COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
L1
A L2
O = centro de la circunferencia OA = O B = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
C
O
D
L1 = recta tangente a la circunferencia L2 = recta secante a la circunferencia DE = cuerda de la circunferencia
B E
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Angulo formado por dos radios.
b) Angulo formado por dos cuerdas
B Ox
B
C
β
α
Ox A A Relación entre el ángulo y el arco :
Relación entre el ángulo y el arco :
α=
AB
AC »
»
β=
2
c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el mismo circunferencia : arco B
α
C
β
β
Ox α
δ
x O
A Relación entre los ángulos: α = 2β
d) Angulo formado por dos cuerdas C
Relación entre los ángulos: α = β = δ
f) Angulo formado por dos secantes A
B
D
α Ox
Ox
α
B
D C
A
Medida del ángulo α
Medida del ángulo α BC+AD »
»
α=
2
AC - BD »
»
α=
2
P
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
g) Angulo formado por dos tangentes A
h) Angulo formado por una cuerda y una tangente A
C•
α
•D
Ox
P
α Ox
B
B
Medida del ángulo α :
Medida del ángulo α :
ACB - ADB
¼
α=
AB
¼
»
α=
2
2
i) Angulos que forma una semicircunferencia j) Angulo formado por una secante y una tangente : : A C A
α
α Ox
Ox
B
P
B
C
Medida del ángulo α : α = 90°
Medida del ángulo α :
k) Arcos formados por rectas paralelas que cortan a una circunferencia
»
2
l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito :
D
A
A
α
D Ox
C
Ox
AC - AB
»
α=
B
β
C
B Relación entre ángulos :
Relación entre arcos
α + β = 180°
AB = CD »
»
EJERCICIOS 1.
Hallar ∠ BAC
2. A
∠ y = 112º ∠x=
C
A
B O x 96º
yx O x
C
B
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
3.
4.
∠ x = 75º y=
60º
A
x= y=
D
x
D
A
C
y
Ox
Ox C
x
B
5. α = 72º x= y=
65º
y
B Nota: El radio es Perpendicular a cualquier cuerda 6. y = 140º ∠ BDC = A
C A x
y
α Ox
Ox B
D
B y 7.
∠ y = 115º ∠x=
8.
∠ x = 40º ∠y=
C
Ox x
C
A
y B
D
º 0 0 2
Ox
A
E
x
y
B C
9.
10.
∠ x = 61º y=
A
x= y=
E 25º
D x
y
x
B A
Ox
C
70º
Ox y
C
11. x = y=
2x
B
D
A
12. x = y=
y
E y
D
2x
x
C Ox
A
C Ox
3x+10º
3x+6
3x
B B
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
13. Dado: AB diámetro del círculo O, BC es un diámetro del círculo O’, círculo O es tangente al círculo O’ en B. Demuestra que ∠ x = ∠ y
A
x O
y
x O’
x
14. AC bisectriz ∠ BAD ∠ BAC =
∠ AEB = ∠ BDC = ∠ ADB = B
C
B
A
Ox
E
160º
C 80º
D
Nota: 13 y 14 complementarios
SEGMENTANDO SEGMENTANDO EL CÍRCULO Teorema 1 : Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos iguales con el segmento que une el punto exterior al centro. AP , BP segmentos tangentes: AP = BP
,
A
OX
∠ OPA = ∠ OPB
B
Teorema 2 : Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una circunferencia circunferencia,, entonces:
AP
P
A B OX
⋅ BP = PD ⋅ PC
P C
D
A
Teorema 3 : Si desde un punto exterior exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: OX 2
AP = PC
P
⋅ BP
B C
Teorema 4 : Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia, entonces:
AE
D
A OX
⋅ BE = CE ⋅ DE
E C
B
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA EJERCICIOS
15.
Según la figura : Si AP = 6 ; BP = 15 y PC = 8 , determinar PD . B
16.
Según la figura : Si BP = 5 y PC = 20 determina AP A
A OX
P
OX C
C
P
B
D
17. En la figura : DE = 5 ; EB = 2⋅ AE ; CD = 15 ; Determina AE
18. En la figura : OD = 10 ; OE = 8 ; Determina AB C
B
D
A
B
E OX
OX E C
A
D
19. En la figura: AB = 6 , AD = 3 , Determina
20. En la figura: AB = 12 , AC = 18 , Determina CD
AC
A
B
D OX
OX C
21.
D
En la figura: AD = DB , EC = 14 , AE = 4 Determina AD
C
A
B
22. ,
B
En la figura : OC = 5 , AE = 6 , BD = 4 , Determina AD B
D C OX
A E
C
D
O X E
A
COLEGIO SANTA CRUZ DEPTO. MATEMATICA
23.
En la figura: BP = 5 , AB = 3⋅ BP , Determina PT
24.
En la figura: PT = 4 6 , AO = 5 , Determina BP
T B O X
OX B
P
A
B P
25. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos de una cuerda son 4 y 6 . Si Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3. ¿ Cuál Cuál es la longitud longitud del otro segmento segmento ? 26. Dos cuerdas AB y EF se cortan en H . Calcular la medida del segmento EH sabiendo que AB , EF y AH miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
27.
En la figura: CD =
28.
1 DP , BP = 4 , CP = 21 , 2
Determina AP
En la figura: AP = 90, AB : BP = 7 : 8, DP = 16 Determina CP
P
C
B A
D OX P C
Nota: Números 27 y 28 complementarios
OX
D B
A
