1 E,/E E)emplo, 4na mujer es portadora de la enfermedad de *uchenne >0uál es la probabilidad de que su próimo hijo tenga la enfermedad?
"8
&eg-n las lees de 3endel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (M! un padre normal (M! son M, , MM, M tienen la misma probabilidad. 'l espacio muestral es Ω 1 ZM, , MM, M[ el suceso A1Zhijo enfermo[ corresponde al genotipo , por tanto, seg-n la definición clásica de probabilidad $(A! 1 "O8 1 E,/9 La mujer tiene el hijo es varón >qu% probabilidad ha de que tenga la enfermedad? &e define el suceso 1 Zser varón[ 1 Z, M[ la probabilidad pedida es $(AO! aplicando la definición anterior $(! 1 E,95 A ∩ 1 Z[5 $(A ∩! 1 E,/95 $(AO! 1 E,/9OE,9 1 E,9 &i sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es . $or lo tanto se puede calcular $(AO! aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral $(AO! 1 "O/ 1 E,9 E)emplo, &e sabe que el 9EN de la población fuma que el "EN fuma es hipertensa. >0uál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso? A 1 Zser hipertenso[ 1 Zser fumador[ A ∩ 1 Zser hipertenso fumador[ $(AO! 1 E,"EOE,9E 1 E,/E Bbs%rvese que los coeficientes falso#positivo falso#negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades condicionadas. La fórmula anterior se puede poner $(A ∩ ! 1 $(! $(AO! 1 $(A! $(OA! llamada "e$la !e la mult#pl#cac#%n , que se puede generali+ar a más sucesos $(A " ∩ A/ ∩ A7! 1 $((A" ∩ A/! ∩ A7! 1 $(A" ∩ A/! $(A7OA" ∩ A/! 1 $(A"! $(A/OA"! $(A7OA" ∩ A/! Sucesos #n!epen!#entes. *os sucesos son independientes si sólo si $(A ∩ ! 1 $(A! $(!. &i dos sucesos son independientes $ (A ∩ ! $ (A ! ⋅ $ ( ! = = $( A ! $ ( A O ! = $ ( !
$( !
del mismo modo $(OA! 1 $(!. 'sta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia algunos tetos la dan como definición. ;a que notar, sin embargo, que ambas definiciones no son estrictamente equivalentes. E)emplo, $ara un hijo de una mujer portadora de *uchenne, el seo la enfermedad >son independientes? &eg-n vimos en el 'jemplo el espacio muestral es Ω 1 ZM, , MM, M[ *efinimos los sucesos A 1 Zvarón[ 1 Z, M[5 1 Zenfermo[ 1 Z[
"9
A ∩ 1 Z[ por lo tanto $(A! 1 E,95 $(! 1 E,/95 $(A ∩ ! 1 E,/9 ≠ $(A! $(! SB son independientes. *os sucesos A, ∈ Ω se dicen #n!epen!#entes si $(! 1 $(OA!. 's decir, se cumplirá que $(A!]$(! 1 $(A ∩ !. &i A son independientes, entonces A c son independientes, A c son independientes, A c c son independientes. P"o'a'#l#!a! Compuesta. La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades! se deriva de la probabilidad condicionada. La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A ! es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso condicionada al cumplimiento del suceso A. P( A ∩ B) = P(B / A ) ∗ P( A ) 'n general $(A " ∩ A/ ∩ A7 ...! 1 $(A"! $(A/OA"! $(A7OA" ∩ A/! ... llamado P"#nc#p#o !e las p"o'a'#l#!a!es compuesta s especialmente -til para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones. E)emplo, &e sabe por estudios previos que el E,"N de la población tiene problemas vasculares. 4n estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el /EN de ellos son placas de ateroma. &i el "EN de los individuos con placas de ateroma está epuesto a muerte s-bita por desprendimiento de trombos >qu% probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar epuesto a muerte s-bita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma? A" 1 Zproblemas vasculares[5 A / 1 Zplacas de ateroma[5 A 7 1 Zepuesto a muerte s-bita por ....[ $(A "! 1 E,EE"5 $(A/OA"! 1 E,/E5 $(A 7OA" ∩ A/! 1 E," $(A" ∩ A/ ∩ A7! 1 E,EE" E,/E E," 1 E,EEEEE/ E)emplo, 4na urna contiene "E bolas, de las cuales 7 son rojas, 9 verdes / a+ules. &e etraen al a+ar 7 bolas. 0alcular la probabilidad de que la primera sea a+ul, las otras dos verdes. *efinimos A" 1 Zla "` bola es a+ul[5 A / 1 Zla /` bola es verde[5 A 7 1 Zla 7` bola es verde[ $(A"! 1 /O"E aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que ha "E bolas / son verdes. $(A /OA"! 1 9OT5 si la primera bola etraída es a+ul, en la urna quedan T bolas, 9 de ellas verdes. $(A 7OA" ∩ A/! 1 8OP5 si la primera bola etraída es a+ul la segunda verde en la urna quedan P bolas, 8 de ellas verdes. $(A" ∩ A/ ∩ A7! 1 /O"E 9OT 8OP 1 "O"P PROBABILIDAD TOTAL
"6
&i A , A , ......., A son un sistema completo de sucesos tal que $(A ! ≠ E, ∀ i = ",....n , entonces la probabilidad de un suceso cualquiera es) $(! 1 $(A"!]$(OA"!J$(A/!]$(OA/!JFJ$(An!]$(OAn! /
"
n
i
E)emplo, 'studiamos el suceso A (porcentaje de varones maores de 8E a
n
∑i 1 P( A i ) ∗ P(B / A i ) =
's decir, la probabilidad de que ocurra el suceso (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente! es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve cuando hace buen tiempo! por la probabilidad de cada suceso A. $ara que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir que Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el "EEN!. E)emplo, 'n una urna ha papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas) a! Amarilla) probabilidad del 9EN, b! Verde) probabilidad del 7EN, c! @oja) probabilidad del /EN. &eg-n el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es) a! Amarilla) participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 8EN5 b! Verde) participas en otro sorteo con una
"
probabilidad de ganar del 6EN, o c! @oja) participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del PEN. 0on esta información, >qu% probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes? Las tres papeletas forman un sistema completo) sus probabilidades suman "EEN, luego, $ (! 1 (E,9E ] E,8E! J (E,7E ] E,6E! J (E,/E ] E,PE! 1 E,98 $or tanto, la probabilidad de ganar el sorteo es del 98N. P"o'a'#l#!a! Total. &ea A",..,An están incluidas en ', un sistema ehaustivo n
ecluente de sucesos. 'ntonces
∀. ⊂ ' → $ (.! = ∑ $ ( . O A i ! ⋅ $ ( A i ! , i ="
tal como se puede observar en la figura) &i A", A/, A7, A8 forma un sistema ehaustivo ecluente se sucesos, podemos calcular la probabilidad de B a partir de las cantidades $( ∩ A i ! , o lo que es lo mismo, $( O A i ! ⋅ $(A i !
n n n n $(.! = $(. ∩ '! = $ . ∩ A = $ (.∩ A ! = ∑ $(∩A i ! = ∑ $(. O A i ! ⋅ $(A i ! i=" i i=" i i=" i ="
E)emplo, Van a cambiar a tu jefe se barajan diversos candidatos) a! Abe, con una probabilidad del 6EN, b! Ver, con una probabilidad del 7EN, c! *iego, con una probabilidad del "EN. 'n función de quien sea tu próimo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente) a! &i sale Abe) la probabilidad de que te suban el sueldo es del 9N, b! &i sale Ver) la probabilidad de que te suban el sueldo es del /EN, o c! &i sale *iego) la probabilidad de que te suban el sueldo es del 6EN. 'n definitiva, >cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?
"P
Los tres candidatos forman un sistema completo $ (! 1 (E,6E ] E,E9! J (E,7E ] E,/E! J (E,"E ] E,6E! 1 E,"9 $or tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del "9N. Le*es !e Mo"$an. Las lees de 3organ permiten relacionar la complementariedad entre los conjuntos las operaciones de 2ntersección 4nión, ( A ∪ ) 0 = A 0 ∩ 0 ( A ∩ ) 0 = A 0 ∪ 0
o o
( A ∪ ) = A ∩ ( A ∩ ) = A ∪
A estas lees se les puede aplicar las normas que hemos mencionado de probabilidades se obtendrán resultados mu interesantes TEOREMA DE BAYES Teo"ema !e Ba*es. 'l Georema de aes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Georema de la probabilidad total . &i A , A , ......., A son un sistema completo de sucesos tal que $(A ! ≠ E, ∀ i = ",....n , entonces para un suceso cualquiera se verifica) "
/
n
i
$ ( A i O .! =
$( A i ! ∗ $ ( . O A i ! n
∑i " $ ( A i ! ∗ $( . O A i !
,
=
esto para cualquier i 1 ", ...., n. Teo"ema de la probabilidad total) a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo! deducimos la probabilidad del suceso (que ocurra un accidente!. Georema de aes) a partir de que ha ocurrido el suceso (ha ocurrido un accidente! deducimos las probabilidades del suceso A (>estaba lloviendo o hacía buen tiempo?!. E)emplo, 'l parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana) a! \ue llueva) probabilidad del 9EN, b! \ue nieve) probabilidad del 7EN, c! \ue haa niebla) probabilidad del /EN. &eg-n estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente, a! &i llueve) probabilidad de accidente del "EN, b! &i nieva) probabilidad de accidente del /EN, o c! &i ha niebla) probabilidad de accidente del 9N. @esulta que efectivamente ocurre un accidente como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hi+o (nevó, llovió o hubo niebla!. 'l teorema de aes nos permite calcular estas probabilidades) Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan probabilidades a priori (lluvia con el 6EN, nieve con el 7EN niebla con el "EN!.
"T
4na ve+ que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian) son probabilidades condicionadas $ (AO!, que se denominan probabilidades a posteriori. a! $robabilidad de que estuviera lloviendo) E.9E ∗ E./E $(A i O ! = = E.L"8 (E.9E ∗ E./E! + (E.7E ∗ E."E! + (E./E ∗ E.E9! La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori! es del ",8N. b! $robabilidad de que estuviera nevando) E.7E ∗ E."E = E./"8 $(A i O ! = (E.9E ∗ E./E! + (E.7E ∗ E."E! + (E./E ∗ E.E9! La probabilidad de que estuviera nevando es del /",8N. c! $robabilidad de que hubiera niebla) E./E ∗ E.E9 $(A i O ! = = E.EL" (E.9E ∗ E./E! + (E.7E ∗ E."E! + (E./E ∗ E.E9! La probabilidad de que hubiera niebla es del ,"N. &ea A",..,An est%n incluidos en ', un sistema ehaustivo ecluente de sucesos. &ea incluido en ', un suceso del que conocemos todas las cantidades $(OA i!, con i1", F,n, a las que denominamos 6e"os#m#l#tu!es, entonces se verifica, $ ( A j O .! =
p( . O A j ! ⋅ $ ( A j ! n
∑ $(. O A
i
! ⋅ $( A i !
i ="
*emostrando este teorema tenemos que es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en t%rminos de la intersección, del teorema de la probabilidad total, $ ( A j O .! =
$ (A j ∩ .! $ ( .!
=
p( . O A j ! ⋅ $ (A j ! n
∑ $(. O A i ! ⋅ $ (A i ! i ="
I:DEPE:DE:CIA DE SUCESOS *e acuerdo con lo visto anteriormente, tenemos que dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro. 'jemplo, el suceso estatura de los alumnos de una clase el color del pelo son
/E
independientes) el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa. $ara que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones #
$(OA! 1 $(!. 'sto es, que la probabilidad de que se de el suceso , condicionada a que previamente se haa dado el suceso A, es eactamente igual a la probabilidad de . E)emplo, la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso !, condicionada a que haga buen tiempo (suceso A!, es igual a la propia probabilidad del suceso .
-
$(AO! 1 $(A!. 'sto es, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haa dado el suceso , es eactamente igual a la probabilidad de A. E)emplo) la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A!, condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso !, es igual a la propia probabilidad del suceso A.
#
$(A ∩ ! 1 $(A! ] $(!. 'sto es, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A es eactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso . 'jemplo, la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A! salga cara al tirar una moneda (suceso !, es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso &i el suceso A es independiente del suceso , entonces el suceso tambi%n es independiente del suceso A.
E)emplo, &ean los dos sucesos) $(A! 1 la probabilidad de que haga buen tiempo es del E,8, $(! 1 la probabilidad de tener un accidente es del E,", $(A ∩ ! 1 la probabilidad de que haga buen tiempo tener un accidente es del E,EP Veamos si se cumple alguna de las condiciones se
∑
/"
&i
" n M → E cuando n →∞ ε es un n-mero positivo, entonces, ∑ i n i="
V
" n ∑ i n i="
$
→ E cuando n →∞ W o equivalentemente a
cuando n→∞ X W n converge 4na secuencia de variables aleatorias n converge en probabilidad o converge estocásticamente a una constante =a= si para cada n-mero positivo ε cuando n→∞ &imbólicamente) ∑n ( M i − '( M i ) ) $ → o 'l teorema enunciado anteriormente puede escribirse como i=" n cuando n→∞ 'l teorema anterior se le conoce como la =Le d%bil de los grandes n-meros=. &i es la media muestral de una muestra de tama
0onclusión) &i la muestra es grande eiste una alta probabilidad de que la media muestral est% cerca de la media poblacional µ. 'scogiendo un tama
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