UNIDAD 2. Matrices
EVIDENCIA DE APRENDIZ APRENDIZAJE AJE Asignatura: Álgebra Lineal acilita!"ra !el curs": Mtra. Matil!e ierr" N"#bre: $ergi" Mart%ne& Aran!a e'#ail: #artine&serata("utl #artine&serata("utl"").c"# "").c"# Matricula: AL*+,+,2-
M/t"!" 0auss'J"r!an En esta presentación vamos a tratar el método de Gauss-Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones. Además de presentar algunos ejemplos que ejemplifiquen dicho método.
M/t"!" 0auss'J"r!an El método se trata de acomodar en una matriz ampliada los coeficientes de cada variale ! los términos independientes. 2 x −, y + 1 z = -
x −2 y + z = 1 , x + y + z =**
(
2 * ,
−, −2
1
-
*
1
*
**
)
M/t"!" 0auss'J"r!an "on ella# se hacen operaciones en cada renglón para lograr transformar la matriz principal en una matriz identidad
(
2 * ,
−, −2 *
1
-
*
1
**
) ( R * → R 2
* 2 ,
−2 −,
*
1
1
-
*
**
)
Para dichos cálculos es necesario tener un pivote, que es el número uno en la primera fla, para acilitar las operaciones entre renglones
M/t"!" 0auss'J"r!an
( (
* 2 ,
* + ,
−2 −,
*
1
1
-
*
**
−2 −*
*
1
*
−2
*
** **
) )
R 2 − 2 R * → R 2
R 1 − , R * → R 1
( (
*
−2 −*
*
1
*
−2
,
*
** **
*
−2 −*
*
1
*
**
2
−2 −-
+
+ +
) )
M/t"!" 0auss'J"r!an
( (
* + +
−2 −*
*
1
*
**
2
−2 −-
*
−
2
*
1
+
−
*
*
−
+
+
*1
2
−
23
)
)
R 1 + ** R 2 → R 1
R 1 / *1 → R 1
(
(
*
−
2
*
1
+
−
*
*
−
+
+
*1
2
−
*
−
2
*
+
−
*
*
−
2
*
−
2
+
+
1
23
)
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
( (
*
−
2
*
+
−
*
*
−
2
*
−
2
+
+
1
*
−
2
*
1
+
−
*
+
+
+
+
*
−
) )
2
(
− R 1 + R 2→ R 2
− R 2 → R 2
(
*
−
2
*
1
+
−
*
+
+
+
*
+
−
2
*
−
*
1 +
+
*
+
+
+
*
−
2
)
2
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
−
2
*
+
*
+
+
+
*
(
1 + −
*
+
*
1
+
*
+
+
+
+
*
−
)
(
2 R 2 + R * → R *
2
2
)
− R 1 + R * → R *
(
*
+
*
1
+
*
+
+
+
+
*
−
*
+
+
,
+
*
+
+
+
+
*
−
2
2
)
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
+
+
,
+
*
+
+
+
+
*
x =,
−
2
)
Esta matriz identidad junto con un vector a$adido nos facilita el cálculo del resultado# !a que podemos otenerlo directamente# es decir
y =+
z =−2
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
-
2
,
2
+
1
*
3
1
.
)
− 2 R *+ R 2 → R 2
(
*
-
2
,
+
−4
1
−
*
3
1
.
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
-
2
,
+
−4
1
−
*
3
1
.
− 2 R 1 + R * → R *
(
)
(
− R * + R 1 → R 1
*
+
+
−1
+
−4
1
−
+
2
*
-
)
*
-
2
,
+
−4
1
−
+
2
*
-
R1 2
→ R 1
(
)
*
+
+
−1
+
−4
1
−
+
*
* 2
2
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
+
−4
+ +
*
−1
+
−
1 *
2
2
→ R 2
+
+
−1
+
+
.
+
*
*
2
2
( ) ( ) *
R 2
) ( ) 4 R 1+ R 2 → R 2
*
+
+
+ +
*
+ *
*
2
−1 .
2
*
− R 2 + R 1 → R 1 2
* +
+
+ +
*
+ *
+
−1 .
*.
*-
M/t"!" 0auss'J"r!an
x1
3
19
x 2 9
x 3
7
14
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
2
1
1
*
−2
,
1
2
)
R 2 ⇔ R *
(
)
*
−2
,
2
1
1
1
2
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
)
−2
,
2
1
1
1
2
− 1 R * + R 1 → R 1
(
− 2 R *+ R 2 → R 2
*
−2
,
+
− −4
+
4
(
*
−2
,
+
−
1
2
) ( R2
→ R 2
)
*
−2
,
+
*
+
4
−* −4
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
(
*
−2
,
+
*
+
4
−* −4
− 4 R 2 + R 1→ R 1
(
)
− 2 R *+ R 2 → R 2
*
−2
,
+
*
−*
+
+
+
)
(
*
+
1
+
*
+
4
−* −4
)
M/t"!" 0auss'J"r!an
x 3 y
1
M/t"!" 0auss'J"r!an "omo se presentó en está e%posición# el método de Gauss-Jordan es una modificación del método por eliminación de Gauss# en donde se encuentran los valores de las variales más rápidamente porque se calculan en la misma matriz ampliada que se traaja# a diferencia del método anterior. anterior.
M/t"!" 0auss'J"r!an
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