ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA INGENIERIA ELECTRONICA Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse Nivel: Quinto “B” CAPITULO 5
Problemas Suplementarios VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO 5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas.
Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.
x P(X=x)
4 0.4 ( )
2 0.1 (
) (
3 0.2 )
( ) ( ( )
7 0.3 )
( ) (
)
( ) ( )
5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x. x
1 11/36
( )
2 9/36
(
)
3 7/36
(
4 5/36
) ( ( )
)
5 3/36
(
)
6 1/36
(
)
(
)
5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)
x f(x)
0 1/16
( )
1 7/16
(
)
2 5/16
(
)
(
3 2/16
)
(
)
4 1/16
(
5.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que lanza 3 veces. Sea x el número de caras que aparece. a) Encuentre la distribución de x. b) Encuentre E(x). x
1 1/64
2 9/64
( )
(
)
( )
( )
, se
3 27/64
( (
a)
)
(
) )
)
(
)
(
)
( ) ( ) 5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que
( )
y
( )
. La
moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.
( ) ( )
(
)
(
( )
( )
( ( )
( )
)
(
)
( )( )
(
)
+)
(* ( )
)
)
( )
(
( )
)
( )( )( )
( )( )( )( )
[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
+)
(*
( )
(
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
.
5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo. x F(x)
2 2/4
( ) ( ) ( )
(
)
3 2/8
(
)
4 2/16
(
)
5 4/32
(
)
5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse. ( ) ( )
x f(x)
( )
1 8/10
(
)
(
2 16/90
)
(
3 2/90
)
( ) 5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.
( ) ( ) x
( ) ( ) ( )
1 7/10
(
2 21/90
(
3 42/720
)
(
4 6/720
)
(
)
5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados. a) Encuentre la distribución de X b) Encuentre E(x)
a) x F(x)
3 0.1
4 0.1
5 0.2
Usando el diagrama de árbol se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 0.2
7 0.2
8 0.1
9 0.1
( ) b) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) 5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno. a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta. b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego? x
( ) ( )
0 491/500
(
25 5/500
50 3/500
(
)
100 1/500
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) 5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara? x f(x)
3 1/4
1 2/4
-a 1/4
Para que el juego sea justo E=0 (
)
(
) ( )
(
)
MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 5.65.- Encuentre la media , la varianza , y la desviación estándar distribución.
de cada
(a) x f(x)
2 1/4
3
8
1/2
1/4
( )
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( ) ( ) (
)
(
)( (
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
) (
( )
) (
)
( )
( ) ( ) )
√(
(b) x f(x)
-2 1/3
-1 1/2 ( )
7 1/6
(
)(
( )
)
(
( )
)( (
) )
( )( (
)
)
( ) (
)
(
)( (
)
(
(
)
)
)(
)
(
)(
)
(
( )
)
( )
( ) ( )
( ) √ 5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución: x
-1 0.3
( ( (
) )
0 0.1
1 0.1
)(
)
( )(
)
( )(
(
) (
)
( ) (
)
)
2 0.3
( )(
( ) (
)
)
3 0.2
( )(
( ) (
) )
( ) (
)
√ x
1 0.2
( )(
(
)
(
)
2 0.1
)
( )(
( ) (
)
3 0.3
)
( )(
( ) (
)
)
6 0.1
( )(
( ) (
)
)
7 0.3
( )(
( ) (
√ 5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución: x F(x)
1 0.4
3 0.1
4 0.2
5 0.3
)
)
( ) (
)
Encuentre la media , la varianza ( )
, y la desviación estándar de X. (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
)
(
(
)
)
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
√ √
5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:
a) y = 3x+2 b) y = x2 c) y = 2x
x
1 0.4
3 0.1
4 0.2
5 0.3
y
5 0.4
11 0.1
14 0.2
17 0.3
( )
( )(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
)(
)
( ) (
)
( ) (
)
(
) ( (
)
)
(
) (
)
2
=√
2=
27
= 5.2
b) y
1 0.4
9 0.1
( )
( )(
16 0.2
)
( )(
25 0.3
)
(
)(
)
( ) (
)
(
) (
(
)(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
)
(
)
)
(
) (
)
√ y
2 0.4
8 0.1
( )
( )(
16 0.2
)
( )(
32 0.3
)
(
)(
)
( ) (
)
(
) (
(
)(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
(
)
)
)
√ 5.69.- Sea x f(x)
una variable aleatoria con la siguiente distribución: -1 0.2
1 0.5
2 0.3
(
) (
)
Encuentre la media , la varianza ( )
(
y la desviación estándar
de X.
)(
)
)
( )(
)
( )(
( ) (
)
( (
) (
)
) ( )
( ) (
)
(
)
(
(
)
, ( )-
( )
(
( ) (
)
)
)
( ) ( )
( )
√
( ) 5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde
a)
( )
b)
( )
c)
( )
x
-1 0.2
1 0.5
2 0.3
y
1 0.2
1 0.5
16 0.3
( )
( )(
)
( )(
)
(
)(
)
( ) (
)
(
) (
( ) (
)
(
)
( ) (
(
)
)
)
√ a) y
1/3 0.2
( )
(
3 0.5
)(
)
9 0.3
( )(
)
( )(
)
( ) (
)
(
)
(
) (
)
(
( ) (
)
( ) (
)
)
√ b) y
1 0.2
( )
2 0.5
( )(
)
( )(
8 0.3
)
( )(
)
( ) (
)
(
)
( ) (
(
)
( ) (
)
( ) (
)
)
√ 5.71.- Encuentre la media , la varianza distribución de dos puntos donde x f(x)
a p
b q
, y la desviación estándar .
de la siguiente
( )
( )( )
( )
(
)
( ) (
) )
(
) (
)
(
) )
(
)
(
( )
)
(
(
)
(
( ) √
)( )
(
( ) ( )
)
)( ) (
)
(
(
(
(
( )( )
)
)
|
|√
5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias: a) b) c) d)
a) x F(x)
2 0.1
3 0.4 ( )
4 0.3 (
)
5 0.2
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
( (
( ) ( )
) ) (
)
( )
(
)
( ) ( )
√ √ b) Y G(Y)
1 0.1
2 0.5
3 0.4
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
) (
)
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
√ √ c) Tabla De Distribución Conjunta De X y Y x\y 2 3 4 5 G(y)
1 0.1 0 0 0 0.1
2 0 0.4 0.1 0 0.5
3 0 0 0.2 0.2 0.4
f(x) 0.1 0.4 0.3 0.2
Z h(z)
3 0.1
5 0.4
6 0.1
7 0.2
( )
(
)
(
)
(
)
(
8 0.2 )
(
)
( ) (
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
√ √ d) w h(w)
2 0.1
6 0.4 ( )
(
8 0.1 )
(
12 0.2
)
(
)
(
)
15 0.2
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
) (
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( ) ( ) √
( )
√ DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre
a)
( )
b)
(
( ) )
)
c)
( x\y 1 5
a)
) -4 1/8 ¼ 3/8
( )
2 1/4 1/8 5/8
( )(
)
7 1/8 1/8 1/4
( )(
1/2 1/2
)
( ) ( )
(
)(
)
( )(
)
( )(
)
( ) b)
(
)
)( )(
(
)
(
(
)
(
)
) )
( )( )( ( )( )(
) )
( )( )( ( )( )(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )(
( (
c)
(
)
)
( ) ( )
( )( )
( ) (
(
) (
( )(
)
( ) (
)
( ) (
)
)
)
( ) (
)
) )
(
)
5.75.- Considere la distribución conjunta de (a) ( )
( ), (b)
x\y 1 2 G(y)
(
) , (c)
-2 0.1 0.2 0.3
y
y (
,
-1 0.2 0.1 0.3
en la figura 5.23(b). Encuentre:
). 4 0 0.1 0.1
5 0.3 0 0.3
F(x) 0.6 0.4
a) ( )
∑
( )
(
( )
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
(
∑
)
(
( ) )
(
)
)
( ) ( )
(
)
( ) ( ) b)
(
)
( )(
)(
)
( )( )(
(
)
( )(
)(
,
)
( )( )(
) (
(c)
(
)
(
)( )
)
( )(
)(
)
( )(
)(
)
( (
)
)
∑
( ) ( (
( )
(
) (
( )
(
)
)
( ( ))
(
)
)
√ ∑
(
( )
) (
)
( ) (
)
( ) (
)
) ( )
(
( ) √ (
)
(
√
)
( ) (
)
( )
(
)
) (
(
( )
(
)
)
( ( )) ( )
( )
√
)
5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas: x
1 0.7
2 0.3
y
encuentre la distribución h de x e y y verifique que la x\y 1 2
-2 0.21 0.09 0.3
( )
( )(
5 0.35 0.15 0.5
)
( )(
8 0.14 0.06 0.2
)
0.7 0.3
-2 0.3 (
)
5 0.5
8 0.2
( ) ( )
(
)(
)
( )(
( )(
)(
)
)
( )(
)
( ) (
)
( )( (
)(
)
( )( )(
( )( )(
) )
( )( )(
( )( )(
) )
) (
)
(
)
(
)(
)
5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y) (b) Determine si X y Y son independientes (c) Encuentre la cov (X,Y). x\y 1 2 G(y)
2 0.06 0.14 3/8
3 0.15 0.35 5/8
4 0.09 0.21 1/4
f(x) 0.3 0.7
Fig. 5/24 (a)
(a) ( )
( )(
)
( )(
)
( ) ( ) ( )
( )( ( ) ( )
( )
( )
)
( )(
)
( )(
)
(
)
( )( )( ) ( )( )( ( )( )( ) (
)
( )( )(
)
( )( )(
)
( )( )(
) ( (
)
) (
(
)
)
( ) ( ) (
(
)(
)
)
5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre: a)
( )
( )
b) Determine x e y son independientes. c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable. x\y 0 1 2
a)
-2 0.05 0.1 0.03
( )
-1 0.05 0.05 0.12
( )(
)
0 0.1 0.05 0.07
( )(
)
1 0 0.1 0.06
( )(
2 0.05 0 0.03
3 0.05 0.05 0.04
)
( ) ( )
(
( )(
)( )
)
( )(
(
)(
)
( )(
)
( )(
)
( ) b) (0.3)(0.18) = 0.05 0.054 = 0.05
no son independientes
)
)
(0.30)(0.22) = 0.05 0.066 = 0.05 c) z
-2 0.05
-1 0.15
( )
(
)(
( )(
)
( )(
0 0.18
)
( )
1 0.17
)(
)
( )(
)
( )(
2 0.22
( )( )
3 0.11
4 0.08
)
( )(
)
( ) (
)
( ( ) (
(
) (
)
(
)
( ) ( ( ) ( )
) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
)
) ( )
(
)
( ) √
5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre. a) Determine la función conjunta de X y Y b) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y) a) x\y 0 1 2 3
0 1/16 0 0 0
1 0 4/16 3/16 0
2 0 0 3/16 2/16
3 0 0 0 2/16
4 0 0 0 0
f(x) 1/6 4/16 6/16 4/16
5 0.04
4 G(y)
0 1/16
0 7/16
0 5/16
0 2/16
1/16 1/16
1/16
b) (
)
(
) ( (
)
(
)
)
( ) ( )
( (
(
)
(
) (
)
(
)
)(
)
)
5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados a) Determinar la distribución conjunta de x e y b) Encuentre la cov(x,y) y 𝝆(x,y)
a) x\y 2 3 4 5
( )
1 0.1 0 0 0
2 0 0.4 0.1 0
3 0 0 0.2 0.2
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( )(
)
( ) ( ) ( ) (
)
(
)
( )( )(
)
( )( )(
)
( )( )(
)
( )( )(
)
( )( )(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
( ) (
(
( ) ( ) )(
)
)
( ) (
)
( ) (
)
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
)
√
(
)
(
)
( ) (
(
)
√
(
)
(
)
(
)
(
) (
)(
)
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV 5.81.- Sea una variable aleatoria con media desigualdad de Chebyshev para estimar (
y desviación estándar ).
Por el teorema: (
)
(
)
(
)
(
)
. Utilice la
5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media y desviación estándar . Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el cual
(
)
√
√
( )
√ 5.83.- Sea una variable aleatoria con media la desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3 ( (
y desviación estándar X 3).
. Utilice
)
)
5.84.-Sea x una variable aleatoria con media produjerala desigualdad de chebyshev (
¿para que valor de ) ?
√
√ √ 5.85.- Sea X una variable aleatoria con media Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar: a) b)
( (
y desviación estándar
) )
Datos
a) (
)
(
(
)
)
(
)
b) (
)
(
)
.
(
) (
)
PROBLEMAS MISCELÁNEOS 5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
( )=
Encuentre: a)
(
)
b) P(3<=x<=7) c) P(x>=6) a) ( )(
)
b)
( )(
)
c)
( )(
)
5.87.- Determine y trace la grafica de la función de distribución acumulada aleatoria del problema 5.86. ( ) (a)
(
), (b) (
{
), (c) (
).
{
Por consiguiente obtenemos una función de probabilidad acumulativa:
( ) 5.88.-Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución
f(x) = Evalué k y encuentre a)
(
)
b)
(
)
c)
(
)
de la variable
(
a)
)( )
( ) ( ) (
b)
)( )
( ) ( ) (
c)
)( )
( ) ( ) (
)( )
5.89.- Grafique la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución: x f(x)
-3 1/4
2 1/2
( )
6 1/4
(
)
(
)
(
)
5.90.-Pruebe el teorema 5.11 sea ( ) entonces
E(Z) = ∑
(
(
)
( )
( )
∑
) donde h es la distribución conjunta de x e y
) (
∑ (
( )
variables aleatorias de S con
)
∑ ∑ (
( )
)
∑ (
)∑
∑ (
5.91.- Sea X una variable aleatoria para el cual 1 x f(x)
1 0.1
2 0.5
3 0.4 ( )
) (
)
demuestre que p(x,x)=1 y p(x,-x)=-
√
x\x 1 2 3 F(x)
1 0.1 0 0 0.1
2 0 0.5 0 0.5
3 0 0 0.4 0.4
(
) (
(
(
f(x) 0.1 0.5 0.4
)
)
(
)
)
( (
(
-1 0.1 0 0 0.1
)
-2 0 0.5 0 0.5 (
(
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