En 1788, Lagrange Lagrange publicó publicó su obra "Mécanique "Mécanique Analytique Analytique", ", que mostró mostró la gran flexibilida flexibilidadd y grandes grandes alcances alcances de utilizar utilizar métodos métodos analíticos analíticos en el estudio estudio de la mecánica. mecánica. Posteriorme Posteriormente, nte, William William Rowan Hamilton Hamilton (1805-186 (1805-1865), 5), introdujo su "Theory "Theory of Quaternion Quaternions", s", la cual contribuyó contribuyó a la comprensión comprensión del Algebra y de la Física. La unión de las más notables características del análisis de los cuaterniones y de la geometría cartesiana, se deben, en gran parte, a los esfuerzos de J. W. Gibbs (1839-1903) y O. Heaviside (1850-1925), dando lugar a la llamada Álgebra Vectorial. El uso del álgebra álgebra vectorial vectorial permitió permitió la exposició exposiciónn y simplificac simplificación ión de muchos muchos conceptos conceptos geométrico geométricoss y físicos, de ahí la importancia importancia de su estudio en este curso. Debido Debido a que, el alumno no está familiarizad familiarizadoo a trabajar trabajar con con vectores, vectores, se recomienda, recomienda, de modo modo especial, especial, el estudio estudio de este este capítulo capítulo,, el cual cual le permitirá permitirá conoce conocerr la naturaleza naturaleza del vector vector y cómo cómo se opera con ellos. ellos.
La idea de emplear emplear un número número para situar situar un punto A = ( a 1 ) en una recta fue conocida por los antiguos griegos griegos (figura (figura 2.1 (a)). En 1637, Descartes Descartes extendió esta idea utilizando utilizando un par de números números A = (a 1 ,a2 ) para situar situar un punto en el plano plano (figura 2.1 2.1 (b)), y una terna terna de números números A = (a 1 ,a2 ,a3 ) para situar el punto punto en el espacio (figura 2.1 2.1 (c)). (c)). En el siglo XIX, los matemáticos A. Cayley Cayley (1821-1895) y H. G. G. Grassman (1809-1877) probaron que no era necesario detenerse en las ternas de números. números. Se puede también considerar, en general, una n-plas de números reales: A = (a1 ,a2 ,....,a ,....,an ), para todo entero entero n N Una tal n-pla se le llama llama punto n-dimensional. Cuya representación representación geométrica geométrica se realiza realiza tomando un punto cualquiera cualquiera,, como como se muestra muestra en la Fig. 1.1 1.1 d.
1
Por tanto un punto punto puede represe representarse ntarse de tres tres maneras maneras diferentes, diferentes, de forma forma algebraica algebraica a través de la letra letra mayúscula A, de forma analítica a través de sus coordenadas (a 1 ,a2 ,....,a ,....,an ) y mediante mediante su forma geométrica geométrica representada en la Fig. 1.1 d
Estamos acostumbrad acostumbrados os a considerar considerar magnitudes, magnitudes, tanto en Geometría Geometría como en Física, Física, que puedan puedan ser caracterizadas por un único número real referido a una unidad de medida apropiada: el perímetro de una figura, figura, el área área de una una superfici superficie, e, el volumen, volumen, la la temperatu temperatura, ra, el el tiempo, tiempo, etc. etc. A dichas dichas magnitu magnitudes des se les llama llama , denominá denominándose ndose escalar escalar el número número real asociado asociado a cada cada una una de ellas. magni magn i tudes tu des escala escalarr es Existen Existen otras magnitudes magnitudes físicas físicas y geométricas geométricas en las que interviene interviene la dirección dirección y que no pueden pueden ser caracterizadas de forma completa mediante un único número real: la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc. A dichas magnitudes se les llama magni tudes vectori , denominándose denominándose vector al objeto matemático vectori ales utilizado para describir cada una de d e ellas. , su dirección y y su sentido . Es, por tanto, L as caracterí caracter ísticas fun f un damental es de un vector son : su módulo natural representar un vector geométricamente por medio de un segmento orientado, correspondiendo la longitud, dirección y sentido del segmento orientado al módulo, dirección y sentido del vector.
Descri Descri pción de un vector vector : por ser un segmento de recta, es una porción de recta y por tanto tiene un extremo inicial que llamaremos cola y y un extremo final que llamaremos fl echa o punta que que me define el sentido , a la recta que lo contiene o sustrato del vector: recta de acción que me define la dir ección , y a su longitud longitud , como como se ilustra ilustra en la figura figura siguien siguiente: te: Norm a , o M ódulo L A : Recta R ecta de acción (Norma) //A// A Fl echa (Senti (Senti do) O (cola)
Los vectore vectoress que vamos a estudiar estudiar son los llamados llamados libres, libres, porque pueden pueden deslizarse deslizarse a lo largo largo de su recta de acción o trasladarse paralelamente a si mismo.
“Defi ni remos un vector
A como el el conj unto un to de todos los se segmentos ori entados del del espacio espacio n-di mension mension al que pose poseen una un a longit lon gitud, ud, direcció di rección n y senti do dados”. Q 1 1
Tomemos un ejemplo en el espacio bidimensional para entender mejor P Q esta definición. Si P 1Q 1 y P 2Q 2 son dos segmentos segmentos orientados con con la 1 1 2 2 misma longitud, dirección y sentido, diremos que representan el mismo P 2 2 vector. Un segmento orientado tiene una ubicación ubicación particular; un vector no. Las lechas lechas en la i ura 2.3 2.3 re resentan resentan el mismo vector. vector. Al vector vector que coincide con un segmento orientado cuyo extremo extremo inicial inicial es el origen de coordenad coordenadas as y su extremo final en el punto A, se llama vector posición OA . Que llamaremos simplemente A, y cuya explicación la veremos más adelante.
a) b)
, D ,... ALGEBRAICA: los vectores se designan con las letras mayúsculas: A , B, C GEOM ÉTRI CA: En base a su representación gráfica en un sistema de coordenadas (sólo es posible
hasta en tres dimensiones; ver figura 2.4). Para los sistemas de 4 ó más dimensiones con precisión solo podríamos representar el origen del sistema, y la flecha del vector definida por el punto A que lo tomaríamos de manera arbitraria como se muestra en la figura. Para representar geométricamente al vector A, en primer lugar es necesario definir el punto A, como se mostró en la figura 2.1, luego el vector A será el vector que tiene su cola en el origen y su flecha en el punto A, vemos que la figura 2.4 solo se diferencia de la 2.1 en lo mencionado anteriormente. anteriormente.
2
y
z z A
A O 1 1
x
(a)
c)
A x
O 2 2
A
y
O 3 3 x x
(b)
0n
(c)
(d)
las letras minúsculas llamados componentes del vector: vector: ANAL ÍTI CA: Se realiza haciendo uso de las A = (a (a1 ,a2 ,...,a ,...,an ), B = (b (b1 ,b2 ,...,b ,...,bn )
y
C = (c (c1 ,c2 ,...,c ,...,cn )
Para convertir convertir V n en una estructura algebraica, introducimos la igualdad de vectores y dos operaciones: la vectores, la la mul tipl icació palabra escalar adición de vectores, icaci ón por escalar escalar es y un cu erpo de números números reales R. La palabra se usa aquí como sinónimo sinónimo de de número número real. real.
Dos vectores A y B de V n son iguales, si son iguales todas sus componentes que ocupan la misma posición. posición. Esto es, si A = (a1 ,a2 ,...,a ,...,an ) y B = = (b1 ,b2 ,...,b ,...,bn )
Entonces Entonces A B si a i b j
i y j 1, 2, ...,n
a1 b1 a b 2 2 a 3 b3 .... a n bn
PROPIEDADES:
1. Refl : Todo vector es igual igual a sí mismo, esto es es A = A Refl exi va 2. Sim Si metr etr í a : Si A = B entonces B = A 3. Transitiva : Si A = B y B = C entonces A = C
Si c es un escalar tal que c R y A un vector tal que A V V n , el producto cA se define como el vector que resulta de multiplicar cada componente de A por el escalar c, esto es:
cA = (ca 1 1 , ca 2 2 , ca 3 3 , ... , ca n n )
ANÁLISIS ANÁLISIS DEL VECTOR VECTOR “cA”: “cA”: Para facilitar facilitar el estudio vamos a considerar un vector A de V 1 tal como A = ( 4 ), de modo que el vector cA = ( 4c ), y vamos a darle a c distintos distintos valores de R, para poder ver como afecta a su módulo, direcci dirección ón y sentido, sentido, para para esto esto elaboram elaboramos os la siguiente siguiente tabla: tabla: c cA
-2 -2A
-3/2 -3A/2
-1 -A
-1/2 -A/2
0 0
3
1/2 A/2
1 A
3/2 3A/2
2 2A
(4c)
(-8)
(-6)
(-4)
(-2)
(0)
(2)
(4)
(6)
(8)
Representand Representandoo dichos dichos vector vectores es geométr geométricame icamente: nte: -2A -3A/2 -A -A/2 0 A/2 A 3A/2 2A -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Al observar observar los los resultado resultadoss de la la tabla tabla y de la figura figura 2.4a, 2.4a, pode podemos mos apreciar apreciar que que cuando cuando c 0 el sentido de cA es el mismo que el de A, pero cuando c 0 el sentido es el opuesto opuesto de A. En cuanto a la dirección dirección observamos que para todo c R, el vector cA tiene la misma recta de acción que A, luego podemos concluir que lo que no podrá nunca c es cambiar cambiar la dirección de cA, esto esto es, sacarlo de su recta de acción, acción, esta propiedad es de suma importancia y por lo tanto tenemos que tenerla muy presente. En cuanto al módulo vemos que cuando c 1 y c -1, -1, este se dilata y cuando – 1 c c 1 1 se contrae, de manera proporcional al valor del escalar, por ejemplo si c = 2 la longitud del vector 2A es el doble de la de A y si c = ½ la longitud del vector A/2 es la mitad de la de A. En general general podemos podemos afirmar afirmar que sí A V V n : Se dilata si c 1 a ) El Módulo : No var ía si c 1 Se contrae si c 1
cA
b) La dirección no var ía para todo c R
O n n
Es igual al de A si si c 0 c ) El Sentido : Es opuesto al de A si c 0
“Por tanto podemos describir al vector cA como el vector que tiene su cola en la cola de A (origen) y su flecha en cualquier punto de la recta de acción de A como se ilustra en la figura 2.5.”
a) PARALEL I SM O ENTRE DOS VECTORES VECTORES
Dos vectores vectores A y B de V n son paralelos sí y sólo sí tienen igual dirección. Esto es, si tienen la misma recta de acción o sus rectas de acción son paralelas. En la figura se muestran los dos casos B mencionados anteriormente, A y B son paralelos y tienen la misma recta de C A acción también C es es paralelo a A y a B y sus rectas de acción son paralelas.
L uego decimos decimos que si si A// B enton ces ces A = cB
Esta condición condición nos permite permite afirmar afirmar que cuan cuando do dos vectores vectores A y B son paralelos paralelos sus component componentes es son proporcional proporcionales. es. Esto Esto es: es:
4
Si A // B :
a1 cb1 a2 cb2 A cB a3 cb3 c ......... an cbn
a1
b1
a2 b2
a3
............
b3
an bn
b) VECTOR CERO CERO
Es el vector generado por el vector cA al darle a c el valor cero, (c = 0). Como el escalar afecta como factor a cada una de las componentes de A, todas las componentes del vector cero serán cero: cero: Vector Cero Cero = 0 = ( 0,0,0,.... 0,0,0,......... ......,0 .,0 )
Las caracter característica ísticass de este este vector vector son: Su módu módulo lo o longitu longitudd //0//=0, //0//=0, su direcc dirección ión la misma del vector vector que lo origina, ya que lo que el escalar no podrá jamás es sacar al vector A de su recta de acción, es importante que el alumno vea que como el vector A es un vector cualquiera de V n , y por lo anterior el vector cero tiene la dirección del vector que lo origina, en consecuencia consecuencia el vector 0 tiene todas las direcciones posibles. Y su sentido sentido tiene carácter carácter indiferente, indiferente, le pasa lo mismo que al escalar cero 0=0, dado que 0 por cualquier cualquier número es cero. Desde el punto de vista geométrico el vector cero está representado por un punto, esto es,. el origen del sistema.. Es además el vector que sumado a un vector A me da el vector A, por esto, al vector cero se le llama llama elemento elemento neutro neutro en la suma suma de vectores, vectores, como se verá verá más más adelante adelante.. c) VECTOR OPUESTO OPUESTO
El vector opuesto es aquel vector generado por el vector cA, cuando c = -1: Vector Opuesto Opuesto de A = (-1)A = -A = ( -a 1 1,-a 2 2,...,-a n )
La gráfica gráfica sería: sería:
A -A
Las características de este vector son: Es un vector que existe porque existe el vector A, tiene el mismo módulo y dirección que A, pero sentido opuesto.
0n
Otra propiedad importante del vector -A es la de ser el vector que sumado al A me da el vector vector cero, y que la estudiaremos después de estudiar la suma de vectores. Dados dos vectore vectoress A y B de V n distintos del vector cero, tal como A = (a 1 ,a2 ,...,a ,...,an ) y B = (b1 ,b2 ,...,b ,...,bn ) : La suma de A + B se define como el vector cuyas componentes se obtienen sumando las Definición componentes de los vectores parciales como se ilustra a continuación:
A + B = a + a + b , a + a + b ,... ,... ... ... , a + b
Además la suma de vectores cumple la regla del , de modo que el vector suma A + B se del paralelogramo representa geométricamente como la diagonal del paralelogramo que se forma al trazar por cada flecha de los vectores parciales, paralelas a las rectas de acción del otro, como se muestra en la figura siguiente: //A//
B //B//
O
A+B
- //A+ B// //A//
A
5
Como se trata de vectores libres podemos trasladar el vector A paralelamente a sí mismo, hasta que su cola coincida con la flecha flecha de B, pero podemos hacer hacer lo mismo con B, de modo que el vector vector suma A+B , tendrásu col a en la l a cola del pr imero im ero y su f lecha en l a flecha f lecha del segundo. segundo. D ado que el el pri mero puede ser A o puede pu ede ser ser B, y lo l o mis mi smo sucede con el segun segun do.
Los datos datos del problem problemaa son los vectores vectores A y B, por tanto tanto conocemos conocemos su norma norma , su direcci dirección ón y sentido sentido y por por consiguiente conocemos el ángulo definido por A y B, es decir .... En la figura 2.8 trasladamos al vector A paralelamen paralelamente te a sí mismo mismo hasta hasta que su cola cola coincid coincidaa con la flecha flecha de de B, formán formándose dose el el triángulo triángulo O n – B B - (A +B), en donde conocemos dos lados //A// y //B// y el ángulo comprendido será - , porque porque es suplementari suplementarioo a un ángulo ángulo que que es igual igual a por ser correspondiente al ángulo formado por A y B, como se muestra en la figura 2.8. a)
Aplicando la Ley del Coseno Coseno:: Ahor a vamos a calcular la norma //A + B//: Aplicando
De la figura 2 .8 se deduce :
Sabemos que que Cos( )
A B
2
A
2
B
cos cos sen sen sen sen
Re emplazando en la primer primera a:
A B
2
A
2
2
2
A
B cos( ) por la Ley del del Coseno
cos
B
2
2
A
B cos cos
b) Defi nida l a norma pasamos , para esto, basta definir definir su recta de acción acción por pasamos a defi defi nir ni r la dir ección cción consiguiente necesitamos un punto de paso y una dirección, dirección, lo primero ya ya lo tenemos tenemos viene a ser el O n , luego nos queda definir su dirección. Las rectas de acción de los vectores vectores A y B al pasar por el origen origen del sistema O n determinan un plano, en donde se encuentra también el paralelogramo definido por éstos, al trazar por cada una de las flechas paralelas paralelas a las rectas de acción del otro. Por lo tanto el vector vector suma A + B por ser la diagonal de dicho dicho paralelogra paralelogramo mo también también se encuentra encuentra en dicho dicho plano. plano. En la figura figura 2.8 observamos observamos que , la recta recta de acción acción de A + B forma un ángulo con con la recta de acción de A. De modo que la recta de acción de A + B, será la recta que pasa por el origen O, se encuentra en el plano definido por L a y L b y forma un ángulo con La.. Por tanto tenemos tenemos que que calcular calcular .: .: Para el cálculo de dicho ángulo ángulo acudimos nuevamente a la figura 2.8, en donde podemos ver que dicho ángulo es igual al ángulo que se opone a //B// en el triángulo On-B-(A+B) por ser ángulos ángulos alternos alternos internos, internos, luego luego aplicando aplicando la Ley Ley de los los Senos: Senos: A B sen( )
B sen
de donde se deduce que :
sen
B A B
sen ( )
Como sen( ) sen cos sen cos sen Re emplazando :
sen
B A B
sen
de donde
arc. sen
B
A B
, como hemos hemos dicho dicho el vector vector suma tiene tiene su cola en la la c) Por últ último imo nos queda definir defin ir el sentido sentido de A + B
cola del primero, y su su flecha en la flecha flecha del segundo, por lo tanto la flecha de A + B queda definida por la la flecha flecha del segundo. segundo. Al Al quedar quedar definid definidaa la flecha flecha de A + B qued quedaa definido definido el sentido sentido de A + B.
6
sen
L os casos casos que vamos a estudi estudi ar se basaran en lo l o visto en en el caso general general , es es decir, decir , apli caremos los r esul esul tados encontr ados a las situacion situ acion es concr etas defini defi ni das en los casos casos a anali anal i zar. ar .
: cuando los vectores a) PRIM ER CASO vectores tiene ti enen n igual igu al dir ección ección y sentido Del esquema geométrico se desprende al compararlo con el Del NORMA:
caso general que el ángulo =0, =0, por tanto cos =1, =1, reemplazando en la expresión de la norma. De donde donde:: // A + B //
2
= //A// 2 + //B// 2 + 2 //A// //B
Sacando raíz cuadrada: / //A+B// //A+B// / = / //A// + //B// / Como las normas son siempre siempre positivas: //A// > 0 y //B// > 0 Luego //A// + //B// > 0, por tanto: //A + B // = //A// + //B// “ L uego la norma nor ma del del vector vector A + B será igual igu al a la suma suma de las normas de los vectores arciales.” : Para determinar la dirección imponemos la condición α = 0 DIRECCION
senα
B AB
sen 0 0 luego sen
0 por tan to
0
Si = = 0 entonces la recta de acción del vector vector A + B será igual a la recta de acción del vector A, por lo tanto el vector A + B tendrá la misma dirección de A y de B. : Por último, como el vector vector suma tiene su flecha en la flecha del segundo, segundo, el sentido del vector SENTIDO
A + B lo lo dará dará el vector vector B, como como A y B tiene tienenn el mismo mismo senti sentido, do, entonce entoncess A + B tendrá tendrá el el sentido sentido de de A o de B. b) SEGUN DO CA SO: cuando los l os vectores vectores tie ti enen la mi sma dir ección pero pero senti senti do contr contr ari o: NORMA : Observando la figura y comparándola con el caso general podemos afirmar que el ángulo que
forma A y B, B, esto esto es = = por tanto cos = = -1, reemplazando en la expresión expresión de la norma tendremos: 2 2 2 //A + B// = //A// + //B// - 2 //A// //B// De donde: donde: //A + B// 2 =( //A// - //B// ) 2
//A +B/ /
Sacando raíz cuadrada: cuadrada: / //A + B // / = / //A// - //B// /
A B
Θ = π
Por definic definición ión de de Valor Valor Absoluto Absoluto::
A+ B
0
Si // A // - // B // > 0 → / // A // - // B // / = // A // - // B //
B
Si // A // - // B // < 0 → / // A // - // B // / = // B // - // A//
//A // //B //
De modo que la norm a del del vector vector A + B ser áigu al a la diferencia diferenci a de las nor mas parcial es
Para Para determinar la dirección, debemos calcular el ángulo , como como = entonces entonces sen =0, =0, DIRECCION: A B
entonces
0
y cuando
7
A B
entonces
reemplazando en la ecuación correspondiente tendremos: senα
B
A B
sen 0
0
luego sen
0
por tan to
0
o
Este caso caso presenta presenta a la vez vez dos alterna alternativas tivas que que aparecen aparecen debido debido a que la norma de de A puede puede ser mayor mayor que la norma de B y viceversa, como ya se vio en el estudio de la norma. En ambos ambos casos casos la recta recta de acción acción del vector vector suma suma A + B coincide coincide con con la recta de acción acción del vector vector A por lo tanto se concluye que la dirección del vector suma es igual a la dirección de los vectores parciales. : El sentido del vector A + B lo da el vector de mayor longitud, debido debido a que al hacer el traslado SENTIDO
correspondiente de modo que la cola del menor coincida con la flecha del mayor, el sentido del mayor prevalece. prevalece.
En la figura figura 2.11 se puede puede observar observar uno de estos dos casos, casos, en en donde donde la norma de A es es mayor mayor que la norma norma de B, al realizar la suma hemos trasladado el vector B hasta que su cola coincida con la flecha de A, de modo que el vector suma A + B tendrá su cola en la cola de A y su flecha en la flecha de B, prevaleciendo así el sentido de A.
Vamos a enunciar las propiedades de modo conjunto debido a razones de tipo didáctico, dados los vectores A, B y C de Vn y c y d R: R: Propiedad Propiedad Suma A + B (sigla) (sigla) 1. Uni formidad Si A y B Vn Vn A + B Vn (PUSV) A + B = B + A (PCSV) 2. Conmutativa Conmu tativa ( A + B ) + C =A + ( B + C) (PASV) 3. Asociati Asociati va (PENSV) 4. Elemento Neutro A + 0 =A (-A) = 0 (PEISV) (PEISV) 5. Ele El emento I nverso nverso A + (-A) Vectorial: c( A + B ) = cA + cB 6. Di stri butividad
Escalar: Escalar:
Producto cA (sigl (sigl a)
Si A V V cA Vn (PUPEV) cA = Ac Ac (PCPEV) (cd)A = c(dA ) = d(cA) (PAPEV) Si c = 1 cA = A (PENPEV) No existe. existe. (PDV) (PDE)
( c + d )A = cA + dA
Definido Definido el producto producto de un un escalar escalar por un vector vector cA, y la suma suma de los vectore vectoress A + B, podemos podemos determinar determinar el vector A - B, transformando la diferencia en una suma entre el vector A y el vector (-1)B, es decir, el opuesto de B, de modo que A – B B = A + ( -B ). Los datos datos del del problema problema son A = ( a1 ,a2 ,...,a ,...,an ) y B = ( b1 ,b2 ,...,b ,...,bn ) De modo modo que: que:
luego – B B = ( -b1 ,-b2 ,...,-b ,...,-bn )
A - B = ( a ) 1 - b 1 1 , a 2 - b 2 2 ,... ... , a n - b n
Para tener tener una idea más clara de este vector vector vamos hacer hacer un análisis análisis geométrico geométrico de lo explicado explicado anteriormente, tenemos los vectores A y B, definimos el opuesto de B, esto es, -B y se lo sumamos al vector A, obtenien obteniendo do de esta manera manera el vector vector A - B B
On -B
A
A-B
El hecho de que la suma de vectores cumpla la regla del paralelogramo y sean vectores libres nos permite definir la siguiente característica, el vector diferencia A-B será el vector que sumado al vector B me da el vector A, esto es: B + ( A – B B ) = B + A -B =(B-B)+A = 0+A =A, de modo que el vector vector A – B B = BA
8
Podemos Podemos concluir concluir que el vector diferencia diferencia es el vector vector que tiene su cola en B y su flecha flecha en A, esto es, el vector que va de B a A, esta esta característica permite explicar explicar la razón por la cual el vector vector OA = A, dado que OA = A -0 = A. ANÁLI:SAplicando I S DEL VECTOR A – B: al triángulo O n BA: la Ley del Coseno Norma
B
De la figura 2.13 se deduce:
//B //
//A -B/ /
θ
//A + - B// 2 = //A// 2 + //B// 2 - 2//A// //B// cosθ O n n
//A//
α
A
: Para determinar su dirección hacemos lo mismo que hicimos en la suma, definimos su recta de Dirección
acción, en este caso el punto de paso es el punto B y se encuentra en el plano definido por las rectas de acción de A y B , luego tenemos que determinar solo , para para esto esto aplicamos aplicamos la Ley Ley de los Senos: Senos: A B sen
B
sen
de donde se deduce que :
sen
B
A B
sen
: Por último para definir el sentido, por lo dicho anteriormente, su flecha esta definida por la flecha Sentido de A, como se muestra en la figura 2.13
Ej emplo 1.1:
Descompone Descomponerr el vector vector X = (-1, (-1, 18) 18) en dos vector vectores es C y y D , tales que C es paralelo a A y D es paralelo a B , donde donde A = (-1, 4) y B = (1, 3). Luego: Luego: X = C + D Si C // A C = c A y si D // B
= d B D =
Por tanto:
c d 1 4c 3d 18
Por igualdad igualdad de vectore vectores: s: ( -c + d, 4c 4c + 3d 3d ) = ( -1, 18 ) Resolviendo Resolviendo:: Por lo que:
c =3
,
d=2
= ( 2, 6 ) C = ( -3, 12) , D =
Ej emplo 1.2:
Dado el triángulo triángulo ABC y las relaciones: relaciones: BD = hBC , CE = hCA , AF = hAB , siendo siendo tales vectores vectores representativos de las direcciones correspondientes y "h" un escalar. Demostrar que: AD + BE + CF = 0 Solución: Construimos un triángulo triángulo ABC, en el cual vemos que (figura2.15): BC + CA + AB = ( C – B B ) + ( A – C C ) + ( B – A A ) = “ = ( C – B B ) + ( B - A) + ( A – C C ) = /PCSV B + B – A + A - C = /PASV “ = C – B /PEISV “ = C + 0 + 0 - C = /PEISV “ = C – C = /PENSV BC + CA + AB = 0 /PEI SV
lqqd
Calcularemos la suma pedida y demostraremos demostraremos que es el vector cero: cero:
9
AD + BE + CF
Aplicando Aplicando las las propieda propiedades des de de la suma suma de vectore vectoress tenemos: tenemos: + AF AD + BE + CF = ( D – A ) + ( E – B ) + ( F – C ) = ( D – B ) + ( E – C ) + ( F – A ) = BD + CE + = hBC + + hCA + hAB = h( BC + CA + AB ) = h0 = = 0 . BC + AD + BE + CF = 0
l.q.q.d
Ej emplo 1.3:
Aplicando Aplicando el álgebra álgebra vectorial vectorial,, demuestre demuestre que las mediana medianass de un triángulo triángulo se cortan en un punto punto que dista dista de cada vértice 2/3 de la longitud de la mediana mediana respectiva. Solución: Dado el triángulo ABC, ubicamos los pies de las medianas (figura2.16): A
M a = ½.( B + C ) ; M c =½.( A + B ) M C C
Definimos: Definimos: + ½C - A AM a = M a- A = ½B + AI = t AM AM a = ( t/2 )B + ( t/2 )C - t A = = ½A + ½B - C CM c = M c - C sC – s CI = sCM c = ( s/2 )A + ( s/2 ) B –
I B C
– s Observamos que: AI = AC + + CI = ( C-A ) + ( s/2 )A + ( s/2 )B – sC -t A + (t/2)B + + (t/2)C = = ( s/2 – 1 1 )A + (s/2)B - (1 – s s )C Igualando Igualando los los coeficie coeficientes ntes de los los vectores: vectores: t s / 2 1 t / 2 s / 2 t / 2 1 s
Resolviendo: s = t = 2/3
Lo cual quiere decir que la longitud longitud del segmento segmento que une un vértice vértice con el punto de intersecció intersecciónn de las medianas es los 2/3 2/3 de la mediana respectiva: AI = (2/3)AM a , CI = (2/3)CM c Como se puede trabajar con cualquier par de medianas, análogamente: BI = (2/3)BM b Ej emplo 2.4:
Demostrar Demostrar la propiedad propiedad conmutativ conmutativa: a: A + B = B + A A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 + a3 + b3 , ........ .........,., an + bn ) / Def. de A+B B + A = (b1 + a1 , b2 + a2 + b3 + a3 , ........ .........,., bn + an ) / Def. Def. de A+B
a 1 b1 b1 a 1 a 2 b 2 b 2 a 2 a b3 b3 a 3 Luego A + B = B + A: 3 / Igualdad de Vectores ..................... ...................... a n bn bn a n Como la suma de números reales es conmutativa, conmutativa, entonces las n igualdades igualdades se cumplen, por tanto se cumple que A + B = B + A . Ej emplo 1.5:
Demostrar Demostrar la propiedad propiedad de distribut distributivid ividad ad escalar: escalar: ( c + d ) A = cA + dA
10
cA = ( ca 1 , ca2 , ca ca3 , ...........,can )
y dA = (da1 , da2 , da3 , ...........,dan )
/ Def. de cA
Luego la suma suma de cA + dA = ( ca ca 1 + da1 , ca2 + da2 , ca3 + da2 ,...........,can + dan ) / Def. Def. de A + B = [( c + d )a1 ,( c + d )a 2 ,( c + d )a 3 ,...........,( c + d )a n ] / PDPNR PDPNR = ( c + d ) A / Def. cA Por tanto: tanto: ( c + d ) A = cA + dA
1)
Dados los vectores: A = (a,-3p) y B = (2p,-b), hallar a, b y p para que: A + B = (8,-4) y A sea paralelo paralelo a B .
2)
Demostrar que los tres puntos: (2,0,-1), (3,2,-2) y (5,6,-4) son colineales.
3)
Demostrar que los puntos (4,0,1), (5,1,3), (3,2,5) y (2,1,3) son los vértices de un paralelogramo.
4)
Demostrar que si D = = B + + C , B // A y D // A , entonces entonces // A . C
5)
Sean: A = (a1 ,a2 ) y B = = (b1 ,b2 ) dos vectores vectores del plano plano que que no tienen tienen la misma misma dirección dirección y distintos distintos del vector cero. cero. Probar que para cada vector C = = xA + yB , existen existen los escalar escalares es x e y, y expresar expresar x e y por medio medio de de c 1 y c2.
6)
Si un cuadrilátero OABC de V 2 es un paralelogramo que tiene a A y C como vértices opuestos, demostrar que: relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta esta A + ½.( C C- A ) = ½B . ¿Qué teorema relativo igualdad? Enunciarlo.
7)
8)
C
Se da un paralelogramo paralelogramo ABCD. Se sabe que E es un punto medio de CD y F está a 2/3 de AE en el sentido sentido de A hacia E . Considerando el sentido de B hacia hacia C , demostrar demostrar que F está a 2/3 de BC (ver figura 2.15). 2.15).
E F
A
Dados dos vectores: A = (a1 ,a2 ) y B = = (b1 ,b2 ), demostrar demostrar que: que: -a1b2 + a2b1 = 0 si y sólo si A y B son paralel paralelos. os. En los ejercici ejercicios os del 9-12, 9-12, se dan las las coordenad coordenadas as de dos puntos puntos A y B . A es el extremo inicial y B es el extremo final de la representación de un vector. Decir cuál es el vector correspondiente en cada caso.
9)
A = (3, 5)
,
= (6, 8) B =
10)
A = (6, -4)
,
= (-1, 5) B =
11)
A = (4, -2)
,
= (-3, 6) B =
12)
A = (-5, -2)
,
= (-5, 6) B =
13)
Demostrar que al unir los puntos medios de un cuadrilátero plano, se obtiene un paralelogramo.
14)
Los puntos (1, 2), (3, 1) y (8, 4) son tres vértices de un paralelogramo. Calcular las tres posibles posiciones posiciones del cuarto cuarto vértice. vértice.
15)
Demostrar vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.
16)
Demostrar vectorialmente que el segmento de la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado, y su longitud es la mitad de este último.
11
17)
Demostrar que los puntos puntos (2, 9, 1), (3,11, (3,11, 4), (0, (0, 10, 2) y (1, 12, 5) son los vértices de un paralelogra paralelogramo. mo. En los ejercicios ejercicios del 18-22, 18-22, sean A = (1, 2, 3), B = = (2, 2, -1) y C = = (4, 0, -4). Hallar:
18)
A - B y B - A
19)
+ 2C A - B +
20)
2A + 4B - C
21)
, siendo siendo 2D - 3A = C D
22)
, siendo siendo 2A + B - C + + 3D = = 0 D
23)
Representar el vector A = (8, 8, 6) y hallar un vector B tal tal que: a) B tiene tiene igual dirección y sentido que A , pero pero la mitad mitad de su módu módulo. lo. b) B tiene tiene igual dirección, pero sentido opuesto a A , siendo siendo su módulo módulo la cuarta cuarta parte parte de A .
24)
Demostrar Demostrar que si D = = B + + C y B es es paralelo a A , entonces entonces D es es paralelo a A , si y sólo si C es es paralelo paralelo a A . Ilustrar este resultado gráficamente.
25)
Dibujar los vectores A = (2, 1) y B = (1, 3) partiendo del origen en el plano. En la misma figura dibujar el vector C = A + tB para cada uno de los valores siguientes de t: t = 1/3, t = ½, t = 1, t = 2, t = -1, t = -2.
26)
En una nueva figura dibujar los vectores A y B del ejercicio anterior. an terior. Sea C = xA + yB donde x e y son números reales. a) Dibujar el vector C para los siguientes pares de valores: (1/2, ½), (1/4, ¾), (1/3, 2/3), (2, 1), (3, -2), (-1/2, 3/2), (-1, 2).
27)
b) Dígase cual es el lugar geométrico de C cuando x e y recorren independientemente los intervalos 0 < x < 1, 0
b) A - B;
c) A + B - C;
d) 7A - 3C;
e) 2A +3 B – C C
28)
Sean A =(2, 1) y B =(1, 3). Demostrar que todo vector C =(c 1 , c 2 ) de V 2 puede expresarse en la forma C =xA + yB. Expresar x e y en función de c 1 y c2.
29)
Sean A=(1, 1, 1), B=(0, 1, 1) y C =(1,1,0) tres vectores de V 3 y D =xA + yB + zC, donde x, y , z son escalares. a) Determinar las componentes de D. b) Hallar x, y , z tales que D =(1 2, 3) c) Si D =0, demostrar demostrar que x = y = z =0
30)
Sean A =(1,1,1), B=(0,1,1) y C =(2,1,1) tres vectores de V 3 , y D = xA + yB + zC, en donde x, y y z son escalares.
12
a) Determinar los componentes de D b) Hallar x, y ,z no nulos tales que D = 0 c) Demostrar que ninguna elección de x, y y z hace D =(1, 2, 3) 31)
Sean A =(1,1,1,0), B =(0,1,1,1), C =(1,1,0,0) tres vectores de V 4 , y D =xA + yB + zC siendo x, y y z escalares. a) Determinar los componentes de D. b) Si D =0, demostrar que x = y = z = 0 c) Hallar x, y y z tales que D =(1, 5, 3, 4) d) Demostrar que ninguna elección elección de x, y z hace D =(1, 2, 3, 4)
32)
En V n demostrar que dos vectores vectores paralelos a un mismo vector son paralelos entre sí.
33).
Dados cuatro vectores no nulos A, B, C, D de V n tales que C =A + B y A es paralelo paralelo a D. Demostrar que C es paralelo a D si y sólo si B es paralelo a D.
34)
a) Demostrar, para los vectores de V n las propiedades de la adición y de la multiplicación por escalares. b) Mediante vectores vectores geométricos en el plano representar el significado geométrico geométrico de las dos leyes distributivas (c + d)A = cA cA + dA y c(A + B) = cA + cB.
35).
Si un cuadrilátero OABC de V 2 es un paralelogramo que tiene A y C como vértices opuestos, demostrar que A + (C - A)/2 = B/2. ¿Qué teorema relativo a los paralelogramos puede deducirse de esta igualdad?
Introduzcam Introduzcamos os un nuevo tipo de multiplica multiplicación, ción, llamado llamado producto producto escalar escalar o interior interior de dos vectores vectores en V n. Si A = (a1 , ... , an ) y B = (b1 , ... , bn ) son dos vector vectores es de V n , su producto producto escalar escalar se represen representa ta por A.B y se define define con con la igualdad: igualdad: n
A . B a1b1 a 2b2 ........ anbn
aibi i 1
a) A . B = B . A b) A.( B + C) = A.B + A.C
c) c(A . B ) = ( cA ). B = A . ( cB ) d) A . A > 0 si A ≠ 0 e) A . A = 0 si A = 0
“conmutativa” “distributiva” “homogénea” “positividad” “nulidad”
13
(PCPE)
(PDPE) (PHPE) (PPPE) (PNPE)
D emostr emostrar aremos emos dos de é stas propi prop i edades edades para f acil aci l i tar al a l al umno um no l a demostra demostración ción de las otras:
a) A.B = B.A n
aibi
A . B a1b1 a2b2 ........ anbn
/ Def Def . de A . B
i 1 n
n
A . B
aibi
bi ai
i 1
/ PCPNR
i 1
n
bi ai B . A / Def .de sumatoria
A . B
Luego :
A . B B . A
lqqd
i 1
d) A . A > 0 si A 0
/ PPPE ( positividad)
n
A . A
ai a i
/ Def .de sumatoria
i 1
n
ai
A . A
2
2
entonces a i 0 para todo i 1 ,2 ,. .. .. .. .,n
Por tan to A . A 0 lqqd
i 1
Si A y B son dos vectores de V n, , tenemos: tenemos: (A.B)² (A.B)² (A.A)(B.B) Además el signo signo de la igualdad igualdad es el válido válido si y sólo si uno uno de los vectores vectores es igual al product productoo del otro por un escalar, esto es, si A = cB.
Vamos a dar la definición de Norma de un vector, estudiando en primer lugar los casos más particulares para luego luego inducir inducir el caso general. general. En la figura 1.18 se tiene tiene un un vector vector A = (a1 ) en V 1 En donde donde a1 puede puede ser ser 0 ó 0
A
// A //
2
a1
a
La figura 1.19 muestra muestra el vector vector posición del punto A en V 2; por el teorema teorema de Pitágoras Pitágoras sabemo sabemoss que: que: // A //
2
o
a 1
Por tanto tanto la //A// = / a1 / Luego:
A
a12 a22
2
Pitágoras / T . Pitágoras
a
a12 a22
Luego: // A //
La figura figura 1.20 extiende extiende el el caso caso a V 3:
z a
3
2
2 1
2 2
d a a
/
T . Pitágoras Pitágoras
x a2
14
a
1
a 1
