Trabajo de Dinamica Formato

TRABAJO DE DINAMICA Vibración forzada de un sistema de un grado de libertad. Las vibraciones forzadas son de dos tipos las vibraciones forzadas sin amortiguamiento y las vibraciones forzadas con amortiguamiento.

A.

VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO

Fuerza Armónica De Excitación El sistema mostrado en la siguiente figura proporciona un modelo de un sistema masaresorte, sometido a una fuerza de carácter armónico dada por:

F  F0 Senwt Donde: Fo : es la amplitud de la vibración armónica y w : es la frecuencia de la vibración armónica

Bloque sometido a una fuerza periódica externa

Aplicando las ecuaciones del movimiento según el eje x, se tiene:

 F  ma

x ..

F0 Senwt  kx  m x ..

m x  kx  F0 senwt...................(1) La ecuación (1) es la ecuación diferencial de segundo orden no homogéneo con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por una solución complementaria y una solución particular. La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo termino de la ecuación (1), resolviendo entonces la ecuación homogénea se tiene: ..

m x kx  0 Donde la solución de dicha ecuación es de la forma:

x  x m Sen( wn t   )......... ....( 2) Como el movimiento es periódico, la solución particular es de la forma:

x p  BSenwt.......... .......( 3)

Determinándola segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3) y reemplazándola en la ecuación (1) obtenemos:

 Bmw 2 Senwt  k ( BSenwt )  F0 Senwt Despejando el valor de B:

F0

B

F0

m  k k  w 2 1   w m w  n

  

2

.......... ....( 4)

Reemplazando luego (4 )en (3)se tiene:

F0 xp 

k

 w 1    wn

  

2

( Senwt )......... .....( 5)

Por lo tanto la solución general será:

F0 x  x c  x p  ASen( wn t   ) 

k

 w 1    wn

  

2

( Senwt )....( 6)

De la ecuación (6) se observa que la oscilación total esta compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia Wn (Figura a), y una vibración forzada causada por una fuerza exterior (Figura b).De esto se observa que la vibración libre se extiende quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura c.

Figura(a)

Figura(b)

Figura(c)

En la ecuación (5) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre la frecuencia forzada y natural. Cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales entonces aparece el fenómeno de resonancia. El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones de elementos estructurales debido a que producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso. De una estructura. Bajo estas circunstancias la solución particular queda de la siguiente manera:

F0

xp 

k ( Senwt ) 2  w 1     wn 

Donde: X F0 K w Wn

: Es la amplitud de la vibración : Es la magnitud de la fuerza de excitación : Es la constante de elasticidad : Frecuencia de la fuerza de excitación : Es la frecuencia natural

B. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO En las vibraciones de un solo grado de libertad y con amortiguamiento viscoso, encontramos que la energía disipada por el amortiguador y la amplitud disminuye con el tiempo. Sin embargo, si proporcionamos una fuente de energía externa podemos mantener las oscilaciones con una amplitud constante. Para determinar las ecuaciones que gobiernan este movimiento consideremos un sistema masa resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa, tal como se muestra en la siguiente figura:

Sistema masa resorte amortiguador, sometido a una fuerza externa

Aplicando al sistema, la segunda ley de newton, se tiene:

 F  ma

x ..

F0 Senwt  kx  cx  m x ..

m x  cx  kx  F0 senwt...................(7) La ecuación diferencial (7), es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando la solución complementaria con la solución particular. La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial, por lo tanto la solución general será:

x(t )  xc (t )  x p (t )......... .......... ...( 8) Aquí podemos apreciar que la solución particular estudiada anteriormente, se distingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresado por:

xP  xm Sen( w t   )......... ....( 9)

Reemplazando (9) en (8) resulta:

mw 2 xm Sen( wt   )  cwxm .Cos( wt   )  kxm .Sen( wt   )  F0 Senwt.......... (10 ) Haciendo (wt   ) sucesivamente igual a cero y  , resulta:

2 cwxm  F0 Sen .......... .......... .......... ....(11) (k  mw 2 ) xm  F0Cos .......... .....( 12 ) Elevando al cuadrado a ambos miembros , de las ecuaciones anteriores y sumandolos se tiene:

(k  mw



)  (cw) 2 xm2  F02 .......... .......... .......... .........( 13)

2 2

De esta ecuación se obtiene la amplitud que es igual a

xm 

El de fase ,

F0 (k  mw2 ) 2  (cw) 2

lo obtenemos dividiendo las ecuaciones (11) y (12) Tg 

cw k  mw2

Por lo tanto la solución particular queda de la siguiente manera:

x 

F0 (k  mw2 ) 2  (cw) 2

Tg 

Donde: X F0 K m w C

Sen( wt   )

cw k  mw2

: Es la amplitud de la vibración del estado estacionario : Es la magnitud de la fuerza de excitación : Es la constante de elasticidad : Es la masa del sistema : Frecuencia de la fuerza de excitación : El coeficiente de amortiguamiento : Ángulo de fase