Logique formelle
Partie I - Le calcul calcul des des prédicats prédicats ¾
Modélisation
CP0.
Le calcul des Prédicats d’ordre 0 (Propositions Propositions))
CP1.
Le calcul des Prédicats d’ordre 1 (Prédicats Prédicats))
Part Pa rtie ie II II - Les mét métho hodes des de de calc calcul ul ¾ ENSI
Déduction
Logique formelle
1
Logique formelle Chapitre 1
Le calcul des Propositions Calcul propositionn propositionnel el Logique d’ordre 0 CP0
ENSI
Logique formelle
2
Calcul des propositions
I – Sy Synt ntax axe e 1. Défi Définiti nition on du lan langag gage e 2. Arbr Arbre e de décomposi décomposition tion d’une d’une formul formule e 3. Sub Substit stituti ution on dans dans une une formule formule
II – Sé Séma manti ntique que
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
3
Syntaxe
1- Défin Définition ition du langa langage ge Un langage langage logiq logique ue est est défini défini par une une syntaxe syntaxe,, qui est définie par un un ensemb ensemble le de symb symbole oles s (alphabet alphabet)) et un ensemble de règles perme permettant ttant de combin combiner er ces symbole symboles s sous forme forme de mots (séquence de symboles) appelées formules (bien formées). formées ). C’est l’aspect structurel et grammatical du langage. On associe au langage une sémantique qui permet de lui donner un sens (l’interpréter). C'est-à-dire attacher aux formules ainsi qu'aux symboles une signification (paragraphe II). Pour définir un langage, on doit commencer par définir son alphabet. ENSI
Logique formelle
4
Calcul des propositions
Syntaxe
Des variab variables les pro propos positio itionne nnelle lles s (atomes atomes)) R 0 = { p, q, … } évent. indicées { p1, q1, p2, q2, … }
Des sym symbol boles es log logiqu iques es (connecteurs connecteurs)) négation (« non ») disjonction (« ou ») conjonction (« et ») implication (« implique » ) équivalence (« si et seulement si » )
Des constantes
V (vrai)
Des symboles auxiliaires ENSI
unaire binaire « « «
F (faux) ’(’ ’)’ ’,’
Logique formelle
Calcul des propositions
5
Syntaxe
Une formule propositionnelle est un mot construit sur l’alphabet A 0 = R 0 U { ,
, ,
Comment ?
ENSI
,
} U { F,V } U { ( , ) , , }
Selon quelles règles ?
Logique formelle
6
Calcul des propositions
Syntaxe
Définition Formules propositionnelles L’ensemble des formules propositionnelles (noté L 0 ) est le plus petit ensemble de mots construits sur l’alphabet A 0 et qui vérifie les propriété propriétés s suivantes suivantes :
il contient R 0 U { V, F }
à chaq chaque ue fois qu’il qu’il contient contient le mot A A,, il contient le mot ( A )
à chaq chaque ue fois qu’il qu’il contient contient les mots A et B, il contient les mots : ( A
B), (A
ENSI
B), (A
B), (A
Logique formelle
Calcul des propositions
B) 7
Syntaxe
Autrement dit
L’ensemble L 0 des propositions bâtis sur l’alphabet A 0 est le plus petit petit ensemble ensemble qui contient contient R 0 U { V, F } et qui qui est clos (stable) (stab le) pour les opérations opérations suivantes suivantes :
ENSI
A ∈ L 0
Æ
( A ) ∈ L 0
A , B ∈ L 0
Æ
(A
B ) ∈ L 0
(A
B ) ∈ L 0
(A
B ) ∈ L 0
(A
B ) ∈ L 0
Logique formelle
8
Calcul des propositions
Syntaxe
Autrement dit
Soit L 0 l’ensemble des formules propositionnelles, alors : 1. un atome est une formule (R 0 ⊂ L 0 ) 2. V et F sont des formules
( { V,F } ⊂ L 0 )
3. si A et B sont des formules alors (A
B), (A
B),(A
B),(A
B)
sont des formules 4. si A est une formule alors ( A ) est une formule 5. rien d’autre n’est une formule (toutes les formules propositionnelles sont générées par application des quatre règles précédentes uniquement) ENSI
Logique formelle
9
Calcul des propositions
Syntaxe
Remarque L’ensemble L 0 des formules propositionnelles est appelé le langage d’ordre 0 ou le langage du (calcul) des propositions (ou des prédicats d’ordre 0) Exemples
Les mots suivants sont des formules (p
(( ( q (F
r ))
p ))
(p
V)
((p
( p)
q)
(( p )
F
q) q)
( q )) q
Les mots suivants ne sont pas des formules (pq ) ENSI
(( p ) Logique formelle
( q )) 10
Calcul des propositions
Syntaxe
Remarque On peut enlever le parenthésage en l’absence de toute ambiguïté Il faut fixer une priorité (poids) pour les opérateurs
¾
+
Ordre de priorité :
priorité la plus faible (par convention)
+
(par coutume)
ENSI
Logique formelle
11
Calcul des propositions
La formule
Syntaxe
p
q
r s
p
u
v
sera parenthésée : ((((p
q) 2
( r s ) ) 5
La formule
3 p
(q
( p)) 6
1
r)
s
t
(u
v))
7
4
p
(p
r)
t
sera parenthésée : (((p
ENSI
( ( (q
r)
s)
(t
p)))
Logique formelle
( (p
r )) )
t)
12
Calcul des propositions
Syntaxe
2- Arbre de décomposition d’une formule A: ((p
( q
p))
⇒
( q
A11
r) )
(q
A12 A1
A11: p A111
(
p) A2
q
p
A1121
)
A12 : (
A1122
q A121
r ) A122
A112
A2 : ( q A21
p
)
A22
On peut représenter cette décomposition sous forme d’un arbre ENSI
Logique formelle
13
Calcul des propositions
Syntaxe A
A1
A2
A111
A112
p
A121:
q A122:
A22: A221
p
A1121
A1122
A11211
A11221
q ENSI
A21
A12
A11
q
r
p Logique formelle
14
Calcul des propositions
Syntaxe
q p
p r
q q
Les opérateurs à traiter en premier se trouvent au bas de l’arbre
p
ENSI
Logique formelle
15
Calcul des propositions
Syntaxe
Théorème de lecture unique Pour toute formule A ∈ L 0 , un et un seul des 3 cas suivants se présente : 1. A ∈ R 0 U { V, F } 2. il existe une unique formule B
L 0 telle que
A = ( B)
3. il existe un unique symbole de connecteur binaire # ∈ {
,
,
,
}
et un unique couple de formules ( B, C ) ∈ L 02 tels que
A = (B # C) " = " égalité syntaxique
ENSI
Logique formelle
16
Calcul des propositions
Syntaxe
Corollaire L’arbre de décomposition d’une formule est unique
Remarque On dit que le langage des propositions est non ambigu
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
17
Syntaxe
3- Substitution dans une formule Définition Soient • A et B deux formules propositionnelles • p une variable propositionnelle de A A[p
B ] est le mot obtenu en substituant la formule B à la variable p
La substitution s’applique à toutes les occurrences de la variable p Autre notation : A (B / p) ENSI
Logique formelle
18
Calcul des propositions
Syntaxe
Exemple A: p
(q
p)
B: q
r
• La variable p a 2 occurrences dans A • La variable q a une seule occurrence dans A A [ p ← B] = B
(q
= (q
B)
r)
ENSI
(q
(q
r))
Logique formelle
19
Calcul des propositions
Syntaxe
On peut étendre la substitution à un ensemble de formules
A [ p1
B1 p2
B2 … pn
Bn ]
est le mot obtenu en substituant respectivement les formules B1, B2 , …, Bn à toutes les occurrences des variables p1, p2, …, pn
ENSI
Logique formelle
20
Calcul des propositions
Syntaxe
Théorème Soient •
A , B1 , B2,…, Bn des formules propositionnelles
•
p1, p2, …, pn des variables propositionnelles alors le mot
A [ p1
B1, p2
B2, … , p n
Bn ]
est une formule propositionnelle
ENSI
Logique formelle
21
Calcul des propositions
Syntaxe
Exemples A: p
q
B: q
• A [ p ← B, q ← C] = B
r
C = (q
r)
C: p
r
(p
r)
• A [r ← C] = A
ENSI
Logique formelle
22
Calcul des propositions
Syntaxe
Remarque La substitution simultanée (remplacement en parallèle) est différente de la substitution séquentielle (remplacement en série) A [ p1
B1 p2
B2]
(A [ p1
substitution simultanée
ENSI
B1] ) [ p2
B2 ]
substitution séquentielle
Logique formelle
23
Calcul des propositions
Syntaxe
Exemples A: p
q
B: p
q
(p
q)
• A [ p ← B, q ← C] =
: p (p
• ( A [ p ← B ] ) [ q ← C] = ( ( p = (p • A [ q ← C, p ← B] = •
(p
( A [ q ← C] ) [ p ← B ] = ( p = (p ENSI
q) (p q)
q) q ) [ q ← C] q) ) (p
(p q)
Logique formelle
q
(p
q)
q)
q) ) [ p ← B] ((p
q)
q) 24
Calcul des propositions
Syntaxe
Remarque • Pour la substitution simultanée l’ordre n’est pas important A [ p ← B , q ← C] = A [ q ← C , p ← B ]
• Pour la substitution séquentielle l’ordre est important (A [ p ← B]) [q ← C]
ENSI
(A [ q ← C] ) [ p ← B ]
Logique formelle
25
Calcul des propositions
I – Syntaxe II – Sémantique 1. Interprétation 2. Satisfiabilité - Validité 3. Equivalence et conséquence sémantiques 4. Système complet de connecteurs 5. Satisfiabilité d’un ensemble de formules 6. Application 7. Formes normales ENSI
Logique formelle
26
Calcul des propositions
Sémantique
Sémantique : relatif au sens (du grec sêmantikos : «qui signifie») Donner un sens à une description textuelle (fournir un modèle de certains aspects de ce que représente cette description)
• Syntaxe = définition des formules (la forme) • Sémantique = effets de l’évaluation des formules (le sens)
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
27
Sémantique
1- Interprétation A chaque proposition A, on va lui associer une valeur de vérité dans l’ensemble { VB , FB } au moyen d’une application appelée interprétation (notée I) ¾
Notation [A]I
Pour cela nous allons utiliser un morphisme sur l’algèbre de Boole
ENSI
Logique formelle
28
Calcul des propositions
Sémantique
Définition Algèbre de Boole L’algèbre de Boole est formée par : • un ensemble de valeurs de vérité B = { VB , FB }
• un ensemble d’opérateurs booléens {
B
,
B
,
B
,
B
,
B}
définis comme suit : suite ENSI
Logique formelle
29
Calcul des propositions
b
b’
VB
VB
FB
VB
VB
VB
VB
VB
FB
FB
FB
VB
FB
FB
FB
VB
VB
FB
VB
VB
FB
FB
FB
VB
FB
FB
VB
VB
ENSI
b
Sémantique
b
b’ b
b’ b
Logique formelle
b’
b
b’
30
Calcul des propositions
Sémantique
George BOOLE (1815 - 1864) Mathématicien et logicien anglais. Autodidacte, créateur de la logique moderne qui porte son nom (logique booléenne, aussi appelée algèbre de Boole ou algèbre booléenne). Il a aussi travaillé dans d'autres domaines mathématiques, des équations différentielles aux probabilités en passant par l'analyse. Il publia : - « Mathematical Analysis of Logic » (1847) - « An investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities » (1854) Où il développe une nouvelle forme de logique, à la fois symbolique et mathématique. Le but : traduire des idées et des concepts en équations, leur appliquer certaines lois et retraduire le résultat en termes logiques. ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
31
Sémantique
Définition Interprétation
Une interprétation (ou distribution de valeurs de vérité), notée I, est une application de R 0 dans l’ensemble B
suite ENSI
Logique formelle
32
Calcul des propositions
Sémantique
Définition (suite) Une
interprétation peut être étendue à l’ensemble de formules
L 0 (appelée aussi interprétation) par le morphisme suivant :
• [ V ]I = VB • [ A ]I =
B
[ F ]I = FB [ A ]I
• [A
B ]I = [ A ]I
B
[ B ]I
• [A
B ]I = [ A ]I
B
[ B ]I
• [A
B ]I = [ A ]I
B
[ B ]I
• [A
B ]I = [ A ]I
B
[ B ]I
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
33
Sémantique
Remarque L’extension de l’application I de R 0 à L 0 est unique vu l’unicité de l’arbre de décomposition
ENSI
Logique formelle
34
Calcul des propositions
Sémantique
Exemple Soit
A: p
[ A ]I = [ p
(q ⇒ p) (q ⇒ p) ]I = [ p ]I
B
[(q
= [ p ]I
B
([q ]I
p) ]I B
[p ]I)
L’interprétation de A par I va dépendre de l’interprétation de p et de q par I Si I est définie comme suit : [ p ]I = VB , [q ]I = FB alors
[ A ]I = VB
B
( FB
ENSI
B
VB) = VB
Logique formelle
35
Calcul des propositions
Le
Sémantique
résultat de l’interprétation d’une formule - selon les
différentes distributions de valeurs de vérité possibles - peut être représenté par une table appelée « table des valeurs de vérité »
La
ou
« table de vérité »
table aura 2n lignes différentes qui correspondent aux
différentes distributions de valeurs de vérité possibles (avec n le nombre de variables distinctes de la formule)
ENSI
Logique formelle
36
Calcul des propositions Table de vérité de
¾ Désormais
Sémantique
A:p
(q
[p]I
[q]I
VB
VB
VB
VB
VB
FB
VB
VB
FB
VB
FB
FB
FB
FB
VB
FB
nous
[q
p)
p]I
[ A ]I
confondons
les
opérateurs
et
les
constantes booléens avec les opérateurs et les constantes logiques ENSI
Logique formelle
37
Calcul des propositions
Table de vérité de
Sémantique
p, p
q
p
q, p
q
q
q
q
q
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
Logique formelle
p
q, p
p
ENSI
p
q, p
p
38
Calcul des propositions
Sémantique
Exemples
•
Table de vérité de
B : ( ( (p
p
q
(p
q)
p)
q)
p
p)
p
q
B
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V suite
ENSI
Logique formelle
39
Calcul des propositions
•
Table de vérité de
ENSI
Sémantique
C : ( (p
p
q
q)
(p
q) )
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
p
q
Logique formelle
C
40
Calcul des propositions
Sémantique
2- Satisfiabilité - Validité Définition Soient I une interprétation et A une formule Si [ A ]I = V, alors on dit que :
¾
A
est vraie dans l’interprétation I
A
est satisfaite par I
I satisfait A
I est modèle de A
notation
I
╞ A
ENSI
Logique formelle
41
Calcul des propositions
Sémantique
Définitions
Une formule vraie dans toute interprétation est dite valide appelée aussi une tautologie Pour tout interprétation I, on a [ A ]I = V
¾
notation
╞ A
Elle est dite invalide dans le cas contraire (au moins fausse pour une interprétation )
Une formule fausse pour toute interprétation est dite insatisfiable ou inconsistante ou contradictoire appelée aussi une contradiction (ou une antilogie)
Elle est dite satisfiable ou consistante dans le cas contraire (au moins vraie pour une interprétation) ENSI
Logique formelle
42
Calcul des propositions
Sémantique
Exemples
La formule ((p
q)
La formule (p
q)
La formule p
(q
p)
(p
p est une tautologie
q ) est une contradiction
p) est satisfiable et invalide
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
43
Sémantique
Remarques
Si une formule est valide (tautologie) alors elle est satisfiable. L’inverse n’est pas vrai
Si une formule est insatisfiable (contradiction) alors elle est invalide. L’inverse n’est pas vrai
Une formule peut être à la fois satisfiable et invalide
Une formule ne peut jamais être à la fois valide et insatisfiable (en même temps une tautologie et une contradiction) ENSI
Logique formelle
44
Calcul des propositions
Sémantique
Remarque Pour n’importe quelle formule propositionnelle, il est possible de savoir si la formule est insatisfiable
►
valide, invalide, satisfiable ou
Il suffit de dresser la table de vérité
Donc le calcul des propositi ons est décidable : il existe un algorithme qui, pour toute formule propositionnelle, nous dit si «oui» ou «non» la formule est une tautologie (notion à étudier ultérieurement) C’est une propriété fondamentale du calcul des propositions
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
45
Sémantique
Propositions
A est une tautologie
A est une contradiction
ENSI
ssi
ssi
A est une contradiction
A est une tautologie
Logique formelle
46
Calcul des propositions
Sémantique
Preuve
A est une tautologie ssi pour tout I on a [ A ]I = V
comme [ A ]I = [ A ]I alors pour tout I on a [ A ]I = [ A ]I = V = F donc A est une contradiction A est contradiction ssi pour tout I on a [ A ]I = F
alors pour tout I on a [ A ]I = [ A ]I = F donc pour tout I on a [ A ]I = V donc A est une tautologie Conclusion : A est une tautologie ssi A est une contradiction ENSI
Logique formelle
47
Calcul des propositions
Sémantique
Propriétés
(p
p) est une tautologie
(p
q1
(p
A
(p
(p
…
qn
p
p
qn+1
…
qn+m) est une tautologie
B) est une tautologie
p) est une contradiction q1
…
qn
p
qn+1
…
qn+m) est une
contradiction
(p ENSI
B
p
C) est une contradiction Logique formelle
48
Calcul des propositions
Sémantique
Preuve
Pour tout I on a : 1er cas : [ p ]I = V [p
p]I = [ p ]I
2eme cas : [ p ]I = F [p
[ p ]I = V
alors
F = V
[ p ]I = V
p]I = [ p ]I
[ p ]I = F
V =V
donc (p
p) est une tautologie
Pour tout I on a : 1er cas : [ p ]I = V [p
p]I = [ p ]I
2eme cas : [ p ]I = F [p
[ p ]I = V
alors
F = F
[ p ]I = V
p]I = [ p ]I
[ p ]I = F donc (p
ENSI
V = F p) est une contradiction
Logique formelle
Calcul des propositions
49
Sémantique
Proposition Soient • A , B1, B2, …, Bn • p1, p2, …, pn
des formules propositionnelles
des variables propositionnelles
Si A est une tautologie
alors
A [ p1 ← B1 , p2 ← B2 , … , pn ← Bn ] est également une tautologie
ENSI
Logique formelle
50
Calcul des propositions
Sémantique
3- Equivalence et conséquence sémantiques Définitions Une
formule
A
est
conséquence
conséquence logique) d’une formule B
sémantique
(ou
ssi
tout modèle de B est un modèle de A c-à-d pour toute interprétation I , si [B]I = V alors [A]I = V ¾
notation
B╞ A
Une formule A est équivalente sémantiquement à une
formule B
ssi
B est conséquence sémantique de A et A
est conséquence sémantique de B ( B ╞ A et A ╞ B ) ¾
notation
A
B
≡
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
51
Sémantique
Propriétés 1. B ╞ A
ssi
B
A est une tautologie (╞ (B
A) )
2. B ≡ A
ssi
B
A est une tautologie (╞ (B
A) )
3. Si B ≡ A et
╞ B
alors
╞ A
Remarque • La propriété 1 est très importante, elle relie le ‘ ‘
logique’, le
mathématique’ et la conséquence sémantique (╞ )
• De même la propriété 2 pour le ‘ logique’, le ‘ mathématique’ et l’équivalence sémantique ( ≡ ) ENSI
Logique formelle
52
Calcul des propositions
Sémantique
Preuve 1.
B ╞ A Soit I une interprétation :
(seulement si)
si [ B ]I = V , alors [ A ]I = V, donc [ B si [ B ]I = F , alors [ B A ]I = V donc (si)
╞ (B
A ]I = V
╞ (B
A)
A)
alors pour tout I, [ B
A ]I = V, donc [ B ]I
[ A ]I =V
en particulier si [ B ]I = V alors forcement [ A ]I = V donc B ╞ A 2. 3. Exo. ENSI
Logique formelle
53
Calcul des propositions
Sémantique
Propriétés 1. Si A
≡
B
alors
2. Si A
≡
B
et
ENSI
A C
≡
B
≡
D
alors
• (A
C)
≡
(B
D)
• (A
C)
≡
(B
D)
• (A
C)
≡
(B
D)
• (A
C)
≡
(B
D)
Logique formelle
54
Calcul des propositions
Sémantique
Preuve 1. A ≡ B alors
pour tout I
[ A ]I = [ B ]I
donc
pour tout I
[A ]I =
et donc
[B ]I
[ A ]I = [ B ]I d’où
2.
A
B
≡
Exo.
Remarque Si A ≡
B alors A et B ont forcément le même modèle
ENSI
Logique formelle
55
Calcul des propositions
Sémantique
Théorème Le calcul propositionnel est muni d’une structure d’algèbre de Boole
Associativité
A
(B
C)
≡
A
(B
C)
≡
Commutativité
Distributivité
(A
B)
C
(A
B)
C
(A
B)
≡
(B
A)
(A
B)
≡
(B
A)
A
(B
C)
≡
(A
B)
(A
C)
A
(B
C)
≡
(A
B)
(A
C) suite
ENSI
Logique formelle
56
Calcul des propositions
Sémantique
Théorème (suite)
Lois de De Morgan
Idempotence
Absorption
(A
B)
≡
A
(A
B)
≡
A
(A
A)
≡
A
(A
A)
≡
A
A
(A
B)
≡
A
A
(A
B)
≡
A
B B
suite ENSI
Logique formelle
57
Calcul des propositions
Sémantique
Théorème (suite)
Eléments neutres (A
A
≡
(A
F)
V)
≡
A
Eléments absorbants (A
V)
F)
≡
F
(A
A)
≡
F
(A
≡
V
Tiers exclu (A
A)
≡
V suite
ENSI
Logique formelle
58
Calcul des propositions
Sémantique
Théorème (suite)
Inverse V
Involution
≡
A
F
F
≡
≡
V
A
Preuve Par table de vérité (exo)
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
59
Sémantique
Augustus De MORGAN (juin 1806 – mars 1871) Mathématicien et logicien anglais (né en Inde). Fondateur avec Boole de la logique moderne et auteur des lois de calcul des propositions. De Morgan contribua beaucoup aux mathématiques : la première notion d'induction mathématique, loi de De Morgan sur la convergence d'une suite mathématique... Il développa un théorème sur les probabilités d'évènements vie utilisé par les sociétés d'assurance aujourd'hui. Notons que l'on doit à De Morgan l'usage (en 1845) de la notation a/b (slash) pour désigner le quotient de a par b qui fut très rapidement adoptée. Il imposa l'usage du point décimal (utilisé par Neper) : 23/10 = 2.3 (soit 2,3 pour les francophones) ENSI
Logique formelle
60
Calcul des propositions
Sémantique
4- Système complet de connecteurs Définition On appelle système (ou ensemble) complet de connecteurs
tout ensemble de connecteurs propositionnels permettant d’engendrer tous les autres connecteurs propositionnels
Il est dit minimal lorsque aucun de ses sous-ensembles
strictes n’est un système complet de connecteurs
ENSI
Logique formelle
61
Calcul des propositions
Sémantique
Exemples
{
,
, ,
} est un système complet de connecteurs car
{
,
(p
q)
≡
(p
q)
(q
p)
, } est un système complet de connecteurs car
(p
q)
≡
( p
q)
suite ENSI
Logique formelle
62
Calcul des propositions
{
, } est un système complet de connecteurs car
{
{
(p
q)
≡
( p
q)
, } est un système complet connecteurs car
Sémantique
(p
q)
≡
( p
q)
} n’est pas un système complet car on a au moins besoin d’un connecteur binaire
{
, } et {
, } sont donc des systèmes de connecteurs complets et minimaux
ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
63
Sémantique
5- Satisfiabilité d’un ensemble de formules On peut étendre les résultats de satisfiabilité à un ensemble de formules Soient • ℰ et ℱ deux ensembles de formules (évent. infinie) • I une interprétation
ℰ est satisfait par I (ou I est un modèle de ℰ ) si I est modèle de toute formule de ℰ
ℰ est satisfiable (ou cohérent ou consistant ) s’il existe au moins une interprétation I qui est modèle de ℰ suite ENSI
Logique formelle
64
Calcul des propositions
Sémantique
ℰ est finiment satisfiable si tout sous-ensemble fini de ℰ est satisfiable
ℰ est contradictoire (ou insatisfiable ou une contradiction) ssi ℰ est non satisfiable
Une formule
B
est conséquence logique de ℰ (ℰ ╞ B ) ssi
tout modèle de ℰ est modèle de B
ℰ et ℱ sont équivalents ( ℰ ≡ ℱ ) ssi toute formule de ℰ est conséquence de ℱ et toute formule de ℱ est conséquence de ℰ c-à-d ℰ et ℱ ont exactement les mêmes modèles ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
65
Sémantique
Théorème de compacité Version 1
Pour tout ensemble ℰ de propositions ℰ est satisfiable
ssi
ℰ est finiment satisfiable
(ℰ admet un modèle ssi toute partie finie de ℰ admet un modèle) Version 2
Pour tout ensemble ℰ de propositions ℰ est contradictoire ssi ℰ admet au moins un sous-ensemble fini contradictoire suite ENSI
Logique formelle
66
Calcul des propositions
Sémantique
Théorème de compacité (suite)
Version 3
Pour tout ensemble ℰ de propositions et pour toute formule B B est conséquence de ℰ
ssi
B est conséquence d’au moins une partie finie de ℰ
ENSI
Logique formelle
67
Calcul des propositions
Sémantique
Propositions Soient • ℰ = { A1,…, An} et ℱ deux ensembles de propositions • A et B deux formules propositionnelles 1. ℰ ╞ A
ssi
ℰ U { A } est contradictoire
2. Si ℰ est satisfiable et si ℱ ⊆ ℰ,
alors ℱ est satisfiable
3. Si ℰ est satisfiable alors ℰ est finiment satisfiable 4. Si ℰ est contradictoire et si ℰ ⊆ ℱ alors ℱ est contradictoire 5. Si ℰ ╞ A et si ℰ ⊆ ℱ , ENSI
alors ℱ ╞ A Logique formelle
suite 68
Calcul des propositions
Sémantique
Propositions (suite) 6. ℰ U {A}
╞ B
ssi
ℰ ╞ (A
7. ℰ ╞ ( A
B)
ssi
ℰ ╞ A et
8. { A1, …, An } ╞ B
ssi
╞ (( A1
B) ℰ ╞ B …. An )
B)
9. A est une tautologie ssi A est conséquence logique de l’ensemble vide 10. A est une tautologie ssi A est conséquence de n’importe quel ensemble de formules 11. ℰ est contradictoire ENSI
ssi
ℰ ╞ ( A
A ) suite
Logique formelle
Calcul des propositions
69
Sémantique
Propositions (suite) 12. ℰ est contradictoire ssi il existe une contradiction qui soit conséquence de ℰ 13. { A1, …, An } est contradictoire ssi ( A1 …. An ) est une tautologie 14. ℰ et ℱ sont équivalents ssi ils sont satisfaits par les mêmes interprétations 15. L’ensemble vide est satisfiable 16. L’ensemble de toutes les formules propositionnelles est contradictoire 17. Tout ensemble fini de formules est sémantiquement équivalent à un ensemble constitué par seule formule ENSI
Logique formelle
70
Calcul des propositions Preuve
Sémantique
TD 1
Remarque Un ensemble de formules peut être vu comme une conjonction de formules ℰ = { A1, …, An } est sémantiquement équivalent à la formule ( A1 Plus précisément
{ A1, …, An }
… ≡
An )
{ (A1
…
An ) }
(point 17 de la proposition précédente) ENSI
Logique formelle
Calcul des propositions
71
Sémantique
6- Application Soit l’énoncé suivant : « Si je travaille bien alors je vais réussir . Si je suis malade , je ne peux pas bien travailler . Or je suis malade mais je travaille bien. Donc je vais réussir » 1. Définition des variables propositionnelles t : « bien travailler » m : « être malade » r : « réussir » suite ENSI
Logique formelle
72
Calcul des propositions
Sémantique
2. Modélisation de l’énoncé : H1 : «Si je travaille bien alors je vais réussir »
t
Æ
r
H2 : «Si je suis malade , je ne peux pas bien travailler » m
Æ
H3 : « je suis malade mais je travaille bien» C : « je vais réussir »
Æ
m
t t
r
Æ
3. Vérifier que {H1, H2, H3} ╞ C, c-à-d : {t ssi ssi
(t
r , m r)
╞ (((t
r)
ENSI
t } ╞ r
t,m
(m
t)
(m
(m
t)
(m
t) ╞ r t))
r)
Logique formelle
suite 73
Calcul des propositions
Sémantique
Remarque On peut voir l’énoncé comme suit {H1, H2} ╞ (H3
C)
c-à-d H3 fait partie de conclusion Ceci ne change rien au résultat final car nous avons {H1, H2, H3} ╞ C
ssi
{H1, H2} ╞ (H3
C)
(point 6 de la proposition précédente) suite ENSI
Logique formelle
74
Calcul des propositions
Sémantique
Remarque L’énoncé est correct : par table de vérité, nous avons bien {H1, H2, H3}
╞ C
Au fait nous avons {H1, H2, H3} est contradictoire. Donc n’importe quelle conclusion donne toujours un énoncé correct. Par exemple si nous prenons C’ : « je ne vais pas réussir » Nous avons toujours {H1, H2, H3} ╞ C’
ENSI
Logique formelle
75
Calcul des propositions
Sémantique
Commentaires sur les connecteurs logiques
Conjonction
A
B
A et B ; A mais B ; A quoique B ; A tandis que B
Disjonction A A ou B ;
Ou exclusif
ou inclusif
A sauf si B ; A
B
≡
(A
A ou B mais pas les deux ;
A à moins que B
A ou B et peut être les deux B)
( A
B)
soit A, soit (exclusivement) B
(« aut » en latin) ENSI
(« vel » en latin)
A ou/et B (juridique) ;
A sinon B ;
B
suite Logique formelle
76
Calcul des propositions
Implication A
Sémantique
B
si / lorsque A, alors / nécessairement/ c’est que B A implique / entraîne B A est condition suffisante de / suffit à B A seulement si / que si B B si /lorsque A B est condition nécessaire de A
suite ENSI
Logique formelle
77
Calcul des propositions
Equivalence A
Sémantique
B
A (est) équivalent à B A si et seulement si B A est condition nécessaire est suffisante (CNS) de B A si B et réciproquement • A ssi B : A seulement si B (A • A cns B : A condition suffisante B
ENSI
B)
; A si B (A
B)
A condition nécessaire B (A
B)
Logique formelle
(A
B)
78
Calcul des propositions
Sémantique
7- Formes normales Définition
On appelle littéral un atome ou une négation d’atome (ex. : p ,
p , …)
Une formule est dite sous forme normale disjonctive (FND) si elle est sous forme de disjonction de conjonctions de littéraux ( l11
...
l1i )
( l21
...
l2j)
…
( ln1
...
lnk ) suite
ENSI
Logique formelle
79
Calcul des propositions
Sémantique
Définition (suite)
Une formule est dite sous forme normale conjonctive (FNC) si elle est sous forme de conjonction de disjonctions de littéraux ( l11
...
l1i )
( l21
... l2j)
...
( ln1
...
lnk )
Une disjonction de littéraux est appelée une clause
ENSI
Logique formelle
80
Calcul des propositions
Sémantique
Exemples
Formule en FND :
(p
Formule en FNC :
(p
Formules à la fois en FNC et FND : p
p
q)
p
q)
( r
q
ENSI
s)
p
Logique formelle
q
81
Calcul des propositions
Sémantique
Les FNC et le FND peuvent être obtenues en appliquant les transformations suivantes : 1. Elimination des connecteurs • (A
⇔
• (A
B)
≡
(A
B)
≡
( A
⇔
B)
et
(B
A)
B)
2. Elimination des négations appliquées à des sous-formules •
( A)
≡
A
•
(A
B)
≡
( A
B)
•
(A
B)
≡
( A
B) suite
ENSI
Logique formelle
82
