FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial
Ing. José Avilés Recalde
- 1 -
En el plano: Escribir de las otras formas los siguientes vectores: 1.1. a) T = 40 m; S 60° O
b) W = 100 km( – –0,9397i – 0,3420 j)
c) C = 5 cm; 126,87°; 36,87°
d) H = 800 mm; 315°
e) L = ( – –15; 45) m
f) G = 3000 km; N 55° O
g) F = –200i – 500 j [cm]
h) D = 95 m; 30°; 120°
i) S = 85 km(0,5736 i + 0,8192 j)
j) M = 60i – 30 j [km]
Hallar la posición relativa del punto final del vector N = 700 m; 320° respecto al punto final del vector V = 550 m; 1.2. N 40° E
1.3.
Sumar por el método del polígono: A = 200 m; 130°; B = 600 m; S 50° E; C = 400 m; 40°; 50°
1.4.
Con los vectores dados en el problema anterior, encontrar por el método del polígono: ½ A – ⅛ C + ⅓ B.
1.5.
Dados: V = 300i – 400 j [km] y U = 200 km; 65°; hallar por el método del paralelogramo: a) 2 V + 3U; b) 2U + V.
1.6.
Encontrar, analíticamente: P + ½ Q – 3O; si: P = 60 cm; 20°; Q = –90i – 40 j [cm] y O = 125 cm S 40° E.
1.7. Dados los vectores: M = 125 cm(0,8192i – 0,5736 j) y L = –60i – 80 j [cm]; hallar: a) el menor ángulo entre ellos; b) la proyección de L sobre M; c) 2 M x L. 1.8. Si el producto escalar entre dos vectores que forman un ángulo de 125° entre ellos, es 5000 [u 2] y uno de ellos es 100 [u]; 115°, hallar el otro vector. 1.9. El vector base en el eje de las ordenadas de un vector es 60 j [m] y su ángulo de posicionamiento geográfico desde el S al E es 40°. Expresar dicho vector de todas las formas posibles. 1.10.
Escribir en coordenadas geográficas la posición relativa de Argentina respecto a Francia. Francia.
1.11.
Dar en coordenadas polares la la posición relativa de México respecto a Venezuela.
1.12. Escribir en función de sus ángulos directores la posición relativa de Sudáfrica respecto a Canadá. 1.13.
Dar en función de su unitario la posición posición relativa de Alemania respecto a Brasil.
1.14. Escribir la posición relativa de Argelia respecto a Rusia en coordenadas rectangulares y en función de las coordenadas del punto de llegada. 1.15. Si las coordenadas del punto de llegada de un vector cualquiera son (320; –250) m, escribir este vector en coordenadas geográficas y en función de su unitario. 1.16. El módulo o magnitud de un vector es es 500 km y forma un ángulo de 100° con el eje positivo de las ordenadas. Escribir este vector en coordenadas geográficas y en coordenadas rectangulares. 1.17. Dados los vectores: A = 45 cm; 310°; B = 100 cm; N 10° E y C = 80 cm; 110°; 20°; hallar analíticamente: a) 3 B – 5A + ½ C; b) la proyección de C sobre A; c) el producto punto entre los vectores C y B; d) el producto vectorial entre B y A. 1.18. Los puntos de llegada de dos vectores tienen las siguientes coordenadas: (25; 30) cm y ( –50; 35) cm. Escribir los vectores en función de sus unitarios y hallar el ángulo que forman entre ellos. 1.19.
Dos vectores sumados dan –7i – 3 j [m] y restando el segundo del primero dan 17 i + 17 j [m]. Hallar los vectores.
1.20. Dados los vectores: V = 500 mm; 20°; W = 250 mm; S35°O y Z = 300 mm; 130°; 140°; hallar: a) el producto escalar de V y W; b) el producto vectorial de Z y V; c) la proyección del vector W sobre el vector Z.
FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial
Ing. José Avilés Recalde
- 2 -
1.21. Expresar en coordenadas polares y en función de sus ángulos directores la posición relativa de Perú respecto a Inglaterra. 1.22. Dar la posición relativa de Rusia respecto a Colombia en función de su unitario, en coordenadas rectangulares y en función de sus ángulos directores. 1.23. Tres vectores forman un triángulo como se indica en la figura. El módulo de A es de 30 cm y el de C es de 55 cm. a) Escribir el vector A en coordenadas geográficas y en función de su unitario; b) hallar analíticamente: ½ A +3B – 6C; c) encontrar el vector proyección de A sobre C; d) hallar (2 A • ½ B)C; e) calcular: (3 B + ½ C) • (A – C) 1.24.
A
B C
40°
En base de los cuatro vectores que se muestran en la figura, cuyos módulos son: E = 25 m; F = 37 m; G = 42 m y H = 30 m: a) escribir el vector G en coordenadas rectangulares y en función de sus ángulos directores; b) encontrar analíticamente ( E – 2F) • ½ H; c) hallar el producto y vectorial entre 3G X H; d) hallar la posición relativa del punto de llegada de F respecto al F punto de llegada de E; e) calcular la proyección del vector H sobre el vector F.
77°
E 28° 45° x
1.25. Cuatro vectores cuyos módulos son de 25 cm forman un rombo como se indica en la A B figura; a) escribir el vector en coordenadas A G 18° geográficas y en función de sus ángulos 40° H directores; b) escribir el vector C en función de su unitario y en coordenadas polares; c) C D encontrar el valor de [5 A + 3(B – 4C)] • D; d) hallar la posición relativa del punto final de A respecto al punto final de B; e) calcular el producto vectorial C X 3A; f) hallar el vector proyección de A sobre C y el vector proyección de D sobre B. 1.26. Dados los vectores: M = 500 cm; 56°; N = 250 cm; N20°O; O=( –300; –400)cm y P = 200i – 320 j [cm]; a) escribir el vector M en coordenadas geográficas; b) expresar el vector N en función de su unitario; c) escribir el vector O en función de sus ángulos directores; d) expresar el vector P en coordenadas polares; e) hallar 3 M • ½ P; f) calcular 4 O X ⅝ N; g) encontrar el vector proyección de N sobre M; h) hallar el ángulo comprendido entre O y P. 1.27. El radio de la semicircunferencia graficada es de 30 m; para los vectores inscritos en ella, a) expresar A en coordenadas rectangulares; b) hallar la posición relativa del punto de llegada de B respecto al punto de llegada de C; c) encontrar el vector y proyección de D sobre A; d) calcular ⅔ B X 3C; e) hallar (2A – 3D) • ( ½ C + 4B); f) calcular ( A + 2B) X (3C – ½ D)
B 30° D 30°
A
1.28. Dados los vectores cuyos módulos son: V = 10 x km; U = 25 km T = 32 km y W = 40 km, ubicados como se indica en la figura, a) escribir el vector W en coordenadas rectangulares; b) expresar el vector V en función de su unitario; c) encontrar el vector proyección de U sobre T; d) calcular el vector posición relativa del punto final de U respecto al punto de llegada de W; e) encontrar el producto punto entre T y V; f) sumar analíticamente los cuatro vectores; g) hallar el resultado del producto vectorial de U con V; h) calcular: (3T – 2V) X (W + ½ U).
C 50° 20°
y
W
35° U 28° 22° V
T 16° x
1.29. Expresar en coordenadas polares y en función de su propio unitario la posición relativa de México respecto a India.
y
1.30. Si dos vectores sumados dan como resultado 35i – 50 j [cm] y al restar el segundo del primero resulta el vector 125 i – 100 j [cm], encontrar dichos vectores.
y’
1.31. El vector base en el eje de las abscisas de un vector tiene un módulo de 850 mm y el ángulo de posicionamiento geográfico es de 38° medido desde el norte hacia el este. Escribir dicho vector en función de su unitario.
A
1.32. La suma vectorial gráfica por el método del polígono de cuatro vectores se muestra en el gráfico; si los módulos de cada uno de ellos son: A = 5 cm; B = 8 cm; C = 6 cm y D = 7 cm; a) expresar el vector B en coordenadas geográficas; b) escribir el vector D en función de su unitario; c) hallar la posición relativa del punto de llegada del vector A respecto al punto final del vector C; d) hallar el vector
y”
R
x’
32°
x”
C
41°
y”’ D 15° x”’
50°
B
x
FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial
Ing. José Avilés Recalde
- 3 -
proyección de D sobre B; e) calcular el producto escalar de B con C; f) realizar el producto vectorial entre D y A.
1.33. El vector M forma un ángulo de 110° en sentido antihorario con el vector N = 115i + 122 j [m] y tiene un módulo de 110 m; escribir el vector M en coordenadas geográficas y en función de su propio unitario. 1.34. Sabiendo que el vector D = –120i + 100 j [km] forma un ángulo de 80° en sentido horario con el vector E cuyo módulo es de 160 km hallar, por el método del paralelogramo y analíticamente, la suma de 3 E + 2D y encontrar la proyección de D sobre E. 1.35. Si la componente en el eje x de un vector mide 30 cm y el ángulo para las coordenadas polares del vector es 150°, hallar el producto punto de este con un segundo vector cuyo vector base en el eje de las ordenadas mide 40 cm y el ángulo de posicionamiento geográfico del segundo vector es de 25° medido desde el sur hacia el oeste. 1.36.
Dado el vector A = 560 m( –0,7071i – 0,7071 j), escribirlo de las otras formas posibles.
1.37. Si dos vectores forman entre sí un ángulo de 132° y sus módulos son 50 u y 30 u, estando el segundo orientado 50° desde el norte hacia el oeste, hallar la posición relativa del punto final del primer vector respecto al punto de llegada del segundo vector. 1.38.
Expresar el vector H = 60 u; 120°; 150° de las otras formas posibles.
1.39. Dos vectores perpendiculares entre sí se suman y el módulo de la resultante es de 500 m. Hallar dichos vectores sabiendo que el primero forma un ángulo de 35° con las abscisas y el segundo tiene un módulo de 200 m. 1.40. El vector base en las abscisas de un vector mide 0,36 m y dicho vector forma un ángulo de 68° medido desde el sur hacia el oeste. Expresar este vector en coordenadas polares y en función de sus ángulos directores. 1.41. Dados los vectores: K = 6000i + 5000 j [u]; L = 7000 u; 205° y M = 4500 u(0,9848i – 0,1736 j); hallar: a) K X ½ M; b) (2L – M) • 3K; c) la proyección de M sobre K; d) el ángulo comprendido entre M y L e) ¼ K – ½ L + ⅞ M. 1.42. Expresar la posición relativa de Argentina respecto a Austria en función de sus ángulos directores y en función de su propio unitario. En el espacio: Expresar de las ocho formas posibles los siguientes vectores: 50
5.1.
V =
5.2. 5.3.
A = 61 N; N 33,69° O; 22,59° depresión H = 5i – 3 j – 2k [m]
5.4. 5.5. 5.6.
E = 38 km (0,8111i – 0,4867 j – 0,3244k) L = (50; 40; –30) cm G = 4i + 5 j – 2k [m]
5.7. 5.8.
Q = 62 m; S 66,8° E; 14,71° depresión P = 9 cm (0,888i - 0,111 j + 0,444k)
5.9. 5.10.
O = 43 6 mm; 16,7°; 90°; 106,7° A = ( –18; 7; 0) dinas
5.11.
a =
5.12. 5.13.
I = 632 m; N 55°E; 13,81° elevación C = –18i + 13 j +18k [cm]
5.14. 5.15.
r = 756 mm; 29,21°; 115,88°; 102,6° O = ( –4; 3; 2) km
5.16. 5.17. 5.18.
D = 38 cm; 60,88°; 35,8°; 108,93° K = (5; –2; 3) N Ñ = –4i –2 j + 2k [km]
5.19.
J =
5.20.
H =
cm; 45°; 124,45°; 115,1°
497
50
cm ( –0,4037i – 0,8971 j + 0,1794k)
m; S 59,04° E; 34,45° depresión
38
cm (0,8111i – 0,4866 j – 0,3244k)
FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial
y
AO = 40 cm AD = 20 cm AB = 20 cm GO = 30 cm TV = 30 cm GH = 50 cm TU = 70 cm
S
R
T
U W
B
K
V
J
C
Ñ
A N
O E
D TS = 10 cm ÑM = 70 cm GF = 20 cm z
Ing. José Avilés Recalde
G
H
F
I
x
Q
L P
M
Realizar los siguientes ejercicios tomando en cuenta los datos del gráfico anterior: 5.21. Expresar el vector OL de las ocho formas posibles. 5.22. Hallar el ángulo comprendido entre los vectores IS e IQ 5.23. Calcular el vector proyección de GR sobre GK 5.24. Hallar el resultado de: (NS X MR) + (2CO X LV) 5.25. Realizar la siguiente operación: 5( OR • EK)PR 5.26. Encontrar el vector proyección de SB sobre SH 5.27. Calcular el ángulo formado entre los vectores NQ y NG 5.38 Expresar el vector JF en coordenadas geográficas 5.29. Hallar el valor de: (2EI • 0,5KD) (3OQ X BR) 5.30. Calcular: (UD – 2AI) • (WM X EB) Para el siguiente gráfico, expresar en coordenadas geográficas los vectores: 5.31.
OR
5.36.
OH
5.37.
OI
OD
5.32.
OÑ
5.33.
C 3cm
y
5.34.
OK
D
2cm A T 4cm
B
2cm U
5cm
2cm R
S
Ñ
1cm N L z
M
O
5cm
G
3cm
Z
2cm Y X P
Q
5cm
F 2cm
K 2cm
H V
I
x
4cm
J
Basados en el gráfico anterior, realizar analíticamente las siguientes operaciones:
5.35.
OJ
- 4 -
FÍSICA: Recopilación de Problemas de Algebra Vectorial
Ing. José Avilés Recalde
- 5 -
5.38. 3MG + 2KT – GS 5.39. 20VC + 30XR – 10ÑF 5.40. 5JT – 2VR + 8HP 5.41. 10MB – 5ZC + 8DN 5.42. 50PD + 10WX – 100IT 5.43. (2AF • BK) 4SQ 5.44. (3BS X PR) – (GV X 3OR) 5.45. (NJ + 2ZC) • AG 5.46. Hallar el ángulo comprendido entre CT y CW 5.47. Calcular el ángulo formado entre JP y JR 5.48. Encontrar el vector proyección de TN sobre TB 5.49. Hallar el vector proyección de JS sobre JD 5.50. Encontrar el ángulo entre los vectores QN y QU 5.51. Dados los puntos: F(20; 15; 10) m; G( –10; 10; 20) m ; y H(10; –20; 15) m, ubicarlos en el espacio tridimensional, hallar sus proyecciones en los planos principales y en los ejes, pintar los ángulos rectos principales en las proyecciones y dar las posiciones relativas entre ellos. 5.52. Dados los puntos: A( –20; –15; –10) cm ; B(10; –10; –20) cm ; y C( –10; 20; –15) cm, ubicarlos en el espacio tridimensional, dar las posiciones relativas entre ellos, dibujar los vectores A, B y C (que parten del origen de coordenadas) y para B dibujar los triángulos principales y secundarios respecto al plano XZ. 5.53. Dados los puntos: T(200; 150; 100) m ; U( –100; 100; 200) m y V(100; –200; 150) m, ubicarlos en el espacio tridimensional, dibujar los prismas adscritos a dichos puntos, dibujar el vector V que parte del origen, dibujar los triángulos principales y secundarios respecto al plano XY y expresar V de las cinco formas posibles. 5.54. Dados los puntos de coordenadas: M(1500; –2000; –3000) cm y N( –2000; 3000; 1000) cm, ubicarlos en el espacio tridimensional, dibujar los respectivos prismas adscritos, dar sus posiciones relativas. Dibujar los vectores M y N que parten del origen de coordenadas y calcular el ángulo comprendido entre ellos. 5.55. Para los puntos dados en el ejercicio 5.52 hallar el ángulo comprendido entre los vectores BA y BC y calcular la proyección del vector CA sobre CB. 5.56. Con los puntos dados en el ejercicio 5.53 hallar el resultado de ( TU • 2VT) VU. Encontrar el ángulo comprendido entre UV y UT y la proyección de T sobre U que parten del origen de coordenadas.
