Energie Potentielle de Deformation

ENERGIE POTENTIELLE DE DEFORMATION I.1 Introduction

Toute structure subit des déformations qui sont la conséquence de la déformabilité des matériaux qui la constituent. En effet, la structure passe ainsi d’une position initiale, non déformée à une autre, d’équilibre, qu’on appelle position déformée ou tout simplement la déformée. La détermination de ces déformations présente pour l’ingénieur ou le technicien un intérêt aussi bien théorique que pratique. Théoriquement : l’analyse des déformations nous donne la possibilité de résoudre les systèmes hyperstatiques. Pratiquement : l’intérêt réside dans le fait, qu’une bonne conception, ne peut se borner à ce que l’élément de construction ou la structure remplisse uniquement la condition de résistance ( σmax ≤ σadm), mais aussi les conditions d’esthétique et de stabilité illustré par la condition (δadm≤ δadm), et cela pour assurer le bon fonctionnement de l’ouvrage en question. I.2 Hypothèses

Les hypothèses qui nous permettent l’application des méthodes basées sur l’énergie potentielle de déformation d’une structure, sont les mêmes que les hypothèses de base de la résistance des matériaux à savoir :

a) Continuité du matériau : Un matériau est dit continu, s’il ne présente ni cavités ni fissures, pour pouvoir en isoler fidèlement une partie infinitésimale. b) Homogénéité du matériau : Le matériau doit jouir des mêmes propriétés en tout point. En général, ce critère est satisfait pour La plupart plupart des matériaux d’ingénierie, d’ingénierie, du moins à l’échelle macroscopique (sauf pour le béton armé). c) Isotropie du matériau : : Le matériau a les mêmes propriétés dans dans toutes les directions à l’échelle macroscopique (métaux, plastiques). Les matériaux qui ont une orientation de grains préférentielle (bois, matériaux laminés), donc anisotropes, font l’objet de méthodes de calcul plus spécialisées. d) Aucune force interne n’agit dans le matériau avant l’application des charges externes (état initial). Les forces internes, dites résiduelles sont souvent présentes dans les matériaux, elles résultent en général de processus de fabrication (soudage, pliage).Si ces forces ne sont pas négligeables, il faut en tenir compte, en les mesurant expérimentalement ou en les réduisant techniquement (traitement thermique) au cours de la fabrication. e) Comportement élastique : Un matériau a un comportement élastique, lorsque, après avoir subi une déformation sous une charge donnée, il reprend instantanément sa position initiale dés que celles-ci cesse d’agir. Si en plus, il y a une proportionnalité entre contraintes et déformations, le matériau est dit élastique (élastique linéaire). Généralement on a recours à la loi de Hooke pour décrire ce comportement. f) Hypothèses de Navier Bernoulli : Les sections restent planes après déformations, cette hypothèse se vérifie bien pour les déformations dues aux contraintes normales, mais moins bien pour celles provoquées par les contraintes tangentielles ou tangentes, qui entraîne le gauchissement des sections. Plus exacte est la proposition suivante : deux sections droites voisines, initialement planes A 1 et A2 , deviennent, deviennent, après déformations, déformations, deux sections A 1 et A 2 qui sont, dans le cas le plus général, gauches, mais superposables par simple déplacement. déplacement. g) Hypothèse de Saint – venant : : Les contraintes et les déformations dans une section A suffisamment éloignée des point d’application des forces extérieures, ne dépendent que de Page 1 Hacene chaouche abdelmadjid

la résultante générale et du moment résultant des forces extérieures appliquées dans à l’une des deux parties de la poutre séparées par A. h) Action statique des forces extérieures Parmi ces hypothèses deux d’entre elles présentent une importance particulière à savoir : • •

La relation linéaire entre les efforts et les déformations, permet l’application du principe de superposition. Les déformations sont très faibles par rapport aux dimensions transversales de l’élément constituant la structure (barre ou poutre). Cette hypothèse nous permet d’écrire les équations d’équilibre de la structure déformée en utilisant le schéma de la structure non déformée sans faire pour cela de grosses erreurs.

1.3 Condition d’équilibre L’expression de la condition d’équilibre dans la position déformée se fait de deux manières : a- Application du principe de la conservation d’énergie ou méthode énergétique. b- Application du principe des travaux virtuel ou méthode cinématique. Ces deux méthodes mènent aux mêmes résultats et aux mêmes conditions d’équilibre. 1.4 Méthode énergétique C’est une méthode qui est basée sur le principe de la conservation d’énergie, qui s’énonce ainsi : Le travail mécanique des forces extérieurs est égal au travail mécanique des forces intérieurs (ou efforts). Autrement dit, tant que les sollicitations restent dans le domaine élastique, le travail mécanique des forces extérieures (charges) s’accumule entièrement comme énergie potentielle (travail mécanique des forces intérieures) dans la structure déformée . 1.4.1 Travail mécanique des forces extérieures

Le travail mécanique élémentaire s’exprime par le produit scalaire du module de la force extérieure et du déplacement élémentaire de son point d’application suivant la direction de son support (figure 1).

F A

α dδ

e

dT = F. d δ=F.dδ cos α (1)

A’ Figure 1 On dit qu’une force actionne statiquement si son intensité augmente progressivement de 0 à sa valeur finale P. Or d’après la loi de Hooke les contraintes sont proportionnelles aux déformations, et par conséquent les forces sont proportionnelles aux déplacements, donc :

dδ = k.dP ou δ = k.P (2)

Page 2 Hacene chaouche abdelmadjid

e

e

Donc : dT = P.dδ = P.k.dP

T =

=

2

k P =

P.δ (3)

Ce résultat peut être trouvé d’une autre manière en considérant le diagramme qui représente la variation de la déformation en fonction de l’intensité de la force P, agissant statiquement. P

Pmax δ

dδ

δ

Figure 2 Le travail mécanique total est donné par l’aire de ce diagramme qui est dans notre cas un triangle (Figure 2) : e

e

dT = P.dδ

T =

=

Pδ

(4)

Si plusieurs forces sont appliquées simultanément, en utilisant le principe de superposition des effets on obtient : e

iδi

T =

(5)

Une relation semblable peut aussi être obtenue pour le moment e

T =

iөi

(6)

Dans le cas ou une structure est soumise en même temps à des forces extérieures généralisées (forces et moments) et ainsi qu’a des déplacements généralisées (déplacements linéaire ou angulaires) exprimés par leurs projection dans l’espace défini par le repère spatiale (o, x,y, z) le vecteur force Fi= i , δi = i , Mi= [Mxi, Myi, Mzi] et θi= [өxi, өyi, өzi], alors l’expression du travail mécanique extérieurs est donné par la relation : e

e

T = T =

iui +Yivi +

Ziwi) +

xi өxi +Myi

өyi +Mzi өzi) (7)

1.4.2 Travail mécanique des efforts intérieurs ou énergie potentielle de déformation 1.4.2.a Expression de l’énergie dans le cas d’un chargement uni axial Si on applique une force P x sur un élément de dimensions, ∆x, ∆y et ∆z (figure 3), il se produit un allongement δx dans la même direction que la charge appliquée. L’énergie potentielle dU p alors développée par unité de volume V s’exprime par :

dUP =

x dδx =

x dδx =

x dδx =

x dεx (8)


de même si on soumet un élément infinitésimale à une charge parallèle à une des faces par exemple la face du plan xy il vient alors :

dUP =

dγxy

(9)

1.4.2.b Energie de déformation dans le cas général

Soit un élément soumis à un état général de contraintes σx, σy, σz, τxy, τxz et τyz, en appliquant le principe de superposition des effets et en adoptant la convention suivante concernant les déformations normales résultantes à savoir : εij : Déformation normale dans la direction i, causée par une contrainte normale dans la

direction j. 1.4.2.c Application d’une contrainte normale σx en premier lieu

D’après la loi de Hooke relatif au comportement élastique des matériaux on a : σx =Eεxx

Dans ce cas :

dUp1 =

dεxx=

(10)

εxx dεxx= E

=

(11)

1.4.2.d Application d’une contrainte normale σy en second lieu

Sachant que la contrainte normale σx agit toujours, l’élément est sollicité par une autre contrainte normale σy qui entraîne non seulement une déformation εyy = une autre déformation εxy opérant dans la direction x telle que : εxy = - ν

dUp2 =

dεyy +

dεxy =

- ν

mais également

, donc :

σy (12)


1.4.2.e Application d’une contrainte normale σz en troisième lieu

Les contraintes normales σx et σy étant toujours appliquées, l’élément est une fois de plus sollicité par une autre contrainte normale σz, ce qui a pour effet de générer des déformations dans toute les directions, c'est-à-dire εzz, εxz et εyz.Par conséquent, il vient que :

dεzz +

dUp3 =

dεyz

dεzz + σx εxz + σy εyz

dUp3 =

dUp3 =

dεxz +

- ν

σz - ν

(13) (14) (15)

σz

1.4.2.f Energie potentielle de déformation due au cisaillement

Contrairement aux contraintes normales qui provoquent des déformations dans tous les sens, les contraintes de cisaillement n’entraînent qu’une seule composante de déformation de cisaillement (glissement).

dUp4=

xy dγxy +

yz dγxy +

zx dγzx

(16)

Or d’après la loi de Hooke γij = Donc l’énergie développée pour le volume V est donnée par :

dUp4=

(17)

1.4.2.g Energie potentielle totale de déformation

Dans le cas général, si un élément de structure est sollicité dans l’espace simultanément par un état de contraintes spatiale alors l’énergie élémentaire est la somme des énergies développées, soit :

dUtot = dUtot =

(18)

-

(19)

+

Cette expression peut s’écrire d’une autre manière en fonction des contraintes et des déformations : dUtot =

+

+

)+

+

)–(

+

)] dv (20)


1.5 Energie de déformation concernant des cas particuliers

1.5.1 Cas d’une traction

En supposant les autres composantes des contraintes nulles, on considère un barreau de longueur L et de section droite A, soumis à chacune de ses extrémités à une force de traction P (figure 4).

dx P

x

P

A : section droite

L Figure 4

Le barreau n’étant soumis qu’à un effort normal de traction constant quelque soit la section A(x) considérée, la contrainte σx développée est uni-axiale suivant l’axe x. Donc l’énergie développée en vertu de l’équation est donnée par :

U=

) dV =

A dx =

(21)

1.5.2 Cas de la flexion

Considérons une section A d’une poutre de longueur L, soumise à une flexion pure (M ≠ 0, T=0 et N=0 ), dont l’axe coïncide avec l’un de ses axes principaux d’inertie Gz. Soit Iz le moment d’inertie de la section par rapport à Gz.

D’après l’hypothèse de Navier-Bernoulli, chaque section droite reste plane. La déformation (variation relative de longueur) de toute fibre longitudinale est donc linéaire de y :

ε(y) = αy + β (22) D’après la loi de Hooke, il en va de même pour la contrainte normale :

σ(y) = E ε(y) = E αy + β = ay +b (23) Examinons l’équilibre entre l’effort appliqué et les contraintes, en se rappelant que le moment statique de la section par rapport à l’axe passant par le centre de gravité G (Gz).

Sz =

(24)


d’où b = 0 et ε(y) =

N=0=

Or :

D’autre part :

a=

M=

σ(y) =

(25) y (26)

Figure 5

Les charges étant parallèles à l’axe des y, donc le moment fléchissant engendré est orienté suivant l’axe des z et la contrainte développée est une contrainte normale σx. L’énergie potentielle accumulée est U, telle que :

U=

dv =

=

dA]dx =

dx (27)

1.5.3 Cas de l’effort tranchant 1.5.3.a Relation fondamentale de l’effort de glissement

Soit une poutre de section constante, soumise à une flexion simple (Mz≠0, N=0 et Ty≠ 0). L’effort tranchant s’exprime alors en fonction du moment fléchissant par la relation :

Etudiant l’équilibre d’un prisme élémentaire, de base B, compris entre deux sections droites A (d’abscisse x) et A’ (x+dx) (Figure 6).


Figure 6

L’équilibre du prisme exige la nullité de la composante suivant Gx, des efforts qui lui sont appliqués :

a) Sur la partie B de (A) s’exercent des contraintes normales σ(y) = résultante vaut :

NB =

=

y, dont la

M

Où SB : représente le moment statique de l’aire B par rapport à Gz b) De même sur la partie B de A’ s’exerce l’effort normal :

-(NB + dNB) = -(M +dM) Au total, la résultante des efforts parallèles à Gx s’exerçant sur les sections droites d’about du prisme, et qui tend à faire glisser le prisme en dehors du reste de la poutre, vaut :

- dNB =-

dx

=-T

dx

D’où la relation fondamentale donnant la valeur du glissement s’exerçant sur le prisme de base B et de longueur unité (dx =1) :

gB =

=T

(28)

Cet effort doit être équilibré par les contraintes tangentes(ou de cisaillement) exercées sur la surface latérale du prisme, par la partie de poutre qui lui est extérieure, et dont la résultante est, par conséquent égale à g B. 1.5.3.b Théorie élémentaire de calcul des contraintes tangentes τ

Soit une section B ( Figure 7), la partie de la section droite de la poutre située au dessus de la fibre d’ordonnée y, au niveau de laquelle la largeur de la section vaut BC = b(y).


Figure 7 Les contraintes tangentes s’exerçant sur la surface extérieure de la poutre sont nulles. Ce sont donc les cisaillements longitudinaux τ (s’exerçant sur le plan BCC’B’) qui doivent équilibré l’effort de glissement gB. La théorie élémentaire suppose que les contraintes τ sont parallèles à Gx, et constantes sur toute la largeur b(y) d’où :

τ(y) =

=

(29)

S(y) : le moment statique par rapport à Gz de la seule partie de section B. I : moment d’inertie de toute la section droite par rapport à z. D’autre part le théorème de Cauchy nous apprend aussi que cette contrainte de cisaillement est également la composante suivant Gy du cisaillement τ’ agissant sur la section droite au niveau de BC (Figure 8).

Figure 8 1.5.3.c Energie potentielle du au cisaillement

Cette énergie comme il a été déjà vu est donnée par la relation :

dUp4=

(30)

la flexion se produisant dans le plan xy donc les autre composante du cisaillement sont nulles (c'est-à-dire

et

) donc l’énergie se ramène à :


dUp4=

or :

= U=

=

d

dv =

=

=

=

Donc l’énergie totale U p4 =

Si on pose k =

)dV (31)

dV =

dA

⇒

l’énergie par unité de volume

dA]dx = dAdx =

Up4 =

dx

dA

dx (32)

Donc si une structure est soumise simultanément à des efforts normaux, des flexions simples (M et T) et des torsions alors l’énergie totale du système s’écrit : Utot =

dx +

dx +

dx +

dx

Remarque : L’application pratique de cette relation en sa totalité, conduit à des calculs très laborieux et souvent superflus, l’influence de certains paramètres peut être négligeable ou insignifiantes par aux autres paramètres. L’expérience montre que l’on peut prendre en considération, avec une assez bonne précision, seulement les termes des sollicitations prépondérantes, à savoir : •

Le moment fléchissant Mf pour les structures planes formées de barres.

•

L’effort normal N pour les poutres en treillis.

• •

Le moment fléchissant M f et l’effort normal N pour les arcs plans. Le moment fléchissant Mf et le moment de torsion M t pour les structures spatiales formées de barres.

1.6 Théorème de Castigliano

Soit un corps en équilibre soumis à température constante, à des facteurs de forces quelconques (Figure 9).

Figure 9 Page 10 Hacene chaouche abdelmadjid

Soit U l’énergie potentielle de déformation accumulée par suite du travail des forces extérieure y compris le travail nul des réactions d’appuis. Si l’on donne à Pn un accroissement de charge dPn, l’accroissement de l’énergie U sera alors dPn et l’énergie devient : U1= U +

dPn .

Si l’on applique d’abord un accroissement de charge dPn, un déplacement dδn suivant la ligne d’action de dPn, apparait, le travail de cette force élémentaire est exprimé par

dPn (charge

appliquée statiquement), puis l’on applique l’ensemble des forces extérieures sans dPn, l’énergie du corps reprend sa valeur U. Mais par suite de la présence de dPn, l’énergie U aura varié de dPnδn (δn étant le déplacement total du corps sous l’ensemble des charges extérieures), donc l’énergie de déformation s’écrit :

U2 = Or : U1= U2 ⇒ avec

dPn → 0

dPn +U + dPnδn (33) δn =

(34)

Le théorème de Castigliano s’énonce alors comme suit : La dérivée partielle de l’énergie potentielle de déformation d’une structure ou d’un corps solide par rapport à une force est égale au déplacement du point d’application de cette force suivant sa ligne d’action. Remarque : Ce théorème est général, il s’applique aussi bien à une force qu’à un moment, δn représente alors un déplacement angulaire ou rotation. 1.7 Intégrales de Mohr

Le théorème de Castigliano permet seulement de déterminer le déplacement suivant la ligne d’action de la force considérée. Or, on peut avoir besoin de calculer des déplacements de point quelconque dans n’importe quelle destination. Pour lever cette difficulté, on peut appliquer au point voulu, suivant une direction choisie au préalable, une force généralisée fictive Φ (force concentrée ou moment concentrée), puis former l’expression de l’énergie potentielle de déformation de la structure ou du système considéré, y compris l’énergie engendrée par cette force généralisée fictive Φ. En fin en vertu du théorème de Castigliano en dérivant cette énergie par rapport à cette force fictive on obtient le déplacement dans la direction de Φ, en prenant soin bien sûr d’annuler cette force dans l’expression final obtenue.

Φ

C'est-à-dire : =

Φ=0

[

dx +

dx +

dx +

dx] (35)

A Titre d’exemple si on considère une structure plane formée de barres, la prépondérance est donnée à l’énergie du moment fléchissant, donc Page 11 Hacene chaouche abdelmadjid

dx] =

=0 =

dx

Cette relation peu être généralisée : =0

=

dx +

dx +

dx (36)

Aussi le théorème de Castighliano peut s’écrire aussi comme suit :

=

dx +

dx +

dx (37)

1.8 Méthode graphique de Véréchaguine

L’inconvénient des intégrales de Mohr réside dans la nécessité de former des expressions analytiques qu’il convient d’intégrer. Cependant, si la barre est à section constante (EI= constante), alors les calculs sont simplifiés, par l’application d’une méthode attribuée à Véréchaguine, qui est méthode graphique qui permet d’obtenir une solution graphique intéressante. 1.8.1 Principes de la méthode

Supposons que l’on doive intégrer le produit deux fonctions f 1(x) et f 2(x), respectivement non linéaire et linéaire. I=

f 2(x) dx =

(ax +b) dx = a

+b

dx = a xG1 A1 +b A1

Donc : I = A1(axG1+b) (38) Ce résultat peut s’énoncer de la manière suivante : L’intégrale du produit de deux fonctions, dont l’une est linéaire est égal au produit de l’aire de l’épure non linéaire par l’ ordonnée de son centre de gravité mesurée sur l’épure linéaire.

Figure 10 Page 12 Hacene chaouche abdelmadjid

Energie Potentielle de Deformation

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