PROGRAMACION PROGRAMACION LINEAL
TRABAJO TRABAJO COLABORATIVO COLABORATIVO MOMENTO 3
Presentado Por:
Código:
DEICY TORRE BO!"R#$E%
3&&33'3&
LEYMAR ANDR( ARDILA
)*+3+,+&
ALBA ANDREA CR
%$&'-3)*33
OMAR C"RDOVA
3)).&*'' 3)).&*
BETY TATIA TATIANA NA /LORE% CARRILLO 3+3-3'3+
T0tor: JO!N MA$RICIO BLANCO
Gr01o Co2aorati4o No5 )3
$NIVERIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DITANCIA $NAD No4ie6re 7, de '*7&
INTROD$CCION El siguiente trabajo como tiene como objetivo comprender la importancia de la Progra Programa maci ción ón line lineal al,, para para lo cual cual es nece necesa sario rio hacer hacer un recorr recorrid ido o sobre sobre su estruct estructura, ura, identi identific ficar ar y aplica aplicarr un conjun conjunto to de técnic técnicas as de anális análisis, is, y de solu soluci cion ones es de prob proble lema mas, s, con con el obje objeti tivo vo de opti optimi mizar zar los los recurs recursos os de una una empresa. Posteriormente, se presentara el desarrollo de las propuestas presentadas a las dife diferen rente tes s empre empresa sas s sobre sobre prog progra rama maci ción ón line lineal al,, por por medi medio o del del progr program ama a phpsimplex y el desarrollo de cada uno de los ejercicios dispuestos en el foro noticias noticias del curso a través través de este programa, programa, tomando tomando pantallazos pantallazos del paso paso a paso.
INTROD$CCION El siguiente trabajo como tiene como objetivo comprender la importancia de la Progra Programa maci ción ón line lineal al,, para para lo cual cual es nece necesa sario rio hacer hacer un recorr recorrid ido o sobre sobre su estruct estructura, ura, identi identific ficar ar y aplica aplicarr un conjun conjunto to de técnic técnicas as de anális análisis, is, y de solu soluci cion ones es de prob proble lema mas, s, con con el obje objeti tivo vo de opti optimi mizar zar los los recurs recursos os de una una empresa. Posteriormente, se presentara el desarrollo de las propuestas presentadas a las dife diferen rente tes s empre empresa sas s sobre sobre prog progra rama maci ción ón line lineal al,, por por medi medio o del del progr program ama a phpsimplex y el desarrollo de cada uno de los ejercicios dispuestos en el foro noticias noticias del curso a través través de este programa, programa, tomando tomando pantallazos pantallazos del paso paso a paso.
OBJETIVO • • • •
•
dentificar las variables y las restricciones para un modelo de formulación. !esarrollar los ejercicios ejercicios de Programación lineal por medio del programa. Plantear y resolver problemas de Programación lineal. !escr !escrib ibir ir las restr restric icci cion ones es y defi defini nirr las las varia variabl bles es de un mode modelo lo de formulación. nterpretar los resultados de los ejercicios de Programación "ineal.
DEARROLLO DE LA ACTIVIDAD ACTIVIDAD GR$PAL nterpretación y discusión. !e acuerdo a las siguientes recomendaciones# $asados en los planteamientos de los problemas presentados en el trabajo colaborativo del %omento &, deben desarrollar manualmente 'lápiz y papel( esos problemas, por el método simplex, y hacer un análisis de los resultados obtenidos, presentando un análisis completo de los resultados.
78 DEICY TORRE BO!"R#$E% En la empresa !repract ma)uilan * tipos de productos, productos de cocina, productos de laboratorio y preservativos, se utilizan * má)uinas para su procedimiento. "a ma)uina , se re empacan en & minutos + caja de productos de cocina, en + minuto + caja de productos de laboratorio, y * minutos + caja de preservativos. "a ma)uina , re empaca en + minuto, una caja de productos de cocina, en * minutos una caja de productos de "aboratorio, y en & minutos una caja de preservativos. "a ma)uina , en & minutos una caja de productos de cocina, en un minuto una caja de productos de laboratorio, y en dos minutos una caja de preservativos. !epract tiene una disponibilidad de +- minutos para la ma)uina , *-- minutos para la ma)uina , y &- minutos para la ma)uina diariamente. "a ganancia )ue produce una caja productos de cocina, /0, de productos de laboratorio es de /1 y las de los preservativos es de /. Maximizar la función (Método Simplex):
2unción 3bjetivo# Ma9: .9&;,< 4estricciones 4+#&x5y5*z 4&# 65*75&z 4*#&6575&z
+*-&-
"a solución optima es 8 9 :- 69 79 89:-
Interpretación de datos:
Para obtener una ganancia máxima e)uivalente a :- pesos, se deben re empacar cajas de productos de cocina y cajas productos de laboratorio.
'8 LEYMAR ANDRE ARDILA B$TO ;<4<$"E= 7 4E=>4??3@E= !E" P43$"E%< 6+ cantidad de jabón lA)uido industrial antibacterial 6& cantidad de detergente li)uido industrial multiusos 6* cantidad de desinfectante li)uido industrial 2unción objetivo# %ax 89 +-x+ 5 +-x& 5 +-x* 4estricciones# 6+ 5 6& 5 6* B 0-- restricción debida a la cantidad de producto por demanda en el mercado
Inter1reta=ión de datos: El valor de la solución óptima es 8 9 +.--6+ 9 6& 9 6* 9 +--
38 BETY TATIANA /LORE% CARRILLO Empresa seleccionada:
C
Registro Mercantil
4azón =ocial# PoDer ?lean ?olombia ?ámara de ?omercio# ?cuta @mero de %atrAcula# ----+11* dentificación# ?edula de ciudadanAa *:*F*&*: Gltimo
ipo de =ociedad# =ociedad ?omercial >ipo de 3rganización# Persona @atural ?ategorAa de la %atricula# Persona @atural Empleados# +
ro!lema
7o, como propietaria, PoDer ?lean ?olombia, )uiero mejorar el negocio familiar, aplicando las técnicas de programación lineal. El negocio, principalmente, es la
venta de "impiador antihongos para baHo y el "impiador desinfectante y aromatizante de pino. erminado, no podemos tener almacenados más de &-- "itros de Producto >erminado. @o todos los productos tienen igual rendimiento. Por cada "itro de Producto >erminado necesito una cantidad mayor de %ateria Prima. Esta relación es la siguiente# Para hacer &- "itros de "impiador antihongos para baHo + → * "itros • Para hacer &- "itros de "impiador desinfectante y aromatizante de pino & → • -,&- "itros "a ganancia también es diferente# /1&.--- bidón de &- "itros de "impiador antihongos para baHo • /:.--- bidón de &- "itros de "impiador desinfectante y aromatizante de pino • ¿Cuánto debo fabricar de cada producto para que mi beneficio sea máximo?.
Solución
C
Desarro22o de2 6ode2o a tra4>s de2 6>todo si612e95
Prod0=to
Tie61o
Cantidad
Prod0==ión Prod0==ión
Cantidad
Ganan=ia o
Materia Pri6a
Contri0=ión
"impiador antihongos para baHo
& horas
&- "
*"
/ 1&---
"impiador desinfectante y aromatizante de pino
1 horas
&- "
-,&- "
/:---
"aria!les de decisión:
6+ 9 "impiador antihongos para baHo 6& 9 "impiador desinfectante y aromatizante de pino 1 2
Limpiador antihongos para baño → Hipoclorito de sodio Limpiador desinfectante y aromatizante de pino → Formol
#unción o!$etivo:
8 9 Janancias >otales 8 9 1&---6+5:---6& Restricciones:
?onsumo K !isponible &6+516&K+-*6+5-,&6&K&6+L-, 6&L8 C 1&---6+
C :---6&
&6+ 5
9 -
16& 5 =+ 9 +--
*6+ 5
-,&-6& 5 =& 9 &-
%a!la Simplex: &' olumna ivote
%
?7
?'
7
'
R
R7
+
C1&---
C:---
-
-
-
R'
-
&
1
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-
+--
R3
-
*
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+
&-
' Renglón ivote:
%
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?'
7
'
R
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-
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+--M&9&,*
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&-M*90,0:
%
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-
-
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*' Elemento ivote:
R7
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&-M*90,0:
Se multiplica el Renglón (R ) por &+,:
%
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N +O&
N +O&
-...R / R &
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1&---O&
-
1&-----O &
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+
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-
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0*R / R *
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+
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+O&
-
1-O&+
R3
-
-
C++O:-
C+O+
+
F-O:
%a!la Simplex: &' olumna1 Renglón 2 Elemento ivote:
R7
%
?7
?'
7
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R
+
-
C
1&---O&
-
1&-----O
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&
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R3
-
-
C++O:-
C+O+
+
F-O:
Se multiplica el Renglón (R ) por ,+-:
%
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1&---O&
-
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-
&O1
+
+O1
-
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-
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C++O:-
C+O+
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-
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-
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-
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+
+O1
-
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R3
-
**O&1
-
C+O&1
+
+0
%
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?'
7
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R
R7
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*&--
-
F--
-
F----
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-
&O1
+
+O1
-
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R3
-
**O&1
-
C+O&1
+
+0
3-4...+&R /R &
&&+4.R / R *
%a!la Simplex:
Respuesta:
8 9 F---6+ 9 -
6& 9 &"alidar el desarrollo de su tra!a$o a través de la 5erramienta p5psimplex1 no se acepta el desarrollo 2 la entrega del e$ercicio a través de este programa'
Realizar an6lisis e interpretación de los resultados o!tenidos "aria!les de decisión:
6+ 9 6& 9 &#unción o!$etivo:
8 9 Janancias >otales 8 9 1&---6+5:---6& 8 9 1&---'-(5:---'&-( 8 9 / F-.--Restricciones:
?onsumo K !isponible &6+516&K+--
&'-(51'&-( K+--5+-- K+-*6+5-,&6&K&*'-(5-,&'&-(K&-5K&6+L-, 6&L"a solución óptima para el problema planteado corresponde a la solución factible )ue tiene el valor más favorable de la función objetivo. "a solución factible es una solución para la )ue se satisfacen todas las restricciones. En resumen, segn el problema planteado para maximizar las ganancias se deben fabricar &- bidones de &- "itros del producto Limpiador desinfectante y aromatizante de pino con un consumo de Formol de "itros. < través de este cambio en la fabricación se aumentarAan las ganancias a /F-.---.
,8 A2a Andrea Cr0< =olución al problema planteado en el trabajo ?olaborativo + manual y con herramienta PP=implex#
&85@ OMAR C"RDOVA BERROCAL Empresa: INGENI !!"ENI#LE !$%$!$ &bicada en el '(nicipio de 'edell)n* departamento de %ntio+(ia$ La empresa se dedica a la importaci,n y fabricaci,n de ins(mos y e+(ipos para f(ndici,n de materiales no ferrosos$ Entre los prod(ctos +(e comercializa est- el "(bo .eso/idante$ Este prod(cto est0 comp(esto por boro amorfo y sire la para la deso/idaci,n de cobre electrol)tico en f(ndici,n$ La empresa Ingenio !ostenible importa el comp(esto de boro amorfo y lo embaza para s( comercializaci,n en dos presentaciones: • •
"(bo deso/idante .345$ "(bo deso/idante .365$
7ara el embazado de los t(bos se re+(iere: "(bo deso/idante .345: 45 gr de comp(esto #oro %morfo* 14 gr de l0minas de cobre$ "(bo deso/idante .365: 65 gr de comp(esto #oro %morfo* 24 gr de l0minas de cobre !toc8: La empresa registra (n !toc8 de: • •
#oro %morfo : 9455 gr$ L0minas de obre : 45 gr
7recios de los prod(ctos: "(bo deso/idante .345* 7recio 7 ; 1245 "(bo deso/idante .365* 7recio 7 ; 1<95 7ara el presente est(dio se re+(iere ma/imizar la ganancia +(e se p(ede obtener en la fabricaci,n y comercializaci,n de estos dos prod(ctos con los ins(mos +(e se registra en el almac-n$ 7ara el presente est(dio re+(erimos plantear lo sig(iente: =1 > "(bo deso/idante .345 =2 > "(bo deso/idante .365 "enemos +(e:
? > 1245 =1 @ 1<95 =2 AE!"AIINE!: 1$ #oro amorfo > 45=1 @ 65=2 B> 9455 2$ L0minas de cobre > 14=1 @ 24=2 B> 45 Este problema de programaci,n lineal debe transformarse eliminando las inec(aciones* conirti-ndolas en ec(aciones$ 7ara esto amos a agregar en cada inec(aci,n (na ariable de holg(ra con signo negatio* a las +(e denominaremos CHD* (na ariable de e/ceso CED y adicionalmente (na ariable articial en cada inec(aci,n +(e la denotaremos C%D$ .ebido a +(e la restricci,n 1 es del orden B> le agregaremos la ariable de holg(ra H1$ 45=1 @ 65=2 @ H1 > 9455 .ebido a +(e la restricci,n 2 es del orden B> le agregaremos la ariable de holg(ra H2$ 14=1 @ 24=2 @ H2 > 45
.ebemos ma/imizar ? > 1245 =1 @ 1<95 =2 @ 5 H1 @ 5 H2
%hora procedemos a constr(ir la primera tabla: 1245 !L&I N 9455 45 5
1<95
=1
=2
H1
H2
45 14 31245
65 24 31<95
1 5 5
5 1 5
=1
=2
H1
H2
45 5* 31245
65 1 31<95
1 5 5
5 5*59 5
EN"AE 24
F1 F2 ?
!L&I N 9455 19 5
Entonces F1 3 65 F2 ? @1<95 F2
F1 F2 ?
!L&I N 65 19 295
=1
=2
H1
H2
2 5* 325
5 1 5
5 5 5
3*2 5*59 *
=1
=2
H1
H2
2 1 325
5 1* 5
5 5 5
3*2 5*5 *
=1
=2
H1
H2
5 1 5
3*2 1* 91*
5 5 5
3*2 5*5 61*
EN"AE 5*
F1 F2 ?
!L&I N 65 2* 295
EN"NE!: F1 3 2F2 ?@25F2 !L&I N F1 $9 F2 2* ? 214*6
&tilizando el m-todo phpsimple/$
PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL !eben desarrollar los problemas )ue se les entregarán en las noticias del aula, estos problemas se deben desarrollar con el programa PP=implex. 7 presentar pantallazos del desarrollo de los mismos, y hacer un análisis de los resultados. +. Gn agente está arreglando un viaje en es)uAs, puede llevar un máximo de +- personas y ha decidido )ue deberán ir por lo menos hombres y * mujeres. =u ganancia será de +--- pesos por cada mujer y +1-- pesos por cada hombre. Q?uántos hombres y cuantas mujeres le producen la mayor gananciaR 6+9 ombres 6&9 %ujeres 2unción 3bjetivo# 89+1--6+5+---6& 4estricciones# 6+ , 6& * 6+56& +-
"a solución óptima es 8 9 +*1-6+ 9 : 6& 9 * "as materias primas )ue tiene disponible el sastre la opción )ue le genera mayor ganancia es la de hacer : trajes y * tnicas, obteniendo asA una ganancia de / +*.1-&. Gn sastre tiene las siguientes materias primas a su disposición# +0 m& de algodón, ++ m& de seda y +1m& de lana. Gn traje re)uiere# & m& de algodón, +m& de seda y + m& de lana. Gna tnica re)uiere# +m& de algodón, &m& de seda y *m& de lana. =i el traje se vende en /*--.--- y una tnica en /1--.--- Q?uántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dineroR 6+9 traje 6&9 tnica 89 *----- 6+ 5 1----- 6&
"a solución óptima es 8 9 *+----6+ 9 : 6& 9 &
*. %ueblerAa %<47 elabora dos productos, mesas y sillas )ue se deben procesar a través de los departamentos de ensamble y acabado. Ensamble tiene 0- hrs. disponibles, acabado puede manejar hasta - hrs. de trabajo. "a fabricación de una mesa re)uiere de hrs. de ensamble y & hrs. de acabado, mientras )ue una silla re)uiere de & hrs. de ensamble y & hrs. de acabado. =i la utilidad es de /-.--- por mesa y /0-.--- por silla. Q?uál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima gananciaR
Deini=ión de 2as 4aria2es de de=isión ?7 9 cantidad de mesas a producirOvender para obtener la máxima ganancia. ?' 9 cantidad de sillas a producirOvender para obtener la máxima ganancia. Ti1o de 1ro2e6a Problema para Ma9i6i
5A5 s0eto a8 , ?7 ' ?' F .* ' ?7 ' ?' F ,*
Interpretación de datos
Q?uál es la mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender para obtener la máxima gananciaR "a mejor combinación posible de mesas y sillas a producir y vender, para obtener la máxima ganancia es# =illas# +-. %esas# +-. Janancia máxima# /+S--.---. . Gna firma corredora de bolsa ofrece dos tipos de inversiones )ue producen ingresos a razón de T y 1T respectivamente. Gn cliente desea invertir un máximo de /+-.---.--- y )ue su ingreso anual sea por lo menos de /.1--.---. insiste en )ue por lo menos U del total debe ser invertido al 1T. El corredor recibe el +T de los ingresos de la inversión al 1T y &T de la inversión del T. Q?uánto invertirá el corredor a cada tasa para )ue sus honorarios sean máximosR 6+ 9 inversión en acciones al T 6& 9 inversión en acciones al 1T 89 honorarios 8 9 '-.-&('-.-( 6+ 5 '-.-+('-.-1( 6& 8 9 -.--- 6+ 5 -.---1 6& 6+ 5 6& B9 +------6+ 5 16& V9 1-----
6& V9 :1----6+ V9 -
MAXIMIZAR: 0.0008 X1 + 0.0005 X2 1 X1 + 1 X2 ≤ 10000000 4 X1 + 5 X2 ≥ 4500000 0 X1 + 1 X2 ≥ 7500000 1 X1 + 0 X2 ≥ 0 X1, X2 ≥ 0
"a firma podrá obtener unos honorarios máximos de /1:1- si invierte /&1----en acciones al T y /:1----- en acciones al 1T, cumpliendo asA con las condiciones del problemaI invierte el total de /+------- y los U del total estarán invertidos al 1T. 1. Gna compaHAa de carga aérea desea maximizar los ingresos )ue obtiene por la carga )ue transporta la compaHAa tiene un solo avión diseHado para transportar dos clases de carga. ?arga normal y carga frágil. "a compaHAa no recibe pago extra por transportar carga frágilI sin embargo para asegurar ciertos contratos de negocios, la compaHAa ha acordado transportar cuando menos 1 toneladas de carga frágil. Este tipo de carga debe llevarse en una cabina presurizada. "a capacidad de la cabina principal es de &- toneladas de carga. "a cabina presurizada no puede llevar más de +- toneladas de carga. El avión tiene restricción de peso )ue le impide llevar más de &toneladas de carga, para mantener en e)uilibrio el peso, la carga de la cabina presurizada debe ser menor o igual )ue dos tercios del peso de la cabina principal, mas una tonelada, la compaHAa recibe /+.---.--- por tonelada de los dos tipos de carga )ue transporta. 6+ 9 carga frágil 6& 9 carga normal 8 9 +------ 6+ 5 +------ 6& 6+ V9 1 6+ B 9 +6+ 5 6& B9 &6+ W &O* 6& B9 +
MAXIMIZAR: 1000000 X1 + 1000000 X2 1 X1 + 0 X2 ≥ 5 1 X1 + 0 X2 ≤ 10 1 X1 + 1 X2 ≤ 20 1 X1 -0.66666666666667 X2 ≤ 1 X1, X2 ≥ 0
"a compaHAa de carga aérea puede tener un ingreso máximo de /&-.---.---, cargando &- toneladas distribuidas en .0 toneladas de carga frágil cumpliendo con las condiciones acordadas en los contratos y ++. toneladas de carga normal.
CONCL$IONE El método simplex es una herramienta algebraica )ue permite localizar de manera eficiente el óptimo entre los puntos extremos de una solución a un problema de programación lineal. Este método utiliza el álgebra de matrices, en el cual se forma la inversa de una matriz para resolver una serie de ecuaciones simultaneas. El método simplex se emplea con un proceso interactivo o sea )ue se usa sucesivamente la misma rutina básica de cálculo, lo )ue da por resultado una serie de soluciones sucesivas hasta )ue se encuentra la mejor. Gna caracterAstica básica del método simplex es )ue la ltima solución produce una contribución tan grande o mayor )ue la solución previa en un problema de maximización, lo )ue da la seguridad de llegar finalmente a la respuesta óptima. El método simplex nos sirve para solucionar problemas en donde debemos de optimizar nuestros recursos de la manera más eficiente. =e utiliza para resolver problemas de programación lineal en los )ue intervienen tres o más variables. El método simplex permite localizar de manera eficiente la óptima solución entre los puntos extremos de un problema de programación lineal. "a gran virtud del método simplex es su sencillez, método muy práctico, ya )ue solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Es muy importante en el área empresarial ya )ue lo utilizan para obtener solución a los problemas de las empresas en cuanto a inventario, ganancias y pérdidas. Este método permite visualizar cuanto se debe vender, cuanto se debe producir o cuanto se debe comprar segn sea el caso para )ue la empresa obtenga las ganancias optimas y suficientes para competir en el mercado. En base a esta importancia el método simplex ha tenido diversas aplicaciones en las industrias especialmente en el área de transporte, en la parte de inventarios y en lo empresarial en general. Este método sirve para resolver problemas. En conclusión tenemos )ue el método simplex emplea básicamente la estrategia de resolver los problemas de programación lineal siempre )ue se tenga una solución factible.
